北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除5 整式的除法
精编北师版数学七年级下册 第一章 整式的乘除
七年级数学·下新课标[北师]第一章整式的乘除1.了解正整数指数幂的意义和正整数指数幂的运算性质,掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等有关幂的运算法则,掌握整式乘除法法则.2.熟练运用幂的运算法则、整式乘除法法则进行运算.3.灵活运用整式乘法公式进行运算,综合运用整式运算的知识解决问题.4.掌握零指数幂、负整数指数幂的运算性质.5.会逆用幂的运算法则、乘法公式解决有关问题.1.让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程,发展学生的符号感和应用意识,提高应用代数方法解决问题的能力.2.在解决综合题目的过程中,进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理的思考及语言表达能力.1.在数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力,感受数学与现实生活的密切联系,增强学生的数学应用意识.2.通过数学活动了解数学的价值,发展“用数学”的信心.本章的内容是在已经学习了有理数的四则混合运算、幂的概念、用字母表示数、合并同类项、去括号、整式的加减等内容的基础上进行的,是前面知识的延伸,本章具有承前启后的作用,是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础.本章既是中学数学中数与式的重要组成部分,又是联系现实世界及其他学科的重要工具.为学习整式的乘除运算,需要首先学习同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方,以及同底数幂的除法运算,即前3节的内容.教科书在这里的处理方法,总的来说是类比数的运算,从数的运算开始,通过观察和进一步体会、运用幂的意义,最终得到以字母为底数的幂的运算法则.教科书还在得到这些运算法则的过程中,通过创设情境问题、穿插应用问题等,使学生从不同角度体会引入这些运算的意义,同时避免单纯代数式运算给学习带来的枯燥感.本章还引入零指数幂和负整数指数幂的意义,并明确指出它们是规定的,教科书所设计的猜想过程,实际上是用来体会规定的合理性.由于负整数指数幂的引入,这里偶尔会有分式形式出现,但它是作为同底数幂除法的一个自然延续,并不是作为知识点出现,在八年级下册,我们有专门的章节研究分式的问题.在探究整式乘法法则(包括乘法公式)的过程中,即第4~6节中,教科书特别注重借助几何图形理解法则,同时进一步强调代数式运算在解决“具有一般性”的问题中的作用,进一步发展学生的符号意识.本章“科学记数法”一课时,是用科学记数法表示小于1的正数,是七年级上册内容的延续.教科书在此还安排了让学生体会“较小数”的活动,把数的表示和具体数的实际意义结合起来,进一步发展学生的数感.本章第7节,整式的除法运算是由整式乘法的“逆运算”引入的.另外特别要注意的是,本章只涉及整式除以单项式结果仍为整式的除法.本章内容的设计注重代数推理与几何直观两个方面的结合,注重学生对算理的理解和运算能力的提高,注重学生数感、符号意识的发展,希望为后续分式、方程、函数等内容的学习奠定坚实的基础.【重点】1.熟练运用幂的运算法则、整式乘除法法则进行运算.2.灵活运用整式乘法公式进行运算,综合运用整式运算的知识解决问题.【难点】1.整式乘法公式的灵活应用.2.逆用幂的运算性质解决问题.1.准确把握教学要求.为减轻学生负担,培养学生的创新精神和实践能力,新课标对于那些对后续学习意义不大、学得很早但用得很晚,以及过繁过难的内容进行了删减或降低了要求.教学中要注意准确把握教学要求,避免将删掉或降低难度的内容重新拣回.在内容减少、要求降低,但课时不变的情况下,组织课堂教学要逐渐由以教师传授知识为主转变为以学生的主动探索学习为主,留给学生足够的时间,让学生进行充分的讨论与探究,发展学生的合作能力和创新精神.2.合理配置问题.本章主要学习正整数指数幂运算性质与整式乘除的运算法则及乘法公式的应用.以运算为主是本章的一个特点,因此本章是培养学生正确使用公式、性质、法则进行运算,提高运算能力的很好的素材.教学时要让学生做一定量的习题,使学生不仅能够根据这些运算公式、性质和法则进行正确的运算,而且能够理解运算的算理,合理安排运算顺序,寻找简捷的运算途径.但习题量要适当,难度要适中,题目要有针对性,避免过多的机械性重复训练和偏题、难题、怪题,对公式、性质、法则等的应用,切忌死记硬背、生搬硬套,真正提高学生的运算能力.3.有关幂的运算法则,教学时要注意导出公式的过程,而不只是要求学生记住结论,导出性质的教学,是一个由特殊到一般的认知过程.学生对于字母表示数的广泛意义已有初步认识,但对于用字母表示幂的指数还是初次遇到,所以他们会感到抽象,不易理解.为此,教学时应从特殊到一般,从具体到抽象,有层次地进行概括抽象,归纳推理.从数的运算过渡到字母,把幂的底数与指数分两步进行概括抽象,就能使学生容易理解.4.在整式的乘除法教学中,一定要通过实际情境让学生体会学习整式乘除法的必要性,鼓励学生运用乘法交换律、结合律和同底数幂的运算性质等知识探索单项式乘单项式的运算法则,及运用乘法分配律、同底数幂的运算性质说明单项式乘多项式以及多项式乘多项式运算结果的合理性.教学中还要重视学生对算理的理解,使学生体会重要的数学思想方法——转化思想,而不必要求学生背诵法则.乘法公式应用非常广泛,一方面可以简化计算,另一方面也是以后学习因式分解等内容的重要基础.乘法公式也是本章的重点之一,教学时要注意引导学生仔细观察分析公式的结构特征,掌握公式的实质,让学生在欣赏数学结构美的同时,体会数学公式的优越性.5.本章的教学中要留充分的时间让学生进行自主探索、观察、分析、交流、概括、抽象、归纳等数学活动,充分认识活动在发展数学中的作用,在解决问题中能够获得成功的体验,无论这种成功是多还是少,要给学生留出足够的思考时间和空间,以及与同伴交流的机会.本章内容的呈现突出了学生的自主探索过程,有的是依据原有的知识基础,有的是运用乘法的各种运算律,有的是借助直观形象的图形面积,得到各种运算的基本法则,所有这一切都要让学生自己进行体验、探索与认识,这也是本章教学的关键.1同底数幂的乘法1.经历探索同底数幂乘法运算性质的过程,进一步体会幂的运算的意义,发展运算能力和有条理的表达能力.2.了解同底数幂乘法的运算性质,并能解决一些实际问题.1.在探索性质的过程中,让学生经历观察、猜想、创新、交流、验证、归纳总结的思维过程.2.在推理和运用的过程中,让学生理解“由特殊到一般”的思维方法.1.在探索和训练的过程中,培养学生细心严谨的学习态度、积极进取的探索精神及团结协作的良好品质.2.引导学生自主探索,体验成功的快乐,增强对数学学习的兴趣,在轻松、和谐、有序的教学氛围中,培养学生健全的个性.【重点】同底数幂的乘法法则及其灵活应用.【难点】理解同底数幂的乘法法则及运算性质.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P2~3.导入一:北京奥运会的很多建筑都做了节能设计.据统计,奥运场馆一平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量.那么105平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃识.导入二:上学期我们学习了有理数的乘方,同学们回顾一下,什么样的运算叫做乘方?乘方的结果叫做什么?幂的意义是什么?举例说明.,从而为下一步探索同底数幂[设计意图]通过此活动,让学生回忆幂与乘法之间的关系,即a n=个的乘法法则提供了依据,培养学生知识迁移的能力.导入三:太阳光照射到地球表面所需要的时间约是5×102 s,光在真空中的速度约是3×108 m/s,地球与太阳之活的密切联系.