正方形的判定和性质
正方形的性质与判定【十大题型】(举一反三)(浙教版)(原卷版)
专题5.3 正方形的性质与判定【十大题型】【浙教版】【题型1 正方形的性质（求角的度数）】 (1)【题型2 正方形的性质（求线段的长度）】 (3)【题型3 正方形的性质（求面积、周长）】 (4)【题型4 正方形的性质（探究数量关系）】 (6)【题型5 判定正方形成立的条件】 (10)【题型6 正方形判定的证明】 (12)【题型7 正方形的判定与性质综合】 (16)【题型8 探究正方形中的最值问题】 (19)【题型9 正方形在坐标系中的运用】 (20)【题型10 正方形中的多结论问题】 (23)【题型1 正方形的性质（求角的度数）】【例1】（2022春•建阳区期中）如图，在正方形ABCD中有一个点E，使三角形BCE是正三角形，求：（1）∠BAE的大小（2）∠AED的大小．【变式1-1】如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由．【变式1-2】（2022•武威模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，点F在BC的延长线上，且BE＝EF，EF交CD于点G．（1）求证：DE＝EF；（2）求∠DEF的度数．【变式1-3】（2022春•新市区校级期末）如图，在给定的正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠DFE+∠EPC的度数的变化情况是（）A．一直减小B．一直减小后增大C．一直不变D．先增大后减小【题型2 正方形的性质（求线段的长度）】【例2】（2022春•牡丹江期末）如图，正方形ABCD的边长为10，点E，F在正方形内部，AE＝CF＝8，BE＝DF＝6，则线段EF的长为（）A．2√2B．4C．4−√2D．4+√2【变式2-1】（2022春•巴南区期末）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD上，且DE ＝1，作EF∥BC分别交AC、AB于点G、F，P、H分别是AG，BE的中点，则PH的长是（）A．2B．2.5C．3D．4【变式2-2】（2022•越秀区一模）将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上，已知BG=√2，BC＝3，连接DF，M是DF的中点，连接AM，则AM的长是（）A．√102B．√3C．√132D．32【变式2-3】（2022春•吴中区校级期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4√5．E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE，点N、M分别为AF、DE的中点，连接MN，则MN的长度为．【题型3 正方形的性质（求面积、周长）】【例3】（2022春•鄞州区期末）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B得图丙，则阴影部分的面积为（）A．28B．29C．30D．31【变式3-1】（2022春•工业园区校级期中）如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE 为Rt△，∠CED＝90°，OE＝2√2，若CE•DE＝3，则正方形ABCD的面积为（）A．5B．6C．8D．10【变式3-2】（2022•台州）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为．【变式3-3】（2022•江北区一模）如图，以Rt△ABC的各边为边分别向外作正方形，∠BAC＝90°，连结DG，点H为DG的中点，连结HB，HN，若要求出△HBN的面积，只需知道（）A．△ABC的面积B．正方形ADEB的面积C．正方形ACFG的面积D．正方形BNMC的面积【题型4 正方形的性质（探究数量关系）】【例4】（2022秋•中原区校级月考）如图，线段AB＝4，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE 与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）请直接写出△AEF的周长．【变式4-1】（2022春•雁塔区校级期末）在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，该角可以绕点A转动，∠MAN的两边分别交射线CB，DC于点M，N．（1）当点M，N分别在正方形的边CB和DC上时（如图1），线段BM，DN，MN之间有怎样的数量关系？你的猜想是：，并加以证明．（2）当点M，N分别在正方形的边CB和DC的延长线上时（如图2），线段BM，DN，MN之间的数量关系会发生变化吗？证明你的结论．【变式4-2】（2022春•莆田期末）如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE＝AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点．（1）求证：AO＝BO；（2）求证：∠HEB＝∠HNB；（3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则PE−PA的值．PB【变式4-3】（2022春•鼓楼区校级期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点G．点H是线段CE上一点，且CO＝CH．（1）若OF＝5，求FH的长；（2）求证：BF＝OH+CF．【题型5 判定正方形成立的条件】【例5】（2022春•海淀区校级期中）已知四边形ABCD为凸四边形，点M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合），下列说法正确的是（填序号）．①对于任意凸四边形ABCD，一定存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②如果四边形ABCD为任意平行四边形，那么一定存在无数个四边形MNPQ是矩形；③如果四边形ABCD为任意矩形，那么一定存在一个四边形为正方形；④如果四边形ABCD为任意菱形，那么一定存在一个四边形为正方形．【变式5-1】（2022春•岳麓区校级月考）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是．【变式5-2】（2022春•汉寿县期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在AC 上，且OE＝OF，连接DE并延长至点M，使DE＝ME，连接MF，DF，BE．（1）当DF＝MF时，证明：四边形EMBF是矩形；（2）当△DMF满足什么条件时，四边形EMBF是正方形？请说明理由．【变式5-3】（2022春•沛县期中）已知在△ABC中，D为边BC延长线上一点，点O是边AC上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠ACD的平分线相交于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）试确定点O在边AC上的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．（3）在（2）的条件下，且△ABC满足条件时，矩形AECF是正方形？．【题型6 正方形判定的证明】【例6】（2022春•虹口区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E是对角线BD上的一点，且AE＝CE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果AB＝BE，且∠ABE＝2∠DCE，求证：四边形ABCD是正方形．【变式6-1】（2022春•宜城市期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，过点D作DE ∥AC与BC的延长线交于点E，连接AE交DC于F．（1）求证：BC＝CE；（2）连接BF，若∠DAF＝∠FBE，且AD＝2CF，求证：四边形ABCD是正方形．【变式6-2】（2022秋•市南区期末）已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．（1）求证：AF＝CG；（2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH 是正方形？