北师大八年级下不等式全章知识点练习学习资料

合集下载

北师大版八年级下数学复习资料

第一章一元一次不等式和一元一次不等式组知识要点※要点1 不等式的概念及分类一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），≠，连接的式子叫做不等式。

不等式分类：(1) 绝对不等式。

无论在什么条件下不等式都成立。

(2) 条件不等式。

只有在一定条件下不等式才能成立。

(3) 矛盾不等式。

无论在什么条件下不等式都不成立。

※要点2 常见不等式的基本语言(1) 若x ____0，则x 是正数。

(2) 若x ____0，则x 是负数。

(3) 若x ____0, 则x 是非负数。

(4) 若x ____0，则x 是非正数。

(5) 若x －y ___0，则x 大于y 。

(6) 若x －y ___0，则x 小于y 。

(7) 若x －y _____0，则x 不小于y 。

(8) 若x －y _____0，则x 不大于y 。

(9) 若xy ___0（或0___y x ），则x ，y 同号。

(10) 若xy _____0（或0___yx ），则x ，y 异号。

※要点3 不等式的基本性质及其他性质基本性质(1) 不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号方向不变。

(2) 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。

(3) 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向要改变。

其他性质(1) 若a ＞b ，则b ＜a ； (2) 若a ＞b ，且b ＞c ，则a ＞c ；(3)若a ≥b ，且b ≤a ，则a ＝b ； (4) 若a 2≤0，则a ＝0。

★说明：不等式的基本性质也是不等式的同解原理。

※要点4 不等式的解和不等式的解集以及它们的区别与联系能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

（能使不等式成立的未知数的某个值）一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。

（能使不等式成立的未知数的所有值）※要点5 在数轴上表示不等式的解集（用以下口诀便于记忆）大于向右画，小于向左画，有等号的画实心，无等号的画空心。

(完整版)北师大版八年级下册数学各章知识点总结

第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。

3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c b c a >.(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, cb c a <2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式) 一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a a-b<0 (由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0时,解为ab x ;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为ab x ;5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.五. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解. 几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.3. 解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b)第二章分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系。

北师大版初二下数学目录及知识点(最新整理)

两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补一般地，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行
5. 三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180
四边形的内角和等于 360 度 6 关注三角形的外角三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角回顾与思考： 1. 直观是重要的，但它有时也会欺负人，你还能找出这样的例子吗 2. 请你用自己的语言说一下什么叫定义、命题、公理和定理 3. 什么条件下两条直线平行？两条直线平行又会怎样？这两类命题的条件和结论有什么
3.运用公式法平方差、十字相乘法特点：二次项系数是 1，常数项是两数积、一次项系数是这两个因数的和
完全平方：形如 a2 2ab b2和a2 2ab b2 的式子称为完全平方式。
分解因式的方法：提公因式法、运用公式法、十字相乘法回顾与思考：1.举例说明什么是分解因式 2.分解因式与整式乘除有什么关系 3. 分解因式常用方法有哪些？
6.一元一次不等式组关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集。用数轴表示不等式组的解集提高：不等式表示的平面区域回顾与思考：1.不等式有哪些基本性质，它与等式的基本性质有什么异同？ 2.解一元一次不等式和解一元一次方程有什么异同？ 3.举例说明在数轴上如何表示一元一次不等式（组）的解集 4.说运用不等式解决实际问题的基本过程以及个人体会 5.举例说明不等式、函数、方程的联系
（1）两个角对应相等的两个三角形相似；
（2）三边对应成比例的两个三角形相似；
（3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。直角三角形形似的条件：（1）一对锐角对应相等，两直角三角形相似（2）斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似（3）被斜边上的高分成是两个三角形相似，并与原三角形相似

