【全国百强校】上海复旦大学附属中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(pdf版)
上海复旦大学附中2018-2019学年第二学期高三期末考试数学试卷(7页)(2021年整理)
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卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1-6题每题填对得4分，第7-12题每天填对得5分，否则一律得零分。
1.不等式13x >的解集为________2. 一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120人,超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．3.已知110002111000n n n n a n n n+⎧≥⎪⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩()n *∈N ,则lim n n a →∞=________ 4.一个等差数列的前4项之和是40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则项数n =________5。
若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为________6。
若22sin cos cos 0ααα⋅-=，则cot α=________7.已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．8.已知点O 为ABC ∆的外心,且4,2ACAB ==,则·AO BC = ．9.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字,记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b ，且*,{|09,}a b n n n ∈≤≤∈N ，若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀",现任意找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为________10.在ABC ∆中，点D 在BC 上，且2,::3::1DC BD AB AD AC k ==，则实数k 的取值范围是__________．11.已知函数()sin f x x x =-是R 上的单调增函数,则关于x 的方程211sin 2cos488x x x x -+=的实根为________ 12。
上海市2018-2019学年复旦附中高一上期末数学期末试卷
2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷2019.1一、填空题1.（19复旦附中高一期末1）()1x f x a -=（0a >且1a ≠）的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________. 答案：（-1,1）2. （19复旦附中高一期末2）函数y ______. 答案： (],6-∞3.（19复旦附中高一期末3）研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220x x y x -=⋅+≥.经过__________分钟，该物质温度为5摄氏度. 答案：13. （19复旦附中高一期末4）函数()()34,1log ,1aa x a x f x x x ⎧--<⎪=⎨≥⎪⎩是定义在R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________. 答案：（1.3）5.（19复旦附中高一期末5）函数()()1224174f x x x =-+的单调递增区间是__________.答案：[)4,+∞6.（19复旦附中高一期末6）函数0.52log 1x y x =-的零点个数为_________个. 答案：27. （19复旦附中高一期末7）若函数()()()22lg 111f x a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________. 答案： 53a >或1a ≤8.（19复旦附中高一期末8）已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫⎪⎝⎭=________. 答案：19.（19复旦附中高一期末9）当lg lg ,a b a b =<时，则2a b +的取值范围是_________.答案： ()3,+∞10.（19复旦附中高一期末10）函数()142xf x =-的图像关于点__________成中心对称. 答案：（2,0）11.（19复旦附中高一期末11）设{}()()()21,1112,121M y y x N y y x m x x m -⎧⎫⎛⎫====--+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是________.答案：（-1,0）12.（19复旦附中高一期末12）已知函数()241f x ax x =++，若对任意()(),0x R f f x ∈≥恒成立，实数a 的取值范围是_________. 答案： [)3,+∞二、选择题13.（19复旦附中高一期末13）下列四组函数中，不是互为反函数的是（） A. 3y x -=和13y x -=B. 23y x =和()320y xx =≥C. ()20x y x =>和()2log 1y x x =>D. ()()lg 11y x x =->和101x y =+答案：B14.（19复旦附中高一期末14）“1a >”是“函数()()1x f x a a =-⋅是单调递增”的（）A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 充要条件D.既非充分也非必要条件答案：A15.（19复旦附中高一期末15）下列四个函数中，图像如图所示的只能是（） A. lg y x x =+ B. lg y x x =-+ C. lg y x x =-D. lg y x x =--答案：C16.（19复旦附中高一期末16）已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m ----≤≤⎧⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[-1,1]有下列结论：①当0n =时，(]0,2m ∈；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∉⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈ A. ①② B.①③ C.②③ D.③④答案：C 三、解答题17.（19复旦附中高一期末17）已知幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <. （1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()2121log log 2,,22y f x f x x ⎡⎤=+∈⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦的值域.答案：（1）()30,m f x x == （2）5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18.（19复旦附中高一期末18）已知函数()()2log ,f x x a a =+为常数，()g x 是定义在[-1,1]上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()f x 的反函数()1g x -.答案：（1）()32,0,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭（2）()[][]1210,1121,0x xx g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩ 19.（19复旦附中高一期末19）如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中.钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率=-输入该对的钢带厚度输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧拖，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算123,,L L L . 答案：（1）11 （2）1233125,2500,2000L L L ===20.（19复旦附中高一期末20）已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）（1）判断函数()2x y f =的奇偶数；（2）若不等式()2122++42x x f <在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围； （3）设()11x g x x -=+，是否存在整数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数,,m n p ，都存在以()()(),,f g x f g n f f p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由.答案：（1）1a =，偶函数；1a =-，奇函数；1a ≠±，非奇非偶函数 （2）（-3,3）（3）5155,,3153⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21.（19复旦附中高一期末21）函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数,x y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=.（1）证明：()01f =； （2）比较()11,,122f ff ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭大小，并说明理由； （3）对任意的*,,x y Q x y ∈<，判断()(),f x f y 的大小关系，并说明理由. 答案：（1）略（2）()11122f f f ⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）()()f x f y <。
【精准解析】上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
∴ m2 2m 3 0 ，且 m2 2m 3 为偶数， m N ，且 a 1=1 . 解得 1 m 3 ， m 0 ，1，2， 且 a=2 , 只有 m 1时满足 m2 2m 3= 4 为偶数. ∴ m 1.
