2013暑期高一第5讲 指数与指数函数.目标班

当前形势函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查5～15分高考要求内容要求层次具体要求A B C有理数指数幂的含义√理解有理指数幂的含义实数指数幂的含义√通过具体实例了解实数指数幂的意义幂的运算√掌握幂的运算指数函数的概念及其性质√通过具体实例（如，细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景;理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点;在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型北京高考解读2008年2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）第2题5分第13题5分第3题5分第13题5分第6题5分第14题5分第6题5分第8题5分第13题5分第14题5分新课标剖析满分晋级第5讲函数4级函数的奇偶性函数5级指数与指数函数函数6级对数及其运算指数与指数函数指数引入在初中的时候我们学习了一些特殊的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数，而且根据前几节课的学习，我们能够把这些函数的性质更完整的表述出来.那在高中我们又会学习哪些特殊的函数呢？这些函数具有什么样的性质呢？就是今天包括后边几天我们要学习的内容.今天我们先学习一个指数函数，其实这个函数我们在初中就接触过，比如22，32等，只不过当时我们没有给它规定具体的名字，那在高中阶段我们将给它取个具体的名字，就跟每个人都要有自己的名字一样.那在讲指数之前我们先来看一个有趣的故事：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王觉得这事挺好办，欣然同意．计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒，第三格内放4粒，，还没有到第二十格，一袋麦子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一倍接一倍飞快增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑换不了他对西萨的诺言.这到底有多少粒小麦呢，我们可以估算一下：方格中有的小麦数依次为：631248162，，，，，，，最后一格中有632粒小麦，1032102410=≈，6018210≈，也就是百亿亿，那6360282=⨯就是八百亿亿．这还不包括前面63个格子的．其中，我们归纳一下求个和，知道小麦数一共是6421-，大约是一千六百亿亿．这大概是全世界两千年所产的小麦的总和．再直观一点，给这么多小麦建一个宽四米，高四米的粮仓，这个粮仓可以绕地球赤道7500圈．如果把这些小麦堆放在一间教室（16平）里，堆到太阳上，也才堆了一半！这个故事一定会让你吃惊，开始微不足道的数字，两倍两倍的增长，会变得这么巨大！事实的确如此，因为国王碰到了“指数爆炸”.一种事物如果成倍成倍地增大（如222⨯⨯⨯），则它是以指数形式增大，这种增大的速度就像“大爆炸”一样，非常惊人.那么到底什么是指数函数呢？指数函数具有哪些的性质？我们先来看一下指数幂.1．整数指数在初中我们就学过正整数指数幂，如2a ，3a 等，并且我们也知道235a a a ⋅=，32a a a=，那么在这些整指数幂中a 叫做什么？23，又叫做什么呢？它的运算法则又是什么呢？下面我们就来具体回忆一下正整数指数幂.⑴ 正整数指数幂：n n a a a a =⋅⋅⋅个，是n 个a 连乘的缩写（N n +∈），n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂．5.1指数与指数幂的运算知识点睛⑵ 正整数指数幂的运算法则： ① mnm na a a+⋅=；②()m nmna a =；③(,0)mm n n a a m n a a-=>≠；④()m m m ab a b =【整数指数幂引入】刚刚我们说的正整数指数幂要求指数必须是正整数，但是我们的数系不仅仅是正整数，我们现在学到的最大数系是实数，等到我们上高二的时候我们还会把实数扩大到复数，所以万一某一天我们遇到的指数幂的指数不是正整数，而是负整数、分数那我们应该怎么办呢？所以我们先来取消法则③中m n >的限制，则正整数指数幂就推广到整数幂.例如，当0a ≠时，有33303a a a a-==，33525a a a a --==，这些结果不能用正整数幂的定义来解释.但我们知道，331a a =，3521a a a =.这就启示我们，如果规定02211a a a -==，，则上述运算就合理了.于是，我们得出如下的整数指数幂：⑶ 整数指数幂：01(0)a a =≠，1(0,)n na a n a -+=≠∈N ．【教师备案】①如此规定的零指数幂和负整数指数幂，就把正整数指数幂推广到整数指数幂，并且正整数指数幂的运算法则对整数指数幂运算仍然成立.②对于整数指数幂的要求是“底数不等于0”.为什么底数不等于0，因为分母不等 于0③老师可以给学生举一些小例子，例如，081=；()081-=；()()01a b a b -=≠；3311010-=；6611164121642-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭；()()333312208x x x x ---==≠； 2364246x x r r r x ---⎛⎫== ⎪⎝⎭；40.000110-=；22212a a b c b c --=我们已经把正整数指数幂成功的引申到整数指数幂了，那由整数指数幂到分数指数幂又有什么样的变化呢？