(完整版)北师大版初二下册因式分解以及不等式知识点归纳和练习题详解,推荐文档

幂的乘方法则可以逆用：即 a mn (a m )n (a n )m
如： 46 (42 )3 (43 )2
7、积的乘方法则： (ab)n a nbn （ n 是正整数）
积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（ 2x3 y 2 z)5 = (2)5 (x3 )5 ( y 2 )5 z 5 32x15 y1_______________。
8、同底数幂的除法法则： a m a n a mn （ a 0, m, n 都是正整数，且 m n)
同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： (ab)4 (ab) (ab)3 a3b3
9、零指数和负指数；
a 0 1 ，即任何不等于零的数的零次方等于 1。
ap
1 ap
（a
0,
p 是正整数），即一个不等于零的数的
p 次方等于这个数的
p
次方的倒数。
如： 23 ( 1 )3 1 28
第2页共8页
爱学！乐学！会学！
·
大学通
初二因式分解赵亮 2015-6-7 陈老师
10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意： ①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。 ③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
基本方法
⑴提公因式法 ⑵公式法
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数 (或式) 的平方和的形式，另一项是这两个数 (或式)的积的 2 倍。立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式：a3±3a2b＋3ab2±b3=(a±b) 3．

(完整版)北师大版八年级下册数学复习知识点及例题相结合

一. 不等关系第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1. 一般地,用符号“<”(或“ ≥”), “>”(或“ ≤”)连接的式子叫做不等式.2.区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。

3.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数⇔ 非正数⇔ 大于等于0( ≥ 0) ⇔小于等于0( ≤ 0) ⇔0 和正数0 和负数⇔不小于0⇔不大于0二. 不等式的基本性质1.掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, a >b .c c(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, a <bc c2.比较大小:(a、b 分别表示两个实数或整式) 一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即:a>b ⇔ a-b>0 a=b ⇔ a-b=0 a<b ⇔ a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要作差即可)例下列各式一定成立的是( )A．7a﹥4a B. a﹥-a C. a+1﹥a－1 D. a≤a2例若a﹥b,且a、b 同号，以下不等式中一定成立的有①a2﹥b2 ②a3＜b3 ③1/a＜1/b ④a/b﹥1A. 0B. 1C. 2D. 3三. 不等式的解集:1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3.不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心点,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3.解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4.一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0 时,解为x >b;②当a=0 时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0 时,且b≥0,则a无解;③当a<0 时, 解为x <b ;a5.不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.例不等式mx﹥n(m≠0)的解集是( )A．x﹥n/m B.当m﹥0 时，x﹥n/m，当m＜0 时，x＜-n/mC．x＜n/m D．当m﹥0 时，x﹥n/m，当m＜0 时，x＜n/m例如果不等式(a+1) x﹥(a+1)的解集为x＜1，则a 必须满足的的条件是：A. a＜0B. a≤-1C. a﹥-1D. a＜-1例已知关于x 的不等式(2a－b)x+a－5b ﹥0 的解集为x＜10/7,则ax+b﹥0 的解集为例若不等式组x﹥a 无解，则不等式组x﹥2－a 的解集是例水果店进了某中水果1t，进价是7 元/kg。

