第六章级数

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高等数学大学教材详解

高等数学大学教材详解高等数学是大学阶段数学学科中的一门重要课程，对于理工科和相关专业的学生来说至关重要。

本篇文章将对高等数学大学教材进行详解，以帮助学生更好地理解和掌握这门课程。

第一章：函数与极限函数与极限是高等数学的基础，也是理解后续内容的关键。

本章首先介绍了函数的概念与性质，包括定义域、值域、单调性等。

接着深入讲解了极限的概念与运算法则，包括函数极限、数列极限等。

通过大量的例题和练习，帮助学生建立对函数与极限的基本理解与计算能力。

第二章：导数与微分导数与微分是求解函数的变化率与趋势的重要工具。

本章详细介绍了导数的概念与性质，包括导数的定义、几何意义以及常见函数的导数法则。

接着讲解了微分的概念与运算，包括微分的定义、微分中值定理等。

通过大量的实例演算和问题解析，帮助学生熟练掌握导数与微分的计算方法与应用技巧。

第三章：积分与定积分积分与定积分是对函数进行求和与面积计算的重要方法。

本章首先介绍了积分的概念与性质，包括不定积分、定积分和反常积分等。

接着讲解了积分的基本运算法则和常见函数的积分公式。

同时，重点讲解了定积分的概念与应用，包括定积分的几何意义、定积分的计算方法以及定积分在物理学等领域的应用。

通过大量的实际问题求解，帮助学生掌握积分与定积分的计算技巧和应用技能。

第四章：微分方程微分方程是描述变化过程中相关量之间关系的数学工具。

本章首先介绍了常微分方程的基本概念与分类，包括一阶微分方程、高阶线性微分方程等。

接着介绍了一阶线性微分方程、高阶线性均匀微分方程和欧拉方程的解法。

通过具体的例题和练习，帮助学生掌握微分方程的求解方法和应用技巧。

第五章：多元函数微分学多元函数微分学是研究多个变量间相互关系的数学分支。

本章首先介绍了二元函数、多元函数的定义与性质，包括偏导数、全微分等。

接着讲解了多元函数的极值与最值，包括极值判定条件、拉格朗日乘数法等。

通过大量的实例分析和应用问题，帮助学生掌握多元函数微分学的计算方法与应用技巧。

无穷级数

定理2 定理2 如果
a n +1 lim = ρ, n→∞ a n
n n +1 其中 an , an+1 是幂级数 ∑ an x n中 x , x 项的系数且一切项的系数,且一切
∞
an ≠ 0, 则
n =1
,
(1)当0 < ρ < +∞ 时, 该幂级数的收敛半径为 R = 当
1
(2)当 (2)当 ρ = 0 时, 该幂级数的收敛半径为 R = +∞; (3)当 (3)当 ρ = +∞ 时, 该幂级数的收敛半径为 R = 0.
∞
n
= C ∑ un
n =1 n
∞
(2)设级数 (2)设级数
∑ u ,∑v
n =1 n n =1
分别收敛到 s , σ ,则 ∑ ( un ± vn )
n =1
∞
收敛到 s ± σ . 在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性. (3) 在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性. 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. (4) 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. 级数收敛的必要条件
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
发散. 发散
2. 比较审敛法的极限形式设
∑u
n =1
∞
n
与 ∑ vn 都是正项级数,如果都是正项级数,
n =1
∞
则
∑ u ,∑v
n =1 n n =1
∞
un lim = l (0 < l < +∞ ), n→∞ v n
∞ n
的敛散性相同. 的敛散性相同
比值审敛法(达朗贝尔审敛法) 3. 比值审敛法(达朗贝尔审敛法)

高数第六章无穷级数

第六章无穷级数无穷级数是数学分析的一个重要工具，也是高等数学的重要组成部分.本章首先讨论常数项级数，然后研究函数项级数，最后研究把函数展开为幂级数和三角级数的问题.我们将只介绍两种最常用的级数展开式——泰勒级数展开式和傅里叶级数展开式.第一节常数项级数的概念和性质常数项级数的概念在中学课程中，我们就已经遇到过“无穷项之和”的运算，比如等比级数2n a +ar +ar ++ar +另外，无限小数其实也是“无穷项的和”，比如14142234414.1210101010=+++=++对于有限项之和，我们在初等数学里已经详尽地研究了；对于“无穷项之和”，这是一个未知的新概念，不能简单地引用有限项相加的概念，而必须建立一套严格的理论.定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用“+”号连接起来的表达式123n u u u u +++++ (6-1-1)称做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为1231nn n u u u u u∞==+++++∑ ，其中，12,,,,n u u u 都称为级数(6-1-1)的项，n u 称为级数(6-1-1)的一般项或通项.级数1n n u ∞=∑是“无限多个数的和”.但怎样由我们熟知的“有限多个数的和”的计算转化到“无限多个数的和”的计算呢？我们借助极限这个工具来实现。

