高中数学方程的根与函数的零点小题含答案
函数的零点个数问题-含答案
【知识要点】一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x .第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步. 三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组： （1）a 的符号； （2）对称轴2bx a=-的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】方法一 方程法使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程，再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7方法二 图像法使用情景一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性，再画图分析.学科@网【例2】（2017全国高考新课标I理科数学）已知函数2()(2)x xf x ae a e x=+--.（1）讨论()f x的单调性；（2）若()f x有两个零点，求a的取值范围.(2) ①若0,a≤由（1）知()f x至多有一个零点.②若0a>，由（1）知当lnx a=-时，()f x取得最小值，1(ln)1lnf a aa-=-+.（i）当1a=时，(ln)f a-=0，故()f x只有一个零点.（ii）当(1,)a∈+∞时，由于11ln aa-+>0，即(ln)0f a->，故()f x没有零点.（iii）当0,1a∈（）时，11ln0aa-+<，即(ln)0f a-<.422(2)(2)2220,f ae a e e----=+-+>-+>故()f x在(,ln)a-∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln,()n n n nn n f n e ae a n e n naa f xa>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a的取值范围为（0,1）.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a∈（）时，要先判断(,ln)a-∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln)0f a-<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是422(2)(2)2220,f ae a e e----=+-+>-+>要说明(2)0f->，这里利用了放缩法，丢掉了42ae ae--+.(3) 当0,1a∈（）时，要判断(ln,)a-+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是03ln(1)n a>-，再放缩证明0()f n >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问，由于函数()f x 中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax =+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若13x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； (2) 当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；(3) 当a 取正实数时，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =有三个实数根，求a 的取值范围.方法三 方程+图像法使用情景函数比较复杂，不容易求函数的单调性.解题步骤先令()0f x =,重新构造方程()()g x h x =,再画函数(),()y g x y h x ==的图像分析解答.【例4】函数()lg cos f x x x =-的零点有 （ ） A ．4 个 B ．3 个 C ．2个 D ．1个【点评】（1）本题主要考察零点的个数，但是方程f(x)lg cos 0x x =-=也不好解，直接研究函数的单调性不是很方便，所以先令()lg cos 0f x x x =-=,可化为lg cos x x =,再在同一直角坐标系下画出lg y x =和cos y x =的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用.【反馈检测3】设函数()()()221ln ,1,02f x x m xg x x m x m =-=-+>． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第13讲：函数零点个数问题的求解方法参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】（1）95a =；（2）()f x 的单调增区间是51(1)2-，15(,12+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)++∞；（3）a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ 因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =.(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得51x =，而12x ≠±.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--++-()f x极小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1)2，15(,12+；()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)2--，5(1)+∞；【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是(),m+∞, 单调递减区间是()0,m；（2）1．学科@网【反馈检测3详细解析】（1）函数()f x的定义域为()()()()0,,'x m x mf xx+-+∞=．当0x m<<时，()'0f x<,函数()f x单调递减，当x m>时，()'0f x>函数()f x单调递增，综上，函数()f x的单调递增区间是(),m+∞, 单调递减区间是()0,m．（2）令()()()()211ln,02F x f x g x x m x m x x=-=-++->,问题等价于求函数()F x的零点个数，()()()1'x x mF xx--=-,当1m=时，()'0F x≤，函数()F x为减函数，F x有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．综上，函数()。
高中数学第三章函数的应用章末复习课(三)学案(含解析)新人教版必修1
三章函数的应用章末复习课网络构建核心归纳1.函数的零点与方程的根的关系函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，函数f(x)的零点的个数与方程f(x)＝0的解的个数相等，也可以说方程f(x)＝0的解就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，即函数f(x)的函数值等于0时自变量x的取值.因此方程的解的问题可以转化为函数问题来解决.讨论方程的解所在的大致区间可以转化为讨论函数的零点所在的大致区间，讨论方程的解的个数可以转化为讨论函数的零点的个数.2.函数零点存在性定理(1)该定理的条件是：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的；②f(a)·f(b)<0，即f(a)和f(b)的符号相反.这两个条件缺一不可.(2)该定理的结论是“至少存在一个零点”，仅仅能确定函数零点是存在的，但是不能确定函数零点的个数.3.函数应用(1)要解决函数应用问题，首先要增强应用函数的意识.一般来说，解决函数应用问题可分三步：第一步，理解题意，弄清关系；第二步，抓住关键，建立模型；第三步，数学解决、检验模型.其中第二步尤为关键.(2)在解题中要充分运用数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想及策略，寻求解题途径.(3)根据已知条件建立函数解析式是函数应用的一个重要方面.一般分为两类：一类是借助于生活经验、函数知识等建立函数模型，以二次函数模型为主，一般是求二次函数的最值.另一类是根据几何、物理概念建立函数模型.要点一 函数的零点与方程的根 函数的零点与方程的根的关系及应用1.函数的零点与方程的根的关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点.2.确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.【例1】 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________；(2)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.解析 (1)①当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－2＝0，解得x ＝2或x ＝－ 2.因为x ≤0，所以x ＝－ 2.②法一 (函数单调性法)当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x .而f (1)＝2×1－6＋ln 1＝－4<0，f (3)＝2×3－6＋ln 3＝ln 3>0，所以f (1)·f (3)<0，又函数f (x )的图象是连续的，故由零点存在性定理，可得函数f (x )在(1，3)内至少有一个零点.而函数y ＝2x －6在(0，＋∞)上单调递增，y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增.故函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)内有且只有1个零点.综上，函数f (x )共有2个零点.法二 (数形结合法)当x >0时，由f (x )＝0，得2x －6＋ln x ＝0， 即ln x ＝6－2x .如图，分别作出函数y ＝ln x 和y ＝6－2x 的图象.显然，由图可知，两函数图象只有一个交点，且在y 轴的右侧，故当x >0时，f (x )＝0只有一个解.综上，函数f (x )共有2个零点.(2)由f(x)＝0得|2x－2|＝b，在同一坐标系中作出函数y＝|2x－2|和y＝b的图象，如图所示，由图可知，若f(x)有两个零点，则b的取值范围是(0，2).答案(1)2 (2)(0，2)【训练1】已知关于x的方程a·4x＋b·2x＋c＝0(a≠0)，常数a，b同号，b，c异号，则下列结论中正确的是( )A.此方程无实根B.此方程有两个互异的负实根C.此方程有两个异号实根D.此方程仅有一个实根解析由常数a，b同号，b，c异号，可得a，c异号，令2x＝t，则方程变为at2＋bt＋c＝0，t>0，由于此方程的判别式Δ＝b2－4ac>0，故此方程有2个不等实数根，且两根之积为c<0，故关于t的方程只有一个实数根，故关于x的方程只有一个实数根.a答案 D要点二二分法求方程的近似解(或函数的零点)1.二分法求方程的近似解的步骤(1)构造函数，转化为求函数的零点.(2)明确精确度和函数的零点所在的区间(最好区间左右端点相差1).(3)利用二分法求函数的零点.(4)归纳结论.2.使用二分法的注意事项(1)二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，所以要选好计算的初始区间，保证所选区间既符合条件，又使区间长度尽量小.(2)计算时注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间是否满足精确度的要求.(3)二分法在具体使用时有一定的局限性，首先二分法只能一次求得一个零点，其次f(x)在(a，b)内有不变号零点时，不能用二分法求得.【例2】设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的.先求值：f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________.所以f(x)在区间________内存在一个零点x0，填下表，结论x0解f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，所以初始区间为(1，2).因为所以x0≈1.125(不唯一).【训练2】若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625；f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260；f(1.438)＝0.165.那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根可以为(精确度为0.1)( )A.1.2B.1.35C.1.43D.1.5解析∵f(1.438)＝0.165>0，f(1.375)＝－0.260<0，∴函数f(x)在(1.375，1.438)内存在零点，又1.438－1.375<0.1，结合选项知1.43为方程f(x)＝0的一个近似根.答案 C要点三函数的实际应用1.建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示.(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域.(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解.2.建模的三个原则(1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.(3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题. 【例3】 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本).销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x （0≤x ≤5），11（x >5）. 假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题： (1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)要使工厂有盈利，求产量x 的取值范围； (3)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 解 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x . ∴f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8（0≤x ≤5），8.2－x （x >5）. (2)①当0≤x ≤5时，由－0.4x 2＋3.2x －2.8>0得x 2－8x ＋7<0，解得1<x <7，∴1<x ≤5. ②当x >5时，由8.2－x >0，得x <8.2， 所以5<x <8.2.综上，当1<x <8.2时，有y >0，即当产量x 大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利. (3)当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6； 当x >5时，∵函数f (x )单调递减， ∴f (x )<f (5)＝3.2(万元).综上，当工厂生产4百台产品时，可使盈利最多，为3.6万元.【训练3】 《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人所得税起征点为3 500元(即3 500元以下不必纳税，超过3 500元的部分为当月应纳税所得额)，应缴纳的税款按下表分段累计计算：(1) (2)刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元，那么她当月工资总额是多少？解 (1)依题意可得： ①当0<x ≤3 500时，y ＝0. ②当3 500<x ≤5 000时，y ＝(x －3 500)·3%＝0.03x －105.③当5 000<x <8 000时，y ＝45＋(x －5 000)·10%＝0.1x －455.综上可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤3 500，0.03x －105，3 500<x ≤5 000，0.1x －455，5 000<x <8 000.(2)因为需交税300元， 故有5 000<x <8 000，所以300＝0.1x －455，所以x ＝7 550. 答：刘丽十二月份工资总额为7 550元.基础过关1.函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A.(1，2)B.(2，3)C.(3，4)D.(1，2)与(2，3)解析 易知f (x )在(1，＋∞)上单调递减，f (2)＝1>0，f (3)＝23＋ln 12＝23－ln 2<0，所以f (x )在(2，3)内只有一个零点.答案 B2.实数a ，b ，c 是图象连续不断的函数y ＝f (x )定义域中的三个数，且满足a <b <c ，f (a )·f (b )<0，f (c )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，c )上的零点个数为( )A.2B.奇数C.偶数D.至少是2解析 由零点存在性定理，f (a )f (b )<0，f (c )f (b )<0，则y ＝f (x )在区间(a ，b )上至少有一个零点，在(b ，c )上至少有一个零点，而f (b )≠0，所以y ＝f (x )在区间(a ，c )上的零点个数为至少2个.选D. 答案 D3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋a ，x ≤0，2x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，0)C.(－1，0)D.[－1，0)解析 易知当x >0时，2x －1＝0有一个根，所以需使函数y ＝e x＋a (x ≤0)有一个零点，即方程e x ＋a ＝0(x ≤0)有一个根，即a ＝－e x .由x ≤0，得－e x∈[－1，0)，故a ∈[－1，0). 答案 D4.用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算________次.解析 设至少需要计算n 次，则n 满足0.12n <0.001，即2n >100，由于27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次. 答案 75.方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是________.解析 在同一个坐标系中作出函数y ＝|x 2－2x |和y ＝a 2＋1的图象，如图所示，易知a 2＋1>1，由图知方程有2个解.答案 26.方程x 2－1x＝0在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由.解 不存在.理由如下：因为当x <0时，－1x >0，所以x 2－1x>0恒成立，故不存在x ∈(－∞，0)，使x 2－1x＝0.7.某地的出租车价格规定：起步价为a 元，可行3公里，3公里以上按每公里b 元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c 元计算(这里a ，b ，c 规定为正的常数，且c >b )，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.(1)若取a ＝14，b ＝2.4，c ＝3.6，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？(2)求车费y (元)与行车里程x (公里)之间的函数解析式y ＝f (x ).