最新人教版八年级数学上册第十四章平方差公式
八年级数学平方差公式
几何图形面积计算
计算矩形面积
在几何图形中，矩形的面积可以表示 为长乘以宽，即 $S = ab$。当长和 宽相差不大时，可以利用平方差公式 近似计算面积。
计算平行四边形面积
平行四边形的面积可以表示为底乘以 高，即 $S = ah$。当底和高相差不大 时，同样可以利用平方差公式进行近 似计算。
实际问题解决策略
公式形式及推导过程
公式形式： (a+b)(ab)=a²-b²
推导过程
=a²ab+ab-b²
=a²-b²
左边 =(a+b)(ab)
=右边
适用范围及注意事项
适用范围：平方差公式适用于所有实数 范围内的运算，包括正数、负数以及0。
在进行复杂运算时，可以结合其他公式 或定理进行推导和计算。
在进行因式分解时，需要注意符号问题 ，确保分解后的因式与原式相等。
完全平方公式定义
阐述完全平方公式的概念， 即形如$(a+b)^2$或$(ab)^2$的代数式展开后得 到的公式。
完全平方公式推导
通过代数运算，展示如何 从$(a+b)^2$和$(ab)^2$推导出完全平方公 式。
完全平方公式应用
举例说明完全平方公式在 因式分解、化简求值等问 题中的应用。
立方差、立方和公式推导
THANKS
感谢观看
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
平方差公式的基本形式
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，其中$a$和$b$是任意实数。
平方差公式的推导过程
利用分配律和整式的乘法法则，可以将$(a + b)(a - b)$展开为 $a^2 - ab + ab - b^2$，化简后得到$a^2 - b^2$。
人教版数学八年级上册说课稿14.2.1《平方差公式》
人教版数学八年级上册说课稿14.2.1《平方差公式》一. 教材分析《平方差公式》是人教版数学八年级上册第14章的一节内容。
本节课的主要内容是引导学生探究并掌握平方差公式的推导过程及应用。
平方差公式是初中学过的公式之一，它不仅在代数运算中有着广泛的应用，而且为学生今后学习更高深的数学知识奠定了基础。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了有理数的混合运算，具备一定的逻辑思维能力和探究能力。
但是，对于平方差公式的推导过程和应用，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生通过观察、思考、讨论等方式，自主地探究平方差公式的推导过程，并学会运用平方差公式解决问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握平方差公式的推导过程，理解并掌握平方差公式的应用。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、讨论等方式，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程及应用。
2.教学难点：平方差公式的推导过程，以及如何运用平方差公式解决实际问题。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究式学习法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，以及网络资源进行辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对平方差公式的思考，激发他们的学习兴趣。
2.自主探究：引导学生观察、思考，让学生通过小组合作的方式，共同探究平方差公式的推导过程。
3.公式讲解：讲解平方差公式的推导过程，解释平方差公式的含义。
4.应用练习：布置一些练习题，让学生运用平方差公式进行计算，巩固所学知识。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调平方差公式的应用。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出平方差公式的推导过程和应用。
主要包括以下几个部分：1.平方差公式的推导过程。
八年级数学上册第十四章14.2乘法公式14.2.1平方差公式人教版
-(3a-2b)(2b+3a);
解:(1)(x+1)(x-1)+1=x2-1+1=x2. (2)a(a-3)-(-a+7)· (-a-7)=a2-3a-(a2-72)=49-3a. (3) ������
4
=a - b -(9a2-4b2) =-8a
1 3
2 3
2 3
× 50 +
2 3
.
(2)493× 503 = 50- 3 × 50 + 3 =50 2
1
2
2
2
2 2 =2 3
500-9=2 4999.
4
5
1
2
3
4
5
6
7
1.能用平方差公式进行计算的是( A.(2a-b)(b-2a) B.(a-2b)(2a+b) C.(-2a-b)(2a+b) D.(-2a-b)(-2a+b)
14.2
乘法公式
14.2.1
平方差公式
学前温故
新课早知
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式 的 每一项 ,再把所得的积 相加 .
学前温故
新课早知
1.平方差公式:(a+b)(a-b)= a2-b2 ,即两个数的和与这两个数的差 的积,等于这两个数的 平方差 . 2.下列各式,不能用平方差公式的是( C ).
A.(m-n)(-m-n) C.(-m+n)(m-n)
B.(x3-y3)(y3+x3) D.
