浙江省宁波市2015届高三上学期期中考试数学(理)试卷
浙江省台州中学2015届高三上学期期中考试数学(理)
浙江省台州中学2015届高三上学期期中考试数学（理）参考公式：柱体的体积公式 球的表面积公式V Sh = 24S R π=其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 球的体积公式 锥体的体积公式 343V R π=13V Sh = 其中R 表示球的半径其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式()1213V h S S =其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|20}A x x x =--…，{|ln(1)}B x y x ==-，则AB =（ ▲ ）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[1,1)-D ．(1,1)- 2.设函数()y f x =是偶函数，且在[)+∞,0上单调递增，则（ ▲ ）A.(2)(1)f f ->B.(2)(1)f f -<-C.(2)(2)f f ->D.(||)()f x f x < abA B C ．．5．若m ．n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确．．．的是 ( ▲ ) A ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥β B ．若α∩β=m ，n 与α、β所成的角相等，则m ⊥n C ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β D ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α6.设实数列{}{}n n a b 和分别为等差数列与等比数列，且11444,1a b a b ====，则以下结论正确的是（ ▲ ） A ．22a b >B ．33a b <C ．55a b >D ．66a b >7．若||2||||a b a b a=-=+，则向量a b -与b 的夹角为（ ▲ ）A ．6πB.3πC.32π D.65π 8．已知函数的图象与直线y=m 有三个交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3A9．已知直线0x yk +-=(0)k >与圆4x y +=交于不同的两点A 、B ，是坐标原点，且有3||||OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是（ ▲ ）A. )+∞B. C. )+∞D.10.已知函数()(1||)f xx a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是( ▲ )A.⎫⎪⎪⎭B.⎫⎪⎪⎭ C.130,⎛+ ⎝⎫⎪⎪⎭ D.⎛- ⎝∞二、填空题（本大题共7小题, 每小题4分,共28分）11．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h 的值为 ▲ 12．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时2()log (1)1f x x m =+++，则(3)f -= ▲ ．13．设变量,x y 满足121y y x x y m ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤-+≤，若目标函数1z x y =-+的最小值为0，则m 的值等于 ▲14.已知实数0,0<<b a ,且1=ab ,那么ba b a ++22的最大值为 ▲15．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左顶点与抛物线y 2=2px 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为▲16． 若数列{}n a 满足1112,1n n na a a a ++==-（n ∈N *），则该数列的前2015项的乘积1232015a a a a ⋅⋅⋅= __▲____17． 对函数f （x ），若任意a ，b ，c ∈R ，f （a ），f （b ），f （c ）为一三角形的三边长，则称f （x ）为“三角型函数”，已知函数f （x ）=（m ＞0）是“三角型函数”，则实数m 的取值范围是 ▲三、解答题（本大题共5小题,满分72分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤） 18．（本小题满分14分）已知函数2()2sin ()2,,442f x x x x πππ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦．设x α= 时()f x 取到最大值．（1）求()f x 的最大值及α的值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12A πα=-，且2sin sin sin B C A =，求b c -的值．19．（本小题满分14分）数列{}n a 的前n 项和是n S ，且112n n S a +=. ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 记23log 4n n a b =，数列21{}n n b b +⋅的前n 项和为n T ，若不等式n T m <，对任意的正整数n 恒成立，求m 的取值范围。
浙江宁波2015届高三十校联考数学理试题 (Word版含答案)
2015年宁波市高三十校联考数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分． 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上． 参考公式:柱体的体积公式Vsh =其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高． 锥体的体积公式13V sh =其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高．台体的体积公式()1213V h s s =+,其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高．球的表面积公式24S R π=．球的体积公式343VR π=,其中R 表示球的半径． 第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.条件:p 2450x x --<是条件2:650q x x ++>的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分又非必要条件 2.已知直线m 和平面α、β，则下列结论一定成立的是 A.若α//m ，βα//，则β//m B.若α⊥m ，βα⊥，则β//m C.若α//m ，βα⊥，则β⊥m D.若α⊥m ，βα//，则β⊥m3.已知等差数列{}n a 的公差为2,项数为偶数,所有奇数项的和为15,所有偶数项的和为25,则这个数列的项数为A.10B.20C.30D.404. 0y +-截圆422=+y x 所得劣弧所对的圆心角的大小为 A.6π B.4π C.3π D.2π 5．双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+有且仅有一个公共点,则双曲线的离心率为B.2C.5D.546．设两个向量22(2,cos)aλλα=+-和,sin2mb mα⎛⎫=+⎪⎝⎭，其中mλα，，为实数,若2a b=，则λ的取值范围是A.3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.32,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D.3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．设ABC∆的内角,,A B C所对的边,,a b c成等比数列,则sin cos tansin cos tanA A CB B C+⋅+⋅的取值范围是A.()0,+∞B.⎫+∞⎪⎪⎝⎭C.⎛⎝⎭D.⎝⎭8.已知函数()()()log1,1121,13ax xf xf x a x+-<<⎧⎪=⎨-+-<<⎪⎩(0,1)a a>≠,若12x x≠,且()()12f x f x=,则12x x+与2的大小关系是A.恒大于2B.恒小于2C.恒等于2D.与a相关.非选择题部分(共110分)二、填空题: 本大题共7小题, 前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分．9.全集U R=,{}|21A x x=-≤≤，{}|13B x x=-≤≤,则A B =______ , ()UB A =ð_________.10．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积等于_______，全面积为_________.11.若()2,02,0xxf xx x⎧≥⎪=⎨⎪<⎩,则()()1f f-=_____ ,()()1f f x≥的解集为_____.12．已知点A，O为坐标原点，点(,)P x y满足20yxy⎧-≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩,则满足条件点P所形成的平面区域的面积为_____,||OA OPOA⋅的最大值是__.13．设P 为椭圆221169x y +=上的点,12,F F 为其左、右焦点,且12PF F ∆的面积为6, 则21PF PF ⋅=______.14.设二次函数()24f x ax x c =-+的值域为[)0,+∞，且()14f ≤，则2244a cu c a =+++的取值范围是____________. 15．设()f x 是周期为4的周期函数，且当(]1,3x ∈-时，()1112,13x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩,若函数()()3g x f x x =-有且仅有五个零点，则正实数m 的取值范围是______.三、解答题: 本大题共5小题, 共74分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分15分)已知ABC △的面积为3，且满足60≤∙≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围； （II）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π的最大值与最小值． 17．(本小题满分15分)如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在线段AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面ABC 所成角为060， 求二面角1A AB C --的平面角的余弦值． 18．(本小题满分15分)已知动点(),P x y 到直线:2l x =-的距离是它到定点()1,0F -(I)求动点P 的轨迹C 的方程；(II)过()1,0F -作与x 轴垂直的直线与轨迹C 在第三象限的交点为Q ，过()1,0F -的动直线与轨迹C 相交于不同的两点,A B ，与直线l 相交于点M ，记直线,,QA QB QM 的斜率依次为123,,k k k ，试证明：123k k k +为定值．19.(本小题满分15分)已知数列{}n a 满足11a =，点()1,n n a a +在直线21y x =+上．数列{}n b 满足11b a =,121111()n n n b a a a a -=+++（2n ≥且*n N ∈）． (I)(i)求{}n a 的通项公式 ;(ii) 证明111n n n n b ab a +++=（2n ≥且*n N ∈）； (II)求证：12111101113n b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 20. (本小题满分14分)设二次函数()()2y f x ax bx c a b c ==++>>，()10f =，且存在实数m 使得()f m a =-. (I)求证：(i)0b ≥ ； (ii) ()30f m +>;(II) 函数()()y g x f x bx ==+的图象与x 轴的两个交点间的距离记为d ，求d 的取值范围．命题：北仑中学 吴文尧 审题：奉化中学 范璐婵2015年宁波市高三“十校联考”数学(理科)试题参考答案一．选择题：本大题共8小题, 每小题5分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D A C A A D A 二、填空题：本大题共7小题, 前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分 9. (1)A B =[]2,3- (2)()U B C A =()[),21,-∞--+∞10. (1)83,(2)2(3 11.(1) 12,(2)([),4,-∞+∞12. 13.514.1724u ≤≤ m << 三、解答题: 本大题共5小题, 共74分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 16.（I ）因为60≤∙≤AC AB ，所以0||||cos 6AB AC θ≤⋅≤，------2分 又因为1sin 32ABC S AB AC θ∆=⋅=，所以6sin AB AC θ⋅=，----------5分所以6cos 06sin θθ≤≤，即cos 01sin θθ≤≤，由于0θπ≤≤，所以42ππθ≤≤．---7分（II ）2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭πsin 21θθ=+2sin(2)13πθ=-+----------------1１分由42ππθ≤≤可知：22633πππθ≤-≤， 所以232ππθ-= ，即512πθ=时，()max 3f θ=------------13分236ππθ-= ，即4πθ=时，()min 2f θ=．----------15分．17.（I ）证明：因为1A D ⊥平面ABC ，1A D ⊂平面1A AC ，所以二面角1A AC B --为直二面角，BC AC ⊥， 所以BC ⊥平面11ACC A ，----------2分 所以1BC AC ⊥，平行四边形11ACC A 中，12AC CC ==， 所以11ACC A 为菱形，所以11AC AC ⊥，------4分 所以1AC ⊥平面1CBA ，----------6分 而1A B ⊂平面1CBA ， 所以11AC A B ⊥．------------7分（II ）（解法一）由于1A D ⊥平面ABC ，所以1A AD ∠即为直线1AA 与平面ABC 所成的角，故1A AD ∠=060，------------------9分 作DK AB ⊥于K ，连结1A K ，则1A K AB ⊥，所以1A KD ∠即为二面角1A AB C --的平面角，-------------------------------11分1Rt A AD ∆中，011sin60A D A A ==分Rt AKD ∆中，sinDK AD CAB =∠=分1Rt A KD ∆中，111tan A DA KD D DK∠===---------14分所以11cos 4A KD ∠=即二面角1A AB C --的平面角的余弦值为14-------------15分（解法二）由于1A D ⊥平面ABC ，所以1A AD ∠即为直线1AA 与平面ABC 所成的角，故1A AD ∠=060，1AD DC ==，1DA -----------------9分在平面ABC 内，过点D 作AC 的垂线Dy ，则1,,Dy DA DA 两两垂直，建立空间直角坐标系如图，则()1,0,0A ，()1,1,0B -，(1A --------11分所以()2,1,0AB =-，(1AA =-，平面1A AB 的一个法向量为()3,2m =平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =-------13分1cos ,4m n m n m n⋅==---------------------14分 即二面角1A AB C --的平面角的余弦值为14-------------15分18.(I)作PN ⊥直线l 于N ，则由题意可知：PN =，---------1分由于2PN x =+，PF =-------------------------------3分所以2x +=化简得动点P 的轨迹C 的方程为：2212x y +=---6分(II)易得1,Q ⎛- ⎝⎭， （1） 当动直线AB 的斜率0k =时，())(),,2,0A BM -此时112k =--，212k =-+3k =，此时，123 2.k k k +=-------------------8分（2） 当动直线AB 的斜率0k ≠时，设直线AB 的方程为1,x ty =-（其中1tk =）令2x =-得，1y t=-，所以12,M t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以31k t =--------10分 设()()1122,,,A x y B x y ，则111x ty =-，221x ty =-11121y k x +=+111112y ty t y +==，2211k t y =所以1212211()k k t y y +=+-----------------12分 把1,x ty =-代入方程2212x y +=可得：()222210t y ty +--= 所以1222,2t y y t +=+1221,2y y t -⋅=+所以12112t y y +=-------------14分所以1212211()k k t y y +=+2t =，所以123 2.k k k +=成立．--------15分19.(I)因为点()1,n n a a +在直线21y x =+上，所以121n n a a +=+， 所以112(1)n n a a ++=+，所以()111212n n n a a -+=+=所以21n n a =-----------------------4分 (II)因为121111()n n n b a a a a -=+++所以121111n n n b a a a a -=+++，111211111n n n nb a a a a a ++-=++++， 所以有1111n n n n n n n b b b a a a a +++=+=，所以111n n n n b ab a +++=成立．-----8分 （III ）由(I) 、(II)可知，111b a ==，223b a ==，2n ≥时，111n n n n b ab a +++=12111111n n T b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3121231111nnb b b b b b b b ++++=⋅⋅ 3121123411111n n n b b b b b b b b b b ++++++=⋅⋅⋅3121123411nn n a a b a b b b a a a +++=⋅⋅⋅ 112121(1)n n b b a b b a +++=⋅112n n b a ++=⋅12111112()n n a a a a -=++++-------------10分 又因为1211111n na a a a -++++=1111132121n n -++++--所以1121kk a =-()1121(21)21k k k ++-=--()112(21)21k k k ++<--()11(21)(21)2(21)21k k k k ++---=⋅-- 1112()2121k k +=---（其中2,3,4,,k n =）---------------13分所以121111112n n nT a a a a -=++++ 2334111111112212*********n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦211125121212133n +⎛⎫<+-<+= ⎪--⎝⎭所以有12111101113nn T b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．-------------15分． 20.(I) （i ）因为()10f a b c =++=，且a b c >>，所以0,0a c ><，且a c b +=-， 因为存在实数m 使得()f m a =-，即存在实数,m 使20am bm c a +++=成立，所以()240b a a c ∆=-+≥，即()2440b ab b a b +=+≥---------2分因为4330a b a a b a c +=++=->，所以0b ≥．-------------------4分 （ii ）由题意可知()0f x =的两根为1,ca， 所以可设()()1c f x a x x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0a >，0c a <，---------５分 因为()f m a =-，所以()1c a m m a a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即()110c m m a ⎛⎫--=-< ⎪⎝⎭所以必有1cm a<<，-------------------------６分 由于0a c b +=-≤，0,0a c ><，所以10c b a a +=-≤，即1ca≤-又因为a b a c >=--，所以2c a >-，所以21ca-<≤------------７分所以33321cm a+>+>-=所以()()310f m f +>=，即()30f m +>成立．----------８分． (II) 由(I)可知21ca-<≤-， 因为()()0y g x f x bx ==+=220ax bx c ⇔++=，()224440b ac b ac ∆=-=->，所以函数()()y g x f x bx ==+的图象与x 轴必有两个交点，记为()()12,0,,0x x ，则12d x x =-，122,b x x a +=-12,c x x a⋅= ()()2222112124d x x x x x x =-=+-=2244b c a a -=224()4a c ca a+--------１０分 241c c a a ⎡⎤⎛⎫=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦213424c a ⎡⎤⎛⎫=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（其中21ca -<≤-）---------１２分所以2412d ≤<，所以2d ≤<１４分．。
浙江省湖州中学2015届高三上学期期中考试数学(理)试题
浙江省湖州中学2015届高三上学期期中考试数学（理）试题1．已知集合{}{}R x y y N x x x M x∈==≥=,2,2，则MN =( ▲ )A ．）（1,0B ．]1,0[C ．)1,0[D ．]1,0( 2．“1-=m ”是“直线()0112=+-+y m mx 和直线093=++my x 垂直”的(▲ ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．将函数cos()3y x π=-的图像上各点的横坐标伸长到原的2倍(纵坐标不变),再向左平移6π个单位,所得函数图像的一条对称轴为（ ▲ ）A. 9x π=B. 8x π=C. 2x π=D. x π=4．圆5)2(22=++y x 关于直线10x y -+=对称的圆的方程为（ ▲ ）A ．22(2)5x y -+=B ．5)2(22=-+y xC ．22(1)(1)5x y -+-= D ．22(1)(1)5x y +++= 5.下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ▲ ）.A. x x f -=)( B. xx f 1)(=C.x x x f 22)(-=-D. x x f tan )(-= 6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1313113a S a ===，则（ ▲ ）A.14-B.13-C.12-D.11- 7.下列命题中，错误的是（▲ ）A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两条直线不一定平行C ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线不平行于平面α，则在平面α内不存在与平行的直线8.设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=(0a >，0)b >的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是 ( ▲ )A ．()2,1 B ．)+∞C ． ()2,1D ．()+∞,29.半径为R 的球的内部装有4个相同半径r 的小球，则小球半径r 可能的最大值为（▲ ）AR B RC RD ．12R10.已知定义在R 上的函数[)[)⎩⎨⎧-∈-∈+=0,1,21,0,2)(22x x x x x f ，且)()2(x f x f =+，则方程 252)(++=x x x f 在区间[]1,5-上的所有实根之和为（▲ ）A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11.定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>-≤-=0),2(0),15(log )(2x x f x x x f ，则)3(f =____▲ . 12. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ▲.13．已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-0306k y x x y x ，且y x z 42+=的最小值为6，则常数k = ▲ ．14. 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则652a a +的最小值为 ▲. 15.已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减．则ω的取值范围是 ▲ . 16．已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为 ▲ .17．在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量的最小值为则μλμλ++=, ▲ .三、解答题（本大题共5小题，其中18~20题每小题14分，第21、22题各15分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．设函数2()sin cos f x x x x =,x R ∈ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()()32f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为，求a .19.若}{n a 是各项均不为零的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，n N *∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（Ⅰ）求n a 和n T ；（Ⅱ）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．20. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆ 是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点．(Ⅰ)求证：PCD OE 平面//； (Ⅱ)求直线CE 与平面PDC 所成角的正弦值．21.已知,A B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，点3(1,)2D 在椭圆C 上，且直线DA 与直线DB 的斜率之积为24b -．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）如图，已知,P Q 是椭圆C 上不同于顶点的两点，直线AP 与QB 交于点M ，直线PB 与AQ 交于点N ．若弦PQ 过椭圆的右焦点2F ，求直线MN 的方程．22.已知函数bx a x x x f +-=)( （Ⅰ）当2=a ，且)(x f 是R 上的增函数，求实数b 的取值范围；；（Ⅱ）当2-=b ，且对任意)4,2(-∈a ，关于x 的方程)()(a tf x f =总有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.A D O C P BE浙江省湖州中学2014学年第一学期高三期中考试数学答卷（理）一、选择题（本大题共10题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，11．_________________________ 12．_________________________ 13．_________________________ 14．_________________________ 15．_________________________16．_________________________ 17．_________________________三、解答题（本大题共5小题，其中18~20题每小题14分，第21、22题各15分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．设函数2()sin cos f x x x x =,x R ∈ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()()32f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为，求a .19. 若}{n a 是各项均不为零的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，n N *∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（Ⅰ）求n a 和n T ；（Ⅱ）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．20. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点． (Ⅰ)求证：PCD OE 平面//； (Ⅱ)求直线CE 与平面PDC 所成角的正弦值．ADOCPBE21.已知,A B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，点3(1,)2D 在椭圆C 上，且直线DA 与直线DB 的斜率之积为24b -．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）如图，已知,P Q 是椭圆C 上不同于顶点的两点，直线AP 与QB 交于点M ，直线PB 与AQ 交于点N ．若弦PQ 过椭圆的右焦点2F ，求直线MN 的方程．23.已知函数bx a x x x f +-=)( （Ⅰ）当2=a ，且)(x f 是R 上的增函数，求实数b 的取值范围；；（Ⅱ）当2-=b ，且对任意)4,2(-∈a ，关于x 的方程)()(a tf x f =总有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.浙江省湖州中学2015届高三第一次月考数 学（理科）答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.20．解：（Ⅰ）在221n n a S -=中，令1,2n =，解得11,2a d ==，…………2分从而21n a n =-，11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，于是11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦。
