第四章__三角函数
第4章第四章三角函数、解三角形第4节二倍角公式及应用课件(共35张PPT) 高考数学一轮复习
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
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思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注 意什么？
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要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍 角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
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2. 已知角α的顶点为坐标原点 ，始边与x轴的非负半轴重合 ，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】 根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边， 所以原式成立．
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某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同 一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明 你的结论．
倍角公式可求cos2α.
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【解析】 由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.
第4章 三角函数、解三角形 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
因此 cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.
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(3)函数 y＝ 2cos x－1的定义域为__2__k_π_－__π3_，__2_k_π_＋__π3__(k_∈__Z__) _.
解析 ∵2cos x－1≥0， ∴cos x≥21. 由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴 影部分所示)， ∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3 (k∈Z).
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2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于__半__径__长__的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作
rad. (2)公式
角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换算
|α|＝rl(弧长用 l 表示)
1°＝1π80
180° rad；1 rad＝___π___
弧长公式 扇形面积公式
弧长 l＝_|_α_|_r_ S＝__12_lr__＝__12_|_α_|r2
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感悟提升
应用弧度制解决问题时应注意： (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
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训练1 (1)(2021·长沙质检)已知弧长4π的弧所对的圆心角为2弧度，则这条弧所
在的圆的半径为( D )
A.1
B.2
C.π
D.2π
解析 ∵弧长4π的弧所对的圆心角为2弧度，
∴4rπ＝2，解得 r＝2π， ∴这条弧所在的圆的半径为2π.
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10π (2)在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为______9__，由该弧及半径围成的
5π 扇形的面积为______9__. 解析 单位圆半径 r＝1，200°的弧度数是 200×1π80＝109π. ∴l＝109π，S 扇形＝12lr＝21×109π×1＝59π.
2024届新高考一轮总复习人教版 第四章 第2节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 课件(35张)
所以 cos2α＝190，由 α 为第二象限角，易知 cosα<0，所以 cos α＝－31010，sin α＝ 1100，
C．sin 54π＋α＝12
B．cos π4－α＝12 D．cos 54π－α＝－12
解析：由 sin π4＋α＝12，可得 cos (π4＋α)＝± 23，sin 54π＋α＝sin π＋π4＋α＝－sin π4＋α＝－12，cos π4－α＝cos [π2－π4＋α]＝sin π4＋α＝12，cos 54π－α＝cos π＋π4－α＝ －cos π4－α＝－12.
(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α；
sin α＝tan αcos αα≠π2＋kπ，k∈Z；
sin
2α＝sin
sin 2α 2α＋cos
2α＝tanta2nα2＋α 1；
cos2α＝sin
cos 2α 2α＋cos
2α＝tan21α＋1.
【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角．( ) (3)若 α∈R，则 tan α＝csoins αα恒成立．( ) (4)若 sin (kπ－α)＝13(k∈Z)，则 sin α＝13.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
－α
π－α
正弦 余弦 正切
口诀
__s_in__α__ __c_o_s_α__ __ta_n__α__
__－__s_i_n_α__ __－__s_in__α__ __s_in__α__ __－__c_o_s_α__ __co_s__α__ _－___co_s__α__ __t_an__α__ __－__t_a_n_α__ _－___ta_n_α___
高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式课件 文
∴sin
α= 13 ,则sin α
9
2
=-cos
α= 1
sin2α
= 2 2 3
.
(2)由 sin
α
cos
α
1 5
,
sin2α cos2α 1,
消去cos α整理,得
25sin2α-5sin α-12=0,
解得sin α= 4 或sin α=- 3 .
高考文数
第四章 三角函数
§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式
知识清单
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.象限角
2.终边相同的角
3.弧度制 (1)角度制与弧度制的互化
1°=① 180
180
rad;1 rad=② ° .
(2)弧长及扇形面积公式 弧长公式:③ l=|α|r .
例1 已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边
在直线y=2x上,则cos 2θ= ( B )
A.- 4 B.- 3 C. 2 D. 3
5
5
3
4
解题导引
方法一:在角θ的终边上任取一点P,根据直线方程
设出点P的坐标 根据三角函数定义分别
求出sin θ与cos θ 利用二倍角公式求出cos 2θ
5
5
-
2
5 5
=- 3 .
5
综上可得,cos 2θ=- 3 ,故选B.
5
解法二:因为该直线的斜率k=2=tan θ,
所以cos
2θ= ccooss22θθ
高考数学异构异模复习第四章三角函数4.1三角函数的有关概念同角三角函数的关系式及诱导公式课件文
C．－34
3 D.4
(2)若角 θ 的终边经过点 P(－ 3，m)(m≠0)且 sinθ＝ 42m，则 cosθ 的值为__－__4_6___．
(3)已知扇形周长为 40，当它的半径 r＝___1_0____和圆心角 θ＝____2____分别取何值时，扇形的面积取
最大值？ (4)已知 cosπ6－α＝23，则 sinα－23π＝__－__23____.
一、“超前思考，比较听课”
什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对 比，从而发现不同之处，优化思维。
比如在讲《林冲棒打洪教头》一文，老师会提出一些问题，如林冲当时为什么要戴着枷锁？林冲、洪教头是什么关系？林冲为什么要棒打洪教头？••••••
正弦
sinα
余弦 cosα
正切 tanα
二 π＋α －sinα －cosα tanα
三 －α －sinα cosα －tanα
四 π－α
五六 π2－α π2＋α
sinα －cosα
cosα cosα sinα －sinα
－tanα — —
(2)诱导公式的记忆规律 ①诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限． ②“奇”“偶”指的是诱导公式 k·π2＋α 中的整数 k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名 称的变化，若 k 为奇数，则正、余弦互变；若 k 为偶数，则函数名称不变． ③“符号看象限”指的是在 k·π2＋α 中，将 α 看成锐角时 k·π2＋α 所在的象限．
尖子生好方法:听课时应该始终跟着老师的节奏，要善于抓住老师讲解中的关键词，构建自己的知识结构。利用老师讲课的间隙，猜想老师还会讲什么，会怎样讲， 怎样讲会更好，如果让我来讲，我会怎样讲。这种方法适合于听课容易分心的同学。
高中数学-第四章-三角函数、解三角形-第二节-同角三角函数的基本关系与诱导公式
第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式[基本知识] 1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝sin αcos α()α≠kπ＋π2，k∈Z.2．同角三角函数基本关系式的应用技巧一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立．()答案：(1)×(2)×二、填空题1．已知α∈()π2，π，sin α＝35，则tan α＝________.解析：∵α∈()π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45，于是tan α＝－34.答案：－342．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．解析：原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.答案：3[全析考法]考法一知弦求弦、切或知切求弦利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．[例1] (1)(2019·成都龙泉中学月考)设cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2k B ．－1－k 2k C.k 1－k 2D ．－k1－k 2 (2)(2019·甘肃诊断)已知tan x ＝43，且角x 的终边落在第三象限，则cos x ＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35[解析] (1)∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2， ∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k.故选B. (2)因为角x 的终边落在第三象限，所以cos x <0，因为tan x ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x ＝43，cos x <0，解得cos x ＝－35，故选D.[答案] (1)B (2)D [易错提醒]知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号． 考法二 知切求f (sin α、cos α)的值[例2] (2019·保定三校联考)已知tan(3π＋α)＝3，则3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝( )A.13B.89C.23D ．2[解析] ∵tan(3π＋α)＝3，∴tan α＝3，∴3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89.故选B.[答案] B [方法技巧]利用“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： ①sin α，cos α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α)的问题常采用“切”代换法求解； ②sin α，cos α的齐次分式()如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α的问题常采用分式的基本性质进行变形．(2)切化弦：利用公式tan α＝sin αcos α，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧． 考法三 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用[例3] (1)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12B ．±12C ．－14D ．－12(2)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α＝( )A.75 B.257 C.725D.2425[解析] (1)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α ＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0， 所以cos α－sin α＝－12.(2)∵sin α＋cos α＝15，∴1＋2sin αcos α＝125， ∴2sin αcos α＝－2425，(cos α－sin α)2＝1＋2425＝4925. 又∵－π2<α<0，∴cos α>0>sin α，∴cos α－sin α＝75，∴1cos 2α－sin 2α＝1(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝115×75＝257. [答案] (1)D (2)B [方法技巧]正弦、余弦“sin α±cos α，sin α·cos α”的应用sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12，sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22.因此在解题中已知1个可求另外2个．[集训冲关]1.[考法一]已知α∈(0，π)，cos α＝－35，则tan α＝( )A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选D ∵cos α＝－35且α∈(0，π)，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43.故选D.2.[考法三]已知sin α＋cos α＝13，则sin αcos α的值为________．解析：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α＝19，解得sin αcos α＝－49.答案：－493.[考法二]已知tan α＝－43，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值； (2)1cos 2α－sin 2α的值； (3)sin 2α＋2sin αcos α的值．解：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×()－43＋2＝87.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝()－432＋11－()－432＝－257. (3)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝169－83169＋1＝－825. 突破点二 三角函数的诱导公式[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )(2)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．( )答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．已知cos(π＋α)＝－35，则sin ()3π2＋α等于________．解析：cos(π＋α)＝－cos α＝－35，则cos α＝35，sin ()3π2＋α＝－sin ()π2＋α＝－cos α＝ －35.答案：－352．已知sin ()α＋π6＝45，则sin ()α＋7π6等于________．解析：sin ()α＋7π6＝sin []()α＋π6＋π＝－sin ()α＋π6＝－45.答案：－453．已知tan ()π6－α＝33，则tan ()5π6＋α＝________.解析：tan ()5π6＋α＝tan ()π－π6＋α＝tan [ π－( π6－α ) ] ＝－tan ()π6－α＝－33.答案：－331．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角为终了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[典例感悟](2019·武威六中第一次阶段性检测)已知f (α)＝[]sin ()π2－αtan (π＋α)－cos (π－α)2－14sin ()3π2＋α＋cos (π－α)＋cos (2π－α).(1)化简f (α)；(2)若－π3<α<π3，且f (α)<14，求α的取值范围．解：(1)f (α)＝(cos αtan α＋cos α)2－1－4cos α－cos α＋cos α＝(sin α＋cos α)2－1－4cos α＝2sin αcos α－4cos α＝－12sin α.(2)由已知得－12sin α<14，∴sin α>－12，∴2k π－π6<α<2k π＋7π6，k ∈Z.∵－π3<α<π3，∴－π6<α<π3.故α的取值范围为()－π6，π3.[方法技巧]应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项(1)已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．[针对训练]1．(2018·玉林陆川中学期中)sin 570°的值是( ) A ．－12B.12C.32D ．－32解析：选A sin 570°＝sin(720°－150°)＝－sin 150°＝－12.故选A.2．(2019·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ()π2－α＝( )A ．2 2B ．－22 C.24D ．±22解析：选D ∵sin(π＋α)＝－13，∴sin α＝13，∴tan ()π2－α＝cos αsin α＝±22，故选D.3．(2019·南充模拟)设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数．若f (2 019)＝－1，则f (2 020)＝( )A ．1B ．2C ．0D ．－1解析：选A ∵f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－1，∴a sin α＋b cos β＝1，∴f (2 020)＝a sin(2 020π＋α)＋b cos(2 020π＋β)＝a sin α＋b cos β＝1.故选A.4．化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3()π2＋α·sin (－α－2π)＝________.解析：原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.答案：1[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·新疆普通高中学业水平考试)已知x ∈()－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( )A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选B 因为x ∈()－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34.故选B. 2．(2019·淮南十校联考)已知sin ()α－π3＝13，则cos ()α＋π6的值是( )A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ()α－π3＝13，∴cos ()α＋π6＝cos []π2＋()α－π3＝－sin ()α－π3＝－13，故选A.3．(2019·重庆一模)log 2()cos 7π4的值为( )A ．－1B ．－12C.12D.22解析：选B log 2()cos 7π4＝log 2()cos π4＝log 222＝－12.故选B.4．(2019·遵义模拟)若sin ()π2＋α＝－35，且α∈( π2，π )，则sin(π－2α)＝( )A ．－2425B ．－1225解析：选A ∵sin ()π2＋α＝cos α＝－35，α∈()π2，π，∴sin α＝45，∴sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×()－35＝－2425.故选A.5．(2019·沈阳模拟)若1＋cos αsin α＝2，则cos α－3sin α＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－95D.95解析：选C ∵1＋cos αsin α＝2，∴cos α＝2sin α－1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋(2sin α－1)2＝1,5sin 2α－4sin α＝0，解得sin α＝45或sin α＝0(舍去)，∴cos α－3sin α＝－sin α－1＝－95.故选C.6．(2019·庄河高中期中)已知sin ()α－π12＝13，则cos ()α＋17π12等于( )A.13B.223C ．－13D ．－223解析：选A cos ()α＋17π12＝cos []3π2＋()α－π12＝sin ()α－π12＝13.故选A. [B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·宝鸡金台区质检)已知sin 2α＝23，则tan α＋1tan α＝( )A. 3B.2 C ．3D ．2解析：选C tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2sin 2α＝223＝3.故选C.2．(2019·常德一中月考)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43解析：选C 因为sin α＋2cos α＝102，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1010，cos α＝31010.所以tan α＝3或－13.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34或tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×()－131－()－132＝－34.故选C.3．(2019·株洲醴陵二中、四中期中联考)已知2sin α－cos α＝0，则sin 2α－2sin αcos α的值为( ) A ．－35B ．－125解析：选A 由已知2sin α－cos α＝0得tan α＝12，所以sin 2α－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＝－35.故选A. 4．(2019·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin ()π2＋α＋cos ()3π2＋α＝15，则tan α的值是( )A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．不存在解析：选A 由sin ()π2＋α＋cos ()3π2＋α＝15，得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)，∴α∈()π2，π，∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43，故选A.5．(2019·平顶山、许昌联考)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B ．－35C ．－3D ．3解析：选A 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，解得tan α＝2，∴cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝1＋222＋1＝35. 6．(2019·河南中原名校联考)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R)的两根，则sin θ－cos θ＝( )A.1－32B.1＋32C. 3D ．－3解析：选B ∵sin θ，cos θ是方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R)的两根，∴sin θ＋ cos θ＝1－32，sin θ·cos θ＝m2，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m ＝2－32，解得m ＝－32.∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－m ＝1＋32，∴sin θ－cos θ＝ 1＋32＝1＋32，故选B. 7．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255D ．1解析：选B 由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55， 即b －a 2－1＝±55，∴|a －b |＝55.故选B.8．(2019·武邑中学调研)已知sin α＝13，0<α<π，则sin α2＋cos α2＝________.解析：()sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43，又0<α<π，∴sin α2＋cos α2>0，∴sin α2＋cos α2＝233. 答案：2339．(2019·广西桂林等五市联考)已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈()π2，π，则tan θ＝________.解析：∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ＝1＋2sin θcos θ＝125，∴sin θcos θ＝－1225，又π2<θ<π，∴sin θ－cos θ>0，∴(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝4925，∴sin θ－cos θ＝75， 由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝15，sin θ－cos θ＝75，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝－35.∴tan θ＝sin θcos θ＝－43.答案：－4310．(2019·浙江名校协作体检测)已知sin ()－π2－α·cos ()－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则 sin α＝________，cos α＝________.解析：sin ()－π2－αcos ()－7π2＋α＝－cos α(－sin α)＝sin αcos α＝1225.又∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.解⎩⎨⎧sin αcos α＝1225，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝35，cos α＝45.答案：35 4511．(2019·惠安惠南中学月考)已知cos α－sin α＝5213，α∈()0，π4. (1)求sin αcos α的值；(2)求sin ()π2－2αcos ()π4＋α的值． 解：(1)∵cos α－sin α＝5213，α∈()0，π4， 平方可得1－2sin αcos α＝50169，∴sin αcos α＝119338.(2)sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝12213， ∴原式＝cos 2αcos ()π4＋α＝(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)22(cos α－sin α)＝2(cos α＋sin α)＝2413.12．在△ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1；(2)若cos ()π2＋A sin ()3π2＋B tan(C －π)＜0，求证：△ABC 为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C2， 所以cos A ＋B 2＝cos ()π2－C 2＝sin C2，所以cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1.(2)因为cos ()π2＋A sin ()3π2＋B tan(C －π)＜0， 所以(－sin A )(－cos B )tan C ＜0， 即sin A cos B tan C ＜0.因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0，所以⎩⎨⎧ cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎨⎧cos B ＞0，tan C ＜0，所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形.。