解 (1)由题意可知，起步价(3公里以内)是14元，则这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8－3＝5(公里)的收费是5×2.4＝12(元)，总共收费14＋12＝26(元)，故他应付出租车费26元.(2)3公里以内，即起步价是a 元，即0<x ≤3时，y ＝a (元)；大于3公里而不超过10公里时，即3<x ≤10时，收费y ＝a ＋(x －3)b ＝bx ＋a －3b (元)；大于10公里时，即x >10时，收费y ＝a ＋7×b ＋(x －10)c ＝cx ＋a ＋7b －10c (元).所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<x ≤3，bx ＋a －3b ，3<x ≤10，cx ＋a ＋7b －10c ，x >10.能力提升8.已知函数f (x )的图象如图所示，则它的一个可能的解析式为( )A.y ＝2xB.y ＝4－4x ＋1C.y ＝log 3(x ＋1)D.y ＝3x解析 由于图象过点(1，2)，可排除C ，D ；由图象与直线y ＝4无限接近，但到达不了，即y <4，而y ＝2x 可无限大，排除A ，选B.答案 B9.若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－2] B.(－∞，－2]∪(2，＋∞) C.(2，＋∞)D.(－2，2)解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，∴函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，且f (－2)＝f (2)＝0，作出函数f (x )的示意图，如图，则不等式f (x )<0的解为－2<x <2，故选D.答案 D10.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋a －1的两个零点一个大于2，一个小于2，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )的两个零点一个大于2，一个小于2， ∴f (2)<0，∴22＋2a ＋a －1<0，解得a <－1. 答案 (－∞，－1)11.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400. 答案 2012.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解 (1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆.(2)设每辆车的月租金为x 元(x ≥3 000)，租赁公司的月收益为y 元，则y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050－x －3 00050×50－⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050×150＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.当x ＝4 050时，y max ＝307 050.所以每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，为307 050元.13.(选做题)设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )的实根的个数.解 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，a －x >0，（x －1）（3－x ）＝a －x ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，（x －1）（3－x ）＝a －x ，整理得－x 2＋5x －3＝a (1<x <3).在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝a ， 及y ＝－x 2＋5x －3，x ∈(1，3)的图象，如图所示.(1)当a >134或a ≤1时，两个函数的图象无交点，故原方程无实数根；(2)当a ＝134或1<a ≤3时，两个函数的图象有一个交点，故原方程有一个实数根；(3)当3<a <134时，两个函数的图象有两个交点，故原方程有两个实数根.章末检测(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )解析由二分法的定义可知选A.答案 A2.已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)的图象与x轴在区间[a，b]内( )A.至多有一个交点B.必有唯一个交点C.至少有一个交点D.没有交点解析∵f(a)·f(b)<0，∴f(a)与f(b)异号，即：f(a)>0，f(b)<0或者f(a)<0，f(b)>0，显然，在[a，b]内，必有一点c，使得f(c)＝0.又f(x)在区间[a，b]上单调，所以，这样的点只有一个，故选B.答案 B3.若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图象是( )解析A：与直线y＝2的交点是(0，2)，不符合题意，故不正确；B：与直线y＝2无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y＝2只在区间(0，＋∞)上有交点，不符合题意，故不正确；D ：与直线y ＝2在(－∞，0)上有交点，故正确.故选D. 答案 D4.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点解析 由题图可知，甲到达终点用时短，故选D. 答案 D5.据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万，0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工人数y 万人关于月数x 的函数关系近似的是( ) A.y ＝0.2x B.y ＝110(x 2＋2x )C.y ＝2x10D.y ＝0.2＋log 16x解析 当x ＝1时，否定B ；当x ＝2时，否定D ；当x ＝3时，否定A ，故选C. 答案 C6.若函数f (x )＝log 3x ＋x －3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：那么方程x －3＋3A.2.1 B.2.2 C.2.3D.2.4解析 由参考数据可知f (2.25)·f (2.312 5)<0，且|2.312 5－2.25|＝0.062 5<0.1，所以当精确度为0.1时，可以将2.3作为函数f (x )＝log 3x ＋x －3零点的近似值，也即方程x －3＋log 3x ＝0的根的近似值. 答案 C7.函数f (x )＝（x －1）ln （－x ）x －3的零点个数为( )C.3D.4解析 ∵函数f (x )＝（x －1）ln （－x ）x －3的零点个数，即为f (x )＝0的根的个数，∴f (x )＝（x －1）ln （－x ）x －3＝0，即(x －1)ln(－x )＝0，∴x －1＝0或ln(－x )＝0，∴x ＝1或x ＝－1.∵⎩⎪⎨⎪⎧－x >0，x －3≠0，解得x <0，∴函数f (x )的定义域为{x |x <0}，∴x ＝－1，即方程f (x )＝0只有一个根，∴函数f (x )＝（x －1）ln （－x ）x －3的零点个数为1.故选A.答案 A8.函数f (x )＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A.(－2，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，2)解析 由已知可知，函数f (x )＝3x＋12x －2单调递增且连续，∵f (－2)＝－269<0，f (－1)＝－136<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝32>0，∴f (0)·f (1)<0，由函数零点存在性定理可知，函数f (x )＝3x ＋12x －2的一个零点所在的区间是(0，1)，故选C.答案 C9.已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A.2 B.3C.4D.与a 的值有关解析 设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出它们的图象如图所示.由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|log a x |有两个根.故选A.答案 A10.某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P (万元)和Q (万元)，且它们与投入资金x (万元)的关系是：P ＝x 4，Q ＝a2x(a >0)；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a 的最小值应为( )C.± 5D.－ 5解析 设投放x (0≤x ≤20)万元经销甲商品，则投放(20－x )万元经销乙商品，总利润y ＝P ＋Q ＝x 4＋a 2·20－x ，令y ≥5，则x 4＋a2·20－x ≥5，∴a 20－x ≥10－x 2，即a ≥1220－x 对0≤x ≤20恒成立，而f (x )＝1220－x 的最大值为5，且x ＝20时，a 20－x ≥10－x2也成立，∴a min ＝ 5.答案 A11.已知函数f (x )＝|lg x |－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x有两个零点x 1，x 2，则有( ) A.x 1x 2<0 B.x 1x 2＝1 C.x 1x 2>1D.0<x 1x 2<1解析 f (x )＝|lg x |－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x有两个零点x 1，x 2，即y ＝|lg x |与y ＝2－x有两个交点，由题意x >0，分别画y ＝2－x 和y ＝|lg x |的图象，发现在(0，1)和(1，＋∞)上分别有一个交点，不妨设x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)，那么在(0，1)上有2－x 1＝－lg x 1，即－2－x 1＝lg x 1.①在(1，＋∞)上有2－x 2＝lg x 2.②①②相加有2－x 2－2－x 1＝lg x 1x 2，∵x 2>x 1，∴2－x 2<2－x 1， 即2－x 2－2－x 1<0，∴lg x 1x 2<0， ∴0<x 1x 2<1，故选D. 答案 D12.某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为f (n )＝k (n )(n －10)，n >10(其中n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f (n )的单位为元)，而k (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ≤10，100，10<n ≤15，200，15<n ≤20，300，20<n ≤25，400，n >25.现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分.则乙所得奖励比甲所得奖励多( )A.600元B.900元C.1 600元D.1 700元解析∵k(18)＝200(元)，∴f(18)＝200×(18－10)＝1 600(元).又∵k(21)＝300(元)，∴f(21)＝300×(21－10)＝3 300(元)，∴f(21)－f(18)＝3 300－1 600＝1 700(元).故选D.答案 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.如果函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________.解析函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则f(0)＝0，∴m＋3＝0，∴m＝－3，则f(x)＝x2－3x，于是另一个零点是3.答案 314.若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________.解析由|x2－4x|－a＝0得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0<a<4，故答案为(0，4).答案(0，4)15.将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个.若每个涨价1元，则日销售量减少10个.为获得最大利润，则此商品销售价应定为每个________元.解析设每个涨价x元，则实际销售价为(10＋x)元，销售的个数为100－10x.则利润为y ＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N).因此，当x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大.答案1416.给出下列四个命题：①函数y＝f(x)，x∈R的图象与直线x＝a可能有两个不同的交点；②函数y＝log2x2与函数y＝2log2x是相等函数；③对于指数函数y＝2x与幂函数y＝x2，总存在x0，当x>x0时，有2x>x2成立；④对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若有f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有零点.其中正确的序号是________.解析 对于①，函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系，根据定义进行判定即可判断①错；对于②，函数y ＝log 2x 2与函数y ＝2log 2x 的定义域不相同，故不是相等函数，故②错；对于③，当x 0取大于等于4的值都可使当x >x 0时，有2x >x 2成立，故③正确；对于④，函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上不连续时，既使有f (a )·f (b )<0，f (x )在(a ，b )内也不一定有零点.故④错. 答案 ③三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17.(10分)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f (x )＝－8x 2＋7x ＋1； (2)f (x )＝x 2＋x ＋2； (3)f (x )＝x 3＋1.解 (1)因为f (x )＝－8x 2＋7x ＋1＝－(8x ＋1)(x －1)， 令f (x )＝0，可解得x ＝－18，或x ＝1，所以函数f (x )的零点为－18和1.(2)因为f (x )＝x 2＋x ＋2，令x 2＋x ＋2＝0，Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程x 2＋x ＋2＝0无实数解.所以f (x )＝x 2＋x ＋2不存在零点. (3)因为f (x )＝x 3＋1＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)， 令(x ＋1)(x 2－x ＋1)＝0，解得x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为－1.18.(12分)定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在(－∞，0]上递增，函数f (x )的一个零点为－12，求满足f (log 14x )≥0的x 的取值集合.解 ∵－12是函数的一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.∵y ＝f (x )是偶函数且在(－∞，0]上递增，∴当log 14x ≤0，即x ≥1时，log 14x ≥－12，解得x ≤2，即1≤x ≤2.由对称性可知，当log14x >0，即0＜x ＜1时，log 14x ≤12，解得12≤x <1.综上所述，x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.19.(12分)已知函数f (x )＝x －1＋12x 2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f (x )有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1).解 令y 1＝x －1，y 2＝－12x 2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图象(如图所示)，其中抛物线的顶点坐标为(0，2)，与x 轴的交点分别为(－2，0)，(2，0)，y 1与y 2的图象有3个交点，从而函数f (x )有3个零点.由f (x )的解析式知x ≠0，f (x )的图象在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是连续不断的曲线，且f (－3)＝136>0，f (－2)＝－12<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18>0，f (1)＝－12<0，f (2)＝12>0，即f (－3)·f (－2)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0，f (1)·f (2)<0，∴3个零点分别在区间(－3，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，(1，2)内.20.(12分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量.(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题给公式可得：0＝5log 2Q10，解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位.(2)将耗氧量Q ＝80代入题给公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.21.(12分)如图，直角梯形OABC 位于直线x ＝t (t ≥0)右侧的图象的面积为f (t ).(1)试求函数f (t )的解析式； (2)画出函数y ＝f (t )的图象. 解 (1)当0≤t ≤2时，f (t )＝S 梯形OABC －S △ODE ＝（3＋5）×22－12t ·t ＝8－12t 2，当2<t ≤5时，f (t )＝S 矩形DEBC ＝DE ·DC ＝2(5－t )＝10－2t ， 所以f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧8－12t 2，0≤t ≤2，10－2t ，2<t ≤5.(2)函数f (t )的图象如图所示.22.(12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件. (1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式； (2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ 解 (1)当0<x ≤100时，p ＝60； 当100<x ≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x ≤600.(2)设利润为y 元，则当0<x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ； 当100<x ≤600时，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x ≤600. 当0<x ≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y ＝20×100＝2 000；当100<x ≤600时，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050，∴当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6 050. 