2015届高三上学期期中考试数学试题(含答案解析)
2015届高三上学期期中考试数学试题（含答案解析） 一.选择（每题5分，共60分 ） 1．下列说法中，正确的是（ ） A.任何一个集合必有两个子集； B.若,A B φ=则,A B 中至少有一个为φC.任何集合必有一个真子集；D.若S 为全集，且,AB S =则,A B S ==2．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则()U C A B 等于( )A ．{1，2，4}B ．{4}C ．{3，5}D ．∅3．已知命题p ：lnx ＞0，命题q ：ex ＞1则命题p 是命题q 的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要4．函数1)4(cos 22--=πx y 是A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数5 ）A ．y 轴对称B ．直线1=x 对称C ．点（1，0）对称D ．原点对称 6．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2(0,x x f x g x a a a -+=-+>且1)a ≠，若(2)g a=，则(2)f =（ ）A.2D.2a7 ）A.(,1]-∞B ．C ．D ． [1,2) 8A ．B. C. (1,2) D. (2,3)9．若02log <a )1,0(≠>a a 且，则函数()log (1)a f x x =+的图像大致是10．函数y ＝的图象可由函数y=sin2x 的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是 ( )(A)(B) (C)(D)11．已知函数f(x)＝2x ＋1(1≤x≤3)，则 ( )A.f(x －1)＝2x ＋2(0≤ x≤2)B.f(x －1)＝－2x ＋1(2≤x≤4)C.f(x －1)＝2x －2(0≤x≤2)D.f(x －1)＝2x －1(2≤x≤4)12．定义新运算⊕：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时, 2a b b ⊕=，则函数()(1)(2)f x x x x =⊕-⊕， []2,2x ∈-的最大值等于（ ）A ．-1B ．1C ．6D ．12高三数学上学期期中测试题选择题答案：1---6________________ 7---12________________ 二.填空（每题6分，共36分）1314．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)()2(x f x f -=+，当]2,0(∈x ，1)(2-=x x f 则=)7(f ____________A .48 B.24C. 8D.015．若函数52++=x mx y 在[2,)-+∞上是增函数，则m 的取值范围是____________. 16．函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________。
【精品】2015年浙江省宁波中学高一上学期期中数学试卷
2014-2015学年浙江省宁波中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合M={﹣1，0，1，2，3}，N={x|x（x﹣3）=0}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{﹣1，1，2}C．{﹣1，0，3}D．{0，3} 2．（5分）方程lgx+x=0在下列的哪个区间内有实数解（）A．（﹣10，﹣0.1）B．（0.1，1）C．（1，10）D．（﹣∞，0）3．（5分）下列幂函数中过点（0，0），（1，1）的偶函数是（）A．y=x﹣1B．y=x C．y=x2 D．4．（5分）将﹣885°化为α+k•360°（0°≤α＜360°，k∈Z）的形式是（）A．﹣165°+（﹣2）•360°B．195°+（﹣3）•360°C．195°+（﹣2）360°D．165°+（﹣3）•360°5．（5分）如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是（）A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定6．（5分）设a=60.460.4则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b7．（5分）下列结论正确的是（）A．y=|x|在定义域内为增函数B．函数y=ln（﹣x2+2x+3）在（1，+∞）上是减函数C．函数在R上是增函数D．在（﹣∞，0）上为减函数8．（5分）函数y=2x+1﹣2x2的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）10．（5分）已知函数f（x）=，g（x）|x﹣t|﹣|x﹣2|，若对任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）＞g（x2）成立，则实数t的取值范围为（）A．（2，）B．（）C．（） D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）=．12．（4分）函数y=a x﹣2+2过定点．13．（4分）若方程|x2﹣x|﹣a=0恰有3个不同的实数解，则a=．14．（4分）已知函数，则=．15．（4分）已知函数f（x）满足，且当0≤x＜1时，f（x）=2x，则f（log215）=．16．（4分）已知定义在R上的函数f（x），其图象关于y轴对称，又知在[0，+∞）上为单调减函数，且f（2）=0，则不等式的解集为．17．（4分）已知f（x）=lg（2x+2﹣x），下列命题：①定义域为R；②值域为R；③在定义域上为偶函数；④在（﹣∞，0）上为减函数；⑤函数g（x）=f（x）﹣2恰有两个零点．其中正确命题是．（只要填写正确命题的序号）三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）18．（14分）已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，C={x|x＞a}，U=R．（1）求A∪B，（∁U A）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣|2x﹣1|﹣2．（1）作出函数f（x）的图象；（2）写出函数f（x）的单调减区间；（3）求f（x）在[﹣2，2]上的最值．20．（14分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；（2）求x≤0时，函数f（x）的解析式；（3）解关于x的不等式：f（x2+2）+f（﹣3x）＞0．21．（15分）已知函数y=+lg（﹣x2+4x﹣3）的定义域为M．（1）求M；（2）当x∈M使，求函数f（x）=4x﹣a•2x+2（a＞1）的最小值．22．（15分）已知函数f（x）=．（1）若f（0）=，求实数k的值；（2）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．2014-2015学年浙江省宁波中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合M={﹣1，0，1，2，3}，N={x|x（x﹣3）=0}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{﹣1，1，2}C．{﹣1，0，3}D．{0，3}【解答】解：∵集合M={﹣1，0，1，2，3}，N={x|x（x﹣3）=0}={0，3}，∴M∩N={0，3}．故选：D．2．（5分）方程lgx+x=0在下列的哪个区间内有实数解（）A．（﹣10，﹣0.1）B．（0.1，1）C．（1，10）D．（﹣∞，0）【解答】解：令f（x）=lgx+x∵f（0.1）=﹣1+0.1=﹣0.9＜0∴f（1）=1＞0由零点存在定理可得在（0.1，1）有实根．故选：B．3．（5分）下列幂函数中过点（0，0），（1，1）的偶函数是（）A．y=x﹣1B．y=x C．y=x2 D．【解答】解：对于A，y=x﹣1，不是偶函数，不满足条件；对于B，y=，不是偶函数，不满足条件；对于C，y=x2，是偶函数，且过点（0，0），（1，1），满足题意；对于D，y=，不是偶函数，不满足条件．故选：C．4．（5分）将﹣885°化为α+k•360°（0°≤α＜360°，k∈Z）的形式是（）A．﹣165°+（﹣2）•360°B．195°+（﹣3）•360°C．195°+（﹣2）360°D．165°+（﹣3）•360°【解答】解：﹣885°=195°+（﹣3）•360°故选：B．5．（5分）如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是（）A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定【解答】∵A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，当a=0时，A={x|2x+1=0}，即A={}．当a≠0时，需满足△=b2﹣4ac=0，即22﹣4×a×1=0，a=1．∴当a=0或a=1时满足A中只有一个元素．故选：B．6．（5分）设a=60.460.4则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b【解答】解：∵a=60.4＞60=1，0＜b=，c=log60.4＜log61=0，∴a＞b＞c．故选：C．7．（5分）下列结论正确的是（）A．y=|x|在定义域内为增函数B．函数y=ln（﹣x2+2x+3）在（1，+∞）上是减函数C．函数在R上是增函数D．在（﹣∞，0）上为减函数【解答】解：y=|x|在（﹣∞，0）上不是增函数，故A错误；函数y=ln（﹣x2+2x+3）的单词递减区间为（3，+∞），故B错误；函数在（﹣∞，1）上不是增函数，故C错误；的单词递减区间为（﹣∞，）和（，+∞），在（﹣∞，0）上为减函数正确，故D正确．故选：D．8．（5分）函数y=2x+1﹣2x2的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x→﹣∞时，2x+1→0，2x2→+∞，∴y→﹣∞，排除C，D；又当x=3时，y=24﹣2×32=16﹣18=﹣2＜0，排除B，故选：A．9．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：作函数的图象，如下图：∵a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），∴设a＞b＞c，由图象得f（a）=f（b）=f（c）∈（0，1），且﹣1，c＜0，a+b=2，∴a+b+c∈（1，2）．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=，g（x）|x﹣t|﹣|x﹣2|，若对任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）＞g（x2）成立，则实数t的取值范围为（）A．（2，）B．（）C．（） D．【解答】解：∵对任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）＞g（x2）成立，∴f（x）min＞g（x）min，f（x）=，当x≤1时，函数f（x）min=f（）=﹣，当x＞1，f（x）min＞f（1）=0，∴f（x）min=﹣，g（x）=|x﹣t|﹣|x﹣2|，当t＜2时，g（x）=，∴g（x）min=t﹣2，∴，解得t＜，当t＞2时，g（x）=，∴g（x）min=2﹣t，∴，解得t＞，当t=2时，g（x）=0，此时不成立，综上所述t的范围为（﹣∞，）∪（，+∞），故选：D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）=39．【解答】解：原式=4+﹣0+27=39．故答案为：39．12．（4分）函数y=a x﹣2+2过定点（2，3）．【解答】解：∵x=2时，y=a x﹣2+2=a0+2=3，∴函数y=a x﹣2+2过定点（2，3）．故答案为：（2，3）．13．（4分）若方程|x2﹣x|﹣a=0恰有3个不同的实数解，则a=．【解答】解：法一：∵|x2﹣x|﹣a=0，∴|x2﹣x|=a，∴a≥0，若x2﹣x＞0，则x2﹣x﹣a=0，∴△=（﹣1）2+4a=4a+1＞0，此时方程有两个不相等的实数根．若x2﹣x＜0，则﹣x2+x﹣a=0，即则x2﹣x+a=0，∴△=（﹣1）2﹣4a=﹣4a+1，当﹣4a+1＞0时，0≤a＜，此时方程有两个不相等的实数根，当﹣4a+1=0时，a=，此时方程有两个相等的实数根，当﹣4a+1＜0时，a＞，此时方程没有的实数根；∴当0≤a＜时，使得方程恰有4个不同的实根，当a=时，使得方程恰有3个不同的实根，当a＞时，使得方程恰有2个不同的实根．法二：作函数y=|x2﹣x|的图象，如图．由图象知直线y=与y=|x2﹣x|的图象有三个交点，即方程|x2﹣x|=也就是方程|x2﹣x|﹣=0有三个不相等的实数根，因此a=．故答案为：．14．（4分）已知函数，则=0．【解答】解：法一：∵函数，∴=（﹣+）+（+）=（﹣+）+=0+log41=0．法二：∵，∴f（﹣x）=﹣x+log4=﹣x+=﹣（x+log4）=﹣f（x），∴f（x）+f（﹣x）=0，∴=0．故答案为：0．15．（4分）已知函数f（x）满足，且当0≤x＜1时，f（x）=2x，则f（log215）=．【解答】解：∵函数f（x）满足，且当0≤x＜1时，f（x）=2x，∴f（log215）=f（log215﹣1）=f（log215﹣2）====．故答案为：．16．（4分）已知定义在R上的函数f（x），其图象关于y轴对称，又知在[0，+∞）上为单调减函数，且f（2）=0，则不等式的解集为（﹣2，1）∪（2，+∞）．【解答】解：∵f（x）在[0，+∞）上为单调减函数，且f（2）=0，∴当0＜x＜2时，f（x）＞0，当x＞2时，f（x）＜0．∵f（x）的图象关于y轴对称，∴f（x）是偶函数，即f（﹣x）=f（x），且当x＜﹣2时，f（x）＜0，当﹣2＜x＜0时，f（x）＞0，∵，即＜0，∴当x＞1时，f（x）＜0，即x＞2，当x＜1时，f（x）＞0，∴﹣2＜x＜1．综上，不等式的解集是（﹣2，1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣2，1）∪（2，+∞）．17．（4分）已知f（x）=lg（2x+2﹣x），下列命题：①定义域为R；②值域为R；③在定义域上为偶函数；④在（﹣∞，0）上为减函数；⑤函数g（x）=f（x）﹣2恰有两个零点．其中正确命题是①③④⑤．（只要填写正确命题的序号）【解答】解：设g（x）=2x+2﹣x≥2=2，当且仅当x=0时取等号，∴f（x）=lg（2x+2﹣x）的定义域为R，值域为（lg2，+∞），故①对，②错，∵f（﹣x）=lg（2x+2﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数，故③对，设x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2，∴g（x1）﹣g（x2）=+﹣﹣=（﹣）+（﹣）=（﹣）（1﹣）∵y=2x为增函数，∴﹣＜0，1﹣＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，∴g（x1）＜g（x2），∴g（x）在（﹣∞，0）为减函数，∵y=lgx为增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）为减函数，故④正确；令g（x）=f（x）﹣2=0，则f（x）=2，∴lg（2x+2﹣x）=2=lg100，∴2x+2﹣x=100，设2x=t，则t＞0，∴t+=100，即t2﹣100t+1=0，∴△=1002﹣4＞0，∴t1+t2=100，t1t2=1，∴t2﹣100t+1=0有两个不相等的正根，∴g（x）=f（x）﹣2=0有两个不相等的根，∴函数g（x）=f（x）﹣2恰有两个零点，故⑤对．故答案为：①③④⑤三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）18．（14分）已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，C={x|x＞a}，U=R．（1）求A∪B，（∁U A）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，U=R，∴A∪B={x|1＜x≤8}，∁U A={x|x＜2或x＞8}，则（∁U A）∩B={x|1＜x＜2}，（2）∵A={x|2≤x＜8}，C={x|x＞a}，且A∩C≠∅，∴a＜8．19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣|2x﹣1|﹣2．（1）作出函数f（x）的图象；（2）写出函数f（x）的单调减区间；（3）求f（x）在[﹣2，2]上的最值．【解答】解：函数f（x）=x2﹣|2x﹣1|﹣2．可得化为f（x）=，（1）函数f（x）的图象：如图（2）从图上可看出，f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣1）和（，1）．（3）从图象可以出f（x）在[﹣2，2]上的最大值为f（2）=﹣1．最小值为f（﹣1）=﹣4．20．（14分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；（2）求x≤0时，函数f（x）的解析式；（3）解关于x的不等式：f（x2+2）+f（﹣3x）＞0．【解答】解：（1）证明：当x＞0时，=2+，令x1＞x2＞0，则f（x1）﹣f（x2）=2+﹣2﹣=，由x1＞x2，得x2﹣x1＜0，故f（x1）﹣f（x2）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；（2）令﹣x＞0，则x＜0，则f（﹣x）===﹣f（x），故x＜0时，f（x）=﹣，f（0）=0，故x≤0时，f（x）=；（3）由题意得：f（x2+2）＞f（3x），∴x2﹣3x+2＜0，解得：1＜x＜2，故不等式的解集是（1，2）．21．（15分）已知函数y=+lg（﹣x2+4x﹣3）的定义域为M．（1）求M；（2）当x∈M使，求函数f（x）=4x﹣a•2x+2（a＞1）的最小值．【解答】解：（1）由题意得：，解得：1＜x≤2，∴M=（1，2]；（2）f（x）=22x﹣4a2x，x∈（1，2]，令t=2x，则t∈（2，4]，∴f（x）=f（t）=t2﹣4at=（t﹣2a）2﹣4a2，∵a＞1，∴2a＞2，f（t）的对称轴是：x=2a，当2＜2a＜4即1＜a＜2时：f（t）在（1，2a）递减，在（2a，4]递增，∴f（t）min=f（2a）=﹣4a2，当2a≥4即a≥2时：f（t）在（2，4]递减，f（t）min=f（4）=16﹣16a．22．（15分）已知函数f（x）=．（1）若f（0）=，求实数k的值；（2）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．【解答】解：函数f（x）=．（1）f（0）=，即=，解得：k=2．（2）对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，由题意2x=t，t＞0，可得f（t）=＞0恒成立∵t＞0，∴t2+t+1＞0则只需t2+kt+1＞0在t＞0恒成立即可．∴k＞﹣（t）=﹣2，当且仅当t=1时取等号∴实数k的取值范围是（﹣2，+∞）（3）因对任意实数x1、x2、x3，都存在以f（x1）、f（x2）、f（x3）为三边长的三角形，故f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意的x1、x2、x3∈R恒成立．由（2）可知f（t）==1+=，（t＞0）∵，∴当且仅当t=1时取等号．当k﹣1＞0，即k＞1时，该函数在[3，+∞）上单调递减，则y∈（1，]当k﹣1=0，即k=1时，y∈{1}，当k﹣1＜0，即k＜1时，该函数在[3，+∞）上单调递增，y∈[，1），∴当k＞1时，∵2＜f（x1）+f（x2）≤，且1＜f（x3）≤，解得：1＜k≤4．当k=1时，∵f（x1）=f（x2）=f（x3）=1，满足条件；当k＜1时，∵≤f（x1）+f（x2）＜2，且＜f（x3）＜1，解得：．综上可得：．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
高中高三数学上学期周测试卷 理(1.22,含解析)-人教版高三全册数学试题
某某省某某高中2015届高三上学期周测数学试卷（理科）（1.22）一．本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的4个选项中，只有一项是符合要求的．1．设复数z1=1﹣i，z2=+i，其中i为虚数单位，则的虚部为( )A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意结合复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵z1=1﹣i，z2=+i，∴=．∴的虚部为．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，则a2等于( )A．﹣2 B．2 C．1 D．4考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：利用S n=2a n﹣2，n分别取1，2，则可求a2的值．解答：解：n=1时，S1=2a1﹣2，∴a1=2，n=2时，S2=2a2﹣2，∴a2=a1+2=4．故选D．点评：本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于基础题．3．“m＞0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义集合对数函数的性质分别判断其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：若“m＞0”，则函数f（x）=m+log2x＞0，（x≥1），故函数f（x）不存在零点，是充分条件，若函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点，则m＞0，是必要条件，故选：C．点评：本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．4．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值为( )A．B．2 C．D．1考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当P与A（1，0）重合时，P到直线3x﹣4y﹣13=0的距离最小为d=．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y﹣3=0平行，则双曲线的离心率是( )A．B．C．4D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件求出双曲线方程中k的值，然后求解离心率即可．解答：解：双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y﹣3=0平行，可得双曲线的渐近线的斜率为：，即，解得k=，双曲线kx2﹣y2=1为：y2=1，得a=2，b=1，c=，∴双曲线的离心率为：．故选：A．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．6．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A．B．C．2D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出．解答：解：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，∴V==．点评：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题．7．已知函数f（x）=sin（x+），其中x∈，若f（x）的值域是，则实数a的取值X围是( ) A．（0，] B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求得x+的取值X围，由x+∈时f（x）的值域是，可知≤a+≤，可解得实数a的取值X围．解答：解：∵x∈，∴x+∈，∵x+∈时f（x）的值域是，∴由函数的图象和性质可知≤a+≤，可解得a∈．故选：D．点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，由函数的图象和性质得到不等式≤a+≤是解题的关键，属于基本知识的考查．8．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为( ) A．B．C．1 D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，再根据基本不等式，求得|AB|2的取值X围，代入化简即可得到答案．解答：解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，因为ab≤，则（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣=（a+b）2，即|AB|2≥（a+b）2，所以≥=3，则，即所求的最小值是，故选：D．点评：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f （x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值X围为( )A．（2﹣2，2﹣4）B．（+2，+）C．（2+2，2+4）D．（4，8）考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题通过奇函数特征得到函数图象经过原点，且关于原点对称，利用f（x+1）=f（x）+f（1）得到函数类似周期性特征，从而可以画出函数的草图，再利用两个临界状态的研究，得到k的取值X围．解答：解：∵当0≤x≤1时，f（x）=x2，∴f（1）=1．∵当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），∴f（x+1）=f（x）+1，∴当x∈，n∈N*时，f（x+1）=f（x﹣1）+2=f（x﹣2）+3=…=f（x﹣n）+n+1=（x﹣n）2+n+1，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数图象经过原点，且关于原点对称．∵直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，∴当x＞0时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有3个不同的公共点，∴由x＞0时f（x）的图象可知：直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有9个不同的公共点，∴直线y=kx与函数y=f（x）的图象位置情况介于上述两种情况之间．∵当x∈时，由得：x2﹣（k+2）x+2=0，令△=0，得：k=．由得：x2﹣（k+4）x+6=0，令△=0，得：k=2．∴k的取值X围为（）．点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、函数图象与性质及其应用，本题有一定的综合性，属于中档题．10．设函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，则( )A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式判断单调性，运用f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，得出a＜1，b＞1，再运用单调性得出g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，即可选择答案．解答：解：∵函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，∴f（x）与g（x）在各自的定义域上为增函数，∵f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，∴若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，∴a＜1，b＞1，∵g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，故选：A点评：本题考查了函数的性质，运用单调性判断函数的零点的位置，再结合单调性求解即可．11．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值X 围为( )A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b﹣1）2，0≤b≤1，求出X围．解答：解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为：y=3﹣x，设M（a，3﹣a），N（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，∴=（a，3﹣a）•（b，3﹣b）=2ab﹣3（a+b）+9=2（b2﹣2b+3），0≤b≤2，∴b=1时有最小值4；当b=0，或b=2时有最大值6，∴的取值X围为故选：D点评：熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键．12．设函数f1（x）=x，f2（x）=log2015x，a i=（i=1，2，3，…，2015），记I k=|f k（a2）﹣f k（a1）|+|f k（a3）﹣f k（a2）|+…+|f k（a2015）﹣f k（a2014）|，k=1，2，则( ) A．I1＜I2B．I1=I2C．I2＜I1D．无法确定考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于f1（a i+1）﹣f1（a i）==．