第五章Green函数法
格林函数法
（14.2.12）
考虑到格林函数的齐次边界条件，由公式（14.2.9） 可得第一类边值问题的解
u (r0 ) G (r , r0 ) f (r )dV (r )
T
G (r , r0 ) n
dS
（14.2.13）
另一形式的第一类边值问题的解
u (r ) G (r , r0 ) f ( r0 )dV0 ( r0 )
T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理
A S d
AdV =
T
divAdV (14.1.1)
T
单位时间内流体流过边界闭曲面S的流量
单位时间内V内各源头产生的流体的总量
将对曲面 的积分化为体积分
uv S uv )dV uvdV u vdV d (
T0
(14.3.1)
选取 u (r ) 和 G(r , r0 ) 分别满足下列方程
u (r ) f (r )
G(r , r0 ) (r - r0 )
(14.3.2) (14.3.3)
14.3.1 三维球对称
对于三维球对称情形，我们选取 对（14.3.3）式两边在球内积分
r0 0
（14.2.4）
(r r0 ) 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为
(r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
（14.2.4）式中
函数前取负号是为了以后构建格林函数方便
格林函数的物理意义【2】：在物体内部（T 内） r0 处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么 该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题(14.2.4)的解 ――格林函数．由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函 数为点源函数．
格林函数法
通过格林公式，把静电边值问题与相应的格林 函数问题联系起来。 一般的处理方法，在物理学领域有着非常广泛 的应用
3
本节主要内容： 1. 格林函数——对应于给定问题的单位点源
的电势解； 2. 格林函数与泊松方程的解之间的关系； 3. 几种简单边界问题的格林函数形式。
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§5 格林函数法
1
几种方法的比较
1. 镜像法只适用于比较简单（点电荷）问题； 2. 分离变量法是精确求解的方法：除了几个高对
称的边界问题以外，一些实际问题往往难以求 解； 3. 多极展开法只适用于求远处的场（最后一节）； 4. 格林函数方法
2
1
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格林函数方法： Green函数本身实际上是对应于给定问题所对
4
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几个基本公式：Ñ
1 r
=
-
r r3
,
高斯定理：
ò
E
×
dS
=
1 e0
i
Qi
空间一个单位点电荷的电场： E
=
4
1 e0
r r3
若点电荷处于闭合积分面内：
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
5.3 Green公式及应用
( x0 , y0 )
y0
y
lim
( x, yy)
( x, y)
Pdx
Qdy
lim
yy
y
Q(
x,
y)dy
y0
y
y0
y
lim Q( x, y y) y Q( x, y)
y0
y
同理, u P( x, y). x
(3) (4) P u , Q u , x y
P 2u , y xy
Q 2u x yx
或者
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
Pdx
Qdy
x2 x1
P(
x,
y1 )dx
y2 y1
Q(
x2 ,
y)dy.
ex5.计算 (3,0) ( 2, 1)
(
x4
4 xy 3
)dx
(6
x2
y2
5
y4
)dy.
Solution. P 12xy2 Q ,
y
x
所以积分与路径无关.
且u(
x,
(4) P Q 在G内恒成立. y x
Proof. (1) (2) 如图所示
B R
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy A
S
L
ASB
BRA
Pdx Qdy Pdx Qdy 0
ASB
ARB
Pdx Qdy Pdx Qdy.
ASB
ARB
(2) (3)
Solution. 如图所示 作辅助线GE,运用Green公式,
y F (2,1)
P 3 y2e x m, Q 3 y2e x o E(1,0)
Green公式及拓展
Green第一第二第三公式的证明1.1Green第一公式证明Green第一公式：∬[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]S dxdy=−∬us∆udxdy+∮u∂u∂n⃗cds证明：不妨设n⃗=(cosθ,sinθ);由方向导数的定义有：∂u ∂n⃗=∂u∂xcosθ+∂u∂ysinθ可知有cosθ=dy√(dx)2+(dy)2；sinθ=−dx√()2()2ds=√()()；故有∮u ∂u ∂n⃗cds=∮uc (∂u∂xdy()2()2+∂u∂ydy()2()2)√(dx)2+(dy)2=∮uc∂udy−u∂udx由Green公式∬(∂Q∂x−∂P∂y)D dxdy=∮Pdx+Qdy∂D；得∮u c ∂u∂xdy−u∂u∂ydx=∬[∂∂x (u∂u∂x)−∂∂y(−u∂u∂y)]Sdxdy=∬[∂(u∂u)+∂(u∂u)]Sdxdy=∬[∂∂x(∂u∂x)u+(∂u∂x)2+∂∂y(∂u∂y)u+(∂u∂y)2]dxdyS=∬[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]dxdyS +∬[∂∂x(∂u∂x)u+∂∂y(∂u∂y)u]dxdy S=∬[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]dxdyS+∬u[∂∂x(∂u∂x)+∂∂y(∂u∂y)]dxdyS=∬[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]dxdyS+∬uS∆udxdy即有∮u ∂u ∂n⃗c ds=∬[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]dxdyS+∬uS∆udxdy移项可得原式，得证。
1.2Green第二公式证明Green第二公式：∬|∆u∆vu v |dx dyS =∮|∂u∂n⃗∂v∂n⃗u v|Cds证明： 等式左边展开：∬|∆u ∆vu v|dx dyS=∬v∆u −u∆vdx dy S=∬v∆u −u∆vdx dyS右边∮|∂u ∂n ⃗ ∂v∂n ⃗ u v |C ds=∮(∂u ∂n ⃗Cv −∂v∂n ⃗u) ds=∮∂u ∂xC dy √()2()2−∂u ∂y dx√()2()2−u∂v ∂x dy√()2()2+u ∂v dx()2()2√(dx )2+(dy )2 =∮v ∂u ∂xC dy −v ∂u ∂y dx −u ∂v ∂x dy +u ∂v ∂y dx=∮(u ∂v ∂y −v ∂u ∂y )dx +(v ∂u ∂x −u ∂v ∂x)dyC有Green 公式有∬(∂Q ∂x −∂P∂y) Ddxdy =∮Pdx +Qdy∂D；有P=(u ∂v ∂y −v∂u∂y ) Q=(v∂u ∂x−u∂v ∂x)∂Q =∂(v ∂u ∂x −u ∂v∂x )=∂v∂u+v∂2u2−∂v∂u−u∂2v2 =v∂2u∂x2−u∂2v∂x2同理∂P=u ∂2v2−v∂2u2故有∬(∂Q−∂P)Ddxdy=∬(v ∂2u∂x2−u∂2v∂x2−u∂2v∂y2+v∂2u∂y2)Ddxdy=∬v∆u−u∆v D dxdy=∬|∆u∆vu v|dx dyS1.3Green第三公式证明Green第三公式：若u为有界闭区域S中的调和函数，则有：u(x,y)=12π∮(u∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)ds C其中C为S边界，∂u∂n⃗为u沿着C的外法线方向的方向导数；r=√(ξ−x)2+(η−y)2；为（x，y）到边界C上动点（ξ，η）的距离；证明：由Green 第二公式得到∮(u ∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)dsC =∬v∆u−u∆vDdxdy由于u为有界闭区域S中的调和函数，∆u=0∆v=∆ln r=∆ln√(ξ−x)2+(η−y)2=0可知ln r也是调和函数；故有在没有奇点的情况下，S内的任何区域∮(u ∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)dsC =∬u∆v−v∆uDdxdy=0故有设以(x，y)为中心，t为半径的一个领域D，∮(u ∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)dsC =∮(u∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)ds ∂D有在∂D上，∮ln r ∂u ∂n⃗ds∂D =ln t∮∂u∂n⃗ds∂D=ln t∬∆udsD=0∮u ∂ln rds∂D =∮u∂ln rds∂D=∮u1ds∂D=1∮uds∂D=2πu(ξ1，η1)故由u在S上的连续性得到lim t→0∮(u∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)ds=Climt→02πu(ξ1，η1)=2πu(x，y)故得证u(x,y)=12π∮(u∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)ds C第二十二章 各种积分间的联系与场论初步下面的图表给出了各种积分间的联系，在计算中可以根据这些关系，将一种积分转化为另一种积分。
