2020版高考数学(理)刷题小卷练：12含解析
2020年高考数学(理)试卷(新课标1)(含解析)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（）A．0B．1C．D．2【分析】由复数的乘方和加减运算，化简z2﹣2z，再由复数的模的定义，计算可得所求值．【解答】解：若z＝1+i，则z2﹣2z＝（1+i）2﹣2（1+i）＝2i﹣2﹣2i＝﹣2，则|z2﹣2z|＝|﹣2|＝2，故选：D．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的模的求法，主要考查化简运算能力，是一道基础题．2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【分析】由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，可得a 的方程，解方程可得a．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|x≤﹣a}，由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得﹣a＝1，则a＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查集合的交集运算，同时考查不等式的解法，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．3．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A．B．C．D．【分析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．【解答】解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h′，则依题意有：，因此有h′2﹣（）2＝ah′⇒4（）2﹣2（）﹣1＝0⇒＝（负值舍去）；故选：C．【点评】本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题．4．（5分）已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（）A．2B．3C．6D．9【分析】直接利用抛物线的性质解题即可．【解答】解：A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有：9+＝12⇒p＝6；故选：C．【点评】本题主要考查抛物线性质的应用，属于基础题．5．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i，y i）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx【分析】直接由散点图结合给出的选项得答案．【解答】解：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点（x，y）在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，y＝a+blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．故选：D．【点评】本题考查回归方程，考查学生的读图视图能力，是基础题．6．（5分）函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+1【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，再求得f（1），然后利用直线方程的点斜式求解．【解答】解：由f（x）＝x4﹣2x3，得f′（x）＝4x3﹣6x2，∴f′（1）＝4﹣6＝﹣2，又f（1）＝1﹣2＝﹣1，∴函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+1．故选：B．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题．7．（5分）设函数f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．D．【分析】由图象观察可得最小正周期小于，大于，排除A，D；再由f（﹣）＝0，求得ω，对照选项B，C，代入计算，即可得到结论．【解答】解：由图象可得最小正周期小于π﹣（﹣）＝，大于2×（）＝，排除A，D；由图象可得f（﹣）＝cos（﹣ω+）＝0，即为﹣ω+＝kπ+，k∈Z，（*）若选B，即有ω＝＝，由﹣×+＝kπ+，可得k不为整数，排除B；若选C，即有ω＝＝，由﹣×+＝kπ+，可得k＝﹣1，成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速解题的关键，属于中档题．8．（5分）（x+）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．20【分析】先把条件整理转化为求（x2+y2）（x+y）5展开式中x4y3的系数，再结合二项式的展开式的特点即可求解．【解答】解：因为（x+）（x+y）5＝；要求展开式中x3y3的系数即为求（x2+y2）（x+y）5展开式中x4y3的系数；展开式含x4y3的项为：x2•x2•y3+y2•x4•y＝15x4y3；故（x+）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为15；故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．9．（5分）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A．B．C．D．【分析】利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于cosα的一元二次方程，求解后再由同角三角函数基本关系式求得sinα的值．【解答】解：由3cos2α﹣8cosα＝5，得3（2cos2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0，即3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝2（舍去），或cos．∵α∈（0，π），∴α∈（，π），则sinα＝＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与二倍角公式的应用，是基础题．10．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π【分析】画出图形，利用已知条件求出OO1，然后求解球的半径，即可求解球的表面积．【解答】解：由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π，可得O1A＝2，则AO1＝AB sin60°，，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2，外接球的半径为：R＝＝4，球O的表面积：4×π×42＝64π．故选：A．【点评】本题考查球的内接体问题，球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键．11．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P 作⊙M的切线P A，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝0【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得|PM|•|AB|＝，说明要使|PM|•|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．写出PM所在直线方程，与直线l的方程联立，求得P点坐标，然后写出以PM为直径的圆的方程，再与圆M的方程联立可得AB所在直线方程．【解答】解：化圆M为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，圆心M（1，1），半径r＝2．∵＝2S△P AM＝|P A|•|AM|＝2|P A|＝．∴要使|PM|•|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．直线PM的方程为y﹣1＝（x﹣1），即y＝，联立，解得P（﹣1，0）．则以PM为直径的圆的方程为．联立，可得直线AB的方程为2x+y+1＝0．故选：D．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的切线方程，考查过圆两切点的直线方程的求法，是中档题．12．（5分）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2D．a＜b2【分析】先根据指数函数以及对数函数的性质得到2a+log2a＜22b+log22b；再借助于函数的单调性即可求解结论．【解答】解：因为2a+log2a＝4b+2log4b＝22b+log2b；因为22b+log2b＜22b+log22b＝22b+log2b+1即2a+log2a＜22b+log22b；令f（x）＝2x+log2x，由指对数函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）内单调递增；且f（a）＜f（2b）⇒a＜2b；故选：B．【点评】本题主要考查指数函数以及对数函数性质的应用，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考理科数学及答案解析(全国Ⅲ卷)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【难度】容易 【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解. 2．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C 【难度】容易【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
2020年全国统一考试高考数学试卷及其详细解析(理科)(新课标ⅲ)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{(,)|A x y x=，*y N∈，}y x，{(,)|8}B x y x y=+=，则A B中元素的个数为()A．2 B．3 C．4 D．62．复数113i-的虚部是()A．310-B．110-C．110D．3103．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p，2p，3p，4p，且411iip==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A．140.1p p==，230.4p p==B．140.4p p==，230.1p p==C．140.2p p==，230.3p p==D．140.3p p==，230.2p p==4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()(I t t的单位：天）的Logistic模型：0.23(53)()1tKI te--=+，其中K为最大确诊病例数．当*()0.95I t K=时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为( )(193)ln≈A．60 B．63 C．66 D．695．设O为坐标原点，直线2x=与抛物线2:2(0)C y px p=>交于D，E两点，若OD OE⊥，则C的焦点坐标为()A．1(4，0)B．1(2，0)C．(1,0)D．(2,0)6．已知向量a，b满足||5a=，||6b=，6a b=-，则cos a<，(a b+>=) A．3135-B．1935-C．1735D．19357．在ABC∆中，2cos3C=，4AC=，3BC=，则cos(B=)A．19B．13C．12D．238．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A．642+B．442+C．63+D．43+初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店11．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，．P 是C上一点，且12F P F P ⊥．若△12PF F 的面积为4，则(a = )A ．1B ．2C ．4D ．8 12．已知5458<，45138<．设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则( ) A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<9．已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan (θ= )A ．2-B ．1-C ．1D ．210．若直线l与曲线y =和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为( )A ．21y x =+B ．122y x =+C ．112y x =+D ．1122y x =+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年数学(理科数学)精编训练(12)答案
故椭圆的离心率 e＝ca＝22ca＝ 32＋1＝ 3 －1.
方法二：如图，设椭圆的方程为xa22＋by22＝ 1(a＞b＞0)，|F1F2|＝2c.