1 2������- 3 1 + 2������ 3
3.填入适当的多项式,使等式(2x-y)· ( 2x+y
最新人教版八年级数学上册 第十四章《平方差公式》教案2
15.2.1 平方差公式教学目标1．经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．2．在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力．3．在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简洁美． 教学重难点平方差公式的推导和应用是重点，灵活运用平方差公式解决实际问题是难点． 教学过程导入新课知识复习——多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(a ＋b )(m ＋n )＝am ＋an ＋bm ＋bn .推进新课【活动一】 平方差公式计算下列各题，你能发现什么规律？(1)(x ＋1)(x －1)；(2)(a ＋2)(a －2)；(3)(3－x )(3＋x )；(4)(2m ＋n )(2m －n )．再计算：(a ＋b )(a －b )＝a 2－ab ＋ab －b 2＝a 2－b 2.得出平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差．【活动二】 验证平方差公式请用剪刀从边长为a 的正方形纸板上，剪下一个边长为b 的小正方形(如图1)，然后拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？学生活动：学生动手操作，观察图形，计算阴影部分的面积．经过思考可以发现，图1中剪去一个边长为b 的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a 2－b 2)． 在图2中，长方形的长和宽分别为(a ＋b )，(a －b )，所以面积为(a ＋b )(a －b )． 这两部分面积应该是相等的，即(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.教师活动：引导学生动手操作，自主探索，发现规律，进行归纳，初步感受平方差公式． 教师主要关注：(1)学生能否自己主动参与探索过程；(2)学生在交流中所投入的情感和态度．【活动三】 知识应用，加深理解下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）．(1)(x ＋1)(1＋x )；(2)⎝⎛⎭⎫12a ＋b ⎝⎛⎭⎫b －12a ； (3)(－a ＋b )(a －b )；(4)(x 2－y )(x ＋y 2)；(5)(－a －b )(a －b )；(6)(c 2－d 2)(d 2＋c 2)．学生活动：学生分组讨论，合作交流，归纳何时才能运用平方差公式．只有(2)(5)(6)能用平方差公式．因为(2)⎝⎛⎭⎫12a ＋b ⎝⎛⎭⎫b －12a 利用加法交换律可得⎝⎛⎭⎫12a ＋b ⎝⎛⎭⎫b －12a ＝⎝⎛⎭⎫b ＋12a ⎝⎛⎭⎫b －12a ，表示b 与12a 这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；(5)(－a －b )(a －b )，同样可利用加法交换律得(－a －b )(a －b )＝(－b －a )(－b ＋a )，表示－b 与a 这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；(6)(c 2－d 2)(d 2＋c 2)利用加法和乘法交换律得(c2－d2)(d2＋c2)＝(c2＋d2)(c2－d2)，表示c2与d2这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点．(1)(3)(4)不能用平方差公式，因为表示的不是两个数的和与差的积的形式．教师活动：在交流中让学生归纳平方差公式的特征：①左边为两个数的和与差的积(两个因式中有一项系数相同，有一项系数互为相反数)；②右边为两个数的平方差．【活动四】应用公式，巩固夯实【例1】运用平方差公式计算：(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(b＋2a)(2a－b)；(3)(－x＋2y)(－x－2y)．解：略．【例2】计算：(1)102×98；(2)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)．解：略．【活动五】应用提高、拓展创新给出下列算式：32－12＝8＝8×1；52－32＝16＝8×2；72－52＝24＝8×3；92－72＝32＝8×4.(1)观察上面一系列式子，你能发现什么规律？连续两个奇数的平方差是8的倍数．(2)用含n的式子表示，即(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n(n为正整数)．本课小结1．平方差公式：两个数的和与差的积，等于这两个数的平方差，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.2．公式的结构特征：(1)公式的字母a，b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；(2)要符合公式的结构特征才能用平方差公式；(3)在等号左边的两个括号内分别没有符号变化的部分是a，变号的是B．。
人教版数学八年级上册《14.2.1平方差公式》教案1
人教版数学八年级上册《14.2.1平方差公式》教案1一. 教材分析《14.2.1平方差公式》是人教版数学八年级上册中的一章，主要介绍了平方差公式的概念、推导过程以及应用。
本节课的内容是学生进一步学习代数知识的基础，对于培养学生的逻辑思维能力和数学素养具有重要意义。
平方差公式的推导过程涉及到了完全平方公式，需要学生熟练掌握。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘方、完全平方公式等基础知识，具备了一定的代数运算能力。
但部分学生对于代数式的理解和运算仍存在困难，对于公式的推导过程可能感到抽象难懂。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导。
三. 教学目标1.让学生理解平方差公式的概念，掌握公式的推导过程。
2.培养学生运用平方差公式解决实际问题的能力。
3.提高学生的代数运算能力，培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.平方差公式的推导过程。