分数指数幂具有什么样的运算性质呢？我们来看一下分数指数幂：2．分数指数在讲分数指数幂之前我们先来看一下初中就学过的一个东西——根式： ⑴根式① n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(,1,)a n n +∈>∈R N ，那么x 叫做a 的n 次方根． ② 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算．ⅰ）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时，a 的nⅱ）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n 次方根分0)a >．③ 正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．负数没有偶次方根．0的任何次方根都是00．④n 叫做根指数，a 叫做被开方数．【根式性质引入】根式具有什么样的性质呢？比如n么？下面我们来举几个例子说明一下：1.n是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值范围由n 的奇偶性来决定：①当n 为大于1的奇数时，a ∈R .例如，327=，532=-，70=；②当n 为大于1的偶数时，0a ≥.例如，427=，23=，60=；若0a <，式子n无意义，例如，2，4均无意义，也就不能说它们的值了.因此只要n有意义，其值恒等于a ，即na =n a 的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶性限制，a ∈R .但是这个式子的值受n 的奇偶性限制：①当n 为大于1的奇数时，其值为a a =2=-，6.1；②当n 为大于1的偶数时，其值为a a .3，33-=.由此当n a =；当n 0||0a a a a a ⎧=⎨-<⎩，≥，所以，我们得到根式具有如下的性质：⑤ 根式具有的性质：()1n a n n +=>∈N ，且；当n n 0||0a a a a a ⎧==⎨-<，≥，．【分数指数幂引入】下面我们再来看一下分数指数幂.例如，311333a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭，()2233233a a a ⨯==.显然，这些运算都不能用整数指数幂的定义来解释.但是如果规定13a ，23a =. 为避免讨论，如不特别说明，我们约定底数0a >，于是分数指数幂定义为：⑵ 分数指数幂① 正分数指数幂：)10na a =>；0,,,)m m nma a n m n+==>∈N 且为既约分数． ② 负分数指数幂：1(0,,,)m nm nmaa n m na-+=>∈N 且为既约分数⑶ 整数指数幂推广到有理指数幂，有理指数幂的运算法则： ① (0)r s r s a a a a r s +=>∈Q ，，； ② (0)s rs r a a a a r s ==>∈Q ，，；③ ()(00)ab a b a b r =>>∈Q ，，【教师备案】①整数指数幂的运算性质，比如()k n kn a a =，对分数指数幂仍然适用.注意讲解时，由学生熟悉的整数指数幂的概念性质逐渐推广到有理数指数幂，让学生知道新的概念与法则与已有的概念与法则是相容的．②分数指数幂是学生新接触的一个概念，所以在讲完分数指数幂后一定要给学生举几个例子，例如，2212338824⎛⎫=== ⎪⎝⎭；55151123222--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；332322933125255527---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；3232155588888+⨯===；111111123623623333339+++⨯⨯⨯===；33322113233444a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；22111111222222a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；2111122222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭.【无理指数幂引入】通过上面分数指数幂的学习，我们将指数的取值范围由整数推广到了有理数，那么当指数是无理数时，我们又应当如何理解它？比如．在这里还不能给出无理指数幂严格的定义，只有一个感性的认识和相关结论．通过下面的分析让学生体会“用有理数逼近无理数”的思想，感受“逼近”的过程．观察（课件中“无理指数幂引入”中有下图）：由上表不难发现：的近似值从大于的方向逼近；时，的近似值从小于的方向逼近；所以我们得到如下的无理指数幂：3．无理数指数幂⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．⑶ 一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对实数指数幂，上述有理指数幂的运算法则仍然成立【教师备案】建议老师把指数幂按照由正整数指数幂到无理指数幂按顺序讲完，讲完以后就可以让学生做例1和例2，例1主要是进行简单的根式与幂运算.学生会很快做完，但是学生很容易出现计算上的错误，所以老师一定要强调让学生细心算.例2是对指数幂进行化简与求值，难度高于例1，其主要目的还是要锻炼学生熟练掌握指数幂运算法则.