高三数学上学期期中试题文
2021-2022学年高三上学期数学(文)期中试题及答案
2021-2022学年上学期期中考试高三数学（文科）试题考试时间：120分钟 分数：150分本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则U C A =( )A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}2. 131ii +- = ( )A. 1+2iB. -1+2iC. 1-2iD. -1-2i3. 已知实数x , y 满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z=y-x 的最大值为 ( )A. 1B. 0C. -1D. -2 4. “p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ） A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π(5题图) （6题图）是否开始k=1,s=1k<5?输出s结束 k=k+1s=2s-k6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （ ） A. -10 B. -3 C. 4 D. 57. 已知x 与y 之间的几组数据如表：x 0 1 2 3 y267则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点 ( )A. (1,2)B. (2,6)C. (315,24) D. (3,7)8. 下列函数中，在定义域内与函数3y x =的单调性与奇偶性都相同的是 （ ）A. sin y x =B. 3y x x =-C. 2x y =D.2lg(1)y x x =++9. 对于使()f x N ≥成立的所有常数N 中，我们把N 的最大值叫作()f x 的下确界．若,a b ∈(0, +∞),且2a b +=，则133a b +的下确界为 （ ） A. 163 B. 83 C. 43 D. 2310.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列．如果数阵中111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所有数的和等于36，那么22a = （ ）A. 8B. 4C. 2D. 111.三棱锥P-ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 （ ）A. 4B. 6C. 8D.1012.函数()f x 的定义域为R ，f(0)=2,对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式()1x xe f x e >+ 的解集为 （ ） A. {}|0x x > B. {}|0x x < C. {}|11x x x <->或 D. {}|10x x x <->>或1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知-向量a 与b 的夹角为60°，且a =（-2，-6），10b =，则ab =14.已知数列{}n a 是等比数列，且1344,8a a a ==，则5a 的值为15.抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标为 16.将边长为2的等边∆ABC 沿x 轴正方向滚动，某时刻A 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)A x y 的轨迹方程是y=f(x)，关于函数y=f(x)有下列说法：①f(x)的值域为[0，2]； ②f(x)是周期函数且周期为6 ; ③()(4)(2015)f f f π<<;④滚动后，当顶点A 第一次落在x 轴上时，f(x)的图象与x 轴所围成的面积为833π+．其中正确命题的序号为三．解答题(本大题共6道题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分）在∆ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知3cos 3cos c b C c B =+（I ）求sin sin C A 的值 (II)若1cos ,233B b =-=，求∆ABC 的面积。
文科高三期中模拟试题 文科数学
高三期中模拟试题 文科数学（满分150分，时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的选项的代号涂在答题卡上或填在答题纸相应空格里.1．设集合2{|0},{|||2},M x x x N x x =-<=<则A ．M N φ=B ．M N N =C ．M N M =D ．M N =R2．已知向量,m n 的夹角为6π，且|||2,==m n 在△ABC 中，,3,AB AC =+=-m n m n D为BC 边的中点，则||AD等于A ．1B ．2C ．3D ．4 3．设曲线2cos sin x y x -=在点(,2)2π处的切线与直线10x ay ++=垂直，则a 等于 A ．2 B ．-2 C ．-1 D ．1 4．不等式21log 1x x-≥的解集为 A ．(,1]-∞- B ．[1,)-+∞ C ．[-1，0） D ．(,1)(0,)-∞-+∞5．函数()sin f x x x =-的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．无数个 6．函数log (||1)(1)a y x a =+>的大致图像是7．已知函数1x y a -=（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n=+的图象上，其中,0m n >，则11m n+的最小值为 A ．1 B．2 D ．4 8．函数()y f x =的导函数图象如图所示，则下面判断正确的是A ．在（-3，1）上()f x 是增函数B ．在1x =处()f x 有极大值C ．在2x =处()f x 取极大值D ．在（1，3）上()f x 为减函数9．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且1,45,2ABC a B S ∆=∠=︒=，则b 等于A．．3 C ．5 D10．若函数()f x 满足：“对于区间（1，2）上的任意实数12122121,(),|()()|||x x x x f x f x x x ≠-<-恒成立”，则称()f x 为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是A ．1()f x x= B ．()||f x x = C ．()23f x x =- D ．2()f x x =11．若0,0a b >>且4a b +=，则下列不等式恒成立的是A ．112ab >B ．111a b +≤ C2≥ D ．22118a b ≤+12．函数()sin()f x A x b ωϕ=++的图象如下，则(0)(1)(2011)S f f f =+++ 等于A ．0B ．503C ．1006D ．2012二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.把答案填在答题纸相应题目的横线上.13．已知,,a b c 分别是△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边，若1,2,a b A C B ==+=则sin C =____________14．已知||2,||4==a b ，且（+a b ）与a 垂直，则a 与b 的夹角是______________15．若20.30.30.3,2,log 2a b c ===，则,,a b c 由大到小的关系是______________16．设01a <≤，函数2(),()ln a f x x g x x x x =+=-，若对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为__________三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.17．（本题满分12分）已知点(,)P x y 在由不等式组301010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩确定的平面区域内，O 为坐标原点，(1,2)A -，试求OP OA ⋅的最大值.18．（本题满分12分）已知函数()sin(2)sin(2)cos266f x x x x a ππ=++--+（,a R a ∈为常数）.（1）求函数()f x 的单调增区间； （2）若函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位后，得到函数()g x 的图像关于y 轴对称，求实数m 的最小值.19．（本题满分12分）已知(cos ,sin ),(cos ,sin )ααββ==a b ，其中0αβπ<<<. （1）求证：+a b 与-a b 互相垂直；（2）若k +a b 与(0)k k -≠a b 的长度相等，求βα-. 20．（本题满分12分） 奇函数()()1()m g x f x g x -=+的定义域为R ，其中()y g x =为指数函数且过点（2，9）.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若对任意的[0,5]t ∈，不等式22(2)(225)0f t t k f t t +++-+->恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本题满分12分）在一条笔直的工艺流水线上有三个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为1,23,x x x ，每个工作台上有若干名工人.现要在1x 与3x 之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短.（1）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；（2）设三个工作台从左到右的人数依次为2，1，3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值.22．（本题满分14分）已知函数2()ln(1)().f x x ax a x a =---∈R （1）求函数()f x 的单调区间；（2）试判断是否存在实数(1)a a ≥，使()y f x =的图像与直线1y =+无公共点（其中自然对数的底数e 为无理数且e =2.71828…）.高三期中模拟试题 文科数学 参考答案一、BADCA BDCCA DD二、13．1 14．23π 15．b a c >> 161a ≤18．解：（1）()sin(2)sin(2)cos266f x x x x a ππ=++--+2cos22sin(2).6x x a x a π=-+=-+…………………………………3分当222()262k x k k πππππ-≤-≤+∈Z ，即()63k x k k ππππ-≤≤+∈Z 时，函数()f x 单调递增，故所求区间为[,]().63k k k ππππ-+∈Z …………………………6分（2）函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位后得()2sin[2()]6g x x m a π=+-+，要使()g x 的图像关于y 轴对称，只需2()62m k K Z πππ-=+∈…………………………9分即()23k m k Z ππ=+∈，所以m 的最小值为3π.………………………………12分 19．解：（1）22()()+⋅-=-a b a b a b 222222||||(cos sin )(cos sin )ααββ=-=+-+a b =1-1=0∴+a b 与-a b 互相垂直.……………………………………5分（2）+(cos cos ,sin sin ),k k k αβαβ=++a b -(cos cos ,sin sin ),k k k αβαβ=--ab |+||k k ∴=-=a b a b22|+|||,2cos()12cos()1,k k k k k k βαβα=-∴+-+=--+a b a b ……………9分2cos()2cos(),k k βαβα-=--0k ≠ ，故cos()0βα-=，又0,0,αβπβαπ<<<∴<-<.2πβα∴-=………………………12分20．解：（1）设()(0,1),x g x a a a =>≠则29,3a a =∴=或3a =-（舍），3()3,().13x xxm g x f x -∴==+……………………2分 又()f x 为奇函数，33()(),1313x xx x m m f x f x ----∴-=-∴=-++， 整理得(31)31x xm +=+ 1m ∴=13().13x xf x -∴=+ …………………………6分 （2）22.3ln3()0,()(13)x x f x y f x -'=<∴=+ 在R 上单调递减.……………………7分要使对任意的22[0,5],(2)(225)0t f t t k f t t ∈+++-+->恒成立， 即对任意的22[0,5],(2)(225)t f t t k f t t ∈++>--+-恒成立.()f x 为奇函数，22(2)(225)f t t k f t t ∴++>-+恒成立，…………………………9分又()y f x = 在R 上单调递减，222225t t k t t ∴++<-+当[0,5]t ∈时恒成立，2245(2)1k t t t ∴<-+=-+当[0,5]t ∈时恒成立，而当[0,5]t ∈时，21(2)110t ≤-+≤， 1.k ∴<………………………………12分21．解：设供应站坐标为x ，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为().d x（1）由题设知，13x x x ≤≤，所以123312()()||()||.d x x x x x x x x x x x =-+-+-=-+-………3分 故当2x x =时，()d x 取最小值，此时供应站的位置为2.x x =……………5分 （2）由题设知，13x x x ≤≤，所以各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为132()2()3()||.d x x x x x x x =-+-+-……………………………………8分 ∴3211232123232,,()32,.x x x x x x x d x x x x x x x -++-≤<⎧=⎨--≤≤⎩…………………………10分 因此，函数()d x 在区间（12,x x ）上是减函数，在区间[23,x x ]上是常数.故供应站位置位于区间[23,x x ]上任意一点时，均能使函数()d x 取得最小值，且最小值为32132.x x x --………………12分22．解：（1）函数2()ln(1)()f x x ax a x a =---∈R 的定义域是(1,).+∞………1分22()2()211a x x a f x x a x x +-'=--=--，…………………3分 ①若0a ≤，则22()221,()021a x x a f x x +-+'≤=>-在(1,)+∞上恒成立， 0a ∴≤时，()f x 的增区间为(1,)+∞…………………………5分②若0a >，则212a +>，故当2(1,]2a x +∈时，22()2()01a x x f x x +-'=≤-； 当时2[,)2a x +∈+∞时，22()2()01a x x f x x +-'=≥-，…………………………7分 0a ∴>时，()f x 的减区间为2(1,],()2a f x +的增区间为2[,).2a ++∞…………………8分（2）1a ≥时，由（1）可知，()f x 在(1,)+∞上的最小值为22()1ln .242a a af a +=-+-…………………10分设22()()1ln ([1,)),242a a a g a f a a +==-+-∈+∞则113()ln 1(1)ln 1ln 20,22222a a g a g ''=---≤=---=-+<2()1ln 42a ag a a ∴=-+-在[1,)+∞上单调递减，max 3()(1)ln 24g a g ∴==+，……………………………12分max 314()1ln 21ln 0,44eg a --+-->∴存在实数(1)a a ≥使()f x的最小值大于1+故存在实数(1)a a ≥，使()y f x =的图像与直线1y =+无公共点.……………14分。
福建省师范大学附属中学高三数学上学期期中试卷文(含解析)(最新整理)
12019届福建师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．设集合则=A ．B ．C ．D ．2．命题“，”的否定是A ．，B ．，C ．, D ．，3．已知是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A ．B ．C ．D ．只装订不密封准考证号 考场号 座位号5．已知函数,为图象的对称轴，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，则的解析式为A ．B ．C ．D ．6．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为A ．B ．C ．D ．7．函数的部分图象大致为A ．B ．C ．D ．8．直线与圆相交于、两点。
若，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．9．某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等,则该几何体的表面积为A ．B ．C ．D ．210．若四边形是边长为2的菱形，,分别为的中点，则A ．B ．C ．D ．11．在中，,，点在边上，且，则A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知直线1:260l ax y++=和直线()22:110l x a y a+-+-=垂直，则实数a的值为__________．14．已知向量，，若,则向量与向量的夹角为_____．15．设函数，则函数的零点个数是_______.16．半径为4的球的球面上有四点A，B，C，D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．三、解答题17．已知等差数列的公差为1，且成等比数列.3（1）求数列的通项公式；(2)设数列,求数列的前项和。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期期中考试文科数学试题(解析版)
成都七中2022～2023学年度（上）高三年级半期考试数学试卷（文科）（试卷总分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，则()U A B = ð（ ）A. {}0,6 B. {}1,4 C. {}2,4 D. {}3,5【答案】C【解析】【分析】根据交集、补集的定义，即得解【详解】由题意，全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，故{0,2,4,6}U B =ð则(){2,4}U A B =∩ð故选：C2. 复数43i 2i z -=+（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）A. 2- B. 1- C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据复数除法的运算法则，求出复数z ，然后由虚部的定义即可求解.【详解】解：因为复数()()()()2243i 2i 43i 510i 12i 2i 2i 2i 21z ----====-++-+，所以复数z 的虚部为2-，故选：A .3. 青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角12名青少年的视力测量值()1,2,3,,12i a i =⋅⋅⋅（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】依题意该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3人数，结合茎叶图判断可得；【详解】解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3的人数，由茎叶图可知视力小于等于4.3的有5人，故选：B4. 抛物线()220y px p =≠上的一点()9,12P -到其焦点F 的距离PF 等于（ ）A. 17B. 15C. 13D. 11【答案】C【解析】【分析】由点的坐标求得参数p ，再由焦半径公式得结论．【详解】由题意2122(9)p =⨯-，解得8p =-，所以4(9)132P p PF x =--=--=，故选：C ．5. 奥运会跳水比赛中共有7名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分，则与7个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（ ）A. 众数B. 方差C. 中位数D. 平均数【答案】B【解析】的【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案．【详解】对于A：众数可能不变，如8,7,7,7,4,4,1，故A错误；对于B：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故B正确；对于C：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故C错误；对于C：平均数可能变大、变小或不变，故D错误；故选：B6. 已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（）A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同，根据题干三视图的数据，以及圆锥的侧面积和球的表面积公式，即得解【详解】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同底面圆的半径1r =，圆锥的母线长2l ==记该几何体的表面积为S 故211(2)4422S r l r πππ=+⨯=故选：B7. 