(2020年整理)复变函数课程标准.doc
复变函数 课程教学大纲
复变函教课程教学大纲一、课程的基本信息适应对象：信息与计算科学本科专业课程代码：15E01726学时分配：54学时赋予学分：3先修课程：数学分析，高等代数后续课程：毕业综合训练二、课程性质与任务复变函数是信息与计算科学专业的一门选修课程，主要研究复变函数的微分积分及映照。
这门学科在工程力学，物理以及数学其它分支中有许多应用。
开设本课程的任务就是使学生掌握复变函数基本内容，为进一步学习其它课程，并为从事教学、科研以及其它工作打好基础。
三、教学目的与要求通过本课程的教学,使学生掌握复变函数的微分积分及映照等有关的基本概念和基本方法, 并能应用本课程的理论知识和方法解决实际问题。
四、教学内容与安排第一章复数与复变函数（6学时）1.1复数复数域,复数的乘辕与方根.1.2复平面上的点集区域,集与集之间的距离，区域的连通性,约当曲线.1.3复变函数复变函数的定义，复变函数的极限、连续性.1.4复球面与无穷远点第二章解析函数（10学时）2.1解析函数的概念与柯西-黎曼条件复变函数的导数与微分，解析函数的概念，函数解析的充要条件：柯西-黎曼条件.2.2初等解析函数指数函数，三角函数，双曲函数。
2.3初等多值函数根式函数，对数函数，一般基函数，一般指数函数。
第三章复变函数积分（10学时）3.1复积分的概念及其简单性质复变函数积分的定义，复积分的变量代换公式，积分估值。
3.2柯西积分定理柯西积分定理及其推论，不定积分，柯西积分定理的推广，复围线。
3.3柯西积分公式及其推论柯西积分公式，柯西积分的定义，解析函数的无穷可微性，柯西不等式，LioUVilIe定理，Morera 定理。
3.4解析函数与调和函数的关系，解析函数的定义，调和函数的定义。
第四章解析函数的塞级数表示法（10学时）4.1复级数的基本性质，复数项级数的定义、收敛性，一致收敛的复函数项级数，柯西一致收敛准则，维尔斯特拉斯定理。
4.2'幕级数，Abel定理，和函数的解析性。
复变函数课程标准
复变函数课程标准课程目标h学生掌握复变函数中的基本概念、基础知识与基本理论，并会对概念进行举例、区分和判断。
学生需要熟练掌握复数与复变函数的基本概念、定理和思想方法，提升学生的专业知识素质，进一步培养学生的分析学功底，为后续课程及其它相关学科的学习奠定知识基础。
课程目标2,学生能够理解复变函数课程中重要性质和定理的结论和证明思路，并且可以综合应用更变函数中的性质和定理到实际计算中来解决问题。
结合数学分析帮助学生理解第变函数中的部分证明、计算与结论，同时也通过学习复变函数进一步巩固和深入理解、掌握一些数学分析的内容。
培养学生严密的数学语言表达能力、抽象的逻辑思维能力、严谨的推理论证能力以及熟练的运算能力，为后续课程的学习和深造打下坚实的分析基础。
课程目标3：了解复变函数课程的相关历史背景以及国内外最新发展状况，并具有一定的数学文化素养。
了解复变函数课程在近（现）代数学中的基础地位和作用，以及与相关学科（如概率统计、拓扑学、热力学、电学等）的联系。
课程目标4：具有终身学习与持续发展的意识和能力，能够利用复变的相关理论指导中学数学中复数方面的教，学实践，以便能够高屋建领地掌握和处理中学数学教材，并能够在中学教学教学实践中客观、真实地介绍蔻函数相关的现代数学学科。
三、课程目标与毕业要求的关系定理证明及应用，最大（小）模原理证明及应用，双边塞级数收敛的概念、运算及性质、收敛域，求出一些简单函数的洛朗展式，孤立奇点的定义与分类，零点与极点关系，极点阶数的判别，判断无穷远点作为解析函数的奇点的类型，整函数与亚纯函数的概念，孤立奇点（包含无穷远点）留数的定义、留数定理，留数的求法，用留数计算闭曲线积分，计算6fr H （8B,歹曲曲型积分,计算窗KX ）/典）成型积分,计算窗［PG ）∕9（χ）kE 成型积分,对数留数，辐角原理，鲁歇定理，解析变换的保域性、保角性、单叶解析变换的共形性,分式线性变换的概念与分解、共形性、保交比性、保圆周（圆）性、保对称性，辱函数、根式函数、指数函数与对数函数构成的共形映射，由圆弧构成的两角形区域的共性映射等。
《复变函数》课程简介及教学大纲
《复变函数》课程简介及教学大纲课程代码：112000091课程名称：复变函数/Function of a Complex Variable课程类别：公共基础课总学时/学分：48/3开课学期：第三或四学期适用对象：非数学专业本科生先修课程：高等数学内容简介：本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共性映射等内容。