高中数学第四章_三角函数、解三角形
第四章⎪⎪⎪三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：3.任意角的三角函数[小题体验]1．若θ是第二象限角，且满足sin θ2＜0，则θ2的终边在第________象限．答案：三2．若角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，则tan α＝________. 答案：－ 33．α为第一象限角，则sin α＋cos α________1.(填“＞”“＜”“＝”) 答案：＞1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝yx.[小题纠偏]1．－1 000°是第________象限角， α＝3是第________象限角，72°＝________rad. 答案：一 二2π52．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是____________．答案：(cos θ，sin θ)考点一 角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1. 下列命题中，真命题是( ) A ．第一象限角是锐角 B ．直角不是任何象限角 C ．第二象限角比第一象限角大D ．三角形的内角一定是第一或第二象限角解析：选B 390°是第一象限角，但不是锐角，A 错；135°是第二象限角，390°＞135°，C 错；直角不是任何象限角，D 错，B 对．2．若α＝k π－π4(k ∈Z )，则α在( )A ．第一象限或第三象限B ．第一象限或第二象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限解析：选C 当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m π＋3π4，所以α在第二象限；当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝2m π－π4，所以α在第四象限．故选C. 3．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么M ________N ．(填“＝”“⊆”“⊇”)解析：法一：由于M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}， 显然有M ⊆N .法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .答案：⊆4．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为__________________．夹角是π3，终边解析：在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴正半轴的在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π3，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π3，k ∈Z5．(2018·嘉兴七校联考)设角α是第三象限角，且满足⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则α2是第________象限角． 解析：因为角α是第三象限角，所以2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )，所以k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z )，所以α2是第二或第四象限角．又因为⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，所以sin α2＜0，所以α2是第四象限角． 答案：四[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置． 考点二 扇形的弧长及面积公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析：选B ∵72°＝2π5， ∴S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l 等于( ) A.433π cm B. 833π cmC. 4 3 cmD ．8 3 cm解析：选B 设扇形的半径为r cm ，如图． 由sin 60°＝6r ， 得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm.3．(2019·瑞安模拟)设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数为________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4，所以扇形的圆心角的弧度数为|α|＝l r ＝42＝2.答案：24．若扇形的圆心角α＝60°，半径R ＝10 cm ，求扇形的弧长l 及扇形的弧所在的弧形的面积． 解：∵α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，∴l ＝Rα＝10×π3＝10π3cm.设弧形的面积为S ，则S ＝12R 2α－12R 2sin π3＝12×102×π3－12×102×32＝⎝⎛⎭⎫50π3－253cm 2. [谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． 考点三 三角函数的定义(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现． 常见的命题角度有： (1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________. 解析：∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513， ∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，即x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝125， 则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23. 答案：－232．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________. 解析：设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t ＞0时，cos θ＝55； 当t ＜0时，cos θ＝－55. 因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.答案：－35角度二：三角函数值的符号判定3．(2019·湖州六校联考)已知sin 2θ＜0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P (tan θ，sin θ)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由|cos θ|＝－cos θ可知cos θ＜0，由sin 2θ＝2sin θcos θ＜0可知sin θ＞0，所以tan θ＜0.所以点P (tan θ，sin θ)在第二象限．4．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θ·cos θ＜0,2cos θ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ为第二象限角．答案：二[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( ) A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)， ∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，sin α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0，sin α＜0，所以α的终边在第四象限，故选D.2．(2018·舟山五校联考)若tan α＜0，则( ) A ．sin α＜0 B ．cos α＞0 C ．sin αcos α＜0D ．2cos 2α－1＜0解析：选C 因为tan α＜0，所以α是第二或第四象限角，所以sin α，cos α的符号不确定，故排除A 、B ；当α是第二象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0；当α是第四象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0，故选C.3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为( ) A ．π3B ．π2C ． 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ， 所以α＝ 3.4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________． 解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)5．(2019·丽水模拟)已知角α的终边经过点(2，－2)，则sin α＝________，sin αcos α＝________.解析：因为角α的终边经过点(2，－2)，所以sin α＝－22，cos α＝22，sin αcos α＝－12. 答案：－22 －12二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.2．(2019·台州模拟)已知点P (sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为( )A ．－π3B ．2π3C ．－2π3D ．－4π3解析：选D 因为P (sin(－30°)，cos(－30°))，所以P ⎝⎛⎭⎫－12，32，所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－4π3. 3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2解析：选D 因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos 2. 4．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.5．点A (sin 2 018°，cos 2 018°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由2 018°＝360°×5＋(180°＋38°)可知， 2 018°角的终边在第三象限，所以sin 2 018°＜0，cos 2 018°＜0， 即点A 位于第三象限．6．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3. 答案：(－2,3]7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z )，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)(k ∈Z )，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z )，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________.解析：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13.综上可得sin β＝13.答案：139．已知角θ的终边上有一点(a ，a )，a ∈R 且a ≠0，则sin θ的值是________． 解析：由已知得r ＝a 2＋a 2＝2|a |，sin θ＝ar ＝a2|a |＝⎩⎨⎧22，a ＞0，－22，a ＜0.所以sin θ的值是22或－22. 答案：22或－2210．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝⎛⎭⎫l ＋2r 22＝14×⎝⎛⎭⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.11．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )． 所以sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－25， cos α＝a a 2＋(－2a )2＝15，tan α＝－2aa＝－2， sin β＝a (2a )2＋a 2＝15， cos β＝2a (2a )2＋a 2＝25， tan β＝a 2a ＝12， 故sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β ＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校(2019·衢州模拟)已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x . (1)求x 的值； (2)求sin α＋1tan α的值．解：(1)因为角α的终边经过点P(x，－2)，且cos α＝36x，所以有xx2＋2＝36x.因为x≠0，所以x2＋2＝12，解得x＝±10.(2)若x＝10，则P(10，－2)，所以sin α＝－212＝－66，tan α＝－210＝－55，所以sin α＋1tan α＝－66－ 5.若x＝－10，则P(－10，－2)，所以sin α＝－212＝－66，tan α＝210＝55，所以sin α＋1tan α＝－66＋ 5.第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tan α＝sin αcos α.2．诱导公式[小题体验]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin(π＋α)＝______. 答案：－452．若tan θ＝12，则2cos α－3sin α3cos α＋4sin α的值为________．答案：1103．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为________． 解析：原式＝(－sin 1 071°)sin 99°＋sin 171°sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0. 答案：01．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． [小题纠偏]1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________. 答案：－12132．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝________， (2)tan ⎝⎛⎭⎫－26π3＝________. 答案：(1)22(2) 3考点一 三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为( ) A ．14B ．－34C ．－32D ．34解析：选A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝12×12＝14.2．(2019·嵊州模拟)已知sin(π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫a －3π2的值为( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选B 因为sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＝－12. 3．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 答案：－334．(易错题)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α⎝⎛⎭⎫sin α≠－12，求f ⎝⎛⎭⎫－23π6的值． 解：∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. 5．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2的值． 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2 ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． 考点二 同角三角函数的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析：选D 依题意得：tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2.∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(m ≠0)，则tan(k π＋θ)(k ∈Z)的值为________．解析：因为sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，所以sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝8，所以sin θ＝513，cos θ＝－1213，所以tan θ＝sin θcos θ＝－512.所以tan(k π＋θ)(k ∈Z )＝tan θ＝－512.答案：－5123．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________． 解析：因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝29.又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0， 所以sin θ－cos θ＝－23. 答案：－23[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125C ．512D ．－512解析：选D 法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213， 所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D. 2．(2019·缙云模拟)设sin α＋sin β＝13，则sin α－cos 2β的最大值为( )A ．－35B ．－23C ．－1112D ．49解析：选D 因为sin α＋sin β＝13，所以sin α＝13－sin β.因为－1≤sin α≤1，所以－23≤sin β ≤1.所以sin α－cos 2β＝13－sin β－1＋sin 2β＝⎝⎛⎭⎫sin β－122－1112，当sin β＝－23时，sin α－cos 2β有最大值49. 3．已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34解析：选B ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|， ∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 4．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23，① 将①两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·嘉兴七校联考)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝32，且|α|＜π2，则tan α＝( ) A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3解析：选C 因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝32，所以sin α＝－32.因为|α|＜π2，所以α＝－π3，所以tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ 3. 2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.3．(2019·嘉兴模拟)已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两个根，则实数a 的值为( ) A ．56B ．－56C ．43D ．34解析：选B 由题可得，sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝a 3.所以sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝49－2a 3＝1，解得a ＝－56. 4．1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝( ) A ．sin 2－cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．±(sin 2－cos 2) D ．sin 2＋cos 2解析：选A1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝1－2sin 2·cos 2＝sin 22－2sin 2·cos 2＋cos 22 ＝|sin 2－cos 2|. 又∵π2＜2＜π，∴sin 2＞0，cos 2＜0. ∴|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.5．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A 的值是________． 解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A ＝－sin A ＝12. 答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选B 因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角， sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 2．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 018)＝5，则f (2 019)的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B ∵f (2 018)＝5，∴a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＋4＝5， 即a sin α＋b cos β＝1.∴f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.3．(2018·宁波五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ()1 009π－2α的值为( )A ．－35B ．35C ．2D ．－12解析：选B 由题意可得tan α＝2，所以cos ()1 009π－2α＝－cos 2α＝－cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝－1－tan 2αtan 2α＋1＝35.4．当θ为第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sin θ2的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0解析：选B ∵sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13， ∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2＜sin θ2， ∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝⎛⎭⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1. 5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则 sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝( )A ．35B ．53C ．45D ．54解析：选B 由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或x ＝2.则sin α＝－35.故原式＝cos α(－cos α)·tan 2αsin α·(－sin α)·(－sin α)＝1－sin α＝53.6．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5解析：选B 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 答案：08．(2019·义乌模拟)已知tan(π－α)＝－2，则1sin 2α－2cos 2α＝________.解析：因为tan(π－α)＝－tan α＝－2，所以tan α＝2.所以1sin 2α－2cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α－2cos 2α＝tan 2α＋1tan 2α－2＝4＋14－2＝52. 答案：529．(2018·嘉兴七校联考)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角．求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值． 解：因为cos(75°＋α)＝513，且α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，所以sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α)＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin(α－15°)＋cos(α－15°)＝sin [(α＋75°)－90°]＋cos [(α＋75°)－90°]＝－cos(α＋75°)＋sin(α＋75°)＝－513－1213＝－1713. 10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13.∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912. 答案：9122．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ， 综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝⎛⎭⎫π2－π2 018 ＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z).