周长比和面积比
北师大版数学九年级上册《相似三角形的周长比与面积比》说课稿
北师大版数学九年级上册《相似三角形的周长比与面积比》说课稿一. 教材分析北师大版数学九年级上册《相似三角形的周长比与面积比》这一节，是在学生已经学习了相似三角形的性质，三角形面积公式的基础上进行的一节内容。
本节内容主要让学生了解相似三角形的周长比与面积比的关系，掌握相似三角形的周长比与面积比的计算方法，进一步深化对相似三角形性质的理解。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对相似三角形的性质有一定的了解。
但是，对于相似三角形的周长比与面积比的计算方法，以及它们之间的关系，可能还不是很清楚。
因此，在教学过程中，我需要引导学生通过观察，思考，探讨，来理解并掌握这些知识点。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解相似三角形的周长比与面积比的含义，掌握它们的计算方法，并能应用于实际问题中。
2.过程与方法：通过观察，思考，探讨，学生能够发现相似三角形的周长比与面积比之间的关系，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生在解决实际问题的过程中，体验到数学的乐趣，增强对数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解相似三角形的周长比与面积比的含义，掌握它们的计算方法。
2.教学难点：学生能够发现相似三角形的周长比与面积比之间的关系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过观察，思考，探讨，来理解并掌握相似三角形的周长比与面积比的计算方法，以及它们之间的关系。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示相似三角形的周长比与面积比的实际应用场景，帮助学生更好地理解知识点。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考相似三角形的周长比与面积比的概念。
2.新课讲解：利用多媒体课件，展示相似三角形的周长比与面积比的实际应用场景，引导学生观察，思考，发现它们之间的关系。
3.案例分析：通过几个具体的案例，让学生计算相似三角形的周长比与面积比，加深对知识点的理解。
4.练习与讨论：布置一些练习题，让学生独立完成，然后进行讨论，互相交流解题思路。
相似三角形的周长比与面积之比精品课件PPT
3.在△ABC中,D是AB的中点， DE∥ BC， 则: (1)S △ADE : S △ABC =____
(2)S △ADE: S 梯形DBCE =____
4.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
已知△ADE和△EFC的面积分
D
别为4和9，求△ABC的面积。 D
B
B
F
4.7.2相似三角形的周长比与面积之比
•
5、人们都期望自我的生活中能够多 一些快 乐和顺 利，少 一些痛 苦和挫 折。可 是命运 却似乎 总给人 以更多 的失落 、痛苦 和挫折 。我就 经历过 许多大 大小小 的挫折 。
•
6、我就经历过许多大大小小的挫折。 大海因 为有了 狂风的 袭击， 才显示 出了它 顽强的 生命力 ，它把 狂风化 成了朵 朵浪花 ，给人 们带来 美丽；
4
4.7.2相似三角形的周长比与面积之比
求证5
请你类比推断出相似三角形的面积之比。
△ABC∽△A'B'C'，相似比为k， A
它们的面积比是多少？
A1
B
D
C B1
D1 C1
相似三角形面积的比等于 相似比的平方．
4.7.2相似三角形的周长比与面积之比
4.7.2相似三角形的周长比与面积之比
练习：
1、已知两个三角形相似，请完成下列表格
4.7.2相似三角形的周长比与面积之比
第四章 图形的相似
4.7.1 相似三角形的性质
4.7.2相似三角形的周长比与面积之比
4.7.2相似三角形的周长比与面积之比
相似三角形的性质: 相似三角形对应____、_____、____的 比都等于相似比。
4.7.2相似三角形的周长比与面积之比
相似三角形的周长和面积比较
04
相似三角形的周长和面积比较的注意事项
相似三角形的判定条件
定义法：根据相似三角形的定义，通过比较对应角和对应边来判定两个三角形是否相似。
平行法：当两个三角形有一组对应的边平行时，这两个三角形相似。
角-边角法：当两个三角形有两个对应的角相等，并且这两个角所夹的边成比例时，这两个三角形相似。
相似三角形在桥梁建设中的应用：在桥梁建设中，可以利用相似三角形来计算桥墩的高度和位置，以确保桥梁的稳定性和安全性。
相似三角形在航空摄影中的应用：在航空摄影中，可以利用相似三角形的性质来计算建筑物的高度和宽度，以及地面的距离和位置。
相似三角形在建筑设计中的应用
利用相似三角形测量建筑物的高度
利用相似三角形设计建筑物的窗户和门
计算方法：利用相似三角形的性质，将相似三角形的边长比例与周长比例相等，从而计算出周长
应用：在解决实际问题时，可以利用相似三角形的周长比较来推导其他相关量的大小关系
周长的比较
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相似三角形的周长比等于边长比的绝对值
相似三角形的周长与边长成正比
相似三角形的周长比等于相似比的绝对值
测量工具的精度：确保使用高精度的测量工具，以减小误差。
测量方法的准确性：采用多次测量求平均值的方法，提高测量准确性。
相似三角形的选择：选择相似度高、形状接近的三角形进行比较。
计算过程的准确性：仔细核对计算过程，避免因计算错误导致误差。
实际应用中的注意事项
确保两个三角形相似，否则无法进行周长和面积的比较。
周长比等于任意一边长的比
02
北师大版数学九年级上册《相似三角形的周长比与面积比》教案
北师大版数学九年级上册《相似三角形的周长比与面积比》教案一. 教材分析北师大版数学九年级上册《相似三角形的周长比与面积比》这一节主要讲述了相似三角形的周长比与面积比的特点和规律。
通过这一节的学习，学生可以掌握相似三角形的周长比与面积比的计算方法，并能够运用这些知识解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了相似三角形的性质，对于相似三角形的周长比与面积比的概念可能已经有所了解。
但是，对于如何运用这些概念解决实际问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生运用所学知识解决实际问题，提高他们的实践能力。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够掌握相似三角形的周长比与面积比的计算方法，并能够运用这些知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等活动，学生能够培养自己的探究能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与数学学习，体验成功解决问题的喜悦，培养自己的合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点：相似三角形的周长比与面积比的计算方法。
2.教学难点：如何运用相似三角形的周长比与面积比解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法和操作实践法进行教学。