设平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a = ，2b = ，则()2a a b ⋅+= （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的运算律以及数量积的定义，计算即得解【详解】由题意，()22222112cos120211a ab a a b ⋅+=+⋅=⨯+⨯⨯=-= 则()21a a b ⋅+= 故选：A8. 设x ，y 满足240220330x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A. 2- B. 1- C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示, 转化2z x y =+为2y x z =-+,要使得2z x y =+取得最大值，即直线2y x z =-+与阴影部分相交且截距最大，数形结合即得解【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示转化2z x y =+为2y x z=-+要使得2z x y =+取得最大值，即直线2y x z =-+与阴影部分相交且截距最大由图像可知，当经过图中B 点时，直线的截距最大240220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得(0,2)B 故2022z =⨯+=故2z x y =+的最大值是2故选：D9. “α为第二象限角”是“sin 1αα>”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据条件sin 1αα->求出α的范围，从而可判断出选项.【详解】因为1sin 2sin 2sin 23πααααα⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由sin 1αα>，得2sin 13πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即1sin 32πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以522,636k k k Z ππππαπ+<-<+∈，即722,26k k k Z πππαπ+<<+∈，所以当α为第二象限角时，sin 1αα>；但当sin 1αα>时，α不一定为第二象限角，故“α为第二象限角”是“sin 1αα>”的充分不必要条件.故选：A .10. 已知直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，则22log log a b +的最大值为（ ）A. 3B. 2C. 2-D. 3-【答案】D【解析】【分析】由直线与圆相切可得2214a b +=，然后利用均值不等式可得18ab ≤，从而可求22log log a b +的最大值.【详解】解：因为直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，2=，即2214a b +=，因为222a b ab +≥，所以18ab ≤，所以22221log log log log 38a b ab +=≤=-，所以22log log a b +的最大值为3-，故选：D .11. 关于函数()sin cos 6x x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的叙述中，正确的有（ ）①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增；③3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数；④()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】【分析】应用差角余弦公式、二倍角正余弦公式及辅助角公式可得()11sin(2)264f x x π=-+，再根据正弦型函数的性质，结合各项描述判断正误即可.【详解】()211sin cos sin sin )cos sin 622x f x x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+= ⎪⎝⎭11112cos 2sin(2)44264x x x π-+=-+，∴最小正周期22T ππ==，①错误；令222262k x k πππππ-≤-≤+，则()f x 在[,63k k ππππ-+上递增，显然当0k =时,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，②正确；1111sin(2)cos 2322424f x x x ππ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭，易知3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，③正确；令26x k ππ-=，则212k x ππ=+，Z k ∈，易知()f x 的图象关于1,124π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，④错误；故选：C12. 攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状．始建于1752年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观．其檐平面呈正八边形，上檐边长为a ，宝顶到上檐平面的距离为h ，则攒尖的体积为（ ）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】攒尖是一个正八棱锥，由棱锥体积公式计算可得．【详解】如图底面正八边形ABCDEFGH 的外接圆圆心是O （正八边形对角线交点），设外接圆半径为R ，在OAB 中，4AOB π∠=，AB a =，由余弦定理得222222cos (24a R R R R π=+-=-，22R ==，正八边形的面积为218sin 24S R π=⨯22(1a =，所以攒尖体积13V Sh ==．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 命题“x N ∃∈，22x x <”的否定是_______________________．【答案】2,2x x N x ∀∈≥【解析】【分析】根据命题的否定的定义求解．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题“x N ∃∈，22x x <”的否定是：2,2x x N x ∀∈≥．故答案为：2,2x x N x ∀∈≥．14. 函数()ln f x x =-在1x =处的切线方程为_______________________．（要求写一般式方程）【答案】230x y +-=【解析】【分析】利用导函数求出斜率，即可写出切线方程.【详解】()ln f x x =-的导函数是()1f x x'=，所以()111122f '=-=-.又()11f =，所以函数()ln f x x =-在1x =处的切线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=.故答案为：230x y +-=.15. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，且两条渐近线互相垂直，若C 上一点P 满足213PF PF =，则12F PF ∠的余弦值为_______________________．【答案】13【解析】【分析】由题意可得b a =，进而得到c =，再结合双曲线的定义可得123,PF a PF a ==，进而结合余弦定理即可求出结果.【详解】因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>，所以渐近线方程为b y x a =±，又因为两条渐近线互相垂直，所以21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1b a =，即b a =，因此c =，因此213PF PF =，又由双曲线的定义可知122PF PF a -=，则123,PF a PF a ==，所以在12F PF △中由余弦定理可得222122112121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠===⋅，故答案为：13.16. 已知向量(),a x m = ，()32,2b x x =-+ ．（1）若当2x =时，a b ⊥ ，则实数m 的值为_______________________；（2）若存在正数x ，使得//a b r r，则实数m 取值范围是__________________．【答案】①. 2- ②. (),0[2,)-∞⋃+∞【解析】【分析】（1）由2x =时，得到()2,a m = ，()4,4b = ，然后根据a b ⊥ 求解；（2）根据存在正数x ，使得//a b r r，则()22320x m x m +-+=，()0,x ∈+∞有解，利用二次函数的根的分布求解.【详解】（1）当2x =时，()2,a m = ，()4,4b = ，因为a b ⊥ ，所以2440m ⨯+=，解得2m =-，所以实数m 的值为-2；（2）因为存在正数x ，使得//a b r r，所以()()232x x m x +=-，()0,x ∈+∞有解，即()22320x m x m +-+=，()0,x ∈+∞有解，所以()223022380m m m -⎧->⎪⎨⎪∆=--≥⎩或230220m m -⎧-≤⎪⎨⎪<⎩，解得2m ≥或0m <，所以实数m 的取值范围是(),0[2,)-∞⋃+∞.故答案为：-2，(),0[2,)-∞⋃+∞三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个题目考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为4:1．现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记．的产品件数一等品二等品总计甲生产线2乙生产线7总计50（1）请将22⨯列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关？()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2）从样本的所有二等品中随机抽取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率．【答案】（1）列联表见解析，有97.5%的把握认为产品的等级差异与生产线有关； （2）710【解析】【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，再与观测值比较即可判断；（2）记甲生产线的2个二等品为A ，B ，乙生产线的3个二等品为a ，b ，c ，用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；小问1详解】解：依题意可得22⨯列联表如下：产品件数一等品二等品总计甲生产线38240乙生产线7310总计45550所以()225038327 5.5561040545K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为5.024 5.556 6.635<<，所以有97.5%的把握认为产品的等【级差异与生产线有关；【小问2详解】解：依题意，记甲生产线的2个二等品为A ，B ，乙生产线的3个二等品为a ，b ，c ；则从中随机抽取2件，所有可能结果有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc 共10个，至少有1件为甲生产线产品的有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc 共7个，所以至少有1件为甲生产线产品的概率710P =；18. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．（1）求证：平面1ADC ⊥平面11BCC B ；（2）已知1AA =，求异面直线1A B 与1DC 所成角的大小．【答案】（1）证明见解析； （2）6π【解析】【分析】（1）证得AD ⊥平面11BCC B ，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.【小问1详解】因为正三棱柱111ABC A B C -，所以AB AC =，又因为D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥，又因为平面ABC ⊥平面11BCC B ，且平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以AD ⊥平面11BCC B ，又因为AD ⊂平面1ADC ，所以平面1ADC ⊥平面11BCC B ；【小问2详解】取11B C 的中点E ，连接DE ，由正三棱柱的几何特征可知,,DB DA DE 两两垂直，故以D 为坐标原点，分以,,DA DB DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设2AB =，则1AA =，所以()()(11,0,1,0,0,0,0,0,1,A B D C -,则((11,0,1,A B DC =-=-u u u r u u u r，所以111111cos ,A B DC A B DC A B DC ⋅===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 由于异面直线成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以异面直线1A B 与1DC ，因此异面直线1A B 与1DC 所成角为6π.19. 已知n N *∈，数列{}n a 的首项11a =，且满足下列条件之一：①1122n n n a a +=+；②()121n n na n a +=+．（只能从①②中选择一个作为已知）（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 的前n 项和n S m <，求正整数m 的最小值．【答案】（1）22n nn a = （2）4【解析】【分析】（1）若选①，则可得11222n n n n a a ++⋅-⋅=，从而可得数列{}2nn a ⋅是以2为公差，2为首项的等差数列，则可求出2nn a ⋅，进而可求出n a ，若选②，则1112n n a a n n +=⋅+，从而可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公比，1为首项的等比数列，则可求出na n，进而可求出n a ，（2）利用错位相减法求出n S ，从而可求出正整数m 的最小值【小问1详解】若选①，则由1122n n n a a +=+可得11222n n n n a a ++⋅-⋅=，所以数列{}2n n a ⋅是以2为公差，1122a ⋅=为首项的等差数列，所以222(1)2nn a n n ⋅=+-=，所以22n nn a =，若选②，则由()121n n na n a +=+，得1112n n a a n n +=⋅+，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公比，1111a a ==为首项的等比数列，所以1112n n a n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以1222n n nnn a -==【小问2详解】因为12312462(1)222222n n n n n S --=+++⋅⋅⋅++，所以234112462(1)2222222n n n n nS +-=+++⋅⋅⋅++，所以23112222122222n n n n S +=+++⋅⋅⋅+-2311112()2222n nn=+++⋅⋅⋅+-111[1]42121212n nn -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯--222n n +=-，所以2442n nn S +=-，所以4n S <，所以正整数m 的最小值为4，20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为，左顶点A 到右焦点F 的距离为3．（1）求椭圆C 的方程（2）设直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N （不同于A ），且直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：l 经过定点．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得b =、3a c +=，再根据222c a b =-，即可求出a 、c ，从而求出椭圆方程、离心率；（2）设直线l 为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，依题意可得12AM AN k k ⋅=-，即可得到方程，整理得到225480m k km --=，即可得到m 、k 的关系，从而求出直线过定点；【小问1详解】解：依题意b =、3a c +=，又222c a b =-，解得2a =，1c =，所以椭圆方程为22143x y +=，离心率12c e a ==；【小问2详解】解：由（1）可知()2,0A -，当直线斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，联立方程得22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2223484120k xkmx m +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，所以122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+；因为直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以12AM AN k k ⋅=-；即()()22121212121212121212222242AM ANk x x km x x m y y kx m kx m k k x x x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅==-+++++++所以2222222241281343441282243434m km k km m k k m km k k -⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭=--⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭，即22221231164162k m k m km -+=-+-，所以225480m k km --=，即()()2520m k m k -+=，所以2m k =或25m k =-，当2m k =时，直线l ：2y kx k =+，恒过定点()2,0-，因为直线不过A 点，所以舍去；当25m k =-时，直线l ：25y kx k =-，恒过定点2,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；当直线斜率不存在时，设直线0:l x x =，()00,M x y ，()00,N x y -，则00001222AM AN y y k k x x -⋅=⋅=-++，且2200143x y +=，解得025x =或02x =-（舍去）；综上可得直线l 恒过定点2,05⎛⎫⎪⎝⎭.21. 已知函数()sin xf x e k x =-，其中k 为常数．（1）当1k =时，判断()f x 在区间()0,∞+内的单调性；（2）若对任意()0,x π∈，都有()1f x >，求k 的取值范围．【答案】（1）判断见解析 （2）(,1]k ∈-∞【解析】【分析】小问1：当1k =时，求出导数，判断导数在()0,∞+上的正负，即可确定()f x 在()0,∞+上的单调性；小问2：由()1f x >得sin 10x e k x -->，令()sin 1x g x e k x =--，将参数k 区分为0k ≤，01k <≤，1k >三种情况，分别讨论()g x 的单调性，求出最值，即可得到k 的取值范围.【小问1详解】当1k =时，得()sin xf x e x =-，故()cos xf x e x '=-，当()0,∞+时，()0f x '>恒成立，故()f x 在区间()0,∞+为单调递增函数.【小问2详解】当()0,x π∈时，sin (0,1]x ∈，故()1f x >，即sin 1x e k x ->，即sin 10x e k x -->.令()sin 1x g x e k x =--①当0k ≤时，因为()0,x π∈，故sin (0,1]x ∈，即sin 0k x -≥，又10x e ->，故()0f x >在()0,x π∈上恒成立，故0k ≤；②当01k <≤时，()cos x g x e k x '=-，()sin x g x e k x ''=+，故()0g x ''>在()0,x π∈上恒成立，()g x '在()0,x π∈上单调递增，故0()(0)0g x g e k ''>=->，即()g x 在()0,x π∈上单调递增，故0()(0)10g x g e >=-=，故01k <≤；③当1k >时，由②可知()g x '在()0,x π∈上单调递增，设()0g x '=时的根为0x ，则()g x 在0(0,)x x ∈时为单调递减；在0(,)x x π∈时为单调递增又0(0)10g e =-=，故0()0g x <，舍去；综上：(,1]k ∈-∞【点睛】本题考查了利用导数判断函数单调性，及利用恒成立问题，求参数的取值范围的问题，对参数做到不重不漏的讨论，是解题的关键.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22. 在平面直角坐标系xOy 中，伯努利双纽线1C （如图）的普通方程为()()222222x y x y +=-，曲线2C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（其中r ∈（，θ为参数）．的（1）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求1C 和2C 的极坐标方程；（2）设1C 与2C 的交于A ，B ，C ，D 四点，当r 变化时，求凸四边形ABCD 的最大面积．【答案】（1）1:C 2222cos 2sin ρθθ=-；2:C r ρ=（2）2【解析】【分析】（1）根据直角坐标方程，极坐标方程，参数方程之间的公式进行转化即可；（2）设点A 在第一象限，并且设点A 的极坐标，根据题意列出点A 的直角坐标，表示出四边形ABCD 的面积进行计算即可.小问1详解】1:C ()()222222x y x y +=-，由cos ,sin x y ρθρθ==，故222222()2(cos sin )ρρθρθ=-，即2222cos 2sin ρθθ=-2:C cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，即222x y r +=，即22r ρ=，rρ=【小问2详解】由1C 和2C 图象的对称性可知，四边形ABCD 为中心在原点处，且边与坐标轴平行的矩形，设点A 在第一象限，且坐标为(,)ρα(02πα<<，又r ρ=，则点A 的直角坐标为(cos ,sin )r r αα，又2222cos 2sin ραα=-，即2222cos 2sin 2cos 2r ααα=-=故S 四边形ABCD =22cos 2sin 2sin 2r r r ααα⋅==22cos 2sin 22sin 4ααα⋅⋅=又02πα<<，故042απ<<，因此当42πα=，即8πα=时，四边形ABCD 的面积最大为2.［选修4—5：不等式选讲]（10分）【23. 设M 为不等式1431x x ++≥-的解集．（1）求集合M 的最大元素m ；（2）若a ，b M ∈且a b m +=，求1123a b +++的最小值．【答案】（1）3m = （2）12【解析】【分析】（1）分类讨论13x ≥，1x ≤-，113x -<<，打开绝对值求解，即得解；（2）由题意1,3,3a b a b -≤≤+=，构造11(2)(3)132([11]2328113823a b b a a b a b a b ++++++=+⨯=+++++++++，利用均值不等式即得解【小问1详解】由题意，1431x x ++≥-（1）当13x ≥时，1431x x ++≥-，解得3x ≤，即133x ≤≤；（2）当1x ≤-时，1413x x --+≥-，解得1x ≥-，即=1x -；（3）当113x -<<时，1413x x ++≥-，解得1x ≥-，即113x -<<综上：13x -≤≤故集合{|13}M x x =-££，3m =【小问2详解】由题意，1,3,3a b a b -≤≤+=，故(2)(3)8a b +++=故11(2)(3)132()[112328113823a b b a a b a b a b ++++++=+⨯=+++++++++由于1,3a b -≤≤，故20,30a b +>+>由均值不等式，113211[11[1123823821b a a b a b +++=+++≥++=++++当且仅当3223b a a b ++=++，即2,1a b ==时等号成立故求1123a b +++的最小值为12。