[小题体验]1．①y ＝cos 2x; ②y ＝sin 2x; ③y ＝tan 2x; ④y ＝|sin x | 四个函数中，最小正周期为π的奇函数是________．答案：②2．(教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2的定义域为________________． 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况． 3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． [小题纠偏]1．函数y ＝4sin(－x )，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 答案：D2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________． 解析：由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最小值为－22. 答案：－22考点一 三角函数的定义域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．函数y ＝log 21sin x－1的定义域为________．解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x ＞0，所以有0＜sin x ≤12，解得2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z ，所以所求函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z 2．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 [谨记通法]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 考点二 三角函数的值域或最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3 B ．0 C ．－1D ．－1－ 3解析：选A ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.2．(2018·浙北联考)函数f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4的最小值为________，最大值为________．解析：f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －542＋98.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－9；当sin x ＝1时，f (x )有最大值1.答案：－9 13．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________________． 解析：设t ＝sin x －cos x ， 则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， 即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．答案：[－1,1]4．(2019·平阳模拟)已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b (a ＜0)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，则a ＋b ＝________.解析：因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1.因为a ＜0，所以f (x )∈[3a ＋b ，b ]．因为函数的值域为[－5,1]，所以3a ＋b ＝－5，b ＝1，所以a ＝－2，所以a ＋b ＝－1.答案：－1[由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域． (3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数．[即时应用]求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22. ∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 考点三 三角函数的性质(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．[题点全练]角度一：三角函数的周期性1．(2019·湖州期末)函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6－π3x 的最小正周期为( ) A ．6B ．－6C ．2π3 D ．23解析：选A 函数的最小正周期为T ＝2π⎪⎪⎪⎪－π3＝6. 2．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A ∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0， ∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ，∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. 由2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z . 又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 角度二：三角函数的对称性3．(2018·嘉兴期末)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象的对称轴方程可以是( ) A ．x ＝π12B ．x ＝5π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6解析：选A 由题可得，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z .所以当k ＝0时，函数f (x )的图象的一条对称轴方程为x ＝π12. 4．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________. 解析：由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数， 故φ＝k π＋π2(k ∈Z )．答案：k π＋π2(k ∈Z )角度三：三角函数的单调性5．(2019·浦江模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4内单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4内单调递增解析：选A 因为函数f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2.因为函数f (x )是偶函数，且|φ|＜π2，所以φ＝π4.所以 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减． [通法在握]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]1．(2019·舟山模拟)若函数f (x )＝sin(φ－x )是奇函数，则φ的值可能是( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．π解析：选D 因为函数f (x )是奇函数，所以φ＝k π(k ∈Z )．对比选项可知，φ的值可能是π.故选D. 2．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx (ω＞0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________. 解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，又因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2.答案：π23．函数y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为_______．解析：如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π.答案：⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，B 、C 、D都不正确，选A.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω＞0，∴当k ＝0时，ωmin＝π6，故选D. 3．函数y ＝ cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .4．(2018·浙江六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________． 解析：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是________． 解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1.答案：⎣⎡⎦⎤－32，1 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·诸暨模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．32D ．23解析：选C 因为函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sinωπ3＝1.又因为2πω≥2×π2，所以0＜ω≤2，所以ωπ3＝π2，解得ω＝32.2．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k ∈Z .当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝⎛⎭⎫π6，0对称．3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B. 4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A ∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3＋2k π(k ∈Z )， ∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π3，令－π2＋2k π≤x 3＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π2＋6k π≤x ≤π2＋6k π，k ∈Z ， 故f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π2＋6k π，π2＋6k π，k ∈Z ， 令k ＝0，得x ∈⎣⎡⎦⎤－5π2，π2， ∵[－2π，0]⊆⎣⎡⎦⎤－5π2，π2，故A 正确． 5．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，54 B ．⎣⎡⎦⎤12，34 C ．⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A.6．若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________． 解析：由题意知，1＜πk ＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3.答案：2或37．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴结合函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.答案：⎣⎡⎦⎤π3，π 8．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝________. 解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x 0＝5π12. 答案：5π129．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间． 解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：(1)令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z . (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1， 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若存在实数a ，使函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎡⎦⎤0，π2上取到最大值1，则实数a 等于( ) A ．1 B ．52C ．32D ．2解析：选C y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12. 当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1，所以y ＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1. ①当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2，即cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍。
高中数学知识点总结(第四章 三角函数、解三角形 第七节 正弦定理和余弦定理)
第七节 正弦定理和余弦定理一、基础知识 1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A. 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)；(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．二、常用结论汇总——规律多一点 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形[典例] (1)(2019·江西重点中学联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[解析] (1)由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝2×sin 30°3＝13，∵a ＝3>b ＝2，∴B <A ，即B为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝223. (2)∵sin B ＝12且B ∈(0，π)，∴B ＝π6或B ＝5π6，又∵C ＝π6，∴B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1. [答案] (1)223 (2)1考法(二) 余弦定理解三角形[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)(2018·泰安二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b2c －a＝sin Asin B ＋sin C，则角B ＝________.[解析](1)∵b cos A ＋a cos B ＝c 2，∴由余弦定理可得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c 2，整理可得2c 2＝2c 3，解得c ＝1，则△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2＋2＋1＝5.(2)由正弦定理可得c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C ＝ab ＋c， ∴c 2－b 2＝2ac －a 2，∴c 2＋a 2－b 2＝2ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，∵0<B <π，∴B ＝π4.[答案] (1)D (2)π4[题组训练]1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24B ．－24C.34D ．－34解析：选B 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12 B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0， 所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以t a n A ＝－1， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12， 又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．解：(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)可知sin A ＝32， 因为cos B ＝13，B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝223，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×13＋12×223＝3＋226. 由正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝a sin C sin A＝3×3＋2232×6＝1＋263.考点二 判定三角形的形状[典例] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形[解析] (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ， 得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1， 即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．[答案] (1)B (2)C[变透练清] 1.变条件若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．解析：根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C 是钝角，所以△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角三角形 2.变条件若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形． 答案：等腰或直角三角形 3.变条件若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝ba＝2”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin 2A ＝sin 2B .由ba ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又因为A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2，所以C ＝π2，于是△ABC是直角三角形．答案：直角三角形[课时跟踪检测]A 级1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．(2018·重庆六校联考)在△ABC 中，cos B ＝ac (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选A 因为cos B ＝ac ，由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cos B ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6 C.14D.6解析：选D ∵b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，∴b ＝ 6.5．(2019·莆田调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ．∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6. 6．(2019·山西大同联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A.5 B ．3 C.10D ．4解析：选B 由正弦定理可得2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝c sin C ， ∵2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，∴2sin C ＝c sin C ，∵sin C >0，∴c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3.7．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________. 解析：C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2. 答案：28．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sinB ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又∵a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，∴c ＝4. 答案：49．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sinB ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)． 答案：2173 10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.解析：因为sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，所以2sin B ＝sin A ＋sin C ．由正弦定理得a ＋c ＝2b ，又因为a ＝2c ，可得b ＝32c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－14.答案：－1411．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．解：(1)证明：因为A ＝2B ，所以由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin 2B ＝bsin B ，所以a ＝2b cos B .(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 因为b ＝2，c ＝4，A ＝2B ，所以16c os 2B ＝4＋16－16cos 2B ，所以c os 2B ＝34，因为A ＋B ＝2B ＋B <π，所以B <π3，所以cos B ＝32，所以B ＝π6.12．(2019·绵阳模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，结合正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 又由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以bc ＝－2bc cos A ，即cos A ＝－12.由于A 为△ABC 的内角，所以A ＝2π3.(2)由已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，结合正弦定理，得2sin 2A ＝(2sin B ＋sin C )sin B ＋(2sin C ＋sin B )sin C ， 即sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝sin 22π3＝34.又由sin B ＋sin C ＝1，得sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，结合sin B ＋sin C ＝1，解得sin B ＝sin C ＝12.因为B ＋C ＝π－A ＝π3，所以B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰三角形．B 级1．(2019·郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( )A.13B.7C.37D ．6解析：选A 由2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1，得1＋c os(A ＋B )－(2c os 2C －1)＝2－2c os 2C －cos C ＝1，即2c os 2C ＋cos C －1＝0，解得cos C ＝12或cos C ＝－1(舍去)．由4sin B ＝3sin A及正弦定理，得4b ＝3a ，结合a －b ＝1，得a ＝4，b ＝3.由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋32－2×4×3×12＝13，所以c ＝13.2．(2019·长春模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n Cc，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________. 解析：∵2sin A a ＝t a n C c ＝sin C c cos C ，且由正弦定理可得a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C (R 为△ABC的外接圆的半径)，∴cos C ＝12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.∵sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，sin C ＝sin(A ＋B )，∴2sin A cos B ＝4sin B cos B ．当cos B ＝0时，B ＝π2，则A ＝π6，∵c ＝3， ∴a ＝1，b ＝2，则a ＋b ＝3.当cos B ≠0时，sin A ＝2sin B ，即a ＝2b .∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴b 2＝1，即b ＝1，∴a ＝2，则a ＋b ＝3.综上，a ＋b ＝3.答案：33．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b . (1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解：(1)2a cos C －c ＝2b ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin B ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A ，∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22.又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3，∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，b ＝c ＝2，由余弦定理，得a 2＝c 2＋b 2－2c ·b ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2c os 2π3＝6，∴a ＝ 6.第二课时 正弦定理和余弦定理(二) 考点一 有关三角形面积的计算[典例] (1)(2019·广州调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积等于( )A ．37 B.372C ．9D.92(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，则B ＝________.[解析] (1)法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，代入数据，得a ＝3，又cos B ＝34，B ∈(0，π)，所以sin B ＝74，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝372. 