高考数学专题复习专题7不等式第45练基本不等式练习理
高考数学复习专题 基本不等式 (文 精讲)
专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6B ．8 2C ．5D ．9高频考点二 利用基本不等式解决实际问题【例2】【2019·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．，，，，，，，，【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【变式探究】（2020·山西省大同模拟）经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km /h )(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175（x 2－130x ＋4 900），x ∈[50，80），12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ． 【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y-+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【答案】23＋2【解析】∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【答案】92【解析】(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy ，∵x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝4， ∴4＝x ＋2y ≥22xy ，∴xy ≤2，∴1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92.【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6 B ．8 2 C ．5 D ．9【答案】A【答案】∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1， ∴a ＝b ＋1b －2＞0，∴b ＞2，∴a ＋2b ＝b ＋1b －2＋2b ＝2(b －2)＋3b －2＋5≥5＋22（b －2）·3b －2＝5＋2 6.当且仅当2(b －2)＝3b －2，即b ＝2＋62时取等号．∴a ＋2b 的最小值为5＋26，故选A 。
高考数学一轮复习统考 第7章 不等式 第4讲 基本不等式学案(含解析)北师大版-北师大版高三全册数学
第4讲 基本不等式基础知识整合1．重要不等式a 2＋b 2≥012ab (a ，b ∈R )(当且仅当02a ＝b 时等号成立)．2．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：03a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当04a ＝b 时等号成立； (3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的05算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的06几何平均数．3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当07x ＝y 时，x ＋y 有08最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当09x ＝y 时，xy 有10最大值S 24.(简记：“和定积最大”)1．常用的几个重要不等式 (1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 2．利用基本不等式求最值的两个常用结论(1)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，若ax ＋by ＝1，则有1x ＋1y＝(ax ＋by )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝a ＋b ＋by x ＋ax y≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.(2)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，若a x ＋b y＝1，则有x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A ．1 B.14 C.12 D.22答案 B解析 ∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，即ab的最大值为14.故选B.2．已知a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b答案 D解析 ∵a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，则显然有a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab .下面比较a 2＋b 2与a ＋b 的大小．由于a ，b ∈(0,1)，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b .故各式中最大的是a ＋b .3．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π)C ．y ＝4e x＋e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x <1)答案 C解析 A 中x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，函数没有最小值；B 中若y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π)取得最小值4，则sin 2x ＝4，显然不成立；D 中由0<x <1，则log 3x ∈(－∞，0)，y ＝log 3x ＋log x 3＝log 3x ＋1log 3x 没有最小值；C 中y ＝4e x ＋e －x ＝4e x ＋1e x ≥4，当且仅当4e x ＝e －x，即x ＝－ln 2时，函数的最小值为4.故选C.4．(2019·山西晋城模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4C.92 D ．5答案 C解析 y ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4a b ＋b a ≥92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝23，b ＝43时等号成立，即1a ＋4b 的最小值是92.故选C.5．若x ，y 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3B.72 C ．4 D.92答案 C解析 原式＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2≥4.当且仅当x ＝y ＝22时取“＝”号，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是4. 6.3－aa ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为________．答案 92解析 当a ＝－6或a ＝3时，3－aa ＋6＝0；当－6<a <3时，3－a a ＋6≤3－a ＋a ＋62＝92， 当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时取等号．故3－aa ＋b (－6≤a ≤3)的最大值为92.核心考向突破精准设计考向，多角度探究突破考向一 利用基本不等式求最值 角度1 利用配凑法求最值例1 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴x ·(3－3x )＝13·3x ·(3－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时，x (3－3x )取得最大值．故选B.(2)设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．答案 0解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．[即时训练] 1.设a ，b 均大于0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 答案 3 2解析 ∵(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋1＋b ＋3＋ 2a ＋1b ＋3＝9＋2a ＋1b ＋3，又2a ＋1b ＋3≤a ＋1＋b ＋3＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝72，b ＝32时取“＝”， ∴(a ＋1＋b ＋3)2≤18， ∴a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.角度2 利用常数代换法求最值 例2 (1)(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( )A ．[6，＋∞)B ．[10，＋∞)C ．[12，＋∞)D ．[16，＋∞)答案 D解析 ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D. (2)已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则2a －1＋1b的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8答案 D解析 因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2，所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1，所以2a －1＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1＋1b ·[(a －1)＋2b ]＝4＋4b a －1＋a －1b ≥4＋24b a －1·a －1b ＝8，当且仅当4b a －1＝a －1b，即a ＝32，b ＝14时取等号，所以2a －1＋1b的最小值是8，故选D.常数代换法求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．运用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值．[即时训练] 2.(2020·正定模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．答案 5解析 由x ＋3y ＝5xy ，可得15y ＋35x＝1， 所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.角度3 利用消元法求最值例3 (1)(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则acb2的最大值为( )A ．8B ．2 C.18 D.16答案 C解析 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝ac 2a ＋c2＝ac 4a 2＋4ac ＋c 2＝14a c ＋ca＋4≤124a c ·ca＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立，即acb 2的最大值为18.故选C.(2)已知x >54，则函数y ＝16x 2－28x ＋114x －5的最小值为________．答案 5解析 令4x －5＝t ，则x ＝t ＋54(t >0)，∴y ＝t 2＋3t ＋1t ＝t ＋1t ＋3(t >0)，又t ＋1t≥2(当且仅当t ＝1时，取“＝”)，∴y 的最小值为5.通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．[即时训练] 3.(2019·安徽阜阳模拟)若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b ＋3ba的最小值为________． 答案 6解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以b ＝aa －1>0，所以a >1，所以a ＋b ＋3b a ＝(a －1)＋4a －1＋2≥4＋2＝6，当且仅当a ＝3时等号成立，所以a ＋b ＋3ba 的最小值是6.考向二 求参数值或取值范围例4 (1)(2019·山西长治模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，∴(a ＋1)2≥9.∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4.故选B.(2)当0<m <12时，若1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－2,0)∪(0,4]B ．[－4,0)∪(0,2]C ．[－4,2]D ．[－2,4]答案 D解析 因为0<m <12，所以m (1－2m )＝12×2m ×(1－2m )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m ＋1－2m 22＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取等号，所以1m ＋21－2m ＝1m 1－2m ≥8.又1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，所以k 2－2k －8≤0，所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2,4]．故选D.(1)要敏锐地洞察到已知条件与所求式子的联系，并能灵活地进行转化． (2)利用基本不等式确立相关成立条件，从而得到参数的值或取值范围．[即时训练] 4.设a >0，b >0且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2答案 C解析 由1a ＋1b ＋ka ＋b≥0得k ≥－a ＋b 2ab，又a ＋b 2ab＝a b ＋b a＋2≥4(当且仅当a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b2ab≤－4，因此要使k ≥－a ＋b2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.故选C.5．(2019·珠海模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 C解析 解法一：由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，令x ＋3y ＝t ，则t >0，且t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6.故x ＋3y 的最小值为6.解法二：∵x ＋3y ＝9－xy ≥23xy ，∴(xy )2＋23·xy －9≤0，∴(xy ＋33)(xy －3)≤0，∴0<xy ≤3，∴x ＋3y ＝9－xy ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.故选C. 考向三 基本不等式的实际应用例5 (2019·辽宁沈阳质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )(万元)，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x－1450.每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品的销售额为0.05×1000x 万元，依题意得，当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1000x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1000x )－⎝⎛⎭⎪⎫51x ＋10000x－1450－250＝1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.则当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元；当x ≥80时，L (x )＝1200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ≤1200－2x ·10000x＝1200－200＝1000⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝10000x，即x ＝100时取等号，则当x ＝100时，L (x )取得最大值1000万元．由于950<1000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为1000万元．有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．[即时训练] 6.某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2020年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋1＋29(m ≥0)． (2)∵当m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________． 答案 4解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab， 由于ab >0，∴4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立， 故当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4. 答题启示利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．对点训练已知a >b >0，求a 2＋16b a －b的最小值． 解 ∵a >b >0，∴a －b >0.∴b (a －b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋a －b 22＝a 24. ∴a 2＋16ba －b ≥a 2＋64a 2≥2a 2·64a 2＝16. 当a 2＝64a 2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立． ∴a 2＋16b a －b 的最小值为16.。
高考数学一轮复习 专题7_4 基本不等式及应用(组)与简单的线性规划问题(讲)