可得I1=×2014．由于f i+1（a i+1）﹣f i（a i）==．即可得出I2==log20152015．解答：解：∵f1（a i+1）﹣f1（a i）==．∴I1=|f1（a2）﹣f1（a1）|+|f1（a3）﹣f1（a2）|+…+|f1（a2015）﹣f1（a2014）|=×2014=．∵f2（a i+1）﹣f2（a i）==．∴I2=|f2（a2）﹣f2（a1）|+|f2（a3）﹣f2（a2）|+…+|f2（a2015）﹣f2（a2014）|==log20152015=1，∴I1＜I2．故选：A．点评：本题考查了对数的运算法则、含绝对值符号式的运算，属于基础题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中横线上．13．已知等比数列{a n}，前n项和为S n，，则S6=．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，运用通项公式，列出方程，解得公比和首项，再由求和公式，即可得到所求值．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，由于，即a1+a1q=，a1q3+a1q4=6，两式相除，可得，q=2，a1=．则S6==．故答案为：点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题．14．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f （x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 (82)考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，再利用倒序相加，即可得到结论解答：解：∵f（x）=x3+sinx+2，∴f'（x）=3x2+cosx，f''（x）=6x﹣sinx，∴f''（0）=0，而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+2+﹣x3﹣sinx+2=4，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，∴…=20×4+f（0）=82．故答案为：82．点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，是解题的关键．15．给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是②③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．解答：解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④点评：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．16．有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，…，a nn成等差数列．若d m=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），则p1+p2=1．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列a1n，a2n，a3n，…，a nn中的第项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n﹣1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到d n是首项d1，公差为d2﹣d1的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出d m的通项，令p1=2﹣m，p2=m﹣1，得证，求出p1+p2即可．解答：解：由题意知a mn=1+（n﹣1）d m．则a2n﹣a1n=﹣=（n﹣1）（d2﹣d1），同理，a3n﹣a2n=（n﹣1）（d3﹣d2），a4n﹣a3n=（n﹣1）（d4﹣d3），…，a nn﹣a（n﹣1）n=（n﹣1）（d n ﹣d n﹣1）．又因为a1n，a2n，a3n，a nn成等差数列，所以a2n﹣a1n=a3n﹣a2n=…=a nn﹣a（n﹣1）n．故d2﹣d1=d3﹣d2=…=d n﹣d n﹣1，即d n是公差为d2﹣d1的等差数列．所以，d m=d1+（m﹣1）（d2﹣d1）=（2﹣m）d1+（m﹣1）d2．令p1=2﹣m，p2=m﹣1，则d m=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1．故答案为：1．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题．三．解答题：本大题共5小题，共70分.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．解答：解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PD⊥底面ABCD，∠DAB=60°，E为AB的中点．（1）证明：DC⊥平面PDE；（2）若PD=AD，求面DEP与面BCP所成二面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（1）根据底面为含有60度的菱形，得△DAB为正三角形，从而得到AB⊥DE，结合PD⊥AB 利用线面垂直判定定理，即可证出DC⊥平面PDE；（2）分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出面DEP与面BCP 的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．解答：证明：（1）∵PD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PD⊥AB连接DB，在菱形ABCD中，∠DAB=60°∴△DAB为等边三角形…又∵E为AB的中点∴AB⊥DE又∵PD∩DE=D∴AB⊥底面PDE…∵AB∥CD∴CD⊥底面PDE…解：（2）如图，分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系∴…．∴∴…∴∴…点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，熟练掌握线面垂直的判定定理是解答（1）的关键，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．19．已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“{a n}是递增数列”对求出的p的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|a n+1﹣a n|=p n”、不等式的可加性，求出和a2n+1﹣a2n=，再对数列{a n}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a n}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．解答：解：（Ⅰ）∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＞0，则|a n+1﹣a n|=p n化为：a n+1﹣a n=p n，分别令n=1，2可得，a2﹣a1=p，，即a2=1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2﹣p=0，解得或0，当p=0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，∴；（2）由题意可得，|a n+1﹣a n|=，则|a2n﹣a2n﹣1|=，|a2n+2﹣a2n+1|=，∵数列{a2n﹣1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，又∵|a2n﹣a2n﹣1|=＞|a2n+2﹣a2n+1|=，∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n=当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，，…，，这2m﹣1个等式相加可得，==，则；当数列{a n}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*），，，…，，这2m个等式相加可得，…﹣…+=﹣=，则，且当m=0时a1=1符合，故，综上得，．点评：本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．20．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得．，，所以，，==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值X围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f（x）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，可得a=，令h（x）=，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求得函数g（x）有且仅有一个零点a的值，然后结合e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求出g（x）max，即可求得m的取值X围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）•lnx﹣x2+2，定义域（0，+∞），∴f′（x）=（2x﹣2）•lnx+（x﹣2）﹣2x．∴f′（1）=﹣3，又f（1）=1，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y﹣4=0；（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，则（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a=，令h（x）=，则h′（x）=，令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）=，∵x＞0，∴t′（x）＜0，∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，又∵t（1）=h′（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1，∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e， g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），令g′（x）=0，得x=1或x=e﹣，又∵e﹣2＜x＜e，∴函数g（x）在（e﹣2，e﹣）上单调递增，在（e﹣，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，又g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣，g（e）=2e2﹣3e，∵g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣＜2e﹣＜2e＜2e（e﹣）=g（e），∴g（e﹣）＜g（e），∴m≥2e2﹣3e．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题．请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分，答题时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，由已知条件求出AB，AC，再由切割线定理能求出AF．（2）过E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能够证明AD=3ED．解答：（1）解：延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴，又∵，∴，∴，根据切割线定理得，即AF=3（2）证明：过E作EH⊥BC于H，∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，∴△EDH∽△ADF，∴，又由题意知CH=，EB=2，∴EH=1，∴，∴AD=3ED．点评：本题考查与圆有关的线段的求法，考查两条线段间数量关系的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若对任意a、b、c∈R（a≠c），都有f（x）≤恒成立，求x的取值X围；（2）解不等式f（x）≤3x．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）根据|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣c|，可得≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，由此求得x的X围．（2）不等式即|2x﹣1|≤3x，可得，由此求得不等式的解集．解答：解：（1）∵|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣b+（b﹣c）|=|a﹣c|，故有≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，∴﹣1≤2x﹣1≤1，求得0≤x≤1．（2）不等式f（x）≤3x，即|2x﹣1|≤3x，∴，求得x≥，即不等式的解集为{x|x≥}．点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．。
《解析》浙江省深化课程改革协作校联考2015届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
浙江省深化课程改革协作校联考2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|﹣2≤x≤3}，则（∁R A）∩B=（）A．R B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，3]D．[﹣2，4]2．（5分）已知函数f（x）=Acos（x+φ）（A＞0，φ∈R），则“f（x）是偶函数”是“φ=π”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）A．16﹣πB．16+πC．16﹣2πD．16+2π4．（5分）为了得到函数y=sin（2x+2）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动2个单位长度B．向右平行移动2个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度5．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{a1a n}为递增数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞06．（5分）已知a，b，c为三条不同的直线，α和β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，α∩β=c．下列命题中正确的是（）A．若a与b是异面直线，则c与a，b都相交B．若a不垂直于c，则a与b一定不垂直C．若a∥b，则a∥cD．若a⊥b，a⊥c则α⊥β7．（5分）已知A，B，C是圆O：x2+y2=1上任意的不同三点，若=3+x，则正实数x的取值范围为（）A．（0，2）B．（1，4）C．（2，4）D．（3，4）8．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若=2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．5D．9．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，M是棱PC上一点．若PA=AC=a，则当△MBD的面积为最小值时，直线AC与平面MBD所成的角为（）A．B．C．D．10．（5分）已知非空集合A，B，C，若A={y|y=x2，x∈B}，B={y|y=，x∈C}，C={y|y=x3，x∈A}，则A，B，C的关系为（）A．A=B=C B．A=B⊊C C．A⊊B=C D．A⊊B⊊C二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）已知角α终边经过点P（12，﹣5），则sinα=．12．（4分）设f（x）=，则f[f（）]=．13．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若2S n=3a n﹣2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为．14．（4分）已知实数x，y满足约束条件，若y﹣mx≤2恒成立，则实数m的取值范围为．15．（4分）若函数f（x）=x|2x﹣a|（a＞0）在区间[2，4]上单调递增，则实数a的取值范围是．16．（4分）已知抛物线y2=2px过点M（，），A，B是抛物线上的点，直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，则直线AB恒过定点．17．（4分）已知实数x，y满足3x+3y=9x+9y，则的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB=2sin（+B）•sin（﹣B）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面积的最大值．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为﹣1，首项为正数，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n与前n项和S n；（Ⅱ）是否存在三个不等正整数m，n，p，使m，n，p成等差数列且S m，S n，S p成等比数列．20．（14分）在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB 的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．21．（15分）若椭圆C1：=1（a＞b＞0），过点Q（1，）作圆C2：x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线l与圆C2相切于点P，且交椭圆C1于点M，N，求证：∠MON是钝角．22．（15分）设函数f（x）=x2+px+q，p，q∈R．（Ⅰ）若p+q=3，当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥0恒成立，求p的取值范围；（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，试求所有的实数对（p，q）．浙江省深化课程改革协作校联考2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|﹣2≤x≤3}，则（∁R A）∩B=（）A．R B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，3]D．[﹣2，4]考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题；集合．分析：化简集合A={x|x＞4或x＜﹣1}，从而求∁R A={x|﹣1≤x≤4}再求（∁R A）∩B={x|﹣1≤x≤3}．解答：解：A={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，B={x|﹣2≤x≤3}，∁R A={x|﹣1≤x≤4}，则（∁R A）∩B={x|﹣1≤x≤3}，故选C．点评：本题考查了集合的化简与集合的运算，属于基础题．2．（5分）已知函数f（x）=Acos（x+φ）（A＞0，φ∈R），则“f（x）是偶函数”是“φ=π”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据三角公式可得），Acos（﹣x+φ）=Acos（x+φ），φ=kπ，k∈z，再由充分必要条件的定义可判断．解答：解：∵函数f（x）=Acos（x+φ）（A＞0，φ∈R），f（x）是偶函数∴f（﹣x）=f（x），Acos（﹣x+φ）=Acos（x+φ）sinφ=0，即φ=kπ，k∈z，∴根据充分必要条件的定义可判断：“f（x）是偶函数”是“φ=π”的必要不充分条件，故选：A点评：本题考查了充分必要条件的定义，三角函数的运算公式，属于中档题．3．（5分）某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）A．16﹣πB．16+πC．16﹣2πD．16+2π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，求出底面周长和面积，进而可得该几何体的表面积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，底面面积S底=2×2﹣2×=4﹣，底面周长C=4×1+2××π×2×1=4+π，由该几何体的高h=2，故该几何体的侧面积S侧=Ch=8+2π，故该几何体的表面积S=S侧+2S底=16+π，故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积或表面积，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．4．（5分）为了得到函数y=sin（2x+2）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动2个单位长度B．向右平行移动2个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论．解答：解：∵y=sin（2x+2）=sin2（x+1），∴将函数y=sin2x图象向左平移1单位，即可，故选：C点评：本题主要考查三角函数图象之间的关系，根据三角函数解析式之间的关系是解决本题的关键．5．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{a1a n}为递增数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用数列{a1a n}的后一项与前一项的差大于0得答案．解答：解：∵数列{a n}是公差为d的等差数列，且数列{a1a n}为递增数列，∴a1a n﹣a1a n﹣1=a1（a n﹣a n﹣1）=a1d＞0．故选：D．点评：本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的性质，是基础题．6．（5分）已知a，b，c为三条不同的直线，α和β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，α∩β=c．下列命题中正确的是（）A．若a与b是异面直线，则c与a，b都相交B．若a不垂直于c，则a与b一定不垂直C．若a∥b，则a∥cD．若a⊥b，a⊥c则α⊥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：阅读型；空间位置关系与距离．分析：若a，b是异面直线，则c与a，b都相交，或与a，b中一条相交，一条平行，即可判断A；若a不垂直于c，假设a∥c，b⊥c，则有b⊥a，即可判断B；运用线面平行的判定定理和性质定理，即可判断C；运用面面垂直的判定定理，即可判断D．解答：解：对于A．若a，b是异面直线，则c与a，b都相交，或与a，b中一条相交，一条平行，故A错；对于B，若a不垂直于c，假设a∥c，b⊥c，则有b⊥a，故B错；对于C．若a∥b，则由线面平行的判定定理得，a∥β，再由线面平行的性质定理，可得a∥c，故C对；对于D．若a⊥b，a⊥c，如果b∥c，则α、β不垂直，只有b、c相交，才有α⊥β，故D错．故选C．点评：本题考查空间直线的位置关系，考查线面平行的判定和性质的运用，考查面面垂直的判定定理，考查空间想象能力，属于中档题和易错题．7．（5分）已知A，B，C是圆O：x2+y2=1上任意的不同三点，若=3+x，则正实数x的取值范围为（）A．（0，2）B．（1，4）C．（2，4）D．（3，4）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：三点A，B，C在圆O：x2+y2=1上，所以|OA|=|OB|=|OC|=1，所以可以想到对两边进行平方，从而去掉向量符号，得到1=9，并求出．可以判断，所以，解该不等式即得x的取值范围．解答：解：根据已知条件知：；∴对两边平方可得：1=；∵x＞0，∴；∵A，B，C是不同三点；∴，∴；∴，解得2＜x＜4；∴正实数x的取值范围为（2，4）．故选C．点评：考查向量的长度的概念，向量数量积的计算公式，向量夹角的概念及范围，以及解分式不等式，一元二次不等式组．8．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若=2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．5D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把B，C表示出来，再=2，求出a，b，c，然后求双曲线的离心率．解答：解：因为F（c，0），所以过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为1的直线为：y=x﹣c，渐近线的方程是：y=x，由得：B（，），由得，C（，﹣），所以=（c﹣，﹣），=（﹣，﹣﹣），又，解得：b=3a，所以由a2+b2=c2得，10a2=c2，所以e=．故选：D．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意两点间距离公式的合理运用．9．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，M是棱PC上一点．若PA=AC=a，则当△MBD的面积为最小值时，直线AC与平面MBD所成的角为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：首先证明通过线面垂直进一步证明所以BD⊥平面PAC，然后当△MBD的面积为最小时，只需OM最小即可，过O点作OM⊥PC，不影响线面的夹角．由于PA=AC=a，进一步求出结果，解答：解：连结AC，BD交于O，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，所以：PA⊥BDAC⊥BD．所以BD⊥平面PAC进一步求出：BM=DM过O点作OM⊥PC于M，当△MBD的面积为最小时，只需OM最小即可．若PA=AC=a所以：∠ACP=即为所求．故选：B点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理，线面夹角的应用，菱形的性质定理．属于基础题．10．（5分）已知非空集合A，B，C，若A={y|y=x2，x∈B}，B={y|y=，x∈C}，C={y|y=x3，x∈A}，则A，B，C的关系为（）A．A=B=C B．A=B⊊C C．A⊊B=C D．A⊊B⊊C考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：由集合A，B，C的表示形式及元素与集合的关系知：任意的x∈A，都有x∈C，而任意的x∈C，都有x∈A，所以A=C，同样的办法可得到A=B，所以A，B，C的关系为：A=B=C．解答：解：根据集合A，B知：对应∀x∈A，能得到x∈B，x∈C，即A中任意一个元素都是集合C的元素；根据集合C知：对应∀x∈C，都有x∈A，即C中任意一个元素都是集合A的元素；∴集合A，C的元素相同，即A=C；同理可得A=B；∴A=B=C．故选A．点评：考查描述法表示集合，以及元素与集合的关系，也可通过子集的概念：根据已知条件知，A⊆B⊆C⊆A，所以A=B．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）已知角α终边经过点P（12，﹣5），则sinα=﹣．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．解答：解：∵角α终边经过点P（12，﹣5），∴x=12，y=﹣5，r=|OP|==13，则sinα==﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．12．（4分）设f（x）=，则f[f（）]=10．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：将其代入解析式lgx求出值为﹣1，﹣1＜0代入解析式10﹣x求出值．解答：解：，f[f（）]=f（﹣1）=10故答案为：10点评：本题考查分段函数求函数值，关键是判定出自变量所属的范围，属于基础题．13．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若2S n=3a n﹣2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：令n=1，得a1=2，当n≥2时，2a n=3a n﹣3a n﹣1﹣2，由此推导出数列{a n+1}是首项为3公比为3的等比数列，从而得到．解答：解：令n=1，得2a1=3a1﹣2，解得a1=2，当n≥2时，由2S n=3a n﹣2n（n∈N*），得2S n﹣1=3a n﹣1﹣2（n﹣1），两式相减得2a n=3a n﹣3a n﹣1﹣2整理得=3，∴数列{a n+1}是首项为3公比为3的等比数列，∴，∴a n=3n﹣1．故答案为：．点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．14．（4分）已知实数x，y满足约束条件，若y﹣mx≤2恒成立，则实数m的取值范围为﹣1≤m≤2．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，y﹣mx=2恒过点（0，2），且m是y﹣mx=2斜率，由图可知斜率m的取值范围．解答：解：由题意作出其平面区域，y﹣mx=2恒过点（0，2），且m是y﹣mx=2斜率，则由上图可知，若使y﹣mx≤2恒成立，则﹣1≤m≤2，故答案为：﹣1≤m≤2．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．15．（4分）若函数f（x）=x|2x﹣a|（a＞0）在区间[2，4]上单调递增，则实数a的取值范围是（0，4]∪[16，+∞）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：化为分段函数，根据函数的单调性，求的a的范围，利用了数形结合的思想．