显然6 050>2 000.∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元.模块检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则(∁U A )∪B 为( ) A.{1，2，4} B.{2，3，4} C.{0，2，4}D.{0，2，3，4}解析 ∵全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{1，2，3}，∴∁U A ＝{0，4}，又B ＝{2，4}，则(∁U A )∪B ＝{0，2，4}.故选C. 答案 C2.可作为函数y ＝f (x )的图象的是( )解析 由函数的定义可知：每当给出x 的一个值，则f (x )有唯一确定的实数值与之对应，只有D 符合.故正确答案为D. 答案 D3.同时满足以下三个条件的函数是( )①图象过点(0，1)；②在区间(0，＋∞)上单调递减；③是偶函数 A.f (x )＝－(x ＋1)2＋2B.f (x )＝3|x |C.f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |D.f (x )＝x －2解析 A.若f (x )＝－(x ＋1)2＋2，则函数图象关于x ＝－1对称，不是偶函数，不满足条件③.B.若f (x )＝3|x |，则f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件②.C.若f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |，则三个条件都满足.D.若f (x )＝x －2，则f (0)无意义，不满足条件①.故选C. 答案 C4.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3（2x－1），x ≥2，则f (f (2))等于( ) A.0 B.1 C.2D.3 解析 f (2)＝log 3(22－1)＝1，f (1)＝2e1－1＝2，即f (f (2))＝2. 答案 C5.函数f (x )＝2x －1＋log 2x 的零点所在区间是( )A ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.(1，2)解析 ∵函数f (x )＝2x －1＋log 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，f (1)＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0，故连续函数f (x )的零点所在区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选C.答案 C6.幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值是( ) A.13 B.－13C.3D.－3解析 设幂函数为y ＝x α，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，所以有－18＝(－2)α，解得：α＝－3，所以幂函数解析式为y ＝x －3，由f (x )＝27，得：x －3＝27，所以x ＝13.答案 A7.函数f (x )＝2－x ＋ln(3x ＋2)＋12x－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0∪(0，2] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤23，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1∪(1，2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－23，2 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，3x ＋2>0，2x －1≠0，解得－23<x ≤2且x ≠0，故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0∪(0，2].答案 A8.设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c <a <b B.b <a <c C.c <b <aD.a <b <c解析 因为y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是增函数，且0.5>0.3，所以0.50.5>0.30.5，即a >b ，c ＝log 0.30.2>log 0.30.3＝1，而1＝0.50>0.50.5，所以b <a <c .故选B.答案 B9.若函数f (x )＝(k －1)a x－a －x(a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )解析 由f (x )＝(k －1)a x－a －x(a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，所以k ＝2，0<a <1，再由对数的图象可知A 正确. 答案 A10.定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)且x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)等于( )A.1B.45C.－1D.－45解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)， 因为4<log 220<5，所以0<log 220－4<1，－1<4－log 220<0， 所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f (4－log 220) ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝2log 245＋15＝1.故选A. 答案 A11.若f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，则(x －1)f (x )<0的解集是( )A.(－3，0)∪(1，＋∞)B.(－3，0)∪(0，3)C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)D.(－3，0)∪(1，3)解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，∴在(－∞，0)内f (x )也是增函数，又∵f (－3)＝0，∴f (3)＝0，∴当x ∈(－∞，－3)∪(0，3)时，f (x )<0；当x ∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f (x )>0；∵(x －1)·f (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，f （x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，f （x ）<0，可解得－3<x <0或1<x <3，∴不等式的解集是(－3，0)∪(1，3)，故选D. 答案 D12.已知当x ∈[0，1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[23，＋∞) B.(0，1]∪[3，＋∞) C.(0，2]∪[23，＋∞)D.(0，2]∪[3，＋∞)解析 y ＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2，相当于y ＝x 2向右平移1m 个单位，再将函数值放大m 2倍得到的；y ＝x ＋m 相当于y ＝x 向上平移m 个单位.①若0＜m ≤1，两函数的图象如图1所示，可知两函数图象在x ∈[0，1]上有且只有1个交点，恒成立；②若m ＞1，两函数的大致图象如图2所示，为使两函数在x ∈[0，1]上有且只有1个交点，需要(m －1)2≥1＋m ，得m ≥3.综上，m ∈(0，1]∪[3，＋∞). 答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13.当a >0且a ≠1时，函数f (x )＝ax －2－3必过定点________.解析 因为a 0＝1，故f (2)＝a 0－3＝－2，所以函数f (x )＝a x －2－3必过定点(2，－2).答案 (2，－2)14.用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2，4)上的近似解，验证f (2)f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0∈________(填区间).解析 ∵f (2)·f (4)＜0，f (2)·f (3)＜0， ∴f (3)·f (4)＞0，故x 0∈(2，3). 答案 (2，3)15.设U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，(∁U A )∩B ＝{3，7}，(∁U B )∩A ＝{2，8}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1，5，6}，则集合A ＝________，B ＝________.解析 (∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{1，5，6}， 所以A ∪B ＝{2，3，4，7，8，9}，又(∁U A )∩B ＝{3，7}，(∁U B )∩A ＝{2，8}，所以A ∩B ＝{4，9}，所以A ＝{2，4，8，9}，B ＝{3，4，7，9}.答案 {2，4，8，9} {3，4，7，9}16.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋4x ，（x ≥4），log 2x ，（0<x <4），若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.解析 关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，等价于函数f (x )与函数y ＝k 的图象有两个不同的交点，作出函数的图象如图.由图可知实数k 的取值范围是(1，2). 答案 (1，2)三、解答题(本大题共6个小题，共70分) 17.(10分)计算下列各式的值： (1)1.5－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋80.25×42－；(2)(log 3312)2＋log 0.2514＋9log 55－log 31.解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋23×14×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋9×12－0＝14＋1＋92＝234.18.(12分)已知函数f (x )是R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x＋x ，求f (x )的解析式.解 由题意，当x ＝0时，f (x )＝0.∵x >0时，f (x )＝2x＋x ，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x－x ，又∵函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x＋x ， 综上所述，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2－x＋x ，x <0，0，x ＝0，2x ＋x ，x >0.19.(12分)已知集合A ＝{x |3≤3x≤27}，B ＝{x |log 2x ＞1}. (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围. 解 (1)A ＝{x |3≤3x≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2x ＞1}＝{x |x ＞2}. A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}. (2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a ＞1时，C ⊆A ，则1＜a ≤3； 综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3].20.(12分)已知函数f (x )＝log a (2x ＋1)，g (x )＝log a (1－2x )(a >0且a ≠1). (1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由； (3)确定x 为何值时，有f (x )－g (x )>0.解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，1－2x >0，∴－12＜x ＜12.∴函数F (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <12.(2)由(1)知F (x )的定义域关于原点对称， 又F (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (－2x ＋1)－ log a (1＋2x )＝－F (x )， ∴F (x )为奇函数.(3)∵f (x )－g (x )>0，∴log a (2x ＋1)－log a (1－2x )>0， 即log a (2x ＋1)>log a (1－2x ).①当0<a <1时，0<2x ＋1<1－2x ，∴－12<x <0.②当a >1时，2x ＋1>1－2x >0，∴0<x <12.21.(12分)甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条. 乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6年10个. 请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年扩大还是缩小了？说明理由； (3)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由.解 由题意可知，图甲图象经过(1，1)和(6，2)两点，从而求得其解析式为y甲＝0.2x ＋0.8，图乙图象经过(1，30)和(6，10)两点.从而求得其解析式为y 乙＝－4x ＋34.(1)当x ＝2时，y 甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y 乙＝－4×2＋34＝26，y 甲×y 乙＝1.2×26＝31.2. 所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条.(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万条)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万条)，可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规模比第1年缩小了. (3)设当第m 年时的规模，即总出产量为n ， 那么n ＝y 甲·y 乙＝(0.2m ＋0.8)(－4m ＋34) ＝－0.8m 2＋3.6m ＋27.2＝－0.8(m 2－4.5m －34)＝－0.8(m －2.25)2＋31.25，因此，当m ＝2时，n 最大值为31.2， 即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条. 22.(12分)已知函数f (x )＝a ·2x －2＋a2x＋1(a ∈R ).(1)试判断f (x )的单调性，并证明你的结论； (2)若f (x )为定义域上的奇函数， ①求函数f (x )的值域；②求满足f (ax )<f (2a －x 2)的x 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，且f (x )＝a －22x ＋1.任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝a －22x 2＋1－a ＋22x 1＋1＝2（2x2－2x1）（2x 2＋1）（2x1＋1）. ∵y ＝2x在R 上单调递增，且x 1<x 2， ∴0<2x1<2x2，2x2－2x1>0，2x1＋1>0，2x2＋1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数.(2)∵f (x )是定义域上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x ＋1＝0对任意实数x 恒成立，化简得2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫2·2x2x ＋1＋22x ＋1＝0，。
高中数学课时分层作业二十三方程的根与函数的零点含解析必修1
课时分层作业二十三方程的根与函数的零点（30分钟60分）一、选择题(每小题5分,共30分)1。
已知函数f(x）=若f(f（0))=4a，则实数a等于（）A。
B. C.2D。
9【解析】选C。
由题知f(0）=2，f(2)=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2。
2.设函数f(x）=，若f（m）=3,则实数m的值为（)A。
—2 B。
8 C.1 D.2【解析】选D。
因为当0<x〈2时,log2x<1，所以由f（m)=3得m ≥2,所以m2-1=3,解得m=2。
3.函数y=f（x)在区间［1，4]上的图象是连续不断的曲线,且f(1)·f(4）〈0，则函数y=f（x）（）A。
在(1, 4）内至少有一个零点B.在(1，4)内至多有一个零点C。
在(1，4)内有且只有一个零点D.在（1, 4）内不一定有零点【解析】选A。
由已知y=f（x）的图象在区间[1，4]上是连续不断的曲线,且f(1)·f（4)〈0,故在（1，4）内至少有一零点.4。
函数f(x）=—x3—3x+5的零点所在的大致区间是()A.(-2，0）B。
(0，1) C.(1，2）D。
(2,3)【解析】选C。
因为函数f(x)=—x3-3x+5是单调递减函数,又因为f(1)=—13—3×1+5=1>0，f(2）=—23-3×2+5=-9〈0,所以函数f（x）的零点必在区间(1，2)上，故必存在零点的区间是（1,2）.5.已知x0是函数f（x)=2x+的一个零点.若x1∈（1，x0)，x2∈（x0，+∞）,则有（）A.f(x1)〈0，f(x2）<0B.f（x1）〈0,f(x2）>0C.f（x1）〉0，f(x2）<0D.f（x1）>0，f（x2)〉0【解析】选B。
因为x〉1时,y=2x，y=都是增函数，所以f（x)=2x+在(1，+∞)上是增函数，所以有且只有一个零点x0，根据零点存在性定理及函数增减性知，f（x1）<0，f（x2)〉0。
高中数学-函数零点问题及例题解析
高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
高中数学必修一方程的根与函数的零点(一)
课堂小结
1. 知识方面：
零点的概念、求法、判定；
课堂小结
1. 知识方面：
零点的概念、求法、判定； 2. 数学思想方面： 函数与方程的相互转化，即转化思想 借助图象探寻规律，即数形结合思想.
课后作业
1. 阅读教材P.86~ P.88. 2. 《习案》3.1第一课时.
播放几何画板
思考题 若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是 2和3，求loga25＋b2.
方程 函数 判别式 ax2＋bx＋c＝0 y＝ax2＋bx＋c 的根 的零点 ＞0 ＝0 ＜0
探究3 二次函数的零点如何判定? 对于ห้องสมุดไป่ตู้次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式＝b2－4ac.
方程 函数 判别式 ax2＋bx＋c＝0 y＝ax2＋bx＋c 的根 的零点 ＞0 两不相等实根 ＝0 ＜0
y
4 2
的零点，并画出它的图象.
-2
B O
2
x
零点为－1，1，2.
-2
-4
拓展
考察函数 ①y＝lgx ②y＝log2(x＋1)
③y＝2x
的零点.
