苏州大学00-14年数学考研数学分析真题
2000-2012年苏州大学高等代数试题
1. 设 A, B 均为 n 阶方阵， A 中的所有元素均为， B 中除左上角的元素为1外，其余元素均
为 0 。问： A 与 B 是否等价？是否合同？是否相似？为什么？
1 0 2
2. = 设 A 10
−3
5
。
λ
是
A
的最大特征值。求
A
的属于 λ
的特征子空间的一个基。
4 0 −1
25
的
Jordan
标准型。
0 −2 −7
3. 设α , β ∈ ℜn 且长度为 2 ，矩阵 A =En + αα T + ββ T 。求 A 的特征多项式。
4. 设 A 是 n 阶反对称矩阵， En 为单位矩阵。证明： （1） E + A 可逆；
（2） 设 Q =( E + A) ( E − )A −1 ，求证： Q 是正交矩阵。
AX = 0 与 BX = 0 同解。证明： A∗ 的非零列与 B∗ 的非零列成比例，其中 A∗ 和 B∗ 分别
是 A, B 的伴随矩阵。
7. 设σ ,τ 是 n 维欧氏空间V 的线性变换，对任意α , β ∈V ，都有 (σ (α ), β ) = (α ,τ (β )) 。
证明：σ 的核等于τ 的值域的正交补。
（2） 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 B ，使得 QT AQ = B 。
7. 若 A 是 n 阶实矩阵， En 为 n 阶单位矩阵，且 AT + A =En ，其中 AT 是 A 的转置矩阵， 则 A 是可逆矩阵。
( ) 8. 设V 是有理数域 Q 上的线性空间，设σ 是V 的一个线性变换，设 g ( x=) x x2 + x −1 。
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2000-2006，2010-2015年苏州大学856物理化学（F）考研真题。
苏州大学历年高等代数真题
2000年真题1．（14分）设f (x),g (x),h (x)都是数域P 上的一元多项式，并且满足：4(1)()(1)()(2)()0x f x x g x x h x ++-+-= （1）4(1)()(1)()(2)()0x f x x g x x h x +++++= （2） 证明：41x+能整除()g x 。
2．（14分）设A 是n ⨯r 的矩阵，并且秩（A ）= r ，B ，C 是r ⨯m 矩阵，并且AB=AC ，证明：B=C 。
3（15分）求矩阵321222361A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的最大的特征值0λ，并且求A 的属于0λ的特征子空间的一组基。
４(14分)设⨯-2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，计算行列式611n A A E -+3．５(14分)设A,B 都是实数域R 上的n n ⨯矩阵,证明:AB,BA 的特征多项式相等．证明：要证明AB,BA 的特征多项式相等，只需证明：E A E B λλ-=-６．(14分)设A 是n n ⨯实对称矩阵,证明：257n A A E -+是一个正定矩阵．证明：A 是实对称矩阵，则Ａ的特征值均为实数．７．(15分)设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换,设1,n V A α-∈≠使0,但是()n A α=0,其中n>1．证明：21{,,,,}n A A A αααα-是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数．2000年真题答案1、证明：1(2)(1):2()4()0()()2g x h x h x g x -+=⇒=- （3） 将（3）带入（1）中，得到：41(1)()()2x f x xg x +=- 441()x x x g x ∴++1与互素，．注：本题也可以把g,h 作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。