【变式6-3】（2022•上海）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形．【题型7 正方形的判定与性质综合】【例7】（2022•威海）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O．（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1cm，则图3中阴影部分的面积为cm2．【变式7-1】（2022•萧山区模拟）如图，P为正方形ABCD内的一点，画▱P AHD，▱PBEA，▱PCFB，▱PDGC，请证明：以E，F，G，H为顶点的四边形是正方形．【变式7-2】（2022•萧山区模拟）已知：如图，边长为4的菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，BE＝1，且DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求线段OF的长．【变式7-3】（2022春•潜山市期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3√2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【题型8 探究正方形中的最值问题】【例8】（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，在正方形ABCD中，M，N是边AB上的动点，且AM＝BN，连接MD交对角线AC于点E，连接BE交CN于点F，若AB＝3，则AF长度的最小值为．【变式8-1】（2022•泰山区一模）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（）A．2B．1C．√5−1D．√5−2【变式8-2】（2022•青山区模拟）已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝4AB＝8，E为线段AD上一动点，以CE 为边向上构造正方形CEFG，连接BF，则BF的最小值是．【变式8-3】（2022•郧阳区模拟）如图，P A=2√2，PB=4√2，以AB为边作正方形ABCD，使得P、D两点落在直线AB的两侧，当∠APB变化时，则PD的最大值为．【题型9 正方形在坐标系中的运用】【例9】（2022春•市中区期末）在平面直角坐标系中，对于两个点P、Q和图形W，如果在图形W上存在点M、N（M、N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．已知正方形的边长为2，一边平行于x轴，对角线的交点为点O，点D的坐标为（2，0）．若点E（x，2）与点D是正方形的一对平衡点，则x的取值范围为（）A．﹣3≤x≤3B．﹣4≤x≤4C．﹣2≤x≤2D．﹣5≤x≤5【变式9-1】（2022秋•永新县期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣2，0）、B（0，﹣2）、C（2，0）、D（0，2），求证：四边形ABCD是正方形．【变式9-2】（2022春•顺城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线OC：yOC＝3x与直线AC：yAC＝﹣x+8相交于点C（2，6）．（1）点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿x轴向左运动，两点同时出发．分别过点M，N作x轴的垂线，分别交直线OC，AC于点P，Q，请你在图1中画出图形，猜想四边形PMNQ的形状（点M，N重合时除外），并证明你的猜想；（2）在（1）的条件下，当点M运动秒时，四边形PMNQ是正方形（直接写出结论）．【变式9-3】（2022•河南模拟）如图，正方形OABC 中，点A （4，0），点D 为AB 上一点，且BD ＝1，连接OD ，过点C 作CE ⊥OD 交OA 于点E ，过点D 作MN ∥CE ，交x 轴于点M ，交BC 于点N ，则点M 的坐标为（ ）A ．（5，0）B ．（6，0）C ．（254，0）D ．（274，0） 【题型10 正方形中的多结论问题】【例10】（2022春•慈溪市期末）如图，正方形ABCD 中，点P 为BD 延长线上任一点，连结P A ，过点P 作PE ⊥P A ，交BC 的延长线于点E ，过点E 作EF ⊥BP 于点F ．下列结论：（1）P A ＝PE ； （2）BD ＝2PF ；（3）CE =√2PD ； （4）若BP ＝BE ，则PF =(√2+1)DF ．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式10-1】（2022春•渝中区校级期中）如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），∠DAM ＝45°，点F 在射线AM 上，且AF =√2BE ，CF 与AD 相交于点G ．连接EC 、EF 、EG ．下列结论：①∠ECF ＝45°；②△AEG 的周长为（1+√22）a ；③BE 2+DG 2＝EG 2；④当G 是线段AD的中点时，BE =13a ．正确的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式10-2】（2022秋•三水区月考）如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE＝AD，DF＝BD，连接BF分别交CD，CE于H，G，下列结论：①HF＝2HG；②∠GDH＝∠GHD；③图中有8个等腰三角形；④S△CDG＝S△DHF．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式10-3】（2022春•玉林期末）如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠F AE，AG分别交BC、EF于点G、H，连接EG、DH．则下列结论中：①BF＝DE；②∠EGC＝2∠BAG；③AD+DE=√3DH；④DE+BG＝EH；⑤若DE＝CE，则CE：CG：EG＝3：4：5，其中正确的结论有．。
小学数学知识归纳正方形的性质与判定
小学数学知识归纳正方形的性质与判定正方形是小学数学中常见的几何图形之一，它有其独特的性质与判定方法。
本文将对正方形的性质进行归纳，并介绍判定一个图形是否为正方形的方法。
一、正方形的性质正方形是具有以下性质的四边形：1. 边长相等：正方形的四条边长都相等。
2. 角度相等：正方形的四个内角都是直角（即90度），所以角度也相等。
3. 对角线相等：正方形的两条对角线互相垂直且长度相等。
4. 对称性：正方形具有对称性，即以中心为对称点旋转180度，正方形仍然保持不变。
二、判定一个图形是否为正方形的方法在数学中，我们可以通过以下方法来判定一个图形是否为正方形：1. 角度判定法：如果一个四边形的四个内角都等于90度，则这个四边形是正方形。
这是因为正方形的角度都相等，并且每个角度都是90度。
2. 边长判定法：如果一个四边形的四条边长都相等，则这个四边形是正方形。
这是因为正方形的边长都相等，所以四边形的四条边长也应该相等。
3. 对角线判定法：如果一个四边形的两条对角线互相垂直且长度相等，则这个四边形是正方形。
这是因为正方形的对角线具有这样的性质。
除了以上三种方法外，我们还可以通过其他相关性质来判定一个图形是否为正方形，比如对称性等。
三、归纳小结正方形是一种具有特殊性质的四边形，其性质包括边长相等、角度相等、对角线相等和对称性等。
判定一个图形是否为正方形可以通过角度判定法、边长判定法、对角线判定法等方法进行验证。
通过学习和掌握正方形的性质与判定方法，小学生可以更好地理解和应用正方形相关的数学知识。
正方形在几何学中有着重要的应用，如建筑设计、图案制作等。
因此，对正方形的深入了解对于小学生的数学学习和发展非常重要。
希望本文对读者对小学数学中正方形的性质与判定方法有所帮助，能够为小学生的数学学习提供一定的指导。
同时也希望读者能够继续学习和探索更多有关几何图形的知识，提升数学水平。
正方形的判定与性质
A
D
M O
N
BE
C
2四边形ABCD中AC与BD交于O ，据下列条件判断四边形ABCD的形状
①AB∥CD，AD∥BC ③AD∥BC 且AD=BC ⑤OA=OC＝OB=OD
⑦AC=BD且□ABCD
⑨∠A=∠C=∠B=∠D
⑾ ∠A=90°且□ABCD
⒀ AB=AD且矩形ABCD
；②AB=CD，AD=BC
；④∠A=∠C，∠B=∠D
证明：在正方形ABDE中， AE=AB，∠EAB=90°， 又在正方形ACFG中， AG=AC，∠GAC=90°，
∴∠EAB=∠GAC=90°.