Green公式
Green 公式令向量函数为(,,)A P Q R =；(,,)dS dydz dzdx dxdy ndS ==，n 为曲面∑的外法线方向上的单位向量，即：(cos ,cos ,cos )n αβγ=，则：A d S ∑⋅⎰⎰A ndS ∑=⋅⎰⎰(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑=++⎰⎰ (cos cos cos )P Q R dS αβγ∑=++⎰⎰()A dxdydzDivA dxdydzP Q R dxdydz x y zΩΩΩ=∇⋅⋅=⋅∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,,P Q R 在Ω内具有一阶连续偏导数。
,,x y z P uv Q uv R uv ===令⇒上式左端为：(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰=(cos cos cos )x y z u v v v dS αβγ∑++⎰⎰v u dS n ∑∂=∂⎰⎰ 上式右端为：()P Q R dxdydz x y z Ω∂∂∂++∂∂∂⎰⎰⎰=()y x z uv uv uv dxdydz x y z Ω∂∂∂++∂∂∂⎰⎰⎰ ()xy z u u u v v v dxdydz u vdxdydz x y z ΩΩ∂∂∂=+++∆∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()x x y y z z v u v u v u dxdydz u vdxdydz ΩΩ=+++∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⇒ ()x y z V v u u u udS v v v dxdydz u vdxdydz n x y z ∑Ω∂∂∂∂=+++∆∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()x x y y z z v u v u v u dxdydz u vdxdydz ΩΩ=+++∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以：()x x y y z z v udS v u u v v u dxdydz u vdxdydz n ∑ΩΩ∂=+++∆∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（Green 第一公式）n 为曲面∑的外法线方向，∑为区域Ω的外侧。
数学物理方程-第五章格林函数法[整理版]
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第五章 格林函数法在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.§5⋅1 格林公式在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广.设Ω为3R 中的区域，∂Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω⋂ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去.如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ∂∂简记为Px∂∂或x P 等等.设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式()P Q RdV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.1)或者()(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.2)如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： (,,)x y z∂∂∂∇=∂∂∂，并记(,,)F P Q R = ，则Gauss 公式具有如下简洁形式⎰⎰⎰⎰⎰∂⋅=⋅∇ΩΩds n F dv F(1.3)其中(cos ,cos ,cos )n αβγ=为∂Ω的单位外法向量.注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R =时，其运算定义为(,,)(,,),F P Q R x y zP Q Rx y z∂∂∂∇⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F 的散度div F. 而作用于数量函数(,,)f x y z 时，其运算定义为(,,)(,,)f f ff f x y z x y z∂∂∂∂∂∂∇==∂∂∂∂∂∂，形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数f 的梯度grad f .设(,,)u x y z ，2(,,)()v x y z C ∈Ω，在(1.3)中取F u v =∇得()u v dV u v nds Ω∂Ω∇⋅∇=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰(1.4)直接计算可得v u v u v u ∇∇+=∇⋅∇∆)( (1.5)其中xx yy zz v v v v ∆=++. 将(1.5)代入到(1.4)中并整理得vu vdV uds u vdV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.6)(1.6)称为Green 第一公式.在(1.6)中将函数u ，v 的位置互换得uv udV vds v udV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.7)自(1.6)减去(1.7)得()()v uu v v u dV uv ds n nΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.8)(1.8)称为Green 第二公式.设点0(,,)P ξηζ∈Ω，点3(,,)P x y z R ∈，||00P P r P P -==引入函数 001(,)4P PP P r πΓ=，注意0(,)P P Γ是关于六个变元(,,)x y z 和(,,)ξης的函数且00(,)(,)P P P P Γ=Γ. 如无特别说明, 对b 求导均指关于变量(,,)x y z 的偏导数. 直接计算可得00(,)0, P P P P ∆Γ=≠即0(,)P P Γ在3R 中除点0P 外处处满足Laplace 方程.设0ε>充分小使得00(,){(,,) ||}B B P P x y z P P εε==-≤⊂Ω. 记\G B =Ω,则G B ∂=∂Ω⋃∂. 在Green 第二公式中取0(,)v P P =Γ，G Ω=. 由于在区域G 内有0∆Γ=，故有()GGuudV uds n n∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者()()GBu u udV uds u ds n n n n ∂Ω∂∂Γ∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ+-Γ∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.9)在球面B ∂上，021()414P P r n rrrππ∂∂Γ∂Γ=-=-=∂∂∂，因此21(,,)4BBuuds ds u x y z n πε∂∂∂Γ==∂⎰⎰⎰⎰ (1.10)其中(,,)P x y z B ∈∂.同理可得14BBu u ds ds n n πε∂∂∂∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰(,,)ux y z n ε∂'''=∂ (1.11)其中(,,)P x y z B '''∈∂.将(1.10)和 (1.11)代入到(1.9)中并令0ε+→，此时有(,,)(,,)P x y z P ξηζ→，(,,)0u x y z nε∂'''→∂，并且区域G 趋向于区域Ω，因此可得()(,,)uudV uds u n nξηζΩ∂Ω∂Γ∂-Γ∆=-Γ+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰，即(,,)()u u u d s u d V n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.12)(1.12)称为Green 第三公式. 它表明函数u 在Ω内的值可用Ω内的u ∆值与边界∂Ω上u 及nu∂∂的值表示.注2 在二维情形，Green 第一公式和Green 第二公式也成立. 而对于Green第三公式, 需要取011(,)ln 2P P rπΓ=，其中0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，r =0P P r=0||P P -=此时Green 第三公式也成立.§5⋅2 Laplace 方程基本解和Green 函数基本解在研究偏微分方程时起着重要的作用. 本节介绍Laplace 方程的基本解，并在一些特殊区域上由基本解生成Green 函数，由此给出相应区域上Laplace 方程或Poisson 方程边值问题解的表达式. 下面以Dirichlet 问题为例介绍Laplace 方程的基本解和Green 函数方法的基本思想.5．