解答：解：∵f（x）=x|2x﹣a|（a＞0），∴f（x）=，当x≥时，f（x）=2x2﹣ax，函数f（x）在[，+∞）为增函数，当x＜时，f（x）=﹣2x2+ax，函数f（x）在（﹣∞，）为增函数，在（，）为减函数又函数f（x）=x|2x﹣a|在[2，4]上单调递增，∴≤2或，又a＞0，∴0＜a≤4或a≥16．故答案为：（0，4]∪[16，+∞）．点评：本题主要考查了根据函数的单调性求出参数的取值范围的问题，属于基础题．16．（4分）已知抛物线y2=2px过点M（，），A，B是抛物线上的点，直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，则直线AB恒过定点（﹣，0）．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出抛物线方程，再利用直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，可得y1y2=，求出直线方程令y=0，可得直线AB恒过定点（﹣，0）．解答：解：∵抛物线y2=2px过点M（，），∴p=1，∴抛物线方程为y2=2x，设A（，y1），B（，y2），则∵直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，∴8=，∴y1y2=，直线AB的方程为y﹣y1=（x﹣），令y=0，可得x=﹣y1y2=﹣，∴直线AB恒过定点（﹣，0）．故答案为：（﹣，0）．点评：本题考查抛物线方程，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（4分）已知实数x，y满足3x+3y=9x+9y，则的取值范围是（1，]．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：设3x+3y=t，由题设条件结合基本不等式得t的范围，将所求化简为﹣t2+t，利用二次函数区间的最值求范围．解答：解：设3x+3y=t≥2，∴3x+y≤，又3x+3y=9x+9y=（3x+3y）2﹣2×3x+y，∴3x+y=＞0，∴t＞1；∴即t2﹣2t≤0，解得0≤t≤2；∴1＜t≤2；由已知，==3x+3y﹣3x+y=t﹣=﹣t2+t=（t）2+，∴t=时，的最大值为；t=1时的最小值为1；所以的取值范围是（1，]．故答案为：（1，]．点评：本题考查了繁分式的化简；关键是由已知得到t的范围，借助于二次函数求最值，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB=2sin（+B）•sin（﹣B）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面积的最大值．考点：两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）利用两角和与差的正弦公式化简式子，利用平方关系、条件求出角B的值；（Ⅱ）利用余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，把数据代入利用不等式求出ac的范围，代入三角形的面积公式求出面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）由条件得sinB=2（）（），即sinB=cos2B﹣sin2B，由sin2B+cos2B=1得，2sin2B+sinB﹣1=0，解得sinB=或sinB=﹣1…（5分）因为△ABC是锐角三角形，所以B=…（7分）（Ⅱ）由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，把b=1，B=代入可以得到：≥，所以=2…（10分）所以≤…（13分）当且仅当a=c时取等号，此时△ABC的面积的最大值是…（14分）点评：本题考查两角和与差的正弦公式，余弦定理，平方关系等，以及利用不等式求三角形面积的最大值，这是常考的题型．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为﹣1，首项为正数，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n与前n项和S n；（Ⅱ）是否存在三个不等正整数m，n，p，使m，n，p成等差数列且S m，S n，S p成等比数列．考点：等比关系的确定；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意设前4项为a、a﹣1、a﹣2、a﹣3，根据等比中项的性质分别列出四个方程，由等比数列的项不为零，求出a的值，代入通项公式和前n项和公式求出a n与S n；（Ⅱ）假设存在三个不等正整数m，n，p满足条件，根据等比中项的性质得Sn2=Sm•Sp，把S n代入并化简，再由基本不等式得出矛盾，从而说明假设不成立．解答：解：（Ⅰ）由题意设前4项为a、a﹣1、a﹣2、a﹣3，且a＞0，因为4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，则（a﹣1）2=a（a﹣2）或（a﹣2）2=（a﹣1）（a﹣3）或（a﹣1）2=a（a﹣3）或（a﹣2）2=a（a﹣3），又a＞0，且a≠1、2、3，解得a=4，所以a n=5﹣n，S n==．（Ⅱ）假设存在三个不等正整数m，n，p满足条件，由S m，S n，S p成等比数列得，S n2=S m•S p，所以，即=，又m，n，p成等差数列，则2n=m+p，所以=（9﹣n）2，且mp≤=n2，则，当且仅当m=p时取等号．故不存在三个不等正整数m、n、p，使m、n、p成等差数列且S m，S n，S p成等比数列．点评：本题考查等比中项的性质，等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，以及利用基本不等式证明数列的不等式问题，难度较大，比较综合．20．（14分）在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB 的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取AC中点G，连接DG，FG，由已知得四边形DEFG是平行四边形，由此能证明EF∥平面ACD．（Ⅱ）过点B作BM垂直DE的延长线于点M，过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则∠BHM是二面角B﹣AD﹣E的平面角，由此能求出二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．解答：解：（Ⅰ）证明：取AC中点G，连接DG，FG．因为F是AB的中点，所以FG是△ABC的中位线，则FG∥BC，FG=，所以FG∥DE，FG=DE，则四边形DEFG是平行四边形，所以EF∥DG，故EF∥平面ACD．（Ⅱ）解：过点B作BM垂直DE的延长线于点M，因为AE⊥平面BCDE，所以AE⊥BM，则BM⊥平面ADE，过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则AD⊥平面BMH，所以AD⊥BH，则∠BHM是二面角B﹣AD﹣E的平面角．设DE=a，则BC=AB=2a，在△BEM中，EM=，BE=，所以BM=．又因为△ADE∽△MDH，所以HM=，则tan∠BHM=．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．（15分）若椭圆C1：=1（a＞b＞0），过点Q（1，）作圆C2：x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线l与圆C2相切于点P，且交椭圆C1于点M，N，求证：∠MON是钝角．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意可知：c=1，k OQ=，则k AB=﹣2，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由题意得∠MON是钝角；当直线l的斜率存在时，设直线l 的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆，联立得到：（5k2+4）x2+10kmx+5m2﹣20=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明∠MON是钝角．解答：（Ⅰ）解：由题意可知：c=1，k OQ=，则k AB=﹣2，…（3分）所以直线AB的方程是y=﹣2（x﹣1），即y=﹣2x+2，即b=2．…（5分）所以a2=b2+c2=5，故椭圆的标准方程为：．…（7分）（Ⅱ）证明：当直线l的斜率不存在时，由题意得∠MON是钝角，…（9分）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆，联立得到：（5k2+4）x2+10kmx+5m2﹣20=0，则=x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2，由韦达定理，得，，代入上式可以得到：=（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=，…（12分）因为直线l与圆C2相切，则=1，所以m2=1+k2，…（14分）代入上式：=，所以∠MON是钝角．…（15分）点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查角为钝角的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22．（15分）设函数f（x）=x2+px+q，p，q∈R．（Ⅰ）若p+q=3，当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥0恒成立，求p的取值范围；（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，试求所有的实数对（p，q）．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由p+q=3便可得到f（x）=x2+px+3﹣p，讨论判别式△的取值，从而判断f（x）≥0解的情况：△=p2﹣4（3﹣p）≤0，即﹣6≤p≤2时，f（x）≥0满足在[﹣2，2]上恒成立；△=p2﹣4（3﹣p）＞0，即p＜﹣6，或p＞2时，对于方程x2+px+3﹣p=0的两根，大根，或小根，所以通过解不等式求出△＞0时p的取值范围，再合并﹣6≤p≤2即可得到p的取值范围；（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，则必须，（1），然后通过解该不等式组能够得出p的取值范围，并求出的范围，可判断f（x）的对称轴在区间[1，5]上，所以f（x）在[1，5]上的最小值f（﹣）≥﹣2，该不等式结合不等式组（1）通过求p的取值范围，能够求出p=﹣6，将p带入前面不等式，同样通过求q的范围能够得到q=7，所以便得到满足条件的实数对只一对为（﹣6，7）．解答：解：（Ⅰ）∵p+q=3，∴q=3﹣p；∴f（x）=x2+px+3﹣p；x∈[﹣2，2]时，f（x）≥0恒成立：（1）若△=p2﹣4（3﹣p）≤0，即﹣6≤p≤2时，f（x）满足该条件；（2）若△=p2﹣4（3﹣p）＞0，即p＜﹣6，或p＞2时，则p需满足：，或；解得﹣7≤p≤﹣4，∴﹣7≤p＜﹣6；综合（1）（2）得﹣7≤p≤2；∴p的取值范围是[﹣7，2]；（Ⅱ）要使|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，则需满足：，即（3）；∴；①+②得﹣7≤p≤﹣5；f（x）的对称轴为x=，；∴f（x）的对称轴在区间[1，5]内；∴要使|f（x）|＞2，在区间[1，5]上无解，还需满足：，即，即q；结合（3）可得到p，q需满足：，解该不等式组得：p=﹣6，带入该不等式组可得q=7；所以满足题意的实数对（p，q）只有一对：（﹣6，7）．点评：考查一元二次不等式解的情况和判别式△的关系，一元二次方程的求根公式，以及二次函数的对称轴，及顶点处的函数值，可结合二次函数f（x），|f（x）|图象求解本题．。
2015届高三上学期期中质量评估数学(理)试题 扫描版含答案
2014年秋期高三年级理科期中考试答案一.选择题: 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DDBADCDAAABD二.填空题:13.5 14.0 15.1 16.①②③④ 三.解答题:17.解：（I ）∵f x ()为偶函数()()∴s i n s i n -+=+ωϕωϕx x 即20s i n c o s ωϕx =恒成立∴cos ϕ=0 ∵，∴02≤≤=ϕπϕπ……………………………………………………………3分 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π ∴T =2π ∴ω=1∴f x x ()c o s = ……………………………………………………………………5分 （II ）∵原式=-++=s i n c o s t a n s i n c o s22112αααα ……………………………7分 又∵，∴s i n c o s s i n c o s αααα+=+=231249 …… ………………………9分 即259s i n c o s αα=-， 故原式=-59………………………………………10分18.解：由⎩⎨⎧+=+=xx y x y 321，得0123=-+-x x x ， 即0)1)(1(2=+-x x ，1=∴x ，∴交点为)2,1(．…………………………………2分 又x x f 2)('=，2)1('=∴f ,∴曲线)(x f y =在交点处的切线1l 的方程为)1(22-=-x y ，……………………5分即x y 2=，又13)('2+=x x g . ∴4)1('=g .∴曲线)(x g y =在交点处的切线2l 的方程为)1(42-=-x y ，即24-=x y . ………………………………………………………………8分取切线1l 的方向向量为)2,1(=a ，切线2l 的方向向量为)4,1(=b ，…………10分 则858591759||||cos =⨯=⋅=b a b a θ. ……………………………………12分19.解：（Ⅰ）由,47)43(1sin ,43cos 2=-==B B 得 由ac b =2及正弦定理得 .s i n s i ns i n 2C A B =则CA AC A C C C A A C A sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1+=+=+22sin()sin 147.sin sin sin 7A CB B B B +==== …………………………6分 （Ⅱ）由32BA BC ⋅=，得23cos =B ac ，由43cos =B ，可得ac ＝2，即b 2＝2．…………………………………………………………8分由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得5cos 2222=+=+B ac b c a ，3,9452)(222=+=+=++=+c a ac c a c a ……………………12分20.解：（Ⅰ）∵*n N ∈时，n n n a S a -=22， ①当2≥n 时，21112n n n a S a ---=-， ② ………………………………2分由①－②得，22111(2)(2)n n n n n n a a S a S a ----=---即2211n n n n a a a a ---=+，∵01>+-n n a a ∴)2(11≥=--n a a n n ，………………4分 由已知得，当1=n 时， 21112a S a =-，∴11=a .………………………………５分故数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列.∴*()N n a n n =∈. …………６分 （Ⅱ）∵*()N n a n n =∈，∴n n n n b 2)1(31⋅-+=-λ,…………7分∴111133(1)2(1)2n n n n n n n n b b λλ++-+-=-+-⋅--⋅1233(1)2n n n λ-=⨯-⋅-⋅.要使得1n n b b +>恒成立,只须113(1)()2n n λ---⋅<. …………８分(1)当n 为奇数时,即13()2n λ-<恒成立.又13()2n -的最小值为1,∴1λ<. ……9分(2)当n 为偶数时,即13()2n λ->-恒成立.又13()2n --的最大值为32-,∴32λ>- ……………………………………１０分∴由(1),(2)得312λ-<<,又0λ≠且λ为整数,……………………１１分∴1λ=-对所有的*N n ∈,都有1n n b b +>成立. ………………１２分21.解：（I ）ax x x x f 22131)(23++-= ，a x x x f 2)('2++-=∴ …………………2分函数)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，即导函数在),32(+∞上存在函数值大于零的部分， 0232)32()32('2>++-=∴a f 91->∴a ……………………………………6分(II))(x f 取到最小值316-，而a x x x f 2)('2++-=的图像开口向下，且对称轴方程为21=x ，02)1('>=a f ， 0122)4('<-=a f则必有一点使得0'()0=f x ……………………………………8分此时函数)(x f 在0[1,]x 上单调递增，在0[,4]x 单调递减.612)1(+=a f ,a f 8340)4(+-=,)1()4(f f <∴3168340)4()(min -=+-==∴a f x f , 1=∴a , …………………10分此时，由200000'()202,1()=-++=∴==-舍去f x x x x x ，所以函数max 10()(2)3==f x f ………………………………………………………12分22.解答:[],4,10∈x.3分8分12分。
2015届高三数学理科统计概率及随机变量分布列大题训练(16题)(含答案)
2015届高三数学理科统计概率及随机变量分布列大题训练(16题)(含答案)1.一个口袋中有2个白球和$n$个红球($n\geq2$，且$n\in\mathbb{N}^*$)，每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。
1)试用含$n$的代数式表示一次摸球中奖的概率$p$；2)若$n=3$，求三次摸球恰有一次中奖的概率；3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为$f(p)$，当$n$为何值时，$f(p)$取最大值。
2.一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：学生 | S1.| S2.| S3.| S4.| S5.|语文 | 87.| 90.| 91.| 92.| 95.|英语 | 86.| 89.| 89.| 92.| 94.|1)根据表中数据，求英语分$y$对语文分$x$的线性回归方程；2)要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以$\xi$表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量$\xi$的分布列及数学期望$E\xi$。
3.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动。
为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为$n$）进行统计。
按照$[50,60)$，$[60,70)$，$[70,80)$，$[80,90)$，$[90,100]$的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在$[50,60)$，$[90,100]$的数据）。
1)求样本容量$n$和频率分布直方图中$x$，$y$的值；2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设$\xi$表示所抽取的3名同学中得分在$[80,90)$的学生个数，求$\xi$的分布列及其数学期望。
4.某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B。
2015届浙江省台州中学高三上学期期中考试(数学理)
台州中学2014学年第一学期期中试题高三 数学（理科）参考公式：柱体的体积公式 球的表面积公式V Sh = 24S R π=其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 球的体积公式 锥体的体积公式 343V R π=13V Sh =其中R 表示球的半径 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 台体的体积公式()1213V h S S =+其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|20}A x x x =--…，{|ln(1)}B x y x ==-，则AB =（ ▲ ）A ．B ．C ．[1,1)-D ． 2.设函数是偶函数，且在上单调递增，则（ ▲ ） A.B.C.D.abA B ．-．5．若m ．n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确．．．的是 ( ▲ ) (1,2)(1,2](1,1)-A ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥βB ．若α∩β=m ，n 与α、β所成的角相等，则m ⊥nC ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥βD ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α6.设实数列{}{}n n a b 和分别为等差数列与等比数列，且11444,1a b a b ====，则以下结论正确的是（ ▲ ） A ．22a b > B ．33a b <C ．55a b >D ．66a b >7．若，则向量a b -与b 的夹角为（ ▲ ）A ．B.C.D.8．已知函数的图象与直线y=m 有三个交点的横坐标分别为123123123 AB ．C ．D ．9．已知直线0x y k +-=(0)k >与圆4x y +=交于不同的两点A 、B ，是坐标原点，且有3||||3OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是（ ▲ ）A. )+∞B.C. )+∞D.10.已知函数. 设关于x 的不等式的解集为A , 若,则实数a 的取值范围是( ▲ )A.B.C.D.二、填空题（本大题共7小题, 每小题4分,共28分）11．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为h 的值为 ▲ 12．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时2()log (1)1f x x m =+++， 则(3)f -= ▲ ．13．设变量,x y 满足121y y x x y m ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤-+≤，若目标函数1z x y =-+的最小值为0，则m 的值等于 ▲14.已知实数0,0<<b a ,且1=ab ,那么ba b a ++22的最大值为 ▲15．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左顶点与抛物线y 2=2px 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为 ▲16． 若数列{}n a 满足1112,1n n na a a a ++==-（n ∈N *），则该数列的前2015项的乘积1232015a a a a ⋅⋅⋅= __▲____17． 对函数f （x ），若任意a ，b ，c ∈R ，f （a ），f （b ），f （c ）为一三角形的三边长，则称f （x ）为“三角型函数”，已知函数f （x ）=（m ＞0）是“三角型函数”，则实数m 的取值范围是 ▲三、解答题（本大题共5小题,满分72分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤） 18．（本小题满分14分）已知函数2()2sin ()2,,442f x x x x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦．设x α= 时()f x 取到最大值．（1）求()f x 的最大值及α的值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12A πα=-，且2sin sin sinB C A =，求b c -的值．19．（本小题满分14分）数列{}n a 的前n 项和是n S ，且112n n S a +=. ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 记23log 4n n a b =，数列21{}n n b b +⋅的前n 项和为n T ，若不等式n T m <，对任意的正整数n 恒成立，求m 的取值范围。
2015年浙江省台州中学高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2014-2015学年浙江省台州中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．[﹣1，1）D．（﹣1，1）2．（5分）设函数y=f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则（）A．f（﹣2）＞f（1）B．f（﹣2）＜f（﹣1） C．f（﹣2）＞f（2）D．f （|x|）＜f（x）3．（5分）“3a＞3b”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件C．充要条件D．必要不充分条件4．（5分）已知α为第二象限角，sinα+cosα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）若m．n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A．若α∥β，m⊥α，则m⊥βB．若α∩β=m，n与α、β所成的角相等，则m⊥nC．若m∥α，m⊥β，则α⊥βD．若m∥n，m⊥α，则n⊥α6．（5分）设{a n}，{b n}分别为等差数列与等比数列，且a1=b1=4，a4=b4=1，则以下结论正确的是（）A．a2＞b2B．a3＜b3C．a5＞b5D．a6＞b67．（5分）若|+|=|﹣|=2||，则向量﹣与的夹角为（）A．B．C． D．8．（5分）已知函数的图象与直线y=m有三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是（）A． B． C． D．9．（5分）已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为10，则h=．12．（4分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=log2（x+1）+m+1，则f（﹣3）=．13．（4分）设变量x，y满足，若目标函数z=x﹣y+1的最小值为0，则m的值等于．14．（4分）已知实数a＜0，b＜0，且ab=1，那么的最大值为．15．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p ＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为．16．（4分）若数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则该数列的前2015项的乘积a1•a2•a3•…a2015=．17．（4分）对函数f（x），若任意a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为一三角形的三边长，则称f（x）为“三角型函数”，已知函数f（x）=（m＞0）是“三角型函数”，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，满分72分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤）18．（14分）已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f（x）取到最大值．（1）求f（x）的最大值及α的值；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c的值．19．（14分）数列{a n}的前n项和是S n，且S n+=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=log3，数列的前n项和为T n，若不等式T n＜m，对任意的正整数n恒成立，求m的取值范围．20．（15分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起到△APM，使得平面APM⊥平面ABCM，点E在线段PB上，且PE=PB．（Ⅰ）求证：AP⊥BM（Ⅱ）求二面角E﹣AM﹣P的大小．21．（15分）已知点在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，椭圆C的左焦点为（﹣1，0）（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过点T（m，0）交椭圆C于M、N两点，AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN∥AB，问是否存在正数m，使为定值？若存在，请求m的值；若不存在，请说明理由．22．（14分）已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|，（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；（2）设h（x）=|f（x）|+g（x），当x∈[﹣2，2]时，不等式h（x）≤a2恒成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年浙江省台州中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．[﹣1，1）D．（﹣1，1）【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1≤x＜1}=[﹣1，1）．故选：C．2．（5分）设函数y=f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则（）A．f（﹣2）＞f（1）B．f（﹣2）＜f（﹣1） C．f（﹣2）＞f（2）D．f （|x|）＜f（x）【解答】解：∵函数y=f（x）是偶函数，∴f（﹣2）=f（2），∵函数在[0，+∞）上单调递增，∴f（2）＞f（1），∴f（﹣2）＞f（1），故选：A．3．（5分）“3a＞3b”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件C．充要条件D．