∵∠EAC=∠EAB+∠BAC， ∠GAB=∠GAC+∠BAC，
∴∠EAC=∠GAB， ∴△EAC≌△GAB， ∴EC=GB．
如右图，正方形纸片ABCD的BC边上有一点E，AE=10cm，若把纸片 沿AE的中垂线折叠，使点E和点A重合，你能求出纸片上折痕MN的
；⑥AB=AD且□ABCD
；⑧AC⊥BD且矩形ABCD ； ⑩∠A=90°且菱形ABCD
； ⑿ AC⊥BD且□ABCD
；⒁AC=BD且菱形ABCD
； ；
； ； ； ； ；
3 ①正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______; ②正方形对角线长是3，那么它的边长是_______;
4E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD和 ∠ECD
菱 形 对边平行 对角相等， 四边都相等 邻角互补
正方形 对边平行 四个角 四边都相等 都是直角
对角线
互相平分
相等且互相平分
互相垂直平分，每条 对角线平分一组对角 互相垂直、平分且相 等，每条对角线平分 一组对角
正方形的性质和判定
正方形的性质与判定1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质：（1）对边平行；（2）四条边都相等；（3）四个角都是直角；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3.面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形；（3）一组邻边相等的矩形是正方形（4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形随堂练习1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线平分一组对角2. 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④3.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ ）A ．BC ＝ACB ．CF ⊥BFC ．BD ＝DF D ．AC ＝BF第3题 第4题 第5题 第6题4.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°5.如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，），则点B 的坐标为（ ）A ．（1﹣， +1）B ．（﹣， +1）C ．（﹣1，+1） D ．（﹣1，）6.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A． B． C．1 D．1﹣7.正方形ABCD中E为线段BC上的动点如图①，过A作AF⊥DE，F为垂足，延长AF交DC于G如图②，①求证：AG＝DE②连接BF，当E为BC中点时，求证：AB＝FB．巩固提升1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③C．①③ D．②④2.如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR的值为（）A． B． C．D．第2题第3题第4题3.如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.2B.3C.23 D 34.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 (x)上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…，则正方形A 2019B 2019C 2019D 2019的边长是（ ）A.()201821B ．()201921C ．()201833D ．()2019335.如图，正方形CEFG 的边GC 在正方形ABCD 的边CD 上，延长CD 到H ，使DH ＝CE ，K 在BC 边上，且BK ＝CE ，求证：四边形AKFH 为正方形．。
正方形的判定方法
性质
总结词
根据正方形的性质，判定一个四边形是否为正方形。
详细描述
正方形具有以下性质：对角线相等且互相平分；对角线互相垂直；对角线将正 方形分为四个全等的直角三角形。如果一个四边形具有这些性质，则可以判定 该四边形为正方形。
判定条件
总结词
根据正方形的判定条件，判定一个四边形是否为正方形。
详细描述
正方形的判定条件包括：四边相等且四个角都是直角；对角线相等且互相平分；对角线互相垂直；对 角线将正方形分为四个全等的直角三角形。满足这些条件之一，即可判定该四边形为正方形。
04
一个角为90度且邻边相等 法
判定条件
一个角为90度。 相邻两边相等。
性质
四个角都是90度。
四条边都相等。
对角线相等且互相平分。
应用场景
判断一个四边形是否为正方形。 在几何证明题中应用。ห้องสมุดไป่ตู้
在建筑设计、室内装修等领域中应用。
感谢您的观看
THANKS
正方形的判定方法
目录 CONTENT
• 定义法 • 邻边相等法 • 对角线相等且互相平分法 • 一个角为90度且邻边相等法
01
定义法
定义
总结词
根据正方形的定义，判定一个四边形 是否为正方形。
详细描述
正方形是四边相等且四个角都是直角 的四边形。如果一个四边形的四边相 等且四个角都是直角，则可以判定该 四边形为正方形。
性质
正方形是特殊的平行 四边形，具有平行四 边形的所有性质。
正方形的所有边都相 等。
正方形的所有内角都 是直角，即90度。
应用场景
建筑设计
在建筑设计过程中，可以通过对角线相等且互相平分的方法判断一个四边形是否为正方 形，从而确保建筑结构的稳定性和美观性。
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，具有特定的性质和判定条件。
本文将对正方形的性质进行分析，并介绍如何判定一个四边形是否为正方形。
一、正方形的定义和性质正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形。
以下是正方形的一些性质：1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，记为a。
2. 直角：正方形的四个角都是直角，即90度。
3. 对角线相等：正方形的对角线相等，记为d。
4. 对角线垂直：正方形的对角线互相垂直，即两条对角线的夹角是直角。
二、正方形的判定条件如何判定一个四边形是否为正方形呢？下面是几种常见的判定条件：1. 边长相等且对角线相等：如果一个四边形的四条边长度相等且对角线相等，则这个四边形是正方形。
2. 边长相等且对角线互相垂直：如果一个四边形的四条边长度相等且对角线互相垂直，则这个四边形是正方形。
3. 内角相等且边长相等：如果一个四边形的四个内角都是直角（90度），且四条边长度相等，则这个四边形是正方形。
三、应用举例1. 例1：已知一个四边形的边长都是5厘米，并且对角线相等，判断这个四边形是否是正方形。
根据判定条件1，边长相等且对角线相等，则可以判断这个四边形是正方形。
2. 例2：已知一个四边形的边长都是4厘米，并且对角线互相垂直，判断这个四边形是否是正方形。
根据判定条件2，边长相等且对角线互相垂直，则可以判断这个四边形是正方形。
3. 例3：已知一个四边形的内角都是直角，且边长相等，判断这个四边形是否是正方形。
根据判定条件3，内角都是直角且边长相等，则可以判断这个四边形是正方形。
四、正方形的应用领域正方形作为一种特殊的四边形，具有独特的性质，在很多领域都有广泛的应用：1. 建筑设计：正方形的对称性使得它在建筑设计中常用于布局规划，例如正方形的房间、庭院等。
2. 绘画和艺术：正方形作为一种几何图形，在绘画和艺术作品中常常被用作构图元素，营造平衡和和谐感。
3. 数学研究：正方形是数学研究中的重要对象，与其他几何形状有着密切的联系，深入研究正方形的性质可以推广到其他领域。
正方形的判定与性质
正方形的判定与性质引言正方形是一种特殊的四边形，具有许多独特的性质和特征。
本文将介绍如何判定一个四边形是否是正方形以及正方形的性质。
判定正方形判定一个四边形是否是正方形可以从不同角度进行考虑。
以下是几种常见的判定方法：1.边长相等一个四边形的四条边长度相等是判定其是否为正方形的一个重要条件。
如果一个四边形的4条边都相等，则可以认为它是正方形。
2.角度相等正方形的特征之一是它的四个角都是直角（90度）。
因此，如果一个四边形的四个角都是90度，则可以判定它是正方形。
3.对角线相等正方形的两条对角线相等且互相平分对方，也是判定一个四边形为正方形的条件之一。
如果一个四边形的对角线相等且平分对方，则可以认为它是正方形。
正方形的性质除了以上的判定条件外，正方形还具有许多独特的性质和特征。
以下是一些常见的正方形性质：1.对称性正方形具有4个对称轴，分别为水平轴、垂直轴和两条对角线。
这意味着正方形可以通过沿着这些轴进行翻转而保持不变。
2.面积和周长正方形的面积等于边长的平方，周长等于4倍边长。
这是正方形最基本的面积和周长公式。
3.相似性正方形与自身全等且相似。
这意味着可以通过变换、旋转和缩放等操作得到无数个相似的正方形。
4.内角和外角正方形的内角都是90度，外角则是270度。
这是正方形内角和外角之间的关系。
结论正方形的判定和性质是数学中的基础知识，对于理解几何形状和解决实际问题都非常重要。
通过判定其边长、角度和对角线是否满足特定条件，我们可以判断一个四边形是否是正方形。
正方形具有对称性、特定的面积和周长公式，以及内角和外角的特征。
通过研究正方形的性质，我们可以深入理解几何形状和它们之间的关系。
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，它具有独特的性质和判定方法。
