高一第5讲指数与指数函数(J教师版)

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高一数学《指数函数》优秀教案(优秀5篇)

高一数学《指数函数》优秀教案（优秀5篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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2022版高考数学一轮复习第3章函数第5讲指数与指数函数课件

(2)指数函数的图象与性质：
a＞1
0＜a＜1
图象
第七页，编辑于星期六：四点六分。
定义域值域
性质
a＞1
0＜a＜1
①___R_____ ②_(_0_，__＋__∞_)
③过定点___(0_,_1_) __，即x＝0时，y＝1
④当x＞0时，__y_＞__1__；
⑤当x＜0时，___y＞__1__；
当x＜0时，_0_＜__y_＜_1_
×－25
×23
－32313
－1＝52－32－1＝0.
(2)原式＝
1
a3
1
a3
1
a3
3－2b31
3
2＋a31
1
·2b3
＋2b13
1
a3 ÷
2
1
－2b3 a
2 1
·a·a3
1
1
2
1
a2
·a3
5
5
1
＝a3
1
a3
1
－2b3
·1 a3
a
1
－2b3
·a61
1
＝a3
a6
2
·a·a3
＝a2.
第二十二页，编辑于星期六：四点六分。
当x＞0时，_0_＜__y＜__1_
⑥在(－∞，＋∞)内是 __增_____函数
⑦在(－∞，＋∞)内是 ___减____函数
第八页，编辑于星期六：四点六分。
【特别提醒】 1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既含有分母又含有负指数． 2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1或0<a<1.

高一数学指数函数ppt课件

图像法
运算性质法
利用指数函数的运算性质，如乘法公式和指数法则，推导出奇偶性的判断方法。例如，若f(x)和g(x)都是奇函数，则f(x)*g(x)也是奇函数。
通过观察指数函数的图像，判断其是否关于原点对称或关于y轴对称，从而确定函数的奇偶性。
06 典型例题解析与课堂互动环节
典型例题选讲及思路点拨
指数函数的图像关于y轴对称。
当a>1时，函数在定义域内单调递增，图像上升；当0<a<1时，函数在定义域内单调递减，图像下降。
指数函数图像特点函数图像过定点（0,1）。
指数函数性质探讨
指数函数的单调性
01
当a>1时，函数在R上单调递增；当0<a<1时，函数在R上单调
递减。
指数函数的周期性
02
指数函数不是周期函数。
应用举例
$3^4 = (frac{3}{2})^4 times 2^4$
对数转换
当底数不同且难以直接计算时，可通过对数转换为相同底数进行计算。
应用举例
比较 $7^{10}$ 和 $10^7$ 的大小，可转换为比较 $10 times
log7$ 和 $7 times log10$。
复杂表达式化简技巧
利用指数函数构建可持续增长模型，可以预测未来经济发展的趋势和可能遇到的问题，帮助学生了解经济增长的复杂性和不确定性。
05 指数函数图像变换与性质变化规律
平移、伸缩变换对图像影响
平移变换
指数函数图像沿x轴或y轴平移，不改变函数的形状和周期性，只改变函数的位置。
伸缩变换
通过改变函数的参数，实现对指数函数图像的横向或纵向伸缩，从而改变函数的周期和振幅。

指数函数的说课稿（通用7篇）

指数函数的说课稿指数函数的说课稿（通用7篇）作为一名教学工作者，时常需要编写说课稿，是说课取得成功的前提。

说课稿要怎么写呢？下面是小编整理的指数函数的说课稿，希望对大家有所帮助。

指数函数的说课稿篇1一、说教材分析1、《指数函数》在教材中的地位、作用和特点2、教学目标、重点和难点（1）知识目标：①掌握指数函数的概念；②掌握指数函数的图象和性质；③能初步利用指数函数的概念解决实际问题。

（2）技能目标：①渗透分类讨论、数形结合的基本数学思想方法；②培养学生观察、联想、类比、猜测、归一、教材分析。

1、《指数函数》在教材中的地位、作用和特点《指数函数》是人教版高中数学（必修）第一册第二章“函数”的第六节内容，是在学习了《指数》一节内容之后编排的。

通过本节课的学习，既可以对指数和函数的概念等知识进一步巩固和深化，又可以为后面进一步学习对数、对数函数尤其是利用互为反函数的图象间的关系来研究对数函数的性质打下坚实的概念和图象基础，又因为《指数函数》是进入高中以后学生遇到的第一个系统研究的函数，对高中阶段研究对数函数、三角函数等完整的函数知识，初步培养函数的应用意识打下了良好的学习基础，所以《指数函数》不仅是本章《函数》的重点内容，也是高中学段的主要研究内容之一，有着不可替代的重要作用。

此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、借贷利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。

本节内容的特点之一是概念性强，特点之二是凸显了数学图形在研究函数性质时的重要作用。

2、教学目标、重点和难点通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习，学生对函数和图象的关系已经构建了一定的认知结构，主要体现在三个方面：知识维度：对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等最简单的函数概念和性质已有了初步认识，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。

指数函数教案

第5讲指数与指数函数[考纲解读] 1.理解有理指数幂的含义，掌握指数幂的运算，并能通过具体实例了解实数指数幂的意义．2.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性并掌握指数函数的图象及其通过的特殊点．(重点、难点)3.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景，并体会指数函数是一类重要的函数模型．[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的命题热点．预测2020年高考主要与函数的图象、最值、比较大小、指数函数图象过定点为命题方向；也有可能与其他知识相结合进行考查.1．根式2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂：a mn＝na m(a>0，m，n∈N*且n>1)．②正数的负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1na m(a>0，m，n∈N*且n>1)．③0的正分数指数幂等于□010；0的负分数指数幂□02没有意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝□03a＋(a>0，r，s∈Q)；②(a r)s＝□04a(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝□05a b(a>0，b>0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质题型一指数幂的化简与求值1．求值：(0.064)－13－⎝⎛⎭⎪⎫－590＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋(0.01)12＝________.3．若x12＋x－12＝3，则x32＋x－32＋2x2＋x－2＋3的值为________．题型二指数函数的图象及应用1．(2018·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x －1D ．y ＝log 2(2x )2．(2018·青岛模拟)函数f (x )＝21－x 的大致图象为()条件探究1 举例说明2中函数改为f (x )＝2|x －1|，其图象是()条件探究2 举例说明2中函数改为y ＝21－x ＋m ，若此函数的图象不经过第一象限，则m 的取值范围如何？题型三指数函数的性质及其应用角度1 比较指数幂的大小 1．设a ＝40.8，b ＝80.46，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．c >b >a 角度2 解指数方程或不等式2．(2018·福州模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎨⎧4x，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．角度3 探究指数型函数的性质4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．1．比较幂值大小的常见类型及解决方法2．利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式的方法先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．如举例说明3. 3．两类复合函数的最值(或值域)问题(1)形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x 转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．(2)形如y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)型函数最值问题，可令t ＝f (x )，则y ＝a t ，先由x 的取值范围求t 的取值范围，再求y ＝a t 的最值．如举例说明4.4．对于形如y ＝a f (x )的函数的单调性(1)若a >1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调增(减)区间； (2)若0<a <1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调减(增)区间．如举例说明4(1)．课后反思：。