一、课程性质、目的和任务本课程是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课。
本课程主要讲授复变函数的基本理论和方法。
通过本课程的学习，学生不仅能够学到复变函数的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特殊重要的作用。
二、课程教学内容及要求本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共性映射共六章。
第1章复数与复变函数主要内容：1复数的概念、运算及几何表示。
2 复平面上区域、曲线的概念及它们的复数表示。
3 复变函数、映射的概念及其复变函数的极限与连续性。
基本要求：1熟悉复数概念及各种几何表示。
2掌握复数的四则运算、乘幂方根共轭等运算并能简单应用。
3了解复平面上区域、曲线的概念，掌握用复数表示它们的方法。
4 了解复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，熟悉复变函数极限与连续性的运算法则及性质，熟悉复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系与区别。
重点：复数的运算及各种几何表示法，复变函数及映射概念。
难点：用复数方法表示平面区域、曲线。
第2章解析函数主要内容：1 复变函数的导数及解析函数的概念。
2 复变函数可导与解析的充要条件，柯西-黎曼方程及解析函数的性质。
3 初等函数。
基本要求：1 理解复变函数的导数及解析函数的概念，掌握复变函数连续、可导、解析之间的关系及求导法则。
复变函数教学大纲
《复变函数》课程教学大纲一、课程说明1.课程基本情况课程名称：复变函数英文名称：Functions of Complex Variable课程编号：2411211开课专业：大学本科数学与应用数学专业开课学期：第4学期学分/周学时：3/3课程类型：专业主干课2.课程性质《复变函数》是高等师范院校数学与应用数学专业的一门必修专业课，是数学分析的后续课程。
它在数学学科众多分支中都有着广泛的应用。
它的理论和方法，对于其它数学学科，对于物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用。
通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力。
3．本课程的教学目的和任务本课程要注意师范性。
在内容的选取上应突出基本理论和基本方法，把重点放在单复变函数的微分、积分、级数展开式和保形变换上。
使学生掌握复分析的基本理论和近代复分析的基本思想，加深对数学分析及中学有关内容的理解，并为学习后继课程奠定必要的数学基础。
在教学中，应注意基本概念讲解正确清楚，基本理论阐述系统简明，基本运算能力的训练严格要求。
基本论证方法思路清晰，论证严谨。
注意本课程和其它课程的联系，特别是与数学分析的衔接，相应内容在处理方法上的异同。
在基本运算方面，应通过适当的例题和习题，加强习题课和练习，使学生掌握主要方法。
4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求本课程是《数学分析》的提高、抽象和研究对象在复域内的进一步拓宽，它在数学学科众多分支（如概率论、微分几何、泛函分析、数学物理方程和拓扑学）中都有着广泛的应用，因此它也为这些后继课程奠定必要数学基础。
5．教学时数及课时分配二教材及主要参考书1. 钟玉泉. 复变函数论 (第三版). 北京：高等教育出版社，2003年.2. 范宜传、彭清泉. 复变函数习题集. 北京：人民教育出版社，1983年.2. 余家荣. 复变函数. 北京：人民教育出版社，1979年.3. 钟玉泉. 复变函数学习指导. 北京：高等教育出版社，1995年.4. 王玉玉, 王健波. 复变函数论（第三版）. 北京：中国时代经济出版社，2008年.三教学方法和教学手段说明以教师讲解为主的课堂教学方式四成绩考核办法本课程以教务处的相关文件规定进行考核。
复变函数教学大纲
《复变函数》教学大纲课程类别：专业基础课课程代码：LX2107总学时：72 学时学分：4学分适用专业：数学与应用数学本科专业先修课程：数学分析、解析几何一、课程地位、性质和任务复变函数论是数学专业的一门重要必修基础课，又是数学分析的后继课，它的理论与方法深刻渗入到代数学、解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学的各个分支；同时，在物理的热力学、流体力学、弹性物理等和其它科学领域以及工程技术中都有广泛的应用。