本文将详细介绍正方形的性质，并探讨如何准确地判定一个四边形是否为正方形。
一、正方形的性质1.四边相等：正方形的四条边长相等，即AB = BC = CD = DA。
2.四个角相等：正方形的四个内角都是直角，即∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。
3.对角线相等：正方形的对角线互相垂直且相等，即AC = BD。
4.对角线平分角：正方形的对角线将内角平分，即∠BAD = ∠BCD = 45°。
5.对角线平分边：正方形的对角线平分相邻边，即AB = BC = CD = DA = AC = BD。
二、判定一个四边形是否为正方形判定一个四边形是否为正方形通常有两种方法，包括几何性质判定和长度关系判定。
1.几何性质判定若一个四边形满足以下条件之一，那么它是一个正方形：（1）四边相等且四个角都是直角；（2）对角线相等且相互垂直。
2.长度关系判定若一个四边形满足以下条件之一，那么它是一个正方形：（1）四边相等且其中一条对角线的平方等于两条相邻边长度的平方之和；（2）对角线相等且任意一条边的平方等于对角线长度的平方的一半。
三、应用案例案例一：判定四边形ABCD是否为正方形，已知AB = 5cm，∠A = ∠B = 90°。
解析：根据正方形的性质可知，当四边相等且四个角都是直角时，该四边形为正方形。
由已知条件可知AB = BC = CD = DA，并且∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。
因此，四边形ABCD是一个正方形。
案例二：判定四边形EFGH是否为正方形，已知EF = 7cm，GH = 4cm，EG = FH = 5cm。
解析：根据正方形的判定方法可知，当四边相等且其中一条对角线的平方等于两条相邻边长度的平方之和时，该四边形为正方形。
由已知条件可知EF = FG = GH = HE = 5cm，且EG = FH = 5cm。
正方形的性质及判定自编
正方形的性质及判定【知识梳理】1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．【例题精讲】1 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．四个角都是直角B ．对角线互相平分C ．对角相等D ．对角线互相垂直2、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A.对角线相等 B.对角线互相垂直平分 C.四条边相等 D.一条对角线平分一组对角3、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O,图中有（ ）个等腰三角形. A.4 B.6 C.8 D.10一、正方形的性质1、若正方形的一条对角线长为2，则它的边长是 .2、若正方形的面积是9，则它的对角线长是 .3、如图，在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E,使CE=CA,连接AE 交CD 于F,则∠AFD= °.4、如图,E 是正方形ABCD 内一点,如果△ABE 为等边三角形,那么 ∠DCE= ____.正方形菱形矩形平行四边形ODCBA第3题图AB C DE第4题图F D CB A E 第3题图究线段DE 、BF 、EF 之间的数量关系.6如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.GC FEDBA7 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE ∆是等边三角形．⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．OEDCBA【综合训练】1．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作第7题图GE F DCBAAE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PB ＝ 5 ．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为 2 ；③EB ⊥ED ；④S △APD ＋S △APB ＝1＋ 6 ；⑤S 正方形ABCD ＝4＋ 6 ．其中正确结论的序号是（ ）A ．①③④B ．①②⑤C ．③④⑤D ．①③⑤2下列说法不正确的是A ．一组邻边相等的矩形是正方形B ．对角线相等的菱形是正方形C ．对角线互相垂直的矩形是正方形D ．有一个角是直角的平行四边形是正方形3．边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB ′C ′D ′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是（ ）。
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定正方形是几何学中常见的一个形状，具有许多独特的性质和特点。
本文将探讨正方形的性质与判定方法。
一、正方形的定义正方形是一种四边相等且四个角均为直角的特殊四边形。
它既是矩形，也是菱形，同时也是正多边形。
正方形的特点使其在几何学中具有重要的地位。
二、正方形的性质1. 边长性质正方形的四条边长度相等，即AB=BC=CD=DA。
2. 角度性质正方形的四个内角均为直角，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°。
3. 对称性质正方形具有各种对称性质。
其中包括中心对称、对角线对称和轴对称。
正方形可绕其中心旋转180°得到一模一样的图形。
4. 对角线性质正方形的对角线相等且垂直平分对方的角。
即AC=BD=2r，且AC⊥BD。
5. 对应边平行性质正方形的对边是平行的，即AB∥CD，BC∥AD。
三、正方形的判定方法确定一个四边形是否是正方形可以根据以下几种常见的判定方法。
1. 边长判定如果一个四边形的四条边长度均相等，则可以判定为正方形。
2. 角度判定如果一个四边形的四个内角均为直角，则可以判定为正方形。
3. 对角线判定如果一个四边形的对角线相等且垂直平分对方的角，则可以判定为正方形。
4. 组合判定可以结合使用边长、角度和对角线的性质来判定一个四边形是否是正方形。
例如，如果一个四边形的对边平行且相等，并且对角线垂直且相等，则可以判定为正方形。
四、应用举例正方形的性质和判定方法在几何学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景。
1. 建筑设计在建筑设计中，正方形的对称性和稳定性使其成为设计方案中常见的形状之一。
例如，一些公共广场的地面铺装常采用正方形的铺砖方式。
2. 基础几何证明正方形的性质经常被用于解决数学几何证明问题。
例如，可以利用正方形的对角线性质证明勾股定理。
3. 计算机图形学在计算机图形学中，正方形常被用作显示屏幕的基本像素单位，通过在像素网格中填充正方形像素来构建图像。
正方形的性质和判定
正方形的性质和判定正方形是几何学中的一种特殊形状，它具有许多独特的性质和判定方法。
本文将详细介绍正方形的性质以及如何准确地判定一个形状是否为正方形。
一、正方形的性质正方形是一种具有四条相等边且四个内角均为90度的四边形。
以下是正方形的主要性质：1. 边长性质：正方形的四条边长度相等，记为a。
2. 内角性质：正方形的每个内角均为90度。
3. 对角线性质：正方形的对角线相等且垂直平分对方顶点的内角。
4. 对称性质：正方形具有对称性，笛卡尔坐标系中以正方形的中心为原点，可以将正方形分为四个相等的象限。
5. 封闭性质：正方形的四条边围成一个封闭的区域。
二、如何判定一个形状是否为正方形判定一个形状是否为正方形的关键在于验证其是否满足正方形的定义和性质。
以下是两种常见的判定方法：1. 边长相等判定：通过测量四条边的长度，如果它们相等，则可以初步判断该形状为正方形。
但该方法仅适用于已知各边长度的情况。
2. 内角度数判定：通过测量四个内角的度数，如果它们均为90度，则可以确定该形状为正方形。
注意，只有测量到了90度的误差范围内，才能断定该形状为正方形。
三、案例分析下面通过一个具体的案例演示如何判定一个形状是否为正方形：假设有一个形状ABCD，已知AB=BC=CD=DA=4厘米，同时角ABC=90度，我们需要判定该形状是否为正方形。
根据判定方法，首先我们测量四条边的长度，已知AB=BC=CD=DA=4厘米，满足正方形的边长性质。
接下来，我们需要测量四个内角的度数，已知角ABC=90度。
如果我们测量到剩余三个角的度数也均为90度，那么可以确定该形状为正方形。
在实际测量中，如果我们测得角BCD、角CDA和角DAB的度数也均为90度（在90度的误差范围内），那么该形状可以被判定为一个正方形。
四、总结正方形作为一种特殊的四边形，具有独特的性质和判定方法。
通过测量边长和角度数，我们可以判断一个形状是否满足正方形的定义。
正确理解和应用正方形的性质和判定方法，有助于我们更好地理解几何学中的基础概念，并能够准确判断形状的类型。
正方形的性质和判定
正方形的性质和判定正方形是我们学习数学时经常接触到的一个几何图形，它具有独特的性质和判定方法。
在本文中，我将为大家详细介绍正方形的性质和判定，并通过具体的例子来说明。
一、正方形的性质正方形是一种特殊的四边形，它具有以下几个重要的性质：1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，这是正方形最基本的性质之一。
例如，如果一条边的长度是5cm，那么其他三条边的长度也都是5cm。
2. 内角相等：正方形的四个内角都是90度，也就是直角。