④y＝2x－2
探究4
观察二次函数 f(x)＝x ―2x―3 的图象， 2 如右图，我们发现函数 f(x)＝x ―2x―3 在 y 区间[―2, 1]上有零点. 计算 f(―2)f(1)的乘积， 你能发现这个乘积有什么 特点？在区间[2, 4]上是否 x 也具有这种特点呢？ O
3.1.1方程的根与 函数的零点（一）
复习引入
观察下列三组方程与相应的二次函数 方 程 x2－2x－3＝0 x2－2x＋1＝0 x2－2x＋3＝0 函 数 y＝x2－2x－3 y＝x2－2x＋1 y＝x2－2x＋3
高中数学函数的零点练习及答案
高中数学函数的零点练习及答案题型一：函数的零点【例1】 若1()x f x x-=，则方程(4)f x x =的根是( ) A ．12B ．－12C ．2D ．－2【考点】函数的零点 【难度】1星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】A【例2】 若函数1y ax =+在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是（ ）.A. 1a >-B. 1a <-C. 1a >D. 1a < 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B【例3】 已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是 . 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 ∵在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =， 则(2)(0)0f f -≤，∴ (64)(4)0m --⨯-≤，解得23m ≤-.所以， 实数m 的取值范围是2(,]3-∞-.点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在性定理，转化得到有关参数的不等式【答案】2(,]3-∞-典例分析【例4】 函数()23x f x =-的零点所在区间为（ ）A. （-1，0）B. （0，1）C. （1，2）D. （2，3）【考点】函数的零点 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】C【例5】 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.A. (1, 2)B. (2 , 3)C. (3, 4)D. (4, 5) 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 易知函数()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数.∵(1)ln12640f =+-=-<，(2)ln 246ln 220f =+-=-<，(3)ln366ln30f =+-=>.∴ (2)(3)0f f <，即函数()f x 的零点在区间(2,3). 所以选B.【答案】B【例6】 函数()2log 21f x x x =+-的零点必落在区间 （ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81B.⎪⎭⎫⎝⎛21,41C.⎪⎭⎫⎝⎛1,21 D.(1,2)【考点】函数的零点 【难度】2星【题型】选择【关键词】2009年，泉州市，高考模拟 【解析】 【答案】 C【例7】 函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为（ ）.A ．（－1，0） B ．（0，1） C ．（1，2） D ．（1，e ） 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】【答案】B【例8】 若函数()()01x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 . 【考点】函数的零点【难度】2星【题型】填空【关键词】2009年，山东文，高考【解析】 设函数(0,xy a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数()()01x f x a x a a a =-->≠且有两个零点, 就是函数(0,xy a a =>且1}a ≠与函数y x a=+有两个交点,由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点,不符合,当1>a 时,因为函数(1)x y a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点（0，a ）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是}1|{>a a .【答案】}1|{>a a【例9】 利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）3()21f x x x =--+； （2）1()32x f x e x +=++.【考点】函数的零点 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）易知函数3()21f x x x =--+在定义域R 上是减函数.用计算器或计算机作出,()x f x 的对应值表或图象.x-3-2 -1 0 1 2 3 ()f x 34 13 4 1 -2 -11 -32由列表或图象可知，(0)0f >，(1)0f <，即(0)(1)0f f <，说明函数()f x 在区间(0,1)内有零点，且仅有一个. 所以函数()f x 的零点所在大致区间为(0,1). （2）易知函数1()32x f x e x +=++在定义域R 上是增函数.用图形计算器或计算机作出图象.由图象可知，(2)0f -<，(1)0f ->，即(2)(1)0f f --<，说明函数()f x 在区间(2,1)--内有零点，且仅有一个. 所以函数()f x 的零点所在大致区间为(2,1)--.【答案】（1）(0,1)（2）(2,1)--【例10】 已知函数()f x 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.x－2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ()f x －3.511.022.371.56－0.381.232.773.454.89【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点【例11】 画出函数3()231f x x x =-+的图象，判断函数在以下区间(-1.5，-1)，(0，0.5)，(0.8，1.5)内有无零点，并判断零点的个数.【考点】函数的零点【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】通过作出x、()f x的对应值表(如下).x-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5()f x-1.25 2 2.25 1 -0.25 0 3.25所以图象为由上表和上图可知，()f f-⋅-<，说明这个函数在区间1.510f-<，()10f->，即()()1.50()f=，所以1也是它的零1.5,1--内有零点.同样，它在区间(0，0.5)内也有零点.另外，()10点.由于函数()-∞-和(1，+∞)内是增函数，所以它共有3个零点.．f x在定义域(), 1.5【答案】共有3个零点【例12】求函数32=--+的零点，并画出它的图象.y x x x22【考点】函数的零点【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】因为322=--+=---=--+22(2)(2)(2)(1)(1)y x x x x x x x x x所以函数的零点为-1，1，23个零点把x轴分成4个区间：(-∞，-1)、(-1，1)、(1，2)、(2，+∞).在这四个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：x-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5y-4.38 0 1.88 2 1.13 2 -0.63 0 2.63在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.【答案】零点为-1，1，2【例13】 函数()y f x =的图象是在R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0f f >，则()y f x =在区间[1,2]上（ ）.A. 没有零点B. 有2个零点C. 零点个数为偶数D. 零点个数为k ，k N ∈【考点】函数的零点 【难度】3星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】D【例14】 已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.【考点】函数的零点 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2009年，北京市石景山，高考一模 【解析】 【答案】①③④【例15】 若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1x f x e =-D. ()1ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【考点】函数的零点 【难度】3星 【题型】选择【关键词】2009年，福建文，高考【解析】 ()41f x x =-的零点为14x =,()2(1)f x x =-的零点为1x =, ()1x f x e =-的零点为0x =,()1ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点为32x =.现在我们来估算()422xg x x =+-的零点，因为()01g =-,112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以g(x)的零点x ∈(0, 21),又函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，只有()41f x x =-的零点适合，故选A 。
2021届高中数学新人教版高中数学第一册方程的根与函数的零点含解析
3.1.1方程的根与函数的零点课标要点课标要点学考要求高考要求1.函数零点的概念a b2.f(x)＝0有实根与y＝f(x)有零点的关系b c3.函数零点的判定b c知识导图学法指导1.会用因式分解、公式法等求一元二次方程的根，并明白与相应二次函数图象间的关系．2．熟悉基本函数(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数)的图象与性质，能根据图象判断零点的情况.知识点一函数的零点1．零点的定义对于函数y＝f(x)，把f(x)＝0的实数x，叫做函数y＝f(x)的零点．函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．2．方程的根与函数零点的关系知识点二函数零点的判定函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，．(3,4)(2)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．①f(x)＝－x2－4x－4；②f(x)＝4x＋5；③f(x)＝log3(x＋1)．＝f(x)的图象，图见解析方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数思路二：画出函数图象，依据图象与x上是一条连续不断的)内至少有一个零解析：方法一 方程x ＋2＝0(x <0)的根为x ＝－2，方程x 2－1＝0(x >0)的根为x ＝1，所以函数f (x )有2个零点－2与1.方法二 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <0，x 2－1，x >0的图象，如图所示，观察图象可知，f (x )的图象与x 轴有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．答案：C解决分段函数的零点个数问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量的取值范围，代入相应的解析式求解零点，注意自变量的取值范围．类型三 判断函数的零点所在的大致区间例3 设x 0是函数f (x )＝ln x ＋x －4的零点，则x 0所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【解析】 因为f (2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3－1>ln e －1＝0，f (2)·f (3)<0.由零点存在性定理，得x 0所在的区间为(2,3)．【答案】 C根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图象分析．方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练3 函数f (x )＝2x －1＋x －5的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解析：f (2)＝22－1＋2－5<0，f (3)＝23－1＋3－5>0，故f (2)·f (3)<0，又f (x )在定义域内是增函数，则函数f (x )＝2x －1＋x －5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．答案：C利用f(a)·f(b)<0求零点区间.[能力提升](20分钟，40分)11．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x －3－2－10123 4y 6m －4－6－6－4n 6 不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是()A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)解析：因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根，又由f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2,4)内必有根．答案：A12．函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数是________．解析：方法一函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点．方法二因为f(1)＝－2，f(2)＝ln 2＋1>0.所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．答案：113．函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．解析：由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，画出函数y ＝2|x|－x2的图象，如图所示，观察图象可知，0<a－1<1，所以1<a<2.即a的取值范围为(1,2)．。
高中数学高考总复习----函数与方程知识讲解及巩固练习题(含答案解析)
高中数学高考总复习----函数与方程知识讲解及巩固练习题（含答案解析）【考纲要求】1.了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．3.理解函数与方程之间的关系，并能解决一些简单的数学问题。
【知识网络】【考点梳理】1．函数零点的理解（1）函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x 轴交点的个数．（2）变号零点与不变号零点①若函数在零点x 0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点．②若函数在零点x 0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点．③若函数在区间[a ，b]上的图象是一条连续的曲线，则是在区间（a ，b ）内有零点的充分不必要条件．要点诠释：如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。
2．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根．（2）求曲线与的交点的横坐标，实际上就是求函数的零点，即求的根．要点诠释：如果函数的图象不能画出，应通过适当的变形转换成另外的函数。
3．关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题函数与方程函数的零点二分法函数与方程的关系（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程的根，可以构造函数），函数的零点即为方程的根．【典型例题】类型一、判断函数零点的位置例1.函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析：∵f(0)＝1>0，f(－1)＝<0，∴选B.答案：B点评：求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.举一反三：【变式】已知函数，当时，函数的零点,则．.解：用数形结合法作出及的图象，作出及由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故．类型二、确定函数零点的个数例2.二次函数中，，则函数的零点的个数是()A.1B.2C.0D.无法确定解法1：∴方程有两个不相等的实数根∴函数有两个零点，选B.解法2：，不论哪种情况，二次函数图象与x轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B.点评：可以利用函数图象或方程的判别式.举一反三：【变式】设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是()A．[－4，－2]B．[－2,0]C．[0,2]D．[2,4]解析：本题判断f(x)＝0在区间内是否成立，即4sin(2x＋1)＝x是否有解．如图：显然在[2,4]内曲线y＝4sin(2x＋1)，当x＝54π－12时，y＝4，而曲线y＝x，当x＝54π－12<4，有交点，故选A.答案：A例3.（2015安徽三模）定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（）A．B．C．D．答案：D【解析】当时，，当时，，为奇函数时，画出和的图像如图所示：共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为，，，，，则，，而即即所以，故选D.举一反三：【变式1】（2015河东区一模）函数在定义域内零点的个数为（）A.0B.1C.2D.3答案：C【解析】由题意，函数的定义域为；求函数在定义域内零点的个数等价于求函数和函数的图像在上的交点个数，在同一个坐标系下画出两个函数的图像如下：由图得，两个函数图像有两个交点，故对应函数有两个零点.故选C.【变式2】已知函数，.若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围。
高中数学总复习 函数的零点与方程的根
知识梳理
(3)函数零点存在定理 一般地，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有 f(a)·f(b)<0 ，则 存在点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.如果知道y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增 或单调递减，就进一步断定，方程f(x)＝0在(a，b)内恰有一个根. 2.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地 把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法叫作二分法.
思维升华
确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必 有零点. (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有 交点来判断.