2、证明：,()0.AB AC A B C =∴-=(),A n r R A r A ⨯=∴是的矩阵,是列满秩的矩阵，即方程0AX =只有零解．0,B C B C∴-==即3、解：()()224E A λλλ-=-+，02λ∴= 当02λ=时，求出线性无关的特征向量为()()12101012ξξ==，，＇，，，＇， 则()120,,L ξξλ构成的特征子空间12ξξ，是0λ的特征子空间的一组基．4、解：⨯-2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，不妨设1232,3,1,λλλ=-==- 则矩阵611n A A E -+3对应的特征值为：12315,20,16ξξξ=== 故6111520164800n A A E -+=⨯⨯=35、利用构造法，设0λ≠，令1E B H A E λ=， 11010E BE E B A E A E E AB λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭，两边取行列式得 11()n H E AB E AB λλλ=-=-．（１） 11100E E B E BA B A E A E E λλλ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边取行列式得11()n H E BA E BA λλλ=-=-．（２）由（１），（２）两式得1()n E AB λλ-＝1()n E BA λλ-E AB E BA λλ∴-=-．（３） 上述等式是假设了0λ≠，但是（３）式两边均为λ的n 次多项式，有无穷多个值使它们成立（0λ≠），从而一定是恒等式． 注：此题可扩展为Ａ是m n ⨯矩阵，Ｂ是n m ⨯矩阵，ＡＢ，ＢＡ的特征多项式有如下关系：n m m n E AB E BA λλλλ-=-，这个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester ）公式．6、设λ为Ａ的任意特征值，则257n A A E -+的特征值为225357()024ξλλλ=-+=-+>．故257n A A E -+是一个正定矩阵．7、证明：1n n A A α-≠0,=0.令()()10110n n l l A l A ααα--+++=．（１） 用1n A -左乘（１）式两边，得到10()0n l A α-=．由于1n A -≠0，00l ∴=，带入（１）得()()1110n n l A l A αα--++=．（２） 再用2n A -左乘（２）式两端，可得10l =．这样继续下去，可得到0110n l l l -====． 21,,,,n A A A αααα-∴线性无关．21,,,,)n A A A A αααα-(＝21,,,,)n A A A αααα-(0000100001000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． ∴Ａ在此基下的矩阵为0000100001000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 可见,()1R A n =-,dimker(1)1A n n ∴=--=即A 的核的维数为1．2001年真题2002年真题1．（15分）设A =1111101111001110001100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，123101221001320001200001n n n n n n B -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭都是n n ⨯矩阵。
苏州大学数学分析考研部分试题答案
1、设)(x f 是以T 为周期的周期函数且⎰=TC x f T 0)(1，证明⎰+∞∞→=n n C dx x x f n 2)(lim 。
证明：由⎰=T C x f T 0)(1，得到⎰=-Tdx C x f T 00])([1，从而有⎰=-T dx C x f 00])([ （*）本题即证明⎰+∞∞→=-n n dx x C x f n 0)(lim 2（此因⎰+∞=n n dx x112） 注意到21x 是递减的正函数，应用积分第二中值定理，对ξ∃>∀,n A 介于n 与A 之间，使⎰⎰-=-A n n dx C x f n dx xC x f n ξ])([1)(2 k ∃为非负整数使T kT n <--<ξ0，于是由（*），dx C x f dx C x f dx C x f dx C x f kTn kTn kTn nn⎰⎰⎰⎰+++-=-+-=-ξξξ])([])([])([])([于是有dxC x f n dx C x f n dx C x f n dx x C x f nTkT n kT n An⎰⎰⎰⎰-≤-≤-=-++02)(1)(1])([1)(ξξ令∞→A 有dx C x f n dx xC x f nTn⎰⎰-≤-∞+02)(1)( 故⎰+∞∞→=-nn dx x C x f n0)(lim 2，即⎰+∞∞→=n n C dx x x f n 2)(lim 。