这是正方形与其他四边形的明显区别之一。
无论正方形的边长是多少，它的内角都是直角。
3. 对角线相等：正方形的两条对角线长度相等。
对角线是连接正方形两个相对顶点的线段，它们的长度相等。
例如，如果一条对角线的长度是8cm，那么另一条对角线的长度也是8cm。
4. 对角线垂直：正方形的两条对角线相互垂直，也就是说它们的夹角是90度。
这个性质与正方形的内角都是直角相呼应，使得正方形具有更多的特殊性。
二、正方形的判定在生活中，我们经常需要判断一个图形是否是正方形。
下面，我将介绍两种判定正方形的方法。
1. 边长相等判定法：如果一个四边形的四条边长度相等，那么它就是一个正方形。
这是最简单也是最直观的判定方法。
例如，如果一个四边形的四条边长度都是6cm，那么它就是一个正方形。
2. 对角线相等判定法：如果一个四边形的两条对角线长度相等，那么它就是一个正方形。
这个方法相对来说稍微复杂一些，但在某些情况下更加实用。
例如，如果一个四边形的一条对角线长度是10cm，而另一条对角线长度是10cm，那么它就是一个正方形。
三、正方形的应用举例正方形在生活中有着广泛的应用，下面我将通过几个具体的例子来说明。
1. 建筑设计：在建筑设计中，正方形常常被用来设计房间的平面布局。
例如，一个正方形的房间可以更好地利用空间，使得房间的使用更加方便和舒适。
2. 园艺设计：在园艺设计中，正方形也被广泛应用。
例如，一个正方形的花坛可以使得花卉的布局更加整齐美观，给人一种和谐的感觉。
正方形的性质及判定
1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．一、正方形的性质【例1】 正方形有 条对称轴．【例2】 已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形【例3】 如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为FE D CBA【例4】 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为 ．正方形的性质及判定正方形菱形矩形平行四边形【例5】 将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为【例6】 如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF =OFE DC BA【例7】 如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为PNME DC BA【例8】 如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．EDCBA【例9】 如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.F EPDCB A【例10】 如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．M N CDO B A【例11】 如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=PDCBA【例12】 已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ∆是等腰直角三角形．GEHDFCBA【例13】 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．NMFEDCBA【例14】 如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=FEDCBA【例15】 如果点E 、F 是正方形ABCD 的对角线BD 上两点，且BE DF =，你能判断四边形AECF 的形状吗？并阐明理由．E CDFBA【例16】 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．3142FE GHCDBA【例17】 如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．GFEBDA【例18】 如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，BL AN ⊥，DM AK ⊥，DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.K NMLDCB A【例19】 如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.GC FEDBA【例20】 （2007年三帆中学期中考试）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.BDCAEF【例21】 已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．【例22】 若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为 ．【例23】 如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ． ⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA【例24】 如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.ABCDEF E 'GBO D CA QP【例25】 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．MFEDCBA【例26】 如图，正方形ABCD 中，E F ，是AB BC ，边上两点，且EF AE FC DG EF =+⊥，于G ，求证： DG DA =G FEC DBA【例27】 如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数NMDCBA【例28】 如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF交于H ，求证：AH =正方形的边长．HEG CDF B A【例29】 把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．GCHF EDB A【例30】 如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.lPM FE DC BA【例31】 如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______. ABCDEF二、正方形的判定【例32】 四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证：⑴四边形EFGH 对角互补；⑵若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形． ⑶四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．HEFG DCBA【例33】 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE∆是等边三角形．⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．OEDCBA【例34】 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ． ⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形；⑵ 当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．M ENCDBA【例35】 如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．PMF EDC BA【例36】 如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE a AF b ==，，若23EFGH S =，则b a -=H GFEDCBA【例37】 如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE∆ 的面积为GFEDCB A【例38】 如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠= P 1PDC BA【例39】 如图，若在平行四边形ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．PRQ S NMFEDCBA【例40】已知：PA4PB=，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB的大小.PDCBA。
正方形的性质与判定条件
正方形的性质与判定条件正方形是几何学中一个重要的形状，具有独特的性质和判定条件。
正方形是指具有四条相等边和四个直角的四边形。
本文将探讨正方形的性质与判定条件，以及其在几何学中的重要应用。
一、正方形的性质1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，即AB=BC=CD=DA。
2. 内角为直角：正方形的四个内角都是直角（即90度），即∠BAD=∠CDA=∠DCB=∠ABC=90°。
3. 对角线相等：正方形的对角线相等，即AC=BD。