2.平方差公式的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生思考和探索。
2.使用多媒体辅助教学，直观展示公式的推导过程。
3.运用例题讲解法，让学生在实际问题中运用公式。
4.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示平方差公式的推导过程和应用实例。
2.准备练习题，用于巩固所学知识。
3.准备小组合作学习的任务，引导学生进行讨论和交流。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的平方差问题，如面积计算、距离计算等，引导学生思考和讨论。
通过这些问题，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题——平方差公式。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示平方差公式的推导过程，引导学生理解和记忆公式。
在这个过程中，教师可以适时提出问题，引导学生思考和探索。
3.操练（15分钟）教师给出一些例题，让学生运用平方差公式进行解答。
在解答过程中，教师要注意引导学生理解和掌握公式的应用。
对于学生的解答，教师要及时给予反馈和指导。
人教版初中数学八年级上册14.2.1平方差公式(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解平方差公式的基本概念。平方差公式是指两个数和与这两个数差的乘积等于这两个数的平方差。它是整式乘法与因式分解中的重要工具，可以帮助我们简化计算过程。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过实际例题，展示平方差公式在整式乘法中的应用，以及如何利用它来简化计算。
-教学难点突破方法：
a.采用直观的教具或动画，如正方形面积的拆分，来形象地展示平方差公式的推导过程。
b.设计阶梯式练习题，从简单到复杂，让学生在练习中逐步掌握平方差公式的应用。
c.进行小组讨论，让学生互相交流解题思路，以加深理解和记忆。
d.通过定期的复习和巩固，帮助学生形成长期记忆，提高解题速度和准确性。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平方差公式的结构（a+b)(a-b)=a²-b²）和符号关系这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解为何符号相反以及平方项的顺序。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平方差公式相关的实际问题，如生活中的实际应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《平方差公式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个数的和与差同时出现的情况？”（如：计算长方形面积时，长和宽的和与差）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平方差公式的奥秘。
3.激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度。
4.加强对学生的个别辅导，关注每个学生的学习进度。
希望通过我的努力，能让每个学生都能在数学学习中找到乐趣，不断提高他们的数学素养。
人教版八年级数学上册课件：14.2.1平方差公式
2．下列各式能用平方差公式计算的是( B ) A．(-3+x)(3-x) B．(-a-b)(-b+a) C．(-3x+2)(2-3x) D．(3x+2)(2x-3)
3．已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2等于( C ) A．4 B．3 C．12 D．1
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/8/102021/8/10Tuesday, August 10, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021 9:46:20 PM 11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。2021/8/102021/8/102021/8/10Aug-2110- Aug-21 12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。2021/8/102021/8/102021/8/10Tues day, August 10, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成 。2021/8/102021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。2021年8月 10日星 期二2021/8/102021/8/102021/8/10 15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021 16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021/8/102021/8/10August 10, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。2021/8/102021/8/102021/8/102021/8/10
最新人教版八年级数学上册第十四章平方差公式2
4 1 2 2
关闭
(2)a(a-3)-(-a+7)(-a-7)=a -3a-(a -7 )=49-3a. 1 1 (3) ������ + b ������- b -(3a-2b)(2b+3a) =-8a2+ b2. 4 (4)2 0142-2 013×2 015 =2 0142-(2 014-1)(2 014+1) =2 0142-(2 0142-12) =2 0142-2 0142+1=1.
关闭
原式=(90-1)(90+1)=902-1=8 099.
答案
7
快乐预习感知
一 二
互动课堂理解 核心知识概览
互动课堂理解
轻松尝试应用
8
快乐预习感知
核心知识概览
1
轻松尝试应用 互动课堂理解 2
3
轻松尝试应用
5
4
6
7
1.计算(x-y)(-y-x)的结果是( A.-x2-y2 B.-x2+y2 C.x2-y2 D.x2+y2
11
快乐预习感知
核心知识概览
1
轻松尝试应用 互动课堂理解 2
3
轻松尝试应用
5
4
7
4.计算: 1- 3 x
1
1 x+1 3
=
.