通过提出问题，引导学生观察、操作、猜想、验证，从而培养学生的探究能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、圆规等。
2.教学课件：制作相关的教学课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾相似三角形的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）讲解相似三角形的周长比与面积比的定义和计算方法，引导学生理解并掌握这些知识。
3.操练（10分钟）学生分组进行实践操作，运用相似三角形的周长比与面积比的知识解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）教师提出一些有关相似三角形的周长比与面积比的应用题，学生独立解答，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：相似三角形的周长比与面积比在实际生活中的应用有哪些？学生分组讨论，分享自己的见解。
命题两个全等三角形的面积比等于周长比的平方。
命题两个全等三角形的面积比等于周长比的平方。
命题两个全等三角形的面积比等于周长比的平方在数学中，我们经常遇到各种各样的几何问题，其中关于三角形的问题尤为常见。
今天，我们来探讨一个关于全等三角形的性质，即命题两个全等三角形的面积比等于周长比的平方。
这个命题看似简单，但却蕴含着深刻的几何内涵，让我们一起深入研究吧。
1. 定义与公式我们来回顾一下全等三角形的定义。
两个三角形全等的条件是它们的对应边相等，对应角相等。
假设我们有两个全等三角形，它们的面积分别为S1和S2，周长分别为L1和L2。
那么，根据周长和面积的定义，我们可以得到以下公式：S1 = 1/2 * a1 * b1 * sinC1S2 = 1/2 * a2 * b2 * sinC2L1 = a1 + b1 + c1L2 = a2 + b2 + c2其中，a1、b1、c1和a2、b2、c2分别是两个三角形的边长，C1和C2分别是它们的夹角。
根据这些定义和公式，我们可以把命题转化为一个等式：S1/S2 = (L1/L2)²。
2. 探索证明接下来，我们将从几何和代数两个角度，来探索这个命题的证明过程。
从几何角度看，我们可以利用全等三角形的性质以及三角形的面积公式来进行推导。
利用全等三角形的性质，我们可以得到a1/a2 =b1/b2 = c1/c2，即对应边的比值相等。
利用三角形面积公式S = 1/2 * a * b * sinC，我们可以把面积表示为对应边长和夹角的函数。
将S1和S2带入这个公式，然后消去对应边的比值，可以得到S1/S2 =(L1/L2)²的等式。
这样，我们就从几何角度证明了这个命题。
从代数角度看，我们可以利用向量的方法来进行证明。
假设我们在平面坐标系中表示这两个全等三角形，然后利用向量表示它们的各个边和夹角。
通过向量的运算和性质，我们可以得到S1/S2 = (L1/L2)²的等式。
这样，我们就从代数角度证明了这个命题。
9年级数学 第2课时 相似三角形周长和面积的比
七年级数学 第2课时 相似三角形周长和面积的比【学习目标】1．理解并初步掌握相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系． 2．会运用相似三角形的性质解决简单的实际问题． 【学习重点】相似三角形的周长比及面积比与相似比的关系． 【学习难点】相似三角形的面积比等于相似比的平方．情景导入 生成问题1．顺次连接三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应边上的中线的比是( A ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4 D ．4∶12．如图，DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ．若AD ＝3，BD ＝2，AF ⊥BC ，交DE 于G ，则AG ∶AF ＝3∶5，△AGE ∽△AFC ，且它们的相似比为3∶53．已知△ABC 与△DEF 相似且对应角平分线之比为2∶3，若△ABC 的最长边为6，则△DEF 的最长边为9．自学互研 生成能力知识模块一 探索相似三角形周长和面积的比与相似比的关系先阅读教材P 109页的内容，然后完成下面的填空： 1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例；2．相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比与对应中线的比都等于相似比； 3．相似三角形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方．问题1：如果△ABC ∽△A′B′C′，相似比为2，那么△ABC 与△A′B′C′的周长比是多少？面积比呢？ 解：(1)∵△ABC ∽△A′B′C′，∴AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝AC A ′C ′＝2，∴AB ＋BC ＋AC A′B′＋B′C′＋A′C′＝ABA ′B ′＝2，∴△ABC的周长△A′B′C′的周长＝2；(2)∵S△ABC＝12AB·CD，S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′，∴S△ABCS△A′B′C′＝12AB·CD12A′B′·C′D′＝ABA′B′·CDC′D′＝2×2＝22＝4.目的：使学生建立从特殊到一般的思想．问题2：如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比和面积比分别是多少？学生分小组讨论交流，教师引导学生写出证明过程．归纳结论：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．议一议：两个相似四边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比与面积比怎样呢？两个相似的n边形呢？无论是三角形、四边形、还是多边形，都有相同的结论，所以可以推导出：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．知识模块二相似三角形性质的应用完成下面各题：1．教材P110页的随堂练习．2．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为(C)A．1∶2B．2∶1C．1∶4D．4∶1典例讲解：见教材P110页的例2.对应练习：1．教材P110页习题4.12的第1题．答：相似，周长比为2∶1，面积比为4∶1.2．教材P111页习题4.12的第2题．解：(1)∵AB＝2DE，AC＝2DF，∠BAC＝∠EDF.∴△ABC∽△DEF，相似比为2∶1，∴中线AG与DH的比是2∶1；(2)△ABC与△DEF的面积比是4∶1.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索相似三角形周长和面积的比与相似比的关系知识模块二相似三角形性质的应用检测反馈达成目标1．下列命题中错误的是( C )A ．相似三角形的周长比等于对应中线的比B ．相似三角形对应高的比等于相似比C ．相似三角形的面积比等于相似比D ．相似三角形对应角平分线的比等于相似比2．若两个相似多边形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( B ) A ．1∶4 B ．1∶2 C ．2∶1 D ．4∶13．若两个三角形相似，且它们的最大边分别为6c m 和8cm ，它们的周长之和为35cm ，则较小的三角形的周长为15cm ．4．在▱ABCD 中，BE ＝2AE ，若S △AEF ＝6，求S CDF .解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ＝AB ，DC ∥AB ，∴∠DCA ＝∠BAC ，又∵∠CFD ＝∠AFE ，∴△AFE ∽△CFD ，∵BE ＝2AE ，∴AE AB ＝13，∵CD ＝AB ，∴AE CD ＝13，∴S △AEF S △CDF ＝⎝⎛⎭⎫AE CD 2＝⎝⎛⎭⎫132＝19，∴S △CDF ＝9S △AEF＝9×6＝54.课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