设级数1n n u ∞=∑的前n 项的和为n S ，即12n n S u u u =+++ (6-1-2)或1nk k n u S ==∑.我们称n S 为级数1n n u ∞=∑的前n 项部分和，简称部分和. 显然，级数1n n u ∞=∑的所有前n 项部分和nS 构成一个数列{}n S ，我们称此数列为级数1n n u ∞=∑的部分和数列.定义2 若级数1n n u ∞=∑的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞=），则称级数1n n u ∞=∑收敛，称S 为级数1n n u ∞=∑的和，记作1231n n n S u u u u u ∞==+++++=∑ .而12n n n n r S S u u ++=-=++称为级数1n n u ∞=∑的余项，显然有lim lim()0n n n n r S S →∞→∞=-=.若{}n S 是发散数列，则称级数1n n u ∞=∑发散，此时级数1n n u ∞=∑没有和.由此可知，级数的收敛与发散是借助于级数的部分和数列的收敛与发散定义的，于是研究级数及其和只不过是研究与其相对应的一个数列及其极限的一种新形式.例1 设,a q 为非零常数，无穷级数20n nn a aq q qa q a a ∞==+++++∑ (6-1-3)称为等比级数（又称为几何级数），q 称为级数的公比.试讨论级数0n n aq ∞=∑的敛散性.解若1q ≠，则11n n na aq S a aq aqq-=-=+++- 11n aq aq q-=--. 当1q <时，由于0lim nn q →∞=，从而lim 1n n a S q →∞=-，因此这时级数0n n aq ∞=∑收敛，其和为1aq -；当1q >时，由于lim nn q →∞=∞，从而lim n n S →∞=∞，这时级数0n n aq ∞=∑发散；当1q =时，若1q =，这时（）n S na n =→∞→∞，因此级数0n n aq ∞=∑发散；若1q =-，这时级数0n n aq ∞=∑成为a a a a -+-+ ，显然n S 随着n 为奇数或为偶数而等于a 或等于零，从而n S 的极限不存在，因此级数0n n aq ∞=∑发散.综上所述，对于等比级数0n n aq ∞=∑，当公比q 的绝对值1q <时级数收敛；当1q ≥时级数发散.例2 证明级数1111335(21)(21)n n ++++⋅⋅-⋅+ 收敛，并求其和.解由于1111(21)(21)22121n n n n n u ⎛⎫=- ⎪-⋅+-+⎝⎭=，因此1111335(21)(21)n S n n ++++⋅⋅-⋅+=1111111112323522121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎝++⎭⎭⎝⎭ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭. 从而1lim 2n n S →∞=，所以该级数收敛，它的和为12.例3 证明级数13111211n n n∞==+++++∑ 是发散的.证该级数的部分和为=131112n nS ++++ .显然，部分和数列{}n S 是单调增加的数列，要证明调和级数发散，仅须证明其部分和数列{}n S 无上界即可.事实上=11=12461112 3.222S S S +≥+⨯+⨯；；假设1212k S k ≥+成立，则=111221111122212222k k k kk k k S S +++-+++≥⋅=++ .于是()122111122k k S S k +≥+≥++.由归纳法，对一切正整数n 有212n nS ≥+. 由极限的性质，有lim n n S →∞=∞.故调和级数11n n∞=∑发散.常数项级数的性质性质1 若级数1n n u ∞=∑收敛于和，S k 为任意常数，则1n n ku ∞=∑也收敛，且其和为kS .证设级数1n n u ∞=∑与级数1n n ku ∞=∑的部分和分别为n S 与*n S ，显然有*n n S kS =.于是*lim lim lim n n n n n n kS k S k S S →∞→∞→∞===⋅.这表明级数lim n n ku →∞收敛，且和为kS .需要指出，若级数1n n u ∞=∑发散，即{}n S 无极限，且k 为非零常数，那么{*n S }也不可能存在极限，即lim n n ku →∞也发散.因此可以得出如下结论：级数的每一项同乘以一个不为零的常数后，其敛散性不变.上述性质的结果可以改写为1lim n n n n ku u ∞→∞==∑（0k ≠为常数），即收敛级数满足分配律.性质2 若级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑分别收敛于12，S S ，则级数1n n n u v ∞=±∑也收敛，且其和为12S S ±. 可以利用数列极限的运算法则给出证明.性质2的结果表明：两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减.性质3 在级数中去掉、增加或改变有限项，不会改变级数的敛散性.证只需证明“去掉、改变级数前面的有限项，或在级数前面增加有限项，不会改变级数的敛散性”.设将级数121n n n u u u u ∞==++++∑ 的前k 项去掉，得新的级数12k k k n u u k +++++++此级数的前n 项部分和为12n k k k n k n k A u u u S S ++++=+++=- ，其中k n S +是原来级数的前k n +项的和.因为k S 是常数，所以当n →∞时，n A 与k n S +或同时存在极限，或同时不存在极限.类似地，可以证明改变级数前面的有限项或在级数的前面加上有限项，不会改变级数的敛散性.性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛，且其和不变.证设级数1n n u ∞=∑的部分和为n S ，加括弧后的级数（把每一括弧内的项之和视为一项）为()()()121112111212k k k n n n n n n n uu u u u u u u u --+++++++++++++++++设其前k 项之和为k A ，则有11211n n A u u u S =+++= ，()()2121112212n n n n n u u u A S u u u ++=++++++=+ ，()()()121112111212k k k k n n n n k n n n n A u u u u u u u u S u --+++++++++++=++++=+ ，可见数列{}k A 是数列{}n S 的一个子列，由收敛数列与其子列的关系可知，数列{}k A 必定收敛，且有lim lim k n k n A S →∞→∞=，即加括弧后所成的级数收敛，且其和不变.注意若加括弧后所成的级数收敛，则不能断定原来的级数也收敛.例如，（11）（11）-+-+ 收敛于零，但级数111111(1)nn i -==-+-+-∑ 却是发散的. 推论若加括弧后所成的级数发散，则原来的级数也发散.性质5（级数收敛的必要条件）若级数1n n u ∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即0lim n n u →∞=.证设级数1n n u ∞=∑的部分和为n S ，且（）n S S n →→∞，则 11lim()nn n n n uS S ∞-→∞==-∑10lim lim n n n n S S S S -→∞→∞-==-=.由性质5可知，若n →∞时级数的一般项不趋于零，则该级数必定发散. 例如，级数112331471031n n nn n ∞==+++++++∑ 的一般项31n u nn =+当n →∞时，不趋于零，因此该级数是发散的. 注意级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.例如，在例3中讨论的调和级数11n n∞=∑，虽然它的一般项()10n n n u =→→∞，但它是发散的.*三、柯西审敛原理因为级数1n n u ∞=∑的敛散性与它的部分和数列{}n S 的敛散性是等价的，故由数列的柯西审敛原理可得下面的定理.定理1［柯西（Cauchy ）审敛原理］级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件为：0ε∀>，总存在自然数N ，使得当n N >时，对于任意的自然数p ，都有12n n n p u u u ε++++++<成立.证设级数1n n u ∞=∑的部分和为n S ，因为12n n n p n p n u u u S S +++++++=- ，所以，由数列的柯西审敛原理，即得本定理结论.例4 利用柯西审敛原理证明级数1cos 22nn n ∞=∑收敛.证对任意自然数p ，都有1212cos 2cos 2cos 2222n n n p n n n n p pn S S +++++++-++=+ 12111222n n n p++++++≤111122112n p +⎛⎫- ⎪=⎝⎭- 1111222n p n ⎛⎫< ⎪⎝⎭=-.于是，对()100εε>∀<<，2log 1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∃，当n N >时，对任意的自然数p 都有12n p n n S S ε+-<<，从而该级数收敛.例5 证明级数n ∞=. 证对任意自然数p ，都有n p n S S ++-=>.特别地取p n =，得2n n S S -n ∞=发散.第二节正项级数敛散性判别法本节我们讨论各项都是非负数的级数，这种级数称为正项级数.研究正项级数的敛散性十分重要，因为许多其他级数的敛散性问题都可归结为正项级数的敛散性问题.设级数12n u u u ++++ (6-2-1) 是一个正项级数（0n u ≥），它的部分和为n S ，显然，数列{S n }满足：12n S S S ≤≤≤≤ ，即{}n S 是单调增加的数列.而单调增加的数列收敛的充要条件是该数列有上界，于是可以得到下面的定理.定理1 正项级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{}n S 有上界.以这个定理为基础，可以导出判断正项级数是否收敛的几种方法.定理2（比较审敛法）设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数，且存在自然数N 和正常数k ，当n N ≥时，有n n u kv ≤，则有：（1）若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑也收敛；（2）若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散.证根据级数的性质，改变级数前面有限项并不改变级数的敛散性，因此，不妨设对任意自然数n 都有()123,,,n n u kv n ≤= .设级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑的部分和分别为n A 与n B ，由上面的不等式有1212n n n n A u u u kv kv kv kB =+++≤+++= .（1）若级数1n n v ∞=∑收敛，根据定理1的必要性，数列{}n B 有上界，由不等式n n A kB ≤知，数列{}n A 也有上界，于是1n n u ∞=∑收敛.（2）采用反证法.若1n n v ∞=∑收敛，则由（1）知1n n u ∞=∑收敛，与已知矛盾，因此1n n v ∞=∑发散.推论设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数，且(),im00l n nn nk v u v k →∞=≤≤+∞≠，则有：（1）若0k <<+∞，则级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑同时收敛或同时发散；（2）若0k =，则当1n n v ∞=∑收敛时，1n n u ∞=∑收敛；（3）若k =+∞，则当1n n v ∞=∑发散时，1n n u ∞=∑发散.证（1）由极限定义，对2εk=，存在自然数N ，当n N >时有不等式 22n n u k k k v k <<+-，即322n n n u k v k v <<. 再根据比较审敛法，即得所要证的结论. （2）当0k =时，对1ε=，由极限的定义，存在自然数N ，当n N >时，有10nnu v ≤<，从而n n u v <.再根据比较审敛法，当1n n v ∞=∑收敛时，1n n u ∞=∑收敛.（3）当k =+∞时，由极限的定义，存在自然数N ，当n N >时，有1nnu v >，从而n n u v >.再根据比较审敛法，当1n n v ∞=∑发散时，1n n u ∞=∑发散.例1 讨论p 级数11111123p p p n pu n∞==+++++∑ (6-2-2) 的敛散性，其中0p >为常数.解先考虑1p >的情形，因为当1n x n -≤≤时，有11pp n x≤，所以 d d 2,3,11111111111())(1n n p p p p p n n x x p n n n n x n ----⎡⎤=≤=-⎢⎥-=-⎣⎦⎰⎰ . 考虑级数11211(1)p p n n n ∞--=⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦∑. (6-2-3) 级数(6-2-3)的部分和为11111111111223(1)p p p p p n n n S -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎝=⎭⎭111(1)p n --+=. 因为11lim lim 11(1)n p n n S n -→∞→∞⎡⎤=-=⎢⎥+⎣⎦，故级数(6-2-3)收敛，根据定理2，原级数收敛. 当10p <≤时，有11p n n ≥，而11n n∞=∑发散，根据定理2，原级数发散. 例2 判别下列正项级数的敛散性：（1） 11sin n n n =∑；（2） 211ln 1nn n =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑. 解（1）因为1sin lim11n n n →∞=，而11n n∞=∑发散，根据推论1，该级数发散；（2）考察221ln 1lim 1n n n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，用实变量x 代替n ，并应用洛必达法则，有 0ln(1)1lim lim 11n x x xx →∞→+==+. 因此221ln(1)lim 1n n n→∞+，而211n n∞=∑收敛，故该级数收敛.定理3［比值审敛法，达朗贝尔（D’Alembert ）判别法］若对正项级数1n n u ∞=∑有：1limn n nu ρu +→∞=，则当1ρ<时，级数收敛；1ρ>（或1limn n nu u +→∞=+∞）时，级数发散；1ρ=时级数可能收敛，也可能发散.证（1）当1ρ<时，取一个适当小的正数ε，使得1ρεγ+=<，根据极限定义，存在自然数N ，当n N >时有1n nu u ρεr +<+=. 由此，并利用归纳法，容易证明1,2,k N k Nu r u k +≤= .