通过本课程的学习，使学生掌握复变函数的基本知识、基本理论和基本方法，了解复变函数在其它学科中的有关应用，进一步理解分析数学的思想和方法。
并通过该课程的系统性和严谨性，以锻炼学生思考问题和逻辑推理能力，提高应用知识解决问题的能力。
二、课程教学的基本要求通过本课程的学习，使学生熟练掌握复变函数的基本概念、基本理论、基本运算及基本方法。
进一步理解分析数学的思想和方法。
了解本学科数学发展的前沿。
同时，通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题，来提高分析问题解、决问题的能力。
三、教学内容与学时分配第一章复数及复平面（8学时）本章介绍了复数及复平面的相关概念，是复变函数论的基础。
需要理解复数的概念；熟悉复数的多种表示法、复数的代数运算；理解复数运算的几何意义；了解区域、曲线和复球面等概念；掌握用复数的方程来表示常用曲线及用不等式表示区域。
重点是复数的运算以及用复数方程表示曲线，用不等式表示区域。
难点是用不等式表示区域。
第二章复变函数（10学时）本章介绍了复变函数概念及其极限与连续、复变函数的导数与解析函数的概念以及它的一些充要条件、初等函数及性质。
需要掌握复变函数概念、复变函数的极限与连续性；掌握解析函数的概念与柯西—黎曼条件；掌握复变函数的导数、初等解析函数的概念及性质；了解初等多值函数。
重点是解析函数的概念，函数解析的充要条件，初等函数的概念及其解析性。
复变函数教学方法(全).docx
复变函数教学方法一、课程教学方法与手段本课程的教学以教师讲授为主，辅以习题练习与学生自主自学。
基本内容由教师讲授，通过习题课巩固，其余部分由学生自学提高。
师生配合，充分发挥学生的主动学习精神，教学相长，最大限度地提高教学质量。
二、多种教学方法灵活使用的形式与目的《复变函数论》课程属于数学类基础课，其综合性和应用性的学科特点，要求我们必须注重在教学过程中培养学生的能力和素质，强调充分调动学生学习的主动性、积极性和创造性。
近年来我们对《复变函数论》的教学方法进行了较为系统地研究和应用，避免了单一的、满堂灌式的讲授法，在教学中采取了灵活多样的教学方法，突出了“课堂中注重互动讨论、学习中关注实际应用、实验中加强操作训练”的讲授方法和学习方法。
1、基本教学方法。
教师讲授为主，学生自主学习为辅，遵循课堂屮注重互动讨论、学习中关注实际应用、实验中加强操作训练的总体教学方法，讲授法与讨论法相结合、启发与具体实例相结合、骑证式与实验室模拟相结合等教学方法, 结合《复变函数》课程特点精心选择和梳理各章节的教学方法。
2、提出教学方法及其改革的建议。
根据教学内容的理论性、实践性、应用性、难易程度等的不同，对具体的章节提出具体的教学方法以供教师参考。
如对于基础理论部分，仍然采取以讲授法为主，但在讲授屮要突出重点，讲透难点，贯穿少而精的原则，精讲基本理论；对实际应用性内容主要是指导学生自学，启发学生如何发现问题、分析问题、解决问题；对于计算复杂、运算量大的技能训练，则采用课后实验加以巩固。
3、应用举例与专题研讨教学法。
本课程一般安排3-4次专题讨论课。
该方法的应用受到了学生的普遍欢迎，培养学生独立的文献检索与阅读、问题归纳分析和语言表达能力，激发了学生学习兴趣，受到了较好的学习效果和社会实践的意义。
4、坚持教学和科研相结合的原则。
充分发挥主讲教师、辅导教师、木科生导师的作用，利用各种方式，如座谈会、课上课下讨论会、专题讲座、课程小论文，调动学生参与科研的积极性，挖掘了学生潜能，培养学生运用复变函数理论解释、研究和解决实际问题的能力。
复变函数课程标准
《复变函数》课程标准课程代码： 05028适用专业：数学教育开设学期：第五学期计划学时： 60一、课程性质复变函数是高等学校数学与应用数学专业的专业必修课，它一方面是数学分析的后继课，另外又在数学学科众多分支（如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析⋯）及其它领域（如流体力学、弹性力学、电学、工程技术⋯）有着广泛应用，是学习现代数学不可缺少的基础。
复变函数用分析的方法研究复变量的解析函数的基本性质，极限是其主要的工具，许多概念如连续、导数、积分、级数等虽然与数学分析平行，但由于在复数域上研究，在讨论中要使用复变函数本身独特的理论和方法，其结果具有严密的结构和优良的性质。
二、课程目标通过教学，本课程的目标为使学生了解复变函数这门学科的性质，它与其它学科的关系，了解复分析与实分析的联系和差别。
