第5章互感耦合电路

5.1.3耦合系数 一般情况下，两个耦合线圈的电流所产生的磁通，只 有部分磁通相互交链，彼此不交链的那部分磁通称为漏磁 通。两耦合线圈相互交链的磁通越大，说明两个线圈耦合 得越紧密。为了表征两个线圈耦合的紧密程度，通常用耦 合系数K来表示。 因为 21≤ 11 ， 12 ≤ ，所以 22 M2=M21M12= 21 12 = N 221 N112 ≤ N111 N 2 22 =L1L2 i1 i2 i1 i2 i1 i2 故可得 M≤ L1 L2 两线圈的互感系数不大于两线圈自感系数的几何平均 值，即 M≤ L1 L2 。

当线圈中的电流为正弦交流时，则
i1 I 1m sin t , u 21 M i2 I 2 m sin t di π MI1m cost MI1m sin(t ) dt 2 π u12 MI 2 m sin(t ) 2 U 21 jM I 1 jX M I 1 U 12 jM I 2 jX M I 2
据此结论可以用交流实验方法判断同名端和进行M值的测定。
5.2.2 互感线圈的并联 互感线圈的并联也有两种接法，一种是两个线圈的同 名端相连，称为同侧并联，如图5-9(a)所示；另一种是两个 线圈的异名端相连，称为异侧并联，如图5-9(b)所示。 当两线圈同侧并联时，在图5-9(a)所示的电压、电流参 . . . 考方向下，由KVL定律有 U jL I 1 jM I 2 1

几种互感线圈的同名端
同名端总是成对出现的，如是有两个以上的线圈彼此 间都存在磁耦合时，同名端应一对一对地加以标记，每一 对须用不同的符号标出，如图5-4(b)所示。
2.同名端的测定 如果给定一对不知绕向的互感线圈，可采用如图5-5 所示的实验装置来判断出它们的同名端。把一个线圈通过 开关S接到一直流电源上，再将一个直流电压表（或电流 表）接到另一个线圈上，当开关S迅速闭合时，就有随时 间增长的电流i1从电源正级流入L1的端纽，这时di/dt大于 零。如果电压表指针正向偏转，而且电压表正极接端纽， 这说明端纽为高电位端，由 此可以判定端纽和端纽是同 名端；反之，若电压表指针 反向偏转，则说明端纽2′ 为高电位,由此可以判定端纽 和端纽2′是同名端。
上式仅说明互感M比 L1 L2 小(最多相等),但并不能说 明M比 L1 L2 小到什么程度。为此，工程上常用耦合系 数来表示两线圈的耦合松紧程度，其定义式为 M （5-2） K
L1 L2
由式（5-2）可知，0≤K≤1，K值越大，说明两个线圈之间 耦合越紧。当K=1称全耦合；K=0时，说明两线圈没有耦 合。 耦合系数K的大小与两线圈的结构、相互位置以及周 围磁介质有关。如图（5-2）(a)所式的两线圈绕在一起， 其K值可能接近。相反，如图（5-2）（b）所示，两线圈 相互垂直，其K值可能接近零。由此可见，改变或调整两 线圈的相互位置，可以改变耦合系数K的大小。在工程上 有时为了避免线圈之间的相互干扰，应尽量减小互感的作 用，除了采用磁屏蔽方法外，还可以合理布置线圈的相互 位置。在电子技术和电力变压器中，为了更好地传输功率 和信号，往往采用极紧密的耦合，使K值尽可能接近1， 一般都采用铁磁材料制成芯子以达到这一目的。
5.1.2互感系数 图5-1是两个相距很近的线圈（电感）、匝数分别为 N1和N2，为讨论方便，规定每个线圈的电压、电流取关 联参考方向，且每个线圈的电流的参考方向和该电流所产 生的磁通的参考方向符合右手螺旋法则 。

