第十三课时：相似三角形(位似图形)
相似三角形位似图形
C'
x
12
在平面直角坐标系中, 以原点O为位似中心,位似比
为k（k>0）,若原图形上点A的坐标为（x，y），那 么位似图形对应点A’的坐标为
（kx，ky） 同向位似图形（图形在原点的同侧）
或
（-kx，-ky） 反向位似图形（图形在原点的两侧）
A′( -4 ,-6 ), B′( -4 ,-2 ), C′( -12 ,-4 )
注：在作图中，如无特殊说明，位似比通常代表新图形与原图形的比。 k﹥1，将原图形放大，0＜k＜1，将原图形缩小
思考：还有没其他作法？
C.’
. B’
A
. O
B
C
.
A'
如果位似中心给定在三角形内部呢？
A'
A
.
B’
B
OC
C’
以0为位似中心把△ABC 缩小为原来的一半。
0 C’
B’
A’
A B
C
探索: 位似变换与平面直角坐标系
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为 位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.
y
A
.A'
x
.
o
B'
B
观察对应点之间的坐标 的变化,你有什么发现?
A′(2,1) B′(2,0) A (6,3) B (6,0)
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原 点O为位似中心,位似比为1:3,把线段AB缩小.
相似 各组对应顶点 对应边平行 的连线相交于 （或共线）
注：一三点者缺一不可！
例1.判断下列各对图形是不 是位似图形.
(1)相似五边形ABCDE与五边形
数学相似三角形的知识点归纳
数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。
随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。
以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。
数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。
（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。
（比例=====等积）。
主要作用：计算。
合比性质，主要作用：比例的互相转化。
等比性质，在使用时注意成立的条件。
二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。
三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。
2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。
九年级数学下学期-相似三角形(图形的位似及应用)
位似多边形+应用1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【作位似变换】【方法点拨】画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。
②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5） 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O 为位似中心，相似比为k （k>0）,原图形上点的坐标为（x,y ）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),【典型例题】【例1】下列每组的两个图形不是位似图形的是（ ）.A. B. C. D.【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的 （ ）.A. 3倍B.21C.31 D.不知A B 的长度，无法判断【例2】如图，是规格为9×9的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：（1）请在网格中画出平面直角坐标系，使A 的坐标为（﹣2，4），B 的坐标为（﹣4，2）；（2）在第二象限内的格点上画一点C ，使点C 与线段AB 组成一个以AB 为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则点C 的坐标是 ，△ABC 的周长是 （结果保留根号）；（3）把△ABC 以点C 为位似中心向右放大后得到△A 1B 1C ，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△A 1B 1C 的图形并写出点A 1的坐标．【变式1】如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（2，2），C（4，6）（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）（1）画出△ABC向下平移5个单位得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）以点O为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为1：2，直接写出点C2的坐标和△A2B2C2的面积．【变式2】在坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以M点为位似中心，在第一象限中画出将△A1B1C1按照2：1放大后的位似图形△A2B2C2；（3）△A2B2C2面积为．（直接写出答案）【变式3】如图，在正方形网格中，四边形TABC的顶点坐标分别为T（1，1），A（2，3），B（3，3），C（4，2）．（1）以点T（1，1）为位似中心，在位似中心的同侧将四边形TABC放大为原来的2倍，放大后点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′画出四边形TA′B′C′；（2）写出点A′，B′，C′的坐标：A′（），B′（），C′（）；（3）在（1）中，若D（a，b）为线段AC上任一点，则变化后点D的对应点D′的坐标为（）．用相似三角形解决问题要点一、平行投影1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.由此我们可得出这样两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：=.甲物体的高甲物体的影长乙物体的高乙物体的影长利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.要点二、中心投影若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.要点诠释：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.要点三、中心投影与平行投影的区别与联系1.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.2.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.要点四、相似三角形的应用1.测量高度要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
相似三角形的应用与位似-九年级数学下册同步考点知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)
相似三角形的应用与位似知识点一：相似三角形的应用：1.利用影长测量物体的高度：①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比和“在同一时刻物高与影长的比”的原理解决。
②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度。
2.利用相似测量河的宽度（测量距离）：①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上，必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形。
②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度。
3.借助标杆或直尺测量物体的高度：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。
【类型一：利用相似求高度】1．某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．2．为了测量成都熊猫基地观光瞭望塔“竹笋”建筑物AB的高度，小军同学采取了如下方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小军的眼睛距离地面的高度ED的长约为1.75m，BC和CD的长分别为40m和1m，求建筑物AB的高度．（说明：由物理知识，可知∠ECF＝∠ACF）3．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得∠ACD＝135°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计）【类型二：利用相似求高度】4．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在点B竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC ＝1m，DE＝1.5m，BD＝9m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．5．如图，为了估算池塘的宽度AB，在池塘边不远处选定一个目标点C，在近河边分别选N，M．使得B，N，C三点共线，A，M，C三点共线且MN∥AB．经测量MN＝38m，CM＝21m，AM＝63m，求池塘AB 的宽度．6．如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使AB与河岸垂直，在近岸取点C，E，使BC⊥AB，CE⊥BC，AE与BC交于点D．已测得BD＝30米，DC＝10米，EC＝11米，求河宽AB．【类型三：利用相似求其它】7．小明为了测量出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑底部P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E，在深坑右侧用观测仪CD从测出发点C观测深坑底部P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F，点B，E，F，D在同一水平线上．已知AB⊥EF，CD⊥EF，观测仪AB高2m，观测仪CD高1m，BE＝1.6m，FD＝0.8m，深坑宽度EF＝8.8m，请根据以上数据计算深坑深度多少米？8．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律．【同题解决】如图2．小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，本板到墙的水平距离为CD＝4m．图中点A，B，C，D在同一条直线上．（1）求BC的长；（2）求灯泡到地面的高度AG．9．如图①，有一块三角形余料△ABC，它的边BC＝10，高AD＝6．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，AD交PN于点E，则加工成的正方形零件的边长为多少？小颖解得此题的答案为415，小颖善于反思，她又提出了如下的问题： （1）如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形由两个并排放置的正方形组成．如图②，此时，这个矩形零件的相邻两边长又分别是多少？（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图③，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值以及这个矩形面积达到最大值时矩形零件的相邻两边长又分别是多少？10．为了在校园内有效开展劳动教育，东方红学校利用学校东南边靠墙的一块面积为单位1的Rt △ABC 的空地，把这块空地划分成七八九年级三个部分，如图，在Rt △ABC 中，点P 是BC 边上任意一点（点P与点B，C不重合），矩形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．七年级为矩形AFPE部分，八九年级为△PEC和△BPF两部分．（1）若BP：PC＝2：3，求S△BPF；（2）已知BC＝2，S△ABC＝1．设BP＝x，矩形AFPE的面积为y，求y与x的函数关系式．（3）在（2）的情形下，考虑实际情况，要求七年级所分面积最大．求出七年级所分矩形AFPE部分的面积在x为多少时取得最大值，并求出最大值是多少．知识点一：位似：1.位似的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线，对应边互相，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做。
三角形相似与位似
知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC∽△A /B /C / 。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于相似比，根据这一性质，可计算角的度数或边的长度。
平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3可得等.EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C 由DE ∥BC 可得：.此推论较原定理应AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 知识点4、如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的应用及位似(讲义及答案).