而1r <时，等比级数1kN k r u ∞=∑是收敛的. 所以1N k k u ∞+=∑也收敛.由于级数1n n u ∞=∑只比1N k k u ∞+=∑多前N 项，因此级数1n n u ∞=∑也收敛.（2）当1ρ>时，取一个适当小的正数ε，使得1ρε->，根据极限定义，存在自然数N ，当n N >时，有不等式＞11n nu u ρε+->，也就是1n n u u +>，所以当n N >时，级数的一般项n u 是逐渐增大的，从而0lim n n u →∞≠，根据级数收敛的必要条件可知级数1n n u ∞=∑发散.类似地，可以证明当1limn n nu u +→∞=+∞时，级数1n n u ∞=∑发散. （3）当1ρ=时，级数可能收敛也可能发散. 例如，p 级数11p n n ∞=∑，不论p 为何值都有 11(1)lim lim 11p n n n npu n u n +→∞→∞+==. 但我们知道，当1p >时级数收敛，当1p ≤时，级数发散.例3 判断下列正项级数的敛散性.（1）112n n n ∞-=∑；（2）1!n n n n∞=∑；（3）616nn n∞=∑.解（1）111112lim lim lim 1222n n n n n nn n u n u n n +→∞→∞→∞-++===<，故级数收敛.（2）e 11(1)!(1)1lim lim lim 1!1nn n n n n nn n u n n u n n n ++→∞→∞→∞++⎛⎫===< ⎪+⎝⎭，故级数收敛. （3）166166(1)lim lim lim 66116n n n n n n nu n n u n n++→∞→∞→∞+⎛⎫===> ⎪+⎝⎭ ，故级数发散. 定理4（根值判别法，柯西判别法）若对正项级数1n n u ∞=∑有：n ρ∞==，则当1ρ<时，级数收敛；1ρ>（或n ∞=+∞）时，级数发散；1ρ=时，级数可能收敛也可能发散.证（1） 1ρ<时，我们总可取到适当小的正数ε，使1ρε+<.根据极限定义，对于该正数ε1ρr ε<+=<，即nn u r <，由于等比级数1n n r ∞=∑（公比1r <）收敛，由比较审敛法知级数1n n u ∞=∑收敛.（2） 1ρ>时，我们总可取到正数ε，使1ρε->.根据极限定义，对于该正数ε，存在自然数N ，当n N ≥时，有1ρε>->，即1n u >，于是lim 0n n u →∞≠，故级数1n n u ∞=∑发散.（3）1ρ=时，仍可用p 级数作为例子说明. 例4 判断下列正项级数的敛散性：（1）1321nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑；（2）()21ln nn n ∞=∑；（3）ln 153nnn ∞=∑. 解（1）33lim1212n n n n →∞=>+，故级数发散；（2）1lim01ln n n n→∞=<，故级数收敛；（3）ln 5lim 513n n n n→∞=>，故级数发散. *定理5（积分判别法）设()f x 为定义在［1，）+∞上的非负单调递减函数，那么正项级数1()n f n ∞=∑与反常积分d 1()f x x +∞⎰具有相同的敛散性.证由于（）f x 为［1，）+∞上的非负单调减函数，故对任何正数A ，（）f x 在［1，］A 上可积，且有()d （）1,2,3,1()kk f x x f k f k k -≤≤-=⎰.依次相加，可得d 11221()()(1)()nn n nk k k f k f x x f k f k -===≤≤-=∑∑∑⎰. (6-2-4)若反常积分d 1()f x x +∞⎰收敛，则由(6-2-4)式知：对任何自然数n ，有d d 111()(1)()(1)()nnn k S f k f f x x f f x x +∞==≤+≤+∑⎰⎰.根据定理1，级数1()n f n ∞=∑收敛.反之，若1()n f n ∞=∑为收敛级数，则由(6-2-4)式知：对任一自然数()1n n >有d 111()()nn k f x x S f k S ∞-=≤≤=∑⎰. (6-2-5)因为（）f x 为非负单调减函数，故对任何正数［,1］A n n ∈+，都有d 110(),An f x x S n n S A ≤≤≤≤≤+⎰.根据无穷点极限存在判别法，可知反常积分d 1()f x x +∞⎰收敛.例5 讨论级数（1）21(ln )pn n n ∞=∑；（2）31ln (lnln )pn n n n ∞=∑的敛散性.解（1）考虑反常积分d 2(ln )pxx x +∞⎰，由于d(ln )d d 22ln 2(ln )(ln )p p p x xu x x x u +∞+∞+∞==⎰⎰⎰.上式右端的反常积分当1p >时收敛；当1p ≤时发散.根据积分判别法知，级数当1p >时收敛；1p ≤时发散.（2）考察反常积分31ln (ln ln )px x x +∞⎰，类似可推出1p >时收敛，当1p ≤时发散. 第三节任意项级数敛散性判别法上一节，我们讨论了正项级数的敛散性判别问题.对于任意项级数的敛散性判别要比正项级数复杂，这里先讨论一种特殊的非正项级数的收敛性问题.一、交错级数收敛性判别法定义1 如果级数的各项是正、负交错的，即112341(1)n n n u u u u u ∞-=-=-+-+∑ (6-3-1)或112341(1)n n n u u u u u ∞-=-=-+-+-∑ ， (6-3-2)其中()1,2,0n u n ≥= ，则称此级数为交错级数.定理1[莱布尼茨（Leibniz ）判别法] 如果交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件：（1）()1231,,,n n u n u +=≥ ；（2）lim 0n n u →∞=，则级数收敛，且其和1S u ≤，其余项n r 的绝对值1n n r u ≤+.证先证明级数前2n 项的和2n S 的极限存在.为此把2n S 写成两种形式：()()()21234212n n n S u u u u u u -=-+-++-及()()()21234522212n n n n S u u u u u u u u --=-------- .根据条件（1）知道所有括弧中的差都是非负的，由第一种形式可见数列{}2n S 是单调增加的.由第二种形式可见21n S u ≤.于是由“单调有界数列必有极限”的准则知2lim n n S →∞存在，记为S ，则有12lim n n S S u →∞=≤.下面证明级数的前21n +项的和21n S +的极限也是S .事实上，我们有21221n n n S S u ++=+.由条件（2）知21lim 0n n u +→∞=，因此21221lim lim()n n n n n S S u S ++→∞→∞=+=.由数列{}2n S 与{}21n S +趋于同一极限S ，不难证明级数11(1)n n n u ∞-=-∑的部分和数列{}n S 收敛，且其极限为S ，因此级数11(1)n n n u ∞-=-∑收敛于和S ，并且有1S u ≤.最后，由于12n n n r u u ++=-+ 或 12n n n r u u ++=-+- ，从而12n n n r u u ++=-+ .这也是一个满足定理条件的交错级数，根据上面所证，有1n n r u +≤.例1 判别下列交错级数的收敛性.（1）111(1)n n n ∞-=-∑；（2）11(1)10n nn n∞-=-∑. 解（1）因()1,2,111n n n =>+ ，1lim 0n n →∞= ，根据莱布尼茨判别法，级数收敛，其和1S ≤. （2）易证111010n n n n ++>（利用110n n ⋅>+），且im 100l n n n →∞=，根据莱布尼茨判别法，级数收敛，其和S 110≤.绝对收敛与条件收敛现在讨论任意项级数1n n u ∞=∑的敛散性.定义2 如果级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑绝对收敛；如果级数1n n u ∞=∑收敛，而级数1nn u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛.定理2 如果级数1n n u ∞=∑绝对收敛，则级数1n n u ∞=∑必定收敛.证设级数1nn u∞=∑收敛，令()()1,2,3,12n nn v u u n =+= .显然0nv≥，且n n v u ≤()1,2,3,n = .由比较审敛法知级数1nn v∞=∑收敛，从而级数12n n v ∞=∑也收敛，而2n n n u v u =-，由收敛级数的性质可知1112nn n n n n uv u ∞∞∞====-∑∑∑收敛，定理证毕.注意上述定理的逆定理不成立.定理2说明，对于任意项级数1n n u ∞=∑，若用正项级数的审敛法判定出级数1n n u ∞=∑收敛，则1nn u ∞=∑亦收敛，这就使得一大类级数的收敛性判别问题可以转化为正项级数的收敛性判别问题.一般说来，如果级数1n n u ∞=∑发散，我们不能断定级数1n n u ∞=∑也发散. 但是，如果级数1n n u ∞=∑的一般项数列{}n u 不收敛于0，即()0n u n →→∞/，则我们必定可以得到()0n u n →→∞/.由级数收敛的必要条件，则一定可以断定级数1n n u ∞=∑发散.例2 判别级数21cos n nxn ∞=∑的收敛性. 解因为22cos 1nx n n ≤，而级数211n n ∞=∑收敛.所以级数21cos n nx n ∞=∑也收敛，由定理2知，级数21cos n nxn∞=∑绝对收敛. 例3 判别级数12111()(1)2nn nn n ∞=-⋅+∑的收敛性.解由211(1)2n n nu n =+，则有 11(1)2n n+e >1111lim 122nn n n →∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 故由正项级数的根值审敛法知级数211112n nn n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散，所以原级数发散. 绝对收敛级数有一些很好的性质，这是条件收敛级数所不具备的. *定理3 绝对收敛级数经任意交换项的位置后构成的级数也绝对收敛，且与原级数有相同的和（即绝对收敛级数具有可交换性）.证先证定理对于收敛的正项级数是正确的.设级数1n n u ∞=∑为收敛的正项级数，其部分和为n S ，和为S .并设级数1*n n u ∞=∑为1n n u ∞=∑任意交换项的位置后构成的级数，其部分和为*n S .对于任何正整数n ，我们总可取m 足够大，使12,,,***n u u u 各项都出现在12m m S u u u =+++ 中.于是得*n m S S S ≤≤，所以，单调增加的数列{}*n S 有上界，根据极限存在的准则可知*lim n n S →∞存在，即级数1*n n u ∞=∑收敛，且**lim n n S S S →∞=≤.另一方面，原来的级数1n n u ∞=∑也可看成是级数1*n n u ∞=∑交换项的位置后所成的级数，故应用上面的结论，又有*S S ≤.注意到上面已有*S S ≤，因此必定有*S S =. 下面证明定理对一般的绝对收敛级数是正确的.设级数1n n u ∞=∑收敛，()12n n n v u u =+.在定理2的证明中已知1n n v ∞=∑是收敛的正项级数，故有()111122nn n n n n n n n uv u v u ∞∞∞∞=====-=-∑∑∑∑.设级数1n n u ∞=∑任意交换项的位置后的级数为1*n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑相应地改变为1*n n v ∞=∑，1n n u ∞=∑相应地改变为1*n n u ∞=∑，由上面证得的结论可知*1*111,nn n nn n n n vv uu ∞∞∞∞======∑∑∑∑，所以11***12n n nn n n uv u ∞∞∞====-∑∑∑1112n n n n n n v u u ∞∞∞===-==∑∑∑.在给出绝对收敛级数的另一性质之前，我们先来讨论级数的乘法运算.设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都收敛，仿照有限项之和相乘的规则，写出从这两个级数中各取一项所有可能的乘积的(),1,2,3,i k u v i k = 如下：11111,,,,，23n u v u v u v u v ； 1,,,,，222232n u v u v u v u v ；1,,,,，332333n u v u v u v u v ；1,,,,，23n n n n n u v u v u v u v ；这些乘积可以用很多的方式将它们排成一个数列.例如，可以按“对角线法”或按“正方形法”将它们排成下面形状的数列.对角线法11121314212223243132333441424344u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v正方形法 11121314232122243431323341424344u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v对角线法排列为： 111221132231；，；，，；u v u v u v u v u v u v 正方形法排列为： 111222211323333231；，，；，，，，；u v u v u v u v u v u v u v u v u v 把上面排列好的数列用加号相连，就得到无穷级数.我们称按“对角线法”排列所组成的级数()()1112211211n n n u v u v u v u v u v u v -++++++++ 为两级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑的柯西乘积.*定理4（绝对收敛级数的乘法）设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都绝对收敛，其和分别为u 和v ，则它们的柯西乘积()()1112211211n n n u v u v u v u v u v u v -++++++++也是绝对收敛的，且其和为uv .证明从略.由定理4，我们利用收敛级数可以构造出另外一些非常有用的收敛级数.如当1r <时，几何级数11n n r ∞-=∑是绝对收敛的，且2111n r r rr =+++++- . 将()1211n n r r ∞-=⎛⎫ ⎪⎝⎭<∑按对角线的顺序排列.则得到2221（）（）211()(1)n n n n r r r r r r r r r +=+++++++++++- 2123（1）n r r n r =++++++ ()111n n r r n ∞-==<∑ .即()111n n r nr ∞-=<∑也是绝对收敛的，其和为21(1)r -.第四节函数项级数本节中我们进一步研究级数的各项都是某一个变量的函数的情况，即函数项级数.一、函数项级数的概念定义1 设()()()()()123,,,,,{}:n n u x u x u x u x u x 为定义在数集I 上的一个函数序列，则由此函数列构成的表达式：()()()()123+++++1()n nn u x u ux x u x u x ∞==∑ (6-4-1)称为定义在数集I 上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数.