第04节 基本不等式及其应用【考纲解读】【知识清单】基本不等式1、 如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）推论：22ab 2a b +≤（,R a b ∈）2、 如果0a >，0b >,则a b +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.推论：2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ 3、20,0)112a b a b a b+≤≤>>+ 对点练习【2018重庆铜梁县联考】函数y=log a （x+2）﹣1（a ＞0，a≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中m ＞0，n ＞0，则 + 的最小值为（ ） A. 3+2B. 3+2C. 7D. 11【答案】A【考点深度剖析】基本不等式是不等式中的重要内容，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中往往是大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用． 【重点难点突破】考点1利用基本不等式证明不等式【1-1】不已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【解析】∵a 、b 、c 都是正数∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号）0c a +≥ （当且仅当c a =时，取等号）∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥.【1-2】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝， ∴11+=1+=2+a b b a a a +.同理，11+=2+a b b .∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即1a=b=2时取“＝”．∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立． 【领悟技法】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 【触类旁通】 【变式一】求证:47(3)3a a a +≥>-考点2 利用基本不等式求最值【2-1】【2017天津，理12】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22a b ==时取等号）. 【2-2】【2018河北大名第一中学模拟】已知关于x 的不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2））【答案】D【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2）， 根据韦达定理，可得： 2123x x a =，x 1+x 2=4a ， 那么：a∵a ＜0，∴-（4a4a故选：D ．【2-3】【2018有两个不等的实根1x 和2x ，则12x x +的取值范围是（ ） A. ()1,+∞ B. C. ()2,+∞ D. ()0,1【答案】C【领悟技法】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．注意：形如y ＝x ＋ax(a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 【触类旁通】【变式一】【2017届浙江杭州高三二模】设函数()()2,f x x ax b a b R =++∈的两个零点为1x ， 2x ，若122x x +≤，则（ ）A. 1a ≥B. 1b ≤C. 22a b +≥D. 22a b +≤ 【答案】B【解析】12x x +≥=，所以2≤ ，则1b ≤ ，故选择B.【变式二】【2018河南师范大学附属中模拟】对于使()f x M ≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的上确界，若正数,a b R ∈且1a b +=，则为（ ）【答案】A考点3 基本不等式的实际应用【3-1】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 . 【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.【3-2】如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH 的绿地，已知AB AC ⊥,4AB =，绿地面积最大值为（ ）A.6B.4 D.【答案】C【解析】设EH x =，EF y =，由条件可知EBH ∆和EFA ∆为等直角三角形，所以EB =，AE y =．AB EB AE =+y ≥，即≤4，所以4xy ≤，所以绿地面积最大值为4，故选C ．【3-3】 (2015·大理模拟)某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD ＝60 m ，AB ＝40 m ，且△EFG 中，∠EGF ＝90°，经测量得到AE ＝10 m ，EF ＝20 m ，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G 作一直线分别交AB ，DF 于M ，N ，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设DN ＝x (m)．(1)将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；(2)当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．【领悟技法】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 【触类旁通】【变式】运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【解析】(1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100]． (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100])．y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610， 当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810，等号成立．故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．【易错试题常警惕】易错典例：已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋1x )(y ＋1y)的最小值为________．[错解] 错解一：因为对a >0，恒有a ＋1a≥2，从而z ＝(x ＋1x )(y ＋1y)≥4，所以z 的最小值是4. 错解二：z ＝2＋x 2y 2－2xyxy＝(2xy ＋xy )－2≥22xy·xy －2＝2(2－1)，所以z 的最小值是2(2－1)．易错分析：错解的错误原因是等号成立的条件不具备．温馨提示：1.在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．2．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．。
高考数学大一轮复习第七章不等式、推理与证明、数学归纳法7.4基本不等式及其应用教案(含解析)
§7.4 基本不等式及其应用 考情考向分析 主要考查利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档．1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(a ≥0，b ≥0)(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？ 提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x无最小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × ) (2)“x >0且y >0”是“x y ＋y x ≥2”的充要条件．( × )(3)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × ) (4)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 有相同的成立条件．( × )(5)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )题组二 教材改编2．[P88T4]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________．答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ， 即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81. 3．[P89例1]若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______m 2.答案 25解析 设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， ∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 充要解析 当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1时等号成立)． 因为x ，1x同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的充要条件． 5．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________. 答案 3 解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是________． 答案 5解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5， 所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1x ＝15⎝⎛⎭⎪⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12x y，即y ＝2x ＝1时，“＝”成立， 故4x ＋3y 的最小值为5.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )。
高考数学一轮复习第七章不等式第四节基本均值不等式课后作业理(1)
学 习 资 料 汇编【创新方案】2017届高考数学一轮复习 第七章 不等式 第四节 基本（均值）不等式课后作业 理[全盘巩固]一、选择题1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 2．当x >0时，函数f (x )＝2xx 2＋1有( ) A ．最小值1 B ．最大值1 C ．最小值2 D ．最大值2 3.－aa ＋(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.3224．若2x ＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]5．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最大值 e 二、填空题6．(2016·开封模拟)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是________．7．(2016·东莞模拟)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________．8．(2016·潍坊模拟)已知a ，b 为正实数，直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －b )2＋(y －1)2＝2相切，则a 2b ＋1的取值范围是________．三、解答题9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x －2x 的最大值．10．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[冲击名校]1．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．32．(2016·银川模拟)若直线2ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是( )A ．2－ 2 B.2－1 C ．3＋2 2 D ．3－2 23．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________． 4．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________． 5．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x 2＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？答 案 [全盘巩固]一、选择题1．解析：选C 对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，∴lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ，故不成立；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，故不成立． 2．解析：选B f (x )＝2x ＋1x≤22x ·1x＝1. 当且仅当x ＝1x，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.3解析：选B 法一：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本(均值)不等式可知，－a a ＋≤－a ＋a ＋2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立． 法二：－aa ＋＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814≤92，当且仅当a ＝－32时等号成立．4．解析：选D ∵2x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y(当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y≤14，得x ＋y ≤－2. 5．解析：选C ∵x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y ＝14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋ln y 22，∴ln x ＋ln y ＝ln xy ≥1⇒xy ≥e.二、填空题6．解析：∵圆关于直线对称，∴直线过圆心(－1,2)，即a ＋b ＝1.∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 7．解析：函数log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)，又点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴2m ＋n ＝1.∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥8，当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时，等号成立．答案：88．解析：由题意知(b,1)到x ＋y ＋a ＝0的距离为2，即b ＋1＋a2＝2，得a ＋b ＝1，a＝1－b ，a 2b ＋1＝－b 2b ＋1＝b ＋2－b ＋＋4b ＋1＝b ＋1＋4b ＋1－4≥0，当且仅当b ＝1，a ＝0时取等号，又a ＞0，b ＞0，所以a 2b ＋1＞0.答案：(0，＋∞) 三、解答题9．解：(1)y ＝x ＋82x －3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号，于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵0<x <2，∴2－x >0， ∴y ＝x－2x ＝2·x－x≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x－2x 的最大值为 2.10．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y＝1.又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.[冲击名校]1．解析：选Bxy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z＝－1y2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.2．解析：选C ∵圆心为(1,2)在直线2ax ＋by －2＝0上，∴a ＋b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋b )＝3＋2b a ＋a b ≥3＋2 2.当且仅当2b a ＝ab，即a ＝2－2，b ＝2－1时等号成立．3．解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.答案：24．解析：因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1.又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15.因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥2 a －6a －1＋15＝27，当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)·(b ＋2)的最小值为27.答案：275．解：(1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1.所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x )＝400⎝⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x(x 2＋x )＝96 000x ＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x <240. 故y 与x 的函数关系是y ＝96 000x＋240x －160(0<x <240)．(2)y ＝96 000x＋240x －160≥296 000x·240x －160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当96 000x＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9 440万元．敬请批评指正。
高三数学一轮总复习 第七章 不等式 第四节 基本不等式
