2019年江苏省高考数学二轮复习自主加餐的3大题型：14个填空题综合仿真练(九)

2019年4月14个填空题综合仿真练(九)
1．设全集U ＝{x |x ≥3，x ∈N }，集合A ＝{x |x 2≥10，x ∈N }，则∁U A ＝________. 详细分析：∵全集U ＝{x |x ≥3，x ∈N }，A ＝{x |x 2≥10，x ∈N }＝{x |x ≥10，x ∈N }，∴∁U A ＝{x |3≤x ≤10，x ∈N }＝{3}．
答案：{3}
2．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50,75)中的频数为100，则n 的值为________．
详细分析：由图可知，在[50,75)上的频率为0.1，所以n ＝100
0.1＝1 000.
答案：1 000
3．若复数z 满足z ＋i ＝2＋i
i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝________.
详细分析：由z ＋i ＝2＋i i ，得z ＝2＋i
i －i ＝－2i ＋1－i ＝1－3i ，则|z |＝
12＋(－3)2＝10.
答案：10
4．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为________．
详细分析：由图可知x 2－2x ＋2＝26，解得x ＝－4或x ＝6，又x <4，所以x ＝－4. 答案：－4
5．从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为________．
详细分析：从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，基本事件总数n ＝15，所取2个数的和能被3整除包含的基本事件有：(1,2)，(1,5)，(2,4)，(3,6)，(4,5)，共有5个，所以所取2个数的和能被3整除的概率P ＝515＝1
3
.
答案：13
6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝________. 详细分析：设S n ＝An 2＋Bn ，
由题知，⎩
⎪⎨⎪⎧
S 3＝9A ＋3B ＝9，
S 5＝25A ＋5B ＝25，解得A ＝1，B ＝0，
∴S 7＝49.
答案：49
7.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A -A 1EF 的体积是________．
详细分析：因为在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，BB 1⊄平面AA 1C 1C ，所以BB 1∥平面AA 1C 1C ，从而点E 到平面AA 1C 1C 的距离就是点B 到平面AA 1C 1C 的距离，
作BH ⊥AC ，垂足为点H ，由于△ABC 是正三角形且边长为4，所以BH ＝23，从而三棱锥A -A 1EF 的体积VA -A 1EF ＝VE -A 1AF ＝13S △A 1AF ·BH ＝13×1
2
×6×4×23＝8 3.
答案：8 3
8．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
－3，x >0，
g (x )，x <0是奇函数，则f (g (－2))＝________.
详细分析：∵f (x )是奇函数，
∴g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－(22－3)＝－1， 则f (－1)＝－f (1)＝－(2－3)＝1，
故f (g (－2))＝1. 答案：1
9．如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫
5π6，0中心对称，则|φ|的最小值为________． 详细分析：由题意可知当x ＝5π
6
时，y ＝0， 即有sin ⎝⎛⎭⎫5π3＋φ＝0， 解得φ＝k π－5π
3，k ∈Z ，
化简得φ＝(k －2)π＋π
3，k ∈Z ，
所以|φ|的最小值为π
3.
答案：π3
10．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ―→＝(－1，t )，OB ―→
＝(2,2)，若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．
详细分析：∵∠ABO ＝90°，∴OB ―→·AB ―→＝0，即有OB ―→·(OB ―→－OA ―→)＝0，∴OA ―→·OB ―→＝OB
―→
2
，代入坐标得－2＋2t ＝8，解得t ＝5.