2.1 基本解设30(,,)P R ξηζ∈，若在点0P 放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的电位分布为(舍去常数0ε)001(,,)(,)4P Pu x y z P P r π=Γ=(2.1)易证： 0(,)P P Γ在30\{}R P 满足0 .u -∆= 进一步还可以证明[1]，在广义函数的意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.2)其中0(,)()()()P P x y z δδξδηδζ=---. 0(,)P P Γ称为三维Laplace 方程的基本解.当n =2时，二维Laplace 方程的基本解为0011(,)ln2P PP P r πΓ=(2.3)其中0(,)P ξη，2(,)P x y R ∈，0P Pr =同理可证，0(,)P P Γ在平面上除点0(,)P ξη外满足方程0 u -∆=，而在广义函数意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.4)其中0(,)()()P P x y δδξδη=--.注1 根据Laplace 方程的基本解的物理意义可以由方程（2.2）和（2.4）直接求出（2.1）和（2.3），作为练习将这些内容放在本章习题中. 另外，也可以利用Fourier 变换求解方程（2.2）和（2.4）而得到Laplace 方程的基本解.5．2.2 Green 函数考虑如下定解问题(,,), (,,) (2.5)(,,)(,,), (,,) (2.6)u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩设0(,,)P ξηζ∈Ω，21(,,)()()u x y z C C ∈Ω⋂Ω是(2.5)— (2.6)的解，则由Green 第三公式可得(,,)()u u u ds udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.7)在公式（2.7）的右端，其中有两项可由定解问题（2.5）—（2.6）的边值和自由项求出，即有uds ds n n ϕ∂Ω∂Ω∂Γ∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰u d V f d VΩΩΓ∆=-Γ⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而在u ds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，un ∂∂在边界∂Ω上的值是未知的. 因此须做进一步处理.注2 若要求解Neumann 问题，即将（2.6）中边界条件换为(,,)ux y z nϕ∂=∂.此时，在方程（2.7）右端第二项uds n∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，u 在边界∂Ω上的值是未知的，而其余两项可由相应定解问题的边值和自由项求出.如何由（2.7）得到定解问题(2.5)-(2.6)的解？Green 的想法就是要消去(2.7)右端第一项uds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰. 为此，要用下面的Green 函数取代（2.7）中的基本解.设h 为如下定解问题的解0,(,,)(2.8),(,,)(2.9)h x y z h x y z -∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩ 在Green 第二公式中取v h =得()h u h udV uh ds n nΩ∂Ω∂∂-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者0()u hhu ds h udV n n ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.10)将(2.7)和(2.10)相加得(,,)()u Gu Gu ds G udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.11)其中0(,)G P P h =Γ+.由(2.2)和(2.8)—（2.9)可得，0(,)G P P 是如下定解问题的解00(,), (,,)(2.12)(,)0, (,,)(2.13)G P P P x y z G P P P x y z δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩0(,)G P P 称为Laplace 方程在区域Ω的Green 函数.由于G 在∂Ω上恒为零，由(2.11)可得(,,)Gu uds G udV n ξηζ∂ΩΩ∂=--∆∂⎰⎰⎰⎰⎰ Gds GfdV n ϕ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰. (2.14)因此，若求出了区域Ω的Green 函数0(,)G P P ，则(2.14)便是定解问题(2.5)— (2.6)的解.§5⋅3 半空间及圆域上的Dirichlet 问题由第二节讨论可知，只要求出了给定区域Ω上的Green 函数，就可以得到该区域Poisson 方程Dirichlet 问题的解. 对一般区域，求Green 函数并非易事. 但对于某些特殊区域，Green 函数可借助于基本解的物理意义利用对称法而得出. 下面以半空间和圆域为例介绍此方法.5．3.1 半空间上Dirichlet 问题设{(,,)|0},{(,,)|0}x y z z x y z z Ω=>∂Ω==. 考虑定解问题2(,,),(,,) (3.1)(,,0)(,),(,) (3.2)u f x y z x y z u x y x y x y Rϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈⎩设0(,,),P ξηζ∈Ω则1(,,)P ξηζ-为0P 关于∂Ω的对称点. 若在0P ，1P 两点各放置一个单位正电荷，则由三维Laplace 方程的基本解知，它们在空间产生的电位分别为00111(,)41(,)4P P r P P r ππΓ=Γ=其中0011||,||r P P r P P =-=-. 由于0P 和1P 关于∂Ω对称，且1P ∉Ω，故有01001[(,)(,)](,), (,)(,)0,.P P P P P P P P P P P P δ-∆Γ-Γ=∈Ω⎧⎨Γ-Γ=∈∂Ω⎩即001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ为上半空间的Green 函数，且有001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ011114r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭14π⎡⎤= (3.3)直接计算可得3/2222012()()z G Gn zx y ζπξηζ∂Ω=∂∂=-=-∂∂⎡⎤-+-+⎣⎦(3.4)将(3.3)—(3.4)代入到公式(2.14)得(,,)Gu ds Gfd n ξηζϕν∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰ 3/2222001(,)2()() (,)(,,)x y dxdyx y G P P f x y z dxdydzϕζπξηζ∞∞-∞-∞∞∞∞-∞-∞=⎡⎤-+-+⎣⎦+⎰⎰⎰⎰⎰上式便是定解问题(3.1)— (3.2)的解.5．3.2 圆域上Dirichlet 问题设222{(,)|}x y x y R Ω=+<，则222{(,)|}x y x y R ∂Ω=+=. 考虑圆域Ω上的Dirichlet 问题(,), (,) (3.5)(,)(,), (,) (3.6)u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 设0(,)P ξη∈Ω，1(,)P ξη为0(,)P ξη关于圆周∂Ω的对称点，即201,OP OP R =如图3-1所示 . 由于201OP OP R =，因此对任意M ∈∂Ω有01~OP M OMP ∆∆ROP r r MP M P ||010=1P01011||P MPMR r OP r =图3.1因此有0101111ln ln 022||P M PMR r OP r ππ-= (3.7)上式说明函数01001111(,)ln ln22||P P P PR G P P r OP r ππ=- (3.8)在∂Ω上恒为零. 又由于1P ∉Ω，故有000(,)(,),(,)0,.G P P P P P G P P P δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩即0(;)G P P 是圆域上的Green 函数.引入极坐标(,)P ρθ，设0000(,)(,)P P ξηρθ=，则21100(,)(,)R P P ξηθρ=. 用α表示0OP 与OP 的夹角，则有000cos cos cos sin sin cos()αθθθθθθ=+=-利用余弦定理可得0P P r = (3.9)1P P r =(3.10)将(3.9)和(3.10)代入到(3.8)中并整理得22222000042220002cos()1(,)ln 42cos()R R R G P P R R ρρρρθθπρρρρθθ+--=-+-- (3.11)直接计算可得RG Gn ρρ∂Ω=∂∂=∂∂2222000122cos()R R R R ρπρρθθ-=-+-- . (3.12)记()(cos ,sin )g R R ϕθθθ=，则有00(,)Gu ds Gfd n ρθϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰ 222022000()()122cos()R d R R πρϕθθπρρθθ-=+--⎰- 22222200042220002cos()1(cos ,sin )ln 42cos()R R R R f d d R R πρρρρθθρθρθρρθπρρρρθθ+--+--⎰⎰(3.13)(3.13)便是定解问题(3.5)—(3.6)的解.