圆的有关证明(提高)
42中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解(提高) 数学一遍过无死角
中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（提高）【考纲要求】1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径.）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n 边形每个外角的度数是360n；所以正n 边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R 的弧长.圆心角为，半径为R ，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.弓形的面积（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓形=S扇形-S△OAB；（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB.·OA B·A BOm·A BOm要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1．如图，矩形ABCD中，AB=4，以点B为圆心，BA为半径画弧交BC于点E，以点O为圆心的⊙O 与弧AE，边AD，DC都相切．把扇形BAE作一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是⊙O，则AD的长为（）A.4B.92C.112D.5【思路点拨】首先求得弧AE的长，然后利用弧AE的长正好等于圆的底面周长，求得⊙O的半径，则BE 的长加上半径即为AD的长．【答案】D；【解析】解：∵AB=4，∠B=90°，∴»9042180AEππ⨯==，∵圆锥的底面圆恰好是⊙O，∴⊙O的周长为2π，∴⊙O的半径为1，∴AD=BC=BE+EC=4+1=5.故选D．【总结升华】本题考查了圆锥的计算及相切两圆的性质，解题的关键是熟记弧长的计算公式. 举一反三：【变式1】如图，两个相同的正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．求重叠部分面积与阴影部分面积之比.【答案】解：连结OA、OB、OC，设OA′交AB于K，OE′交CD于H，∵∠AOK=∠AOC-∠KOC=120°-∠KOC，∠COH=120°-∠KOC，∴∠AOK=∠COH，又∠OAK=∠OCH=60°，OA=OC，∴△AOK≌△COH，由△AOK≌△COH，得S五边形OKBCH=S四边形ABCO=2S△OBC，∴S阴影=S正六边形ABCDEF-S五边形OKBCH′=6S△OBC-2S△OBC=4S△OBC.S五边形OKBCH：S阴影= 21=42.即重叠部分面积与阴影部分面积之比为：12 .【变式2】已知：正十边形的半径是R，求证：它的边长为101(51) 2a R=-.【答案】证明：作∠OAB的平分线AM交OB于M，则∠O=∠OAM=36°，∠AMB=∠B=72°，∴OM=MA=AB，则△ABM∽△OAB得：OA AB=AB BM用R，a10分别表示OA，AB，BM，代入以上比例式整理得a102+ Ra10-R2=0,解关于a10的一元二次方程得101(51) 2a R=-（负值已舍去）.类型二、正多边形与圆综合运用2．（2014•江西模拟）如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．【思路点拨】（1）利用已知得出正八边形，它的内角都为135°，再利用正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，得出∠2+∠3=180°，进而得出答案；（2）根据题意得出△PAH≌△QCB≌△MDE，则PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形，进而求出PQ的长即可得出答案．【答案与解析】解：（1）连接BF，则有BF∥AG．理由如下：∵ABCDEFGH 是正八边形， ∴它的内角都为135°． 又∵HA=HG ， ∴∠1=22.5°，从而∠2=135°﹣∠1=112.5°．由于正八边形ABCDEFGH 关于直线BF 对称， ∴即∠2+∠3=180°，故BF ∥AG ．（2）根据题设可知∠PHA=∠PAH=45°， ∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°， ∴四边形PQMN 是矩形．又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE ， ∴△PAH ≌△QCB ≌△MDE ， ∴PA=QB=QC=MD ．即PQ=QM ， 故四边形PQMN 是正方形．在Rt △PAH 中，∵∠PAH=45°，AH=2， ∴PA=2 ∴． 故．【总结升华】此题主要考查了正多边形和圆以及全等三角形的判定与性质等知识，得出PQ 的长是解题关键．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是( )A ．449π-B ．849π-C ．489π-D ．889π- 【答案】连接AD ，则AD ⊥BC ，阴影部分面积ABC EAF S S =-△扇．故21802842423609S ππ⨯=⨯⨯-=-阴影． 答案：B3．（2014秋•武穴市校级期末）扇形的圆心角为90°，面积为16π．（1）求扇形的弧长．（2）若将此扇形卷成一个无底圆锥形筒，则这个圆锥形筒的高是多少？【思路点拨】（1）首先根据扇形的面积公式求得扇形的半径，然后根据扇形的面积公式S扇形=lR（其中l为扇形的弧长），求得扇形的弧长．（2）设扇形的半径为R，圆锥的底面圆的半径为r，先根据扇形的面积公式解得母线长，再利用弧长公式得到底面半径r=2，然后利用勾股定理计算这个圆锥形桶的高．【答案与解析】解：（1）设扇形的半径是R，则=16π，解得：R=8，设扇形的弧长是l，则lR=16π，即4R=16π，解得：l=4π．（2）圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr=，解得r=2，所以个圆锥形桶的高==2．故答案为2．【总结升华】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了勾股定理．4．如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6cm的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少？【思路点拨】小猫所经过的路程要最短，应该求圆锥侧面展开后两点B 、P 之间的线段长度. 【答案与解析】解：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，展开后圆心角度数为n °，则底面圆的周长为2πr ，侧面展开图的弧长为180n l π，∴ 2180n ll ππ=． ∵ 轴截面△ABC 为等边三角形，∴ AB ＝BC ，即26l r ==． ∴ r ＝3． ∴ 623180n ππ⨯⨯=． ∴ n ＝180，即其侧面展开图为半圆，如图所示，则△ABP 为直角三角形，BP 为最短路线．在Rt △ABP 中，22226335(m)BP AB AP =+=+=．答：小猫所经过的最短路程为35m ． 【总结升华】将所求问题转化为平面上两点之间线段最短的问题，充分利用圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长沟通空间元素与平面元素之间的关系．5．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，O 为对角线BD 的中点，分别以OB ，OD 为直径作⊙O 1，⊙O 2．(1)求⊙O 1的半径；(2)求图中阴影部分的面积．【思路点拨】连接O 1E ，求出一个小弓形的面积再乘以4即可. 【答案与解析】解：(1)在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝4，∠A ＝90°，∴ 224442BD =+=．∴ ⊙O 1的半径为1142244BD =⨯=即⊙O 1的半径为2．(2)连接O 1E ，∵ BD 为正方形ABCD 的对角线，∴ ∠ABO ＝45°． ∵ O 1E ＝O 1B ，∴ ∠BEO 1＝∠EBO 2＝45°． ∴ ∠BO 1E ＝90°． ∴ 111O BE O BES S S =-=△扇形2290(2)11(2)136022ππ⨯⨯-⨯=-．根据图形的对称性得 S 1＝S 2＝S 3＝S 4， ∴ 1424S S π==-阴影．【总结升华】求阴影部分面积时，一般要将阴影部分面积转化为几个规则图形的面积求差或和. 举一反三：【变式】已知：如图所示，水平地面上有一面积为30πcm 2的扇形AOB ，半径OA ＝6cm ，且OA 与地面垂直．在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止，求O 点移动的距离．【答案】解：观察图形可知O 点移动距离即为扇形滚动距离，而扇形滚动距离为优弧¼AOB 的弧长． ∵ 12S l R =⨯弧扇， ∴ 223010(cm)6S l R ππ⨯===弧． 答：O 点移动的距离为10π cm ．6．如图，已知在⊙O 中，3AB =AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于F ，∠A ＝30°．(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请你出这个圆锥的底面圆的半径．【思路点拨】（1）阴影部分是一个扇形，扇形圆心角∠BOD＝2∠BOC＝2×2×30°＝120°，只需通过解直角三角形求出OB的长，即可利用扇形面积2360n rπ=求出阴影部分面积．（2）扇形弧长是圆锥的底面周长，由条件求出¼BCD的长l，利用2l rπ=可求出半径r的长．【答案与解析】解：(1)过O作OE⊥AB于E，则1232AE AB==．在Rt△AEO中，∠BAC＝30°，cos30AEOA=°．∴234cos303AOA===°．又∵ OA＝OB，∴∠ABO＝30°．∴∠BOC＝60°．∵ AC⊥BD，∴»»BC CD=．∴∠COD＝∠BOC＝60°．∴∠BOD＝120°．∴221201643603603n OASπππ==⨯=g阴影．(2)设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴12024180rππ=⨯．∴43r=．【总结升华】用扇形围成圆锥，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥的底面周长.。
圆与相似综合题的有关定理
圆和相似综合题有关定理1、圆幂定理（在证明比例式、求线段长度时将发挥重要作用。
）2、托勒密定理：圆内接四边形两组对边乘积之和，等于两条对角线的乘积。
已知：四边形ABCD 内接于圆，如图，求证：AB·CD + BC·AD = AC·BD证明：在∠BAD 内作∠BAE=∠CAD ，交BD 于E 。
因∠ABE=∠ACD ，所以△ABE ∽△ACD ，从而AB BE ACCD =得 AB·CD = AC·BE ①； … 易证△ADE ∽△ACB ，从而BC AC DE AD = 得BC·AD = AC·DE ②； ①+② 得AB·CD + BC·AD = AC （BE+DE ）= AC·BD定理 图形已知 结论 证法 相交*弦定理⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于点P 。
PA·PB ＝PC·PD 连结AC 、BD ， 证：△APC ∽△DPB 切 、割线定理 ⊙O 中，PT 切⊙O 于点T ，割线PB 交⊙O 于点A 。
PT 2＝PA·PB连结TA 、TB ， 证：△PTB ∽△PAT }割线定理PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C 两点。
PA·PB ＝PC·PD ~ 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理 C E3、弦切角定理：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角称为弦切角。
弦切角等于弦与切线所夹弧所对的圆周角。
}弦切角定理的证明：已知：AP切⊙O于P，PQ是弦，则∠APQ是弦切角，∠APQ夹的弧是弧PQ，弧PQ所对的圆周角记为∠PCQ证明：∠APQ=∠PCQ （弦切角的位置分以下三种情况）】1°圆心O在∠APQ外部过P作直径BP，联结BC则BP⊥AP，∠APB=90°，且∠BCP是直径BP所对的圆周角，∠BCP=90°#则有∠APB=∠BCP，即∠APQ+∠BPQ=∠BCQ+∠PCQ由于∠BPQ，∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角，所以∠BPQ=∠BCQ所以∠APQ=∠PCQ2°圆心O在∠APQ的一边，PQ上此时PQ是直径，则PQ⊥AP，∠APQ=90°而且∠PCQ是直径PQ所对的圆周角，∠PCQ=90°所以∠APQ=∠PCQ3°圆心O在∠APQ内部过P作直径BP，联结BC则BP⊥AP，∠APB=90°，且∠BCP是直径BP所对的圆周角，∠BCP=90°则有∠APB=∠BCP由于∠BPQ，∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角，所以∠BPQ=∠BCQ所以∠APB+∠BPQ=∠BCP+∠BCQ即∠APQ=∠PCQ。
第40讲 与圆有关的计算与证明题 课件(共74张ppt) 2024年中考数学总复习专题突破.ppt
复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求 的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨 由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1
2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
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第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以 为直径的
⊙ 与 △ 的边 相切于点 ，且与 边
交于点 ，点 为 的中点，连接 ， ，
.
