N个数找最大和最小
C语言常用算法归纳
C语言常用算法归纳应当掌握的一般算法一、基本算法：交换、累加、累乘二、非数值计算常用经典算法：穷举、排序（冒泡，选择）、查找（顺序即线性）三、数值计算常用经典算法：级数计算（直接、简接即递推）、一元非线性方程求根（牛顿迭代法、二分法）、定积分计算（矩形法、梯形法）四、其他：迭代、进制转换、矩阵转置、字符处理（统计、数字串、字母大小写转换、加密等）、整数各数位上数字的获取、辗转相除法求最大公约数（最小公倍数）、求最值、判断素数（各种变形）、数组元素的插入（删除）、二维数组的其他典型问题（方阵的特点、杨辉三角形）详细讲解一、基本算法1．交换（两量交换借助第三者）例1、任意读入两个整数，将二者的值交换后输出。
main(){ int a,b,t;scanf("%d%d",&a,&b);printf("%d,%d\n",a,b);t=a; a=b; b=t;printf("%d,%d\n",a,b);}【解析】程序中加粗部分为算法的核心，如同交换两个杯子里的饮料，必须借助第三个空杯子。
假设输入的值分别为3、7，则第一行输出为3，7；第二行输出为7，3。
其中t为中间变量，起到“空杯子”的作用。
注意：三句赋值语句赋值号左右的各量之间的关系！【应用】例2、任意读入三个整数，然后按从小到大的顺序输出。
main(){ int a,b,c,t;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);/*以下两个if语句使得a中存放的数最小*/if(a>b){ t=a; a=b; b=t; }if(a>c){ t=a; a=c; c=t; }/*以下if语句使得b中存放的数次小*/if(b>c) { t=b; b=c; c=t; }printf("%d,%d,%d\n",a,b,c);}2．累加累加算法的要领是形如“s=s+A”的累加式，此式必须出现在循环中才能被反复执行，从而实现累加功能。
输入两个正整数m和n,求其最大公约数和最小公倍数
输入两个正整数m和n,求其最大公约数和最小公倍数最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。
求两个正整数m和n的最大公约数可用欧几里德算法（辗转相除法）。
求两个正整数m和n的最小公倍数=两个数的乘积÷两个数的最大公约数。
用欧几里德算法（辗转相除法）求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个数去除前一个余数，直到余数是0为止。
那么，最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质数）。
两个正整数的最小公倍数=两个数的乘积÷两个数的最大公约数。
由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。
这就是说，求两个数的最小公倍数，可以先求出两个数的最大公约数，再用这两个数的最大公约数去除这两个数的积，所得的商就是两个数的最小公倍数。
main(){int p,r,n,m,temp;printf("Please enter 2 numbers n,m:");scanf("%d,%d",&n,&m);//输入两个正整数.if(n\u003cm)//把大数放在n中,把小数放在m中. {temp=n;n=m;m=temp;}p=n*m;//P是原来两个数n,m的乘积.while(m!=0)//求两个数n,m的最大公约数.{r=n%m;n=m;m=r;}printf("Its MAXGongYueShu:%d\\n",n);//打印最大公约数. printf("Its MINGongBeiShu:%d\\n",p/n);打印最小公倍数.。
数列中的最大项或最小项问题的求解
数列中的最大项或最小项问题的求解方法法一 ：利用单调性 ①差值比较法若有0)()1(1>-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若有0)()1(1<-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =. ②商值比较法若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且1)()1(1>+=+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且1)()1(1<+=+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =.③利用放缩法若进行适当放缩，有n n a n f n f a =>+=+)()1(1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若进行适当放缩，有n n a n f n f a =<+=+)()1(1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =.法二： 先猜后证通过分析，推测数列}{n a 的某项k a (k ∈N *)最大（或最小），再证明)(k n k n a a a a ≥≤或对于一切n ∈N *都成立即可. 这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题.例1 已知函数x x x f 63)(2+-= ，S n 是数列}{n a 的前n 项和，点（n ，S n ）（n ∈N *）在曲线)(x f y =上.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若1)21(-=n n b ，6nn n b a c •=，且T n 是数列}{n c 的前n 项和. 试问T n 是否存在最大值？若存在，请求出T n 的最大值；若不存在，请说明理由.解 （Ⅰ）因为点（n ，S n ）在曲线)(x f y =上，又x x x f 63)(2+-=，所以n n S n 632+-=.当n =1时，311==S a . 当n >1时，1--=n n n S S a,69)]1(6)1(3[)63(22n n n n n -=-+---+-=当n =1时，31=a 也满足上式，所以n a n 69-=.（Ⅱ）因为n n n n n n n n n b a c b )21)(23(6)21)(69(61,)21(11-=-===-- ① 所以,)21)(23()21)(3()21)(1(2132nn n T -++-+-+= ②,)21)(23()21)(3()21)(1()21(211432+-++-+-+=n n n T ③ ②－③得 132)21)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T112)21)(23(211])21(1[)21()2(21+------+=n n n .整理得1)21)(12(-+=nn n T ④利用差值比较法由④式得1)21)(32(11-+=++n n n T ，所以.)21)(21()21)](12(23[)21)](12()21)(32[()21)(12()21)(32(11n n nn n n n n n n n n n T T n-=+-+=+-+=+-+=-++ 因为1≥n ，所以021<-n . 又0)21(>n，所以01<-+n n T T 所以n n T T <+1，所以 >>>>>>+1321n n T T T T T . 所以T n 存在最大值.211=T 利用商值比较法由④式得0)21)(12(1>+=+nn n T .因为,)12(22)12()12(232)21)(12()21)(32(1111•n n n n n n T T nn n n +++=++=++=++++165)1221(21)1221(21<=++≤++=n 所以111+<++n n T T ，即n n T T <+1. 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T / 所以T n 存在最大值211=T . 利用放缩法由①式得0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++n n n n n c ，又因为T n 是数列}{n c 的前n 项和，所以n n n n T c T T <+<++11. 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T 所以T n 存在最大值211=T .先猜后证通过分析，推测数列}{n T 的第一项211=T 最在. 下面证明：*)2(1N ∈≥<n n T T n 且.方法① 分析法因为1)21)(12(-+=nn n T ，所以只要证明211)21)(12(<-+nn . 即只要证明23)21)(12(<+nn . 只需要证明2423+>•n n. 即只要证明02423>--•n n由二项式定理得2≥n 且*Ν∈n 时，222)1(1)11(22210++=-++=++≥+=n n n n n C C C nnnnn所以02423>--•n n成立. 所以)2(1≥<n T T n 成立.所以n T 存在最大值211=T . 方法② 利用数学归纳法（i ）当n =2时，因为1)21)(12(-+=nn n T ，所以12221411)21)(14(T T =<=-+=，不等式成立.（ii ）假设)2(≥=k k n 时不等式成立，即1T T k <. 则当1+=k n 时，.1111++++<+=k k k k c T c T T 由①式得.0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++k k k k k c 所以11T T k <+.这就是说，当n =k +1时，不等式也成立.由（i ）（ii ）得，对于一切2≥n 且*N ∈n ，总有1T T n <成立. 所以n T 存在最大值211=T .数列是一种特殊的函数，其通项公式可以视为函数的解析式.因此可以通过判断函数单调性的方法来求函数的最大值，然后通过分析求出数列的最大项.但如果函数的单调性较难判断，那就需要探求另一种途径来解决.例 若数列{}n a 的通项公式9(1)()10n n a n =+⋅，求{}n a 的最大项.解：设n a 是数列{}n a 中的最大项，则11,(2)n n n n a a n a a -+≥⎧≥⎨≥⎩，即1199(1)()(),101099(1)()(2)().1010n n n n n n n n -+⎧+⋅≥⋅⎪⎪⎨⎪+⋅≥+⋅⎪⎩解，得89n ≤≤， 又∵n N +∈， ∴8n =或9，9898910a a ==.当1n =时，91899510a =<，∴{}n a 的最大项为9898910a a ==.对于这种解法，不少同学可能会存在疑问.下面将可能出现的疑问一一展示，加以分析，以探究问题的实质及其解决方法.疑问1：为什么要单独讨论1n =的情况？分析：由于11,(2)n n n n a a n a a -+≥⎧≥⎨≥⎩这个不等式中出现了下标1n -，而数列中的项应该从1开始，因此11n -≥，即2n ≥。