河南省南阳市2021-2022学年高三上学期期中考试 数学文科试卷
2021年秋期高中三年级期中质量评估数学试题(文)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷和草稿纸上无效。
4.考试结束，只交答题卡。
第I卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有A.7个B.8个C.15个D.16个2.设iz＝4＋3i，则z＝A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i3.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－l)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用。
若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列{a n}，则数列{a n}的前2021项的和为A.2020B.1348C.1347D.6724.已知命题p：“∃x0∈R，0x e－x0－1≤0”，则¬p为A.∀x∈R，e x－x－1≥0B.∀x∈R，e x－x－1>0C.∃x0∈R，0x e－x0－1≥0D.∃x0∈R，0x e－x0－1>05.已知f(x)＝14x2＋sin(2＋x)，f'(x)为f(x)的导函数，则y＝f'(x)的图象大致是6.设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b7.设变量x ，y 满足约束条件x 1x 2y 30x y 0≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≥⎩，则目标函数z ＝2x －y 的最小值为A.－1B.0C.1D.38.若实数a ，b 满足a>0，b>0，则“a>b ”是“a ＋lna>b ＋lnb ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知x>1，y>0，且1211x y+=-，则x ＋2y －1的最小值为 A.9 B.10 C.11 D.2＋26 10.已知OA 、OB 是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动。
安徽省黄山市屯溪2024-2025学年高三上学期11月期中数学试题含答案
屯溪2024-2025学年度第一学期期中质量检测高三数学试题（答案在最后）命题人：（考试时间：120分钟满分：150分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若全集{}{}{}0,1,2,3,4,0,1,4,1,3U A B ===，则()U A B =ð（）A.{}2,3 B.{}1,3,4 C.{}1,2,3 D.{}0,1【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用补集、并集的定义直接求解即可.【详解】由{}{}0,1,2,3,4,0,1,4U A ==，得{2,3}U A =ð，而{}1,3B =，所以{}3()1,2,U B A = ð.故选：C2.已知命题2:1,1p x x ∀<->，则p ⌝是（）A.21,1x x ∃<-≤B.21,1x x ∀≥->C.21,1x x ∀<->D.21,1x x ∃≤-≤【答案】A 【解析】【分析】运用全称命题的否定，否定结论，全称量词换成存在量词即可解题.【详解】全称命题的否定，否定结论，全称量词换成存在量词.则G ∀<−1,2>1，则p ⌝是21,1x x ∃<-≤.故选：A.3.设各项均为正数的等比数列{}n a 满足41082a a a ⋅=，则()2121011log a a a a 等于（）A.102B.112 C.11D.10【答案】C 【解析】【分析】等比数列中若+,,,N m n p q ∈，m n p q +=+，则m n p q a a a a ⨯=⨯.我们先根据此条性质和已知条件求出6a 的值,最后运用对数性质计算即可.【详解】在等比数列{}n a 中，8462108a a a a a ==⋅，得62a =.根据等比数列性质，2211121039485762a a a a a a a a a a a ======.所以1210111112103948576()()()()()a a a a a a a a a a a a a a a = 5116262()a a ==⨯，1121210112log ()log (2)11a a a a == .故选：C.4.若()()220,cos 2,cos 2m n m n αβαβ-≠-=+=，则tan tan αβ=（）A.2m nm n +- B.m n m n +-C.2m n m n-+ D.m n m n-+【答案】D 【解析】【分析】由两角和差的余弦展开式求出cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=+=-，再由同角的三角函数关系求解即可；【详解】因为()()cos cos cos sin sin 2,cos cos cos sin sin 2m n αβαβαβαβαβαβ-=+=+=-=，所以cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=+=-，所以sin sin tan tan cos cos m nm nαβαβαβ-==+．故选：D.5.已知函数()f x 与其导函数()f x '的图象的一部分如图所示，则关于函数()()e xf xg x =的单调性说法正确的是（）A.在(1,1)-单调递减B.在(0,2单调递减C.在[2单调递减 D.在[1,2]单调递减【答案】B 【解析】【分析】根据图象判断出过点()2,0的为()f x 的图象，过点()1,0的为导函数()f x '的图象，求导得到()()()exf x f xg x '-'=，()g x在(1,2x ∈-上单调递减，在2x ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，得到答案.【详解】从图象可以看出过点()2,0的为()f x 的图象，过点()1,0的为导函数()f x '的图象，()()()e xf x f xg x '-'=，当(1,2x ∈-时，()()0f x f x '-<，故()0g x '<，()()ex f x g x =在(1,2x ∈-上单调递减，当2x ⎡⎤∈-⎣⎦时，()()0f x f x '-≥，故()0g x '≥，()()ex f x g x =在2x ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，ACD 错误，B 正确，故选：B6.若对任意实数b ，关于x 的方程()212ax b x x ++-=有两个实根，则实数a 的取值范围是（）A.02a <≤B.01a <≤ C.10a -≤< D.11a -≤≤且0a ≠【答案】B 【解析】【分析】根据方程有两个根，利用判别式可转化为关于实数b 的不等式恒成立，即可求解.【详解】关于x 的方程()212ax b x x ++-=有两个实根，即方程()2120ax b x b +-+-=有两个实根，所以()()210Δ1420a b a b ≠⎧⎪⎨=---≥⎪⎩，即()20212810a b a b a ≠⎧⎨-+++≥⎩对任意实数b 恒成立，所以()()220Δ4124810a a a ≠⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩，即200a a a ≠⎧⎨-≤⎩，得01a <≤.故选：B.7.直线1y =被函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象所截得线段的最小值为π，则ω=（）A.13B.23C.32D.3【答案】B 【解析】【分析】由()π2sin 16f x x ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得到ππ2π,Z 66x k k ω+=+∈或π5π2π,Z 66x k k ω+=+∈，再结合条件，即可求解.【详解】由()π2sin 16f x x ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得到π1sin 62x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 66x k k ω+=+∈或π5π2π,Z 66x k k ω+=+∈，又直线1y =被函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象所截得线段的最小值为π，显然最小值在一个周期内取到，不妨取0k =，得到0x =或2π3x ω=，所以2ππ3ω=，解得23ω=，故选：B.8.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足(()()xf yf x xf y y=-，且当1x >时，()0f x >，则（）A.2()2()f x f x ≥B.322()()()f x f x f x ≥C.2()2()f x f x ≤D.322()()()f x f x f x ≤【答案】D 【解析】【分析】应用赋值法构造出23(),(),()f x f x f x 的等量关系，再结合不等式性质判断即可.【详解】由题意，0,0x y >>，()()()x f yf x xf y y=-.赋值1x y ==，得1(1)(1(1)1(1)01f f f f ==⋅-⋅=；赋值1x =，得1(1)1()()f yf f y f y y ⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭，即1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当1x >时，()0f x >，当01x <<时，则11x >，所以1()0f f x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，即()0f x <；赋值2x y =，得()222()()y f f y yf y y f y y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，解得21()()f y y f y y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即21()()f x x f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；AC 项，由21()()f x x f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，0x >，得()212()2()f xf x x f x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，其中由0x >，可知1220x x +-≥=，当1x >时，1()0,2()0f x x f x x ⎛⎫>+-≥ ⎪⎝⎭，即()22()f x f x ≥；当01x <<时，1()0,2()0f x x f x x ⎛⎫<+-≤ ⎪⎝⎭，即()22()f x f x ≤；故AC 错误；BD 项，21,x x y x ==，得232222111()()()()1x f f x f x x f f x x f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫==-=+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭；又21()()f x x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3222211()()()1()f x f x x f x x f x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，则322222222211()()()1()2()()0f x f x f x x f x x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=++-++=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故322()()()f x f x f x ≤，且()f x 不恒为0，故B 错误，D 正确.故选：D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分）9.给出下列四个关系式，其中正确的是（）A.2024∈RB.0∈∅C.∈Z QD.∅{}【答案】AD 【解析】【分析】根据R,Z,Q 表示的数集，结合空集的性质、真子集的定义逐一判断即可.【详解】因为2024是实数，因此选项A 正确；因为空间集中没有元素，显然0∈∅不正确，因此选项B 不正确；因为所有的整数都是有理数，因此整数集是有理数集的子集，所以选项C 不正确；因为空集是任何非空集合的真子集，所以选项D 正确，故选：AD10.（多选）下列说法不正确的是（）A.已知{}{}260,10A xx x B x mx =+-==-=∣∣，若B A ⊆，则m 组成集合为11,23⎧⎫-⎨⎩⎭B.不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充分不必要条件是30k -<<C.()f x 的定义域为()1,2-，则()21f x -的定义域为()3,3-D.不等式20ax bx c ++>解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则0a b c ++>【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，考虑B =∅时，0m =，满足要求，可判断A ；B 选项，考虑0k =时，0k ≠两种情况讨论可得充要条件为30k -<≤，可判断B ；C 选项，由1212x -<-<，可求定义域判断C ；D 选项，根据不等式的解集得到0a >且2,3-为方程20ax bx c ++=的两个根，由韦达定理得到的关系,,a b c ，计算可判断D.【详解】A 选项，{}2,3A =-，又{}10B xmx =-=∣，当0m =时，B =∅，满足B A ⊆，当0m ≠时，1B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当12m =时，{}2B =，满足B A ⊆，当13m =-时，{}3B =-，满足B A ⊆，综上，m 组成集合为110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，A 说法不正确；B 选项，当0k =时，不等式为308-<恒成立，可得23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立，当0k ≠时，由23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立，可得20342()08k k k <⎧⎪⎨-⨯⨯-<⎪⎩，解得30k -<<，综上所述：不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充要条件是30k -<≤，所以不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充分不必要条件是30k -<<，故B 正确；C 选项，因为()f x 的定义域为()1,2-，所以1212x -<-<，解得302x <<，故()21f x -的定义域为30,2⎛⎫⎪⎝⎭，C 说法不正确；D 选项，不等式20ax bx c ++>解集为−∞,−2∪3,+∞，则0a >且2,3-为方程20ax bx c ++=的两个根，故23,23b c a a-+=--⨯=，则,6b a c a =-=-，故60a b c c a ++==-<，D 说法不正确.故选：ACD.11.如图，心形曲线22:()1L x y x +-=与y 轴交于,A B 两点，点P 是L上的一个动点，则（）A.点,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭和−1,1均在L 上B.点PC.O 的最大值与最小值之和为3D.PA PB +≤【答案】ABD 【解析】【分析】点代入曲线判断A ，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B ，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C ，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D.【详解】令0x =，得出1y =±，则()()1,0,1,0,A B -对于A ：2x =时，21122y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭得0y =或y =，=1x -时，()2111y +-=得1y =，所以,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和()1,1-均在L 上，A 选项正确；对于B ：因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，()221x y x+-=，所以y x =+()()222221112y y x x x x =+=+-+≤++-=，所以2x =时，y 最大，最大值为22+=B 选项正确；对于C ：OP =，因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，设cos ,sin x y x θθ=-=，所以()2222222cos cos sin 2cos sin 2sin cos OP x y θθθθθθθ=+=++=++()1cos231351sin2cos2sin2sin 222222θθθθθϕ+=++=++=+，因为θ可取任意角，所以OP 12=，OP 512+=，C 选项错误；对于D ：PA PB +≤等价为点P 在椭圆22132y x +=内，即满足()222cos sin 3cos 6θθθ++≤，即()()31+cos221sin 262θθ++≤，整理得4sin23cos25θθ+≤，即()sin 21θβ≤+恒成立，故D 选项正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =-+，则(2)f -=______．【答案】2-【解析】【分析】根据函数为奇函数，利用()()f x f x -=-求解.【详解】由题意得，(2)2222f =-=+.∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(2)(2)2f f -=-=-．故答案为:2-.13.函数()sin cos f x x x =+在()0,2π上的极小值点为：__________.