2015年高考模拟杭州命题比赛高三数学8

2015年高考模拟试卷数学卷（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共40分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷上无效。

参考公式：球的表面积公式 24S R π= 棱柱的体积公式V Sh =球的体积公式 343V R π= 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 其中R 表示球的半径 棱台的体积公式()1213V h S S = 棱锥的体积公式 13V Sh = 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积， 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 h 表示棱台的高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．(原创)设a R ∈，则1a >是11a< 的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（考点：本题考查充分条件、必要条件、充要条件）2．(原创)下列函数中，既是奇函数，又在区间(0+)∞，上为增函数的是A.x y ln =B.3y x =C.3x y =D.x y sin =（考点：函数的奇偶性与单调性）3．(原创)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.10B.20C.40D.60 （考点：三视图及几何体体积）4．(原创)在△ABC 中，已知4=⋅3=，M 、N 分别是BC 边上的三等分点，则⋅ 的值是（ ） A ．5 B ．421C ． 6D ． 8 （考点：1平面向量的数量积；2平面向量的模） 5．(原创)若不等式08322≥-+kx kx的解集为空集，则实数k 的取值范围是（ ） A ．)0,3(- B ．)3,(--∞ C ．(]0,3- D ．),0()3,(+∞--∞ （考点：一元二次不等式的解法）6．（根据浙江省温州市2015届高三第一次适应性测试第14题改编）若直线l : ax －by=1与不等式组1320320y x y x y <⎧⎪--<⎨++>⎪⎩表示的平面区域无公共点，则3a －2b 的最小值为（ ） A ．27 B ．211- C ． 2 D ． -2（考点：线性规划.）7．（根据湖北省荆门市高三元月调研卷第10题改编）设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，过点,λμ作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，316λμ⋅=，则双曲线的离心率为A．3B．5C．2．98（考点：双曲线几何性质、向量运算.）8．（根据河南省长葛市三模第10题改编）设函数()x f 的定义域为D ,若函数()x f 满足条件：存在[]D b a ⊆,,使()x f 在[]b a ,上的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2b a 则称()x f 为“倍缩函数”，若函数()()t x f x+=2log 2为“倍缩函数”，则的范围是（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,41 B.()10， ⎥⎦⎤ ⎝⎛210.，C D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛410， （考点：新定义问题，函数零点，转化与化归思想.）非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，第9至12题每小题6分，第13至15题每题4分，共36分. 9．(原创)设{}13A x x =≤≤，{}124,B x m x m m R =+≤≤+∈，，则=A C u ________，若m=1,则=⋂B A ________若A B ⊆则m 的取值范围是________.考点：集合的关系.10．(原创)已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则通项公式为n a =_________,前n 项和nS=________.考点：等差数列.11．(原创)已知函数|1|(1)()3(1)x x x f x x -⎧=⎨>⎩≤，若()2f x =，则x = ．若,4)(>x f 则解集为__________考点：分段函数值求解与解不等式.12．(原创)在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 考点：本题考查余弦定理，正弦定理13．（根据江苏省宿迁市一模第13题改编）如图，已知ABC ∆中，4AB AC ==，90BAC ∠=，D 是BC 的中点，若向量14AM AB m AC =+⋅，且AM 的终点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则AM BM ⋅的取值范围是 ．考点：平面向量的数量积运算.14．（根据浙江省瑞安中高三学期中考试第15题改编）设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ,已知B A ,为抛物线上的两个动点，且满足60=∠AFB ,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ,则||||AB MN 的最大值为 ． 考点：抛物线定义,余弦定理,基本不等式． 15．（根据三轮专题体系通关训练第17题改编）设函数f(x)，g(x)的定义域分别为M ，N ，且M 是N 真子集，若对任意的x ∈M ，都有g(x)＝f(x)，则称g(x)是f(x)的“拓展函数”．已知函数f(x)＝13log 2x ，若g(x)是f(x)的“拓展函数”，且g(x)是偶函数，则符合条件的一个g(x)的解析式是________． 考点：自定义问题，函数的性质．三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．