（1）求证： 是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2， 为 ⊙ 的直径，过圆上一
点 作 ⊙ 的切线 交 的延长线于点 ，过点
作 // 交 于点 ，连接 ．
（1）直线 与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
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第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线 与 ⊙ 相切.
， 的点，连接 ， ，点 在 的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点 在 的延长线上，
圆的高考知识点总结
圆的高考知识点总结一、圆的性质1. 圆的定义：平面上到定点距离等于定长的点的轨迹叫做圆。
2. 圆的标准方程：圆的标准方程为（x-a）^2 + (y-b)^2 = r^2，其中（a，b）是圆心坐标，r为半径。
3. 圆的性质：圆的性质包括圆心、半径、直径、弧、圆周长和面积。
4. 圆的弧长：弧长公式为S=rθ，其中S为弧长，r为半径，θ为圆心角的弧度数。
5. 圆的面积：圆的面积公式为A=πr^2，其中A为面积，r为半径，π≈3.14。
二、圆的相关概念1. 圆的切线：与圆相切的直线叫做圆的切线，切线与半径的夹角为90度。
2. 圆的切点：切线与圆的交点叫做圆的切点。
3. 关于圆的几何变换：包括平移、旋转、对称等几何变换。
4. 圆锥曲线的定义：平面上一个点到两定点的距离之比等于一个定值的轨迹称为圆锥曲线。
三、圆的相关性质1. 直径定理：直径等于周长的一半，即d=2r。
2. 平行切线定理：平行切线所切的弦长相等。
3. 关于弧和角的关系：圆心角、弧、半径、正切线之间有一定的关系。
4. 圆的几何关系：包括圆与圆的位置关系，圆与直线的位置关系等。
四、相关题型解析1. 圆的证明题：包括通过已知条件证明圆的性质等。
2. 圆的计算题：包括计算圆的周长、面积、半径、直径等。
3. 圆的几何问题：包括求解关于圆的几何问题，包括切线问题、相切问题等。
4. 圆的几何变换：包括求解通过平移、旋转、对称等几何变换后的圆的性质等。
五、应试技巧1. 熟练掌握圆的相关定理和性质，灵活运用解题。
2. 多做圆的计算题和几何问题，提高解题能力。
3. 善于分析题目，归纳规律，合理运用几何知识解决问题。
4. 必要时候灵活使用代数方法解题，提高解题效率。
总结：圆是高考数学中重要的几何知识点，掌握圆的相关定理、性质以及解题技巧对于高考数学至关重要。
在备考过程中，要多练习相关题型，理解圆的性质和运用方法，提高解题能力。
同时要善于发现圆与其他几何图形之间的联系，提高综合解题能力。
圆的有关计算与证明(共50题)(解析版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
圆的有关计算与证明(50题)一、单选题1.(2023·新疆·统考中考真题)如图，在⊙O 中，若∠ACB =30°，OA =6，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()A.12πB.6πC.4πD.2π【答案】B【分析】根据圆周角定理求得∠AOB =60°，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．【详解】解：∵AB=AB，∠ACB =30°，∴∠AOB =60°，∴S =60360π×62=6π．故选：B .【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键．2.(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，分别以AB 、BC 、CD 、AD 为直径向外作半圆．若AB =4,BC =5，则阴影部分的面积是()A.414π-20 B.412π-20 C.20πD.20【答案】D【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为AB ,BC 的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解．【详解】解：如图所示，连接AC ，∵矩形ABCD 内接于⊙O ，AB =4,BC =5∴AC 2=AB 2+BC 2∴阴影部分的面积是S 矩形ABCD +π×AB 2 2+π×BC22-πAC22S 矩形ABCD +π×14AB 2+BC 2-AC 2=S 矩形ABCD=4×5=20，故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3.(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC)，点O 是这段弧所在圆的圆心，B 为AC上一点，OB ⊥AC 于D ．若AC =3003m ，BD =150m ，则AC 的长为()A.300πmB.200πmC.150πmD.1003πm【答案】B【分析】根据垂径定理求出AD 长度，再根据勾股定理求出半径长度，最后利用弧长公式即可求出答案.【详解】解：∵OB ⊥AC ，点O 是这段弧所在圆的圆心，∴AD =CD ，，∵OD =OD ，OA =OC ，∴△ADO ≌△CDO ，∴∠AOD =∠COD .∵AC =3003m ，AD =CD ，∴AD =CD =1503m .设OA =OC =OB =x ，则DO =x -150，在Rt △ADO 中，x 2=x -150 2+1503 2，∴x =300m ，∴sin ∠AOD =AD AO=1503300=32.∴∠AOD =60°，∴∠AOC =120°，∴AC =n πR 180=120×π×300180=200πm .故选：B .【点睛】本题考查了圆的垂径定理，弧长公式，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度，从而求出所求弧长所对应的圆心角度数.4.(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm 的三个等圆构成，且三个等圆⊙O 1,⊙O 2,⊙O 3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为()A.14πcm 2 B.13πcm 2 C.12πcm 2 D.πcm 2【答案】C 【分析】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分的面积即可，如图，连接AO 1,AO 2,O 1O 2，阴影AO 1O 2的面积=扇形AO 1O 2的面积，据此即可解答.【详解】解：根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等；如图，连接AO 1,AO 2,O 1O 2，则AO 1=AO 2=O 1O 2，△AO 1O 2是等边三角形，∴∠AO 1O 2=60°，弓形AO 1,AO 2,O 1O 2的面积相等，∴阴影AO 1O 2的面积=扇形AO 1O 2的面积=60π×12360=16πcm 2，∴图中三个阴影部分的面积之和=3×16π=12πcm 2；故选：C .【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、掌握求解的方法是解题关键.5.(2023·四川达州·统考中考真题)如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由多段90°的圆心角的圆心为C ，半径为CB 1；C 1D 1 的圆心为D ，半径为DC 1⋯,DA 1 、A 1B 1 、B 1C 1、C 1D 1⋯的圆心依次为A 、B 、C 、D 循环，则A 2023B 2023�的长是()A.4045π2B.2023πC.2023π4D.2022π【答案】A【分析】曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+12，得到AD n -1=AA n =4×12(n -1)+12，BA n =BB n =4×12(n -1)+1，得出半径，再计算弧长即可．【详解】解：由图可知，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+12，∴AD =AA 1=12，BA 1=BB 1=1，CB 1=CC 1=32，DC 1=DD 1=2，AD 1=AA 2=2+12，BA 2=BB 2=2+1，CB 2=CC 2=2+32，DC 2=DD 2=2+2，⋯⋯，AD n -1=AA n =4×12(n -1)+12，BA n =BB n =4×12(n -1)+1，故A 2023B 2023 的半径为BA 2023=BB 2023=4×12×2023-1 +1=4045，∴A 2023B 2023 的弧长=90180×4045π=40452π．故选：A .【点睛】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：l =n πr180，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．6.(2023·四川广安·统考中考真题)如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB =90°,AC =BC =22，以点A 为圆心，AC 为半径画弧，交AB 于点E ，以点B 为圆心，BC 为半径画弧，交AB 于点F ，则图中阴影部分的面积是()A.π-2B.2π-2C.2π-4D.4π-4【答案】C【分析】先利用扇形的面积公式求出扇形ACE 和扇形BCF 的面积，再减去△ABC 的面积即可得．【详解】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A =∠B =45°，∵AC =BC =22，∴图中阴影部分的面积是S 扇形ACE +S 扇形BCF -S Rt △ABC =45π×22 2360+45π×22 2360-12×22 ×22=2π-4，故选：C ．【点睛】本题考查了扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．7.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，AB 是半圆O 的直径，点C ,D 在半圆上，CD=DB，连接OC ,CA ,OD ，过点B 作EB ⊥AB ，交OD 的延长线于点E ．设△OAC 的面积为S 1,△OBE 的面积为S 2，若S 1S 2=23，则tan ∠ACO 的值为()A.2B.223C.75D.32【答案】A【分析】如图，过C 作CH ⊥AO 于H ，证明∠COD =∠BOE =∠CAO ，由S 1S 2=23，即12OA ∙CH 12OB ∙BE =23，可得CH BE =23，证明tan ∠A =tan ∠BOE ，可得CH BE =AH OB =23，设AH =2m ，则BO =3m =AO =CO ，可得OH =3m -2m =m ，CH =9m 2-m 2=22m ，再利用正切的定义可得答案．【详解】解：如图，过C 作CH ⊥AO 于H ，∵CD=BD，∴∠COD =∠BOE =∠CAO ，∵S 1S 2=23，即12OA ∙CH 12OB ∙BE =23，∴CH BE=23，∵∠A =∠BOE ，∴tan ∠A =tan ∠BOE ，∴CH AH=BE OB ，即CH BE =AH OB =23，设AH =2m ，则BO =3m =AO =CO ，∴OH =3m -2m =m ，∴CH =9m 2-m 2=22m ，∴tan ∠A =CH AH=22m2m =2，∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO ，∴tan ∠ACO =2；故选：A .【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．二、填空题8.(2023·重庆·统考中考真题)如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，E 为BC 的中点，连接AE ，DE ，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE ，DE 交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为．(结果保留π)【答案】4-π【分析】利用矩形的性质求得AB =CD =2,BE =CE =2，进而可得∠BAE =∠AEB =∠DEC =∠CDE =45°，然后根据S 阴影=2S △ABE -S 扇形BEM 解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB =2，BC =4，E 为BC 的中点，∴AB =CD =2,BE =CE =12BC =2，∠ABC =∠DCB =90°，∴∠BAE =∠AEB =∠DEC =∠CDE =45°，∴S 阴影=2S △ABE -S 扇形BEM =2×12×2×2-45π×22360 =2×2-12π=4-π；故答案为：4-π．【点睛】本题考查了矩形的性质和不规则面积的计算，熟练掌握矩形的性质、明确阴影面积为两个全等的等腰直角三角形的面积减去两个圆心角为45°的扇形面积是解题关键．9.(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，⊙O 的半径为2cm ，AB 为⊙O 的弦，点C 为AB上的一点，将AB沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为．