第5讲指数与指数函数(学生版)

第5讲 指数与指数函数

1. 化简[(－2)6]12

－(－1)0的结果为( )

A ．－9

B ．7

C ．－10

D ．9

2. 设x ＋x －1＝3，则x 2＋x －

2的值为( )

A ．9

B ．7

C ．5

D ．3

3．函数f (x )＝a x －

1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )

A ．y ＝1－x

B ．y ＝|x －2|

C ．y ＝2x －1

D ．y ＝log 2(2x )

4. 若a >1且a 3x ＋1>a －

2x ，则x 的取值范围为________．

5．若指数函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．

指数函数的图象及应用

(1)函数f (x )＝a x －b

的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00 D ．0

(2)若方程|3x －1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________．

若将本例(2)变为函数y ＝|3x

－1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围如何？

指数函数的图象及应用

(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．

(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．

[通关练习]

1．函数f (x )＝1－e |x |

的图象大致是( )

2．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．

指数函数的性质及应用(高频考点)

(1)已知a ＝243

，b ＝425

，c ＝2513

，则( )

A ．b ＜a ＜c

B ．a ＜b ＜c

C ．b ＜c ＜a

D ．c ＜a ＜b

(2)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，

2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．

(3)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)＞0的解集为________．

有关指数函数性质的问题类型及解题思路

(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．

(2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．

(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．

[注意] 在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．

[题点通关]

角度一 比较指数幂的大小

1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A ．a ＜b ＜c

B ．a ＜c ＜b

C ．b ＜a ＜c

D ．b ＜c ＜a

角度二 解简单的指数方程或不等式

2．不等式2x 2－

x <4的解集为________．

角度三 研究指数型函数的性质

3．函数y ＝2x －2－

x 是( )

A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增

B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增

D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减

角度四 求解指数型函数中参数的取值范围

4．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．

——利用换元法求解指数型函数的值域问题

函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫14x

－⎝⎛⎭⎫

12x

＋1在x ∈[－3，2]上的值域是________．

已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.

(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3，0]上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．

1．已知f (x )＝3x －b

(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( )

A ．[9，81]

B ．[3，9]

C ．[1，9]

D ．[1，＋∞)

2．函数y ＝a x －1

a

(a >0，a ≠1)的图象可能是( )

3．已知a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525

，则( ) A ．a

4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x

－7，x ＜0，

x ，x ≥0，

若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－3)

B ．(1，＋∞)

C ．(－3，1)

D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

5．若函数f (x )＝a |2x －

4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19

，则f (x )的单调递减区间是( )

A ．(－∞，2]

B ．[2，＋∞)

C ．[－2，＋∞)

D ．(－∞，－2]

6．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a ＝________．

7．已知函数f (x )＝e x －e －

x e x ＋e

－x ，若f (a )＝－1

2，则f (－a )＝________．

8．已知函数f (x )＝(a －2)a x (a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f （x 1）－f （x 2）

x 1－x 2

>0，则a 的取值范围

是________．

9．已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －

2|}，则f (x )的最小值为________．

10．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．若不等式 ⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭

⎫1b x

－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．

11．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫

13b

，下列五个关系式：

①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

12．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2

－4x ＋3.

(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．