图 5-1 磁通互助的耦合电感
12

当线圈1中通入电流i1时，在线圈1中就会产生自感磁 通11 ，而其中有一部分磁通 21 ，不仅穿过线圈1，同时 也穿过线圈2，且21 ≤ 11 。同样，线圈2中通入电流i2，它 产生的自感磁通 ，其中也有一部分磁通 ，不仅穿过 21 12 22 12 线圈2，同时也穿过线圈1，且 ≤ 。像这样一个线圈 的磁通与另一个线圈相交链的现象，称为磁耦合，即互感。 12 和 21称为耦合磁通或互感磁通。为讨论方便起见，假定 穿过线圈每一匝的磁通都相等，则交链线圈1的 12 N112 ；交链线 自感磁链与互感磁链分别为 11 N111 ， 21 N221 圈2的自感磁链与互感磁链分别为 22 N222 ， 类似于自感系数的定义，互感系数的定义为 21 12 M M 12 21 (5-1a) (5-1b) i1 i2
uCD M
1
dt
由图5-6(b)可知
0≤t ≤1s时，i1=10tA，则
uCD
d (10t ) M 10 V dt
1≤t≤2s时，i1=（-10t+20A），则 d (10t 20) uCD M 10 V dt t≥2s时, i1=0， 则 uCD=0 开路电压uCD的波形如图5-6 (c)所示。

3. 电感与电容两端的电压相等，相位相反，其大小 为总电压的Q倍。 串联谐振时，各元件上的电压分别为
第五章 互感耦合电路
5.1互感
5.1.1.互感现象 在交流电路中，如果在一个线圈的附近还有另一个线 圈， 当其中一个线圈中的电流变化时，不仅在本线圈中 产生感应电压，而且在另一个线圈中也要产生感应电压， 这种现象称为互感现象，由此而产生的感应电压称为互感 电压。这样的两个线圈称为互感线圈。
. . . . . .
(5-4)
5.1.5 互感线圈的同名端 1. 同名端 由上述分析可知,要确定互感电压前的正负号,必须知 道互感磁通与自感磁通是相助还是相消,如果像图5-1和图 5-4那样,知道线圈的相对位置和各线圈绕向,标出线圈上电 流i1和i2的参考方向,就可根据右手螺旋定则判断出自感磁 通与互感磁通是相助还是相消。但在实际中，互感线圈往 往是密封的，看不到其绕向和相对位置，况且在电路中将 线圈的绕向和空间位置画出来既麻烦又不易表示清晰，于 是人们规定了一种标志，即同名端，由同名端与电流参考 方向就可以判定磁通相助还是相消。 线圈的同名端是这样规定的：具有磁耦合的两线圈， 当电流分别从两线圈各自的某端同时流入（或流出）时， 若两者产生的磁通相助，则这两端叫作互感线圈的同名端， 用黑点“.”或星号“*”作标记，未用黑点或星号作标记的 两个端子也是同名端。
U jL2 I 2 jM I 1 I I 1 I 2 由电流方程可得 I 2 I I1 , I1 I I 2 , 将其分别代入 电压方程中，则有 (5-7)

. . . . . .

根据上述电压、电流关系，按照等效的概念，图5-9 (a)所示具有互感的电路就可以用图5-9 (b)所示无互感的 电路来等效，这种处理互感电路的方法称为互感消去法。 图5-9 (b)称为图5-9 (a)的去耦等效电路。由图5-9 (a)可以 直接求出两个互感线圈同侧并联时的等效电感为 L1L2 M 2 L L1 L2 2M (5-8) 同理根据图5-9（c）、（d）可以推出互感线圈异侧 并联的等效电感为 L1L2 M 2 L (5-9) L1 L2 2M 显然,同名端连接时，耦合电感并联的等效电感较大。 因此，将耦合电感并联时，必须注意同名端。


(a)
(b) 图5-2 耦合系数与圈相互位置的关系
5.1.4 互感电压 如果选择互感电压的参考方向与互感磁通的参考方 向符合右手螺旋法则，则根据电磁感应定律，结合式 dΨ 21 di (5-2)，有 u 21 M 1 dt dt (5-3)
u12 dΨ 12 di M 2 dt dt
图5-5 同名端实验测定法