相似三角形的应用及位似（讲义）➢课前预习一、读一读，想一想太阳光线可以看成平行光线．早在约公元前600 年前，就有人利用平行光线去解决实际生活当中的问题了．他就是泰勒斯——古希腊第一位享有世界声誉，有“科学之父”和“希腊数学的鼻祖”美称的伟大学者．泰勒斯已经观察金字塔很久了：底部是正方形，四个侧面都是相同的等腰三角形．要测量出底部正方形的边长并不困难，但仅仅知道这一点还无法解决问题．他苦苦思索着．当他看到金字塔在阳光下的影子时，他突然想到办法了．这一天，阳光的角度很合适，把所有东西都拖出一条长长的影子．泰勒斯仔细地观察着影子的变化，找出金字塔底面正方形的一边的中点（这个点到边的两端的距离相等），并作了标记．然后他笔直地站立在沙地上，并请人不断测量他的影子的长度．当影子的长度和他的身高相等时，他立即跑过去测量金字塔影子的顶点到做标记的中点的距离．他稍做计算，就得出了这座金字塔的高度．当他算出金字塔高度时，围观的人十分惊讶，纷纷问他是怎样算出金字塔的高度的．泰勒斯一边在沙地上画图示意，一边解释说：“当我笔直地站立在沙地上时，我和我的影子构成了一个直角三角形．当我的影子和我的身高相等时，就构成了一个等腰直角三角形．而这时金字塔的高（金字塔顶点到底面正方形中心的连线）和金字塔影子的顶点到底面正方形中心的连线也构成了一个等腰直角三角形．所以这个巨大的直角三角形的两条直角边也相等．”他停顿了一下，又说：“刚才金字塔的影子的顶点与我做标记的中心的连线，恰好与这个中点所在的边垂直，这时就很容易计算出金字塔影子的顶点与底面正方形中心的距离了．它等于底面正方形边长的一半加上我刚才测量的距离，算出来的数值也就是金字塔的高度了．想一想：为什么金字塔的高（金字塔顶点到底面正方形中心的连线）和金字塔影子的顶点到底面正方形中心的连线也构成了一个等腰直角三角形呢？➢知识点睛1.测量旗杆高度的方法：①利用阳光下的影子②利用标杆③利用镜子的反射（太阳光是平行光）（同位角相等）（借助反射角、入射角相等）2.影子上墙：、、是影子上墙时的三种常见处理方式，它们的实质是构造三角形相似．△DEH∽△ABC △DHG∽△ABC △HEF∽△ABC3.位似：①如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在直线都经过，且有，那么这样的两个多边形叫做，叫做．k 就是这两个相似多边形的相似比．②位似图形不仅相似，而且具有特殊的位置关系；利用位似，可以将一个图形．③在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是，它们的相似比为．➢精讲精练1.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前．其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺．立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1 丈=10 尺，1 尺=10 寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺2.如图，若标杆高度CD=3 m，标杆与旗杆的水平距离BD=15 m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6 m，人与标杆CD 的水平距离DF=2 m，则旗杆的高度AB= ．3.如图，把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4 m 的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4 m，观察者目高CD=1.6 m，则树的高度AB= ．4.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q 和S，使点P，Q，S 在一条直线上，且直线PS 与河垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R．若QS=60 m，ST=120 m，QR=80 m，则河的宽度PQ 为．5.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为200 步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD 的中点，南门K 位于ED的中点，出东门15 步的A 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A 处的树木（即点D 在直线AC 上）？请你计算KC 的长为步．6.周末小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB 与河岸垂直，并在B 点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E 与点C，A 共线．已知：CB⊥AD，ED⊥ AD，测得BC=1 m，DE=1.5 m，BD=8.5 m，测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．7.某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM 上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D 时，看到“望月阁”顶端点A 在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5 米，CD=2 米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D 点沿DM 方向走了16 米，到达“望月阁”影子的末端F 点处，此时，测得小亮身高FG 的影长FH=2.5 米，FG=1.65 米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB 的长度．8.数学兴趣小组想测量一棵树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1 米的竹竿的影长为0.8 米，同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），这部分影长为1.2 米，落在地面上的影长为2.4 米，则树高为．9.小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8 米，BC=20 米，CD 与地面成30°角，且此时测得1 米杆的影长为2 米，则电线杆的高度为（）A．9 米B．28 米C．(7 +3) 米D．(14 + 2 3) 米10.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．若铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6 m，同一时刻小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2 m 和1 m，则塔高AB 为（）A．24 m B．22 m C．20 m D．18 m1.如图，若以O 为原点构造平面直角坐标系，其中A 点坐标为(6，-1)，B 点坐标为(5，3)，C 点坐标为(3，-2)，以O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，则缩小后的△ABC 的三个顶点坐标是多少？12.如图，已知△ABC 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，3)，若以点C 为位似中心，在平面直角坐标系内画出△A′B′C，使得△A′B′C与△ABC 位似，且相似比为2:1，则点B′的坐标为．13. 在平面直角坐标系中，点 P (m ，n )是线段 AB 上一点，以原点O 为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点 P 的对应点的坐标为（ ） A ．(2m ，2n )B ．(2m ，2n )或(-2m ，-2n )C ．( 1 m ， 1 n )D ．( 1 m ， 1 n )或( - 1 m ，- 1 n )2 22 2 2 214. 如图，线段 CD 两个端点的坐标分别为 C (-1，-2)，D (-2，-1)， 以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 CD 扩大为原来的 2 倍，得到线段 AB ，则线段 AB 的中点 E 的坐标为．【参考答案】➢课前预习一、由于太阳光是平行线，因此同一时刻，太阳光与地面所成夹角相等，结合直角，构成了两个等腰直角三角形．➢知识点睛一、相似三角形的实际应用2.推墙法；抬高地面法；砍树法3.①P，P′；同一点O；OP′=k·OP（k≠0）；位似多边形；点O；位似中心②放大或缩小③原点；|k|➢精讲精练1. B2. 13.5 m3. 5.6 m4. 120 m5. 2 000 36.河宽AB 为17 m．7.“望月阁”的高AB 的长度为99 米．8. 4.2 米9. D10.A11. A1(3，-1)，B1(5，3)，C1(3，-1)或A2(-3，1)，B2( -5，2 2 2 2 2 2-3)，C2( -3，1) 2 212. (4，6)或(0，-2)13. B14. (3，3)。