对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数(6-4-1)成为常数项级数()()()()()1231nnn x u x u x x u u x u ∞=+++++=∑ (6-4-2)若级数(6-4-2)收敛，则称点0x 是函数项级数(6-4-1)的收敛点；若级数(6-4-2)发散，则称点0x 为函数项级数(6-4-1)的发散点.函数项级数(6-4-1)的收敛点的全体构成的集称为其收敛域，发散点的全体构成的集称为发散域.对应于收敛域内的任意一个数x ，函数项级数成为一个收敛的常数项级数，因而有一确定的和，记为()S x .于是，在收敛域上，函数项级数的和()S x 是x 的函数，通常称()S x 为函数项级数的和函数.和函数的定义域是级数的收敛域，在收敛域内有()()()()()1231()n n n S x u x u x u x u u x x ∞==+++++=∑ .把函数项级数(6-4-1)的前n 项的部分和记作()n S x ，(){}n S x 称为函数项级数的部分和函数列.在函数项级数的收敛域上有lim ()()n n S x S x →∞=.我们仍把()()()n n r x S x S x =-称为函数项级数的余项（当然，只有x 在收敛域上()n r x 才有意义）.显然有lim (0)n n r x →∞=.与常数项级数一样，函数项级数的敛散性就是指它的部分和函数列的敛散性. 例1 判断下列级数的收敛性，并求其收敛域与和函数. (1)11n n x∞-=∑；(2)()110nn x x ∞=⎛⎫⎪⎝⎭≠∑.解 (1) 此级数为几何级数(即等比级数)，由第一节例1知1x <时，级数收敛，1x ≥时级数发散.故其收敛域为(-1，1)，和函数为11()lim ()lim n n n n n S x S x x ∞-→∞→∞===∑1111li 1(m)1n n x x x x →∞--=<-<=- . (2) 此级数也为几何级数，公比为1x ，由(1)知11x <时，级数收敛. 11x≥时级数发散，其收敛域为，11，()()-∞-+∞ ，和函数为()()111111xx x S x x =⎛⎫-- ⎪⎝⎭=> .二、幂级数及其收敛性函数项级数中简单而应用广泛的一类级数就是各项都是幂函数的级数，称为幂级数.它的形式为21200n n nn n a a x a xa x a x ∞==+++++∑ (6-4-3)或212000000()()()()n n n nn a a x x a x x a ax x x x ∞==+-+--++-+∑ ， (6-4-4)其中,1,2,(0)n a n = 是常数，称为幂级数的系数，0x 为常数. 对于第二种形式的幂级数，只需作代换0t x x =-，就可以化为第一种形式的幂级数.因此我们主要讨论第一种形式的幂级数.显然，0x =时幂级数0nn n a x ∞=∑收敛于0a ，即幂级数0n n n a x ∞=∑至少有一个收敛点0x =.除0x =以外，幂级数在数轴上其他的点的收敛性如何呢？先看下面的例子:考虑幂级数210n n n x x x x ∞==+++++∑ ，由本节例1可知，该级数的收敛域是开区间1,1()-，发散域是，1］［1，()-∞-+∞ . 从这个例子可以看到，这个幂级数的收敛域是一个区间.事实上，这个结论对于一般的幂级数也是成立的.定理1［阿贝尔(Abel)定理］若幂级数0n n n a x ∞=∑在()000x x x =≠处收敛，则对满足＜0x x 的一切x ，该级数绝对收敛，反之，若级数0n n n a x ∞=∑在0x x =时发散，则对满足0x x >的一切x ，该级数也发散.证先证第一部分.即要证明若幂级数在00x x =≠收敛，则对满足＜0x x 的每一个固定的x 都有0nn n a x ∞=∑收敛.因为nnnn n x a xa x x =⋅，且＜10x x ，故0nx x 可看作一收敛的几何级数的通项，而由00n n n a x ∞=∑收敛可知0lim 0nn n a x →∞=.根据极限的性质，存在＞0M ，使得,1,2,0(0)nn M n a x ≤= .因此，对,1,2,0n = 有 0··nnnn n n xx a xa M x x x ≤=.因为00nn x x ∞=∑是收敛的等比级数(公比为＜10x x )，根据比较审敛法知0n nn a x ∞=∑收敛，也就是nn n a x∞=∑绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明.若幂级数在0x x =发散，而有一点1x 使1＞0x x 且幂级数在1x 处收敛，则根据本定理的第一部分，级数在0x x =应收敛，这与所设矛盾，定理得证.定理1告诉我们，若幂级数在()000x x x =≠处收敛，则对于开区间(),00x x -内的任何x ，幂级数都收敛，若级数在1x x =处发散，则对于区间()()11，，x x -∞-+∞ 上的任何x ，幂级数都发散.我们知道，幂函数在整个数轴上有定义，对于给定的幂级数0n n n a x ∞=∑而言，数轴上所有的点都可归为其收敛点和发散点这两类中的一类，而且仅属于其中一类.因此，幂级数的收敛域必为以原点为中心的区间，该区间包含所有的收敛点.在前面的讨论中，我们假设幂级数在1x x =处发散，故1x 不属于收敛域.因而，收敛域包含在区间()11,x x -内，故幂级数如果既有非零的收敛点，又有发散点，则其收敛域是以原点为中心的由P '与P 所确定的有界区间，如图6-1所示.图6-1从上面的几何说明可得以下推论.推论若幂级数0nn n a x ∞=∑在，()-∞+∞内既有异于零的收敛点，也有发散点，则必有一个确定的正数R 存在，使得当＜x R 时，幂级数在x 处绝对收敛；当x R >时，幂级数在x 处发散；当x R =时，幂级数在x 处可能收敛也可能发散.我们称上述的正数R 为幂级数的收敛半径，称，()R R -为幂级数的收敛区间.幂级数的收敛区间加上它的收敛端点，就是幂级数的收敛域. 若幂级数仅在0x =收敛，为方便计，规定这时收敛半径0R =，并说收敛区间只有一点0x =；若幂级数对一切，()x ∈-∞+∞都收敛，则规定收敛半径R =+∞，这时收敛区间为，()-∞+∞.关于幂级数的收敛半径的求法，有下面的定理.定理2 若1lim n n na ρa +→∞=，则幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径：1,0,,0,0,.ρρR ρρ⎧≠⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎩证考察0n n n a x ∞=∑的各项取绝对值所成的级数2120n n a a x a x a x +++++ . (6-4-5)该级数相邻两项之比为111n n n nn n a x a x a a x +++=⋅. (1) 若 ()1lim0n n na ρa ρ+→∞=≠存在，根据正项级数的比值审敛法，当＜1ρx ，即1x ρ<时，级数(6-4-5)收敛，从而0nn n a x ∞=∑绝对收敛；当1ρx >，即1x ρ>时，级数(6-4-5)发散，故0nn n a x ∞=∑也发散. 这是因为当n →∞时，n n a x 不收敛于0，从而n n a x 亦不收敛于0.(2) 若0ρ=，则对任何0x ≠，有() 110n n nn a x a x n ++→→∞，所以级数(6-4-5)收敛，从而级数0n n n a x ∞=∑绝对收敛，于是R =+∞.(3) 若ρ=+∞，则除掉0x =外，对任意0x ≠都有＞1111lim limn n n nn n nn a x a x a a x +++→∞→∞⋅=+∞=，即对一切0x ≠，级数0n n n a x ∞=∑都发散，于是0R =.例2 求幂级数12310(1)(1)123n nnn n x x x x x n n ∞+-=-=-+++-++∑ 的收敛区间与收敛域.解因为111lim lim 11n n n na n ρa n+→∞→∞+===，所以收敛半径为11R ρ==，于是收敛区间为(-1，1).对于端点1x =，级数成为交错级数111(1)n n n ∞-=-∑，它是收敛的；对于端点1x =-，级数成为1111n n n n∞∞==-=-∑∑，它是发散的.因此原幂级数的收敛域为(1，1-⎤⎦.例3 求幂级数0!n n n x ∞=∑的收敛半径（这里!10=）.解因为1(1)!limlim !n n n n a n ρa n +→∞→∞+===+∞，所以收敛半径0R =，即级数仅在0x =收敛.例4 求幂级数21112!n x x x n+++++ 的收敛区间以及收敛域.解因为11(1)!1lim lim lim 011!n n n n na n ρa n n +→∞→∞→∞+====+，所以收敛半径R =+∞，从而收敛区间为，()-∞+∞，收敛域也是，()-∞+∞.例5 求幂级数20(1)2nnn n x ∞=-∑的收敛区间以及收敛域.解级数缺少奇次幂的项，定理2不能直接应用，我们根据比值审敛法求收敛半径.因为2212212(1)2lim lim 22(1)2n n n n n n n nx x x x +++→∞→∞-==-，所以当＜122x 时，级数收敛；＞122x时，级数发散.即xx.收敛半径为R =x =时，级数均为0(1)n n ∞=-∑，发散，所以原幂级数收敛区间与收敛域均为(.例5 求幂级数1(1)2nn n x n∞=+⋅∑的收敛区间以及收敛域.解令1t x =+，上述级数成为12nn n t n∞=⋅∑.因为1121lim lim 22(1)n n n n n na n ρa n ++→∞→∞===+ ，所以收敛半径为2R =.当2t =时，级数为11n n ∞=∑，发散；当2t =-时，级数为1(1)nn n ∞=-∑，收敛. 因此收敛区间为2＜＜2t -，即2＜1＜2x -+，亦即3＜＜1x -，所以原级数的收敛区间为(-3，1)，收敛域为)3,1-⎡⎣.三、幂级数的和函数的性质我们看到，幂级数在其收敛区间内任一点都是绝对收敛的，因而前面第一节中常数项级数的运算性质在收敛点都是行得通的.在收敛区间上定义的和函数有下面的性质.定理3 设幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛域为I ，则其和函数()S x 在区间I 上连续.由函数在区间上连续的定义，我们知道如果收敛域I 包含左（右）端点，则和函数()S x 在区间I 的左（右）端点必右（左）连续.在讨论幂级数的逐项求导与逐项求积之前，我们先说明这样一个事实，即幂级数(6-4-3)在收敛区间,()R R -内逐项求导与逐项求积之后所得到的幂级数112n n a +2a x ++na x +- (6-4-6)与211021n n a a a x x x n ++++++ (6-4-7) 的收敛区间也是,()R R -.事实上，设0x 是幂级数(6-4-3)的收敛区间,()R R -内的任意非零点，则必存在1,()x R R ∈-,满足01x x R <<.由于级数10n n n a x ∞=∑收敛，有1lim 0n n n a x →∞=，即{}1n n a x 为有界数列.而0001111n nnnn n n n x x a x a x a x x x ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，因此，存在正数M （可取为数列{}1n n a x 的上界）及1r < （可取10||||x r x =）,使得对一切正整数n ，有0n n n a x M r ≤，而10000n n n n n n M na x a x nr x x -=⋅≤，由级数的比值审敛法知1n n nr ∞=∑收敛，故0x 也是级数(6-4-5)的绝对收敛点. 因此幂级数(6-4-6)与(6-4-3)有相同的收敛区间.同理也可以得到幂级数(6-4-7)与(6-4-3)有相同的收敛区间.定理4 设幂级数0nn n a x ∞=∑在收敛区间,()R R -上和函数为()S x ，若x 为,()R R -内任意一点，则(1) ()S x 在x 处可导，且()11n n n na x S x ∞-='=∑；(2) ()S x 在0与x 构成的区间上可积，且d 10()1xn n n a S t t x n ∞+==+∑⎰.定理4指出幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积.例6 在区间(-1，1)内求幂级数111n n x n ∞-=+∑的和函数.解由于12lim 111n n n →∞+=+，所以此幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(-1，1).设和函数为()S x ，则()()111120,n n S x S x n ∞-=+==∑.对()2111n n x n x S x ∞+==+∑逐项求导得()21＜＜1111)11(n n n n x x x n x x S x x ∞∞-=='⎛⎫== ⎪+-'⎡⎤=-⎣⎭⎦⎝∑∑ . 对上式从0到x 积分得()d 20ln(1)1x xx x x xx S x ==----⎰.于是当0x ≠时，有()2ln(1)S x x x x +-=-. 从而2ln(1),01;()1,0.2x x x x S x x +-⎧-≤≤⎪=⎨⎪=⎩ 由幂级数的和函数的连续性可知，这个和函数()S x 在0x =处是连续的.事实上，我们有20ln(1)1lim ()lim(0)2x x x x S x S x →→---===.四、幂级数的运算设幂级数21200n n nn n a a x a xa x a x ∞==+++++∑ (6-4-8)及21200n n nn n b b x b xb x b x ∞==+++++∑ (6-4-9)分别在区间11,()R R -及22,()R R -内收敛.令12min ,{}R R R =，则根据收敛级数的性质，我们在区间,()R R -上对幂级数(6-4-8)和(6-4-9)可进行下面的加法、减法和乘法运算.1. 加法,0())(nnnn n n n n n n a xb x a x b R R x ∞∞∞====+∈+-∑∑∑.2. 减法,0())(nnnn n n n n n n a xb x a x b R R x ∞∞∞====-∈--∑∑∑.3. 乘法,0()n nnnnn n n n a x b xR c x x R ∞∞∞===∈⋅-=∑∑∑，其中0k n nk n k a b c -==∑.4. 除法00nnn n n nn n n a xc x b x∞∞=∞===∑∑∑，这里假设00b ≠.为了决定系数12,,,,,0n c c c c ，可以将级数0nn n b x ∞=∑与0n n n c x ∞=∑相乘（柯西乘积），并令乘积中各项的系数分别等于级数0n n n a x ∞=∑中同次幂的系数，即得000a b c =，11100a b c b c =+，2211200a b c b c b c =++，由这些方程就可以顺次地求出12,,,,,0n c c c c . 值得注意的是，幂级数(6-4-8)与(6-4-9)相除后所得的幂级数0n n n c x ∞=∑的收敛区间可能比原来两级数的收敛区间小得多.第五节函数展开成幂级数。