(结果保留π与根号)【答案】23π-3cm 2【分析】根据折叠的性质得出△AOC 是等边三角形，则∠AOC =60°，OD =CD =1，根据阴影部分面积=S 扇形AOC -S △AOC 即可求解．【详解】解：如图所示，连接OA ,OC ，设AB ,CO 交于点D∵将AB沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，∴AC =AO ，OC ⊥AB 又OA =OC ∴OA =OC =AC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC =60°，OD =CD =1，∴AD =AO 2-CD 2=3,∴阴影部分面积=S 扇形AOC -S △AOC =60360π×22-12×2×3=23π-3cm 2 故答案为：23π-3cm 2．10.(2023·重庆·统考中考真题)如图，⊙O 是矩形ABCD 的外接圆，若AB =4,AD =3，则图中阴影部分的面积为．(结果保留π)【答案】254π-12【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到BD =5，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．【详解】解：连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD 是⊙O 的直径，∵AB =4,AD =3，∴BD =AB 2+AD 2=5，∴⊙O 的半径为52，∴⊙O 的面积为254π，矩形的面积为3×4=12，∴阴影部分的面积为254π-12；故答案为：254π-12.【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．11.(2023·江苏扬州·统考中考真题)用半径为24cm ，面积为120πcm 2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为cm ．【答案】5【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：S =π⋅r ⋅l ，就可以求出圆锥的底面圆的半径．【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r ，l =24，由扇形的面积：S =π⋅r ⋅l =120π，得：r =5故答案为：5.【点睛】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线．12.(2023·浙江温州·统考中考真题)若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．【答案】4π【分析】根据弧长公式l =n πr180即可求解．【详解】解：扇形的圆心角为40°，半径为18，∴它的弧长为40180×18π=4π，故答案为：4π．【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．13.(2023·浙江宁波·统考中考真题)如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为cm2．(结果保留π)【答案】1500π【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式S=12lr代值求解即可得到答案．【详解】解：∵圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，∴烟囱帽的侧面积S=12lr=12×2π×30×50=1500π(cm2)，故答案为：1500π．【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式S=12lr，熟记扇形面积公式是解决问题的关键．14.(2023·天津·统考中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．(1)线段AB的长为；(2)若点D在圆上，AB与CD相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的(不要求证明)．【答案】(1)29(2)画图见解析；如图，取AC,AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求【分析】(1)在网格中用勾股定理求解即可；(2)取AC,AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点M，连接MB；连接DB与网格线相交于点G，连接GF并延长与网格线相交于点H，连接AH并延长与圆相交于点I，连接CI并延长与MB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求，连接PQ，AD,BK，过点E作ET⊥网格线，过点G作GS ⊥网格线，由图可得Rt △AJF ≌Rt △BLF AAS ，根据全等三角形的性质可得Rt △IMF ≌Rt △HNF ASA 和△AIF ≌△BHF SAS ，根据同弧所对圆周角相等可得AD=BK，进而得到∠1=∠2和∠PCQ =60°，再通过证明△CAP ≌△CBQ ASA 即可得到结论．【详解】(1)解：AB =22+52=29；故答案为：29．(2)解：如图，取AC ,AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点G ；连接DB 与网格线相交于点H ，连接HF 并延长与网格线相交于点I ，连接AI 并延长与圆相交于点K ，连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求；连接PQ ，AD ,BK ，过点E 作ET ⊥网格线，过点G 作GS ⊥网格线，由图可得：∵∠AJF =∠BLF ，∠AFJ =∠BFL ，AJ =BL ，∴Rt △AJF ≌Rt △BLF AAS ，∴FJ =FL ，AF =BF ，∵MJ =NL ，∴FJ -MJ =FL -NL ，即FM =FN ，∵∠IMF =∠HNF ，∠IFM =∠HFN ，∴Rt △IMF ≌Rt △HNF ASA ，∴FI =FH ，∵∠AFI =∠BFH ，AF =BF ，∴△AIF ≌△BHF SAS ，∴∠FAI =∠FBH ，∴AD=BK，∴∠1=∠2，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，即∠1+∠PCB =60°，∴∠2+∠PCB =60°，即∠PCQ =60°，∵ET =GS ，∠ETF =∠GSF ，∠EFT =∠GFS ，∴Rt △ETF ≌Rt △GSF AAS ，∴EF =GF ，∵AF =BF ，∠AFE =∠BFG ，∴△AFE ≌△BFG SAS ，∴∠EAF =∠GBF ，∴∠GBF =∠EAF =∠CBA =60°，∴∠CBQ =180°-∠CBA -∠GBF =60°，∴∠CBQ =∠CAB ，∵CA =CB ，∴△CAP ≌△CBQ ASA ，∴CQ =CP ，∵∠PCQ =60°，∴△PCQ 是等边三角形，此时点Q 即为所求；故答案为：如图，取AC ,AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点G ；连接DB 与网格线相交于点H ，连接HF 并延长与网格线相交于点I ，连接AI 并延长与圆相交于点K ，连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键．15.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，垂足为H ,AH =3．以点A 为圆心，AH 长为半径画弧，与AB ,AC ,AD 分别交于点E ,F ,G ．若用扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 1；用扇形AHG 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 2，则r 1-r 2=．(结果保留根号)【答案】324【分析】由▱ABCD ，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，AH =3，AD =BC =2，DH =22-3 2=1，cos DAH =AH AD=32，AB =CD =3+1，AB ∥CD ，求解∠DAH =30°，CH =3=AH ，证明∠ACH =∠CAH =45°，可得∠BAC =45°，再分别计算圆锥的底面半径即可．【详解】解：∵在▱ABCD 中，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，AH =3，∴AD =BC =2，DH =22-3 2=1，∵cos ∠DAH =AHAD=32，AB =CD =3+1，∴∠DAH =30°，CH =3=AH ，∴∠ACH =∠CAH =45°，∵AB ∥CD ，∴∠BAC =45°，∴45π×3180=2πr 1，30π×3180=2πr 2，解得：r 1=38，r 2=312，∴r 1-r 2=3324-2324=324；故答案为：324【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，扇形的弧长的计算，圆锥的底面半径的计算，熟记圆锥的侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长是解本题的关键．16.(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，小珍同学用半径为8cm ，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是cm 2．【答案】169π【分析】由题意知，底面半径为2cm 的圆锥的底面周长为4πcm ，扇形弧长为100π×8180=409πcm ，则扇形中未组成圆锥底面的弧长l =409π-4π=49πcm ，根据圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积可得圆锥上粘贴部分的面积为12lr =12×49π×8，计算求解即可．【详解】解：由题意知，底面半径为2cm 的圆锥的底面周长为4πcm ，扇形弧长为100π×8180=409πcm ，∴扇形中未组成圆锥底面的弧长l =409π-4π=49πcm ，∵圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积，∴圆锥上粘贴部分的面积为12lr =12×49π×8=169πcm 2，故答案为：169π．【点睛】本题考查了扇形的弧长、面积公式．解题的关键在于熟练掌握S 扇形=12lr ，l 扇形=n πr180，其中n 为扇形的圆心角，r 为扇形的半径．三、解答题17.(2023·四川南充·统考中考真题)如图，AB 与⊙O 相切于点A ，半径OC ∥AB ，BC 与⊙O 相交于点D ，连接AD ．(1)求证：∠OCA =∠ADC ；(2)若AD =2,tan B =13，求OC 的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)连接OA ，根据切线的性质得出∠OAB =90°，再由平行线的性质得出∠AOC =90°，利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质即可证明；(2)过点A 作AH ⊥BC ，过点C 作CF ⊥BA 的延长线于点F ，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质得出AH =DH =2，再由正切函数确定BH =32，AB =25，再由正方形的判定和性质及相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】(1)证明：连接OA ，如图所示：∵AB 与⊙O 相切于点A ，∴∠OAB =90°，∵OC ∥AB ，∴∠AOC =90°，∴∠ADC =45°，∵OC =OA ，∴∠OCA =45°，∴∠OCA =∠ADC ；(2)过点A 作AH ⊥BC ，过点C 作CF ⊥BA 交BA 的延长线于点F ，如图所示：由(1)得∠OCA =∠ADC =45°，∴ΔAHD 为等腰直角三角形，∵AD =2，∴AH =DH =2，∵tan B =13，∴BH =32，AB =AH 2+BH 2=25，由(1)得∠AOC =∠OAF =90°，∵CF ⊥BA ，∴四边形OCFA 为矩形，∵OA =OC ，∴四边形OCFA 为正方形，∴CF =FA =OC =r ，∵∠B =∠B ,∠AHB =∠CFB =90°，∴△ABH ∽△CBF ,∴BH BF =AH CF 即3225+r=2r ，解得：r =5，∴OC =5．【点睛】题目主要考查圆周角定理，解直角三角形及正方形与相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．18.(2023·四川成都·统考中考真题)如图，以△ABC 的边AC 为直径作⊙O ，交BC 边于点D ，过点C 作CE ∥AB 交⊙O 于点E ，连接AD ，DE ，∠B =∠ADE ．(1)求证：AC=BC；(2)若tan B=2，CD=3，求AB和DE的长．【答案】(1)见解析(2)AB=25，DE=25【分析】(1)根据CE∥AB，得到∠ACE=∠BAC，再根据同弧所对的圆周角相等，得到∠ACE=∠ADE=∠B，可证明△ABC是等腰三角形，即可解答；(2)根据直径所对的圆周角为直角，得到tan B=2=ADBD，设BD=x，根据勾股定理列方程，解得x 的值，即可求出AB；解法一：过点E作DC的垂线段，交DC的延长线于点F，证明∠B=∠ECF，求出EF,DF的长，根据勾股定理即可解出DE的长；解法二：连接AE,得到角相等，进而证得△ABC∽△ADE，根据对应边成比例即可解出DE的长．