4. 对角线互相平分：正方形的对角线互相平分，即AC和BD分别平分对方的两个内角，即∠BAD=∠CDA和∠ABC=∠BCD。
5. 对边互相平行：正方形的对边互相平行，即AB∥CD且BC∥DA。
二、正方形的判定条件1. 边长相等的四边形：若一个四边形的四条边长度相等，则它是一个正方形。
2. 直角四边形：若一个四边形的四个内角都是直角，则它是一个正方形。
3. 对角线相等且互相平分：若一个四边形的对角线相等且互相平分对方的两个内角，则它是一个正方形。
三、正方形的应用1. 建筑设计：正方形具有稳定的结构，常被应用于建筑设计中，如平面布局、房间设计等。
2. 四边形研究：正方形是四边形的一种特殊情况，通过了解正方形的性质，有助于深入理解其他类型的四边形。
3. 数学证明：正方形是许多几何学问题的理论基础，通过研究正方形的性质，可以推导出其他几何形状的性质和定理。
总结：正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形，具有边长相等、内角为直角、对角线相等、对角线互相平分以及对边互相平行的性质。
正方形可以通过边长相等、直角四边形、对角线相等且互相平分的判定条件进行确认。
正方形在建筑设计、四边形研究和数学证明等领域有着广泛的应用。
通过深入了解正方形的性质与判定条件，可以拓展对几何学的认知，提高数学学习的效果。
以上就是关于正方形的性质与判定条件的文章。
正方形作为一种几何图形，其特点和性质在实际生活和学术领域中有着重要的应用和意义。
第三讲正方形的性质与判定
第三讲正方形的性质与判定（一）正方形的定义与性质1.正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做菱形.2.正方形的性质:①:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.②正方形的对角线相等且互相垂直平分.3.特殊平行四边形的包含关系典例分析知识点1：利用正方形的性质计算例1：如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F，若BE=2，则CF长为．知识点2：利用正方形的性质证明例2：已知：如图1，正方形ABCD中，对角线的交点为O．（1）E是AC上的一点，过点A作AG⊥BE于G，AG、BD交于点F．求证：OE=OF．（2）若点E在AC上的延长线上（如图2），过点A做AG⊥BE交EB的延长线于G，AG的延长线交BD于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．知识点3：利用正方形的性质求面积例3：（1）如图，正方形ABCD的边长为2，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是．例3（1）图例3（2）图（2）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2 C．a2D．a2知识点4：利用正方形解决最短路径问题例4：如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上的一点，BE=2，F为AB上的一点，AF=3，P为AC上一点，则PF+PE的最小值为．（二）正方形的判定1.正方形的判定定理.(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.(2)有一个角是直角的菱形是正方形.(3)对角线垂直的矩形是正方形.(4)对角线相等的菱形是正方形.2..判定一个四边形是矩形的方法与思路是:典例分析知识点5:先证矩形再证正方形例5.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．知识点6：先证菱形再证正方形例6：如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．（三）中点四边形1.定义：以四边形的各边中点为顶点所组成的新四边形2.决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.(1)若原四边形的对角线相等,则中点四边形EFGH为菱形;(2)若原四边形的对角线互相垂直,则中点四边形EFGH为矩形;(3)若原四边形的对角线既相等又垂直,则中点四边形EFGH为正方形;(4)若原四边形的对角线既不相等也不垂直,则中点四边形EFGH为平行四边形知识点7：中点四边形形状的确定例7：（1）以四边形的各边中点为顶点可以组成一个什么图形?如果以菱形或矩形各边的中点为顶点呢?:（2）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．（四）正方形的性质与判定的综合应用例8：如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．例9：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？例10：如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE=BC=1．（1）求证：CE=CF；（2）若G在AD上，连接GC，且∠GCE=45°，求∠GCF的度数；（3）在（2）的条件下，求GC的长度．例11:如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：AD=AF；（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．例12：（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC 延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，请你作出猜想：当∠AMN=时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）夯实基础：1.下列说法中，正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是菱形B．对角线互相垂直的菱形是正方形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形2.已知正方形的边长为2cm，则其对角线长是（）A．4cm B．8cm C．cm D．2cm3.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C至直线l的距离分别为2和3，则此正方形的面积为（）A．5 B．6 C．9 D．13第3题第4题第5题4.如图，在正方形ABCD中，AB=1，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A．B．4 C．2 D．5.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．66.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°第6题第7题7.如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4B．4+4 C．8﹣4D．+18.如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（）A．2B．3C．D．第8题第9题9.如图，G为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BG，CF⊥BG，垂足分别为点E，F．已知AD=4，则AE2+CF2=．10.已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF ∥BE．求证：四边形BECF是正方形．11.如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）当∠A=90°时，试判断四边形DFAE是何特殊四边形？并说明理由．13.．如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且交边CD于点E．（1）求证：PB=PE；（2）过点E作EF⊥AC于点F，如图2，若正方形ABCD的边长为2，则在点P 运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．14.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）。
正方形的性质与判定
2、根据根据对角线讨论正方形的判定方法
对角线相等、平分
对 角 线 相 等 、 互 相 垂 直 、 平 分
对 角 线 互 相 平 分
相等且垂直
对角线互相垂直、平分
小结：
1、正方形定义：
2、正方形有那些性质：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
（1）、边： （3）、对角线：
（2）、角：
一、说一说：
同学们，我们在小学的 时候就已经学习过正方形， 现在大家说说正方形是什么 样子的？
二、正方形的定义:
有一组邻边相等并且 有一个角是直角 的平行四边形叫做正方形。
三、动手操作：
大家自己动手制作一个正方形
A
D
B
C
四、正方形的性质
A D
O
B
C
五、观察与思考： 1、图中有几个 直角三角形？ 2、其中哪些直 角三角形全等？
A E G B F C H D
谢
谢
B
A
D
O
C
六、正方形的对称性：
1、正方形是轴对称图形吗?他有 几条对称轴？
例 4
求证: 正方形的两条对角线把这个
正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 这是一道文字证明题,该怎么做?你会做吗?