最大直径 2R＝3，即 R＝32，此时球的体积 V
＝43πR3＝9π2 .故填9π 2 . 16. 解：在 Rt△ABD 中，AB＝2 2，
AD＝1，所以 BD＝3，所以 cos∠ADB＝13，
cos∠ABD＝23 2.又∠ACB＝∠ADB， 在△ABC 中，由余弦定理可知，AB2＝
AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，
复数的虚部为－32.故选 A. 3. 解：已知原命题为真命题，逆命题 为假命题．根据互为逆否命题是等价的，所 以否命题，逆否命题分别为假命题，真命 题．故选 C. 4. 解：由题图可得 0＜a＜1，0＜b＜1， 结合选项可知仅 D 符合．故选 D. 5. 解：f(3)＝f(3－1)＝f(2)＝3－2＋a＝－ 89，解得 a＝－1.故选 B. 6. 解：因为 0<ln2<1，所以 1<2ln2<2，2 ＋2ln2>2，0<(ln2)2<1，所以 c<a<b.故选 A. 7. 解：依题意，椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞
环； i＝5，n＝15，S＝35，不满足 i≥7，循
环； i＝6，n＝21，S＝56，不满足 i≥7，循
环； i＝7，n＝28，S＝84，满足 i≥7，退出
循环，故输出 S＝84.故选 B. 10. 解：设美国学者认为的一代为 x 年，
可得出寿命在(0，x]，(x，2x]，(2x，3x]，(3x， 4x]的家族企业的频率分别为 1－(0.3＋0.13 ＋0.05)＝0.52，0.3，0.13，0.05，
2020学年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷)数学理及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷)数学理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1，2}D.{0，1，2}解析：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}.答案：C2.(1+i)(2﹣i)=( )A.﹣3﹣iB.﹣3+iC.3﹣iD.3+i解析：(1+i)(2﹣i)=3+i.答案：D3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )A.B.C.D.解析：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A.答案：A4.若sinα=13，则cos2α=( ) A.89 B.79C.﹣79D.﹣89解析：∵sinα=13，∴cos2α=1﹣2sin 2α=192719-⨯=. 答案：B5.(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为( )A.10B.20C.40D.80解析：由二项式定理得(x 2+2x )5的展开式的通项为：()()5210315522rrr rr rr xT Cx C x--+==，由10﹣3r=4，解得r=2，∴(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为5222C =40.答案：C6.直线x+y+2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x ﹣2)2+y 2=2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2，6] B.[4，8]232，D.[2232，] 解析：∵直线x+y+2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，∴A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，4+4=22∵点P 在圆(x ﹣2)2+y 2=2上，∴设P ()2co 2s sin 2θθ+，，∴点P 到直线x+y+2=0的距离：()2sin 42cos sin 242222d πθθθ+++++==，∵()sin 4πθ+∈[﹣1，1]，∴d= ()22sin 44πθ++∈[232，]， ∴△ABP 面积的取值范围是：[11222223222⨯⨯⨯⨯，，6].答案：A7.函数y=﹣x 4+x 2+2的图象大致为( )A.B.C.D.解析：函数过定点(0，2)，排除A ，B.函数的导数f′(x)=﹣4x 3+2x=﹣2x(2x 2﹣1)，由f′(x)＞0得2x(2x 2﹣1)＜0，得x ＜﹣或0＜x ＜，此时函数单调递增，排除C.答案：D8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P(x=4)＜P(X=6)，则p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 解析：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，看做是独立重复事件，满足X ～B(10，p)，P(x=4)＜P(X=6)，可得()()644466101011C p p C p p --＜，可得1﹣2p ＜0.即12p ＞. 因为DX=2.4，可得10p(1﹣p)=2.4，解得p=0.6或p=0.4(舍去). 答案：B9.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 的面积为2224a b c +-，则C=( )A.2πB.3πC.4πD.6π解析：∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.△ABC 的面积为2224a b c +-，∴S △ABC =222s 1in 42a b c ab C +-=，∴sinC=2222a b c bc +-=cosC ，∵0＜C ＜π，∴C=4π.答案：C10.设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为( )A.B.C.D.543解析：△ABC 为等边三角形且面积为93，可得2393AB ⨯＝，解得AB=6，球心为O ，三角形ABC 的外心为O′，显然D 在O′O 的延长线与球的交点如图：()222362342323O C OO '=='=-=，，则三棱锥D ﹣ABC 高的最大值为：6，则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为：31361833=答案：B11.设F 1，F 2是双曲线C ：22221y x a b -=(a ＞0.b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若|PF 1|=6|OP|，则C 的离心率为( )A.5B.2C.3D.2解析：双曲线C ：22221y x a b -=(a ＞0.b ＞0)的一条渐近线方程为b y x a =， ∴点F 2到渐近线的距离22bcd b a b ==+，即|PF 2|=b ，∴2222222cos bOP OF PF c b a PF O c =-=-=∠=，， ∵|PF 16|OP|，∴|PF 16a ，在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2﹣2|PF 2|·|F 1F 2|COS ∠PF 2O ，∴6a 2=b 2+4c 2﹣2×b ×2c ×bc =4c 2﹣3b 2=4c 2﹣3(c 2﹣a 2)，即3a 2=c 2， 即3a=c ，∴3c e a ==.答案：C12.设a=log 0.20.3，b=log 20.3，则( ) A.a+b ＜ab ＜0 B.ab ＜a+b ＜0 C.a+b ＜0＜ab D.ab ＜0＜a+b解析：∵a=log 0.20.3=lg 0.3lg 5-，b=log 20.3=lg 0.3lg 2，∴()5lg 0.3lg lg 0.3lg 5lg 2lg 0.3lg 0.32lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5a b -+-=＝＝，10lg 0.3lg lg 0.3lg 0.33lg 2lg 5lg 2lg 5ab ⋅-⋅＝＝，∵105lg lg 32＞，lg 0.3lg 2lg 5＜，∴ab ＜a+b ＜0.答案：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a =(1，2)，b =(2，﹣2)，c =(1，λ).若c ∥(2a b +)，则λ=____. 解析：∵向量a =(1，2)，b =(2，﹣2)， ∴2a b +=(4，2)，∵c =(1，λ)，c ∥(2a b +)，∴142λ＝， 解得λ=12.答案： 1214.曲线y=(ax+1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为﹣2，则a=____.解析：曲线y=(ax+1)e x ，可得y′=ae x +(ax+1)e x，曲线y=(ax+1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为﹣2， 可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3. 答案：﹣315.函数f(x)=cos(3x+6π)在[0，π]的零点个数为____.解析：∵f(x)=cos(3x+6π)=0， ∴362x k πππ+=+，k ∈Z ，∴x=193k ππ+，k ∈Z ，当k=0时，x=9π，当k=1时，x=49π，当k=2时，x=79π，当k=3时，x=109π，∵x ∈[0，π]，∴x=9π，或x=49π，或x=79π，故零点的个数为3. 答案：316.已知点M(﹣1，1)和抛物线C ：y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点.若∠AMB =90°，则k=____.解析：∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点F(1，0)， ∴过A ，B 两点的直线方程为y=k(x ﹣1)，联立()241y x y k x ⎪-⎧⎪⎨⎩＝＝可得，k 2x 2﹣2(2+k 2)x+k 2=0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则212242k x x k ++=，x 1x 2=1， ∴y 1+y 2=k(x 1+x 2﹣2)=4k ，y 1y 2=k 2(x 1﹣1)(x 2﹣1)=k 2[x 1x 2﹣(x 1+x 2)+1]=﹣4，∵M(﹣1，1)，∴MA =(x 1+1，y 1﹣1)，MB =(x 2+1，y 2﹣1)， ∵∠AMB=90°=0，∴0MA MB ⋅= ∴(x 1+1)(x 2+1)+(y 1﹣1)(y 2﹣1)=0，整理可得，x 1x 2+(x 1+x 2)+y 1y 2﹣(y 1+y 2)+2=0，∴24124420k k ++--+=，即k 2﹣4k+4=0，∴k=2. 答案：2三、解答题：共70分。
2020年全国统一高考数学理科试卷(附答案解析)
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而 ，
A. 2B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
【答案】C
【解析】
【分析】
求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘积为 或 形式，对 分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
【详解】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
7.设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