数列的最大项与最小项
数列的最大与最小项问题学习要点： 数列的最大与最小项问题是一类常见的数列问题，也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有下面一些方法：1．直接求函数)(n f a n =的最大值或最小值，根据)(n f 的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据)(n f 本身的性质求出)(n f 的最值，也可以考虑求导解决，但必须注意，不能直接对)(n f 求导（因为只有连续函数才可导），而应先对)(n f 所在的函数)0)((>x x f 求导，得到)(x f 的最值，然后再分析)(n f 的最值.2．考察)(n f 的单调性：)0(0)()1(<>-+或n f n f ，然后根据)(n f 的单调判断)(n f 的最值情况.3．研究数列)(n f a n =的正数与负数项的情况，这是求数列}{n a 的前n 项和n S 的最大值或最小值的一种重要方法.[例1]首项为正数的等差数列}{n a ，它的前4项之和与前11项之和相等，问此数列前多少项之和最大？[解法一]记}{n a 的前n 项和为n S ，,114S S =∴,,87],4225)215([14)15(14)71(2)1(,07121011112344212111111最大时或n n S n n n a n n a a n n na S a d d a d a ==∴+--=+-=-⨯-+=∴<-=⇒⨯+=⨯+∴ [解法二]由解法二知}{,0711n a a d ∴<-=是首项为正数的单调递减数列，∴所有的正数项的和最大，>>>==>>>∴=⇒=+++⇒=10988721811651140,0070a a a a a a a a a a a S S 而}{7a ∴中前7项为正数项，从第9项开始各项为负数，而8787,S S S S 或∴=最大.[评析]解法一抓住了)(n f S n =是二次函数的特点，通过配方法直接求出了最大项. 而解法二通过考察}{n a 的单调性与正、负项的情况得到最大项.[例2]设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知,0,0,1213123>>=S S a （I ）求公差d 的取值范围；（II ）指出n S S S ,,,21 中哪一个最大？说明理由； （III ）指出nn a S a S a S ,,,2211 中哪一个最小？说明理由. [解析]（I ）00)(32)(60767612112>+⇒>+=+⇒>a a a a a a S ①，001307713<⇒<⇒<a a S ②，由①、②得;3724407233-<<-⇒⎩⎨⎧<+>+d d a d a（II ）由①、②得}{,0,00776n a d a a a <⎩⎨⎧<>->而为递减数列，;,,,0687662187621最大故而S S S S S S S a a a a a >>><<<∴>>>>>>∴（III ）,014131287621 >>>>>>>><<<S S S S S S S S12128877,,,,}{a Sa S a S a S n n 只有中在∴这六项为负值，而其余各项均为正数，}{nna S ∴的最小项只可能是这六项中的一项，⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->>->->>>>0111012871287a a a S S S 012128877>->>->-a S a S a S7712128877,}{,0a S a S a S a S a S n n 中故在<<<<⇒最小. [评析]通过讨论数列中的正、负项（并结合讨论单调性）是求数列前n 项和的最大、最小值的重要方法.[例3]设∈n Z ，当n 是什么数时，|100||3||2||1|-++-+-+-=n n n n S n 取最小值，并说明理由.[解析]（1）当;5050100210=+++≥≤ n S n 时（2）当1≥n 时，考察}{n S 的单调性，|,100||)100||2||1(||)99||1||(|1--=-++-+---++-+=-+n n n n n n n n S S n n①当}{,0100,1001n n n S S S n >=-≥+时单调递增，;4950,100100=≥≥∴S S n n 时当②,1002,10011-=-<≤+n S S n n n 时当;}{,4911单调递减时当n n n S S S n <≤≤∴+}{,100261n n n S S S n ><≤+时当单调递增；而当504932101474849505051+++++++++++=== S S n 时 .25002515025049=⨯+⨯=综上，当n =50或n =51时，.2500)(min =n S[评析]命题中的数列是比较特殊的数列，虽然解题方案上还是通过考察数列的单调性，但具体过程更灵活. [例4]已知函数c x x g bx x x f +=++=5)(,13)(2是偶函数是奇函数，正数数列}{n a 满足：.1)()(,12111=+-+=++n n n n n a a a g a a f a（I ）若}{n a 的前n 项和为n n n S S ∞→lim ,求；（II ）若}{),()(21n n n n b a g a f b 求+-=中的项的最大值和最小值.[解析]（I ）由条件得,5)(,13)(,02x x g x x f c b =+=∴==由条件得0)(5)(32121=+-+++n n n n n a a a a a;31lim ,32}{,32,00))(23(0311112121=-=∴=∴=∴>=+-⇒=-+⇒∞→+++++qa S q a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n 是等比数列是公比（II ）,5483)185(6)()(2)(21+-=-==+n n n n n a a g a f a b ϕ,314)(,1,211850,10,)32(1max1===∴<<≤<∴=-b b b n a a n n n n n 即最大时当.243374)278()(,4,278,1624816245162322781858116,8116,278,94,32,1,,5,4,3,2,14min =====∴<<⇒<<∴==ϕb b n a a n n n n 时即当时当[评析]由于n b 是关于n a 的二次函数，所以选择配方法完成，但与普通二次函数不同的是函数的定义域不是连续的数集，而是由间断的实数构成，这也是数列中才会出现的特点. [例5]求数列}{n n n a =的最大项与最小项.[解析]通过计算可知：当3≥n 时单调递减，由此可得最大项与最小项，但是用一般方法：nn n n a a a a 11++-或却证明不了}{n a 的单调性.考察函数)3()(1≥=x x x f x的单调性，∵ln xx f 1)]([=ln x ，两边对x 求导得：,ln 1)(,ln 1)()(1212x x x x f x x x f x f x -⋅='∴-='⋅.1,3}{,,154321,3298,1543,)(,0)(31335433543==>>>><<∴<⇒<>>>>>∴<'≥∴a a a n x f x f x n n 最小项为的最大项为故又由单调递减时当[解法二]用数学归纳法证明当,131n n n n n <+≥+时2122121111134124123)1()2()1()2()2()2()1()1(,1)3(2;34348164,31++++++++++<+⇒+<+=+<++⇒<+<+≥=<⇒<⇒<=k k k k k k k k k kk k k k k k k k kk k kk k k k k n n 即时假设当时当即1,1212+=∴+<+++k n k k k k 当时命题也成立，1543543>>>>∴ .下同解法一.[评析]这是比较困难的问题，因此采取了与前面一些例题不同的特殊方法来证明数列的单调性.《训练题》一、选择题：1．数列),3,2,1}(!100{ ==n n a nn 中 （ ）A ．1a 最大，而无最小项B ．1a 最小，而无最大项C ．有最大项，但不是1aD ．有最小项，但不是1a2．已知}{),(1562n n a N n n na 则数列+∈+=的最大项是（ ）A ．第12项B ．第13项C ．第12项或第13项D ．不存在3．数列}{n a 的通项公式是}{,32922n n a n n a 则++-=中最大项的值是 （ ）A ．83107B ．108C ．81108D ．1094．已知数列}{n a 的通项公式为中则}{,20032002n n a n n a --=（ ）A ．存在最大项与最小项，且这两项的和大于2B ．存在最大项与最小项，且这两项的和等于2C ．