...1课件3.3.1 函数的单调性与导数_图文.ppt名师教学资料
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函数的单调性与导数 公开课 ppt课件
解：（1）f '(x)=x3+3x= 3(x2+1)>0
所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。 所以函数f(x)=x3+3x的单调增区间为R。
函数的单调性与导数 公开课
二、讲授新课-----典例精讲
例 3. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x2-2x-3,
(2) f(x)=x2－2lnx
函数的单调性与导数 公开课
Байду номын сангаас
1.3.1函数的单调性与导数（第1课时）
函数的单调性与导数 公开课
一、新课导入------复旧知新
1.函数的单调性是怎样定义的？
一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2， 当x1<x2时，都有f(x1)<f (x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数; 当x1<x2时，都有f(x1)>f (x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数;
致形状如右图所示.
O1
4
x
函数的单调性与导数 公开课
二、讲授新课-----牛刀小试
练习. 设导函数y=f '(x)的图象如图，则其原函数可能为
( C)
(A) y y=f(x) (B) y y=f(x) o 1 2x o 1 2x
y y f '(x)
(C) y
(D) y
o 2x
y=f(x)
y=f(x)
函数的单调性与导数 公开课
四、巩固练习
判断函数f(x)=3x-x3的单调性, 并求出单调区间:
解：
f '(x)=3x-x3=3-3x2=-3(x2-1)=-3(x-1)(x+1) 当f '(x)>0,即-1<x<1时，函数f(x)=3x-x3 单调递增； 当f '(x)<0,即x>1或x<-1时，函数f(x)=3x-x3 单调递减； 所以函数f(x)=3x-x3的单调增区间为 （-1，1），单调
所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。 所以函数f(x)=x3+3x的单调增区间为R。
函数的单调性与导数 公开课
二、讲授新课-----典例精讲
例 3. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x2-2x-3,
(2) f(x)=x2－2lnx
函数的单调性与导数 公开课
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1.3.1函数的单调性与导数（第1课时）
函数的单调性与导数 公开课
一、新课导入------复旧知新
1.函数的单调性是怎样定义的？
一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2， 当x1<x2时，都有f(x1)<f (x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数; 当x1<x2时，都有f(x1)>f (x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数;
致形状如右图所示.
O1
4
x
函数的单调性与导数 公开课
二、讲授新课-----牛刀小试
练习. 设导函数y=f '(x)的图象如图，则其原函数可能为
( C)
(A) y y=f(x) (B) y y=f(x) o 1 2x o 1 2x
y y f '(x)
(C) y
(D) y
o 2x
y=f(x)
y=f(x)
函数的单调性与导数 公开课
四、巩固练习
判断函数f(x)=3x-x3的单调性, 并求出单调区间:
解：
f '(x)=3x-x3=3-3x2=-3(x2-1)=-3(x-1)(x+1) 当f '(x)>0,即-1<x<1时，函数f(x)=3x-x3 单调递增； 当f '(x)<0,即x>1或x<-1时，函数f(x)=3x-x3 单调递减； 所以函数f(x)=3x-x3的单调增区间为 （-1，1），单调
函数的单调性与导数课件(共13张PPT)
a
b用导数确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
分析：
当2 x 3时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递减 当x 3或x 2时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递增
当x 3或x 2时，f '( x) 0. f ( x)图象在此两处
归纳小结
1.“导数法” 求单调区间的步骤：
①求函数定义域
②求 f '( x)
③令f '( x) 0解不等式 f ( x)的递增区间
f '( x) 0解不等式 f ( x)的递减区间
2.如果函数具有相同单调性的单调区间不止一个，
如何表示单调区间？
不能用“∪”连接，应用“，”隔开
水以匀速注入下面四种底面积相同的容器中， 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函 数关系图象.
(1)→B (2)→A (3)→D (4)→C
问题 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增， 那么f′(x)一定大于零吗？
如f(x)=x3,x∈(-1,1)
不一定，应是 f′(x)≥0.
结论 若函数单调递增，则
若函数单调递减，则
已知 ，函数
在区间
上是增函数，求实数 的取值范围．
求下列函数的单调区间
在(, 0)上递减
o
在(0, )上递增
x
导数的正负
f '(x) 1 0
f '(x) 1 0 f '(x) 2x 0 f '(x) 2x 0
在某个区间(a, b)内,
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增 f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减
3.3.1 函数的单调性与导数
活动与探究 1 (1)函数 y=xcos x-sin x 在下面哪个区间内是增函数( )
A.
π 2
,
3π 2
B.(π,2π)
C.
3π 2
,
5π 2
D.(2π,3π)
思路分析:只需判断在哪个区间上导函数的值大于零即可.
答案:B
解析:y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若 y=f(x)在某区间内是增
函数,只需在此区间内 y'恒大于零即可.
∴只有选项 B 符合题意,当 x∈(π,2π)时,y'>0 恒成立.