-2-
am3
故答案为：3. 【点睛】本题考查幂函数的性质，根据幂函数性质求参数值，可根据幂函数性质列不等式和 等式，求解即可，属于基础题.
5.函数 y log3 x2 x 的递增区间为__________．
【答案】 1,
【解析】 【分析】 先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进
而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数 y log3 x2 x 的单调递增区间． 【详解】函数 y log3 x2 x 的定义域为(−∞,0)∪(1,+∞)
所以原函数的定义域为： ,5 ， 故答案为： ,5 .
【点睛】本题考查对数函数的定义域，利用真数大于 0 列不等式求解即可，属于基础题.
2.函数 f x x2 1x 1 的反函数为__________．
【答案】 y x 1 ， x 2
【解析】 【分析】 通过函数的方程，求出 x，利用反函数的定义，求出函数的反函数即可．
a m ____．
【答案】3
【解析】
【分析】
由幂函数 f x a 1 xm2 2m3 a, m N 为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，
可得 m2-2m-3＜0，且 m2-2m-3 为偶数，m∈Z，且 a 1=1 ．解出即可．
【详解】∵幂函数 f x a 1 xm2 2m3 a, m N 为偶函数，且在 0, 上是减函数，
∵一根大于 2，一根小于 2，
上海市复旦大学附属中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题
复旦附中高一期末试卷2018.01一. 填空题1. 函数2()1x f x x +=-的定义域是2. 函数22y x =+（10x -≤≤）的反函数是1()f x -=3. 设2()1x f x x =-，1()x g x x -=，则()()f x g x ⋅=4. 若正数a 、b 满足log (4)1a b =-，则a b +的最小值为5. 幂函数331()(1)t f x t t x +=-+是奇函数，则(2)f =6. 函数21lg 82y x x =+-的单调递减区间是 7. 函数1223xx y -=+的值域是 8. 设关于x 的方程2|65|x x a -+=的不同实数解的个数为n ，当实数a 变化时，n 的可 能取值组合的集合为9. 对于函数2()4f x x ax =++，若存在0x R ∈，使得00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知()f x 在[1,3]x ∈恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围10. 若函数|1||2|6|3|y x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是11. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()f x x ax a =-+，其中a R ∈， 若()f x 的值域是R ，则实数a 的取值范围是12. 已知函数4()(1)g x t x x =--，[1,2]x ∈的最大值为()f t ，则()f t 的解析式为()f t =二. 选择题13. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A. 1y x =+B. 2(1)y x =-C. 2y x -=D. 0.5log (1)y x =+14. 已知2()23f x x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ）A. [1,)+∞B. [0,2]C. [1,2]D. (,2]-∞15. 如果函数()y f x =图像上任意一点的坐标(,)x y 都满足lg()lg lg x y x y +=+，那么（ ）A. ()y f x =是区间(0,)+∞上的减函数，且4x y +≤B. ()y f x =是区间(1,)+∞上的增函数，且4x y +≥C. ()y f x =是区间(1,)+∞上的减函数，且4x y +≥D. ()y f x =是区间(1,)+∞上的减函数，且4x y +≤16. 若函数()f x 的反函数为1()f x -，则函数(1)f x -与1(1)f x --的图像可能是（ ）A. B. C. D.三. 解答题17. 已知关于x 的不等式22log (23)0x x t -++<，其中t R ∈.（1）当0t =时，求该不等式的解；（2）若该不等式有解，求实数t 的取值范围.18. 已知函数21()()x f x x+=（0x >）. （1）求函数()f x 的反函数1()f x -；（2）若2x ≥时，不等式1(1)()()x fx a a x -->-恒成立，求实数a 的范围.19. 甲市某环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污 染指数()f x 与时刻x （时）的关系为23()||214x f x a a x =-+++，[0,24)x ∈，其中a 是与 气象有关的参数，且1[0,]2a ∈，若用每天()f x 的最大值为当天综合污染指数，记作()M a .（1）令21x t x =+，[0,24)x ∈，求t 的取值范围； （2）求()M a 的表达式，并规定当()2M a ≤时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市中心的综合污染指数不超标.20. 指数函数()y g x =满足(2)4g =，且定义域为R 的函数()()2()g x n f x g x m-+=+是奇函数. （1）求实数m 、n 的值； （2）若存在实数t ，使得不等式22(2)(2)0f t t f t k -+->成立，求实数k 的取值范围.21. 设集合M 为下述条件的函数()f x 的集合：① 定义域为R ；② 对任意实数1x 、2x （12x x ≠），都有12121212()()()3333f x x f x f x +<+. （1）判断函数2()f x x =是否为M 中元素，并说明理由；（2）若函数()f x 是奇函数，证明：()f x M ∉；（3）设()f x 和()g x 都是M 中的元素，求证：()()()()()()()f x f xg x F x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩也是M 中的 元素，并举例说明，()()()()()()()f x f x x G xg x f x g x ≤⎧=⎨>⎩不一定是M 中的元素.