【详解】(1)证明：∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE，∴∠BAC=∠ACE=∠ADE，∵∠B=∠ADE，∴∠B=∠BAC，∴AC=BC；(2)解：设BD=x，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵tan B=2，=2，即AD=2x，∴ADBD根据(1)中的结论，可得AC=BC=BD+DC=x+3，根据勾股定理，可得AD2+DC2=AC2，即2x2，2+32=x+3解得x1=2，x2=0(舍去)，∴BD=2，AD=4,根据勾股定理，可得AB=AD2+BD2=25；解法一：如图，过点E作DC的垂线段，交DC的延长线于点F，∵CE∥AB，∴∠ECF=∠B，∵EF⊥CF，∴tan∠ECF=tan∠B=2，即EF=2，CF∵∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDF=90°，∠B=∠ADE，∴∠BAD=∠EDF，∴∠DEF =90°-∠EDF =90°-∠BAD =∠B ，∴DF EF=2，设CF =a ，则DF =DC +CF =a +3，∴EF =2a ，可得方程a +32a=2，解得a =1，∴EF =2，DF =4，根据勾股定理，可得DE =DF 2+EF 2=25．解法二：如图，连接AE ,∵∠B =∠ADE ，∠ACB =∠AED ，∴△ABC ∽△ADE ，∴AB AD=BC DE ，又∵BC =5，AD =4，AB =25，∴254=5DE ，∴DE =25．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，勾股定理，正切，利用等量代换证明相关角相等是解题的关键．19.(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，D 是AC上一点，P 是AB 延长线上一点，连接AD ,DC ,CP ．(1)求证：∠ADC -∠BAC =90°；(请用两种证法解答)(2)若∠ACP =∠ADC ，⊙O 的半径为3，CP =4，求AP 的长．【答案】(1)证明见解析(2)8【分析】(1)证法一：连接BD ，得到∠ADB =90°，因为∠BAC =∠BDC ，所以∠ADC -∠BAC =90°；证法二：连接BC ，可得∠ADC +∠ABC =180°，则∠ABC =180°-∠ADC ，根据∠ACB =90°，可得∠BAC +∠ABC =90°，即可得到结果；(2)连接OC ，根据角度间的关系可以证得△OCP 为直角三角形，根据勾股定理可得边OP 的长，进而求得结果．【详解】(1)证法一：如图，连接BD ，∵BC=BC，∴∠BDC=∠BAC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC∵∠BAC=∠BDC，∴∠ADC=90°+∠BAC，∴∠ADC-∠BAC=90°，证法二：如图，连接BC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ABC=180°-∠ADC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠BAC+180°-∠ADC=90°，∴∠ADC-∠BAC=90°，(2)解：如图，连接OC，∵∠ACP=∠ADC，∠ADC-∠BAC=90°，∴∠ACP-∠BAC=90°，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠ACP-∠ACO=90°，∴∠OCP=90°．∵⊙O的半径为3，∴AO=OC=3，在Rt△OCP中，OP2=OC2+CP2，∵CP=4，∴OP2=32+42=25，∴OP=5，∴AP=AO+OP=8，【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的关系是解题的关键．20.(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD为∠CAB的平分线交⊙O于点D，连接OD交BC于点E．(1)求∠BED 的度数；(2)如图2，过点A 作⊙O 的切线交BC 延长线于点F ，过点D 作DG ∥AF 交AB 于点G ．若AD =235,DE =4，求DG 的长．【答案】(1)90°(2)210【分析】(1)根据圆周角定理证明两直线平行，再利用平行线的性质证明角度相等即可；(2)由勾股定理找到边的关系，求出线段长，再利用等面积法求解即可．【详解】(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵AD 平分∠CAB ，∴∠BAD =12∠BAC ，即∠BAC =2∠BAD ，∵OA =OD ，∴∠BAD =∠ODA ，∴∠BOD =∠BAD +∠ODA =2∠BAD ，∴∠BOD =∠BAC ，∴OD ∥AC ，∴∠OEB =∠ACB =90°，∴∠BED =90°，(2)如图，连接BD ，设OA =OB =OD =r ，则OE =r -4，AC =2OE =2r -8，AB =2r ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，在Rt △ADB 中，有勾股定理得：BD 2=AB 2-AD 2由(1)得：∠BED =90°，∴∠BED =∠BEO =90°，由勾股定理得：BE 2=OB 2-OE 2，BE 2=BD 2-DE 2，∴BD 2=AB 2-AD 2=BE 2+DE 2=OB 2-OE 2+DE 2，∴2r 2-235 2=r 2-r -4 2+42，整理得：r 2-2r -35=0，解得：r =7或r =-5(舍去)，∴AB =2r =14，∴BD =AB 2-AD 2=142-235 2=214，∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥AB，∵DG∥AF，∴DG⊥AB，∴S△ABD=12AD·BD=12AB·DG，∴DG=AD·BDAB =235×21414=210．【点睛】此题考查了圆周角定理和勾股定理，三角形中位线定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．21.(2023·浙江杭州·统考中考真题)在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点F．(1)若ED=13，求DF的长．(2)求证：AE⋅CF=1．(3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G．若EG=ED，求ED的长．【答案】(1)1 2(2)见解析(3)14【分析】(1)证明△AEB∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例求解；(2)证明△AEB∽△CBF，利用相似三角形的对应边成比例证明；(3)设EG=ED=x，则AE=1-x，BE=1+x，在Rt△ABE中，利用勾股定理求解．【详解】(1)解：由题知，AB=BC=CD=DA=1，若ED=13，则AE=AD-ED=23．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠FDE=90°，又∵∠AEB=∠FED，∴△AEB∽△DEF，∴AB DF =AE ED，即1DF=2313，∴DF=12．(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠C=90°，AB∥CD，∴∠ABE=∠F，∴△ABE∽△CFB，∴AB CF =AE BC，∴AE⋅CF=AB⋅BC=1×1=1．(3)解：设EG=ED=x，则AE=AD-AE=1-x，BE=BG+GE=BC+GE=1+x．在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即12+(1-x)2=(1+x)2，解得x=1 4．∴ED=14．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，正方形的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．22.(2023·河北·统考中考真题)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN=48cm，作OC⊥MN于点C．(1)求OC的长．操作：将图1中的水面沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．探究：在图2中(2)操作后水面高度下降了多少？(3)连接OQ 并延长交GH 于点F ，求线段EF 与EQ的长度，并比较大小．【答案】(1)7cm (2)112cm(3)EF =2533cm ，EQ =25π6cm ，EF >EQ ．【分析】(1)连接OM ，利用垂径定理计算即可；(2)由切线的性质证明OE ⊥GH 进而得到OE ⊥MN ，利用锐角三角函数求OD ，再与(1)中OC 相减即可；(3)由半圆的中点为Q 得到∠QOB =90°，得到∠QOE =30°分别求出线段EF 与EQ的长度，再相减比较即可．【详解】解：(1)连接OM ，∵O 为圆心，OC ⊥MN 于点C ，MN =48cm ，∴MC =12MN =24cm ，∵AB =50cm ，∴OM =12AB =25cm ，∴在Rt △OMC 中，OC =OM 2-MC 2=252-242=7cm ．(2)∵GH 与半圆的切点为E ，∴OE ⊥GH ∵MN ∥GH∴OE ⊥MN 于点D ，∵∠ANM =30°，ON =25cm ，∴OD =12ON =252cm ，∴操作后水面高度下降高度为：252-7=112cm ．(3)∵OE ⊥MN 于点D ，∠ANM =30°∴∠DOB =60°，∵半圆的中点为Q ，∴AQ=QB，∴∠QOB =90°，∴∠QOE =30°，∴EF =tan ∠QOE ⋅OE =2533cm ，EQ =30×π×25180=25π6cm ，∵2533-25π6=503-25π6=2523-π 6>0，∴EF >EQ．【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性质构造直角三角形是解题关键．23.(2023·湖北武汉·统考中考真题)如图，OA ,OB ,OC 都是⊙O 的半径，∠ACB =2∠BAC ．(1)求证：∠AOB =2∠BOC ；(2)若AB =4,BC =5，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)52【分析】(1)由圆周角定理得出，∠ACB =12∠AOB ,∠BAC =12∠BOC ，再根据∠ACB =2∠BAC ，即可得出结论；(2)过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，根据垂径定理得出∠DOB =12∠AOB ,AE =BE ，证明∠DOB =∠BOC ，得出BD =BC ，在Rt △BDE 中根据勾股定理得出DE =BD 2-BE 2=1，在Rt △BOE 中，根据勾股定理得出OB 2=(OB -1)2+22，求出OB 即可．【详解】(1)证明：∵AB=AB，∴∠ACB =12∠AOB ，∵BC =BC ，∴∠BAC =12∠BOC ，∵∠ACB =2∠BAC ，∴∠AOB =2∠BOC ．(2)解：过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，则∠DOB =12∠AOB ,AE =BE ，∵∠AOB =2∠BOC ，∴∠DOB =∠BOC ，∴BD =BC ，∵AB =4,BC =5，∴BE =2,DB =5，在Rt △BDE 中，∵∠DEB =90°∴DE =BD 2-BE 2=1，在Rt △BOE 中，∵∠OEB =90°，∴OB 2=(OB -1)2+22，∴OB =52，即⊙O 的半径是52．【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理．24.(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，四边形ABCD 是半径为R 的⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，∠ABD =45°，直线l 与三条线段CD 、CA 、DA 的延长线分别交于点E 、F 、G ．且满足∠CFE =45°．(1)求证：直线l ⊥直线CE ；(2)若AB =DG ；①求证：△ABC ≌△GDE ；②若R =1，CE =32，求四边形ABCD 的周长．【答案】(1)见解析(2)①见解析，②72+2【分析】(1)在⊙O 中，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACD =∠ABD =45°，结合已知在△CFE 中根据三角形内角和定理可求得∠FEC =90°；(2)①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得∠ABC =∠GDE ，由直径所对的圆周角是直角和(1)可得∠ACB =∠GED ，结合已知即可证得△ABC ≌△GDE AAS ；②在⊙O 中由R =1，可得AB =2，结合题意易证DA =DB ，在Rt △ABC 中由勾股定理可求得DA =2，由①可知易得BC +CD =DE +CD =CE ，最后代入计算即可求得周长．