掌握复变函数的基本性质、级数表示、积分理论、保角映射等方面的基础知识，以及对各有关问题的基本计算能力和一定的逻辑推理能力。
了解一些复变函数在力学及物理等方面的应用情况。
三、教学内容和教学要求这门学科的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次。
这四个层次的一般涵义表述如下：知道———是指对这门学科和教学现象的认知。
理解———是指对这门学科涉及到的概念、原理、策略与技术的说明和解释，能提示所涉及到的教学现象演变过程的特征、形成原因以及教学要素之间的相互关系。
掌握———是指运用已理解的教学概念和原理说明、解释、类推同类教学事件和现象。
学会———是指能模仿或在教师指导下独立地完成某些教学知识和技能的操作任务，或能识别操作中的一般差错。
教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。
本标准中打“※”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定要求或不布置要求。
教学要求教学内容知理掌学道解握会（1）复数与复变函数复数、复平面上的点集、复数的四则运算、乘方与开方、复数的三角表示复变函数、极限、连续性约当曲线定理、复球面与无穷远点（2）解析函数解析函数的概念与柯西 - 黎曼条件、求导法则、可微的必要条件和充分条件、奇点多值解析函数的支点、割线、解析分支初等解析函数（正整数次幂函数、指数函数、三角函数、双曲函数）初等多值函数（根式函数、对数函数）※初等多值函数（反三角函数、一般指数函数、一般幂函数）、黎曼曲面（3）复变函数的积分复积分的概念及基本性质柯西积分定理（单连通与复连通域）、定积分与原函数柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、刘维尔定理、莫雷拉定理调和函数与共轭调和函数平均值定理与极值原理、波阿松积分公式与狄利克莱问题※代数基本定理柯西型积分※解析函数在分析平面向量场的应用（一）※解析开拓的对称原理※（4）解析函数的幂级数表示法复级数的基本性质、收敛与一致收敛性幂级数、收敛半径、和函数性质解析函数的泰勒展式、初等函数的泰勒展开解析函数零点的孤立性及唯一性定理、最大模原理（5）解析函数的罗朗展式与孤立奇点解析函数的罗朗展式解析函数的孤立奇点毕卡定理※解析函数在无穷远点的性质整函数与亚纯函数的概念解析函数在分析平面向量场的应用（二）※（6）残数理论及其应用残数的概念和求法用残数定理计算实积分幅角原理、儒歇定理及应用（7）保形变换解析变换的特征、导数的几何意义、单叶解析函数的基本性质线性变换某些初等函数所构成的保形变换关于保形变换的希瓦兹引理、黎曼存在定理和边界对应定理※（8）解析开拓解析开拓的概念与幂级数开拓透弧解析开拓完全解析函数的概念多角形区域的保形变换※※※※四、课程实施本课程是数学系数学与应用数学专业的专业必修课，同时又是信息与计算科学专业的选修课，总课时为 60学时，建议安排如下：主要内容课时建议教学方法建议复数与复变函数6讲授、作业、习题解答解析函数8讲授、作业、习题解答复变函数的积分10讲授、作业、习题解答解析函数的幂级数表示法8讲授、作业、习题解答解析函数的罗朗展式与孤立奇点8讲授、作业、习题解答残数理论及其应用8讲授、作业、习题解答保形变换5讲授、作业、习题解答复习4机动3合计60教学形式的建议：根据课程的特点，建议教学形式以课堂教学为主。
数学与应用数学专业《复变函数》教学大纲
数学与应用数学专业《复变函数》教学大纲课程编码()课程总学时：54 学分：3一、课程说明1．课程性质《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。
本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。
复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。
因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。
在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。
2．课程教学目标与要求（1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。
（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提高学生的数学修养。