第一步:根据题意画出图形 第二步:写出已知
第三步:写出求证
第四步:进行证明
例 4 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分
成四个全等的等腰直角三角形.
已知:如图,四边形ABCD是正方形, 对 角线AC、BD相交于点O. 求证:△ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
B C A D
O
证明:
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
18.2.3 正方形lg_整体设対经历正方形的定义及其性质和判定定理的探究过程 ，丰富认识图形的经验，进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力 .让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力 ，培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯.♦教学重难点【重点】 正方形性质和判定定理的应用【难点】 正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.⑥教学准备【教师准备】 教学中出示的教学插图、问题和例题.【学生准备】 复习平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定L 新课导入导入一：［过渡语］前面我们研究了平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定 ，现在请同学们回忆学过的内容，回答下面的问题.（i ）教具（几何画板）演示：如图所示，改变/ B 的大小，平行四边形ABC'D'的形状随之发生变化.当/ B 为直角时，这时 的图形是 _________ 形;我们平移边CD 改变BC 的大小，矩形ABCD 勺形状随之发生变化.当 BC'=C'D'时，图形是 _______ 形.（2）如图所示，我们平移边CD 改变BC 的大小，平行四边形ABCD 勺形状随之发生变化.当 BC'=C'D'时，图形是 _______ 形；改变/ B 的大小，菱形ABC'D'的形状随之发生变化.当/ B 为 直角时，图形是 ________ 形.教学目标1. 理解并运用正方形的定义计算和证明 .2. 理解并运用正方形的性质、判定进行计算和证明,理解一般与特殊的关系教学过程学生观察教具变化情况，结合所学菱形、矩形知识，回答上面的问题•［设计意图］正方形是学生熟悉的几何图形，小学已经学过，这里让学生从动态的角度出发认识正方形，体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别，感受特殊与一般的关系导入二：八年级(2)班的简兰同学想买一条方纱巾•有一天她在商店里看到一块漂亮的纱巾，非常想买，但她拿起来看时感觉纱巾不太方，商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角让她看另一组对角是否对齐，她还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让她检验，她终于买下这块纱巾，你认为她买的这块纱巾是正方形的吗？当时采用什么方法可以检验出来？学了这节后，你就会做出准确的判断了•［设计意图］将数学问题融入生活情境，拉近了学生与数学之间的距离，激发学生研究正方形的积极性•陋新知构建1. 正方形的认识思路一［过渡语］结合上面的演示，请同学们回答下面的问题：(1) 什么样的图形是平行四边形？(2) 什么样的图形是矩形？(3) 什么样的图形是菱形？(4) 什么样的图形是正方形？学生讨论，回答•在学生回答的基础上，教师引导学生归纳：正方形是有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形•追问：正方形与矩形、菱形之间有什么关系呢？学生思考，回答：正方形既是矩形，又是菱形•［设计意图］结合图形的演示，让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义、性质及判定.在此基础上尝试归纳正方形的定义，理解正方形的定义，体会它们之间的联系与区别感受特殊与一般的关系.思路二心［过渡语］前面我们学习了平行四边形、矩形、菱形的性质和判定，小学认识过了正方形，请同学们回答下面的问题.(1) 正方形与矩形有怎样的关系？(2) 正方形与菱形有怎样的关系？(3) 正方形、平行四边形、矩形、菱形有怎样的关系？学生观察、思考、交流.生1：正方形是特殊的矩形，即有一组邻边相等的矩形是正方形•生2：正方形是特殊的菱形，即有一个角是直角的菱形是正方形.1. HA ------------------------------------- ? &/rnp---------苣济无：—LJ—I_匸-h fl L5 --------------------------- 口r t教师画图说明，正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系如图总结：正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形.你能根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系，解释下面的问题吗？(1) 把一张长方形纸片按如图所示的方式折一下 ，就可以裁出正方形纸片•为什么？ (2) 如何从一块长方形纸片中裁出一块最大的正方形纸片呢 ？ 学生动手折叠、思考、交流 •(1) 由折叠得所得的四边形有三个直角 ，且一组邻边相等•有三个角是直角的四边形是矩形 有一组邻边相等的矩形是正方形，所以裁出的纸片是正方形.(2) 要使裁出的四边形是最大的正方形 ，只要让四边形(正方形)的边长等于长方形的宽即 可.教师总结：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形.［设计意图］结合图形的折叠，让学生归纳得出有一组邻边相等的矩形是正方形 ；有一个 角是直角的菱形是正方形.从矩形、菱形的角度出发体会它们之间的关系 ，感受特殊与一般的 关系. ［过渡语］上面认识了正方形，下面我们继续研究正方形的性质 . 正方形是特殊的平行四边形 ，它也是特殊的矩形、 特殊的菱形，因此它具有平行四边形、 矩 形、菱形的所有性质.请回忆学过的内容，回答下面的问题(从边、角、对角线、轴对称性四 方面考虑):(1) 平行四边形有哪些性质 ？ (2) 矩形有哪些性质？ (3) 菱形有哪些性质？ (4) 正方形有哪些性质？，，. 思路二正方形是特殊的平行四边形 ，它也是特殊的矩形、 特殊的菱形，因此它具有平行四边形、 矩 形、菱形的所有性质.请把它们写出来，并与同桌交流. 学生梳理总结得： 正方形［设计意图］让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义和性质 ，体会它们之间的 联系与区别.在此基础上梳理得出正方形的性质 ，有助于这些知识的正确运用 . 3. 正方形的判定 思路一提问：怎样判定一个四边形是正方形呢 ？把你所想的判定方法写出来 . 学生自由发言.教师引导学生总结、归纳得正方形的判定方法 ：(1) 定义法：有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形 . (2) 矩形法：有一组邻边相等的矩形是正方形 . (3) 菱形法：有一个角是直角的菱形是正方形 . 思路二既然正方形是特殊的图形，那么我们就可以通过一般图形来判定正方形 .请大家考虑： 满足什么条件的矩形是正方形 ？你有哪些方法？ 类似地，如何通过菱形和平行四边形来判定正方形 ？教师深入学生中，督促学生积极探索交流，了解学生的思维深度和广度并及时加以校正和 激励. 