相似多边形的周长比和面积比
第八节相似多边形的周长比和面积比第十课时●课题§相似多边形的性质（一）●教学目标（一）教学知识点相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.（二）能力训练要求1.经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似多边形的性质.2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.（三）情感与价值观要求1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.●教学重点1.相似三角形中对应线段比值的推导.2.运用相似三角形的性质解决实际问题.●教学难点相似三角形的性质的运用.●教学方法引导启发式●教具准备投影片两张第一张：（记作§ A ） 第二张：（记作§ B ） ●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.Ⅱ.新课讲解 1.做一做 投影片（§ A ）钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图4－38，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′，CD 和C ′D ′分别是它们的高.（1）B A AB '',C B BC '',CA AC''各等于多少？ （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比. （3）请你在图4－38中再找出一对相似三角形. （4）D C CD''等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.图4－38［生］解：（1）B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43（2）△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∵B A AB ''=C B BC ''=CA AC'' ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3∶4.（3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（△ADC ∽△A ′D ′C ′） ∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得 ∠B =∠B ′∵∠BCD =∠B ′C ′D ′∴△BCD ∽△B ′C ′D ′（同理△ADC ∽△A ′D ′C ′） （4）D C CD ''=43∵△BDC ∽△B ′D ′C ′ ∴D C CD ''= C B BC ''=432.议一议已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k .（1）如果CD 和C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD''等于多少？ （2）如果CD 和C ′D ′是它们的对应角平分线,那么D C CD''等于多少？如果CD 和C ′D ′是它们的对应中线呢？［师］请大家互相交流后写出过程.［生甲］从刚才的做一做中可知，若△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD ''=C B BC''=k . ［生乙］如4－39图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′分别是它们的对应角平分线，那么D C CD ''= CA AC''=k .图4－39∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴∠A =∠A ′,∠ACB =∠A ′C ′B ′∵CD 、C ′D ′分别是∠ACB 、∠A ′C ′B ′的角平分线. ∴∠ACD =∠A ′C ′D ′ ∴△ACD ∽△A ′C ′D ′ ∴D C CD''= CA AC''=k .［生丙］如图4－40中，CD 、C ′D ′分别是它们的对应中线，则D C CD ''= C A AC''=k .图4－40∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠A =∠A ′，CA AC ''=B A AB''=k .∵CD 、C ′D ′分别是中线∴D A AD ''=B A AB''2121=B A AB ''=k .∴△ACD ∽△A ′C ′D ′ ∴D C CD ''= C A AC''=k . 由此可知相似三角形还有以下性质.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. 3.例题讲解 投影片（§ B ）图4－41如图4－41所示，在等腰三角形ABC 中，底边BC =60 cm,高AD =40 cm ，四边形PQRS 是正方形.（1）△ASR 与△ABC 相似吗？为什么？ （2）求正方形PQRS 的边长. 解：（1）△ASR ∽△ABC ，理由是： 四边形PQRS 是正方形SR ∥BC（2）由（1）可知△ASR ∽△AB C.根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得BCSRAD AE =设正方形PQRS 的边长为x cm ，则AE =（40－x ）cm ， 所以Ⅲ.课堂练习如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？（都是4∶5）. Ⅳ.课时小结本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.Ⅴ.课后作业 习题.1.解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′,BD 和B ′D ′是它们的对应中线，且C A AC ''=23. ∴D B BD ''= C A AC ''=23∴234=BD ∴BD =62.解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′,AD 和A ′D ′是它们的对应角平分线，且AD =8 cm,A ′D ′=3 cm.∴D A AD ''= B A AB'', 设△ABC 与△A ′B ′C ′对应高为h 1,h 2. ∴B A AB ''=21h h∴21h h =D B A ABD '''=38. Ⅵ.