同时注意扩展学生的学习思路，使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。
（3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后的工作中有较高的起点。
3．选用教材与参考书目选用教材：《复变函数论》（第三版），钟玉泉，高等教育出版社，2003年。
参考书目：《复变函数》（第二版），余家荣，高等教育出版社，1992年。
《多复变函数》[美]那托西姆汉著，科学出版社。
《解析函数边值问题》路见可著，上海科技出版社。
《解析函数的边界性质》[苏]N.普里瓦洛夫著，科学出版社。
复变函数第一章
z z 2i Im(z) 2iy
z2 z2
(3)z z Re(z)2 Im(z)2 x2 y2
1z z | z |2
2020/12/16
张晓斌编辑(50页)
10
例1 : 设z1 5 5i, z2 3 4i, 求 z1 ,( z1 )及它们的实部 , 虚部 . z2 z2
解:
30
指数表示式为
z
5 i
4e 6
.
(2) z sin i cos
5
5
显然 r z 1,
sin
5
cos
2
5
cos
3 10
,
cos 5
sin
2
5
sin 3 , 10
故三角表示式为 z cos 3 i sin 3 ,
10
10
指数表示式为
z
3 i
e10
.
2020/12/16
5
5
(3)
z
(cos (cos
5 3
i i
sin sin
5 3
)2 )3
.
解 (1) r z 12 4 4, 因为 z 在第三象限,
所以
arctan
2 12
π
arctan
3 5 ,
3
6
故三角表示式为
z
4cos
5 6
i
sin
5 6
,
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点的表示：z x iy 复平面上的点 P( x，y)
数z与点z同义.
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15
2. 向量表示法
(完整版)《复变函数》教学大纲.docx
《复变函数》教学大纲说明1．本大纲适用数学与应用数学本科教学2．学科性质：复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。
复变函数论主要研究解析函数。
解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。
复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。
保形映照是复变函数几何理论的基本概念。
；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
3．教学目的：复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。
4．教学基本要求：通过本课程的学习，要求学生达到：1．握基本概念和基本理论；2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映照等）；2．固和加深理解微积分学的有关知识。
5．教学时数分配：本课程共讲授 72 学时（包括习题课），学时分配如下表：教学时数分配表章节教学内容教学时数第一章复数与复变函数共计 8§ 1复数2§ 2复平面上的点集2§ 3复球面与无穷远点2§ 4复变函数2第二章解析函数共计 12§ 1解析函数的概念与C—R条件4§ 2初等解析函数4§ 3初等多值函数4第三章复变函数的积分共计 10§ 1复积分的概念及其简单性质2§ 2柯西定理4§ 3柯西积分公式及推论4第四章解析函数的幂级数表示共计 8§ 1复级数的基本性质2§ 2幂级数2§ 3解析函数的幂级数表示2§ 4解析函数零点的孤立性及唯一性定理2第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点共计 8§ 1解析函数的罗朗展式2§ 2解析函数的孤立奇点2§ 3解析函数在无穷远点的性质2§ 4整函数与亚纯函数2第六章留数理论及其应用共计 14§ 1留数计算及基本定理4§ 2用留数基本定理计算实积分6§ 3辐角原理及应用4第七章保形变换共计 12§ 1解析函数的映照性质及最大模原理4§ 2线性变换及其应用4§ 3初等函数所构成的保形变换4以上是二年制脱产数学本科的教学时数。
复变函数教学大纲