思路一活动1:学生独立完成下列题目(1)求n个相同因数积的运算叫做,乘方的结果叫做,n个a相乘写成乘方的形式为,其中a叫,n叫,a n读作.(2)x3表示个相乘,把x3写成乘法的形式为x3=.(3)x3,x5,x,x2的指数相同吗?它们的底数相同吗?[设计意图]让学生回顾乘方的相关知识,为同底数幂的乘法的学习做铺垫.活动2:探究a3×a2(1)指导学生根据乘方的意义可得:103×102=(10×10×10)×(10×10)=10×10×10×10×10=105.[设计意图]让学生感受学习同底数幂的乘法的必要性,并通过有步骤、有依据的计算,为探索同底数幂乘法的运算性质做好知识和方法的铺垫.(2)学生完成填空.①43×42===.②a3×a2===.【师生活动】学生独立完成计算,小组成员互相检查,一位同学在黑板上板书,师生共同分析板书结果.如果学生有困难,教师可以引导学生回顾问题(1)的解答过程,再进行计算.[设计意图](2)中两个特殊的算式具有代表性和层次性,其中算式①底数和指数都是整数,算式②底数为字母,指数为整数.这两个算式和(1)中的算式为抽象概括出一般的结论奠定基础,让学生在每个算式的计算过程中进一步明确算理和算法,进而得出正确结果.活动3:同底数幂的乘法法则请同学们观察下列各式等号左右两边底数与指数分别有什么关系.103×102=103+2=105;43×42=43+2=45;a3×a2=a3+2=a5.猜想:对于任意底数a,a m×a n=(m,n都是正整数).(学生小组讨论,能说出结果即可,教师引导推导过程)a m·a n=个·个=个=a m+n.结论:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.[设计意图]让学生在观察、比较、抽象、概括中总结出同底数幂的乘法运算的本质特征,并猜想出其性质:a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).由此得到同底数幂乘法的性质:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.思路二活动1:猜想结果(1)102×103;(2)a2×a3;(3)10m×10n(m,n都是正整数).同学们猜想一下,它们的运算结果各是什么?[处理方式]让同学们发表不同看法.猜想1:(1)的结果是105,(2)的结果是a5,(3)的结果是10m+n.猜想2:(1)的结果是106,(2)的结果是a6,(3)的结果是10mn.[设计意图]在法则的推导过程中,采用了让学生猜想的方式,引起学生的争论,激发了学生进一步探求的欲望,培养学生大胆猜想的数学品质.活动2:验证猜想,获取正确的结论[处理方式]听取学生猜想后老师总结.猜想1的结论是正确的.因为102表示两个10相乘,103表示三个10相乘,那么102×103就表示五个10相乘,所以结果应该是105;a2表示两个a相乘,a3表示三个a相乘,a2×a3就表示5个a相乘,结果为a5;10m表示m个10相乘,10n表示n个10相乘,10m×10n就表示(m+n)个10相乘,结果为10m+n.教师利用多媒体课件展示推理过程:102×103=(10×10)×(10×10×10)=10×10×10×10×10=105;a2×a3=(a×a)×(a×a×a)=a×a×a×a×a=a5;10m×10n=个×个=10m+n.活动3:推导同底数幂的乘法法则根据上述计算可知(m,n都是正整数): (1)2m×2n=;(2)×=;(3)(- 3)m×(- 3)n=;(4)a4×a5=.分析:以上四个算式有以下两个特点:每个算式的底数都相同;每个算式的指数都是正整数.通过这四个算式,可把底数和指数都抽象成用字母去表示.底数和指数都变成一般的字母时,即:a m·a n=个·个=个=a m+n.结论:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.字母表示:a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).提醒学生注意:等式左边是积的形式,右边的指数是和的形式.[设计意图]探求新知的过程让学生充分发挥个人的主体作用,使学生初步理解“由特殊到一般”的认知规律,体会数学思想方法,接受数学文化的熏陶,激发学生的探索创新精神.学生通过相互之间的合作,归纳出法则,发展学生合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力.[知识拓展]三个或三个以上的同底数幂相乘的运算.(m,n,p都是正整数)a m·a n·a p=个·个·个=个=a m+n+p.或(a m·a n)·a p=a m+n·a p=a m+n+p.[设计意图]本环节主要是让学生通过自己的探究,使法则得到了完善、推广,解决了心中的疑惑,进一步理解法则.探究活动2同底数幂乘法法则的应用(教材例1)计算.(1)(- 3)7×(- 3)6;(2)×;(3)- x3·x5;(4)b2m·b2m+1.【师生活动】让4名学生板演,其余学生先独立完成,然后小组互相检查,核对过程与结果,教师巡视,及时发现学生在解题过程中出现的问题,然后共同纠错.教师最后强调书写要规范,如:当底数为负数或分数时一定要加括号,并且第(1)小题的结果也可以写为- 313,第(3)题的结果容易错写为(- x)8.解:(1)(- 3)7×(- 3)6=(- 3)7+6=(- 3)13.(2)×==.(3)- x3·x5=- x3+5=- x8.(4)b2m·b2m+1=b2m+2m+1=b4m+1.(教材例2)光在真空中的速度约为3×108 m/s,太阳光照射到地球上大约需要5×102 s.地球距离太阳大约有多远?【师生活动】学生认真读题,充分思考分析,一名学生进行板演,其余学生先独立完成,然后同桌互相检查,核对过程与结果,教师巡视,及时发现学生在解题过程中出现的问题.学生完成后教师进行点评,强调结果的书写要符合科学记数法.解:3×108×5×102=15×1010=1.5×1011(m).地球距离太阳大约有1.5×1011 m.[设计意图]以教材中例题为落脚点,让学生学会应用所学知识解决问题,以达到巩固新知的目的.同时让学生感受大数,发展数感,提高对问题的分析、解决能力,使自己在不知不觉中进步.已知a m=4,a n=3,求下列各式的值.(1)a m+n;(2)a3m+n.〔解析〕同底数幂的乘法法则是可以逆用的,也可以把a m+n=a m·a n(m,n都是正整数)当成公式用.解:(1)a m+n=a m·a n=4×3=12.(2)a3m+n=a m·a m·a m·a n=4×4×4×3=192.[知识拓展]同底数幂的乘法法则的逆用:同底数幂的乘法法则用字母表示为a m·a n=a m+n,其中m,n均为正整数,将公式倒过来就是a m+n=a m·a n,在解决有关问题时,公式的逆用会起到事半功倍的效果.(1)同底数幂相乘,底数不变,指数相加.(2)理解法则时一定要注意前提条件是幂的底数要相同,是乘法运算而不是加法运算.(3)公式中的m,n都是正整数.(4)运算法则可以推广到多个同底数幂的乘法运算,以三个同底数幂相乘为例,用字母表示为a m·a n·a p=a m+n+p(m,n,p都是正整数).1.填空.(1)若a m·a4=a20,则m=;(2)若102·10m=102013,则m=.解析:(1)由a m·a n=a m+n,可知m+4=20,所以m=16.(2)由a m·a n=a m+n可知m+2=2013,则m=2011.答案:(1)16(2)20112.计算.(1)y·y2·y3;(2)y m·y m+1;(3)y m- 1·y m+1·y;(4)- b2·(- b)2·(- b)3.解析:运用同底数幂的乘法法则计算,注意不要忽略指数为1的特殊情况.运算的过程中必须注意同底数这个前提,注意确定积的符号.解:(1)y·y2·y3=y1+2+3=y6.(2)y m·y m+1=y m+m+1=y2m+1.(3)y m- 1·y m+1·y=y m- 1+m+1+1=y2m+1.