第05讲指数与指数函数(原卷版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练

第05讲指数与指数函数 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：指数与指数幂的运算高频考点二：指数函数的概念高频考点三：指数函数的图象①判断指数型函数的图象；②根据指数型函数图象求参数③指数型函数图象过定点问题；④指数函数图象应用高频考点四：指数（型）函数定义域高频考点五：指数（型）函数的值域m n上的值域；②指数型复合函数值域①指数函数在区间[,]③根据指数函数值域（最值）求参数高频考点六：指数函数单调性①判断指数函数单调性；②由指数（型）函数单调性求参数③判断指数型复合函数单调性；④比较大小⑤根据指数函数单调性解不等式高频考点七：指数函数的最值①求已知指数型函数的值域②根据指数函数最值求参数③含参指数（型）函数最值第四部分：高考真题感悟第五部分：第05讲指数与指数函数（精练）1、根式的概念及性质（1）概念：叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）性质：①n a =(n N *∈且1n >)；②当n a =；当n ,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 2、分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是mna =0a >，,m n N *∈，且1n >)；②正数的负分数指数幂的意义是m na-=(0a >，,m n N *∈，且1n >)；③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．3、指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s +=>∈R ；②()(0,,)r s rsa a a r s =>∈R ； ③()(0,0,)rr rab a b a b r =>>∈R .4、指数函数及其性质（1）指数函数的概念函数()xf x a =(0a >，且1a ≠)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ．（2）指数函数()xf x a =的图象和性质定义域为R ，值域为(0,)+∞一、判断题1．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）函数()11x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象必过定点()1,2( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）11121321a ba( ) 二、单选题1．（2022·宁夏·银川一中高二期末（文））函数()e 1x f x =+在[1,1]-的最大值是（） A ．eB ．e 1-+C ．e 1+D ．e 1-2．（2022·江苏南通·高一期末）已知指数函数()x f x a -=（0a >，且1a ≠），且()()23f f ->-，则a 的取值范围（） A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0∞-3．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（） A ．(1,1)-B ．(1,0)C ．(0,0)D ．(0,1)-4．（2022·河北廊坊·高一期末）指数函数()()1xf x a =-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．()2,1--B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()1,25．（2022·北京·高三专题练习）若函数()21x y m m m =--⋅是指数函数，则m 等于（）A ．1-或2B ．1-C ．2D ．12高频考点一：指数与指数幂的运算1．（2022·广东肇庆·高一期末）设62m =，63n =，则222m n mn ++=（） A ．12B ．1C ．2D ．32．（2022·上海杨浦·高一期末）设0a >，下列计算中正确的是（） A ．4334a a a ⋅= B ．4334a a a ÷= C ．4334a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4 334a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭3．（2022·广东深圳·高一期末）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（） A ．()12x -B ．)340xx ->C 13y =D ．()31420x x ⎤=<4．（2022·全国·高三专题练习）化简2112333324()3a b a b --⋅÷-的结果为（）A ．－23ab B ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab高频考点二：指数函数的概念1．（2022·浙江·高三专题练习）函数()(0x f x a a =>，且a ≠1)的图象经过点13,27P ⎛⎫⎪⎝⎭，则f (-2)= （）A ．19B C ．13D ．92．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高一期末）已知指数函数()2()253xf x a a a =-+在R 上单调递增，则a的值为（） A ．3B ．2C ．12D ．323．（2022·全国·高一课时练习）函数()2xy a a =-是指数函数，则（） A ．1a =或3a =B ．1a =C ．3a =D ．0a >且1a ≠4．（2022·浙江·高三专题练习）若指数函数x y a =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于A B CD 高频考点三：指数函数的图象①判断指数型函数的图象1．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）函数3x y -=的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．2．（2022·上海市进才中学高二阶段练习）函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（） A ． B ．C ．D ．3．（2022·全国·高三专题练习）已知0＜m ＜n ＜1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为（）．A ．B ．C ．D ．4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．②根据指数型函数图象求参数1．（2022·全国·高三专题练习）函数()b x f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A ．1a >，0b ，0b >C ．01a <<，0b <D ．01a <<，0b >2．（2022·全国·高三专题练习）函数(0,1)x y a a a =>≠与b y x =的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）A ．0a b >B ．0a b +>C ．log 2a b >D ．1b a >3．（2021·全国·高一专题练习）函数()x b f x a -=的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A ．1a >，0b ，0b >C ．01a <<，0b >D ．01a <<，0b <4．（2021·全国·高一专题练习）若函数()x f x a b =-的图象如图所示，则（）A ．1a >，1b >B ．1a >，01b <<C ．01a <<，1b >D ．01a <<，01b <<③指数型函数图象过定点问题1．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）函数()21(0x f x a a +=->且1)a ≠的图象恒过定点（）A ．(－2，0)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(－1，－2)2．（2022·全国·高三专题练习）若函数12x y a -=+过定点P ，以P 为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（）A ．()236f x x x =-+ B ．()224f x x x =-+ C ．()236f x x x =-D ．()224f x x x =-3．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（） A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数5()4x f x a +=+(0a >，1a ≠)恒过定点(,)M m n ，则函数()x g x m n =+的图像不经过（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限④指数函数图象应用1．（2021·重庆市涪陵第二中学校高一阶段练习）函数1()(0,1)x f x a a a a=->≠的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·全国·高一课时练习）函数()(0x f x a a =>，且1a ≠）与()g x x a =-+的图像大致是A ．B ．C ．D ．3．（2021·全国·高一课时练习）若1a >，10b -<<，则函数x y a b =+的图像一定经过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限高频考点四：指数（型）函数定义域1．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x = ） A ．[)1,+∞B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(),1-∞-D ．(),2-∞-2．（2022·全国·高三专题练习）函数()22f x x =-的定义域为（） A ．[0,2) B ．(2,)+∞C ．()(),22,-∞+∞D ．[0,2)(2,)⋃+∞3．（2021·江苏·高一专题练习）函数y (－∞，0]，则a 的取值范围为( ) A ．a ＞0 B ．a ＜1 C ．0＜a ＜1D ．a ≠14．（2021·广西河池·高一阶段练习）设函数()f x 2x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的定义域为（）A ．(],4∞-B ．(],1-∞C ．(]0,4D ．(]0,1高频考点五：指数（型）函数的值域①指数函数在区间[,]m n 上的值域1．（2022·全国·高一）当x ∈[-1，1]时，函数f (x )=3x -2的值域为________2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2421x x f x a =⋅--.当1a =时，求函数()f x 在[]3,0x ∈-的值域；4．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数()3x f x =且()218f a +=，函数()34ax x g x =-.(1)求()g x 的解析式；(2)若关于x 的方程()80xg x m -⋅=在区间[]22-,上有实数根，求实数m 的取值范围.②指数型复合函数值域1．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,22．（2022·湖南邵阳·高一期末）函数2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为______．3．（2022·全国·高三专题练习）函数1()41(0)2xxf x x -⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭的值域是___________.4．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数()2422ax x f x ++=.(1)当1a =时，求()f x 的值域； (2)若()f x 有最大值16，求a 的值.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()24x x f x =-.（1）求()y f x =在[]1,1-上的值域；③根据指数函数值域（最值）求参数1．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=（） A ．32-B ．1-C ．1D ．322．（2022·辽宁鞍山·高一期末）若函数()f x =的值域为[0,)+∞，则实数a 的取值范围是（）A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[0,)+∞3．（2022·全国·高一）已知函数()(0xf x a a =>且1)a ≠在区间[]1,2上的最大值比最小值大2a ,求a 的值.4．（2022·湖南·高一期末）已知函数()245x xf x a a =+-.(1)求()f x 的值域；(2)当[]1,2x ∈-时，()f x 的最大值为7，求a 的值.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x x f x k -=+⋅（k 为常数，k ∈R ）是R 上的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m n +的值．高频考点六：指数函数单调性①判断指数函数单调性1．（2022·广西南宁·高一期末）设函数()122xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在()0,+∞单调递增B ．是偶函数，且在()0,+∞单调递减C ．是奇函数，且在()0,+∞单调递增D ．是奇函数，且在()0,+∞单调递减2．（2022·福建宁德·高一期末）已知()21x b f x a =-+是R 上的奇函数，且()113f =． (1)求()f x 的解析式；(2)判断()f x 的单调性，并根据定义证明．3．（2021·贵州·六盘水红桥学校高一阶段练习）若函数()(3)3(1)x f x k a b a =++->是指数函数 (1)求k ，b 的值；(2)求解不等式(27)(43)f x f x ->-4．（2021·全国·高一期末）设函数2()12xx f x a =++，(1)判断()f x 的单调性，并证明你的结论；②由指数（型）函数单调性求参数1．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）若函数()(),1,513,13x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．12,33⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,2C ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（文））若函数()33,0,0xx a x f x a x -+-<⎧=⎨⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是___．3．（2022·河北张家口·高一期末）已知函数()()2,1,32,1x a x x f x a x -⎧-<=⎨⋅-≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是______.4．（2022·湖南·高一课时练习）若函数2()2535xm y m m ⎛⎫- ⎝=+⎪⎭-是指数函数，且为指数增长型函数模型，则实数m =________.5．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数()()28xf x a =-是区间(),-∞+∞上的减函数，求实数a 的取值范围．③判断指数型复合函数单调性1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）函数223112x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为（） A ．(1,)+∞B ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(),1-∞D ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一开学考试）已知函数()24,18,1x x ax x f x a x ⎧-+≤=⎨+>⎩，且对于任意的12,x x ，都有()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，则实数a 的取值范围是（）A ．(]1,2B ．(]1,3C ．[)1,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）已知函数2251()2x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),a +∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______．4．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知函数2()21x x af x +=+是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断并证明函数()f x 的单调性.④比较大小1．（2022·广东汕尾·高一期末）若1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1412c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a b c >>2．（2022·陕西·略阳县天津高级中学高三阶段练习（文））设233a =，1413b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．a c b >>3．（2022·福建三明·高一期末）已知0.20.30.30.30.2,2,a b c ===，则它们的大小关系是（） A ．a b c <，则x 的取值范围是______．2．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）已知不等式124x ->的解集是__________.3．（2022·福建·莆田一中高一开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递增，若实数a 满足()(212a f f ->，则a 的取值范围是______．4．（2022·福建福州·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()23x f x =+．(1)求()f x 的解析式； (2)解不等式()()22f x f x ≥．高频考点七：指数函数的最值①求已知指数型函数的值域1．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x ，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[3,)-+∞D ．[1,)+∞2．（2022·北京·高三学业考试）已知函数()2x f x =，[0,)x ∈+∞，则()f x （） A ．有最大值，有最小值 B ．有最大值，无最小值 C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值3．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数1()422x x f x +=-+，则(1)f =________；函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为_________．4．（2022·贵州贵阳·高一期末）已知函数2()35,()2x f x x x g x a =-++=+，若12[0,2],[2,3]x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x <，则实数a 的取值范围是___________.5．（2022·甘肃·兰州一中高一期末）已知02x ≤≤，则函数124325x x y -=-⨯+的最大值为__________.②根据指数函数最值求参数1．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期末）若函数()213ax a f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[)1,+∞上有最大值19，则实数a的值为（） A ．1B ．2-C ．1或2-D ．1或1-2．(多选）（2022·江苏常州·高一期末）若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在区间[]22-,上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（）A ．13B CD ．33．（2022·上海虹口·高一期末）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2的最大值与最小值之差等于2a，则实数a 的值为______．4．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知指数函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在区间[]2,3上的最大值是最小值的2倍，则=a ______．5．（2022·全国·高三专题练习）若函数()0,1xy a a a =>≠在区间[]1,2上的最大值和最小值之和为6，则实数=a ______.6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数()22x x f x a a =+-（0a >且1a ≠）在区间[]1,0-上的最小值为54-，求a 的值．③含参指数（型）函数最值1．（2022·全国·高三专题练习）如果函数y =a 2x +2ax -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.2．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试）已知函数()1423x x f x a +=⋅--．（1）当1a =时，求函数()f x 的零点；（2）若0a >，求()f x 在区间[]1,2上的最大值()g a ．3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数1()421x x f x a +=-+．（1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值8-，求实数a 的值；（2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．4．（2022·全国·高一课时练习）求函数2()2x x f x e e =-的最值.1．（2020·山东·高考真题）已知函数()y f x =是偶函数，当(0,)x ∈+∞时，()01xy a a =<<，则该函数在(,0)-∞上的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·湖南·高考真题）已知函数()2,0282,24x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩（1）画出函数()f x 的图象；（2）若()2f m ≥，求m 的取值范围.一、单选题1．（2022·江苏江苏·一模）设全集U =R ，集合{}21A x x =-≤，{}240x B x =-≥，则集合()UAB =（）A ．()1,2B ．(]1,2C ．[)1,2D ．[]1,22．（2022·河南·模拟预测（文））已知58a =，45b =，则ab =（） A ．2B ．32C ．43D ．13．（2022·辽宁朝阳·高二开学考试）已知函数()x x f x ππ-=-，若32(2)2a fb fc f ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>4．（2022·四川宜宾·二模（文））物理学家和数学家牛顿（IssacNewton ）提出了物体在常温下温度变化的冷却模型：设物体的初始温度是1T （单位：℃），环境温度是0T （单位：℃），且经过一定时间t （单位：min ）后物体的温度T （单位：℃）满足10e kt T T T T -=-（k 为正常数）.现有一杯100℃热水，环境温度20℃，冷却到40℃需要16min ，那么这杯热水要从40℃继续冷却到30℃，还需要的时间为（） A ．6minB ．7minC ．8minD ．9min5．（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）已知函数211()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()f x ≥（） A ．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,6∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦6．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4322x xf x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（） A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞7．（2022·云南玉溪·高一期末）函数||()2x f x =，4()g x x =，则函数()()y f x g x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．（2022·全国·高三专题练习）已知432a =，254b =，1325c =，则（） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<二、填空题9．（2022·江苏连云港·二模）函数()1293x x f x -=+的最小值是___________.10．（2022·全国·高一）下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是________. （填序号）①()12f x x =；②()3f x x =；③()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④f （x ）＝3x11．（2022·江西宜春·高三期末（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设R x ∈，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[][]3.74 2.32-=-=，.已知()112x x e f x e =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为_________.12．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x的取值范围是________ 三、解答题13．（2022·湖南·高一课时练习）已知1x >，且13x x -+=，求下列各式的值： (1)1122x x -+； (2)1122x x --； (3)3322x x -+．14．（2022·贵州·凯里一中高一开学考试）已知函数()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且(]0,2x ∈时，()21x f x =-，()22g x x x m =-+.(1)求()f x 在区间[)2,0-上的解析式；(2)若对[]12,2x ∀∈-，则[]22,2x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.15．（2022·河南·高一阶段练习）已知函数()24x m x f x +=-.(1)当0m =时，求关于x 的不等式()2f x >-的解集；(2)若对[]0,1x ∀∈，不等式()22xf x m >-⋅恒成立，求实数m 的取值范围.16．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知函数()22x x af x a-=+是奇函数．(1)求实数a 的值； (2)求()f x 的值域．。