存在最大项与最小项，且这两项的和小于2D ．既不存在最大项，也不存在最小项5．设)}({*∈N n a n 是等差数列，n S 是其前n 项和，且65S S <，876S S S >=，则下列结论错误的是（ ）A ．0<dB ．07=aC ．59S S >D ．n S S S 均为和76的最大值6．设等差数列}{n a 的前n 项和为0,1>a S n 若，并且存在一个大于2的自然数k ，使,k k S a = 则 （ ）A ．}{n a 递增，n S 有最小值B ．}{n a 递增，n S 有最大值C ．}{n a 递减，n S 有最小值D ．}{n a 递减，n S 有最大值二、填空题：7．设1)32()(,,321+*+=∈++++=n nn S n S n f N n n S 则 的最大值为8．}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，,0,0983<>+S a a则在9321,,,,S S S S 中最小的是9．等比数列}{n a 中，首项用公比,21,15361-==q a n ∏表示它的前n 项的乘积，则n ∏)(*∈N n 最大时，n =10．设等差数列}{n a 满足：)(,,0,531138*∈>=N n S n S a a a n n 则项和为其前且最大时， n = 三、解答题：11．已知数列}{n a 的通项公式}{),510lg(15n n n a a 问数列-⋅=的前多少项之和最大？并求其最大值.（取3010.02lg =）12．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知k k k S S S S S d a 2211221,,,,0,0,0,0 求<><>+中的最大值.13．数列}{n a 为正项等比数列，它的前n 项和为80，前n 项中数值最大的项为54，而前2n项的和为6560，试求此数列的首项1a 和公比q . 14．已知数列}{n a 中：)(2,111++∈==N k a a a n n n ，（I ）求n a （II ）若}{),4(log 2n n nn b a b 求数列=最小项的值；（III ）设数列{n c }的前n 项为n b ，求数列{||n c }的前n 项和n S .15．数列}{n a 中，)(5431++∈-=+N n n a a n n . （I ）若}{,201n a a 求-=的通项公式n a ；（II ）设n n n S a n a S 求时当项和的前为,27,}{1->的最小值.《答案与解析》一、1．C 2．C 3．B 4．A 5．C 6．D 二、7．5018．5S 9．12 10．20 11．]5lg )1(5[)5lg 5()510lg()510lg(1551n n a a n n n n -+--=⋅-⋅=---+ 05lg }{,5lg <-=∴-=d a n 是公差的等差数列，而∴>=,051a 所有的正数项之和最大，令15lg 55lg 505lg 505lg )1(5001+≤<⇒⎩⎨⎧<-≥-+⇒⎩⎨⎧<≥+n n n a a n n.428.205lg 27885,8}{,8153.8153.713010.0153010.0158=⨯-⨯=∴=⇒≤<⇒+-≤<-⇒S a n n n n 且项之和最大的前12．,00)(0)12(1112112⎩⎨⎧>-><⇒⎩⎨⎧>+=<+=+++++k k k k k k k k a a a a a k S a k S,0,0,021211 >>>>>>>∴<>++k k k a a a a a d ak k k k k S S S S S S S 故而,,2121 >>><<<∴++为最大值.13．812=-=nnn nS S S q （也可由公式得到），n a q ∴>∴,1为最大项，即.3,280,32,541111=====-q a S q a qa n n 得代入得 14．（I ）;22)1(1121--=⋅⋅⋅=n n n n n a a a a a a（II ）;3)(32,85)25(2125min 22-==∴--=-=n n b n n n n b 时或当（III ）,3-=n c n ①当3≤n 时，;252n n S n -=②当.21252,423+-=-=≥n n b b S n n n 时 15．（I ）,3,5135432121=-⎩⎨⎧-=+-=+++++n n n n n n a a n a a n a a 两式相减得,21,3,,,,,,,1642531-==∴a d a a a a a a 的等差数列都是与,312-=∴a ①当n 为奇数时，;24333)121(20-=⨯-++-=n n a n ②当n 为偶数时，;26833)12(31-=⨯-+-=n n a n （II ）①当n 为偶数时，)()()(14321n n n a a a a a a S ++++++=- =（3×1－54）+（3×3－54）+…+[3（n －1）－54]=3[1+3+5+…+（n －1）])()(,;243)(,18,243)18(4327435421321min 22n n n n a a a a a S n S n n n n n +++++=-==∴--=-=⨯-- 为奇数时当时当 .243)(18,;243216)(1917,43216)18(4341052743min 1min 1212-==->-==∴+--=++-=n n S n a S n a n a n n 时当综上时或当 ②。
数组找出最大和最小 交换算法
数组找出最大和最小交换算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数组是编程中常用的数据结构之一，它能够存储多个相同数据类型的元素。
在实际应用中，我们经常需要对数组进行一些操作，比如查找数组中的最大值和最小值，并且将它们进行交换。
这样的操作可以提高程序的效率，使得程序更加灵活和实用。
下面我们就来介绍一种数组找出最大和最小值并交换的算法。
首先，我们需要定义一个数组，用来存储一组数字。
比如，我们定义一个包含10个数字的数组：int arr[10] = {1, 5, 3, 9, 2, 6, 8, 4, 7, 10};接下来，我们需要找出数组中的最大值和最小值。
一种简单的方法是使用两个变量来分别保存当前找到的最大值和最小值，并遍历整个数组进行比较。
代码如下：int max = arr[0];int min = arr[0];for(int i = 1; i < 10; i++) {if(arr[i] > max) {max = arr[i];}if(arr[i] < min) {min = arr[i];}}通过上面的代码，我们可以找到数组中的最大值和最小值。
接下来，我们需要将找到的最大值和最小值进行交换。
我们可以通过一个辅助变量来实现这个交换操作。
代码如下：int temp;int max_index = -1;int min_index = -1;for(int i = 0; i < 10; i++) {if(arr[i] == max) {max_index = i;}if(arr[i] == min) {min_index = i;}}temp = arr[max_index];arr[max_index] = arr[min_index];arr[min_index] = temp;通过上面的代码，我们就可以将数组中的最大值和最小值进行交换。
这样，最大值的位置就变成了原来最小值的位置，最小值的位置就变成了原来最大值的位置。
初中数学重点梳理：离散两点最大值和最小值问题
离散两点最大值和最小值问题知识定位离散量的最大值和最小值问题是数学竞赛中的热门话题，在数学竞赛中常常扮演着“押台”角色。
所谓离散量的最大值和最小值，具体地说是指以整数，点，线，圆等离散量为背景，求满足某些条件的最大值和最小值。
它的解法与求函数的最大值和最小值的方法是完全不同的，实际上，对于这类非常规的最值问题，尚无一般的方法，对不同的题目需用不同的策略和方法，因此难度较大。
知识梳理知识梳理1. 离散两点最大值和最小值问题解离散量的最值问题，虽无一般方法，但我们通常是从这两方面考虑的，即论证与构造。
先论证（求得）该量变化的上界或下界，然后构造出一个实例说明此上界或下界能达到。
这样便求得了该离散量的最大值或最小值。
但“构造”对学生来说是一个难点，常常需要“创造”，这也是这类问题受命题者青睐的原因之一吧。
下面我们通过“问题”来介绍解决这类问题的方法。
方法1：枚举法 方法2：逐步调整法 方法3：估计，构造例题精讲【试题来源】【题目】设正整数n 是75的倍数且恰有75个正整数因子（包括1和自身），求n 的最小值。
【答案】32400【解析】设n 的质因数分解式为1212,k r r r k n p p p其中12,,,kp p p 是n 的不同质因数，12,,,kr r r 是正整数，于是n 的正整数因子的个数为12(1)(1)(1)k r r r +++所以12(1)(1)(1)75355k r r r +++==⨯⨯所以n 最多有三个不同的质因数，为了使n 最小且是75的倍数，n 的质因数取之集合{2，3，5}，且3至少出现1次，5至少出现2次，即：12312323235,(1)(1)(1)75,1,2r r r n r r r r r =+++=≥≥123解得满足上述条件的（,,)为：r r r（4，4，2），（4，2，4），（2，4，4），（0，4，14），（0，14，4），（0，2，24），（0，24，2）。
分治算法实验(用分治法查找数组元素的最大值和最小值)