(4)- b2·(- b)2·(- b)3=- b2·(- b)5=b2·b5=b7.3.某种计算机每秒钟可以进行3×108次运算,那么这台计算机3×102秒可以进行多少次运算?解:3×108×3×102=9×1010(次).故3×102秒可以进行9×1010次运算.4.若a m=2,a n=5,求a m+n的值.解析:注意同底数幂乘法法则的逆用.解:a m+n=a m·a n=2×5=10.1同底数幂的乘法探究活动1同底数幂的乘法法则探究活动2同底数幂乘法法则的应用例1例2例3一、教材作业【必做题】教材第4页习题1.1知识技能第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1问题解决第4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.下列计算正确的是()A.y3·y5=y15B.y2+y3=y5C.y2+y2=2y4D.y3·y5=y82.下列各式中,结果为(a+b)3的是()A.a3+b3B.(a+b)(a2+b2)C.(a+b)(a+b)2D.a+b(a+b)23.下列各式中,不能用同底数幂的乘法法则化简的是()A.(a+b)(a+b)2B.(a+b)(a- b)2C.- (a- b)(b- a)2D.(a+b)(a+b)3(a+b)24.下列计算中,错误的是()A.2y4+y4=2y8B.(- 7)5·(- 7)3·74=712C.(- a)2·a5·a3=a10D.(a- b)3(b- a)2=(a- b)5【能力提升】5.计算.(1)- x5·x3·(- x)4;(2)(- b)2·(- b)3+b·(- b)4;(3)x3m- n·x2m- 3n·x n- m;(4)(- 2)×(- 2)2×(- 2)3×…×(- 2)100.6.(1)已知a x=2,a y=3,求a x+y的值;(2)已知4·2a·2a+1=29,且2a+b=8,求a b的值.【拓展探究】7.1千克铀235释放的热量相当于2.7×106千克煤燃烧释放的热量.1吨铀235释放的热量相当于多少千克煤燃烧释放的热量?【答案与解析】1.D(解析:由同底数幂相乘,底数不变,指数相加可知D正确.)2.C(解析:将a+b看成一个整体作为底数,再利用法则可以得出.)3.B(解析:选项A和D中底数都是a+b,可以利用法则,C中a- b和b- a互为相反数,可以化为同底数幂的乘法.故选B.)4.A(解析:B,C,D选项可以利用同底数幂的乘法法则得到,选项A不属于同底数幂的乘法,应该是合并同类项.)5.解:(1)- x5·x3·(- x)4=- x5·x3·x4=- x12.(2)(- b)2·(- b)3+b·(- b)4=b2·(- b3)+b5=- b5+b5=0. (3)x3m- n·x2m- 3n·x n- m=x4m- 3n.(4)原式=(- 2)1+2+…+100=(- 2)5050=25050.6.解:(1)a x+y=a x·a y=2×3=6.(2)由题意可知22a+3=29,即2a+3=9,则a=3,由2a+b=8可得b=2,故a b=32=9.7.解:1吨=103千克,103×2.7×106=2.7×109(千克),故相当于2.7×109千克煤燃烧释放的热量.本节课同底数幂乘法公式推导过程中,学生经历了猜想、质疑、推理、论证的学习过程,也渗透了转化和从特殊到一般的数学思想,充分体现了自主探究的学习方式.而在巩固深化环节上精心设计题目,通过学生独立思考,小组合作等手段,让学生个个动手、人人参与,充分调动学生学习数学的积极性.同时也使各层次的学生有不同的收获.课堂节奏把握不够紧凑,最后例题讲解环节时间不够充分.对例题在计算过程中容易出错的地方强调不足,对同底数幂的运算法则的条件强调较少,容易导致学生在计算的过程中发生错误.本节课始终围绕着同底数幂的乘法公式展开,充分调动学生思维,鼓励学生积极探索.在设置习题的时候,在注重基础训练的基础上,强调灵活运用同底数幂的运算法则.在完成第二个例题的时候,可以让学生独立完成后再合作交流.随堂练习(教材第3页)1.解:(1)59.(2)76.(3)- x5.(4)(- c)3+m.2.解:4×109×5×102=2×1012(次).3.解:比邻星与地球的距离约为3×108×3×107×4.22=37.98×108×107=37.98×1015=3.798×1016(m).习题1.1(教材第4页)知识技能1.解:(1)c12.(2)107.(3)- b5.(4)- b5.(5)x2m.(6)a4+n.2.解:a m+n=a m·a n=2×8=16.数学理解3.解:(1)错误,a3·a2=a5.(2)错误,b4·b4=b8. (3)错误,x5+x5=2x5.(4)正确.问题解决4.解:(1.3×108)×(9.6×106)=1.248×1015(千克).5.解:(1)25=32(个).(2)25·2t=25+t(个).本节课的设计,学生要经历从实际情境中抽象出数学问题的过程,在探索中,学生将自然地体会同底数幂运算的必要性,有助于培养学生的数感与符号感,同时也发展了他们的推理能力和有条理的表达能力.在教学过程中,教师可进一步启发要求学生往更深一层次去研究、剖析知识,概括出“底数互为相反数”时的运算方法,培养学生知识的运用能力,加深对所学知识的理解.若m a- 2=6,m b+5=11,求m a+b+3的值.〔解析〕此题主要考察同底数幂的乘法法则的逆用,注意观察待求得幂的指数为a+b+3,恰好为前两个指数a- 2与b+5的和,根据同底数幂的乘法法则,同底数幂相乘时指数相加,所以很容易得到应该将前两个幂的形式相乘.解:m a+b+3=m a- 2·m b+5=6×11=66.2幂的乘方与积的乘方1.了解幂的乘方与积的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.2.经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的运算的意义,发展运算能力和有条理的表达能力.1.在探索性质的过程中让学生经历观察、猜想、创新、交流、验证、归纳总结的过程.2.在推理和运用的过程中,让学生理解“由特殊到一般,再到特殊”的思维方法和辩证的数学思想.1.在探索和训练的过程中,培养学生细心严谨的学习态度、积极进取的探索精神及团结协作的良好品质.2.引导学生自主探索,体验成功的快乐,增强对数学学习的兴趣,在轻松、和谐、有序的教学氛围中,培养学生健全的个性.【重点】幂的乘方、积的乘方的灵活应用.【难点】幂的乘方、积的乘方的逆运用.第课时学习幂的乘方的运算性质,进一步体会幂的运算的意义,并能解决实际问题.经历探索幂的乘方运算性质的过程,发展推理能力和有条理的表达能力,提高解决问题的能力.培养学习数学的兴趣,建立学习数学的信心,感受数学的内在美.【重点】幂的乘方性质的推导及幂的乘方的应用.【难点】幂的乘方性质的逆运用.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P5~6.导入一:1.填空.(1)(23)2=23×23=2();(2)(72)3=72×()×()=7();323()2.情境引入.【课件展示】地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍,它们的体积分别约是地球的多少倍?提示:球的体积公式是V=πr3,其中V是球的体积,r是球的半径[处理方式]让学生思考后,自己得出结论.生:木星的体积是地球的103倍;太阳的体积为地球的(102)3倍.师:那么你知道(102)3等于多少吗?102是幂的形式,因此我们把这样的运算叫做幂的乘方.这节课我们就来研究幂的第二个运算性质——幂的乘方.[设计意图]从地球、木星、太阳的半径关系入手,有效地激发了学生的学习兴趣,唤起了他们的求知欲望,从而顺利导入新课.师:这个问题大家解决得很好,如果这个正方体的棱长为102,你可以求出它的体积吗?生:可以,是106.师:一个正方形的边长为103,你可以求出它的面积吗?生:也是106.师:为什么是这个结果呢?