注1 当0f =时(3.13)称为圆域上调和函数的Poisson 公式.注2 利用复变函数的保角映射，可以将许多平面区域变换为圆域或半平面.因此，与保角映射结合使用，可以扩大对称法以及Green 函数法的应用范围. 在本章习题中有一些这类题目，Green 函数法更多的应用可查阅参考文献[13].§5⋅4* 一维热传导方程和波动方程半无界问题5．4.1 一维热传导方程半无界问题为简单起见，仅考虑以下齐次方程定解问题20 , 0 , 0 (4.1)(0,)0 , 0 (4.2)(,0)() , 0 t xx u a u x t u t t u x x x ϕ-=<<∞>=≥=<<∞ (4.3)⎧⎪⎨⎪⎩该定解问题称为半无界问题, 这是一个混合问题，边界条件为(4.2). 类似于上节Poisson 方程在半空间和圆域上Dirichlet 问题的求解思想，也要以热方程的基本解为基础，使用对称法求出问题（4.1）—（4.3）的Green 函数，并利用所得到的Green 函数给出该问题的解.一维热传导方程的基本解为224(,)() .x a tx t H t -Γ (,)x t Γ是如下问题的解20, , 0 (4.4)(,0)(), . (4.5)t xx u a u x t u x x x δ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩相当于在初始时刻0t =，在0x =点处置放一单位点热源所产生的温度分布.若将上面定解问题中的初始条件换为(,0)()u x x δξ=-，只要利用平移变换'x x ξ=-易得此时（4.4）—（4.5）的解为(,)x t ξΓ-.为求解定解问题（4.1）—（4.3），先考虑()()x x ϕδξ=-，其中ξ为x 轴正半轴上的任意一点. 此时，相当于在x ξ=点处置放一单位点热源. 则此单位点热源在x 轴正半轴上产生的温度分布，如果满足边界条件（4.2），它便是（4.1）—（4.3）的解，即为该问题的Green 函数. 为此，设想再在x ξ=-点，此点为x ξ=关于坐标原点的对称点，处置放一单位单位负热源，这时在x ξ=点处置放的单位点热源产生的温度分布(,)x t ξΓ-和在x ξ=-处置放的单位负热源产生的温度分布(,)x t ξ-Γ+在0x =处相互抵消，从而在0x =处的温度恒为零. 因此，问题（4.1）—（4.3）的Green 函数为(,)(,)(,) G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+ （4.6）利用叠加原理可得原问题的解为(,)() (,)u x t G x t d ϕξξξ∞=-⎰ . (4.7)若将（4.2）中的边界条件换为(0,)()u t g t =或(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.5．4.2 一维波动方程半无界问题考虑以下齐次方程定解问题20, 0, 0 (4.8)(0,)0, 0 (4.9)(,0)0, (,0)(), 0 tt xx t u a u x t u t t u x u x x x ψ-=<<∞>=≥==<<∞ (4.10)⎧⎪⎨⎪⎩一维波动方程的基本解(,)x t Γ为1, 2(;) 0, .x ata x t x at ⎧<⎪Γ=⎨⎪≥⎩完全类似于上小节的分析，可得该问题的Green 函数为(,)(,)(,G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+， （4.11）其中0ξ>. 因此，该定解问题的解便可表示为(,)() (,)u x t G x t d ψξξξ∞=-⎰. （4.12）注意到(,)x t ξΓ-的具体表示式为1, 2(;) 0, x atax t x at ξξξ⎧-<⎪Γ-=⎨⎪-≥⎩类似地有1, 2(;) 0, x ata x t x at ξξξ⎧+<⎪Γ+=⎨⎪+≥⎩将上面两式代入到（4.12）中并整理可得1(), 0 2(,)1(), 0.2x atx atx atat xd x at a u x t d x at a ψξξψξξ+-+-⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩⎰⎰ 若将（4.9）中的边界条件换为(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.注1 对一维波动方程半无界问题，除上面使用的Green 函数法以外，也可以用延拓法或特征线法求解[1]. 相比之下，Green 函数法最简单.注2 类似于本章前两节，对一维热传导方程和波动方程初边值问题，也可以建立起解的Green 公式表达式，相当于本章第二节中的（2.14）, 并以此为基础而给出上面(4.7)和（4.12）两式的严格证明[2]. 由于本章主要是通过对一些比较简单的偏微分方程定解问题的求解，重点介绍Green 函数法的基本思想和一些特殊区域Green 函数的具体求法，故略去了(4.7)和（4.12）两式的推导过程.习 题 五1．设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明（1）uudV ds n Ω∂Ω∂∆=∂⎰⎰⎰⎰⎰.（2）2u u udV uds u dV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题0, (,,)(,,)0, (,,).xx yy zz u u u u x y z u x y z x y z ∆=++=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩证明 (,,)0u x y z ≡，并由此推出Poisson 方程Dirichlet 问题解的唯一性.若将定解问题中的边界条件换为0, (,,),ux y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在Ω中等于什么？Poisson 方程Neumann 问题的解是否具有唯一性？3*设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题(,,)(,,), (,,)(,,)(,,), (,,).u c x y z u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆+=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中 (,,)c x y z 在闭域Ω非负有界且不恒为零. 证明或求解以下各题（1） 如果0,(,,), 0,(,,),f x y z x y z ϕ=∈Ω=∈∂Ω证明(,,)0u x y z ≡.（2）如果0,(,,),f x y z =∈Ω而边界条件换为0, (,,),ux y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在区域Ω中等于什么？4.（1） 验证0∆Γ=，0P P ≠，其中0(,) 3P P n Γ==01(,)22P P n πΓ==（2）设()u u r =, 22y x r +=， 求0,0xx yy u u r +=≠，并且满足(1)0,u =(0,)1B u n ds δ∂∇⋅=-⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为圆心δ为半径的圆形域，n 为(0,)B δ∂的单位外法向量.（3） 设()u u r =, 222z y x r ++=， 求0=++zz yy xx u u u ，0≠r ，并且满足B(0,)lim ()0, 1r u r u nds δ→∞∂=∇⋅=-⎰⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为球心δ为半径的球形域，n为(0,)B δ∂的单位外法向量.5． 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明(,)()u u u ds ud n n ξησ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰ 其中0(,)P ξη∈Ω，0(,)P P Γ如第4题所示.6. 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，0(,)P P Γ为二维Laplace 方程的基本解. 考虑定解问题(,), (,)(,)(,), (,)u f x y x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 若(,)h x y 是如下定解问题的解00, (,)(,)(,),(,)h x y h x y P P x y ∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩证明 若21(,)()()u x y C C ∈Ω⋂Ω，则有(,)Gu ds Gfd n ξηϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰，其中G h =Γ+.7. 设3R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑, 考虑定解问题(,,), (,,)(,,), (,,).u f x y z x y z ux y z x y z nϕ-∆=∈Ω⎧⎪∂⎨=∈∂Ω⎪∂⎩ 证明该问题可解的必要条件为0f dV ds ϕΩ∂Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰.8*证明上半空间Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P 满足020010(,), (,),0, .4P PG P P x y R z P P r π<<∈>≠ 对平面上圆域Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P ，给出类似结果.9. 