2018年高考数学文一轮复习文档：第二章基本初等函数

第5讲指数与指数函数, )1．根式 (1)根式的概念①若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n ＞1时，xn 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，n ＞1)．②n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mna >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a mn＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质1．辨明三个易误点(1)指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算变换中方法不当，不注意运算的先后顺序等．(2)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.(3)在解形如a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．2．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a .1.教材习题改编化简12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9B2.教材习题改编设x ＋x －1＝3，则x 2＋x －2的值为( ) A ．9 B ．7 C ．5D ．3B 因为x ＋x －1＝3.所以(x ＋x －1)2＝9，即x 2＋x －2＋2＝9，所以x 2＋x －2＝7. 3．函数f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x－1 D ．y ＝log 2(2x )A 由f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝1－1，知(1，1)不在y ＝1－x 的图象上．4.教材习题改编若a >1且a3x ＋1>a－2x，则x 的取值范围为________．因为a >1，所以y ＝a x为增函数，又a3x ＋1>a－2x，所以3x ＋1>－2x ，即x >－15.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，＋∞ 5．若指数函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2，得－2<a <－1或1<a < 2. (－2，－1)∪(1，2)指数幂的运算化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312. 【解】 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312 ＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32＝－54a －12·b －32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12.(1)原式＝0.32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252713－ 259＝9100＋53－53＝9100. (2)原式＝2（4ab －1）3210a 32b －32＝16a 32b－3210a 32b －32＝85.指数函数的图象及应用(1)函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0(2)若方程|3x－1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________．【解析】 (1)由f (x )＝a x －b的图象可以观察出函数f (x )＝ax －b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝ax －b的图象是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)函数y ＝|3x－1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解．【答案】 (1)D (2){0}∪上单调递减，则k 的取值范围如何？由本例(2)作出的函数y ＝|3x－1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k ∈(－∞，0]．指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．方程|a x－1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根转化为函数y ＝|a x－1|与y ＝2a 有两个交点．(1)当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜2a ＜1，即 0＜a ＜12；(2)当a ＞1时，如图②，而y ＝2a ＞1不符合要求．所以0＜a ＜12.⎝⎛⎭⎪⎫0，12指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．高考对指数函数的性质的考查主要有以下四个命题角度： (1)比较指数幂的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)研究指数型函数的性质；(4)求解指数型函数中参数的取值范围．(1)(2016·高考全国卷丙)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b(2)(2017·福州模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．(3)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则不等式f (x －2)＞0的解集为________．【解析】 (1)因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，所以b ＜a ＜c .(2)当a ＜1时，41－a＝21，所以a ＝12；当a ＞1时，代入不成立． (3)f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝f (－x )＝2－x－4.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4，x ≥0，2－x －4，x ＜0，当f (x －2)＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2x －2－4＞0 或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，2－x ＋2－4＞0，解得x ＞4或x ＜0.所以不等式的解集为{x |x ＞4或x ＜0}．【答案】 (1)A (2)12(3){x |x ＞4或x ＜0}有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．角度一比较指数幂的大小1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜aC 因为指数函数y ＝0.6x在(－∞，＋∞)上为减函数，所以0.60.6＞0.61.5，即a ＞b ，又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1，所以a ＜c ，故选C.角度二解简单的指数方程或不等式 2．(2015·高考江苏卷)不等式2x 2－x<4的解集为________．因为2x 2－x<4，所以2x 2－x<22，所以x 2－x <2，即x 2－x －2<0，所以－1<x <2. {x |－1<x <2}(或(－1，2))角度三研究指数型函数的性质3．(2017·太原模拟)函数y ＝2x －2－x是( ) A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减A 令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，排除C 、D.又函数y ＝－2－x，y ＝2x 均是R 上的增函数，故y ＝2x －2－x在R 上为增函数．角度四求解指数型函数中参数的取值范围4．已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是，则a ＋b ＝________．当a ＞1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a＜1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b＝－32.－32, )——利用换元法求解指数型函数的值域问题函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在x ∈上的值域是________．【解析】因为x ∈，若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8.y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57(1)此题利用了换元法，把函数f (x )转化为y ＝t 2－t ＋1，其中t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值(值域)问题，从而减少了运算量．(2)对于同时含有a x 与a 2x (log a x 与log 2a x )(a >0且a ≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t ＝a x(t ＝log a x )进行换元巧解，但一定要注意新元的范围．已知函数f (x )＝2a ·4x－2x－1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x－2x－1＝2(2x )2－2x－1，令t ＝2x，x ∈，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－98，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解．记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立．当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a <0，过点(0，－1)，不成立，当a ＞0时，开口向上，对称轴m ＝14a ＞0，过点(0，－1)必有一个根为正，所以a >0.综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)．, )1．化简（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD ．1aD 解析] 原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a－13－12－16·b 12＋13－56＝1a. 2．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( )A ．B ．C ．D ．由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9，可知C 正确．3．函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是()D 当a >1时函数单调递增，且函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为0<1－1a<1，故A ，B均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数图象恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为1－1a<0，所以选D.4．(2017·德州模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A ．a c ，所以b <c <a ，故选D.5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a <1，所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3，1)． 6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．B 由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在上递增，在，则实数a ＝________．当a >1时，f (x )＝a x－1在上为增函数，则a 2－1＝2，所以a ＝±3，又因为a >1，所以a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x－1在上为减函数，又因为f (0)＝0≠2，所以0<a <1不成立．综上可知，a ＝ 3.38．已知函数f (x )＝e x－e －xe x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________．因为f (x )＝e x －e －xe x ＋e －x ，f (a )＝－12，所以e a －e －ae a ＋e －a ＝－12.所以f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －ae a ＋e －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12.129．(2017·济宁月考)已知函数f (x )＝(a －2)a x(a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．(0，1)∪(2，＋∞)10．(2017·安徽江淮十校第一次联考)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．由于f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x ，x <1. 当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x <1时，f (x )>e. 故f (x )的最小值为f (1)＝e. e11．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．把A (1，6)，B (3，24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3，结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x.要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥m 在x ∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56. 所以只需m ≤56即可．即m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.12．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B 函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立． 13．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. 14．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |，(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈恒成立，求实数m 的取值范围． (1)当x <0时，f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，因为2x>0，所以x ＝1.(2)当t ∈时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1＞0，所以m ≥－(22t＋1)，因为t ∈，所以－(22t＋1)∈，故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．。

第5讲指数与指数函数(教案)

指数与指数函数教学目标：掌握指数运算（高考要求A ）及指数函数的有关概念（高考要求B ）. 教学重难点：熟悉指数运算，掌握指数函数图像性质及其应用。

教学过程：一.知识要点： 1．指数运算(1) 根式的定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。

即若a x n =，则x 称a 的n 次方根（)1*∈>N n n 且， ① 当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；②当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。

（2）根式性质：①a a n n =)(；②当n 为奇数时，a a n n =；③当n(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩。

（3）幂运算法则：①∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *) ②)0(10≠=a a ；n 个 ③∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N *且)1>n 。

（4）幂运算性质： ①r a a a a sr s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）；②r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）； ③∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。

（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。

2.指数函数：(1) 指数函数定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数，函数的定义域为R ；函数的值域为),0(+∞； (2)函数图像及性质：①指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；②当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数。

③指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）；④对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的图象关于y 轴对称。