参考答案一. 填空题1. [2,1)(1,)-+∞2. 1()2f x x -=--，[2,3]x ∈3. x ，(1,)x ∈+∞4. 15. 26. (2,1]-7. 1(1,)3- 8. {0,2,3,4}9. 10[,3)3-- 10. [5,)+∞ 11. (,0][4,)-∞+∞12. 5,3()41,3024,0t t f t t t t t -≤-⎧⎪=---<<⎨⎪-≥⎩二. 选择题13. A 14. C 15. C 16. A三. 解答题17.（1）12(0,)(1,)23；（2）9(,)8-+∞.18.（1）11()1f x x -=-(1)x >；（2）(1,12)-+.19.（1）1[0,]2；（2）51,044()3113,442a a M a a a ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩，5[0,]12a ∈，不超标.20.（1）2m =，1n =；（2）13k >-.21.（1）是；（2）略；（3）略.。
复旦大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
复旦大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知函数()f x 的定义域为[],a b ，函数()y f x =的图象如图甲所示，则函数(||)f x 的图象是 图乙中的（ ）2． 设βα,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若α⊥l ，βα⊥，则β⊂l B ．若α//l ， βα//，则β⊂l C ．若α⊥l ，βα//，则β⊥l D ．若α//l ，βα⊥，则β⊥l 3． 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）A B1C D4． “3<-b a ”是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．5． 如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B两点的距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）6．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．77．已知函数，，若，则（）A1B2 C3 D-18． 函数21()ln 2f x x x ax =++存在与直线03=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ),0(+∞ B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. ]1,(-∞【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力． 9． 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ）A ．725B ．725- C. 725± D ．242510．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交双曲线于Q P ,两点且1PF PQ ⊥，若||||1PF PQ λ=，34125≤≤λ，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）.A. ]210,1(B. ]537,1(C. ]210,537[ D. ),210[+∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）11．4213532,4,25a b c ===，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<12．已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A B k k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ> ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上） 14．设集合 {}{}22|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤,满足A B =∅,{}|52A B x x =-<≤,求实数a =__________.15．在ABC ∆中，90C ∠=，2BC =，M 为BC 的中点，1sin 3BAM ∠=，则AC 的长为_________. 16．数列{ a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c （c 为常数），{a n }的前10项和为S 10＝200，则c ＝________．三、解答题（本大共6小题，共70分。
2018-2019学年上海复旦大学附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海复旦大学附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．下列四组函数中，不是互为反函数的是（ ） A.3y x -=和13y x -= B.23y x =和()320y x x =≥C.()20xy x =>和()2log 1y x x =>D.()()lg 11y x x =->和101x y =+【答案】B【解析】根据反函数的概念与性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A ，由3y x -=得13-=x y ，即3y x -=和13y x -=互为反函数；对于选项B ，由23y x =得x ∈R ，由()320y x x =≥得320=≥y x ，根据反函数的性质，可得，23y x =和()320y x x =≥不是互为反函数； 对于选项C ，D ，由对数函数与指数函数的性质，可得()20xy x =>和()2log 1y x x =>互为反函数，()()lg 11y x x =->和101xy =+也互为反函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查判断两函数是否互为反函数，熟记反函数的概念与性质即可，属于常考题型.2．