相似三角形的判定数学教学教案【优秀10篇】
相似三角形的判定数学教学教案【优秀10篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如总结报告、合同协议、规章制度、条据文书、策划方案、心得体会、演讲致辞、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as summary reports, contract agreements, rules and regulations, doctrinal documents, planning plans, insights, speeches, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!相似三角形的判定数学教学教案【优秀10篇】数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
相似三角形知识点总结及练习题
第27章相似三角形知识点总结1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质：3. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等a ca kbc kd b d b d ++=⇒=.AB DE AB DEBC EF AC DF ==或等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形基本知识(一)比例的性质1.比例的基本性质: 比例式化积、积化比例式.bc ad dcb a =⇔=2.合、分比性质: 分子加（减）分母,分母不变.(k=1、2、3…)应用: 已知dc c b a ad c b a +=+=:,求证 证明:∵d c b a = ∴c d a b = ∴c d c a b a +=+ ∴dc cb a a +=+3.等比性质:分子分母分别相加，比值不变. 若)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b n m f e d c b a 则ba n f db m ec a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++. 4.比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项.(二)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.例. 已知l 1∥l 2∥l 3,A D l 1B E l 2C F l 3可得2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. (即利用比例式证平行线)4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原．三角形三边．．．．．对应成比例.(三)相似三角形1、相似三角形的判定①两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多);②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;③三边对应成比例的两个三角形相似;④直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.2、直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.3、相似三角形的性质①相似三角形对应角相等、对应边成比例.②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.4、位似图形:如果两个图形不仅是相似图形，而且每对对应点所在直线都经过一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.这时的相似比又称为位似比.特别提醒：①是特殊的相似图形，具有位似中心；②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比.中考试题分类汇编相似三角形一、选择题1、如图1,已知AD与BC相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC的大小为（）A.60°B.70°C.80°D.120°C DOAD E2、如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADEDBCE SS :=:8,四边形那么:AE AC 等于（ ） A ．1 : 9 B ．1 : 3 C ．1 : 8 D ．1 : 23、图为❒ABC 与❒DEC 重迭的情形，其中E 在BC 上，AC 交DE 于F 点，且AB // DE 。
相似三角形知识点总结
相似三角形知识点总结知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段dc b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d cb =．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：12长短＝＝全长 注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1）基本性质：① bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅． （2）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b db d a c=⇔=． （3）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ．可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或①结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角．．．形三边．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 知识点5 三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两B个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
初三-第13讲-相似三角形的性质、应用与位似(培优)-教案
学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第13讲----相似三角形的性质、应用与位似授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握相似三角形的性质；②掌握利用相似三角形测高的常见模型；③了解位似及相关特征；④进一步提高综合分析问题的能力及将数学应用到实际生活中的能力。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架体系搭建二、知识概念（一）黄金分割在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC ＞BC )，如果AC ＝5－12AB ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，黄金比约为0.618，一条线段的黄金分割点有2个.（二）相似三角形的性质1、相似三角形对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.3、相似三角形周长的比等于相似比.4、相似三角形面积的比等于相似比的平方.（三）利用三角形相似测量高度方法1、利用阳光下的影子测量物高根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形.在同一时刻，被测量物体的实际高度被测量物体的影长 = 某物体的实际高度某物体的影长2、利用标杆测量物高观测者的眼睛、标杆顶端、旗杆顶端“三点一线”. 3、利用镜子原理测量物高借助“反射角等于入射角”找出相等的角，得到三角形相似.（四）图形的位似1、位似图形的定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2、图形位似的性质位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。
（1）位似图形对应线段的比等于相似比； （2）位似图形的对应角都相等；（3）位似图形对应点连线的交点是位似中心； （4）位似图形面积的比等于相似比的平方；（5）位似图形高、周长的比都等于相似比；（6）位似图形对应边互相平行或在同一直线上。
九年级相似三角形知识点总结
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或n mb a =）（2）比例性质1.基本性质:bc ad dcb a =⇔=（两外项的积等于两内项积）2.反比性质：cd a b d c b a =⇒=(把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项同时交换内外项4.合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变FE D CB A 知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
