21电容电场能量

q1q 2 4 0 a
ˆ r q1q 3 ˆ r
F 1 ,( q1 q 2 ) F 1 , q 3
4 0 ( a b )
2
25
例 点电荷-q位于圆心处，A、B、C、D 位于同一圆周上的四点如图示。 求：将q0从A移至B、C、D点，电场力的功。
A=0
A
-q D
C
等效电容

1 C

1 C1

1 C2
14
2）、电容的并联
C1
U U 1 U 2
C2
q q1 q 2
所以:
C q U

q1 q 2 U
C
等效电容
C C1 C 2
15
[ 练习 ] 一平行板电容器，其中填充了一层介质，
尺寸如图，介质的相对介电常数为r
求此电容器之电容。
b
3) q3对q1 的作用力:
F 13
4 0 a q1q 3
4 0 ( a b )
2
24
F 1 ( A
(
解：4) A对q1 的作用力：
q1q 2 4 0 a q1q 2 4 0 a
2 2
q1+q2
2

q1q 3
4 0 ( a b ) q1q 3
D 4 r
2

q
q0 , D
q
2
q
4 r
0
I II
高斯面
2
r
I区：D 1
II区：D 2
4 r
4 r
2
由 D 0 r E
4
D1
q 4 r
2
E1
D1
0 r

q 4 0 r r
q 4 0 r
2
2

E0
r
q
R
r
D2
q 4 r
2
E2
a
D2
0 r
E0
r
I
II
由 Ua
U1


q
E dl


Edr
a
r


r
R r
E 1 dr

2
R
E 2 dr
高斯面
1 q 1 dr 2 4 0 r r R 4 0 R 4 0 r
R
4 0 r r
取坐标系如图 x 0 处 E 0
0
S
r
以x=0处的面为对称面过场点 作正柱形高斯面S 底面积设S0
D dS
S0
x

q
i
Ox
i内
6

x d 2
D dS
q
i
i内
d
2 DS 0 0 2 x S 0
E D
0 r

0 x 0 r

2 R2 R1
12

D dS

s1
D dS
D 2 rl
l
( s s1 )

D dS
E
R2

D



• 两极板间的电势差
U

R1
2 r
dr
ln
• 根据电容定义式计算电容
C Q U
U
B
C
26
例 已知： q1、q2、q3 沿一条直线分布。 其中任一点电荷所受合力均为零， 且 q1=q3=Q q2 q1 求：将q 从o→,外力需作功 A=?
2
q3 a
解： 由已知q1所受静电力
f q1q 3 4 0 ( 2 a )
2
a
q2 q1 4

o
Q 4

q 2q1 4 0 a
求:导体球所带的净电量?
q
2Q
o r
Q
2d
d

2Q 4 0 2 d
U金属球 0
Q 4 0 d q

0
Uo 0
q 2 r d Q
4 0 r
22
例 . 已知: 金属球内有两个 球形导体腔, 金属球不带电 两个腔中心分别放入 电荷 q1 、 q2, q3放在导 体球外,各部尺寸如图 求: 1) q1 所受的合力?
D


Q S
两极板间的电势差 U E d d S • 根据电容定义式计算电容
C Q U

S
d
11
例. 圆柱形电容器的电容 已知:圆柱形电容器 R1，R2，
求: 其电容.
ε
r
S1
A
B L
解:
•
设两极板面电荷线密度 分别为 +，- 做如图高斯面
l


2 r
2 L R2 ln R1

2
ln
R2 R1
L
2 ln R2 R1

单位长度的电容
C
2 R2 ln R1
13
三、电容器的串联和并联 1）、电容器的串联 q q1 q 2
U U 1 U 2
C1
-q
+q
C2
所以: C
q U

q U 1 U 2
dr
+ +r
+
Q +
+
εr
+ +
2
+ + +R
3)电场空间总能量 W


V
1 2
E dV
2

2
R
1

Q 4 r
2

Q 4 r
2
4 r dr
2
Q
2
8 R
19
例: 已知: C , U , d 现将 d 增大 求: 1) K 断开时, W e 的变化. 2) K闭合时, W e 的变化. C 解: 1) K 断开时, Q 不变
17
二.电场能量
电场能量密度
+Q ++++++++
-Q - - - - - - - S
电场具有能量 1.定义:电场能量密度 w 单位体积电场空间中的能量
w W V 体积 V 内能量 体积 V
r
d
2.推导: 以平行板电容器的场为特例 1 S 1 2 2 (E d ) CU We 1 2 2 d we E V Sd Sd 2

q0
介质中真实的场：E
1 E ( D P ) 自由电荷产生的场： 0 0
D
束缚电荷产生的场：
P
0
1
1
介质环路定理 电介质中静电场的环路定理
2
例1 平行板电容器 自由电荷面密度为 充满相对介电常数为 r 的均匀各向同 性电介质 求:板内的场 解:均匀极化 表面出现极化电荷 故极化电荷分布亦沿平面均匀分布 则：电场方向沿x方向
2) q2对q1 的作用力? 3) q3对q1 的作用力?
q1+q2
q1
A -q1
R
q2 O -q2 q3
r
a b
5) –q1对q1 的作用力? 6) –q2对q1 的作用力? 7) q1+ q2对q1 的作用力?
4) A对q1 的作用力?
23
F1 合 0 由静电屏蔽 F 1 , q 3 F 1 ( q 1 q 2 ) 0
2
ˆ )( r )
A -q1
q1
R
-q2 O q2 q3