“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】先由函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增，得到101a a ->⎧⎨>⎩或1001a a -<⎧⎨<<⎩，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增，所以101a a ->⎧⎨>⎩或1001a a -<⎧⎨<<⎩，即1a >或01a <<；因此，由“1a >”能推出“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”，反之不能推出.因此，“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判断，熟记充分条件与必要条件即可，属于常考题型.3．下列四个函数中，图象如图所示的只能是（ ）A.lg y x x =+B.lg y x x =-C.lg y x x =-+D.lg y x x =--【答案】B【解析】试题分析：A 中，110,ln10y x '=+>∴函数在(0,)+∞上单调递增,A 不成立；B 中，110ln10y x '=->,当0lg x e <<时,0y '<,当lg x e >时0y '>,故函数先减后增,B 成立；C 中,11ln10y x '=-+，当0lg x e <<时,0y '>,当lg x e >时，0y '<,故函数为先增后减,不符合题意；D 中，110ln10y x '=--<,故函数在(0,)+∞上单调递减,不符合题意.故选B. 【考点】函数的图象.4．已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[]1,1-，有下列结论：①当0n =时，(]0,2m Î；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈. A.①②B.①③C.②③D.③④【答案】C【解析】先根据指数函数与对数函数单调性，作出函数2123--=-x y 与()12log 1=-y x 的图像，根据题中条件，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 对于函数2123--=-x y ，当1x >时，10x ->，2132323-+-=-=-x x y ，单调递减；当11x -<<时，2112323+-+=-=-x x y 单调递增；作出函数2123--=-x y 与()12log 1=-y x 的图像如下：对于①，当0n =时，()()1221log 1,1023,0x x x f x x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，因为()f x 的值域是[]1,1-，由图像可得：[]1,2m ∈，故①错；对于②，当12n =时，()()12211log 1,12123,2x x x f x x m--⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，因为()f x 的值域是[]1,1-，112x ≤≤-时，()()[]12log 11,1=-∈-f x x ，所以只需1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦即可，②正确；对于③④，当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()()1122log 1log 11=-<-<f x x n ，由图像可得，只需[]1,2m ∈，所以③正确，④错； 故选：C 【点睛】本题主要考查由分段函数的值域求参数的问题，熟记指数函数与对数函数的图像与性质，利用数形结合的思想即可求解，属于常考题型.二、填空题 5．()1x f x a-=（0a >且1a ≠）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是______.【答案】()1,1【解析】令10x -=代入函数解析式，即可得出结果. 【详解】令10x -=得1x =，所以()101-===x f x a a ，因此函数()1x f x a -=过点()1,1.故答案为：()1,1 【点睛】本题主要考查指数型函数所过定点问题，熟记指数函数性质即可，属于基础题型.6．函数y =______.【答案】(],6-∞【解析】先由题意得到()ln 7070x x ⎧-≥⎨->⎩，求解，即可得出结果.【详解】根据题意得到()ln 7070x x ⎧-≥⎨->⎩，即7170x x -≥⎧⎨->⎩，解得6x ≤，即所求函数定义为(],6-∞. 故答案为：(],6-∞ 【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，只需求使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.7．研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220xxy x -=⋅+≥.经过______分钟，该物质温度为5摄氏度.【答案】1【解析】根据题意，得到12225-⋅+=x x ，解方程，即可得出结果. 【详解】由题意可得：12225-⋅+=x x ，即22252⋅+=xx ， 即()2225220⋅-⋅+=xx ，即()()222012-⋅=-x x，解得122x=或22x =，即1x =-或1x =； 又0x ≥，所以1x =. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查解含指数的方程，熟记指数的运算法则，以及指数函数的性质即可，属于常考题型.8． 已知(3)4,1()log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 。
2019年复旦附中高一期末