高一数学暑期讲义第5讲指数与指数函数教师版

58指数引入在初中的时候我们学习了一些特殊的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数，而且根据前几节课的学习，我们能够把这些函数的性质更完整的表述出来.那在高中我们又会学习哪些特殊的函数呢？这些函数具有什么样的性质呢？就是今天包括后边几天我们要学习的内容.今天我们先学习一个指数函数，其实这个函数我们在初中就接触过，比如22，32等，只不过当时我们没有给它规定具体的名字，那在高中阶段我们将给它取个具体的名字，就跟每个人都要有自己的名字一样.那在讲指数之前我们先来看一个有趣的故事：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王觉得这事挺好办，欣然同意．计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒，第三格内放4粒，，还没有到第二十格，一袋麦子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一倍接一倍飞快增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑换不了他对西萨的诺言.这到底有多少粒小麦呢，我们可以估算一下：方格中有的小麦数依次为：631248162，，，，，，，最后一格中有632粒小麦，1032102410=≈，6018210≈，也就是百亿亿，那6360282=⨯就是八百亿亿．这还不包括前面63个格子的．其中，我们归纳一下求个和，知道小麦数一共是6421-，大约是一千六百亿亿．这大概是全世界两千年所产的小麦的总和．再直观一点，给这么多小麦建一个宽四米，高四米的粮仓，这个粮仓可以绕地球赤道7500圈．如果把这些小麦堆放在一间教室（16平）里，堆到太阳上，也才堆了一半！这个故事一定会让你吃惊，开始微不足道的数字，两倍两倍的增长，会变得这么巨大！事实的确如此，因为国王碰到了“指数爆炸”.满分晋级第5讲函数4级函数的奇偶性函数5级指数与指数函数函数6级对数及其运算指数与指数函数59一种事物如果成倍成倍地增大（如222⨯⨯⨯），则它是以指数形式增大，这种增大的速度就像“大爆炸”一样，非常惊人.那么到底什么是指数函数呢？指数函数具有哪些的性质？我们先来看一下指数幂.1．整数指数在初中我们就学过正整数指数幂，如2a ，3a 等，并且我们也知道235a a a ⋅=，32a a a=，那么在这些整指数幂中a 叫做什么？23，又叫做什么呢？它的运算法则又是什么呢？下面我们就来具体回忆一下正整数指数幂.⑴ 正整数指数幂：n n a a a a =⋅⋅⋅个，是n 个a 连乘的缩写（N n +∈），n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂． ⑵ 正整数指数幂的运算法则：① m n m na a a +⋅=；②()m n mn a a =；③(,0)m m n n a a m n a a-=>≠；④()m m m ab a b =【整数指数幂引入】刚刚我们说的正整数指数幂要求指数必须是正整数，但是我们的数系不仅仅是正整数，我们现在学到的最大数系是实数，等到我们上高二的时候我们还会把实数扩大到复数，所以万一某一天我们遇到的指数幂的指数不是正整数，而是负整数、分数那我们应该怎么办呢？所以我们先来取消法则③中m n >的限制，则正整数指数幂就推广到整数幂.例如，当0a ≠时，有33303a a a a-==，33525a a a a --==，这些结果不能用正整数幂的定义来解释.但我们知道，331a a =，3521a a a =.这就启示我们，如果规定02211a a a -==，，则上述运算就合理了.于是，我们得出如下的整数指数幂：⑶ 整数指数幂：01(0)a a =≠，1(0,)n na a n a -+=≠∈N ．【教师备案】①如此规定的零指数幂和负整数指数幂，就把正整数指数幂推广到整数指数幂，并且正整数指数幂的运算法则对整数指数幂运算仍然成立.②对于整数指数幂的要求是“底数不等于0”.为什么底数不等于0，因为分母不等于0③老师可以给学生举一些小例子，例如，081=；()081-=；()()01a b a b -=≠；3311010-=；6611164121642-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭；()()333312208x x x x ---==≠； 2364246x x r r r x ---⎛⎫== ⎪⎝⎭；40.000110-=；22212a a b c b c --=5.1指数与指数幂的运算知识点睛60我们已经把正整数指数幂成功的引申到整数指数幂了，那由整数指数幂到分数指数幂又有什么样的变化呢？分数指数幂具有什么样的运算性质呢？我们来看一下分数指数幂：2．分数指数在讲分数指数幂之前我们先来看一下初中就学过的一个东西——根式： ⑴根式① n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(,1,)a n n +∈>∈R N ，那么x 叫做a 的n 次方根． ② 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算．ⅰ）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时，a 的nⅱ）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n 次方根分0)a >．③ 正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．负数没有偶次方根．0的任何次方根都是00．④n 叫做根指数，a 叫做被开方数．【根式性质引入】根式具有什么样的性质呢？比如n么？下面我们来举几个例子说明一下：1.n是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值范围由n 的奇偶性来决定：①当n 为大于1的奇数时，a ∈R .例如，327=，532=-，70=；②当n 为大于1的偶数时，0a ≥.例如，427=，23=，60=；若0a <，式子n无意义，例如，2，4均无意义，也就不能说它们的值了.因此只要n有意义，其值恒等于a，即na =n a 的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶性限制，a ∈R .但是这个式子的值受n 的奇偶性限制： ①当n 为大于1的奇数时，其值为aa =2=-，6.1；②当n 为大于1的偶数时，其值为a a.3，33-=.由此当n a=；当n 0||0a a a a a ⎧=⎨-<⎩，≥，所以，我们得到根式具有如下的性质：⑤根式具有的性质：()1n a n n +=>∈N ，且；当nn 0||0a a a a a ⎧==⎨-<，≥，．61【分数指数幂引入】下面我们再来看一下分数指数幂.例如，311333a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭，()2233233a a a ⨯==.显然，这些运算都不能用整数指数幂的定义来解释.但是如果规定13a，23a =.为避免讨论，如不特别说明，我们约定底数0a >，于是分数指数幂定义为：⑵ 分数指数幂① 正分数指数幂：)10na a =>；0,,,)m m nma a n m n+==>∈N 且为既约分数． ② 负分数指数幂：1(0,,,)m n m nma a n m na -+=>∈N 且为既约分数⑶ 整数指数幂推广到有理指数幂，有理指数幂的运算法则： ① (0)r s r s a a a a r s +=>∈Q ，，； ② (0)s rs r a a a a r s ==>∈Q ，，；③ ()(00)ab a b a b r =>>∈Q ，，【教师备案】①整数指数幂的运算性质，比如()k n kn a a =，对分数指数幂仍然适用.注意讲解时，由学生熟悉的整数指数幂的概念性质逐渐推广到有理数指数幂，让学生知道新的概念与法则与已有的概念与法则是相容的．②分数指数幂是学生新接触的一个概念，所以在讲完分数指数幂后一定要给学生举几个例子，例如，2212338824⎛⎫=== ⎪⎝⎭；55151123222--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；332322933125255527---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；3232155588888+⨯===；111111123623623333339+++⨯⨯⨯===；33322113233444a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 22111111222222a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；2111122222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭.【无理指数幂引入】通过上面分数指数幂的学习，我们将指数的取值范围由整数推广到了有理数，那么当指数是无理数时，我们又应当如何理解它？比如．在这里还不能给出无理指数幂严格的定义，只有一个感性的认识和相关结论．通过下面的分析让学生体会“用有理数逼近无理数”的思想，感受“逼近”的过程．观察（课件中“无理指数幂引入”中有下图）：62由上表不难发现：的近似值从大于的方向逼近；时，的近似值从小于的方向逼近；所以我们得到如下的无理指数幂：3．无理数指数幂⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．⑶ 一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义．对实数指数幂，上述有理指数幂的运算法则仍然成立【教师备案】建议老师把指数幂按照由正整数指数幂到无理指数幂按顺序讲完，讲完以后就可以让学生做例1和例2，例1主要是进行简单的根式与幂运算.学生会很快做完，但是学生很容易出现计算上的错误，所以老师一定要强调让学生细心算.例2是对指数幂进行化简与求值，难度高于例1，其主要目的还是要锻炼学生熟练掌握指数幂运算法则.考点1：利用分数指数幂进行根式与幂运算【例1】 ⑴细心算一算①_______；②=________； ③=_______；④=_________（其中a b <）；⑤=__________；⑥ 238=_______；⑦ 1225-=________；⑧ 341681-⎛⎫= ⎪⎝⎭______________．⑵计算下列各式①2a ②0)a > ③111344213243(,0)6a a b a b a b ---⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭>-. 【解析】 ⑴ ①5-； ②3； ③5； ④b a -； ⑤ 2π6-．⑥4；⑦15； ⑧278.⑵ ① 83a ； ②1；③ 132ab ．考点2：化简与求值问题【例2】 ⑴若1002x =，105y =，则2x y +的值为（） A ．3 B.2 C.1 D.0 ⑵已知11223a a-+=，求1a a -+，22a a -+，33a a -+的值.经典精讲63⑶化简：()111122221112333300a a b a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>>⎛⎫++ ⎪⎝⎭，【解析】 ⑴C⑵17a a -+=；2247a a -+=；33322a a -+=⑶1133a a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭【备选()21x y +-，则1yx 的值为．【解析】827a 的取值范围是（）A ．a ∈RB ．12a =C ．12a > D ．12a ≤【解析】D，所以老师在讲不一定等于a 一样.指数幂我们已经非常清楚了，那到底什么是指数函数呢？所以下边我们来看一下指数函数以及它具有的性质：我们先来看一下指数函数的定义：考点3：指数函数的定义我们规定如下的函数为基本初等函数：⑴ 常值函数（也称常数函数）y c =（其中c 为常数） ⑵ 指数函数 x y a =(0,1)a a >≠且 ⑶ 对数函数 log a y x =(0,1)a a >≠且⑷ 幂函数 y x α=（α∈R ）⑸ 三角函数：（其中包括六种三角函数：正弦，余弦，正切，余切，正割，余割）⑹ 反三角函数：（其中包括四种反三角函数：反正弦，反余弦，反正切，反余切；关于反正割，反余割一般不用．注意：反三角函数目前高考中不考．）所谓初等函数就是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而成的函数．知识点睛5.2指数函数及其性质64既然我们说指数函数就是基本初等函数，所以我们就来看一下指数函数：指数函数：一般地，函数x y a =(0a >且1a ≠，)x ∈R 叫做指数函数.在指数函数中我们要注意以下3点：【注意】1.在这个函数中，自变量x 出现在指数的位置上. 2.底数a 是一个大于0且不等于1的常量.3.指数函数的形式必须是纯粹的.【教师备案】1.指数函数中为什么规定底数0a >且1a ≠？①若0a <，则对于x 的某些数值，可使x a 无意义.如()2x-，当1124x =，，等等，在实数范围内函数无意义②若0a =，则当0x >时，0x a =；当0x ≤时，x a 无意义③若1a =，则对于任何x ∈R ，x a 是一个常量1，没有研究的必要性为了避免上述各种情况，所以规定0a >且1a ≠，这样对于任何x ∈R ，x a 都有意义 2.