2、设函数f(x)在整个实数轴有连续的三阶导数，证明存在实数a 使0)()()()(''''''≥a f a f a f a f 。
证明：由于f 的三阶导数连续，故若'''''',,,f f f f 有一个变号的话，利用根的存在性原理便知，使a ∃0)()()()(''''''＝a f a f a f a f ，结论得证。
数学分析第四学期试题
试题(1卷)一．填空（每小题3分,共15分）1．若平面曲线L 由方程0),(=y x F 给出，且),(y x F 在点),(000y x P 的某邻域内满足隐函数定理的条件，则曲线L 在点0P 的切线方程为 ； 2.含参量积分⎰=)()(),()(x d x c dyy x f x F 的求导公式为=')(x F ;3。
Γ函数的表达式为 =Γ)(s ,0>s ；4。
二重积分的中值定理为：若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则存在D ∈),(ηξ，使⎰⎰=Dd y x f σ),( ；5.当0),,(≥z y x f 时,曲面积分⎰⎰S dSz y x f ),,(的物理意义是： 。
二.完成下列各题(每小题5分，共15分)1。
设5422222=-+-++z y x z y x ,求y z x z ∂∂∂∂,； 2。
设 ⎩⎨⎧-=+=,cos ,sin v u e y v u e x u u 求 x v x u ∂∂∂∂, ；3. 求积分)0(ln 1>>-⎰a b dx x x x ab .三。
计算下列积分(每小题10分，共50分）1。
⎰L xyzds,其中L 为曲线)10(21,232,23≤≤===t t z t y t x 的一段；2.⎰+-Ly x xdxydy 22,其中L 为圆t a y t a x sin ,cos ==在第一象限的部分，并取逆时针方向；3．作适当变换计算⎰⎰-+D dxdyy x y x )sin()(， 其中D }{ππ≤-≤≤+≤=y x y x y x 0,0),(; 4。
⎰⎰⎰+Vy x dxdydz22,其中V 是由x y z x x ====,0,2,1与y z =围成的区域;5.dSy xS)(22⎰⎰+,其中S 为圆锥面222z y x =+被平面1,0==z z 截取的部分。
四.应用高斯公式计算dxdy z dzdx y dydz x S333++⎰⎰,其中S 为球面2222a z y x =++的外侧。
苏州大学数学分析试题集锦(2000-2012年)
苏州大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试数学分析试题一、下列命题中正确的给予证明，错误的举反例或说明理由。
共4题，计30分。
1. 设()f x 在[],a b 上连续，且()0ba f x dx =⎰，则[],x ab ∀∈，()0f x =。
2. 在有界闭区间[],a b 上可导的函数()f x 是一致连续的。
3. 设()f x 的导函数()f x '在有限区间I 上有界，则()f x 也在I 上有界。
4. 条件收敛的级数1n n a∞=∑任意交换求和次序得到的新级数也是收敛的。
二、下列4题每题15分，计60分。
1. 计算下列极限：（1） 111lim 12nn n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭； （2） sin 0lim sin x xx e e x x→--。
2. 求积分2D I x y dxdy =-⎰⎰，其中(){},:01,11D x y x y =≤≤-≤≤。
3. 设L 为单位圆周221x y +=，方向为逆时针，求积分()()⎰+++-=L y x dy y x dx y x I 224。
4. 计算曲面积分 ()42sin z S xdydz e dzdx z dxdy ++⎰⎰， 其中S 为半球面2221x y z ++=，0z ≥，定向为上侧。
三、下列3题，计36分。
1. 设()f x 在[],a b 上可微，证明：存在(),a b ξ∈，使成立 ()()()()()222f b f a b a f ξξ'-=-。
2. 设()2sin x f x e x =，求()()20120f 。
3. 设()f x 在闭区间[],a b 上二阶可导且()0f x ''<，证明不等式()()2ba ab f x dx f b a +⎛⎫≤- ⎪⎝⎭⎰。
四、下列3题选做2题，计24分。
1.（1） 设{}n a 是正数列，且lim 0n n a →∞=。
苏大研究生考试 数学专业考研试题数分答案