【详解】(1)证明：在⊙O 中，∵AD =AD，∴∠ACD =∠ABD =45°，即∠FCE =45°，在△CFE 中，∵∠CFE =45°，∴∠FEC =180°-∠FCD +∠CFE =90°，即直线l ⊥直线CE ；(2)①四边形ABCD 是半径为R 的⊙O 的内接四边形，∴∠ADC +∠ABC =180°，∵∠ADC +∠GDE =180°，∴∠ABC =∠GDE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，由(1)可知∠GED =90°，∴∠ACB=∠GED，在△ABC与△GDE中，∠ABC=∠GDE ∠ACB=∠GED AB=DG，∴△ABC≌△GDE AAS，②在⊙O中，R=1，∴AB=2R=2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=45°，∴∠BAD=90°-∠ABD=45°，∴DA=DB，在Rt△ABC中，∴DA2+DB2=AB2，即2DA2=22，解得：DA=2，由①可知△ABC≌△GDE，∴BC=DE，∴BC+CD=DE+CD=CE=32，∴四边形ABCD的周长为：DA+AB+BC+CD=DA+AB+CE=2+2+32=72+2．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解．25.(2023·天津·统考中考真题)在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC=60°，E为弦AB所对的优弧上一点．(1)如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；(2)如图②，CE与AB相交于点F，EF=EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA=3，求EG的长．【答案】(1)∠AOB=120°，∠CEB=30°(2)3【分析】(1)根据半径OC 垂直于弦AB ，可以得到AC =BC，从而得到∠AOC =∠BOC ，结合已知条件∠AOC =60°即可得到∠AOB =2∠AOC =120°，根据∠CEB =12∠AOC 即可求出∠CEB =30°；(2)根据∠CEB =30°，结合EF =EB ，推算出∠EBF =∠EFB =75°，进一步推算出∠GOE =∠AOE-∠AOG =30°，在Rt △OEG 中，tan ∠GOE =EG OE,OE =OA =3，再根据EG =3×tan30°即可得到答案．【详解】(1)解：在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，∴AC =BC ，得∠AOC =∠BOC ．∵∠AOC =60°，∴∠AOB =2∠AOC =120°．∵∠CEB =12∠BOC =12∠AOC ，∴∠CEB =30°．(2)解：如图，连接OE ．同(1)得∠CEB =30°．∵在△BEF 中，EF =EB ，∴∠EBF =∠EFB =75°．∴∠AOE =2∠EBA =150°．又∠AOG =180°-∠AOC =120°，∴∠GOE =∠AOE -∠AOG =30°．∵GE 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥GE ，即∠OEG =90°．在Rt △OEG 中，tan ∠GOE =EG OE,OE =OA =3，∴EG =3×tan30°=3．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质和直角三角函数，解题的关键是灵活运用相关知识．26.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，AC =5,BC =25，点F 在AB 上，连接CF 并延长，交⊙O 于点D ，连接BD ，作BE ⊥CD ，垂足为E ．(1)求证：△DBE ∽△ABC ；(2)若AF =2，求ED 的长．【答案】(1)证明见解析(2)355【分析】(1)分别证明∠ACB=90°=∠BED，∠CAB=∠CDB，从而可得结论；(2)求解AB=AC2+BC2=5，tan∠ABC=ACBC =12，可得BF=3，证明tan∠ABC=tan∠DBE=DE BE =12，设DE=x，则BE=2x，BD=5x，证明△ACF∽△DBF，可得ACBD=AFDF=CFBF，可得DF=2x，EF=x=DE，BD=BF=3，从而可得答案．【详解】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，BE⊥CD，∴∠ACB=90°=∠BED，∵∠CAB=∠CDB，∴△DBE∽△ABC．(2)∵AC=5,BC=25，∠ACB=90°，∴AB=AC2+BC2=5，tan∠ABC=ACBC =12，∵AF=2，∴BF=3，∵△DBE∽△ABC，∴∠ABC=∠DBE，∴tan∠ABC=tan∠DBE=DEBE =12，设DE=x，则BE=2x，BD=5x，∵∠AFC=∠BFD，∠CAB=∠CDB，∴△ACF∽△DBF，∴AC BD =AFDF=CFBF，∴55x =2DF，则DF=2x，∴EF=x=DE，∴BD=BF=3，∴DE=355．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基本性质与重要定理是解本题的关键．27.(2023·四川达州·统考中考真题)如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB=BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB=∠ACB，AC、BD相交于点E．(1)求证：AP 是⊙O 的切线；(2)若BE =2，DE =4，∠P =30°，求AP 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)由AB =BC ，OB 为半径，可知OB ⊥AC ，∠CAB =∠ACB ，则∠CAB +∠ABO =90°，∠ACB +∠ABO =90°，∠PAB +∠ABO =90°，如图1，连接OA ，由OA =OB ，可得∠OAB =∠ABO ，则∠PAB +∠OAB =90°，即∠OAP =90°，进而结论得证；(2)如图2，记OB 与AC 交点为M ，连接OD ，过O 作ON ⊥DB 于N ，证明△ABO 是等边三角形，则AB =OB =OA ，∠ABM =60°，设⊙O 半径为r ，则BM =AB ⋅cos ∠ABM =12r ，由OB =OD ，ON ⊥DB ，可得BN =12BD =3，证明△BME ∽△BNO ，则BM BN =BE BO ，即12r 3=2r ，解得r =23或r =-23(舍去)，根据AP =OA tan ∠P，计算求解即可．【详解】(1)解：如图，连接OA ,OC ，∵AB =BC ，∴AB �=BC �，∴∠AOB =∠COB ，∴OB ⊥AC ，由等边对等角可得∠CAB =∠ACB ，∴∠CAB +∠ABO =90°，∴∠ACB +∠ABO =90°，∵∠PAB =∠ACB ，∴∠PAB +∠ABO =90°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠ABO ，∴∠PAB +∠OAB =90°，即∠OAP =90°，又∵OA 是半径，∴AP 是⊙O 的切线；(2)解：如图2，记OB 与AC 交点为M ，连接OD ，过O 作ON ⊥DB 于N ，∵∠P =30°，∴∠AOP =60°，∴△ABO 是等边三角形，∴AB =OB =OA ，∠ABM =60°，设⊙O 半径为r ，∵AM ⊥BM ，∴BM =AB ⋅cos ∠ABM =12r ，∵OB =OD ，∴△BOD 是等腰三角形，又∵ON ⊥DB ，∴BN =12BD =BE +DE 2=3，∵∠BME =∠BNO =90°，∠EBM =∠OBN ，∴△BME ∽△BNO ，∴BM BN =BE BO ，即12r 3=2r ，解得r =23或r =-23(舍去)，∴AP =OA tan ∠P =r 33=6，∴AP 的长为6．【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦、正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．28.(2023·湖南·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是一条弦，D 是AC的中点，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，交⊙O 于点H ，DB 交AC 于点G ．(1)求证：AF =DF ．(2)若AF =52,sin ∠ABD =55，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)根据D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，得到CD =DA =AH ,得到∠ADH =∠DAC 即可得证．(2)根据sin ∠ABD =55=AD AB，设AD =5x ,AB =5x ，运用勾股定理，得到BD =5x 2-5x 2=25x ，结合sin ∠ABD =55=DE BD ，得到DE =2x ，运用勾股定理，得到BE =25x 2-2x 2=4x ，从而得到AE =x ,EF =ED -DF =DE -AF =2x -52，在Rt △AEF 中，利用勾股定理计算x 即可．【详解】(1)∵D 是AC 的中点，∴CD =DA ，∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴DA =AH ，∴CD =DA =AH，∴∠ADH =∠DAC ，∴AF =DF ．(2)∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，。
圆的概念 公式及推导完整版
〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.14159265358979323846…，通常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。
圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。
两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。
圆的有关性质
圆的有关性质（一）一、内容综述：1.圆的有关概念：(1).圆的对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
圆还有旋转不变性。
(2).点和圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则:点在圆内d<r点在圆上d=r点在圆外d>r2.有关性质：（1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
（2）同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
（3）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，900的圆周角所对的弦是直径。
（4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
3.难点讲解：垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧(如图所示)．如果将定理的条件与结论一个换一个或两个换两个，就可得到九个逆命题，并能证明它们都是真命题．教科书把较重要的作为推论l，而其余的作为练习题。
总之，一条直线，如果它五个性质中的任何两个成立，那么它也一定具有其余三个性质．推论1(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧，推论1的实质是：一条直线(如图)(1)若满足：i)经过圆心，ii)平分弦，则可推出:iii)垂直于弦，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧．(2)若满足：i)垂直于弦，ii)平分弦。
则可推出：iii)经过圆心，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧．(3)若满足；i)经过圆心，ii)平分弦所对的一条弧，则可推出：iii)垂直于弦，iv)平分弦，v)平分弦所对的另一条弧．推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等．如图中，若AB∥CD，则注意：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线。
圆有关定理
图1
A. 50°B. 40°C. 60°D. 55°
4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（）
A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm
5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD= cm，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）
当∠DEF＝45°时，求证:点G为线段EF的中点；
图8
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、选择题
1.已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（）
A.20/3B.25/3C. 5 D. 8
2.下列图形一定有内切圆的是（）
A.平行四边形B.矩形
C.菱形D.梯形
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段
定理
图形
已知
结论
证法
相交弦定理
⊙O中，AB、CD为弦，交于P.