4 0 ( a b )
ˆ )r
5) –q1对q1 的作用力: F 1 , q 0 1
r
a b
2
6) –q2对q1 的作用力:
7) q1+ q2对q1 的作用力:
F1 , q 2 F1 ,q 2
F F
12
(1)单位:法拉
V
1 pF 10
(2) 电容反映了导体本身的性质,只与几何因素 和介质有关,与导体带电量无关
9
一、孤立导体的电容
真空中孤立导体球 (如图)
• 设球带电为 Q • 导体球电势 • 导体球电容
V Q 4 0 R
R
C
Q V
4 0 R
问题
欲得到 1F 的电容,孤立导体球的半径 R
R 1 4
0
9 10 m 10 R E
9
3
10
例. 平行板电容器的电容 已知: 平行板电容器 d, S ,r
求: 其电容. 解: • 设电容器带电量 Q • 求两极板间的电势差U
s
Q

D dS S1 D S1
Q S
E D
d D
r
-Q
Q
2
0
x
A A e ( q 2U o 0 ) q 2
2Q 4 0 a
Q
2
8 0 a
27
例
Q
0 0

末态
Q -Q
-Q
初态
设每个电容器的电容量为C0 求：两电容器并联前后，电容器组的能量变化 1 Q 解： 电容器的电量不变 W
W W 末 W 初
Q
2
2
Q
2

Q
2
Q
2
e
2 C
2C 末
4C 0
2C 初
0

Q
2
2( 2C 0 )
2C 0
能量哪儿去了？
28
作业:
7-42, 7-47, 7-49, 7-50
解：电容可视为两电容串联
C1
0S
d1
C2
0 r S
d2
d1 d2
1
+ + + + + A
r
+σ
ε
0
C
1 C

1 C1

1 C2

1
B
σ
d2
0S
d1

0 r S
C
0S
d1 d2
r
16
§7-10 静电场的能量
一.电容器的储（静电）能
注：电容器的能量存在于两极板之间的电场中

E dS
S

(q0 q )
上次课内容
r 1 P 0 ( r 1) E P D 各向同性线性均匀电介质： E r D 0 r D 0E P
介质中的高斯定理 S
0

D dS
S
P dS q
8
§7-7 电容器的电容 电容器、电容
电容器: 由两个绝缘的金属导体组成的装置 当电容器中两导体分别带等值异号电量+Q和-Q时， 两导体间电势差（电压）为△V 物理意义:使导 实验发现:
V Q
C
1F 1 C
Q V
1 F 10
6
体升高单位电势 所需的电荷量. 是表征导体储电 能力的物理量
dr

R
q
q
U2

r
E 2 dr

r
q 4 0 r
2
dr
q 4 0 r
5
例 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为d 相对介电常数为r ，内部均匀分布体电荷密度为 0 的自由电荷 求：介质板内、外的 D E P d D E P 平板 解： 面对称
1 DE DE 2 2
1
2
普遍成立
18
已知： Q, R,
例 求一均匀带电球面的电场能量。
求:电场空间的能量? dV 解: 1)任取小体元 2 dV 4 r dr 1 2)小体元的能量 dW E 2 dV 小体元内: E
Q 4 r
2
r（球外为无限大介质）
D 0 x
0
S
r
P 0 r 1 E r 1
x d 2
2 DS 0 0 dS
E D
0
0 x r
D
x
0x
x
0
2
d
0d
2 0
0
均匀场
P 0 r 1 E 0
7
7-55在平行板电容器的两板上带有等值异号的电 荷，两板间的距离为5.0mm，充以r=3的介质， 电介质中的电场强度为106V/m，求： 0 （1）电介质中的电位移矢量 （2）平板上的自由电荷面密度 r （3）电介质中的极化强度 （4）电介质面上的极化电荷 0 面密度 （5）平行板上自由电荷及电介质面上极化电荷所产 生的那一部分电场强度
0
0 0
r
S

D dS
S
上底
D dS
下底
D dS
D S 内 底
0
0
由高斯定理： D内 S底

D
S底
3
例：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 r 的介 质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。 解：在介质球内、外各作半径为 r 的 高斯球面。 D d S R q0 q S r r D 球面上各点D大小相等， // d S ,
解：1) q1 所受的合力:
q1+q2
A -q1
q1
R
-q2 O q2 q3
-q1均匀分布
-q2均匀分布 F 1 , q F 1 , q 0 2 2
2) q2对q1 的作用力： F 12 q1q 2
2
F1 , q1 0
A外
r
a
ˆ ( r ) ˆ ( r )
We 1 Q
2
U K
Baidu Nhomakorabea
2 S 2 C 2 1 Q W e d 0 2 S 1 2) K闭合时, U 不变 W e CU 2 1 S U 因此 W e 2 2 d

1 Q
2
d
2

1 S 2 d
U
2
2
d 0
20
习题
21
例、 已知: +2Q , +Q 相距 3d ,导体球接地,尺寸如图