为什么函数的形式必须是纯粹的，不能为x q y ba c +=+（其中q b c ，，是常数，0a >且 1a ≠）？紧扣指数函数的定义来分析.指数函数的定义：一般地，函数x y a =(0a >且1a ≠，)x ∈R 叫做指数函数.则指数函数的解析式x y a =中x a 的系数是1且指数位置仅有自变量x ，而函数x q y ba c +=+的解析式不符合指数函数解析式的这些特征，故不是指数函数.例如，121232xx x ++⋅，，都不是指数函数，但2x -是指数函数，因为122xx-⎛⎫= ⎪⎝⎭【教师备案】老师在讲完指数函数并给学生强调指数函数应该注意的问题后就可以让学生做例3了.例3主要就是判断是否为指数函数和如果是指数函数求参数的值.【例3】 ⑴指出下列函数中哪些是指数函数①6x y =；②4y x =；③4x y =-；④()4xy =-；⑤28x y =⋅；⑥24x y =； ⑦()21xy a =-（12a >且1a ≠，a 为常数） ⑵①函数3x y m =⋅（m 是常数）是指数函数，则m = ．②函数12x y a +=（a 是常数）是指数函数，则a = ．③函数()243xy a a =-（a 是常数）是指数函数，则a 的取值范围为．【解析】 ⑴①⑦⑵①1m =；②12a =；③()113011444⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∪，∪，∪，现在我们已经知道了什么是指数函数，那指数函数的图象又怎么画呢？所以接下来我们来看一下指数函数的图象：考点4：指数函数的图象与性质经典精讲【教师备案】上图是一个总的图，老师可以按照下边的方法一个一个拆分讲解，并且为了建立更直观的感觉，可以让学生自己动手画函数的图象，如：①先画()2xf x =，从这个图象上让学生体会指数函数的增长速度特别快.老师可以举个例子，如在讲义开始的那个象棋问题，刚开始第1个格子放1粒麦子，到第64格就放了632粒麦子，总共所有的格一共放了641921 1.610-≈⨯粒麦子，可见增长的速度相当快；如果学生认为642这个数不大，老师可以再举个汉诺塔的例子，一位法国数学家曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针.印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔.不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面.僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽.不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序.这需要多少次移动呢?这里需要递推的方法.假设有n 片，移动次数是()f n .显然()11f =，()23f =，()37f =，.此后不难证明()21n f n =-.64n =时，()64642118446744073709551615f =-= ，假如每秒钟移动一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下，1844674407370955161531556952584554049253.855=年.这表明移完这些金片需要5845亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年.真的过了5845亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭.所以说642是个很庞大的数，所以我们会发现这条曲线后面的增长会越来越快.并且从图象上看出函数的定义域为R ，值域为()0+∞，，且过定点()01，.②让学生再画一个()3x g x = 知识点睛x66比较这两个图象.可以发现，当1a >时，a 越大，第一象限图象离x 轴越远．③由②的结论老师可以提问，若01a <<，则图象应该则么样？那我们可以先取个函数()12xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭试试观察发现，2x 与12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，所以13x⎛⎫⎪⎝⎭与3x 的图象也关于y 轴对称，如图，所以当01a <<时，a 越大，第一象限图象离x 轴越远.老师按照上面的方式讲完指数函数的图象之后，就可以让学生做下面的练习：1C ，2C ，3C ，4C 是指数函数3x ，πx ，25x⎛⎫⎪⎝⎭，0.7x 的图象，则1C ，2C ，3C ，4C 分别代表哪个指数函数？【解析】由图象可以直接看出1:3xC ，2:πxC ，3:0.7xC ，42:5xC ⎛⎫⎪⎝⎭或者也可以作直线1x =，则与四条曲线的交点就是指数函数的底数.【教师备案】做完上边的练习之后，就可以进一步得出：①所有的指数函数分为两类：1a >和01a <<②指数函数的单调性：1a >时，是增函数；01a <<时，是减函数，而且a 越大，第一象限的图象离x 轴越远③指数函数的奇偶性：非奇非偶【教师备案】老师在讲完指数函数的图象并让学生做了上边的练习之后，就可以让学会做下边的例4，例4主要考察指数函数的图象.例4①与前边的练习一样，例4②主要考察讨论底数范围，例4③虽然乍看一眼有点难，但是读完题之后就比较简单了，尤其画完图象之后就更简单了.经典精讲h x (1x67【例4】 ⑴曲线1C ，2C ，3C ，4C 分别是指数函数1x y a =，2x y b =，3x y c =，4x y d =的图象，判断a ，b ，c ，d ，1 的大小关系是． ⑵函数()x f x a =与()g x ax a =-的图象大致是（）ABCD⑶用{}min a b c ，，表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设{}()min 2210xf x x x =+-，，(0)x ≥，则()f x 的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 ⑴1b a d c <<<<．⑵ C ⑶ C我们在上边的讲解中都一直在强调指数函数的图象，所以我们要在直观上认清图象，比如：根据图象要会求指数函数在不同区间上的值域问题，即例5，根据图象要能够判断两个幂的大小，即例6.下面我们先来看一下区间上的值域问题，即例5：考点5：区间上的值域问题【例5】 ⑴已知函数()2x f x =，①当()0x ∈+∞，时，函数值域为____________；②当(]2x ∈-∞，时，函数值域为____________；③当(]13x ∈-，时，函数值域为____________.⑵已知函数1()3xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，①当(]1x ∈-∞，时，函数值域为_____________； ②当()2x ∈+∞，时，函数值域为______________；③当[)21x ∈-，时，函数值域为______________；【解析】 ⑴ ①()1+∞，；②(]04，；③182⎛⎤ ⎥⎝⎦，. ⑵ ①13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，；②109⎛⎫ ⎪⎝⎭，；③193⎛⎤⎥⎝⎦，.下面我们再来看一下幂的比较大小：考点6：幂的比较大小如果给咱们两个幂，比如13与23，这时你肯定知道谁大谁小，但是你并不是根据指数函数得出的，那对于一个一般的幂我们应该如何比较大小呢？老师就可以把下边的铺垫给学生讲解一下，并由铺垫得出对于底相同指不同应该如何比较大小，对于底不同指相同应该如何比较大小，对于底、指都不相同又应该如何比较大小.讲完铺垫以后，就可以让学生自己做一下例6了.【铺垫】比较下列各题中两个值的大小①0.53-，0.63-；②0.53-，0.5π-；③π0.5，0.5π【解析】 ①0.50.633-->；②0.50.53π--> ③π0.50.5π<【方法总结】幂的大小比较的方法比较大小常用方法有：⑴比差（商）法：⑵函数单调性法；⑶中间值法：要比较A 与B 的大小，先找一个中间值C ，再比较A 与C 、B 与C 的大小，由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小.在比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：⑴ 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断． ⑵ 对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断或第8讲中幂函数的单调性来判断．⑶ 对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较．⑷ 对于三个（或三个以上）数的大小比较，则应根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可．【例6】 ⑴比较下列各题中两个值的大小：① 2.51.7，31.7；② 0.10.8-，0.20.8-； ③ 0.31.7， 3.10.9，④0.31.7-， 3.10.9-． ⑵设232555322555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【解析】 ⑴ ① 2.51.7<31.7；②0.10.8-<0.20.8-；③0.31.7> 3.10.9，④0.31.7-< 3.10.9-．⑵ A在前边我们已经讲了复合函数，那与指数相关的复合函数是什么样子的呢?这样的复合函数的性质又是什么样子的？所以本讲只讲外层是指数函数的复合函数，对于内层是指数函数的复合函数我们将在同步的时候再具体讲解.考点7：与指数函数相关的复合函数的定义域、值域及单调性问题老师可以用下边的铺垫给学生讲一下外层是指数函数的复合函数的性质，讲完性质后就可以让学生做例7了.经典精讲5.3 指数函数性质的应用【铺垫】求下列函数的定义域、值域和单调区间．⑴23x y +=；⑵12y ⎛= ⎪⎝⎭；⑶2453x x y -+=；⑷2122x x y +-=【解析】 ⑴ 定义域为R ；值域为()0+∞，；单调增区间为R⑵ 定义域为[)1+∞，；值域为(]01，；单调减区间为[)1+∞， ⑶ 定义域为R ；值域为[)3+∞，；单调增区间为[)2+∞，，单调减区间为(]2-∞， ⑷定义域为R ；值域为(]04，；单调增区间为(]1-∞，，单调减区间为[)1+∞，【例7】求下列函数的定义域、值域和单调区间．⑴ 112x y -= ； ⑵ 3xy -=；⑶12y ⎛= ⎪⎝⎭；⑷12y ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】 ⑴ 定义域为{},1x x x ∈≠R 且；值域为{}0,1y y y >≠且；单调减区间为(1)-∞，和(1+)∞，⑵ 定义域为R ；值域为(]0,1；单调增区间为(]0-∞，，单调减区间为[)0+∞， ⑶ 定义域为[]31-，；值域为114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；单调增区间为[]11-，，单调减区间为[]31--， ⑷ 定义域为(][)24-∞+∞，∪，；值域为[)1+∞，；单调增区间为[)4+∞，，单调减区间为(]2-∞，【演练1】等于（）A .23x -B .32x -C .()23x ±-D .23232233x x x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，≥，【解析】 D【演练2】下列函数：①23x y =；②6x y =；③23x y +=；④62x y =⋅；⑤81x y =+；⑥6x y =-.其中一定为指数函数的有（）A ．0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【解析】 B【演练3】设0.914y =，0.4828y =， 1.5312y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A .312y y y >>B .213y y y >>C .123y y y >>D .132y y y >>【解析】 D实战演练【演练4】如图若曲线1C ，2C ，3C ，4C 是指数函数5x，4.7x，45x⎛⎫⎪⎝⎭，0.9x 的图象，则1C ，2C ，3C ，4C 分别代表哪个指数函数？【解析】1:4.7xC ，2:5xC ，3:0.9xC ， 44:5xC ⎛⎫⎪⎝⎭【演练5】函数228113x x y --+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是________．【解析】 [)2-+∞，．⑴0(0)a a ≠=___ ；⑵(0,)n a a n -+≠∈=N ____；⑶()1n n n +>∈=N ，且_____；=______________；⑸()10na a >=_______；⑹(0,,)m naa n m +>∈=N _____________；⑺(0,,)=m na a n m -+>∈N ___________；⑻(0Q)r s a a a r s >∈=，，______________；⑼()(0Q)rs a a r s >∈=，，______________；⑽()(00Q)r ab a b r >>∈=，，______________． ⑾答案： ⑴1；⑵1n a ；⑶a ；⑷当n a ；当n 0||0a a a a a ⎧==⎨-<⎩，≥，．概念要点回顾；⑻r sa+；⑼rs a；⑽r ra b ⑾。