【答案】5π4【解析】【分析】法一，由辅助角公式得π()4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用函数()f x 与π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭图象的平移关系可得所求；法二，利用导函数，求出导函数的零点按零点分区间，分析导函数符号与原函数单调性即可求解极值点.【详解】法一：()πsin cos 4f x x x x ⎫⎛=+=+ ⎪⎝⎭，()0,2πx ∈，由()f x 的图象向右平移π4个单位可得到函数π4f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π9π,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象.而函数y x =在π9π,44⎛⎫⎪⎝⎭的极小值点为3π2，故函数()f x 的极小值点即为3ππ5π244-=.法二：()sin cos f x x x =+，()0,2πx ∈，则π()cos sin 4f x x x x ⎛⎫'=-=+ ⎪⎝⎭，由()0,2πx ∈，则ππ9π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令()0f x '=，得ππ42x +=或3π2，解得π4x =或5π4x =.则(),()f x f x '的变化情况如下表：xπ0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭π4π5π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭5π45π,2π4⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x极大值极小值()f x 在()0,2π上的极小值点为5π4.故答案为：5π4.14.函数,0ky k x=>与ln yx =和e x y =分别交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，设ln y x =在A 处的切线1l 的倾斜角为α，e x y =在B 处的切线2l 的倾斜角为β，若2βα=，则k =________．【答案】【解析】【分析】由对称性可得21ex x =，利用导数求切线1l 和2l 的斜率，得tan β和tan α，由2βα=解出1x ，再由11ln kx x =求出k 的值.【详解】函数,0ky k x=>与ln y x =和e x y =分别交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则111ln k y x x ==，222e x ky x ==，函数,0ky k x=>的图象关于直线y x =对称，函数ln y x =和e x y =的图象也关于直线y x =对称，所以11(,)A x y ，22(,)B x y 两点关于直线y x =对称，有221e xy x ==，函数ln y x =的导数为1y x'=，函数e x y =的导数为e x y '=，则11tan x α=，2tan e x β=，由2βα=，有22tan tan tan 21tan αβαα==-，即211212e 1x x x x ==-，由1>0x ，解得1x =所以11l n k x x ==.【点睛】关键点点睛：本题除了导数和倍角公式的运用，关键点在于运用函数的对称性或对数式的运算，得到21e x x =.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知数列{}n a 满足：11a =，()*12n n a a n +=+∈N ，数列{}n b 为单调递增等比数列，22b =，且1b ，2b ，31b -成等差数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设2log n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）232n n n T -=【解析】【分析】（1）根据()*12n n a a n +=+∈N 得到{}na 为公差为2的等差数列，利用等差数列求通项公式求出21n a n =-，再设{}nb 的公比为q ，列出方程，求出2q =，得到通项公式；（2）化简得到32n c n =-，故{}n c 为公差为3的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案.【小问1详解】因为()()**1122n n n n a a n a a n ++=+∈⇒-=∈N N ，故{}n a 为公差为2的等差数列，所以()()12112121n a a n n n =+-=+-=-，又1b ，2b ，31b -成等差数列，故21321b b b =+-，设{}n b 的公比为q ，其中22b =，则2421q q =+-，解得2q =或12，当2q =时，11b =，此时1112n n n b b q --==，为递增数列，满足要求，当12q =时，14b =，此时31112n n n b b q --⎛⎫== ⎪⎝⎭，为递减数列，舍去，综上，21n a n =-，12n n b -=；【小问2详解】212log 1322n n c n n -=+--=，则13n n c c +-=，故{}n c 为公差为3的等差数列，故()2121323143222n n n n n n T c c c n +--=+++=+++-== .16.记ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos 1.a C b =+（1）求证：2;C B =（2）若3cos 4B =，6c =，求ABC 的面积.【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式可证2C B =；（2）由正弦定理及三角形面积公式可得答案.【小问1详解】由正弦定理sin sin a b A B =，知sin sin a A b B =，所以2cos 1a C b =+，即为sin 2cos 1sin A C B =+，所以sin 2sin cos sin A B C B =+，即()sin 2sin cos sin B C B C B +=+，所以()sin sin cos cos sin sin .B BC B C C B =-+=-因为0πB <<，ππC B -<-<，所以B C B =-或()πB C B +-=，即2C B =或πC =（舍去）；【小问2详解】由2C B =，得21cos cos22cos 18C B B ==-=，所以52cos 14a C b =+=，即5.4a b =由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，即22225513621648b b b =+-⨯⨯，解得=4，所以 5.a =又由1cos 8C =，可得π0<2<C ，得37sin 8C ==，所以ABC V 的面积1137157sin 54.2284S ab C ==⨯⨯⨯=17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是直角梯形，224,AD AB BC AB ===⊥,,AD AB BC E ⊥是AD 的中点，PC BE ⊥．（1）证明：BE ⊥平面PAC ．（2）若PA PC ==B PA D --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）.7【解析】【分析】（1）连接CE ，通过四边形ABCE 是正方形，得到BE AC ⊥，进而可求证；（2）作BH PA ⊥，垂足为H ，连接,EH PE .先证明PA ⊥平面BEH ，得到BHE ∠是二面角B PA D --的平面角，在判断四棱锥P ABCE -为正四棱锥，求得2EH BH ==，再由余弦定理即可求解.【小问1详解】证明：连接CE ．因为E 是AD 的中点，所以2AD AE =．分因为224AD AB BC ===，且,AB AD AB BC ⊥⊥，所以四边形ABCE 是正方形，则BE AC ⊥．因为,,PC BE PC AC ⊥⊂平面PAC ，且PC AC C ⋂=，所以BE ⊥平面PAC ．【小问2详解】解：作BH PA ⊥，垂足为H ，连接,EH PE .由（1）可知BE ⊥平面PAC ．又PA ⊂平面PAC ，所以PA BE ⊥．因为,BH BE ⊂平面BEH ，且BH BE B = ，所以PA ⊥平面BEH ．因为EH ⊂平面BEH ，所以PA EH ⊥，则BHE ∠是二面角B PA D --的平面角．记AC BE O =I ，连接OP ，则O 是AC 的中点．因为PA PC =，且O 是AC 的中点，所以OP AC ⊥．因为BE ⊥平面PAC ，且OP ⊂平面PAC ，所以BE OP ⊥．连接PE ．因为,AC BE ⊂平面ABCE ，且AC BE O =I ，所以OP ⊥平面ABCE ，则四棱锥P ABCE -为正四棱锥，故PA PB PE ===．因为PAB 的面积1122S AB PA BH ==⋅，即11222BH ⨯=⨯，所以2BH =．同理可得2EH BH ==．在BEH △中，由余弦定理可得2221cos 27BH EH BE BHE BH EH +-∠==-⋅，则sin 7BHE ∠=，即二面角B PA D --的正弦值为718.已知函数()e xx f x =.（1）求()f x 在区间[]22-,上的最大值和最小值；（2）若0x =是函数()()()sin g x f a f x x =⋅+的极值点.（ⅰ）证明：2ln20a -<<；（ⅱ）讨论()g x 在区间()π,π-上的零点个数.【答案】（1）最大值为1e -，最小值为22e -；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2【解析】【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负确定在[]22-,上的性，再计算最值得到答案；（2）（ⅰ）计算得到1()cos e ea x a x g x x -'=⋅+，确定e 0a a +=，设()e x F x x =+，根据函数的单调性结合()01F =，()2ln 20F -<得到证明；（ⅱ）求导得到导函数，考虑()π,0x ∈-，0x =，∈0,π三种情况，构造()e sin xF x x x =-，确定函数的单调区间，根据()00F =，()00F x >，()π0F <得到零点个数.【小问1详解】()e x x f x =，1()e xx f x -'=，令1()0e x x f x -'==得到1x =，当()2,1x ∈-时，′>0，函数单调递增，当()1,2x ∈时，′<0，函数单调递减，又()22222e e f ---==-，()1111e e f -==，()22222e ef -==，故()f x 在区间[]22-,上的最大值为1e -，最小值为22e -；【小问2详解】（ⅰ）()()()sin sin e e a xa x g x f a f x x x =⋅+=⋅+，1()cos e e a xa x g x x -'=⋅+，(0)10e a a g '=+=，故e 0a a +=，设()e x F x x =+，函数单调递增，()010F =>，()2ln 212ln 2e 2ln 2ln 404F --=-=-<.根据零点存在定理知2ln 20a -<<；（ⅱ）()sin e x x g x x =-+，()00g =，1()cos e x x g x x -'=+，设1()cos e x x h x x -=+，2()sin e xx h x x -'=-，当()π,0x ∈-时，20,sin 0e x x x -><，故()0h x '>，()g x '单调递增，()()0110g x g <=-+'='，故函数()g x 单调递减，()()00g x g >=，故函数在()π,0-上无零点；当∈0,π时，()1()sin e sin e e x x x x g x x x x =-+=-，设()e sin x F x x x =-，()()esin cos 1x F x x x =+-'，设()()esin cos 1x k x x x =+-，则()2e cos x k x x '=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2e cos 0x k x x '=>，当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2e cos 0x k x x '=<故()k x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()00k =，π2πe 102k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()ππe 10k =--<，故存在0π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()00k x =，当∈0,0时，()0k x >，单调递增；当()0,πx x ∈时，()0k x <，单调递减.()00F =，故()00F x >，()ππ0F =-<，故函数在()0,πx 上有1个零点.综上所述：()g x 在区间()π,π-上的零点个数为2.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数解决函数的单调性和极值，根据极值求参数，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论是解题的关键，三角函数的有界性和正负交替是经常用到的关键思路.19.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为()2,3,4,n n =⋅⋅⋅阶“曼德拉数列”：①1230n a a a a +++=⋅⋅⋅+；②1231n a a a a +++⋅⋅⋅+=.（1）若某()*2k k ∈N 阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项n a（12n k ≤≤，用,k n 表示）；（2）若某()*21k k +∈N 阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项n a （121n k ≤≤+，用,k n 表示）；（3）记n 阶“曼德拉数列”{}n a 的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =⋅⋅⋅，若存在{}1,2,3,,m n ∈⋅⋅⋅，使12m S =，试问：数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.【答案】（1）()1112n n a k -=-或()1112n n a k -=--（2）()()*1,211n n a n n k k k k ∴=-∈≤++N 或()()*1,211n n a n n k k k k =-+∈≤++N （3）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）结合曼德拉数列的定义，分公比是否为1进行讨论即可求解；（2）结合曼德拉数列的定义，首先得120,k k a a d ++==,然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解；（3）记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，进一步()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅，结合前面的结论以及曼德拉数列的定义得出矛盾即可求解.【小问1详解】设等比数列()1232,,,,1k a a a a k ⋅⋅⋅≥的公比为q .若1q ≠，则由①得()21122101k k a q a a a q -++⋅⋅⋅+==-，得1q =-，由②得112a k =或112a k=-.若1q =，由①得，120a k ⋅=，得10a =，不可能.综上所述，1q =-.()1112n n a k -∴=-或()1112n n a k-=--.【小问2详解】设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +⋅⋅⋅≥的公差为d ，123210k a a a a ++++⋅⋅⋅+= ，()()11221210,02k k dk a a kd +∴++=+=，即120,k k a a d ++=∴=，当0d =时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，当0d >时，据“曼德拉数列”的条件①②得，()23211212k k k k a a a a a a +++++⋅⋅⋅+==-+++ ，()1122k k kd d -∴+=，即()11d k k =+，由10k a +=得()1101a k k k +⋅=+，即111a k =-+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=-+-⋅=-∈≤++++N .当0d <时，同理可得()1122k k kd d -+=-，即()11d k k =-+.由10k a +=得()1101a k k k -⋅=+，即111a k =+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=--⋅=-+∈≤++++N .综上所述，当0d >时，()()*1,211n n a n n k k k k ∴=-∈≤++N ，当0d <时，()()*1,211n n a n n k k k k =-+∈≤++N .【小问3详解】记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，得12A =，12B =-，1122k B S A -=≤≤=，即()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅.若存在{}1,2,3,,m n ∈⋅⋅⋅，使12m S =，由前面的证明过程知：10a ≥，20a ≥，⋅⋅⋅，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-.若数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅为n 阶“曼德拉数列”，记数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅的前k 项和为k T ，则12k T ≤.1212m m T S S S ∴=++⋅⋅⋅+≤，又12m S =，1210m S S S -∴==⋅⋅⋅==，12110,2m m a a a a -∴==⋅⋅⋅===.又1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，1m S +∴，2m S +，⋅⋅⋅，0n S ≥，123123n n S S S S S S S S ∴+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，又1230n S S S S +++⋅⋅⋅+=与1231n S S S S +++⋅⋅⋅+=不能同时成立，∴数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅不为n 阶“曼德拉数列”.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到10a ≥，20a ≥，⋅⋅⋅，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，由此即可顺利得解.。
山西省太原市2024-2025学年高三第一学期期中测评数学答案