利用对称法求二维Laplace 方程Dirichlet 问题在上半平面的Green 函数, 并由此求解下面定解问题0, (,),0(,0)(), (,).u x y u x x x ϕ-∆=∈-∞∞>⎧⎨=∈-∞∞⎩ 10． 求二维Laplace 方程在下列区域上 Dirichlet 问题的Green 函数.（1） {(,)|}x y x y Ω=>. （2） {(,)|0,0}x y x y Ω=>>.11． 设222{(,)|,0}x y x y R y Ω=+<>. 考虑半圆域Dirichlet 问题0,(,)(,)(,), (,).u x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 应用对称法求区域Ω上的Green 函数.12*求解定解问题0,(,,)(,,)(,,),(,,).u x y z u x y z g x y z x y z -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中32222,(0,){(,,)|}xx yy zz u u u u B R x y z R x y z R ∆=++Ω==∈++<.13．[解对边值的连续依赖性]设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题(,), (,)(,)(,),(,) 1,2.k k k u f x y x y u x y g x y x y k -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω=⎩ 利用Poisson 公式证明2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω14*证明在广义函数的意义下，11(,0)ln 2P rπΓ=满足 ()()u x y δδ-∆=，其中xx yy r u u u =∆=+.15*设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题0, (,)(,)(,),(,) .u x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 如果(,)g x y 在∂Ω连续，证明由Poisson 公式给出的解是该问题的古典解（真解）.16*设(,)u x y 为平面上区域Ω上的调和函数，000(,)P x y ∈Ω且0(,)B P R ⊂Ω.证明调和函数的平均值公式00002(,)(,)11(,)(,)(,)2B P R B P R u x y u x y ds u x y dxdy R R ππ∂==⎰⎰⎰ 17*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界充分光滑，2()()u C C ∈Ω⋂Ω为Ω内的调和函数，并且在某点000(,)P x y ∈Ω达到u 在闭域Ω上的最大（小）值，利用平均值公式证明u 为常数.18*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界∂Ω充分光滑， 2()()u C C ∈Ω⋂Ω. 如果u 在区域Ω内调和且不等于常数，则u 在闭域Ω上的最大值和最小值只能在区域的边界∂Ω上达到.19*利用第12题的结果,建立在3R Ω⊂内调和函数的平均值公式，并证明和第16题类似的结果.20*设2R Ω⊂有界区域，2()(), (),1,2,k k u C C g C k ∈Ω⋂Ω∈∂Ω=满足(,), (,)(,)(,),(,) k kk u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 证明 2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω.21．设D 和Ω为平面上的两个区域，()(,)(,)f z x y i x y ϕψ=+在区域D 内解析且不等于常数，()f D =Ω，即f 将区域D 保形映射到区域Ω.证明 如果(,)u x y 在区域Ω内调和，则((,),(,))u x y x y ϕψ在区域D 内调和.22.（1）找一个在上半平面解析的函数()f z ，在边界{(,),0}x y x R y ∈=上满足00(),, (),,f x A x x f x B x x =>=<其中A 和B 为实常数.（2）求下面定解问题的一个解0, 0,0(,0)0,0, (0,)10,0.xx yy u u x y u x x u y y +=>>⎧⎨=>=>⎩ 23*求下面定解问题的一个解22220, 1(,)0,0, (,)1,0, 1.xx yy u u x y u x y y u x y y x y ⎧+=+<⎪⎨=<=>+=⎪⎩ 24. 求下面定解问题的一个解0, 0<(,0)0, (,)1, 0.xx yy u u y xu x u x x x +=<⎧⎨==>⎩ 25. 求下面定解问题的一个解0, , 0<(,)0, (,0)0, 0, (,0)1, 0.xx yy u u x R y u x x Ru x x u x x ππ+=∈<⎧⎪=∈⎨⎪=<=>⎩26. 设(0,)B R Ω=，1(0,)2RB Ω=，(,)u x y 在Ω内调和且在Ω上连续，在边界上非负，证明以下结果（1）(,),x y ∀∈Ω有(0,0)(,)(0,0),R r R ru u x y u R r R r-+≤≤+-其中r =.（2）存在常数0M > 使得 11max (,)min (,).u x y M u x y ΩΩ≤。
格林函数
格林函数法求解稳定场问题1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。
从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系：Heat Eq.：()2222 ,u a u f r t t∂-∇=∂v 表示温度场u 与热源(),f r t v之间关系 Poission ’s Eq.：()20u f r ρε∇=-=-v表示静电场u 与电荷分布()f r v之间的关系场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。
但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。
例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势：()''04r dV r r ρφπεΩ=-⎰r r r这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。
或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。
所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。
这里就引入Green ’s Functions 的概念。
Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。
普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。
所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions.下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。
实际上，只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions 。
2 泊松方程的格林函数静电场中常遇到的泊松方程的边值问题：()()()()()201 f s u r r u r u r r n ρεαβϕ⎧∇=-⎪⎪⎨∂⎡⎤⎪+=⎢⎥⎪∂⎣⎦⎩vv v v v 这里讨论的是静电场()u r v， ()f r ρv 代表自由电荷密度。
特殊区域的green函数
特殊区域的green函数
Green函数是当今互联网领域研究的热点课题之一。
它是一种算法，能够对复杂的系统提供可观察指标，帮助企业进行失控风险分析、工程优化、性能评估等工作。
Green函数利用理论物理、数学技术和计算机科学，在探索和试验阶段最大化系统的抗耗散能力，最大限度的强化了系统的一致性，减少了耗散现象的发生。
Green函数法可以用来实现对系统的动态可观察性，它将影响了系统应用的多变性和复杂性。
它可以更加准确的构建仿真的数据，更大的容差，可以将系统进行无限细致的分解，由此可以获得越来越准确而深入的见解，深入到系统结构及其它未知潜在因素。
Green函数法有助于企业在控制、优化和管理服务水平等领域取得突破性的成就。
借助Green函数，企业可以有效的利用它管理系统的资源，提高系统性能，并最大化系统的可持久性。
Green函数技术运用到系统中将增强系统的灵活性，能实现高效、轻松、稳定的系统控制，从而满足企业需求。
Green函数相当于企业把高精度技术融入系统中，系统就可以实现自动化，并在系统运行时进行越来越精准的运算和操控。
总之，Green函数是当今互联网领域的一项重要技术，它将大大提高企业的服务水平和服务质量，实现系统的智能化管理，更有效的实现对系统的管理与优化。
green公式的条件
green公式的条件Green 公式是高等数学中的一个重要公式，它在计算平面区域上的曲线积分与二重积分之间的关系时非常有用。
要理解 Green 公式，咱们得先搞清楚它成立的条件。