(2)求函数 f(x)=x2-ln x 的单调区间.
思路分析:求函数的单调区间,即求定义域上满足 f'(x)>0 或 f'(x)<0 的区间.
解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2x-1������ = (
∴当 t<0 时,f(x)的递增区间为
-∞,
������ 2
,(-t,+∞),递减区间为
������ 2
,-t
;
当 t>0 时,f(x)的递增区间为(-∞,-t),
������ 2
,
+
∞
,递减区间为
-������,
������ 2
.
迁移与应用 已知函数 f(x)=12ax2+ln x(a∈R),求 f(x)的单调区间.
则(-9,0)是 3x2-2mx<0 的解集,
∴3×(-9)2-2×(-9)×m=0,m=-227.
∴a≤(2x3)min.∵x∈[2,+∞),y=2x3 是增函数,
A.
π 2
,
3π 2
B.(π,2π)
C.
3π 2
,
5π 2
D.(2π,3π)
思路分析:只需判断在哪个区间上导函数的值大于零即可.
答案:B
解析:y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若 y=f(x)在某区间内是增
函数,只需在此区间内 y'恒大于零即可.
∴只有选项 B 符合题意,当 x∈(π,2π)时,y'>0 恒成立.
(2)求函数 f(x)=x2-ln x 的单调区间.
思路分析:求函数的单调区间,即求定义域上满足 f'(x)>0 或 f'(x)<0 的区间.
解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2x-1������ = (
∴当 t<0 时,f(x)的递增区间为
-∞,
������ 2
,(-t,+∞),递减区间为
������ 2
,-t
;
当 t>0 时,f(x)的递增区间为(-∞,-t),
������ 2
,
+
∞
,递减区间为
-������,
������ 2
.
迁移与应用 已知函数 f(x)=12ax2+ln x(a∈R),求 f(x)的单调区间.
则(-9,0)是 3x2-2mx<0 的解集,
∴3×(-9)2-2×(-9)×m=0,m=-227.
∴a≤(2x3)min.∵x∈[2,+∞),y=2x3 是增函数,
《函数单调性与导数》课件
导数在物理问题中的应用
速度与加速度
在运动学中，导数可以用来描述 物体的速度和加速度。例如，自 由落体运动中，物体的速度和加
速度可以通过求导得到。
热传导
在热力学中，导数可以用来描述 热量传递的过程。例如，通过求 导得到温度场的变化率，可以帮
助我们理解热传导的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描 述物体的应力应变关系。例如， 通过求导得到物体的应力分布和 应变状态，可以帮助我们理解物
调性
利用导数的符号变化，确定函数 在某区间内的增减性
通过求解一阶导数的不等式，判 断函数的单调性
利用导数判断函数单调性的方法
直接求导
对于已知函数，直接求导并分 析导数的符号变化
利用导数的几何意义
通过导数的几何意义，绘制函 数图像，直观判断函数的单调 性
构造新函数
通过构造函数并求导，利用导 数判断新函数的单调性来研究 原函数的单调性
成本效益分析
导数可以用来分析企业的成本效益，从而制定最优的经营策略。例如，通过求导找到最小 化成本或最大化的利润点，可以帮助企业制定合理的价格和产量策略。
投资组合优化
在金融领域，导数可以用来优化投资组合，以实现最大的收益或最小的风险。例如，通过 求导找到最优的投资组合比例，可以帮助投资者实现资产配置的目标。
详细描述：导数的计算方法包括定义法、求导公式和法则、复合函数求导、隐函数求导、参数方程确定的函数求导等。
03
利用导数判断函数单调性
导数与函数单调性的关系
导数大于零，函数单 调递增
导数等于零，函数可 能为极值点或拐点
导数小于零，函数单 调递减
单调性判定定理的推导
基于极限的导数定义，通过分析 函数在某区间的变化率来判断单
高中数学选修1课件1-3.3.1函数的单调性与导数
解析：方法一：f′(x)＝x2－ax＋a－1，由 f′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝a－1.
当 a－1≤1，即 a≤2 时，对于任意的 x∈(1，＋∞)，f′(x)＞0， 即函数 f(x)在[1，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当 a－1＞1，即 a＞2 时，函数 f(x)在(－∞，1]和[a－1，＋∞) 上单调递增，在[1，a－1]上单调递减， 依题意[1,4]⊆[1，a－1]且[6，＋∞)⊆[a－1，＋∞)，从而 4≤a －1≤6，故 5≤a≤7. 综上，实数 a 的取值范围为[5,7]．
(3)要特别注意函数的定义域．
跟踪训练 2 求下列函数的单调区间． (1)y＝(1－x)ex； (2)y＝x3－2x2＋x；
(3)y＝12x＋sin x，x∈(0，π)．
解析：(1)∵y＝(1－x)ex， ∴y′＝－xex，∴y′＞0 时 x＜0，y′＜0 时 x＞0， ∴函数 y＝(1－x)ex 的增区间为(－∞，0)，减区间为(0，＋∞)． (2)∵y＝x3－2x2＋x，∴y′＝3x2－4x＋1，x∈R， ①令 3x2－4x＋1＞0，得 x＞1 或 x＜13. ②令 3x2－4x＋1＜0，得13＜x＜1.