算法分析与设计实验报告第一次实验附录：完整代码（分治法）#include<iostream>#include<time.h>#include<iomanip>using namespace std;//当数组中的元素个数小于3时，处理最大值int compmax(int A[],int start,int end){int max;if(start<end) //有两个元素{if(A[start]<=A[end])max=A[end];elsemax=A[start];}else//有一个元素max=A[start];return max;}//当数组中元素的个数小于2时，处理最小值int compmin(int A[],int start,int end){int min;if(start<end) //有两个元素{if(A[start]<=A[end])min=A[start];elsemin=A[end];}else//有一个元素min=A[start];return min;}//分治法处理整个数组，求最大值与最小值void merge(int a[],int left,int right,int &Max,int &Min) //Max,Min用来保存最大值与最小值//之所以使用&引用，是由于如果只是简单的使用变量，并不会改变Max与Min的值，使用指针也可以{int max1=0,min1=0,max2=0,min2=0;if(right-left>2) //当数组中元素个数大于等于3时，进行分治{int mid=(right+left)/2;merge(a,left,mid,max1,min1); //左半边递归调用自身，求出最大值最小值，分别保存在max1,min1中merge(a,mid+1,right,max2,min2); //右半边递归调用自身，求出最大值最小值，分别保存在max2,min2中if(max1>=max2) //子序列两两合并，求出最大值与最小值，保存在Max与Min中Max=max1;elseMax=max2;if(min1<=min2)Min=min1;elseMin=min2;}else//数组中元素个数小于3时的情况，直接赋值{Max=compmax(a,left,right);Min=compmin(a,left,right);}}void ran(int *input,int n) //随机生成数组元素函数{int i;srand(time(0));for(i=0;i<n;i++)input[i]=rand();input[i]='\0';}int a[1000000]; //定义全局变量用来存放要查找的数组int main(){int n;int i;int max;int min;cout<<"请输入要查找的序列个数："<<endl;for(i=0;i<5;i++){cin>>n;ran(a,n);clock_t start,end,over; //计算程序运行时间的算法start=clock();end=clock();over=end-start;start=clock();merge(a,0,n-1,max,min); //调用分治法算法cout<<max<<" "<<min<<endl;end=clock();printf("The time is %6.3f",(double)(end-start-over)/CLK_TCK); //显示运行时间}system("pause"); //停止运行窗口return 0;}完整代码（非递归方法）#include<iostream>#include<time.h>#include<iomanip>using namespace std;void ran(int *input,int n) //随机生成数组元素函数{int i;srand(time(0));for(i=0;i<n;i++)input[i]=rand();input[i]='\0';}int a[1000000];int main(){int max=a[0],min=a[0];int i,j,n;cout<<"请输入数据规模："<<endl;for(j=0;j<5;j++){cin>>n;ran(a,n);clock_t start,end,over; //计算程序运行时间的算法start=clock();end=clock();over=end-start;start=clock();for(i=1;i<n;i++){if(a[i]>max)max=a[i];if(a[i]<min)min=a[i];}cout<<max<<" "<<min<<endl;end=clock();printf("The time is %6.3f",(double)(end-start-over)/CLK_TCK); //显示运行时间}system("pause");return 0;}。
查找数组元素的最大值和最小值、众数问题
《算法设计与分析》上机实验报告专业班级学号学生姓名完成日期1. 上机题目及实验环境1.1上机题目：1.1.1 用分治法查找数组元素的最大值和最小值1.1.2 众数问题1.2实验环境：CPU：Intel Core i3 2.30GHz内存：2.0G操作系统：Windows 7软件平台：Visual C++2. 算法设计与分析2.1 查找数组最值2.1.1 分治递归方法：●将max和min设置为静态全局变量；●将数据集array平均分为两个数据集；●分别求解两个数据集中的最大和最小值；●最终的最大和最小值通过与max和min的值比较；●采用同样的处理方法递归处理以分好的数据集。
2.1.2 细节处理：●数组的大小为n2，n=0,1,2,3......●数组中的数字随机产生，数字的范围为1~100；●静态全局变量：max的初值为0，min的初值为101。
2.2 众数问题2.2.1 快速排序算法：●设置两个变量i、j，排序开始的时候：i=left，j=right+1；●以第一个数组元素作为关键数据，赋值给temp，即temp=array[left]；●从j开始向前搜索，即由后开始向前搜索(--j)，找到第一个小于temp的值array[j]；●从i开始向后搜索，即由前开始向后搜索(++i)，找到第一个大于temp的array[i]；●交换array[i]和array[j]的值；●重复搜索步骤，直到i=j；●将temp的值和array[j]的值交换，并以此为界，分别在对左右两边进行快速排序。
3. 核心代码3.1 查找最值3.1.1 流程图（如图1）（核心函数为void MaxAndMin(int array[N], int left, int right)）：图1.查找最值的流程图3.1.2 核心代码如下：（注：max和min是静态全局变量）void MaxAndMin(int array[N], int left, int right) // 求最大值最小值函数，分治递归法{int mid; // 数组的分界点if ( (left + 1) == right) // 分治的数组只有两个值时，更新max和min的值{if ( array[left] < array[right] && max < array[right] ) // 判断、更新最大值max = array[right];if ( array[left] > array[right] && max < array[left] )max = array[left];if ( array[left] < array[right] && min > array[left]) // 判断、更新最小值min = array[left];if ( array[left] > array[right] && min > array[right])min = array[right];}else{mid = (left + right) / 2; // 对数组进行分治MaxAndMin(array, left, mid); // 对左边的数组进行分治递归MaxAndMin(array, mid + 1, right); // 对右边的数组进行分治递归}}3.2 众数问题3.2.1 流程图（如图图2.众数问题的流程图3.2.2 核心代码如下：void quickSort(int *array,int left,int right) // 用快速排序法排序数组{if(left < right){int i = left, j = right+1;int temp = array[left]; // 以第一个数为基准while(true){while(array[++i] < temp && i < right); // 从前面找大于基准的数while(array[--j] > temp); // 从后面找小于基准的数if(i >= j) // 当left>right时停止break;swap(array[i], array[j]); // 交换两值}array[left] = array[j];array[j] = temp;int part = j; // 以靠左的较小值为界，对左右两部分数继续快排quickSort(array, left, part-1);quickSort(array, part+1, right);}}4. 运行与调试4.1 查找数组最值产生随机数组并排序：（如图3、图4、图5）图3.随机数组之一及结果图4.随机数组之二及结果图5.随机数组之三及结果4.2 众数问题4.2.1 只有一个众数（如图6、图7）图6.只有一个众数的数组图7.只有一个众数的结果4.2.2 没有众数（如图8、图9）图8.没有众数的数组图9.没有众数的结果4.2.3 有两个众数（如图10、图11）图10.有两个众数的数组图11.有两个众数的结果5. 结果分析和小结5.1 结果分析：通过设置不同的测试数据及运行的结果，可以看出程序的算法思想是正确的，程序的运行也是有效的，全面的。
统计学累计频数的计算及分组步骤
1.确定分组标志和分组形式：
（采用等距式分组）
2.排序，找出数列中的最大值和最小值，计算全距R。
最大值：48，最小值：26. 全距：22
3.确定组数k，将N的数据代入经验公式得
k=1+3.322lgN~~7。
我没有按照7组，因为这个用五组更容易。
4.确定组距d，组距一般取5或10的整倍数
组距=全距/组数=22/7~~4，但是这边我用5作为组距。
5.确定各组的上下限。
首组的下限一般应小于等于所有标志值中的最小值，末组的上限应大于所有标志值中的最大值。
25-30，30-35，35-40，40-45，45-50.