2024-2025年第一学期高三年级期中试题参考答案及评分建议一．选择题：D B C A B C A B二．选择题：9.BC10.AC 11.BCD 三．填空题:12.14513.)1,21(14.33四．解答题：15.解：（1）由题意得}21|{≤<=x x A ，}0|{>=∴y y B ，]2,1(=∴B A ；………6分（2）由题意得xxax f 22)(+=的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，01)0(=+=∴a f ，1-=∴a ，xx x f 212)(-=∴，………9分x x x f 212)(-= 在]2,1(上单调递增，23)1(=f ，415)2(=f ，∴当B A x ∈时，)(x f 的值域为]415,23(.………13分16.解（1）设}{n a 的公比为q ，则⎪⎩⎪⎨⎧===-=-,8,12)1(2132124q a a q q a a a 解得⎩⎨⎧==2,21q a 或⎪⎩⎪⎨⎧-==21,321q a （舍去），)(2*N n a n n ∈=∴；………6分（2）由（1）可得)N (2)4(*∈⨯-=n n b nn ，n n n n n S 2)4(2)5(2)2(2)3(12⨯-+⨯-++⨯-+⨯-=∴- ，①1322)4(2)5(2)2(2)3(2+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-=∴n n n n n S ，②①-②，整理得102)5(1+⨯-=+n n n S ，………10分所以对于任意的*N ∈n ，不等式102)4(102)5(1+⨯-≤+⨯-+n n n n λ恒成立，即不等式0)410()2(≥-+-λλn 对于任意的*N ∈n 恒成立，………12分⎩⎨⎧≥-+-≥-∴,04102,02λλλ解得382≤≤λ，∴实数λ的取值范围是]38,2[.………15分17.解：（1）由题意得)62sin(2cos 212sin 23)(π-=-=x x x x f ，………3分1)62sin()(=-=∴πA A f ，20π<<A ，65626πππ<-<-∴A ，=∴A π3，C B sin 3sin 2= ，由正弦定理可得c b 32=，即c b 23=，………5分7=a ，由余弦定理得747cos 22222==-+=c A bc c b a ，2=∴c ，3=b ；………7分（2）由题意得x x x f x g 2cos )22sin()3()(=+=+=ππ，………9分02cos )(==∴B B g ，20π<<B ，π<<∴B 20，4π=∴B ，………10分n m ⋅∴C A C A sin sin cos cos +=)cos(C A -=432cos(π-=A ，………13分24ππ<<A，44324πππ<-<-∴A ，1)432cos(22≤-<∴πA ，n m ⋅∴的取值范围为]1,22(.………15分18.（1）证明：连接OA ，P A AB = ，︒=∠60P AB ，∴△P AB 是正三角形，P A AB PB ==∴，同理可得AB PC =，PC PB =∴，O 是BC 的中点，BC OP ⊥∴，………2分AC AB = ，BC OA ⊥∴，AC AB ⊥ ，BC OB OA 21==∴，BC OP ⊥ ，222OB OP PB +=∴，222222OA OP OB OP PB P A +=+==∴，OA OP ⊥∴，………4分O BC OA = ，⊥∴OP 平面ABC ；………6分（2）由（1）得OA OP ⊥，OB OP ⊥，OB OA ⊥，以O 为原点，OP OB OA ,,所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2=AB ，则)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)0,1,0(-C ，)1,0,0(P ，AP BQ = ，)1,1,1(-∴Q ，显然)1,0,0(=OP 是平面ABC 的一个法向量，………8分设),,(z y x m =是平面BCQ 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥,,BQ m BC m ⎩⎨⎧=+-=-∴,0,02z x y 取1=z ，则0,1==y x ，)1,0,1(=∴m ，………10分2221||||,cos ==>=<∴OP m OP m OP m ，∴二面角Q BC A --的大小为︒135；……12分（3）假设存在点M ，设BM =λBQ (0≤λ≤1)，则BM =λBQ =(-λ,0,λ)，QPBCAzOyxM),1,1(λλ--=+=∴BM AB AM ，………13分直线AM 与平面BCQ 所成角的正弦值为77，71|1)1(21||||||||,cos |22=+++-==><∴λλAM m AM m AM m ，………15分21=∴λ或23-=λ（舍去），21=∴BQ BM .………17分19.（1）证明：由题意得曲线)(x f y =在点))(,(n n a f a 处的切线方程为))(()(n n n a x a f a f y -'=-，即)(n a a a x e e y n n -=-，令0=y ，解得1-=n a x ，则11-=+n n a a ，即11-=-+n n a a )(*N n ∈，所以数列}{n a 是以1a 为首项、1-为公差的等差数列；………5分（2）由（1）可得11-=-+n n a a )(*N n ∈，所以ee af a f n n a a n n 1)()(11==-++，所以数列)}({n a f 是以)(1a f 为首项、e1为公比的等比数列，其前4项的和为1)1(431---e e e a )1)(1(231++=-e e e a )1)(1(2++=e e ，所以实数31=a ；………10分（3）原不等式等价于23121xe x x m x-++≥在),0(+∞上恒成立，令23121)(x e x x x h x-++=，0>x ，则322)222)(2()(x e x x x x h x -++-='，令xe x x x t 222)(2-++=，0>x ，则0)1(2)(<-+='xe x x t ，所以)(x t 在),0(+∞上递减，所以0)0()(=<t x t ，令0)(<'x h ，则2>x ；令0)(>'x h ，则20<<x ，所以)(x h 在)2,0(上递增，在),2(+∞上递减，所以47)2()(2e h x h -=≤，所以实数m 的取值范围为),47[2+∞-e .………17分注：以上各题其它解法请酌情赋分.。
2023-2024学年山东省淄博市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＜3，x ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．{0，1，2}2．已知复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣2i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．−15B ．−85C ．−15iD ．−85i3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞24．数列{a n }满足a 1=12，a n+1=1+a n1−a n(n ∈N ∗)，则a 2023＝（ ） A ．12B ．3C ．﹣2D ．−135．已知O 为△ABC 的外心，且AO →=λAB →+(1−λ)AC →．若向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，则cos∠AOC 的值为（ ） A ．1B ．√32C ．√22D ．126．杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需从6名管理者中选取4人分别到温州，金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（ ） A ．108种B ．216种C ．240种D ．252种7．已知函数y ＝xf （x ）是R 上的偶函数，f （x ﹣1）+f （x +3）＝0，当x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝2x ﹣2﹣x +x ，则（ ）A ．f （x ）的图象关于直线x ＝2对称B ．4是f （x ）的一个周期C ．f(2023)=52D ．f(12)＞f(0．50.2)8．设函数f （x ）={x +|lnx|−2，x ＞0，sin(ωx +π4)−12，−π≤x ≤0有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．[134，174) B ．[174，214) C ．[4912，6512)D ．[6512，7312)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（ ）A ．样本的众数为6712B ．样本的80%分位数为7212C ．样本的平均值为66D ．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人10．正数a ，b 满足a ＜b ，a +b ＝2，则（ ） A ．1＜b ＜2B ．2a ﹣b ＞1C ．√a +√b ＜2D ．1a+2b≥311．甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A ．P(A)=37B ．P(B)=1742 C ．事件A 与事件B 相互独立D ．P(B|A)=1212．已知偶函数f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的周期为π，将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，下列结论正确的是（ ）A ．g(x)=2cos(2x −π6)B ．函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称C ．不等式g （x ）≥1的解集为{x|kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z} D ．g(x)=12f 2(x 2)在(0，π2)上有两个相异实根 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在（x 2√x ）8的展开式中，含x 2项的系数为 ． 14．已知向量a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →，则sin2α3−2sin 2α= ．15．若项数为n 的数列{a n }，满足：a i ＝a n +1﹣i （i ＝1，2，3，…，n ），我们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列{c n }为2k +1项的“对称数列”，其中c 1，c 2，…，c k +1是公差为﹣2的等差数列，数列{c n }的最小项等于﹣10，记数列{c n }的前2k +1项和为S 2k +1，若S 2k +1＝﹣50，则k 的值为 ． 16．若对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a 恒成立，则实数a 的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①a 2﹣c 2＝bc ；②b +bcosA =√3asinB ；③sinA =√3sinC ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 18．（12分）已知函数f(x)=(1x+1)ln(1+x)．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）求函数f （x ）的单调增区间．19．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．（1）求第三回合甲发球的概率；（2）设前三个回合中，甲的总得分为X ，求X 的分布列及期望．20．（12分）已知公差为d 的等差数列{a n }和公比q ＞0的等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2+b 3＝8，a 3+b 2＝9．（1）求数{a n }列{b n }和的通项公式；（2）删去数列{b n }中的第a i 项（其中i ＝1，2，3，⋯），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前n 项和S n ．21．（12分）为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一年度投资计划，需了解年研发资金x i （亿元）与年销售额y i （亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y ＝α+βx 2，②y ＝e λx +t ，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金x i 和年销售额y i 的数据，i ＝1，2，⋯，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．令u i =x i 2(i =1，2，⋯，12)，v i ＝lny i （i ＝1，2，⋯，12），经计算得如下数据：（1）设{u i }和{y i }的相关系数为r 1，{x i }和{v i }的相关系数为r 2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到0.01）；（3）为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如表：根据小概率α＝0.001的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关． 附：①相关系数r =∑(x i −x)(y −y)ni=1√∑(x i −x)2∑n i=1(y i −y)2i=1，回归直线y =a +bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑x i y i −nxy ni=1∑x i 2−x2ni=1=∑(x i−x)(y i −y)ni=1∑ n i=1(x i −x)2，a =y −b x ；②χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ；③参考数据：308＝4×77．22．（12分）已知函数f（x）＝x2（lnx﹣a），a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在x＝e处取得极值，f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x1）＝f′（x2），x1＜x2，证明：2＜x1+x2＜e．2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＜3，x ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．{0，1，2}解：因为B ＝{x |x ＜3，x ∈N }＝{0，1，2}，A ＝{0，1，2，3}，因此A ∩B ＝{0，1，2}． 故选：D ．2．已知复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣2i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．−15B ．−85C ．−15iD ．−85i解：∵（1+2i ）z ＝3﹣2i ， ∴z =3−2i 1+2i =(3−2i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−15−85i ， ∴z 的虚部为−85． 故选：B ．3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞2解：由|x |＞2解得：x ＜﹣2或x ＞2，找“|x |＞2”的一个充分不必要条件，即找集合{x |x ＜﹣2或x ＞2}的真子集， ∵{x |x ＞2}⫋{x |x ＜﹣2或x ＞2}，∴“|x |＞2”的一个充分不必要条件是{x |x ＞2}． 故选：D ．4．数列{a n }满足a 1=12，a n+1=1+a n1−a n(n ∈N ∗)，则a 2023＝（ ） A ．12B ．3C ．﹣2D ．−13解：因为a 1=12，a n+1=1+an 1−a n(n ∈N ∗)，所以a 2=1+a 11−a 1=1+121−12=3，a 3=1+a 21−a 2=1+31−3=−2， a 4=1+a31−a 3=1−21+2=−13，a 5=1+a 41−a 4=1−131+13=12，a 6=1+a 51−a 5=1+121−12=3，所以数列{a n }是周期为4的周期数列， 所以a 2023＝a 505×4+3＝a 3＝﹣2． 故选：C ．5．已知O 为△ABC 的外心，且AO →=λAB →+(1−λ)AC →．若向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，则cos∠AOC 的值为（ ） A ．1B ．√32C ．√22D ．12解：因为AO →=λAB →+(1−λ)AC →=λAB →+AC →−λAC →， 所以CA →+AO →=λAB →+λCA →=λ(CA →+AB →)，即CO →=λCB →，所以O 在BC 上，故△ABC 的外接圆以O 为圆心，BC 为直径， 所以△ABC 为直角三角形，且AC ⊥AB ，O 为BC 中点， 过A 作BC 的垂线AQ ，垂足为Q ，因为向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，所以OA →在BC →上的投影向量为OQ →=BQ →−BO →=34BC →−12BC →=14BC →， 因为|OA →|=12|BC →|，所以cos ∠AOC =|OQ||OA|=|OQ →||OA →|=14|BC →|12|BC →|=1412=12． 故选：D ．6．杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需从6名管理者中选取4人分别到温州，金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（ ） A ．108种B ．216种C ．240种D ．252种解：根据题意，可分为四类：①当甲乙都未选中，则不同的选择方案有A44=24种；②当甲选中，乙未选中，则不同的选择方案有C43C31A33=72种；③当甲未选中，乙选中，则不同的选择方案有C43C31A33=72种；④当甲乙都选中，则由C42种选法，先安排甲，再安排乙，若甲去了金华赛区，则有A33=6；若甲未去金华赛区，则有C21C21A22=8，则不同的安排方案有C42×(6+8)=84种，由分类计数原理，可得共有24+72+72+84＝252种不同的安排方案．故选：D．7．已知函数y＝xf（x）是R上的偶函数，f（x﹣1）+f（x+3）＝0，当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝2x﹣2﹣x+x，则（）A．f（x）的图象关于直线x＝2对称B．4是f（x）的一个周期C．f(2023)=52D．f(12)＞f(0．50.2)解：∵函数y＝xf（x）是R上的偶函数，∴﹣xf（﹣x）＝xf（x），∴﹣f（﹣x）＝f（x），即y＝f（x）为奇函数，对于A：∵f（x﹣1）+f（x+3）＝0，∴f（x）+f（x+4）＝0，从而f（﹣x）+f（﹣x+4）＝0，∴﹣f（x）+f（﹣x+4）＝0即f（﹣x+4）＝f（x），即f（x）的图象关于直线x＝2对称，A正确；对于B：∵f（﹣x+4）＝f（x），∴﹣f（x﹣4）＝f（x），即f（x﹣4）+f（x）＝0，∴f（x﹣8）+f（x﹣4）＝0，∴f（x）＝f（x﹣8），∴f（x）是以8为周期的函数，B错误；对于C：f(2023)=f(253×8−1)=f(−1)=12−2−1=−52，C错误；对于D：当x∈[﹣2，0]时，y＝2x，y＝﹣2﹣x，y＝x均为单调递增函数，∴f（x）＝2x﹣2﹣x+x在[﹣2，0]上单调递增，又y＝f（x）为奇函数，∴y＝f（x）在[0，2]上单调递增，又0＜12=0．51＜0．50.2＜2，∴f(12)＜f(0．50.2)，D错误．故选：A．8．设函数f（x）={x+|lnx|−2，x＞0，sin(ωx+π4)−12，−π≤x≤0有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（）A．[134，174)B．[174，214)C．[4912，6512)D．[6512，7312)解：∵当0＜x＜1时，f（x）＝x﹣lnx﹣2，f′(x)=1−1x＜0恒成立，f（x）单调递减，且f（e﹣2）＝e﹣2＞0，f（1）＝﹣1＜0，此时f（x）有且只有一个零点；当x≥1时，f（x）＝x+lnx﹣2单调递增，且f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝ln2＞0，此时f（x）有且只有一个零点，∴当﹣π≤x≤0时，f(x)=sin(ωx+π4)−12有5个零点，即方程sint=12在[−ωπ+π4，π4]上有5个实根，则−5π−π6＜−ωπ+π4≤−4π+π6，即4912≤ω＜6512．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（）A ．样本的众数为6712 B ．样本的80%分位数为7212C ．样本的平均值为66D ．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人 解：对于选项A ，样本的众数为65+702=6712，故正确；对于选项B ，∵0.03×5+0.05×5+0.06×5＝0.7＜0.8， 0.03×5+0.05×5+0.06×5+0.04×5＝0.9＞0.8， ∴样本的80%分位数在（70，75]之间， 70+0.8−0.70.04×5×5＝7212，故正确；对于选项C ，样本的平均值为57.5×0.03×5+62.5×0.05×5+67.5×0.06×5+72.5×0.04×5+77.5×0.02×5＝66.75， 故错误； 对于选项D ，该校男生中低于60公斤的学生大约为2000×0.03×5＝300人，故正确； 故选：ABD ．10．正数a ，b 满足a ＜b ，a +b ＝2，则（ ） A ．1＜b ＜2 B ．2a ﹣b ＞1C ．√a +√b ＜2D ．1a+2b≥3解：因为a +b ＝2， 所以a ＝2﹣b ，由题意得2﹣b ＜b 且2﹣b ＞0， 故1＜b ＜2，A 正确； 因为a ＜b ，即a ﹣b ＜0， 所以2a ﹣b ＜1，B 错误；因为（√a+√b 2）2≤a+b2=1，显然等号无法取得， 故√a +√b ＜√2，C 正确；1a+2b=a+b 2a+a+b b=32+b 2a+a b≥32+√2，当且仅当b =√2a 且a +b ＝2，即a ＝2√2−2，b ＝4﹣2√2时取等号，D 错误． 故选：AC ．11．甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A ．P(A)=37B ．P(B)=1742 C ．事件A 与事件B 相互独立D ．P(B|A)=12解：由题意P(A)=37，故A 正确； P(B)=37×36+47×26=1742，故B 正确； P(AB)=37×36=314， 因为P(A)P(B)=37×1742=1798≠P(AB)，所以事件A 与事件B 不相互独立，故C 错误； P(B|A)=P(AB)P(A)=31437=12，故D 正确．故选：ABD ．12．已知偶函数f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的周期为π，将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，下列结论正确的是（ ）A ．g(x)=2cos(2x −π6)B ．函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称C ．不等式g （x ）≥1的解集为{x|kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z} D ．g(x)=12f 2(x 2)在(0，π2)上有两个相异实根解：f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)=2cos(2ωx +π3+φ)， 则T =2π2|ω|=π，ω＞0，解得，ω＝1， 又f （x ）为偶函数，所以π3+φ=kπ，k ∈Z ，即φ=−π3+kπ，k ∈Z ， 又|φ|＜π2，所以φ=−π3，所以f （x ）＝2cos2x ，其向右平移π6个单位长位得y =g(x)=2cos(2x −π3)，A 错误；g(π6)=2cos(2×π6−π3)=2，所以函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称，B 正确； 令g(x)=2cos(2x −π3)≥1，解得kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ，C 正确：； g(x)=12f 2(x2)，即2cos(2x −π3)=12(2cosx)2，整理得sin2x =√33，根据y ＝sin2x 的图象明显可得方程sin2x =√33在(0，π2)有两个相异实根，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在（x 2√x ）8的展开式中，含x 2项的系数为 1120 ． 