2020学年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ)数学理及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ)数学理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设121-=++iz i i ，则|z|=( )A.0B.12C.1解析：利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的摸.()()()211222111--=+=+=-+=++-i i z i i i i i i i i ，则|z|=1. 答案：C2.已知集合A={x|x 2-x-2＞0}，则C R A=( ) A.{x|-1＜x ＜2} B.{x|-1≤x ≤2}C.{x|x ＜-1}∪{x|x ＞2}D.{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2}解析：通过求解不等式，得到集合A ，然后求解补集即可.集合A={x|x 2-x-2＞0}， 可得A={x|x ＜-1或x ＞2}， 则：C R A={x|-1≤x ≤2}. 答案：B3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是( )A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a.通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果.设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a.A项，种植收入37×2a-60%a=14%a＞0，故建设后，种植收入增加，故A项错误.B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，建设前，其他收入为4%a，故10%a÷4%a=2.5＞2，故B项正确.C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，建设前，养殖收入为30%a，故60%a÷30%a=2，故C项正确.D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为(30%+28%)×2a=58%×2a，经济收入为2a，故(58%×2a)÷2a=58%＞50%，故D项正确.因为是选择不正确的一项.答案：A4.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=( )A.-12B.-10C.10D.12解析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出a5的值.∵S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4，a1=2，∴3×(3a1+322⨯d)=a1+a1+d+4a1+432⨯d，把a 1=2，代入得d=-3 ∴a 5=2+4×(-3)=-10. 答案：B5.设函数f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x解析：利用函数的奇偶性求出a ，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程.函数f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax ，若f(x)为奇函数，可得a=1，所以函数f(x)=x 3+x ，可得f ′(x)=3x 2+1， 曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线的斜率为：1， 则曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为：y=x. 答案：D6.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A.3144-AB ACB.1344-AB ACC.3144+AB ACD.1344+AB AC解析：运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()1113122244=-=-=-⨯+=-EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC .答案：A7.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A.217B.25C.3D.2解析：判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可.由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短222425+=答案：B8.设抛物线C ：y2=4x的焦点为F，过点(-2，0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则=FM FN( )A.5B.6C.7D.8解析：求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可.抛物线C：y2=4x的焦点为F(1，0)，过点(-2，0)且斜率为23的直线为：3y=2x+4，联立直线与抛物线C：y2=4x，消去x可得：y2-6y+8=0，解得y1=2，y2=4，不妨M(1，2)，N(4，4)，∴FM=(0，2)，FN=(3，4).则FM FN=(0，2)·(3，4)=0×3+2×4=8. 答案：D9.已知函数f(x)=ln0⎧≤⎨⎩，，＞xe xx x，g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )A.[-1，0)B.[0，+∞)C.[-1，+∞)D.[1，+∞)解析：由g(x)=0得f(x)=-x-a，作出函数f(x)和y=-x-a的图象如图：当直线y=-x-a的截距-a≤1，即a≥-1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，故实数a的取值范围是[-1，+∞).答案：C10.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )A.p1=p2B.p1=p3D.p 1=p 2+p 3解析：如图：设BC=2r 1，AB=2r 2，AC=2r 3，∴r 12=r 22+r 32，∴S Ⅰ=12×4r 2r 3=2r 2r 3，S Ⅲ=12×πr 12-2r 2r 3，S Ⅱ=12×πr 32+12×πr 22-S Ⅲ=12×πr 32+12×πr 22-12×πr 12+2r 2r 3=2r 2r 3，∴S Ⅰ=S Ⅱ， ∴P 1=P 2. 答案：A11.已知双曲线C ：2213-=x y ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|=( )A.32B.3D.4解析：求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN 的坐标，然后求解|MN|.双曲线C ：2213-=x y 的渐近线方程为：y=±3x ，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F(2，0)的直线为：(x-2)，则：)2⎧=⎪⎨⎪=-⎩y x y x，解得322⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y ，即M(32，2-)，)23⎧=⎪⎨⎪=-⎩y x y x，解得3=⎧⎪⎨=⎪⎩x y N(3)，则3==MN .12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.33 4B.233C.324D.3解析：利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，然后求解α截此正方体所得截面面积的最大值.正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图所示：正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长2，α截此正方体所得截面最大值为：2323362⎛=⎝⎭.答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x，y满足约束条件22010--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩x yx yy，则z=3x+2y的最大值为 .解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得3122=-+y x z，平移直线3122=-+y x z，由图象知当直线3122=-+y x z经过点A(2，0)时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为z=3×2=6.答案：614.记S n为数列{a n}的前n项和.若S n=2a n+1，则S6= .解析：先根据数列的递推公式可得{a n}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可.S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=-1，当n≥2时，S n-1=2a n-1+1，②，由①-②可得a n=2a n-2a n-1，∴a n=2a n-1，∴{a n}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，∴()661126312-⨯-==--S.答案：-6315.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.(用数字填写答案)解析：方法一：直接法，分类即可求出.1女2男，有122412=C C，2女1男，有21244=C C，根据分类计数原理可得，共有12+4=16种.方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数.336420416=-=C C 种.答案：1616.已知函数f(x)=2sinx+sin2x ，则f(x)的最小值是 . 解析：由题意可得T=2π是f(x)=2sinx+sin2x 的一个周期， 故只需考虑f(x)=2sinx+sin2x 在[0，2π)上的值域， 先来求该函数在[0，2π)上的极值点，求导数可得f ′(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos 2x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1)，令f ′(x)=0可解得cosx=12或cosx=-1，可得此时x=3π，π或53π；∴y=2sinx+sin2x 的最小值只能在点x=3π，π或53π和边界点x=0中取到，计算可得f(3π)=，f(π)=0，f(53π)=，f(0)=0，∴函数的最小值为.答案：2-三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：每题12分，共60分.17.在平面四边形ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.(1)求cos ∠ADB.解析：(1)由正弦定理得25sin sin 45=∠︒ADB ，求出sin ∠ADB=5，由此能求出cos ∠ADB.答案：(1)如图所示：∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5，∴由正弦定理得：25sin sin45=∠︒ADB，即25sin sin45=∠︒ADB，∴2sin45si52n5︒∠==ADB，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴2223 cos15⎛⎫⎪⎪∠⎭-⎝==ADB.(2)若2BC.解析：(2)由∠ADC=90°，得cos∠BDC=sin∠ADB=25，再由2，利用余弦定理能求出BC.答案：(2)∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=2 5，∵2，∴222cos2582222555 =+-⨯⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯= BC BD DC BD DC BDC.18.如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD.解析：(1)利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可.答案：(1)证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则AE=12AD，BF=12BC，由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC.由于PF⊥BF，EF∩PF=F，则BF⊥平面PEF.又因为BF 平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD.(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.解析：(2)利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离，进而求出线面角. 答案：(2)在平面DEF中，过P作PH⊥EF于点H，联结DH，由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH.在三棱锥P-DEF中，可以利用等体积法求PH，因为DE∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，又因为△PDF≌△CDF，所以∠FPD=∠FCD=90°，所以PF⊥PD，由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE，故V F-PDE=13PF·S△PDE，因为BF∥DA且BF⊥面PEF，所以DA ⊥面PEF ， 所以DE ⊥EP.