2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高二上学期期末(文科)数学试卷 (解析版)

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题2．已知抛物线准线方程为x＝﹣2，则其标准方程为（）A．x2＝8y B．x2＝﹣8y C．y2＝8x D．y2＝﹣8x3．过点（0，1）且斜率为的直线在x轴上的截距是（）A．4B．﹣4C．2D．﹣24．命题p：“3＜m＜5”是命题q：“曲线表示双曲线”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．已知l1：2x+3y﹣1＝0，l2：mx+3y﹣2＝0，则命题“∃m∈R，使l1与l2平行”的否定是（）A．∃m∈R，使l1与l2平行B．∃m∈R，l1与l2不平行C．∀m∈R，使l1与l2平行D．∀m∈R，l1与l2不平行6．圆（x+3）2+y2＝4关于原点（0，0）对称的圆的方程为（）A．x2+（y﹣3）2＝4B．（x﹣3）2+y2＝4C．x2+（y﹣2）2＝4D．（x﹣2）2+y2＝47．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，n⊂β，n⊥m，则n⊥αB．若n∥α，α∩β＝m，则m∥nC．若m∥n，m⊂α，则n∥αD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n8．如图，点M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．9．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是（）A．B．C．D．10．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F∥平面BD1E的图形为（）A．①B．①②C．②D．①②③11．过双曲线的右焦点F（1，0）作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±2x D．y＝±2x12．已知四面体ABCD，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝CD＝BD＝1，若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．B．7πC．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．某四面体的三视图如图所示，三个三角形均为直角三角形，则该四面体的体积是．14．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线l交抛物线于点M，N（点M在点N上方）交抛物线的准线于点P，若，则直线l的倾斜角的余弦值为．15．世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为21米，底面边长为30米，是华人建筑大师贝聿铭设计的．若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为米．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝．现有如下四个结论：①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③三棱锥A﹣BEF的体积为定值；④异面直线AE、BF所成的角为定值，其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤）17．（10分）已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为（其中θ为参数）．（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）设点P在曲线C上，点Q在直线l上，则求线段|PQ|的最小值及此时点P的坐标．18．（12分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC．（1）求证：AB⊥平面ACC1A1；（2）已知AB＝3，AC＝4，且异面直线BB1与A1C所成的角为45°，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．19．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A（﹣2，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为1的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，求|PQ|的最大值．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），直线l的方程是x+2y﹣1＝0，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OM：θ＝α（其中0＜α＜π）与圆C交于O、P，射线OQ：θ＝α+与直线l交于点Q，若|OP|•|OQ|＝6，求α的值．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三角形，M、N分别为AD、PD的中点，PM⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，PD＝CD ＝2，AB＝1．（1）求证：PA∥平面MNC；（2）求AN与平面MNC所成角的正弦值．22．（12分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，M（3，t）是抛物线上一点，且|MF|＝4．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4（O为坐标原点），则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题解：∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是假命题，选项C错误；￢q是真命题，选项D正确．故选：D．2．已知抛物线准线方程为x＝﹣2，则其标准方程为（）A．x2＝8y B．x2＝﹣8y C．y2＝8x D．y2＝﹣8x 解：根据题意，要求抛物线准线方程为x＝﹣2，设其标准方程为y2＝2px，则有＝﹣2，解可得：p＝4，则抛物线的方程为y2＝8x，故选：C．