其中AB AC 215-=≈0.618AB 。
知识点四：平行线分线段成比例定理1．平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.用符号语言表示：AD∥BE∥CF,,,AB DE BC EF AB DEBC EF AC DF AC DF∴===.2．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.用符号语言表示：AD BE CF AB BC DE DF ⎫⇒=⎬=⎭.重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.知识点五：相似三角形1、相似三角形1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
第13讲 相似三角形判定定理的证明
第13讲 相似三角形判定定理的证明课程标准1.了解相似三角形判定定理的证明过程，会选择恰当的方法证明两个三角形相似；2.会作辅助线来证明两个三角形相似，掌握证明过程。
知识点01 相似三角形判定定理的证明（一）相似三角形的判定定理1的证明过程已知：如图,在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B ′.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠ADE=∠B ，∠AED=∠C,(.AD AEAB AC=平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） 过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F,则(AD CFAB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CFAC CB=∵DE ∥BC,DF ∥AC,∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AE:AC=DE:CB ∴AD AE DEAB AC BC==. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE ∽△ABC.∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE ∽△A′B′C′.知识精讲目标导航∴△ABC ∽△A′B′C′.（二）相似三角形的判定定理2的证明过程 已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，∠A=∠A′,''''AB ACA B A C =,求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠B=∠ADE,∠C=∠AED,∴△ABC ∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似). ∴AB ACAD AE=. ∵''''AB ACA B A C =,AD=A′B′, ∴''AB ACAD A C =∴''AC ACAE A C =∴AE=A ′C′ 而∠A=∠A ′ ∴△ADE ≌△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.（三）相似三角形的判定定理3的证明过程 已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，''''''AB BC ACA B B C A C ==.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE. ∵''''AB ACA B A C =，AD=A′B′,AE=A′C′,∴AB ACAD AE=而∠BAC=∠DAE,∴△ABC ∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴AB BCAD DE=又''''AB BCA B B C =，AD= A′B′, ∴''AB BCAD B C =∴''BC BCDE B C =∴DE=B′C′,∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△ABC ∽△A′B′C′.知识点02 证明相似三角形的一般思路（1）有平行线——用平行线的性质，找“等角”（用判定定理1）。
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
1. 平行线分线段成比例定理
例.
已知 l 1∥ l 2∥ l 3,
A Dl
B El
: 三条平行线截两条直线
1 2
, 所得的 对应线段成比 .
C
Fl
可得 AB
DE AB 或
DE 等.
BC EF AC DF
2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边
3
( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .
注意 ：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
知识点三：黄金分割
1） 定义 ：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC ），如果 AC AB
ad bc
（两外项的积等于两内项积）
2. 反比性质：
ac bd
bd a c ( 把比的前项、后项交换 )
3. 更比性质 ( 交换比例的内项或外项 ) ：
ac bd
a b ，(交换内项 ) cd d c ，(交换外项 ) ba d b ．(同时交换内外项 ) ca
4. 合比性质
a
：
c
bd
ab b
cd （分子加（减）分母 , 分母不变）
例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ， E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE 、 AF 、AC ，问图中是否存在非全 等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例 5、△ ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取 BE ，使 AD=BE ，求证： DF AC=BC FE
中考数学复习相似三角形(含位似) 课件
性质3 (等比性质)
如果 那么
a1 b1 a1 b1
a2 b2 a2 b2
bananbnn＝，_且__abb_111_＋__b_2＋…＋bn≠0，
3. 黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且 AC BC ，那么就说线段AB被 AB AC
概念 点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比，
思维导图
比例线段
比例的性质 黄角形 的性质与判定
图示 基本事实
推论
平行线分线 段成比例
相似三角形
相似多边形 及其性质
图形的位似
性质
判定 概念
性质 概念
性质
教材知识逐点过
考点1 比例线段及其性质
1. 比例线段
比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比_等__于__另外两条线段的比 ，即a c ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称
第4题图
【模型变式1】如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，
连接DC，EB交于点O，则DO∶CO＝__1_∶__2___，
SDEO SABC
1
＝___1_2____．
变式1题图
【模型变式2】如图，在▱ABCD中，AE∶DE＝2∶1，连接BE，交AC
24
于点F，AC＝12，则AF的长为___5_____．
3. 相似三角形的周长比等于_相__似__比___，面积比等于__相__似__比__的__平__方______ 1. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 2. __两__组__角__对应相等的两个三角形相似 判 3. 两边对应成比例且__夹__角____相等的两个三角形相似 定 4. 三边_对__应__成__比__例__的两个三角形相似 5. 两个直角三角形满足一组锐角相等或两直角边对应成比例或斜边和一直角边 对应成比例，那么这两个直角三角形相似
相似三角形与位似图形
相似三角形与位似图形-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1相似三角形与位似图形一、知识要点：1、相似多边形（1）相似多边形：各角对应________，各边对应________的两个图形叫做相似多边形。
（2）相似比：相似多边形_________的比叫做相似比。