关闭
1-9x2
1
答案
12
快乐预习感知
核心知识概览
1
轻松尝试应用 互动课堂理解 2
3
轻松尝试应用
5
4
6
7
5.若 m2-n2=6,且 m-n=3,则 m+n=
最新人教版八年级数学上册《14.2.1 平方差公式》优质教学课件
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
导入新知
观察与思考
某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3) 并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这 节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.
素养目标
2. 了解平方差公式的几何意义，体会数 形结合的思想方法. 1. 掌握平方差公式的推导及应用.
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2 2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
探究新知
平方差公式
相同为a
适当交换 (a+b)(a–b)=(a)2–(b)2
合理加括号 相反为b，–b 注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
探究新知
温馨提示
(a+b)(a– b)= a2– b2.
素养考点 2 利用平方差公式简便运算
例2 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y–2) – (y–1) (y+5) .
解: (1) 102×98
(2)(y+2)(y–2)– (y–1)(y+5)
=(100＋2)(100–2) = 1002–22
= y2–22–(y2+4y–5)
不符合平方差公式运
解：原式＝9n2–1–(9–n2) ＝10n2–10. ∵(10n2–10)÷10=n2–1. n为正整数， ∴n2–1为整数
即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍数．
探究新知
归纳总结 对于平方差中的a和b可以是具体的数， 也可以是单项式或多项式.在探究整除性或 倍数问题时，一般先将代数式化为最简， 然后根据结果的特征，判断其是否具有整 除性或倍数关系．
14.2.1平方差公式教学设计2024--2025学年人教版数学八年级上册
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平方差公式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示平方差公式的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
四、学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平方差公式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
3.教学评价：在评价学生学习效果时，我主要依靠课堂表现和作业完成情况，但这种评价方式可能不能全面反映学生的实际掌握情况。
（三）改进措施
1.优化课堂管理：我将加强对小组讨论的引导，确保讨论内容与平方差公式紧密相关，提高课堂时间的利用效率。
2.个性化教学：我将更加关注学生的学习情况，根据学生的实际水平调整教学内容和难度，采用更符合学生实际需求的教学方法。
4.鼓励进步：对于学生的进步给予鼓励和表扬，激发学生的学习兴趣和自信心。
5.辅导帮助：对于学习有困难的学生，提供辅导帮助，通过一对一辅导、小组讨论等形式，帮助他们解决学习中的问题。
教学流程
一、导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“平方差公式”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积或体积的情况？”（举例说明）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平方差公式的奥秘。
2.多样化的教学方法：我采用了讲解、演示、讨论等多种教学方法，使学生在不同的学习方式中理解和掌握平方差公式。
（二）存在主要问题
1.教学管理：在课堂管理方面，我发现学生在小组讨论时有时会偏离主题，讨论内容与平方差公式无关，这浪费了宝贵的课堂时间。
人教版数学八年级上册《14.2.1平方差公式》教学设计2
人教版数学八年级上册《14.2.1平方差公式》教学设计2一. 教材分析人教版数学八年级上册《14.2.1平方差公式》是初中数学的重要内容，平方差公式是解决实际问题的一种基本方法，对于提高学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
本节课的内容是在学生已经掌握了完全平方公式的基础上进行学习的，通过平方差公式的学习，使学生能够更好地理解和掌握数学知识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了完全平方公式，能够进行简单的数学运算，但是对于平方差公式的理解和应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握平方差公式，并通过实际问题，使学生能够将平方差公式应用到实际问题中。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握平方差公式的推导过程和应用方法。
2.过程与方法：通过实际问题，培养学生运用平方差公式解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导过程和应用方法。
2.难点：平方差公式的灵活运用和解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过实际问题，引导学生理解和掌握平方差公式，并通过实际问题，使学生能够将平方差公式应用到实际问题中。
六. 教学准备1.教学PPT：制作教学PPT，包括平方差公式的推导过程和应用实例。