考点1：利用分数指数幂进行根式与幂运算 【例1】 ⑴细心算一算①_______；②=________； ③=_______；④=_________（其中a b <）；⑤=__________；⑥ 238=_______；⑦ 1225-=________；⑧ 341681-⎛⎫= ⎪⎝⎭______________．⑵计算下列各式①2a ②0)a > ③111344213243(,0)6a a b a b a b ---⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭>-. 【解析】 ⑴ ①5-； ②3； ③5； ④b a -； ⑤ 2π6-．⑥4；⑦15； ⑧278.⑵ ① 83a ； ②1；③ 132ab ．考点2：化简与求值问题 【例2】 ⑴若1002x =，105y =，则2x y +的值为（ ） A ．3 B.2 C.1 D.0⑵已知11223a a -+=，求1a a -+，22a a -+，33a a -+的值.⑶化简：()111122221112333300a a b a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>>⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 【解析】 ⑴C⑵17a a -+=；2247a a -+=；33322a a -+=⑶1133a a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭经典精讲【备选()21x y +-，则1yx 的值为 ．【解析】827a 的取值范围是（ ）A ．a ∈RB ．12a =C ．12a > D ．12a ≤【解析】D，所以老师在讲不一定等于a 一样.指数幂我们已经非常清楚了，那到底什么是指数函数呢？所以下边我们来看一下指数函数以及它具有的性质：我们先来看一下指数函数的定义： 考点3：指数函数的定义我们规定如下的函数为基本初等函数：⑴ 常值函数（也称常数函数）y c =（其中c 为常数） ⑵ 指数函数 x y a =(0,1)a a >≠且 ⑶ 对数函数 log a y x =(0,1)a a >≠且 ⑷ 幂函数 y x α=（α∈R ）⑸ 三角函数：（其中包括六种三角函数：正弦，余弦，正切，余切，正割，余割）⑹ 反三角函数：（其中包括四种反三角函数：反正弦，反余弦，反正切，反余切；关于反正割，反余割一般不用．注意：反三角函数目前高考中不考．）所谓初等函数就是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而成的函数．既然我们说指数函数就是基本初等函数，所以我们就来看一下指数函数：指数函数：一般地，函数x y a =(0a >且1a ≠，)x ∈R 叫做指数函数.在指数函数中我们要注意以下3点：知识点睛5.2指数函数及其性质【注意】1.在这个函数中，自变量x 出现在指数的位置上. 2.底数a 是一个大于0且不等于1的常量.3.指数函数的形式必须是纯粹的.【教师备案】1.指数函数中为什么规定底数0a >且1a ≠？①若0a <，则对于x 的某些数值，可使x a 无意义.如()2x-，当1124x =，，等等，在实数范围内函数无意义 ②若0a =，则当0x >时，0x a =；当0x ≤时，x a 无意义③若1a =，则对于任何x ∈R ，x a 是一个常量1，没有研究的必要性为了避免上述各种情况，所以规定0a >且1a ≠，这样对于任何x ∈R ，x a 都有意义 2.为什么函数的形式必须是纯粹的，不能为x q y ba c +=+（其中q b c ，，是常数，0a >且1a ≠）？紧扣指数函数的定义来分析.指数函数的定义：一般地，函数x y a =(0a >且1a ≠，)x ∈R 叫做指数函数.则指数函数的解析式x y a =中x a 的系数是1且指数位置仅有自变量x ，而函数x q y ba c +=+的解析式不符合指数函数解析式的这些特征，故不是指数函数.例如，121232xx x ++⋅，，都不是指数函数，但2x -是指数函数，因为122xx-⎛⎫= ⎪⎝⎭【教师备案】老师在讲完指数函数并给学生强调指数函数应该注意的问题后就可以让学生做例3了.例3主要就是判断是否为指数函数和如果是指数函数求参数的值.【例3】 ⑴指出下列函数中哪些是指数函数①6x y =；②4y x =；③4x y =-；④()4xy =-；⑤28x y =⋅；⑥24x y =； ⑦()21xy a =-（12a >且1a ≠，a 为常数） ⑵①函数3x y m =⋅（m 是常数）是指数函数，则m = ．②函数12x y a +=（a 是常数）是指数函数，则a = ．③函数()243xy a a =-（a 是常数）是指数函数，则a 的取值范围为 ．【解析】 ⑴①⑦⑵①1m =；②12a =；③()113011444⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∪，∪，∪，现在我们已经知道了什么是指数函数，那指数函数的图象又怎么画呢？所以接下来我们来看一下指数函数的图象：考点4：指数函数的图象与性质指数函数图象与性质：知识点睛经典精讲【教师备案】上图是一个总的图，老师可以按照下边的方法一个一个拆分讲解，并且为了建立更直观的感觉，可以让学生自己动手画函数的图象，如：①先画()2xf x=，从这个图象上让学生体会指数函数的增长速度特别快.老师可以举个例子，如在讲义开始的那个象棋问题，刚开始第1个格子放1粒麦子，到第64格就放了632粒麦子，总共所有的格一共放了641921 1.610-≈⨯粒麦子，可见增长的速度相当快；如果学生认为642这个数不大，老师可以再举个汉诺塔的例子，一位数学家曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针.