必要不充分条件【解答】解：若3a＞3b，则a＞b，若lna＞lnb，则a＞b＞0，∴“3a＞3b”是“lna＞lnb”的必要不充分条件，故选：D．4．（5分）已知α为第二象限角，sinα+cosα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：把sinα+cosα=，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，整理得：2sinαcosα=﹣＜0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，∴sinα﹣cosα=，则cos2α=﹣（sinα+cosα）（sinα﹣cosα）=﹣．故选：C．5．（5分）若m．n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A．若α∥β，m⊥α，则m⊥βB．若α∩β=m，n与α、β所成的角相等，则m⊥nC．若m∥α，m⊥β，则α⊥βD．若m∥n，m⊥α，则n⊥α【解答】解：对于A，若α∥β，m⊥α，由面面平行的性质可知，m⊥β，故A正确；对于B，α∩β=m，若m∥n，且n∥α，n∥β，则n与α、β所成的角相等，故B 错误；对于C，若m∥α，m⊥β，不妨令m在平面α内的射影为m′，则m∥m′，故m′⊥β，由面面垂直的性质定理可知，α⊥β，故C正确；对于D，若m∥n，m⊥α，由线线平行的性质可知n⊥α，故D正确．6．（5分）设{a n}，{b n}分别为等差数列与等比数列，且a1=b1=4，a4=b4=1，则以下结论正确的是（）A．a2＞b2B．a3＜b3C．a5＞b5D．a6＞b6【解答】解：∵a1=4，a4=1∴d=﹣1∵b1=4，b4=1又∵0＜q＜1∴q=∴b2=＜a2=3∴b3=＜a3=2∴b5=＞a5=0∴b6=＞a6=﹣1故选：A．7．（5分）若|+|=|﹣|=2||，则向量﹣与的夹角为（）A．B．C． D．【解答】解：由题意可得，化简可得=0，=3•，∴OA⊥OB，OB=OA．设=，=，=+，则=﹣．则π﹣∠OBC即为向量与﹣的夹角．直角三角形OAB中，由于tan∠OBC==，∴∠OBC=，∴π﹣∠OBC=，即向量与﹣的夹角为，8．（5分）已知函数的图象与直线y=m有三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是（）A． B． C． D．【解答】解：函数的图象取得最值有2个x值，分别为x=和x=，由正弦函数图象的对称性可得x1+x2=2×=，x2+x3 =2×=．故x1+2x2+x3=x1+x2+x2+x3==，故选：C．9．（5分）已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，∴∴4＞∴4＞∵k＞0，∴故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．【解答】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0；（3）x＞时，解得，综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，故选：A．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为10，则h=．【解答】解：由三视图知几何体四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为h，四棱锥的底面为矩形，矩形的长和宽分别为5和6；则几何体的体积V=×5×6×h=10，∴h=．故答案为：．12．（4分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=log2（x+1）+m+1，则f（﹣3）=﹣2．【解答】解：f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=m+1=0，∴m=﹣1，f（﹣3）=﹣f（3）=﹣log2（3+1）=﹣log24=﹣2．故答案为：﹣2．13．（4分）设变量x，y满足，若目标函数z=x﹣y+1的最小值为0，则m的值等于5．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣y+1化为y=x+1﹣z，1﹣z相当于直线y=﹣y=x+1﹣z的纵截距，则由x﹣y+1=0与y=2x﹣1解得，x=2，y=3，则m=2+3=5．故答案为：5．14．（4分）已知实数a＜0，b＜0，且ab=1，那么的最大值为﹣1．【解答】解：由于ab=1，则又由a＜0，b＜0，则，故，当且仅当﹣a=﹣b即a=b=﹣1时，取“=”故答案为﹣1．15．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p ＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为2．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点（﹣a，0）与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的距离为4，∴；又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），∴渐近线的方程应是，而抛物线的准线方程为，因此，，联立得，解得，∴=2．故双曲线的焦距为．故答案为．16．（4分）若数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则该数列的前2015项的乘积a1•a2•a3•…a2015=3．==﹣，则a n+4=a n．【解答】解：由递推关系式，得a n+2∴{a n}是以4为周期的一个周期数列．由计算，得a1=2，a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…∴a1a2a3a4=1，∴a1•a2…a2010•a2011•a2015=3．故答案为：3．17．（4分）对函数f（x），若任意a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为一三角形的三边长，则称f（x）为“三角型函数”，已知函数f（x）=（m＞0）是“三角型函数”，则实数m的取值范围是[1，4] ．【解答】解：原函数可化为f（x）=．当m=2时，f（x）=1，显然符合题意；当m≠2时，f（x）=在R上是单调函数，此时若该函数为“三角形函数”，只需2f（x）min＞f（x）max即可．当m＞2时，易知f（x）在定义域内单调递减，此时当x→+∞时，→0，故f（x）→1；又x→﹣∞时，2x→0，故2x+2→2，所以f（x）→1+．此时只需2≥1+．解得2＜m≤4；当m＜2时，易知f（x）在定义域内单调递增，此时当x→+∞时，→0，故f（x）→1；又x→﹣∞时，2x→0，故2x+2→2，所以f（x）→1+．此时需1≤2+2×．解得1≤m＜2；综上，m的范围是[1，4]．三、解答题（本大题共5小题，满分72分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤）18．（14分）已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f（x）取到最大值．（1）求f（x）的最大值及α的值；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c的值．【解答】解：（1）依题．又，则，故当即时，f（x）max=3．（2）由（1）知，由sinBsinC=sin2A即bc=a2，又a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，则b2+c2﹣bc=bc即（b﹣c）2=0，故b﹣c=0．19．（14分）数列{a n}的前n项和是S n，且S n+=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=log3，数列的前n项和为T n，若不等式T n＜m，对任意的正整数n恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）由①②①﹣②可得，∴，当n=1时，则，∴数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列，因此．（2），∴，．∵不等式T n＜m，对任意的正整数n恒成立，∴．20．（15分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起到△APM，使得平面APM⊥平面ABCM，点E在线段PB上，且PE=PB．（Ⅰ）求证：AP⊥BM（Ⅱ）求二面角E﹣AM﹣P的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD为长方形，AD=1，AB=2，M为DC的中点，∴AM=，BM=，AB2=AM2+BM2，∴BM⊥AM，又∵平面APM⊥平面ABCM，平面APM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ADM，∴BM⊥平面APM，又∵AP⊂平面APM，∴AP⊥BM．（Ⅱ）解：取AM的中点O，AB的中点N，则OA，ON，OP两两垂直，以O为原点建立空间直角坐标系，则A（），B（﹣），M（﹣），P（0，0，），N（0，，0），设E（x，y，z），由，得（x，y，z﹣）=，∴E（﹣），由题意为平面APM的一个法向量，令，设平面AME的一个法向量，，=（﹣），则，取b=1，tj ，∴cos＜＞=，∴二面角E﹣AM﹣P的大小为．21．（15分）已知点在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，椭圆C的左焦点为（﹣1，0）（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过点T（m，0）交椭圆C于M、N两点，AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN∥AB，问是否存在正数m，使为定值？若存在，请求m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）椭圆C的左焦点为（1，0），∴c=1，椭圆C的右焦点为（﹣1，0）可得，解得a=2，…（2分）∴b2=a2﹣c2=4﹣1=3，∴椭圆C的标准方程为…（4分）（2）设直线l：y=k（x﹣m），且M（x1，y1），N（x2，y2），由得（3+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=…（7分）∴|MN|=…（10分）由得设A（x3，y3），B（x4，y4）得得…（12分）而64k4m2﹣16（3+4k2）（k2m2﹣3）=16[（12﹣3m2）k2+9]∴当12﹣3m2=9即m=1时为定值，当k不存在时，定值也为4，∴m=1…（15分）22．（14分）已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|，（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；（2）设h（x）=|f（x）|+g（x），当x∈[﹣2，2]时，不等式h（x）≤a2恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）方程|f（x）|=g（x）可化为|x2﹣1|=a|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，则a＜0．（2）由题意，h（x）=|f（x）|+g（x）=|x2﹣1|+a|x﹣1|=，①当＞1，即a＞2时，结合图形可知h（x）在[﹣2，1]上递减，在[1，2]上递增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，经比较，此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3，则当x∈[﹣2，2]时，不等式h（x）≤a2恒成立可化为3a+3≤a2，解得a≥；②当0≤≤1，即0≤a≤2时，结合图形可知h（x）在[﹣2，﹣1]，[﹣，1]上递减，在[﹣1，﹣]，[1，2]上递增；且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，h（﹣）=+a+1，经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3，则当x∈[﹣2，2]时，不等式h（x）≤a2恒成立可化为3a+3≤a2，无解；③当﹣1≤＜0，即﹣2≤a＜0时，结合图形可知h（x）在[﹣2，﹣1]，[﹣，1]上递减，在[﹣1，﹣]，[1，2]上递增；且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，h（﹣）=+a+1，经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3，则当x∈[﹣2，2]时，不等式h（x）≤a2恒成立可化为a+3≤a2，解得，﹣2≤a≤；④当﹣≤＜﹣1，即﹣3≤a＜﹣2时，结合图形可知h（x）在[﹣2，]，[1，﹣]上递减，在[，1]，[﹣，2]上递增，且h （﹣2）=3a +3＜0，h （2）=a +3≥0，经比较，知此时h （x ）在[﹣2，2]上的最大值为a +3．则当x ∈[﹣2，2]时，不等式h （x ）≤a 2恒成立可化为a +3≤a 2， 解得，﹣3≤a ＜﹣2；⑤当＜﹣，即a ＜﹣3时，结合图形可知h （x ）在[﹣2，1]上递减，在[1，2]上递增，故此时h （x ）在[﹣2，2]上的最大值为h （1）=0，则当x ∈[﹣2，2]时，不等式h （x ）≤a 2恒成立可化为0≤a 2， 则a ＜﹣3；综上所述，实数a 的取值范围为（﹣∞，]∪[，+∞）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
浙江省宁波市2015届高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含解析
宁波市2014-2015学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}1,1,3A =-，{}21,2a a B =-，B ⊆A ，则实数a 的不同取值个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B考点：1、集合间的关系；2、一元二次方程． 2.在C ∆AB 中，“6πA >”是“1sin 2A >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：在C ∆AB 中，由1sin 2A >得：566ππ<A <，因为“6πA >”⇒/“1sin 2A >”，“6πA >” ⇐“1sin 2A >”，所以“6πA >”是“1sin 2A >”的必要而不充分条件，故选B ．考点：1、三角函数的性质；2、充分条件与必要条件．3.若过点()3,0A 的直线l 与圆()2211x y -+=有公共点，则直线l 斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．,33⎡-⎢⎣⎦ D ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】试题分析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为()3y k x =-，即30kx y k --=，圆()2211x y -+=的圆心()C 1,0，半径1r =，圆心C 到直线l 的距离d ==，因为直线l 与圆()2211x y -+=有公共点，所以d r ≤，即1≤，解得：k ≤≤l斜率的取值范围是,33⎡-⎢⎣⎦，故选C ． 考点：直线与圆的位置关系． 4.下列命题中，错误的是（ ） A ．平行于同一平面的两个不同平面平行B ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交C ．如果两个平面不垂直，那么其中一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直D ．若直线不平行于平面，则此直线与这个平面内的直线都不平行 【答案】D 【解析】试题分析：平行于同一平面的两个不同平面平行，所以选项A 正确；一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一平面相交，所以选项B 正确；如果两个平面不垂直，那么其中一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直，所以选项C 正确；若直线不平行于平面，则此直线与这个平面内的直线有可能平行，所以选项D 错误．故选D ． 考点：空间点、线、面的位置关系． 5.函数()sin 6f x x πω⎛⎫=A +⎪⎝⎭（0ω>）的图象与x 轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为2π的 等差数列，若要得到函数()sin g x x ω=A 的图象，只要将()f x 的图象（ ）个单位 A ．向左平移6π B ．向右平移6π C ．向左平移12π D ．向右平移12π 【答案】D 【解析】试题分析：由题意知22πT =，所以πT =，因为2ππωT ==，所以2ω=，所以()sin 26f x x π⎛⎫=A + ⎪⎝⎭sin 212x π⎡⎤⎛⎫=A + ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为()sin 2g x x =A ，所以要得到函数()g x 的图象，只要将()f x 的图象向右平移12π个单位，故选D ． 考点：三角函数的图象与性质．6.若函数(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足()()xf xg x e -=，其中2.718e ≈，则有（ ）A ．(2)(1)(0)g g f -<-< B ．(2)(0)(1)g f g -<<-C ．(0)(1)(2)f g g <-<-D ．(1)(0)(2)g f g -<<- 【答案】C 【解析】试题分析:因为()()xf xg x e -=①，所以()()xf xg x e ----=，因为函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-，所以()()x f x g x e -+=②，联立①、②，解得：()()12x x f x e e -=+，()()12x x g x e e -=-，所以()()001012f e e =+=，()()1112g e e --=-，()()22122g e e --=-，因为 2.718e ≈，所以()()211g g ->->，即()()()012f g g <-<-，故选C ． 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式；3、函数值的比较大小．7.已知抛物线2:4C y x =，O 为坐标原点，F 为其焦点，当点P 在抛物线C 上运动时，POPF的最大值为（ ）A ．3 B ．43 C ．2 D ．54【答案】A 【解析】试题分析：抛物线C 的焦点()F 1,0，设点(),x y P （0x ≥），则24y x =，所以FPO =P==11t x =+（01t <≤），则F PO ==P ，因为01t <≤，所以当13t =，即2x =时，FPO P ，故选A ．考点：1、抛物线的简单几何性质；2、二次函数的性质．8.如图四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，AD BC ∥，且=AD BC 3，过1,,A C D 三点的平面记为α，1BB 与α的交点为Q ，则以下四个结论： ①1;QC A D ∥②12;B Q QB =③直线1A B 与直线CD 相交；④四棱柱被平面α分成的上下两部分的体积相等，其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】试题分析：延长DC 与AB 相交于P ，则CD P∈，连结Q P ．因为DC ⊂平面α，所以αP∈，因为D//C A B ，且D 3C A =B ，所以C C 1D D 3B PB P ===A PA P ，因为1//Q AA B ，所以11Q Q 13B PB P ===AA PA PA ，因为1Q C 1D 3P P ==PA P ，所以1QC//D A ，因为11AA =BB ，所以1Q 13B =BB ，即1Q 2Q B =B ，因为11αA B =A ，CD α⊂，1CD A ∉，所以直线1A B 与直线CD 不相交，因为2C D C 1D 9S S ∆PB ∆PA B ⎛⎫== ⎪A ⎝⎭，所以D C 9S S ∆PA ∆PB =，C CD 8S S ∆PB AB =梯形，因为1AA ⊥面CD AB ，所以1D 1C 1D 1V 33S S ∆PA ∆PB A -PA =⋅AA =⋅AA 三棱锥，C C 1Q C 11V Q 39S S ∆PB ∆PB -PB =⋅B =⋅AA 三棱锥，11111C 1C D CD CD V 8S S ∆PB A B -AB AB =⋅AA =⋅AA 四棱柱梯形，所以()111111C 1C D CD D Q CD Q CC 146V V V V 23926V V V 139S S ∆PB A B -AB A -PA -PB A -PA -PB ∆PB ⋅AA --===-⋅AA 四棱柱三棱锥三棱锥上下三棱锥三棱锥，所以正确的个数是2，故选B ．考点：1、平面的基本性质；2、平行线分线段成比例；3、四棱柱的性质； 4、空间几何体的体积．二、填空题（本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分．） 9.已知()32log ,02,0x x f x x x x ->⎧=⎨-≤⎩，则()1f = ，()3f f =⎡⎤⎣⎦ ．【答案】0，3 【解析】试题分析：()31log 10f =-=，因为()33log 31f =-=-，所以()()()()2311213f f f =-=--⨯-=⎡⎤⎣⎦，所以答案应填：0，3．考点：1、分段函数；2、函数值．10.若正项等比数列{}n a 满足243a a +=，351a a =，则公比q = ，n a = ．【答案】2，222n-【解析】试题分析：因为23541a a a ==，40a >，所以41a =，因为243a a +=，所以22a =，因为24212a q a ==，0q >，所以2q =，所以22222222n nn n a a q---⎛==⨯= ⎝⎭，所以答案应，222n -．考点：1、等比数列的性质；2、等比数列的通项公式．11.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体侧视图的面积为 2cm ，此几何体的体积为 3cm ．【答案】【解析】试题分析：此几何体的侧视图是直角边长分别为4cm=cm 的直角三角形，所以此几何体的侧视图的面积是142⨯⨯=2cm ．由三视图知：此几何体是以正视图为底面的四棱锥，所以此几何体的体积是()1124432⨯⨯+⨯⨯=3cm ，所以答案应填：考点：1、三视图；2、空间几何体的体积．12.若实数x ，y 满足约束条件42y x x y x y k ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，已知点(),x y 所表示的平面区域为三角形，则实数k 的取值范围为 ，又2z x y =+有最大值8，则实数k = ． 【答案】(),2-∞，4- 【解析】试题分析：作出可行域如图所示：由4y x x y =⎧⎨+=⎩得：22x y =⎧⎨=⎩，所以点A 的坐标为()2,2，要使所表示的平面区域为三角形，则点A 必须在直线2x y k -=的下方，所以222k ⨯->，即2k <，所以实数k 的取值范围是(),2-∞．作直线0:l 20x y +=，再作一组平行于0l 的直线:l 2x y z +=，当直线l 经过点B时，2z x y =+取得最大值，由42x y x y k +=⎧⎨-=⎩得：4383k x ky +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以点B 的坐标为48,33k k +-⎛⎫⎪⎝⎭，所以max 48233k k z +-=+⨯ 203k -=，因为2z x y =+有最大值8，所以2083k-=，解得：4k =-，所以答案应填：(),2-∞，4-．考点：线性规划．13.过双曲线2213y x -=上任一点P 向两渐近线作垂线，垂足分别为,A B ，则AB 的最小值 为 ． 【答案】32【解析】试题分析：由题意得：P ，A ，B ，O 四点共圆，要使AB 取得最小值，只须圆的直径取得最小值，即圆的直径的最小值是a =因为双曲线2213y x -=的渐近线方程为y =，所以120∠AOB =，由正弦定理得：2R sin AB=∠AOB，所以32R sin 322AB =∠AOB ===，所以答案应填：32． 考点：1、圆的内接四边形的判定定理；2、双曲线的简单几何性质；3、正弦定理． 14.已知函数()2sin f x x ω=（其中常数0ω>），若存在12,03x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，20,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得()()12f x f x =，则ω的取值范围为 ． 【答案】3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：因为()()()2sin 2sin f x x x f x ωω-=-=-=-，所以()f x 是奇函数，因为存在12,03x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，20,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得()()12f x f x =，所以函数()f x 的最小正周期243ππωT =<，解得：32ω>，所以ω的取值范围是3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以答案应填：3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．考点：1、函数的奇偶性；2、三角函数的图象与性质． 15.已知a ，b 满足5a =，1b ≤，且421a b -≤，则a b ⋅的最小值为 .考点：1、平面向量数量积的运算性质；2、绝对值不等式的性质．三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本题满分15分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足24cos cos 24cos cos 2C C C C +=． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若122CA CB -=uu r uu r，求ABC ∆面积的最大值．【答案】(I)3π；（II ） 【解析】试题分析：（I ）先利用二倍角的余弦公式和降幂公式可得cosC 的值，再利用角C 的取值范围即可得C 的值；（II ）取C B 中点D ，则1C C 2D 2A -B ==A ，先利用余弦定理可得22422a abb ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再利用基本不等式可得8ab ≤，进而利用三角形的面积公式可得C ∆AB 面积的最大值．考点：1、二倍角的余弦公式；2、降幂公式；3、特殊角的三角函数值；4、余弦定理；5、基本不等式；6、三角形的面积公式．17.(本题满分15分) 如图，已知AB ⊥平面,,42BEC AB CD AB BC CD BEC ===V ∥，，为等 边三角形.(Ⅰ) 求证:平面ABE ⊥平面ADE ；(Ⅱ) 求二面角A DE B --的平面角的余弦值．B【答案】（I ）证明见解析；（II 【解析】试题分析：（I ）取BE 的中点F 、AE 的中点G ，连结FG 、GD 、CF ，先证CF//GD ，再证CF ⊥平面ABE ，进而可证平面ABE ⊥平面D A E ；（II ）过G 作G FD H ⊥于H ，过H 作D HM ⊥E 于M ，先找出二面角D A-E-B 的平面角，再在直角三角形G HM 中算出cos G ∠MH 的值，即可得二面角D A-E-B 的平面角的余弦值．试题解析：（Ⅰ）取BE 的中点F 、AE 的中点G ，连结FG 、GD 、CF∴1GF 2=AB ，GF//AB 1DC 2=AB ，CD//AB ∴CD GF =，CD//GF∴CFGD 是平行四边形……3分∴CF//GDAB ⊥平面C BE ，∴CF AB ⊥CF ⊥BE ，AB BE =B ，∴CF ⊥平面ABECF//DG ，∴DG ⊥平面ABEDG ⊂平面D A E ，∴平面ABE ⊥平面D A E ……6分（另证：可证得GD ∠B 是二面角D B-AE-的平面角……3分在GD ∆B 中，计算可得：G B =DG =D B =222D G DG B =B + 故GD 2π∠B =，∴平面ABE ⊥平面D A E ……6分）（Ⅱ）方法1：过G 作G FD H ⊥于H ，过H 作D HM ⊥E 于M由GF BE ⊥，FC BE ⊥，可得BE ⊥平面GFCD ，平面D BE ⊥平面GFCD从而G H ⊥平面D BE ，由此可得D E ⊥平面G HM即G ∠MH 就是二面角D A-E-B 的平面角……10分因为G H =，G M =MH =……13分故cos G G MH ∠MH ==M ，即二面角D A-E-B15分 （另解：过AE 中点G 作G D M ⊥E 于M ，连结BM ，可证得G ∠MB 就是二面角D A-E-B 的平面角……10分在G ∆MB中，计算可得：G B =G 5M =，5BM =……13分故cos G G 4MH ∠MH ==M ，即二面角D A-E-B的平面角的余弦值为415分） 方法2：作C E O ⊥B 于O ，AB ⊥平面C BE ，AB ⊥EO ，C AB B =B ，EO ⊥平面CD AB 以OE 、C B 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为坐标原点建立坐标系则()0,2,4A -，()0,2,0B -，()D 0,2,2，()E ……9分于是()D E =-，()2,4EA =--，()2,0EB =-- 设平面D EA 的法向量为()1111,,n x y z =，则111111200y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩取12z =，则()13,1,2n = 设平面D B E 的法向量为()2222,,n x yz =，则2222200y y z +=++=⎪⎩取21x =，则(21,3,n =-……13分123cos ,4n n -==即二面角D A-E-B15分 考点：1、面面垂直；2、二面角． 18.(本小题满分15分) 如图，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F作直线l 交椭圆与,P Q 两点，若圆222:O x y b +=过12,F F ，且12PF F V的周长为2. （Ⅰ）求椭圆C 和圆O 的方程；（Ⅱ）若M 为圆O 上任意一点，设直线l 的方程为：4340,x y --=求MPQ V 面积MPQ S V 的最大值.