复旦附中高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 计算：23lim 31n n n →∞-=+ 2. 2与8的等比中项是3. 函数arctan y x =，(0,1)x ∈的反函数为4. 在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a =5. 用列举法表示集合1{|cos(),[0,]}32x x x ππ-=∈= 6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若面积2222a b c S +-=， 则角C =7. 已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为1，则2a 的取值范围为8. 已知函数()2sin()46xf x π=+，若对任意x ∈R 都有12()()()f x f x f x ≤≤（12,x x ∈R ）成立，则12||x x -的最小值为9. 若a 、b 是函数2()f x x px q =-+（0p >，0q >）的两个不同的零点，且a 、b 、2- 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +=10. 若函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>）在区间[,]62ππ上单调，且 2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 11. 由正整数组成的数列{}n a 、{}n b 分别为递增的等差数列、等比数列，111a b ==，记n n n c a b =+，若存在正整数k （2k ≥）满足1100k c -=，11000k c +=，则k c =12. 已知无穷等比数列{}n a 满足：对任意的*n ∈N ，sin 1n a =，则数列{}n a 公比q 的取值集合为二. 选择题13. 对于函数()2sin cos f x x x =，下列选项中正确的是（ ）A. ()f x 在(,)42ππ上单调递增 B. ()f x 的图像关于原点对称 C. ()f x 的最小正周期为2π D. ()f x 的最大值为214. 若等差数列{}n a 的前10项之和大于其前21项之和，则16a 的值（ ）A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不能确定15. 已知数列{}n a 的通项公式2019(1)120191()20202n n n n a n -⎧-≤≤⎪=⎨≥⎪⎩，前n 项和为n S ，则关于数列 {}n a 、{}n S 的极限，下列判断正确的是（ ）A. 数列{}n a 的极限不存在，{}n S 的极限存在B. 数列{}n a 的极限存在，{}n S 的极限不存在C. 数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，但极限值不相等D. 数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，且极限值相等16. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，函数()f x 是定义在R 上的单调递增的奇函数，数列{()}n f a 的前n 项和为n S ，对于命题：① 若数列{}n a 为递增数列，则对一切*n ∈N ，0n S >；② 若对一切*n ∈N ，0n S >，则数列{}n a 为递增数列；③ 若存在*m ∈N ，使得0m S =，则存在*k ∈N ，使得0k a =；④ 若存在*k ∈N ，使得0k a =，则存在*m ∈N ，使得0m S =；其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3三. 解答题17. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，32216a a =+，且20200S <.（1）求{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2020n S >成立？若存在，求出n 的最小值，若不存在，请说明理由.18.已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-.（1）求函数()y f x =的单调递减区间；（2）在锐角△ABC 中，若角2C B =，求()f A 的值域.19. 已知数列{}n a 满足：12a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n ∈N .（1）求证：数列{}n a n 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）记2(1)n n b n a =+（*n ∈N ），用数学归纳法证明：12211(1)n b b b n ++⋅⋅⋅+<-+，*n ∈N .20. 设函数()5sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，(0,)2πϕ∈. （1）设2ω=，若函数()f x 的图像的一条对称轴为直线35x π=，求ϕ的值； （2）若将()f x 的图像向左平移2π个单位，或者向右平移π个单位得到的图像都过坐标原 点，求所有满足条件的ω和ϕ的值；（3）设4ω=，6πϕ=，已知函数()()3F x f x =-在区间[0,6]π上的所有零点依次为123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅，且1231n n x x x x x -<<<⋅⋅⋅<<，*n ∈N ，求123212222n n n x x x x x x --+++⋅⋅⋅+++的值.21. 已知无穷数列{}n a 、{}n b 是公差分别为1d 、2d 的等差数列，记[][]n n n c a b =+（*n ∈N ）， 其中[]x 表示不超过x 的最大整数，即1[]x x x -<≤.（1）直接写出数列{}n a 、{}n b 的前4项，使得数列{}n c 的前4项为：2，3，4，5；（2）若13n n a +=，13n n b -=，求数列{}n c 的前3n 项的和3n S ； （3）求证：数列{}n c 为等差数列的必要非充分条件是12d d +∈Z .参考答案一. 填空题 1. 23 2. 4± 3. tan y x =，(0,)4x π∈ 4. 8 5. 2{0,}3π 6. arctan2 7. (0,1)(1,2)U 8. 4π9. 9 10. π 11. 262 12. {|41,}q q k k =+∈Z二. 选择题13. B 14. C 15.D 16. C三. 解答题17.（1）12(2)n n a -=-；（2）12.18.（1）2[,]63k k ππππ++，k ∈Z ；（2）(1,2). 19.（1）(1)n a n n =+；（2）略.20.（1）310π；（2）643n ω+=，3πϕ=；（3）3913π. 21.（1）{}n a 的前4项为1，2，3，4，{}n b 的前4项为1，1，1，1；（2）23n n -；（3）证明略.。
