微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究

微专题：解析几何中斜率之积为定值（2

2

21a

b k k -=•）的问题探究

【教学重点】掌握椭圆中2

2

21a

b k k -=•的形成的路径探寻及成果运用理性判断

【教学难点】运算的设计和化简

活动一：2

2

21a

b k k -=•形成的路径探寻

1. 若AB 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上的不过原点的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB

的斜率都存在，求PO AB

K K •．

【解析】 ：设点()0

,y x P

，()1

1

,y x A ，()2

2

,y x B ，

则有；；)2(1)1(122

222

222

122

1=+=+b

y

a x

b y a x （代点作差）

将①式减②式得，

，

，

所以所以，

即2

2

a

b K K PO

AB

-=•．

【结论形成总结】

【结论1】 若AB 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上的非直径的弦，点P 是弦AB 的中点，且

直线OP,AB 的斜率都存在，则1222

-=-=•e a

b K K PO

AB ．

2.已知AB 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上过原点的弦，点P 是椭圆异于A,B 的任意一点，

若直线PA,PB 的斜率都存在，记直线PA,PB 的斜率分别为21k k ，．求21k k •的值。

【解法1】：设()0

,y x P

，()1

1

,y x A 又因为A,B 是关于原点对称，

所以点B 的坐标为()11-,-y x B ，所以

2

1202

1201010101021x x y y x x y y x x y y k k --=++•--=

•．

又因为点()00,y x P ，()11,y x A 在椭圆上，所以有；

；)2(1)1(122

1

22

122

022

0=+=+b y a x b y a x

两式相减得，

2

2

21202120-a

b x x y y =--，所以2

2

21a

b k k -=•．

【方法小结】本解法从设点入手，利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。

------------------------------------------------------------------------------- 【解法2】椭圆圆化；由圆的结论类比到椭圆中。 过圆2

2

2

r y x =+上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值

1-=•PB PA K K

类比上述圆的结论通过伸缩变换椭圆圆化

令';'y b y x a x == 则有 ()1')'()0(122

2

222=+⇒>>=+y x b a b y a x ()⎪⎭⎫

⎝⎛⇒b y a x P y x P 0000,',； 点P,A,B 为椭圆上点

()⎪⎭⎫

⎝⎛⇒b y a x A y x A 1111,', 点p ’,A ’,B ’为新圆上点

()⎪

⎭⎫ ⎝⎛--⇒--b y a x

B y x B 1111,', 由圆上的1-''''=•B P A P k k 的关系过渡到PA,PB 上

22

2

12021

202121202120'

''')()()()(1)()a ()()b (

a b x x y y k k a x x b y y k k B P A P -=--=•⇒-=--=•

【方法小结】解法2运用类比联想的方法；由圆的结论过渡到椭圆，学生易于理解，但通过

伸缩变换将椭圆圆化的过程对于学生的能力具有一定的要求。这也正是我们要加强训练的地方。

【结论形成总结】

【 结论2】 已知AB 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的中心弦，点P 是椭圆上任意一点，

若直线PA,PB 的斜率都存在，则1222

-=-=•e a

b K K PB

PA ．

活动二：2

2

21a

b k k -=•结论的应用

【例1】

（1）已知椭圆C ：1362

2=+y x ，

直线m 与椭圆C 相交于A,B 两点，

且AB 的中点为P(1,1) 则直线m 的方程为

【解析】本题具有弦中点的特征所以应用结论121

-22=-=•a b K K PO

AB

因为P(1,1)易求1=PO K 的，所以21

-

=AB K

所以直线m 的方程为：x+2y-3=0

（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆1b

422

2=+y x 的左、右焦点，B ，