05数分答案2证明:反证法,假设()f x 在[]0,1上有无穷多个零点,不妨设{}n x ⊂[]0,1,()0,1,2,n f x n ==,则存在一个{}n x 的子列{}kn x 使得0()k n x x k →→+∞,且()0k n f x =,000'0000()()()()()limlim 0k n x x x x f x f x f x f x f x x x x x →→--===--与题设条件矛盾,故()f x 在[]0,1上只有有限个零点.3证明:1).由条件2)()()f x f y L x y -≤-则∀0,,,x y R x y Lεεδδ>∃=∀∈-<有()().f x f y L x y L Lεε-≤-≤=故()f x 在R 上一致连续当然在R 上连续.2).令[]200,2()max (),()0M x f x f x f x dx ππ∈==⎰,由于积分中值定理得存在[]22000010,2,()()2()()02x f x dx f x f x f x dx πππππ∈=∴==⎰⎰讨论a)当0M x x =时,0()()0M f x f x ==当然有[]0,2max ()0x f x L ππ∈=≤b)当0M x x >,由()f x 的周期,得000002()()()()(2)()()(2)2M M M M M f x f x f x f x f x f x L x x L x x Lπππ-=-++-≤-++-=c)0M x x <时由周期性000002()()()()(2)()()(2)2M M M M f x f x f x f x f x f x L x x L x x Lπππ-=-++-≤-++-=综合a)b)c)结论可得.4解:作极坐标变换cos ,sin ,cos sin u u x u y u u x r y r r x r y r x yθθθθ∂∂∂∂∂∂∂===+=+∂∂∂∂∂∂∂ ① (sin )cos u u x u y u ur r x y x yθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂=+=-+∂∂∂∂∂∂∂ ② 由① ②可得?,?u u x y ∂∂==∂∂,然后代入就得0uθ∂=∂5证明：1）（i ）当L=0时1()nn n f x a x∞==∑在（-1，1）上有定义（ii ）L ≠0时11lim 1n n nn n a x x a x ++→∞=<(1,1)x ∴∈-，即()f x 的定义域（-1，1） 2）11111lim(1)()lim(()())lim()n n n n x x x n x f x f x xf x a x a x ---∞+→→→=-=-=-∑=111111111111101111lim()lim()lim(())n n n n n n n n n n x x x n n n n n a x a xa x a x xa x a a x ---∞∞∞∞∞++++++++→→→=====-=+-=+-=∑∑∑∑∑11111()lim()n n n n n a a a a a L ∞++→∞=+-=-=∑6解：本题需要讨论，答案省略。
苏州大学研究生入学考试试题-数学分析历年真题.doc
08071. 06求下列极限:(1).(1)lim n n n αα→∞⎡⎤+-⎣⎦，其中01α；（2）224cos arcsin 0limx x ex x --→2．设函数f(x)= 1sin ,00,0m x x x x ⎧≠⎨=⎩。
讨论m=1,2,3时f(x)在x=0处的连续性，可微性及导函数的连续性。
3．设u=f(x,y+z)二次可微。
给定球变换cos sin x ρθϕ=,sin sin y ρθϕ=,cos z ρϕ=.计算22,u u ϕθ∂∂∂∂。
4．设f(x)二次可导，'()f a ='()f b =0。
证明(,)a b ξ∃∈，使2''4()()()()b a f f a f b ξ-≥-。
5．设函数项级数1()n n u x ∞=∑在区间I 上一致收敛于s(x)，如果每个()n u x 都在I 上一致连续。
证明s(x)在I上一致连续。
6．设f(x,y)是2上的连续函数，试交换累次积分2111(,)x x xdx f x y dy +-+⎰⎰的积分次序。
7．设函数f(x)在[0,1]上处处可导，导函数'()()()f x F x G x =-，其中()F x ，()G x 均是单调函数，并且'()f x >0，[0,1]x ∀∈。
证明 0c ∃>，使'()f x c ≥，[0,1]x ∀∈。
8．设三角形三边长的和为定值P 。