(学生思考2分钟,进行展示)生:(102)3=(100)3=100×100×100=106.(103)2=(1000)2=1000×1000=106.师:这两个式子分别表示什么意义?它也是一种运算,也就是我们这节课要学习的幂的乘方.(板书课题) [设计意图]通过复习知识,直接点出本节课的主题,激发学生的学习兴趣,引导学生体验把实际问题抽象成数学问题的一般方法,为新授内容做准备.思路一1.你知道(102)3等于多少吗?学生展示计算过程:(102)3=102×102×102①=102+2+2②=106=102×3.【思考】推出第①步和第②步的根据是什么呢?点拨:第①步利用了乘方的含义,(102)3表示3个102相乘;第②步利用了同底数幂的乘法:底数不变,指数相加.【思考】观察上面的运算过程,底数和指数发生了怎样的变化?点拨:结果的指数刚好是原式中两个指数的积,而运算前后底数没变.2.做一做:计算下列各式,并说明理由.(1)(62)4;(2)(a2)3;(3)(a m)2;(4)(a m)n.[处理方式]通过观察不难发现,上面的4个小题都是幂的乘方的运算,下面我们就请四位同学到黑板上板演,其余的同学观察他们做的有无错误.【师生活动】展示解答过程:(1)(62)4=62·62·62·62=62+2+2+2=68.(2)(a2)3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6.(3)(a m)2=a m·a m=a m+m=.(4)(a m)n=个=个=a mn.【知识归纳】由上面的“做一做”我们可推出幂的乘方的运算性质,即:(a m)n=a mn(m,n都是正整数).用语言表述为:幂的乘方,底数不变,指数相乘.[设计意图]由幂的意义和同底数幂的乘法得出幂的乘方的运算法则,知识自然生成,学生很容易接受.思路二回答下列问题:(1)64的底数是,指数是,它表示个相乘.(2)(62)4的底数是,指数是,它表示个相乘.(3)(a2)3的底数是,指数是,它表示个相乘.[处理方式]学生先独立思考,然后小组内共同探究结果,并归纳总结得到结论,从而得到幂的乘方的法则.教师引导归纳:(62)4=×××==.(a2)3=××==.(a m)2=×==.(a m)n=××…×==,即(a m)n=(m,n都是正整数).【思考】通过上面的探索活动,你发现了什么?幂的乘方,底数,指数.用字母表示:(a m)n=a mn(m,n都是正整数).[知识拓展][(a m)n]p=a mnp(m,n,p都是正整数).[设计意图]通过三个问题由浅入深,由特殊到一般,由猜测到探索、再到理解法则的实际意义,从而从本质上认识、学习幂的乘方的性质,并运用自己的语言进行描述,教师再引导学生归纳总结幂的乘方的法则,充分利用课堂中的一切机会,调动学生探究问题的积极性,发展学生的语言表达能力.[过渡语]在具体问题中怎样运用幂的乘方的运算性质呢?下面通过例题看看同学们有什么高见.(教材例1)计算.(1)(102)3;(2)(b5)5;(3)(a n)3;(4)- (x2)m;(5)(y2)3·y;(6)2(a2)6- (a3)4.[处理方式]请几个同学口答(1)~(3)题,并课件展示解题过程:(1)(102)3=102×3=106.(2)(b5)5=b5×5=b25.(3)(a n)3=a3n.教师点拨(4)~(6)题:(4)- (x2)m表示(x2)m的相反数,所以- (x2)m=- .(5)(y2)3·y中既含有乘方运算,也含有乘法运算,按运算顺序,应先算乘方,再算乘法,所以(y2)3·y=y2×3·y=y6·y=y6+1=y7.(6)2(a2)6- (a3)4按运算顺序应先算乘方,后算减法,所以2(a2)6- (a3)4=2a2×6- a3×4=2a12- a12=a12.[设计意图]例题的设计用来教会学生如何运用幂的乘方法则,同时进一步体会幂的乘方的意义,巩固幂的乘方法则.探究活动3幂的乘方法则的延伸1.判断下面计算是否正确,如有错误请改正.(1)(x3)3=x6;(2)a6·a4=a24.2.计算.(1)(103)3;(2)- [(a- b)2]5;(3)(x3)4·x2.[处理方式]第1题:独立解答,汇报交流.(1)(x3)3=x6不正确,(x3)3表示三个x3相乘,即x3·x3·x3=x3+3+3=x3×3=x9;或直接根据幂的乘方的运算性质:底数不变,指数相乘,得(x3)3=x3×3=x9.。
北师大版初一数学下册整式的乘除整式的除法(第1课时)
第一章整式的乘除整式的除法（第1课时）灵璧县韦集中学杨州课时安排说明：《整式的除法》是第一章《整式的乘除》的最后一节.本节内容共分两课时，第一课时，主要内容是单项式除以单项式；第二课时，主要内容是多项式除以单项式•一、教学任务分析：教科书基于学生对整式乘法以及整数除法的认识，提出了本课的具体学习任务：掌握单项式除以单项式的运算法则，并能够综合运用所学知识解决实际问题本课内容从属于“数与代数”这一数学学习领域，因而必须服务于代数教学的远期目标：“让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，能够在实际情境中，抽象概括出所要研究的数学问题，增强学生的数感符号感•发展学生的合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标•为此，本节课的教学目标是：1 •知识与技能：理解整式除法运算的算理，会进行简单的整式除法运算；2.过程与方法：经历探索整式除法运算法则的过程，发展有条理的思考及表达能力.3、情感、态度与价值观：体会数学在生活中的广泛应用.二、教学重难点重点：会利用单项式除以单项式的法则进行计算难点：单项式除以单项式的法则推导过程三、教学过程设计：本节课设计了八个教学环节：：复习回顾、情境引入、探究新知、对比学习、例题讲解、课堂练习、知识小结、布置作业.第一环节：复习回顾活动内容：复习准备1 •同底数幕的除法同底数幕相除，底数不变，指数相减.a^' a n a m」（a^0, m,n都是正整数，且m n）2 •单项式乘单项式法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母的幕分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.活动目的：同底数幕的除法是学习整式除法的理论基础，只有熟练掌握同底数幕的除法，才能更好的进行整式除法的学习.此外，复习单项式乘以单项式法则，是为了对比学习单项式除以单项式法则，比较其相似与不同，并能将前后知识融为一体，使之形成一定的知识体系.活动注意事项：同底数幕的除法是学习整式除法的基础，在复习过程中一定要落实好同底数幕的除法法则，此外，本环节时间应注意控制，不宜过长.第二环节：情境引入活动内容：由生活常识“先见闪电，后闻雷鸣”的例子引出课题.下雨时，常常是“先见闪电，后闻雷鸣”，这是因为光速比声速快的缘故•已知光在空气中的传播速度为 3.0 x 108米/ 秒,而声音在空气中的传播速度约为300米/秒，你知道光速是声速的多少倍吗？活动目的：本题在介绍生活常识的同时，提出一个极具趣味性的问题，学生可能通过以前学习的知识得到答案，但并不能利用新知识解决问题，从而激发学生强烈的求知欲和好奇心，弓I入新课的学习.从中也使学生进一步体会，数学来源于生活并作用于生活.活动注意事项：学生通过了解生活常识，进一步认识到数学在生活中无处不在，认识到了学习数学的重要性，并激发起学生学习数学的求知欲和好奇心.第三个环节：探究新知活动内容：1•直接出示问题，由学生独立探究.你能计算下列各题吗？如果能，说说你的理由.(1) x5y x22 2 2(2) 8m n “ 2m n4 2 2(3) a b c"3a b2•总结探究方法方法1:利用乘除法的互逆方法2 :利用类似分数约分的方法3•总结单项式除以单项式法则活动目的：通过让学生经历观察、计算、推理、想象等探索过程，获得数学活动的经验；发散学生思维，让学生尽可能用多种方法来说明自己计算的正确性，培养学生合情说理的能力；并在这个过程中，培养学生总结归纳知识的能力.