高一数学指数方程和对数方程(教师版)

10、当且仅当时，方程有唯一实数解
【课后练习】
1、方程的解是___________
2、方程的解是___________________
3、方程的解是_________________
4、方程的解集是________________
5、方程组的解集是______________________
（3）对数方程常常归结为对一元二次方程根的讨论，而讨论的方法，一般有如下三种：利用求根公式，韦达定理及运用二次函数的图像等。
【课堂小练】
1、方程是的解集是_________________
2、方程的解集是_________________
3、方程的解集是_______________
1、 2、 3、
【正解】设，则元方程变形为
由公式法知，即
又
4.8
例5、解下列方程：
（1）
（2）
【解】（1）
整理得：（舍去）
所以
经检验，是原方程的根
（2）两边取以为底的对数，得
整理得，
即
所以
经检验都是方程的根
变式练习：解方程
【解】原方程可以化为
即，整理得，（舍去）
经检验是原方程的根
例6、已知关于的方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围。
【解】显然需满足
（1）若上述方程有两个相等实根，则必有
若，则实根（舍去）；若，则实根为符合题意
（2）若上述方程有两个不等实根，则必有
考虑函数，只需
综上所述，实数的取值范围是
【点拨】此类对数方程形式简单，但综合性很强，往往要归纳为对一元二次方程根的讨论，解题时需注意如下三点：

高一数学《指数函数》优秀教案(优秀5篇)-最新

高一数学《指数函数》优秀教案（优秀5篇）作为一名优秀的教育工作者，时常要开展教案准备工作，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。

写教案需要注意哪些格式呢？它山之石可以攻玉，下面为您精心整理了5篇《高一数学《指数函数》优秀教案》，我们不妨阅读一下，看看是否能有一点抛砖引玉的作用。

高一数学《指数函数》优秀教案篇一一、教学目标：1、知识与技能(1)理解指数函数的概念和意义；(2)与的图象和性质；(3)理解和掌握指数函数的图象和性质；(4)指数函数底数a对图象的影响；(5)底数a对指数函数单调性的影响，并利用它熟练比较几个指数幂的大小(6)体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想。

2、情感、态度、价值观(1)让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。

(2)培养学生观察问题，分析问题的能力。

二、重、难点：重点：(1)指数函数的概念和性质及其应用。

(2)指数函数底数a对图象的影响。

(3)利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小。

难点：(1)利用函数单调性比较指数幂的大小。

(2)指数函数性质的归纳，概括及其应用。

三、教法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法。

②教具：多媒体。

四、教学过程：第一课时讲授新课指数函数的定义一般地，函数(0且≠1)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R。

提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(1，且)小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为0，是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R。

若0，如在实数范围内的函数值不存在。

若=1,是一个常量，没有研究的意义，只有满足的形式才能称为指数函数，不符合我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究。

先来研究的情况。

下面我们通过用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数的图象。

再研究，01的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数的图象。

高一数学人必修教学课件指数函数及其性质

化学反应速率
在化学反应中，反应速率通常与反应物浓度的某种幂次方成正比。当反应为一级反应时，反应速率与反应物浓度成正比，即反应物浓度随时间按指数方式减少。这是指数函数在化学反应速率中的一个重要应用。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
指数函数的定义和性质
指数函数是形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数，具有单调性、周期性、图像特征等性质。
02
应用举例：利用积的乘方法则，可以简化包含多个因子的复杂表达式的乘方运算。
03
以上内容涵盖了指数运算的基本规则和技巧，包括同底数幂的相乘和相除、幂的乘方以及积的乘方等关键概念。这些规则在解决指数函数及其性质相关问题时具有重要作用。
03 指数方程求解方法
一元一次指数方程求解
定义与性质
注意事项
指数函数和对数函数是互为反函数的，它们之间有着密切的联系。在解题时，可以灵活运用指数函数和对数函数的性质进行转化和求解。
拓展延伸：超越方程简介
超越方程的概念
超越方程是指含有超越函数的方程，即不能通过有限次代数运算求解的方程。常见的超越方程有指数方程、对数方程、三角函数方程等。
超越方程的解法
超越方程的解法通常包括图像法、数值法和近似解法等。其中，图像法是通过绘制函数图像来观察方程的解的情况；数值法是通过迭代计算来逼近方程的解；近似解法是通过一些近似公式或方法来求解方程的近似解。
连续复利
当计息次数n趋于无穷大时，复利公式变为A = Pe^(rt)，其中e为自然对数的底数，约等于2.71828。此时，指数函数的特性更加明显，表示资金在时间和利率的连续作用下按指数方式增长。
放射性物质衰变中指数函数应用
衰变公式

第3章+第5讲+指数与指数函数2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)

5.函数y＝ax－a－1(a＞0，且a≠)的图象可能是( )
解析函数 y＝ax－1a是由函数 y＝ax 的图象向下平移1a个单位长度得到的，A 显然错误；当 a＞1 时，0＜1a＜1，平移距离小于 1，所以 B 错误；当 0＜a＜1 时，1a＞1，平移距离大于 1，所以 C 错误．故选 D.
1. 3
6
4 6 a9
3 a94＝________.
答案 a4
解析原式＝[(a96)13]4[(a93)16]4＝a2·a2＝a4.
解析答案
2．已知 3a＋2b＝1，则9a·33ab＝________.
答案 3
解析
因为
3a
＋
2b
＝
1
，
所
以
3 2
a
＋
b
＝
1 2
，
所
以
原
式
＝
＝ 3.
解析答案
3．化简：解
解析答案
6 ．若曲线 |y| ＝ 2x ＋ 1 与直线 y ＝ b 没有公共点，则 b 的取值范围是 ________.
答案 [－1,1] 解析曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b如图所示，由图象可得，如果曲线|y| ＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
解析答案
8．若0<a<b<1，x＝ab，y＝ba，z＝bb，则x，y，z的大小关系为( )
A．x<z<y
B．y<x<z
C．y<z<x
D．z<y<x
解析因为0<a<b<1，所以f(x)＝bx单调递减，故y＝ba>z＝bb；又幂函数g(x)＝xb单调递增，故x＝ab<z＝bb，则x，y，z的大小关系为x<z<y.