【答案】（I ）2212x y +=，221x y +=；（II． 【解析】试题分析：（I ）由已知得222222a c c b a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得a ，b ，c 的值，即可得椭圆C 和圆O 的方程；（II ）设点()11,x y P ，点()22Q ,x y ，先由22124340x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩，消去x ，得：24124160y y +-=，进而可得Q P 的值，再算出点M 到直线l 的距离最大，进而利用三角形的面积公式即可得Q ∆MP 面积的最大值．试题解析：（I）由已知得222222a c c b a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩……3分解得1b c ==，a =5分故椭圆C:2212x y +=，圆:O 221x y +=……6分 （Ⅱ）设点()11,x y P ，点()22Q ,x y ．将直线l 方程代入椭圆方程得24124160y y +-= 故122441y y +=-，121641y y =-……8分所以12Q 41y y P =-=……10分 为使Q S ∆MP 最大，则使点M 到直线l 的距离最大最大距离等于圆心到直线l 的距离与圆半径之和，即49155h =+=……13分 所以()Q max 1Q 2S h ∆MP =P ⋅=……15分 考点：1、椭圆的标准方程；2、圆的标准方程；3、直线与圆锥曲线的位置关系；4、三角形的面积公式．19.(本小题满分15分)如果数列{}n a 同时满足以下两个条件：(1)各项均不为0；(2)存在常数k ，对任意212,n n n n N a a a k *++∈=+都成立，则称这样的数列{}n a 为“k 类等比数列”.（I ）若数列{}n a 满足31,n a n =+证明数列{}n a 为“k 类等比数列”，并求出相应的k 的值； （II ）若数列{}n a 为“3类等比数列”，且满足121,2,a a ==问是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意n N *∈都成立？若存在，求出λ，若不存在，请举出反例.【答案】（I ）证明见解析，9k =；（II ）存在常数1λ=，使得21n n n a a a λ+++=对任意n *∈N 都成立．【解析】试题分析：（I ）先证0n a >，再计算212n n n a a a ++-的值，进而可证数列{}n a 为“k 类等比数列”和可得k 的值；（II ）先由已知可得2111312n n n n n n a a a a a a a a a +-+++++==⋅⋅⋅=，进而可得13212n n n a a a a a a ++++=，再由数列{}n a 为“3类等比数列”可得3a 的值，进而可得存在常数1λ=，使得21n n n a a a λ+++=对任意n *∈N 都成立．试题解析：（Ⅰ）显然0n a >……2分又()()()22123431379n n n a a a n n n ++-=+-++=为定值 所以数列{}n a 为 “k 类等比数列”，此时9k =……6分（Ⅱ）因为212n n n a a a k ++=+，所以211n n n a a a k -+=+，2n ≥，n *∈N所以221211n n n n n n a a a a a a ++-+-=-，即221112n n n n n n a a a a a a +-+++=+……8分由于0n a ≠，此等式两边同除以1n n a a +，得2111n n n n n na a a a a a +-++++=……10分 所以2111312n n n n n n a a a a a a a a a +-+++++==⋅⋅⋅= 即当n *∈N 都有13212n n n a a a a a a ++++=……12分 因为11a =，22a =，22133a a a =+，所以31a =……13分 所以1321a a a +=，存在常数1λ=，使21n n n a a a λ+++=……15分 （注：只给出结论给2分）考点：1、数列的新定义；2、数列的存在性问题．20.（本小题满分14分）已知k 为实数，对于实数a 和b ，定义运算“*”：22,,,a kab a b a b b kab a b⎧-≤⎪*⎨->⎪⎩ 设()(21)(1).f x x x =-*-（1）若()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，求实数k 的取值范围； （2）已知12k >，且当0x >时，(())0f f x ≥恒成立，求k 的取值范围. 【答案】（1）8,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）1,12⎛⎤⎥⎝⎦． 【解析】 试题分析：（1）先求出()f x 的解析式，再对11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦进行分类，进而对42k -和12k -的取值范围进行讨论函数()f x 的单调性，即可得实数k 的取值范围；（2）令()()()212321g x k x k x k =-+-+-，()()()242341h x k x k x k =-+-+-，则()()(),0,0h x x f x g x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，先令()0g x =可得方程()0g x =的根，再对x 的取值范围进行分类讨论可得k 的取值范围．试题解析：()()()()()2242341,012321,0k x k x k x f x k x k x k x ⎧-+-+-≤⎪=⎨-+-+->⎪⎩……1分 （1）()f x 在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则()4203412242k k k ->⎧⎪-⎨≤-⎪-⎩或()420340224k k k -<⎧⎪-⎨≥⎪-⎩或420340k k -=⎧⎨->⎩ 解得85k ≥……3分 若()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则()1203212212k k k -<⎧⎪-⎨≥⎪-⎩或()120320221k k k ->⎧⎪-⎨≤⎪-⎩或120320k k -=⎧⎨->⎩ 解得1k ≥……5分综上所述，k 的取值范围为85k ≥……6分()()()()(]2321,0,0,1221421k k t g x g g k k ⎛⎤⎛⎫⎛⎤-=∈=⊆ ⎥ ⎪ ⎥ ⎪ --⎥⎝⎭⎝⎦⎝⎦所以()21421k k ≤-，即2840k k -+≤，解得44k -≤≤+()2由()1、()2得243k <≤+……13分 综合①、②所述，所求k 的取值范围为112k <≤……14分 考点：1、函数的单调性；2、函数的值域；3、不等式的恒成立．。
浙江省宁波市2015届高三一轮复习阶段性考试(数学理)--含答案
浙江省宁波市2015届高三一轮复习阶段性考试数学理试题本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．第Ⅰ卷（选择题部分 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ={x |1122x -<<}，N ={x | x 2 ≤ x }，则M ∩N = （A ）1[1,)2- （B ）1(,1]2-（C ）1[0,)2 （D ）1(,0]2-2．设a ＞1＞b ＞0，则下列不等式中正确的是（A ）(-a )7＜(-a )9 （B ）b - 9＜b - 7（C ）11lg lg a b > （D ）11ln ln a b>3．已知R α∈，cos 3sin αα+=，则tan2α=（A ）43 （B ）34 （C ）34- （D ）43-4．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6(第4题图)5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是 （A ）若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥ （B ）若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥ （C ）若/,/n m αβ⊥且n β⊥，则//m α （D ）若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ6．已知某锥体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该锥体的体积为 （A ）23cm （B ）43cm （C ）63cm （D ）83cm 7．251(1)(2)x x--的展开式的常数项是（A ）48 （B ）﹣48 （C ）112 （D ）﹣112 8．袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是 （A ）14 （B ）13 （C ）27 （D ）3119．已知实系数二次函数()f x 和()g x 的图像均是开口向上的抛物线，且()f x 和()g x 均有两个不同的零点．则“()f x 和()g x 恰有一个共同的零点”是“()()f x g x +有两个不同的零点”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件10．设F 1、F 2是椭圆Γ的两个焦点，S 是以F 1为中心的正方形，则S 的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有（S 的各边可以不与Γ的对称轴平行）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（第6题图）正视图侧视图俯视图221第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分)二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分． 11．已知复数z 满足22z z +-= i （其中i 是虚数单位），则z = ▲ ． 12．设25z x y =+，其中实数,x y 满足68x y ≤+≤且20x y -≤-≤，则z 的取值范围是 ▲ ．13．已知抛物线23x y =上两点,A B 的横坐标恰是方程2510x x ++=的两个实根，则直线AB 的方程是 ▲ ．14．口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X ，则随机变量X 的数学期望是 ▲ ．15．已知直线10x y --=及直线50x y --=截圆C 所得的弦长均为10，则圆C 的面积是 ▲ ．16．在△ABC 中，∠C=90︒，点M 满足3BM MC =，则sin ∠BAM 的最大值是 ▲ ．17．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数．．．．x 、y ，使得AO x AB y AC =+，且21x y +=，则cos ∠BAC = ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分） 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 5B c =，11cos 14B =．（I ）求角A 的大小；（II ）设BC 边的中点为D ，2AD =，求ABC ∆的面积． 19．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈． （I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（II ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c nn n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．20．（本题满分15分）如图所示，PA ⊥平面ABCD ，△ABC 为等边三角形，PA AB =，AC ⊥CD，M 为AC 中点．（I ）证明：BM ∥平面PCD ；（II ）若PD 与平面PAC所成角的正切值，求二面角C -PD -M 的正切值．21．（本题满分15分）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，其右焦点F 与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线12,l l 交于点F ，其斜率12,k k 满足1234k k =-．设1l 交椭圆Γ于A 、C两点，2l 交椭圆Γ于B 、D 两点． （I ）求椭圆Γ的方程；（II ）写出线段AC 的长AC 关于1k 的函数表达式，并求四边形ABCD 面积S 的最大值．22．（本题满分14分）已知R λ∈，函数(1)()ln 1x f x x x λλ-=-+-，其中[1,)x ∈+∞．（Ⅰ）当2λ=时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）在函数ln y x =的图像上取点(,ln )n P n n ()n N *∈，记线段P n P n +1的斜率为k n ，12111n nS k k k =+++．对任意正整数n ，试证明： （ⅰ）(2)2n n n S +<； （ⅱ）(35)6n n n S +>．PABCDM（第20题图）y（第21题图）浙江省宁波市2015届高三一轮复习阶段性考试数学理试题参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
2015-2016学年浙江省宁波市慈溪中学高三(上)期中数学试卷和答案(理科)
2015-2016学年浙江省宁波市慈溪中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=Z，集合A={1，2}，A∪B={1，2，3，4}，那么（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x∈Z|x≥3} C．{3，4}D．{1，2}2．（5分）给出下列3个命题，其中正确的个数是（）①若“命题p∧q为真”，则“命题p∨q为真”；②命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0＞0，x0﹣lnx0≤0”；③“tanx＞0”是“sin2x＞0“的充要条件．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个3．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于54．（5分）若函数f（x）=sin2ωπx（ω＞0）的图象在区间[0，]上至少有两个最高点，两个最低点，则ω的取值范围为（）A．ω＞2 B．ω≥2 C．ω＞3 D．ω≥35．（5分）已知正实数a，b满足+=3，则（a+1）（b+2）的最小值是（）A．B．C．7 D．66．（5分）定义max{a，b}=，设实数x，y满足约束条件，则z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是（）A．[﹣8，10]B．[﹣7，10]C．[﹣6，8]D．[﹣7，8]7．（5分）已知异面直线a，b成60°角，A为空间中一点，则过A与a，b都成45°角的平面（）A．有且只有一个B．有且只有两个C．有且只有三个D．有且只有四个8．（5分）已知函数f（x）=，当x∈[0，100]时，关于x的方程f（x）=x﹣的所有解的和为（）A．9801 B．9950 C．10000 D．10201二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题6分，共36分.9．（6分）已知双曲线C的离心率为2，它的一个焦点是（0，2），则双曲线C 的标准方程为，渐近线的方程是．10．（6分）已知f（x）=，则f（f（e））=；不等式f（x）＞﹣1的解集为．11．（6分）某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每一条线段的末端再生成两条长度均为原来的线段；且这两条线段与原线段两两夹角为120°；…；依此规律得到n级分形图，则（Ⅰ）四级分形图中共有条线段；（Ⅱ）n级分形图中所有线段的长度之和为．12．（6分）已知非零向量，，满足||≥1，|+|=|﹣|=2，（﹣）•（﹣）=3，则||的最小值是，最大值是．13．（4分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体表面积是cm2．14．（4分）设F是抛物线C：y2=4x的焦点，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，当|AB|=6时，以AB为直径的圆与y轴相交所得弦长是．15．（4分）已知△ABC的三边长a，b，c满足b+c≤2a，c+a≤2b，则的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA ﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围．17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，点P在底面ABCD上的射影为△ACD的重心，点M 为线段PB上的点．（1）当点M为PB的中点时，求证：PD∥平面ACM；（2）当平面CDM与平面CBM所成锐二面角的余弦值为时，求的值．18．（15分）设椭圆C1：+=1，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C1交于M，N两点．（I）是否存在直线l，使得•=﹣2，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；（Ⅱ）若AB是椭圆C1经过原点O的弦，且MN∥AB，求证：为定值．19．（15分）设函数f（x）=x2﹣2x﹣|x﹣1﹣a|﹣|x﹣2|+4．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最小值（Ⅱ）对∀x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．20．（14分）设n∈N*，圆C n：x2+y2=（R n＞0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线的交点为N（），直线MN与x轴的交点为A（a n，0）．（1）用n表示R n和a n；＞2；（2）求证：a n＞a n+1（3）设S n=a1+a2+a3+…+a n，T n=，求证：．2015-2016学年浙江省宁波市慈溪中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=Z，集合A={1，2}，A∪B={1，2，3，4}，那么（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x∈Z|x≥3} C．{3，4}D．{1，2}【解答】解：全集U=Z，集合A={1，2}，A∪B={1，2，3，4}，∴集合B⊆A∪B，并且一定有3，4，∴∁U A也一定有3，4，∴（∁U A）∩B={3，4}．故选：C．2．（5分）给出下列3个命题，其中正确的个数是（）①若“命题p∧q为真”，则“命题p∨q为真”；②命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0＞0，x0﹣lnx0≤0”；③“tanx＞0”是“sin2x＞0“的充要条件．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【解答】解：对于①，若“命题p∧q为真”，则两个命题都是真命题，所以“命题p∨q为真”；正确；对于②，命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0＞0，x0﹣lnx0≤0”；满足命题的否定形式，正确；对于③，“tanx＞0”可得x∈（kπ，kπ+），k∈Z；“sin2x＞0“可得2x∈（2kπ，2kπ+π），即x∈（kπ，kπ+），k∈Z；所以“tanx＞0”是“sin2x＞0“的充要条件．正确；故选：C．3．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，三个点在圆上，一个点是圆心，圆上的点到圆心的距离都相等，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径不等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，但显然球的半径不等于棱长，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．4．（5分）若函数f（x）=sin2ωπx（ω＞0）的图象在区间[0，]上至少有两个最高点，两个最低点，则ω的取值范围为（）A．ω＞2 B．ω≥2 C．ω＞3 D．ω≥3【解答】解：因为函数f（x）=sin2ωπx==﹣cos2ωπx （ω＞0）的图象在区间[0，]上至少有两个最高点和两个最低点，则区间[0，]上至少包含个周期，故有•≤，求得ω≥3，故选：D．5．（5分）已知正实数a，b满足+=3，则（a+1）（b+2）的最小值是（）A．B．C．7 D．6【解答】解：∵正实数a，b满足+=3，∴3=+≥2，当且仅当a=，b=取等号，∴≥，∴ab≥，∵+=3，∴2a+b=3ab，∴（a+1）（b+2）=ab+2a+b+2=4ab+2≥4×+2=，∴（a+1）（b+2）的最小值是，故选：B．6．（5分）定义max{a，b}=，设实数x，y满足约束条件，则z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是（）A．[﹣8，10]B．[﹣7，10]C．[﹣6，8]D．[﹣7，8]【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由定义max{a，b}=，得z=max{4x+y，3x﹣y}=，当x+2y≥0时，化z=4x+y为y=﹣4x+z，当直线y=﹣4x+z过B（﹣2，1）时z有最小值为4×（﹣2）+1=﹣7；当直线y=﹣4x+z过A（2，2）时z有最大值为4×2+1×2=10；当x+2y＜0时，化z=3x﹣y为y=3x﹣z，当直线y=3x﹣z过B（﹣2，1）时z有最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7；当直线y=﹣4x+z过C（2，﹣2）时z有最大值为4×2﹣1×（﹣2）=10．综上，z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是[﹣7，10]．故选：B．7．（5分）已知异面直线a，b成60°角，A为空间中一点，则过A与a，b都成45°角的平面（）A．有且只有一个B．有且只有两个C．有且只有三个D．有且只有四个【解答】解：已知平面过A，再知道它的方向，就可以确定该平面了∵涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a，b为相交直线也没关系，∴原题简化为：已知两条相交直线a，b成60°角，求空间与a，b都成45°角的直线．过P作a′∥a，b′∥b，设直线a′、b′确定的平面为α，∵异面直线a、b成60°角，∴直线a′、b′确所成锐角为60°①当直线l在平面α内时，若直线l平分直线a′、b′确所成的钝角，则直线l与a、b都成60°角，不成立；②当直线l与平面α斜交时，若它在平面α内的射影恰好落在直线a′、b′确所成的锐角平分线上时，直线l与a、b所成角相等．此时l与a'、b'所成角的范围为[30°，90°]，适当调整l的位置，可使直线l与a、b也都成45°角，这样的直线l有两条．综上所述，过点P与a′、b′确都成45°角的直线，可以作2条．∴过A与a，b都成45°角的平面有且只有2个．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）=，当x∈[0，100]时，关于x的方程f（x）=x﹣的所有解的和为（）A．9801 B．9950 C．10000 D．10201【解答】解：x∈[0，1）时，f（x）=（x﹣1）2+2（x﹣1）+1=x2，令f（x）=x﹣，得：x2﹣x+=0，∴x1+x2=1；x∈[1，2）时，f（x）=（x﹣1）2+1，令f（x）=x﹣，得：x3+x4=3，x∈[3，4）时，f（x）=（x﹣2）2+2，令f（x）=x﹣，得：x5+x6=5，…，x∈[n，n+1）时，f（x）=（x﹣n）2+n，令f（x）=x﹣，得：x2n+1+x2n+2=2n+1，x∈[99，100]时，f（x）=（x﹣99）2+99，令f（x）=x﹣，得：x199+x200=199，∴1+3+5+…+199=10000，故选：C．二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题6分，共36分.9．（6分）已知双曲线C的离心率为2，它的一个焦点是（0，2），则双曲线C 的标准方程为y2﹣=1，渐近线的方程是y=±x．【解答】解：由题意e=2，c=2，由e=，可解得a=1，又b2=c2﹣a2，解得b2=3所以双曲线的方程为y2﹣=1，渐近线方程是y=±x．故答案为：y2﹣=1；y=±x．10．（6分）已知f（x）=，则f（f（e））=﹣1；不等式f（x）＞﹣1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，e）．【解答】解：∵f（x）=，∴f（e）=ln=﹣1，∴f（f（e））=f（﹣1）==﹣1；不等式f（x）＞﹣1等价于或，分别解不等式可得0＜x＜e或x＜﹣1故答案为：﹣1；（﹣∞，﹣1）∪（0，e）11．（6分）某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每一条线段的末端再生成两条长度均为原来的线段；且这两条线段与原线段两两夹角为120°；…；依此规律得到n级分形图，则（Ⅰ）四级分形图中共有45条线段；（Ⅱ）n级分形图中所有线段的长度之和为．【解答】解：（I）当n=1时，共有3条线段；当n=2时，共有3+3×（3﹣1）=9条线段；当n=3时，共有3+3×（3﹣1）+3×22=21条线段；当n=4时，共有3+3×（3﹣1）+3×22+3×23=45条线段．（II）由（I）可得：n级分形图中所有线段的长度之和=3++×3×22+…+=3==．故答案分别为：45，．12．（6分）已知非零向量，，满足||≥1，|+|=|﹣|=2，（﹣）•（﹣）=3，则||的最小值是1，最大值是3．【解答】解：设，，∵|+|=|﹣|=2，∴．不妨设=（m，0）（m≥1）．=（0，n）（n＞0）.=（x，y）．∵|+|=|﹣|=2，（﹣）•（﹣）=3，∴m2+n2=4，x（x﹣m）+y（y﹣n）=3，即+=4．∴||=∈[2﹣1，2+1]=[1，3]．因此的最小值是1，最大值是3．故答案分别为：1；3．13．（4分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体表面积是124+2cm2．【解答】解：由三视图可得，原几何体为：一个长宽高分别为6cm、3cm、6cm 的长方体砍去一个三棱锥，且三棱锥的底面为直角边分别为3cm、4cm直角三角形，高为4cm，如图：∴该几何体的表面积S=2（6×3×2+6×6）﹣（3×4×2+4×4）+×4×=124+2（cm2）．故答案为：124+2．14．（4分）设F是抛物线C：y2=4x的焦点，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，当|AB|=6时，以AB为直径的圆与y轴相交所得弦长是2．【解答】解：y2=4x的焦点F（1，0），设直线AB：y=k（x﹣1），代入抛物线的方程可得，k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2=2+，即有中点的横坐标为1+，由抛物线的弦长公式可得，|AB|=x1+x2+p=1++1=6，解得k=，即有r=3，d=1+=2，再由圆的弦长公式可得，与y轴相交所得弦长是2=2=2．故答案为：2．15．（4分）已知△ABC的三边长a，b，c满足b+c≤2a，c+a≤2b，则的取值范围是．【解答】解：三角形必须满足两边之和大于第三边，所以b+c＞a，c+a＞b，结合已知得a＜b+c≤2a ①b＜c+a≤2b ②将①变形得﹣2a≤﹣b﹣c＜﹣a ③将②③相加得b﹣2a ＜a﹣b＜2b﹣a 由不等式左边b﹣2a＜a﹣b得3a＞2b，所以＜由不等式右边a﹣b＜2b﹣a得2a＜3b，所以＞所以的取值范围是＜＜故答案为三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA ﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围．【解答】解：（1）由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，即sinAsinB﹣sinAcosB=0，∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，又B为三角形的内角，则B=；（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+，∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，则≤b＜1．17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，点P在底面ABCD上的射影为△ACD的重心，点M 为线段PB上的点．（1）当点M为PB的中点时，求证：PD∥平面ACM；（2）当平面CDM与平面CBM所成锐二面角的余弦值为时，求的值．【解答】证明：（1）设AC、BD的交点为I，连结MI，∵底面ABCD是菱形，∴I为BD中点，∵点M为BP的中点，∴PD∥MI，又MI⊂平面ACM，PD⊄平面ACM，∴PD∥平面ACM；…（5分）解：（2）设CD的中点为O，分别以OA、OC为x轴、y轴，过O点垂直平面ABCD 的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），B（），C（0，1，0），D（0，﹣1，0），P（，0，），设=λ（0＜λ＜1），…（7分）则==（，1﹣2λ，），=（0，2，0），=（﹣），设平面CDM的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，），…（10分）设平面CBM的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣），…（12分）∵平面CDM与平面CBM所成锐二面角的余弦值为，∴|cos＜＞|===，解得或，∴的值为或．…（15分）18．（15分）设椭圆C1：+=1，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C1交于M，N两点．（I）是否存在直线l，使得•=﹣2，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；（Ⅱ）若AB是椭圆C1经过原点O的弦，且MN∥AB，求证：为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，直线l与椭圆必相交．①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当直线斜率存在时，设存在直线l为y=k（x﹣1），（k≠0），且M（x1，y1），N （x2，y2）．由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，，，=x1x2+y1y2==+k2（）==﹣2．解得k=，故直线l的方程为y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）．…（8分）证明：（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），由（Ⅰ）得：|MN|=|x1﹣x2|===．由，消去y，并整理得：，|AB|==4，∴==4为定值…（15分）19．（15分）设函数f（x）=x2﹣2x﹣|x﹣1﹣a|﹣|x﹣2|+4．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最小值（Ⅱ）对∀x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【解答】解（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2﹣2x﹣2|x﹣2|+4，当x≥2时，f（x）=（x﹣2）2+4≥4，当x＜2时，f（x）=x2≥0，∴f（x）的最小值为0；（II）由f（0）≥0，f（1）≥0，…（9分）即|1+a|≤2，|a|≤2，得﹣2≤a≤1．…（11分）又当﹣2≤a≤1时，ⅰ）若x≥2，f（x）=（x﹣2）2+3+a≥0，ⅱ）若1+a≤x＜2，f（x）=（x﹣1）2+2+a≥0，ⅲ）若x＜1+a，f（x）=x2﹣a+1≥0，综上可知﹣2≤a≤1时，对∀x∈R，f（x）≥0恒成立，故a∈[﹣2，1]．（15分）20．（14分）设n∈N*，圆C n：x2+y2=（R n＞0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线的交点为N（），直线MN与x轴的交点为A（a n，0）．（1）用n表示R n和a n；（2）求证：a n＞a n＞2；+1（3）设S n=a1+a2+a3+…+a n，T n=，求证：．【解答】（1）解：∵N（）在曲线上，∴N（，）代入圆C n：x2+y2=，可得，∴M（0，）∵直线MN与x轴的交点为A（a n，0）．∴=∴（2）证明：∵，∴＞2∵＞，∴＞+＞2；∴a n＞a n+1（3）证明：先证当0≤x≤1时，事实上，等价于等价于≤1+x≤等价于≤0≤后一个不等式显然成立，前一个不等式等价于x2﹣x≤0，即0≤x≤1∴当0≤x≤1时，∴∴（等号仅在n=1时成立）求和得∴．。