设正方形边长为2a ，则PD=2a ，DE=a 在△PDE 中，a ，所以S △PDE=a 2， 故V F-PDE=a 3，又因为S △DEF =12a ·2a=a 2，所以223-==F PDE V PH a a ，所以在△PHD中，sin 4∠==PH PDH PD ，即∠PDH 为DP 与平面ABFD所成角的正弦值为：.19.设椭圆C ：2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0).(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程.解析：(1)先得到F 的坐标，再求出点A 的方程，根据两点式可得直线方程. 答案：， ∴F(1，0)，∵l 与x 轴垂直， ∴x=1，由22112=⎧⎪⎨+=⎪⎩x x y，解得21=⎧⎪⎨=⎪⎩x y或21=⎧⎪⎨=-⎪⎩x y ， ∴A(1，2)或(1，2-)，∴直线AM的方程为2+=-y x2=y x .(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.解析：(2)分三种情况讨论，根据直线斜率的问题，以及韦达定理，即可证明. 答案：(2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB ， 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y=k(x-1)，k ≠0， A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1x 2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ，k MB 之和为121222+=+--MA MB y y k k x x ，由y 1=kx 1-k ，y 2=kx 2-k 得()()12121223422-++=--MA MB kx x kx x k k k x x ，将y=k(x-1)代入2212+=x y 可得(2k 2+1)x 2-4k 2x+2k 2-2=0， ∴2122421+=+k x x k ，21222221-=+k x x k ， ∴2kx 1x 2-3k(x 1+x 2)+4k=2121+k (4k 2-4k-12k 2+8k 2+4k)=0从而k MA +k MB =0，故MA ，MB 的倾斜角互补， ∴∠OMA=∠OMB ， 综上∠OMA=∠OMB.20.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p 0. 解析：(1)求出()()1822201=-f p C p p ，则()()()()()18171722220202118121110⎡'=---⎤⎣=-⎦-f p C p p p p C p p p ，利用导数性质能求出f(p)的最大值点p 0=0.1.答案：(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，则()()1822201=-f p C p p，∴()()()()()18171722220202118121110⎡'=---⎤⎣=-⎦-f p C p p p p C p p p，令f′(p)=0，得p=0.1，当p∈(0，0.1)时，f′(p)＞0，当p∈(0.1，1)时，f′(p)＜0，∴f(p)的最大值点p0=0.1.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX. (ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解析：(2)(i)由p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B(180，0.1)，再由X=20×2+25Y，即X=40+25Y，能求出EX.(ii)如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，EX=490＞400，从而应该对余下的产品进行检验.答案：(2)(i)由(1)知p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B(180，0.1)，X=20×2+25Y，即X=40+25Y，∴EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×180×0.1=490.(ii)如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，∵EX=490＞400，∴应该对余下的产品进行检验.21.已知函数()1ln=-+f x x a xx.(1)讨论f(x)的单调性.解析：(1)求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可. 答案：(1)函数的定义域为(0，+∞)，函数的导数()222111-+'=--+=-a x axf xx x x，设g(x)=x2-ax+1，当a≤0时，g(x)＞0恒成立，即f′(x)＜0恒成立，此时函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，当a＞0时，判别式△=a2-4，①当0＜a≤2时，△≤0，即g(x)＞0，即f′(x)＜0恒成立，此时函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，②当a＞2时，x，f′(x)，f(x)的变化如下表：综上当a ≤2时，f(x)在(0，+∞)上是减函数，当a ＞2时，在(0，24--a a )，和(24+-a a ，+∞)上是减函数， 则(24--a a ，24+-a a )上是增函数.(2)若f(x)存在两个极值点x 1，x 2，证明：()()12122---＜f x f x a x x .解析：(2)将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论.答案：(2)由(1)知a ＞2，0＜x 1＜1＜x 2，x 1x 2=1，则()()()()()()12211221121211ln ln 2ln ln ⎛⎫-=-++-=-+- ⎪⎝⎭f x f x x x a x x x x a x x x x ， 则()()()12121122ln ln 22---=-+--＜f x f x a x x a x x x x ，则问题转为证明2211ln ln --x x x x ＜1即可，即证明lnx 1-lnx 2＞x 1-x 2，即证2lnx 1＞x 1-11x 在(0，1)上恒成立，设h(x)=2lnx-x+1x ，(0＜x ＜1)，其中h(1)=0，求导得()()222221212110--+'=--=-=-＜x x x h x x x x x ，则h(x)在(0，1)上单调递减，∴h(x)＞h(1)，即2lnx-x+1x ＞0，故2lnx＞x-1 x，则()()12122---＜f x f xax x成立.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程.解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.答案：(1)曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x-3=0，转换为标准式为：(x+1)2+y2=4.(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.解析：(2)利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果.答案：(2)由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点(0，2). 由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点.所以：必有一直线相切，一直线相交.则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2.2=，解得：k=43-或0，(0舍去)故C1的方程为：y=43-|x|+2.[选修4-5：不等式选讲](10分)23.已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时，求不等式f(x)＞1的解集.解析：(1)去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集.答案：(1)当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-1|=21211 21⎧⎪-≤≤⎨⎪--⎩，＞，，＜xx xx，由f(x)＞1，∴2111⎧⎨-≤≤⎩＞xx或211⎧⎨⎩＞＞x，解得x＞1 2，故不等式f(x)＞1的解集为(12，+∞).(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围.解析：(2)当x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，转化为即|ax-1|＜1，即0＜ax＜2，转化为a＜2x，且a＞0，即可求出a的范围.答案：(2)当x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，∴|x+1|-|ax-1|-x＞0，即x+1-|ax-1|-x＞0，即|ax-1|＜1，∴-1＜ax-1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈(0，1)，∴a＞0，∴0＜x＜2 a，∴a＜2 x，∵2x＞2，∴0＜a≤2，故a的取值范围为(0，2].。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数113i-的虚部是（ ） A. 310-B. 110-C. 110D. 310【答案】D【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）A. 14230.1,0.4p p p p ====B. 14230.4,0.1p p p p ====C. 14230.2,0.3p p p p ====D. 14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=， 方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69【答案】C 【解析】 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+，则()0.235319t e *-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A. （14，0） B. （12，0） C. （1，0） D. （2，0）【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4COx COx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ）A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值.【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB =由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积. 【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：211sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅︒==△∴该几何体的表面积是：632=⨯++.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题. 9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2B. –1C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题. 10.若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x -=-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a <b <c B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a、b、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ， 所以max 31227z =⨯+⨯= 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项. 