等差数列的前n项和公式推导与例题解析

等差数列的前n 项和·例题解析

一、等差数列前n 项和公式推导：

（1） Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成

Sn=an+an-1+......a2+a1

两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

=n(a1+an)

所以Sn=[n （a1+an ）]/2 （公式一）

（2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d ，项数为n ，则 an=a1+(n-1)d 代入公式公式一得

Sn=na1+ [n(n+1)d]/2（公式二）

二、对于等差数列前n 项和公式的应用

【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为

奇数的各项的和为125，求其第6项．

解 依题意，得

10a d =140a a a a a =5a 20d =125

1135791＋＋＋＋＋＋101012()-⎧⎨⎪⎩⎪ 解得a 1=113，d=－22．

∴ 其通项公式为

a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135

∴a 6=－22×6＋135＝3

说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ，

再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出a n而

直接去求，所列方程组化简后可得

＋

＋

相减即得＋，

a

2a9d=28

a4d=25

a5d=3 6

1

1

1

⎧

⎨

⎩

即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．

解由已知，第一个数列的通项为a n＝3n－1；第二个数列的通项为b N=5N－3

若a m＝b N，则有3n－1＝5N－3

即＝＋ n N 21

3 () N-

若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以

N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66

∴两数列相同项的和为

2＋17＋32＋…＋197=1393

【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为

[ ]

A ．1，3，5

B ．1，3，7

C ．1，3，99

D ．1，3，9

解 C 2b =a 5a b =3a 由题设＋⇒

又∵ 14＝5a ＋3b ，

∴ a ＝1，b ＝3

∴首项为1，公差为2

又＋

∴＋·∴＝S =na d 2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212 ∴a 50=c=1＋(50－1)·2=99

∴ a ＝1，b ＝3，c ＝99

【例4】 在1和2之间插入2n 个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．

解 依题意2＝1＋(2n ＋2－1)d

①

前半部分的和＝＋＋②后半部分的和′＝＋·＋·－③S (n 1) d S (n 1)2(d)n+1n+1()()n n n n ++1212

由已知，有′化简，得解之，得④S S n nd n nd nd nd n n ++=++

+-=+-=11112122

9131222

913()()()() nd =511 由①，有(2n ＋1)d=1

⑤

由④，⑤，解得，d =111n =5 ∴ 共插入10个数．

【例5】 在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．

解 S (m n)a (m n)(m n 1)d (m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212

且S m ＝S n ，m ≠n

∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d (m n)a (m n)(m n 1)=011112122

d 即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212

∴S m+n ＝0

【例6】 已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=64，求数

列｛|a n |｝的前n 项和T n ．

分析 n S =na d a n 11等差数列前项和＋，含有两个未知数，n n ()-12

d ，已知S 3和S 6的值，解方程组可得a 1与d ，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出T n 来．

解 d S na d 3a 3d =21ba 15d =24

n 111设公差为，由公式＝＋得＋＋n n ()-⎧⎨⎩12 解方程组得：d ＝－2，a 1＝9

∴a n ＝9＋(n －1)(n －2)＝－2n ＋11

由＝－＋＞得＜，故数列的前项为正，a 2n 110 n =5.5{a }5n n 112

其余各项为负．数列{a n }的前n 项和为：

S 9n (2)=n 10n n 2＝＋－－＋n n ()-12

∴当n ≤5时，T n ＝－n 2＋10n

当n ＞6时，T n ＝S 5＋|S n －S 5|＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n

∴T n ＝2(－25＋50)－(－n 2＋10n)＝n 2－10n ＋50

即－＋≤－＋＞∈T =n 10n n 5n 10n 50 n 6n *n 22⎧⎨⎪⎩⎪N

说明 根据数列{a n }中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a n |｝的前n 项和．

【例7】 在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15