3．过点（0，1）且斜率为的直线在x轴上的截距是（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2解：依题意知，该直线方程为y﹣1＝x，即y＝x+1．令y＝0，则x＝﹣2．所以直线在x轴上的截距是﹣2．故选：D．4．命题p：“3＜m＜5”是命题q：“曲线表示双曲线”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：根据题意，当3＜m＜5，则m﹣3＞0，5﹣m＞0，则曲线表示双曲线，反之，若曲线表示双曲线，必有（m﹣3）（5﹣m）＞0，解可得3＜m＜5，故命题p：“3＜m＜5”是命题q：“曲线表示双曲线”的充要条件，故选：A．5．已知l1：2x+3y﹣1＝0，l2：mx+3y﹣2＝0，则命题“∃m∈R，使l1与l2平行”的否定是（）A．∃m∈R，使l1与l2平行B．∃m∈R，l1与l2不平行C．∀m∈R，使l1与l2平行D．∀m∈R，l1与l2不平行解：命题为特称命题，则命题的否定为∀m∈R，l1与l2不平行，故选：D．6．圆（x+3）2+y2＝4关于原点（0，0）对称的圆的方程为（）A．x2+（y﹣3）2＝4B．（x﹣3）2+y2＝4C．x2+（y﹣2）2＝4D．（x﹣2）2+y2＝4解：圆（x+3）2+y2＝4的圆心（﹣3，0），关于（0，0）对称的圆心坐标（3，0）所求圆的方程是（x﹣3）2+y2＝4，故选：B．7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，n⊂β，n⊥m，则n⊥αB．若n∥α，α∩β＝m，则m∥nC．若m∥n，m⊂α，则n∥αD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n解：A．∵α⊥β，n⊂β，n⊥m，则n⊥α不正确；B．由n∥α，α∩β＝m，则m∥n不一定成立；C．由m∥n，m⊂α，则n∥α不一定成立；D．由m⊥α，n⊂α，则m⊥n，成立．故选：D．8．如图，点M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．解：如图，连接AD1，∵AB＝C1D1，AB∥C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1，则∠D1AM为异面直线AM与BC1所成角，连接D1M．设正方体的棱长为2，则，．∴cos∠．即异面直线AM与BC1所成角的余弦值是．故选：A．9．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是（）A．B．C．D．解：由题意，椭圆的左、右两焦点分别为F1，F2，|F1P|+|PF2|＝2，|F1F2|＝2；则由余弦定理得，|F1F2|2＝|F1P|2+|PF2|2﹣2|F1P||PF2|cos60°；故4＝（|F1P|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|cos60°﹣2|F1P||PF2|；故4＝12﹣3|F1P||PF2|；故|F1P||PF2|＝；故△PF1F2的面积S＝|F1P||PF2|•sin60°＝；故选：D．10．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F∥平面BD1E的图形为（）A．①B．①②C．②D．①②③解：①中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；②中，由于AF∥DE，而AF⊄平面BDE，DE⊂平面BDE，故A1F∥平面BD1E；③中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；故选：C．11．过双曲线的右焦点F（1，0）作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±2x D．y＝±2x解：由右焦点F（1，0），∴﹣＝1，∴y＝±b，∴|AB|＝2b，∵△AOB的面积为，∴×2b×1＝，且a2+b2＝1，解得a＝，b＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±2x，故选：B．12．已知四面体ABCD，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝CD＝BD＝1，若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．B．7πC．D．解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE＝＝，BG＝BE＝，R＝＝，∴球O的表面积为S＝4πR2＝π．故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某四面体的三视图如图所示，三个三角形均为直角三角形，则该四面体的体积是8．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥；如图所示：所以：．故答案为：8．14．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线l交抛物线于点M，N（点M在点N上方）交抛物线的准线于点P，若，则直线l的倾斜角的余弦值为．解：由题意，画出图形如图，作MD⊥l与D，若，可知|MF|＝|MD|＝2|PF|，所以直线l的倾斜角的余弦值为：＝．故答案为：．15．世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为21米，底面边长为30米，是华人建筑大师贝聿铭设计的．若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为米．解：如图所示，设球半径为R，底面中心为O'且球心为O，∵正四棱锥P﹣ABCD中AB＝30，PO′＝21，∴AO'＝AB＝15，OO'＝PO'﹣PO＝21﹣R．∵在Rt△AOO'中，AO2＝AO'2+OO'2，∴R2＝（15）2+（21﹣R）2，解之得R＝，故答案为：．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝．现有如下四个结论：①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③三棱锥A﹣BEF的体积为定值；④异面直线AE、BF所成的角为定值，其中正确结论的序号是①②③．