三角形绕其中的一边旋转，问三边长如何分配时旋转体的体积最大？051.(20')1)11(2)lim(),()0,()()()()()()()0,()n n n n x aa b bbf a f a f x f a x a f a x a f a f a →<≤≤=='''-≠'---''''''≠求下列极限（）而因此其中存在解：由于存在，从而f(x)=f(a)+f (a)(x-a)+f (a)222222(())211()()(()())lim()lim()()()()()(()())()()()()()((()))2lim(()()()((()))2limx a x a x a x o x a x a f a f x f a f x f a x a f a f x f a x a f a x a x a f a o x a x a x a f a o x a →→→+-'----=''-----''''--+-=-''''-+-=f (a)(x-a)+f (a)f (a)(x-a)+f (a)22222()(())2()()()((()))21()()2lim ()2[()]()(()(())2a x a x a o x a x a x a f a o x a f a f a x a f a f a f a o x a →→-''+--''''-+-''-''==--'''''++--f (a)f (a)(x-a)+f (a)f (a)000002.(18')()[01]()()0()0.()[0,1]()[0,1]}[0,1],()0,1,2}{},()()0()0()limx x f x f x f x x f x f x f n x k f f x f x →='≠⊂==→→∞=='=k k k n n n n n n 设在，上可微，且的每一个零点都是简单零点，即若则f 证明：在上只有有限个零点。
2014考研数学一真题及答案详解
2014考研数学一真题及答案详解2014年全国硕士研究生入学考试数学一真题及答案详解Part A1. 设f(x) = sinx + cosx (0 ≤ x ≤ π)，则f '(x) = _____解析：f(x) = sinx + cosx，则f '(x) = cosx - sinx 当x ∈ [0, π]时，cosx ≥ 0 且sinx ≥ 0，所以f '(x) = cosx - sinx ≥ 0答案：cosx - sinx2. 已知函数f(x) = sinx + cosx，定义在[0, π]上，则f(x)在[0, π]上的最大值为____，最小值为____。
解析：f(x)在[0, π]上的最大值和最小值分别为f(π/4)和f(π/4 + π)。
f(π/4) = sin(π/4) + cos(π/4) = √2f(π/4 + π) = sin(π/4 + π) + cos(π/4 + π) = -√2答案：最大值为√2，最小值为-√23. 设向量a = 2i - 3j + k，b = i + j + 2k，则向量a与向量b的夹角为____°。
解析：向量a与向量b的夹角cosθ为cosθ = (a·b)/(|a||b|) = (2 - 3 + 2)/(√4 + 9 + 1)√6 = 1/√6故θ = arccos(1/√6)答案：θ ≈ 32.5°4. 已知向量a，b，其大小分别为3和4，且它们的夹角为60°。
则向量a + b的大小为____。
解析：根据余弦定理，a + b的大小为|a + b|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ = 9 + 16 + 2×3×4×1/2 = 25故|a + b| = √25 = 5答案：55. 设函数y = f(x)在点x = a处可导，且f '(a) > 0，则以下哪个极限一定存在？（）(A) lim[x→a]f(x)/x(B) lim[x→a]f(x)(C) lim[x→a](f(x))^2(D) lim[x→a]f(x) - f(a)解析：由可导性可知，右导数和左导数存在且相等，则有lim[x→a]f(x)/x = lim[x→a](f(x) - f(a))/(x -a)×(x - a)/x = f '(a)×1 = f '(a)lim[x→a]f(x) = f(a)lim[x→a](f(x))^2 = (lim[x→a]f(x))² = (f(a))²lim[x→a]f(x) - f(a) = lim[x→a](f(x) - f(a)) = f '(a)×(a - a) = 0故正确选项为：(A) lim[x→a]f(x)/x答案：(A)6. 设函数y = x³ + px + q，则当p = 0 时，y = x³+ q有两个零点，一个为0，另一个为____。
2000-2012年苏州大学高等代数试题