高数第六章

x ∈ ( ∞ ,+∞ )
1 2 1 3 n 1 x ln(1 + x ) = x x + x L + ( 1) +L 2 3 n x ∈ (1,1]
(1 + x)α = 1 +αx +
n
α(α 1)
2!
x +L+
2
α(α 1)L(α n + 1)
n!
xn +L
x ∈(1,1)
二、典型例题
例1
判断级数敛散性: (1)
∑
n=1
∞
n
1 n+ n
1n (n + ) n
1 n
;
1 n
解
n nn n , un = = 1 n 1 n (1 + 2 ) (n + ) n n
1 1 n 1 n2 n Q lim(1 + 2 ) = lim[(1 + 2 ) ] = e 0 = 1; n→ ∞ n→ ∞ n n 1 1 1 n x lim n = lim x = exp{lim ln x } n→ ∞ x →∞ x →∞ x
6、幂级数
(1) 定义
的级数称为幂级数幂级数. a n ( x x 0 ) n 的级数称为幂级数 ∑
n= 0 ∞
形如
当x0 = 0时,
an xn ∑
n=0
∞
为幂级数系数. 其中a n 为幂级数系数
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 称为幂级数的收敛半径定义: 正数称为幂级数的收敛半径幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 收敛区间
n→∞
收 , 其数敛且和s ≤ u1 ,其项n 的对 rn ≤ un+1. 余 r 绝值

大一高数1-9的习题答案

大一高数1-9的习题答案大一高数1-9的习题答案大一高数是大学数学的基础课程之一，对于理工科学生来说是非常重要的一门课程。

在学习过程中，习题是帮助我们巩固知识、提高能力的重要工具。

下面我将为大家提供大一高数1-9章节的习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。

第一章：极限与连续1. 求以下极限：a) lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)答案：2b) lim(x→1) (x^2 - 1) / (x - 1)答案：2c) lim(x→0) sinx / x答案：12. 判断以下函数在给定点是否连续：a) f(x) = x^2 + 3x - 2, x = 2答案：连续b) f(x) = 1 / x, x = 0答案：不连续第二章：导数与微分1. 求以下函数的导数：a) f(x) = 3x^2 - 2x + 1答案：f'(x) = 6x - 2b) f(x) = sinx + cosx答案：f'(x) = cosx - sinxc) f(x) = e^x + ln(x)答案：f'(x) = e^x + 1 / x2. 求以下函数的微分：a) f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1答案：df(x) = (6x^2 - 10x + 3)dx b) f(x) = √x + ln(x)答案：df(x) = (1 / (2√x) + 1 / x)dx 第三章：定积分1. 求以下定积分：a) ∫(0 to 1) x^2 dx答案：1 / 3b) ∫(1 to 2) 2x dx答案：3c) ∫(0 to π) sinx dx答案：22. 求以下定积分：a) ∫(0 to 1) (x^3 + 2x^2 + x) dx 答案：7 / 12b) ∫(1 to 2) (2x^2 + 3x + 1) dx答案：19 / 3第四章：不定积分1. 求以下函数的不定积分：a) ∫(3x^2 - 2x + 1) dx答案：x^3 - x^2 + x + Cb) ∫(2sinx + cosx) dx答案：-2cosx + sinx + C2. 求以下函数的不定积分：a) ∫(2x^3 + 3x^2 + x) dx答案：(1 / 2)x^4 + x^3 + (1 / 2)x^2 + C b) ∫(e^x + 1 / x) dx答案：e^x + ln|x| + C第五章：级数1. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n^2)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n)答案：发散2. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / 2^n)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (n / 2^n)答案：收敛第六章：多元函数微分学1. 求以下函数的偏导数：a) f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2答案：∂f / ∂x = 2x + 2y, ∂f / ∂y = 2x + 2yb) f(x, y) = sinx + cosy答案：∂f / ∂x = cosx, ∂f / ∂y = -siny2. 求以下函数的全微分：a) f(x, y) = x^3 + 2xy^2答案：df = (3x^2 + 2y^2)dx + (4xy)dyb) f(x, y) = e^x + ln(y)答案：df = e^xdx + (1 / y)dy第七章：多元函数积分学1. 求以下二重积分：a) ∬(D) x^2 dA, D为单位圆盘答案：π / 3b) ∬(D) y dA, D为正方形区域，顶点为(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) 答案：12. 求以下二重积分：a) ∬(D) (x + y) dA, D为上半平面答案：无穷大b) ∬(D) (2x + 3y) dA, D为单位正方形答案：5 / 2第八章：无穷级数1. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n^3)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (1 / 2^n)答案：收敛2. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (n / 2^n)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (n^2 / 2^n)答案：收敛第九章：常微分方程1. 求以下常微分方程的通解：a) dy / dx = x^2答案：y = (1 / 3)x^3 + Cb) dy / dx = 2x + 1答案：y = x^2 + x + C2. 求以下常微分方程的特解：a) dy / dx = y^2, y(0) = 1答案：y = 1 / (1 - x)b) dy / dx = 2x, y(0) = 3答案：y = x^2 + 3以上是大一高数1-9章节的习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。

B2第6章-第六章5幂级数

xn
1 1 1 xn
n2 n2 1 n22 n 1 n 1
设
S1( x)
1 xn 2 n2 n 1
x 2 n2
x n1 n 1
x xn 2 n1 n
而
xn n1 n
n1
x 0
x n 1
dx
x
0
x n 1
n1
dx
x dx 01 x
ln(1 x)
故
S1(
x)
x 2
定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 an xn
n0
则对满足不等式
的一切 x , 幂级数 an xn 都绝对收敛;
反之, 若当
n0
时, 幂级数发散 , 则对满足不等式
的一切 x , 幂级数也发散 .
发散
发散
收o敛
发散x
收敛
阿贝尔目录上页下页返回结束
证: 设
收敛, 则必有
于是存在
1
lim 2n1(n 1) lim n 1 ,
n
1
n 2(n 1) 2
2n n
当 t = 2 时, 级数为
此级数发散;
R2
当 t = – 2 时, 级数为
此级数条件收敛;
因此级数的收敛域为 2 t 2 故, 原级数的收敛域为
即 3 x 1 .
机动目录上页下页返回结束
*** 幂级数的运算
定理5.3 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
任意阶导数, 并且存在 R > 0，使得当 | x x0 | R
有
lim
n
Rn (
x)
0.
则
在|