课时跟踪检测（三十九） 基本不等式及应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________．解析：∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，∴ab 的最大值为14.答案：142．(2016·盐城调研)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为________．解析：因为a >0，b >0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，则4a －1＋16b －1＝4b －1＋16a －1a －1b －1＝4b ＋16a －20ab －a ＋b ＋1＝4b ＋16a －20.又4b ＋16a ＝4(b ＋4a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝20＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫b a＋4a b ≥20＋4×2b a ·4a b ＝36，当且仅当b a＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号，所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16. 答案：163．已知a ＋b ＝t (a ＞0，b ＞0)，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t ＝________. 解析：因为a >0，b >0时，有ab ≤a ＋b24＝t 24，当且仅当a ＝b ＝t2时取等号．因为ab的最大值为2，所以t 24＝2，t 2＝8，所以t ＝8＝2 2.答案：2 24．(2016·常州一模)已知x >0，则xx 2＋4的最大值为________．解析：因为x x 2＋4＝1x ＋4x，又x ＞0时，x ＋4x≥2x ×4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号，所以0<1x ＋4x≤14，即x x 2＋4的最大值为14. 答案：145．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．解析：依题意得a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20，当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号，因此|a ＋2b |的最小值是20.答案：20二保高考，全练题型做到高考达标1．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是________．解析：由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4.当且仅当a ＝b ＝1时取等号． ∴m ＋n 的最小值是4. 答案：42．(2015·湖南高考改编)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为________．解析：由1a ＋2b＝ab ，知a ＞0，b ＞0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2. 答案：2 23．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：每批生产x 件，则平均每件产品的生产准备费用是800x元，每件产品的仓储费用是x 8元，则800x ＋x 8≥2 800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时“＝”成立，∴每批生产产品80件．答案：804．(2016·重庆巴蜀中学模拟)若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是________．解析：1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1a ＋1＋4b ＋1 a ＋1＋b ＋14＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4＋b ＋1a ＋1＋ 4a ＋1b ＋1 ≥14(5＋24)＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4a ＋1b ＋1，即a ＝13，b ＝53时取等号．所以1a ＋1＋4b ＋1的最小值是94. 答案：945．若一元二次不等式ax 2＋2x ＋b >0(a >b )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－1a ，则a 2＋b 2a －b 的最小值是________．解析：由一元二次不等式ax2＋2x ＋b >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－1a ，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4ab ＝0且a >0，a ×1a 2－2a＋b ＝0，所以ab ＝1且a >0.又已知a >b ，所以a 2＋b 2a －b ＝a －b 2＋2aba －b＝(a －b )＋2a －b ≥22，当且仅当a －b ＝2a －b 时取等号．所以a 2＋b2a －b的最小值是2 2.答案：2 26．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________． 解析：因为x 2＋y 2－xy ＝1，所以x 2＋y 2＝1＋xy . 所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2. 当且仅当x ＝y ＝1时等号成立． 所以x ＋y 的最大值为2. 答案：27．(2016·青岛模拟)已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为________．解析：因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 2 2－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2，y ＝1时等号成立， 所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1. 答案：18．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．解析：1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0， ∴k ＝1或k ＝－2(舍)， ∴k ＝1.∴f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立．答案：1 39．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x4－2x 的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥2 3－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵0<x <2， ∴2－x >0， ∴y ＝x4－2x ＝2·x2－x≤ 2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x4－2x 的最大值为 2.10．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·南京名校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则3a ＋2b的最小值为________．解析：不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由z ＝ax ＋by 得y ＝－a b x ＋z b，当z 变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－a b ，在y 轴上的截距为z b，由图可知当直线经过点A (4,6)时，在y 轴上的截距最大，从而z 也最大，所以4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，所以3a ＋2b ＝2a ＋3b 6·⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋6＋4a b ＋9b a ≥4，当且仅当a ＝32，b ＝1时等号成立．所以3a ＋4b的最小值为4.答案：42．(2015·南京二模)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)．若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1≥3(x ∈N *)，则(3－a )x ≤x 2＋8，即3－a ≤x ＋8x .因为x ＋8x≥28＝42，当且仅当x ＝22时取等号，又x ∈N *，当x ＝2时，x ＋8x＝6；当x ＝3时，x＋8x ＝3＋83<6，因此x ＋8x 的最小值为3＋83，于是3－a ≤3＋83，即a ≥－83. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞3．(2016·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积．．．为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．解：(1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450， 所以2x ＋7 200x≥22x ×7 200x＝240，当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形为区域的总面积最大，最大为676 m 2.。
(上海专用)高考数学总复习 专题07 不等式分项练习(含解析)-人教版高三全册数学试题
第七章不等式一．基础题组1. 【2017高考某某，3】不等式11x x-> 的解集为 . 【答案】(),0-∞ 【解析】不等式即：1110x--> ， 整理可得：10x-> ， 解得：0x < ，不等式的解集为：(),0-∞ .2.【2016高考某某文数】若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.【答案】2-【考点】线性规划及其图解法【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目来看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.3. 【2015高考某某文数】若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为.【答案】3【解析】不等式组表示的平面区域如图OAB ∆（包括边界），联立方程组⎩⎨⎧=+=2y x xy ，解得⎩⎨⎧==11y x ，即)1,1(A ， 平移直线02=+y x 当经过点A 时，目标函数y x z 2+=的取得最大值，即321max =+=z .【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 4. 【2015高考某某文数】下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）.A. 2)32)(8(2<+++x x x B. )32(282++<+x x xC. 823212+<++x x x D.218322>+++x x x 【答案】B【考点定位】同解不等式的判断.【名师点睛】求解本题的关键是判断出022)1(3222>≥++=++x x x . 本题也可以解出各个不等式，再比较解集.此法计算量较大.5. 【2014某某,理5】 若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.【答案】22【解析】22222222222x y x y xy +≥⋅=⋅=，当且仅当222x y =时等号成立. 【考点】基本不等式. 6. 【2013某某,文1】不等式21xx -＜0的解为______． 【答案】0＜x ＜12【解析】x (2x －1)＜0⇒x ∈(0，12)． 7. 【2013某某,文13】设常数a ＞0.若9x ＋2a x≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值X 围为______． 【答案】[15，＋∞) 【解析】考查均值不等式的应用．由题知，当x ＞0时，f (x )＝9x ＋2a x ≥229a x x⨯＝6a ≥a ＋1⇒a ≥15.8. 【2012某某,文10】满足约束条件|x |＋2|y |≤2的目标函数z ＝y －x 的最小值是__________． 【答案】－29. 【2011某某,理4】不等式13x x+≤的解为______． 【答案】x ＜0或12x ≥ 【解析】10. 【2011某某,理15】若a ，b ∈R ，且ab ＞0.则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2＞2ab B ．2a b ab +≥C.11 a b ab+> D ．2b a a b +≥ 【答案】D 【解析】11. 【2011某某,文6】不等式1<1x的解为________． 【答案】{x |x ＜0或x ＞1} 【解析】12. 【2011某某,文9】若变量x，y满足条件30350x yx y-≤⎧⎨-+≥⎩，则z＝x＋y的最大值为________．【答案】5 2【解析】13. 【2010某某,理1】不等式042>+-xx的解集为_______________； 【答案】)2,4(-【点评】本题考查分式不等式的解法，常规方法是化为整式不等式或不等式组求解. 14. 【2010某某,文14】将直线l 1：nx ＋y －n ＝0、l 2：x ＋ny －n ＝0(n ∈N *，n ≥2)、x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为S n ，则lim n →∞S n ＝________.【答案】1【解析】如图阴影部分为直线l 1，l 2与x 轴、y 轴围成的封闭图形．∴S阴＝S △OAM ＋S △OCM ＝12×|OA |×|y M |＋12|OC |×|x M |＝12×1×1n n +＋12×1×1n n +＝1nn +. ∴lim n →∞S n ＝limn →∞1n n +＝lim n →∞111n+＝1. 15. 【2010某某,文15】满足线性约束条件232300x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎪⎩的目标函数z ＝x ＋y 的最大值是( )A ．1 B. 32C ．2D ．3 【答案】C【解析】如图为线性可行域由2323x y x y +=⎧⎨+=⎩求得C (1,1)，目标函数z 的几何意义为直线在x 轴上的截距．画出直线x ＋y ＝0，平移，可知：当直线过C (1,1)时目标函数取得最大值，即z max ＝1＋1＝2.16. (2009某某,理11)当 0≤x≤1时,不等式kx x≥2sin π成立,则实数k 的取值X 围是____________. 【答案】k≤1【解析】∵0≤x≤1时，不等式kx x≥2sin π成立，设2sinx y π=,y=kx ，做出两函数的图象，∴由图象可知，当k≤1时，kx x≥2sinπ17. (2009某某,文7)已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤,3,2,2x x y x y 则目标函数z=x-2y 的最小值是_________. 【答案】-918. 【2008某某,理1】不等式|1|1x -<的解集是.19. 【2007某某,理5】已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____20. 【2007某某,理13】已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是 A 、22a b < B 、22ab a b < C 、2211ab a b< D 、b aa b <21. 【2007某某,理15】已知()f x 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若 ()2f k k ≥成立，则()()211f k k +≥+成立，下列命题成立的是A 、若()39f ≥成立，则对于任意1k ≥，均有()2f k k ≥成立；B 、若()416f ≥成立，则对于任意的4k ≥，均有()2f k k <成立；C 、若()749f ≥成立，则对于任意的7k <，均有()2f k k <成立；D 、若()425f =成立，则对于任意的4k ≥，均有()2f k k ≥成立。
高中数学基本不等式专题50练(含答案)