【详解】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项：()62612rrr r C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅ 1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，的其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM ==，故122S =⨯⨯=△ABC， 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOCS S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ()13322r =⨯++⨯= 解得：22r，其体积：343V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅ ()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,EF 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值. 【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，112C G CG =，12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ，()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，由0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-，设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，3cos ,3m n m n m n⋅<>===⨯⋅， 设二面角1A EFA --的平面角为θ，则cos θ=，sin θ∴==因此，二面角1A EF A --. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案； （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】（1）222:1(05)25x y C mm +=<<∴5a =，bm =，根据离心率c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y+=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△， ∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：d =， 根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ面积为：1522⨯=；②当P 点(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△， ∴||||8MB NQ ==，为可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A-,(6,8)Q，可求得直线AQ的直线方程为：811400x y-+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ面积为：1522=，综上所述，APQ面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c=++，曲线()y f x=在点(12，f(12))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若()f x有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b=-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1()02f=，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()()422f x x x x=-=+-，易知()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b=+，由题意，'1()02f=，即21302b⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭则34b=-；（2）由（1）可得33()4f x x x c=-+，'2311()33()()422f x x x x=-=+-，令'()0f x>，得12x>或21x<-；令'()0f x<，得1122x-<<，所以()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，若()f x所有零点中存在一个绝对值大于1的零点x，则(1)0f->或(1)0f<，即14c>或14c<-.当14c>时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=->-=+>=->=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=-++=-<，由零点存在性定理知()f x在(4,1)c--上存在唯一一个零点x，即()f x在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点，此时()f x不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c<-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=-<-=+<=-<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=++=->，由零点存在性定理知()f x在(1,4)c-上存在唯一一个零点x'，即()f x (1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】 【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)ABk -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=， ()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. ,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.在祝福语祝你考试成功!。
2020年全国II卷理科数学高考试卷(含答案)
2020年普道高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的,1,已知集合U = {-2—323}, J = 人{L2},则"川可=A.卜冽B {-223}c> [-2-1:053)D {-2-1,0,23)2.若仪为第四象限角，则A.cos 2a >0B.cos 2a <0C.sin 2a > 0D.sin 2a <03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上箱售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者蔚跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05JO志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者 A. 10 名B.18 名C.24 名D.32 名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块。
下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块。
已知每层环数相同，且下层比中层多729 块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A.3699 块B.3474 块C.3402 块D.3339 块5.若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-），-3 = 0的距离为A,正5B.空56.数列(4)中，《=2，%+〃〃，若4.1+《.2+…+q+10=2"-2'，则出=C,任5A. 2B. 3C. 4D. 5 7.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为A. EB. FC. GD. H8.设O为坐标原点，直线x =。
2020年高考理科数学 (全国I卷)-(含答案解析word)
2020年高考理科数学 (全国I卷)一、单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1. 若,则（）A、0B 、1C 、D 、22.设集合，，且，则（）A 、-4 B、-2 C、2 D、43. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A、B、C、D、4.已知A为抛物线上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则P=（）A、2B、3C、6D、95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A、B、C、D、6.函数的图像在点处的切线方程为（）A、B、C、D、7.设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为（）A、B、C、D、8. 的展开式中的系数为（）A、5B、10C、15D、209. 已知，且，则=（）A、B、C、D、10. 已知A、B、C为球O的球面上的三个点，⊙O1为∆ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=O O1,则球O的表面积为（）A、64πB、48πC、36πD、32π11. 已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0，直线l:2x+y=0,P为l上的动点.过点P作⊙M的切线PA、PB切点为A,B,当|PM|●|AB|最小时，直线AB的方程为（）A 、B 、C 、 D、12.若则（）A 、a>2bB 、a<2bC 、a>b 2D 、a< b 2二、填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填写在题中横线上。
13.若x ，y 满足约束条件则z=x+7y 的最大值为 。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)(有详细解析)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={−2,−1,0,1,2,3}，A={−1,0,1},B={1,2},则C U(A⋃B)=()A. {−2,3}B. {−2,2,3}C. {−2,−1,0,3}D. {−2,−1,0,2,3}2.若α为第四象限角，则()A. cos2α>0B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为()A. √55B. 2√55C. 3√55D. 4√556.数列{a n}中，a1=2，a m+n=a m a n，若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=215−25，则k=()A. 2B. 3C. 4D. 57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A. EB. FC. GD. H8.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D、E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A. 4B. 8C. 16D. 329.设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)()A. 是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(−12,12)单调递减C. 是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D. 是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减10.已知▵ABC是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为16π，则球O到平面ABC的距离为()A. √3B. 32C. 1 D. √3211.