跟踪训练1 (1)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋ (x－c) (x－a)的两个零点分别位于区间
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例3 (2023·安阳模拟)已知函数f(x)＝ xln2＋x＋2x1＋，2，x>x0≤0，的图象与直线y＝k －x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是
A.－41，＋∞ C.－41，2
B.(0，＋∞)
√D.(0,2]
如图所示，作出函数f(x)的大致图象(实线)，平移直线y＝k－x，
命题点2 根据函数零点的范围求参数
例4 函数f(x)＝2x－2 －a的零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 x
√A.0<a<3
B.1<a<3
人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数 习题2.1》_24
函数的应用1．题型为选择题或填空题，主要考查零点个数的判断及零点所在区间．2．函数的零点与方程的根的关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．[典题示例] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤0，x －2＋ln x ，x ＞0的零点个数为________．[解析] 令f (x )＝0，得到⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ≤0，解得x ＝－1；或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋ln x ＝0，x ＞0，在同一个直角坐标系中画出y ＝2－x 和y ＝ln x 的图象，观察交点个数，如图所示．函数y ＝2－x 和y ＝ln x ，x ＞0，在同一个直角坐标系中交点个数是1，所以函数f (x )在x ＜0时的零点有一个，在x ＞0时零点有一个，所以f (x )的零点个数为2.[答案] 2 [类题通法]确定函数零点个数的方法(1)解方程f (x )＝0有几个根．(2)利用图象找y ＝f (x )的图象与x 轴的交点或转化成两个函数图象的交点个数． (3)利用f (a )·f (b )与0的关系进行判断．[题组训练]1．函数f (x )＝lg x －9x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9)D ．(9,10)解析：选D ∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0，f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0， ∴f (9) · f (10)＜0.函数的零点问题∴f (x )＝lg x －9x的零点的大致区间为(9,10)．2．已知函数f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选C ∵f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2在(0，＋∞)是增函数， 又f (1)＝ln 1－⎝⎛⎭⎫12－1＝ln 1－2＜0， f (2)＝ln 2－⎝⎛⎭⎫120＜0， f (3)＝ln 3－⎝⎛⎭⎫121＞0， ∴x 0∈(2,3)．3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________． 解析：在同一直角坐标系内，画出y 1＝⎝⎛⎭⎫12|x |和y 2＝m 的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0＜m ＜1.答案：(0,1)1．通过对近几年高考试题的分析可以看出，对函数的实际应用问题的考查，更多地以实际生活为背景，设问新颖、灵活；题型以解答题为主，难度中等偏上；主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．2．函数实际应用的示意图[典题示例] 某网店经营的某消费品的进价为每件12元，周销售量p (件)与销售价格x (元)的关系，如图中折线所示，每周各项开支合计为20元．(1)写出周销售量p (件)与销售价格x (元)的函数关系式； (2)写出利润周利润y (元)与销售价格x (元)的函数关系式；函数的应用(3)当该消费品销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润． [解] (1)由题设知，当12≤x ≤20时，设p ＝ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝26，20a ＋b ＝10，∴a ＝－2，b ＝50. ∴p ＝－2x ＋50，同理得，当20＜x ≤28时，p ＝－x ＋30，所以p ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋50，12≤x ≤20，－x ＋30，20＜x ≤28.(2)当12≤x ≤20时，y ＝(x －12)(－2x ＋50)－20＝－2x 2＋74x －620； 当20＜x ≤28时，y ＝(x －12)(－x ＋30)－20＝－x 2＋42x －380.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋74x －620，12≤x ≤20，－x 2＋42x －380，20＜x ≤28. (3)当12≤x ≤20时，y ＝－2x 2＋74x －620， ∴x ＝372时，y 取得最大值1292. 当20＜x ≤28时，y ＝－x 2＋42x －380， ∴x ＝21时，y 取得最大值61. ∵1292＞61，∴该消费品销售价格为372时，周利润最大，最大周利润为1292. [类题通法]建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x ，y 分别表示． (2)建立函数模型，将变量y 表示为x 的函数，此时要注意函数的定义域． (3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．[题组训练]1.某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速率越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量保持不变． 其中说法正确的是序号是________．解析：由t ∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0＜α＜1)，反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3,8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．答案：②③2．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m 分钟后甲桶中的水只有a8升，则m的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D 令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，由已知得12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.3．某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种投资生产，打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：时需上交0.05x 2万美元的特别关税．(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x (x ∈N)之间的函数关系式；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润．解：(1)由题知y 1＝10x －(20＋ax )＝(10－a )x －20,0≤x ≤200且x ∈N ；y 2＝18x －(40＋8x )－0.05x 2＝－0.05x 2＋10x －40＝－0.05(x－100)2＋460,0≤x ≤120且x ∈N.(2)∵3≤a ≤8，∴10－a ＞0， ∴y 1＝(10－a )x －20为增函数． 又0≤x ≤200，x ∈N ，∴x ＝200时y 1取最大值，即生产甲产品的最大年利润为(10－a )×200－20＝1 980－200a (万美元)．又y 2＝－0.05(x －100)2＋460,0≤x ≤120，x ∈N ，∴x ＝100时y 2取最大值，即生产乙产品的最大年利润为460万美元．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x ＜0，x (x －4)，x ≥0，则该函数的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 当x ＜0时，令x (x ＋4)＝0，解得x ＝－4；当x ≥0时，令x (x －4)＝0，解得x ＝0或4.综上，该函数的零点有3个．2．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(0,1)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选A f (1)＝ln 2－2＝ln 2e 2＜ln 1＝0，f (2)＝ln 3－1＝ln 3e＞ln 1＝0，所以函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是(1,2)．3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D 设该家具的进货价是x 元，由题意得132(1－10%)－x ＝x ·10%，解得x ＝108元．4．下列函数：①y ＝lg x ；②y ＝2x ；③y ＝x 2；④y ＝|x |－1，其中有2个零点的函数是( ) A ．①② B ．③④ C ．②③D ．④解析：选D 分别作出这四个函数的图象，其中④y ＝|x |－1的图象与x 轴有两个交点，即有2个零点，选D.5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]内( )A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一实根解析：选B 由于f (a )f (b )＜0，则f (a )＜0＜f (b )或f (b )＜0＜f (a )，又函数f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，则至多有一个实数x 0∈[a ，b ]，使f (x 0)＝0，即方程f (x )＝0在区间[a ，b ]内至多有一实根．6．已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关解析：选A 设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|log a x |有两个根．故选A.7．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，宽减少x2时，面积达到最大，此时x 的值为________．解析：由题意，S ＝(4＋x )⎝⎛⎭⎫3－x 2，即S ＝－12x 2＋x ＋12，∴当x ＝1时，S 最大． 答案：18．某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，若超过50套就可以每套比出厂价低30元给予优惠．如果按出厂价购买应付a 元，但再多买11套就可以按优惠价结算，恰好也付a 元(价格为整数)，则a 的值为________．解析：设按出厂价y 元购买x (x ≤50)套应付a 元， 则a ＝xy .再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a 元，则a ＝(x ＋11)(y －30)，其中x ＋11＞50.∴xy ＝(x ＋11)(y －30)(39＜x ≤50)．∴3011x ＝y －30.又x ∈N ，y ∈N(因价格为整数)，39＜x ≤50， ∴x ＝44，y ＝150，a ＝44×150＝6 600. 答案：6 6009．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为________． 解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，如下图，由函数的图象可知a ＞1时两函数图象有两个交点，0＜a ＜1时两函数图象有唯一交点，故a ＞1.答案：(1，＋∞)10．某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在规定的时间内，产量减少3件．如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件．(1)请写出规定时间内产品的总利润y 与档次x 之间的函数关系式，并写出x 的定义域； (2)在规定的时间内，生产哪一档次产品的总利润最大？并求出最大利润．解：(1)由题意知，生产第x 个档次的产品每件的利润为8＋2(x －1)元，该档次的产量为60－3(x －1)件．则规定时间内第x 档次的总利润y ＝(2x ＋6)(63－3x )＝－6x 2＋108x ＋378，其中x ∈{x ∈N *|1≤x ≤10}．(2)y ＝－6x 2＋108x ＋378＝－6(x －9)2＋864，则当x ＝9时，y 有最大值为864.故在规定的时间内，生产第9档次的产品的总利润最大，最大利润为864元．11．A 、B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全．核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月．(1)求x 的范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电费用最小． 解：(1)x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝0.25×20x 2＋0.25×10(100－x )2＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)由y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003. 则当x ＝1003km 时，y 最小． 故当核电站建在距A 城1003km 时，才能使供电费用最小．12．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：设该单位每月获利为S 元， 则S ＝100x －y＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( ) A ．A ⊆B B ．A ∩B ＝{2} C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}解析：选D A 显然错误；A ∩B ＝{2,3}，B 错；A ∪B ＝{1,2,3,4}，C 错，故选D. 2．(2017·山东高考)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：选D 由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3(2x－1)，x ≥2，则f (f (2))＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C ∵f (2)＝log 3(22－1)＝1. ∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.4．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2－2D ．y ＝log 12x解析：选A ∵y ＝x－1是奇函数，y ＝log 12x 不具有奇偶性，故排除B 、D ，又函数y ＝x 2－2在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，故排除C ，只有选项A 符合题意．5．函数y ＝log 2|1－x |的图象是( )解析：选D 函数y ＝log 2|1－x |可由下列变换得到： y ＝log 2x →y ＝log 2|x |→y ＝log 2|x －1|→y ＝log 2|1－x |.故选D.6．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：选A 设f (x )＝x α，则22＝⎝⎛⎭⎫12α，∴α＝12，f (2)＝212，所以log 2f (2)＝log 2212＝12. 7．函数f (x )＝lg x －1x 的零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,10) C ．(10,100)D ．(100，＋∞)解析：选B ∵f (1)＝－1＜0，f (10)＝1－110＝910＞0，f (100)＝2－1100＞0， ∴f (1)·f (10)＜0，由函数零点存在性定理知，函数f (x )＝lg x －1x 的零点所在的区间为(1,10)．8．设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <c <a解析：选B ∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B. 9．如右图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中整体水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是下列图象中的( )解析：选B 开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢．故选B.10．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则有( )A ．f (x )是奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x ) B ．f (x )是奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x ) C ．f (x )是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x ) D ．f (x )是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x ) 解析：选C ∵f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，排除A 、B.又f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋⎝⎛⎭⎫1x 21－⎝⎛⎭⎫1x 2＝1＋x 2x 2－1＝－f (x )，故选C. 11．已知函数f (x )＝m ＋log 2x 2的定义域是[1,2]，且f (x )≤4，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，2) C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选A 因为f (x )＝m ＋2log 2x 在[1,2]是增函数，且由f (x )≤4，得f (2)＝m ＋2≤4，得m ≤2.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：选C 作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.于是lg a ＋lg b ＝0. 故ab ＝1.因而abc ＝c .由图知10<c <12，故abc ∈(10,12)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设U ＝R ，已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＞a }，且(∁U A )∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵A ＝{x |x ＞1}， ∴∁U A ＝{x |x ≤1}．由B ＝{x |x ＞a }，(∁U A )∪B ＝R 可知a ≤1. 答案：(－∞，1]14．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)解析：设n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n ≤0.2，即2n ≥15，解得n ≥log 215，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．答案：415．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于________． 解析：∵0＜1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵2＞1，∴f (2)＝4＋2a ，∴f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a ＝2.答案：216．已知函数f (x )＝lg(2x －b )(b 为常数)，若x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，则b 的取值范围是________．解析：∵要使f (x )＝lg(2x －b )在x ∈[1，＋∞)上，恒有f (x )≥0，∴有2x －b ≥1在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即2x ≥b ＋1恒成立．又∵指数函数g (x )＝2x 在定义域上是增函数．∴只要2≥b ＋1成立即可，解得b ≤1.答案：(－∞，1]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |2＜2x ＜8}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}．(1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，A ＝{x |2＜2x ＜8}＝(1,3)，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}＝[2,5]，故A ∩B ＝[2,3)．(2)∁R A ＝(－∞，1]∪[3，＋∞)．故由B ⊆∁R A 知，a ＋3≤1或a ≥3，故实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．18．(本小题满分12分)已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4,2)．(1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )，求g (x )的解析式及定义域；(3)在(2)的条件下，求g (x )的单调减区间．解：(1)由已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4,2)，则2＝log a 4，即a 2＝4，又a ＞0且a ≠1，所以a ＝2.(2)g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )．由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，1＋x ＞0，得－1＜x ＜1，定义域为(－1,1)．(3)g (x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)，其单调减区间为[0,1)．19．(本小题满分12分)若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y >0，满足f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫13<2.解：(1)在f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )中，令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)，∴f (1)＝0.(2)∵f (6)＝1，∴f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫13<2＝f (6)＋f (6)．∴f (3x ＋9)－f (6)<f (6)，即f ⎝⎛⎭⎫x ＋32<f (6)．∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，x ＋32<6.解得－3<x <9， 即不等式的解集为(－3,9)．20．(本小题满分12分)随着新能源的发展，电动汽车在全社会逐渐普及开来，据某报记者了解，某市电动汽车国际示范区运营服务公司逐步建立了全市乃至全国的分时租赁服务体系，为新能源汽车分时租赁在全国的推广提供了可复制的市场化运营模式．现假设该公司有750辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日1 725元．调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出的电动汽车就增加3辆．设每辆电动汽车的日租金为x (元)(60≤x ≤300，x ∈N *)，用y (元)表示出租电动汽车的日净收入(日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时，才能使日净收入最多？解：(1)当60≤x ≤90，x ∈N *时，y ＝750x －1 725；当90＜x ≤300，x ∈N *时，y ＝[750－3(x －90)]x －1 725，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧750x －1 725，60≤x ≤90，x ∈N *，－3x 2＋1 020x －1 725，90＜x ≤300，x ∈N *. (2)对于y ＝750x －1 725,60≤x ≤90，x ∈N *，∵y 在[60,90](x ∈N *)上单调递增，∴当x ＝90时，y max ＝65 775.对于y ＝－3x 2＋1 020x －1 725＝－3(x －170)2＋84 975，90＜x ≤300，x ∈N *，当x ＝170时，y max ＝84 975.∵84 975＞65 775，∴当每辆电动汽车的日租金为170元时，日净收入最多．21．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －1.(1)求f (3)＋f (－1)；(2)求f (x )的解析式；(3)若x ∈A ，f (x )∈[－7,3]，求区间A .解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (3)＋f (－1)＝f (3)－f (1)＝23－1－2＋1＝6.(2)设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝2－x －1， ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x ＋1， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，－2－x ＋1，x ＜0.(3)作出函数f (x )的图象，如图所示．根据函数图象可得f (x )在R 上单调递增，当x ＜0时，－7≤－2－x ＋1＜0， 解得－3≤x ＜0；当x ≥0时，0≤2x －1≤3，解得0≤x ≤2；∴区间A 为[－3,2]．22．(本小题满分12分)对于函数f (x )＝a －2b x＋1(a ∈R ，b ＞0，且b ≠1)． (1)探索函数y ＝f (x )的单调性；(2)求实数a 的值，使函数y ＝f (x )为奇函数；(3)在(2)的条件下，令b ＝2，求使f (x )＝m (x ∈[0,1])有解的实数m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为R ，设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫a －2bx 1＋1－⎝⎛⎭⎫a －2bx 2＋1＝2(bx 1－bx 2)(bx 1＋1)(bx 2＋1).当b ＞1时，由x 1＜x 2，得bx 1＜bx 2，从而bx 1－bx 2＜0，于是f (x 1)－f (x 2)＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，此时函数f (x )在R 上是单调增函数； 当0＜b ＜1时，由x 1＜x 2，得bx 1＞bx 2，从而bx 1－bx 2＞0，于是f (x 1)－f (x 2)＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)， 此时函数f (x )在R 上是单调减函数．(2)函数f (x )的定义域为R ，由f (0)＝0得a ＝1. 当a ＝1时，f (x )＝1－2b x ＋1＝b x －1b x ＋1， f (－x )＝1－2b －x ＋1＝b －x －1b －x ＋1＝1－b x 1＋b x . 满足条件f (－x )＝－f (x )，故a ＝1时，函数f (x )为奇函数．(3)f (x )＝1－22x＋1， ∵x ∈[0,1]，∴2x ∈[1,2]，2x ＋1∈[2,3]，22x＋1∈⎣⎡⎦⎤23，1， ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，13， 要使f (x )＝m (x ∈[0,1])有解，则0≤m ≤13，即实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，13.。
高中数学函数零点问题必考点梳理+真题精练(附答案)
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由图可知：当
0
m
1 2
时，两图象有两个不同的交点，
在区间 1,1 上方程 f x mx m 0 有两个不同的实根，故选：B
例 5．（2020·江苏宝应中学高三三模）已知函数 f x 2ln x2 3x 3 ，其中x 表示不大于 x 的
最大整数（如1.6 1，2.1 3），则函数 f x 的零点个数是（ ）
对函数
y
ln x
1, x
0 求导得
y
1 x 1
，
设切点为
x0, ln x0 1
，则
ln x0 1
x0 1
2 3
1 x0 1
m ，解得
x0
1
1
e3
，m
1
e3
，
数形结合可知，当
m
2 3
1
,e 3
时，直线
y
mx
m
2 3
与函数
f
x
的图象有四个交点，即函数
g
x
有四个零点.故选：B.