（3）相似多边形的性质：周长比等于__________，面积比等于__________，而相似比等于面积比的__________.2.位似图形如果两个图形不仅是__________，而且每组对应点所在直线都经过__________，那么这样的两个图形叫做位似图形，点P叫做__________，这时相似比又称为__________。
注意：位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。
3.相似三角形（1）定义：三角对应__________，三边对应__________，的两个三角形叫做相似三角形。
（2）性质：①相似三角形对应角__________，对应边__________。
②相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于__________。
③相似三角形面积的比等于__________。
（3）判定：①____________________的两个三角形相似。
②____________________的两个三角形相似。
③____________________的两个三角形相似。
二、课堂练习1.如图,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,设BP=x,则PD+PE=________2.如图，丁轩同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到点时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行20m到达点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（）A．24m B．25m C．28m D．30m3. 如图，已知D、E分别是的AB、AC边上的点，且那么等于（）A．1 : 9 B．1 : 3 C．1 : 8 D．1 : 24.在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是和；并写出它的面积比 .5.如图7，在梯形ABCD中，若AB图，在中，。
(名师整理)最新中考数学专题复习《位似图形和相似三角形的应用》精品教案
1中考数学人教版专题复习：位似图形和相似三角形的应用一、教学内容位似图形和相似三角形的应用1. 了解位似图形的概念、画法和性质.2. 会利用相似三角形的知识测量物体的高度或宽度.3. 能利用位似图形和相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.二、知识要点1. 位似图形（1）定义：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又叫位似比.ABC DEA'B'C'D'E'（2）画法：画位似图形的方法根据位似中心与图形的位置关系可以分为三种：①位似中心在图形的一侧；②两个图形分居在位似中心的两侧；③位似中心在两个图形的内部.OADC BC'D'A'B'ABCDA'B'C'D'O A BC DA'B'C'D'O22. 测量物体的高度 （1）利用阳光下的影子A B C A'B'C'人的影长（可测）人被测物体的影长（可测）被测物体（2）利用标杆A BCDEFM N旗杆标杆（3）利用镜子的反射A BCDE人旗杆三、重点难点本讲重点是位似图形的概念和性质、相似三角形的应用. 难点是应用相似三角形解决实际问题.四、考点分析从历届中考题来看，相似形在中考中的位置越来越重要，试题分值也逐渐增加，特别是相似三角形的判定和性质的应用，在解答题中出现的频率较高，近两年来，相似形在实际生活中的应用性问题也开始出现.3【典型例题】例1. 如图所示，试回答下列问题，并说明理由.（1）分别在△ABC 的边AB 、AC 上取点D 、E ，使DE ∥BC ，那么△ADE 与△ABC 是位似图形吗？若是，是放大了还是缩小了；（2）分别在△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线上取点D 、E ，使DE ∥BC ，那么△ADE 与△ABC 是位似图形吗？若是，是放大了还是缩小了？ABCDE ABCED(1) (2)分析：解答此题的关键是正确理解位似图形的定义，即（1）必须是相似图形；（2）所有对应顶点的连线都经过同一点. 这两条缺一不可. 若再要判定是放大了还是缩小了，就看位似比是大于1还是小于1就行了.解：（1）是，缩小了. 理由是△ADE ∽△ABC ，且对应点的连线都经过一点A ，位似比AD AB ＜1.（2）是，无法确定放大还是缩小，理由是△ADE ∽△ABC ，且对应点的连线都经过一点A . 但ADAB 的值可能大于1，也可能小于1，无法确定.例2. 如图所示，分别按下列要求作出四边形ABCD 以O 点为位似中心的位似四边形A'B'C'D'.（1）沿OA 方向放大为原图形的2倍； （2）沿AO 方向放大为原图形的2倍.ABC DO分析：此题两问都是将原图形放大2倍，也就是位似比为2∶1，而（1）问是沿OA方向，即从O点向A点的方向，而（2）问是沿AO方向，即从A点向O点的方向放大.解：如图1所示.①连接OA，并延长OA到A'，使AA'＝OA；②连接OB，并延长OB到B'，使BB'＝OB；③连接OC，并延长OC到C'，使CC'＝OC；④连接OD，并延长OD到D'，使DD'＝OD；⑤连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'.则四边形A'B'C'D'是四边形ABCD关于O点的位似图形，且位似比为2∶1.A'B'C'D'A BC DO图1（2）如图2所示.①连接AO，并延长AO到A'，使OA'＝2OA；②连接OB、OC、OD，并延长BO、CO、DO到B'、C'、D'，使OB'＝2OB，OC'＝2OC，OD'＝2OD.③连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'.则四边形A'B'C'D'是四边形AB CD关于O点的位似图形，且位似比为2∶1.45A'B'C'D'图2ABC DO例3. 如图所示，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙1.60m ，梯上点D 距墙1.4m ，BD 长0.55m ，则梯子的长为（ ）A . 3.85mB . 4.00mC . 4.40mD . 4.50mABCD E分析：找出图中的相似三角形，列出相应的比例式AD AB ＝DEBC ，代入求值即可. BC ＝1.6m ，DE ＝1.4m ，DE ∥BC ，BD ＝0.55m ，设AB ＝x m ，则AD ＝（x －0.55）m . 由△ADE ∽△ABC ，可得AD AB ＝DEBC ，即x －0.55x ＝1.41.6，解得x ＝4.40，故选C . 解：C例4. 如图所示，小明为了测量一高楼MN 的高度，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若AC ＝1.5m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度. （精确到0.1m ）ABCMN分析：根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样△BCA 与△MNA 的相似关系就明确了.6解：因为BC ⊥CA ，MN ⊥AN ，∠BAC ＝∠MAN ，所以△BCA ∽△MNA ，所以MN BC ＝ANAC ， 即MN ∶1.6＝20∶1.5，所以MN ＝1.6×20÷1.5≈21.3（m ）.评析：这是一道实际应用题，利用了两角对应相等的两个三角形相似，且相似三角形对应边成比例.例5. 一条河的两岸是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10m ，在这岸离开岸边16m 处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有1棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有4棵树，则河宽是多少米？ 分析：先按题意画图，如图所示，可得AD ＝16m ，DE ＝20m ，BC ＝50m ，由题意可知△ADE ∽△ACB ，从而AD AC ＝DECB ，可求河宽.ABCDE解：如图所示，AD ＝16m ，DE ＝20m ，BC ＝50m ，CB 、DE 表示互相平行的河两岸，AD ⊥DE ，图中CB 、DE 两端的点表示树木，本题求DC 的长，因为DE ∥CB ，所以△ADE ∽△ACB .所以AD AC ＝DE CB ，即AD AD ＋DC ＝DE CB ，则1616＋CD ＝2050，解得CD ＝24（m ），所以河宽为24m .评析：有关测量问题的计算，要应用相似三角形的性质——相似三角形的对应边成比例，这是解决实际问题的重要方法之一.【方法总结】71. 关于位似图形和相似图形：①位似图形一定是相似图形；②两个相似形，当对应点的连线交于同一点时，这两个图形又叫做位似图形；③位似比即相似形的相似比；④位似图形具有相似形的性质.2. 能够把实际问题转化成数学问题，利用影长计算或测量时，注意同一时刻：物体的实际高度影长＝被测物体的实际高度被测物体的影长.【模拟试题】（答题时间：50分钟） 一、选择题1. 如图所示，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，若AB ∶FG ＝2∶3，则下列结论正确的是（ ）ABCDEFG HMNA . 2DE ＝3MNB . 