法二：由cos B ＝34，B ∈(0，π)，得sin B ＝74，由正弦定理b sin B ＝csin C 及b ＝7，c ＝4，可得sin C ＝1，所以C ＝π2，所以sin A ＝cos B ＝34，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝372.(2)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B . 又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)，∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴t a n B ＝3，∵B ∈()0，π，∴B ＝π3.[答案] (1)B (2)π3[变透练清] 1.变条件本例(1)的条件变为：若c ＝4，sin C ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________. 解析：因为sin C ＝2sin A ，所以c ＝2a ，所以a ＝2，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×4×154＝15.答案：15 2.变结论本例(2)的条件不变，则C 为钝角时，ca的取值范围是________．解析：∵B ＝π3且C 为钝角，∴C ＝2π3－A >π2，∴0<A <π6 .由正弦定理得ca ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1t a n A.∵0<t a n A <33，∴1t a n A>3， ∴c a >12＋32×3＝2，即ca >2. 答案：(2，＋∞)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．解：(1)由已知及正弦定理得(2sin B －sin A )cos C ＝sin C cos A ， 即2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵B ∈(0，π)，∴sin B >0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由(1)知，C ＝π3，故S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝433，解得ab ＝163.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 又c ＝3，∴(a ＋b )2＝c 2＋3ab ＝32＋3×163＝25，得a ＋b ＝5.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋3＝8.[解题技法]1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 考点二 平面图形中的计算问题[典例] (2018·广东佛山质检)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1. (1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .[解] (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·c os ∠ABC ， 即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12.(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，即AC sin π6＝4sin θ， ① 在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝⎛⎭⎫π2－θ＝θ－π4， 由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠BCA ，即AC sin 3π4＝1sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，② ①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4sin θ，即4⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ. 又因为sin 2θ＋c os 2θ＝1，所以sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255.[解题技法]与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．[题组训练]1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．解析：设AB ＝a ，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a 3. 在△ABD 中，c os ∠ADB ＝a 2＋4a 23－a22a ×2a 3＝33，∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63. 在△BDC 中，BD sin C ＝BCsin ∠BDC， ∴sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66.答案：662.如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长． 解：设∠CED ＝α.因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列， 所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3.(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·c os ∠EDC ， 即7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0， 解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． 在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC ＝CDsin α，于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知0<α<π3，由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277，又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝2π3－α，所以c os ∠AEB ＝c os ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝c os 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12×277＋32×217＝714. 在Rt △EAB 中，c os ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ＝714，所以BE ＝47.考点三 三角形中的最值、范围问题[典例] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π4D.⎣⎡⎦⎤π6，π3(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12D ．－12[解析] (1)在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin 2A ，即2sin B cos A ＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得，b＝2a ，所以A 为锐角．又因为sin B ＝2sin A ∈(0,1]，所以sin A ∈⎝⎛⎦⎤0，22，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4. (2)因为cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，所以1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2－4sin 2C ，得a 2＋b 2＝2c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选C. [答案] (1)B (2)C[解题技法]1．三角形中的最值、范围问题的解题策略解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解， 已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，b －c <a <b ＋c ，三角形中大边对大角等．[题组训练]1．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝ b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A.2B.98C ．1D.78解析：选B ∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos 2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98. 2．(2018·哈尔滨三中二模)在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________．解析：∵sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ＝2sin π3＝433，∴a ＝433sin A ，b ＝433sin B ．又∵B ＝2π3－A ，∴a ＋b ＝433sin A ＋433sin B ＝433sin A ＋433sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝4sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6.又∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1，∴a ＋b ∈(2,4]． 答案：(2,4]3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos B b ＋cos C c ＝sin A 3sin C .(1)求b 的值；(2)若cos B ＋3sin B ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意及正、余弦定理得a 2＋c 2－b 22abc ＋a 2＋b 2－c 22abc ＝3a 3c ，整理得2a 22abc ＝3a3c ，所以b ＝ 3.(2)由题意得cos B ＋3sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1， 因为B ∈(0，π)，所以B ＋π6＝π2，所以B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ， 即ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝3时等号成立． 所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤334，当且仅当a ＝c ＝3时等号成立．故△ABC 面积的最大值为334.考点四 解三角形与三角函数的综合应用考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换[典例] (2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． [解] (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得b sin A ＝a sin B .又因为b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6， 所以a sin B ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6， 即sin B ＝32cos B ＋12sin B ， 所以t a n B ＝ 3.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝37. 因为a ＜c ，所以cos A ＝27. 所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2c os 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314. 考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质[典例] (2018·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝c os 2x ＋3sin(π－x )c os(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．[解] (1)f (x )＝c os 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又∵x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴f (A )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝－1， ∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又∵b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.[对点训练]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值．解：(1)因为(2a －c )cos B －b cos C ＝0， 所以2a cos B －c cos B －b cos C ＝0， 由正弦定理得2sin A cos B －sin C cos B －cos C sin B ＝0， 即2sin A cos B －sin(C ＋B )＝0，又因为C ＋B ＝π－A ，所以sin(C ＋B )＝sin A . 所以sin A (2cos B －1)＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为B ＝π3，所以f (x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π＋5π12(k ∈Z)，即当x ＝k π＋5π12(k ∈Z)时，f (x )取得最大值1.[课时跟踪检测]A 级1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则 △ABC 的面积为( )A.12 B.14C ．1D ．2解析：选A 由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，则角B 的大小为( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π6解析：选C 由已知条件和正弦定理，得(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0.化简，得2sin A cos B ＋sin A ＝0.因为角A 为三角形的内角，所以sin A ≠0，所以cos B ＝－12，所以B ＝2π3. 3．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( )A ．6B ．3C ．2D ．2或3解析：选D 因为S △ABC ＝12bc sin A ＝22，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos A ＝13，因为a ＝3，所以由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3. 4．(2018·昆明检测)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，t a n ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )A ．1 B.2 C.3D ．2解析：选A 法一：因为t a n ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，c os ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·ABc os ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝⎛⎭⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABCBC ＝2×323＝1.法二：在△ABC 中，因为t a n ∠BAC ＝－3<0，所以∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，结合选项可知选A.5．(2018·重庆九校联考)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝3b cos A ，当b ＋c ＝4时，△ABC 面积的最大值为( )A.33B.32C.3D ．23解析：选C 由a sin B ＝3b cos A ，得sin A sin B ＝3sin B cos A ，∴t a n A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π3，故S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝3(当且仅当b ＝c ＝2时取等号)，故选C.6．(2019·安徽名校联盟联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋3B ．2＋2C ．3D ．3＋2解析：选A 由b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B 取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又因为bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.7．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：由余弦定理知72＝52＋BC 2－2×5×BC ×cos 120°， 即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3(负值舍去)． 故S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×5×3×32＝1534.答案：15348．(2019·长春质量检测)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 12b cos A ＝sin B ，且a ＝23，b ＋c ＝6，则△ABC 的面积为________．解析：由题意可知cos A 2＝sin B b ＝sin Aa ，因为a ＝23，所以t a n A ＝3，因为0<A <π，所以A ＝π3，由余弦定理得12＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，又因为b ＋c ＝6，所以bc ＝8，从而△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×8×sin π3＝2 3.答案：239．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠BAC ＝π2，点D 在边BC上，AD ＝1，且BD ＝2DC ，∠BAD ＝2∠DAC ，则sin Bsin C＝________.解析：由∠BAC ＝π2及∠BAD ＝2∠DAC ，可得∠BAD ＝π3，∠DAC ＝π6.由BD ＝2DC ，令DC ＝x ，则BD ＝2x .因为AD ＝1，在△ADC 中，由正弦定理得1sin C ＝x sin π6，所以sin C ＝12x，在△ABD 中，sin B ＝sin π32x ＝34x ，所以sin B sin C ＝34x 12x＝32.答案：3210．(2018·河南新乡二模)如图所示，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝________.解析：∵AD ＝DB ，∴∠A ＝∠ABD ，∠BDC ＝2∠A .设AD ＝DB ＝x ， ∴在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝DB sin C，可得4sin 2A ＝xsin π3. ①在△AED 中，DE sin A ＝AD sin ∠AED ，可得22sin A ＝x1. ② 联立①②可得42sin A cos A ＝22sin A 32，解得cos A ＝64.答案：6411．(2019·南宁摸底联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 c (1＋cos B )＝b (2－cos C )．(1)求证：2b ＝a ＋c ；(2)若B ＝π3，△ABC 的面积为43，求b .解：(1)证明：∵c (1＋cos B )＝b (2－cos C )，∴由正弦定理可得sin C ＋sin C cos B ＝2sin B －sin B cos C ， 即sin C cos B ＋sin B cos C ＋sin C ＝sin(B ＋C )＋sin C ＝2sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴a ＋c ＝2b .(2)∵B ＝π3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ＝43，∴ac ＝16.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac . ∵a ＋c ＝2b ，∴b 2＝4b 2－3×16，解得b ＝4. 12．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求c os ⎝⎛⎭⎫A －π6的值． 解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝35.由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )， 又因为cos B ＝45，sin B ＝35，所以cos A ＝－c os(B ＋C )＝－c os ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝－cos Bc os π4＋sin B sin π4＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－c os 2A ＝7210. 因此，c os ⎝⎛⎭⎫A －π6＝cos Ac os π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. B 级1．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，则2ba的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2，6)C ．(2，3)D ．(6，4)解析：选B ∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A ，∴ba ＝2cos A ．又C ＝π－3A ，C为锐角，∴0<π－3A <π2⇒π6<A <π3，又B ＝2A ，B 为锐角，∴0<2A <π2⇒0<A <π4，∴π6<A <π4，22<cosA <32，∴2<b a <3，∴2<2ba< 6. 2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋bc os 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是________．解析：由已知及正弦定理得sin 2A sin B ＋sin Bc os 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋c os 2A )＝2sin A ，∴sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4a 2＋c 2－a 24ac ＝3a 2＋c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当c ＝3a 时取等号．∵A 为三角形的内角，且y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，∴0<A ≤π6，则角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π6. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π6 3．(2018·昆明质检)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．解：(1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝255，又∠BCD ＝2∠ABD ，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以c os ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·c os ∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝c os ∠ABD ＝55. 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·c os ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝⎛⎭⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD .在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin ∠CBDsin ∠BCD＝5×5545＝54， 所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58.。
数学(浙江专用)总复习教师用书：第四章 三角函数、解三角形 第讲 三角函数的图象与性质
第3讲三角函数的图象与性质最新考纲 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；2。
理解正弦函数、余弦函数在区间［0，2π］上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间错误!内的单调性。
知识梳理1。
用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，错误!，（π，0），错误!，（2π，0).（2）余弦函数y＝cos x,x∈［0，2π]的图象中，五个关键点是：（0,1)，错误!，(π，－1）,错误!，（2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域R R｛x错误!错误!值域［－1，1]［－1，1］R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数1。
判断正误(在括号内打“√”或“×"）（1)由sin错误!＝sin 错误!知，错误!是正弦函数y＝sin x(x∈R）的一个周期。
( )（2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.（）（3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )(4）已知y＝k sin x＋1，x∈R,则y的最大值为k＋1。
( ）（5）y＝sin｜x｜是偶函数。
（)解析（1）函数y＝sin x的周期是2kπ(k∈Z).（2)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.（3）正切函数y＝tan x在每一个区间错误!(k∈Z）上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数。
(4)当k〉0时，y max＝k＋1；当k<0时，y max＝－k＋1.答案(1）×(2）×(3）×(4)×(5)√2。
（2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ）A。
y＝sin错误!B。