状元随笔
如图，函数 y＝f(x)的图象在(0，a)内“陡峭”，在(a，＋∞)内 “平缓”．
说明：通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出 函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢 后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．
[小试身手]
1．已知函数 f(x)＝x3－3x2－9x，则函数 f(x)的单调递增区间是
状元随笔 先求导数，再利用二次函数知识求 a.
3．函数 f(x)＝2x－sin x 在(－∞，＋∞)上( ) A．是增函数 B．是减函数 C．有最大值 D．有最小值
函数的单调性与导数(课堂PPT)
（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论
5
思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? 3.3.1 (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然 可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象 时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法 呢？
f′(x)＝exxx－－22)－)2 ex＝exx－x－23)2).
因为 x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
3.3.1
26
3.3.1
4．求下列函数的单调区间． (1)y＝xex；(2)y＝x3－x. 解：(1)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)， 令y′>0得x>－1. 令y′<0得x<－1， 因此y＝xex的单调递增区间为(－1，＋∞)， 递减区间为(－∞，－1)．
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在D上是增函数或减函数， D 称为单调区间
3
3.3.1
定义法 判断函数单调性有哪些方法？
图象法
比如：判断函数 y x 2 的单调性。
y
如图：
函数在 ( , 0)上为__减__函数，
在(0, )上为__增__函数。 o
y x2
x
4
3.3.1
2.怎样用定义判断函数的单调性？
32
3.3.1
练 3 已知 f′(x)是 f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，
则 f(x)的图象只可能是
()
33
3.3.1
解析 从 f′(x)的图象可以看出，在区间a，a＋2 b内，导数 递增；在区间a＋2 b，b内，导数递减.即函数 f(x)的图象在 a，a＋2 b内越来越陡峭，在a＋2 b，b内越来越平缓. 答案 D
5
思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? 3.3.1 (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然 可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象 时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法 呢？
f′(x)＝exxx－－22)－)2 ex＝exx－x－23)2).
因为 x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
3.3.1
26
3.3.1
4．求下列函数的单调区间． (1)y＝xex；(2)y＝x3－x. 解：(1)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)， 令y′>0得x>－1. 令y′<0得x<－1， 因此y＝xex的单调递增区间为(－1，＋∞)， 递减区间为(－∞，－1)．
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在D上是增函数或减函数， D 称为单调区间
3
3.3.1
定义法 判断函数单调性有哪些方法？
图象法
比如：判断函数 y x 2 的单调性。
y
如图：
函数在 ( , 0)上为__减__函数，
在(0, )上为__增__函数。 o
y x2
x
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3.3.1
2.怎样用定义判断函数的单调性？
32
3.3.1
练 3 已知 f′(x)是 f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，
则 f(x)的图象只可能是
()
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3.3.1
解析 从 f′(x)的图象可以看出，在区间a，a＋2 b内，导数 递增；在区间a＋2 b，b内，导数递减.即函数 f(x)的图象在 a，a＋2 b内越来越陡峭，在a＋2 b，b内越来越平缓. 答案 D
(课件)3.3.1导数单调性与导数
y
f (x) 0
a
0b
f (x) 0
cx
不难发现,当曲线上升时, f ( x) 0 ; 当曲线下降时, f ( x) 0 , 反之也成立.
考察函数的单调性与导数的关系：
观察函数y=x2－4x＋3的图象：
y
.. .. 2 .. . 0
总结: 该函数在区间(－∞,2) 上单调递减,切线斜率小
O
1
2 x
2x
(A)
(B)
y
y
2
O1
O1
x
2x
(C)
(D)
练习 4.讨论二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0)的单调区间.
解: f (x) ax2 bx c(a 0)
f (x) 2ax b.
(1) a 0
由 f (x) 0, 得 x b , 即函数 f (x) 的递增区间
观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函 数正负的关系.
y y=x
y y = x2
y y = x3
y
y1 x
O
x
O
x
O
x
x
O
在某个区间(a,b)内,如果 f (x) 0 ,那么函数 y f (x)在这个区间内单调递增; 如果 f (x) 0 ,那
么函数 y f (x) 在这个区间内单调递减.
(3) f (x) 3x x3;
(4) f (x) x3 x2 x.
练习
2.函数 y f (x)的图象如图所示, 试画出导函数 f (x)图象
的大致形状
练习3
设f/(x)是函数f(x)的导函数,y=/(x)的图象如左图
所示,则y=(x)的图象最有可能的是( C )