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f |
(x) x|
有
2
个不同交点，不满足题意；
当 k 0 时，如图 2，此时 y | kx 2 |与 h(x)
f |
(x) x|
恒有
3
个不同交点，满足题意；
当 k 0 时，如图 3，当 y kx 2 与 y = x2 相切时，联立方程得 x2 kx 2 0 ，
令 0 得 k2 8 0 ，解得 k 2 2 （负值舍去），所以 k 2 2 ． 综上， k 的取值范围为 (,0) (2 2, ) ，故选 D．
图形特征，是数形结合的体现.通过图象可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者
高中数学-函数零点问题及例题解析
高中数学-函数零点问题及例题解析高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）1) 对于函数 y=f(x)，将方程 f(x)=0 的实数根称为函数y=f(x) 的零点。
2) 方程 f(x)=0 有实根⇔函数 y=f(x) 的图像与 x 轴有交点⇔函数 y=f(x) 有零点。
若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的图像是连续的曲线，则 f(a)f(b)<0 是 f(x) 在区间 (a,b) 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：对于在区间 [a,b] 上连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y=f(x)，通过不断地把函数 y=f(x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。
二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且 f(a)f(b)<0，那么，函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个 c 也是方程 f(x)=0 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件。
例如，函数 f(x)=ln(x+1)-2 的零点所在的大致区间是 ( )。
分析：显然函数 f(x)=ln(x+1)-2 在区间 [1,2] 上是连续函数，且 f(1)0，所以由根的存在性定理可知，函数 f(x)=ln(x+1)-2 的零点所在的大致区间是 (1,2)，选 B。
二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。
对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。
高中数学函数及函数的零点专题练习题试卷(含答案)
高中数学函数及函数的零点专题练习题试卷姓名班级学号得分说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分。
考试时间90分钟。
２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）一．单选题（每题3分，共48分）1．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+a有三个零点x1，x2，x3，则x12+x22+x32=（）A．13B．5C．a2D．2a2．已知函数f（x）=1-|2x-1|，x∈[0，1]．定义：f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，f n （x）=f（f n-1（x）），n=2，3，4，…满足f n（x）=x的点x∈[0，1]称为f（x）的n阶不动点．则f（x）的n阶不动点的个数是（）A．2n个B．2n2个C．2（2n-1）个D．2n个3．若x0是方程lgx+x=5的解，则x0属于区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）4．一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始作变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒，那么，此人（）A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车C．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D．不能追上汽车，但其间最近距离为7米5．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为G（x），当年产量不足80千克时，G（x）=x2+10x（万元）．当年产量不小于80千件时，G（x）=51x+-1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．则该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是（）A．900万元B．950万元C．1000万元D．1150万元6．设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（）A．（3，4）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）7．若关于x的方程asinx•cosx+sin2x-3=0在恒有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．8．函数f（x）=x3+3x-1在以下哪个区间一定有零点（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）9．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）A．7～9km B．9～11km C．5～7km D．3～5km10．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（）A．45.606B．45.6C．45.56D．45.5111．f（x）=x3-3x-3有零点的区间是（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）12．已知函数若函数g（x）=f（x）-m有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]13．如果函数f（x）=-（a＞0）没有零点，则a的取值范围为（）A．（0，1）B．（，+∞）C．（2，+∞）D．（0，2）14．函数y=1+的零点是（）A．（-1，0）B．1C．-1D．015．已知方程x2-2x-3=0在区间[0，m]上只有一个根3，则m的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（0，3）C．（-∞，-1]D．[-1，3）16．函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间为（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，e）第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共52分）17．（3分）若不等式x2-bx+1＞0的解为x＜x1或x＞x2，且x1＜1，x2＞1，则b的取值范围是______．18．（3分）令f n（x）=-x n-2x+1（n≥2，n∈N），x∈（，1）则下列命题正确的有______．①f n（）＜0；②f n（x）在区间（，1）一定存在唯一零点；③若x n是f n（x）在（，1）上的零点，则数列{x n}（n≥2，n∈N）单调递减；④若x n是f n（x）在（，1）上的零点，则数列{x n}（n≥2，n∈N）单调递增；⑤以上③④两种情况都有可能．19．（5分）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额-800）×20%×（1-30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1-20%）×20%×（1-30%）．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为______元．20、（5分）某电信公司推出手机两种收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差______元．21、的零点的个数为______．22．（4分）函数f（x）=kx+2在区间[-2，2]上存在零点，则实数k的取值范围______．23．（4分）方程lg2x+x-2=0的解在（k-1，k）内，则整数k的值为______．24．（4分）有甲、乙两城，甲城位于一直线河岸，乙城离岸40km，乙城到河岸的垂足B与甲城相距50km，两城要在此河边合舍一个水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和我700元，则水厂甲城的距离为______千米，才能使水管费用最省？25．（4分）已知函数f（x）=x2+a|x|+a2-3（a∈R）的零点有且只有一个，则a=______．26．（6分）对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[-0.25]=-1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[t t]=n同时成立，则正整数n的最大值为______．27．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），并且当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，则函数y=f（x）-log3|x|的零点个数是______．28．将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个．若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个．要使利润最大，商品的销售单价为______．29．（5分）甲地与乙地相距250公里．某天小袁从上午7：50由甲地出发开车前往乙地办事．在上午9：00，10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1小时到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有______公里．30．（4分）函数f（x）=x+2x的零点所在区间为（n，n+1），n∈z，则n=______．参考答案一．单选题（共__小题）1．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+a有三个零点x1，x2，x3，则x12+x22+x32=（）A．13B．5C．a2D．2a答案：B解析：解：如右图为函数f（x）=的图象，函数g（x）=f（x）+a有三个零点可转化为方程f（x）=-a有三个不同的根，则由图象可知，a=-1，则x1，x2，x3分别为0，1，2；故x12+x22+x32=5，故选B．2．已知函数f（x）=1-|2x-1|，x∈[0，1]．定义：f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，f n （x）=f（f n-1（x）），n=2，3，4，…满足f n（x）=x的点x∈[0，1]称为f（x）的n阶不动点．则f（x）的n阶不动点的个数是（）A．2n个B．2n2个C．2（2n-1）个D．2n个答案：D解析：解：函数f（x）=1-|2x-1|=当x∈[0，]时，f1（x）=2x=x，解得x=0，当x∈（，1]时，f1（x）=2-2x=x，解得x=，∴f的1阶周期点的个数为2当x∈[0，]时，f1（x）=2x，f2（x）=4x=x，解得x=0当x∈（，]时，f1（x）=2x，f2（x）=2-4x=x，解得x=，当x∈（，]时，f1（x）=2-2x，f2（x）=4x-2=x，解得x=当x∈（，1]时，f1（x）=2-2x，f2（x）=4-4x=x，解得x=，∴f的2阶周期点的个数为22，依此类推：∴f的n阶周期点的个数为2n3．若x0是方程lgx+x=5的解，则x0属于区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）答案：D解析：解：令f（x）=lgx+x-5，由于f（4）=lg4-1＜0，f（5）=lg5＞0，即f（4）•f（5）＜0，且f（x）是连续函数，在（0，+∞）上单调递增，故函数f（x）在（4，5）上有唯一零点．若x0是方程lgx+x=5的解，则x0是函数f（x）的零点，故x0∈（4，5），故选D．4．一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始作变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒，那么，此人（）A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车C．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D．不能追上汽车，但其间最近距离为7米答案：D解析：解：∵汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒∴a==1M/S由此判断为匀加速运动再设人于x秒追上汽车，有6x-25=①∵x无解，因此不能追上汽车①为一元二次方程，求出最近距离为7米故选D5．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为G（x），当年产量不足80千克时，G（x）=x2+10x（万元）．当年产量不小于80千件时，G（x）=51x+-1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．则该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是（）A．900万元B．950万元C．1000万元D．1150万元答案：C解析：解：由题意，每千件商品售价为50万元；设该厂生产了x千件商品并全部售完，则所获得的利润为y万元；则当x＜80时，y=50x-（x2+10x）-250=-x2+40x-250，则当x=60时，y max=950万元；当x≥80时，y=50x-（51x+-1450）-250=-（x+）+1200≤1000；（当且仅当x=100时，等号成立）；故该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是1000万元；故选C．6．设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（）A．（3，4）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）答案：B解析：解：设f（x）=lnx+x-4，由于x0是方程lnx+x=4的解，则x0是函数f（x）的零点．再由f（2）=ln2-2＜0，f（3）=ln3-1＞0，f（2）f（3）＜0，可得x0属于区间（2，3），故选B．7．若关于x的方程asinx•cosx+sin2x-3=0在恒有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．答案：A解析：解：关于x的方程asinx•cosx+sin2x-3=0，化为a==2tanx+，因为，所以a≥2=2，当且仅当tanx=时a取得最小值，当x=时，a=3，x=时，a=5，又35，所以a∈，此时方程在时方程恒有解．故选A．8．（2015秋•包头校级期末）函数f（x）=x3+3x-1在以下哪个区间一定有零点（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）答案：B解析：解：∵f（x）=x3+3x-1∴f（-1）f（0）=（-1-3-1）（-1）＞0，排除A．f（1）f（2）=（1+3-1）（8+6-1）＞0，排除C．f（0）f（1）=（-1）（1+3-1）＜0，∴函数f（x）在区间（0，1）一定有零点．故选：B．9．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）A．7～9km B．9～11km C．5～7km D．3～5km答案：C解析：解：设陈先生的行程为xkm根据题意可得，陈先生要付的车费为y=6+（x-2）×1.8+11.5×1.8=17∴x=6.19故选C．10．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（）A．45.606B．45.6C．45.56D．45.51答案：B解析：解析：依题意，可设甲销售x辆，则乙销售（15-x）辆，∴总利润S=5.06x-0.15x2+2（15-x）=-0.15x2+3.06x+30（x≥0）．