解：①AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③三棱锥A﹣BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，此命题正确；④异面直线AE、BF所成的角为定值，由图知，当F与B1重合时，令上底面顶点为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是OBC1，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值．综上知①②③正确故答案为①②③三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤）17．（10分）已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为（其中θ为参数）．（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）设点P在曲线C上，点Q在直线l上，则求线段|PQ|的最小值及此时点P的坐标．解：（1）直线l的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为x+y﹣1＝0．圆C的参数方程为（其中θ为参数）．转换为直角坐标方程为x2+（y+1）2＝1，所以圆心（0，﹣1）到直线x+y﹣1＝0的距离d＝＞1，所以直线与圆相离，（2）设圆上的点（cosθ，﹣1+sinθ），到直线的距离d＝＝，当时，|PQ|最小值为，此时18．（12分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC．（1）求证：AB⊥平面ACC1A1；（2）已知AB＝3，AC＝4，且异面直线BB1与A1C所成的角为45°，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【解答】证明：（1）∵AA1⊥底面ABC，AB⊂平面ABC，∴AA1⊥AB，又AB⊥AC，且AA1∩AC＝A，∴AB⊥平面ACC1A1；解：（2）∵BB1∥AA1，∴∠CA1A为异面直线BB1与A1C所成的角为45°，在Rt△ACA1中，可得AA1＝AC＝4，∴＝．19．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A（﹣2，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为1的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，求|PQ|的最大值．解：（1）由已知可得：a＝2，且e＝，所以c＝1，则b2＝a2﹣c2＝3，故椭圆的标准方程为；（2）设直线l的方程为y＝x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组，消去y可得：7x2+8mx+4m2﹣12＝0，所以x，x，且△＝64m2﹣28（4m2﹣12）＞0，解得﹣，所以|PQ|＝＝＝，当m＝0时，|PQ|．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），直线l的方程是x+2y﹣1＝0，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OM：θ＝α（其中0＜α＜π）与圆C交于O、P，射线OQ：θ＝α+与直线l交于点Q，若|OP|•|OQ|＝6，求α的值．解：（Ⅰ）∵直线l的方程是x+2y﹣1＝0，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ﹣1＝0，即．∵曲线C的参数方程为（φ为参数），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣3）2+y2＝9，∴圆C的极坐标方程为ρ＝6cosθ．（Ⅱ）由题意得|OP|＝6cosα，|OQ|＝＝，则＝6，解得tanα＝1，又∵0＜α＜π，∴α＝．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三角形，M、N分别为AD、PD的中点，PM⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，PD＝CD ＝2，AB＝1．（1）求证：PA∥平面MNC；（2）求AN与平面MNC所成角的正弦值．解：（1）证明：∵M、N分别为AD、PD的中点，∴MN∥PA，∵PA⊄平面MNC，MN⊂平面MNC，∴PA∥平面MNC．（2）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三角形，M、N分别为AD、PD的中点，PM⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，PD＝CD＝2，AB ＝1．∴以M为原点，MA为x轴，过M作AB的平行线为y轴，MP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），N（﹣，0，），M（0，0，0），C（﹣1，2，0），＝（﹣，0，），＝（﹣），＝（﹣1，2，0），设平面MNC的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（2，1，），设AN与平面MNC所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴AN与平面MNC所成角的正弦值为．22．（12分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，M（3，t）是抛物线上一点，且|MF|＝4．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4（O为坐标原点），则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．解：（Ⅰ）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，则|MF|＝3+＝4，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x；（Ⅱ）设直线l的方程为x＝ny+t，与抛物线y2＝4x联立，可得y2﹣4ny﹣4t＝0，设A（，y1），B（，y2），则y1y2＝﹣4t，由•＝+y1y2＝﹣4t＝﹣4，解得t＝2，则直线l的方程为x＝ny+2，直线l恒过定点（2，0）．。