高中数学基本不等式（含答案）【习题1】已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是 ．【答案】1【习题2】若实数0>y ,x 且1=xy ，则y x 2+的最小值是 ，yx y x 2422++的最小值是 ． 【答案】 22，2【习题3】已知,x y 满足方程210x y --=，当x >时，则353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为_______. 【答案】8【习题4】已知y x ,为实数，且1)2)((=-+y x y x ，则222y x +的最小值为_______. 【答案】3322+【习题5】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 . 【答案】]22,22[-【习题6】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则ab 的最小值为 .【答案】12-【习题7】若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是 ． 【答案】]0,2[-【习题8】ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且22221a b c ，则b 的取值范围是 ． 【答案】]7,6(【习题9】已知,a b <二次不等式20ax bx c ++≥对任意实数x 恒成立，则24a b cM b a++=-的最小值为___________【答案】8 【习题10】实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则maxmin11S S += ．【答案】85【习题11】非零向量,a b 夹角为60，且1a b -=，则a b +的取值范围为 ． 【答案】]3,1(【习题12】已知0,0<>b a ，且9)12)(14(-=+-b a ，若06)2(2≥---abx x b a 总成立，则正实数x 的取值范围是_______. 【答案】),1[+∞【习题13】正实数y x ,满足111=+yx ，则2210x y xy +-的最小值为 .【答案】36-【习题14】已知实数y x ,满足,32,0,0=+>>y x y x 则xyyx +3的最小值为 ，xy y x ++224 的最小值为 ． 【答案】3627+；845【习题15】已知直线21ax by +=（其中0ab ≠）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0120AOB ∠=，则2212a b +的最小值为 .【答案】2【习题16】设R b a ∈,，满足43=+-ab b a ，则33-+b a 的最小值是______． 【答案】332-【习题17】已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b+++的最大值是 . 【答案】3332+ 【习题18】已知正数y x ,满足1≤xy ，则yx M 21111+++=的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知0>a ，0>b ，且12122=+++ba a ，则b a +的最小值是_______，此时=a _______.【答案】212+；2【习题20】已知0,0a b >>，且1a b +=，则1122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 ；221aba +的最大值是 . 【答案】16；413- 【习题21】已知实数x ，y 满足3xy x y -+=，且1x >，则(8)y x +的最小值是 （ ） A ．33 B ．26 C ．25 D ．21 【答案】C【习题22】若实数,x y 满足2x y xy -+≥，则x y +的最小值是 . 【答案】2【习题23】已知实数a ，b 满足：1,2a b R ≥∈，且||1a b +≤，则12b a +的取值范围是 ．【答案】]23,12[-【习题24】实数y x ,满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是________. 【答案】224-【习题25】已知实数R b a ∈,，若322=+-b ab a ，则1)1(222+++b a ab 的值域为 ．【答案】]716,0[【习题26】设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 . 【答案】222-【习题27】若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是 ． 【答案】5【习题28】若存在正实数y ，使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_________. 【答案】51【习题29】若0x >，0y >，则xyy x x ++2的最小值为___________． 【答案】212-【习题30】已知正数y x ,满足yx yx xy 3+-=，则y 的最大值为__________，当且仅当___________.【答案】31；1=x【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知)0,0(24122<<-+=y x xy y x ，则y x 2+的取值范围为__________. 【答案】)1,2[--【习题33】已知实数y x ,满足322=++y xy x ，则xy 的最小值为________，22y xy x +-的最小值为_______.【答案】3-，1【习题34】已知实数b a ,满足122=+-b ab a ，则)(|2|b a b a +-的取值范围是________. 【答案】]3,3[-【习题35】已知0>a ，0>b ，且满足ab a b a +=+23，则b a +2的最小值为________. 【答案】223+【习题36】已知非负实数y x ,满足92422222=+++y x y xy x ，则xy y x ++)(22的最大值为 . 【答案】241+【习题37】若164622=++xy y x ，R y x ∈,，则22y x -的最大值为_______.【答案】51【习题38】设正实数y x ,，则21||y xy x ++-的最小值为（ ）A. 47B. 2233C. 2D. 32【答案】A【习题39】已知b a ,均为正数，且1=+b a ，1>c ，则12)121(2-+⋅-+c c ab a 的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数0,0>>y x 且满足k y x =+，则使不等式2)22()1)(1(kk y y x x +≥++恒成立的k 的最大值为______.【答案】522+【习题41】若1≥≥≥z y x ，且4=xyz ，则222222)(log )(log )(log z y x ++的取值范围是______.【答案】]4,34[【习题42】已知正实数y x ,满足4232=++y x xy ，则y x xy 45++的最小值为________. 【答案】55【习题43】已知实数y x ,满足yxyx9933+=+，则yx yx 332727++的取值范围是_________.【答案】9[1,]8【习题44】已知实数b a ,满足1=ab ，且32≥>b a ，则22b a ba +-的最大值为___________.【答案】3097【习题45】若正数b a ,满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B 【习题46】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知y x ,为正实数，若12=+y x ，则xyxy x ++22的最小值为 ．【答案】222+【习题48】若正数y x ,满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值为_________. 【答案】432- 【习题49】若实数a 和b 满足132923242++=⨯+⋅-⨯b a b b a a ， 则b a 32+的取值范围为__________________． 【答案】]2,1(【习题50】设+∈R b a ,,4222=-+b a b a ，则ba 11+的最小值是 【答案】24。
[精品]2019高考数学一轮复习第7章不等式及推理与证明第4课时基本不等式练习理
![[精品]2019高考数学一轮复习第7章不等式及推理与证明第4课时基本不等式练习理](https://img.taocdn.com/s3/m/a5bc33e1a1c7aa00b52acbf7.png)
第4课时基本不等式1．已知a ，b ∈(0，1)且a ≠b ，下列各式中最大的是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b答案 D解析只需比较a 2＋b 2与a ＋b.由于a ，b ∈(0，1)，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b.2．下列函数中，最小值为4的是()A ．y ＝x ＋4x B ．y ＝sinx ＋4sinx(0<x<π)C ．y ＝4e x＋e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x<1)答案 C解析注意基本不等式等号成立的条件是“a ＝b ”，同时考虑函数的定义域，A 中x 的定义域为{x|x ∈R ，且x ≠0}，函数没有最小值；B 中若sinx ＝4sinx取到最小值4，则sin 2x ＝4，显然不成立．D 中没有最小值．故选 C.3．设0<a<b ，则下列不等式中正确的是 ()A. a<b<ab<a ＋b 2B ．a<ab<a ＋b2<bC ．a<ab<b<a ＋b 2D.ab<a<a ＋b 2<b答案 B解析方法一(特值法)：代入a ＝1，b ＝2，则有0<a ＝1<ab ＝2<a ＋b 2＝1.5<b ＝2.方法二(直接法)：我们知道算术平均数a ＋b2与几何平均数ab 的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B.4．若2x ＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[－2，0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 D解析∵２x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y(当且仅当2x ＝2y时等号成立)，∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y≤14，得x ＋y ≤－2，故选 D. 5．若x ，y 是正数，则(x ＋12y )2＋(y ＋12x )2的最小值是()A ．3B.72C ．4 D.92答案C解析原式＝x2＋xy＋14y2＋y2＋yx＋14x2≥4.当且仅当x＝y＝12时取“＝”号．6．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则1ab的最小值为( )A.14B．4C.12D．2答案 C解析∵4＝2a＋b≥２2ab，∴ab≤2，1ab≥12，当且仅当a＝1，b＝2时取等号．7．若x<0，则函数y＝x2＋1x2－x－1x的最小值是( )A．－94B．0C．2 D．4 答案 D解析y＝x2＋1x2－x－1x≥2x2·1x2＋2（－x）（－1x）＝4，当且仅当x＝－1时取等号．8．(2015·湖南，文)若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为( )A. 2 B．2 C．2 2 D．4 答案 C解析方法一：由已知得1a＋2b＝b＋2aab＝ab，且a>0，b>0，∴ab ab＝b＋2a≥２2ab，∴ab≥2 2.方法二：由题设易知a>0，b>0，∴ab＝1a＋2b≥22ab，即ab≥２2，当且仅当b＝2a时取“＝”号，选 C.9．(2017·金山模拟)函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是( )A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2答案 A解析∵x>1，∴x－1>0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2（x－1）＋3x－1＝（x－1）2＋2（x－1）＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥2（x－1）（3x－1）＋2＝23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝1＋3时，取等号．10．已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥９对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )A．2 B．4 C．6 D．8 答案 B解析(x＋y)(1x＋ay)＝1＋a·xy＋yx＋a≥1＋a＋2a＝(a＋1)2，当且仅当a·xy＝yx，即ax2＝y2时“＝”成立．∴(x＋y)(1x＋ay)的最小值为(a＋1)2≥9.∴a≥4.11．设实数x，y，m，n满足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是( ) A. 3 B．2C. 5D.10 2答案 A解析方法一：设x＝sinα，y＝cosα，m＝3sinβ，n＝3cosβ，其中α，β∈R.∴mx＋ny＝3sinβsinα＋3cosβcosα＝3cos(α－β)．故选 A.方法二：由已知(x2＋y2)·(m2＋n2)＝3，即m2x2＋n2y2＋n2x2＋m2y2＝3，∴m2x2＋n2y2＋2(nx)·(my)≤3，即(mx＋ny)2≤3，∴mx＋ny≤ 3.12．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值为( )A．3 B．6 C．9 D．12 答案 A13．(2017·四川成都外国语学校)若正数a，b满足：1a＋1b＝1，则1a－1＋9b－1的最小值为( )A．16 B．9 C．6 D．1 答案 C解析方法一：因为1a＋1b＝1，所以a＋b＝ab，即(a－1)·(b－1)＝1，所以1a－1＋9b－1≥21a－1×9b－1＝2×３＝6.方法二：因为1a＋1b＝1，所以a＋b＝ab，1a－1＋9b－1＝b－1＋9a－9ab－a－b＋1＝b＋9a－10＝(b＋9a)(1a＋1b)－10≥16－10＝6.方法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6.14．(1)当x>1时，x ＋4x －1的最小值为________；(2)当x ≥４时，x ＋4x －1的最小值为________．答案(1)5(2)163解析(1)∵x>1，∴x －1>0. ∴x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥24＋1＝5. (当且仅当x －1＝4x －1.即x ＝3时“＝”号成立) ∴x ＋4x －1的最小值为 5.(2)∵x ≥4，∴x －1≥3.∵函数y ＝x ＋4x在[3，＋∞)上为增函数，∴当x －1＝3时，y ＝(x －1)＋4x －1＋1有最小值163.15．若a>0，b>0，a ＋b ＝1，则ab ＋1ab 的最小值为________．答案174解析ab ≤（a ＋b 2)2＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．y ＝x ＋1x 在x ∈(0，14]上为减函数．∴ab ＋1ab 的最小值为14＋4＝174.16．已知a>b>0，求a 2＋16b （a －b ）的最小值．答案16思路由b(a －b)求出最大值，从而去掉b ，再由a 2＋64a2，求出最小值．解析∵a>b>0，∴a －b>0.∴b(a －b)≤［b ＋（a －b ）2]2＝a24.∴a 2＋16b （a －b ）≥a 2＋64a2≥2a 2·64a2＝16.当a2＝64a2且b＝a－b，即a＝22，b＝2时等号成立．∴a2＋16b（a－b）的最小值为16.17．(2017·江西重点中学盟校联考)设x，y均为正实数，且12＋x＋12＋y＝13，求xy的最小值．答案16解析由12＋x＋12＋y＝13，化为3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)·(2＋x)，整理为xy＝x＋y＋8.∵x，y均为正实数，∴xy＝x＋y＋8≥２xy＋8，∴(xy)2－2xy－8≥0，解得xy≥4，即xy≥16，当且仅当x＝y＝4时取等号，∴xy 的最小值为16.18．(2018·辽宁抚顺一中月考)某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心x(0<x<20)厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与x2成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与400－x2成反比，比例系数为k，且当x＝102时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.065.(1)将臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y表示为x的函数；(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值．答案(1)y＝4x2＋9400－x2(0<x<20) (2)116解析(1)由题意得y＝4x2＋k400－x2(0<x<20)，当x＝102时，y＝0.065，代入上式，得k＝9.所以y＝4x2＋9400－x2(0<x<20)．(2)y＝4x2＋9400－x2＝1400(4x2＋9400－x2)[(400－x2)＋x2]＝1400[4＋9＋4（400－x2）x2＋9x2400－x2]≥1400[13＋24（400－x2）x2·9x2400－x2]＝116，当且仅当4（400－x2）x2＝9x2400－x2，即x＝410时取“＝”．所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为1 16.1．下列命题中正确的是( )A．函数y＝x＋1x的最小值为 2B．函数y＝x2＋3x2＋2的最小值为 2C．函数y＝2－3x－4x(x>0)的最小值为2－4 3D．函数y＝2－3x－4x(x>0)的最大值为2－4 3答案 D解析y＝x＋1x的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，有最小值2，当x<0时，有最大值－2，故A项不正确；y＝x2＋3x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2≥2，∵x2＋2≥2，∴取不到“＝”，故B项不正确；∵x>0时，3x＋4x≥2·3x·4x＝43，当且仅当3x＝4x，即x＝233时取“＝”，∴y＝2－(3x＋4x)有最大值2－43，故C项不正确，D项正确．2．(2014·重庆)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是( ) A．6＋2 3 B．7＋2 3C．6＋4 3 D．7＋4 3答案 D解析因为log4(3a＋4b)＝log2ab，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且3a＋4b>0，ab>0，即a>0，b>0，所以4a＋3b＝1(a>0，b>0)，a＋b＝(a＋b)(4a＋3b)＝7＋4ba＋3ab≥7＋24ba·3ab＝7＋43，当且仅当4ba＝3ab时取等号，选择D项．3．(2016·人大附中月考)设a，b，c均大于0，则“abc＝1”是“1a＋1b＋1c≤a＋b＋c”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析1a＋1b＋1c＝bc＋ca＋ababc，当abc＝1时，bc＋ca＋ababc≤12[(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)]＝a＋b＋c.故abc＝1?1a＋1b＋1c≤a＋b＋c.反过来，若a＝b＝1，c＝4，有1a＋1b＋1c≤a＋b＋c，但abc≠1，∴“abc ＝1”是“1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ”的充分不必要条件．4．(2017·山东师大附中月考)已知a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋bc ＋ca ＝1，那么下列不等式中正确的是()A ．a 2＋b 2＋c 2≥2 B ．(a ＋b ＋c)2≥3 C.1a ＋1b ＋1c ≥2 3 D ．abc(a ＋b ＋c)≤13答案 B解析∵ａ2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，三式相加可知2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(bc ＋ab ＋ac)，∴a 2＋b 2＋c 2≥1.∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥1＋2.∴(a ＋b ＋c)2≥3. 5．已知a>0，b>0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是()A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析由题意知ab ＝1，则m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b)≥４ab ＝4(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)．6．已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，则W ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案2 5解析方法一：由a ＋b2≤a 2＋b22可得3x ＋2y ≤2（3x ）2＋（2y ）2＝23x ＋2y ＝25，当且仅当3x＝2y ，即x ＝53，y ＝52时等号成立．