北师大版八年级下册数学[《一元一次不等式与不等式组》全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《一元一次不等式与不等式组》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a≤等；另一种是>，x a用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点二、一元一次不等式1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式．要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【典型例题】类型一、不等式1.用适当的符号语言表达下列关系：（1）a 与5的和是正数. （2）b 与-5的差不是正数. （3）x 的2倍大于x. （4）2x 与1的和小于零.（5）a 的2倍与4的差不少于5. 【答案与解析】解：（1）a+5>0；（2）b-（-5）≤0；（3）2x>x ；（4）2x+1<0；（5）2a-4≥5. 【总结升华】正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些常见的描述语言，如此处：不是、不少于、不大于…… . 举一反三：【变式】用适当的符号语言表达下列关系：（1）y 的12与3的差是负数.（2）x 的12与3的差大于2.（3）b 的12与c 的和不大于9. 【答案】（1）1302y -<；（2）1322x ->；（3）192b c +≤.2.用适当的符号填空：（1）如果a<b ，那么a-3__b-3； 7a__7b ；-2a__-2b. （2）如果a<b ，那么a-b__0；a+5b__6b ；11__22a b b -.【思路点拨】不等式的基本性质1,2,3．【答案】（1）＜；＜；＞．（2）＜；＜；＜．【解析】（1）在不等式a<b 两边同减去3，得a-3＜b-3；在不等式a<b 两边同乘以7，得7a ＜7b ；在不等式a<b 两边同乘以﹣2，得-2a ＞-2b ．（2）在不等式a<b 两边同减去b ，合并得a-b ＜0；在a<b 两边同加上5b ，合并得a+5b ＜6b ；在a；（2）＜．【变式2】判断（1）如果a b >，那么22ac bc >；（2）如果22ac bc >，那么a b >. 【答案】（1）×；（2）√．类型二、一元一次不等式3.（2015•巴中）解不等式：≤﹣1，并把解集表示在数轴上．【思路点拨】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x 的系数化为1即可．【答案与解析】解：去分母得，4（2x ﹣1）≤3（3x+2）﹣12，去括号得，8x ﹣4≤9x+6﹣12，移项得，8x ﹣9x≤6﹣12+4，合并同类项得，﹣x≤﹣2，把x 的系数化为1得，x≥2．在数轴上表示为：．【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．举一反三：【变式】解不等式5113x x -->，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：去分母得5x-1-3x ＞3，移项、合并同类项，得2x ＞4，系数化为1，得x ＞2，解集在数轴上的表示如图所示．4.某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商店准备降价出售，但要保证利润不低于10%，那么商店最多降价多少元出售商品？【思路点拨】利润＝售价－进价，售价＝进价＋利润＝进价×（1＋利润率）. 【答案与解析】解：设商店降价x 元出售该商品，则225x -≥150(110%)⨯+，解得x ≤60.答：商店最多降价60元出售商品。

北师大版初二下册第一章不等式复习

初二下册第一章重点知识梳理及练习一元一次不等式一、常用的不等关系：（1）x 是正数，x>0；（2）x 是负数，x<0；（3）x 是非负数，x ≧0；（4）x 是非正数，x ≦0；（5）x 大于y ，x ＞y ；（6）x 小于y ，x ＜y ；（7）x 不小于y ，x ≧y ；（8）x 不大于y ，想x ≦y 。

练习：用不等式表示下列关系：（1）x 的1/2与y 的4倍的差的平方是一个整数。

（2）y 的一半的绝对值不大于2。

（3）x 的5倍与7的和的比x 的9倍大。

二、不等式的性质1不等式的基本性质：（1）两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

用字母表示：若a>b,则a+c>b+c ，a-c>b-c ；若a<b,则a+c<b+c ，a-c<b-c 。

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

用字母表示：若a>b,c>0，则ac>bc,a/c > b/c ；若a<b,c>0,则ac<bc,a/c < b/c 。

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

用字母表示：若a>b,c<0，则ac<bc,a/c < b/c ；若a<b,c<0,则ac>bc,a/c > b/c 。

2、不等式的其它性质：（1）对称性，也叫互逆性：若a>b,则b<a ；（2）传递性：若a>b,b>c ，则a>c ；（3）若ab>0,则a 、b 同号；若ab<0，则a 、b 异号；（4）若a-b>0，则a>b ；若a-b<0，则a<b 。

练习：1．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P 、Q 、R 、S ，如图3所示，则他们的体重大小关系是（）A 、B 、C 、D 、2.若a ＜b ＜0，则式子：①a ＋1＜b ＋2；②1a b >；③a ＋b ＜ab ；④11a b<中，正确的有个。

北师大版数学八年级下第一章、一元一次不等式与不等式组培优复习讲义(一)

戴氏西门总校数学资料北师大版八年级下第一章、一元一次不等式与不等式组复习讲义（一）第一部分、要点概况（一）不等关系1、一般地，用符号“＜”、“≤”、“＞”、“≥”、“≠”连接的式子叫做不等式。

