高中数学选修4-5课件(人教版)2.1比较法 (共46张PPT)

人教版选修A4-5数学课件：2.1 比较法 (共21张PPT)

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一比较法
探究一探究二思维辨析
首页
X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
变式训练1 若a,b均为负数,求证a3+b3≤a2b+ab2. 证明：a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2) =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)2(a+b). 因为a,b均为负数,所以a+b<0,(a-b)2≥0, 所以(a-b)2(a+b)≤0. 故a3+b3≤a2b+ab2.
1 1 2 + 与的大小. 2�� 2�� +��
因为 a<0,b<0, 所以 (a-b)2≥0,ab>0,(a+b)<0.
(��-��)2 所以 ≤0, 2��(��+��) 1 1 2 故 + ≤ . 2�� 2�� +��
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一比较法
探究一探究二思维辨析
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反思感悟作差比较法证明不等式的技巧 1.在作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号,而不用考虑差能否化简或值是多少. 2.变形所用的方法有配方、因式分解等,要具体情况具体分析. 3.因式分解是常用的变形手段,为了便于判断差式的符号,常将差式变形为一个常数,或几个因式积的形式,当所得的差式是某字母的二次三项式时,常用判别式法判断符号.

人教版高中数学选修4-5课件：2.1比较法

b
b
综上可知,对任意a>0,b>0,都有aabb≥ ab
ab 2 .
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21
【延伸探究】
1.典例中的条件不变,试证明:abba≤ ab
ab 2 .
【证明】因为abba>0, ab>0,
ab 2
所以
所以当aaabb=baa2bb 时 a,b显－2 a b然a－2有b （ba）b－2=a，1;
=aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b(=a )ab ( a )ac ( b )bc. bcc
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因为a>b>0,所以a >1,a-b>0,所以(a )ab >1.
b
b
同理
(
b
>1, )bc
>( a1)a.c
所以 c >1,所以c a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.
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【变式训练】已知a>2,求证:loga(a-1)<log(a+1)a.
【证明】因为a>2,则a-1>1,所以loga(a-1)>0,
log(a+1)a>0,
由于 loga a=l1o ga(a-1)·loga(a+1)
loga1a
＜[ loga a 1 loga a 1 ]2 [loga a2 1 ]2.
第二讲证明不等式的基本方法一比较法
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1
【自主预习】比较法的定义比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种.
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2
(1)作差比较法:要证明a>b,只要证明_a_-_b_>_0_;要证明

人教数学选修4-5全册精品课件

不等式的综合应用不等式的应用主要体现在两大方面：一是不等式作为一种重要工具在研究解答数学学科本身有关问题及其他学科有关问题方面的应用；二是解决现实生活、生产及科学技术领域中的实际问题．
不等式应用主要是：利用不等式求函数的定义域、值域；利用不等式求函数最大值、最小值；利用不等式讨论方程根及有关性质；利用不等式解应用题．
1 则 f(x)＝ (1－t2)， 2 1 2 ∴y＝f(x)＋ 1－2fx＝ (1－t )＋t 2 1 1 1 ≤ t ≤ ＝－ (t－1)2＋1 . 2 2 3 1 1 ∵在 t∈ ，上函数 y 是增函数， 2 3 1 7 ∴当 t＝时，y 有最小值为， 3 9 1 7 当 t＝时，y 有最大值为 . 2 8
例4
【思路点拨】首先应根据函数单调性去掉函数符号，转化为关于 sinx的不等式恒成立问题．【解】 ∵f(x)在(－∞，1]上是减函数，
∴k－sinx≤k2－sin2x≤1.
假设存在实数k符合题设．
∵k2－sin2x≤1即k2－1≤sin2x对一切x∈R恒成立，且sin2x≥0， ∴k2－1≤0，－1≤k≤1.①
本讲优化总结
本讲优化总结
知识体系网络
专题探究精讲
讲末综合检测
知识体系网络
专题探究精讲
柯西不等式证法一构造二次函数(ai≠0，i＝1,2，„，n) 2 2 2 f(x ) ＝ (a 1 ＋a2 ＋„＋an )x2 － 2(a1b1 ＋ a2b2 ＋ „ ＋ 2 2 anbn)x＋(b2 ＋ b ＋„＋ b 1 2 n)． ∵ f(x)＝ (a1x－b1)2＋ (a2x－ b2)2＋„＋ (anx－ bn)2≥0， 2 2 ∴ Δ ＝ 4(a1b1 ＋ a2b2 ＋„＋ anbn)2 － 4(a 1 ＋a2 ＋„＋ 2 2 2 2 an )· (b1 ＋b2 ＋„＋bn )≤0. 2 2 2 ∴ (a1b1＋ a2b2＋„＋ anbn)2≤(a2 ＋ a ＋„＋ a )( b 1 2 n 1＋ 2 2 b2＋„＋bn)．