方法二：易知W>0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x)2＋(2y)2＝10＋(3x ＋2y)＝20，∴W≤25，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝53，y ＝52时等号成立．7．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，则a ＋c b ＋ba ＋c的最小值为________．答案52解析由条件可知a ，b ，c>0且b 2＝ac ，即b ＝ac ，故a ＋c b ≥2ac b ＝2，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，令a ＋cb ＝t ，则y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上单调递增，故其最小值为2＋12＝52，即a ＋c b ＋b a ＋c 的最小值为52.8．(2018·河南郑州外国语学校月考)某城镇人口第二年比第一年增长m%，第三年比第二年增长n%，若这两年的平均增长率为p%，则p 与m ＋n2的大小关系为()A ．p>m ＋n 2B ．p ＝m ＋n 2C．p≤m＋n2D．p≥m＋n2答案 C解析依题意得(1＋m%)(1＋n%)＝(1＋p%)2，所以1＋p%＝（1＋m%）（1＋n%）≤1＋m%＋1＋n%2＝1＋m%＋n%2，当且仅当m＝n时等号成立，所以p≤m＋n2，故选 C.9．已知不等式x2－5ax＋b>0的解集为{x|x>4或x<1}．(1)求实数a，b的值；(2)若0<x<1，f(x)＝ax＋b1－x，求f(x)的最小值．答案(1)a＝1，b＝4 (2)9解析(1)因为不等式x2－5ax＋b>0的解集为{x|x>4或x<1}，所以x2－5ax＋b＝0的两根分别为1和4，由根与系数的关系得5a＝1＋4，b＝1×4，所以a＝1，b＝4.(2)由(1)知f(x)＝1x＋41－x，所以f(x)＝1x＋41－x＝(1x＋41－x)[x＋(1－x)]＝5＋1－xx＋4x1－x，因为0<x<1，所以0<1－x<1，所以1－xx>0，4x1－x>0，所以f(x)≥5＋21－xx×4x1－x＝9，当且仅当1－xx＝4x1－x，即x＝13时等号成立．所以f(x)的最小值为9.10.如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽 2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为 a m，高度为 b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计)．答案a＝6 m，b＝3 m解析设y为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝kab，其中k是比例系数且k>0.依题意要使y最小，只需求ab的最大值．由题设，得4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，即a＋2b＋ab＝30(a>0，b>0)．∵a＋2b≥２2ab，∴22·ab＋ab≤30.当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab有最大值．∴当a＝2b时有22·ab＋ab＝30，即b2＋2b－15＝0. 解之得b1＝3，b2＝－5(舍去)，∴a＝2b＝6.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小．11．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为 1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元．(1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由．答案(1)10天(2)应该接受此优惠条件解析(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，则其购买量为6x吨．由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1)．设每天所支付的总费用为y1元，则y1＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝900x＋9x＋10 809≥２900x·9x＋10 809＝10 989，当且仅当9x＝900x，即x＝10时取等号．所以该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)若该厂家接受此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂接受此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则y2＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.90＝900x＋9x＋9 729(x≥35)．令f(x)＝x＋100x(x≥35)，x2>x1≥35，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋100x1)－(x2＋100x2)＝（x1－x2）（x1x2－100）x1x2.因为x2>x1≥35，所以x1－x2<0，x1·x2>100，即x1x2－100>0. 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以f(x)＝x＋100x在[35，＋∞)上为增函数．所以当x＝35时，y2有最小值，约为10 069.7. 此时y2<10 989，所以该厂应该接受此优惠条件．。
高一数学复习考点题型专题讲解7 基本不等式
高一数学复习考点题型专题讲解第7讲 基本不等式一、单选题1．下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥-C ．a b +≥-．a b +≤【答案】B【分析】由基本不等式，可判定A 不正确；由2222()0a b ab a b ++=+≥，可判定B 正确；根据特例，可判定C 、D 不正确；【解析】由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；由222a b ab +≥-，可得2220a b ab ++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确； 当1,1a b =-=-时，不等式不成立，故C 不正确； 当0,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B.2．已知0x >，则2x x+的最小值为（ ） A．2C ．．4 【答案】C【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【解析】因为0x >，则2x x +≥2x x=，即x =“=”， 所以2xx+的最小值为故选：C3．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则下列各式中正确的是（ ）A ．1114ab+…B ．111a b +…C 2D ．11ab…【答案】B【分析】利用基本不等式逐个分析判断即可 【解析】解：因为a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，所以111112(22)1444a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，B 正确，A 错误；由基本不等式可知ab 22a b +⎛⎫⎪⎝⎭…＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，2,C 错误；114ab …，D 错误． 故选：B ．4．0ab >是2ba ab+>的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】解法一:根据充分条件与必要条件的概念，结合不等式的基本性质直接判断，即可得出结果.解法二:利用基本不等式的等号成立的条件可以否定充分性，利用代数变形，结合不等式的基本性质可以论证必要性.【解析】解法一：当1a b ==时，满足10ab =>，但2b a ab+=，2b a ab+>不成立，故0ab >是2b aa b+>的不充分条件； 当0ab <时02b a a b +<<，2b a a b +>不成立，当0ab =时b a a b +无意义，即2b a a b+>不成立，故0ab >是2b a a b+>的必要条件；综上，0ab >是2b a ab+>的必要不充分条件.解法二：当0ab >时，0,0b a ab>>，2b a ab+≥=，当且仅当a b =时取等号，所以0ab >是2ba a b+>的不充分条件；若2b a a b +>，则222b a b a a b ab++=>，所以0ab >,故0ab >是2b a a b +>的必要条件； 综上，0ab >是2b a a b+>的必要不充分条件. 故选：B.5．已知0x >，0y >，48x y +=，则x y的最大值为（ ）A．．4C ．6D ．8 【答案】B【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得x y的最大值【解析】因为48x y =+≥2，从而4x y ≤．当且仅当44,1x x y y=⇒==时等号成立. 故选：B6．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（ ）A．2a b +2a b +C2a b +D 2a b + 【答案】B【解析】利用基本不等式或作差法判断选项. 【解析】∵a ，b ∈R +，且a ≠b ，∴a +b ＞2a b+， 而222()24a b a b ++-＝2()4a b -＞0，∴2a b +故选：B7．已知0x >，0y >，251x y +=，则1125x y+的最小值是（ ） A ．2B ．8C ．4D ．6 【答案】C【分析】根据题意，结合“1”的妙用，即可求解. 【解析】解析：由251x y +=得()1111522522224252525y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥=+= ⎪⎝⎭，当且仅当5225y x x y =，即14x =，110y =时，等号成立，所以1125x y +的最小值是4． 故选：C ．8．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a 和b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）．A．)0,02a b a b +>>B ．()22200a b ab a b +≥>>， C()20,011a b a b≥>>+D()002a ba b +>>，【答案】B【分析】由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，从而可得结论 【解析】解：因为直角三角形的直角边长分别为a 和b ，所以大正方形的面积为22a b + 由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，所以221422a b ab ab +≥⨯=（0,0a b >>）故选：B9．下列结论正确的是（ ）A ．当0x >，0y >且21x y +=时，11x y+≤B ．当0x >4≥ C ．当2x ≥时，2x x+的最小值是D ．当0a >时，11a a ++的最小值为1 【答案】B【分析】根据1122x y x yx y x y+++=+结合基本不等式，即可判断A ；直接利用基本不等式即可判断BC ，注意取等号的条件； 根据111111a a a a +=++-++结合基本不等式，即可判断D. 【解析】解：因为0x >，0y >且21x y +=，所以112221233x y x y y x xyx y x y +++=+=+++≥+=+当且仅当2y x x y =，21x y +=，即1x ，1y =113x y +≥+A 错误：当0x >4≥=4x =时等号成立，故B 正确；当0x >时，2x x +≥当且仅当2x x=．即x 但已知条件中2x ≥，故C 错误；当10a +>时，1111121111a a a a +=++-≥=-=++，当且仅当111a a +=+，即0a =时等号成立，但已知条件中0a >，故D 错误．故选：B.10．已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．9【答案】D【分析】利用参变分离的方法将不等式变形为41()m a b a b⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭恒成立，再由基本不等式得出代数式的最值，可得选项.【解析】由已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立， 所以41()m a b a b⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭恒成立，转化成求41()y a b a b⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小值，414()559b a y a b a b a b ⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b aa b=时取等 所以9m ≤． 故选：D ．11．若x >1，则22222x x x -+-有（ ）A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值-1D ．最大值-1 【答案】A【分析】将给定表达式整理变形，再利用基本不等式即可作答.【解析】因x >1，则()()()2211221*********x x x x x x x -+-+⎡⎤=⋅=-+≥⎢⎥---⎣⎦1，当且仅当111x x -=-，即2x =时取等号. 所以22222x x x -+-有最小值为1.故选：A12．设a ，b ，c ，d 均为大于零的实数，且abcd ＝1，令m ＝a （b +c +d ）+b （c +d ）+cd ，则a 2+b 2+m 的最小值为（ ）A ．8B ．．．【答案】B【分析】根据条件可得2222()()a b m a b a b c d ab cd ++=++++++，然后利用重要不等式和基本不等式可求出22a b m ++的最小值．【解析】解：a ，b ，c ，d 均大于零且1abcd =，()()m a b c d b c d cd =+++++，2222()()a b m a b a b c d ab cd ∴++=++++++ 2243ab ab cd ab cd ab cd +++=++…44++…当且仅当a b =，c d =，3ab cd=，即141()3a b ==，143c d ==时取等号，22a b m ∴++的最小值为4+故选：B ．【点睛】本题考查了重要不等式和基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题．二、多选题13．(多选题)下列不等式不一定成立的是（ ）A．x ＋1x ≥2B 2．2212x x +≥D ．2－3x －4x ≥2【答案】AD【分析】取0x <可判断A ；2B ；由基本不等式可判断C ；取0x >可判断D.【解析】对于选项A ：当x <0时，102x x+<<，故A 错误；对于选项B 2B 正确；对于选项C ：221122x x x x+≥⋅=，故C 正确； 对于选项D ：变形为430x x+≤，当x 取正数时不成立，故D 错误． 故选：AD.14．已知0,0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．114ab+B ．11()()4a b ab++≥C 22a b≥+D ．2≥+aba b 【答案】ABC【分析】对A ，利用基本不等式a b +≥B ，将不等式左边展开，再利用基本不等式即可判断；对C ，利用()2222a b a b ++≥以及a b +≥D ，利用特殊值即可判断.【解析】解：对A ，114a b ++≥， 当且仅当“a b =”时“=”成立，故A 正确；对B ，11()224baa b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当“a b =”时“=”成立，故B 正确；对C ()2222a b a b a b a b ++≥≥=++， 当且仅当“a b =”时“=”成立，故C 正确；对D ，当1,2a b ==时，2224123ab a b ⨯==++=2≥+aba b 不成立，故D 错误； 故选：ABC.15．某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x 吨，运费为8万元/次.已知一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y 最小，则下列说法正确的是（ ） A ．当40x =时，y 取得最小值 B ．当45x =时，y 取得最小值 C ．min 320y = D ．min 360y = 【答案】AC【分析】根据题意列出总存储费用之和80084y x x=⨯+的表达式，再利用基本不等式求最值即可判断选项【解析】一年购买某种货物800吨，每次购买x 吨，则需要购买800x次，又运费是8万元/次，一年的总存储费用为4x 万元， 所以一年的总运费与总存储费用之和80084y x x=⨯+万元.因为80084320y x x =⨯+≥=，当且仅当64004x x =，即40x =时，等号成立， 所以当40x =时，y 取得最小值，min 320y =. 故选：AC .16．设0,0a b >>，则下面不等式中恒成立的是（ ） A ．221a b a b ++>+BC．211ab≤+．114a b a b+≤+ 【答案】ABC【解析】利用做差法可判断A ；讨论,a b ，平方作差可判断B ；利用基本不等式可判断C 、D.【解析】对于A ，()222222111110222a b a b a a b b a b ⎛⎫⎛⎫++-+=-+-+=-+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以221a b a b ++>+，故A 正确；对于B ，当a b <当a b ≥时，2a b b a b b a =-+=-+≥，a b =时取等号，故B 正确；对于C ，0,0a b >>，2211ab a b ab=≤=++ 当且仅当a b =时取等号，故C 正确；对于D ，0,0a b >>，()11224b a a b ab ab⎛⎫∴++=++≥+ ⎪⎝⎭，114a b a b∴+≥+，当且仅当a b =时取等号，故D 错误. 故选：ABC【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 17．下列不等式正确的是（ ）A ．若0x <，则12xx +≤-B ．若x ∈R 22≥ C ．若x ∈R ，则2111x <+D ．若0x >，则()1114⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭x x 【答案】ABD【解析】利用基本不等式可判断ABD 选项的正误；取0x =可判断C 选项的正误.【解析】对于A 选项，当0x <时，0x ->，则()()112x x xx ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当1x =-时，等号成立，A 选项正确； 对于B 选项，x R ∈Q ，则222x ≥+，22212x ++==≥，时，即221x +=，显然不成立，等号不成立，22>，B 选项正确；对于C 选项，取0x =，可得2111x =+，C 选项错误；对于D 选项，0x >，()1111224x x x x⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18．