课程名称：（中文）复变函数（英文）Complex Analysis课程类别：必修编号：学时：80授课对象：本科生专业：数学与应用数学年级：二年级一、课程目的与教学基本要求复变函数是数学中既经典而又充满活力的一个分支。
在现代数学的发展过程中，复变函数发挥了重要的作用。
同时，复变函数在许多其他学科及实际工作中，具有非常广泛的应用。
复变函数是现代数学的基础之一。
它在其它学科（如空气动力学、流体力学、电磁学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论及数论等）都有重要的应用。
复变函数的发展，一方面，是由于数学本身的发展；另一方面，实际问题或其它学科中所提出的问题也起了很大的促进作用。
本课程在讲授复变函数内容的同时，要求能讲到一些有关部门的实际背景及与其它学科的关系，让学生了解到：数学不是凭空而来，是有实际背景的；数学各分支之间不是孤立的，而是相互联系的。
本课程作为数学系各专业的必修课，是十分必要的。
通过本课程的学习，学生能学到复变函数中的一些基本结果和常见方法。
一方面，学生能为以后进一步的学习打下坚实的基础；另一方面，学生通过学习能应用复变函数的结果和方法解决一些数学或实际问题。
本课程安排在一学期内讲授。
对于解析函数、柯西积分公式、级数、留数及其应用、分式线性变换、Schwarz引理，要求牢固掌握。
对于整函数与亚纯函数、解析开拓、调和函数及狄里克来问题，要求一般掌握。
对于无穷乘积、黎曼映照定理、多角形映照公式、多复变函数初步，要求一般了解。
教学中要求抓住问题的实质，把具体的数学对象的数学背景与数学内涵讲清楚，让学生觉得所有的定义和定理的出现是顺其自然的。
现代数学的发展很快。
本课程所讲授的内容，相对而言，还是比较经典的。
但这些内容是复变函数中最基本、最常见的内容。
是学生将来学习和工作的基础。
所以本课程的重点还是经典的内容。
在适当的时候，教师可安排讲授一些现代的内容。
二、课程内容第一章：复数与复平面（3学时）复数的几何表示，复平面的拓扑第二章：复变函数（11学时）1、解析函数（4学时）导数的定义，柯西黎曼方程2、初等函数（7学时）解析函数的单值连续分枝，指数函数，对数函数，幂函数第三章：复变函数的积分（14学时）1、主要结果（14学时）柯西定理，柯西积分公式，莫勒拉定理2、同调与同伦形式的柯西定理（4学时）*第四章：级数（14学时）1、泰勒级数（8学时）级数的基本性质，解析函数的泰勒展开式，解析函数的零点与唯一性定理。
(2020年整理)复变函数课程标准.doc
《复变函数》课程标准课程代码：05028适用专业：数学教育开设学期：第五学期计划学时：60一、课程性质复变函数是高等学校数学与应用数学专业的专业必修课，它一方面是数学分析的后继课，另外又在数学学科众多分支（如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析…）及其它领域（如流体力学、弹性力学、电学、工程技术…）有着广泛应用，是学习现代数学不可缺少的基础。
复变函数用分析的方法研究复变量的解析函数的基本性质，极限是其主要的工具，许多概念如连续、导数、积分、级数等虽然与数学分析平行，但由于在复数域上研究，在讨论中要使用复变函数本身独特的理论和方法，其结果具有严密的结构和优良的性质。
二、课程目标通过教学，本课程的目标为使学生了解复变函数这门学科的性质，它与其它学科的关系，了解复分析与实分析的联系和差别。
掌握复变函数的基本性质、级数表示、积分理论、保角映射等方面的基础知识，以及对各有关问题的基本计算能力和一定的逻辑推理能力。
了解一些复变函数在力学及物理等方面的应用情况。
三、教学内容和教学要求这门学科的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次。
这四个层次的一般涵义表述如下：知道———是指对这门学科和教学现象的认知。
理解———是指对这门学科涉及到的概念、原理、策略与技术的说明和解释，能提示所涉及到的教学现象演变过程的特征、形成原因以及教学要素之间的相互关系。
掌握———是指运用已理解的教学概念和原理说明、解释、类推同类教学事件和现象。
学会———是指能模仿或在教师指导下独立地完成某些教学知识和技能的操作任务，或能识别操作中的一般差错。
教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。
本标准中打“※”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定要求或不布置要求。