3DE ＝2MNC . 3∠A ＝2∠FD . 2∠A ＝3∠F 2. 图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ） A . 点PB . 点OC . 点MD . 点NPO MN3. 小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）A . 0.5mB . 0.55mC . 0.6mD . 2.2m4. 如图所示，身高为1.6m 的某学生测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走8去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC ＝3.2m ，CA ＝0.8m ，则树的高度为（ ）ABE DA . 4.8mB . 6.4mC . 8mD . 10m*5. 下列命题中真命题的个数是（ ） ①两个相似多边形的面积之比等于相似比的平方； ②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在△ABC 与△A'B'C'中，AB A'B'＝ACA'C'，∠A ＝∠A'，那么△ABC ∽△A'B'C'； ④已知△ABC 及位似中心O ，能够作一个且只能作一个三角形，使位似比为0.5. A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个*6. 如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为（a ，b ），那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（ ）xyA . （－a ，－2b ）B . （－2a ，－b ）C . （－2a ，－2b ）D . （－2b ，－2a ）二、填空题91. 如图，△ABC 与△A ’B ’C ’是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__________.19876543210119876543211011O A'B'C'A B C yx2. 要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD ∶BC ＝5∶4，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上（如图所示），量得DE 的长为30m ，则AB 的距离为__________m .ABCDEF3. 为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B ）8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2.4米，观察者目高CD ＝1.6米，则树（AB ）的高度约为__________米（精确到0.1米）.EDCB4. 如图，火焰的光线穿过小孔O ，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的高度为4.5cm ，OA ＝16cm ，OD ＝48cm ，那么火焰的高度是__________cm .10*5. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆. 小丽站在离南岸岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为__________米.**6. 如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点A 和点F 的坐标分别为（3，2），（－1，－1），则两个正方形的位似中心的坐标是_________.ABCDO E FGx y三、解答题1. 如图所示，把图（1）中的图形在图（2）中放大（形状完全一样）.（1） （2）2.正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点O为位似中心放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1（不要求写作法）.OABCD3.用一桶农药给果树防虫，桶高0.7米，桶内有一斜放的木棒，一端在桶底，另一端恰好在桶盖小口处，抽出木棒量得木棒的总长为1米，上面浸有农药部分长0.7米，你能求出桶内药液的高度是多少吗？4.如图所示，小明手拿一把刻有厘米刻度的尺子，站在距电线杆30m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺子上12cm的长度恰好遮住电线杆，已知手臂长60cm，求电线杆的高度.**5.马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目.跷跷板支柱AB的高度为1.2米.（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？ACQ1112【试题答案】一、选择题1. B2. A3. A4. C5. C6. C二、填空题1.（9，0）2. 243. 5.64. 1.55. 22.56.（1，0）或（－5，－2）三、解答题1.如图所示：2.下图中的A’B’C’D’就是所求.OABCD B'D'3.设桶内药液高度为x米，则0.7－x0.7＝1－0.71，解得x＝0.49米4.设电线杆的高度为x米，则603000＝12x，解得x＝600（cm）＝6（米）5.（1）狮子能将公鸡送到吊环上.当狮子将跷跷板P端按到底时可得到R t△PHQ，∵点A是PQ的中点，∴△PAB∽△PQH，且相似比是1∶2，AB＝1.2（米）∴QH＝2.4＞2（米）.13（2）支点A移到跷跷板PQ的三分之一处（PA＝13PQ），狮子刚好能将公鸡送到吊环上，△PAB∽△PQH，∴QH＝3AH＝3.6（米）.14。
第十三课时：相似三角形(位似图形)
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm.动 点M、N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB 向终点A、B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿 BA向终点A移动，连接PM、PN，设移动时间为t(单位：秒， 0<t<2.5)．(1)当t为何值时，以A、P、M为顶点的三角形与 △ABC相似？(2)是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有 最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
知识点3相似多边形 1．定义：对应角________，对应边________的两个多边形叫 做___________，相似多边形对应边的比叫做_____________． 2．性质： (1)相似多边形的对应边________； (2)相似多边形的对应角________； (3)相似多边形周长的比________相似比，相似多边形面积的 比等于________．
提分必练：
1.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点， 边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O位似，且矩形OABC的面积等于矩形OA′B′C′的面积 的4倍，那么点B′的坐标是( ) A．(－2，3) B．(2，－3) C．(3，－2)或(－2，3) D．(－2，3)或(2，－3) 2.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形， 相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD.若B(1，0)，则点C 的坐标为( ) A．(1，2) B．(1，1)C．(，) D．(2，1)
知识点4
位似图形
1.定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点连线相交 同_______，那么这样的两个图形叫做________，这个点叫做 ________，(对应边）相似比叫做位似比． 2.性质： (1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心， 相似比为 ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 ； 即：与原图形上的点（x ,y）对应的位似图形 上的点的坐标为（ ， ）或（ ， ） (2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于___． 3.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它 们的直线或延长线相交于一点，则该点即是________． 4.画位似图形的步骤： (1)确定________；(2)确定原图形的关键点； (3)确定________，即要将图形放大或缩小的倍数； (4)作出原图形中各关键点的对应点； (5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.