活动与探索图4－42如图4－42，AD ，A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的角平分线，且B A AB ''=D B BD ''=DA AD '' 你认为△ABC ∽△A ′B ′C ′吗？ 解：△ABC ∽△A ′B ′C ′成立. ∵B A AB ''=D B BD ''=D A AD'' ∴△ABD ∽△A ′B ′D ′∴∠B =∠B ′,∠BAD =∠B ′A ′D ′ ∵∠BAC =2∠BAD ,∠B ′A ′C ′=2∠B ′A ′D ′ ∴∠BAC =∠B ′A ′C ′ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′●板书设计§ 相似多边形的性质（一）一、1.做一做2.议一议3.例题讲解二、课堂练习三、课时小节四、课后作业●备课资料如图4－43，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.图4－43（1）则图中有几对相似三角形.（2）若AD=9 cm,CD=6 cm,求BD.（3）若AB=25 cm,BC=15 cm,求BD.解：（1）∵CD⊥AB∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°在△ADC和△ACB中∠ADC=∠ACB=90°∠A=∠A∴△ADC∽△ACB同理可知，△CDB∽△ACB∴△ADC∽△CDB所以图中有三对相似三角形. （2）∵△ACD ∽△CBD∴BD CDCD AD =即BD669= ∴BD =4 （cm ） （3）∵△CBD ∽△ABC∴BC BDBA BC =. ∴152515BD = ∴BD =251515⨯=9 （cm ）.第十一课时●课 题§ 相似多边形的性质（二） ●教学目标 （一）教学知识点1.相似多边形的周长比，面积比与相似比的关系.2.相似多边形的周长比，面积比在实际中的应用. （二）能力训练要求1.经历探索相似多边形的性质的过程，培养学生的探索能力.2.利用相似多边形的性质解决实际问题训练学生的运用能力. （三）情感与价值观要求1.学生通过交流、归纳，总结相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.●教学重点1.相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导.2.运用相似多边形的比例关系解决实际问题.●教学难点相似多边形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.●教学方法引导启发式通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知识达到理解并掌握的目的.●教具准备投影片四张第一张：（记作§ A）第二张：（记作§ B）第三张：（记作§ C）第四张：（记作§ D）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.（让学生把数据写在黑板上）［师］同学们通过观察和计算来回答下列问题.1.两三角形是否相似.2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流. ［生］因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形.周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等. ［师］能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？ ［生］面积比与相似比的平方相等.［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题.Ⅱ.新课讲解 1.做一做 投影片（§ A ）图4－44在图4－44中，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为43. （1）请你写出图中所有成比例的线段.（2）△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？你是怎么做的？（3）△ABC 的面积如何表示？△A ′B ′C ′的面积呢？△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比是多少？与同伴交流.［生］（1）∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=D C CD ''=D B BD ''=D A AD ''=43. （2）43='''∆∆的周长的周长C B A ABC .∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43.∴CA CB B A ACBC AB l l C B A ABC ''+''+''++='''∆∆ =C A C B B A C A C B B A ''+''+''''+''+''434343 =43)(43=''+''+''''+''+''C A C B B A C A C B B A . （3）S △ABC =21AB ·C D. S △A ′B ′C ′=21A ′B ′·C ′D ′.∴2)43(2121=''⋅''=''⋅''⋅='''∆∆D C CD B A AB D C B A CDAB S S C B A ABC .2.想一想如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比分别是多少？［生］由上可知若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为k ，面积比为k 2.3.议一议 投影片（§ B ）.图4－45（1）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的周长比是多少？（2）连接相应的对角线A 1C 1，A 2C 2，所得的△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2相似吗？ △A 1C 1D 1与△A 2C 2D 2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？（3）设△A 1B 1C 1，△A 1C 1D 1，△A 2B 2C 2，△A 2C 2D 2的面积分别是,111C B A S ∆222222111,,D C A C B A D C A S S S ∆∆∆那么222111222111D C A D C A C B A C B A S S S S ∆∆∆∆=各是多少？（4）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的面积比是多少？ 如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？［生］解：（1）∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2.相似比为k .（2）△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2、△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比都为k . ∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2 ∴2211221122112211D A DA D C D C CBC B B A B A ===∠D 1A 1B 1=∠D 2A 2B 2,∠B 1=∠B 2. ∠B 1C 1D 1=∠B 2C 2D 2,∠D 1=∠D 2. 