解：（x 2√x ）8的展开式的通项公式为 T r +1=C 8r•（﹣2）r •x 8−3r2， 令8−3r 2=2，求得 r ＝4，可得含x 2项的系数为C 84×（﹣2）4＝1120， 故答案为：1120．14．已知向量a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →，则sin2α3−2sin 2α=47．解：因为a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →， 所以a →⋅b →=−2cos α+sin α＝0，所以tan α＝2， 所以sin2α3−2sin 2α=2sinαcosα3(sin 2α+cos 2α)−2sin 2α=2sinαcosαsin 2α+3cos 2α=2tanαtan 2α+3=2×222+3=47．故答案为：47．15．若项数为n 的数列{a n }，满足：a i ＝a n +1﹣i （i ＝1，2，3，…，n ），我们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列{c n }为2k +1项的“对称数列”，其中c 1，c 2，…，c k +1是公差为﹣2的等差数列，数列{c n }的最小项等于﹣10，记数列{c n }的前2k +1项和为S 2k +1，若S 2k +1＝﹣50，则k 的值为 5或4． ．解：由于c 1，c 2，⋯，c k +1是公差为﹣2的等差数列，故c 1，c 2，⋯，c k +1单调递减，所以c k +1＝﹣10， 故c 1﹣2k ＝﹣10，则c 1＝﹣10+2k ，c k ＝c k +1+2＝﹣8．又S 2k +1＝﹣50，故2（c 1+c 2+⋯+c k ）+c k +1＝﹣50，即c 1+c 2+⋯+c k ＝﹣20， 由等差数列前n 项和公式有k(−10+2k−8)2=−20，化简得k 2﹣9k +20＝0，解得k ＝5或k ＝4． 故答案为：5或4．16．若对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a 恒成立，则实数a 的最大值为 ﹣1 ．解：∵x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a ，对任意的x 1，x 2∈[1，π2]恒成立，∴sinx 1x 1+a x 1＜sinx 2x 2+a x 2对任意的x 1，x 2∈[1，π2]恒成立．令f(x)=sinx x +a x ，x ∈[1，π2]， 即对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，当x 1＜x 2时，f （x 1）＜f （x 2）， 则f(x)=sinx x +a x ，x ∈[1，π2]为单调递增函数， 即f ′(x)=xcosx−sinx−a x 2≥0在[1，π2]上恒成立，令g （x ）＝x cos x ﹣sin x ﹣a ，x ∈[1，π2]， g ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x ＜0， 即g （x ）＝x cos x ﹣sin x ﹣a 在[1，π2]上单调递减， 可得g(x)min =g(π2)=π2cos π2−sin π2−a ≥0， 即﹣1﹣a ≥0，解得a ≤﹣1． 即实数a 的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①a 2﹣c 2＝bc ；②b +bcosA =√3asinB ；③sinA =√3sinC ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 证明：选①②当条件，③当结论 由②得sinB +sinBcosA =√3sinAsinB ， 因为sin B ＞0，所以1+cosA =√3sinA ，即sin(A −π6)=12，0＜A ＜π， 所以A =π3，则a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ，由①知，a 2＝c 2+bc ，代入可得，b ＝2c ，所以a =√3c ， 即sinA =√3sinC ；选①③作条件，②当结论，由③得：a=√3c，因为a2＝c2+bc，所以3c2＝c2+bc，则b＝2c，所以cosA=b2+c2−a22bc=12，0＜A＜π，所以A=π3，由③知，sinA=√3sinC，所以sinC=sinA√3=12，所以C=π6，所以B=π2，所以，b+bcosA=2c+c=3c=√3×√3c=√3a=√3asinB；选②③作条件，①当结论，由②得：sinB+sinBcosA=√3sinAsinB，而sin B＞0，所以1+cosA=√3sinA，即√3sinA−cosA=1，根据辅助角公式可得，sin(A−π6)=12，所以，A=π3，由③，sinA=√3sinC，所以sinC=sinA3=12，得：C=π6，所以B=π2，所以sinA=√3sinC，sin B＝2sin C，则a=√3c，b＝2c，即：a2﹣c2＝bc．18．（12分）已知函数f(x)=(1x+1)ln(1+x)．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调增区间．解：（1）因为f(x)=(1x+1)ln(1+x)，定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），所以f′(x)=−1x2ln(1+x)+(1x+1)11+x=x−ln(x+1)x2，又f′（1）＝1﹣ln2，f（1）＝2ln2，所以切线方程为y＝（1﹣ln2）（x﹣1）+2ln2，即y＝（1﹣ln2）x+3ln2﹣1．（2）函数f（x）定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），f′(x)=x−ln(x+1)x2，设g（x）＝x﹣ln（x+1），x∈（﹣1，0）∪（0，+∞），所以g′(x)=1−1x+1=xx+1，当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调递递增，所以g （x ）min ＞g （0）＝0，所以g （x ）＝x ﹣ln （x +1）＞0恒成立， 所以f ′(x)=x−ln(x+1)x 2＞0在（﹣1，0）∪（0，+∞）上恒成立， 所以函数f （x ）在（﹣1，0）和（0，+∞）上单调递增， 所以函数f （x ）单调增区间为（﹣1，0）和（0，+∞）．19．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．（1）求第三回合甲发球的概率；（2）设前三个回合中，甲的总得分为X ，求X 的分布列及期望．解：（1）若第三回合甲发球，则前三回合发球的顺序分别为甲甲甲，或者甲乙甲， 故第三回合甲发球的概率为35×35+(1−35)×15=1125．（2）设甲在第i 回合得分记为事件A i ，乙在第i 回合得分记为事件 B i ，i ∈{1，2，3}， 则P(A 1A 2A 3)=(35)3=27125，此时甲得3分， P(A 1A 2B 3)=(35)2×25=18125，此时甲得2分， P(A 1B 2A 3)=35×25×15=6125，此时甲得2分， P(A 1B 2B 3)=35×25×45=24125，此时甲得1分， P(B 1A 2A 3)=25×15×35=6125，此时甲得2分， P(B 1A 2B 3)=25×15×25=4125，此时甲得1分， P(B 1B 2A 3)=25×45×15=8125，此时甲得1分， P(B 1B 2B 3)=25×45×45=32125，此时甲得0分， 故X 的分布列为：故E(X)=0×32125+1×36125+2×30125+3×27125=176125． 20．（12分）已知公差为d 的等差数列{a n }和公比q ＞0的等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2+b 3＝8，a 3+b 2＝9．（1）求数{a n }列{b n }和的通项公式；（2）删去数列{b n }中的第a i 项（其中i ＝1，2，3，⋯），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前n 项和S n ．解：（1）由已知得{a 2+b 3=1+d +q 2=8a 3+b 2=1+2d +q =9，解得d ＝3，q ＝2，∴a n =3n −2，b n =2n−1；（2）由已知得数列{c n }：b 2，b 3，b 5，b 6，b 8，b 9，…， 当n 为偶数时，S n =(b 2+b 5+b 8+⋯+b 3(n 2)−1)+(b 3+b 6+b 9+⋯+b 3(n 2)) =2(1−8n 2)1−8+4(1−8n 2)1−8=6(8n2−1)7， 当n 为奇数（n ≥3）时，S n =b 2+(b 3+b 6+⋯+b3(n−12))+(b 5+b 8+b 11+⋯+b 3(n−12)+2) =2+4(1−8n−12)1−8+16(1−8n−12)1−8=20(8n−12−1)7+2，当n ＝1时，S 1＝2，符合上式，故S n ={6(8n2−1)7，n 为偶数20(8n−12−1)7+2，n 为奇数．21．（12分）为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一年度投资计划，需了解年研发资金x i （亿元）与年销售额y i （亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y ＝α+βx 2，②y ＝e λx +t ，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金x i 和年销售额y i 的数据，i ＝1，2，⋯，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．令u i =x i 2(i =1，2，⋯，12)，v i ＝lny i （i ＝1，2，⋯，12），经计算得如下数据：（1）设{u i }和{y i }的相关系数为r 1，{x i }和{v i }的相关系数为r 2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到0.01）；（3）为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如表：根据小概率α＝0.001的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关． 附：①相关系数r =∑(x i −x)(y −y)ni=1√∑(x i −x)2∑ n i=1(y i −y)2i=1，回归直线y =a +bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑x i y i −nxy ni=1∑x i 2−x2ni=1=∑(x i−x)(y i −y)ni=1∑n i=1(x i −x)2，a =y −b x ；②χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ；③参考数据：308＝4×77．解：（1）r 1=∑(u i −u)(y −y)12i=1√∑(u i −u)2i=1∑(y i −y)2i=1=3125000×200=2150025000=4350=0.86，r 2=∑(x i −x)(v i −v)12i=1√∑(x i −x)2i=1∑(v i −v)2i=1=14√770×0.308=1477×0.2=1011≈0.91，则|r1|＜|r2|，因此从相关系数的角度，模型y＝eλx+t的拟合程度更好．（2）先建立v关于x的线性回归方程，由y＝eλx+t，得lny＝t+λx，即v＝t+λx，由于λ=∑(x i−x)(v i−v)12i=1∑(x i−x)212i=1=14770≈0.018，t=v−λx=4.20−0.018×20=3.84，所以v关于x的线性回归方程为v=0.02x+3.84，所以lny=0.02x+3.84，则y=e0.02x+3.84．（3）零假设为H0：对新款式瓷器喜爱程度与年龄无关，χ2=(200×150−100×150)2350×250×300×300≈0.029＜10.828，根据小概率α＝0.001独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即H0成立，该地区对新款式瓷器喜爱程度与年龄无关．22．（12分）已知函数f（x）＝x2（lnx﹣a），a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在x＝e处取得极值，f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x1）＝f′（x2），x1＜x2，证明：2＜x1+x2＜e．解：（1）函数f（x）＝x2（lnx﹣a）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x（lnx﹣a）+x＝x（2lnx﹣2a+1），令f′（x）＝0，所以lnx=2a−12，得x=e2a−12，当x∈(0，e 2a−12)，f′（x）＜0，当x∈(e 2a−12，+∞)，f′（x）＞0，所以函数f（x）递减区间为(0，e 2a−12)，递增区间为(e2a−12，+∞)．（2）证明：因为函数f（x）在x＝e处取得极值，所以x=e 2a−12=e，得a=32，所以f(x)=x2(lnx−32)，f′（x）＝x（2lnx﹣2）＝2x（lnx﹣1），令g（x）＝2x（lnx﹣1），g′（x）＝2lnx，因为当x＝1时，g′（x）＝0，所以当x∈（0，1），g′（x）＜0，当x∈（1，+∞），g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，又当x∈（0，e）时，g（x）＝2x（lnx﹣1）＜0，当x∈（e，+∞）时，g（x）＝2x（lnx﹣1）＞0，所以0＜x1＜1＜x2＜e．①先证x1+x2＞2，需证x2＞2﹣x1，因为x2＞1，2﹣x1＞1，下面证明g（x1）＝g（x2）＞g（2﹣x1），设t（x）＝g（2﹣x）﹣g（x），x∈（0，1），则f′（x）＝﹣g′（2﹣x）﹣g′（x），t′（x）＝﹣2ln（2﹣x）﹣2lnx＝﹣2ln[（2﹣x）x]＞0，所以t（x）在（0，1）上为增函数，所以t（x）＜t（1）＝g（1）﹣g（1）＝0，所以t（x1）＝g（2﹣x1）﹣g（x1）＜0，则g（2﹣x1）＜g（x1）＝g（x2），又因为g（x）在（1，+∞）单调递增，所以2﹣x1＜x2，即得x1+x2＞2，②下面证明：x1+x2＜e，因为x1∈（0，1），g（x1）＝2x1（lnx1﹣1）＜﹣2x1，当x∈（1，e）时，设h（x）＝g（x）﹣（2x﹣2e）＝2xlnx﹣4x+2e，因为在（1，e）上h′（x）＝2lnx﹣2＜0，所以h（x）在（1，e）上单调递减，所以h（x）＞h（e）＝2e﹣4e+2e＝0，所以h（x2）＞0，g（x2）＞2x2﹣2e，因为g（x1）＝g（x2），所以2x2﹣2e＜g（x2）＝g（x1）＜﹣2x1，即x1+x2＜e，所以2＜x1+x2＜e．。
高中高三数学上学期期中试卷 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
某某省某某市潮师高中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，总50分）1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|0＜x＜2}2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）A．y=x﹣1B．y=log2x C．y=|x| D．y=﹣x23．（5分）设i为虚数单位，则复数等于（）A．B．C．D．4．（5分）设f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+x，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣15．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．36πD．12π6．（5分）已知函数f（x）=x+1（x＜0），则f（x）的（）A．最小值为3 B．最大值为3 C．最小值为﹣1 D．最大值为﹣1 7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．（5分）如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则=（）A．B．C．D．9．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则•的取值X围是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2]10．（5分）设函数f（x）=x3﹣4x+a（0＜a＜2）有三个零点x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列结论正确的是（）A．x1＞﹣1 B．x2＜0 C．0＜x2＜1 D．x3＞2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．（5分）已知a∈（﹣，0），且sin（+a）=，则tana=．12．（5分）直线y=﹣x+b是函数f（x）=的切线，则实数b=．13．（5分）设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值X围是．14．（5分）向量在正方形网格中的位置如图所示．设向量=，若，则实数λ=．三、解答题（共80分）15．（12分）已知函数的周期是π．（1）求ω和的值；（2）求函数的最大值及相应x的集合．16．（12分）某学校甲、乙两个班参加体育达标测试，统计测试成绩达标人数情况得到如下所示的列联表，已知在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为．（1）请完成列联表；组别达标不达标总计甲班8乙班54合计120（2）若用分层抽样的方法在所有测试不达标的学生中随机抽取6人，问其中从甲、乙两个班分别抽取多少人？（3）从（2）中的6人中随机抽取2人，求抽到的两人恰好都来自甲班的概率．17．（14分）已知=（sinB，1﹣cosB），且与=（1，0）的夹角为，其中A，B，C是△ABC的内角．（1）求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值X围．18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．19．（14分）已知函数f（x）=x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）的极值；（Ⅲ）讨论f（x）的单调区间．20．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x+a．（1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3]上的值域；（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞成立．某某省某某市潮师高中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，总50分）1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|0＜x＜2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即B={x|0＜x＜2}，∵A={x|x＞1}，∴A∩B={x|1＜x＜2}．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）A．y=x﹣1B．y=log2x C．y=|x| D．y=﹣x2考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据y=x﹣1=在区间（0，+∞）上单调递减，得A项不符合题意；根据y=log2x的定义域不关于原点对称，得y=log2x不是偶函数，得B项不符合题意；根据y=﹣x2的图象是开口向下且关于x=0对称的抛物线，得y=﹣x2的在区间（0，+∞）上为减函数，得D项不符合题意．再根据函数单调性与奇偶性的定义，可得出只有C项符合题意．解答：解：对于A，因为函数y=x﹣1=，在区间（0，+∞）上是减函数不满足在区间（0，+∞）上单调递增，故A不符合题意；对于B，函数y=log2x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称故函数y=log2x是非奇非偶函数，故B不符合题意；对于C，因为函数y=|x|的定义域为R，且满足f（﹣x）=f（x），所以函数y=|x|是偶函数，而且当x∈（0，+∞）时y=|x|=x，是单调递增的函数，故C符合题意；对于D，因为函数y=﹣x2的图象是开口向下的抛物线，关于直线x=0对称所以函数y=﹣x2的在区间（0，+∞）上为减函数，故D不符合题意故选：C点评：本题给出几个基本初等函数，要求我们找出其中的偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增的函数，着重考查了基本初等函数的单调性与奇偶性等知识，属于基础题．3．（5分）设i为虚数单位，则复数等于（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的复数分子分母同时乘以2﹣i，然后整理成a+bi（a，b∈R）的形式即可．解答：解：=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．4．