(原创)（本题满分15分）设函数21cos sin 3cos )(2+-=x x x x f （1）求)(x f 的最小正周期及值域；（2）已知ABC ∆中，角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，若23)(=+C B f ，3=a ，3=+c b ，求ABC ∆的面积．考点：三角函数的恒等变形；函数)sin(ϕω+=x A y 的图像及其性质；余弦定理.17．(原创)（本题满分15分）如图,在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥AD 平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（1）求证：BC ⊥B A 1（2）若=AD 2==BC AB ，P 为AC 的中点，求二面角C B A P --1的平面角的余弦值考点：1．空间几何体的特征；2．垂直关系；3．空间的角；4．空间向量方法．ACDP1B 1A 1C1y x =-+()0a b >>点．（1）若椭圆的离心率为33，焦距为2，求线段AB 的长；OAOB O轴长的最大值．考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆位置关系综合问题.19．（根据辽宁沈阳东北育才学校阶段考第20题改编）（本小题满分15分）数列{}n a 的前n 项和为,n S 且21,n n S a =-设22(log 1)n a n b =+， *n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T ； （3）证明：对于任意n N +∈，不等式1212111n nb b b b b b +++⋅⋅⋅>…. 考点：等差数列，等比数列，错位相减，放缩法证明不等式.20．（根据温州市十校联合体高三上学期期中联考第20题改编）（本题满分14分）已知函数2()2||f x x x a =--.（1）若函数()y f x =为偶函数，求a 的值； （2，求函数()y f x =的单调递增区间； （3）当0>a 时，若对任意的[0,)x ∈+∞，不等式(1)2()f x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.考点： 1.函数的单调性；2.函数的最值；3.分类的数学思想、转化与化归思想.2015年高考模拟试卷数学卷（理科）答题卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题4分，共36分．）9 _________ ___________ ____________ 10 _____________ _______________ 11 ________________ ____________________ 12 _____________ _______________13 __________________ 14 ______________________ 15 ________________________三、解答题（共74分）2015年高考模拟试卷数学卷（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题4分，共36分．）9、 ),3()1,(+∞⋃-∞,[2,3],]0,21[-10 、10-n,n n 45212+-11、-1,}4log ,3|{3>-<x x x 12、 2，813、 ()6,2- 14 、____1_______ 15、 g(x)＝13log 2|x|(其它符合条件的函数也可以) 三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（Ⅰ）()f x 的最小正周期为T π=，值域为[02]，；（Ⅱ）23.试题解析：（Ⅰ） 21()cos cos 2f x x x x =+ =cos 213x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，………………………………………3分所以()f x 的最小正周期为T π=，∵x R ∈∴1cos 213x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[02]，， ………………………………………7分 （Ⅱ）由3()cos 2()132f B C B C π⎡⎤+=+++=⎢⎥⎣⎦，得1cos(2)32A π-=，又(0)A π∈，，得3A π=，…………9分在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos3a b c bc π=+-=2()3b c bc +-，又a 3b c +=，……………11分所以393bc =-，解得2bc =，所以，ABC ∆的面积11sin2232S bc π==⨯=…………………15分 考点：三角函数的恒等变形；函数)sin(ϕω+=x A y 的图像及其性质；余弦定理.17．（1）证明：见解析；（2）772．试题解析：（1）证明：三棱柱 111C B A ABC -为直三棱柱，∴⊥A A 1平面ABC ，又⊂BC 平面ABC ， ∴BC A A ⊥1 ……………………………………………2分-AD ⊥平面1A BC ，且⊂BC 平面1A BC ，∴BC AD ⊥． 又 ⊂1AA 平面AB A 1,⊂AD 平面AB A 1,A AD A A =⋂1，∴BC ⊥平面1A AB ， ………………………………………………5分又⊂B A 1平面BC A 1，∴ B A BC 1⊥ ………………………………………………7分（2）由（1）知BC ⊥平面1A AB ，⊂AB 平面AB A 1,从而AB BC ⊥如图,以B 为原点建立空间直角坐标系xyz B -AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上,∴ B A AD 1⊥．在Rt ABD ∠∆中，AD =AB=2，sin AD ABD AB ∠==60ABD ∠= 在直三棱柱111C B A ABC - 中，⊥A A 1AB ． …………………………………………9分 在1Rt ABA ∠∆中， tan AA AB =⋅=0160则B （0,0,0）,)0,2,0(A ,C （2，0，0）,P （1，1，0）,1A （0，2，23）,)0,1,1(==1BA （0，2，23）)0,0,2(=设平面B PA 1的一个法向量),,(1z y x n =则 11100n BP n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得)3,3,3(1-=n ………………………………11分设平面B CA 1的一个法向量),,(2z y x n =则 22100n BC n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即⎩⎨⎧=+=03220z y x可得)3,3,0(2-=n ……………………………………13分 12121227cos ,n n n n n n ⋅==∴二面角C B A P --1平面角的余弦值是772 ………………………………………15分 考点：1．