2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期末数学试卷(有答案解析)
2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分也非必要条件2.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是A. B. C. D.3.设函数的定义域为R，有下列三个命题：若存在常数M，使得对任意，有，则M是函数的最大值；若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值．这些命题中，真命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 34.已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数的定义域为______．6.函数的反函数为______．7.已知，试用a表示______．8.幂函数为偶函数，且在上是减函数，则______．9.函数的递增区间为______．10.方程的解是______．11.已知关于x的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k的取值范围为______．12.若函数且的值域是，则实数a的取值范围是______．13.已知的反函数为，当时，函数的最大值为M，最小值为m，则______．14.对于函数，若对于任意的a，b，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是______．15.若关于x的方程在内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为______ ．16.已知函数，，若对任意的，，均有，则实数k的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知函数．若，解方程：；若在上存在零点，求实数a的取值范围．18.已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数．求a的值；设集合，，若，求实数m的取值范围．19.近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器百台，其总成本为万元，其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元总成本固定成本生产成本销售收入万元满足，假定该产品产销平衡即生产的产品都能卖掉，根据以述统计规律，请完成下列问题：求利润函数的解析式利润销售收入总成本；工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20.若函数满足：对于其定义域D内的任何一个自变量，都有函数值，则称函数在D上封闭．若下列函数的定义域为，试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．，．若函数的定义域为，是否存在实数a，使得在其定义域上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．已知函数在其定义域D上封闭，且单调递增．若且，求证：．21.已知函数，其中．若，解不等式；设，，若对任意的，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a的取值范围；已知函数存在反函数，其反函数记为，若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：若命题甲：，命题乙：，若命题甲：，则，，则命题甲：，能推出命题乙：，成立；若命题乙：，则，所以或，即或；命题乙：，不能推出命题甲：成立，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断．命题甲是命题乙的充分非必要条件；故选：A．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2.答案：D解析：解：函数为偶函数，当时，，为减函数，不满足条件．B.函数为偶函数，当时，为减函数，不满足条件．C.函数的定义域为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．D.函数为偶函数且在区间上为增函数，满足条件故选：D．根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．比较基础．3.答案：C解析：解：错．原因：M不一定是函数值，可能“”不能取到．因为函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值所以对故选：C．利用函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值判断出各命题的真假．本题考查函数的最大值的定义并利用最值的定义判断命题的真假．4.答案：A解析：解：设，，，即，故；故，，当时，成立；当时，0，不是的根，故，解得：；综上所述，；故选：A．由可得，从而求得；从而化简，从而讨论求得本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题5.答案：解析：解：由，得．函数的定义域为．故答案为：．由对数式的真数大于0求解x的范围得答案．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．6.答案：解析：解：由，得，，x，y互换得：，函数的反函数为，故答案为：．由原函数求得x，把x，y互换求得原函数的反函数．本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域为原函数的值域，是基础题．7.答案：解析：解：，故答案为：．利用换底公式以及对数的运算性质即可求解．本题主要考查了对数的运算性质以及换底公式，是基础题．8.答案：3解析：解：幂函数，在上是减函数，，且，，，又，，1，2，又幂函数为偶函数，，，故答案为：3．先利用幂函数的定义和单调性求出a的值和m的范围，再结合偶函数确定m的值，即可求出结果．