高考第三章 三角函数、解三角形 1718版 第3章 第3节 课时分层训练18

课时分层训练(十八) 三角函数的图像与性质

A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、选择题 1．函数y ＝cos x －3

2的定义域为( )

A.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡

⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡

⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R

C [由cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π

6，k ∈Z .] 2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π8＝( )

【导学号：66482152】

A ．1

B ．1

2 C ．－1

D ．－12

A [由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪

⎫2×π8＋π4＝sin π

2＝1.]

3．(2015·四川高考)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x ＋π2

B ．y ＝cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π2

C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x

D ．y ＝sin x ＋cos x

B [A 项，y ＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合

题意；

B 项，y ＝cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；

C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函

数，不符合题意；

D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，

不符合题意．]

4．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *

)图像的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最

小值为( )

【导学号：66482153】

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

B [由题意知πω6＋π6＝k π＋π

2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B.]

5．(2017·重庆二次适应性测试)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)的图

像相邻两个对称中心之间的距离为π

2，则f (x )的一个递增区间为( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫

－π3，π6

C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6，2π3 D ．⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3，5π6

A [依题意得f (x )＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫ωx －π6的图像相邻两个对称中

心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π6.当2k π－π2

≤2x －π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6递增．因此结合各选项知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的一个递增区间为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－π6，π3，故选A.]

二、填空题

6．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________．

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) [由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x,2k π＋π2≤2x ≤2k π＋

3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π

4(k ∈Z )．]

7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π6－x ，则f

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π6的值为________． 2或－2 [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π6－x ，

∴x ＝π

6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴， ∴f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6＝±2.]

8．函数y ＝tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是________．

⎝ ⎛⎭⎪⎫

k π2－π8，0，k ∈Z [由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )，

∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫

k π2－π8，0，k ∈Z .]

三、解答题

9．(2016·北京高考)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值； (2)求f (x )的递增区间．

[解] (1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2ωx ＋π4，

所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝π

ω. 4分 依题意，得π

ω＝π，解得ω＝1. 6分 (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x ＋π4.

函数y ＝sin x 的递增区间为⎣⎢⎡

⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ). 8分 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π

2(k ∈Z )， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π

8(k ∈Z )．

所以f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ). 12分 10．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；

(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡

⎦

⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．

[解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x ·cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x ＋π4＋1，3分

所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π

2＝π. 6分 (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x ＋π4＋1. 7分

当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤

π4，5π4上的图像

知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π

8时，f (x )取最大值2＋1；9分

当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0. 12分

B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)

1．(2017·郑州二次质量预测)将函数f (x )＝－cos 2x 的图像向右平移π

4个单位