第6讲级数理论

第六章级数理论§1 数项级数I 基本概念一数项级数及其敛散性定义1 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连结起来的表达式++++n u u u 21 （1）称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为∑∞=1n nu，其中n u 称为数项（1）的通项．数项级数（1）的前n 项之和，记为∑==nk kn uS 1，称之为（1）的前n 项部分和，简称为部分和．定义2 若级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称级数（1）收敛，并称S 为（1）的和，记为∑∞==1n nuS ．若{}n S 是发散数列，则称级数（1）发散．二收敛级数的基本性质1 收敛级数的柯西收敛准则级数（1）收敛的充要条件是：0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，+∈∀Z p ，有ε<++++++p n n n u u u 21．2 级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n na收敛，则0lim =∞→n n a ．3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性．4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数亦如此），即收敛级数满足结合律．5 若级数适当加括号后发散，则原级数发散．6 在级数中，若不改变级数中各项的位置，只把符号相同的项加括号组成一新级数，则两级数具有相同的敛散性．7 线性运算性质若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv都收敛，d c ,是常数，则()∑∞=+1n n ndv cu收敛，且()∑∑∑∞=∞=∞=±=±111n n n n n n nv d u c dv cu．三正项级数收敛性判别法1 正项级数∑∞=1n nu收敛的充要条件是部分和数列{}n S 有界．2 比较判别法设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv是两个正项级数，若存在正整数N ，当N n >时，都有n n v u ≤，则（1）若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu收敛；（2）若∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nv发散．3 比较原则的极限形式设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 是两个正项级数，且l v u nnn =∞→lim，则（1）当+∞<<l 0时，∑∞=1n nu和∑∞=1n nv具有相同的敛散性；（2）当0=l 时，若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu收敛；（3）当+∞=l 时，若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu发散．4 设∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b 是两个正项级数，且0>∃N ，N n >∀，有nn n n b b a a 11++≤，则（1）若∑∞=1n nb收敛，则∑∞=1n na收敛；（2）若∑∞=1n na发散，则∑∞=1n nb发散．5 比式判别法（达朗贝尔判别法）设∑∞=1n nu是正项级数，若00>∃N 及常数0>q ，有（1）当0N n >时，11<≤+q a a n n ，则级数∑∞=1n n u 收敛；（2）当0N n >时，11≥+n n a a ，则∑∞=1n n u 发散．6 比式判别法极限形式设∑∞=1n n u 为正项级数，且q u u nn n =+∞→1lim，则（1）当1<q 时，∑∞=1n nu收敛；（2）当1>q 若+∞=q 时，∑∞=1n nu发散；（3）当1=q 时失效．当比式极限不存在时，我们有设∑∞=1n nu为正项级数．（1）若1lim1<=+∞→q u u nn n ，则级数收敛；（2）若1lim 1>=+∞→q u unn n ，则级数发散．7 根式判别法（柯西判别法）设∑∞=1n nu为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数l ，（1）若对一切0N n >，成立不等式1<≤l u n n ，则级数∑∞=1n nu收敛；（2）若对一切0N n >，成立不等式1≥n n u ，则级数∑∞=1n nu发散．8 根式判别法极限形式设∑∞=1n nu为正项级数，且l u n n n =∞→lim ，则（1）当1<l 时级数收敛；（2）当1>l 时级数发散． 9 柯西积分判别法设f 为[)∞+,1上非负递减函数，那么正项级数()∑∞=1n n f 与反常积分()⎰∞+1dx x f 同时收敛或同时发散．10 拉贝判别法设∑∞=1n nu为正项级数，且存在某正整数0N 及常数r ，（1）若对一切0N n >，成立不等式111>≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+r u u n n n ，则级数∑∞=1n n u 收敛；（2）若对一切0N n >，成立不等式111≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+n n u u n ，则级数∑∞=1n n u 发散．注拉贝判别法中（1）111>≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+r u u n n n 可转化为n ru u nn -≤+11，1>r 收敛；（2）r u u n n n ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11可转化为n ru u n n -≥+11，1≤r 发散． 11 拉贝判别法极限形式若r u u n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→11lim ，则有（1）当1>r 时，∑∞=1n nu 收敛；（2）当1<r 时，∑∞=1n nu发散．四一般项级数1 莱布尼兹判别法若交错级数()∑∞=--111n n n u ，0>n u ，满足下列两个条件：（1）数列{}n u 单减；（2）0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n nu收敛．注若交错级数()∑∞=--111n n n u 满足莱布尼兹判别法，则其余项()x R n 满足()1+≤n n u x R ．2 绝对收敛级数及其性质定义对于级数∑∞=1n nu，若∑∞=1n nu收敛，则称∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1n nu收敛，而∑∞=1n nu发散，则称∑∞=1n nu是条件收敛的．显然，若∑∞=1n nu绝对收敛，则∑∞=1n nu一定收敛，反之不真．绝对收敛级数的性质：（1）重排性：若∑∞=1n nu绝对收敛，其和为S ，则任意重排后所得级数亦绝对收敛，且有相同的和数．此说明：绝对收敛级数满足交换律．对于条件收敛级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于任何事先指定的数（Riemann ）．（2）级数的乘积若∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，其和分别为A 和B ，则其乘积∑∞=1n n u ∑∞=⋅1n nv按任意方式排列所得的级数也绝对收敛，且其和为AB （柯西定理）．乘积的排列方式通常有两种：正方形和对角线法．3 一般级数收敛判别法一般级数除应用前面正项级数方法判定其绝对收敛以外，莱布尼兹判别法和下面的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法则是判定其可能条件收敛的主要方法．（1）狄利克雷判别法若数列{}n a 单减收敛于零，∑∞=1n nb的部分和数列有界，则级数nn n ba ∑∞=1收敛．注莱布尼兹判别法是狄利克雷判别法的特例，Abel 判别法亦可由狄利克雷判别法推证．（2）阿贝尔判别法：若数列{}n a 单调有界，∑∞=1n nb收敛，则级数nn n ba ∑∞=1收敛．五、常用于比较判别法的已知级数（1）几何级数∑∞=1n nq ，1<q 收敛，1≥q 发散；（2）-p 级数∑∞=11n pn，1>p 时收敛，1≤p 发散；（3）()∑∞=2ln 1n pn n ，1>p 时收敛，1≤p 发散．II 例题选解一级数敛散性判别例1 讨论下列级数的敛散性．（1）∑∞=+111n nx ，0>x ；（2）∑∞=1sin n n x，R x ∈．解（1）10<<x ，0→nx ，0111≠→+nx，发散； 1=x 时，02111≠→+nx，发散； 1>x 时，nnx x ⎪⎭⎫⎝⎛<+111，∑∞=11n n x 收敛，故∑∞=+111n n x收敛．（2）当0=x 时收敛，当0≠x 时，发散．例2 已知∑∞=12n na收敛．（1）判定()∑∞=+-1211n n n n a 的敛散性；（2）证明：∑∞=2ln n n nn a 收敛．（武汉大学）解（1）()222221112111n a n a n a n nn+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤+⋅-，∑∞=12n n a 与∑∞=121n n 均收敛，从而原级数收敛（绝对收敛）．（2）仿（1），由五（3）知其收敛．例3 判断下列级数的敛散性．（1）∑∞=+-1)]11ln(1[n n n ；（东北师大）（2）∑++++-)]!1!21!111([n e ；（东北师大）（3）∑∞=142sin3n n n ；（4）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1cos 1n pn π，（0>p ）（5）∑∞=1!n n n nn a （e a a ≠>,0）；（6）()∑∞=--+11312n n n ；（7）∑∞=->-+111)0()2(n nna a a ；（8）∑⎰∞=+14411n n dxx ；（9）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---21111n n n n ；（10）()()∑∞=+2ln ln 1n n n n n ；（11）∑∞=3ln n p n n（0>p ）；（12）()()∑∞=++11ln 11n pn n （0>p ）；（1=p 为大连理工）（13）()∑∞=+++1!2!!2!1n n n ；（14）()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+111ln n p n n （0>p ）；（15）()()∑∞=⋅-11!!2!!12n n n n ；（16）()∑∞=1ln ln 1n nn ；（17）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-2ln 1n nn n p （0>p ）；（18）()()()∑∞=+++12111n nnx x x x （0≥x ）；（19）()∑∞=+-⋅-+211ln 1n p n n n n （0>p ）；（20）()∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛++-110310021n nnn n ；（21）()()∑∞=-+-211n n n n ；（22）∑∞=1cos n pn nx（π<<x 0）；（23） +---+--+-+2222222222；（24）()[]∑∞=-11n n n；（25）()()∑∞=2ln ln ln 1n qp n n n ；（大连理工1998）（26）∑∞=+-11n nn n；（中科院2002）（27）∑-nnnarctan )1(（北京大学1999）．解（1）由于)(1ln ln 1)1ln(1)]11ln(1[111∞→→++-=+-=+-=∑∑∑===n c n nn k n k k k S nk n k nk n ，其中c 为欧拉常数，所以级数收敛．（2）由于++++=++++-<)!2(1)!1(1)!1!21!111(e 0n n n ))3)(2)(1(1)2)(1(111(!1 +++++++++=n n n n n n n 22)!1(2))3)(2(1)2)(1(111(!1n n n n n n n n <+=++++++++< ，由比较原则知其收敛．（3）24342sin 3→⎪⎭⎫⎝⎛nnn ⇒ 收敛；（4）21021~cos 12≤<⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-p n n ppππ发散，21>p 收敛；（5）()()e a n n a n n a n n a nnn n n →⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⋅++⋅++1!1!111e a <<⇒0收敛，e a >发散；（6）()131312<→-+n n n⇒收敛；或()()∑∑∑∞=-∞=∞=--+=-+111113131232n nn n n n n n ，收敛；或()1131312--≤-+n nn ，收敛；（此乃正项级数）（7）220222121211)ln 2()(lim )21()(lim )21()2(lim a x a a n a a n a a x x x nnn nnn =-=-=-+-+→-∞→-∞→⇒收敛；注：利用xa 的Maclaurin 展开式估计分子的阶．（8）204421110nxdx dx x a n n n =≤+=<⎰⎰⇒ 收敛；（9）()nn n nn n n n n n -=--=---111111=n n -231⇒收敛；或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--n o n n n n n n 11111111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=23231111n o n n n⇒⎪⎭⎫⎝⎛+=---=2323111111n o n n n n a n （∞→n ）∑∞=⇒1n n a 收敛；（10）()()()()n en n n n nn n nnnnnln ln 1ln 11ln ln ln ln +⋅=+=+，而()01ln ln →+⋅nn n ，从而上式极限为零，⇒收敛；（11）当10≤n ）⇒发散；当1>p 时，()()21211ln 1ln --+⋅=p p p n n n n n ，当n 充分大时， ()1ln 21<-p n n⇒ ()2111ln -+≤p p n n n ⇒收敛．或当1>p 时，0ln 1ln 1ln 121<-=⋅-⋅='⎪⎭⎫⎝⎛+-p p p p p x x p x xpx x x x x （3>x ），即单减．由柯西积分判别法知原级数收敛．（12）()()()pn n n u 1ln 11++=单减，故可用柯西积分判别法，令()()()1ln 11++=x x x f p ，1≥x ，易知当1=p 时，()⎰∞+1dx x f 发散，10<p 时收敛．（13）()()()2121!2!!2!!2!1+≤⋅≤+++n n n n n n （3≥n ）⇒收敛；（14）由泰勒公式（皮亚诺余项形式）得：()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+p p n p n p n n o n n n 221121111ln ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅--=p p p nn o n n 2211211，当1>p 绝对收敛，121≤<p 条件收敛，210≤<p 发散．注能否利用()()p n p n n n 1~11ln -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⇒()∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+111ln n p n n 收敛？（此法仅用于正项级数）．（15）()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋅++=⋅-+⋅++=+1112211122121!!2!!1211!!22!!121n n n n n n nn n n n n a a n n()⎪⎭⎫⎝⎛+++-=+++-=11123112112312n o n n n 由拉贝判别法知其收敛．（16）+∞→n ln ，则当n 较大时，2ln e n >，()()2ln 2ln 11ln 1n en n n =<⇒收敛；（17）根式判别法失效．先估计它的阶，⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n p n nn e n n p u ln 1ln ln 1，n npn n p ln ~ln 1ln -⎪⎭⎫ ⎝⎛-（∞→n ），从而可以估计pn nu -~，于是可讨论n p p nu n nu =的极限，为此()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→∞→n n p n n p n n p n u n n npn n p n ln 1ln ln lim ln 1ln lim ln lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-∞→n n p n p n n n 1ln 1ln 1ln 11lim 1 ()[]x px x px xx ln ln 1ln 1lim 0-+=→ ()0ln 1ln ln lim 220=++-=→xpx x x x x p x 故1lim =∞→n pn u n ，p n n u -~，所以当1>p 时收敛，当1≤p 时发散．（18）当0=x 时级数显然收敛；当10<<x 时，n n x u <，故收敛；当1=x 时，nn u ⎪⎭⎫⎝⎛=21，收敛；当1>x 时，()()()112111111--<+<+++=n n n n n x x x x x x u ，收敛．（19）()()())(12121~1112∞→⋅=++=-+n n nn n n n p p p p p ， )(2~12~121ln 11ln ∞→-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-n n n n n n ，所以，211121~p p n na +-⋅-)(∞→n ，由此易得：0>p 时收敛，0≤p 时发散．注等价无穷小替换法仅适用于同号级数．（20）()132103100210310021<→++=⎪⎭⎫⎝⎛++-n n n n n nn，绝对收敛．（21）()()()()()111111111-+--=----=-+-=n n n n n n u nnnnn n ， ()()()0121112112221<---=---⋅='⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x xx x x x （1>x ）由莱布尼兹判别法，()∑∞=--211n nn n收敛，而∑∞=-111n n 发散，故原级数发散．（22）当0≤p ，发散，1>p ，绝对收敛，当10≤<p 时，由狄利克雷判别法知其收敛．事实上，212sin 21sin cos 3cos 2cos cos -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++++xn nx x x x ，()π,0∈x ，有界．（23）法一：212sin 24sin 24cos 22πππ====a ，322sin 24cos 1222ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=a ，4332sin 22cos 224cos 122222πππ=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=a ，……12sin2+=n n a π，……于是原级数可表为∑∞=+=⎪⎭⎫⎝⎛++++21322sin 22sin 2sin 2sin 2n n n ππππ ，收敛．法二：记21=A ，222+=A ，2223++=A ，……则2→n A ，于是121222lim 222lim 222lim lim 22111<=-+-=-+-=-+-=→→--∞→+∞→x x x x A A a a x x n n n nn n ，收敛．（24）将级数中相邻且符号相同的项合并为一项，得一新级数()()∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++++-12221111111n nn n n注意到通项中共有12+n 项，其中前n 项之和和后1+n 项之和分别夹在11+n 与n1之间， n n n n n n n n n n n n n 11111122222=<-+++<-+<+= ()nn n n n n n n n n n n n n 11211211122222=++<++++<+<+=+ 因此()n n n n n 211111112222<-+++++<+ 由此得其单减，从而为收敛级数，而原级数的部分和总是夹在新级数某相邻的二部分和之间，所以原级数也收敛．（25）当1=p 时，则当1>q 时收敛，1≤q 时发散，此时级数的敛散性等同于无穷积分()⎰∞+2ln ln ln qx x x dx的敛散性．由无穷积分立得()⎰∞+2ln ln ln q x x x dx ()⎰+∞→=A q A x x x dx2ln ln ln lim ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞+>-=+∞==-+∞→+∞→1,1,ln ln 11lim 1,ln ln ln lim 212q q x q q x A qAA A 收敛，当1p 时收敛，事实上，当1⋅=-（n 充分大）当1>p 时，()()()()()()()2121211ln 1ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln 1+--+<⋅=p q p p q p n n n n n n n n n ．（26）由及∑-1n发散知级数发散．（27）由于{}n arctan 单调有界，∑-nn)1(收敛，由阿贝尔判别法知其收敛．思考题1 判别下列级数的敛散性：（1）∑∞=+--++122)11(1n n n n n n ；（复旦大学1997）（2）∑∞=123ln n nn；（复旦大学1998）（3）∑∞=122sinn nn π；（复旦大学1999）（4）∑∞=-122sin)53(n n n n π；（复旦大学1999）（5）)0()1()2ln(1>++∑∞=a n a n n n；武汉理工大学2004）（6）∑∞=-1)1sin 1(n n n α．（南京理工2004）提示：（1）分子有理化，发散；（2）收敛；（3）仿上例（3），收敛；（4）当n 为偶数时，通项为0，去掉这些为0的项以后所得级数为交错级数，收敛，从而原级数收敛（考察它们部分和数列之间的关系）．（5）由级数收敛的必要条件知当1≤a 时发散；当1>a 由比式判别法知其收敛；（6）利用x sin 的Taylor 公式讨论．例4 讨论级数∑∞=11n p n 的敛散性．分析：1=p ，柯西准则，发散；1>p ，柯西积分判别法，收敛； 1p 时，级数∑∞=1n p n na 收敛（中科院2002）．分析：（1）⎪⎭⎫⎝⎛+≤22121n a n a n n ；（2）01≠→=a na na n n ，∑∞=1n n a 发散，而∑∞=12n na 收敛；（3）同（1）．或：由Cauchy 不等式211221111⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk p nk k nk pk k a k a ；知其部分和有界，从而收敛．例6（兰州大学2000）设0>n u 是单调递减数列，试证明：（1）若0lim ≠=∞→c u n n ，则∑∞=+-11)1(n nn u u 收敛；（2）若0lim =∞→n n u ，则∑∞=+-11)1(n nn u u 发散．证（1）由单调有界定理知0>≥c u n ，再由极限的柯西收敛准则知：0,0>∃>∀N ε，当+∈∀>Z p N n ,，有εc u u p n n <-+，又n u 单调递减，所以，当+∈∀>Z p N n ,时，有ε<-≤-++-+-+-+++++np n n p n p n n n n n u u u u u u uu u )1()1()1(1121 ，由级数的柯西收敛准则知其收敛．（2）由于1)1()1()1(1121-=-≥-++-+-+++-+++++pn n p n p n n p n p n n n n n u u u u u u u u u u u ，令∞→p 得上式右端的极限为∞+，由柯西准则知∑∞=+-11)1(n nn u u 发散．