y＝cos错误!C.y＝sin 2x＋cos 2xD.y＝sin x＋cos x解析y＝sin错误!＝cos 2x是最小正周期为π的偶函数；y＝cos错误!＝－sin 2x是最小正周期为π的奇函数;y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin错误!是最小正周期为π的非奇非偶函数；y＝sin x＋cos x＝错误!sin错误!是最小正周期为2π的非奇非偶函数.答案B3。
高中数学教材——三角函数篇
第四章 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二 三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三 三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限． [课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12>0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z .4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A. 3 B ．－ 5 C. 5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________．解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案： 39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角． (1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4<α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α. 2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)， 所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15.(2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负； 当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、基础知识1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α. 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π2(k ∈Z)．2．诱导公式诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k ·π2＋α(k ∈Z )”中的k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π2＋α(k ∈Z )”中，将α看成锐角时，“k ·π2＋α(k ∈Z )”的终边所在的象限.二、常用结论同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .考点一 三角函数的诱导公式[典例] (1)已知f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为________． (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. [解析] (1)因为f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α) ＝－sin α(－cos α)(－cos α)⎝⎛⎭⎫－sin αcos α＝cos α，所以f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos π3＝12. (2)sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. [答案] (1)12 (2)－23[题组训练]1.已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝________. 解析：法一：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角， 联立⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，解得5sin 2α＝1，故sin α＝－55.法二：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝12，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－55. 答案：－552. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°) sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝34＋14＋1＝2. 答案：23.已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 答案：－33考点二 同角三角函数的基本关系及应用[典例] (1)若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝( )A.165B ．－165C.85D ．－85(2)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12 B ．±12C ．－14D ．－12[解析] (1)sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1， 将tan α＝2代入上式，则原式＝165.(2)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－12.[答案] (1)A (2)D[题组训练]1．(2018·甘肃诊断)已知tan φ＝43，且角φ的终边落在第三象限，则cos φ＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为角φ的终边落在第三象限，所以cos φ<0，因为tan φ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2φ＋cos 2φ＝1，sin φcos φ＝43，cos φ<0，解得cos φ＝－35.2．已知tan θ＝3，则sin 2θ＋sin θcos θ＝________.解析：sin 2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θtan 2θ＋1＝32＋332＋1＝65.答案：653．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________.解析：由已知可得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)， 即sin α＝2cos α，所以tan α＝sin αcos α＝2，从而sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.答案：254．已知－π<α<0，sin(π＋α)－cos α＝－15，则cos α－sin α的值为________．解析：由已知，得sin α＋cos α＝15，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125， 整理得2sin αcos α＝－2425. 因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝4925，且－π<α<0，所以sin α<0，cos α>0， 所以cos α－sin α>0，故cos α－sin α＝75.答案：75[课时跟踪检测]A 级1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( ) A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选B 因为x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34. 2．(2019·淮南十校联考)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值为( ) A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－13. 3．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0D.12－32解析：选A 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎫3π＋π3 ＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.4．若sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝12，则tan θ的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选D 因为sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ， 所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.5．(2018·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15，则tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．不存在解析：选A 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15， 得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.6．在△ABC 中，3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin (π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B 将3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )化为3cos A ＝3sin A ，则tan A ＝33，则A ＝π6，将cos A ＝－3co s(π－B )化为 cos π6＝3cos B ，则cos B ＝12，则B ＝π3，故△ABC 为直角三角形．7．化简：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝________.解析：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝sin 22θcos 2θ·sin 2θcos 2θ＝sin 2θ. 答案：sin 2θ8．化简：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)＝________.解析：原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α. 答案：－sin 2α 9．sin4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值为________． 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－33410．(2019·武昌调研)若tan α＝cos α，则1sin α＋cos 4α＝________.解析：tan α＝cos α⇒sin αcos α＝cos α⇒sin α＝cos 2α，故1sin α＋cos 4α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋sin αsin α＋sin 2α＝sin 2α＋sin α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.答案：211．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.12．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：因为sin α＝255>0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ①当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52.②当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.B 级1．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C. 3D ．－ 3解析：选A 因为sin α＋cos α＝12，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α<0，因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－38＝74，所以cos α－sin α＝－72， 所以1－tan α1＋tan α＝1－sin αcos α1＋sin αcos α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.2．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解析：∵sin θ－2cos θ＝－25，∴sin θ＝2cos θ－25，∴⎝⎛⎭⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1， ∴5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，即⎝⎛⎭⎫cos θ－35⎝⎛⎭⎫5cos θ＋75＝0. 又∵θ为第一象限角，∴cos θ＝35，∴sin θ＝45，∴sin θ＋cos θ＝75.答案：753．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12， 故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2，因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2， 所以1＋2×m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122，解得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.故当sin θ＝32，cos θ＝12时，θ＝π3； 当sin θ＝12，cos θ＝32时，θ＝π6.第三节 三角函数的图象与性质一、基础知识1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理：在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1).函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]，y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点).(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质R ，且x ≠k π＋π2三角函数性质的注意点(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y ＝tan x 无单调递减区间；y ＝tan x 在整个定义域内不单调．(2)要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆.二、常用结论1．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π (k∈Z )．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2 (k∈Z )．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．第一课时 三角函数的单调性 考点一 求三角函数的单调区间[典例] (2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． [解] (1)由题意，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝－2sin 3π2＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 则f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z)， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．[题组训练]1．函数y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调递减区间为________． 解析：作出y ＝|tan x |的示意图如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π. 答案：⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎦⎤π2，π 2．函数g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的单调递增区间为________． 解析：g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 欲求函数g (x )的单调递增区间，只需求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间．由2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z)，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)．故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)． 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 所以函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2 3．(2019·金华适应性考试)已知函数f (x )＝3cos 2x －2sin 2(x －α)，其中0<α<π2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3－1.(1)求α的值；(2)求f (x )的最小正周期和单调递减区间．解：(1)由已知得f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3－2sin 2⎝⎛⎭⎫π2－α＝－3－2cos 2α＝－3－1，整理得cos 2α＝12. 因为0<α<π2，所以cos α＝22，α＝π4.(2)由(1)知，f (x )＝3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝3cos 2x －1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝3cos 2x ＋sin 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1. 易知函数f (x )的最小正周期T ＝π. 令t ＝2x ＋π3，则函数f (x )可转化为y ＝2sin t －1.显然函数y ＝2sin t －1与y ＝sin t 的单调性相同， 当函数y ＝sin t 单调递减时， 2k π＋π2≤t ≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)．所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)．考点二 求三角函数的值域(最值)[典例] (1)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332D.⎣⎡⎦⎤－332，3(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． [解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]， 因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. [答案] (1)B (2)1[变透练清]1.(变条件)若本例(1)中函数f (x )的解析式变为：f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 故f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－332，3.答案：⎣⎡⎦⎤－332，3 2.(变条件)若本例(2)中函数f (x )的解析式变为：函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x ，则f (x )的最大值为________．解析：设t ＝sin x ＋cos x (－2≤t ≤2)， 则sin x cos x ＝t 2－12，y ＝t ＋12t 2－12＝12(t ＋1)2－1，当t ＝2时，y ＝t ＋12t 2－12取最大值为2＋12.故f (x )的最大值为22＋12.答案：22＋123．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6. ∵x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. 答案：⎣⎡⎦⎤π3，π考点三 根据三角函数单调性确定参数[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4 B.π2C.3π4D ．π(2)若f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________．[解析] (1)f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， 则f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，∴0<a ≤π4， ∴a 的最大值是π4.(2)法一：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，2π3(ω>0)， 所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤－πω2，2πω3，因为f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－πω2≥－π2，2πω3≤π2，ω>0，故0<ω≤34.法二：画出函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)的图象如图所示．要使f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数， 需⎩⎨⎧－π2ω≤－π2，2π3≤π2ω，ω>0，即0<ω≤34.[答案] (1)A (2)⎝⎛⎦⎤0，34[解题技法]已知三角函数的单调区间求参数范围的3种方法(1)求出原函数的相应单调区间，由所给区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．[题组训练]1．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，且|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.解析：由题意知T 2＝2π3－π6＝π2，故T ＝π，所以ω＝2πT＝2，又因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 因为|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 故f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos π6＝32. 答案：322．（2019·贵阳检测）已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．解析：由π2<x <π，得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， 所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.答案：⎣⎡⎦⎤12，54[课时跟踪检测]A 级1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)． 2．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的部分不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.3．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( ) A ．2 B ．3 C.3＋2D ．2－ 3解析：选B 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，所以b －a ＝3.4．(2019·西安八校联考)已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤π3，πB.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 C.⎣⎡⎦⎤0，2π3 D.⎣⎡⎦⎤2π3，π解析：选A 因为0<θ<π，所以π3<π3＋θ<4π3，又因为f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3时取得最小值，所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3.由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x ＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π3，π. 5．(2018·北京东城质检)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最小值为( ) A ．1 B.1－32C.32D ．1－ 3解析：选A 函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6. 当2x －π6＝5π6时，函数f (x )取得最小值为1.6．(2019·广西五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( )A.14 B.13C.12D.32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又因为0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12. 7．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解析：要使函数有意义，需sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ， 由函数的图象得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，故原函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． 答案：⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 8．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为________．解析：因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，而sin x∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取最大值5.答案：59．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________． 解析：因为0≤x ≤9，所以0≤π6x ≤3π2，即－π3≤π6x －π3≤7π6，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1， 故f (x )的最大值为2，最小值为－3，它们之和为2－ 3. 答案：2－ 310．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：法一：由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数 的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二：由题意，得f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3ω＝1. 