空间几何体的特征；2．垂直关系；3．空间的角；4．空间向量方法． 18．（1；（2）6. 试题解析：（1）33=e ，2c =2，即33=a c ∴3=a 则222=-=c a b∴椭圆的方程为12322=+y x ， ………………………………………2分将1y x =-+代入消去y 得：03652=--x x 设),(),,(2211y x B y x A（2）设),(),,(2211y x B y x A0=⋅∴⊥ ，即02121=+y y x xy 得：0)1(2)(222222=-+-+b a x a x b a …………………………………7分 由0)1)((4)2(222222>-+--=∆b b a a a ，整理得：122>+b a又222212b a a x x +=+，222221)1(b a b a x x +-=1)()1)(1(21212121++-=+-+-=∴x x x x x x y y由02121=+y y x x ，得：01)(22121=++-x x x x012)1(22222222=++-+-∴ba ab a b a ，整理得：022222=-+b a b a ……………………………………9分 222222b ac a a e =-=-代入上式得：221112ea -+=，)111(2122e a -+=∴ …………………11分 43121,2141,222122≤-≤∴≤≤∴≤≤e e e2367,311137,21134222≤≤∴≤-+≤∴≤-≤∴a ee ，条件适合122>+b a ，………………………13分 由此得：62342,26642≤≤∴≤≤a a ，故长轴长的最大值为6． ……………………………15分 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆位置关系综合问题. 19．（1）12,(*)n n a n N -∴=∈；（2）n T =1(1)22n n +-+；（3）见解析. 试题解析：（1）21n n S a =- ①1121n n S a --=- ②由①－②得 12n n a a -= 由于1121S a =- 11a = 12,(*)n n a n N -∴=∈（4分）（2）22(log 1)2n an b n =+= ………………………………………………5分 由题意得：012122426222n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅… ③12122242(22)222n n n T n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅… ④③-④得 12122(222)22n n n T n --=+++-⋅…(22)22n n =-⋅- ……………………………………………………8分(22)22n n T n ∴=-⋅+=1(1)22n n +-+ ……………………………………………………9分（3）证明：两边平方得21416121()12462n n n++++⋅⋅⋅⋅>+… …………………………………………11分 由于2222214414(1)1()244n n n n n n n n n n +++++=>= ……………………………………………………12分 221416121231()1246212n n n n n+++++∴⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅=+……3121231111n nb b b b b b b b ++++∴⋅⋅⋅⋅>… ……………………………………………………15分 考点：等差数列，等比数列，错位相减，放缩法证明不等式.20．（1）0a =；（2（3122a ≤≤.试题解析：（1）任取x R ∈，则有()()f x f x -=恒成立， 即22()2||2||x x a x x a ----=--恒成立||||x a x a ∴+=-恒成立，22ax ax ∴=-平方得：恒成立 0a ∴=（特殊值法求出酌情给分） ……………………………………3分（2222121()12()2||1221()2x x x f x x x x x x ⎧-+≥⎪⎪=--=⎨⎪+-<⎪⎩……………………………………6分（3）不等式()()12f x f x -≥化为*）对任意的[)0,x ∈+∞恒成立 ……………………………………7分 因为0a >，所以分如下情况讨论：①0x a ≤≤时，不等式（*）化为24()2[(1)]21x a x a x x --+-+≤+-恒成立即24120[0,]x x a x a ++-≥∀∈对恒成立2()4120[0,]g x x x a a =++-≥在上单调递增只需min ()(0)120g x g a ==-≥102a ∴<≤……………………………………9分 ②当1a x a <≤+时，不等式（*）化为24()2[(1)]21x a x a x x -+-+≤+-恒成立 即24160(,1]x x a x a a -++≥∀∈+对恒成立 由①知102a <≤，2()416(,1]h x x x a a a ∴=-+++在上单调递减22a a ∴≤-1162222a -<≤≤ ………………………………………12分 ③当1x a >+时，不等式（*）化为24()2[(1)]21x a x a x x ---+≤+-恒成立 即2230(,)x a x a +-≥∀∈++∞对恒成立22min ()2301,)()(1)420x x a a x a a a ϕϕϕ=+-≥++∞∴=+=+-≥在(上单调递增只需22a a∴≤-由②得122a≤≤…………………………………………13分 综上所述，a 122a ≤≤ …………………………………………14分考点：1.函数的单调性；2.函数的最值；3.分类的数学思想、转化与化归思想.2min ()(1)420h x h a a a ∴=+=+-≥只需。