例7（华东师大1997）设级数∑∞=1n nn a收敛．试就∑n a 为正项级数和一般项级数两种情形分别证明：级数n n an n+∑∞=1也收敛．证当∑na为正项级数时，1lim=+∞→nn a n a n n n ，由比较判别法知n n an n+∑∞=1收敛．当∑∞=1n n n a 为一般项级数时，nn a n n a n n n n 1111+=+∑∑∞=∞=，由阿贝尔判别法知它是收敛的．思考题2（华东师大1998）已知∑∞=1n n a 为发散的一般项级数，试证明∑∞=+1)11(n n n a 也是发散级数．提示：用反证法．假设∑∞=+1)11(n n n a 收敛，则∑∑∞=∞=++=11)1)(11(n n n n n nn a a ，由阿贝尔判别法知∑∞=1n na收敛，矛盾．例8（北京工业大学2000）设和正项数列{}n a 单调减少，且级数n n na ∑∞=-1)1(发散．令nn a a a u ++⋅+=11111121，.,2,1 =n 试问级数∑∞=1n nu是否收敛，并说明理由．证级数∑∞=1n nu收敛．这是因为：由级数n n na ∑∞=-1)1(发散和正项数列{}n a 单调减少知0lim >=∞→a a n n ，且由单调有界定理知a a n ≥，于是nn n n aa a a a u )11()1(111111121+=+≤++⋅+=，由比较原则知∑∞=1n nu收敛．例9（北方交通大学1999）已知.,2,1,,01 =≤>+n a a a n n n 讨论级数++++na a a a a a 21211111 的敛散性．解由单调性假设知存在极限0lim ≥=∞→a a n n ，则a a a a n n n =∞→ 21lim ，由柯西根式判别法知，当1>a 时收敛，当1<a 时发散，当1=a 时，例10（中国矿大北研部）设0>n a ，n n a a a S +++= 21，级数∞=∑∞=1n na．试证：（1）∑∞=1n nnS a 发散；（武汉大学）（2）∑∞=12n nn S a收敛．（东北师大）证（1）0>n a ，↑n S ，于是pn n p n pn n k kpn n k k k S S S a S a ++++=++=-=≥∑∑111．而∞=∑∞=1n n a ，故+∞=++∞→p n p S lim ，从而当p 充分大时，21<+pn n S S ， 211≥∑++=pn n k kk S a ．由柯西收敛准则知其发散．（2）11211211122121111a S S S S a S S a a S a n nk k k n k k k k nk kk ≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+≤∑∑∑=-=-=，部分和有界，故收敛．例11（华中科技大学）若0lim 1=+∞→n n a ，()0lim 21=+++∞→n n n a a ，…，()0lim 21=++++++∞→p n n n n a a a ，…，试问∑∞=1n n a 是否一定收敛？为什么？解不一定．如级数∑∞=11n n ，有 )(01121110∞→→+<++++++<n n p p n n n ；但∑∞=11n n 发散．例12（上海交大）若 1lim 1sin 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∞→n nn n a n ，则级数∑∞=1n n a 是否收敛？试证之．解由于11sin2→-nn n na （∞→n ），而()432sin 21sin210-⋅--≤=<-nnnn n nn （n 充分大），由比较判别法知∑∞=-11sin2n nn n收敛，再由比较判别法知∑∞=1n na收敛．例13 设0>n a 且单减，试证∑∞=1n na与∑∞=122n nn a 同时敛散．证因为对正项级数任意加括号不改变敛散性，因此由∑∞=1n na()()() ++++++++++=1587654321a a a a a a a a a∑∞==++++≤02232221222232n n n a a a a a和∑∞=1n na()()() ++++++++++=169854321a a a a a a a a∑∞=+=+++++≥02116842122121842n nn a a a a a a a知两级数具有相同的敛散性．例14 若正项级数∑∞=1n na收敛，且n n nb a n a e a e++=（ ,2,1=n ）．证明（1）∑∞=1n nb收敛；（华东师大）（2）∑∞=1n n na b 收敛．（北京理工大学2003）证解出n b 得：()0ln lim >-=∞→n a n n a eb n，而∑∞=1n n a 收敛，故当n 充分大时，nnn a b b <，从而（2）收敛立得（1）收敛．由收敛的必要条件得)(0∞→→n a n ．又因为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=-n n n n n a a a a a a e n!3!21ln ln 32()n n n a o a a =++ 32!3121~，即 0lim =∞→nn n a b ，由级数∑∞=1n n a 收敛得∑∞=1n nn a b收敛．例15 研究级数∑∞=121n nx 的敛散性，这里n x 是方程x x tan =的正根，并且按递增的顺序编号．解解方程得：()⎪⎭⎫⎝⎛+-+∈ππππn n x n 2,12，()22111-<n x n ，1>n ，收敛．例16 设11=u ，22=u ，21--+=n n n u u u （3≥n ）．问∑∞=-11n nu收敛吗？解由于03323233211211111<-=-=-=-+--+-+++n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u （3>n ）；所以 321111≤=+--+n n nn u u u u （由n u 的前若干项预测）；由比式判别法知其收敛．例17 设0>n a ，证明级数 ()()()∑∞=+++121111n n na a a a 收敛．解由于()()()()()()()()n n n a a a a a a a a a a a a a S +++++++++++++=<111111111021321321211 ()()()()()()()++++++++-=+++++=321321212121111111111a a a a a a a a a a a a ()()()()()()n n a a a a a a a ++++++++-=1111111121321 ()()()1111121<+++-=n na a a a即部分和有界，所以收敛．例18（上海师大）证明：级数： +⎪⎭⎫⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4131211713121151211311是收敛的．解这是交错级数，且()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=n n n n n n a n 12111212121211121111121112112111221121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n a n n n n n n ， ()()0ln 1211211121→++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=n n n c n n n a ε ．由莱布尼兹判别法知∑∞=1n na收敛．例19（合肥工大2001）已知正项级数∑na 和∑nb 都发散，问下列级数收敛性如何？（1）∑),min(nnb a ；（2）∑),max(nnb a ．解（1）可能收敛，也可能发散，例如，取1-==n b a nn，则∑),min(nn b a 发散；若取n na )1(1-+=，1)1(1+-+=n n b ，则0),min(≡n n b a ，∑),min(nn b a 收敛．（2）一定发散，这是因为n n n a b a ≥),max(．思考题3（复旦大学1997）证明：如果任意项级数∑nu和∑nv都收敛，且成立.1,≥≤≤n v w u n n n则∑nw收敛．提示：利用柯西收敛准则．思考题4（上海交大2004）设.,2,1,1,11212 +==⎰+-n dx x x n x n nn n 证明∑∞=--11)1(n nn x 收敛．提示：12212111-+=<<+=n n n x n x n x ，应用Leibniz 判别法即可．例20（华东师大2000）设∑∞=1n na收敛，0lim =∞→n n na ．证明：∑∑∞=∞=+=-111)(n n n n na a an ．证记级数∑∞=--11)(n n na an 的前n 项和为n S ，则12113221)()(2)(++-+++=-++-+-=n n n n n na a a a a a n a a a a S ，而0])1(1[lim lim 11=+⋅+=+∞→+∞→n n n n a n n nna ，所以 ∑∑∞=∞=+=-111)(n n n n na a an ．思考题5（合肥工大2000）设数列{}n a 单调，且级数∑∞=1n na收敛于A ．证明：级数∑∞=+-11)(n n na an 收敛，并求其和．思考题6（北京工业大学2001）设数列{}n na 收敛，00=a ，级数∑∞=--11)(n n na an 收敛，证明：级数∑∞=1n na收敛．思考题7（安徽大学2003）若级数∑∞=1n na满足：（1）0lim =∞→n n a ；（2）∑∞=-+1212)(n n n a a收敛，证明：∑∞=1n na收敛．思考题8（华东师大2003）若级数∑∞=1n na满足：（1）0lim =∞→n n a ；（2）∑∞=--1212)(n n n a a收敛，证明：∑∞=1n na收敛．例21（吉林大学）证明级数+-++-++-+611119141715121311发散到正无穷．证记.,2,1,141241341 =---+-=n n n n a n 则nnna n 1)331(3142-=->，而∑n1发散到正无穷，所以，+∞=∞→n n S 3lim ．又因为n n n S S S 31323>>++，故+∞=∞→n n S lim ．注（1）若要证明级数发散，则只需证明+∞=∞→n n S 3lim 即可．（2）在证明{}n S 收敛或发散时，有时通过求其子列的敛散性而使问题变得简单．思考题9（武汉大学1999）级数+--+++-+-n n 21)12(1514131211222 是否收敛？为什么？提示：考察n S 2．例22 证明：级数∑∞=1n na收敛的充分必要条件是：对于任意的正整数序列{}k p 和正整数数任意子序列{}k n ，都有.0)(lim 11=++++++∞→k k k k p n n n k a a a证必要性．设级数∑∞=1n na收敛，则由柯西收敛准则得：,0,0>∃>∀N ε当N n >时，+∈∀Z p ，都有ε<++++++p n n n a a a 21，从而当N k >时，N n k >，于是对于任意的正整数序列{}k p ，有ε<++++++k k k k p n n n a a a 11，即 .0)(lim 11=++++++∞→k k k k p n n n k a a a充分性．反证法．若∑∞=1n na发散，则+∈∃>∃>∀>∃Z p N n N ,,0,00ε，使得021ε≥++++++p n n n a a a ，特别地，分别取,,1,1111+∈∃>∃=Z p n N 使得 0211111ε≥++++++p n n n a a a ，{}+∈∃>∃>Z p N n n N 22212,,,2max ，使得 0212222ε≥++++++p n n n a a a ，如此下去，得一正整数子序列{}k n 和正整数序列{}k p ，恒有011ε≥++++++k k k k p n n n a a a ，这与已知条件矛盾．二绝对收敛与条件收敛例23 判别下列级数是条件收敛，还是绝对收敛：（1）()∑∞=+--1111n n p n n（南京师大2002，1=p 为武汉大学1995）；（2）∑∞=-1sin )1(n nnx（内蒙古大学）；（3）)0()23()1(12>-+-∑∞=x n n n xn（复旦大学1997）．解（1）当0≤p 时，n u 不趋于0，发散；当1>p 时，原级数绝对收敛；当10≤x ，则0>∃N ，当N n >时，有20π<<x ，且nxsin关于n 单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛．又因为)(1sin)1(∞→→-n nx n xn ，而∑∞=1n n x发散，故原级数条件收敛．（3）当0>x 时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+x n n )23(12单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛．又因为 222423n n n n <-+<，所以xx n x x nn n n 2221)23()1(41≤-+-<，从而，当21>x 时，绝对收敛，当21≤x 时，条件收敛．思考题10（武汉大学2005）判别级数∑∞=2sin ln ln ln n n nn是否绝对收敛或条件收敛．思考题11（南京大学2001）设1,0,1,111≥>>++=+n x k x x k x nnn ．（1）证明：级数∑∞=+-01)(n n n x x绝对收敛；（2）求级数∑∞=+-11)(n n n x x之和．提示：例24（北京大学1999,中国矿大1999，安徽大学2000，2001）设()x f 在0=x 的某邻域内有二阶连续导数，且()0lim0=→x x f x ．证明：级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛．证由()0lim 0=→xx f x 得()00=f ，()00='f ，()x f 在0=x 某邻域内的二阶泰勒展式为 ()()()()()22212100x x f x x f x f f x f θθ''=''+'+=，10<<θ由()x f ''连续知，0>∃M ，有()M x f ≤''，从而有2121nM n f ⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ 故∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛．思考题12 证明：（1）（华南理工大学2005）设)(x f 是偶函数，在0=x 的某个领域中有连续的二阶导数，.2)0(,1)0(=''=f f 则级数∑∞=-1)1)1((n n f 绝对收敛．（2）（浙江大学2004）设函数)(x f 在区间)1,1(-内具有直到三阶的连续导数，且0)0(=f ，.0)(lim 0='→x x f x 则∑∞=2)1(n n nf 绝对收敛．例25 设0>n a （ ,2,1=n ）单调，且级数∑∞=11n n a 收敛，讨论级数()∑∞=++-111n nna a n 是条件收敛还是绝对收敛．解由于0>n a 且单调，故01→na ↑⇒n a()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++<++++⋅-=<+++⋅-++,2112121,22211221122212n n n n nn n n a a n n a a a n a na n a a a n 由已知条件，∑∞=12n na 收敛，故原级数绝对收敛．例26 （哈尔滨工大2000）证明：若级数∑∞=1n nb收敛，且级数()∑∞=--11n n na a绝对收敛，则级数∑∞=1n nn ba 收敛．证设n n b b b S +++= 21，则1--=n n n S S b ，于是由∑∞=1n nb收敛知：0>∃M ，M S n ≤， ,2,1=n ．由()∑∞=--11n n n a a 收敛知：0>∀ε，01>∃N ，1,N m n >∀，有ε<-++-+--+-111m m n n n n a a a a a a ，又{}n S 收敛，对上述0>ε，02>∃N ，2N n >∀，2N m >，有ε<-m n S S ，取{}1,m a x21+=N N N ，于是，当N m n >,时， m m n n n n b a b a b a +++++ 11()()()1111-++--++-+-=m m m n n n n n n S S a S S a S S a[]()11121--+++-+-+-++-+-≤n m n n m m m n n n n S S a a a M a a a a a a MεM 3<．由柯西收敛准则知级数∑∞=1n nn ba 收敛．另证∑∞=1n nb收敛⇒0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，+∈∀Z p ，有ε<∑++=pn n k kb1．记∑++==in n k ki bS 1，p i ,,2,1 =，则ε∃M ，有M a aS mn n nm ≤-='∑=-11， ,2,1=m ．由阿贝尔定理得p n p p n p n p n n n n pn n k kk a S a a S a a S a a S ba ++-+-++++++=+-++-+-≤∑113222111p n p a S M ++≤ε又M a a a a a a a p n p n p n +<-++-+=-+++01010 ，从而()012a M ba pn n k kk +≤∑++=ε．由柯西收敛准则知其收敛．例27（华东师大2001）证明：若级数∑∞=1n na绝对收敛，则级数∑∞=+++121)(n n na a a a也绝对收敛．证记n n a a S ++= 1，则由∑∞=1n na绝对收敛知∑∞=1n na收敛，所以{}n S 有界，即0>∃M ，有.,2,1, =≤n M S n 于是有n n n a M a a a a ≤+++)(21 ，由∑∞=1n na绝对收敛知级数∑∞=+++121)(n n na a a a也绝对收敛．思考题14（华中科技2004）设)(),1(,010∞→→≥==∑=n b x n ax x n nk kn ，求级数∑-+)(1n n nx x a之和．提示：1--=n n n x x a ．例28 证明：若对任意收敛于0的数列{}n x ，级数∑∞=1n n nx a都收敛，则级数∑∞=1n n a 绝对收敛．分析问题等价于：若级数∑na发散，则至少存在一个收敛于0的数列{}n x ，使得级数∑nnxa 发散，于是问题转化为：从∑+∞=na出发，构造出满足条件的数列{}n x ．联想例10中（1）的结论立明．证假设∑∞=1n n a 发散，记其前n 项和为n S ，则+∞=∞→n n S lim ．取210=ε，0>∀N ，N n >∃，由+∞=∞→n n S lim 得 210lim <=∞→mn m S S ，从而当m 充分大（n m >）时，有21<m n S S ，于是0221121ε=>-≥+++++=++m n m m m n n n n S S S S a S a S a ，由柯西收敛准则知级数 ∑∞=1n n n S a 发散，取1,1≥=n S x nn ，则0lim =∞→n n x ，且∑∞=1n n n x a 发散，这与题目的条件矛盾，故命题成立．思考题15（中国人民大学2000）若正项级数∑∞=1n na发散，则存在收敛于0的正数序列{}n b ，使得级数∑∞=1n nn ba 发散．例29 研究级数∑∞=1sin n n n的收敛性．记其前n 项和为n S ，将其分成两项 -++=nn n S S S ，其中-+n n S S ,分别表示前n 项和中所有正项之和与负项之和．证明：极限-+∞→nnn S S lim 存在，并求其值．证由Dirichlet 判别法知其收敛．又因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=≥111212cos 21121sin sin n n n n n nn n n n ，右端第一个级数发散，第二个级数收敛（利用Dirichlet 判别法），从而∑∞=1sin n n n非绝对收敛．由于)(sin 2122)(1∞→-∞→-=--+=∑=-+-+-n k k S S S S S S n k n n n n n n，所以，1)1(lim lim lim -=-=-+=-∞→---+∞→-+∞→n n n n n n n n nn n S S S S S S S S ．注此例给出了条件收敛与绝对收敛的一个本质区别，且这个结论对一切条件收敛级数都成立．三构造级数例30 试构造一级数∑∞=1n na，使它满足：（1）∑∞=1n n a 收敛；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛≠n o a n1．解 ∑∞=121n n ，∑∞=11n n 满足（2），将两者结合起来，构造级数如下：+++++=∑∞=22221514131211n n a 即当n 是整数平方时，n a n 1=，否则21n a n =，显然⎪⎭⎫⎝⎛≠n o a n 1，同时+∞<≤+≤=∑∑∑∑=≤==nk n k n k n k k n k kk a S 12212112112故此级数收敛．例31 举出一个发散的交错级数，使其通项趋于零．分析交错级数+-++-+--n n a a a a a a 2124321 （0>n a ）部分和为∑∑==--=n k k nk k n a aS 121122，可见只要构造一个级数∑∞=1n n a ，使得0→n a ，同时使∑∞=-112k k a和∑∞=12k ka一个收敛，另一个发散即可．为此可构造级数如下：() +--+-+-+-nn 21121514131211222．例32（南开大学1999）已知级数∑∞=1n na收敛，问级数∑∞=12n na和∑∞=13n na是否必收敛？说明理由．解未必收敛．如级数∑∞=-1)1(n nn 收敛，但∑∞=12n na发散．令+---+--+-=∑∞=33333331331331331312212212111n n a+----+项k k k k k k k k k k k 11113 则级数∑∞=1n na收敛，但∑∞=13n na发散，因为它的部分和子列+∞→----+++=3312111211kk S k n ．四级数与极限问题例33 设正项级数∑∞=1n na收敛，试证：0lim1=∑=∞→nkank kn ．证记∑∞==1n naS ，∑==nk kn aS 1，则S S n →（∞→n ），且∑∑-==-=111n k k n nk kS nS ka，从而0lim lim 1211=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=-∞→∞=∞→∑S S n S S S S nkan n x k kn ．例34（西安电子科技大学2003，东北师大）设021>≥≥ a a ，且级数∑∞=1n na发散，则1lim1231242=++++++-∞→n nn a a a a a a ．解由于1123112311231242=++++++≤++++++---n n n n a a a a a a a a a a a a ；1211121121121123123124211--+-+-++->++--=++++≥++++++n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a ；（1）而 n n a a a a a a 2421231+++≥+++- ，由此及∑∞=1n na发散可得)(2)(21223211231∞→∞→=++++≥+++-n S a a a a a a a n n n ，从而（1）式右端的极限为1，由两边夹定理知结论成立．例35（煤师院2004）设级数∑∞=1n na收敛，0>n a ，且n a 单减．试证0lim =∞→n n na ．分析：0lim =∞→n n na ⇔0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，有ε<n na ．证由∑∞=1n na收敛知，0>∀ε，0>∃N ，N m n >>∀，有ε<++++<+++n m m m a a a a 3210 由n a 单减知，当m n 2>时，m n n-<2，于是有()()ε22222211<⋅+++≤-<⋅=++-n m m n n n a a a a m n na na ．故0lim =∞→n n na ．例36（北师大）证明：极限 )]ln(ln ln 1[lim 2n kk nk n -∑=∞→存在有限．证令xx x f ln 1)(=，则f 在),2[+∞上非负单减，所以 ∑⎰⎰=+<<=-nk n nk k dx x f dx x f n 2122ln 1)()()2ln(ln )ln(ln ，从而得0)2ln(ln )ln(ln ln 12>->-∑=n kk nk ，即数列有下界．又 0)1ln()1(1)1ln()1(1)()1ln()1(1111=++-++<-++=-⎰⎰+++n n n n n n dx n n n n dx x f n n a a ，即数列单减，从而极限存在且有限．例37 试证：若正项级数∑∞=1n na收敛，且数列{}1+-n n a a 单减，则.)11(lim 1+∞=-+∞→nn n a a。