答案：5
11．已知正实数a ，b 满足9a 2＋b 2＝1，则ab
3a ＋b 的最大值为________．
详细分析：法一： ab 3a ＋b ≤ab 23ab
＝2·3ab
62≤
9a 2＋b 262
＝2
12，当且仅当3a ＝b 时等号成立，又因为9a 2＋b 2＝1，a >0，b >0，所以当a ＝
26，b ＝22时，ab 3a ＋b
取得最大值为2
12. 法二：令⎩⎪⎨⎪⎧
3a ＝cos θ，b ＝sin θ，
θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则ab 3a ＋b ＝13·sin θcos θ
cos θ＋sin θ.令t ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈⎝⎛⎦⎤22，1，所以t ∈(1，2]．所以ab 3a ＋b ＝13·(cos θ＋sin θ)2－1
2cos θ＋sin θ
＝16·t 2
－1t ＝16⎝⎛⎭⎫t －1t .因为y ＝t －1
t 在t ∈(1，2 ]上单调递增，所
以当t ＝2时，
ab 3a ＋b
取得最大值为2
12.
答案：
212
12．已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝2(n ∈N *)，则满足
1 001
1 000<S 2n S n <11
10
的n 的最大值为________． 详细分析：由2a n ＋1＋S n ＝2，① 可得当n ≥2时，2a n ＋S n －1＝2.②
①－②得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，所以2a n ＋1＝a n . 因为a 2＝1
2，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝12
(n ≥2)．
又因为a 2a 1＝12，所以a n ＋1a n ＝12，所以数列{a n }是以1为首项，1
2
为公比等比数列，所以S n
＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n ，所以S 2n
＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫122n ，从而S 2n S n
＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫122n 2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n ＝1－⎝⎛⎭⎫122n
1－⎝⎛⎭
⎫12n
＝1＋⎝⎛⎭⎫12n .由不等式1 0011 000<S 2n S n <1110
， 得
1 0011 000<1＋⎝⎛⎭⎫12n <1110，所以11 000<⎝⎛⎭⎫12n <1
10
， 解得4≤n ≤9，所以满足条件的n 的最大值为9. 答案：9
13．已知点A (2,3)，点B (6，－3)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足等式AP ―→
·BP ―→＋2λ＝0的点P 有两个，则实数λ的取值范围是________．
详细分析：设P (x ，y )，则AP ―→＝(x －2，y －3)，BP ―→＝(x －6，y ＋3)，根据AP ―→·BP ―→＋2λ＝0，得(x －4)2＋y 2＝13－2λ⎝⎛⎭⎫λ<132.由题意知圆(x －4)2＋y 2＝13－2λ⎝⎛⎭⎫λ<13
2与直线3x －4y ＋3＝0相交，即圆心到直线的距离d ＝|3×4－4×0＋3|
32＋(－4)
2＝3<
13－2λ，所以λ<2.
答案：(－∞，2)
14．已知函数f (x )＝e x －ax －1，g (x )＝ln x －ax ＋a ，若存在x 0∈(1,2)，使得f (x 0)g (x 0)<0，则实数a 的取值范围为________．
详细分析：若存在x 0∈(1,2)，使得f (x 0)g (x 0)<0， 即[e x 0－(ax 0＋1)][ln x 0－a (x 0－1)]<0.
在同一直角坐标系下作出函数y ＝e x ，y ＝ax ＋1，y ＝ln x ，y ＝a (x －1)的图象(图略)． 当a <0时，f (x 0)>0，g (x 0)>0恒成立，不满足题意； 当a ＝1，x >1时，e x >x ＋1，ln x <x －1恒成立，满足题意；
当a >1，x >1时，ln x －a (x －1)<x －1－a (x －1)＝(1－a )(x －1)<0，此时只需存在x 1∈(1,2)，
使得e x 1>ax 1＋1，则e 2
>2a ＋1，解得a <e 2－12，所以1<a <e 2
－12
；
当0<a <1，x >1时，e x －(ax ＋1)>x ＋1－(ax ＋1)＝(1－a )x >0，此时只需存在x 2∈(1,2)，使得ln x 2<a (x 2－1)，则ln 2<a (2－1)，解得a >ln 2，所以ln 2<a <1.
综上所述，实数a 的取值范围为⎝ ⎛
⎭⎪⎫ln 2，e 2－12.
答案：⎝⎛⎭⎫
ln 2，e 2
－12。