6.统计个体在各组的次数分配，即计算各组的频数、频率，并编制频数分布表。
见下表。
六年级上册奥数试题：第4讲 最大与最小 全国通用(含答案)
第4讲最大与最小知识网络人们经常考虑有关“最”的问题，如最大、最小、最多、最少、最快、最慢等。
这类求最大值、最小值的问题是一类重要典型的问题，我们在实际生产和生活中经常遇到。
在本书的学习中我们经常要用到以下几个重要结论：（1）两个数的和一定，那么当这两个数的差最小时，它们的积最大。
（2）三个数a、b、c，如果a+b+c一定，只有当a=b=c时，a×b×c的积才能最大。
（3）两个数的积一定，那么当两个数的差最小时，它们的和最小。
（4）在所有周长相等的n边形中，以正n边形的面积最大。
（5）在周长相等的封闭平面图形中，以圆的面积为最大。
（6）在棱长的和一定的长方体中，以长、宽、高都相等的长方体，即正方体的体积最大。
（7）在所有表面积一定的几何体中，球体体积最大。
重点·难点本节所涉及的题型较多，但一般都要求根据一个不变量来确定另一变量的最大值或最小值。
如何根据题意，灵活运用不同的方法来求出表达式，再求最值，或直接求最值是本讲的重点。
这就要求我们不能太急于入手，不妨从一些比较简单的现象或数字开始，找出规律，进而解决问题。
学法指导解决本节问题的方法和策略常常因题而异，归纳起来有以下几种常用的方法：（1）从极端情形入手。
（2）枚举比较。
（3）分析推理。
（4）构造。
[例1]不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数为多少？思路剖析两个最小的不同的奇合数为9和15，9+15=24，因此小于24的偶数都不能写成两个不同的奇合数之和。
下面我们只需要考虑大于24的偶数即可。
15后面的一个奇合数为21，9+21=30，所以比24大比30小的偶数也不能写成两个不同的奇合数之和。
32也不能，34=9+25，36=9+27，38不能，40=15+25，42=15=27，44=9+35，…此时初步确定不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数为38。
解答根据以上分析，我们初步确定所求的最大偶数为38，下面我们给予证明。
c语言程序设计,输入两个正整数m和n,求其最大公约数和最小公倍数
c语言程序设计,输入两个正整数m和n,求其最大公约数和最小公倍数
C语言程序设计中，有一种常见的需求就是求两个正整数
m和n的最大公约数和最小公倍数。
要解决这一问题，首先就要弄清楚最大公约数和最小公倍数的概念，以及它们之间的关系。
最大公约数是指两个或多个整数共有的最大的正整数，它们可以整除这些整数，而不会有余数。
比如有两个整数m和n，它们的最大公约数就是大于等于它们中任意一个数且小于它们积的最大正整数。
最小公倍数是指两个或多个整数共有的最小的正整数，它们可以被这些整数整除，而不会有余数。
比如有两个整数m
和n，它们的最小公倍数就是小于等于它们积的最小正整数。
当我们知道了最大公约数和最小公倍数的概念之后，就可以用C语言程序来求解了。
具体的算法可以使用辗转相除法，即用大的数除以小的数，如果余数为0，则小的数即为最大公
约数；如果余数不为0，则用小的数除以余数，直到余数为0，所得的最后一个除数为最大公约数。
另外，最小公倍数=两数乘积/最大公约数，可以用C语言程序来实现。
综上所述，要求两个正整数m和n的最大公约数和最小公倍数，可以使用C语言程序来实现，具体的算法即辗转相除法，使用大的数除以小的数，直到余数为0，所得的最后一个除数为最大公约数，而最小公倍数=两数乘积/最大公约数。
四年级奥数之最值问题
四年级奥数之最值问题知识点睛：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”。
“最大”、“最小”是我们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中经常会出现求最值问题，解决办法有：一、枚举法例1一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。
但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？（北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题）分析与解开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，则第4把不用试了，它一定能打开这把锁，因此需要3次。
同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁则不用再试了。
这样最多要试的次数为：3＋2＋1=6（次）。
二、综合法例2x3=84A（x、A均为自然数）。
A的最小值是______。
（1997年南通市数学通讯赛试题）分析与解根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2×2×3×7，因此x3=2×2×3×7×A，其中A的质因数至少含有一个2、两个3、两个7，才能满足上述要求。
即A的最小值为（2×3×3×7×7=）882。
三、分析法例3一个三位数除以43，商是a，余数是b，（a、b均为自然数），a＋b 的最大值是多少？（广州市五年级数学竞赛试题）分析与解若要求a＋b的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a、b尽可能大。
由乘除法关系得43a＋b=一个三位数因为b是余数，它必须比除数小，即b＜43b的最大值可取42。
根据上面式子，考虑到a不能超过23。
（因为24×43＞1000，并不是一个三位数）当a=23时，43×23＋10=999，此时b最大值为10。
当a=22时，43×22＋42=988，此时b最大值为42。
显然，当a=22，b=42时，a＋b的值最大，最值为22+42=64。
大小数的比较与排序
大小数的比较与排序在数学中，我们经常需要对不同的数进行比较与排序。
比如，在求解问题时需要找出最大值或最小值，或者在数据分析中需要对数据进行排序。
本文将介绍大小数的比较方法和排序算法，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、大小数的比较方法在比较两个数的大小时，我们可以应用以下几种方法：1. 直接比较法：直接比较两个数的大小，确定哪个数更大或者更小。
例如，当比较5和3时，我们可以得出5较大。
2. 等差比较法：通过求两个数之差来比较它们的大小。
如果差值为正数，则第一个数较大；如果差值为负数，则第二个数较大；如果差值为零，则两个数相等。
例如，当比较7和9时，差值为-2，因此9较大。
3. 等比比较法：通过求两个数之比来比较它们的大小。
如果比值大于1，则第一个数较大；如果比值小于1，则第二个数较大；如果比值等于1，则两个数相等。
例如，当比较4和2时，比值为2，因此4较大。
二、排序算法为了对一组数进行排序，我们可以使用不同的排序算法，具体如下：1. 冒泡排序：冒泡排序是一种简单而经典的排序算法。
它通过循环比较相邻的数，当发现顺序错误时交换它们的位置，从而逐渐将最大（或最小）的数“冒泡”到数组的一端。
重复这个过程直到整个数组排序完成。
冒泡排序的时间复杂度为O(n^2)，其中n代表待排序数的数量。