（5分）设f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+x，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣1考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由奇函数的性质可得f（﹣1）=﹣f（1），再根据已知表达式可求得f（1）．解答：解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），又当x＞0时，f（x）=x2+x，∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，故选A．点评：本题考查函数奇偶性的性质及其应用，属基础题，定义是解决问题的基本方法．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．36πD．12π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：该几何体是一个倒置的圆锥，其底面的直径为6，母线长为5．如图所示：底面上的高PO==4．据此可计算出其体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个倒置的圆锥，其底面的直径为6，母线长为5．如图所示：底面上的高PO==4．∴V==12π．故选D．点评：由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．6．（5分）已知函数f（x）=x+1（x＜0），则f（x）的（）A．最小值为3 B．最大值为3 C．最小值为﹣1 D．最大值为﹣1考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式即可得出．解答：解：∵x＜0，∴函数f（x）=x+1=+1=﹣1，当且仅当x=﹣1时取等号．因此f（x）有最大值﹣1．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由已知函数的图象求出函数解析式，然后看自变量x的变化得答案．解答：解：由图可知，A=1，，∴，即ω=2．由五点作图的第三点可知，+φ=π，得φ=（|φ|＜），则f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．∴为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象向左平移个单位长度．故选：C．点评：本题考查由函数的部分图象求函数解析式，考查了函数图象的平移，解答的关键是利用五点作图的某一点求初相，是基础题．8．（5分）如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则=（）A．B．C．D．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则和向量共线定理即可得出．解答：解：===．故选C．点评：熟练掌握向量的三角形法则和向量共线定理是解题的关键．9．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则•的取值X围是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2]考点：简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．专题：数形结合．分析：先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入•分析比较后，即可得到•的取值X围．解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，•=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，•=﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时，•=﹣1×0+1×2=2故•和取值X围为[0，2]解法二：z=•=﹣x+y，即y=x+z当经过P点（0，2）时在y轴上的截距最大，从而z最大，为2．当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小，从而z最小，为0．故•和取值X围为[0，2]故选：C点评：本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．10．（5分）设函数f（x）=x3﹣4x+a（0＜a＜2）有三个零点x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列结论正确的是（）A．x1＞﹣1 B．x2＜0 C．0＜x2＜1 D．x3＞2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求得各个零点所在的区间，从而得出结论．解答：解：∵函数f （x）=x3﹣4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x2﹣4．令f′（x）=0，得x=±．∵当x＜﹣时，f′（x）＞0；在（﹣，）上，f′（x）＜0；在（，+∞）上，f′（x）＞0．故函数在（﹣∞，﹣）上是增函数，在（﹣，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．故f（﹣）是极大值，f（）是极小值．再由f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，得 x1＜﹣，﹣＜x2＜，x3＞．根据f（0）=a＞0，且f（）=a﹣＜0，得＞x2＞0．∴0＜x2＜1．故选C．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．（5分）已知a∈（﹣，0），且sin（+a）=，则tana=﹣．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：先由诱导公式求出cosα的值，再根据角的X围求出sinα，从而可求tana的值．解答：解：sin（+a）=⇒cosα=，∵a∈（﹣，0），=﹣，故tana===﹣．故答案为：﹣．点评：本题主要考察了诱导公式的应用，考察了同角三角函数的关系式的应用，属于基础题．12．（5分）直线y=﹣x+b是函数f（x）=的切线，则实数b=1或﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：设切点为P（m，n），求出函数f（x）=的导数，得切线斜率为﹣，再根据切点P既在切线y=﹣x+b上又在函数f（x）=的图象上，列出关于m、n、b的方程组，解之即可得到实数b之值．解答：解：由于函数f（x）=的导数，若设直线y=﹣x+b与函数f（x）=相切于点P（m，n），则解之得m=2，n=，b=1或m=﹣2，n=﹣，b=﹣1综上所述，得b=±1故答案为：1或﹣1点评：本题给出已知函数图象的一条切线，求参数b的值，着重考查了导数的运算公式与法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于基础题．13．（5分）设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值X围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．考点：指数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：计算题；分类讨论．分析：根据函数表达式分类讨论：①当x0≤0时，可得2﹣x﹣1＞1，得x＜﹣1；②当x0＞0时，x0.5＞1，可得x＞1，由此不难得出x0的取值X围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．解答：解：①当x0≤0时，可得2﹣x0﹣1＞1，即2﹣x0＞2，所以﹣x0＞1，得x0＜﹣1；②当x0＞0时，x00.5＞1，可得x0＞1．故答案为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）点评：本题考查了基本初等函数的单调性和值域等问题，属于基础题．利用函数的单调性，结合分类讨论思想解题，是解决本题的关键．14．（5分）向量在正方形网格中的位置如图所示．设向量=，若，则实数λ=3．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据正方形网格确定向量的长度和两个向量的夹角，然后利用，可以某某数λ．解答：解：设正方形的边长为1，则AB=1，AC=，∴cos∠CAB=，∵，=，∴，即，∴，解得λ=3．故答案为：3．点评：本题主要考查平面数量积的应用，利用向量垂直和数量积的关系即可求出λ，要根据表格确定向量是解决本题的关键．三、解答题（共80分）15．（12分）已知函数的周期是π．（1）求ω和的值；（2）求函数的最大值及相应x的集合．考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据函数的周期公式即可求ω和的值；（2）将函数g（x）进行化简，然后利用三角函数的性质即可求函数的最大值．解答：解：（1）∵函数的周期是π，且ω＞0，∴，解得ω=2．∴．∴．（2）∵=，∴当，即时，g（x）取最大值．此时x的集合为．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握函数的周期性和函数最值的求解方法．16．（12分）某学校甲、乙两个班参加体育达标测试，统计测试成绩达标人数情况得到如下所示的列联表，已知在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为．（1）请完成列联表；组别达标不达标总计甲班8乙班54合计120（2）若用分层抽样的方法在所有测试不达标的学生中随机抽取6人，问其中从甲、乙两个班分别抽取多少人？（3）从（2）中的6人中随机抽取2人，求抽到的两人恰好都来自甲班的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）根据在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为，总人数为120，故不达标的人数为12，达标的人数为108，乙班不达标为4人，甲班达标的人数为54，故可得结论；（2）用分层抽样的方法，可求甲班、乙班抽取的人数；（3）利用枚举法确定基本事件的个数，根据古典概型概率公式，可得结论．解答：解：（1）在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为，总人数为120，故不达标的人数为12，达标的人数为108，乙班不达标为4人，甲班达标的人数为54，故有组别达标不达标总计甲班54 8 62乙班54 4 58合计108 12 120…（3分）（2）由表可知：用分层抽样的方法从甲班抽取的人数为人，…（4分）从乙班抽取的人数为人…（5分）（3）设从甲班抽取的人为a，b，c，d，从乙班抽取的人为1，2；“抽到的两个人恰好都来自甲班”为事件A．…（6分）所得基本事件共有15种，即：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12…（8分）其中事件A包含基本事件ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种，…（10分）由古典概型可得…（12分）点评：本题考查概率知识的运用，考查分层抽样，考查枚举法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（14分）已知=（sinB，1﹣cosB），且与=（1，0）的夹角为，其中A，B，C是△ABC的内角．（1）求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值X围．考点：平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据两向量的夹角及两向量的求出两向量的数量积，然后再利用平面向量的数量积的运算法则计算，两者计算的结果相等，两边平方且利用同角三角函数间的基本关系化简，得到关于cosB的方程，求出方程的解即可得到cosB的值，由B的X围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由B的度数，把所求的式子利用三角形的内角和定理化为关于A的式子，再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，最后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由A的X围求出这个角的X围，根据正弦函数的图象可知正弦函数值的X围，进而得到所求式子的X围．解答：解：（1）∵=（sinB，1﹣cos B），且与=（1，0）的夹角为，∴=2sinB，又=×1×cos=，∴2sinB=，化简得：2cos2B﹣cosB﹣1=0，∴cosB=1（舍去）或cosB=﹣，又∵B∈（0，π），∴B=；（2）sinA+sinC=sinA+sin（﹣A）=sinA+cosA﹣sinA=sinA+cosA=sin（A+），∵0＜A＜，∴，则，∴sin A+sin C∈（，1]．点评：此题考查了平面向量的数量积的运算，向量的数量积表示向量的夹角，三角函数的恒等变换以及同角三角函数间基本关系的运用．学生做题时注意角度的X围，熟练掌握三角函数公式，牢记特殊角的三角函数值，掌握正弦函数的值域．18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，A B⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证AB1∥平面BC1D，根据线面平行的判定定理可知只需证AB1与平面BC1D内一直线平行，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，根据中位线定理可知OD∥AB1，OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的判定定理可知平面ABC⊥平面AA1C1C，作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，然后求出棱长，最后根据四棱锥B﹣AA1C1D的体积求出四棱锥B﹣AA1C1D的体积即可．解答：解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．（3分）∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（6分）（2）∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，∴平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC．作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，（8分）∵AB=BB1=2，BC=3，在Rt△ABC中，，，（10分）∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积（12分）==3．∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积为3．（14分）点评：本题主要考查了线面平行的判定定理，以及棱锥的体积的度量，同时考查了空间想象能力，计算能力，以及转化与化归的思想，属于基础题．19．（14分）已知函数f（x）=x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）的极值；（Ⅲ）讨论f（x）的单调区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由求导公式求出导函数，求出切线的斜率f′（1）及f（1）的值，代入点斜式方程再化为一般式方程；（Ⅱ）先求出函数的定义域，再对导函数进行化简，判断出导函数的符号，即可得函数的单调性即极值情况；（Ⅲ）先对导函数进行化简，再对a进行分类讨论，利用列表格判断出导函数的符号，即可得函数的单调区间．解答：解：（I）当a=1时，f（x）=x+lnx，则，﹣﹣﹣（1分）所以f′（1）=2，且f（1）=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以切线方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），由（1）得=，﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴f（x）在（0，∞）上单调递增，没有极值﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）由题意得，（x＞0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当a≥0时，在（0，∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）的单调增区间是f′（x）＞0；﹣﹣﹣﹣﹣（11分）当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：x （0，a）﹣a （﹣a，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）综上，当a≥0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间是（﹣a，+∞），减区间是（0，a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查导数的几何意义，切线方程的求法，以及导数与函数的单调性、极值的应用，考查了分类讨论思想，注意一定先求出函数的定义域，以及把导函数化到最简．20．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x+a．（1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3]上的值域；（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞成立．考点：利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题．分析：（1）当a=2时，由g（x）=，x∈[0，3]，利用二次函数的性质求出它的值域．（2）利用函数f（x）的导数的符号，分类讨论f（x）单调性，从而求出f（x）的最小值．（3）令 h（x）==﹣，通过h′（x）=的符号研究h（x）的单调性，求出h（x）的最大值为h（1）=﹣．再由f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值为﹣，且f（1）=0大于h（1），可得在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即．解答：解：（1）当a=2时，g（x）=，x∈[0，3]，当x=1时，；当x=3时，，故g（x）值域为．（2）f'（x）=lnx+1，当，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当，f'（x）＞0，f（x）单调递增．①若，t无解；②若，即时，；③若，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt，所以 f（x）min=．（3）证明：令 h（x）==﹣，h′（x）=，当 0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）是增函数．当1＜x时．h′（x）＜0，h（x）是减函数，故h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．而由（2）可得，f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值为﹣，且当h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）时，f（x）的值为ln1=0，故在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于中档题．。
【高三】福建省师大附中届高三上学期期中考试数学(文)试题