2.实际问题：准备一些实际问题，用于引导学生应用平方差公式解决问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何解决这个问题，从而引出平方差公式。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现平方差公式的推导过程，引导学生理解和掌握平方差公式。
3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的练习题，进行平方差公式的计算，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）通过一些实际问题，让学生应用平方差公式解决问题，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）让学生思考如何将平方差公式应用到更复杂的问题中，提高学生的数学思维能力。
14.3.2 因式分解 —平方差公式 教案 (含答案)2023--2024学年人教版八年级数学上册
第十四章整式的乘法与因式分解·14.3因式分解·第二课时平方差公式教案班级：课时：课型：一、学情分析平方差公式是最基本、用途最广泛的公式之一，它在整式乘法、因式分解、分式运算及其他代数式的变形中起十分重要的作用.但是这一阶段的学生抽象思维能力还不够完整，需要在教师的引导下进行探索.二、教学目标1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想；2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．三、重点难点【教学重点】运用平方差公式分解因式．【教学难点】综合运用提公因式法与平方差公式来分解因式．四、教学过程设计第一环节【复习旧知引入新课】1.师：因式分解的定义？生：把一个多项式分解成几个整式的积的形式.2.师：提公因式法的定义？生：在一个多项式中，若各项都含有公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.3.5ab3+20ab2的公因式是什么？（答案）5ab2(b+4).4.x2-1和4m2-n2可以用提公因式法分解吗？设计意图：通过师生互动共同回顾上节课所学知识，避免学生遗忘知识，同时为这节课所学知识做铺垫.第二环节【合作交流探索新知】1.观察多项式x2-1和4m2-n2，试着用已经学过的知识找出他们之间有什么特点？学生通过因式分解发现x2-1可以变成（x-1）（x+1），4m2-n2可以变成（2m-n）（2m-n），老师引出平方差概念.（答案）都可以写成a2-b2(两个数的平方差)的形式.x2-1=x2-12和4m2-n2=(2m)2-n2.2.师：你能将a2-b2分解因式吗？学生思考后将其变成（a-b）（a+b），老师给出互逆过程，给出相关概念.两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.这种分解因式的方法称为公式法.3.下列多项式能用平方差公式法进行因式分解吗？x2-1=4m2-n2=-4m2-9=x2-(x+y)2=（答案）x2-1=(x+1)(x-1)4m2-n2=(2m)2-n2=(2m+n)(2m-n)-4m2-9不能转变为平方差形式x2-(x+y)2=[x+(x+y)][x-(x+y)]=-y(2x+y)4.老师带领学生进行知识归纳，让学生印象更加深刻.因式分解的平方差公式：公式中的ɑ，b可以是单独的数字、字母，也可以是单项式、多项式.5.师：多项式2x2-8y2怎么分解？老师强调：如果多项式的各项含有公因式，那么先提公因式，且必须分解到不能分解为止.设计意图：通过观察两个多项式运用因式分解引出平方差的概念，再由特殊到一般总结规律.通过几道习题让学生能够熟悉的运用公式法进行因式分解，让学生更清楚哪些式子是不能用平方差公式法.第三环节【应用迁移巩固提高】例1：(1) 4x2-9；(2)(x+p)2-(x+q)2 .例2.把下列各式分解因式:(1)9(m+n)2-(m-n)2；(2)2x3-8x.例3.分解因式：(1)x4-y4；(2)ɑ3b-ɑb.设计意图：本环节通过三道例题的练习，考察学生对平方差公式法运用的熟练程度，巩固基础.【答案】例1.解：（1）原式=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).（2）原式= [(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q).例2.（1）解：原式= [3(m+n)]2-(m-n)2=(4m+2n)(2m+4n)= 4(2m+n)(m+2n)；（2）原式= 2x(x2-4)= 2x(x+2)(x-2).例3.（1）解：原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)；（2）原式=ɑb(ɑ2-1)=ɑb(ɑ+1)(ɑ-1).第四环节 【随堂练习 巩固新知】1.下列多项式不能用平方差公式分解因式的是( )A.-ɑ2+b 2B.16m 2-25m 4C.2x 2-21y 2D.-4x 2-92.下列各式能用平方差公式分解因式的是( )A ．2x 2+y 2B ．-x 2+y 2C ．-x 2-y 2D ．x 3+(-y )23.将(ɑ-1)2-1 分解因式，结果正确的是( )A.ɑ(ɑ-1)B.ɑ(ɑ-2)C.(ɑ-2)(ɑ-1)D.(ɑ-2)(ɑ+1)4.分解因式：x 2y 2-49 = ；5.分解因式：-25ɑ2+9b 2 = .设计意图：本环节在于夯实基础，通过解答简单练习让学生在习题中找到学习的乐趣，增强学生学习的主动性.【答案】1.D2. B3.B4.(xy+7)(xy-7)5.(3b+5ɑ)(3b-5ɑ)第五环节【当堂检测及时反馈】1.（2019秋•乳山市期末）下列多项式，不能用平方差公式分解因式的是()A．a2b2-1 B．4-0.25a2C．-x2+1 D．-a2-b22.（2019•贺州）把多项式4a2-1 分解因式，结果正确的是()A．(4a+1)(4a-1)B．(2a+1)(2a-1)C．(2a-1)2D．(2a+1)23.把ɑ3-4ɑ分解因式，结果正确的是()A.ɑ(ɑ2-4)B.(ɑ+2)(ɑ-2)C.ɑ(ɑ+2)(ɑ-2)D.ɑ(ɑ+4)(ɑ-4)4.