Green 公式表述为：设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则有∮(L) Pdx + Qdy = ∬(D) (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy 。
那 Green 公式成立的条件到底是啥呢？首先，曲线 L 得是分段光滑的。
啥叫分段光滑呢？就好比咱们走的路，有的地方平坦，有的地方有点小坡，但是整体上还算顺畅，没有那种突然断开或者特别尖锐的拐角。
这样的曲线才能保证咱们在计算的时候不会出现奇奇怪怪的问题。
再说说函数 P(x, y) 和 Q(x, y) ，它们得在闭区域 D 上具有一阶连续偏导数。
这就好比是要求两个小伙伴，不仅要能在这个区域里好好表现，还得表现得稳稳当当，不能有大的波动。
给您举个例子吧。
就说咱们有一个简单的闭区域 D ，是由一个以原点为圆心，半径为 2 的圆围成的。
假设函数 P(x, y) = x^2 ，Q(x, y) =2xy 。
咱们来验证一下 Green 公式是否成立。
先算算曲线积分∮(L) Pdx + Qdy 。
这个圆的参数方程可以设为 x =2cosθ ，y = 2sinθ ，θ 从 0 到2π 。
代入计算一番，这可得费点功夫，但算出来是8π 。
再算算二重积分∬(D) (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy 。
先求偏导数，∂Q/∂x =2y ，∂P/∂y = 0 ，然后积分，算出来也是8π 。
您瞧瞧，这两个结果一样，Green 公式成立啦！在实际应用中，如果不满足 Green 公式的条件，那可就不能随便用啦。
比如说，如果曲线不是分段光滑的，或者函数的偏导数不连续，那咱们就得另想办法，可能得把区域分割或者做一些其他的处理。
总之，搞清楚Green 公式的条件，咱们在解题的时候就能心中有数，知道啥时候能用，啥时候不能用，不会乱用公式出错啦！希望您通过我的讲解，对 Green 公式的条件有了更清楚的认识。
GREEN公式范文
GREEN公式范文GREEN公式是一种用于计算两个圆内夹角的公式，它通过计算各个圆的半径、象限等信息来确定夹角的大小。
GREEN公式的全称是格林公式，也有人称之为格林定理。
它是一种广泛应用于物理、数学等领域的基本公式。
θ = arcsin[(r1+r2)/d] - arcsin[(r1-r2)/d]其中，d表示两个圆心之间的距离，也可以通过勾股定理计算得出：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]这个公式的推导较为复杂，我这里只给出结论。
下面我将对GREEN公式进行详细解释。
首先，GREEN公式的分子部分[(r1+r2)/d]和[(r1-r2)/d]分别代表两个圆心到其中一点P的距离与两个圆半径之差的比值。
这里的P是圆AB 的切点，切点处的角为θ。
接下来，我们可以用三角函数来计算这两个比值。
根据三角函数的定义，我们可以知道：sin(α) = 对边/斜边其中，α为其中一角度，对边为α角的对立边，斜边为α角的斜边。
在GREEN公式中，r1和r2分别为ΔP1A和ΔP1B的对立边，d为ΔP1P2的斜边。
所以，我们可以写出两个比值的计算公式：(r1+r2)/d = sin(α1)(r1-r2)/d = sin(α2)综上所述，我们可以得到：θ = arcsin[(r1+r2)/d] - arcsin[(r1-r2)/d]根据这个公式，我们可以计算得到任意两个圆内夹角的大小。
例如，当两个圆的半径相等时，即r1=r2，我们可以得到：θ = arcsin[(r1+r1)/d] - arcsin[(r1-r1)/d]= arcsin[(2r1)/d] - arcsin[0]= arcsin[2r1/d]这个结果表明，在两个半径相等的圆相交的情况下，夹角θ的大小只与圆心之间的距离d有关，而与半径r1的大小无关。
这符合我们平常观察到的情况，即无论两个圆的大小如何，它们相交时夹角的大小可以通过计算得到。
Green函数统一求解方法
（方法二）
i H 0 G0 t t t
t t
t t
H 0 G0 t t i t t
t t i
H 0 G 0
2 2 2 p H 0(x) 2m 2m
G0
x , x ; E
1
2
3
1 k 2m
2 2
2
2
e i
ik x x
dk
2m
G0
x , x ; E
1
2m
3
2
1
Ae
iH 0 /
1 2
3
0:
i H 0 G 0 i H 0 G 0
i G 0 G 0
0 G 0
1 q Ea b i 2m
2 2
e
iq x x
弹性散射含时自由Green函数满足的方程 形式解为
G0 t t i 1 t H 0 i
i H 0 G0 t t t
1 Eb H i
a
b a b a b V
a a
1 2
1 E H 0 i
e
iE t t /
dE
1 G 0 t t lim 0 2
M-5 第五章 点源函数及其应用方法
第五章 点源函数方法在不定常渗流力学理论中，点源或点汇是相对于介质而言的。
点汇是指多孔介质中存在某一数学点，一定质量的流体流向这一点并在这一点上消失，即介质外存在抽取。
与之相反的是点源，指一定质量的流体由这一数学点产生并扩散出去，即介质外存在注入。
由于通常的渗流控制方程的解满足于叠加原理，所以用点源或点汇解决渗流问题很有效，求解点源或点汇的压力分布是基本问题之一。
由于点源与点汇所引起的数学问题求解时具有等价性（流量相差一个符号），所以按习惯我们通称为点源问题。
点源函数的思想起源于十九世纪下半叶（Lord Kelvin 1880）的热传导理论，在二十世纪三十年代被物理学家广泛使用。
点源的方法就是应用Green 函数方法求解不定常问题。
由于多孔介质中流体的渗流和固体中的热传导在数学模型上相似，所以通过类比，可将关于热传导的许多研究成果直接引入渗流力学中。
Hantush 等人（1955）解决了带型区域边水不稳定漏失问题，Nisle （1958）在研究部分射开井的压力恢复特征时就引用了热传导理论中关于点源函数的应用结果。
Gringarten 和Ramey （1973）对于点源函数方法有过详细的推广和说明，其结果对研究不稳定压力分析方面产生了深远的影响，而Ozkan 和Raghavan （1991）又在Laplace 变换空间重新求解了点源问题，并拓展到双重孔隙介质。
本章首先阐述经典渗流方式下的基本点源函数，然后考虑双重孔隙介质、补给边界等复杂情形，最后给出应用实例。
5.1基本点源函数通过求解一维无界区域有直线源的不定常渗流问题，结果能够得到了一维点源函数解式。
为以后引用方便，本节直接推演有量纲不定常渗流数学模型及其解。
5.1.1直线瞬时点源函数问题：在无界均质地层中，初始时刻压力分布均匀、扩散系数为ηz ，考虑有一强度恒为q 0（单位长度流量）的无限长直线汇（比如无限长垂直裂缝），在t = 0时刻发生一维单向不稳定线性渗流，控制方程组给出如下：tPzP z∂∆∂=∂∆∂η122∆P t z (,)==00；0),(=+∞→∆z t P ；)(20t k q zP zz z wδμ-=∂∆∂→这里，规定δ函数有如下性质：)()()(00t f dt t f tt =-⎰∞δ求解：经过Laplace 控制方程变为：P szP z~~22∆=∂∆∂η，0),(~=∞→∆z s P ，zz z k q z P w2~0μ-=∂∆∂=考虑到边界条件，显然变换后的控制方程组有如下解式：图5-2-1 一维渗流物理示意图()z w zzs z z sk q s z P ηημ/)(exp ),(~--=∆经过Laplace 反变换可得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆t z z t q c t z P z w z t ηπηφ4)(exp 21),(2，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--t c t e s L sc4exp 1121π，0≥c 特别地，当q 0=φc t 时有瞬时Green 源函数：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∆==t z z t t P t z G z w z c q z tηπηφ4)(exp 21)(),(20 由上式可以看出在不稳定渗流场中Green 源函数的意义——压降速度。
[研究生入学考试]工科数学分析Green公式
![[研究生入学考试]工科数学分析Green公式](https://img.taocdn.com/s3/m/775b17d96137ee06eff91876.png)
Q 2u x yx P , Q有 一 阶 连 续 偏 导 Q 在 D 内成立 . x
注:1. 若du=Pdx+Qdy, 称u(x,y)为表达式Pdx+Qdy的 原函数. 2. 由Th2知: 若 P,Q 在单连域 D 上有一阶连 续偏导数,则 P Q P dx+Q dy在D内存在原函数 u y x ( x, y)
内 有 一阶 连 续 偏导 数 ,由Green公 式 :I
(2) (a )当 (0,0)在 L 外 部 时 , P , Q在 L 及 L 围 成 的区 域
0
L
(b). 若O(0,0)在L内, 则P , Q在O(0,0)处没有一阶连续 偏导数 , 不满足 Green定理的条件 .
作一以 O为 圆 心 , 为半径的 圆L , L 取 顺 时 针 方 向 ， 取 适当小 , 使L 在L围 成 的 区 域 内
P Pdx dxdy [ P ( x , y1 ( x )) P ( x , y 2 ( x ))]dx L a y D
Q 同 样 : Qdy dxdy L x D Q P Pdx Qdy ( )dxdy L x y D
2
2
xdy ydx
2 a π 2 π. 2 a
例6 质点 M 在变力F的作用下，沿着以AB 为直径的
半圆周从点A（ 1 ， 2 ）运动到点 B(3,4), F的大小等于点M与原 点的距离，其方向垂直 于线段 OM且与y轴正向的夹角小于 , 2 求变力F 对质点 M 所作的功.