本题主要考查了幂函数的性质，是基础题．9.答案：解析：解：函数的定义域为，令，则，为增函数，在上为减函数；在为增函数，函数的单调递增区间为，故答案为：．先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数的单调递增区间．本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”是解答本题的关键，本题易忽略真数大于零．10.答案：解析：解：，，令，则，解得或．由式子有意义可知，解得，即，．．故答案为：．利用对数运算性质解方程．本题考查了对数的运算性质，换元法解题思想，属于基础题．11.答案：解析：解：令，由题意可得，即：，整理：，解得：，所以实数k的取值范围为；故答案为：．设函数，由题意可得，解得k的取值范围．考查方程的根的分布，属于基础题．12.答案：解析：解：由于函数且的值域是，故当时，满足．若，在它的定义域上单调递增，当时，由，，，．若，在它的定义域上单调递减，，不满足的值域是．综上可得，，故答案为：．当时，检验满足当时，分类讨论a的范围，依据函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论．本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．13.答案：2解析：解：由题意可得，即函数在R上为奇函数，当，令，则为奇函数且单调递增所以反函数也是单调递增的奇函数，所以是向上平行移动1个单位也为单调递增，对称中心，由互为反函数的性质可得，故答案为：2由题意可得换元可得为奇函数在上，所以也是奇函数，且值域为，为对称中心为的函数且值域为，考查换元法求函数的定义域，及互为反函数的性质，属于中档题．14.答案：解析：解：由题意可得对于，b，都恒成立，由于，当，，此时，，，都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．当，在R上是减函数，，同理，，由，可得，解得．当，在R上是增函数，，同理，，由，可得，解得．综上可得，，故实数t的取值范围是，故答案为：因对任意实数a、b、c，都存在以、、为三边长的三角形，则恒成立，将解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为的最小值与的最大值的不等式，进而求出实数k的取值范围．本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．15.答案：解析：解：当时，，方程，，即；．当时，，方程，，即；；当时，方程无解；当时，方程有且只有一个解；当时，方程在上有两个解；当时，方程的解为1，；综上所述，实数m的取值范围为故答案为：分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．本题考查了绝对值方程的解法与应用，同时考查了基本不等式的应用及转化思想的应用．16.答案：解析：解：对函数，当时，；当时，，在上的最大值；对函数，函数若有最小值，则，即，当时，，易知函数；又对任意的，，均有，，即，，，即实数k的取值范围为．故答案为：．可求得，，根据题意，由此得到，解该不等式即可求得实数k的取值范围．本题考查不等式的恒成立问题，考查函数最值的求解，考查转化思想及计算能力，属于中档题．17.答案：解：当时，．，，或舍，当时，令，则，由，得，．在上单调递减，在上单调递增，当时，；当或时，，，．解析：将代入中，然后根据，求出的值，再解出x即可；令，则由可得，再根据t的范围求出a的范围．本题考查了指数方程的解法和根据函数的零点求参数的范围，考查了整体思想和转化思想，属中档题．18.答案：解：函数的图象关于原点对称，其中a为常数．，，解得．当时，，与条件矛盾，舍去．；集合解不等式得．由知，；，且，解得；由于，所以，解得，．故m的取值范围是．解析：根据的图象关于原点对称，得是奇函数，由恒成立，解得a的值即可．先解分式不等式，求得集合A；由于，所以B有解，解得集合B；再根据集合的关系求得m的取值范围即可．本题考查了奇函数的定义，分式不等式的解法，根据交集运算求参数取值范围，考查了运算求解能力，属于中档题．19.答案：解：由题意得，则，即；当时，函数递减，即有，当时，函数，当时，有最大值，综上可知，当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．解析：本题考查函数模型在实际问题中的应用，考查函数的最值问题，属于中档题．先求得，再由可得所求；分别求出各段的最值，注意运用一次函数和二次函数的最值求法，即可得到．20.答案：解：在中，对于定义域D内的任意一个自变量，都有函数值，故函数在上不封闭；在中，，在上封闭．的定义域为，对称中心为，当时，函数在上为增函数，只需，解得当时，函数在上为减函数，只需，解得综上，所求a的值等于2．证明：函数在其定义域D上封闭，且单调递增．且，根据单调函数性质，则有唯一的，．解析：根据定义域，求得函数的定义域，利用新定义，即可得到结论；分类讨论，确定函数的单调性，建立不等式组，可求a的值．函数在其定义域D上封闭，且单调递增，根据单调函数性质，则有唯一的，由此能证明．本题以新定义函数为载体，考查新定义，考查学生的计算能力，关键是对新定义的理解，有一定的难度．21.答案：解：当，，当时，，解得或，所以或；当时，，解得，所以；综上所述，不等式的解为．，，，，，由复合函数的单调判断原则，可知在上单调递减，，化简得，在上恒成立，令，则，当时，，当时，，由对勾函数性质可知，在上单调递减，，即，故实数a的取值范围为；函数存在反函数，单调，又在上单调递增，在R上必须单调递增，即，，令，，则，，在上恒成立，当即时，恒成立，，当即时，，解得，综上所述，实数a的取值范围为．解析：把代入函数，分段解不等式即可；，，，，，再由复合函数的单调判断出在上单调递减，从而得到在上恒成立，然后用换元法，令，构造新函数，再求出该函数的最大值即可；由函数存在反函数，可得且；再令，，得其最小值为，然后分类讨论解不等式即可．本题考查函数的综合应用，涉及绝对值函数、指对函数的单调性、函数的恒成立问题，在解题过程中用到换元法、构造法、分类讨论法，考查了学生灵活运用知识的能力和逻辑推理能力，属于难题．。
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2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷
2019.1
一、填空题
1.()1x f x a
-=（0a >且1a ≠）的图像经过一个定点，这个定点的坐标是 . 2.函数
y =的定义域为 .