（2019春•金坛区期中）已知x-y= 3，y-z= 2，x+z= 4，则代数式x2-z2的值是（）A．9 B．18 C．20 D．245.下列分解因式正确的是()A.ɑ2-2b2=(ɑ+2b)(ɑ-2b)B.-x2+y2=(-x+y)(x-y)C.-ɑ2+9b2=-(ɑ+9b)(ɑ-9b)D.4x2-0.01y2=(2x+0.1y)(2x-0.1y)6.(珠海·中考)因式分解:ɑx2-ɑy2=.7.（2020•哈尔滨模拟）分解因式：-(a+2)2+16(a-1)2=．8.（2020秋•广西期中）运用公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”计算：9992-1 =，99982=．9.把下列各式分解因式：(1)(a-1)+a2(1-a)；(2)x5-16x.10.已知4m+n= 40，2m-3n= 5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．设计意图：通过本环节的练习，深化学生对平方差公式的运用，同时让学生体会到公式法的优越性.【答案】1.D2.B3.C4.C5.D6.ɑ(x+y)(x-y)7.3(5a-2)(a-2)8.998000；999600049.解：（1）原式=(a-1)-a2(a-1)=(a-1)(1-a2)=(a-1)(1+a)(1-a)=-(a-1)2(1+a)；（2）原式=x(x4-16)=x[(x2)2-42]=x(x2+4)(x2-4)=x(x2+4)(x+2)(x-2).10.解：(m+2n)2-(3m-n)2=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)(2m-3n)，当4m+n= 40，2m-3n= 5 时，原式=-40×5 =-200．第六环节【拓展延伸能力提升】1．利用因式分解计算：1002-992+982-972+962-952+…+22-12.2.已知乘法公式a5+b5=(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)；a5-b5=(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4).利用或者不利用上述公式，分解因式：x8+x6+x4+x2+1.设计意图：本环节习题在于考察学生能够灵活的运用公式法求解，对式子的转化能力要求较高.【答案】1.解：原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+…+(2+1)(2-1)= 100+99+98+97+…+2+1= 5050.2.解：x 10-1=(x 5)2-1=(x 2)5-1=(x 2-1)(x 8+x 6+x 4+x 2+1)，则有x 8+x 6+x 4+x 2+1=11210--x x =()()()()111155-+-+x x x x= (x 4+x 3+x 2+x +1)(x 4-x 3+x 2-x +1).第七环节 【总结反思 知识内化】课堂小结：1.利用平方差公式分解因式: ɑ2-b 2 = (ɑ+b )(ɑ-b ).2.因式分解的步骤是:首先提取公因式，然后考虑用公式法.3.因式分解应进行到每一个因式不能分解为止.4.将因式分解应用到计算中，简化计算.设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.第八环节 【布置作业 夯实基础】。
最新人教版八年级数学上册第14章教案之14.2.1 平方差公式
最新人教版八年级数学上册第14章教案14.2.1 平方差公式一、教学目标1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解。
2．掌握平方差公式的应用。
二、教学过程（一）情境导入1．教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则．学生积极举手回答．多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．2．教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式．（二）合作探究探究点：平方差公式【类型一】判断能否应用平方差公式进行计算例1 下列运算中，可用平方差公式计算的是()A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)解析：A中含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；B中(－x＋y)(x－y)＝－(x－y)(x－y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；C中(－x－y)(y－x)＝(x＋y)(x－y)，含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，正确；D中(x＋y)(－x－y)＝－(x＋y)(x＋y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；故选C.方法总结：对于平方差公式，注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．【类型二】直接应用平方差公式进行计算例2 利用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．解析：直接利用平方差公式进行计算即可．解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25；(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．【类型三】平方差公式的连续使用例3 求2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)的值．解析：根据平方差公式，可把2看成是(3－1)，再根据平方差公式即可算出结果．解：2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(34－1)(34＋1)(38＋1)＝(38－1)(38＋1)＝316－1.