由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32.答案：3211．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (2)因为当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1， 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.12．已知函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．解：(1)因为函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 所以函数f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π， 从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．B 级1．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π3，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是________(用“<”表示)．解析：函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2π＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7＝2sin 10π21， b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2， c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3， 因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，且π3<10π21<π2， 所以sin π3<sin 10π21<sin π2，即c <a <b . 答案：c <a <b2．(2018·四川双流中学模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.解析：由f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，可知函数f (x ) 的图象关于直线x ＝π4对称， ∴π4ω＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴ω＝1＋4k ，k ∈Z ，又∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减， ∴T 2≥π－π2＝π2，T ≥π， ∴2πω≥π，∴ω≤2， 又∵ω＝1＋4k ，k ∈Z ，∴当k ＝0时，ω＝1. 答案：13．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈[0，π]，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1， 由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． (2)因为0≤x ≤π，所以π4≤x ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，有{ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，所以a ＝32－3，b ＝5. ②当a <0时，有{ b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，所以a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.第二课时 三角函数的周期性、奇偶性及对称性考点一 三角函数的周期性[典例] (1)(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( )A.π4 B.π2C ．πD ．2π(2)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则正整数k 的值为________． [解析] (1)由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋⎝⎛⎭⎫sin x cos x 2＝sin xcos x cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由题意知1<πk <2，即π2<k <π.又因为k ∈N *，所以k ＝2或k ＝3. [答案] (1)C (2)2或3[解题技法]1．三角函数最小正周期的求解方法 (1)定义法；(2)公式法：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|；(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．2．有关周期的2个结论(1)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)|，y ＝|A cos(ωx ＋φ)|，y ＝|A tan(ωx ＋φ)|的周期均为T ＝π|ω|.(2)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)，y ＝|A cos(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)的周期均为T ＝2π|ω|.[题组训练]1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解析：选A 因为y ＝cos|2x |＝cos 2x ， 所以该函数的周期为2π2＝π；由函数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π； 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为2π2＝π； 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③. 2．若x ＝π8是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，x ∈R 的一个零点，且0<ω<10，则函数f (x )的最小正周期为________．解析：依题意知，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z. 又因为0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，得－14<k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π. 答案：π考点二 三角函数的奇偶性[典例] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3C.5π6D.2π3[解析] 因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ是偶函数， 所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.[答案] C[解题技法] 判断三角函数奇偶性的方法三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．[题组训练]1．(2018·日照一中模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x 为偶函数，排除A ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数，排除B ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增，且周期为π，符合题意；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x 为偶函数，排除D.故选C.2．若函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于________． 解析：f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ＋θ ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3－θ， 因为函数f (x )为奇函数， 所以－π3－θ＝k π，k ∈Z ，即θ＝－k π－π3，k ∈Z ，故tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫－k π－π3＝－ 3. 答案：－ 3。
高中数学基础知识总结第四章三角函数
高中数学基础知识总结第四章三角函数三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，它们在物理、工程、几何等领域中都有广泛的应用。
在高中数学中，学习三角函数的基本概念、性质和应用是非常重要的。
本章主要内容包括：正弦函数、余弦函数、正切函数、反三角函数以及它们的图像、性质和变换。
一、正弦函数1.正弦函数的定义：正弦函数sin(x)是一个以角度或弧度x为自变量的函数，其值为对应角度或弧度的正弦值。
正弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1, 1]。
2.正弦函数的图像与性质：正弦函数的图像呈现周期性变化的特点，呈现出一条连续的波浪线。
该函数在原点处为零，随着自变量的增大，函数值先达到最大值1，然后再次回到最小值0。
正弦函数的性质包括：奇函数、周期性、增减性等。
3.正弦函数的变换：正弦函数可通过垂直方向上的平移、挤缩和翻转等变换而得到。
二、余弦函数1.余弦函数的定义：余弦函数cos(x)是一个以角度或弧度x为自变量的函数，其值为对应角度或弧度的余弦值。
余弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1, 1]。
2.余弦函数的图像与性质：余弦函数的图像呈现周期性变化的特点，呈现出一条连续的波浪线。
该函数在原点处为1，随着自变量的增大，函数值先达到最小值-1，然后再次回到最大值1余弦函数的性质包括：偶函数、周期性、增减性等。
3.余弦函数的变换：余弦函数可通过垂直方向上的平移、挤缩和翻转等变换而得到。
三、正切函数1.正切函数的定义：正切函数tan(x)是一个以角度或弧度x为自变量的函数，其值为对应角度或弧度的正切值。
正切函数的定义域为所有不是90°、270°、..的角度或弧度，值域为实数。
2.正切函数的图像与性质：正切函数的图像呈现周期性变化的特点，具有无穷多个间断点。
函数的值在间断点处取无穷大或无穷小。
正切函数的性质包括：奇函数、周期性、增减性等。
3.正切函数的变换：正切函数可通过垂直方向上的平移、挤缩和翻转等变换而得到。
高中数学三角函数知识点总结
高中数学第四章-三角函数1. ①与α0°≤α＜360°终边相同的角的集合角α与角β的终边重合：{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180|ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180|ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π180°≈°=57°18ˊ． 1°＝180π≈rad3、弧长公式：r l ⋅=||α. 扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅扇形4、三角函数：设α是一个任意角,在α的终边上任取异于原点的一点Px,yP 与原点的距离为r,则 ry =αsin ；rx=αcos ；=αtan yx=αcot ；x r=αsec ；. yr =αcsc .5、三角函数在各象限的符号：一全二正弦,三切四余弦正切、余切余弦、正割正弦、余割6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域(3) 若 o<x<2,则sinx<x<tanx16. 几个重要结论:8、同角三角函数的基本关系式：αααtan cos sin =αααcot sin cos = 1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α 1cos sec =α⋅α1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα9、诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变,符号看象限”三角函数的公式：一基本关系公式组二 公式组三 x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ x x x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-公式组四 公式组五 公式组六x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ x x x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ二角与角之间的互换公式组一 公式组二βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin =βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2tan 1tan 22tan -=βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2cos 12sinαα-±= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 2cos 12cos αα+±=公式组一sin x ·csc x =1tan x =xx cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x =xx sin cos 1+tan 2x =sec 2xtan x ·cot x =11+cot 2x =csc 2x=1βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 公式组三 公式组四 公式组五2tan 12tan 2sin 2ααα+= 2tan 12tan1cos 22ααα+-= 2tan 12tan 2tan 2ααα-= 42675cos 15sin -== , ,3275cot 15tan -== ,. 3215cot 75tan +== 42615cos 75sin +==()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 21sin sin cos cos 21cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21cos sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-注意：①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反；x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相反.一般地,若)(x f y =在],[b a 上递增减,则)(x f y -=在],[b a 上递减增.②x y sin =与x y cos =的周期是π.③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y 0≠ω的周期ωπ2=T .2tan xy =的周期为2ππωπ2=⇒=T T ,如图,翻折无效.④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x Z k ∈,对称中心0,πk ；)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =Z k ∈,对称中心0,21ππ+k ；)tan(ϕω+=x y 的对称中心0,2πk . x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当αtan ·,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα；αtan ·,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα.⑥x y cos =与⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(ϕω+=x y 是偶函数,则)cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数x y tan =在R 上为增函数.× 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,x y tan =为增函数,同样也是错误的.⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称奇偶都要,二是满足奇偶性条件,偶函数：)()(x f x f =-,奇函数：)()(x f x f -=-奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数,)31tan(π+=x y 是非奇非偶.定义域不关于原点对称奇函数特有性质：若x ∈0的定义域,则)(x f 一定有0)0(=f .x ∉0的定义域,则无此性质⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数π=T ；x y cos =是周期函数如图；x y cos =为周期函数π=T ；212cos +=x y 的周期为π如图,并非所有周期函数都有最小正周期,例如：R k k x f x f y ∈+===),(5)(.⑩abb a b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. 11、三角函数图象的作法： １、几何法：２、描点法及其特例——五点作图法正、余弦曲线,三点二线作图法正、余切曲线. ３、利用图象变换作三角函数图象．y=|cos2x +1/2|图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．函数y ＝Asin ωx ＋φ的振幅|A|,周期2||T πω=,频率1||2f T ωπ==,相位;x ωϕ+初相ϕ即当x ＝0时的相位．当A＞0,ω＞0 时以上公式可去绝对值符号,由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长当|A|＞1或缩短当0＜|A|＜1到原来的|A|倍,得到y ＝Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．用y/A 替换y由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长0＜|ω|＜1或缩短|ω|＞1到原来的1||ω倍,得到y＝sin ω x 的图象,叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．用ωx 替换x由y ＝sinx 的图象上所有的点向左当φ＞0或向右当φ＜0平行移动｜φ｜个单位,得到y ＝sinx ＋φ的图象,叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．用x ＋φ替换x由y ＝sinx 的图象上所有的点向上当b ＞0或向下当b ＜0平行移动｜b ｜个单位,得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．用y+-b 替换y由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin ωx ＋φA ＞0,ω＞0x ∈R 的图象,要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x 轴量伸缩量的区别; 4、反三角函数： 函数y ＝sin x ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈22ππ，x 的反函数叫做反正弦函数,记作y ＝arcsin x ,它的定义域是－1,1,值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡22ππ，－．函数y ＝cos x ,x ∈0,π的反应函数叫做反余弦函数,记作y ＝arccos x ,它的定义域是－1,1,值域是0,π． 函数y ＝tan x ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈22ππ，x 的反函数叫做反正切函数,记作y ＝arctan x ,它的定义域是－∞,＋∞,值域是⎪⎭⎫ ⎝⎛-22ππ，． 函数y ＝ctg x ,x ∈0,π的反函数叫做反余切函数,记作y ＝arcctg x ,它的定义域是－∞,＋∞,值域是0,π．II. 竞赛知识要点一、反三角函数.1. 反三角函数：⑴反正弦函数x y arcsin =是奇函数,故x x arcsin )arcsin(-=-,[]1,1-∈x 一定要注明定义域,若()+∞∞-∈,x ,没有x 与y 一一对应,故x y sin =无反函数注：x x =)sin(arcsin ,[]1,1-∈x ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2arcsin ππx .⑵反余弦函数x y arccos =非奇非偶,但有ππk x x 2)arccos()arccos(+=+-,[]1,1-∈x . 注：①x x =)cos(arccos ,[]1,1-∈x ,[]π,0arccos ∈x .②x y cos =是偶函数,x y arccos =非奇非偶,而x y sin =和x y arcsin =为奇函数. ⑶反正切函数：x y arctan =,定义域),(+∞-∞,值域2,2ππ-,x y arctan =是奇函数, x x arctan )arctan(-=-,∈x ),(+∞-∞.注：x x =)tan(arctan ,∈x ),(+∞-∞.⑷反余切函数：x arc y cot =,定义域),(+∞-∞,值域2,2ππ-,x arc y cot =是非奇非偶.ππk x arc x arc 2)cot()cot(+=+-,∈x ),(+∞-∞.注：①x x arc =)cot cot(,∈x ),(+∞-∞.②x y arcsin =与)1arcsin(x y -=互为奇函数,x y arctan =同理为奇而x y arccos =与x arc y cot =非奇非偶但满足]1,1[,2)cot(cot ]1,1[,2arccos )arccos(-∈+=-+-∈+=+-x k x arc x arc x k x x ππππ.⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a 的取值范围 解集 a 的取值范围 解集 ①a x =sin 的解集 ②a x =cos 的解集a＞1 ∅ a＞1 ∅a=1 {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π a=1 {}Z k a k x x ∈+=,arccos 2|πa＜1 (){}Z k a k x x k ∈-+=,arcsin 1|πa＜1 {}Z k a k x x ∈±=,arccos |π③a x =tan 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,arctan |π ③a x =cot 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,cot arc |π 二、三角恒等式. 组一 组二∏===nk nn nk12sin2sin 2cos8cos4cos2cos2cos ααααααα∑=++=+++++=+nk dnd x d n nd x d x x kd x 0sin )cos())1sin(()cos()cos(cos )cos(∑=++=+++++=+nk dnd x d n nd x d x x kd x 0sin )sin())1sin(()sin()sin(sin )sin(αγγββαγβαγβαγβαtan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan )tan(----++=++组三 三角函数不等式x sin ＜x ＜)2,0(,tan π∈x x xxx f sin )(=在),0(π上是减函数 若π=++C B A ,则C xy B xz A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++ααααααcos 3cos 43cos sin 4sin 33sin 33-=-=()()αββαβαβα2222cos cos sin sin sin sin -=-+=-ααααααsin 22sin 2cos ...4cos 2cos cos 11++=n n n。
第四章 §4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
题型二 弧度制及其应用
例 2 (1)已知一扇形的圆心角 α＝π3，半径 R＝10 cm，则此扇形的弧积为____3____ cm2.
由已知得 α＝π3，R＝10 cm， 所以 l＝αR＝π3×10＝130π(cm)， S 扇形＝12αR2＝12×π3×102＝530π(cm2).
√C.第三、四象限
D.第一、四象限
因为cos α·tan α<0，所以cos α，tan α的值一正一负，所以角α的终边 在第三、四象限.
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课时精练
知识过关
一、单项选择题 1.给出下列四个命题，其中正确的是 A.－34π是第四象限角 B.43π是第二象限角 C.－400°是第一象限角
√D.－315°是第一象限角
思维升华
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三 角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标. (2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽 略角的终边在坐标轴上的情况.
跟踪训练 3 (1)已知角 α 的终边过点 P(－8m，－6sin 30°)，且 cos α＝
A.2kπ－45°(k∈Z)
B.k·360°＋94π(k∈Z)
√C.k·360°－315°(k∈Z)
D.kπ＋54π(k∈Z)
自主诊断
与94π的终边相同的角可以写成 2kπ＋94π(k∈Z)，但是角度制与弧度制 不能混用，所以只有 C 正确.
自主诊断
3.(必修第一册P180T3改编)已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sin θ＋cos θ
题型三 三角函数的概念
例 3 (1)(2023·北京模拟)在平面直角坐标系中，角 α 以 x 轴的非负半轴为
高中数学高考20第四章 三角函数、解三角形 4 3 三角函数的图象与性质
又 x∈0，π2，∴函数的单调递增区间为0，π6.
命题点2 根据单调性求参数
例 4 已知 ω>0，函数 f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则 ω 的取值范围 是 12，45 .
引申探究
本例中，若已知 ω>0，函数 f(x)＝cosωx＋π4在π2，π上单调递增，则 ω 的取值 范围是 32，47 .
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一 三角函数的定义域
1.函数 f(x)＝－2tan2x＋π6的定义域是
A.xx≠π6
B.xx≠－1π2
C.xx≠kπ＋π6k∈Z
√D.xx≠k2π＋π6k∈Z
解析 由正切函数的定义域，得 2x＋π6≠kπ＋π2，k∈Z， 即 x≠k2π＋π6(k∈Z)，
(3)函数
y＝12sin
x＋
3 2 cos
xx∈0，2π的单调递增区间是
0，π6
.
解析
∵y＝12sin
x＋
3 2 cos
x＝sinx＋π3，
由 2kπ－π2≤x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，
解得 2kπ－56π≤x≤2kπ＋π6(k∈Z).
∴函数的单调递增区间为2kπ－56π，2kπ＋π6(k∈Z)，
解析 函数 y＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，
则ωω2ππ＋＋4π4π≤≥2－kππ，＋2kπ，
k∈Z， 解得 4k－52≤ω≤2k－14，k∈Z，
又由 4k－52－2k－14≤0，k∈Z 且 2k－14>0，k∈Z，
师生共研
题型三 三角函数的周期性与对称性
例2 (1)若函数f(x)＝2tan kx＋π3 的最小正周期T满足1<T<2，则自然数k的 值为 2或3 .