活动注意事项：(1)学习的过程中，时刻不能忘记学生是主体，一切教学活动都应当从学生已有的认知角度出发，问题设计跨越性不能太强，让学生在不断的探索过程中得到不同程度的感悟，自己能够主动地去探究问题的实质，有成功的体验；(2)要充分发散学生的思维，鼓励学生大胆发表自己与他人不同的意见，敢于质疑；(3)培养学生良好的独立思考，独立探究的学习习惯；(4)鼓励学生对所学的知识进行归纳和总结，培养良好的学习习惯.第四个环节：对比学习活动内容：通过填表的方式对比学习单项式除以单项式法则活动目的：通过对比学习的方式比较单项式乘以单项式法则与单项式除以单项法则，观察其相似与不同，便于学生更好地掌握整式除法运算，并将本章的前后知识有机的联系起来，使之形成一个完整的知识框架.活动注意事项：1.此处完全由学生自己总结归纳，对所学习过的知识分析汇总，并让学生完成填表工作.2.此环节要注意对学生总结归纳知识能力的培养第五个环节：例题讲解活动内容：例1 计算：3(1) _3x2y3 +3x2y5(2) 10a4b3c->5a3bc(3) (2x2y)3 (_7xy2)“14x4y3(4) (2a b) --(2a - b)2做一做如图所示，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里，三个球的体积占整个盒子容积的几分之几？活动目的：通过学习例1,巩固单项式除以单项式法则，提高学生的计算能力•通过学习做一做，提高学生解决实际问题的能力.活动注意事项：此处要给学生充分的时间去独立思考，鼓励学生独立完成问题.例1中的(3)(4)要提醒学生计算时需要注意的问题，一要注意运算顺序，二是当底数是多项式时，把该多项式看成一个整体第六个环节：课堂练习活动内容：1.随堂练习6,3. 3, 2 1 32.1 2(1) 2a b - a b (2) x y x y48 16(3) 3m2n3“(mn)2 (4) (2x2y)^- 6x3y22.解决情境引入问题活动目的：完成随堂练习，进一步巩固落实单项式除以单项式；解决情景引入问题，将课前疑问解决，提高学生解决实际问题的能力•活动注意事项：计算题在保证正确率的前提下，应提高计算速度；应用题的解题过程力求准确规范；课堂练习应由学生独立完成•第七个环节：知识小结谈谈你的收获：1、单项式除以单项式的法则单项式相除，把系数，同底数幕分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式•2、对比学习第八个环节：布置作业1.基础作业：教材习题1.13知识技能1, 2，52•拓展作业：在一次水灾中，大约有 2.5 X 105个人无家可归•假若一顶帐篷占地100 m2，可以安置40个床位，为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？这些帐篷大约占多大地方？估计你学校的操场可以安置多少人？要安置这些人，大约要多少个这样的操场？。
北师大七下数学第一单元整式的乘除(思维导图)
整式的乘除幂的运算
同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加a⋅a=
m n a m+n
幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘(a)=
m n a mn
积的乘方积的乘方等于每个因式乘方的积（ab）=
n a b n n
同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减a÷
m a=
n a（a=
m−n 0）零次幂任何非零数的零次幂都得1a=
01(a= 0)
负指数次幂
a=
−1(a=
a
1 0)
a=
−p（a=
a p
1 0）
科学计数法
表示大的数a×10n
表示小的数a×10−n
,n由小数点的移动决定
1≤a<10
整式的乘法
单项式×单项式
系数相乘
同底数幂相乘
其余字母连同它的指数不变，作为积的因式
单项式×多项式用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加
多项式×多项式先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
平方差公式两数和与这两数差的积，等于它们的平方差（a+b）（a−b）=a−
2b2完全平方公式
完全平方和公式（a+b）=
2a+
22ab+b2
完全平方差公式（a−b）=
2a−
22ab+b2
整式的除法
单项式÷单项式
系数相除
同底数幂相除
只在被除式含有的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式
多项式÷单项式先把这个多项式的 每一项分别除以单项式，再把所得的商相加
负一次方就是求倒数
乘法分配律
口诀：前平方，后平方，积的两倍放中央。
第一章 整式的乘除(单元小结)七年级数学下册(北师大版)
考点专练
【要点指导】幂的运算包括同底数幂的乘法、幂的乘方、 积的乘方、同底数幂的除法以及零指数幂、负整数指数 幂的运算, 计算时, 要熟练掌握各自的运算法则, 并能灵活 运用这些运算法则进行计算. 幂的运算法则还可以逆用.
考2y2－xy)－y(x2－x3y)]×3x2y,其中x=1,y=3. 解：原式=(x3y2－x2y－x2y+x3y2) ×3x2y
=(2x3y2－2x2y) ×3x2y = 6x5y3－6x4y2 . 当x=1,y=3时，原式=6×27－6×9=108.
谢谢~
新课标 北师大版 七年级下册
第一章 整式的乘除
单元小结
本章知识架构
整式的乘法
同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方 单项式乘以单项式 单项式乘以多项式 多项式乘以多项式 （平方差公式，完全平方公式）
整式的除法
同底数幂的除法（零指数，负指数次幂，科学计数法） 单项式除以单项式 多项式除以单项式
知识专题
知识专题
1.零指数幂. 任何不等于0的数的零次幂都等于1.
a0＝1 （a≠0）
2.负指数幂.
a≠0，p是正整数
知识专题
3.科学记数法 一般地，一个绝对值小于1的数可以用科学记数法表示为：
a×10-n（其中1≤|a|＜10，n是整数） 注意: (1) 1≤|a|＜10 ，
(2) n从左起第一个非零数前零的个数.
（三）积的乘方. 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把 所得的幂相乘，即， (ab)n＝anbn(n是正整数).
知识专题
(四）同底数幂的除法. 同底数幂相除，底数不变，指数相减.即 am÷an＝am－n (a≠0，m，n都是正整数，m＞n). 注：(1)底数必须相同. (2)适用于两个或两个以上的同底数幂相除. (3)逆运用常考am-n= am÷an
1.7.1北师大版七年级数学下册-第1章-整式的乘除-《单项式除以单项式》
3
2. 计算： （1）－（x5y2）2÷(－xy2)；
解：原式=－x10y4÷(－xy2) =x9y2；
(2)－48a6b5c÷(24ab4)·(a5b2)．
解：－48a6b5c÷(24ab4)·(－a5b2) ＝[(－48)÷24×(－1)]a6－1＋5·b5－4＋2·c ＝2a10b3c.
(1)x5y÷x2； (2)8m2n2÷2m2n； (3)a4b2c÷3a2b.
方法一：利用乘除法的互逆
（1） x2 x3 y x5 y, x5 y x2 x3 y
(2) 2m2n 4n 8m2n2 , 8m2n2 2m2n 4n
(3) 3a 2b 1 a 2bc a 4b2c, 3
a 4b2c 3a 2b 1 a 2bc 3
方法二：利用类似分数约分的方法
(1)x5y÷x2=
x5 y x2
x3 y;
(2)8m2n2÷2m2n=
8m2n2 2m2n
4n;
(3)a4b2c÷3a2b=
a4b2c 3a2b
1 3
a2bc.
注意：约分时，先约系数，再约同底数幂，分子中 单独存在的字母及其指数直接作为商的因式.