四、课程实施本课程是数学系数学与应用数学专业的专业必修课，同时又是信息与计算科学专业的选修课，总课时为60学时，建议安排如下：教学形式的建议：根据课程的特点，建议教学形式以课堂教学为主。
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《复变函数》课程标准
课程代码：05028
适用专业：数学教育
开设学期：第五学期
计划学时：60
一、课程性质
复变函数是高等学校数学与应用数学专业的专业必修课，它一方面是数学分析的后继课，另外又在数学学科众多分支（如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析…）及其它领域（如流体力学、弹性力学、电学、工程技术…）有着广泛应用，是学习现代数学不可缺少的基础。
复变函数用分析的方法研究复变量的解析函数的基本性质，极限是其主要的工具，许多概念如连续、导数、积分、级数等虽然与数学分析平行，但由于在复数域上研究，在讨论中要使用复变函数本身独特的理论和方法，其结果具有严密的结构和优良的性质。
二、课程目标
通过教学，本课程的目标为使学生了解复变函数这门学科的性质，它与其它学科的关系，了解复分析与实分析的联系和差别。
掌握复变函数的基本性质、级数表示、积分理论、保角映射等方面的基础知识，以及对各有关问题的基本计算能力和一定的逻辑推理能力。
了解一些复变函数在力学及物理等方面的应用情况。
三、教学内容和教学要求
这门学科的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次。
这四个层次的一般涵义表述如下：
知道———是指对这门学科和教学现象的认知。
理解———是指对这门学科涉及到的概念、原理、策略与技术的说明和解释，能提示所涉及到的教学现象演变过程的特征、形成原因以及教学要素之间的相互关系。
掌握———是指运用已理解的教学概念和原理说明、解释、类推同类教学事件和现象。
学会———是指能模仿或在教师指导下独立地完成某些教学知识和技能的操作任务，或能识别操作中的一般差错。
教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。
本标准中打“※”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定要求或不布置要求。
四、课程实施
本课程是数学系数学与应用数学专业的专业必修课，同时又是信息与计算科学专业的选修课，总课时为60学时，建议安排如下：
教学形式的建议：根据课程的特点，建议教学形式以课堂教学为主。
讲授内容以讲清楚基本理论为目的，由于解题练习是数学课教学的一个重要环节，建议每次课（2学时）布置一次作业，由学生独立完成。
建议习题课的安排约为每章二学时，可利用课外答疑的方式进行。
根据具体的条件，建议采用各种多媒体软件或者数学软件进行公式推导、图形演示，以提高教学效率及学生的学习兴趣，促进数学的教学改革，提高学生运用数学的动手能力。
五、教材编写与选用
可选用各种标准的复变函数论著作作为教材和参考书。
例如：作为教材可选用
《《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）
《复变函数教程》，（邱凎俤编，中国铁道出版社出版社，第一版）
《复变函数论》，（姚壁芸编，武汉大学出版社）等等。
作为参考书可选用
《复变函数论方法》，拉暜倫捷夫、沙巴特著，人民教育出版社（1956）
《复变函数引论》，普里亚诺夫著，高等教育出版社（第一版，1956）等等。
六、课程评价
课程的评价依据课程目标、教学内容和要求。
1、考试时间120分钟
2、考试方式、分制与分数解释
采用闭卷、笔试的方式，采用百分制，60分为及格，100分为满分。
3、题型比例：
单项选择10%，填空题10%，计算题60%，证明题20%；
4、题样与目标定位示例：
一些题型的示例：
A、选择题：（在比较广泛的范围内考查学生对知识的掌握程度）
在以下的复平面点集合中，有界点集是（ ）
()()()
()()
()2arg 4
2
Re 11
111π
π
<
<<<>-+<-+z D z C i z B i z A
B 、填空题：（在比较广泛的范围内考查学生对知识的掌握程度）
=-=
Argz i
z ，则设2
31___________________. C 、计算题：（考查学生的计算能力）
计算积分()
cos πz z dz C -⎰1，其中C 是包围点z =1的任意光滑简单闭曲线。
D 、证明题：（考查学生的推理及计算能力）
证明方程z z 4
8100-+=的4个根在
13<<z 内。
（制作人：马秀芬）。