若不等式()2232a b x a b ++≥+对任意正数a ，b 恒成立，则实数x 的可能取值为（ ） A．2C．1 【答案】AD【分析】由题设可得()()2260,02a b a b a b x ++>>+≤恒成立，应用基本不等式求不等式右边的最小值，即可确定x 的范围.【解析】∵不等式()2232a b x a b ++≥+对任意正数a ，b 恒成立， ∴()()2260,02a b a b a b x ++>>+≤恒成立. ∵()()()2226632224a b a b a b a b a b a b +++++≥=+≥=+++a b =.∴x ≤A ，D. 故选：AD.三、填空题19．给出下面三个推导过程：①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b 2；②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a 4；③∵x ，y ∈R ，xy <0，∴xy ＋yx ＝－x y y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦≤－ 2.其中正确的推导过程为________. 【答案】①③【分析】①符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确； ②不符合基本不等式的条件，所以②的推导过程错误；③x y⎛⎫- ⎪⎝⎭，y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确.【解析】①∵a ，b 为正实数，∴ba ，a b为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件，∴②的推导过程错误；③由xy <0，得xy ，y x均为负数，∴x y⎛⎫- ⎪⎝⎭，y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确.故选①③. 故答案为：①③【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 20．若0a b <<，且1a b +=，则实数12、b 、2ab 、22a b +中最大的一个是______． 【答案】b【分析】由0a b <<，1a b +=，所以12a b <<，再结合222a b ab +>，则可判断22122a ab a b b <<<+<，得解.【解析】因为0a b <<，1a b +=，所以12a b <<，222ab a b <+，因为22222a b a b +⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以2212a b +>，又()222221a b a a b a b b b b b b +=⋅+<⋅+=-+=，所以2212a b b <+<，又212222a b ab +⎛⎫<= ⎪⎝⎭，1222ab a a >⨯=， 所以122a ab <<.所以22122a ab a b b <<<+<. 故答案为：b .21．若a 、b 、x 、y ∈R ，221x y +=，221a b +=，则ax by +的最大值是______． 【答案】1【分析】利用基本不等式得最大值． 【解析】因为221x y +=，221a b +=，所以22222222222222222()2()()1ax by a x abxy b y a x a y b x b y a b x y +=++≤+++=++=， 当且仅当ay bx =即a xb y =时等号成立．故答案为：1．22．设0,0a b >>，且不等式110ka b a b++≥+恒成立，则实数k 的最小值等于___________. 【答案】4-【分析】先分离出参数k ，得11()()k a b a b -++…，然后利用基本不等式求得11()()a b a b -++的最大值即可．【解析】解：由110ka b a b +++…，得11()()k a b a b-++…，11()()(2)(24b a a b a b a b -++=-++-+=-…， 当且仅当a b =时取等号，4k ∴-…，即实数k 的最小值等于4-.故答案为：4-.23．若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设()12p a b c =++，则该三角形的面积S =这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若△ABC 的周长为8，2AB =，则该三角形面积的最大值为___________. 【答案】【分析】计算得到4p =，2c =，6a b +=，根据均值不等式得到9ab ≤，代入计算得到答案.【解析】()142p a b c =++=，2c =，6a b +=，6a b +=≥9ab ≤， 当3a b ==时等号成立.S ==故答案为：24．已知a b c >>2a c-的大小关系是____________2a c-. 【分析】将2a c -化为()()2a b b c -+-，然后运用基本不等式比较大小. 【解析】∵a b c >>，∴0a b ->，0b c ->，∴()()22a b b c a c -+--=a b b c -=-，即2b a c =+时取等号，2a c-. 【点睛】本题考查利用基本不等式的运用，属于简单题，将2a c -化为()()2a b b c -+-是关键.四、解答题25．已知实数a 和b ，判断下列不等式中哪些是正确的． (1)222a b ab +≥； (2)222a b ab +≥-(3)2a b+≥ (4)2b a a b+≥； (5)12a a +≥； (6)2b aa b+≥； (7)()()2222a b a b +≥+． 【答案】(1)正确 (2)正确 (3)错误 (4)错误 (5)错误 (6)正确 (7)正确【分析】（1）由()20a b -≥判断不等式成立. （2）由()20a b +≥判断不等式成立. （3）利用特殊值判断不等式错误. （4）利用特殊值判断不等式错误. （5）利用特殊值判断不等式错误. （6）结合基本不等式判断不等式成立. （7）利用差比较法判断不等式成立. (1)由于()20a b -≥，222220,2a ab b a b ab -+≥+≥，所以不等式正确. (2)由于()20a b +≥，222220,2a ab b a b ab ++≥+≥-，所以不等式正确. (3)当,a b 为负数时，不等式2a b+≥. (4)当,b a a b 为负数时，不等式2b a a b+≥不成立，所以不等式错误. (5)当a 为负数时，不等式12a a +≥不成立，所以不等式错误. (6)依题意,a b 不为零，,b a a b同号，2b a b a a b a b +=+≥，当且仅当1b a =±时等号成立，所以不等式正确.()()()222220a b a b a b +-+=-≥，所以()()2222a b a b +≥+，所以不等式正确.26．下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)若0ab >，则a b +≥(2)若0ab >2； (3)若0ab <，则2b a ab+≤-． 【答案】(1)不成立，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)成立，理由见解析；【分析】取特殊值判断（1），由均值不等式判断（2）（3）. (1)取1,2a b =-=-满足0ab >，此时a b +≥ (2)0ab >，0,0a bb a∴>>，2，当a b =时等号成立. (3)0ab <，0,0b aa b∴<<，2b a b a a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=--+-≤-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当a b =-时等号成立. 27．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件： (1)若0a >，则322a a a +≥； (2)若4ab =，则228a b +≥；(3)若11x -≤≤12； (4)若0ab ≠，则2b aa b+≥； (5)对任意实数a 和b ，2222431a b a b ++≥++．【答案】(1)证明见解析，当且仅当1a =时等号成立； (2)证明见解析，当且仅当2a b ==±时，等号成立．(3)证明见解析，当且仅当x = (4)证明见解析，当且仅当220a b =≠时，等号成立． (5)证明见解析，当且仅当221a b +=时等号成立．【分析】（1）直接利用作差法对关系式进行变换，进一步求出结果． （2）利用基本不等式的应用求出结果．（3）利用算术平均数和几何平均数的运用及整体思想的应用求出结果． （4）利用分类讨论思想的应用和均值不等式的应用求出结果． （5）利用关系式的变换和均值不等式的应用求出结果． (1)证明：由于3232222()()(1)a a a a a a a a a -+=---=-，当0a >时，2(1)0a -≥，所以20(1)a a -≥，即3202a a a -+≥，所以322a a a +≥，当且仅当1a =时，等号成立．(2)证明：因为4ab =，所以2228a b ab +≥=，当且仅当2a b ==±时，等号成立． (3)证明：因为11x -≤≤，所以201x ≤≤，210x -≥22(1)122x x +-=，当且仅当221x x =-，即x = (4)证明：因为0ab ≠，当0ab >时，2ba b a a b a b +=+…，当且仅当0a b =≠时，等号成立．当0ab <时，()()2b a b a a b a b +=-+-…，当且仅当0a b =-≠时，等号成立． 综上可得0ab ≠，则2b aa b+≥，当且仅当220a b =≠时，等号成立． (5)证明：对任意实数a 和b ，2211a b ++≥所以222222224411141311a b a b a b a b ++=+++-=-=++++．当且仅当221a b +=时等号成立．28．已知0a >，0b >，21a b +=，求23ab+的最小值．下面是某同学的解答过程：请指出上面解答过程中的错误，并给出正确解答．【答案】解答过程中没有给出取最小值的条件，事实上这个最小值是取不到的，原因是两次利用均值不等式，等号成立的条件不一致；正确解答见解析．【分析】根据基本不等式应用的条件： “一正”、“二定”、 “三相等” 即可得出答案. 【解析】解答过程中没有给出取最小值的条件，事实上这个最小值是取不到的， 原因是两次利用均值不等式，等号成立的条件不一致．具体情况如下：23a b +≥23a b =，即32a b =时，等号成立，2a b +≥2a b =时，等号成立，显然，32a b =和2a b =不可能同时成立． 正确的解答如下：因为0a >，0b >，21a b +=，所以()2323432888baa b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++⎪≥+ ⎝⎭当且仅当43b aa b=时，等号成立，即2b =，代入21a b +=，得a =，从而b =因此23ab+的最小值为8+a =，b =29．已知1y x x=+.（1）已知x ＞0，求y 的最小值； （2）已知x ＜0，求y 的最大值． 【答案】（1）2；（2）－2.【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可（2）由于x ＜0，所以先对式子变形()1y x x ⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦，然后再利用基本不等式即可【解析】（1）因为x ＞0，所以12y x x=+≥，当且仅当1x x=，即x ＝1时等号成立．所以y 的最小值为2.（2）因为x ＜0，所以－x ＞0.所以()12y x x ⎡⎤=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即x ＝－1时等号成立． 所以y 的最大值为－2.【点睛】此题考查基本不等式的应用，属于基础题. 30．已知x ，y 都是正数.求证：()12y xx y+≥； ()2()()()2233338.x y x y x y x y +++≥【答案】()1证明见解析；()2证明见解析.【分析】()1运用基本不等式：a b +≥a b =时取得等号），即可求证；()2运用基本不等式和不等式的基本性质即可求证.【解析】解：()1证明：由x ，y 都是正实数，可得2y x xy+≥（当且仅当x y =时取得等号）；()2证明：由基本不等式可知()()()(()(22332x y x y x y xy +++≥⋅⋅()23388xy xy x y =⋅=，（当且仅当x y =时取得等号）.【点睛】本题考查不等式的证明，运用基本不等式，考查化简推理的能力，属于基础题.31．已知a ，b ，c 均为正数，且1abc =，求证： （1）()()()8a b b c a c +++≥；（2111a b c≤++．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用基本不等式直接证明即可. （2）利用基本不等式直接证明即可.【解析】证明：（1）因为a ，b ，c 均为正数，1abc =，所以a b +≥b c +≥a c +≥ 三式相乘，得()()()88a b b c a c abc +++≥=， 当且仅当1a b c ===时，等号成立． （2）因为a ，b ，c 均为正数，1abc =，所以11ab+≥=11b c +≥=11a c +≥=三式相加，得11122a b c⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，111a b c≤++，当且仅当1a b c ===时，等号成立．32．已知0a >，0b >，且(1a b +．(1)求3311a b +的最小值；(2)是否存在实数,a b ，使得1123a b +？若存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1a b=+≥12≤ab ，再根据3311a b +≥=求解即可.（2）首先根据基本不等式得到1123a b +≥>，即可判断不存在实数,a b ，使得1123a b +． (1)因为0a >，0b >，(1a b +，a b=+≥a b == 所以12≤ab ．因为3311a b +≥=≥a b == 所以3311a b +的最小值为 (2)因为0a >，0b >，又由（1）知12≤ab ，所以1123a b +≥=≥， 当且仅当23a b =时取等号．因为当且仅当a b ==12ab =，所以1123a b +><,a b ，使得1123a b +． 33．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为2200m 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m 宽的绿化，绿化造价为200元/2m ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/2m .设矩形的长为(m)x ，总造价为y （元）.（1）将y 表示为关于x 的函数；（2）当x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价. 【答案】（1）8000040018400,050y x xx=++<<；（2）当x =为18400.【解析】（1）根据题设先计算出绿化的面积和硬化地面的面积，从而可得y 表示为关于x 的函数；（2）利用基本不等式可求何时取何最值.【解析】（1）因为矩形区域的面积为2200m ，故矩形的宽为200x， 绿化的面积为20080022224416x x x x ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯-=+-⎪⎝⎭，中间区域硬化地面的面积为()200800442164x x x x ⎛⎫--=--⎪⎝⎭，故8008004162002164100y x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-⨯+--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得到8000040018400y x x=++， 由4020040x x->⎧⎪⎨->⎪⎩可得050x <<，故8000040018400,050y x x x=++<<. （2）由基本不等式可得80000400184004001840018400x x++≥⨯=，当且仅当x =故当x =18400.【点睛】方法点睛：利用基本不等式解决应用问题时，注意合理构建数学模型，求最值时注意“一正二定三相等”，特别是检验等号是否可取. 34．（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为？ （2）已知54x <，则1()4245f x x x =-+-的最大值为？ （3）函数22(1)1x y x x +=>- 的最小值为？ 【答案】（1）23；（2）1；（3）2【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.【解析】（1）2113434(43)(3)(43)[]3323x x x x x x +--=⨯⨯-≤⨯=， 当且仅当343x x =-，即23x =时，取等号. 故所求x 的值为23.（2）因为54x <，所以540x ->，则11()42(54)332314554f x x x x x =-+=--++≤-=-+=--. 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，取等号. 故1()4245f x x x =-+-的最大值为1. （3）2222122311x x x x y x x +-++-+==-- 2(1)2(1)31x x x -+-+=-3(1)221x x =-++≥-.当且仅当311x x -=-，即1x =时，取等号.故函数的最小值为2.。
2019届高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 7-4 基本不等式及其应用讲义 文
4．已知 a≥0，b≥0，且 a＋b＝2，则( )
A．ab≤12
B．ab≥12
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
[解析] 由 a＋b＝2 得，ab≤a＋2 b2＝1，排除 A. 当 a＝0，b＝2，ab＝0 排除 B. 又a2＋2 b2≥a＋2 b2，可得 a2＋b2≥2. 再由特殊值，排除 D.
(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到， 可利用函数单调性求解．
[跟踪演练] (2017·安徽安庆三模)随着社会的发展，汽车逐步成为人们的 代步工具，家庭轿车的持有量逐年上升，交通堵塞现象时有发生， 据调查某段公路在某时段内的车流量 y(千辆/时)与汽车的平均速 度 v(千米/时)之间有函数关系：y＝v2＋89v0＋0v1600(v>0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时车流量 y 最 大？最大车流量约为多少？(结果保留两位小数) (2)为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/时，则汽车的平 均速度应控制在什么范围内？
利用均值 不等式证明
[证明] 由 a＋b＝1，得1a＋1b＋a1b＝21a＋1b， ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ab＋ba≥2＋2＝4， ∴1a＋1b＋a1b≥8当且仅当a＝b＝12时等号成立.