PA·PB＝PC·PD
连结AC、BD，C=B,A=D,所以△APC∽△DPB
相交弦定理的推论
⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.
PC2＝PA·PB
用相交弦定理.
切割线定理
⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于A
PT2＝PA·PB
连结TA、TB，则∠PTA=∠B（弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA∽△PBT，所以
PT2＝PA·PB
切割线定理推论
阿波罗尼斯圆逆定理证明
阿波罗尼斯圆逆定理证明引言阿波罗尼斯圆逆定理是几何学中的重要定理之一，它描述了一个圆的逆变换。
本文将详细探讨该定理的证明过程，以及其在几何学中的应用。
定理表述阿波罗尼斯圆逆定理是指，对于一个圆内接于一个锐角三角形的圆，该圆的半径等于三角形的外接圆半径的两倍。
证明过程为了证明阿波罗尼斯圆逆定理，我们需要从几何学的基本概念和定理出发，逐步推导得出结论。
1. 构造外接圆首先，我们考虑一个锐角三角形ABC，假设其外接圆为O，半径为R。
根据几何学的基本定理，我们知道三角形的外接圆是唯一确定的。
2. 构造内切圆接下来，我们在三角形ABC的内部构造一个内切圆，设其圆心为I，半径为r。
根据内切圆的定义，我们知道内切圆与三角形的三条边相切。
3. 连接圆心和切点我们将内切圆的圆心I与三角形ABC的三个切点A’、B’、C’相连，其中A’是BC的切点，B’是AC的切点，C’是AB的切点。
4. 利用相似三角形根据几何学的相似三角形定理，我们可以得到三个相似三角形A’IB’、B’IC’和C’IA。
由于这三个三角形相似，我们可以得到以下比例关系：A’I / IB’ = B’I / IC’ = C’I / IA5. 应用角平分线定理根据角平分线定理，我们知道在一个三角形中，角的平分线将对边分成相等的线段。
因此，我们可以得到以下关系：A’C’ / C’B’ = IA / IB6. 利用内切圆性质根据内切圆的性质，我们知道内切圆的半径与切点到圆心的距离相等。
因此，我们可以得到以下关系：r / IA = r / IB = r / IC7. 综合以上关系根据步骤4、5和6，我们可以得到以下关系：A’I / IB’ = B’I / IC’ = C’I / IA = A’C’ / C’B’ = r / IA = r /IB = r / IC8. 利用共圆定理根据共圆定理，如果一条直线与一个圆相交于两个点，那么这两个点和圆心共线。
因此，我们可以得到以下关系：A’I / IB’ = A’O / OB’ = A’C’ / C’B’ = r / IA = r / IB = R / IC9. 结论根据步骤7和8，我们可以得到以下结论：r / R = IA / IC = IB / IC由于IA、IB和IC是锐角三角形ABC的三条角平分线，它们交于一个点I，因此IA、IB和IC也是三角形ABC的三条高。
2024年河南省中考数学总复习 题型八 圆的相关证明与计算 课件(共33张PPT)
[答案] 作图如图（1）所示.
图（1）
（3）“杨辉”小组用角尺测量并计算出圆的半径.如图（4），用角尺的较短边紧靠“车轮”于点 ，并使较长边与圆切于点 ，记角尺的直角顶点为 ，量得 ， ，请求出“车轮”的半径．
图（2）
图（2）
[答案] .证明：如图（2），连接 ， ，则 ， .过点 作 于点 ，则 , ，
, .
③连接 交小圆 于 ，连接 ,则 是小圆 的切线.
（1）请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确，并说明理由.
[答案] 正确.理由： 是小圆 的切线， ， .在 和 中， ， ， .又 为小圆 的半径， 是小圆 的切线.
（2）延长 交大圆 于点 ,连接 ,若 , ,求 的长.
②若 的半径为5， , ， 与过点 的切线垂直，垂足为点 ，求 的长.
图（2）
[答案] 如图（2），连接 .
， 是 的直径， .
由①可知点 是 的中点， , . 是 的切线， ， . , .
3.如图, 与 相切于点 ,半径 , 与 相交于点 ,连接 , .
图（1）
[答案] 相切.理由：如图（1），连接 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，连接 .
与水平地面相切于点 ， ． , , .
又 , , , ,即 是 的半径．故塑料圆环 与斜坡 相切．
（2）如图（2），小明将塑料圆环 滚到了斜坡 上，设 与斜坡 的接触点为 ，当点 距离水平地面 （即 ）时，塑料圆环的最低点距离水平地面多高？
图（2）
[答案] 如图（2），过点 向水平地面作垂线，垂足为点 ，与 交于点 ，则 即为所求.连接 并延长，与水平地面交于点 ．
与斜坡 相切于点 ， ． ， ．
各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆)
托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。
证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。
）在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD因为△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数恒等式：(a − b)(c− d) + (a− d)(b− c) = (a− c)(b− d) ，两边取模，运用三角不等式得。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。
四点不限于同一平面。
平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
二、设ABCD是圆内接四边形。
在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。
在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK =∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。
圆的解题技巧总结
圆的解题技巧总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】圆的解题技巧总结一、垂径定理的应用给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，我们很容易发现A、B两点重合，即有结论AP=BP，弧AC=弧BC．其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系，是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据．例1某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．例2如图，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB=例3如图，已知⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，则AB的长为多少？例4图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具？二、与圆有关的多解题几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解．1．忽视点的可能位置．例5△ABC是半径为2的圆的内接三角形，若3BC cm，则∠A的度数为______．22．忽视点与圆的位置关系．例6点P到⊙0的最短距离为2cm，最长距离为6cm，则⊙0的半径是______．3．忽视平行弦与圆心的不同位置关系．例7已知四边形ABCD是⊙0的内接梯形，AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，⊙0的半径是5cm，则梯形的面积是______．4．忽略两圆相切的不同位置关系例8点P在⊙0外，OP=13cm，PA切⊙0于点A，PA=12cm，以P为圆心作⊙P与⊙0相切，则⊙P的半径是______．例9若⊙O1与⊙02相交，公共弦长为24cm，⊙O1与⊙02的半径分别为13cm和15cm，则圆心距0102的长为______．三、巧证切线切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点．判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：1．圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径．例10如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点，PD⊥OA 于点D ，以点P 为圆心，PD 为半径画⊙P ，试说明OB 是⊙P 的切线．2．证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可．例11如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙0相切于点B ，过A 作AD∥OC 交⊙0于点D ，连结CD.(1)求证：CD 是⊙0的切线；(2)若AD=2，直径AB=6，求线段BC 的长．四、结论巧用，妙解题例12已知：如图，⊙O 为Rt△ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边上的切点，求证：BD AD s ABC ⋅=∆．该结论可叙述为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积．”运用它，可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题，举例如下：例13如图，⊙0为Rt△ABC 的内切圆，切点D 分斜边AB 为两段，其中AD ＝10，BD ＝3，求AC 和BC 的长．例14如图，△ABC 中∠A 与∠B 互余，且它们的角平分线相交于点0，又OE⊥AC ，OF⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AC=10，BC ＝13．求AE ·BF 的值．五、点击圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容：解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系：圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长．例15若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是()A．180°B．90°C．120°D．135°例16圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是():π:1C．2：1D．3：1例17如图，小红要制作一个高4cm，底面直径是6cm的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是()A．15πcm2B．6π13cm2D．30cm213cm2C．12π⋅例18下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为______cm2．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积．例19如图，有一块四边形形状的铁皮ABCD，BC=CD,AB=2AD,∠ABC＝∠ADB=90°．(1)求∠C的度数；(2)以C为圆心，CB为半径作圆弧BD得一扇形CBD，剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，若已知BC＝a，求该圆锥的底面半径；(3)在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由．六、例谈三角形内切圆问题三角形的内切圆是与三角形都相切的圆，它的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，它与顶点的连线平分内角．应用内心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明，例20如图，△ABC中，内切圆⊙I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．求证：(1)A FDE ∠-︒=∠2190； (2)A BIC o ∠+=∠2190． 例21如果△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆⊙I 半径为r ，那么△ABC 的面积为().A ．r c b a )(++B ．r c b a ）（++21C ．r c b a ）（++31D ．r c b a ）（++41 七、阴影部分面积的求值技巧求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解．但在转化过程中又有许多方法．本文精选几个题，介绍几种常用方法．1．直接法当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．例22如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=3，以BC 的中点E 为圆心的与AD 相切于点P ，则图中阴影部分的面积为()A ．π32B ．π43C ．π43D ．3π 2．和差法当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算．例23如图，AB 和AC 是⊙0的切线，B 、C 为切点，∠BAC=60°，⊙0的半径为1，则阴影部分的面积是()A ．π323-B ．33π-C ．332π-D ．π-32 3．割补法把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积．例24如图，正方形ABCD 的顶点A 是正方形EFGH 的中心，EF=6cm ，则图中的阴影部分的面积为______．4．等积变形法把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积．例25如图，C 、D 两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R ，求阴影部分的面积．5．平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积．例26如图，CD 是半圆0的直径，半圆0的弦AB 与半圆O '相切，点O '在CD 上，且AB∥CD ，AB ＝4，则阴影部分的面积是（结果保留π）．