2012年苏州大学高等代数考研试题1. （'18）设()f x 是n 次多项式次多项式，，则()f x 有n 重根的充要条件是()()'f x f x .2. （'18）设A 为n 阶实矩阵矩阵，，证明: ()()rank A rank A A Τ=.3. （'18）,A J 为n 阶矩阵.证明证明：：（1）AJ JA =的充要条件条件是211112131++++n n n A a E a J a J a J −=L .其中0000110001010010000100011J =L L L MM M O M M L L . （2）令(){}|C J A AJ JA ==，求()C J 的维数.4. （'18）设n 维列向量12=n a a a βM ，且=2ββΤ. （1）求n E ββΤ−.（2）求()1n E ββ−Τ−. 5. （'18）设,A B 分别为,m n 阶矩阵阶矩阵，，并且,A B 没有公共特征值没有公共特征值。
证明证明：：矩阵方程AX XB =仅有零解仅有零解。
6. （'18）设σ是数域P 上的线性变换上的线性变换，，且2=σσ.证明证明：：(1)(){}ker |V σασαα=−∈.(2)如果τ是V 的线性变换的线性变换，，ker σ和()V σ都是τ的不变子空间.7. ()'20设σ是欧氏空间V 的线性变换的线性变换，，且3+=0σσ.证明证明：：σ的迹为0.8. ()'20设A 为n 阶实可逆矩阵.证明证明：：存在正交矩阵12,Q Q ,使得12Q AQ 为对角阵.且对角线元素全大于0.1. 计算n 阶行列式21000001210000012000000001210000012。
2. 设实二次型()2221231213232f x x x t x x x x x x =+++++。
问当t 取何值时，f 是正定的、半正定的？3. 设300114311A =−。
苏州大学考研真题数学分析2004(含答案)
n
n
f(k) f ( x )dx有 极 限 L， 且 0 L f (1)
k=1
1
(2)设 an
1 2 ln
2
1 3 ln 3
……
1 n ln
n
ln ln
n, n
2, 3… …
证 明 数 列{a n }收 敛 。
n
n
证 明 ： （1） 令 an f(k) 1 f ( x )dx
x4
x 0
4x3
lim
2 x (1
x2)
2(arctan
x)
lim
2
6x2
1 2
1 x2
x 0
4 x 3 (1 x 2 )
x0 12 x2 20 x5
( 2 6 x 2 )(1 x 2 ) 2
8x2 6x4
lim
lim
x 0 (1 x 2 )(1 2 x 2 2 0 x 5 ) x 0 x 2 (1 x 2 )(1 2 2 0 x 3 )
所 以 f(x)> lim f ( x) lim sin 2 x 1
x 0
x0 x2 cos x
即f (x) 1
从 而 tan x
x
, x (0, )
x sin x
2
4.(20 ')(1)设 f ( x )在[1， + ） 上 非 负 递 减 ， 证 明 n + 时
从 而 f ( x ) 在 [0，1]上 存 在 唯 一 的 零 点 ， 也 即 方 程 x n x n 1 … … x 1在 区 间[0，1]上 总 有
2014考研数学真题解析：曲线积分和曲面积分
2014考研数学真题解析：曲线积分和曲⾯积分
以下《2014考研数学真题解析：曲线积分和曲⾯积分》由店铺考研政治频道为您独家提供，欢迎⼤家阅读参考。
曲线积分和曲⾯积分是考研数学⼀考试的重点，每年必考，经常以解答题的形式考查，其中对坐标的曲线积分、对坐标的曲⾯积分考查最多，第⼀类曲线积分和第⼀类曲⾯积分通常以客观题的形式出现。
2014年以填空题形式考查了第⼀类曲线积分，同时在解答题中考查了第⼆类曲⾯积分的计算。
2013年以选择题形式考查了第⼆类曲线积分。
2012年以填空题形式考查了第⼀类曲⾯积分，同时在解答题中考查了第⼆类曲线积分的计算。
第⼀类曲线积分的计算主要是利⽤参数⽅程转化为定积分，第⼆类曲线积分的计算除了利⽤参数⽅程进⾏求解，还有⼀个考试的重点⽅法是利⽤格林公式，这是考试的重点。
利⽤格林公式时，⼀定要注意格林公式的条件。
若积分曲线不是封闭曲线，需要添加辅助曲线构成封闭曲线;若围成的区域含有奇点，则需要挖掉奇点;若封闭曲线不是正向边界曲线，则需要出现负号。
第⼀类曲⾯积分的计算主要是转化为⼆重积分来计算，第⼆类曲⾯积分除了转化为⼆重积分(注意⽅向)，还有⼀个重要的⽅法是利⽤⾼斯公式。
利⽤⾼斯公式时，⼀定要注意⾼斯公式的条件。
若积分曲⾯不是封闭的，需要添加辅助曲⾯构成封闭曲⾯;曲⾯闭合有奇点，加圈;若曲⾯⽅向取内侧，需要加负号。
下⾯看⼀下今年的真题及解析，体会⼀下曲线、曲⾯积分的计算⽅法.
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