相似三角形位似图形(定)
位似（一）学习目标：1、了解图形的位似，能利用位似的方法，将一个图形放大和缩小。
2、能根据要求做出简单的平面图形的位似图形，掌握画位似图形的三种方法。
3、经历观察、操作认识图形的相似变换，探索它的基本特征，学会在实践中发现规律。
学习过程：一创设情景，引入新课想一想：你会在格点图或方格图中，画出一个和已知图形相似，且与其相似比为2:1的图形吗？如果没有了方格纸或格点图，你还能不能正确的画出符合条件的相似图形呢？二合作交流，解读探究Array下面介绍一种特殊的画相似多边形的方法．现在要把多边形ABCDE放大到1.5倍，即新图与原图的相似比为1.5．我们可以按下列步骤画出图：1. 任取一点O；2. 以点O为端点作射线OA、OB、OC、…；3. 分别在射线OA、OB、OC、… 上，取点A′、B′、C′、…，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝…＝1.5；4. 连结A′B′、B′C′、…，得到所要画的多边形A′B′C′D′E′．归纳总结1、位似图形的定义如果两个图形不仅，而且各对对应点的连线都，像这样的相似叫，这点叫做。
注意：位似图形是相似图形，而相似图形是位似图形（填写“一定”或“不一定”）2、位似图形有以下性质位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.3、引导学生观察位似图形下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，并判断哪些是位似图形，哪些不是位似图形？为什么？3．练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.（1）五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′； （2）在平行四边形ABCD 中，△ABO 与△CDO（3）正方形ABCD 与正方形A ′B ′C ′D ′. （4）等边三角形ABC 与等边三角形A ′B ′C ′（8）△ABC 与△ADE （①DE ∥BC ； ②∠AED ＝∠B）3、利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小． （1）对应点在位似中心两侧要画四边形ABCD 的位似图形，还可以任取一点O ，如图18.4.2，作直线OA 、OB 、OC 、OD 在点O 的另一侧取点A ′、B ′、C ′、D ′，使OA ′:OA ＝OB ′∶OB ＝O C ′∶OC ＝OD ′∶OD ＝2，也可以得到放大到2倍的四边形A′B′C ′D′．图18.4.2图18.4.3 A B C D E O A ′B ′C ′D ′E ′A B C D E O A ′B ′D ′E ′A B D OA BC D A ′B ′C ′D ′A B C O A ′B ′C ′A B C DE ABC D E（2）对应点在位似中心同侧实际上，如图18.4.3所示，如果把位似中心取在多边形内，那么也可以把一 个多边形放大或缩小，而且较为简便．三 应用新知，体验成功1、试一试：我们利用位似的方法可以把一个多边形放大或缩小。
相似三角形位似
【本讲主要内容】相似三角形、位似包括相似三角形定义、判定、性质；位似图形、位似中心。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 在△ABC 和△'C 'B 'A 中，如果∠A ＝∠'A ，∠B ＝∠'B ，∠C ＝∠'C ，k 'A 'C CA'C 'B BC 'B 'A AB ===，我们就说△ABC 与△'C 'B 'A 相似，记作△ABC ∽△'C 'B 'A 。
k 就是它们的相似比。
2. 相似三角形的判定方法： （1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
3. 相似三角形（多边形）的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。
（2）相似三角形周长的比等于相似比。
（3）相似多边形周长的比等于相似比。
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
（5）相似多边形面积的比等于相似比的平方。
4. 位似 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样【 例8AB 2AB 4AP AB AC ACAPAB AC 22=∴⨯=∴⋅=∴=∴∴∠D ＝∠CAB ∴△ABC ∽△DAE6.1BC 2.19AE BCDA AB =∴=∴)m (122.16.19BC =⨯=∴ 答：旗杆BC 长12m 。
评析：注意题目中“同一时刻”的意义，可以保证ED//CA ，又∠EAD ＝∠CBA ＝90°，分析：由于AB//CD ，则△ECD ∽△EAB ，利用对应边的比相等，求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识梳理：知识点1 比例的线段及性质1．线段比：两条线段的比是两条线段的________之比．2.比例线段：在四条线段中________________________________________________________。
3．比例中项：如果a b ＝b c，即b 2＝_____的形式，我们就把b 叫做a 、c 的比例中项．（知二求一）4．比例的性质：性质（1）：a b ＝cd ⇔______＝bc(a 、b 、c 、d ≠0)性质（2）：如果a b ＝c d ，那么a ±b b ＝c ±d d性质（3）：如果a b ＝c d ＝…＝m n(b ＋d ＋...＋n ≠0)， 那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n＝________ 5. 黄金分割：如果点C 把线段AB 分成两条线段，其中，AC 是较小的一段，如果ABBCBC AC 即：______________，那么点C 叫做线段AB 的________，BC 是AC 与AB 的比例中项，BC 与AB 的比叫做________．6.平行线分线段成比例：两条直线被_________所截，所得的________线段成________。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线）____________________________。
提分必练：比例的性质 1.已知a 5＝b 4＝c3，且3a －2b ＋c ＝20，则2a －4b ＋c 的值为________．2.已知c 4＝b 5＝a6≠0，则b ＋c a的值为________． 3.如图，AB ∥GH ∥CD ， 点H 在BC 上，AC 与BD交于点G ，AB=2，CD=3， 则GH 的长为 ． 4.下列四组线段中，不能成比例的是 .A. a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4B. a ＝1，b ＝ c ＝ ，d ＝1.定义：对应角________，对应边________的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做_________．2．性质： (1)相似三角形的对应角____；对应边的______； (2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)的比等于__________ (3)相似三角形的周长比等于________，面积比等于________． 3．判定： （1）预备定理____________________________ ____________________________________；(2) 两角分别________，两三角形相似；(3) 两边对应成比例且______相等，两三角形相似； (4) 三边________，两三角形相似； (5) 两直角三角形的斜边和一条直角边________，两直角三角形相似4.判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定预备定理(1)和（AA 定理）．(2)条件中若有一对角相等时，可再找一对等角[用判定(AA)]或再找两边成比例[用判定(SAS)]．(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等．(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例．(5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，可找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例． 【名师提醒：1、应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC ∽△DEF ，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．。