若2x−2y<3−x−3−y，则()A. ln(y−x+1)>0B. ln(y−x+1)<0C. ln|x−y|>0D. ln|x−y|<012.0−1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列a1a2…a n…满足a i∈(0,1)(i=1,2,…)，且存在正整数m，使得a i+m=a i(i=1,2,…)成立，则称其为0−1周期序列，并称满足a i+m=a i(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0−1序列a1a2…a n…，C(k)=1m ∑a i a i+k(k=1,2,…,m−1)mi=1是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0−1序列中，满足C(k)≤15(k=1,2,3,4)的序列是()A. 11010…B. 11011…C. 10001…D. 11001…二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量a,b的夹角为45°，ka−b与a垂直，则k=_______．14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．15. 设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=2,z 1+z 2=√3+i ，则|z 1−z 2|=______． 16. 设有下列四个命题：P 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． P 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． P 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． P 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是________．①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③¬p 2∨p 3 ④¬p 3∨¬p 4 三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17. ▵ABC 中，sin 2A −sin 2B −sin 2C =sinBsinC ．(1)求A ；(2)若BC =3，求▵ABC 周长的最大值．18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,…,20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑x i =6020i=1，∑y i =120020i=1，∑(x i −x )2=8020i=1，∑(y i −y )2=900020i=1，∑(x i −x )(y i −y )=8020i=10．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i,y i)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，√2≈1.414．19.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与的C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|．(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．20.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC 于F．(1)证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO//平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．21.已知函数f(x)=sin2xsin2x．(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性；(2)证明：|f(x)|≤3√38；(3)设n∈N∗，证明：sin2xsin22xsin24x⋯sin22n x≤3n4n．22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：{x=4cos 2θy=4sin2θ(θ为参数)，C2：{x=t+1ty=t−1t(t为参数)．(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a2|+|x−2a+1|．(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．答案和解析1.A解：∵A∪B={−1,0,1,2}，∴∁U(A∪B)={−2,3}.2.D+2kπ<α<2kπ,∴−π+4kπ<2α<4kπ,解：∵−π2∴2α是第三象限或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上，∴sin2α<0.3.B解：因为公司可以完成配货1200份订单，=18名.则至少需要志愿者为1600+500−1200504.C解：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差d=9，a1=9，由等差数列性质知S n,S2n−S n,S3n−S2n成等差数列，且(S3n−S2n)−(S2n−S n)=n2d，则9n2=729，得n=9，×9=3402块.则三层共有扇形面石板为S3n=S27=27a1+27×2625.B解：设圆心为(a,a)，则半径为a，圆过点(2,1)，则(2−a)2+(1−a)2=a2，解得a=1或a=5，.所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是d=2√556.C解：取m=1，则a n+1=a1a n，=2，又a1=2，所以a n+1a n所以{a n}是等比数列，则a n=2n，所以，得k=4.7.A解：该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A．8.B解：双曲线C 的两条渐近线分别为y =±ba x ，由于直线x =a 与双曲线的两条渐近线分别交于D 、E 两点， 则易得到|DE|=2b ，则S △ODE =ab =8，c 2=a 2+b 2⩾2ab =16 ，即c ⩾4， 所以焦距2c ⩾8．9. D解：由已知，函数定义域为(−∞,−12)∪(−12,12)∪(12,+∞)，关于原点对称， 函数f(−x)=ln |−2x +1|−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f(x)， 则f(x)为奇函数，当x ∈(−12,12)时，f(x)=ln (2x +1)−ln (1−2x)=ln 2x+11−2x=ln (1+41x−2)，单调递增； 当x ∈(−∞,−12)时，f(x)=ln(−2x −1)−ln(1−2x)=ln 2x+12x−1=ln(1+22x−1)，单调递减．10. C解：设△ABC 的外接圆圆心为O 1，设OO 1=d ，圆O 1的半径为r ，球O 的半径为R ， △ABC 的边长为a ，则S △ABC =√34a 2=9√34，可得a =3，于是r =√3=√3， 由题意知，球O 的表面积为16π， 则R =2，由R 2=r 2+d 2，求得d =1， 即O 到平面ABC 的距离为1．11.A解：2x−3−x<2y−3−y，设f(x)=2x−3−x，则f′(x)=2x ln2+3−x ln3>0，所以函数f(x)在R上单调递增，因为f(x)<f(y)，所以x<y，则y−x+1>1，ln(y−x+1)>0．12.C解：对于A选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+0)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+1+0+1+0)=25>15，不满足，排除；对于B选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+1+1)=35>15，不满足，排除；对于C选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(0+0+0+0+1)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+0+0+0+0)=0，C(3)=15∑a i5i=1a i+3=15(0+0+0+0+0)=0，C(4)=15∑a i5i=1a i+4=15(1+0+0+0+0)=15，满足；对于D选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+1)=25>15，不满足，排除；13.√22解：由单位向量a⃗,b⃗ 的夹角为45∘，k a⃗−b⃗ 与a⃗垂直，所以(k a⃗−b⃗ )⋅a⃗=k−√22=0，则k=√22．14.36解：由题意，先将4名同学分成三组，一组两人，其余两组各一人，再将3组分到3个小区，可得不同的安排方法有：C42A33=36．15.2√3解：在复平面内，用向量方法求解，原问题即等价于平面向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=|b⃗ |=2，a⃗+b⃗ =(√3,1)，求|a⃗−b⃗ |，由(a⃗+b⃗ )2+(a⃗−b⃗ )2=2|a⃗|2+2|b⃗ |2，可得4+(a⃗−b⃗ )2=16，故|a⃗−b⃗ |=2√3．16.①③④解：对于p1：可设l1与l2，所得平面为α.若l3与l1相交，则交点A必在平面α内.同理l2与l3的交点B在平面α内，故直线AB在平面α内，即l3在平面α内，故p1为真命题．对于p2:过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数个平面，故p2为假命题．对于p3:空间中两条直线的位置关系有平行，相交，异面，故p3为假命题．对于p4:若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故m⊥l，故p4为真命题．综上可知，p1∧p4为真命题，¬p2∨p3为真命题，¬p3∨¬p4为真命题．17.解：(1)在▵ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC，由正弦定理得，a2−b2−c2=bc，即b2+c2−a2=−bc，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc =−12，因为0<A<π，所以A=2π3．(2)由(1)知，A=2π3，因为BC=3，即a=3，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA，所以9=b2+c2+bc=(b+c)2−bc，由基本不等式可得bc≤(b+c)24，所以9=(b+c)2−bc≥34(b+c)2,所以b+c≤2√3(当且仅当b=c=√3时取得等号)，所以▵ABC周长的最大值为3+2√3．18.解：(1)由题可知，每个样区这种野生动物数量的平均数为120020=60，所以该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000(2)根据公式得r=i −x)(y i−y)ni=1√∑(x i−x)∑(y i−y)i=1i=1=80×9000=32≈0.94(3)为了提高样本的代表性，选用分层抽样法更加合理，因为分层抽样可以按照规定的比例从不同的地块间随机抽样，其代表性较好，抽样误差更小。
2020全国卷Ⅰ高考压轴卷数学(理)含解析
17.（本小题 12 分）
4sin2 A B 4sin Asin B 2 2
△ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知
2
（1）求角 C 的大小；
（2）已知 b 4 ，△ABC 的面积为 6，求边长 c 的值.
18. （本小题 12 分）
BC CD 1 AB 2
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），
上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（ ）
A. 二升
B. 三升
C. 四升
D. 五升
9.在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，a 3, c 2
3,bsinA
21. （本小题 12 分）
设函数 f x a2 ln x x2 ax a R .
（1）求 f x 的单调区间；
（2）求使 e 1 f x e2 对 x 1, e 恒成立的 a 的取值范围.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.