利用基本不等式证明不等式的技巧 利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不 等式的形式，若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配 凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的条 件；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式 之间的联系，当已知条件中含有 1 时，要注意 1 的代换．另外， 解题中要时刻注意等号能否取到．
此时 m＝12x＋34＋5x0≥2 2x·5x0＋34＝443， 当且仅当12x＝5x0，即 x＝10 时，取“＝”． 故销售量至少应达到443万件时，才能使技术革新后的销售收 入等于原销售收入与总投入之和．
高考数学复习基本不等式专题训练(含答案)
2021高考数学复习根本不等式专题训练〔含答案〕通常不等式中的数是实数，字母也代表实数。
以下是查字典数学网整理的根本不等式专题训练，请考生练习。
一、填空题1.(2021徐州期中检测)假如log2x+log2y=1，那么x+2y的最小值是________.[解析] 由log2x+log2y=1得log2(xy)=1，xy=2且x0，y0，x+2y2=4.当且仅当x=2y即x=2，y=1时，x+2y获得最小值4.[答案] 42.(2021山东高考改编)设正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0，那么的最大值是________.[解析] 由题设，得z=x2-3xy+4y2，又x，y，z大于0，+4，故1.当且仅当x=2y时，等号成立，那么的最大值为1.[答案] 13.(2021苏州调研)假设x2，那么x+的最小值为________. [解析] x2，x-20，x+=x-2++22+2=4，当x-2=即x=3时等号成立，x+的最小值为4.[答案] 44.(2021扬州中学检测)设x，y均为正实数，且+=1，那么xy的最小值为________.[解析] 由解出y=-2，那么xy=x=-2x=x+9+，x，y为正实数，y0，那么x1，x-10，x+9+=(x-1)++102+10=16，当且仅当x-1=，即x=4时等号成立，故所求最小值为16. [答案] 165.(2021泰州调研)关于x的方程x2+2px+2-q2=0(p0，q0)有两个相等的实根，那么p+q的取值范围是________.[解析] 由题意，=4p2-4(2-q2)=0，即p2+q2=2，又(p+q)2=p2+q2+2pq2(p2+q2)=4.所以00，b0，假设不等式+恒成立，那么m的最大值是________.[解析] a0，b0，+恒成立，等价于m5++恒成立.又5++5+2=9，当且仅当=，即a=b时，等号成立.m9，那么m的最大值为9.[答案] 98.某公司购置一批机器投入消费，据市场分析每台机器消费的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y=-x2+18x-25(xN*).那么当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元. [解析] 每台机器运转x年的年平均利润为=18-，而x0，故18-2=8，当且仅当x=5时，年平均利润最大，最大值为8万元.[答案] 5 8二、解答题9.x0，y0，且2x+8y-xy=0，求：(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.[解] x0，y0,2x+8y-xy=0，(1)xy=2x+8y2，8，xy64.故xy的最小值为64.(2)由2x+8y=xy，得：+=1.x+y=(x+y)1=(x+y)=10++10+8=18.故x+y的最小值为18.10.a0，b0，c0，且a+b+c=1，求证：++9.[证明] ++=++=3+++3+2 +2 +2=3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=时取等号，++9.根本不等式专题训练及答案的所有内容就是这些，查字典数学网希望对考生复习数学有帮助。
新高考数学复习考点知识与题型专题练习7---基本不等式(解析版)
新高考数学复习考点知识与题型专题练习7 基本不等式一、 选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 二、1． 函数2(2)y x x =-2． （其中02x <<）的最大值是（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】D【解析】因为02x <<，可得022x <-<， 所以222(2)2()22x x y x x +-=-≤⨯= ，当且仅当2x x =-时，即1x =时，等号成立，所以函数2(2)y x x =-的最大值是2．故选：D.3． 已知0a >4． ，0b >，且2ab =，那么（）A ．4a b +≥B ．4a b +≤C ．224a b +≥D ．224a b +≤【答案】C【解析】因为0a >，0b >，由基本不等式可得a b +≥=2224a b ab +≥=，上述两个不等式当且仅当a b ==ABD 选项错误，C 选项正确.故选：C.3．设0<x <1，则4x ＋11x -的最小值为（）A ．10B ．9C ．8D ．272【答案】B【解析】01x <<，10x ∴->，()4141111x x x x x x ⎛⎫+=+-⋅+⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭()4141552291x xx x -=+++≥+=+⨯=-当且仅当()411x xx x -=-，即23x =时，等号成立．411x x∴+-的最小值为9．故选：B5． 已知a >1，b >1，记M ＝11a b+ 6． ，N，则M 与N 的大小关系为（） A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．不确定【答案】A【解析】因为1,1a b >>，所以11a b M a b ab +=+=≥，当且仅当11a b=取等号，N=>=， 故选：A ．5．已知函数()411y x x x =+>-，则函数的最小值等于（）A ．B ．1C ．5D ．9 【答案】C【解析】因为1x >，所以44(1)11511y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当411x x -=-，即3x =时，等号成立.故选：C.7． 已知实数a ＞0，b ＞0，且满足ab ﹣a ﹣2b ﹣2＝0，则（a +1）（b +2）的最小值为（）8．A ．24B ．13 C ．13D ．25【答案】D【解析】因为ab ﹣a ﹣2b ﹣2＝0，所以b 22a a +=-，又a ＞0，b ＞0，所以22a a +-＞0，解得a ＞2，又b 22a a +==-142a+-，所以（a+1）（b+2）＝ab+2a+b+2＝a+2b+2+2a+b+2＝3a+3b+4＝3a122 a++-7＝3（a﹣2）122a++-131325≥=，当且仅当3（a﹣2）122a=-即a＝4时等号成立，即（a+1）（b+2）的最小值为25．故选：D．7．已知x≥5 2，则y＝24524x xx-+-有（）A．最大值54B．最小值54C．最大值1 D．最小值1【答案】D【解析】y＝245 24 x xx-+-＝2(2)12(2)x x -+-＝11[(2)]22x x -+-，因为x ≥52，所以x －2＞0，所以111[(2)]222x x -+≥⋅-当且仅当x －2＝12x -，即x ＝3时取等号．故y 的最小值为1，没有最大值.故选：D9． 已知m >0，n >0，m ＋n ＝1且x ＝m ＋1m10． ，y ＝n ＋1n ，则x ＋y 的最小值是（）A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】B【解析】依题意有x ＋y 11m n m n =+++111()m n m n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭3n mm n =++当且仅当12m n ==时取等号． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．下列说法正确的是（）A ．()10x xx +>的最小值是2B 2C 22D ．423x x--的最小值是2-【答案】AB【解析】当0x >时，12x x +≥=（当且仅当1x x =，即1x =时取等号），A 正确； 2=20x ≥2≥B 正确； 222==≥=，即23x =-时，等号成立，显然不成立，故C 错误；当1x =时，42323452x x--=--=-<-D 错误. 故选:AB.10．某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x 吨，运费为8万元/次.已知一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y 最小，则下列说法正确的是（） A ．当40x =时，y 取得最小值B ．当45x =时，y 取得最小值C ．min 320y =D ．min 360y =【解析】一年购买某种货物800吨，每次购买x 吨，则需要购买800x次，又运费是8万元/次，一年的总存储费用为4x 万元， 所以一年的总运费与总存储费用之和80084y x x =⨯+万元.因为80084320y x x =⨯+≥，当且仅当64004x x =，即40x =时，等号成立， 所以当40x =时，y 取得最小值，min 320y =.故选：AC .11．设正实数m 、n 满足2m n +=，则下列说法中正确的是（）A ．124m n ->B ．mn 的最大值为1C 的最小值为2D ．22m n +的最小值为2 【答案】ABD【解析】对于A 选项，因为正实数m 、n 满足2m n +=，则02m <<，()()2222,2m n m m m -=--=-∈-，故21224m n -->=，A 对； 对于B 选项，由基本不等式可得212m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1m n ==时，等号成立，B 对；对于C 选项，由基本不等式可得()222m n m n =+++=，02，当且仅当1m n ==时，等号成立，C 错；对于D 选项，()()()()222222222224m n m n m n m n mn m n +=+++≥++=+=， 可得222m n +≥，当且仅当1m n ==时，等号成立，D 对.故选：ABD.12．下列推导过程，正确的为（）A ．因为a ､b 为正实数，所以2b a a b +≥=B ．因为x ∈R ，所以2111x >+C ．因为0a <，所以44a a +≥D ．因为x ､y R ∈，0xy <，所以2x y x y y x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦当且仅当x y =时，等号成立..【答案】AD 【解析】对于A 选项，因为a ､b 为正实数，则b a ､a b为正实数，由基本不等式可得2b a a b +≥=，当且仅当a b =时，等号成立，A 选项正确； 对于B 选项，211x +≥，所以，21011x <≤+，B 选项错误；对于C 选项，当0a <时，()444a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 当且仅当2a =-时，等号成立，C 选项错误；对于D 选项，因为x ､y R ∈，0xy <，则y x ､x y 均为负数，由基本不等式可得2x y x y y x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当x y =时，等号成立，D 选项正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题．13．已知对任意(),0,x y ∈+∞，且23x y +=，11221t x y ≤+++恒成立，则t 的取值范围_______________ 【答案】23t ≤ 【解析】因为,(0,)x y ∈+∞，23x y +=，则2216x y +++=，[]111111212()(2)(21)(11)22162216221y x x y x y x y x y +++=++++=+++++++++12(263≥+=， 当且仅当221122x y y x =++++，即1x y ==时，等号成立； 因此为使11221t x y ≤+++恒成立，只需23t ≤， 故答案为：23t ≤ 14．若0mn >，143m n +=，则m n +的最小值为______ 【答案】3【解析】因为0mn >，143m n+=，所以0m >，0n >， 所以()11531434n m m n m n m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()115523233⎛≥+=+= ⨯⎝， 当且仅当4143n m m n m n⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即12m n =⎧⎨=⎩时等号成立， 所以m n +的最小值为3．故答案为：3.15．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)在50<x ≤80时，每天售出的件数P ＝5210(40)x -，若想每天获得的利润最多，则销售价格每件应定为________元． 【答案】60【解析】解析设销售价格定为每件x (50<x ≤80)元，每天获得利润为y 元，则y ＝(x －50)·P ＝5210(50)(40)x x --， 设x －50＝t ，则0<t ≤30，所以y ＝5210(10)t t +＝521020100t t t ++＝31010020t t ++5＝2500， 当且仅当t ＝10，即x ＝60时，y max ＝2500．故答案为：60．16．已知0a b >>，那么当代数式()24a b a b +-取最小值时，点(),P a b 的坐标为______ 【答案】(2,1)【解析】解：由0a b >>，得0a b ->， 所以22()24b a b a b a b +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当b a b =-，即2a b =时取等号， 所以()22241616a a b a b a+≥+≥-，其中第一个不等式等号成立的条件为2a b =，第二个不等式等号成立的条件为2216a a =， 所以当()24a b a b +-取最小值时，221620a a a b a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪>>⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩ 所以点(),P a b 的坐标为(2,1)，故答案为：(2,1)四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知a ，0b >，且121a b+=，当ab 取最小值时，求a ，b 的值. 【答案】2a =，4b =【解析】由题意知0a >，0b >，由基本不等式，得12a b +≥.因为121a b +=，所以1≥，故8ab ≥. 当且仅当12a b=，即2a =，4b =时等号成立. 因此，ab 取最小值8时，2a =，4b =.18．（1）若正实数x ，y 满足26x y xy ++=，求xy 的最小值；（2）若实数x ，y 满足221x y xy ++=，求x y +的最大值.【答案】（1）18；（2【解析】（1）因为266xy x y =++≥，()0t t >，即26t ≥+，即(0t t -+≥，所以t ≥18xy ≥，当且仅当2x y =且26x y xy ++=，即3x =，6y =时等号成立.所以xy 的最小值为18.（2）()()()22223124x y x y xy x y x y +⎛⎫=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，所以()243x y ≥+，所以x y +≤，当且仅当0x y =>且221x y xy ++=，即x y ==时等号成立.所以x y +19．已知,a b 为正数，求证：)221142a ba b +≥+.【答案】见解析【解析】证明：因为0,0a b >>，所以2148(2)()6662(1b a a b a b a b ++=++≥+=+当且仅当8b a a b=，即b =时，等号成立，因为20a b +>，所以)221142a ba b +≥+. 20．（1）设302x <<，求4x (3－2x )的最大值； （2）已知a >b >c ，求()11()a c a b b c -+--的最小值． 【答案】（1）92；（2）4． 【解析】（1）∵302x <<，∴3－2x >0， ∴4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤()22329222x x +-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 当且仅当2x ＝3－2x ，即34x =时，等号成立． ∴4x (3－2x )的最大值为92. （2）()()()1111()()a c a b b c a b b c a b b c ⎡⎤-+=-+-+⎣⎦---- 2b c a b a b b c--=++-- ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，∴2b c a b b c a b -++≥---， 当且仅当a －b ＝b －c ，即2b ＝a ＋c 时取等号，∴()11()a c a b b c-+--的最小值为4. 21．北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调査，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元.公司拟投入21(600)6x -万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入5x 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.【答案】（1）40；（2）a 至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.【解析】（1）设每件定价为t 元,依题意得2580.22581t t -⎛⎫-⨯≥⨯ ⎪⎝⎭,整理得26510000t t -+≤,解得：25≤t ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.（2）依题意知：当x >25时,不等式()2112585060065ax x x ≥⨯++-+有解，等价于 x >25时,1501165a x x ≥++有解.由于15016x x +≥,当且仅当1501=6x x ,即x =30时等号成立,所以a ≥10.2. 当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.22．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等.求证：.bc ac ab a b c a b c++>++ 【答案】证明见解析.【解析】证明 ∵a >0，b >0，c >0，∴2bc ac c a b +≥，2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥. 当且仅当a=b=c 时上式等号均成立， 又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立. 故三个式子相加，得()22.bc ac ab a b c ab c ⎛⎫++>++ ⎪⎝⎭ ∴.bc ac ab a b c a b c++>++.。