【高三】福建省师大附中届高三上学期期中考试数学（文）试题试卷说明：福建师大附中20-学年第学期考试卷高数学满足，则= ( *** ) A. B. C . D. 2. 命题“存在实数，使> 1”的否定是（ *** ）A. 对任意实数, 都有 > 1 B. 不存在实数，使 1 C. 对任意实数, 都有 1 D. 存在实数，使 13. 设，则（ *** ）A. B. C. D. 4. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ *** ） A. B. C. D. 5. 若不等式的解集为，则的值为（ *** ）A.-10 B.10 C. -14 D. 146. 已知为等差数列，且则=( *** )A. B. C.D. 7. 已知的三个内角所对的边为，满足，则的形状是（ *** ）A.正三角形 B.等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形8.已知数列的通项公式为，设为数列的前项和公式，则（ *** ） A. -100 B.100 C. -150 D. 1509.平面内有三个向量，其中与夹角为，与的夹角为，且，若，（）则（ ***）A. B. C. D. 10.函数的图象先向下移一个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不动）得到新函数，则( *** )A． B. C. D. 11.某家公司每月生产两种布料A和B，所有原料是两种不同颜色的羊毛，下表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量，以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量.羊毛颜色每匹需要 ( kg)供应量(kg)布料A布料B红441400绿631800已知生产每匹布料A、B的利润分别为120元、80元. 那么公司每月应怎么安排生产两种布料A和B的匹数，才能够产生最大的利润，最大利润为（ *** ）元.A. 38000 B. 32000 C. 28000 D. 4800012.设为平面向量组成的集合，若对任意正实数和向量，都有，则称为“正则量域”.据此可以得出，下列平面向量的集合为“正则量域”的是（ *** ）A. B. C . D. 二、填空题（每小题4分，共16分）13.已知向量满足，且，则向量与的夹角为___***___；14.已知正实数满足，则的最小值是___***_____15.已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_____***___16. 某种平面分形如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为；……;依此规律得到级分形图，则级分形图中所有线段的长度之和为_____***_____.三、解答题：（本大题共6题，满分74分）17.（本小题满分1分）的公比，前3项和.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若函数在处取得最大值，且最大值为，求函数解析式.18．（本小题满分1分）（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若函数在内有零点，求实数k的取值范围.19．（本小题满分1分）已知定义在上的函数，其中为常数.,恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，在处取得最大值，求正数的取值范围.本小题满分1分），宽设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小；（Ⅱ）若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超15米，则小网箱的长、宽分别为多少米时，可使网衣和筛网的合计造价最低？21.（本小题满分1分）作曲线的切线，切点为，设点在轴上的投影是点，又过点作曲线的切线，切点为，设点在轴上的投影是点，…依此下去，得到点列记它们的横坐标构成数列.（Ⅰ）求与的关系式；（Ⅱ）令求数列的前项和.22.（本小题满分1分），（Ⅰ）求函数的最小值.（Ⅱ）当时,求证:福建师大附中20-学年第学期考试卷高数学，6，，（2）由（1）可知函数的最大值为3，时，取得最大值，，又，函数18.解：（1）单调区间为，最小正周期为，（2）19.解：（1），，恒成立令，当或，得（2）若时，对，恒成立，故在区间上为增函数，在处取到最大值.若时，在上为减函数，上为增函数，则综上所述：若，在处取得最大值，正数的取值范围20.解：（Ⅰ）由已知得，，网箱中筛网的总长度。
2024-2025学年山东省菏泽市高三上学期期中数学试题及答案
菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}202,0M x x N x x x =∈<<=-≤Z ∣∣，则M N = （ ）A. {}0,1 B. {}1 C. {}1,1- D. ∅2. 已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，则函数()1f x -的定义域为（ ）A. []1,2 B. []4,6 C. []5,9 D. []3,73. 已知2025π1sin sin 22αα⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则cos2sin cos ααα=+（ ）A. 12-B.12C. 0D. 14. “函数()32f x x ax =-在[]2,3-上单调递增”是“3a ≤”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 过曲线9log =y x 上一点A 作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线3log y x =于点,B C ，若直线BC 过原点，则其斜率为（ ）A. 1B.3log 22C.ln33D.2log 36.6. 函数()11ln sin 21x f x x x+=--的零点个数为（ ）A. 1B. 0C. 3D. 27. 自然界中许多流体是牛顿流体，其中水、酒精等大多数纯液体、轻质油、低分子化合物溶液以及低速流动的气体等均为牛顿流体；高分子聚合物的浓溶液和悬浮液等一般为非牛顿流体，非牛顿流体在实际生活和生产中有很多广泛的应用，如工业制造业常利用某些高分子聚合物做成“液体防弹衣”，已知牛顿流体符合牛顿黏性定律，即在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：τηγ=，其中τ为剪切应力，η为黏度，γ为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体．其中宾汉流体（也叫塑性流体），是一种粘塑性材料，是非牛顿流体中比较特殊的一种，其在低应力下表现为刚体，但在高应力下表现为粘性流体（即粘度恒定），以牙膏为例，当我们挤压它的力较小时，它就表现为固体，而当力达到一个临界值，它就会变成流体，从开口流出．如图是测得的某几种液体的流变τγ-曲线，则其中属于牙膏和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（ ）A. ①和④B. ③和④C. ③和②D. ①和②8. 已知函数()()1e xf x x =-，点(),m n 在曲线()y f x =上，则()()f m f n -（ ）A. 有最大值为1e -，最小值为1 B. 有最大值为0，最小值为1e-C. 有最大值为0，无最小值D. 无最大值，有最小值为1e-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 已知0c b a <<<，则（ ）A. ac bc <B. 333b c a +< C.a c ab c b+>+D.<10. 已知函数()21,2,5,2xx f x a b c d x x ⎧-≤⎪=<<<⎨->⎪⎩，且()()()()f a f b f d f c ==<，则（ ）A. 1a ≤- B. []1,4c ∈ C. ()20,5ad ∈ D. 222a b +=.11. 把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x 弧度π02x ⎛⎫<<⎪⎝⎭，记表面积增加量为()S f x =，则（ ）A. π6f ⎛⎫=⎪⎝⎭B. ()f x 的图象关于直线π3x =对称C. S 呈周期变化D. 6S ≤-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 命题：“所有能被4整除的正整数能被2整除”的否定是______．13. 已知函数()sin2cos2f x x a x =+，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得图象与曲线()y f x =关于原点对称，则()0f =______．14. 已知22,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，2log 2axx x ax ≥⋅，则正数a 的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15. 记ABC V 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πsin sin ,63C C b ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，ABC V的面积为（1）求C ；（2）求ABC V 的周长．16. 已知函数()π2sin 43⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若ππ,68x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()()23-=+f x y f x 的最大值．17. 记锐角ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos cos c CA b B-=．（1）求B ；的（2）延长AC 到D ，使2,15AC CD CBD =∠= ，求tan A ．18. 已知函数()()2e xf x x a =-．（1）求()f x 单调区间；（2）设12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，记()()()()1122,,,A x f x B x f x ．证明：直线AB 与曲线()y f x =交于另一点C ．19. 已知函数()()sin tan sin 2f x x x x =+-，其中01x <<，（1）证明：21cos 12x x >-；（2）探究()f x 否有最小值，如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．的是菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ABD 【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】存在能被4整除的正整数不能被2整除【13题答案】【答案】【14题答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π3C =（2）10+【16题答案】【答案】（1）π5ππ11π,224224k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z （2）0【17题答案】【答案】（1）45B =（2）2+【18题答案】【答案】（1）单调增区间为()(),2,,a a ∞∞--+，单调减区间为(2,)a a - （2）证明见解析【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）没有，理由见解析。
山东省滨州阳信一中高三上学期期中考试数学试题(文科含答案)
阳信一中高三上学期期中考试数学试题（文科）09.11时间：120分钟 总分：150分一、选择题（每题5分，共60分）D1．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（ ）C2．下列命题正确的是 （ ） A ．若→a ∥→b ，且→b ∥→c ，则→a ∥→cB ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同C ．向量的长度与向量的长度相等D ．若非零向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线C3．若函数()sin()f x x ωϕ=+的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是（ ）A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==C4．如果0,a b >>0c d >>，则下列不等式中不正确．．．的是 ( ) A ．a d b c ->- B ．a bd c> C ． a d b c +>+ D ． ac bd > B5．已知数列{a n }的通项公式是249n a n =-，则S n 达到最小值时，n 的值是（ ）A ．23B ．24C ．25D ．26A6. 等比数列{}n a 中，首项1a ＝8，公比q ＝21，那么它的前5项和5S 的值等于（ ）．A ． 15.5B ．20C ．15D ． 20.75A7. 已知向量,,a b c 满足||1,||2,,a b c a b c a ===+⊥，则a b 与的夹角等于 （ ）A ．0120B ． 060C ． 030D ． 90oB8．已知tan(α＋β)=25，tan(α＋4π)=322, 那么tan(β－4π)的值是（ ）A ．15B ．14C ．1318D ．1322C9．一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n 项和最大时，n 等于 （ ）A .5B .6C .7D .8D10． 已知25≥x ，则4254)(2-+-=x x x x f 有 （ ）A .最大值45 B .最小值45C .最大值 1D .最小值1D11．设x ，y 满足约束条件:⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥120y x y x x ，则z=3x+2y 的最大值是 ( )A. 9B. 6C. 4D. 5C12．从2005年到2008年期间，甲每年6月1日都到银行存入a 元的一年定期储蓄。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017－2018学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷（文科）注：卷面分值150分； 时间：120分钟。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=031x x xP ，{}24xy x Q -==，则 ( )A ．]2,1(B ．]2,1[C ．(,3)(1,)-∞-+∞ D ．)2,1[2.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于( ) A ．1 B ．35 C ． 2- D ．33.在ABC ∆中，3=AB ，1=AC ，30=∠B ，ABC ∆的面积为23，则=∠C （ ）A ．30 B ．45 C ． 60 D ．754.已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5.设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知△A B C 的顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 到平面A B C 的距离为2R ，A B B C A C ===，则球O 的体积是（ ）A.163π B. 16π C.323π D. 32π7.已知a，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么b a 3+=（ ）A ．B ．C ．D ．48.将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（ ）=Q P c o s sin 4αα-=sin 2α187818-78-A ．43πB ．4πC ．0D ．4π-9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最 小值时的n 为( ) A. 1 B. 6 C.7 D. 6或710.设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A ．9π＋42 B ．36π＋18C.92π＋12D.92π＋18 11. 如图，四棱锥ABCD P -中，90=∠=∠BAD ABC ，AD BC 2=，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，则异面直线CD 与PB所成角的大小为（ ) A ．90 B ．75C ． 60D ．4512.已知函数()f x 是定义在(0,)+∞的可导函数，'()f x 为其导函数，当0x >且1x ≠时，'2()()01f x x f x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为34-，则(1)f =（ ）A ． 0B ． 1 C. 38D ．15二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数，则 , = ．14.若等差数列 的前n 项和为 , ． 15.已知α为第二象限角， ，则tan α的值为 ． 16．已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，满足6C π=且in b B =，则△ABC 面积的最大值为__________BDCPA()41,05lo g ,0x f x x x x ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩()3f f -⎡⎤⎣⎦==41683S S S S 则n S }{n a πs in ()410α+=三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设ABC ∆是锐角三角形，三个内角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ，并且)3sin()3sin()sin )(sin sin (sin B B B A B A +-=+-ππ.（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若12=⋅AC AB ，72=a ，求b ，c （其中c b <）．18..三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直，90=∠ABC ，12A B B C B B ===， ,M N 分别是AB ，1A C 的中点．（Ⅰ）求证：||M N 平面11B BCC ； （Ⅱ）求证：C B A AMN 11平面平面⊥；19.已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，它的前n 项和为n S ，且1,1,1731+++a a a 成等比数列.(1)求{}n a 的通项公式。
(2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前n 项和n T 。
20.如图，已知三棱锥BPC A -中，BC AC PC AP ⊥⊥,，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB ∆为正三角形. （1）求证：⊥BC 平面APC ；（2）若20,6==AB BC ，求三棱锥BCM D -的体积.21．设函数2()ln a x b f x x x x+=-+，曲线()y f x =在1x =处的切线为2y =．（1）求函数()f x 的单调区间；BB C 1（2）当14x ≤≤时，证明3()()4f x f x '>+．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4—4：坐标系与参数方程.在极坐标系中，点 的坐标是 ，曲线 的方程为 . ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为1-的直线l 经过点P . （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 相交于两点A B ,，求22||||P A P B +的值.23. 选修4—5：不等式选讲.已知函数()|1||2|f x x x =++-，不等式()f x t ≥对x ∀∈R 恒成立. (1)求t 的取值范围；(2) 记t 的最大值为T ，若正实数a b ,满足22a b T +=，求证：2112a b+≤.(1,0)P高三文数期中考试答案一．选择题：ACCBAC CBBDAC 二．填空题：23-，10，34-，336+三．解答题： 17. 18.ABN MN 平面⊂，C B A ABN11平面平面⊥19.解析：(1)由题意，得a 3＋1＝a 1＋5，a 7＋1＝a 1＋13， 所以由(a 3＋1)2＝(a 1＋1)·(a 7＋1)， 得(a 1＋5)2＝(a 1＋1)·(a 1＋13)，解得a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋1。
(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，则S n ＝n (n ＋2)， 1S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2。
20.21.【解析】（1）函数()f x 定义域为(0,)+∞，由已知得(1)2f =，(1)0f'=，得：2a =，1b =-，所以，由()0f x '>得或01x <<，由()0f x '<得，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，（2令()ln g x x x=-，（14x ≤≤），所以()0g x '≥，所以()g x 在[1,4]上为增函数，所以()(1)1g x g =≥（1x =时取“＝”），2()3260u x x x =--+=，时，()0u x >，1..A CB D O O AC M O M P C O A C P A M O M O M BD P A M B D P A M B D ∴⊂⊄∴（）连接交于点，则为中点。
连接为中点，为中点；∥；又平面，平面；∥平面2,312111236P B D M P B D C MB D CP B D C P B D M B D CA D H P H P H A D P A D ABCD A D P H A B C DP H C H C D C V V V V V P H S-----⊥⊥∴⊥==∴===-=∴=⨯⨯⨯=（）取中点，连接，则；平面平面为交线；平面在直角三角形中，又()0u x <，所以()h x 在为减函数，而(1)1h =，（4x=时取“＝”22【试题解析】解(1)由曲线C 的极坐标方程可得，22c o s 2s i n ρρθρθ=+，因此曲线C 的直角坐标方程为2222x yx y +=+点P 的直角坐标为(1,0)，直线l 的倾斜角为135︒，所以直线l 的参数方程为1,2(,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数).(5分)(2) 将1,2(,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)代入2222x y x y +=+，有210t --=，设A ，B 对应参数分别为12,t t ，有12121t t t t +==-，根据直线参数方程t 的几何意义有，22||||PB PA +=222121212()24t t t t t t +=+-=.(10分)23.【试题解析】(1)()|1||2||12|3f x x x x x =++-++-=≥，所以3t ≤. (5分)(2)由(1)知3,T =所以223(0,0)a b a b +=>>因为222a b a b +≥，所以32a b ≤，又因为11ab+≥2112a b≤≤+ （当且仅当a b =时取“=”）.。