注意：⑴要弄清不等式和等式的区别：等式有等号，而不等式没有。

⑵常用的不等号有：＜、≤、＞、≥、≠。

⑶列不等式是数学化与符号化的过程，它与列方程类似，列不等式注意找到问题中不等关系的词，如： “正数(＞0)”， “负数（＜0）”， “非正数（≤0）”， “非负数（≥0）”， “超过(＞0)”， “不足（＜0）”， “至少（≥0）”， “至多（≤0）”， “不大于（≤0）”， “不小于（≥0）”⑷除了⑶常见不等式所表示的基本语言与含义还有： ①若a －b ＞0，则a 大于b ； ②若a －b ＜0，则a 小于b ； ③若a －b ≥0，则a 不小于b ； ④若a －b ≤0，则a 不大于b ；⑤若ab ＞0或0ab >，则a 、b 同号； ⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号。

⑸不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。

例1：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。

①32>-； ②21x ≤； ③21x -； ④s vt =； ⑤283m x <-；⑥124x x ->-；⑦38x ≠；⑧5223x x -≈-+；⑨240x +>；⑩230xπ+>。

不等式：。

变式训练1：已知下列各式：①-1<0，②2+3=5 ③3x>7 ④2x-3y=1 ，其中不等式有不等式：。

例2：⑴a 是正数：；⑵x 的平方是非负数：； ⑶a 不大于b ：；⑷x 的3倍与－2的差是负数：；⑸长方形的长为x cm ，宽为10cm ，其面积不小于200cm 2：。

变式训练2：用不等式表示：（1）x 与1的差不大于y 的3倍；（2）a 与b 的平方和是非负数；例3：试判断237a a -+与32a -+的大小变式训练3-1：比较1415-与1314-的大小。

数学北师大版八年级下册一元一次不等式与不等式组复习

3 x 1 5 （2） 2 x 6
（4）
4 x 6 2 x x 3 4
达标检测
1.不等式:用不等号连接起来的式子 (1).x与y的差为非正数; (2).a与4的和不小于2.
3.解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来
2(x 1) 3x 1 (1) x x 1 骤：（1）分别求出每一个不等式的解集；（2）将每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，找出它们的公共部分，注意：公共部分可能没有，也可能是一个点。（3）根据公共部分写出不等式组的解集，若没有公共部分，则说明不等式组无解集。 6、一元一次不等式组的解集的取法： x>a x>b x<a xa xb 同大取大同小取小
（ 1）
1. 例用适当的符号表示下列关系: (1).x除以2的商加上2至多为5; (2).a与b两数和的平方不大于2. 2.解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来。
二.巩固练
3x 5 1 （1）3 x 2
x 1 1 （ 3） 2 7 x 8 9 x
2、解不等式：求不等式解集的过程
其实质就是把不等式化为“x>a或x≥a或x<a或x≤ a”的形式。
3、一元一次不等式的一般步骤：去分母去括号移项合并同类项
系数化为1
4、用数轴表示不等式的解集：大于向右画,小于向左画. x>a
a
x<a
a
x≥a
a
x≤a
a
用数轴表示不等式的一般步骤;(1)画数轴;(2)定界点;(3)定方向 .
大过口乡民族中学孙建喜
复习目标：