y
F
D D
o
x
由Green定理, I (2)dxdy 2 dxdy 8
Green函数求解不稳定渗流问题。
Green函数求解不稳定渗流问题。
不稳定渗流：在渗流过程中，若各运动要素与时间有关，则为不稳定渗流。
稳定渗流：在渗流过程中，如果各运动要素与（如压力及流速）时间无关，称为稳定。
稳定试井：通过人为改变工作制度，待生产稳定后，测出各工作制度下压力、产量、含砂及含水等资料以确定油井生产能力、合理工作制度和地层参数的方法。
试井是渗流的一个反问题，稳定试井主要用于试采阶段，确定合理工作制度。
方法自喷井：通过改变油嘴的大小来改变工作制度，由小到大或由大到小；抽油井：改变抽油机的冲程、冲次来改变工作制度。
改变工作制度后，等生产稳定了再测各种资料，一般12～24hr，连续测量几次误差<5～10%即可。
Green函数又称影响函数，是数学物理方法中的一个重要概念。
因为，从物理意义上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源的关系。
如温度场和热源，静电场和电荷分布。
Green函数代表一个点源（在一定边界条件或初始条件下）所产生的场。
地下流体的渗流方程描述一些源（注水井）或汇（采油井）与所产生的压力场的关系，因此格林函数也同样适用。
RameyGringartenOzkan源函数是Green函数在源区域上的积分，而且仅取决于源的空间形状。
对于无限大油藏的不稳定渗流问题，任意源只要求出源函数，则油藏中的压力分布就可以得到。
因此关键是如何求解源函数。
源函数的求法Newman乘积方法Newman乘积方法是数学物理方法中的一种降维方法，它可将一个三维的定解问题分解成一维或二维问题，基本源：一维无限大平面源。
单相液体稳定渗流第四节不完善性及稳定试井内容概要：在前面讨论的问题中，都认为油井是完善的，认为井钻穿全部油层，且钻穿部分是裸眼完成的。
但是，在实际情况下，有的井不一定钻穿全部油层厚度，且一般都采用下套管射孔完井，这些井都称为水动力不完善井，本节主要分析井的不完善性对渗流的影响及油井的稳定试井。
本节应牢固掌握稳定试井，折算半径、采油指数的概念；掌握井的不完善类型、对渗流的影响及表示方法；理解油井稳定试井的原理及应用。
格林(Green)公式及其应用
• 格林公式简介 • 格林公式的基本性质 • 格林公式的应用 • 格林公式的扩展 • 格林公式的实际例子 • 总结与展望
01
格林公式简介
格林公式的定义
格林公式是一个数学定理，用于描述二维平面上的向量场和路径之间的关系。它 指出，在一个封闭的区域内，沿任意路径的积分等于该区域内散度的体积分。
在实变函数中的应用
证明定理
格林公式在证明实变函数中的一些定 理中发挥了重要作用，如黎曼定理和 克雷洛夫定理等。
求解积分方程
利用格林公式，可以将积分方程转化 为边界积分方程，从而简化求解过程。
04
格林公式的扩展
高维格林公式
总结词
高维格林公式是格林公式在高维空间中 的推广，它描述了高维空间中向量场和 标量场之间的关系。
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格林公式的变种
总结词
格林公式的变种是原始格林公式的不同形式 或应用，它们在特定情况下可能更加方便或 有效。
详细描述
随着数学和物理学的发展，人们发现了许多 格林公式的变种。这些变种可能在某些特定 情况下更加适用，例如在处理非线性问题或 复杂边界条件时。了解这些变种有助于我们
更好地理解和应用格林公式。
03
格林公式在数学分析中占有重要的地位，是微积分学中的基本定理之一。它为 解决许多复杂的积分问题提供了一种有效的方法，使得许多难以计算的问题变 得简单明了。
对未来研究的展望
随着数学和其他学科的发展，格 林公式在各个领域的应用越来越 广泛。未来，我们可以进一步探 索格林公式的各种应用，如数值 计算、物理模拟、图像处理等。
解决偏微分方程的实例
总结词
格林公式还可以用于解决偏微分方程的问题，通过将 偏微分方程转化为等价的积分方程，可以简化求解过 程。
向量微积分中的Green公式
向量微积分中的Green公式Green公式，也叫格林公式，是向量微积分中的一个基本定理，它是关于曲线和曲面的一个重要公式。
Green公式可以用来求解曲线和曲面上的积分，和场的无旋和任意面积的关系等。
首先，我们来看一下Green公式在平面上的形式。
设$C$是一条闭合的简单曲线，$\vec{n}$是该曲线所在平面的法向量，$D$是这个闭合曲线所包围的区域，$\vec{F}=(M,N)$是二维空间上的一个向量场。
那么，Green公式就可以表述为：$$\oint_C \vec{F}\cdot \vec{T} ds = \iint_D \left(\frac{\partialN}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)dxdy$$其中，$\vec{T}$是曲线$C$的切向量，$s$是弧长，$dxdy$是面积元素。
公式右边的第一项表示曲线$C$上的环量，第二项表示曲线所围成的区域$D$内向量场的环量。
对于三维空间，Green公式还有一个更为一般的形式，称为Stokes公式。
它描述了曲线与曲面之间的关系。
设$M$, $N$,$P$是三维空间中的一个向量场，曲面$S$是一个紧致的光滑曲面，边界为曲线$C$，$\vec{n}$是曲面$S$的法向量，$\vec{T}$是曲线$C$的切向量，那么Stokes公式可以写为：$$\int_C \vec{M}\cdot d\vec{r} = \iint_S\left(\text{rot}\,\vec{M}\right)\cdot \vec{n}\,dS$$其中，$\text{rot}\,\vec{M}$表示向量场$\vec{M}$的旋度。
要理解Green和Stokes公式，我们需要先了解向量场的性质和运算。
向量场是指空间中对每个点都定义了一个向量的函数，这个函数的值随着点的位置而变化。
在向量场中，有一些基本的运算，比如梯度、散度和旋度。
调和方程dirichlet问题的green函数
调和方程dirichlet问题的green函数一、引言调和方程是数学中的一个重要概念，是指在空间中不存在任何源头或汇聚的情况下，所有点的值都相等。
在实际应用中，调和方程经常出现，例如电场、热传导等领域。
本文将介绍调和方程的Dirichlet问题以及其Green函数。
二、调和方程的Dirichlet问题1. 定义调和方程的Dirichlet问题指在给定边界条件下求解调和方程的解。
具体而言，假设Ω为一个区域（通常是一个开放集），Γ为Ω的边界。
则Dirichlet问题可以表示为：△u =0, x∈Ωu(x) = f(x), x∈Γ其中f(x)为已知函数。
2. 解法针对上述Dirichlet问题，我们可以采用Green函数来求解。
具体而言，设G(x,y)为满足以下条件的函数：△xG(x,y) = δ(x-y), x,y∈ΩG(x,y) = 0, x∈Γ其中δ(x-y)表示Dirac delta函数。
则根据Poisson公式，我们可以得到如下式子：u(y) = ∫Ωf(x)G(y,x)dVx其中dVx表示体积元素。
3. Green函数的性质Green函数具有以下性质：（1）对于任意的y∈Ω，有∫ΩG(x,y)dVx = 0。
（2）对于任意的y∈Ω和f(x)∈C(Γ)，有u(y) = ∫Γf(x)G(y,x)dSx。
（3）Green函数G(x,y)是唯一的。
三、Green函数的求解1. 基本思路为了求解Green函数，我们需要先构造一个调和函数h(x)。
具体而言，假设h(x)满足以下条件：△h(x) = 0, x∈Ωh(x) = -1, x∈Bh(x) = 0, x∈Γ其中B为包含Γ的区域。
则我们可以得到如下式子：G(x,y) = h(y)-h(x)2. h(x)的求解为了求解h(x)，我们可以采用奇异积分方程的方法。
具体而言，假设K(z,x)为满足以下条件的函数：△zK(z,x)=0, z∈BK(z,x)=ln|z-x|, z∈Γ则我们可以得到如下式子：h(y)-h(x)=∫Γ(K(y,z)-K(x,z))dSz通过对上述式子进行变形，我们可以得到如下形式：h(y)=∫ΓK(y,z)dSz-∫B(K(y,z)-K(x,z))dVz其中dSz表示曲面元素，dVz表示体积元素。
5.3-5.4用电像法求狄氏格林函数
− a 2π π u1 ( M ) = ∫0 ∫0 f (θ 0 ,ϕ0 ) 4π a2 − ρ 2 sin θ 0 dθ 0 dϕ0
(a
2
+ ρ 2 − 2aρ cos γ
)
3 2
Wuhan University
四、注释
3、对于圆内的狄氏问题：
§5.3格林函数的求法
Wuhan University
M • 则 I = x i + y j+→ k z → → ρ r = sin θ cos ϕ i + sin θ sin ϕ j + cos θ k υ → r r r 0• ρ I 0 = x0 i + y0 j + z0 k r r r = sin θ 0 cosv 0v + sin θ 0 sin ϕ 0 j + cos θ 0 k ϕi v v ∴ I ⋅ I 0 = I ⋅ I 0 cos γ = cos γ = sin θ cos ϕ sin θ 0 cos ϕ 0 + sin θ sin ϕ sin θ 0 sin ϕ 0 + cos θ cos θ 0 cos γ = sin θ sin θ 0 cos(ϕ − ϕ 0 ) + cos θ cos θ 0
⎨ ⎩G |l = 0 1 1 ln + g 类似 G = 2π r ⎧Δg = 0 , M ∈ σ ⎪ 1 1 ⎨ ⎪ g |l = − 2π ln r |l ⎩
－狄氏格林函数
Wuhan University
二、狄氏格林函数
3、狄氏格林函数物理意义：
M
§5.3格林函数的求法
r
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Method of Green function
数理方程分类
无源：拉普拉斯方程 u 0
稳定态
有源：泊松方程 有源
u h(M )
格林函数法
utt 2 u f (r, t )
ut 2 u f (r, t )
与时间
有关
无源
utt 2 u 0
解 由Fourier变换公式，有
F ( ) F [ f (t )]
f (t )e
it
dt sin 0 te it dt
e i 0t e i 0t i t e dt 2i
i ( 0 ) t
1 2i
e
所以,当t 0时, i (t ) 0;当t 0时,由于 q (t )是不连续的， 从而在普通导数的意义 下， q (t )在这一点导数不存在， 如果我们从形式上计算 这个导数，则得
dq( t ) q(0 t ) q(0) 1 i( t ) lim lim . t 0 t 0 t dt t
ti
f (t ) [ (t )]dt
ti
f ( )
ti
[ (t )]dt
ti
k i 1
f (t i )
' (t i )
另外
k
k t (t ti ) (t ti ) f (t ) dt f (t ) dt t ' (ti ) ' (ti ) i 1 i 1 k
可见, 单位脉冲函数 (t )与常数 1构成了一个 Fourier 变换对
同理, (t t0 )和eit0 也构成了一个 Fourier变换对
注意：这时的广义积分不是普通意义下的积分值，δ 函数的Fourier变换是一种广义的Fourier变换.