高考数学复习专题 基本不等式
高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。
2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。
2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。
4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。
2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。
3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。
4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。
5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。
6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。
7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。
二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。
2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。
2023高考数学考点专题复习——基本不等式练习题
2023考点专题复习——基本不等式考法一： 直接法例题1、已知正数a ，b 满足8ab =，则2+a b 的最小值为（ ） A ．8B ．10C ．9D ．6例题2、若正实数x ，y 满足2x +y =1.则xy 的最大值为（ ） A ．14B ．18C ．19D ．116例题3、若0x >，则___________.练习1、已知x 、y R +∈，且24x y +=，则xy 的最大值是_________.练习2、若正实数x ，y 满足21x y +=，则2xy 的最大值为______． 练习3、已知正数x 、y 满足341x y +=，则xy 的最大值为_________． 练习4、已知,x y 为正实数，且4xy =，则4x y +的最小值是_____． 练习5、若0,0,10x y xy >>=，则25x y+的最小值为_____． 考法二：配凑法例1、已知01x <<，则)(33x x -的最大值为（ ） A ．12B ．14C ．23D ．34例2、已知(3,)x ∈+∞，函数43y x x =+-的最小值为（ ） A ．4B ．7C ．2D ．8例3、若103x <<，则()13x x -取最大值时x 的值是 例4、 若1x >-，则22441x x x +++的最小值为A ．1B ．2C ．3D ．4练习1、函数9424y x x=--，12x >的最小值为__________．练习2、函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3练习3、函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．-1练习4、若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2a ＋b ＋c 的最小值为 。
练习5、已知1x >-，求函数11y x x =++的最小值是 。
基本不等式高考专题复习
基本不等式高考专题复习一、关键能力探索基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单最大(小)值问题，利用不等式求最值的方法较多，要理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择合适大的运算方法，设计合理运算程序，并对条件问题中的代数式合理变形求得运算结果，培养学生的数学运算能力．二、教学建议基本不等式是解决问题的基本工具。
强化推理证明和不等式的应用意识．从新高考的命题看，试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．三、自主先学1．基本不等式：2a b +≤(1)基本不等式成立的条件：00a b >>，． (2)等号成立的条件：当且仅当a b =时取等号． (3)其中+2a b称为正数a ，b,a b 的几何平均数． 若0,0a b >>时, 211a b+2a b +≤≤当且仅当a b =时等号成 2．几个重要的不等式(1)重要不等式：22a b +≥2ab (),a b R ∈．当且仅当a b =时取等号．(2ab ≤22a b +⎛⎫⎪⎝⎭(),a b R ∈，当且仅当a b =时取等号．(3()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号． 3．利用基本不等式求最值已知0,0x y >>，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x y =时，x y + 有最小值是(简记：积定和最小)．(2)如果和x y +是定值s ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24s (简记：和定积最大)．四、高频考点+重点题型考点一、基本不等式求最值（消元法）1．（已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=的（ ）AB ．最大值是3CD ．最小值是32．已知正数a ，b 满足2a b +=，当a =______时，2-a b取到最大值为______． 3.设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是考点二、基本不等式求最值（“1”的活用） 1．已知0a >，0b >，122a b+=，则2+a b 的最小值为（ ） A ．9 B ．5C ．92D ．522．已知正实数m ，n 满足()14m n n -=，则4m n +的最小值是（ ） A ．25B ．18C ．16D ．83．（多选）已知0x >，0y >，且21x y +=，则1x xy+可能取的值有（ ）A ．9B ．10C ．11D ．124．已知正数a ，b 满足1a b +=，则1aa b+的最小值是___________. 5．已知正数,x y 满足41x y +=，则1y x+的最小值为________． 6．已知0a >，0b >，且2a b +=，则1aa b+的最小值为___________. 考点三、基本不等式求最值（配凑积、和）1．（多选）若x ＞1，y ＞2，且满足xy ﹣2x ＝y ，则1812x y +--的值可以为（ ） A ．72B ．3C ．4D ．1122．若实数x 、y 满足2221x xy y +-=，则22522x xy y -+的最小值为___________. 3．已知正实数,x y 满足(31)(21)1x y x y +-+-=，则x y +的最小值是________．4．已知,,a b c +∈R ，且24ab ac +=，则22822a b c a b c+++++的最小值是___________. 考点四、多次使用基本不等式 1．若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________． 2．已知,x y 都为正实数，则()241xy x x y ++的最小值为___________． 3．设0a b >>，那么41()a b a b +-的最小值是________.4．已知0a b >>，则41a ab a b+++-的最小值为__________． 考点五、基本不等式功能：创建不等关系1．已知正实数x ，y 满足()()419x y ++=，则xy 的最大值等于______．2.已知3,(0,0)ab a b a b =++>>，则ab 的取值范围是3.已知实数,x y 满足x y ，则x y +的最大值为4.已知01,0,,,=-+=++∈bc a c b a R c b a ，则a 的取值范围是 考点六、比较式的大小1．（多选）已知a ，b ，c ∈R ，且2a b +=，则下列判断正确的是（ ） A ．若a b >，则a c b c >B ．若a b <，则c a c b ->-C ．2122a b+≥D ．222a b +≥2．（多选）已知正数a ，b 满足ab a b =+，则（ ）A ．11211a b +≥-- B ．221112a b +≥ C ．1222ab --+≥D ．22log log 2a b +≥3．（多选）若非负实数a 、b 满足21a b +=，则下列不等式中成立的有（ ）A ．214ab ≤B ．2412a b +≥C b ≥D ．2234a b +≥4．（多选）已知0a >，0b >，a b ab +=则（ ）A ．23a b +≥+B ．228a b +≥C ．15abab+≥ D ≤5．（多选）已知0a >，0b >，且1a b -=，则（ ）A ．e e 1a b ->B ．e e 1a b -<C ．914a b-≤ D ．222log log 2a b -≥ 6．（多选）已知00a b >>，，且4a b ab +=，则下列不等式正确的（ ）A ．16ab ≥B ．26a b +≥+C ．0a b -<D ．2211612a b +≥ 达标测试一、单项选择题1．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2,0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2,1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)2．已知向量a ＝(1，x －1)，b ＝(y,2)，其中x >0，y >0.若a ⊥b ，则xy 的最大值为( ) A ．14 B ．12 C ．1 D ．23．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( ) A ．14 B ．15 C ．19 D ．1124．已知a ，b R ∈，0a >，0b >，且21a b +=，则下列不等式中，成立的个数有①18ab ≤，①2127ab ≤，①23a b +<，①115a b+>（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、多项选择题5．当0x >，0y >时，下列不等式中恒成立的有（ ）A ．2xyx y ≤+B ．114x y x y+≥+ C ．11x y +≤D ．22334x y x y x y++≥三、填空题6．若正数,x y 满足2249330x y xy ++=，则xy 的最大值是________．7．已知()()2log 2f x x =-，若实数,m n 满足()()23f m f n +=，则m n +的最小值是 ． 四、解答题8．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50100x ≤≤(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋2360x )升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．。
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（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题7 不等式 第45练 基
本不等式练习 理
1．(2016·泰州模拟)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x －y xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，
x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．
2．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1
y
＝5，则x ＋y 的最大值是________．
3．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则
a ＋b
2
cd
的最
小值是________．
4．(2016·长春调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y
＝1，且x ＋2y ＞m 2
＋2m 恒成立，则实数m
的取值范围是________．
5．函数y ＝1－2x －3
x
(x ＜0)的最小值为________．
6．(2016·盐城模拟)已知关于x 的一元二次不等式ax 2
＋2x ＋b ＞0的解集为{x |x ≠－1a
}，
则a 2＋b 2＋7a －b
(其中a ＞b )的最小值为________．
7．(2016·深圳模拟)已知正实数a ，b 满足1a ＋2
b
＝3，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值是
________________． 8．若a ＞b ＞0，则a 2
＋
1
b
a －b
的最小值为________． 9．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4
n
的
最小值为________．
10．(2016·苏州模拟)若直线ax ＋by －1＝0(a ＞0，b ＞0)过曲线y ＝1＋sin πx (0＜x ＜2)
的对称中心，则1a ＋2
b
的最小值为__________．
11．(2016·苏州、无锡、常州三模)已知常数a ＞0，函数f (x )＝x ＋a
x －1
(x ＞1)的最小值为
3，则a 的值为______．
12．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，
y )，则PA ·PB 的最大值是________．
13．(2016·郑州第一次质量预测)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且a·c ＝b·c ＝1，则对任意的正实数t ，|c ＋t a ＋1
t
b |的最小值是________．
14．(2016·南京盐城联考)已知正实数x ，y 满足等式x ＋y ＋8＝xy ，若对任意满足条件的x ，
y ，不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______________．
答案精析
1. 2
2.4
3.4
4.(－4,2) 5．1＋2 6 解析 ∵x ＜0， ∴y ＝1－2x －3
x
＝1＋(－2x )＋(－3
x
)
≥1＋2－2x
3－x
＝1＋26，当且仅当x ＝－6
2
时取等号， 故y 的最小值为1＋2 6. 6．6
解析 由不等式ax 2
＋2x ＋b ＞0的解集为{x |x ≠－1
a }可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＞0，Δ＝4－4a
b ＝0，
即ab ＝1，a ＞0，
所以a 2＋b 2＋7a －b ＝a －b 2＋2ab ＋7
a －b
＝a －b ＋
9
a －b
≥6， 当且仅当a －b ＝3时等号成立． 7.509
解析 1a ＋2b ＝3⇒2a ＋b ＝3ab ⇒3ab ＝2a ＋b ≥22ab ⇒ab ≥89
，因此(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋
b ＋2＝4ab ＋2≥4×8
9＋2＝509，当且仅当2a ＝b ＝43
时，等号成立．
8．4
解析 原式＝[(a －b )＋b ]2
＋1
b
a －b
≥[2
a －
b b ]2＋1
b a －b
＝4(a －b )b ＋
1
b
a
－b
≥2
a －
b b ·1
b a －b
＝4
(当且仅当a ＝2，b ＝2
2
时取等号)． 9.32
解析 ∵a 7＝a 6＋2a 5，∴a 5q 2
＝a 5q ＋2a 5， 又∵{a n }是正项等比数列， ∴a 5≠0，且q ＞0， ∴q 2
－q －2＝0，
∴q ＝2或q ＝－1(舍去)． 又a m ·a n ＝4a 1， ∴a m ·a n ＝16a 2
1，a 21q
m ＋n －2
＝16a 2
1，
又a 2
1≠0，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6， 1m ＋4n ＝16(1m ＋4
n )(m ＋n ) ＝16(5＋4m n ＋n m ) ≥1
6
(5＋2 4m n ·n m )＝32
. 当且仅当4m n ＝n
m
，即m ＝2，n ＝4时取等号．
10．3＋2 2
解析 画出y ＝1＋sin πx (0＜x ＜2)的图象(图略)， 知此曲线的对称中心为(1,1)， 则直线ax ＋by －1＝0过点(1,1)， 所以a ＋b ＝1， 又a ＞0，b ＞0， 所以1a ＋2b ＝(1a ＋2
b
)(a ＋b )
＝1＋b a
＋2a
b
＋2≥3＋22，
当且仅当b a ＝
2a
b
时取等号． 即(1a ＋2
b
)min ＝3＋2 2.
11．1
解析 ∵x ＞1，∴x －1＞0，又a ＞0， ∴f (x )＝x ＋
a x －1＝x －1＋a
x －1＋1≥2a ＋1，∴2a ＋1＝3，∴a ＝1， 此时，x －1＝1
x －1
，即x ＝2. 12．5
解析 ∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， ∴A (0,0)，B (1,3)．
当点P 与点A (或B )重合时，PA ·PB 为零；
当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，
∴△APB 为直角三角形， ∴AP 2
＋BP 2
＝AB 2
＝10， ∴PA ·PB ≤PA 2＋PB 22
＝10
2
＝5，当且仅当PA ＝PB 时，上式等号成立． 13．2 2
解析 ∵a，b 是互相垂直的单位向量， 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )． 由a·c＝b·c＝1，得x ＝y ＝1， 即c ＝(1,1)，
∴c＋t a ＋1t b ＝(1,1)＋(t,0)＋(0，1
t
)
＝(1＋t,1＋1
t
)，
∴|c＋t a ＋1
t
b|
＝ ＋t
2
＋＋1t
)2
＝
2＋
t ＋1
t ＋t 2＋1
t 2， ∵t ＞0，∴t ＋1t
≥2，t 2
＋1t
2≥2， 当且仅当t ＝1时取等号，
∴|c＋t a ＋1
t b|≥2＋4＋2＝22，
故|c ＋t a ＋1
t
b|的最小值为2 2.
14．(－∞，65
8
]
解析 因为x ＋y ＋8＝xy ≤(
x ＋y
2
)2
，
即4(x ＋y )＋32≤(x ＋y )2
， 解得x ＋y ≥8或x ＋y ≤－4(舍去)．
不等式(x ＋y )2
－a (x ＋y )＋1≥0恒成立可等价转化为a ≤x ＋y 2＋1
x ＋y
恒成立，
令x ＋y ＝t (t ≥8)，
且f (t )＝t 2＋1t ＝t ＋1
t
.
函数f (t )在[8，＋∞)上单调递增， 所以f (t )min ＝f (8)＝8＋18＝65
8.
所以实数a 的取值范围为(－∞，65
8]．。