6．整体法例27如图，正方形的边长为a ，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是()A ．224121a a π+-B ．)41(222a a π-C ．22.21a a π+-D ．2221a a π- 7．折叠法例28如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点0，其直径CD ，EF 均和x 轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是______．8．聚零为整法例29如图所示，将半径为2cm 的⊙0分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点0对称，EF 、GH 关于点0对称，连结PM ，则图中阴影部分的面积是______（结果用π表示）．八、圆中辅助线大集合圆是初中重点内容，是中考必考内容．关于圆的大部分题目，常需作辅助线来求解．现对圆中辅助线的作法归纳总结如下：1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形例30如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，GB=8cm，AG＝1cm，DE＝2cm，则EF＝______cm．2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角例31如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点0为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．(1)求证：BN⋅=BCAB⋅BM(2)如果CM是⊙0的切线，N为OC的中点，当AC＝3时，求AB的值．3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等角关系例32如图，AB、AC分别是⊙0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙0于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P．(1)若PC＝PF，求证：AB⊥ED．(2)点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF，为什么？4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理例33如图，⊙02与半圆O l内切于点C，与半圆的直径AB切于D，若AB=6，⊙02的半径为1，则∠ABC的度数为______．C、数学思想方法与中考能力要求数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂．因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学思想在解题中的应用．一、数形结合思想．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．例1MN是半圆直径，点A是的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一动点，⊙0的半径是1，求AP+BP的最小值．二、转化思想转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为已知．例2如图，以0⊙的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙0于D、E两点，试说明BD=DE=EC．在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量．三、分类思想所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类必须遵循一定的原则：(1)每一次分类要按照同一标准进行；(2)不重、不漏、最简.例3⊙0的直径AB=2cm，过点A的两条弦AC=2cm，AD=3cm，求∠CAD所夹的圆内部分的面积．在圆中有许多分类讨论的题目，希望同学们做题时，要全面、缜密，杜绝“会而不对，对而不全”的现象．四、方程思想通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化达到解决问题的目的．例4如图，AB是⊙0的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC是⊙O 的切线，若OE:EA=1:2，PA＝6，求⊙0的半径．五、函数思想例5（2005·梅州市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC＝x，点P到AB的距离为y．(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．例6(2006·烟台)如图，从⊙0外一点A作⊙0的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙0直径BD＝6，连结CD、AO.(1)求证：CD∥AO；(2)设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若AO+CD＝11，求AB的长．。
往年中考关于圆的证明汇总(有答案)
23 图
24 图
24、如图，⊙M 与 x 轴相切于点 C，与 y 轴的一个交点为 A。
（1）求证：AC 平分∠OAM；（2）如果⊙M 的半径等于 4，∠ACO=300，求 AM 所在直线的解析式．
25、如图，在直角三角形 ABC 中，∠ABC=90°．
1、如图，在⊙O 中，AB，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接 AD，BC，BD．
（1）求证：△ABD≌△CDB；
（2）若∠DBE=37°，求∠ADC 的度数．
1图
2图
2、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 是边 AB 上的一点，E 是 BC 上的一点，以 EC 为直径的⊙O 经过点 D，OA⊥CD 于点
连接 AF． (1)证明：∠F＝∠CAD；(2)试判断直线 AF 与⊙O 的位置关系，并给出证明．
11 图
12 图
12、如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 是⊙O 上一点（不与 A，B 重合） ，连接 AC，BC，过点 O 作 OD∥AC 交 BC 于点 D，
在 OD 的延长线上取一点 E，连接 EB，使∠OEB=∠ABC．
那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和
两等圆⊙A，⊙B外切， 为．
35 图
36 图
36、如图所示，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是劣弧 AE 的中点，过 C 作 CD⊥AB 于点 D，CD 交 AE 于点 F，过 C 作 CG
∥AE 交 BA 的延长线于点 G．
（1）求证：CG 是⊙O 的切线． （2）求证：AF=CF． （3）若∠EAB=30°，CF=2，求 GA 的长．
33 图
与圆有关的几个定理
A F
E
B
O
D
C
难点概念：三角形的外接圆和内切圆：
A
A
O
I
C
B
C
B
实质
性质
三角形的 三角形三边垂直 到三角形各顶
外心
平分线的交点 点的距离相等
三角形的 三角形三内角角 到三角形各边
内心
平分线的交点 的距离相等
特别的:
等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.
A
O
B
D
C
同 如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，分别 步 切⊙O于A 、B，在AB上任取一点C作⊙O的切线 自 分别交PA 、PB于D 、E 测
M└
若 ① CD是直径
●O
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
基本模型“垂径定理、直角三角形”
(2）垂径定理以及推论
C
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； A M└
B
(3) 平分弦 ；
(4)平分劣弧；
●O
(5)平分优弧.
知二得三
D
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?
A．35°
B.70°
C．110° D.140°
二、点和圆的位置关系
.o .p r
Op＜r Op=r Op＞r
.p .o
.o
.p
点p在⊙o内 点p在⊙o上 点p在⊙o外
三.直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
r ●O
d ┐ 相切
1、直线和圆相交
d < r;
2、直线和圆相切 3、直线和圆相离
沪教版初中总复习专题训练中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(提高)
沪教版初中数学中考总复习知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（提高）【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P在圆内d＜r．要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.（5）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．考点三、与圆有关的规律探究1．和圆有关的最长线段和最短线段了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述．(1)圆中最长的弦是直径．如图①，AB是⊙O的直径，CD为非直径的弦，则AB＞CD，即直径AB是最长的弦．过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图②，P是⊙O内任意一点，过点P作⊙O的直径AB，过P作弦CD⊥AB于P，则CD是过点P的最短的弦．(2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上．如图所示，P在⊙O外，连接PO交⊙O于A，延长PO交⊙O于B，则在点P与⊙O上各点连接的线段中，PB最长，PA最短．(3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上．如图所示，P为⊙O内一点，直径过点P，交⊙O于A、B两点，则PB最长、PA最短．2．与三角形内心有关的角(1)如图所示，I是△ABC的内心，则∠BIC．(2)如图所示，E是△ABC的两外角平分线的交点，．(3)如图所示，E是△ABC内角与外角的平分线的交点，．(4)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，则∠DOE＝180°－∠A．(5)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，．(6)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，P为上一点，则．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用1．已知：如图所示，⊙O中，半径OA＝4，弦BC经过半径OA的中点P，∠OPC＝60°，求弦BC的长．【思路点拨】要用好60°角，构造直角三角形．在圆中常用的是作出弦的弦心距，由弦心距，半弦长及半径构成直角三角形．【答案与解析】解：过O作OM⊥BC于M，连接OC．在Rt△OPM中，∠OPC＝60°，OP，∴PM＝1，OM＝．在Rt△OMC中，BC＝2MC＝．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．2．如图所示，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，，连接AC．(1)求证：△MAC是等腰三角形；(2)若AC为⊙O直径，求证：AC2＝2AM·AB．【思路点拨】(1)证明∠MCA＝∠MAC；(2)证明△AOM∽△ABC．【答案与解析】证明：(1) ∵，∴∠MCA＝∠MAC．∴△MAC是等腰三角形．(2)连接OM．∵AC为⊙O直径，∴∠ABC＝90°．∵△MAC是等腰三角形，OA＝OC，∴MO⊥AC．∴∠AOM＝∠ABC＝90°．∵∠MAO＝∠CAB，∴△AOM∽△ABC，∴，∴AO·AC＝AM·AB，∴AC2＝2AM·AB．【总结升华】本题考查的是圆周角定理，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O中，AB＝2CD，则( )A． B．C． D．与的大小关系无法确定【答案】解：要比较与的大小有两种思路．(1)把的一半作出来，比较与的大小；(2)把作出来，比较与的大小．如图所示，作OE⊥AB，垂足为E，交于F．则，且．∵AB＝2CD．∴AE＝CD．在Rt△AFE中，AF＞AE＝CD．∴AF＞CD．∴，即．答案A.【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题2】3．已知：如图所示，△ABC内接于⊙O，BD⊥半径AO于D．(1)求证：∠C＝∠ABD；(2)若BD＝4.8，sinC＝，求⊙O的半径．【思路点拨】过O作OE⊥AB于E，连接BO，再由垂径定理及三角函数进行证明与求解.【答案与解析】解法一：(1)过O作OE⊥AB于E，连接BO(如图所示)，则．又∵ BD⊥AO，∴∠ABD+∠BAD＝90°．∵∠AOE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠AOE＝∠C．（2）在Rt△ABD中，，∴．设AD＝4k，则AB＝5k，BD＝3k＝4.8，k＝1.6．∴AB＝8，AE＝4．∵，∴．∴OA＝5．解法二：（1）延长AO交⊙O于C′．（如图所示）∴∠C′＝∠C．∵AC′为⊙O的直径，∴∠ABC′＝90°．∴∠C′+∠BAD＝90°．∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C′＝∠C．（2）在Rt△BDC′中，，∴．在Rt△ABC′中，∵，∴设AB＝4k，则AC′＝5k，BC′＝3k＝6．∴k＝2．∴．【总结升华】解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周角转化为同弧所对圆心角的一半的角；二是将圆周角的顶点移动到使其一边经过圆心．类型二、圆的切线判定与性质的应用4．