2. 快速排序：快速排序是一种高效的排序算法，也是最常用的排序算法之一。
它基于分治的思想，通过选择一个基准值，将数组分为两个子数组，其中一个子数组的所有元素小于等于基准值，另一个子数组的所有元素大于等于基准值。
然后，递归地对子数组进行排序，最终得到整个数组有序。
快速排序的时间复杂度为O(nlogn)。
3. 插入排序：插入排序是一种简单直观的排序算法。
它将数组分为已排序和未排序两部分，每次从未排序部分选择一个数，插入到已排序部分的适当位置。
重复这个过程直到整个数组排序完成。
插入排序的时间复杂度为O(n^2)。
4. 归并排序：归并排序是一种稳定且高效的排序算法。
c语言数组最大值和最小值交换
在C语言中，可以通过以下步骤来交换数组中的最大值和最小值：1. 遍历数组，找到最大值和最小值的索引。
2. 使用临时变量交换最大值和最小值。
以下是一个示例代码：```c#include <stdio.h>void swap_max_min(int arr[], int size) {int max_index = 0, min_index = 0, temp;// Find the index of the maximum and minimum valuesfor (int i = 1; i < size; i++) {if (arr[i] > arr[max_index]) {max_index = i;}if (arr[i] < arr[min_index]) {min_index = i;}}// Swap the maximum and minimum values using a temporary variabletemp = arr[max_index];arr[max_index] = arr[min_index];arr[min_index] = temp;}int main() {int arr[] = {3, 6, 1, 8, 2, 9, 4, 7, 5};int size = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);printf("Original array: ");for (int i = 0; i < size; i++) {printf("%d ", arr[i]);}printf("\n");swap_max_min(arr, size);printf("Swapped array: ");for (int i = 0; i < size; i++) {printf("%d ", arr[i]);}printf("\n");return 0;}```在这个示例中，我们定义了一个名为`swap_max_min` 的函数来交换数组中的最大值和最小值。
最大值与最小值的数学期望的几种求法
㊀㊀㊀１４１㊀㊀最大值与最小值的数学期望的几种求法最大值与最小值的数学期望的几种求法Һ王瑞瑞㊀李金伟㊀李彩娟㊀（信阳学院数学与统计学院，河南㊀信阳㊀４６４０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ针对一类特殊的多维随机变量函数 最大值和最小值的数学期望求解问题，本文给出了四种计算方法，并指出各种计算方法的适用情况，以期能够使学生开阔思路，做到举一反三㊁触类旁通．ʌ关键词ɔ数学期望；分布；最大值；最小值ʌ基金项目ɔ河南省高等学校教改项目（２０１９ＳＪＧＬＸ５０４），２０２０年度信阳市哲学社会科学规划项目（２０２０ＳＨ０２１），信阳学院校级教改项目（２０２０ＹＪＧ０１８，２０１９ＹＪＧ２６）１㊀引㊀言数学期望，又称期望或均值，是随机变量按概率的加权平均，表征其概率分布的中心位置［１］．数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念，最初起源于历史上著名的 分赌本问题 ［２］．随机变量数学期望研究的文献较多，如，王瑞瑞等关于负二项分布的数学期望和方差的一种求法［３］，丁黎明关于随机变量数学期望的教学实践与探索［４］，孙莉敏等关于连续随机变量数学期望的定义式的推导［５］等．在实际生活中，我们常常要用到一类特殊的多维随机变量的函数 最大值和最小值．如，为研究某地区未来五十年涝灾或干旱发生的可能性，我们就需要研究该地区过去五十年中最大年降雨量和最小年降雨量．又如，实际生活中某地区的最大风速㊁最大车流量㊁最小损耗等均与最大值和最小值有直接的关系．同时，计算最大降雨量㊁最大风速㊁最大车流量等的平均值，均需计算最大值的数学期望；而计算最小降雨量㊁最小损耗等的平均值，则需要计算最小值的数学期望．而关于最大值和最小值这类特殊的多维随机变量函数的数学期望研究的文献资料较少，罗建华仅给出了二维正态分布的最大值数学期望的求法［６，７］．故笔者结合自身教学实践，给出了最大值和最小值数学期望的四种计算方法，并指出各种计算方法的适用情况．２㊀预备知识定理１［１，２］㊀若随机变量Ｘ的分布列为ｐ（ｘｉ）或密度函数为ｐ（ｘ），则Ｘ的某一函数ｇ（Ｘ）的数学期望为Ｅ［ｇ（Ｘ）］＝ðｉｇ（ｘｉ）ｐ（ｘｉ），离散，ʏ＋ɕ－ɕｇ（ｘ）ｐ（ｘ）ｄｘ，连续ìîíïïï定理２［１，２］㊀若二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的联合分布列为ｐ（ｘｉ，ｙｊ）或联合密度函数为ｐ（ｘ，ｙ），则Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）的数学期望为Ｅ［ｇ（Ｘ，Ｙ）］＝ðｉðｊｇ（ｘｉ，ｙｊ）ｐ（ｘｉ，ｙｊ），离散，ʏ＋ɕ－ɕʏ＋ɕ－ɕｇ（ｘ，ｙ）ｐ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，连续ìîíïïï３㊀最大值和最小值数学期望的几种求法方法一㊀直接计算法．先写出（Ｘ，Ｙ）的联合分布列或联合密度，再利用上述定理２直接对最大值最小值的数学期望进行求解．例１㊀系统Ｌ由两个相互独立的子系统Ｌ１，Ｌ２并联而成，设Ｌ１，Ｌ２的寿命分别为Ｘ，Ｙ，且均服从指数分布Ｅｘｐ（λ），试求该系统Ｌ的平均寿命．解㊀由于当且仅当Ｌ１，Ｌ２都损坏时，系统Ｌ才停止工作，所以系统Ｌ的寿命为Ｚ＝ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝，故求系统Ｌ的平均寿命即求Ｅ（ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝）．因Ｘ和Ｙ独立同分布于指数分布Ｅｘｐ（λ），从而（Ｘ，Ｙ）的联合密度函数为ｐ（ｘ，ｙ）＝λ２ｅ－λｘ－λｙ，ｘ＞０，ｙ＞０，０，㊀㊀㊀ｏｔｈｅｒ．{由定理２，得Ｅ（Ｚ）＝ʏ＋ɕ０ʏ＋ɕ０ｍａｘ｛ｘ，ｙ｝㊃λ２ｅ－λｘ－λｙｄｘｄｙ＝ʏ＋ɕ０ʏｘ０ｘ㊃λ２ｅ－λｘ－λｙｄｘｄｙ＋ʏ＋ɕｘʏｙ０ｙ㊃λ２ｅ－λｘ－λｙｄｘｄｙ＝ʏ＋ɕ０ｘλ２ｅ－λｘｄｘʏｘ０ｅ－λｘｄｙ＋ʏ＋ɕ０ｙλ２ｅ－λｙｄｙʏｙ０ｅ－λｘｄｘ＝ʏ＋ɕ０ｘ㊃λｅ－λｘｄｘ＋ʏ＋ɕ０ｅ－２λｘｄｘ＝１λ＋１２λ＝３２λ．注１方法一通过对最大值ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝讨论进行分段积分达到计算的目的（同理可对最小值ｍｉｎ｛Ｘ，Ｙ｝讨论），在计算过程中充分运用了分部积分法㊁换元积分法㊁变上限积分和常见分布的数学期望公式等内容．