方法总结：连续使用平方差公式，直到不能使用为止．【类型四】应用平方差公式进行简便运算例4 利用平方差公式简算：(1)2013×1923；(2)13.2×12.8.解析：(1)把2013×1923写成(20＋13)×(20－13)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝400－19＝39989；(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键．【类型五】化简求值例5 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x ＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．【类型六】利用平方差公式探究整式的整除性问题例6 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍数吗？解析：利用平方差公式对代数式化简，再判断是否是10的倍数．解：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10＝10(n＋1)(n－1)，∵n为正整数，∴(n－1)(n＋1)为整数，即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题．【类型七】平方差公式的实际应用例7 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．解：李大妈吃亏了．理由：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16，∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．【类型八】平方差公式的几何背景例8 如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________．解析：∵左图中阴影部分的面积是a2－b2，右图中梯形的面积是12(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.方法总结：通过几何图形之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．（三）板书设计平方差公式文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差符号语言：(a＋b)(a－b)＝a2－b2。
14.2.1平方差公式+课件2023-—2024学年人教版八年级数学上册
(3) (a+3)(a-3)= a2 -3a+ 3a -9= a2-9
(4) (a+4)(a-4)= a2 -4a+ 4a -16= a2-16 类比猜测: (a+b)(a-b)= a2-b2 你能证明这个公式是正确的吗？
, 方法一： (a+b)(a-b)
, = a2-ab+ab-b2
= a2-b2
湘教版·初中数学·七年级下册
平方差公式
冷水江市第二中学
难点 重点：平方差公式的概括与运用。
速算王的绝招
探究新知 完成教材P42“动脑筋” 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (a+1)(a-1)= a2 -a+ a -1= a2-1 ,
(2) (a&# a2-4 ,
练习：运用平方差公式计算下题。
PART FOUR
(a+b)(a-b) = a2-b2
课堂小结
感谢观看
例题讲解
例1 运用平方差公式计算：
（1）(x+2y)(x-2y).
例题讲解
习题 运用平方差公式计算：
（1）
；（2）(4a+b)(-b+4a).
五、公式运用 ( a + b )( a − b ) = a2 − b2
例1：运用平方差公式计算
（六）速算王的秘密：
？ 1、103×97= 9991
2、999×1001= 999999
方法二：几何解释
你能根据图中的阴影面积说明平方差公式吗？
归纳新知
相同项
平方差公式：
=
相反项
公式结构特征：
1.等号左边一项完全相同，另一项互为相反项；
人教版八年级上册第14章14.2.1平方差公式课件(共26张PPT)
探究
观察下面等式，你能发现什么规律？
(1)(x 1)(x 1) x2 1; (2)(m 2)(m 2) m2 4; (3)(2x 1)(2x 1) 4x2 1.
x2 12 m2 22 (2x)2 12
乘法的平方差公式 (a b)(a b) a2 ab ab b2 两个数的和与这两个数的差的积a，2 等于b这2 两个数的平方差．
a4－2a2b2＋b4
3x2－5x－10
15. 你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
a2－b2=a(a-b)+b(a-b)=(a+b)(a-b)
16. 利用乘法公式计算： (2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)．
原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1) ＝(24－1)(24＋1)(28＋1) ＝(28－1)(28＋1)＝216－1
情境引入
慢羊羊回到羊村，就把这件事对喜羊羊他们讲了，喜羊羊一听马上说， “村长，您吃亏了！” 慢羊羊村长很吃惊的问道：“啊，那我吃亏了多少？” 沸羊羊说道：“我来帮您算算，” 喜羊羊还没等沸羊羊开始算就说到：“不 用算啦，村长亏了25平方米！” 沸羊羊不解道：“你怎么算的这么快呀？”。
知识回顾 1.说一说多项式乘以多项式的计算法则？
( D)
第2关
12. 计算：
(1)(
1 4
a－1)(
1 4
a＋1)；
1 a2－1
16
13. 计算： (1)(－3y＋2x)(2x＋3y)；
4x2－9y2
(2)(2－xy)(xy＋2)． 4－x2y2
(2)(－2b－5)(2b－5)． 25－4b2
初中数学人教版八年级上册14.2.1平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
说明:
公式中的a,b可以表示具体的数（正 数或负数），也可以表示一个单项式或 一个多项式.