高中数学(人教版选修4-5)配套课件第二讲 2.1 比较法

第二讲
证明不等式的基本方法 2.1 比较法
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1．了解用作差比较法证明不等式．
2．了解用作商比较法证明不等式．
3．提高综合应用知识解决问题的能力．
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要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即
可，即利用不等式的性质：
＞ a＞b⇔a－b________0 ＝ a＝b⇔a－b________0 ＜ a＜b⇔a－b________0 思考1 比较两个代数式值的大小： x2与x2－x＋1.
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变式训练
2．已知 a≥1，利用作商比较法求证： a＋1－ a＜ a－ a－1.
左边 a＋1－ a a＋ a－1 证明：＝＝＜1，右边 a－ a－1 a＋1＋ a 又 a＋1－ a＞0， a－ a－1＞0. ∴原不等式成立．点评：根据左、右两边都含无理号的特点，也可以采取两边平方的方法来比较，但是应先判断两边的符号，都大于 0 时，两边平方是等价变形，否则要改变不等号．
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变式训练 1．已知a，b∈R＋，求证： (a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)(n∈N*)．证明：(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1) ＝an＋1＋abn＋anb＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1 ＝an(b－a)＋bn(a－b)＝(a－b)(bn－an)，又∵a，b∈R＋，n∈N*，
题型二
作商比较法证明不等式
＋

a＋b 例 3 已知 a，b∈R ，求证：a b ≥(ab) . 2
a b
aabb a－b b－a aa－b 证明：＝a ·b ＝ . b a＋b 2 2 2 ab
2 aa－b 当 a＝b 时，＝1 ； b 2 aa－b a a －b 当 a>b 时， >1， >0，由指数函数的性质知＞1， b b 2 2 aa－b a a －b 当 a<b 时，0< <1， <0，由指数函数的性质知 >1. b b 2 2 a＋b a b ∴a b ≥(ab) . 2

高中数学人教A版选修4-5课件：2-1比较法

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典例透析
1
2
3
【做一做1-1】当a<b<0时,下列关系式中成立的是 (
)
A. ��2 < ��2 C. > 1
��
B. lg ��2 < lg ��2 D.
2 �� 1
2
>
2 �� 1
2
解析：方法一:取特殊值a=-4,b=-1,则知选项A,C,D不正确,选项B 正确,故选B; 方法二:∵a<b<0,∴a2>b2. 而函数y=lg x(x>0)为增函数, ∴lg b2<lg a2,B项正确. 答案：B
答案：A
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典例透析
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3.作商比较法 �� = ��⇔ �� = 1, (1)作商比较法的证明依据:当 a,b>0 时, �� > ��⇔ �� > 1,. �� < ��⇔ < 1
(2)基本步骤:①作商;②变形;③判断与“1”的大小;④下结论.
分析：因不等式的两边进行分子有理化相减后,可判断差的符号, 故可用作差比较法进行证明.
证明： ∵( �� + 1 − ��) − ( �� − ��-1) =
1 − ��+1+ ��
1 ��+ ��-1
��-1- �� + 1 = < 0, ∴ �� + 1 − �� < �� − ��-1. ( �� + 1 + ��)( �� + ��-1)

2.1 比较法课件(人教A选修4-5)