浙江省台州中学2015届高三上学期期中考试数学(理)
浙江省台州中学2015届高三上学期期中考试数学（理）参考公式：柱体的体积公式 球的表面积公式V Sh = 24S R π=其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 球的体积公式 锥体的体积公式 343V R π=13V Sh =其中R 表示球的半径 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 台体的体积公式()1213V h S S =其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|20}A x x x =--…，{|ln(1)}B x y x ==-，则AB =（ ▲ ）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[1,1)-D ．(1,1)- 2.设函数()y f x =是偶函数，且在[)+∞,0上单调递增，则（ ▲ ）A.(2)(1)f f ->B.(2)(1)f f -<-C.(2)(2)f f ->D.(||)()f x f x < abA ．3B ．9C ．3-D ．9-5．若m ．n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确．．．的是 ( ▲ ) A ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥β B ．若α∩β=m ，n 与α、β所成的角相等，则m ⊥n C ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β D ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α6.设实数列{}{}n n a b 和分别为等差数列与等比数列，且11444,1a b a b ====，则以下结论正确的是（ ▲ ） A ．22a b >B ．33a b <C ．55a b >D ．66a b >7．若||2||||a b a b a=-=+，则向量a b -与b 的夹角为（ ▲ ）A ．6πB.3πC.32π D.65π 8．已知函数的图象与直线y=m 有三个交点的横坐标分别为x 1，x 2，3123123 A9．已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，且有3||||3OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是（ ▲ ）A. )+∞B. C. )+∞D.10.已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a的取值范围是( ▲ )A.⎫⎪⎪⎭B.⎫⎪⎪⎭ C.130,⎛+ ⎝⎫⎪⎪⎭ D.⎛- ⎝∞二、填空题（本大题共7小题, 每小题4分,共28分）11．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为h 的值为 ▲ 12．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时2()log (1)1f x x m =+++， 则(3)f -= ▲ ．13．设变量,x y 满足121y y x x y m ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤-+≤，若目标函数1z x y =-+的最小值为0，则m 的值等于 ▲14.已知实数0,0<<b a ,且1=ab ,那么ba b a ++22的最大值为 ▲15．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左顶点与抛物线y 2=2px 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为 ▲16． 若数列{}n a 满足1112,1n n na a a a ++==-（n ∈N *），则该数列的前2015项的乘积1232015a a a a ⋅⋅⋅= __▲____17． 对函数f （x ），若任意a ，b ，c ∈R ，f （a ），f （b ），f （c ）为一三角形的三边长，则称f （x ）为“三角型函数”，已知函数f （x ）=（m ＞0）是“三角型函数”，则实数m 的取值范围是 ▲三、解答题（本大题共5小题,满分72分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤） 18．（本小题满分14分）已知函数2()2sin ()2,,442f x x x x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦．设x α= 时()f x 取到最大值．（1）求()f x 的最大值及α的值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12A πα=-，且2sin sin sinB C A =，求b c -的值．19．（本小题满分14分）数列{}n a 的前n 项和是n S ，且112n n S a +=. ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 记23log 4n n a b =，数列21{}n n b b +⋅的前n 项和为n T ，若不等式n T m <，对任意的正整数n 恒成立，求m 的取值范围。
浙江省宁波市2015届高三数学上学期期中试卷理含解析
2014-2015学年浙江省宁波市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•宁波二模）设集合M={x|﹣＜x ＜}，N={x|x 2≤x}，则M∩N=（ ） A ．[0，）B ．（﹣，1]C ．[﹣1，）D ．（﹣，0]2．（5分）（2015•中山二模）设a ＞1＞b ＞0，则下列不等式中正确的是（ ）A ． （﹣a ）7＜（﹣a ）9B ． b ﹣9＜b ﹣7C ． lg ＞lgD ．＞ 3．（5分）（2014•宁波二模）已知α∈R ，cosα+3sinα=，则tan2α=（ ） A ． B ． C ． ﹣ D ．﹣ 4．（5分）（2014•宁波二模）若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是（ ）A ． 3B ． 4C ． 5D ． 6 5．（5分）（2015•中山二模）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ． 若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B ． 若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β C ． 若α⊥β，m∥n 且n⊥β，则m∥α D ． 若m ⊂α，n ⊂β且m∥n，则α∥β 6．（5分）（2015•中山二模）已知某锥体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该锥体的体积为（ ）A．2cm3B．4cm3C．6cm3D．8cm37．（5分）（2015•中山二模）（x2﹣1）（﹣2）5的展开式的常数项是（）A．48 B．﹣48 C．112 D．﹣1128．（5分）（2015•中山二模）袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）（2014•宁波二模）已知实系数二次函数f（x）和g（x）的图象均是开口向上的抛物线，且f（x）和g（x）均有两个不同的零点．则“f（x）和g（x）恰有一个共同的零点”是“f（x）+g（x）有两个不同的零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）（2014•宁波二模）设F1、F2是椭圆Γ的两个焦点，S是以F1为中心的正方形，则S的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有（S的各边可以不与Γ的对称轴平行）（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2015•中山二模）已知复数z满足=i（其中i是虚数单位），则|z|= ．12．（4分）（2015•中山二模）设z=2x+5y，其中实数x，y满足6≤x+y≤8且﹣2≤x﹣y≤0，则z的取值范围是．13．（4分）（2015•中山二模）已知抛物线x2=3y上两点A，B的横坐标恰是方程x2+5x+1=0的两个实根，则直线AB的方程是．14．（4分）（2015•中山二模）口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X 的数学期望是．15．（4分）（2014•马鞍山三模）已知直线x﹣y﹣1=0及直线x﹣y﹣5=0截圆C所得的弦长均为10，则圆C的面积是．16．（4分）（2015•中山二模）在△ABC中，∠C=90°，点M满足=3，则sin∠BAM的最大值是．17．（4分）（2014•宁波二模）已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得=x+y，且x+2y=1，则cos∠BAC=．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2015•宣城三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=5c，cosB=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设BC边的中点为D，|AD|=，求△ABC的面积．19．（14分）（2015•中山二模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．20．（15分）（2015•宣城三模）如图所示，PA⊥平面ABCD，△CAB为等边三角形，PA=AB，AC⊥CD，M为AC中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PCD；（Ⅱ）若PD与平面PAC所成角的正切值为，求二面角C﹣PD﹣M的正切值．21．（15分）（2015•中山二模）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其右焦点F与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线l1，l2交于点F，其斜率k1，k2满足k1k2=﹣．设l1交椭圆Γ于A、C两点，l2交椭圆Γ于B、D两点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）写出线段AC的长|AC|关于k1的函数表达式，并求四边形ABCD面积S的最大值．22．（14分）（2014•宁波二模）已知λ∈R，函数f（x）=lnx﹣，其中x∈[1，+∞）．（Ⅰ）当λ=2时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）在函数y=lnx的图象上取点P n（n，lnn）（n∈N*），记线段P n P n+1的斜率为k n，S n=++…+．对任意正整数n，试证明：（ⅰ）S n＜；（ⅱ）S n＞．2014-2015学年浙江省宁波市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•宁波二模）设集合M={x|﹣＜x ＜}，N={x|x 2≤x}，则M∩N=（ ） A ．[0，）B ．（﹣，1]C ．[﹣1，）D ．（﹣，0]考点： 交集及其运算． 专题： 集合． 分析： 解一元二次不等式求得N ，再根据两个集合的交集的定义求得M∩N． 解答： 解：集合M={x|﹣＜x ＜}，N={x|x 2≤x}={x|0≤x≤1}，则M∩N={x|0≤x＜}，故选：A ． 点评： 本题主要考查一元二次不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题． 2．（5分）（2015•中山二模）设a ＞1＞b ＞0，则下列不等式中正确的是（ ）A ． （﹣a ）7＜（﹣a ）9B ． b ﹣9＜b ﹣7C ． lg ＞lgD ．＞考点： 幂函数的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据题意，由指数与对数的性质逐一判定A 、B 、C 、D 选项，即可得出正确的答案．解答： 解：对于A ，a ＞1时，a 7＜a 9，∴﹣a 7＞﹣a 9，即（﹣a ）7＞（﹣a ）9，∴A 错误；对于B ，1＞b ＞0时，0＜b 9＜b 7＜1，∴b ﹣9＞b ﹣7，∴B 错误；对于C ，a ＞1＞b ＞0时，0＜＜1＜，∴lg ＜lg ，∴C 错误； 对于D ，a ＞1＞b ＞0时，lna ＞0，lnb ＜0，∴＞，∴D 正确．故选：D ． 点评： 本题考查了指数函数与对数函数的性质的应用问题，解题时要对每一个选项认真分析，以便作出正确的选择． 3．（5分）（2014•宁波二模）已知α∈R ，cosα+3sinα=，则tan2α=（ ） A ． B ． C ． ﹣ D ．﹣考点： 二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 三角函数的求值．分析：由已知和平方关系可得sinα和cosα的值，进而可得tanα，代入二倍角的正切公式计算可得．解答：解：cosα+3sinα=，∴cosα=﹣3sinα+．∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+=1，解得，或．∴tanα=﹣2，或tanα=．当tanα=﹣2，tan2α==；tanα=，tan2α==，故选：A．点评：本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．4．（5分）（2014•宁波二模）若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n﹣1）＞20的最小n值，利用等差数列的前n项和公式求得P，根据P＞20，确定最小的n值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n﹣1）＞20的最小n值，∵P=1+3+…+（2n﹣1）=×n=n2＞20，∴n≥5，故输出的n=5．故选：C．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．5．（5分）（2015•中山二模）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥αD．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的关系求解．解答：解：若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥α或m⊂α，故C错误；若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）（2015•中山二模）已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为（）A．2cm3B．4cm3C．6cm3D．8cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：几何体为四棱锥，结合直观图判断棱锥的高与底面四边形的形状，判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体为四棱锥，如图：其中SA⊥平面ABCD，SA=2，四边形ABCD为直角梯形，AD=1，BC=2，AB=2，∴四棱锥的体积V=××2×2=2（cm3）．故选：A．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的特征及相关几何量的数据是关键．7．（5分）（2015•中山二模）（x2﹣1）（﹣2）5的展开式的常数项是（）A．48 B．﹣48 C．112 D．﹣112考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：第一个因式取x2，第二个因式取；第一个因式取﹣1，第二个因式取（﹣2）5，即可得出结论．解答：解：第一个因式取x2，第二个因式取，可得=﹣80；第一个因式取﹣1，第二个因式取（﹣2）5，可得（﹣1）×（﹣2）5=32∴（x2﹣1）（﹣2）5的展开式的常数项是﹣80+32=﹣48．故选：B．点评：本题考查二项式定理的运用，解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径．8．（5分）（2015•中山二模）袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先计算甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回的情况种数，再计算甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的情况种数，进而代入古典概型概率计算公式，可得答案．解答：解：∵袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球，共12颗，故甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回共有=220种不同情况；其中甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的情况有：3×4×5=60种，故甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率P==，故选：D点评：此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．9．（5分）（2014•宁波二模）已知实系数二次函数f（x）和g（x）的图象均是开口向上的抛物线，且f（x）和g（x）均有两个不同的零点．则“f（x）和g（x）恰有一个共同的零点”是“f（x）+g（x）有两个不同的零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据函数零点的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：函数f（x）=x（x﹣1），有两个不同的零点x=0和x=1，g（x）=x（x+1）有两个不同的零点x=0和x=﹣1，则f（x）和g（x）恰有一个共同的零点x=0，但f（x）+g（x）=2x2，有两个相同的零点，∴充分性不成立．若f（x）+g（x）=2x（x﹣1），则满足有两个不同的零点x=0和x=1，但当f（x）=x （x﹣1），g（x）=x（x﹣1）时，f（x）和g（x）恰有2个共同的零点，∴f（x）和g（x）恰有一个共同的零点，不正确，∴必要性不成立．即“f（x）和g（x）恰有一个共同的零点”是“f（x）+g（x）有两个不同的零点”的既不充分也不必要条件，故选：D．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数零点的定义和性质是解决本题的关键，本题可以使用特殊值法进行判断．10．（5分）（2014•宁波二模）设F1、F2是椭圆Γ的两个焦点，S是以F1为中心的正方形，则S的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有（S的各边可以不与Γ的对称轴平行）（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的对称性，可得结论．解答：解：∵F1、F2是椭圆Γ的两个焦点，S是以F1为中心的正方形，∴根据椭圆的对称性，即可知S的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有2个，故选：B．点评：本题考查椭圆的简单性质，属于基础题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2015•中山二模）已知复数z满足=i（其中i是虚数单位），则|z|= 2 ．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：把等式两边同时乘以z﹣2，求得z，然后利用复数代数形式的除法运算化简，最后代入复数模的公式求解．解答：解：由=i，得（1﹣i）z=﹣2﹣2i，∴，∴|z|=．故答案为：2．点评：本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题．12．（4分）（2015•中山二模）设z=2x+5y，其中实数x，y满足6≤x+y≤8且﹣2≤x﹣y≤0，则z的取值范围是[21，31] ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+5y，得y=x+表示，平移直线y=x+，当直线y=x+经过点A时，直线y=x+的截距最大，此时z最大，由得，即A（3，5），此时z max=2×3+5×5=31．当直线y=x+经过点C时，直线y=x+的截距最小，此时z最下，由得，即C（3，3），此时z min=2×3+5×3=21．即z的取值范围是[21，31]故答案为：[21，31]点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．13．（4分）（2015•中山二模）已知抛物线x2=3y上两点A，B的横坐标恰是方程x2+5x+1=0的两个实根，则直线AB的方程是5x+3y+1=0 ．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别设出A和B的坐标，代入抛物线解析式和方程中，分别消去平方项得到两等式，根据两等式的特点即可得到直线AB的方程．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则把A的坐标代入抛物线解析式和已知的方程得：x12=3y1①，x12+5x1+1=0②，①﹣②整理得：5x1+3y1+1=0③；同理把B的坐标代入抛物线解析式和已知的方程，化简可得：5x2+3y2+1=0④，③④表示经过A和B的方程，所以直线AB的方程是：5x+3y+1=0．故答案为：5x+3y+1=0．点评：此题考查学生会求动点的轨迹方程，考查抛物线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（4分）（2015•中山二模）口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X的数学期望是．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：确定X的可能取值为1，2，3，4，5，求出相应的概率，可求随机变量X的数学期望解答：解：由题设知X的可能取值为1，2，3，4，5．随机地取出两个球，共有：=15种，∴P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=，∴随机变量X的分布列为X 1 2 3 4 5P故EX=1×+2×+3×+4×+5×=．故答案为：．点评：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，确定X的可能取值，求出相应的概率是关键．15．（4分）（2014•马鞍山三模）已知直线x﹣y﹣1=0及直线x﹣y﹣5=0截圆C所得的弦长均为10，则圆C的面积是27π．考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：求出两条平行直线直线x﹣y﹣1=0及直线x﹣y﹣5=0之间的距离为2d，可得弦心距d=，利用弦长公式求出半径r的值，可得圆C的面积．解答：解：两条平行直线直线x﹣y﹣1=0及直线x﹣y﹣5=0之间的距离为2d==2，∴弦心距d=∴半径r==∴圆C的面积是π•r2=27π，故答案为：27π．点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，两条平行直线间的距离公式，属于中档题．16．（4分）（2015•中山二模）在△ABC中，∠C=90°，点M满足=3，则sin∠BAM的最大值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：以CB，CA为x，y轴建立坐标系，设B（4a，0），A（0，b），求出，利用数量积公式表示出cos∠BAM，利用基本不等式求出最小值，sin2∠BAM+cos2∠BAM=1，sin∠BAM≥0，求出sin∠BAM的最大值．解答：解：以CB，CA为x，y轴建立坐标系，设B（4a，0），A（0，b），∵=3，∴M（a，0），∴=（a，﹣b）•（4a，﹣b）=4a2+b2，∵，∴cos∠BAM===∴cos∠BAM最小值为，∵sin2∠BAM+cos2∠BAM=1，sin∠BAM≥0，∴sin∠BAM的最大值是为．点评：本题考查通过结论坐标系解决向量问题；利用基本不等式求最值，属于一道中档题．17．（4分）（2014•宁波二模）已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得=x+y，且x+2y=1，则cos∠BAC=．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：综合题；平面向量及应用．分析：由=x+y，且x+2y=1，可得﹣=y（﹣2），利用向量的运算法则，取AC的中点D，则=2y，再利用点O是△ABC的外心，可得BD⊥AC．即可得出．解答：解：如图所示，∵=x+y，且x+2y=1，∴﹣=y（﹣2），∴=y（+），取AC的中点D，则+=2，∴=2y，又点O是△ABC的外心，∴BD⊥AC．在Rt△BAD中，cos∠BAC=．故答案为：，点评：本题考查了向量的运算法则、三角形的外心定理、直角三角形的边角关系，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2015•宣城三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=5c，cosB=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设BC边的中点为D，|AD|=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用同角三角函数关系求得sinB的值，利用2asinB=5c求得a和c的关系，进而利用正弦定理求得转化成角的正弦，利用两角和公式化简整理求得sinA和cosA 的关系，求得tanA的值，进而求得A．（Ⅱ）利用余弦定理求得c，进而求得b，最后根据三角形面积公式求得答案．解答：解：（ I）在△ABC中，∵，∴，∵，∴2•a•=5c∴3a=7c，∵，∴3sinA=7sinC，∴3sinA=7sin（A+B），∴3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB，即3sinA=7•sinA•+7cosA∴﹣sinA=cosA，∴，即．（Ⅱ）∵，又3a=7c，∴BD==，∴，∴c=3，则a=7，∴．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题的关键就是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化．19．（14分）（2015•中山二模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项a n，运用n=1时，b1=T1，n＞1时，b n=T n﹣T n﹣1，求出b n；（Ⅱ）写出c n，然后运用分组求和，一组为等差数列，一组为等比数列，分别应用求和公式化简即可．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由题意，得，解得，∴a n=4n，∵T n﹣2b n+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，T n﹣1﹣2b n﹣1+3=0，两式相减，得b n=2b n﹣1，（n≥2）则数列{b n}为等比数列，∴；（Ⅱ）．当n为偶数时，P n=（a1+a3+…+a n﹣1）+（b2+b4+…+b n）=．当n为奇数时，（法一）n﹣1为偶数，P n=P n﹣1+c n=2（n﹣1）+1+（n﹣1）2﹣2+4n=2n+n2+2n﹣1，（法二）P n=（a1+a3+…+a n﹣2+a n）+（b2+b4+…+b n﹣1）=．∴．点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项与求和公式的运用，考查方程的思想在数列中的运用，同时考查数列的通项与前n项和的关系式，考查数列的求和方法：分组求和，是一道综合题．