在△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2中 ∵22112211C B CB B A B A = ∠B 1=∠B 2. ∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2. ∴2211B A B A =k . 同理可知，△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比为k . （3）∵△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2.22222222222222)(k S S S S k D C A C B A D C A C B A =++∆∆∆∆照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论. 由此可知：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 4.做一做 投影片（§ C ）图4－46是某城市地图的一部分，比例尺为1∶100000.（1）设法求出图上环形快速路的总长度，并由此求出环形快速路的实际长度.（2）估计环形快速路所围成的区域的面积，你是怎样做的？与同伴交流.图4－46解：（1）量出图上距离约为20 cm，则实际长度约为20千米.（2）图上区域围成的面积约为 cm2.根据相似多边形面积的比等于相似比1∶100000的平方，则实际区域的面积约为平方千米.Ⅲ.随堂练习投影片（§ D）在设计图上，某城市中心有一个矩形广场，设计图的比例尺是1∶10000,图上矩形与实际矩形相似吗？如果相似，它们的相似比是多少？图上矩形与实际矩形的周长比是多少？面积比呢？答案：相似，相似比是1∶10000.周长比是1∶10000.面积比是1∶100002.Ⅳ.课时小结本节课我们重点研究了相似多边形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅴ.课后作业 习题预习位似图形的定义、性质. Ⅵ.活动与探究如图4－47已知，M 是□ABCD 的AB 边的中点，CM 交BD 于点E ，则图中阴影部分的面积与平行四边形ABCD 的面积比是多少？图4－47过程：这是一道综合性较高的题目，它考查了相似三角形的性质、面积计算及等积定理等，所以让学生进行讨论、总结，利用所学知识解决这个问题.讨论结果：作DN ⊥AB 于N ，过E 作GF ⊥AB 于F . ∵M 为AB 中点 ∴S △AMD =S △DMB =21S △ABD =41S □ABCD ∵S △MBD =S △MBC （同底等高的两个三角形面积相等）. ∴S △MBD －S △MBE =S △MBC －S △MBE 即S △DME =S △CBE因此图中阴影部分的面积与平行四边形的面积之比是31. ●板书设计§ 相似多边形的性质（二）一、1.做一做 2.想一想 3.议一议 4.做一做 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业●备课资料 参考例题［例1］如图４－48，在△ABC 中EF ∥BC 且EF =32BC =2 cm ， △AEF 的周长为10 cm ，求梯形BCFE 的周长.图4－48解：∵EF =32BC ∴32=BC EF ∵EF ∥BC ∴△AEF ∽△ABC32==∆∆BC EF ABC AEF 周长周长∴3210=∆周长ABC ∴△ABC 周长=15 （cm ）∴梯形BCF 的周长=△ABC 的周长－△AEF 的周长+2EF =15－10+4=9 （cm ） ［例2］如图4－49△ABC 中，DE ∥BC ，S △ADE ∶S △ABC =4∶9 （1）求AE ∶EC ; （2）求S △ADE ∶S △CDE .图4－49解：（1）∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC 又∵94=∆∆ABC ADE S S ∴32=AC AE ∴23=AE AC 21=-AE AE AC 即21=AE EC ∴AE ∶EC =2∶1（2）连结CD ，过D 作DH ⊥AC 交AC 于H122121==⋅⋅=∆∆CE AE DH CE DHAE S S CDEADE 参考练习如图4－50平行四边形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 交BD 于点F ，已知BE ∶EC =3∶1，S △FBE =18,求S △FDA .图4－50答案：32§ 相似多边形的周长比和面积比班级：_______ 姓名：_______一、请你填一填（1）若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB =4，BC =5，AC =6，△A ′B ′C ′的最大边长为15，那么它们的相似比是________,△A ′B ′C ′的周长是________.图4—8—1（2）两个相似三角形的相似比为2∶3，它们周长的差是25，那么较大三角形的周长是________.（3）如图4—8—1，在ABCD 中，延长AB 到E ，使BE =21AB ，延长CD 到F ，使DF =DC ，EF 交BC 于G ，交AD 于H ，则△BEG 与△CFG 的面积之比是________.（4）把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，那么边长应缩小到原来的________倍.二、认真选一选(1)如图4—8—2，把一个矩形纸片ABCD 沿AD 和BC 的中点连线EF 对折，要使矩形AEFB 与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（ ）∶1 B.3∶1 C.2∶1 ∶1图4—8—2 图4—8—3 (2)如图4—8—3，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，△ADE 和四边形BCED 的面积分别记为S 1、S 2，那么21S S 的值为（ ） A.21 B.41 C.31 D.32图4—8—4(3)如图4—8—4，在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，若S △CAD =3S △ABD ，则AB ∶AC 等于（ ）∶3 ∶4 ∶3 ∶2(4)顺次连结三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是（ ） ∶4 ∶3 ∶2 ∶2三、灵机一动！哇……某生活小区开辟了一块矩形绿草地，并画了甲、乙两张规划图，其比例尺分别为1∶200和1∶500，求这块矩形草地在甲、乙两张图纸上的面积比.四、用数学眼光看世界如图4—8—5，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC=12 cm，高AD=8 cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC 上，问这个正方形材料的边长是多少？图4—8—5参考答案2一、（1）2∶5 (2)75 (3)1∶16 (4)2二、（1）C (2)C (3)C (4)D三、解：设这块矩形绿地的面积为S ，在甲、乙两张规划图上的面积分别为S 1、S 2 则S S 1=（2001）2，SS 2=（5001）2 ∴S 1=40000S ，S 2=250000S ∴S 1∶S 2=40000S ∶250000S =41∶251=25∶4 即：这块草地在甲、乙两张图上的面积比为25∶4四、解：设这个正方形材料的边长为x cm则△PAN 的边PN 上的高为（8－x ） cm∵由已知得：△APN ∽△ABC ∴BC PN =AD x -8，即12x =88x -解得：x = 答：这个正方形材料的边长为 cm.。