派学生代表走向讲台进行总结发言，并鼓励其他学生大胆提问. 师进一步归纳正方形的判定方法［知识拓展］(1)平行四边形、矩形、菱形和正方形的定义和判定方法如下表 ：图形 | 定义 | 判定图形 对边 对角 对角线 对称性 平行四边 形平行、相等相等 互相平分 不是轴对称图形 矩形 平行、相等四个角都是直 角互相平分且相等 轴对称图形，有两条对称 轴 菱形 平行、四条边都相 等 相等 互相垂直且平分，每条 对角线平分一组对角轴对称图形，有两条对称 轴 正方 形 平行、四条边都相 等四个角都是直 角 互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一 组对角轴对称图形，有四条对称 轴 ［设「意图］ 让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义和性质 .在此基础上理解平行四边形两组对边分别平行的四边形1. 两组对边分别相等的四边形2. 两组对角分别相等的四边形3. 对角线互相平分的四边形4. 一组对边平行且相等的四边形矩形有一个角是直角的平行四边形1. 对角线相等的平行四边形2. 有三个角是直角的四边形菱形有一组邻边相等的平行四边形1. 对角线互相垂直的平行四边形2. 四条边相等的四边形正方形有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形1. 有一个角是直角的菱形2. 有一组邻边相等的矩形3. 有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形对角线互相壬直、平分且相等的四边形是止万形4.［过渡语］上面我们研究了正方形的定义、性质和判定，下面我们举例说明它们的应用(教材例5)求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形•学生分析题设和结论,画图,写出已知和求证.已知：如图,四边形ABCD是正方形,对角线ACBD相交于点0.求证:△ ABO△ BCQ A CDQ A DAO是全等的等腰直角三角形.师生分析：利用正方形的性质“对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角”可以得到四个三角形是全等的等腰直角三角形.学生独立完成解题过程.一生板书：证明：•••四边形ABCD1正方形,••• AC=BDACL BDAO=BO=CODO.•••△ABO△ BCO△ CDO△ DAOTE是等腰直角三角形，并且△ ABO^A BC(^^ CD(^^ DAO. 教师点评，纠正写法上的不足•ABC曲，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E.⑴求证△ AOH EOC(2)连接ACDE当/ B=Z AEB：______ 。
时，四边形ACED1正方形.请说明理由.师生共同分析：(1)根据题意可得/ ADC/OCE/ DAO Z OECOCOD所以△ AOD^A EOC(2) 当/ B=/AE咅45°时,根据△ AO B^ EOC先证明四边形ACE毘平行四边形，再根据/ COE / BAE=90° ,得到平行四边形ACED是菱形，AB=AEAB=CD故AE=CD从而可知菱形ACED1正方形•学生独立写出过程后，教师重点指导第(2)问的解答过程.证明：(1) T四边形ABCD是平行四边形，••• AD// BC.•••/ ADC/ OCE / DAO/ OEC.又••• O是CD的中点，••• OCOD.AO0A EOC解:(2)如图，当/ B=/ AEB=45°时,四边形ACE［是正方形.理由如下：•/△ AO» EOC•OAOE.又••• OCOD•四边形ACE［是平行四边形.•••/ B=/AEB=45°,•AB=AE / BAE=90°.•••四边形ABCD!平行四边形，•AB// CDAB=CD.•••/ COE/ BAE=90°.•••平行四边形ACED是菱形.(补充)如图,在平行四边形••• AB=AE AB=CD• AE=CD.从而可知菱形ACEDi正方形.［解题策略］探索条件类问题，先看题中的已知条件，根据正方形的判定方法，缺什么就补什么条件，一般从“矩形+—组邻边相等”或“菱形+有一个角是直角”去考虑.［设计意图］运用正方形的性质、判定解决有关的问题，培养运用所学知识解题的意识，提高解题能力.陋课堂小结师生共同归纳小结.本节课，我们学习了正方形的性质和判定，弄清了正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系1. 下列命题是真命题的是（）A. 矩形的对角线互相垂直B. 菱形的对角线相等C. 正方形的对角线相等且互相垂直D. 四边形的对角线互相平分解析：根据矩形的对角线相等，可判断选项A错;根据菱形的对角线互相垂直，可判断选项B 错；根据正方形的对角线互相垂直、平分且相等，可判断选项C正确；四边形的对角线无特性，可判断选项D错.故选C.2. 在四边形ABCD^，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A. AOBDAB// CDAB=CDB. AD// BC / A=/ CC. AO=BO=CO=DOACL BDD.AO=COBO=DOAB=BC解析：根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定选项A是矩形；根据“两直线平行，同旁内角互补”“等量代换”“同旁内角互补，两直线平行”可判定选项B是平行四边形；根据“对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形”可判定选项C是正方形；根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定选项D是菱形.故选C.3.如图所示，E是正方形ABC啲边AD上任意一点，EFl BD于点F，EGL AC于点G若AB=10 cm，则四边形EFOG勺周长是___ .解析：先由题意证明四边形EFO（是矩形，进而可知矩形EFO（的周长为OD勺长的2倍，然后根据勾股定理得OD勺长为5 cm.故填10 cm.诙梅书设计18.2.3 正方形1. 正方形的认识2. 正方形的性质3. 正方形的判定4. 例题讲解例1例2筛布盖作业一、教材作业【必做题】教材第59页练习第1,2,3题；教材第61页习题18. 2第7,8题.【选做题】教材第61页习题18. 2第12题.二、课后作业【基础巩固】1. 矩形、正方形、菱形的共同性质是（）A. 对角线相等B. 对角线互相垂直C. 对角线互相平分D. 每一条对角线平分一组对角2. （2015 •日照中考）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件:①AB=BC②/ AB（=90° ,③AOBD④Ad BD中选两个作为补充条件，使?ABCD^正方形（如图）,现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A.①②B.②③C.①③D.②④3.如图，正方形ABC即，CE丄MN/ MCE35° ,那么/ ANM是( )A.45 °B.55 °C.65°D.75°4.如图所示,在四边形ABCD^ ,AB=BC=C!=DA对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCDI正方形，则还需增加的一个条件是 ______________ .5. 如图，正方形ABC曲,AC是对角线，E是BC延长线上一点【能力提升】6.如图，正方形ABCD勺对角线AC BD交于点O / OCF Z OBE试猜想OE与OF的大小关系，并说明理由.7.如图，在四边形ABC曲，AB=BC对角线BD平分/ ABCP是BD上一点，过点P作PMLADPN 丄CD垂足分别为MN.（1）求证/ ADB/CDB⑵若/ ADC90。