（2014秋•兴化市月考）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AC=8，BC=6，求线段BE的长．【思路点拨】（1）根据切线的性质可得结论；（2）连接OE，根据圆周角定理得∠ACB=90°，进而可推导得出△PCF是等腰三角形；（3）先在Rt△ACB中，根据勾股定理计算出AB=10，最终算得BE的值．【答案与解析】（1）证明：∵PD为⊙O的切线，∴OC⊥DP，∵AD⊥DP，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵O A=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAB；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=2∠BCE=90°，∴∠OFE+∠OEF=90°，而∠OFE=∠CFP，∴∠CFP+∠OEF=90°，∵OC⊥PD，∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，∴∠PCF=∠CFP，∴△PCF是等腰三角形；（3）解：在Rt△ACB中，∵AC=8，BC=6，∴AB==10，∴OB=5，∵∠BOE=90°，∴△BOE为等腰直角三角形，∴BE=OB=5．【总结升华】本题考查了切线的性质，圆周角定理和等腰三角形的判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．举一反三：【变式】（2015•毕节市）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．【答案】（1）证明：连结OA、OD，如图，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠D+∠DFO=90°，∵AC=FC，∴∠CAF=∠CFA，∵∠CFA=∠DFO，∴∠CAF=∠DFO，而OA=OD，∴∠OAD=∠ODF，∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵圆的半径R=5，EF=3，∴OF=2，在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2，∴DF==．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且，求证△DCE≌△OCB．【思路点拨】（1）由于AB是直径，那么∠ACB=90°，而∠ABC=30°，易求∠BAC=60°，结合OA=OC，易证△AOC 是正三角形，于是∠OCD=60°，结合CD是切线，易求∠DCE=30°，在Rt△AEF中，易求∠E=30°，于是∠DCE=∠E，可证△CDE为等腰三角形；（2）在Rt△ABC中，由于∠A=60°，AB=2，易求AC=AO=1，利用勾股定理可求BC=，CE=AE-AC=，那么BC=CE，而∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，从而可证△OBC≌△DCE．【答案与解析】解：(1)∵∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°．又∵OA＝OC，∴△AOC是正三角形．∵CD是切线，∴∠OCD＝90°．∴∠DCE＝180°-60°＝90°－30°．∴∠DCE＝∠DEC而ED⊥AB于F，∴∠CED＝90°－∠BAC＝30°．故△CDE为等腰三角形．(2)证明：在△ABC中，∵AB＝2，AC＝AO＝1，∴BC＝．，∴．又∵∠AEF＝30°，∴AE＝2AF＝．∴CE＝AE－AC＝＝BC．而∠OCB＝∠ACB－∠ACO＝30°＝∠ABC，故△CDE≌△COB．【总结升华】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明△AOC是正三角形．举一反三：【变式】如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝________．【答案】解：连接PQ并延长交AB于E，设大圆的圆心为O，连接OA．设AB＝2x，则AE＝x，OB＝2x-2．在Rt△OAE中，OA＝5，∵OA2＝OE2+AE2，即52＝(2x-2)2+x2，∴x＝3．∴AB＝6．答案：66．如图所示，⊙O的直径AB＝4，点P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，连接AC．PM平分∠APC 交AC于M．(1)若∠CPA＝30°，求CP的长及∠CMP的度数；(2)若点P在AB的延长线上运动，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，请求出∠CMP的度数；(3)若点P在直径BA的延长线上，PC切⊙O于点C，那么∠CMP的大小是否变化？请直接写出你的结论．【思路点拨】（1）作辅助线，连接OC，根据切线的性质知：OC⊥PC，由∠CPO的值和OC的长，可将PC的长求出；（2）通过角之间的转化，可知：∠CMP=（∠COP+∠CPO），故∠CMP的值不发生变化．【答案与解析】解:(1)连接OC，则∠OCP＝90°．∵ OA＝OC，∴∠COP＝2∠CAP＝60°．∴ CP＝OC·tan60°＝AB·tan60°＝，∴ CP＝．∵ PM平分∠CPA，∴．∴∠CMP＝30°+15°=45°.(2)设∠CPA＝α，∵ PM平分∠CPA，∴∠MPA＝∠CPA．∵∠OCP＝90°，∴∠COP＝90°-α．又∵ OA＝OC，∴∠CAP＝．∴∠CMP＝∠CAP+∠MPA．（3）∠CMP的大小没有变化∵∠CMP=∠A+∠MPA=∠COP+∠CPO=（∠COP+∠CPO）=×90°=45°．【总结升华】解第(2)小题时，引用“设∠CPA＝α”这一方法，用代数方法计算得出结论，降低了解题的难度．本题主要考查切线的性质及对直角三角形性质的运用．举一反三：【变式】如图所示，AB是⊙O的直径，C是的中点，CD⊥AB于D，CD与AE相交于F．(1)求证：AC2＝AF·AE；(2)求证：AF＝CF．【答案】证明：(1)如图所示，连接CE，延长CD交⊙O于G，连接AG．∵AB是⊙O直径，CD⊥AB，∴．∴∠2＝∠3．又∵∠1＝∠1，∴△AFC∽△ACE．∴．∴ AC2＝AF·AE．(2)由(1)得．又∵C是的中点，∴．∴∠2＝∠1．∴AF＝CF．。
列盖尔圆盘定理证明
列盖尔圆盘定理证明欧几里得几何学中的列盖尔圆盘定理是一条基础的几何定理，它描述了在平面上如何连接不同半径的圆，以确保它们相互切于一点。
本文将介绍并证明列盖尔圆盘定理，以便更好地理解这个定理的证明过程。
一、定理的陈述列盖尔圆盘定理陈述如下：对于给定的两个不同半径的圆，存在切线使得这两个圆相切于切线的一点。
证明：为了证明这个定理，我们假设有两个不同半径的圆，一个半径为r1的圆和一个半径为r2的圆。
我们将证明，存在一条切线通过这两个圆，且在切线上存在一个点，使得这两个圆与该点相切。
令O1和O2分别表示两个圆的圆心，连接O1O2。
根据两个圆的性质，在O1O2上存在一点A，使得O1A和O2A分别与两个圆相切。
我们将证明点A就是所要求的切线与两个圆的切点。
1. 先证明点A在两个圆上根据两个圆的性质，在直径上的任意两个点构成的弦垂直于半径，所以O1A ⊥ OA，O2A ⊥ OA。
因此，点A在两个圆上。
2. 再证明点A是切线与两个圆的切点我们设点B是切线与圆O1的切点，点C是切线与圆O2的切点。
我们需要证明O1B = O2C。
连接OA，并延长OA到点D，使得OD = r2 - r1。
连接点D和点B，以及点D和点C。
由于OD ⊥ BC，所以D是BC的中点。
根据勾股定理，在△O1D和△ABO1中，有O1D² = O1A² + AD²，AB² = O1A² + OB²。
将AD的值带入到第一个等式，得到O1D² = AB² + OB² - 2r1r2。
同样地，在△O2D和△ACO2中，也有 O2D² = O2A² + AD²，AC² = O2A² + OC²。
将AD的值带入到第一个等式，得到O2D² = AC² + OC² -2r1r2。
将两个等式相减，得到O1D² - O2D² = AB² - AC² + OB² - OC²。
与圆有关的几个定理课件
• 圆的基础知识 • 与圆有关的定理 • 定理的应用
圆的基础知识
圆的定义
总结词
圆的定义是指平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成 的图形。
详细描述
圆是一种常见的几何图形，其定义包括一个固定点（圆心） 和固定距离（半径）。在平面内，任何一点到圆心的距离等 于半径，这个距离是恒定的，不随点的位置变化而变化。
圆的性质
总结词
圆的性质包括对称性、等距性和相交弦定理等。
详细描述
圆具有多种性质，其中最重要的是其对称性，即圆关于圆心对称，任何经过圆心的直线都可以将圆分成两个完全 相等的部分。此外，从圆心到圆上任一点的距离相等，这是圆的等距性。在相交弦定理中，如果两条弦交于圆上 一点，则两弦的乘积等于两弦各自与圆心到弦的垂足之间的线段的乘积。
与圆有关的定理的推广
圆内角定理的推广
弦切角定理的推广
从圆内角的度数等于其所夹弧所对圆 周角的两倍，推广到圆内角的度数等 于其所夹弧所对圆周角的n倍，其中n 为任意正实数。
从弦切角的度数等于其所夹弦所对圆 心角的二分之一，推广到弦切角的度 数等于其所夹弦所对圆心角的n分之 一，其中n为任意正实数。
圆周角定理的推广
详细描述
弦长定理指出，圆中的弦的长度等于 该弦所对的弧的长度。这个定理是圆 的基本性质之一，也是解决与圆有关 的几何问题的重要工具。
圆幂定理
总结词
圆幂定理是关于圆上一点到圆心的距离与该点到圆周上任一点的乘积的性质，它 说明了该乘积是一个常数。
详细描述
圆幂定理指出，对于圆上的任意一点，它到圆心的距离的平方等于该点到圆周上 任一点的距离的平方与圆的半径的平方之和。这个定理是圆的基本性质之一，也 是解决与圆有关的几何问题的重要工具。
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圆的有关证明综合练习
1，（2014临沂）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，
以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作
，垂足为E.
DE AC
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.
2，（临沂201023）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如果∠BDE= 60°，PD =3，求P A的长．
3，（2013菏泽）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA 的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）OC=CP，AB=6，求CD的长．
4，如图，以R t △ABC 的直角边AB 为半径作⊙O ，与斜边交与点D ，E 为BC 边上的中点，连接DE.
(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2) 连接OE,AE,当∠CAB=_________时，四边形ABCD 是平行四边形。
说明你的理由。
5，聊城24．（本题满分10分）如图，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的
切线，CD 是垂直于AB 的弦，垂足为E ，过点C 作DA 的平行线
与AF 相交于点F ，CD=
BE=2．
求证：⑴四边形FADC 是菱形；
⑵FC 是⊙O 的切线．
6，东营20．（12-2直线与圆的位置关系·2013东营中考）(本题满分8分)如图，AB 为O ⊙的直径，点C 为O ⊙上一点，若=BAC CAM ∠∠，过点C 作直线l 垂直于射线AM ，垂足为点D ．
（1）试判断CD 与O ⊙的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l 与AB 的延长线相交于点E ，O ⊙的半径为3，并且30CAB °∠=. 求CE 的长．
7，枣庄24.(本题满分10分)
如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线EF 经过点C ，AD EF ⊥于点D ，.DAC BAC =∠∠
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）求证：AB AD AC ⋅=2；
（3）若⊙O 的半径为2，30ACD =∠°，求图中阴影部分的面积．
8，德州20．（8分）（2013•德州）如图，已知⊙O 的半径为1，DE 是⊙O 的直径，过点D 作⊙O 的切线AD ，C 是AD 的中点，AE 交⊙O 于B 点，四边形BCOE 是平行四边形．
（1）求AD 的长；
（2）BC 是⊙O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．
9．（10分）（2013•莱芜）如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．
（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；
（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．
10．（10分）（2014•德州）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB 的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
11．（10分）（2014•威海）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．
12．（10分）（2014•聊城）如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P．连接PC并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是半⊙O的切线；
（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF的长．
13．(本题满分8分)如图，AB是⊙O的直径．OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D．F 是BA延长线上一点，若CDB BFD
∠=∠．
(1)求证：FD是⊙O的一条切线；
(2)若AB=10，AC=8，求DF的长．
菏泽14．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD
∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若=，求cos∠ABC的值．。