（2） 24a2b3÷3ab =(24÷3)a2－1b3－1 =8ab2；
3.计算12a5b4c4÷(－3a2b2c)÷2a3b2c3，其结果正确的
是( A )
A.－2
B.0
C.1
D.2
【解析】12a5b4c4÷(－3a2b2c)÷2a3b2c3
=［12÷(－3)÷2］·(a5÷a2÷a3)·(b4÷b2÷b2)
·(c4÷c÷c3)=－2.
4.你能用（a-b）的幂表示12(a-b)5÷3(a-b)2的 结果吗？ 解：原式=(12÷3)(a-b)5-2 =4(a-b)3
第一章整式的乘除最新北师大版七年级下册
第一章 整式的乘除
1、同底数幂的乘法
CONTEN T 目 录
幂的乘方与积的乘方 2、 同底数幂的除法 3、 4、整式的乘法 5、平方差公式 6、完全平方公式 7、整式的除法
1.1 同底数幂的乘法
名师导学
新知 同底数幂的乘法
(1)正整数指数幂的意义.
几个相同因数a相乘，即 a· a· …· a，记作an，读作a的
(2)原式＝－a3· a4＝－a3＋4＝－a7；
(3)原式＝32· 3m· 32n＝32＋m＋2n.
【例2】已知：2x＝4, 2y＝8，求2x＋y. 解析 将2x＋y转化为2x· 2y进行解答.
解 ∵2x＝4, 2y＝8， ∴2x＋y＝2x· 2y＝4×8＝32.
举一反三 1. 计算： (1)35×(－3)3×(－3)2；
【例1】计算(a3)2的结果a5
C. －a6
D. a6
解析 此题考查幂的乘方问题，关键是根据幂的乘方 法则进行计算. (a3)2＝a3×2＝a6.
答案
D
举一反三 1. 计算：
(1)(－b2)5· (－b3)2；
答案 －b16 (2)(－x3)2· (－x2)3； 答案 －x12 (3)(y3)2· (y2)3. 答案 y12 2. 当a＝－1时， － ＝ .
n个(ab) n个 a n个 b
(2)积的乘方法则.
一般地，我们有(ab)n＝anbn(n为正整数). 即积的乘方 等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
拓展：①三个或三个以上因式的积的乘方，也具有
这一性质. 如(abc)n＝anbncn； ②此性质可以逆用：anbn＝(ab)n(n为正整数).
解得n＝3.
新版北师大七年级数学下册第一章《整式的乘除运算》知识点总结及习题
第一章整式的乘除知识点总结一、单项式：数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
一个单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
注意：π是数字，而不是字母，它的系数是π，次数是0. 二、多项式几个单项式的代数和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式：单项式和多项式统称为整式。
四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。
五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：),(都是正整数n m aa a nm nm+=∙2、幂的乘方：),(都是正整数）（n m a a mnn m =3、积的乘方：)()(都是正整数n b a ab nnn= 4、同底数幂的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a nm nm都是正整数六、零指数幂和负整数指数幂： 1、零指数幂：);0(10≠=a a 2、负整数指数幂：),0(1是正整数p a aa p p≠=- 七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
5、多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
八、整式乘法公式：1、平方差公式： 22))((b a b a b a -=-+2、完全平方公式： 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-七年级数学（下）第一章《整式的运算》一、 知识点：1、都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字母也是单项式）；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称整式。
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第一章整式的乘除
1同底数幂的乘法
2幂的乘方与积的乘方
3同底数幂的除法
4整式的乘法
5平方差公式
6完全平方公式
7整式的除法
第二章相交线与平行线
1两条直线的位பைடு நூலகம்关系
2探索直线平行的条件
3平行线的性质
4用尺规作角
第三章三角形
1认识三角形
2图形的全等
3探索三角形全等的条件
4用尺规作三角形
5利用三角形全等测距离
第四章变量之间的关系
1用表格表示的变量间关系
2用关系式表示的变量间关系
3用图象表示的变量间关系
第五章生活中的轴对称
1轴对称现象
2探索轴对称的性质
3简单的轴对称图形
4利用轴对称进行设计
第六章概率初步
1感受可能性
2频率的稳定性
3等可能事件的概率
总复习
综合与实践
⊙设计自己的运算程序
综合与实践
⊙七巧板
北师大数学七下第一章整式的乘除
整 式 的 乘 除知识点归纳：一、同底数幂的乘法 n m n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）结论：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如：532)()()(b a b a b a +=+∙+思考：和是同底数幂么？如何计算？二、幂的乘方法则mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） m n n m m n a a a )()(==幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：10253)3(=- 23326)4()4(4== 已知：，，求的值三、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。
例：（523)2z y x -=四、同底数幂的除法法则n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。
如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷五、零指数和负指数10=a 任何不等于零的数的零次方等于1。
pp a a 1=-（p a ,0≠是正整数） 一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。
如：81)21(233==- 六、科学记数法把一个大于10的数表示成a ⨯10n 的形式叫科学计数法。
23a =326b =3102a b+练： 678000000= 0.00000721=八、整式乘法mc mb ma c b a m ++=++)(（注意合并同类项）练：1、)(3)32(2y x y y x x +-- 2、 =∙-xy z y x 3232九、平方差公式22))((b a b a b a -=-+练：（a+b －1）（a －b+1）= 。
计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)十、完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±ab b a ab b a b 2)(2)(2222+-=-+=+222)()]([)(b a b a b a -=--=+-练：（1）（3x +5y ）（5y －3x ）= （－2m －7n ）（2m －7n ）=（2）、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
北师大版七年级数学下册 第一章 整式的乘除 知识点考点汇总
第一章 整式的乘除1 同底数幂的乘法2 幂的乘方与积的乘方3 同底数幂的除法4 整式的乘法5 平方差公式6 完全平方公式7 整式的除法一. 同底数幂的乘法※同底数幂的乘法法则: n m n m a a a +=⋅(m,n 都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；②指数是1时，不要误以为没有指数；③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为p n m p n m a a a a ++=⋅⋅（其中m 、n 、p 均为正数）；⑤公式还可以逆用：n m n m a a a ⋅=+（m 、n 均为正整数）。
二．幂的乘方与积的乘方※1. 幂的乘方法则：mn n m a a =)((m,n 都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.※2.),()()(都为正数n m a a a mn m n n m ==. ※3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a 与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将（-a ）3化成-a 3⎩⎨⎧-=-).(),()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a n n n※4．底数有时形式不同，但可以化成相同。
※5．要注意区别（ab ）n 与（a+b ）n 意义是不同的，不要误以为（a+b ）n =a n +b n（a 、b 均不为零）。
※6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）。
※7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