上述方法虽能将二维随机变量的最大值或最小值的数学期望求出，但计算过程较烦琐．特别地，当面对的是ｎ维随机变量的最大值或最小值的数学期望求解时，上述方法的计算过程会更加复杂，此时我们可采用第二种求解方法．方法二㊀先求出最大值或最小值的分布，然后根据定理１求出其数学期望．例２㊀设在区间（０，１）上随机抽取ｎ个点，求相距最远的两点间距离的数学期望．解㊀若记从区间（０，１）上随机抽取的ｎ个点为Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ，则Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ独立同分布于（０，１）上的均匀分布．又记Ｙ＝ｍａｘ｛Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ｝，Ｚ＝ｍｉｎ｛Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ｝，则相距最远的两点间距离即为Ｙ－Ｚ．因此，本题即求最大值与最小值差的数学期望Ｅ（Ｙ－Ｚ）．因Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ独立同分布于（０，１）上的均匀分布，故其密度函数和分布函数分别为ｐ（ｘ）＝１，０＜ｘ＜１，０，ｏｔｈｅｒ，{Ｆ（ｘ）＝０，㊀ｘ＜０，ｘ，０＜ｘ＜１，１，㊀ｘȡ１．{故Ｙ＝ｍａｘ｛Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ｝的分布函数为ＦＹ（ｙ）＝Ｐ（Ｙɤｙ）＝Ｐ（ｍａｘ｛Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ｝ɤｙ）＝Ｐ（Ｘ１ɤｙ，Ｘ２ɤｙ， ，Ｘｎɤｙ）＝Ｐ（Ｘ１ɤｙ）Ｐ（Ｘ２ɤｙ） Ｐ（Ｘｎɤｙ）＝［Ｆ（ｙ）］ｎ＝ｙｎ，０＜ｙ＜１，从而Ｙ的密度函数为ｐＹ（ｙ）＝ｎｙｎ－１，０＜ｙ＜１．同理Ｚ＝ｍｉｎ｛Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ｝的分布函数为ＦＺ（ｚ）＝Ｐ（Ｚɤｚ）＝Ｐ（ｍｉｎ｛Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ｝ɤｚ）＝１－Ｐ（ｍｉｎ｛Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ｝＞ｚ）＝１－Ｐ（Ｘ１＞ｚ，Ｘ２＞ｚ， ，Ｘｎ＞ｚ）＝１－（１－Ｆ（ｚ））ｎ＝１－（１－ｚ）ｎ，０＜ｚ＜１，㊀㊀㊀㊀㊀１４２㊀从而Ｚ的密度函数为ｐＺ（ｚ）＝ｎ（１－ｚ）ｎ－１，０＜ｚ＜１．由定理１，可知Ｅ（Ｙ）＝ʏ１０ｙ㊃ｎｙｎ－１ｄｙ＝ｎｎ＋１，Ｅ（Ｚ）＝ʏ１０ｚ㊃ｎ（１－ｚ）ｎ－１ｄｚ＝ʏ１０（１－ｔ）㊃ｎｔｎ－１ｄｔ（ｔ＝１－ｚ）＝ｔｎ１０－ｎｎ＋１ｔｎ＋１１０＝１－ｎｎ＋１＝１ｎ＋１．从而，相距最远的两点间距离的数学期望为Ｅ（Ｙ－Ｚ）＝ｎｎ＋１－１ｎ＋１＝ｎ－１ｎ＋１．注２㊀关于多维随机变量的最大值㊁最小值的数学期望的计算，相较于计算多重积分，计算定积分更加容易，故方法二是先求出多维随机变量的最大值㊁最小值的分布，然后将多维随机变量的最大值㊁最小值的数学期望的多重积分计算转化为一维随机变量的数学期望的定积分计算．显然例１可用方法二求解，但例２一般不用方法一求解．由于方法二需要先求出最大值㊁最小值的分布函数，故当随机变量Ｘｉ的分布函数不存在显式表达式时，方法二则不适用．如例３，因为服从正态分布的随机变量的分布函数没有显式表达式．此时，可以考虑利用方法三求解最大值㊁最小值的数学期望．方法三㊀利用ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝＝Ｘ＋Ｙ＋Ｘ－Ｙ２和ｍｉｎ｛Ｘ，Ｙ｝＝Ｘ＋Ｙ－Ｘ－Ｙ２求解．例３㊀设随机变量Ｘ与Ｙ相互独立，都服从正态分布Ｎ（μ，σ２），试证Ｅ（ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝）＝μ＋σπ．证㊀因ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝＝Ｘ＋Ｙ＋Ｘ－Ｙ２，故Ｅ［ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝］＝１２［ＥＸ＋ＥＹ＋ＥＸ－Ｙ］．由Ｘ，Ｙ独立同分布于正态分布Ｎ（μ，σ２），可知ＥＸ＝ＥＹ＝μ，且Ｚ＝Ｘ－Ｙ Ｎ（０，２σ２），故Ｚ的密度函数为ｐＺ（ｚ）＝１２σπｅ－ｚ２４σ２，－ɕ＜ｚ＜＋ɕ．从而ＥＸ－Ｙ＝ＥＺ＝ʏ＋ɕ－ɕｚ１２σπｅ－ｚ２４σ２ｄｚ＝２ʏ＋ɕ０ｚ㊃１２σπｅ－ｚ２４σ２ｄｚ（被积函数为偶函数）＝－４σ２２σπｅ－ｚ２４σ２＋ɕ０＝２σπ．于是Ｅ［ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝］＝ＥＸ＋ＥＹ＋ＥＸ－Ｙ２＝μ＋σπ．结论得证．注３㊀方法三更适用于 两个 随机变量的最大值㊁最小值的数学期望的求解问题，且要求容易求出差（Ｘ－Ｙ）的分布，从而该方法也将多维随机变量最大值㊁最小值的数学期望的多重积分计算问题转化为一维随机变量的数学期望的定积分计算问题．当（Ｘ，Ｙ）的联合密度函数ｐ（ｘ，ｙ）的非零区域Ｄ关于ｘ，ｙ具有轮换对称性，即若把ｘ与ｙ对调后，区域Ｄ不变（或区域Ｄ关于ｙ＝ｘ对称）时，还可用如下方法四求解最大值㊁最小值的数学期望．方法四㊀利用二重积分的轮换对称性进行计算．例４㊀设随机变量Ｘ与Ｙ相互独立，且都服从正态分布Ｎ（０，１），试求Ｅ（ｍｉｎ｛Ｘ，Ｙ｝）．解㊀因Ｘ和Ｙ相互独立，且都服从正态分布Ｎ（０，１），从而（Ｘ，Ｙ）的联合密度函数为ｐ（ｘ，ｙ）＝１２πｅ－ｘ２＋ｙ２２，－ɕ＜ｘ，ｙ＜＋ɕ由定理２，得Ｅ（ｍｉｎ｛Ｘ，Ｙ｝）＝ʏ＋ɕ－ɕʏ＋ɕ－ɕｍｉｎ｛ｘ，ｙ｝㊃１２πｅ－ｘ２＋ｙ２２ｄｘｄｙ（∗）当ｙ＜ｘ时，（∗）式右端的积分为ʏ＋ɕ－ɕʏｘ－ɕｙ㊃１２πｅ－ｘ２＋ｙ２２ｄｙｄｘ（１）当ｙȡｘ时，（∗）式右端的积分为ʏ＋ɕ－ɕʏｙ－ɕｘ㊃１２πｅ－ｘ２＋ｙ２２ｄｘｄｙ（２）由于式（１）（２）积分中ｘ与ｙ对调后，积分表达式不变，故由轮换对称性，得Ｅ（ｍｉｎ｛Ｘ，Ｙ｝）＝２ʏ＋ɕ－ɕʏｘ－ɕｙ㊃１２πｅ－ｘ２＋ｙ２２ｄｙｄｘ＝１πʏ＋ɕ－ɕｅ－ｘ２２－ｅ－ｙ２２ｘ－ɕ()ｄｘ＝－１πʏ＋ɕ－ɕｅ－ｘ２ｄｘ＝－１π．注４㊀由上例可知，方法四适用于二维（多维）随机变量的联合密度函数的非零区域Ｄ把ｘ与ｙ对调后，区域Ｄ不变，即区域Ｄ关于ｙ＝ｘ对称的情形．显然例４也可以用方法三求解，但例３则不能用方法四求解．４㊀结㊀语最大值与最小值作为一类特殊的多维随机变量的函数，其应用的广泛性使得它们对数学期望的研究显得尤为重要．本文所给出的几种求解方法，涉及数学期望的定义㊁指数分布㊁均匀分布㊁正态分布㊁定积分㊁变上限积分㊁多重积分㊁偶函数的积分㊁轮换对称性㊁差的分布等重要内容．学生能够理解并掌握相关概念公式，准确熟练地运用概率论和数学分析知识是以上各种方法得以实现的前提和关键．概率论中一题多解的情况有很多，作为教师，在平时的教学中要对学生进行必要的创造性思维能力的训练，从而不断激发学生学习的积极性和主动性，培养其创新能力．ʌ参考文献ɔ［１］李贤平．概率论基础（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４，１８４－１１８６，１９２．［２］茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９，６９－７０．［３］王瑞瑞，李金伟．负二项分布的数学期望和方差的一种求法［Ｊ］．高师理科学刊，２０１９，３９（１２）：５５－５７．［４］丁黎明．随机变量数学期望的教学实践与探索［Ｊ］．淮北职业技术学院学报，２０２０，１９（０２）：３２－３４．［５］孙莉敏，张聪，黄善祖等．关于连续随机变量数学期望的定义式的推导［Ｊ］．数学学习与研究，２０１６（１５）：１２９．［６］罗建华，王浩波．一道概率论习题的证明［Ｊ］．高等数学研究，２００８，１１（０４）：６７－６８．［７］罗建华．透过一道习题看概率论教学［Ｊ］．大学数学，２００８，２４（０３）：１５２－１５５．。