第四章《三角函数》两角和差和倍角公式
一、学习目标：（1）掌握两角和与差，二倍角的正弦、余弦和正切公式；（2）能正确运用公式，以角、名、次、形为切入点进行简单的三角函数式的化简、求值和证明. 二、知识回顾：1、两角和差的三角函数＝_____________________________()cos αβ±＝___________________________()tan αβ±＝_____________________________注：（1）sin cos αα±=_________________________1tan 1tan αα±=m _________________________tan tan αβ±=________________________________（2）辅助角公式：sin cos a x b x +＝___________（其中sin ________cos ________ϕϕ==） 2、二倍角的三角函数sin 2α＝__________________ cos2α＝____________＝_______________＝_______________tan 2α＝_____________________________,()242k k k Z ππαπαπ⎛⎫≠+≠+∈ ⎪⎝⎭注：降幂公式：2sin α＝__________________ 2cos α＝____________________三、例题精析： 例1、（1）已知)23,(,135cos ),,2(,54sin ππββππαα∈-=∈=，则cos()αβ+=________；cos()αβ-=____________．（2）已知53sin ),,2(=∈αππα，则)4tan(πα+等于． （3）若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为．例2、（1）︒︒+︒︒167cos 43sin 77cos 43cos 的值为．（2）若m =---αβααβαsin )cos(cos )sin(，且β为第三象限角，则βcos 的值为．（3）=︒+︒15cos 15sin ．（4）1tan151tan15+︒-︒=．（5）tan10tan 503tan 50︒+︒+︒︒=．例3、1、（1）=︒+︒+︒+︒+)28tan 1)(27tan 1)(18tan 1)(17tan 1(________．（2）已知11tan(),tan 27αββ-==-，且,(0,)αβπ∈，求2αβ-的值.（3）已知tan()2tan αββ+=，求证：3sin sin(2)ααβ=+.2、（1）求值：sin 40(tan103)︒︒.（2(1sin cos )(sincos )22)22cos θθθθθπθ++-<<+.（4）化简：22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-3、（1）若23177sin 22cos cos ,451241tan x x x x x πππ+⎛⎫+=<< ⎪-⎝⎭，求的值.（2）若1tan 31tan αα+=+-1sin 2cos 2αα-的值.（3）如果21)sin(=β+α，31)sin(=β-α，求tan tan αβ的值.（4）已知sin sin cos cos a b αβαβ+=+=，(0)ab ≠，求2-tan 2αβ.4、是否存在锐角βα,，使得 ①322πβα=+；②32tan 2tan -=βα同时成立？若存在，求出βα, 的值；若不存在，请说明理由. 四、反馈训练： 1、设)2,0(πα∈，若53sin =α，则)4cos(2πα+等于． 2、求值：（1）sin15cos15︒︒=__________； （2）22cos112π-=__________；（3）2tan 22.51tan 22.5︒=-︒_________； （4=________；（5）cos36cos72︒︒= ____ ． 3、如果21)4tan(,43)tan(=-=+πββα，那么)4tan(πα+的值等于．4、已知x x 2sin ,31)4sin(则=-π的值为．5、如果θ+=θcos 1sin 2，则2tan θ=．6、求值：（1）()sin 501︒+︒ （2）sin 7sin8cos15cos7sin8sin15︒+︒︒︒-︒︒7、化简42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+8、证明：x x x x x tan )2tan tan 1(cos 22sin =+五、课堂小结： 附【高考要求】A 基础训练 1、若α是第四象限角，则πα-是第____象限角，学习好资料 欢迎下载2πα-是第____象限角.2、（1）11tan tan ,73,,αβαβ==若为锐角，2αβ+=则．（2）已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx ,()54cos -=-x π，则=x 2tan ．（3）若54cos -=α，23παπ<<，则=2cos α．（4）△ABC 中，若，，135cos 54cos ==B A 则cosC 的值是__． 3、（1）︒︒+︒︒158sin 203sin 22cos 113sin 的值为．（2）12cos312sinππ-=y 的值是．（3）若2tan 1tan 1=+-A A，则)45tan(A -︒等于．（4）33tan1533tan15+︒-︒＝________.4、化简：（1）125sin 12sin ππ=．（2）212sin 75-︒=．（3）θsin 1+=___；（4）αcos 1+=_________.5、（1）若，且24xx <<π，则x x sin cos -=．（2）已知2sin cos 5θθ⋅=，2cos cos θθ=-，则sin cos θθ+的值是． （3）已知135)4sin(=-x π，40π<<x ，求)4cos(2cos x x +π．6、（1）已知βαβαα,,53)cos(,54sin -=+=都是第一象限的角，则βsin =__________（2）若21tan(),tan()544παββ+=-=,则tan()4πα+=____.（3）已知),2(,61)4sin()4sin(ππααπαπ∈=-+，求α4sin ．（4）已知,53)sin(,1312)cos(-=+=-βαβα且432παβπ<<<，求α2sin 的值.（5）2)tan(-=β+α，21)tan(=β-α，求βα2sin 2sin 之值.7、（1）8cos 16cos 32cos 32sin2ππππ=. （2）︒︒-︒+︒70tan 50tan 350tan 70tan 的值为.（3）tan10tan 203(tan10tan 20)︒⋅︒+︒+︒＝. （4）在△ABC 中，若角60B =︒，则2tan 2tan 32tan 2tanCA C A ++=. （5）若34παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ--的值是.8、求值（1）cos cos(120)cos(120)A A A +︒-+︒+（2）sin15cos15sin15cos15︒-︒︒+︒（3）31cos50cos 40+︒︒（4）︒-︒︒-︒+︒20cos 180cos 20cos )10tan 31(50sin（5）.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒（6）已知：tan ,514=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a π求a a a 2cos 1sin 2sin 2--的值.学习好资料 欢迎下载9、求证：sin(2)sin 2cos()sin sin αββαβαα+-+=10、如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐 角βα,，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B的横坐标分别为552,102． （1）求)tan(βα+的值； （2）求βα2+的值．B 能力提高11、（1）设)14cos 45sin 14sin 45(cos 20000+⋅=a ，()000016cos 45cos 16sin 45sin 2+⋅=b ，26=c ，则a 、b 、c 的大小关系为.（2）如果532cos =x ，那么sin 4x ＋cos 4x =. 12、（1）若sin cos 1αβ=-，则sin()αβ+＝_____________.（2）sin cos 1,sin cos ()nnx x x x n +=+∈Z 若那么的值_______.13、（1）在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是____________三角形.（2）关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-CB A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是______三角形.14、（1）已知βαtan ,tan 为方程0522=-+x x 的两根，=++)cos()sin(βαβα.（2）若tan ,tan()4πθθ-是方程20x px q -+=的两个根，则,p q 的关系是__________.（3）若βαtan ,tan 是方程22360x x +-=的两个实根，则)cos()cos()sin(βαβαβα+--+的值为______.（4）设tan α，tan β是一元二次方程： x 2＋33x ＋4=0的两个实数根，并且－2π＜α＜2π，－2π＜β＜2π求β+α的值.（5）已知),,0(,πβα∈且βαtan ,tan 是方程0652=+-x x 的两根.（1）求βα+的值；（2）求)cos(βα-的值.15、（1）8cos(2)5cos 0αββ++=条件“”是13tan()tan 3αβα+⋅=“”的________________条件. （2）已知8cos(2)5cos 0αββ++=，且cos()cos 0αβα+≠，则tan()tan αβα+＝____________.（3）已知()()44cos cos 55αβαβ+=-=-，，3222ππαβπαβπ<+<<-<且，，分别求βα2cos 2cos 和的值.16、（1）已知091sin sin sin =︒++βα，091cos cos cos =︒++βα，则）（βα-cos 等于________. （2）已知α、β是锐角且223sin 2sin 1,αβ+=3sin 22sin 2αβ=，求证：22π=β+α.。
浙教版七年级下册数学第四章 三角函数含答案
浙教版七年级下册数学第四章三角函数
含答案
本文档为浙教版七年级下册数学教材中第四章的内容，涉及三
角函数的知识点和相关答案。
知识点介绍
本章主要介绍以下几个三角函数的概念和性质：
1. 正弦函数（sin）：定义为直角三角形中斜边与对边的比值；
2. 余弦函数（cos）：定义为直角三角形中斜边与邻边的比值；
3. 正切函数（tan）：定义为直角三角形中对边与邻边的比值；
4. 值域和定义域：三角函数在定义域内的取值范围；
5. 周期性：三角函数的图像在一定范围内具有循环重复的特点。
答案示例
以下是一些题的答案示例，供参考：
1. 问题：已知一个角的正弦值为0.5，求该角的余弦值。
解答：正弦函数和余弦函数是互补的，所以该角的余弦值为0.5的互补数，即0.5。
2. 问题：求角A的正切值，已知角A的对边长为6，邻边长为8。
解答：正切函数定义为对边与邻边的比值，所以角A的正切值为6/8=0.75。
请根据实际题目进行相应的计算和解答。
以上为浙教版七年级下册数学第四章三角函数的内容概述和一些答案示例，希望能对你的学习有所帮助。
2024年高考数学总复习第四章《三角函数解三角形》任意角弧度制及任意角的三角函数
2024年高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝π180rad ，1rad(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．三个三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin αR＋＋－－cos αR＋－－＋tan α{α|α≠k π＋π2，k ∈Z }＋－＋－4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .三角函数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线概念方法微思考1．总结一下三角函数值在各象限的符号规律．提示一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．三角函数坐标法定义中，若取点P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？提示设点P 到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx(x ≠0)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(×)(2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．(√)(3)不相等的角终边一定不相同．(×)(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(√)题组二教材改编2．角－225°＝弧度，这个角在第象限．答案－5π4二3．若角α的终边经过点－22，sin α＝，cos α＝.答案22－224．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为弧度．答案π3题组三易错自纠5|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z(阴影部分)是()答案C解析当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.6．已知点Pθ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.5π6B.2π3C.11π6D.5π3答案C解析因为点P所以根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，又θθ＝11π6.7．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是．答案2π3解析与角－4π3终边相同的角是2k πk ∈Z )，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3.8．(2018·济宁模拟)函数y ＝2cos x －1的定义域为．答案2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )解析∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．题型一角及其表示1．下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案C解析与角9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．2．设集合M |x ＝k2·180°＋45°，k ∈ZN |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z()A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅答案B解析由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.3．(2018·宁夏质检)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为．答案－53π，－23π，π3，43π解析如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为－53，－23π，π3，43π4．若角α是第二象限角，则α2是第象限角．答案一或三解析∵α是第二象限角，∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．综上，α2是第一或第三象限角．思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k (k ∈Z )赋值来求得所需的角．(2)确定kα，αkk ∈N *)的终边位置的方法先写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk的终边所在位置．题型二弧度制及其应用例1已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10cm ，求扇形的面积．解由已知得α＝π3，R ＝10cm ，∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2)．引申探究1．若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．解l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)，S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3＝12·10π3·10－12·102·32＝50π－7533(cm 2)．2．若例题条件改为：“若扇形周长为20cm ”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R (0<R <10)．所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5cm 时，S 取得最大值25cm 2，此时l ＝10cm ，α＝2rad.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．跟踪训练1(1)(2018·湖北七校联考)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A.π6B.π3C ．3D.3答案D解析如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ，∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r ＝3rr＝ 3.(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为．答案518解析设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，由扇形面积等于圆面积的527，可得12α2r 3πr 2＝527，解得α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r 32πr ＝518.题型三三角函数的概念命题点1三角函数定义的应用例2(1)(2018·青岛模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为－12，sin α·tan α等于()A ．－33B ．±33C ．－32D ．±32答案C解析由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时，sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时，sin α·tan α＝－32.所以sin α·tan α＝－32.(2)设θ是第三象限角，且|cosθ2|＝－cos θ2，则θ2是()A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案B解析由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，∵|cos θ2|＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上可知，θ2为第二象限角．命题点2三角函数线例3(1)满足cos α≤－12的角的集合是．答案|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 解析作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z(2)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关系是．答案sin α<cos α<tan α解析如图，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可知sin α<cos α<tan α.思维升华(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．跟踪训练2(1)(2018·济南模拟)已知角α的终边经过点(m ，－2m )，其中m ≠0，则sin α＋cosα等于()A ．