20．（15分）（2015•宣城三模）如图所示，PA⊥平面ABCD，△CAB为等边三角形，PA=AB，AC⊥CD，M为AC中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PCD；（Ⅱ）若PD与平面PAC所成角的正切值为，求二面角C﹣PD﹣M的正切值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）因为M为等边△ABC的AC边的中点，所以BM⊥AC．依题意CD⊥AC，且A、B、C、D四点共面，由此能证明BM∥平面PCD．（Ⅱ）因为CD⊥AC，CD⊥PA，所以CD⊥平面PAC，故PD与平面PAC所成的角即为∠CPD，（方法一）在等腰Rt△PAC中，过点M作ME⊥PC于点E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD 于点F，∠EFM即为二面角C﹣PD﹣M的平面角，由此能求出二面角C﹣PD﹣M的正切值．（方法二）以A点为坐标原点，AC为x轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出能求出二面角C﹣PD﹣M的正切值．解答：（Ⅰ）证明：因为M为等边△ABC的AC边的中点，所以BM⊥AC．依题意CD⊥AC，且A、B、C、D四点共面，所以BM∥CD．…3分又因为BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以BM∥平面PCD．…5分（Ⅱ）解：因为CD⊥AC，CD⊥PA，所以CD⊥平面PAC，故PD与平面PAC所成的角即为∠CPD．…7分不妨设PA=AB=1，则PC=．由于tan，所以CD=．…9分（方法一）在等腰Rt△PAC中，过点M作ME⊥PC于点E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD于点F（图1所示）．因为ME⊥PC，ME⊥CD，所以ME⊥平面PCD，可得ME⊥PD．又EF⊥PD，所以∠EFM即为二面角C﹣PD﹣M的平面角．…12分由题意知PE=3EC，ME=，EF==，所以tan∠EFM==，即二面角C﹣PD﹣M的正切值是．…15分（方法二）以A点为坐标原点，AC为x轴，建立如图2所示的空间直角坐标系A﹣xyz．则P（0，0，1），M（，0，0），C（1，0，0），D（1，，0）．则，，．若设=（x1，y1，z1）和=（x2，y2，z2）分别是平面PCD和平面PMD的法向量，则，可取．同理，得=（2，﹣，1）．…12分所以cos＜＞==，故二面角C﹣PD﹣M的余弦值是，其正切值是．…15分点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．（15分）（2015•中山二模）已知椭圆Γ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，其右焦点F 与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线l 1，l 2交于点F ，其斜率k 1，k 2满足k 1k 2=﹣．设l 1交椭圆Γ于A 、C 两点，l 2交椭圆Γ于B 、D 两点． （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）写出线段AC 的长|AC|关于k 1的函数表达式，并求四边形ABCD 面积S 的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（Ⅰ）由已知条件推导，a+c=3，由此能求出椭圆Γ的方程． （Ⅱ）由已知条件推导出F （1，0）．将通过焦点F 的直线方程y=k （x ﹣1）代入椭圆Γ的方程，（3+4k 2）x 2﹣8k 2x+（4k 2﹣12）=0，由此利用韦达定理结合函数的单调性能求出四边形ABCD 的面积的最大值解答：（本题满分15分） 解：（Ⅰ）设右焦点F （c ，0）（其中），依题意，a+c=3，解得a=2，c=1．…（3分）∴，∴椭圆Γ的方程是．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F（1，0）．将通过焦点F的直线方程y=k（x﹣1）代入椭圆Γ的方程，得（3+4k2）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）=0，其判别式△=（8k2）2﹣16（k2﹣3）（3+4k2）=144（k2+1）．特别地，对于直线l1，若设A（x1，y1），C（x2，y2），则=，k1∈R且k1≠0．…（10分）又设B（x3，y3），D（x4，y4），由于B、D位于直线l1的异侧，∴k1（x3﹣1）﹣y3与k1（x4﹣1）﹣y4异号．∴B、D到直线l1的距离之和：==．…（12分）综合可得，四边形ABCD的面积：．∵，∴，∴，当时，f （t ）单调递减，∴当，即时， 四边形ABCD 的面积取得最大值．…（15分）点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合运用．22．（14分）（2014•宁波二模）已知λ∈R ，函数f （x ）=lnx ﹣，其中x ∈[1，+∞）．（Ⅰ）当λ=2时，求f （x ）的最小值；（Ⅱ）在函数y=lnx 的图象上取点P n （n ，lnn ）（n ∈N *），记线段P n P n+1的斜率为k n ，S n =++…+．对任意正整数n ，试证明：（ⅰ）S n ＜； （ⅱ）S n ＞．考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用． 分析： （Ⅰ）利用导数求函数的最小值；（Ⅱ）利用两点的连线的斜率公式得出k n ，再利用（Ⅰ）的结论对S n 放缩即可得出结论． 解答：解：（Ⅰ）λ=2时，，求导可得…（3分）所以，f （x ）在（1，+∞）单调递增，故f （x ）的最小值是f （1）=0．…（5分）（Ⅱ）依题意，． …（6分）（ⅰ）由（Ⅰ）可知，若取λ=2，则当x ＞1时f （x ）＞0，即．于是 ，即知．…（8分）所以 ． …（9分）（ⅱ）取λ=3，则，求导可得当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，故f（x）在（1，2）单调递减．所以，x∈（1，2]时，f（x）＜f（1）=0，即．…（12分）注意到，对任意正整数n ，，于是，即知．…（13分）所以．…（14分）点评：本题考查导数的性质的综合运用及运用导数法证明函数与不等式的综合问题的处理能力，解题时注意转化思想的运用．21。
【真题】15年浙江省宁波市慈溪市高三(上)数学期中试卷含答案(理科)
2014-2015学年浙江省宁波市慈溪市高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案写在答题卷中相应的位置上）1．（5分）已知，且sinα=，则tanα=（）A．B．C．D．2．（5分）设全集U=R，A=，B={1，2，3，4}，则B∩∁U A=（）A．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}3．（5分）已知a，b∈R，且a＞b，则（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．4．（5分）在△ABC中，设三边AB，BC，CA的中点分别为E，F，D，则=（）A．B．C．D．5．（5分）在一次射击训练中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p是“甲射中目标”，q是“乙射中目标”，则命题“至少有一位运动员没有射中目标”可表示为（）A．p∨q B．（￢p）∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．（5分）函数y=x2lg的图象（）A．关于x轴对称B．关于原点对称C．关于直线y=x对称D．关于y轴对称7．（5分）将函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个关于y轴对称的图象，则φ的一个可能取值为（）A． B． C．D．8．（5分）设函数f（x）的零点为x1，g（x）=4x+2x﹣2的零点为x2，若|x1﹣x2|≤0.25，则f（x）可以是（）A．f（x）=（x﹣1）2B．f（x）=e x﹣1 C．D．f（x）=4x﹣19．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣710．（5分）已知函数f（x）=若三个正实数x1，x2，x3互不相等，且满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1x2x3的取值范围是（）A．（20，24）B．（10，12）C．（5，6） D．（1，10）二．填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在答卷中相应的位置）11．（4分）log3的值等于．12．（4分）函数y=3sin（3x+）﹣3的最小正周期为．13．（4分）若函数f（x）是幂函数，且满足f（4）=3f（2），则的值等于．14．（4分）若函数f（x）满足：，则f（x）=．15．（4分）在△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”的条件．16．（4分）已知非零实数θ满足等式：16θ+=16sinπθcosπθ，则θ=．17．（4分）已知变数x，y满足约束条件，目标函数z=x+ay（a≥0）仅在点（2，2）处取得最大值，则a的取值范围为．三．解答题（本大题共5小题，共72分.解答写出文字说明．证明过程或演算步骤，把解答写在答题卷中相应的位置上）18．（14分）已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），其中．（1）若|﹣|=2，求x的值；（2）设函数f（x）=•，求f（x）的值域．19．（14分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}（1）求a，b；（2）解关于x的不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0 （c∈R）20．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC．（1）求A+C的值；（2）若b=，求△ABC面积的最大值．21．（15分）已知函数f（x）=x2+a|x﹣1|，a为常数．（1）当a=2时，求函数f（x）在[0，2]上的最小值和最大值；（2）若函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．22．（15分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，na n+1=2S n，n∈N*．（1）求a2，a3，a4；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{b n}满足：b1=，试证明：当n∈N*时，必有①；②b n＜1．2014-2015学年浙江省宁波市慈溪市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案写在答题卷中相应的位置上）1．（5分）已知，且sinα=，则tanα=（）A．B．C．D．【解答】解：已知sinα=，根据sin2α+cos2α=1解得：由于：所以：则故选：B．2．（5分）设全集U=R，A=，B={1，2，3，4}，则B∩∁U A=（）A．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}【解答】解：∵A=，∴∁U A=，又∵B={1，2，3，4}，∴B∩∁U A={3，4}，故选：B．3．（5分）已知a，b∈R，且a＞b，则（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．【解答】解：当0＞a＞b时，a2＜b2，故A不成立；当a＞0＞b时，，故B不成立；当0＜a﹣b＜1时，lg（a﹣b）＜0，故C不成立，当a＞b时，恒成立，故D正确，故选：D．4．（5分）在△ABC中，设三边AB，BC，CA的中点分别为E，F，D，则=（）A．B．C．D．【解答】解：如图，，；∴；故选：A．5．（5分）在一次射击训练中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p是“甲射中目标”，q是“乙射中目标”，则命题“至少有一位运动员没有射中目标”可表示为（）A．p∨q B．（￢p）∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）【解答】解：命题￢p：甲没射中目标，￢q：乙没射中目标；∴“至少有一位运动员没有射中目标”就是“甲没射中目标，或乙没射中目标”；所以可表示为（￢p）∨（￢q）．故选：B．6．（5分）函数y=x2lg的图象（）A．关于x轴对称B．关于原点对称C．关于直线y=x对称D．关于y轴对称【解答】解：∵f（x）=x2lg，∴其定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），∴f（﹣x）=x2lg=﹣x2lg=﹣f（x），∴函数为奇函数，∴函数的图象关于原点对称，故选：B．7．（5分）将函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个关于y轴对称的图象，则φ的一个可能取值为（）A． B． C．D．【解答】解：函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到：由于函数图象关于y轴对称，所以（k∈Z）当k=0时，φ=故选：C．8．（5分）设函数f（x）的零点为x1，g（x）=4x+2x﹣2的零点为x2，若|x1﹣x2|≤0.25，则f（x）可以是（）A．f（x）=（x﹣1）2B．f（x）=e x﹣1 C．D．f（x）=4x﹣1【解答】解：选项A：x1=1，选项B：x1=0，选项C：x1=或﹣，选项D：x1=；∵g（1）=4+2﹣2＞0，g（0）=1﹣2＜0，g（）=2+1﹣2＞0，g（）=﹣2＜0，则x2∈（，），故选：D．9．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选：D．10．（5分）已知函数f（x）=若三个正实数x1，x2，x3互不相等，且满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1x2x3的取值范围是（）A．（20，24）B．（10，12）C．（5，6） D．（1，10）【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设x1＜x2＜x3，则﹣lgx1=lgx2=﹣x3+6∈（0，1）∴x1x2=1，0＜﹣x3+6＜1则x1x2x3=x3∈（10，12）．故选：B．二．填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在答卷中相应的位置）11．（4分）log3的值等于．【解答】解：原式==．故答案为：．12．（4分）函数y=3sin（3x+）﹣3的最小正周期为．【解答】解：∵数，∴其最小正周期T=，故答案为：．13．（4分）若函数f（x）是幂函数，且满足f（4）=3f（2），则的值等于．【解答】解：设f（x）=x a，又f（4）=3f（2），∴4a=3×2a，解得：a=log23，∴f（）==．故答案为：．14．（4分）若函数f（x）满足：，则f（x）=．【解答】解：函数f（x）满足：，替换表达式中的x，得到：，两个方程消去f（），可得f（x）=．故答案为：．15．（4分）在△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”充要条件的条件．【解答】解：若sinA＞sinB成立，由正弦定理==2R，所以a＞b，所以A＞B．反之，若A＞B成立，所以a＞b，因为a=2RsinA，b=2RsinB，所以sinA＞sinB，所以sinA＞sinB是A＞B的充要条件．故答案为：充要条件．16．（4分）已知非零实数θ满足等式：16θ+=16sinπθcosπθ，则θ=．【解答】解：16θ+=16sinπθcosπθ⇒16θ+=8sin2πθ⇒sin2πθ=2θ+⇒|2θ|+||≥2=1⇒sin2πθ=±1⇒θ=±．故答案为：±．17．（4分）已知变数x，y满足约束条件，目标函数z=x+ay（a≥0）仅在点（2，2）处取得最大值，则a的取值范围为．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，当a=0时，z=x，即x=z，此时不成立．由z=x+ay得y=﹣x+，要使目标函数z=x+ay（a≥0）仅在点（2，2）处取得最大值，则阴影部分区域在直线y=﹣x+的下方，即目标函数的斜率k=﹣，满足k＞k AC，即﹣＞﹣3，∵a＞0，∴a＞，即a的取值范围为，故答案为：．三．解答题（本大题共5小题，共72分.解答写出文字说明．证明过程或演算步骤，把解答写在答题卷中相应的位置上）18．（14分）已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），其中．（1）若|﹣|=2，求x的值；（2）设函数f（x）=•，求f（x）的值域．【解答】解：（1）因为向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），所以=（sinx﹣cosx，0），即|﹣|2=（sinx﹣cosx）2=4，所以，即，因为，所以；（2）因为f（x）=•=sinxcosx+sin2x=sin2x+=，由于，则，所以当即时，[f（x）]max=1，当即时，．所以f（x）的值域为．19．（14分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}（1）求a，b；（2）解关于x的不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0 （c∈R）【解答】解：（1）根据题意，得方程ax2﹣3x+2=0的两个根为1和b，∴由根与系数的关系，得，解之得a=1，b=2；（2）由（1）得关于x的不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，即x2﹣（c+2）x+2c＜0，因式分解，得（x﹣c）（x﹣2）＜0①当c=2时，原不等式的解集为∅；②当c＜2时，原不等式的解集为（c，2）；③当c＞2时，原不等式的解集为（2，c）．20．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC．（1）求A+C的值；（2）若b=，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，即A+C=；（2）由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即2=a2+c2﹣ac，∴2+ac=a2+c2≥2ac，即ac≤=2+，当且仅当a=c，即a=c=时取“=”，∵S=acsinB=ac，△ABC∴△ABC面积的最大值为．21．（15分）已知函数f（x）=x2+a|x﹣1|，a为常数．（1）当a=2时，求函数f（x）在[0，2]上的最小值和最大值；（2）若函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，=所以当x∈[1，2]时，[f（x）]max=6，[f（x）]min=1当x∈[0，1]时，[f（x）]max=2，[f（x）]min=1所以f（x）在[0，2]上的最大值为6，最小值为1．（2）因为=而f（x）在[0，+∞）上单调递增所以当x≥1时，f（x）必单调递增，得即a≥﹣2当0≤x＜1时，f（x）亦必单调递增，得即a≤0且11+a﹣a≥11﹣a+a恒成立，故所求实数a的取值范围为[﹣2，0]．22．（15分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，na n+1=2S n，n∈N*．（1）求a2，a3，a4；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{b n}满足：b1=，试证明：当n∈N*时，必有①；②b n＜1．【解答】解：（1）由n=1，2，（3分）别代入递推式即可得a2=2，a3=3，a4=4…（3分）=2S n，（n﹣1）a n=2S n﹣1，（2）因为na n+1﹣（n﹣1）a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n即na n+1=（n+1）a n，所以na n+1所以，．…（7分）（3）①由（2）得所以{b n}是正项单调递增数列，…（8分）当n∈N*时，，…（9分）所以，即．…（11分）②由①得，当n≥2时，，，…，所以即…（13分）所以==…（14分）所以，即b n＜1（n≥2）又当n=1，…（15分）故当n∈N*时，b n＜1．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014-2015学年浙江省宁波市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•宁波二模）设集合M={x|﹣＜x＜}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（），（﹣）（﹣lg＞B4．（5分）（2014•宁波二模）若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）5．（5分）（2015•中山二模）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列6．（5分）（2015•中山二模）已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为（）7．（5分）（2015•中山二模）（x2﹣1）（﹣2）5的展开式的常数项是（）8．（5分）（2015•中山二模）袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之B9．（5分）（2014•宁波二模）已知实系数二次函数f（x）和g（x）的图象均是开口向上的抛物线，且f（x）和g（x）均有两个不同的零点．则“f（x）和g（x）恰有一个共同的零点”10．（5分）（2014•宁波二模）设F1、F2是椭圆Γ的两个焦点，S是以F1为中心的正方形，二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2015•中山二模）已知复数z满足=i（其中i是虚数单位），则|z|=．12．（4分）（2015•中山二模）设z=2x+5y，其中实数x，y满足6≤x+y≤8且﹣2≤x﹣y≤0，则z的取值范围是．13．（4分）（2015•中山二模）已知抛物线x2=3y上两点A，B的横坐标恰是方程x2+5x+1=0的两个实根，则直线AB的方程是．14．（4分）（2015•中山二模）口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X 的数学期望是．15．（4分）（2014•马鞍山三模）已知直线x﹣y﹣1=0及直线x﹣y﹣5=0截圆C所得的弦长均为10，则圆C的面积是．16．（4分）（2015•中山二模）在△ABC中，∠C=90°，点M满足=3，则sin∠BAM的最大值是．17．（4分）（2014•宁波二模）已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得=x+y，且x+2y=1，则cos∠BAC=．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2015•宣城三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=5c，cosB=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设BC边的中点为D，|AD|=，求△ABC的面积．19．（14分）（2015•中山二模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．20．（15分）（2015•宣城三模）如图所示，PA⊥平面ABCD，△CAB为等边三角形，PA=AB，AC⊥CD，M为AC中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PCD；（Ⅱ）若PD与平面PAC所成角的正切值为，求二面角C﹣PD﹣M的正切值．21．（15分）（2015•中山二模）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其右焦点F与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线l1，l2交于点F，其斜率k1，k2满足k1k2=﹣．设l1交椭圆Γ于A、C两点，l2交椭圆Γ于B、D两点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）写出线段AC的长|AC|关于k1的函数表达式，并求四边形ABCD面积S的最大值．22．（14分）（2014•宁波二模）已知λ∈R，函数f（x）=lnx﹣，其中x∈[1，+∞）．（Ⅰ）当λ=2时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）在函数y=lnx的图象上取点P n（n，lnn）（n∈N*），记线段P n P n+1的斜率为k n，S n=++…+．对任意正整数n，试证明：（ⅰ）S n＜；（ⅱ）S n＞．2014-2015学年浙江省宁波市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•宁波二模）设集合M={x|﹣＜x＜}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（），（﹣）（﹣﹣＜＜lg＞＜，∴lg＜lg，∴，∴＞，∴B，∴+=1，或===4．（5分）（2014•宁波二模）若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）×5．（5分）（2015•中山二模）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列6．（5分）（2015•中山二模）已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为（）V=××7．（5分）（2015•中山二模）（x2﹣1）（﹣2）5的展开式的常数项是（），第二个因式取；第一个因式取﹣，第二个因式取，可得﹣8．（5分）（2015•中山二模）袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之B故甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回共有=220P==9．（5分）（2014•宁波二模）已知实系数二次函数f（x）和g（x）的图象均是开口向上的抛物线，且f（x）和g（x）均有两个不同的零点．则“f（x）和g（x）恰有一个共同的零点”10．（5分）（2014•宁波二模）设F1、F2是椭圆Γ的两个焦点，S是以F1为中心的正方形，二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2015•中山二模）已知复数z满足=i（其中i是虚数单位），则|z|=2．=i12．（4分）（2015•中山二模）设z=2x+5y，其中实数x，y满足6≤x+y≤8且﹣2≤x﹣y≤0，则z的取值范围是[21，31]．y=表示，x+x+经过点x+的截距最大，得y=经过点y=x+得13．（4分）（2015•中山二模）已知抛物线x2=3y上两点A，B的横坐标恰是方程x2+5x+1=0的两个实根，则直线AB的方程是5x+3y+1=0．14．（4分）（2015•中山二模）口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X的数学期望是．随机地取出两个球，共有：=，，==1 2 3 4 5×+2××××．故答案为：．15．（4分）（2014•马鞍山三模）已知直线x﹣y﹣1=0及直线x﹣y﹣5=0截圆C所得的弦长均为10，则圆C的面积是27π．=2r=∴圆16．（4分）（2015•中山二模）在△ABC中，∠C=90°，点M满足=3，则sin∠BAM的最大值是．，求出=3BAM=最小值为，的最大值是为17．（4分）（2014•宁波二模）已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得=x+y，且x+2y=1，则cos∠BAC=．=x+y﹣=y（2=2y，再利用点解：如图所示，∵=x+y﹣=y﹣）=y+）+=2=2y，BAC=故答案为：，三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2015•宣城三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=5c，cosB=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设BC边的中点为D，|AD|=，求△ABC的面积．2，•+7cosAsinA=，即（Ⅱ）∵=19．（14分）（2015•中山二模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．由题意，得，；20．（15分）（2015•宣城三模）如图所示，PA⊥平面ABCD，△CAB为等边三角形，PA=AB，AC⊥CD，M为AC中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PCD；（Ⅱ）若PD与平面PAC所成角的正切值为，求二面角C﹣PD﹣M的正切值．PC=tan，所以CD=，EF=EFM==的正切值是，，，==，可取．同理，得，＜=的余弦值是，其正切值是21．（15分）（2015•中山二模）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其右焦点F与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线l1，l2交于点F，其斜率k1，k2满足k1k2=﹣．设l1交椭圆Γ于A、C两点，l2交椭圆Γ于B、D两点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）写出线段AC的长|AC|关于k1的函数表达式，并求四边形ABCD面积S的最大值．（Ⅰ）由已知条件推导的方程，得（（其中）依题意∴的方程是．的方程，则=，==∵，∴∴当∴当，即的面积取得最大值．22．（14分）（2014•宁波二模）已知λ∈R，函数f（x）=lnx﹣，其中x∈[1，+∞）．（Ⅰ）当λ=2时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）在函数y=lnx的图象上取点P n（n，lnn）（n∈N*），记线段P n P n+1的斜率为k n，S n=++…+．对任意正整数n，试证明：（ⅰ）S n＜；（ⅱ）S n＞．求导可得…．，即，即知．求导可得．，．参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；742048；清风慕竹；zlzhan；刘长柏；翔宇老师；maths；sxs123；wdnah；wsj1012；双曲线；liu老师（排名不分先后）菁优网2015年9月16日。