3.研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220x x y x -=⋅+≥.经过 分钟，该物质温度为5摄氏度.
4．函数()()34,1log ,1a
a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩ 是定义在R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是 .
5.函数()()12
24174f x x x =-+的单调递增区间是 . 6.函数0.52log 1x y x =-的零点个数为 个.
7.若函数()()()22lg 111f x a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦
的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 .
8.已知函数()()()
220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩ 的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭ . 9.当lg lg ,a b a b =<时，则2a b +的取值范围是 .
10.函数()142x f x =-的图像关于点 成中心对称. 11.设{}()()()21|,|1112,121M y y x N y y x m x x m -⎧⎫⎛⎫====--+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭
，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 . 12.已知函数()241f x ax x =++，若对任意x R ∈，()()0f
f x ≥恒成立，实数a 的取值范
围是 .
二、选择题
13.下列四组函数中，不是互为反函数的是（ ） .A 3y x -=和1
3y x -= .B 23y x =和()320y x x =≥
.C ()20x y x =>和()2log 1y x x => .D ()()lg 11y x x =->和101x y =+
14.“1a >”是“函数()()1x
f x a a =-⋅ 是单调递增”的（ ） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件
.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件
15.下列四个函数中，图像如图所示的只能是（ ）
.A lg y x x =+ .B lg y x x =-+
.C lg y x x =- .D lg y x x =--
16.已知n m <，函数()()1221log 1,12
3,x x x n f x n x m ----≤≤⎧⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[]1,1-有下列结论：
①当0n =时，(]0,2m ∈；②当1=2n 时 ，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当102n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，时，[]12m ∈，；④当102n ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，时(],2m n ∈ .A ①② .B ①③ .C ②③ .D ③④
三、解答题
17.已知幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <.
（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；
（2）求()()2
2121log log 2,,22y f x f x x ⎡⎤=+∈⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦
的值域.
18.已知函数()()2log f x x a =+，a 为常数，()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数.
（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；
（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数()1g x -.
19.如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过
（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20％，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？
（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20％的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算123,,L L L .
⋯→⋯
20.已知函数()2
a f x x x
=+（其中a 为常数）. （1）判断函数()2x y f =的奇偶性；
（2）若不等式()12242x x x f <+
+在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围； （3）设()11x g x x -=+，是否存在正数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的任意三个实数,,m n p ，都存在以()()(),,f g m f g n f g p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
21.函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数,x y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=.
（1）证明：()01f =； （2）比较()11,,122f f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭大小，并说明理由；
（3）对任意的,,x y Q x y +∈<，判断()(),f x f y 的大小关系，并说明理由.
参考答案
一、填空题
1. ()1,1-
2. (],6-∞
3. 1
4. ()1,3
5. [)4,+∞
6. 2
7.53
a >或1a ≤- 8. 1- 9. ()3,+∞ 10. ()2,0 11. ()1,0- 12. [)3,+∞
二、选择题
13. B 14. A 15. C 16. C
三、解答题
17. （1）0m =，()3f x x = （2）5,114⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
18. （1）()32,0,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭∪（2）()[]
[)1210,1121,0x x x g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩
19. （1）11（2）1233125,2500,2000L L L ===
20. （1）1a =，偶函数；1a =-，奇函数；1a ≠±，非奇非偶函数
（2）()3,3-
（3）55,33⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
∪
21. （1）略（2）()11122f f f ⎛⎫⎛⎫
>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （3）()()f x f y <。