北师版八年级下册不等式初步知识点+练习

不等式初步知识点1：不等式概念不等式：用不等号（“＞”、“＜”、“≥”、“≤”或“≠”）表示大小关系的式子，叫做不等式常见不等号读法：常见不等关系的描述：（1）a不大于b，___________________.（2）a 的数量不少于b,___________________.（3）a为非负数,___________________.（4）小明至少有70元钱,设钱数为a元,___________________.（5）某儿童的身高bm不超过1.2m,___________________.（6）a的2倍与1的差不等于0,___________________.总结：列不等式的步骤：①找关键字,判断用什么不等号;②列不等式.例1、下列给出四个式子,①x>2;②a≠0;③5<3;④a≥b,其中是不等式的是（）A.①④B.①②④C. ①③④D.①②③④练1-1、下列式子:①-3<0,②4x+3y>0,③x=3,④x²-y+1,⑤x≠5,⑥x-3<y+2,其中是不等式的有____.例2、根据题意列不等式:（1）x的2倍大于1; （2）a与b的差是非负数; （3） a 的2倍与7的和小于-2.知识点2：不等式的解集解集：把满足一个不等式的未知数的值,称为这个不等式的一个解,如:3,3.5,4都是不等式2x≥4的解,这样的解有无数个，我们把满足一个不等式所有解,称为这个不等式的解集. 用数轴表示不等式的解集应记住以下规定:①大于向右画,小于向左画；②有等号(≥,≤)画实心点；③无等号(>,<)画空心圈. 常见不等式解集在数轴上表示如下：练习：在数轴上表示下列不等式:（1）x<3; （2）x≥-2.例3、（1）下列选项中是不等式2x+1>3的解的是（）A.-4B.-2C.0D.2（2）已知x=-2是不等式ax ²-bx+c>0的解,则下列式子正确的是（）A.4a-2b+c>0B.4a ＋2b+c>0C.-4a-2b+c>0D.-4a ＋2b ＋c>0 练3-1、（1）下列数中哪些是不等式3x-5≥0的解:-1、0、1、2、3、4;（2）若x=-1是不等式ax ²＋bx+c>0的解,则a-b+c____0.例3、在数轴上表示下列不等式的解集:(1)x<-2; （2）x ≥1.练4-1、在数轴上表示下列不等式的解集:（1）x>2.5; （2）x<-2.5; (3) x ≥3.练 4-2、不等式的解集在数轴上表示如下图所示,则该不等式可能是_________.知识点三：不等式性质不等式的性质1：不等式的两边加（或减）同一个数(或式子),不等的方向不变。

北师大版八年级下册不等式及性质专题练习(无答案)

不等式的解
是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集
是一个集合，是一个范围．
其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
3、不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x－2≤6的解集为x≤8．
考点三、不等式的性质
不等式的基本性质1:
例1、将下列不等式化成“x>a”或“x>a”的形式：
（1）x-6>2; (2) 4x<5+3x.
例2、已知m＜ｎ，则下列各不等式错误的是（）
A、m－3＞ｎ－3 B、m+n<2n C、m+3<n+3 D、m－n＜0
举一反三：
1、不等式x-1>0化成“x>a”或“x>a”的形式：_______________
（2）运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘（或除以）同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
知识点三、不等式的解及解集
1、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
【典型例题】
考点一、不等式的概念
例1、下列式子：（1）（2）1+2=3（3）；（4）（5）；（6）5z-3=7，不等式的个数是（）
A.2 B.3 C.4 D.5
举一反三：
1、下面式子：（1）（2）x=3（3）；（4）（5） ;其中不等式的个数是（）

北师大八年级下不等式全章知识点练习

不等关系1、不等式：（1）生活中的不等关系：太阳的体积大于地球的体积；汽车的速度比自行车的时速的100倍要小；小明的年龄不小于你的年龄；x 的3倍与13的和不大于100（2）定义：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“﹥”（或“ ≥”）连接的式子叫不等式。

（3）表示不等式关系的符号： 5种2、不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式3、列不等式表示简单的数量关系：（1）认真审题，分清数量的大小关系（2）列出相应的代数式，找出不等关系（3）用表示不等关系的符号，列出不等式例1、用适当的符号表示下列不等关系：（1）一条鲸鱼的长度比一条鲳鱼的长度长；（2）空调的电功率比电扇的电功率的10倍还要大；（3） 222m n mn +-是非负数例2、指出下列关系式中的不等式：（1） 3.4π> （2）21< （3）20a ≥ （4）211a +≥ （5）21≥ （6）2x < （7）22x y > （8）23x x > （9）21x - （10）11x y≠例3、从1 ，3 ，5 ， 7 ，9中任取两个数组成一组数，写出其中两数之和小于10的所有数组。

例4、用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C 含量及购买这两种原料的价格如下表：（1）现配制这两种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C ，试写出所需甲种原料的质量x 千克满足的不等式。

（2）若还要购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，那么所需甲种饮料的质量x 千克应满足什么样的不等式。

（3）你能写出同时满足（1）（2）所需甲种原料的质量x 千克应满足的不等式组吗？例5、某校两名教师带若干名学生去旅游，联系了两家标价相同的旅游公司，经洽谈后，甲公司的优惠条件是1名教师全额收费，其余7.5折收费；乙公司的条件是全部师生8折收费。