例5-1在图5-6（a）所示电路中，已知两线圈的互感 M=1H，电流源i1(t)的波形如图5.-6(b)所示，试求开路电 压UCD的波形。


图5-6 例5-1电路

解 由于L2线圈开路，其电流为零，因而L2上自感电 压为零，L2上仅有电流i1产生的互感电压。根据i1的参考 方向和同名端位置，则有 di
图 5-9 耦合电感并联时的等效电感
5.3串联谐振电路
5.3.1串联电路谐振条件 图5-10所示的RLC串联电路,在正弦激励下,其复阻抗 1 为 Z R j(L ) R j( X L X C ) R jX | Z | / C 式中 X L XC arctan R

图5-10串联谐振电路
当电源电压与电路电流同相位，即 0 时，电路发 生谐振，则有 X L X C 0 即：ωL 1 0

ωC

因此，串联谐振的条件为 调节ω、L、C三个参数中的任意一个，都可使电路 发生谐振（称为调谐）。在电路参数L、C一定时，调节 电源激励的频率，使电路发生谐振，此时的角频率称为 谐振角频率，用ω0表示，则有 1 (5-10) 0 LC 1 相应的谐振频率为 f0 (5-11) 2π LC 显然，谐振频率仅与电路参数LC有关，与电阻值R无关。

式（5-1a）表明线圈1对线圈2的互感系数M21，等于 线圈2的互感磁链与激发该磁链的线圈1中的电流之比。 式（5-1b）表明线圈2对线圈1的互感系数M12，等于穿 过线圈1的互感磁链与激发该磁链线圈2中的电流之比， M 21 M 12 M 可以证明 所以，我们以后不再加下标，一律用M表示两线圈的 互感系数，简称互感。互感的单位与自感相同，也是亨利 （H）。 两个互感线圈的构成和相对位置确定时，线圈间的互 感M是线圈的固有参数。M的大小它取决于两个线圈的匝 数、几何尺寸、相对位置和磁介质。当磁介质为非铁磁性 介质时，M是常数，本章讨论的互感M均为常数。
5.2互感线圈的串联、并联
5.2.1 耦合电感的串联 两个具有互感的线圈串联时有两种接法——顺向串联 和反向串联。 1.互感线圈的顺向串联 顺向串联就是异名端相接。如图5-7（a）所示。把互 感电压看作受控电压源后得电路如图5-7(b)所示，由该图 可得
其中 L正 =L1+L2+2M (5-5) 由此可知，顺向串联的耦合电感可以用一个等效电感 L正 来代替，等效电感 L正 的值由 （5-5）式来确定。
图5-7耦合电感的顺向串联图
5-8耦合电感的反向串联
2.互感线圈的反向串联 反接串联是同名端相接。如图5-8(a)所示。 把互感电压看作受控电压源后得电路如图5-8(b)所示，由图5-8(b)图

L反 = (L1+ L2-2M) 其中 (5-6) 由此可知，反向串联的耦合电感可以用一个等效电感L来代替， 等效电感L的值由式(5-6)来确定。 显然, 顺向串联连接时比反向串联的等效电感较大。因此，将耦 合电感串联时，必须注意同名端。 比较式(5-5) 和式(5-6) 两式可知，顺接串联的等效电感比反接串 联的等效电感大4M。 1 M ( L正－L反） 4

5.3.2串联谐振电路的基本特征 1.阻抗最小，且为纯电阻 串联谐振时，由于复阻抗的虚部为零，电路复阻抗就 等于电路中的电阻值R，复阻抗的模达到最小值。 Z R jX R 当外加频率等于其谐振频率时其电路阻抗呈纯电阻性， 且有最小值，它这个特性在实际应用中叫陷波器。 同相。 与U 2.电路中电流最大, I 在一定值的电压作用下，谐振时的电流将达到最大值, · 表示为 用 I · 0 U I 0 (5-12) R · 式中， I 0 称为谐振电流。以上结论，是串联谐振电路 的一个重要特征，常以此来判断电路是否发生了谐振。