三. 同底数幂的除法※1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即n m n m a a a -=÷ (a ≠0,m 、n 都是正数,且m>n).※2. 在应用时需要注意以下几点:①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a ≠0.②任何不等于0的数的0次幂等于1,即)0(10≠=a a ,如1100=,(-2.50=1),则00无意义. ③任何不等于0的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的p 的次幂的倒数,即p p a a1=- ( a ≠0,p 是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a -p 的值一定是正的; 当a<0时,a -p 的值可能是正也可能是负的,如()()812,41232=-=--- ④运算要注意运算顺序. 四. 整式的乘法※1. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
北师大版初中七年级下册数学课件 《整式的除法》整式的乘除PPT(第1课时)
（ ab）33 （．（ab）1＝）_a2_b_2 ___．
（（25a）2m3若bn4），（3则amm2b5）÷＝n 53＝a4b_2 _____． 3
（3）若n为正整数，且a2n＝3，则（3a3n）
1
2÷（27a4n）的值
为______．
随堂练习
4.计算： (1)－x5y13÷(－xy8)；
(2)－48a6b5c÷(24ab4)·(－5a5b2)． 6
(3) 10ab3 (5ab)
分析：
((14))可直21接x2运y4用单(3项x式2 y除3 ) 以单项式的运算法则进行计算；
(2)运算顺序与有理数的运算顺序相同．
随堂练习
4.解：
(1)－x5y13÷(－xy8) ＝x5－1·y13－8 ＝x4y5
(2)－48a6b5c÷(24ab4)·(－5a5b2) ＝[(－48)÷24×(－)5]a6－16＋5·b5－4＋2·c
第一章整式的乘除 整式的除法 第1课时
学习目标
1.会进行简单的单项式除以单项式的运算（结果是整式）； 2.经历探索单项式除以单项式法则的过程，理解单项式除
以单项式的算理； 3.在探索中体会类比方法的作用，发展有条理的思考与表
达能力和运算能力．
复习回顾
1．单项式与单项式相乘法则： 一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘， 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因 式． 2．同底数幂的除法法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 即：（a≠0，m，n都是正整数，并且m≥n）． 那么单项式与单项式如果相除呢？
典型例题
(1) 3 x2 y3 3x2 y 5
3 5
3
xห้องสมุดไป่ตู้
完整word版北师大版七年级下册数学第一章整式的乘除附答案
word整理版七年级数学下册——第一章整式的乘除〔复习〕单项式整式多项式整同底数幂的乘法幂的乘方式积的乘方的幂运算同底数幂的除法零指数幂运负指数幂整式的加减算单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式第1章整式的乘除单元测试卷一、选择题〔共10小题，每题3分，共30分〕1.以下运算正确的选项是〔〕A.a4a5a9B.a3a3a33a3C.2a43a56a9D.a34a720213202 12.52〔〕135A.1B.1C.0D.19973.设5a3b25a3b2A，那么A=〔〕A.30abB.60abC.15abD.12ab4.x y5,xy3,那么x2y2〔〕A.25.B25C19D、195.x a3,x b 5,那么x3a2b〔〕A、27B、9C、3D、52251056..如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四a b a种表示该长方形面积的多项式：m学习参考资料nword 整理版①(2a+b)(m+n); ②2a(m+n)+b(m+n); ③m(2a+b)+n(2a+b); ④2am+2an+bm+bn ，你认为其中正确的有A 、①②B 、③④C 、①②③D 、①②③④〔 〕7．如(x+m)与(x+3) 的乘积中不含 x 的一次项，那么m 的值为〔〕A 、–3B 、3C 、0D 、12128．.(a+b)=9，ab=－12，那么a2+b 的值等于〔〕A 、84B、78C 、12D 、62 244〕9．计算〔a －b 〕〔a+b 〕〔a+b 〕〔a －b 〕的结果是〔A ．a 8+2a 4b 4+b 8B ．a 8－2a 4b 4+b 8C ．a 8+b 8D ．a 8－b 810. P7 m 1,Qm 28m 〔m 为任意实数〕，那么P 、Q 的大小关系为15 15〔〕A 、PQB 、P QC 、PQD、不能确定二、填空题〔共 6小题，每题4分，共 24分〕11. 设4 x 2mx 121 是一个完全平方式，那么m=_______。
七年级下册数学第一章整式的乘除讲解
七年级下册数学第一章整式的乘除讲解
七年级下册数学第一章《整式的乘除》主要讲解了整式的乘法和除法。
在整式的乘法部分，主要介绍了单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则。
单项式的乘法法则包括系数、同底数幂的乘法以及只在其中一个单项式中出现的字母的乘法。
在多项式与多项式的乘法中，需要将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
在整式的除法部分，主要介绍了单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的除法法则。
单项式的除法法则包括系数、同底数幂的除法以及只在被除式中出现的字母的除法。
在多项式除以单项式时，需要将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。
此外，还介绍了完全平方公式，即两数和（或差）的平方等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍。
这个公式是进行代数运算与变形的重要知识基础，并且也有一些派生公式，如(a+b)2-2ab=a2+b2，(a-
b)2+2ab=a2+b2等。
如果需要更多关于七年级下册数学第一章《整式的乘除》的讲解，可以查阅数学教辅书或视频教程，也可以请教数学老师或同学。
北师大版七年级数学下册第一章《整式的乘除》新课标大单元教学设计
（一）教学重难点
1.教学重点：整式的乘除法则及其运用，包括多项式乘以多项式、多项式乘以单项式、单项式乘以单项式、多项式除以单项式的运算法则。
教学难点：理解并熟练运用整式的乘除法则，尤其是多项式乘以多项式的运算过程，以及如何将实际问题转化为整式的乘除运算。
2.教学重点：培养学生观察、分析、归纳和解决问题的能力。
二、学情分析
七年级下册的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的算术运算、代数式的概念以及简单的方程求解。在此基础上，本章《整式的乘除》的学习对于学生来说是一个重要的过渡阶段，既是对以往知识的巩固，也是对后续学习内容的铺垫。学生在这个阶段对新知识的接受能力较强，但个体差异仍然存在。部分学生对乘除法则的理解可能存在困难，需要教师在教学过程中关注这些学生的需求，给予个别指导。此外，学生在解决实际问题时，可能缺乏将问题转化为整式乘除运算的能力，需要教师引导他们通过观察、分析、归纳等方法，逐步培养这种转化能力。在教学过程中，教师应关注学生的情感态度，营造轻松愉快的学习氛围，使学生在愉悦的情感体验中积极投入学习。
3.引发思考：让学生尝试计算这个表达式，观察他们是否能运用已学的知识解决问题。在此基础上，引出整式的乘除法则，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知，500字
在讲授新知环节，教师应详细讲解以下内容：
1.多项式乘以多项式的运算法则：通过具体例题，如（x+1）（x+2），讲解如何将每一项相乘，并合并同类项。
北师大版七年级数学下册第一章《整式的乘除》新课标大单元教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解多项式乘以多项式、多项式乘以单项式、单项式乘以单项式的运算法则，并能运用这些法则进行简便计算。
【精品】北师大版七年级数学下册第1章整式的乘除
)
(5) (－ x)2 ·(－ x)3 = ( － x)5=－ x5 (
)
(6)
a2·a3－
a3
2
·a
=
0
(
35
8
) (7) x ·y =(xy) ( )
7 7 14
(8) x +x =x ( )
(二 ) P.3 随堂练习
1.计算 :
27
(1) 5 ×5
32
(2) 7 7××7
2.一种电子计算机每秒可做
am ·an ·ap 等于什么？
例 2 光在真空中的速度约为 3×108m/s，太阳光照射到地球大约需要
地球距离太阳大约有多远？
5×102s.
四 检测评学
(一 )判断 (正确的打 “√，”错误的打 “×”）
(1) 3=x3 (
)
(3) x4+x4 =x8 (
)
(4) x2·x2=2x4 (
1.能说出幂的乘方的的法则； 2.会用幂的乘方的法则进行简单的计算 . 二 自主探学 1.你知道 (102)3等于多少吗？
2.做一做：计算下列各式 ,并说明理由 .
(1) (62 )4 ;
(2) ( a2)3 ;
(3) ( am)2 ;
(4) ( am)n .
3.幂的乘方法则 (am)n=amn (m,n 都是正整数 ).幂的乘方 ,底数 ____________,指数 _________.
(5) 0.25 100×4100
(6) 8 12×0.125 13
五 检测评学
1.下面的计算是否正确？如有错误请改正：
(1) ( ab4)4＝ ab8
(2) ( － 3pq)2 ＝－ 6p2q2
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1 2 ( xy 2 xy) y 2 xy
3
多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式，先把 这个多项式的每一项分别 除以单项式，再把所得的 商相加。
例3 计算：
(1) (6ab 8b) ( 2b) ( 2) ( 27a 15a 6a ) ( 3a )
3 2
( 3) (9 x y 6 xy ) ( 3 xy) 1 1 2 2 (4) ( 3 x y xy xy) ( xy) 2 2
=x 24 —12+8 =x20.