n个连续自然数的平方和的推导
n个连续自然数的平方和的推导大家好，今天咱们来聊聊一个看起来挺高大上的数学题——n个连续自然数的平方和。
听起来挺复杂对吧？这个问题一点都不难，大家完全可以用轻松愉快的心态来解决它。
想象一下，咱们从1开始数，数到n。
然后，把每个数的平方都加起来。
你可能会想：“嗯，这不就是1² + 2² + 3² + … + n²嘛！我一算就知道了！”哈哈，别急，真要仔细算起来，可能还得用点小窍门。
今天就让我们一起用轻松的方式，跟着这个问题走一走，看看怎么从头到尾搞明白。
咱们来聊聊这个“平方和”是什么意思。
简单来说，平方和就是把一系列数（比如1、2、3、4、5）分别平方之后，再把它们加起来。
比如，1² + 2² + 3²，结果就等于1 + 4 + 9，也就是14。
你可能会想，这不就几个小数相加嘛，难道还需要复杂的公式？哈哈，表面上是这样，实际上，数学可不是只会看表面，它能让我们用很巧妙的方式，一下子就得出结果。
好了，那我们接着说，怎么样才有个规律，让咱们可以在不用逐个计算的情况下，直接算出n个连续自然数的平方和呢？数学家早就给我们找到了这种规律，嘿嘿！这个规律长这样：平方和 = ( frac{n(n+1)(2n+1){6 )。
是不是觉得好像有点眼花？不过没关系，我给你解释清楚，肯定不麻烦。
先别看这个公式吓人，咱们从头来。
n是你要加到的最大数。
比如说，如果你想算1到5的平方和，那n就等于5。
然后，n+1就是n之后的那个数；2n+1是2倍n再加1。
看到这个公式，你是不是就觉得，哦！这就是一个标准的乘法表达式？所以，大家别担心，搞定这个公式后，算出结果就像是拆开一盒糖果，一颗一颗都不难。
拿个例子来说吧。
假设咱们要算1到4的平方和。
按照咱们的公式，n=4，先来算算：4乘以(4+1)，就是4乘以5，得到20。
再乘以2乘以4再加1，就是2乘以4得8，再加1得9。
数列极差问题
结果截图1
结果截图2
结果截图3
完结
谢谢大家
的这样的X中，有1个最大Max的和最小的
Min，M=Max-Min是极差。设计程序计算 M数列。
分析问题
通过例子来认识问题中所描述的计算过程，例 如对三个具体的数据 3 5 9进行分析，可能 有以下三种结果： （ 3*5+1 ）*9+1=145 （ 3*9+1 ）*5+1=141 （ 5*9+1 ）*3+1=139 由此可见，先运算小数据得到的是最大值，先 运算大数据得到的是最小值。
继续分析
下面再以三个数为例证明此题用贪心策略求解的合理性, 假设：a<b<c，则 b=a+m1; c=a+m1+m2，m1,m2>0，则有以下几种组合 计算结果： 1)(a*b+1)*c+1=a*a*a+(2m1+m2)a*a+(m1(m1+ m2)+1)*a+m1+m2+1
2)(a*c+1)*b+1=a*a*a+(2m1+m2)a*a+(m1(m1+ m2)+1)*a+m1+1
程序代码快速排序
#include<iostream.h> void QUICK(int *a,int i,int j) { int m,n,temp; int k; m=i; n=j; k=a[(i+j)/2]; do{ while(a[m]<k&&m<j)m++; while(a[n]>k&&n>i)n--; if(m<=n){ temp=a[m]; a[m]=a[n]; a[n]=temp; m++; n--; } }while(m<=n); if(m<j)QUICK(a,m,j); if(n>i)QUICK(a,i,n); }
如何从n个数里找到最大值与最小值
如何从n个数里找到最大值？很容易想到，用一个循环就能搞定。
int find_max(int arr[n]){int max = -infinite;for(int i=0; i<n; i++)if(arr[i]>max)max=arr[i];return max;}这里，需要执行n-1次比较。
如何从n个数里找到最大值与最小值？很容易想到，用一个循环找到最大值和最小值，就能搞定。
(int, int) find_max_min(int arr[n]){int max = -infinite;int min = infinite;for(int i=0; i<n; i++){if(arr[i]>max)max=arr[i];if(arr[i]<min)min=arr[i];}return (max, min);}这里，需要执行2*(n-1)=2n-2次比较。
还有没有更快的方法呢？分治法或许可以派上用场，分治法的思路是：(1)把大规模拆分成小规模；(2)小规模分别求解；(3)小规模求解之后，再综合求解大规模；看能不能往这个例子里套用：(1)将arr[0,n]分为arr[0,n/2]和arr[n/2,n]；(2)每个子数组分别求解最大值和最小值；(3)两个子数组的最大值里再取最大值，两个子数组的最小值里再取最小值，就是最终解；伪代码大概是这样：(int, int) find_max_min(int arr[0,n]){// 递归左半区(max1, min1) = find_max_min(arr[0, n/2]);// 递归右半区(max2, min2) = find_max_min(arr[n/2, n]);// 再计算两次max = max1>max2?max1:max2;min = min1<min2?min1:min2;return (max, min);}实际的递归代码要注意：(1)入参不是0和n，而是数组的下限和上限；(2)递归要收敛，当数组的上下限相差1时，只比较一次，直接返回max和min，而不用再次递归；分治法之后，时间复杂度是多少呢？求解分治法的时间复杂度分析：•当只有2个元素时，只需要1次计算就能知道最大，最小值•当有n个元素时，(1)递归左半区；(2)递归右半区；(3)再进行两次计算；f(2)=1;【式子A】f(n)=2*f(n/2)+2;【式子B】求解递归式子，得到：f(n)=1.5n-2;证明过程如下：【式子B】不断展开能得到：f(n)=2*f(n/2)+2;【式子1】f(n/2)=2*f(n/4)+2;【式子2】f(n/4)=2*f(n/8)+2;【式子3】...f(n/2^(m-1))=2*f(2^m)+2;【式子m】通过这m个式子的不断代入，得到：f(n)=(2^m)*f(n/2^m)+2^(m+1)-2;【式子C】由于f(2)=1【式子A】;即【式子C】中n/2^m=2时，f(n/2^m)=f(2)=1;此时n=2^(m+1)，代入【式子C】即f(n)=n/2 + n -2 = 1.5n-2;总结，n个数：•求最大值，遍历，需要n-1次计算•求最大最小值，遍历，需要2n-2次计算•求最大最小值，分治，时间复杂度1.5n-2。