周长比和面积比公式
周长比和面积比公式
面积比与周长比之间存在明显的数学关系。
在相似图形中，如果说两个图形的线性比（即边长比）是k，那么它们之间的周长比则为k:1，面积比则为k²:1。
从更具体的角度来解读，我们可以以正方形为例来看相关公式的具体应用。
假设我们有两个相似的正方形A和B，它们的边长分别设为a和b，显然，边长比就是a:b。
如果我们求解两个正方形的周长，则A的周长是4a，B的周长是4b，因此周长比就是4a:4b，即a:b，和边长比是一致的。
对于面积，A的面积是a²，B的面积是b²，所以面积比就是a²:b²，这与边长比的平方（即a²:b²）是一致的。
再以直径为r1和r2的两个圆为例。
如果r1:r2=k:1，那么这两个圆的周长比（即2πr1：2πr2）便是k:1，与直径比相同；同时它们的面积比（即πr1²：πr2²）就是k²:1，与直径比的平方相符。
从这些例子中，我们可以清楚地看出一种规律：在相似图形中，周长比总是等于边长比，而面积比则等于边长比的平方。
在解答题目或解决实际问题时，我们可以根据这个规律展开推理，进而得出结果。
周长比和面积比公式
周长比和面积比公式篇一：周长比和面积比公式是描述物体形状和大小的重要公式。
周长比指的是两个物体的周长之比,而面积比则指的是两个物体的面积之比。
这些公式可以帮助我们比较两个物体的大小和形状,帮助我们更好地理解物体的性质。
下面是周长比和面积比公式的正文和拓展:1. 周长比公式周长比指的是两个物体的周长之比,通常用符号C/C1表示,其中C为第一个物体的周长,C1为第二个物体的周长。
例如,如果两个物体的周长分别为40和45米,那么它们的周长比为40/45=8/9。
周长比公式可以用于比较两个物体的大小和形状。
例如,如果一个物体的周长比另一个物体的周长小,那么可能这个物体比另一个物体更小,或者它们的大小和形状相似。
如果一个物体的周长比另一个物体的周长大,那么可能这个物体比另一个物体更大,或者它们的大小和形状相似。
2. 面积比公式面积比指的是两个物体的面积之比,通常用符号A/A1表示,其中A为第一个物体的面积,A1为第二个物体的面积。
例如,如果两个物体的面积分别为30和25平方米,那么它们的面积比为30/25=8/5。
面积比公式可以用于比较两个物体的大小和形状。
例如,如果一个物体的面积比另一个物体的面积小,那么可能这个物体比另一个物体更小,或者它们的大小和形状相似。
如果一个物体的面积比另一个物体的面积大,那么可能这个物体比另一个物体更大,或者它们的大小和形状相似。
总之,周长比和面积比公式是描述物体形状和大小的重要公式,可以帮助我们比较两个物体的大小和形状,帮助我们更好地理解物体的性质。
篇二：周长比和面积比公式是衡量两个物体之间差异的重要工具,可以帮助我们比较不同物体的大小和形状。
以下是周长比和面积比公式的正文和拓展。
1. 周长比公式周长比是指两个物体的周长之比。
周长等于长加宽的两倍,因此周长比等于长与宽之比。
通常用符号C/C1表示,其中C为周长,C1为周长的第一个单位(例如,长或宽)。
例如,如果一个物体的周长为4英尺,而另一个物体的周长为3英尺,那么它们的周长比为1:1。
周长比和面积比公式
周长比和面积比公式篇一：周长比和面积比公式是数学中一个重要的概念，常常用于计算不同图形的面积和周长。
下面是它们的详细解释和拓展:1. 周长比公式两个形状相同的图形，它们的周长比等于它们的面积比。
公式为：周长比 = 面积比 x 2。
例如，如果两个图形的面积分别为 A 和 B，它们的周长分别为 C1 和 C2，则它们的周长比为 C1/C2 = A/B,而它们的面积比为A/B = C1/C2 x 2。
2. 面积比公式两个形状相同的图形，它们的面积比等于它们的周长比。
公式为：面积比 = 周长比 x 2。
例如，如果两个图形的周长分别为 C1 和 C2，它们的面积分别为 A1 和 A2，则它们的面积比为 A1/A2 = C1/C2 x 2。
周长比和面积比公式可以帮助我们比较不同形状的图形的大小，并且可以帮助我们计算出两个图形之间的相似度。
在实际应用中，它们常常用于图形设计、建筑设计、物理实验等领域。
篇二：周长比和面积比公式是数学中常用的两个比例公式，它们在某些情况下可以帮助我们更好地理解事物的比例关系。
下面是它们的具体内容:1. 周长比公式设两个几何图形 A 和 B，它们的周长分别为 C_A 和 C_B，则它们的周长比可以用以下公式表示:C_A / C_B = (A_A + A_B) / (B_A + B_B)其中，A_A 和 A_B 分别是两个几何图形 A 和 B 的边长，B_A 和 B_B 分别是两个几何图形 A 和 B 的底边。
这个公式告诉我们，两个几何图形的周长比等于它们的边长比加上它们的底边比。
这个公式可以帮助我们更好地理解为什么两个相似的几何图形的周长比会相等。
因为相似的几何图形具有相似的结构，所以它们的边长比和底边比也会相等，从而导致它们的周长比相等。
2. 面积比公式设两个几何图形 A 和 B，它们的面积分别为 A_A 和 A_B，则它们的面积比可以用以下公式表示:A_A / A_B = (A_A + A_B) / (B_A + B_B)其中，A_A 和 A_B 分别是两个几何图形 A 和 B 的面积，B_A 和 B_B 分别是两个几何图形 A 和 B 的底边。
相似三角形周长和面积比
相似三角形的周长比与面积比一．教学目标1、知识技能： 理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。
2、过程与方法：（1）通过探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，让学生经历动手实验——观察——思考——猜想——归纳探究的学习过程。
（2）在动手参与解决身边实际问题的过程中，增强主动探索、发现数学知识的意识，应用数学知识解决生活中实际问题的水平。
3、情感态度与价值观：在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，在学习过程中，培养学生独立思考、合作学习的水平，渗透数学当中的建模思想。
二．教学重点与难点重点：理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
难点：探索相似三角形的面积比等于相似比的平方，利用相似三角形的性质解决实际问题。
三．教学过程（一）设计问题，引入新课我们学校原计划在教学楼旁边设计一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，因为水泥路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，绿化地一边AB 的长由原来的20米缩短成12米，为了保证学校绿化总面积不变，这样就引出了一个问题：被削去的部分面积有多大？它的周长又是多少？（二）自主探究，发现新知1.分组猜想探究活动， 完成下列实验报告单目的：通过实验发现相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系。