回顾与思考
1.同底数幂的除法 am÷an = am－n
(a≠0,m、n都是正整数，m＞n） 2.单项式乘单项式法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数， 相同字母的幂分别相乘，其余字母连 同它的指数不变，作为积的因式。
下雨时，常常是“先见闪电、后闻雷鸣”， 这是因为光速比声速快的缘故。已知光
答：光速大约是声速的1000000倍，即100万倍。
1.计算：
(1)(10ab3)÷(5b2)；
(2)3a3÷ (6a6)； (3)(－12s4t6) ÷(2s2t3)2.
2.下列计算错在哪里？应怎样改正？
1 12a 3 b 3c 6ab 2 2ab
2 p
5
q
4
2 p q 2 p q
3 2
3
综 ◢ ◣ 合
1、计算填空:
巩固练
习
;
⑴ (60x3y5) ÷(−12xy3) = −5x2y2 (2) (8x6y4z) ÷( 4y2z −2x
) =−4x2y2 ;
(3) ( 3 x5 y6 z )÷(2x3y3 ) = 3 x 2 y 3 z ; 4 2 (4) 若 (ax3my12)÷(3x3y2n)=4x6y8 , 则 a = 12 , m = 3 ,n = 2
2 2 3
(
)
随堂练习第1题 (1) (3 xy y ) y
(2) (m a m b m c) m (3) (6c d c d ) (2c d )
2 3 3 2
(4) (4 x y 3 xy ) (7 xy)
2 2
答案
1 2 4 3 (1) 3x 1 (2) a b c (3) 3 cd (4) x y 2 7 7
(3) (2x y) (7 xy ) (14x y )
2 3 2 4 3
(4) (2a b) (2a b)
4
2
解: (1)
3 22 31 ( 3) x y 5
1 2 y 5
3 2 3 2 ( x y ) (3 x y ) 5
(2)
(10a b c ) (5a bc)
;
a2 b
2、能力挑战:
若 3 a ， 3 b ，求 3
x y 2x y
的值。
提高：
已知2 x y 10，求式子
( x
2
y ) ( x y) 2 y( x y) 4 y的值.
2 2
思维拓广
在一次水灾中，大约有2.5×105个人无家 可归。假若一顶帐篷占地100 m2 ，可以 安置40个床位，为了安置所有无家可归 的人，需要多少顶帐篷？这些帐篷大约 占多大地方？估计你学校的操场中可以 安置多少人？要安置这些人，大约要多 少个这样的操场？
多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式，先把这个多项 式的每一项分别除以单项式，再把 所得的商相加。
4 3 2 3
(10 5)a b c
43 31 21
2ab c
2
(3) (2x y) (7 xy ) (14x y )
2 3 2 4 3
8x y (7xy ) x y (14x y )
7 5 4 3
4 x y
本节课你的收获是什么？
1. 单项式与单项式相除的法则
单项式相除，把系数，同底数幂分别 相除后，作为商的因式；对于只在被 除式里含有的字母，则连同它的指数 一起作为商的因式。
2. 对比的学习方法。
随堂检测
计算
（1） （2a6b³ ）÷（a³ ） b² （2） （1/48x³ ）÷（1/16x² y² y） （3） （3m² ）÷（mn）² n³
2
(3) ( xy 2 xy) xy） （
3
方法1：利用乘除法的互逆
（ ） (a b) d ad bd 1 ad bd） d a b （ (2) (ab 3b) a a b 3ab
2
(a b 3ab) a ab 3b
(a b c) 3a b） a bc （ 3
方法2：利用类似分数约分的方法
x y 3 （ ） x y） x 2 x y 1（ x
5 2
5
8m n (2) (8m n ) (2m n) 4n 2 2m n
2 2 2
2 2
a b c 1 2 (3) (a b c) 3a b） （ a bc 2 3a b 3
2 2
解：(1) (6ab 8b) ( 2b)
(2) (27a 15a 6a) (3a)
3 2
(6ab) (2b) (8b) (2b) 3a 4
3 2
(27a ) (3a) (15a ) (3a) (6a) (3a)
9a 5a 2
整式的除法（1）
回顾与思考 1、用字母表示幂的运算性质： (1) a m a n=a m n ; (4) a m a n=a m n (2) (a m )n= ; a mn (3) (ab)n=a n b n ; (5) a 0 = 1 （a ≠ 0） (6) a p= ; ; .
4 2 2
（ ） x x y x y, 1 5 2 3 x y） x x y （ 2 2 2 (2) 2m n 4n 8m n ,
2 3 5
2 2 2
方法1：利用乘除法的互逆
(8m n ) (2m n) 4n 1 2 2 4 2 (3) 3a b a bc a b c, 3 2 1 2 4 2
2
(3) (9 x y 6 xy ) (3 xy)
2 2
1 1 (4) ( 3 x y xy xy) ( xy) 2 2
2 2
2
(9 x y) (3 xy) (6 xy ) (3 xy) 3x 2 y
2 2
1 1 2 ( 3 x y ) ( xy) ( xy ) ( xy) 2 2 1 1 ( xy) ( xy) 6 x 2 y 1 2 2
2
(3) ( y 2) xy xy 2 xy
2 3
( xy 2 xy) xy） y 2 （
3 2
方法2：类比有理数的除法 由有理数的除法
例如 ( 21 0.14) 7 1 ( 21 0.14) 7 3 0.02 3.02
类比得到
（ ） a d b d） d 1（ 1 a d b d） （ ab d ( 2) ( a 2b 3a b) a 1 ( a b 3a b) a b 3b a 3 (3) ( xy 2 xy) xy） （
第一步
单项式相除 系数相除 同底数幂相除 只在被除式里 含有的字母连 同其指数一起 作为商的因式
系数相乘 同底数幂相乘 其余字母不变连 同其指数作为积 的因式
第二步 第三步
例1
计算：
(2) (10a b c ) (5a bc)
4 3 2 3
3 2 3 2 (1) ( x y ) (3 x y ) 5
(a 0, m, n都是正整数, 且m n)
2.单项式与单项式相除的法则
单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作 为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则 连同它的指数一起作为商的因式。
计算下列各题，说说你的理由。
（ ） ad bd） d 1（ ( 2) (a b 3ab) a
速度约为8×102千米/时。如果 乘坐此飞机飞行这么远的距离， 大约需要多少时间？
解：
(3.8410 ) (8 10 )
5 2
0.4810 480(时) 20(天)
3
答：如果乘坐此飞机飞行这么远的距离，大约需要20 天。
(1)
3)÷(5b2) (10ab 3÷(6a6)· 4) 3a (-2a 5b3c)÷(-12a2b) (3a
（4） （2x² ÷（6x³ ） y）³ y²
随堂检测
计算
(5)（-2r² ÷（4rs² s）² ） (6)（5x² ）² y³ ÷（25x4y5）
(7)（x+y）³ ÷（x+y） (8)（7a5b³ 5）÷（14a² c） c b³
整式的除法（2）
1.同底数幂的除法
a a a
m n
mn
1 ap
. .
2、计算： (1) a20÷a10；= a10 (3) (−c)4 ÷(−c)2； c2 =
(5) (a2)3 ·(-a3 )÷(a3)5 ； =−a9 ÷a15 =−a−6 =− 16 a
(2) a2n÷an ；= an (6) (x4)6 ÷(x6)2 ·(-x4 )2 。 =x24÷x12 ·x8
3
2
2
(4)
(2a b) (2a b)
4
(2a b)
4 2
(2a b)
2
4a 4ab b
2