印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔.不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面.僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽.不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序.这需要多少次移动呢?这里需要递推的方法.假设有n片，移动次数是()f n.显然()11f=，()23f=，()37f=，.此后不难证明()21nf n=-.64n=时，()64642118446744073709551615f=-=，假如每秒钟移动一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下，1844674407370955161531556952584554049253.855=年.这表明移完这些金片需要5845亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年.真的过了5845亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭.所以说642是个很庞大的数，所以我们会发现这条曲线后面的增长会越来越快.并且从图象上看出函数的定义域为R，值域为()0+∞，，且过定点()01，.②让学生再画一个()3x g x =比较这两个图象.可以发现，当1a >时，a 越大，第一象限图象离x 轴越远．③由②的结论老师可以提问，若01a <<，则图象应该则么样？那我们可以先取个函数()12xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭试试观察发现，2x与12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，所以13x⎛⎫⎪⎝⎭与3x 的图象也关于y 轴对称，如图，所以当01a <<时，a 越大，第一象限图象离x 轴越远.老师按照上面的方式讲完指数函数的图象之后，就可以让学生做下面的练习：1C ，2C ，3C ，4C 是指数函数3x，πx，25x⎛⎫⎪⎝⎭，0.7x 的图象，则1C ，2C ，3C ，4C 分别代表哪个指数函数？【解析】 由图象可以直接看出1:3xC ，2:πxC ，3:0.7xC ，42:5xC ⎛⎫⎪⎝⎭或者也可以作直线1x =，则与四条曲线的交点就是指数函数的底数.【教师备案】做完上边的练习之后，就可以进一步得出：①所有的指数函数分为两类：1a >和01a <<②指数函数的单调性：1a >时，是增函数；01a <<时，是减函数，而且a 越大，第一象限的图象离x 轴越远 ③指数函数的奇偶性：非奇非偶【教师备案】老师在讲完指数函数的图象并让学生做了上边的练习之后，就可以让学会做下边的例4，例4主要考察指数函数的图象.例4①与前边的练习一样，例4②主要考察讨论底数范围，例4③虽然乍看一眼有点难，但是读完题之后就比较简单了，尤其画完图象之后就更简单xh x (1x了.【例4】 ⑴曲线1C ，2C ，3C ，4C 分别是指数函数1x y a =，2x y b =，3x y c =，4x y d =的图象，判断a ，b ，c ，d ，1 的大小关系是 ． ⑵函数()x f x a =与()g x ax a =-的图象大致是（ ）ABCD⑶用{}min a b c ，，表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设{}()min 2210xf x x x =+-，，(0)x ≥，则()f x 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 ⑴1b a d c <<<<．⑵ C ⑶ C我们在上边的讲解中都一直在强调指数函数的图象，所以我们要在直观上认清图象，比如：根据图象要会求指数函数在不同区间上的值域问题，即例5，根据图象要能够判断两个幂的大小，即例6.下面我们先来看一下区间上的值域问题，即例5： 考点5：区间上的值域问题【例5】 ⑴已知函数()2x f x =，①当()0x ∈+∞，时，函数值域为____________；②当(]2x ∈-∞，时，函数值域为____________；③当(]13x ∈-，时，函数值域为____________.⑵已知函数1()3xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，①当(]1x ∈-∞，时，函数值域为_____________； ②当()2x ∈+∞，时，函数值域为______________；③当[)21x ∈-，时，函数值域为______________； 【解析】 ⑴ ①()1+∞，；②(]04，；③182⎛⎤ ⎥⎝⎦，. ⑵ ①13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，；②109⎛⎫ ⎪⎝⎭，；③193⎛⎤⎥⎝⎦，.下面我们再来看一下幂的比较大小：经典精讲考点6：幂的比较大小如果给咱们两个幂，比如13与23，这时你肯定知道谁大谁小，但是你并不是根据指数函数得出的，那对于一个一般的幂我们应该如何比较大小呢？老师就可以把下边的铺垫给学生讲解一下，并由铺垫得出对于底相同指不同应该如何比较大小，对于底不同指相同应该如何比较大小，对于底、指都不相同又应该如何比较大小.讲完铺垫以后，就可以让学生自己做一下例6了.