《相似三角形的周长与面积》实验报告单C2．验证猜想，得出结论（同桌合作交流）探究一：如果两个三角形相似，它们的周长比是否等于相似比呢？如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k ，那么 ⇒AB BC CA k A B B C C A ===''''''⇒AB =kA ′B ',BC =kB 'C ',CA =kC 'A ' ⇒AB BC CA kA B kB C kC A k A B B C C A A B B C C A ++''+''+''==''+''+''''+''+''能够得到 相似三角形周长的比等于相似比。
面积比和周长比的计算
误区提示与纠正
1 2 3
误区一
认为面积比和周长比总是相等的。实际上，在相 似图形中，面积比等于周长比的平方，两者并不 相等。
误区二
在计算面积比或周长比时，忽略了单位的影响。 不同单位之间需要进行换算，确保计算结果的准 确性。
误区三
将面积比和周长比的概念混淆，导致在解题过程 中出现错误。需要明确两者的定义和计算方法， 避免混淆使用。
面积比公式
对于相似多边形，其面积比等于 各对应边长的平方之比。
相似多边形面积比
相似多边形性质
相似多边形的对应角相等，对应边长 之间的比值相等。
面积比与边长比关系
对于相似多边形，其面积比等于各对 应边长的平方之比。例如，如果两个 相似三角形的对应边长比为k，则它们 的面积比为k^2。
实际应用举例
土地面积比较
03
定义及公式
周长比定义
两个相似图形的周长之比，等于它们的相似比。
公式表示
若两个多边形相似，且相似比为k，则它们的周长之比也为k。即，若多边形A与多边形B相似，且相似比为k，则 有周长(A)/周长(B)=k。
相似多边形周长比
相似三角形周长比
对于两个相似三角形，其周长之比等于它们的相似比。例如，若两个相似三角 形的三边之比分别为3:4:5和6:8:10，则它们的周长之比为 (3+4+5):(6+8+10)=12:24=1:2。
预备知识
几何基础知识
了解点、线、面等几何元素及其性质，熟悉常见 几何图形的面积和周长计算公式。
比例和比例关系
理解比例的概念，掌握比例关系的性质和运算规 则。
代数运算
能够进行基本的代数运算，如加减乘除、分数运 算等。
命题两个全等三角形的面积比等于周长比的平方。
命题两个全等三角形的面积比等于周长比的平方。
两个全等三角形的面积比等于周长比的平方。
首先，让我们回顾一下三角形的基本知识。
三角形是由三个边和三个角组成的多边形。
三个角的和总是180度。
根据边的长短和角的大小，三角形可以分为很多种类，比如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等等。
此外，还有一个重要的概念，那就是全等三角形。
全等三角形指的是具有相同形状和大小的两个三角形。
也就是说，它们的三个角分别相等，并且对应的边的长度也相等。
如果用符号来表示，我们可以用“≌”来表示全等，例如∆ABC≌∆DEF表示三角形ABC全等于三角形DEF。
现在让我们来证明命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方”。
设两个全等三角形的边长分别为a，b，c和d，e，f，对应的角度为A，B，C和D，E，F。
根据全等三角形的定义，我们可以得到以下几个等式：1. a = d，b = e，c = f（三角形的对应边相等）2. A = D，B = E，C = F（三角形的对应角相等）接下来，我们可以利用这些等式来推导两个全等三角形的面积和周长之间的关系。
首先，让我们计算一个全等三角形的面积和周长。
根据海伦公式，三角形的面积可以表示为：S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中p为三角形的半周长，p = (a + b + c)/2。
三角形的周长可以表示为：L = a + b + c。
在这个全等三角形中，我们可以将面积和周长的关系表示为：S1 = k(L1)^2，其中k为比例系数。
同样地，对于另一个全等三角形，我们也可以得到：S2 =k(L2)^2。
由于两个全等三角形的面积相等，我们有：S1 = S2。
将上面两个等式代入，我们可以得到：k(L1)^2 = k(L2)^2。
消去k，并且将L1和L2进行表达式代换，我们可以得出：(L1/a)^2 = (L2/d)^2。
由于两个三角形的对应边相等，我们有：L1/a = L2/d。
将上面两个等式代入，我们可以得到：(L1/a)^2 = (L2/d)^2 = 1。
周长比和面积比公式
周长比和面积比公式篇一：周长比和面积比公式是衡量两个物体之间比较大小的重要指标。
在物理学和工程学中,这两个指标经常被用于描述物体的性质和特性。
周长比指的是两个物体的周长之比,通常用C/S表示,其中C为两个物体的周长,S为两个物体的面积。
例如,如果一个物体的周长为4米,另一个物体的周长为6米,那么它们的周长比为4:6。
这个比例可以用来比较两个物体的大小和形状,并确定它们是否应该进行不同的处理。
面积比指的是两个物体的面积之比,通常用A/S表示,其中A为两个物体的面积。
例如,如果一个物体的面积为2平方米,另一个物体的面积为3平方米,那么它们的面积比为2:3。
这个比例可以用来比较两个物体的大小和形状,并确定它们是否应该进行不同的处理。
除了周长比和面积比之外,还有一些其他的比较大小的方法。
例如,可以使用体积比来表示两个物体的体积之比,使用重量比来表示两个物体的重量之比,使用电阻比来表示两个电阻的电压之比等等。
这些方法可以更加全面地比较两个物体的大小和特性。
在实际应用中,周长比和面积比公式可以帮助工程师和物理学家比较不同物体之间的大小和形状,并根据需要进行调整和优化。
这些公式也可以用于设计和优化物体的结构和维护物体的性能。
篇二：周长比和面积比公式是描述物体长度、宽度或体积之间关系的数学公式。
在几何学和物理学中,这些公式经常被用于计算不同形状物体的长度比和面积比。
下面是周长比和面积比公式的一些例子:1. 周长比公式:周长比(周长与面积之比)可以表示为:C/A = L/S其中,C表示周长,A表示面积,L表示长度,S表示面积。
例如,对于一个长为2米,宽为1.5米的矩形,它的面积为2 × 1.5 = 3平方米。
那么它的周长C为2米 + 1.5米 = 3.5米。
将周长比C/A表示为3.5/3 = 1.5,这意味着这个矩形的周长比它的面积1.5:3。
2. 面积比公式:面积比(面积与长度之比)可以表示为:A/L例如,对于一个长为1米,宽为0.5米的长方体,它的面积为1 × 0.5 = 0.5平方米。
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相似三角形周长的比等于相似比。 相似多边形周长的比等于相似比。
想一想 三角形中，除了角和边外，还有三种主要线段：
高线，角平分线， 中线
高线
角平分线
中线
思 考 相似三角形的相似比与对应边上高线比有什么 关系？ 例如： ΔABC∽ΔA/B/C/ ，AD BC于 D，
A / D / B / C /于D / ， 求证： AD AB k A' D ' A' B '
解：在△ABC和△DEF中，
∵AB=2DE，AC=2DF， DE DF 1 ∴ AB AC 2 又∠D=∠A， ∴△DEF∽△ABC，相似比为
A
D B C
E
F
1 ∴△DEF的周长为 ×24=12 2 2 1 面积为 ( ) 12 5 3 2
1 2
5
例2、如图,在△ABC中,D是AB的中点， DE∥BC则:
①相似三角形面积的比等于相似比的平方.