问题4： 你能用文字语言表示平方差公式吗？
问题5
下图是一个边长为 a 的大正方形,
割去一个边长为b 的小正方形.你能
不能用两种办法表示出它剩下的面积?
a
a
b
解决问题
a
a
a
问题6： 从以上的几道题中，你认为运用公
式时应注意哪些地方？
例2 计算：
⑴ 102 ×98; ⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);
⑴ 102 ×98 = (100+2) (100-2) = 1002-22 = 10000-4 = 9996
⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
b
a-b
b
b
割补法求面积为：__(_a____b_)_(_a___b__)__
大减小求面积为：_____a__2___b__2____
(a b)(a b) a2 b2
例1 运用平方差公式计算：
1、( 3x + 2 )( 3x – 2 ) ; 2、( b + 2a )( 2a – b ); 3、( -x + 2y )( -x - 2y ).
问题3：在平方差公式 (a b)(a b) a2 b2 中，观察式子有什么特点？
(a+b)(a-b)=a2-b43;b)(a-b)=a2-b2
特征:
符号 符号 相同 相反
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
平方差
(a+b)(a-b)=a2-b2
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加深理解
１、下列各式中不能用平方差公式计算 的是（ B ） • Ａ(3x-2y)(3x+2y) • Ｂ(3x+5y)(5x-3y) • Ｃ(2a+5)(-2a+5) • Ｄ(4x2-3yz)[(2x)2+3yz]
加深理解
先化简，再求值: (x-3) (x2+9) (x+3) 其中x=-1 解: (x-3) (x2+9) (x+3) =(x-3) (x+3) (x2+9) =(x2-9) (x2+9) =(x2)2-92 =x4-81 当x=-1时， 原式=(-1)2-81 =1-81 =-80
反馈练习
利用平方差公式计算： １、(-4x-y)(-4x+y) ２、(ab+8)(ab-8) ３、(m+n)(m-n)+3n2
逆向思维训练
口 答
2m 3n m+3n) １、(__-__)(2 =4m2-9n2 ２、(5m2+__)(___-3 3n2 5m2 n2) =25m4-__ 9n4 0.2x2 ３、(2+_____)(_____-2) 0.2x2 =0.04x4-4 或：[2+(_____)][(_____)-2] -0.2x2 -0.2x2 =0.04x4-4
解：
• • • • • • 1、(-2m-1)(3m-2)=-6m2+m+2 2、(2x+3)(x2-x-1)=2x3+x2-5x-3 3、(x+2)(x-2)=x2-4 4、(1+3a)(1-3a)=1-9a2 5、(a+b)(a-b)=a2-b2 6、(x+5y)(x-5y)=x2-25y2
小组讨论：观察3－6的等式，你发现 了什么？
小结
• １、本节课我们学习了什么内容？平方 差公式是用于什么问题的计算？
• ２、利用平方差公式计算多项式乘法有 何优点？ • ３、利用平方差公式计算的关键是什么？
你知道吗？
１下列整式的相反数是多少？ （１）a （２）-２b2 （３）x-y 2多项式乘多项式的计算法则是什么？
计算下列各题
• • • • • • 1、(-2m-1)(3m-2) 2、(2x+3)(x2-x-1) 3、(x+2)(x-2) 4、(1+3a)(1-3a) 5、(a+b)(a-b) 6、(x+5y)(x-5y)
解:
１、(5+6x)(5-6x) =52-(6x)2 =25-36x2 ２、(x-2y)(x+2y) =x2-(2y)2 =x2-4y2 ３、(-m+n)(-m-n) =(-m)2-n2 =m2-n2
*当公式中a和b不是单 独数字或字母时表示 平方要加括号.
利用平方差公式计算的步骤：
•1、对形式. •2、套公式.
结果
9x2-16 9m2-49 X2- 4 1-9x2y2
3x 4 3m 7 -x 2 3xy 1
可以看出利用平方差公式计算的关键是，弄清具 体题目中，哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公 式中的b.
例：
• 利用平方差公式计算
• １、(5+6x)(5-6x) • ２、(x-2y)(x+2y) • ３、(-m+n)(-m-n)
(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式的特征：
1、左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有 一项完全相同，另一项互为相反数。 2、右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去 相反项的平方） 3、公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或 多项式.
4、公式中的a和b的位置有时候不确定.
例如：
(10 + 3)(10 - 3) •
=
2 2 10 -3 =91
( a + b)( a - b) =
2 a-
2 b
填一填
(a+b)(a-b)
(3x+4)(3x-4) (7+3m)(-7+3m) (-x+2)(-x-2) (-3xy+1)(1+2 (3m2)-72 (-x)2-22 12-(3xy)2