【铺垫】比较下列各题中两个值的大小①0.53-，0.63-；②0.53-，0.5π-；③π0.5，0.5π【解析】 ①0.50.633-->；②0.50.53π-->③π0.50.5π<【方法总结】幂的大小比较的方法比较大小常用方法有：⑴比差（商）法：⑵函数单调性法；⑶中间值法：要比较A 与B 的大小，先找一个中间值C ，再比较A 与C 、B 与C 的大小，由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小.在比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：⑴ 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断． ⑵ 对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断或第8讲中幂函数的单调性来判断．⑶ 对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较．⑷ 对于三个（或三个以上）数的大小比较，则应根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可．【例6】 ⑴比较下列各题中两个值的大小：① 2.51.7，31.7；② 0.10.8-，0.20.8-； ③ 0.31.7， 3.10.9，④0.31.7-， 3.10.9-． ⑵设232555322555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【解析】 ⑴ ① 2.51.7<31.7；②0.10.8-<0.20.8-；③0.31.7> 3.10.9，④0.31.7-< 3.10.9-．⑵ A在前边我们已经讲了复合函数，那与指数相关的复合函数是什么样子的呢?这样的复合函数的性质又是什么样子的？所以本讲只讲外层是指数函数的复合函数，对于内层是指数函数的复合函数我们将在同步的时候再具体讲解.考点7：与指数函数相关的复合函数的定义域、值域及单调性问题老师可以用下边的铺垫给学生讲一下外层是指数函数的复合函数的性质，讲完性质后就可以让学生做例7了.【铺垫】求下列函数的定义域、值域和单调区间．⑴23x y +=；⑵12y ⎛= ⎪⎝⎭；⑶2453xx y -+=；⑷2122x x y +-=【解析】 ⑴ 定义域为R ；值域为()0+∞，；单调增区间为R⑵ 定义域为[)1+∞，；值域为(]01，；单调减区间为[)1+∞， ⑶ 定义域为R ；值域为[)3+∞，；单调增区间为[)2+∞，，单调减区间为(]2-∞， ⑷定义域为R ；值域为(]04，；单调增区间为(]1-∞，，单调减区间为[)1+∞，【例7】求下列函数的定义域、值域和单调区间．⑴ 112x y -= ； ⑵ 3xy -=；⑶12y ⎛= ⎪⎝⎭；⑷12y ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】 ⑴ 定义域为{},1x x x ∈≠R 且；值域为{}0,1y y y >≠且；单调减区间为(1)-∞，和(1+)∞，⑵ 定义域为R ；值域为(]0,1；单调增区间为(]0-∞，，单调减区间为[)0+∞， ⑶ 定义域为[]31-，；值域为114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；单调增区间为[]11-，，单调减区间为[]31--， ⑷ 定义域为(][)24-∞+∞，∪，；值域为[)1+∞，；单调增区间为[)4+∞，， 单调减区间为(]2-∞，经典精讲5.3 指数函数性质的应用【演练1】等于（ ）A .23x -B .32x -C .()23x ±-D .23232233x x x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，≥， 【解析】 D【演练2】下列函数：①23x y =；②6x y =；③23x y +=；④62x y =⋅；⑤81x y =+；⑥6x y =-.其中一定为指数函数的有（ ）A ．0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【解析】 B【演练3】设0.914y =，0.4828y =， 1.5312y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A .312y y y >>B .213y y y >>C .123y y y >>D .132y y y >>【解析】 D【演练4】如图若曲线1C ，2C ，3C ，4C 是指数函数5x ，4.7x ，45x⎛⎫⎪⎝⎭，0.9x 的图象，则1C ，2C ，3C ，4C 分别代表哪个指数函数？ 【解析】1:4.7x C ，2:5x C ，3:0.9x C ， 44:5xC ⎛⎫⎪⎝⎭【演练5】函数228113x x y --+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是________．【解析】 [)2-+∞，．⑴0(0)a a ≠=___ ；⑵(0,)n a a n -+≠∈=N ____；⑶()1n n n +>∈=N ，且_____； =______________；⑸()10na a >=_______；⑹(0,,)m naa n m +>∈=N _____________；⑺(0,,)=m na a n m -+>∈N ___________；⑻(0Q)r s a a a r s >∈=，，______________；⑼()(0Q)rs a a r s >∈=，，______________；⑽()(00Q)r ab a b r >>∈=，，______________． ⑾概念要点回顾实战演练答案：⑴1；⑵1na；⑶a；⑷当n a；当n||a aaa a⎧==⎨-<⎩，≥，．；⑻r sa+；⑼rs a；⑽r ra b⑾。