（2）如图，四边ABCD相似于四边形A/B/C/ D /， 相似比为k，它们的面积比是多少？
A D B
A/
D/ B/ C/
C
②相似多边形面积的比等于相似比的平方.
知识归纳
相似三角形(多边形)的性质:
（1）相似三角形对应的 中线 高线 比等于相似比. 角平分线 三角形 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形 三角形 （3）相似 面积的比等于相似比的平方. 多边形
D
C
F A E B
1、如图,在△ABC中，点D、E分别是AB、AC 的中点。 (1)找出图中的各对相似三角形； (2)各对相似三角形的相似比 分别是多少？面积的比呢？ (3)若S△DOE=1cm2,求 S△OBC ,S△OEC 和S△ABC.
B D A
E
O
C
2.如图， ABCD中，E为AD的中点，若 S ABCD=1，则图中阴影部分的面积为（ B ）
温故知新
（1）相似三角形有哪些判定方法？
定义，平行定理，(SSS)，(SAS)，(AA)，
（2）相似三角形有什么性质？ 对应角相等，
对应边成比例； （3）相似三角形的对应边的比叫什么？ 相似比
（4） ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似 比为k,则
1 ΔA/B/C/ 与ΔABC的相 似比是多少？ k
探一探
如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？ 两个相似多边形呢？
AB BC CA k A`B` B`C ` C `A`
A/ A B C
AB k A`B` BC k B`C ` CA k C `A`
B/
C/
lABC AB BA CA kA`B`kB`C `kC`A` k lA`B`C ` A`B` B`C `C `A` A`B` B`C `C `A`
(1)S △ADE : S △ABC = (2)S △ADE: S 梯形DBCE =
1:4 1:3 A
D
E
B
C
议一议：本节课你学到了什么？ 中线 高线 比等于相似比. 角平分线 三角形 （2）方. 多边形
（1）相似三角形对应的
△AFG与△ABC的
2: 3 相似比是_______.
F B
D
E G
C
7、△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE和△EFC的面积分别为4和9，求 △ABC的面积。
8、如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2， 求△AEF与△CDF周长的比。如果S△AEF=6 cm2, 求S△CDF？
比，中线之比，
都等于相似比。
中线
中线
探一探 （1）如图ΔABC∽ΔA/B/C/ ，相似比为k，它们 的面积比是多少？ A
A/
AB BC CA AD k A`B` B`C ` C `A` A`D`
B
D
C
B/
D/ C/
S ABC S A`B `C `
1 BC AD 2 k k k2 1 B`C ` A`D` 2
A
A/
证明：∵△ABC∽△A′B′C′ B C B/ D/ C/ D ∴∠B=∠B′ 又∵AD、A′D′是高线 ∴∠ADB=∠A′D′B′=90° ①相似三角形的对应高 ∴△ABD∽△A′B′D′
∴ AD ___ A′D′
=
AB ___ A′B′
=
K
线之比等于相似比。
角平分线
角平分 线
②相似三角形的 对应角平分线之
1 A、 3
B、
1 C、 5
E F
1 D、 6
D
1 8
A
B
C
3.如图，S□ABCD=2008cm2，点E是平行四边形ABCD
1 BE AB 4 的边AB的延长线上一点，且 ，那么
S△BEF = .
D C
F A B E
如图，△ABC是一块锐角三角形余料， 边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加 工成正方形零件，使正方形的一边在BC上， 其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方 形零件的边长是多少？
6、如图，△ABC,DE//BC，且△ADE的面 积 等于梯形BCED的面积，则△ADE与△ABC 1: 2 A 的 相似比是_______
D B
E
C
*6、如图，△ABC,DE// FG// BC ，且△ADE的面积, 梯形FBCG的面积,梯形DFGE的面积均相等，则 △ADE与△ABC的 A
1: 3 相似比是_______；
练 一 练 （1）已知ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似比为2：3， 则周长比为 2：3 ，对应边上中线之比 2：3 ，
面积之比为 4：9 。
（2）已知ΔABC∽ΔA/B/C/，且面积之比为9：4， 则周长之比为 3： 2 ，相似比 3：2 ，对应边上的
高线之比 3：2 。
例题讲解 例1、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE， AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是24， 面积是 ，求ΔDEF的周长和面积。 12 5
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的 A 高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边 长为x毫米。 E N P ∵PN∥BC ∴△APN∽ △ABC AE PN = ∴ C B AD BC Q D M 80–x x = 因此 ，得 x=48（毫米）。答：----。 80 120