试问当学生人数超过多少人时，甲旅游公司比乙旅游公司更优惠？（只列关系式即可）一、选择题：1、下面给出6个式子：（1）30>；（2）430x y +< ；（3）3x = ；（4）1x - （5）23x +≤ ；（6） 20x ≠ ，其中是不等式的有（）A 、 2个B 、 3个C 、 4个D 、 5个 2、x 与3的和的一半是负数，用不等式表示为（）A 、1302x +>B 、1302x +<C 、1(3)02x +>D 、1(3)02x +<3、下列按条件列不等式错误的是（）Ａ、若a 不是负数，0a ≥ Ｂ、若a 的值不大于１，则1a ≤ Ｃ、若y 与１的差大于或等于０，则10y -≥ Ｄ、若x 的值不超过３，则3x < ４、若实数1a > ，则实数M a =，23a N +=，213a P +=的大小关系是（）Ａ、 P N M >> Ｂ、 M N P >> Ｃ、N P M >> Ｄ、M P N >> 二、填空题：５、 “x 的２倍与５的和比y 的12小”用不等值表示为。

北师大版八年级下册数学各章知识要点总结(很有用)

北师大版八年级数学下册各章知识要点总结第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一、一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2、不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.3、求不等式解集的过程叫解不等式.4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组5、不等式组的解集 :一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。

6、等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.二、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（注：移项要变号，但不等号不变。

）性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.不等式的基本性质<1>、若a>b, 则a ±c>b ±c ；<2>、若a>b, c>0 则ac>bc ，若c<0, 则ac<bc不等式的其他性质：反射性：若a>b,则b<a; 传递性:若a>b,且b>c,则a>c三、解不等式的步骤: 1、去分母; 2、去括号; 3、移项、合并同类项; 4、系数化为1。

四、解不等式组的步骤:1、解出不等式的解集。

2、在同一数轴表示不等式的解集。

3、写出不等式组的解集。

五、列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数，找（不等量）关系式；（3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组) （4）解不等式组；检验并作答。

六、常考题型：1、求4x-6<7x-12的非负数解.2、已知3(x-a)=x-a+1的解适合2(x-5) < 8a,求a 的范围.3、当m 取何值时，3x+m-2(m+2)=3m+x 的解在-5和5之间。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

（2）若还要购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，那么所需甲种饮料的质量x 千克应满足什么样的不等式。

６、 “代数式23y -的值至少比2y -大３”用不等式表示为７、小红准备去买苹果和橘子，她带了３０元钱，已知一千克苹果４元，一千克橘子y元，她买了３千克苹果，４千克橘子，那么y应该满足的不等式是。

三、解答题：8、写出下列不等关系：（1）x的2倍减3的差不大于1（2）y的9倍与b的13的和是负数。

（3）直角三角形的斜边c比它的两条直角边a、b都长（4）a与b两数和的平方不大于39、某电信公司的A类手机收费标准是：每月缴月租费50元，另外每通话1分钟缴费0.36元；B类手机收费标准是：不缴月租费，每通话1分钟缴费0.60元，如果每月的通话时间为x分钟，分别写出：（1）选择A类手机收费标准应满足的不等式；（2）选择B类手机收费标准应满足的不等式。

10、一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，请列出以后几天平均每天要完成的土方数x应满足的不等式。

中考真题：1、比较大小2 。

1.2不等式的基本性质1、不等式的基本性质：（1）不等式两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．．。

2、不等式的其它性质：（1）对称性：若a b>，则b a<（2）传递性：若a b>，且b c>，则a c>（3）同向相加性：若,a b c d>>，则a c b d+>+（4）若a b ≥ ，b a ≥ ，则a b = （5）若20a ≤在，则0a =3、不等式性质的应用：（1）分类讨论（2）数形结合例1、填空：（1）若a b >，则1a + 1b +，2a - 2b - 。