－55B ．±55C ．－35D ．±35答案B解析∵角α的终边经过点(m ，－2m )，其中m ≠0，∴m >0时，sin α＝－2m 5m ＝－25cos α＝m 5m ＝15，∴sin α＋cos α＝－55；m <0时，sin α＝－2m －5m ＝25，cos α＝m －5m ＝－15，∴sin α＋cos α＝55；∴sin α＋cos α＝±55，故选B.(2)在(0,2π)内，使得sin x >cos x 成立的x 的取值范围是()答案C解析当x ∈π2，sin x >0，cos x ≤0，显然sin x >cos x 成立；当x ，π4时，如图，OA 为x 的终边，此时sin x ＝|MA |，cos x ＝|OM |，sin x ≤cos x ；当xOB 为x 的终边，此时sin x ＝|NB |，cos x ＝|ON |，sin x >cos x ．同理当x ∈πsin x >cosx ；当x ∈5π4，sin x ≤cos x ，故选C.1．下列说法中正确的是()A ．第一象限角一定不是负角B ．不相等的角，它们的终边必不相同C ．钝角一定是第二象限角D ．终边与始边均相同的两个角一定相等答案C解析因为－330°＝－360°＋30°，所以－330°角是第一象限角，且是负角，所以A 错误；同理－330°角和30°角不相等，但它们终边相同，所以B 错误；因为钝角的取值范围为(90°，180°)，所以C 正确；0°角和360°角的终边与始边均相同，但它们不相等，所以D 错误．2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是()A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4答案C解析设扇形的半径为r ，弧长为l ，＋l ＝6，＝2，＝1，4＝2，2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.3．(2018·石家庄调研)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于()A ．－3B ．3C.163D ．±3答案B 解析sin θ＝m16＋m 2＝35，且m >0，解得m ＝3.4．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为()－12，－32，－－12，－－32，答案A解析点P 旋转的弧度数也为2π3，由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.5．若sin θ·cos θ>0，sin θ＋cos θ<0，则θ在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案C解析∵sin θ·cos θ>0，∴sin θ>0，cos θ>0或sin θ<0，cos θ<0.当sin θ>0，cos θ>0时，θ为第一象限角，当sin θ<0，cos θ<0时，θ为第三象限角．∵sin θ＋cos θ<0，∴θ为第三象限角．故选C.6．sin 2·cos 3·tan 4的值()A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在答案A解析∵sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2·cos 3·tan 4<0.7．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为()A ．－12B ．－32C.12D.32答案C解析由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，解得m ＝±12，又cos α＝－45<0，所以－8m <0，即m >0，所以m ＝12.8．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案A解析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sinπ6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．9．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是．答案2解析设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝.答案2解析由已知tan α＝3，∴n ＝3m ，又m 2＋n 2＝10，∴m 2＝1.又sin α<0，∴m ＝－1，n ＝－3.故m －n ＝2.11．已知角α的终边上一点P 2π3，cos α的最小正值为．答案11π6解析由题意知，点r ＝1，所以点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6.12．函数y ＝sin x －32的定义域为．答案2k π＋π3，2k π＋23π，k ∈Z 解析利用三角函数线(如图)，由sin x ≥32，可知2k π＋π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z .13．已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为．答案α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z 解析∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π∴α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z14．若角α的终边落在直线y ＝3x 上，角β的终边与单位圆交于点12，m，且sin α·cos β<0，则cos α·sin β＝.答案±34解析由角β12，m cos β＝12sin α·cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y ＝3x 上，所以角α只能是第三象限角．记P 为角α的终边与单位圆的交点，设P (x ，y )(x <0，y <0)，则|OP |＝1(O 为坐标原点)，即x 2＋y 2＝1，又由y ＝3x 得x ＝－12，y ＝－32，所以cos α＝x ＝－12，因为点12，m 12＋m 2＝1，解得m ＝±32，所以sin β＝±32，所以cos α·sin β＝±34.15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积＝12×(弦×矢＋矢2)．弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径为3米的弧田，如图2所示．按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是平方米．(结果保留整数，3≈1.73)答案5解析如题图2，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝3，所以在Rt △AOD 中，∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×3＝32，可得CD ＝3－32＝32，由AD ＝AO ·sin π3＝3×32＝332，可得AB ＝2AD ＝2×332＝3 3.所以弧田面积S ＝12(弦×矢＋矢2)＝12×33×32＋＝943＋98≈5(平方米)．16．如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1,0)，∠BOA ＝60°.质点A 以1rad /s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．(1)求经过1s 后，∠BOA 的弧度；(2)求质点A ，B 在单位圆上第一次相遇所用的时间．解(1)经过1s 后，质点A 运动1rad ，质点B 运动2rad ，此时∠BOA 的弧度为π3＋3.(2)设经过t s 后质点A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t (1＋2)＋π3＝2π，解得t ＝5π9，即经过5π9s后质点A ，B 在单位圆上第一次相遇．。
第4章第四章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件 高考数学一轮复习
cos2α＝1－sin2α. 4. 同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对
于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组， 通过解方程组达到解决问题的目的．
第四章 三角函数、解三角形
第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
内容索引
学习目标 核心体系 活动方案 备用题
内容索引
学习目标 1. 能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、 余弦、正切的诱导公式.2. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋ cos2α＝1，csoinsαα＝tanα.3. 能利用同角三角函数的基本关系式及三角函 数的诱导公式进行求值、化简、证明．
内容索引
诱导公式第一类π2的偶数倍：－α、π±α 第二类π2的奇数倍：π2±α、32π±α 平方关系：sin2α＋cos2α＝1
同角关系商数关系：csoinsαα＝tanα
内容索引
内容索引
活动一 基础训练
1. (2023贵溪实验中学高三校考)设sin23°＝m，则tan67°等于( )
A. －
【解析】 因为 θ∈0，π2，所以 sinθ>0，cosθ>0.因为 tanθ＝csoinsθθ＝12， 所以 cosθ＝2sinθ，所以 cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得 sinθ
＝
55或
sinθ＝－
55(舍去)，所以
sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－
【答案】 D
高考数学一轮总复习第四章三角函数1三角函数的基本概念课件理
(5)－300°角与 60°角的终边相同． (6)若 A＝{α|α＝2kπ ，k∈Z}，B＝{α|α＝4kπ ，k∈Z}，则 A＝B.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×
2．(课本习题改编)与 2 019°终边相同的角是( A．39° C．－39°
答案 D
)
B．141° D．－141°
答案 D
)
B．9π 10 D. 9 π
5．(2018· 衡水中学月考)已知角 α 的终边过点(－1， 3)，则 tanα ＝________．
答案 － 3
6．(2017· 北京，文)在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 1 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称．若 sinα ＝3，则 sin β ＝________．
课前自助餐
角的概念 (1)象限角： 角 α 的终边落在第几象限就称 α 为第几象限的角， 终边落在坐标轴上的角不属于任何象限． (2)终边相同的角：两角的终边重合． (3)与 α 终边相同的角的集合为{β|β＝k· 360°＋α，k∈Z}．
(4)各象限角的集合为Ⅰ象限：{α|k·360°<α <k·360°＋90 °，k∈Z}，Ⅱ象限：{α|k·360°＋90°<α <k·360°＋180°，k ∈Z}， Ⅲ象限： {α|k·360°＋180°<α <k· 360°＋270°， k∈Z}， Ⅳ象限：{α|k·360°－90°<α <k·360°，k∈Z}．
【解析】 本题主要考查角度与弧度的互化及终边相同角的 表示方法． 35π π 350 (1)α1＝－350°＝－180π＝－ 18 ＝－2π＋18， 860 43 7 α2＝860°＝180π＝ 9 π＝4π＋9π. ∴α1 在第一象限，α2 在第二象限． 3 3 (2)∵5π＝5×180°＝108°，设 θ＝k· 360°＋β1(k∈Z)， 由－720°≤θ＜0°，∴－720°≤k·360°＋108°＜0°.
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图4—5
4．1 角的概念的推广
例题解析
30°=30°+0×360°
象限角与终边相同的角 节菜单
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 角的概念的推广 任意角的三角函数 三角函数的诱导公式 三角函数的图像与性质 正弦型函数的基本知识
390°=30°+1×360°
750°=30°+2×360° -330°=30°+(-1)×360°
第三象限
第四象限
－
＋
－
－
－
－
－
＋
＋
－
记忆口诀：一正二正弦，三切四余弦. 含义：第一象限全为正，第二象限除正弦为正外，其余均为负， 以此类推.
4．2 任意角的三角函数 同角三角函数的基本关系
sin cos 1
2 2
同角三角函数 的基本关系
4.1 4.2 4.3
节菜单
角的概念的推广 任意角的三角函数 三角函数的诱导公式 三角函数的图像与性质 正弦型函数的基本知识
小结： 共同点是所有角的终边相同, 可以用β=30°+k· 360°，k∈z
表示.
4．1 角的概念的推广
终边相同的角的表示: β=α+k· 360°，k∈z
象限角与终边相同的角 节菜单
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 角的概念的推广 任意角的三角函数 三角函数的诱导公式 三角函数的图像与性质 正弦型函数的基本知识
一般地，与α角终边相同的角（含α在内的一般表达式为
用集合表示为 {β|β=α+k· 360°，k∈z }
思考：第一象限的角的集合如何表示？
{α| k· 360°＜α＜90°+k· 360°，k∈z }
4．1 角的概念的推广
例题解析
弧度制
4.1 4.2
节菜单
角的概念的推广 任意角的三角函数
角度与弧度的换算 4.3 三角函数的诱导公式 360°=2πrad. 180°=πrad.
4．1 角的概念的推广
例题解析
并寻找它们的共同点.
解:
象限角与终边相同的角 节菜单
4.1 4.2 4.3 角的概念的推广 任意角的三角函数 三角函数的诱导公式
例3 在同一直角坐标系中, 画出30°、390°、750°、-330°角，
4.4 三角函数的图像与性质 点击图例，查看动画演示 4.5 正弦型函数的基本知识
OP=r,则r= x 2 y 2（r＞0）
三角函数的诱导公式 三角函数的图像与性质 正弦型函数的基本知识
图4—11
4．2 任意角的三角函数
任意角三角函数
4.1 4.2
节菜单
角的概念的推广 任意角的三角函数 三角函数的诱导公式 三角函数的图像与性质 正弦型函数的基本知识
y 称为角α 的正弦 r cosα= x 称为角α的余弦 r
正弦函数y=sinx的图像与性质
正弦函数y=sinx的图像
4.2 4.3
先用描点法画出y=sinx在区间[0，2π] 上的图像 . 4.4 三角函数的图像与性质
4.5
x 0
正弦型函数的基本知识
π 6
0.5
π 3
0.87
π 2
1
2 π 3
0.87
5 π π 6
0.5 0
7 π 6
-0.5
4 π 3
-0.87
4．1 角的概念的推广
例题解析
300°角，并判定属于第几象限.
解:
象限角与终边相同的角 节菜单
4.1 4.2 4.3 角的概念的推广 任意角的三角函数 三角函数的诱导公式
例1 在平面直角坐标系中作出45°角、-240°角、585°角和
4.4 三角函数的图像与性质 点击图例，查看动画演示 4.5 正弦型函数的基本知识
a b
在直角坐标中，如图所示。
4．2 任意角的三角函数
实例考察
4.1 4.2
节菜单
角的概念的推广 任意角的三角函数
在锐角α的终边上任取一点P（原点除外），过点P作x轴的垂
4.3 三角函数的诱导公式 线，垂足为M，这样就得到了直角三角形 OPM ，设点P的坐标为 4.4 三角函数的图像与性质 （x,y）则角α的对边MP的长是y，邻边OM 的长是 x，斜边OP的长
sin π tan （ kπ，k Z） 4.4 cos 2
证明：因为x 2 y 2 r 2 , 所以
4.5
2 2 2 y x x y r 2 sin 2 cos2 （ ） ( )2 2 1 2 r r r r π 当 kπ（k Z）时，由三角函数的定 义可得 2 y sin y r y r tan cos x r x x r
图4—3
4．1 角的概念的推广
例题解析
象限角与终边相同的角 节菜单
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 角的概念的推广 任意角的三角函数 三角函数的诱导公式 三角函数的图像与性质 正弦型函数的基本知识
例2 在0°~360°范围内, 表示各象限角的范围.
解:
说明0°~360°范围是指0°≤α＜360°
三角函数的图像与性质 正弦型函数的基本知识
图4—16
4．3 三角函数的简化公式
有关-α 的诱导公式 节菜单
4.1 4.2 角的概念的推广 任意角的三角函数
所以
sin
y y sin 4.3 三角函数的诱导公式 1 1 x 4.4 三角函数的图像与性质 cos cos 1 4.5 正弦型函数的基本知识 y y tan tan x x
4．3 三角函数的简化公式
有关π ±α 的诱导公式 节菜单
4.1 角的概念的推广 任意角的三角函数 三角函数的诱导公式
π±α的三角函数的简化公式
sin(π+α) =-sinα cos(π+α) =-cosα
4.2 4.3
(公式四） 4.4 三角函数的图像与性质
4.5 正弦型函数的基本知识
tan(π+α) =tanα
图4—17 证明.将任意角α的终边按逆时针旋转π弧度，就得到π±α的终
边，显然角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，在角α终边上
取一点P，使OP=1，设点P的坐标为（x，y），则P′（-x，-y）必 在角π＋α的终边上，且OP′=1，所以
4．3 三角函数的简化公式
y y sin π sin 1 1 x x cos π cos 1 1
sin(π-α) =sinα
cos(π-α) =-cosα
tan(π-α) =-tanα
(公式五）
4．3 三角函数的简化公式
有关π ±α 的诱导公式 节菜单 4.1 角的概念的推广 任意角的三角函数 三角函数的诱导公式 三角函数的图像与性质 正弦型函数的基本知识
证明公式四
4.2 4.3 4.4 4.5
4．3 三角函数的简化公式
有关-α 的诱导公式 节菜单
4.1 4.2 角的概念的推广 任意角的三角函数
证明：由图4—16可知角-α与角α的终边关于x轴对称，在角α的
4.3x， 三角函数的诱导公式 终边上取一点P，使OP=1，设P的坐标为（ y），则P′（x，-y）
必在角-α的终边上，且OP′=1
4.4 4.5
sinα=
4.3 4.4 4.5
Байду номын сангаасtanα= y 称为角α的正切 x
4．2 任意角的三角函数
特殊角的三角函数的值.
角度制 α 弧度制 0° 0 30° 45°
任意角三角函数
4.1 4.2
节菜单
角的概念的推广 任意角的三角函数
4.3 三角函数的诱导公式 60° 90° 180° 270°
π 3 4.4 π 3 π π 2 2 三角函数的图像与性质
有关π ±α 的诱导公式 节菜单 4.1 4.2 4.3 角的概念的推广 任意角的三角函数
三角函数的诱导公式 2 （3）tan 3 4.4 三角函数的图像与性质 4.5 正弦型函数的基本知识
4．4 三角函数的图像与性质
4.1
正弦函数
节菜单
角的概念的推广 任意角的三角函数 三角函数的诱导公式
有关π ±α 的诱导公式 节菜单 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 角的概念的推广 任意角的三角函数 三角函数的诱导公式 三角函数的图像与性质 正弦型函数的基本知识
tan π
y y tan x x
（公式五由学生推导）
4．3 三角函数的简化公式
例题解析
例1 求下列各三角函数的值： 7 (1)sin （2）cos135° 6 小结：求任意角的三角函数的步骤
4．3 三角函数的简化公式
有关α + 2kπ （k∈z） 节菜单 的诱导公式
4.1 4.2 角的概念的推广 任意角的三角函数 三角函数的诱导公式 三角函数的图像与性质 正弦型函数的基本知识
sin(2kπ+α)=sinα,k∈Z
4.3 4.4 4.5
cos(2kπ+α)=cosα,k∈Z
tan(2kπ+α)=tanα,k∈Z
1 0 -1 正弦型函数的基本知识
π 6
π 4
sinα
0
1 2
2 2 2 2
3 4.5 2
cosα
1
3 2 3 3
1 2
0
-1
0
tanα
0
1
3
不存在
0
不存在
4．2 任意角的三角函数
三角函数值的符号 节菜单
4.1 4.2 角的概念的推广 任意角的三角函数