0, t 0 例 证明单位阶跃函数 u (t ) 的Fourier变换 1, t 0 1 为 ( ). i
令 即
w (t ) 因
d[ (t )] ' (t )dt
1 1 dt d [ (t )] dw ' (t ) ' (t )
时， (ti ) (ti ) 时， (ti ) (ti )
又由于 ' (t ) 0
显然，上例中的电流强度无法用一个普通函数来表示，为 了确定这类工程中常见的函数，必须引入广义函数, 简记为 δ–函数.
0, t 0 (t ) , t 0 (t ) dt 1
有了这种函数，对于许多集中于一点或一瞬时的量， 例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术 中非常窄的脉冲等，都能够像处理连续分布的量那样， 以统一的方式加以解决. 从数学上弄清δ–函数的定义，要涉及到广义函 数的知识。为方便起见，我们可把δ–函数看作是弱 收敛函数序列的弱极限.
记为 (t ),即
(t ) (t ), 或简记为 lim (t ) (t ).
0 0
弱
这表明δ–函数可以看成一个普通函数序列的弱极限 .
1
(t )
(t )
1
O
t
O
t
对任何 0, 显然有
工程上常将δ函数称为单位脉冲函数.有时将δ函 数用一个长度等于1的有向线段表示， 线段的长度 表示δ函数的积分值称为δ函数的强度.
i i
i 1
k f (ti ) t (t ti ) f (t ) dt f (t ) [ (t )]dt t i 1 ' (t i ) i 1 ' (ti )
k
i i
f (ti ) ' (ti )
比较上述二式，得
(t ti ) [ (t )] ' (ti ) i 1
k
根据δ–函数的筛选性质和Fourier变换的定义， 容易 求出δ–函数的Fourier变换.
F () F[ (t )] (t )eit dt eit
t 0
1
sin t
0
dt
2.1和2 ( )构成一个 Fourier变换对.
3.e i0t 和2 ( 0 )构成一个 Fourier变换对.
e
it
dt 2 ( ).
e i ( 0 ) t dt 2 ( 0 ).
例 求正弦函数 f (t ) sin 0t的Fourier变换.
0
lim
0 0
1
f (t )dt lim
0
1
0
f (t )dt ,
由于 f (t )是无穷次可微函数 , 显然 f (t )是连续函数 , 按积分中值定理 , 有,
(t ) f (t )dt lim
0
1
0
f (t )dt lim f ( ) (0 1).
ut 2 u 0
§5.1
函数
物理和工程技术中，许多物理现象具有脉冲性 如集中在一点的质量分布、电荷分布等问题（即质点、 点电荷的概念）力学中集中作用在一点的力所产生的压 强、热学中的点热源，以及在电路中出现的瞬时电流、 瞬时电压等 。 它们不在某一空间范围内出现，也不在某一时间间隔内 出现，而只是在某一空间点，或某一瞬时才出现。 研究这类现象产生的问题都要涉及到下面介绍的δ函数
0
所以，
(t ) f (t )dt f (0).
更一般地有， (t t0 ) f (t )dt f (t0 ).
2.函数是偶函数 ,即 (t ) (t );
3.
t
d 0, t 0 ( )d H (t ), H (t ) (t ),其中 H (t ) dt 1, t 0
1 这就表明 ( )的Fourier逆变换为 f (t ) u (t ) i
一些常见函数的广义Fourier变换: 1 1.u( t )和 ( )构成一个Fourier 变换对. i
u( t )的积分表达式在 t 0时，可写为
1 1 u( t ) 2
f (t ) [ (t )]dt
i 1
k
k
ti
t i
f (t ) [ (t )]dt
ti
f ( )
i 1
t i
[ (t )]dt
最后一步用了中值定理，其中 ti i ti ]
当
0时， i ti
' (t ) 0
ti
( ti ) 1 1 所以有 [ (t )]dt ( w)dw t i ( t i ) ' ( ) ' ( t ) i k
于是
k i 1
f (t ) [ (t )]dt
i 1
称为单位阶跃函数；
4.若f (t )为无穷次可微的函数， 则有
(t ) f (t )dt f (0).
( n ) (t ) f (t )dt (1)n f ( n ) (0).
一般地，有
5.根据δ–函数的定义， 容易得出宗量为函数的δ函 数的性质 k (t ti ) [ (t )] 其中 ti为 (t ) 0的单根 i 1 ' (ti )
证
1 事实上，若 F ( ) ( ), 则由 Fourier逆变换 i 可得
1 f ( t ) F [ F ( )] 2
1
F ( )e it d
1 1 [ ( )]e it d 2 i it 1 1 e i t ( )e d d 2 2 i 1 1 sin t i t ( )e d d 2 2 1 1 sin t d 2 0 sin 利用Dirichlet积分 d 有 2 0
格林函数的定义
• 格林函数的定义： 一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生 的场。 • 如
G (r r0 )
• 格林函数 数 • 应用 格林函数
2 , t 0 sin t d 0, t0 0 , t 0 2 则 当t 0时,
1 1 1, t 0 1 1 sin t 2 2 f (t ) dt 2 0 1 1 ( ) 0, t 0 2 2
0
(t )dt
1
dt 1.
2
函数的性质：
1.筛选性质 由δ–函数的定义，可以推出δ–函数 的一个重要结果，称为δ–函数的筛选性质:
若f (t )为无穷次可微的函数， 则有
( t ) f ( t )dt f (0).
事实上， (t ) f (t )dt lim (t ) f (t )dt
e i (
0
)t