（2）若a b < ，则5a 5b ，3a 3b，根据（3）若a b >，则2a - 2b -，22a b->-，根据。

（4）若a b < ，0c >，则ac bc ，a c - bc-，c a - c b - 。

（5）若a b < ， 0c <，则ac bc ，a c - bc-，c a - c b - 。

（6）若2a >，则4a + 6 。

（7）0c a b <<< ，那么a bc c - 0 。

（8）若mx my <，且x y > ，则 m 0例2、选择题：（1）若a b <，则下列不等式成立的是（）A 、0b a - ，则1x <C 、若x a >，y b >，则x y a b ±>±D 、若21x -<-，则12x >例3、试判断224a a -+与23a -+的大小。

一、选择题：1、在下列不等式中，一定成立的是（）A 、43y y >B 、2x x ->-C 、34x x -<-D 、32y y<2、下列说法正确的是（）A 、若515a b < ，则620b a ->B 、若2x x > ，则0x >C 、若1x < ，则21x <D 、若0a >，则2a a >3、下列说法中错误的是（）A 、如果a b <，则a c b c -<-B 、如果a b >，0c >，则ac bc >C 、如果a b < ，0c <，则a b c c >D 、如果a b >，0c <，那么a bc c-<-4、如果a b <，那么下列式子成立的是（）A 、ac bc C 、22ac bc <D 、22ac bc ≤二、填空题：5、若a b >，则a c + b c + ，52a - 52b -。

6、如果32m n->- ，那么 2m 3n 。

7、若0a b <<，则 b8、若m na a-> ，则a 时， m n >- ；a 时，m n <-。

三、用不等式的性质，把下列不等式化成x a >或x a <的形式。

9、215x +> 10、233x -<四、据下列条件，写出不等式11、532x x <+，两边都减去2x 12、315a -> ，两边都乘以35-五、说出下列不等式变形的依据：13、若33a ->- ，则0a > 14、若41a ->，则14a <-六、解答题：16、一段路程长24km ，小明准备用不超过6 h 的时间走完全程，则小明的速度应满足什么条件？中考真题：1、如果a b >，0c <，那么下列不等式成立的是（）A 、a c b c +>+B 、c a c b ->-C 、ac bc >D 、 a bc c>不等式的解集1、不等式的解集：（1）使不等式成立的未知数的每一个值叫做这个不等式的一个解。

（2）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集。

2、在数轴上表示不等式的解集： 3、（1）“或”的意义：“或”即“或者”，指所列出的情况二者居其一和二者同时存在。

（2） “且”即“并且”，表递进，是对已有情况再进一步限制或说明。

例1、判断：（1）2是不等式35x -<的一个解。

（）（2）4-是不等式40x +>的一个解。

（）（3）23x <-是不等式312x -<的解集。

（）（4）1-，0 ，1 ，3都是不等式123x -<的解。

（）（5）不等式61x +>的解集是0x = 。

（）（6）1x >是不等式10x +>的解集。

（）（7）不等式35x +<的正整数解是1 。

（）（8）不等式215x -<-与35x -<的解集相同。

（）（9）不等式31x -<的解有无穷多个，解集是4x <。

（）（10）1x ≤可用数轴上表示1 的点的左边部分来表示。

（）例2、如图所示，写出数轴上表示的解集。

例3、在数轴上表示下列解集：（1）1x >- (2) 3x ≤(3) 02x <≤ (4) 3x ≤且0x ≠例4、在同一数轴上表示下列解集：（1）1x ≥- 和 2x > （2）1x ≤和3x ≥例5、已知a b > ，且0a b ⋅<，0a b +>，试判断a 、b 的符号。

例6、求下列符合条件的解：（1）不等式 5.6x <的正整数解。

(2) 不等式8.16x >-的最小整数解。

（3）不等式 6.43x -≤<的非负整数解。

一、选择题：1、下列四种说法，正确的有（）（1）2x =是不等式210x ->的一个解；（2）12x =是不等式210x ->的一个解；（3）12x >是不等式210x ->的解集；（4）1x >中的任何一个数都能使不等式210x ->成立，所以1x >也是它的解集。