它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于 2 的圆； 设弦心距为 d，由题意可得 22+d2=4，求得 d=0， 可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0， 即 a+b=1，再由 a＞0，b＞0，可得
4 1 =（ 4 1 ）（a+b）=5+ 4b a ≥5+2
ab ab
ab
4b a 9 ab
e
e
e
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学【含答案】
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学【含答案】一、选择题1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=A ．2i -B ．i -C ．iD ．2i2．函数2(0)y x x =≥的反函数为 A ．2()4x y x R =∈ B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈D ．24(0)y x x =≥3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是A ．1a b +＞B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =A ．8B ．7C ．6D ．55．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．96．已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 A ．23B ．33C ．63D ．17．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种8．曲线y=2x e -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为A ．13B ．12C ．23D ．19．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．1210．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=A ．45B ．35C ．35-D ．45-11．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π12．设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于A ．2B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 （注意：在试卷上作答无．．．．．．．效．） 13．（1-x ）20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ．2y 2 14．已知a ∈（2π，π），sin α=55，则tan2α=15．已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = ．16．己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB,CF=2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C =90°，a+c=2b ，求C ．18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立 （I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；（Ⅱ）X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。
2020高考数学(理)全真模拟卷12(解析版)
备战2020高考全真模拟卷12数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）第I 卷（选择题)一、 单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{|06}U x N x =∈≤≤，集合{4,5,6}A =，则U C A =（ ）A ．{1,2,3}B ．{0,1,2,3}C ．{|03}x x ≤≤D ．{|03}U x N x =∈<≤【答案】B【解析】【分析】先化简全集，再根据补集定义求结果.【详解】因为{}0,1,2,3,4,5,6U =,所以{}0,1,2,3U C A =，选B.【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2．i 是虚数单位,复数1+ai 2−i 为纯虚数,则实数a 为( )A ．2B ．−2C ．−12D ．12【答案】A【解析】解：∵1+i 2−ai =(1+i )(2+ai )(2−ai )(2+ai )=2−a+(2+a )i4+a 2∴2+a =0∴a =−23．已知向量(1,1),2(4,3),(,2)a a b c x =+==-r r r r ，若//b c r r ，则x 的值为（ ）A ．4B ．-4C ．2D ．-2【答案】B【解析】【分析】先求出()2,1b =v ，再利用//b c v v 求出x 的值.【详解】()222,1;//40, 4.b a b a b c x x v v v v v v Q ，=+-=∴+=∴=-故选B【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．已知数列{}n a 中， ()*111,21,n n n a a a n N S +==+∈为其前n 项和， 5S 的值为（ ） A ．63 B ．61 C ．62 D ．57【答案】D【解析】解：由数列的递推关系可得： ()11121,12n n a a a ++=++= ，据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则： 1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，分组求和有： ()5521255712S ⨯-=-=- . 本题选择D 选项.5．2sin18m =o ，若24m n +=，则22cos 271︒=-（ ） A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B【解析】【分析】根据题意代换化简分子，利用半角公式化简即可求解.【详解】由题：==4sin18cos182sin 362cos542cos54cos54cos54︒︒︒︒︒︒︒====. 故选：B【点睛】此题考查三角恒等变换，对基本公式考查比较全面，涉及半角公式化简，考查综合能力.6．已知131log 4a =，154b =，136c =，则（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >> 【答案】C【解析】【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系.【详解】 因为154b =，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>.故选：C.【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.7．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( )A ．710B ．35C ．12D ．25【答案】B【解析】【分析】先由题意写出成等比数列的10个数，然后找出小于8的项的个数，代入古典概率的计算公式即可求解【详解】解：由题意()13n n a -=-成等比数列的10个数为：1，3-，2(3)-，39(3)(3)-⋯-其中小于8的项有：1，3-，3(3)-，5(3)-，7(3)-，9(3)-共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是63105P ==． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题 8．函数2ln 8x y x =-的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性，极限，特值点逐一判断即可.【详解】 由函数2ln 8x y x =-为偶函数，排除B 选项，当x 0→时，y ∞→+，排除A 选项，当x=(1ln 0y =-＜，排除C 选项，故选：D【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.9．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．43B ．83C ．4D ．8【答案】A【解析】【分析】由三视图先确定几何体的形状，由体积公式即可求解.【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，其底面为等腰直角三角形，且腰长为2，三棱柱的高为2，所以该三棱柱的体积为114V 222323=⨯⨯⨯⨯=. 故选A【点睛】本题主要考查由三视图来求几何体的体积，属于基础题型.10．我国古代数学名著《孙子算经》中有鸡兔同笼问题:“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡x 只，兔y 只，则输出,x y 的分别是（ ）A ．12,23B ．23,12C ．13,22D ．22,13【答案】B【解析】【分析】 由1,34x y ==开始验证S ，直到满足94S =，退出循环体，输出,x y .【详解】1,34x y ==,138S =；2,33x y ==,136S =；L ；23,12x y ==,94S =.退出循环，输出23,12x y ==.故选:B【点睛】本题考查循环结构运行结果，属于基础题.11．已知椭圆22142x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且1||3PF =，则12PF F ∆的面积为（ ）A ．2BC ．2 D【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的标准方程及椭圆的定义,可得焦距2c 及2PF ,由勾股定理逆定理可判断12PF F ∆为直角三角形,进而求得12PF F ∆的面积.【详解】 圆22142x y +=的左右焦点分别为1F ,2F ,点P 在椭圆上,且1||3PF = 所以1224PF PF a +== 则2431PF =-=而222c a b =-=所以122F F c == 因为2221122PF F F PF =+所以12PF F ∆是以1PF 为斜边的直角三角形则1221211122PF F P F F S F ∆⨯=⨯⨯⨯==故选:B【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及定义,焦点三角形面积的求法,利用勾股定理的逆定理判断三角形形状,属于基础题.12．已知函数211()(0)42f x x x a x =++<，()ln (0)g x x x =>，其中R a ∈．若()f x 的图象在点()()11,A x f x 处的切线与g x （）的图象在点()()22,B x f x 处的切线重合，则a 的取值范围为（）A ．(1ln 2,)-++∞B ．(1ln 2,)--+∞C ．3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．(ln 2ln3,)-+∞ 【答案】A【解析】【分析】先根据导数的几何意义写出函数()f x 在点A 与函数()g x 在B 处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出222111ln 12a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，令21t x =，则102t <<，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a 的取值范围．【详解】 ∵211()(0)42f x x x a x =++<，()ln (0)g x x x => ∵()()11022f x x x '=+<，()()10g x x x '=>， 函数()f x 在点()()11,A x f x 处的切线方程为：()2111111114222y x x a x x x ⎛⎫⎛⎫-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数()g x 在点()()22,B x f x 处的切线方程为：()2221ln y x x x x -=-， 两直线重合的充要条件是1211122x x +=∵，2121ln 14x a x -+=-∵， 由∵及120x x <<得21102x <<， 故22222211111ln 1ln 122a x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令21t x =，则102t <<，且21ln 12a t t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭， 设()21ln 12h t t t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，102t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ ()()()221112121t t t t h t t t t t+---'=--==， 当102t <<时，()0h t '<恒成立，即()h t 单调递减， ()11ln 22h t h ⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭，0x →时，()h t →+∞， 即a 的取值范围为(1ln 2,)-++∞，故选A.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法，属于中档题.第II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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C. D.
答案：A
解析：由题意知cosα＝ ＝ ，所以sin ＝－cosα＝－ .
5．[2019·广西玉林陆川中学模拟]sin570°的值是()
A．－ B.