∴当x=10.2时，S取最大值又x必须是整数，故x=10，此时S max=45.6（万元）．故选B．11．f（x）=x3-3x-3有零点的区间是（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）答案：D解析：解：由题意，知当x=-1，0，1，2，3时，y的值是-1，-3，-5，-1，15由零点判定定理知，f（x）=x3-3x-3有零点的区间是（2，3）故选D12．已知函数若函数g（x）=f（x）-m有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]答案：B解析：解：函数f（x）的图象如图：使得函数g（x）=f（x）-m有3个零点⇔f（x）-m=0有3个解，即函数y=f（x）与函数y=m有3个交点，故有0＜m＜1，故选B．13．如果函数f（x）=-（a＞0）没有零点，则a的取值范围为（）A．（0，1）B．（，+∞）C．（2，+∞）D．（0，2）答案：D解析：解：若函数f（x）=-（a＞0）没有零点，则方程=（a＞0）没有实数根，即方程a-x2=2（a＞0）没有实数根，即方程x2=a-2（a＞0）没有实数根，故a-2＜0且a＞0，故a的取值范围为（0，2），故选：D14．函数y=1+的零点是（）A．（-1，0）B．1C．-1D．0答案：C解析：解：令函数y=1+=0，可得x=-1，故选：C．15．已知方程x2-2x-3=0在区间[0，m]上只有一个根3，则m的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（0，3）C．（-∞，-1]D．[-1，3）答案：A解析：解：由x2-2x-3=0，解得x=3，或-1．∵方程x2-2x-3=0在区间[0，m]上只有一个根3，因此3∈[0，m]．∴m≥3．∴m的取值范围是[3，+∞）．故选A．16．函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间为（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，e）答案：B解析：解：令f（x）=x+lnx=0，可得lnx=-x，再令g（x）=lnx，h（x）=-x，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（0，1），从而函数f（x）的零点在（0，1），故选B．二．填空题（共__小题）17．若不等式x2-bx+1＞0的解为x＜x1或x＞x2，且x1＜1，x2＞1，则b的取值范围是______．答案：（2，+∞）解析：解：不等式x2-bx+1＞0的解为x＜x1或x＞x2，且x1＜1，x2＞1，令f（x）=x2-bx+1，则有f（1）=2-b＜0，b＞2，故答案为（2，+∞）．18．令f n（x）=-x n-2x+1（n≥2，n∈N），x∈（，1）则下列命题正确的有______．①f n（）＜0；②f n（x）在区间（，1）一定存在唯一零点；③若x n是f n（x）在（，1）上的零点，则数列{x n}（n≥2，n∈N）单调递减；④若x n是f n（x）在（，1）上的零点，则数列{x n}（n≥2，n∈N）单调递增；⑤以上③④两种情况都有可能．答案：②④解析：解：由f n（x）=-x n-2x+1（n≥2，n∈N），x∈（，1），可得f n（）=--+1=-＞0，故①不正确．根据f n（）=--+1≥--+1＞0，f n（1）=-1-2+1=-2＜0，可得f n（）f n（1）＜0，故f n（x）在区间（，1）一定存在唯一零点，故②正确．③若x n是f n（x）在（，1）上的零点，则f n（x n）=0，即--2x n+1=0，即+2x n-1=0，同取导数可得n+2=0，即=，∴是增函数，故③不正确且④正确，故答案为：②④．19．稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额-800）×20%×（1-30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1-20%）×20%×（1-30%）．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为______元．答案：2800解析：解：由题意，设这个人应得稿费（扣税前）为x元，则280=（x-800）×20%×（1-30%）所以x=2800，故答案为：2800．20、某电信公司推出手机两种收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差______元．答案：10解析：解：如题图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费差为线段BD的长度，根据相似三角形的性质可得：，∴BD=10．故答案为：10元．21、的零点的个数为______．答案：3解析：解：的零点的个数，即函数y=x2的图象和y=|x-|=的图象的交点的个数，如图所示：显然，函数y=x2的图象和射线y=-x+（x＜）有2个交点．再由可得x2-x+=0．由于判别式△=1-1=0，故y=x2y=x-（x≥）只有一个交点．综上可得，函数y=x2的图象和y=|x-|的图象的交点的个为3，故答案为：3．22．函数f（x）=kx+2在区间[-2，2]上存在零点，则实数k的取值范围______．答案：k≥1或k≤-1解析：解：由题意知k≠0，∴f（x）是单调函数，又在闭区间[-2，2]上存在零点，∴f（-2）f（2）≤0，即（-2k+2）（2k+2）≤0，解得k≤-1或k≥1．故答案为：k≥1或k≤-1．23．方程lg2x+x-2=0的解在（k-1，k）内，则整数k的值为______．答案：2解析：解：∵lg2x+x-2=0的解在（k-1，k）内，∴函数f（x）=lg2x+x-2在（k-1，k）内有零点．又函数f（x）在（k-1，k）内单调递增，又f（1）=lg2-1＜0，f（2）=lg4＞0，故f（1）f（2）＜0，故函数在（1，2）内有唯一的零点，∴k=2，故答案为2．24．有甲、乙两城，甲城位于一直线河岸，乙城离岸40km，乙城到河岸的垂足B与甲城相距50km，两城要在此河边合舍一个水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和我700元，则水厂甲城的距离为______千米，才能使水管费用最省？答案：50-解析：解：设甲在A处，乙在D处，供水站C，总的水管费用为y元，CB=x，BD=40，AC=50-x，∴DC=依题意有：y=500（50-x）+700（0＜x＜50）得y′=-500+，令y′=0，解得x=y在（0，）单调递减，在（，50）单调递增上，函数在x=（km）处取得最小值，此时AC=50-（km）故答案为：50-．25．已知函数f（x）=x2+a|x|+a2-3（a∈R）的零点有且只有一个，则a=______．答案：解析：解：函数f（x）=x2+a|x|+a2-3（a∈R）是一个偶函数，又函数f（x）=x2+a|x|+a2-3（a∈R）的零点有且只有一个所以函数的零点一定是x=0，（若不是零，则至少有两个，此可由偶函数的对称性得）故有f（0）=a2-3=0，解得a=±当a=-时，验证知函数有三个零点，不合题意舍∴a=故答案为26．对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[-0.25]=-1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[t t]=n同时成立，则正整数n的最大值为______．答案：4解析：解：若[t]=1，则t∈[1，2），若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]=3，则t∈[，），若[t4]=4，则t∈[，），若[t5]=5，则t∈[，），其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）上，但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）∩[，）上，∴正整数n的最大值4．故答案为：4．27．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），并且当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，则函数y=f（x）-log3|x|的零点个数是______．答案：4解析：解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），∴满足f（x+2）=f（x），故函数的周期为2．当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，故当x∈[-1，0]时，f（x）=-2x-1．函数y=f（x）-log3|x|的零点的个数等于函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，如图所示：显然函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有4个交点，故答案为：4．28．将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个．若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个．要使利润最大，商品的销售单价为______．答案：14解析：解：假设商品的价格为x元/个，由题意可得获得利润f（x）=（x-8）[100-10（x-10）]=-10x2+280x-1600=-10（x-14）2+360，可知：当且仅当x=14时，获得最大利润360元．故答案为14．29．甲地与乙地相距250公里．某天小袁从上午7：50由甲地出发开车前往乙地办事．在上午9：00，10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1小时到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有______公里．答案：60解析：解：设从出发到上午11时行了s公里，则从出发到现在的平均速度为公里/分钟，则，解得s=190公里，此时小袁距乙地还有250-190=60公里．故答案为：60．30．函数f（x）=x+2x的零点所在区间为（n，n+1），n∈z，则n=______．答案：-1解析：解：因为f（0）=1＞0，f（-1）=-1+=-＜0，由函数零点的存在性定理，函数f（x）=x+2x的零点所在的区间为（-1，0），∴n=-1．故答案为：-1．。
湘教版高中数学必修第一册-4.4.1方程的根与函数的零点-学案讲义【含答案】
湘教版高中数学必修第一册-4.4.1方程的根与函数的零点-学案讲义教材要点要点一方程的根与函数零点的关系状元随笔函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．要点二函数零点的判定函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)＜0，则存在点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.如果知道y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增或单调递减，就进一步断定，方程f(x)＝0在(a，b)内恰有一个根．状元随笔定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)所有的函数都有零点．()(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1，0)，(x2，0)．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.()(4)函数y＝2x－1的零点是12.()2．函数f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的一个区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)3．函数f(x)＝x3－x的零点个数是()A．0B．1C．2D．34．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．题型1求函数的零点例1(1)函数f(x)＝2x−2，x≤12+log2x，x＞1的零点是()A．14B．1C．14和1D．0和1(2)如果函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是() A．0，2B．0，12C．0，－12D．2，－12方法归纳函数零点的求法求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1(1)函数f(x)＝x－1x的零点是________．(2)函数f(x)＝2x＋x－1的零点为________．题型2函数零点的个数问题角度1判断函数零点的个数例2函数f(x)＝ln x－1x−1的零点个数是()A．0B．1C．2D．3方法归纳判断函数零点的个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系中作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数．角度2由函数零点求参数的取值范围例3已知函数f(x)＝1+>−1ݔ+≤−1,若方程f(x)－m＝0有4个不相同的解，则实数m取值范围为()A．(0，1]B．[0，1)C．(0，1)D．[0，1]方法归纳已知函数零点个数求参数范围的常用方法跟踪训练2(1)函数f(x)－x3－2在区间(－1，0)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3(2)若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是()A．−1824B．−18∪C．−18，0∪0D．−题型3函数零点所在的区间问题角度1确定零点所在区间例4函数f(x)＝ln x＋2x－3的零点所在的一个区间是()A．(0，12)B．(12，1)C．(1，32)D．(32，2)方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．角度2由函数零点所在区间求参数范围例5若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2，0)内，另一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是________________.方法归纳根据零点存在性定理及函数性质列出不等式组，解不等式组即可求出参数的取值范围．跟踪训练3(1)在下列区间中，函数f(x)＝6x－log2x的零点所在区间为()A1B．(1，2)C．(3，4)D．(4，5)(2)已知函数f(x)＝ln x－m的零点位于区间(1，e)内，则实数m的取值范围是________．易错辨析忽视零点存在性定理的条件致误例6(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，则下列说法错误的有()A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点解析：由题知f(0)·f(1)＜0，所以根据函数零点存在性定理可得f(x)在区间(0，1)上一定有零点，又f(1)·f(2)＞0，因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点．故选ABD.答案：ABD易错警示易错原因纠错心得易忽略零点存在性定理的条件：函数在闭区间上是连续不断的一条曲线．端点函数值异号，只是一个条件，还要注意零点存在性定理成立的另一个条件，即函数在闭区间上是连续不断的一条曲线．课堂十分钟1．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是()A ．－12，－1B ．12，1C ．12，－1D ．－12，12．函数f (x )＝x 3＋3x －2的零点所在区间为()A ．0B2C D 13．(多选)已知函数ݔ2−4x +2,x ≥013ݔ+1,ݔ쳌0,若函数g (x )＝f (x )－m 恰有3个零点，则m 的取值可能为()A ．13B ．1C ．2D ．524．函数f (x )＝x 2+2x −3，x ≤0，−2+ln x ，x ＞0，零点的个数为________．5．已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝log n (mx ＋1)的零点．参考答案与解析新知初探·课前预习要点一交点的横坐标零点[基础自测]1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：f(1)＝ln 2－2＜0，f(2)＝ln 3－1＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∴函数f(x)的一个零点区间为(1，2).答案：B3．解析：f(x)＝x(x －1)(x ＋1)，令x(x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝0，x ＝1，x ＝－1，即函数的零点为－1，0，1，共3个．