高一函数(5)：指数与指数函数

专题一指数与指数函数题型一指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．【例1】化简：(a 2·5a 3)÷(a ·10a 9)＝________(用分数指数幂表示)．【解析(a 2·5a 3)÷(a ·10a 9)＝(a 2·a 35)÷(a 12·a 910)＝a 135÷a 75＝a 135－75＝a 65.【例2】614＋0.002－12－10×(5－2)－1－295-⎪⎭⎫ ⎝⎛＋[(－2)3]－23的值为________．【解析】原式＝225⎪⎭⎫⎝⎛＋50012－10×(5＋2)－1＋(23)－23＝52＋105－105－20－1＋2－2＝2.5－21＋0.25＝－18.25.【例3】．若x 12＋x －12＝3，则x 32＋x －32＋2x 2＋x －2＋3的值为________．【解析】由x 12＋x －12＝3，得x ＋x －1＋2＝9，所以x ＋x －1＝7，所以x 2＋x －2＋2＝49，所以x 2＋x －2＝47. 因为x 32＋x －32＝(x 12＋x －12)3－3(x 12＋x －12)＝27－9＝18，所以原式＝18＋247＋3＝25.题型二指数函数的图象及应用1．准确把握指数函数图象的特征(1)画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎪⎭⎫ ⎝⎛a 11-，. (2)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系，如图所示其中0<c <d <1<a <b ，在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．如举例说明3.2．关注含参指数型函数图象恒过定点问题 (1)依据：恒等式a 0＝1(a ≠0)．(2)方法：求形如f (x )＝M ·a kx ＋b ＋N 的图象恒过的定点，首先由kx ＋b ＝0求定点的横坐标，计算定点纵坐标．3．有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. 【例1】已知函数f (x )＝4＋2a x－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(0,5)D ．(5,0) 【解析】由x －1＝0得x ＝1，f (1)＝4＋2a 0＝6.所以函数f (x )＝4＋2a x －1的图象恒过定点(1,6)．【例2】函数f (x )＝2|x －1|的大致图象为( )【解析】因为f (x )＝2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，2x －1，x >1，所以f (x )在(－∞，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故排除A ，C ，D.【例3】若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．【解析】方程|a x －1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．(1)当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜2a ＜1，即0＜a ＜12；(2)当a ＞1时，如图②，而y ＝2a ＞1不符合要求．所以0＜a ＜12.题型三指数函数的性质及应用考查视角一比较指数幂的大小比较幂值大小的常见类型及解决方法【例1】(2020·许昌四校联考)设a ，b 满足0＜a ＜b ＜1，则下列不等式中正确的是( ) A ．a a ＜a b B ．b a ＜b b C ．a a ＜b a D ．b b ＜a b 【解析】指数函数y ＝a x (0＜a ＜1)为减函数，因为a ＜b ，所以a a ＞a b ，A 错误；指数函数y ＝b x (0＜b ＜1)为减函数，因为a ＜b ，所以b a ＞b b ，B 错误；幂函数y ＝x a (0＜a ＜1)在(0，＋∞)上为增函数，又a ＜b ，所以a a ＜b a ，C 正确；由幂函数y ＝x b (0＜b ＜1)在(0，＋∞)上为增函数，又a ＜b ，所以b b ＞a b ，D 错误．【例2】(2020·闽粤赣三省十校联考)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b 【解析】因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x 在R 上为增函数知，b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数知，a <c . 综上得b <a <c .故选A.考查视角二解指数不等式利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式的方法先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解【例3】若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为________．【解析】因为f (x )为偶函数，当x <0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－x－4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ≥0，2－x －4，x <0当f (x －2)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0，，解得x >4或x <0，所以不等式的解集为{x |x >4或x <0}．考查视角三指数型复合函数的单调性 1.两类复合函数的最值(或值域)问题(1)形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x 转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．(2)形如y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)型函数最值问题，可令t ＝f (x )，则y ＝a t ，先由x 的取值范围求t 的取值范围，再求y ＝a t 的最值． 2．对于形如y ＝a f (x )的函数的单调性(1)若a >1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调增(减)区间； (2)若0<a <1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调减(增)区间．【例4】已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．【解析】令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2m 上单调递增，在区间⎥⎦⎤ ⎝⎛∞2-m ，上单调递减．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4【例5】已知函数f (x )＝34231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛x ax .(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝34-231+-⎪⎭⎫⎝⎛x x ，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.则u 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝u⎪⎭⎫⎝⎛31在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝)(31x h ⎪⎭⎫⎝⎛，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a＝－1，解得a ＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0. 巩固提升1.(2020·上饶摸底)已知a＝20.4，b＝90.2，c＝(43)3，则( )A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解析】因为c＝(43)3＝334＝30.75＞30.4，b＝90.2＝30.4，所以b＜c，又20.4＜30.4，即a＜b，所以a＜b＜c.2．(2020·宜宾模拟)若函数f(x)＝2·a x＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，则m＋n＝( )A．3 B．1C．－1 D．－2【解析】因为函数f(x)＝2·a x＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，所以－1＋m＝0，且2·a0－n＝4.解得m＝1，n＝－2，所以m＋n＝－1.3.已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )A．a<b<c B．a<c<bC．c<a1，c＝0.20.3∈(0，1)，所以a<c<b.故选B.4．(2020·安徽皖江名校模拟)若e a＋πb≥e－b＋π－a，则有( )A．a＋b≤0B．a－b≥0C．a－b≤0D．a＋b≥0【解析】令f(x)＝e x－π－x，则f(x)在R上单调递增，因为e a＋πb≥e－b＋π－a，所以e a－π－a≥e－b－πb，则f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.故选D.5.已知函数f(x)＝a x，其中a>0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2【解析】∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A. 6.(2019·凌源模拟)设a ＝7375⎪⎭⎫⎝⎛，b ＝7573⎪⎭⎫ ⎝⎛，c ＝7373⎪⎭⎫⎝⎛，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．a ＜b ＜c C ．a ＜c ＜b D ．c ＜a ＜b【解析】因为函数y ＝x73⎪⎭⎫⎝⎛在R 上单调递减．所以7573⎪⎭⎫ ⎝⎛＜7373⎪⎭⎫ ⎝⎛，即b ＜c .又函数y ＝x 37在(0，＋∞)上单调递增，所以7373⎪⎭⎫ ⎝⎛＜7375⎪⎭⎫⎝⎛，即c ＜a .综上，b ＜c ＜a .7.若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 【解析】∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a ，整理得(a －1)(2x ＋2－x ＋2)＝0，∴a ＝1，∴f (x )>3，即为2x ＋12x －1>3，当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解．∴x 的取值范围为(0,1)．8.设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）>K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1【解析】对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )最大值小于或等于K 令2x ＝t ，则t ∈(0，2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.9.(2020·湖南株洲月考)如图，四边形OABC 是面积为8的平行四边形，AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E ，某指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象经过点E ，B ，则a ＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3【解析】设C (0，y C )，因为AC ⊥CO ，则设A (x A ，y C )，于是B (x A ，2y C )，E ⎪⎭⎫⎝⎛C A y x ，21 因为平行四边形OABC 的面积为8，所以y C ·x A ＝8，因为点E ，B 在y ＝a x 的图象上，则axA ＝2y C ，a xA2＝y C ，所以y 2C ＝2y C ，解得y C ＝2或y C ＝0(舍去)，则x A ＝4，于是a 4＝4，因为a >0，所以a ＝ 2.10.已知函数f (x )＝|2x －1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b ≥0，c >0 C ．2－a <2c D ．2a ＋2c <2 【解析】作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图，因为a f (c )>f (b )，结合图象知，0<f (a )<1，a <0，c >0，所以0<2a <1，所以f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，所以f (c )<1，所以0<c <1.所以1<2c <2，所以f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又因为f (a )>f (c )，所以1－2a >2c －1，所以2a ＋2c <2，故选D.11．函数y ＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围是________．【解析】因为函数y ＝a x －b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数y ＝a x －b 单调递减且其图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．令x ＝0，则y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，1－b <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b >1.故a b ∈(0，1)．12.定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]长度的最小值为________．【解析】∵函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]， ∴0∈[a ，b ]．2和－2至少有一个属于区间[a ，b ]，故区间[a ，b ]的长度最小时为[－2,0]或[0,2]．即区间[a ，b ]长度的最小值为2. 13.(2020·中山一中摸底)化简：(23a 2·b )(－6a ·3b )÷(－36a ·6b 5)＝________. 【解析】原式＝(2a 23·b 12)(－6a 12b 13)÷(－3a 16b 56)＝[2×(－6)÷(－3)]a 23＋12－16b 12＋13－56＝4a .14.已知函数f (x )＝(a －2)a x (a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．【解析】由题意知f (x )在R 上是单调递增函数，当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x 单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递增．故a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．15.若不等式(m 2－m )2x －x⎪⎭⎫⎝⎛21＜1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是___．【解析】(m 2－m )2x －x⎪⎭⎫ ⎝⎛21＜1可变形为m 2－m ＜x⎪⎭⎫⎝⎛21＋221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛x.设t ＝x⎪⎭⎫⎝⎛21(t ≥2)，则原条件等价于不等式m 2－m ＜t ＋t 2在t ≥2时恒成立．显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m ＜6，解得－2＜m ＜3.16.不等式2221212-++⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛a x axx 恒成立，则a 的取值范围是________．【解析】由题意，y ＝x⎪⎭⎫⎝⎛21是减函数，因为2221212-++⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛a x axx 恒成立，所以x 2＋ax >2x ＋a －2恒成立，所以x 2＋(a －2)x －a ＋2>0恒成立，所以Δ＝(a －2)2－4(－a ＋2)<0，即(a －2)(a －2＋4)<0，即(a －2)(a ＋2)<0，故有－2<a <2，即a 的取值范围是(－2，2)．17.已知实数a ，b 满足等式a ⎪⎭⎫ ⎝⎛21＝b⎪⎭⎫⎝⎛31，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ，其中可能成立的关系式有________．(填序号) 【解析】函数y 1＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21与y 2＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛31的图象如图所示．由a ⎪⎭⎫ ⎝⎛21＝b⎪⎭⎫⎝⎛31得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．18.设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a 的值为________．【解析】令t ＝a x (a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．①当0<a <1，x ∈[－1，1]时，t ＝a x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a 1,，此时f (t )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡aa 1,上为增函数．所以f (t )max ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛a f 1＝211⎪⎭⎫⎝⎛+a －2＝14.所以211⎪⎭⎫⎝⎛+a ＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a,1，此时f (t )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a,1上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝13或3. 19.已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3，0]上的值域；(2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x ，x ∈[－3，0]，则t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡181，. 故y ＝2t 2－t －1＝2241⎪⎭⎫ ⎝⎛-t －98，t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡181，，故值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡089-， (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，设2x ＝m >0，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解，记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立．当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a<0，过点(0，－1)，不成立．当a >0时，开口向上，对称轴m ＝14a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a >0.20．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．【解析】(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ，即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13，故k 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛∞31--，.。

高考数学总复习第二篇函数与导数第5讲指数与指数函数课件理

所以函数y的值域为34，57.故填34，57. 答案 34，57
②当a＞1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈1a，a ，此时f(t)在1a，a 上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝ 3(a＝－5舍去)．综上得a＝13或3.
热点突破5 高考中有关指数函数的最值问题【命题研究】通过对近三年高考试题分析，对本讲考查的题
目源于教材，略高于教材，是教材中问题的延伸与组合，指数函数作为中学阶段的基本函数，其图象和性质是重要的考查热点．题型有：解简单的指数方程、不等式，利用数形结合思想判断方程解的个数、与不等式相结合考查代数式的最值或参数的取值范围等．多以选择题、填空题出现，难度以中档题为主．
xn＝a⇒x＝n a(当n为奇数且n∈N*时)， x＝±n a(当n为偶数且n∈N*时).
②(n a)n＝_a__ (n∈N*且 a 必须使n a有意义)．
③当 n 为奇数时，n an＝a ； a(a≥0)，
当 n 为偶数时，n an＝|a|＝－a(a<0).
(3)分数指数幂的含义
m
①正分数指数幂an
＝
n am
(a>0，m，n∈N*，n>1)．
②负分数指数幂
＝＝ 1 (a>0，m，n∈N*，n>1)． n am
③0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂没有意义．
(4)有理数指数幂的运算性质 ①ar·as＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)． ②(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)． ③(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．上述有理数指数幂的运算性质，对于无理数指数幂也适
解析
(1)f(x)＝1