解：设A地到B地距离为m千米．起步价内行驶的路程为a千米．
显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜．
当m>a时，设m＝a＋x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)＝
10＋1.2 x，
Q(x)＝8＋1.4x ∵P(x)－Q(x)＝2－0.2x＝0.2(10－x)
[例1]
设△ABC的三边长分别是a、b、c，求证：
4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2. [思路点拨] 作差法证明，注意条件“在同一个三角形
中，任意两边之和大于第三边”的应用．
[证明] ∵a、b、c是△ABC的三边长．
∴a>0，b>0，c>0，且b＋c－a>0，c＋a－b>0，a＋b－c>0. ∴4(ab＋bc＋ac)－(a＋b＋c)2 ＝2(ab＋bc＋ac)－(a2＋b2＋c2) ＝(b＋c－a)a＋(c＋a－b)b＋(a＋b－c)c>0. ∴4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2.
甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有
一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果
m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？ [思路点拨] 先用m、n表示甲、乙两人走完全程所用
时间，再进行比较．
[解]
设从出发地点至指定地点的路程为 s，甲、乙二人走
完这段路程所用的时间分别为 t1，t2 ，依题意有： t1 t1 m＋ n＝s， 2 2 s s ＋＝t . 2m 2n 2 sm＋n 2s ∴t1＝，t ＝ . 2mn m＋n 2 sm＋n 2s ∴t1－t2＝－ 2mn m＋n s[4mn－m＋n2] sm－n2 ＝＝－ . 2mnm＋n 2mnm＋n 其中 s，m，n 都是正数，且 m≠n， ∴t1－t2<0.即 t1<t2. 从而知甲比乙先到达指定地点．

人教版高中数学选修4-5 第一讲一不等式 (共46张PPT)教育课件

解得：1 5 x1 5
2
2
由上可知，当 x 1 5 或x1 5时，M大于N;
2
2
当
1 2
5
x1 2
5 时，M小于N。
–
凡事都是多棱镜，不同的角度会看到不同的结果。若能把一些事看淡了，就会有个好心境，若把很多事看开了，就会有个好心情。让聚散离合犹如月缺月圆那样寻常，
当且仅当a b时，等号成立。
探究
观察下图，如果AD=a,BD=b,OC是斜边AB的中线,你能给出基本不等式的几何意义吗？
C
A
O
DB
分析
在图中，CD⊥AB,AO=OB,于是OC= 1 AB= 1(a+b),
2
2
因为∠DCA+ ∠A=90o, ∠B+∠A=90o
所以∠DCA= ∠B.
于是Rt△DCA和Rt△DBC相似.
3
当且仅当a=b=c时，等号成立。
推广
对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，
即当：且a仅1 当+ aa12=n+a2.=..…+=aann时，n a等1a号2 .成..a立n 。
例4 已知x,y,z R+,求证(x+y+z)3≥27xyz
提示本题涉及三个实数的和积，可以考虑基本不等式的推广。
1 8
4
由上可知，y的最大值是
1
8
2.若M=(2x+3)(x-4),N=(x-7)(x+3)+8,讨论M 与N的大小关系。

2019年高中数学人教版选修4-5课件：第二讲2.1比较法

当 b＞a＞0 时，0＜ab＜1，且 a－b＜0，故aababbab＞1；当 a＝b 时，aababbab＝1. 答案：B
4. 设 P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若 P＞Q，则实数 a，b 满足的条件为________．
解析：P－Q＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a ＋2)2，因为 P＞Q⇒P－Q＞0.所以 ab≠1 或 a≠－2.
以 ω≥u.
答案：C
3．已知 a，b 都是正实数，则下列关系式成立的是 ()
A．aabb＝abba B．aabb≥abba C．aabb＜abba D．aabb≤abba 解析：因为 a，b∈R＋，故 abba＞0.
又aaabbbba＝aba·bab＝aba－b，当 a＞b＞0 时，ab＞1，且 a－b＞0，故aaabbbba＞1；
解：设截面的周长为 l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为π·2lπ2，截面是正方形的水管的截面面积为4l 2.
因为π·2lπ2－4l 2＝l42π1 －14＝（4－16ππ）l2.
（4－π）l2
由于 l＞0，0＜π＜4，所以
归纳升华 1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键． 2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断．
[变式训练] 通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？
作差比较法的基本步骤是：作差、变形、判断符号．变形是关键，目的在于能判断差的符号．为便于判断差式的符号．通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形式或平方和形式．多项式不等式、分式不等式或对数不等式常用作差比较法证明．作商比较法的基本步骤是：作商、变形、判断商值与 1 的大小，适用于两边都是正值的幂或积的形式的不等式．其中判断差值的正负及商值与 1 的大小是用比较法证明不等式的难点．