答案：D4．解析：由22−2 − 던0,32−3 − 던0,得던5, 던−6,∴g(x)＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13.答案：－12，－13题型探究·课堂解透例1解析：(1)当x ≤1时，由2x －2＝0得x ＝1；当x ＞1时，由2＋log 2x ＝0得x ＝14(舍去)所以函数f(x)的零点是1.故选B .(2)由题意知f(2)＝2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，则g(x)＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax(2x ＋1).由g(x)＝0得x ＝0或x ＝－12，故函数g(x)的零点是0，－12.故选C .答案：(1)B (2)C跟踪训练1解析：(1)令f(x)＝x －1x ＝0，得x ＝±1.∴函数f(x)＝x －1x的零点是±1.(2)在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝2x ，y ＝－x ＋1的图象，如图所示，由图可知函数f(x)的零点为0.答案：(1)±1(2)0例2解析：(1)由f(x)＝ln x －1x －1＝0得ln x ＝1x －1，在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，如图所示，函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x －1x －1的零点个数为2.答案：C例3解析：画出函数f(x)的图象，如图所示：若方程f(x)－m ＝0有4个不相同的解，则y ＝m 和f(x)的图象有4个不同的交点，结合图象，0＜m ≤1.答案：A 跟踪训练2解析：(1)因为函数f(x)＝12x－x 3－2为减函数，又f(－1)＝12－1－(－1)3－2＝1>0，f(0)＝12－(0)3－2＝－1<0.故函数f(x)在区间(－1，0)内的零点个数是1.(2)∵f(x)＝24ax 2＋4x －1，∴f(0)＝－1≠0，x ＝0不是函数的零点．∴当x ≠0时，由f(x)＝24ax 2＋4x －1＝0.得a ＝1－4x 24x 2＝1242－16·1x＝1242－16.令t ＝1x，则t ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，令g(t)＝124(t －2)2－16，则g(－1)＝524，g(1)＝－18，g(2)＝－16.函数f(x)＝24ax 2＋4x －1在区间(－1，1)内恰有一个零点⇔函数y ＝a 的图象与函数y ＝g(t)，t ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)的图象有且只有一个交点，由图可知，a ∈－18，524.答案：(1)B (2)B例4解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其图象在定义域上为一条不间断的曲线，且f(1)＝－1＜0，＝ln32＞0，由零点存在性定理可知，函数f(x)上存在零点．答案：C例5解析：根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象，如图．（－2）＞0，（0）＜0，（1）＜0，（3）＞0，＋10＋a＞0，＜0，－5＋a＜0，－15＋a＞0，解得－12<a<0.答案：(－12,0)跟踪训练3解析：(1)因为函数f(x)＝6x－log2x是减函数．又f(3)＝2－log23>0，f(4)＝32－2<0，根据零点存在性定理得到函数f(x)在区间(3，4)上存在零点．(2)令f(x)＝ln x－m＝0，得m＝ln x，因为x∈(1，e)，所以ln x∈(0，1)，故m∈(0，1).答案：(1)C(2)(0，1)[课堂十分钟]1．解析：方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝12，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是12，1.故选B.答案：B2．解析：函数f(x)＝x3＋3x－2是连续函数且单调递增，∵f(12)＝18＋32－2＝－38＜0，f(34)＝2 64＋ 4－2＝4364＞0∴f(12)f(34)＜0，由零点判定定理可知函数的零点在区间 12,34)上．故选C.答案：C3．解析：g(x)恰好有3个零点，等价于f(x)＝m有三个不等实根，如图，作出y＝f(x)的图象，可得当13＜m≤2时，f(x)的图象与y＝m有三个交点．故选BC.答案：BC4．解析：x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.x＞0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增，f(1)＝－2＜0，f(e3)＝1＞0，∵f(1)f(e3)＜0，∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上，f(x)在R上有2个零点．答案：25．解析：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．＋2＝－3（m＋1），×2＝n，＝－2，＝2.所以函数y＝log n(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1)，要求其零点，令log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.。
方程的根与函数的零点
( x1 ,0),( x2 ,0)
-6
( x1 ,0)
-10
没有交点
-12 -14
-8
结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与x轴交 点的横坐标，方程根的个数就是函数图像与X轴交点的个数。
-16
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-18
4
知识探究
对于函数y f ( x), 把使f ( x) 0的实数x叫做函数y f ( x)的零点.
程的一般解法。
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2
引入新知
探究1.下列二次函数的图像与x轴交点和相应方程的根有何关系?
方程 函数
x2 2 x 3 0
y x2 2x 3
y
x2 2 x 1 0
y x2 2x 1yx2 2 x 3 0
y x2 2x 3
x1 1, x2 3
x1 x2 1
无实数根 无交点
3
函数的图象 与x轴交点
(1,0), (3,0)
(1,0)
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一般地, 一元二次方程ax 2 bx c 0的根与二次函数y ax 2 bx c (a 0)的图像有如下关系 :
判别式
零点是一个点吗? 注意：零点指的是一个实数，不是点。
思考 : 函数y f ( x)的图像与x轴的交点与相应的方程f ( x) 0的根有 何关系? 函数y f ( x)有零点
研究方程f ( x) g ( x)的根
方程f ( x) 0有实数根
研究函数y f ( x)与y g ( x)的交点
a
0
b
x
高中数学函数的零点练习题(有解析)
高中数学函数的零点练习题（有解析）数学必修1(苏教版)2．5函数与方程2．5.1函数的零点已知二次函数y＝x2－2x－3，令y＝0即x2－2x－3＝0时，这是一元二次方程，那么那个一元二次方程的根与前面二次函数的图象与x轴的交点有什么关系？基础巩固1．若x0是方程lgx＋x＝2的解，则x0属于区间()A．(0,1) B．(1,1.25)C．(1.25,1.75) D．(1.75,2)解析：设f(x)＝lg x ＋x－2，则f(1.75)＝f74＝lg 74－140，f(2)＝lg 2 0.答案：D2．函数f(x)＝x2＋2x－3，x0，－2＋lnx，x0的零点个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：：x0时由x2＋2x－3＝0x＝－3；x0时由－2＋lnx＝0x＝e2.答案：C3．设函数f(x)＝x2－x＋a(a0)，若f(m)0，则()A．f(m－1)0B．f(m－1)0C．f(m－1)＝0D．f(m－1)与0的大小不能确定解析：结合图象易判定．答案：A4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B. (－1,0)C. (0,1) D．(1,2)解析：因为f(0)＝－10，f(1)＝e－10，因此零点在区间(0,1)上，选C.答案：C5．函数f(x)＝4x－2x＋1－3的零点是________解析：由4x－2x＋1－3＝0(2x＋1)(2x－3)＝02x＝3, x＝log23.答案：log236．函数f(x)＝(x－1)(x2－3x＋1)的零点是__________．解析：利用定义可求解．答案：1，3527．若函数y＝x2－ax＋2有一个零点为1，则a等于__________．解析：由零点定义可求解．答案：38．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a0且a1)，当234时，函数f(x)的零点为x0(n，n＋1)(nN*)，则n＝________.解析：依照f(2)＝loga2＋2－blogaa＋2－3＝0，f(3)＝loga3＋3－blogaa＋3－4＝0，x0(2,3)，故n＝2.答案：29．证明：方程x2x＝1至少有一个小于1的正根．课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
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方程的根与函数零点个数小题
1.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________． 2．下列函数不存在零点的是( )
A ．y ＝x －1x
B ．y ＝2x 2－x －1
C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1 (x ≤0)x －1 (x ＞0)
D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1 (x ≥0)x －1 (x ＜0)
3．函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2－2(0＜a ＜1)的零点的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．无法确定
4．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．
5．若函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是________．
6．下列说法正确的有________：
①对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则函数f (x )在区间(a ，b )内一定没有零点．
②函数f (x )＝2x －x 2有两个零点．
③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.
④当a ＝1时，函数f (x )＝|x 2－2x |－a 有三个零点． 7.函数f(x)=㏑x 的图像与函数g(x)=x 2-4x+4的图像的交点个数为
_____（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8.若函数()a x x x x f -+-=129223恰有两个不同的零点，则a 的取值可能为（ ）
A.4
B.6
C.7
D.8
9.若函数f (x )是奇函数，且有三个零点x 1、x 2、x 3，则x 1＋x 2＋x 3的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．3
D ．不确定
10.已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内( )
A ．至少有一实数根
B ．至多有一实数根
C ．没有实数根
D ．有惟一实数根
11．函数f (x )＝(x －1)ln(x －2)x －3
的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
12.已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )
A ．(0,1]
B ．(0,1)
C ．(－∞，1)
D ．(－∞，1]
13．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α、β是函数f (x )的两个零点，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( )
A ．a <α<b <β
B ．a <α<β<b
C ．α<a <b <β
D ．α<a <β<b
14.若函数f (x )＝log 3(ax 2－x ＋a )有零点，则a 的取值范围 ．
方程的根与函数零点个数小题
答案
1.2
2.解析：选D.令y ＝0，得A 和C 中函数的零点均为1，－1；B 中函
数的零点为－12，1；只有D 中函数无零点．
3.解析：选C.令log a (x ＋1)＋x 2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y 1＝log a (x ＋1)与y 2＝－x 2＋2的交点个数．
4.解析：设方程f (x )＝0的另一根为x ，
由根与系数的关系，得1＋x ＝－2a a ＝－2，
故x ＝－3，即另一个零点为－3.
答案：－3
5.解析：因为函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，所以有f (－1)·f (1)≤0，即(－5a ＋1)·(a ＋1)≤0，(5a －1)(a ＋1)≥0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5a －1≥0a ＋1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧
5a －1≤0，a ＋1≤0，解得a ≥15或a ≤－1. 答案：a ≥15或a ≤－1. X
6.解析：①错，如图．
②错，应有三个零点．
③对，奇、偶数图象与x 轴的交点关于原点对称，其和为0.
④设u (x )＝|x 2－2x |＝|(x －1)2－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x 轴相切，图象与x 轴有三个交点．∴a ＝1.
答案：③④
7.C
8.A
9.[答案] B
[解析] 因为f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，它有三个零点，即f (x )的图象与x 轴有三个交点，故必有一个为原点另两个横坐标互为相反数．∴x 1＋x 2＋x 3＝0.
10.[答案] D
[解析] ∵f (x )为单调减函数，x ∈[a ，b ]且f (a )·f (b )<0，∴f (x )在[a ，b ]内有惟一实根x ＝0.
11.[答案] A
[解析] 令f (x )＝0得，(x －1)ln(x －2)x －3
＝0，∴x －1＝0或ln(x －2)＝0，
∴x ＝1或x ＝3，
∵x ＝1时，ln(x －2)无意义，x ＝3时，分母为零，∴1和3都不是f (x )的零点，∴f (x )无零点，故选A.
12.[答案] D
[解析] 解法1：取m ＝0有f (x )＝－3x ＋1的根x ＝13>0，则m ＝0应
符合题设，所以排除A 、B ，当m ＝1时，f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2它的根是x ＝1符合要求，排除C.∴选D.
解法2：直接法，∵f (0)＝1，∴(1)当m <0时必成立，排除A 、B ，
(2)当m >0时，要使与x 轴交点至少有一个在原点右侧，则⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，Δ＝(m －3)2－4m >0，－m －32m >0， ∴0<m ≤1.
(3)当m ＝0时根为x ＝13>0.∴选D.
13.[答案] C
[解析] ∵α、β是函数f (x )的两个零点，
∴f (α)＝f (β)＝0，又f (x )＝(x －a )(x －b )－2，∴f (a )＝f (b )＝－2<0.结合二次函数f (x )的图象可知，a 、b 必在α、β之间．
14.[解析] ∵f (x )＝log 3(ax 2－x ＋a )有零点，∴log 3(ax 2－x ＋a )＝0有解．∴ax 2－x ＋a ＝1有解．当a ＝0时，x ＝－1.当a ≠0时，若ax 2－x ＋a －1＝0有解，则Δ＝1－4a (a －1)≥0，即4a 2－4a －1≤0，解得
1－22≤a ≤1＋22且a ≠0.综上所述，1－22≤a ≤1＋2
2.。