高三数学(文)一轮教学案：第二章第5讲指数与指数函数 Word版含解析

第5讲指数与指数函数考纲展示命题探究考点指数与指数函数1根式的概念根式符号表示备注若x n＝a，则x叫做a的n次方根—n>1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数na0的n次方根是0当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数±na负数没有偶次方根(1)na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a，n＝2k－1(k∈Z)，|a|，n＝2k(k∈Z).(2)(na)n＝a(a必须使na有意义)．2分数指数幂的意义(1)a mn＝na m(a>0，m、n∈N*，n>1)；(2)a － m n ＝1a m n ＝1n a m (a >0，m 、n ∈N *，n >1)．3 有理数指数幂的运算性质 (1)a r ·a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．4 指数函数概念及性质 (1)指数函数的概念函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数．说明：形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数．(2)指数函数的图象和性质底数a >10<a <1图象性质函数的定义域为R ，值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1 当x >0时，恒有y >1；当x <0时，恒有0<y <1 当x >0时，恒有0<y <1；当x <0时，恒有y >1 函数在定义域R 上为增函数函数在定义域R 上为减函数(1)当指数函数的底数大于1时，底数越大，图象上升越快；当底数大于0且小于1时，底数越小，图象下降越快．(2)指数函数的单调性是由底数a 决定的，因此解题时通常对底数a按0<a<1和a>1进行分类讨论.1．思维辨析(1)na n与(na)n都等于a(n∈N*)．()(2)2a·2b＝2ab.()(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．()(4)若a m<a n(a>0且a≠1)，则m<n.()(5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．()(6)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×2．已知a＝5－12，函数f(x)＝a x，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的关系为()A．m＋n<0 B．m＋n>0 C．m>n D．m<n答案D解析∵0<5－12<1，∴f(x)＝a x＝⎝⎛⎭⎪⎫5－12x，且f(x)在R上单调递减，又∵f(m)>f(n)，∴m<n，故选D.3．函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0答案D解析由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1，函数f(x)＝a x－b的图象是在y＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0，故选D.[考法综述]高考中考查内容多以指数函数的图象和性质为主，往往与其他函数相结合考查，如：图象的识别与应用，利用单调性比较大小，解不等式，求参数的取值范围等．主要以选择题、填空题形式出现．命题法指数的运算性质，指数函数的图象及性质典例(1)设a＝20.3，b＝0.32，c＝log x(x2＋0.3)(x>1)，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．b<c<a(2)已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝a x＋k的图象可能是()(3)若方程|3x －1|＝k 有两个解，则实数k 的取值范围是________． [解析] (1)∵x >1，∴c >log x x 2＝2，又1<a ＝20.3<2,0－1，所以－1<k <0.函数y ＝a x ＋k 的图象可以看成把y ＝a x 的图象向右平移－k 个单位得到的，且函数y ＝a x ＋k 是减函数，故此函数与y 轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，应该选B.(3)曲线y ＝|3x －1|与直线y ＝k 的图象如图所示，由图象可知，如果y ＝|3x －1|与直线y ＝k 有两个公共点，则实数k 应满足0<k <1.[答案] (1)B (2)B (3)(0,1)【解题法】与指数函数有关问题的解题思路(1)利用指数函数性质时，一般应画出指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象，抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . (2)指数函数的单调性是由底数a 决定的，因此解题时通常对底数a 按0<a <1和a >1进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先，要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．1．已知a ＝2－13 ，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a答案 C解析由指数函数及对数函数的单调性易知0<2－13 <1，log 213<log 21＝0，log 12 13>log 1212＝1, 故选C. 2.当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)答案 C解析原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.3．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )答案 B解析 f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，故选B.4．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 答案10解析 ∵4a＝2，∴a ＝log 42＝12. 由lg x ＝12，得x ＝10 12＝10.5．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192e 22k ＋b ＝48，即⎩⎨⎧e b＝192e 11k ＝12，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y ＝e33k ＋b＝(e11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．已知函数y ＝b ＋a x (a ，b 是常数且a >0，a ≠1)在区间[－1,0]上有y max ＝3，y min ＝52.试求a ，b 的值．[错解][错因分析] 错误地认为函数在区间上的最大(小)值就是区间端点的值．[正解] 当a >1时，函数y ＝b ＋a x 在区间[－1,0]上递增，则⎩⎨⎧b ＋a －1＝52，b ＋a 0＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.当0<a <1时，函数y ＝b ＋a x 在区间[－1,0]上递减，则⎩⎨⎧b ＋a －1＝3，b ＋a 0＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1．[·冀州中学热身]下列函数中值域为正实数的是( ) A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 D ．y ＝1－2x答案 B解析 ∵1－x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的值域是正实数，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x的值域是正实数．故选B.2. [·枣强中学热身]已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 23 ，b ＝2－43 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 13，则下列关系式中正确的是( )A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a 23>13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12 43 <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 23 <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 13 ，即b <a <c .3．[·冀州中学周测]设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案 C解析若a <0，则由f (a )<1得⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，所以－3<a <0，若a ≥0，则由f (a )<1得a <1，所以0≤a <1.综上，a 的取值范围是－3<a <1，即(－3,1)．4．[·衡水二中一轮检测]已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11答案 B解析 ∵f (x )＝2x ＋2－x ，f (a )＝3，∴2a ＋2－a ＝3.∴f (2a )＝22a ＋2－2a ＝(2a ＋2－a )2－2＝9－2＝7. 5．[·衡水二中猜题]若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 B解析 f (1)＝19得a 2＝19.又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．6．[·枣强中学月考]函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2 的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 答案 D解析由－x 2＋x ＋2≥0知，函数定义域为[－1,2]，－x 2＋x ＋2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋94.当x ≥12时，u (x )＝－x 2＋x ＋2递减，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在定义域上递减，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.7．[·衡水二中预测]不等式2－x 2＋2x>⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________．答案 {x |－1<x <4} 解析不等式2－x 2＋2x>⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，等价于不等式x 2－2x <x ＋4，即x 2－3x －4<0，解得－1<x <4，所以解集为{x |－1<x <4}．8．[·武邑中学期末]已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则x 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，43解析由题可知f (x )在区间(－∞，0]上单调递增，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则－53<2x －1<53，即－13<x <43.9．[·衡水二中热身]已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．答案 52解析令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5 ＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.10．[·衡水中学热身]函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．解当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a .∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时， f (x )＝a x 为减函数，在x ∈[1,2]上， f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2.∴a －a 2＝a2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12. 综上可知，a ＝12或a ＝32.11．[·武邑中学月考]已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝12|x |＋2. (1)求函数g (x )的值域；(2)求满足方程f (x )－g (x )＝0的x 的值．解 (1)g (x )＝12|x |＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋2，因为|x |≥0，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1，即2<g (x )≤3，故g (x )的值域是(2,3]． (2)由f (x )－g (x )＝0，得2x －12|x |－2＝0，当x ≤0时，显然不满足方程，即只有x >0时满足2x－12x －2＝0，整理得(2x )2－2·2x －1＝0，(2x －1)2＝2，故2x ＝1±2，因为2x >0，所以2x ＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)．12．[·武邑中学一轮检测]已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)因为f (x )的图象过点A (1,6)，B (3,24)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24.所以a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，则b ＝3.所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－m ≥0恒成立，即m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在x ∈(－∞，1]时恒成立．又因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 均为减函数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 有最小值56.所以m ≤56，即m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，56.能力组13. [·冀州中学一轮检测]已知函数f (x )＝|2x －1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0； ②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c ； ④2a ＋2c <2. 答案 ④解析由图示可知a <0时，b 的符号不确定，1>c >0，故①②错； ∵f (a )＝|2a －1|，f (c )＝|2c －1|， ∴|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1，故2a ＋2c <2，④成立．又2a ＋2c >22a ＋c ，∴2a ＋c <1， ∴a ＋c <0，∴－a >c ，∴2－a >2c ，③不成立．14．[·枣强中学预测]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则方程f (x )＝12的解集为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，22，2解析当x ≤0时，解2x ＝12得x ＝－1；当x >0时，解|log 2x |＝12得x ＝22或x ＝ 2.所以方程f (x )＝12的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，22，2.15. [·衡水中学仿真]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，0≤x <1，2x －12，x ≥1，若a >b ≥0，且f (a )＝f (b )，则bf (a )的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，2解析如图，f (x )在[0,1)，[1，＋∞)上均单调递增，由a >b ≥0及f (a )＝f (b )知a ≥1>b ≥12.bf (a )＝bf (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ，∵12≤b <1，∴34≤bf (a )<2.16．[·冀州中学期中]求函数f (x )＝3x 2－5x ＋4的定义域、值域及单调区间．解依题意知x 2－5x ＋4≥0，解得x ≥4或x ≤1， ∴f (x )的定义域是(－∞，1]∪[4，＋∞)．∵x 2－5x ＋4≥0，∴f (x )＝3x 2－5x ＋4≥30＝1， ∴函数f (x )的值域是[1，＋∞)．令u ＝x 2－5x ＋4＝⎝⎛⎭⎪⎫x －522－94，x ∈(－∞，1]∪[4，＋∞)， ∴当x ∈(－∞，1]时，u 是减函数，当x ∈[4，＋∞)时，u 是增函数．而3>1，∴由复合函数的单调性可知，f (x )＝3x 2－5x ＋4在(－∞，1]上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数．。

高一数学指数与指数函数 PPT课件图文

(3)由(-a)
1 2
知
-a≥0,
∴a-1<0.
∴原式=(1-a)(1-a)-1(-a)14
=(-a)
1 4
.
2.已知 2x+2-x=5, 求下列各式的值: (1) 4x+4-x; (2) 8x+8-x. 解: (1) 4x+4-x=(2x+2-x)2-22x ·2- =25-2=23; x (2) 8x+8-x=(2x+2-x)3-32x ·2-x(2x+2-x) =125-15=110.
∴g(x) 的定义域区间 [0, 1] 为函数的单调递减区间.
g(x) 在 [0, 1] 上单调递减, 证明如下:
对于任意的 x1, x2[0, 1], 且 x1<x2,
g(x1)-g(x2) =(2x1-4x1)-(2x2-4x2)
=(2x1-2x2)-(2x1-2x2)(2x1+2x2)
=(2x1-2x2)(1-2x1-2x2)
3.已知 2a ·5b=2c ·5d=10, 求证: (a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). 证: 由已知 2a ·5b=10=2 ·5, 2c ·5d=10=2 ·5,
∴ 2a-1 ·5b-1=1, 2c-1 ·5d-1=1. ∴ 2(a-1)(d-1) ·5(b-1)(d-1) =1, 2(c-1)(b-1) ·5(d-1)(b-1) =1. ∴ 2(a-1)(d-1) ·5(b-1)(d-1) =2(c-1)(b-1) ·5(d-1)(b-1). ∴ 2(a-1)(d-1)=2(c-1)(b-1). ∴ (a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).
三、根式的性质
1.当 n 为奇数时, 正数的 n 次方根是一个正数, 负数的 n 次方根是一个负数, a 的 n 次方根用符号 n a 表示.

2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5讲指数与指数函数课件

3．若方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则m的取值范围为_(_0_，__＋__∞_). [解析] 作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得 m>0.
考向2 指数函数的性质及其应用——多维探究角度1 比较指数幂的大小
(2024·福建质量检测)已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则( D ) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a
[解析] (1)当x＝1时，y＝4，因此函数y＝a1－x＋3过定点(1,4)． (2)曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)． (3)因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k 的取值范围为(－∞，0]．
函数在定义域R上为增函数
函数在定义域R上为减函数
归纳拓展 1．画指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象时注意两个关键点：(1，a)， (0,1)． 2．底数 a 的大小决定了图象相对位置的高低，不论是 a>1，还是 0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”．
3．f(x)＝ax 与 g(x)＝1ax(a>0 且 a≠1)的图象关于 y 轴对称．
第五讲指数与指数函数
知识梳理 · 双基自测
知识梳理知识点一指数与指数运算 1．根式 (1)根式的概念
根式的概念
符号表示
如果__x_n＝___a__，那么 x 叫做 a 的 n 次方根
备注 n>1 且 n∈N*
当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个 __正__数____，负数的 n 次方根是一个__负__数___