C. D．－
答案：A
解析：sin570°＝sin(720°－150°)＝－sin150°＝－ .故选A.
6．[2019·上海长宁、嘉定模拟]设角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα>0”的()
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：当α的终边在射线y＝－ x(x≤0)上时，对应的角为 ＋2kπ，k∈Z，当α的终边在射线y＝－ x(x≥0)上时，对应的角为－ ＋2kπ，k∈Z，所以角α的取值集合为 ，故选D.
8．[2019·湖南株洲醴陵二中、四中模拟]已知2sinα－cosα＝0，则sin2α－2sinαcosα的值为()
答案：②③
解析：因为A，B，C是△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π， ＝ .所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，cos ＝cos ＝sin ，sin(2A＋B＋C)＝sin(A＋π)＝－sinA.故②③恒成立．
刷题课时增分练⑫综合提能力 课时练 赢高分
一、选择题
1．[2019·河北张家口月考]若角θ满足sinθ>0，tanθ<0，则 是()
∴－sinα＝－2cosα，即sinα＝2cosα.
(1)原式＝ ＝ ＝－ .
(2)∵sinα＝2cosα，∴tanα＝2，
∴原式＝ ＝ ＝ ＝ .
刷题增分练12三角函数概念、同角三角函数基本关系式、诱导公式
刷题增分练⑫小题基础练提分快
一、选择题
1．[2019·湖北百所重点校联考]已知角θ的终边经过点P(x,3)(x<0)且cosθ＝ x，则x＝()
A．－1 B．－
C．－3 D．－
答案：A
解析：由题意，得 ＝ x，故x2＋9＝10，解得x＝±1.因为x<0，所以x＝－1，故选A.
2．[2019·泉州质检]若sinθtanθ<0，且sinθ＋cosθ∈(0,1)，那么角θ的终边落在()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：B
解析：∵sinθtanθ<0，∴角θ的终边落在第二或第三象限，又sinθ＋cosθ∈(0,1)，因而角θ的终边落在第二象限，故选B.
3．[2019·南昌调研]已知sinθ＝ ，θ∈ ，则tanθ＝()
4．若 ＝3，则cosα－2sinα＝()
A．－1B．1
C．－ D．－1或－
答案：C
解析：因为 ＝3，所以cosα＝3sinα－1(sinα≠0)，所以sin2α＋(3sinα－1)2＝1(sinα≠0)，即5sin2α－3sinα＝0(sinα≠0)，所以 所以cosα－2sinα＝－ .
5．[2019·长沙模拟]若A，B，C为△ABC的三个内角，则下列结论成立的是()
A．－ B.
C．－ D.
答案：A
解析：设O为坐标原点，则由已知得|OM|＝5，因而cosθ＝－ ，sinθ＝ ，tanθ＝－ ，则cos2θ－sin2θ＋tanθ＝ － － ＝－ .
7．[2019·江西联考]已知sin(π－α)＝－2sin ，则sinαcosα＝()
A. B．－
C. 或－ D．－
答案：B
A．cos(A＋B)＝cosCB．sin(A＋B)＝－sinC
C．sin ＝cos D．sin ＝－cos
答案：C
解析：cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，sin ＝sin ＝cos ，故选C.
6．[2019·兰州模拟]已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M(－3,4)，则cos2θ－sin2θ＋tanθ的值为()
所以cos ＋sin ＝0.
10．已知一个扇形的圆心角为 ，面积为 ，则此扇形的半径为________．
答案：2
解析：设此扇形的半径为r(r>0)，由 ＝ × ×r2，得r＝2.
11．[2019·保定模拟]已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinβ的值为________．
A．第二象限角B．第一象限角
C．第一或第三象限角D．第一或第二象限角
答案：C
解析：∵角θ满足sinθ>0，tanθ<0，∴θ是第二象限角，即 ＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，∴ ＋kπ< < ＋kπ，k∈Z，∴ 是第一或第三象限角．故选C.
2．[2019·辽宁沈阳重点高中联考]设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则()
解析：∵cosα＝－ ，∴sinα＝ ＝ ，
∴A .
10．[2019·天津质检]化简： ＝________.
答案：cosα
解析： ＝ ＝cosα.
11．[2019·山西孝义模拟]已知sin(3π＋α)＝2sin ，求下列各式的值．
(1) ；
(2)sin2α＋sin2α.
解析：∵sin(3π＋α)＝2sin ，
答案：
解析：2tan(π－α)－3cos ＋5＝0化为－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1化为tanα－6sinβ＝1，因而sinβ＝ .
12．[2019·贵州贵阳模拟]设A，B，C为△ABC的三个内角，则下列关系式中恒成立的是________(填写序号)．
①cos(A＋B)＝cosC；②cos ＝sin ；③sin(2A＋B＋C)＝－sinA.
A．c>b>aB．b>c>a
C．a>b&s55°＝sin35°>sin33°＝a，c＝tan35°>sin35°＝b，∴c>b>a.故选A.
3．若cosα＝－ ，且α为第二象限角，则tanα＝()
A．－ B．－
C. D.
答案：B
解析：因为cosα＝－ ，且α为第二象限角，所以sinα＝ ＝ ，所以tanα＝ ＝－ .
C．3D．4
答案：C
解析：设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R.由题意得 解得θ＝3，即扇形的圆心角的弧度数是3.故选C.
二、非选择题
9.
[2019·北京第三十五中学模拟]如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆的交点A在第二象限．若cosα＝－ ，则点A的坐标为________．
答案：
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：α的终边在第一、二象限能推出sinα>0，sinα>0成立能推出α的终边在第一、二象限或y轴的正半轴上，故“α的终边在第一、二象限”是“sinα>0”的充分不必要条件．故选A.
7．[2019·长春检测]若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－ x上，则角α的取值集合是()
解析：∵sin(π－α)＝－2sin ，∴sinα＝－2cosα.再由sin2α＋cos2α＝1可得sinα＝ ，cosα＝－ 或sinα＝－ ，cosα＝ ，∴sinαcosα＝－ .故选B.
8．[2019·福建莆田二十四中月考]一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是()
A．1B．2
A．－ B．－
C. D.
答案：A
解析：由已知2sinα－cosα＝0得tanα＝ ，所以sin2α－2sinαcosα＝ ＝ ＝－ .故选A.
二、非选择题
9．已知cos ＝a，则cos ＋sin 的值是________．
答案：0
解析：因为cos ＝cos ＝－cos ＝－a.
sin ＝sin ＝cos ＝a，
A．－2B．－
C．－ D．－
答案：C
解析：通解由sinθ＝ 且θ∈ 知cosθ＝ ，∴tanθ＝－ ＝－ ，故选C.
优解
如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝1，AB＝2 ，易知sinA＝ ，则tanA＝ ＝ ，又sinθ＝ ，θ∈ ，所以θ＝π－A，故tanθ＝－ .
4．[2019·潍坊统考]若角α的终边过点A(2,1)，则sin ＝()