2、若求线段比值或证明比例中项以及线段乘积的形式，通常利用相似三角形求解。
】 提分必练： 1.如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，AE EB ＝12，S 四边形BCFE ＝8，则S △ABC ＝( )A ．9B ．10C ．12D ．132．如图，边长为2的正方形ABCD 中，P是CD 的中点，连接AP 并延长交BC 的延长线于点F ，作△CPF 的外接圆⊙O ，连接BP 并延长交⊙O 于点E ，连接EF ，则EF 的长为( )A .32B .53C .35 5D .455 3．如图，在直角三角形ABC 中(∠C ＝90°)，放置边长分别为3，4，x 的三个正方形，则x 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．12(第4题图)4．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E 、南门点F 分别是AB 、AD 的中点，EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，EG ＝15里，HG 经过点A ，则FH ＝________里． 5．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm .动点M 、N 从点C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA 、CB 向终点A 、B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接PM 、PN ，设移动时间为t(单位：秒，0<t<2.5)．(1)当t 为何值时，以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似？(2)是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．知识点3 相似多边形1．定义：对应角________，对应边________的两个多边形叫做____________，相似多边形对应边的比叫做_____________． 2．性质：(1)相似多边形的对应边________； (2)相似多边形的对应角________；(3)相似多边形周长的比________相似比，相似多边形面积的比等于________． 知识点4 位似图形1.定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点连线相交同_______，那么这样的两个图形叫做________，这个点叫做________，(对应边）相似比叫做位似比．2.性质：(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 ；即：与原图形上的点（x ,y ）对应的位似图形 上的点的坐标为（ ， ）或（ ， ） (2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于________．3.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是________．4.画位似图形的步骤：(1)确定________；(2)确定原图形的关键点；(3)确定________，即要将图形放大或缩小的倍数； (4)作出原图形中各关键点的对应点；(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点. 提分必练：1.如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OABC 的面积等于矩形OA′B′C′的面积的4倍，那么点B′的坐标是( ) A ．(－2，3) B ．(2，－3) C ．(3，－2)或(－2，3) D ．(－2，3)或(2，－3)2.如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD ＝90°，CO ＝CD.若B(1，0)，则点C 的坐标为( )A ．(1，2)B ．(1，1)C ．(2，2)D ．(2，1)【聚焦遵义中考】1.如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 坐标不可能是( )A ．(6，0)B ．(6，3)C ．(6，5)D ．(4，2)2. 如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，已知 AB ＝4，AD ＝2.∠DAC ＝∠B ，若△ABD 的面积为a ，则△ACD 的面积为( )A ．aB .12aC .13aD .23a3.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED 的值为( )A ．1∶ 3B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶44.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，△DEF 的面积为1，则△BCF 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．45.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h 为________．6.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B.(1)求证：△ADF ∽△DEC ； (2)若AB ＝8，AD ＝63，AF ＝43，求AE 的长．7.一天晚上，黎明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D 的高度．如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE 正好相等；接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB=1.25m ，已知李明直立时的身高为1.75m ，求路灯的高CD 的长．（结果精确到0.1m ．8.已知在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q 是线段AC 上的一个动点，过点Q 作AC 的垂线交线段AB （如图1）或线段AB 的延长线（如图2）于点P ．（1）当点P 在线段AB 上时，求证：△AQP ∽△ABC ；（2）当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．9. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，翻折∠C ，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF （点E、F分别在边AC、BC上）（1）若△CEF与△ABC相似．①当AC=BC=2时，AD的长为；②当AC=3，BC=4时，AD的长为；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．10.数学活动---求重叠部分的面积．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G．求重叠部分（△DCG）的面积．（1）独立思考：请回答老师提出的问题．（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，你能求出重叠部分（△DGH）的面积吗？请写出解答过程．（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题．“爱心”小组提出的问题是：如图3，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，求重叠部分（△DMN）的面积．任务：①请解决“爱心”小组提出的问题，直接写出△DMN的面积是．②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图4中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图1的基础上按顺时针旋转）．。