幂级数函数的幂级数展开法

( 1 x 1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
§6.3 幂级数
2. 间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成幂级数.
证:
lim
n
an 1 x n 1 an xn
lim an1 n an
x
1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知:
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数收敛;
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数发散.
§6.3 幂级数
因此级数的收敛半径 R 1 .
2) 若 0, 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数
绝对收敛 , 因此 R ;
n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
x
ln(1 x) (1)n xn dx
n0
0
(1)n
n0 n 1
xn1 ,
11 xx11
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1有
定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛
区间为
§6.3 幂级数
(k 0, 1, 2, )
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1

《高等数学》第6章3 幂级数

请双面打印/复印(节约纸张)高等数学主讲: 张小向第六章无穷级数第一节数项级数第二节反常积分判敛法第三节幂级数第四节傅里叶级数第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数§6.3 幂级数一. 函数项级数的基本概念 u1(x), u2(x), …, un(x), … ——定义在数集 A上的函数序列 Σ u (x) = u1(x) + u2(x) + …+ un(x) + … n=1 n ——定义在数集 A上的函数项级数 un(x) —— 通项 Sn(x) = k=1uk(x) —— 部分和 Σn ∞n=1 nΣ u (x) = u1(x) + u2(x) + …+ un(x) + …∞∞——定义在数集 A上的函数项级数收敛(发散)点x0∈D: n=1un(x0) 收敛(发散) Σ Σ 收敛(发散)域: n=1un(x) 的收敛(发散)点的全体和函数 S(x) = n=1un(x) Σ 其定义域为 n=1un(x) 的收敛域 Σ 余项 Rn(x) = S(x) − Sn(x) = k=n+1uk(x) Σ∞ ∞ ∞ ∞第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例1. 几何级数 n=1xn−1 = 1 + x + x2 +…+ xn +… Σ 是定义在实数集∞ ∞∞例1. 几何级数n=1 xn−1 的收敛域为(−1, 1). Σ 当 x ∈ (−1, 1)时, Sn(x) = 1− xn , 1− x∞上的函数项级数.当|x| < 1时, n=1|xn−1| 收敛, Σ 故 n=1xn−1 (绝对)收敛. Σ 当|x| ≥ 1时, lim n→∞ 综上所述,n=1 ∞ ∞xn−1≠ 0, 故 n=1 Σxn−1发散.∞lim xn = 0, n→∞ lim Sn(x) = n→∞ 所以 n=1xn−1 = Σ 1 . 1− xΣ xn−1 的收敛域为 (−1, 1).1 , x ∈ (−1, 1). 1− x272365083@1请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例2. x + (x2 − x) + (x3 − x2) + … + (xn − xn−1) + … 是定义在实数集上的函数项级数. Sn(x) = xn,例3. 求下列级数的收敛域. ∞ xn (1) n=1 . Σ n! 解: 因为∀x ∈ lim n→∞ 所以 n=1 Σ∞, xn = lim |x| = 0. n! n→∞ n+1lim 当|x| < 1时, lim Sn(x) = n→∞ xn = 0, n→∞ lim 当 x = 1时, lim Sn(x) = n→∞ 1 = 1, n→∞ 当 x < −1 或 x > 1时, lim Sn(x)不存在. n→∞ 综上所述, 该级数的收敛域为(−1, 1], 0, x ∈ (−1, 1); 且和函数 S(x) = 1, x = 1.xn+1 (n+1)!∞ xn xn Σ 收敛, 因而 n=1 收敛. n! n! n ∞ x 可见 n=1 的收敛域为 . Σ n!第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数. n2 n |x| lim lim 解: n→∞ n x 2 = n→∞ n = |x|. n √n2 ∞ xn ∞ xn Σ 当|x| < 1时, n=1 2 收敛, 因而 n=1 2 收敛; Σ n n n ∞ xn lim 当|x| > 1时, n→∞ x 2 ≠ 0, 因而 n=1 2 发散. Σ n n ∞ xn ∞ 1 当|x| = 1 时, n=1 2 = n=1 2 收敛, 因而… Σ Σ n n ∞ xn 可见 n=1 2 的收敛域为[−1, 1]. Σ n(2) n=1 Σ∞xn(3)∞ (x−1)n Σ n n=1 2 n=x−1 + 2 +… 2 ⋅2 2|x−1| (x−1)n = lim n|x−1| nn n→∞ 2(n+1) 2 . 2(x−1)2n+1 lim n+1 解: n→∞ (x−1)2(n+1)∞ (x−1)n |x−1| 当 2 < 1 时, n=1 2nn 绝对收敛; Σ ∞ (x−1)n |x−1| 当 2 > 1 时, n=1 2nn 发散. Σ ∞ (x−1)n ∞ (−1)n 当 x = −1 时, n=1 2nn = n=1 n 收敛. Σ Σ当 x = 3 时, n=1 2nn = n=1 − 发散. Σ Σ n∞(x−1)n∞1第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数n+1 lim n+1 解: n→∞ (x−1)2(n+1)∞(x−1)n |x−1| 2 nn = 2 .(x−1)n (x−1)n(4) n=1 n Σ 解: lim n→∞∞ (−1)n1 n . 1+x当 2|x−1| |x−1|< 1 时, n=1 2nn Σ∞绝对收敛;un+1(x) 1 1 lim n un(x) = n→∞ n + 1 |1 + x| = |1 + x| .当 2> 1 时, n=1 2nn 发散. Σ∞当 |1+x| > 1 时, 该级数绝对收敛; 当 |1+x| < 1 时, 该级数发散. 收敛. 当 x = 0 时, n=1 n Σ∞ ∞当 x = −1 时, n=1 2nn = n=1 n Σ Σ∞(x−1)n∞(−1)n(−1)n∞ (−1)n 1 n = n=1 n 收敛. Σ 1+x ∞ 1 1 n = n=1 − 发散. Σ n 1+x当 x = 3 时, n=1 2nn = n=1 − 发散. Σ Σ n 可见 n=1 2nn 的收敛域为[−1, 3). Σ∞(x−1)n∞1当 x = −2 时, Σ n n=1(−1)n(x−1)n可见该级数的收敛域为(−∞, −2) ∪ [0, +∞).272365083@2请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数二. 函数项级数的一致收敛性y 1S1(x), S2(x), …, Sn(x), … ——定义在数集 A上的函数序列 S(x) ——定义在数集 A上的函数若∀ε > 0, ∃N∈ , 当 n > N 时, |Sn(x) − S(x)| < ε (∀x ∈ A), 则称{Sn(x)}在A上一致收敛于S(x). 若 n=1un(x) 的部分和序列 {Sn(x)} 在数集 A上 Σ 一致收敛, 则称该级数在A上一致收敛.∞lim xn = 0 (0 < x <1) n→∞∀ε > 0, ∃N∈ , s.t. n > N ⇒ |xn−0| < ε y=x y = x2 y = x3 y = x4 y = x5 y = x6εO x1 x2 x3 x4 x5 1 x…第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例4. 设0 < a < 1, 证明级数x + (x2 − x) + (x3 − x2) + … + (xn − xn−1) + …例5. 证明级数x + (x2 − x) + (x3 − x2) + … + (xn − xn−1) + …在[0, a]上一致收敛. 证明: 该级数的部分和为 Sn(x) = 在[0, a]上的和为 S(x) ≡ 0. xn, ,在(0, 1)上不一致收敛. 证明: 该级数的部分和为 Sn(x) = xn, 在(0, 1)上的和为 S(x) ≡ 0.N+1 取ε = 1/2, ∀N ∈ , ∃x = ______ ∈ (0, 1), 3/4 虽然 n = N + 1 > N, 但是 |xn − 0| = xn = 3/4 > ε ,max{[logaε ]+1, 1} 对∀ε > 0, ∃N = ________________∈当 n > N 时, |xn − 0| = xn ≤ an < aN ≤ ε (∀x ∈ [0, a]), 可见Sn(x)在[0, a]上一致收敛于S(x).可见Sn(x)在(0, 1)上不一致收敛.第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数定理1 (Cauchy一致收敛准则). Σ u (x)在A上一致收敛 n=1 n ⇔ ∀ε > 0, ∃N∈n+p k=n+1 k ∞定理2 (Weierstrass判别法, M判别法). 设函数项级数 n=1un(x) (x ∈ A) 与正项级数 Σ ,有n=1 n ∞, 当 n > N时, ∀p∈Σ a 满足下列条件+;∞∞Σ u (x) = |Sn+p(x) − Sn(x)| < ε (∀x ∈ A). ⇓ Weierstrass判别法维尔斯特拉斯 [德]1815~1897(1) |un(x)| ≤ an , ∀x∈A, ∀n∈ (2) n=1an 收敛, Σ 则 n=1un(x)在A上一致收敛. Σn=1 n ∞乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911Σ u (x)的优级数∞272365083@3请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数证明: ∀ε > 0, ∃N∈n+p, 当 n > N时, ∀p∈,有例6. 设0 < a < b, 证明级数n=1 (1+|x|)nΣ u (x) = |Sn+p(x) − Sn(x)| k=n+1 k = |un+1(x) + un+2(x) + … + un+p(x)| ≤ |un+1(x)| + |un+2(x)| + … + |un+p(x)| ≤ an+1 + an+2 + … + an+p < ε (∀x ∈ A). Σ 由Cauchy一致收敛准则可知 n=1 un(x)在 A上一致收敛.∞Σ∞x在A = {x ∈x| a ≤ |x| ≤ b}上一致收敛.|x| b证明: (1+|x|)n = (1+|x|)n ≤ (1+a)n 对于 ∀n∈+以及 ∀x∈A都成立.∞又因为正项级数 n=1 (1+a)n 收敛, Σ 由Weierstrass判别法可知 n=1 (1+|x|)n Σ 在A = {x ∈ | a ≤ |x| ≤ b}上一致收敛.∞bx第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数三. 一致收敛级数的性质回忆定理3. (1) un(x)在[a, b]上连续(∀n∈∞ ∞+)例2中的级数(2) n=1un(x) 在 [a, b]上一致收敛 Σ (3) n=1un(x) = S(x) Σ S(x)在[a, b]上连续.⇒x + (x2 − x) + (x3 − x2) + … + (xn − xn−1) + …的收敛域为(−1, 1], 其和函数 0, x ∈ (−1, 1); S(x) = 1, x = 1. S(x)在(−1, 1]上不连续, 尽管该级数中的每一项在(−1, 1]上都连续. 由例5可知该级数在(−1, 1]上不一致收敛.第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数定理4 (逐项积分). (1) un(x)在[a, b]上连续(∀n∈ 条件∞ ∞例7. 设S(x) = n=1 Σ+)∞π cosnx , 求 ∫ 0 S(x)dx. n2(2) n=1un(x) 在 [a, b]上一致收敛 Σ (3) n=1un(x) = S(x) Σ ① S(x)在[a, b]上可积; ② ∀x0, x∈[a, b], Σ ∫ x0 S(t)dt = n=1 (∫ x0 un(t)dt).x ∞ x⇒解:结论cosnx 1 ≤ 2 (∀x∈[0, π], ∀n∈ +) n2 n ⇒ ∞ 1 Σ 2 收敛 n=1 n ∞ cosnx 在 [0, π] 上一致收敛 Σ n=1 n2 ⇒ cosnx ∈ C[0, π] (∀n∈ +) n2 ∞ π π cosnx ∫ 0 S(x)dx = n=1 ∫ 0 n2 dx Σ ∞ π sinnx = n=1 ∫ 0 n3 dx = 0. Σ272365083@4请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数定理5 (逐项求导).1 (1) un(x) ∈ C[a, b] (∀n∈+)条件(2) n=1un(x) 在[a, b]上收敛于S(x) ⇒ Σ (3) n=1un(x) 在[a, b]上一致收敛 Σ ′1 ① S(x) ∈ C[a, b] ;∞∞结论② S′(x) = n=1un(x). Σ ′∞sinnx 1 例8. un(x) = n3 ∈ C(−∞, +∞) (∀n∈ +) sinnx 1 ≤ n3 ∞ sinnx n3 ⇒ n=1 3 (绝对)收敛 Σ n ⇒ ∞ 1 收敛 Σ n=1 n3 sinnx ′ 1 ≤ n2 ∞ sinnx ′ n3 ⇒ n=1 n3 一致收敛 Σ ∞ 1 收敛 Σ n=1 n2 ∞ sinnx 1 Σ n3 的和函数 S(x) ∈ C(−∞, +∞) , n=1 ∞ cosnx ∞ sinnx ′ = n=1 2 . Σ 而且S′(x) = n=1 n3 Σ n第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数四. 幂级数的概念与性质 1. 幂级数的概念 Σ a (x − x0∞2. 幂级数的收敛性 lim 设 n=0anx0n 收敛, 则 n→∞ anx0n = 0, Σ 故 ∃M > 0, s.t. ∀n∈ |anx0n| < M. , x0•∞x − x0的幂级数 )nn=0 nO x • •= a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + … 其中 x0, an ∈ (n = 0, 1, 2, …) x0 = 0时, 对应的形式为 Σ a xn = a0 + a1x + a2x2 + … n=0 n∞若 |x| < |x0|, 令q = |x/x0|, 则 q < 1, |cnxn| = |cnx0n|⋅qn < M⋅qn. Σ 而 n=0M⋅qn 收敛, 所以 n=0|cnxn| 收敛. Σ∞ ∞ ∞xΣ 故对所有满足|x| < |x0|的x, n=0 cnxn 绝对收敛.第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数定理6 (Abel定理). (1) 若n=0 anxn 在x = x0 ≠ 0 处收敛, Σ 则对所有满足|x| < |x0|的x, Σ c xn n=0 n (2)∞ ∞ ∞定理7. 若存在非零实数x1, x2使幂级数n=0 anxn Σ 在x1处收敛, 在x2处发散, 则存在R > 0, 使得 (1) 当|x| < R 时, n=0anxn 绝对收敛; Σ (2) 当|x| > R 时, n=0anxn 发散. Σ −R 收敛半径 x1 R x2 O • • • x (−R, R) ——收敛区间∞ ∞∞绝对收敛. 在x = x0 ≠ 0 处发散,阿贝尔[挪威] 1802~1829 顺治1644-1662 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911若n=0 anxn Σ∞则对所有满足|x| > |x0|的x,n=0 nΣ c xn 发散.272365083@5请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数注: 若 n=0 anxn 仅在 x = 0处收敛, Σ 则规定 n=0anxn 的收敛半径 R = 0; Σ 若 n=0anxn 在整个实数轴上收敛, Σ 则规定 n=1anxn 的收敛半径 R = +∞. Σ∞ ∞ ∞∞定理8. 若幂级数 n=0anxn 中an ≠ 0 (∀n∈ Σan n→∞∞), 且n+1 lim a = ρ 或 lim √|an| = ρ. n→∞ n则该幂级数的收敛半径 +∞, R = 1/ρ, 0, 当ρ = 0时; 当0 < ρ < +∞时; 当ρ = +∞时.an+1 注: 教材上证明了 lim a = ρ 的情形, n→∞ nlim 这里证明 n→∞ √|an| = ρ 的情形.n第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数lim 证明: (1) 若 n→∞ √|an| = ρ = 0, 则∀x ∈n n→∞ ∞,有(2) 若0 < ρ < +∞, 则∀x ∈n n→∞,有lim √|anxn| = ρ |x| = 0,∞nlim √|anxn| = ρ |x|.故n=0 |anxn| 收敛, 因而 n=0anxn 收敛. Σ Σ 可见, 此时R = +∞. (2) 若0 < ρ < +∞, 则∀x ∈n n→∞由正项级数的根值判别法知: ∞ ∞ Σ Σ |x| < 1/ρ 时 n=0 |anxn| 收敛, 因而 n=0anxn 收敛; Σ |x| > 1/ρ 时, lim anxn ≠ 0, 因而 n=0anxn 发散. n→∞ 可见, 此时R = 1/ρ . (3) 若ρ = +∞, 则∀x ≠ 0, lim √|anxn| = +∞. n→∞n ∞ ∞,有lim √|anxn| = ρ |x|.由正项级数的根值判别法知: ∞ Σ |x| < 1/ρ 时 n=0 |anxn| 收敛,Σ 因而 lim anxn ≠ 0, 故 n=0anxn 发散. 可见, … n→∞第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例9. (1) n=1 n! 的收敛半径为_________. Σ +∞an+1 1 ρ = lim a = lim 1 n→∞ n→∞ (n+1)! n! n∞xn例9. (3) n=1 2nn 的收敛半径为_________. Σ 21 n+1 ρ = lim a = lim n+1 1 (n+1) 2nn n→∞ n→∞ 2 n a∞(x−1)n= limn→∞ ∞1 = 0. n+1= limn→∞n 1 =−. 2(n+1) 2(2) n=1 n2 的收敛半径为_________. Σ 1an+1 n lim ρ = lim a = n→∞ (n+1)2 = 1. n→∞ n2xn注① 幂级数在收敛区间端点的收敛性要看具体情况. 如例9(3), 收敛区间为(−1, 3). 在收敛区间的端点处,∞Σ n=1 2nn∞(x−1)n=条件收敛 (−1)n , x = −1; Σ n=1 n 可见, … ∞ 1 Σ −, x = 3, 发散 n=1 n272365083@6请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数注② 缺项幂级数不满足定理8中的“∀an ≠ 0 (∀n∈ 例10. n=1 Σ∞)”.例10. n=1 Σ(n!)2x2n−1 的偶次项系数全为零. (2n)! [(n+1)!]2 ⋅(2n)! 2 u (x) lim n+1 = lim |x| n→∞ un(x) n→∞ [2(n+1)]!⋅(n!)2n→∞. (2n)! u (x) |x|2 lim n+1 = . n→∞ un(x) 4 当|x| < 2时, 该级数绝对收敛;∞ (n!)2x2n−1当|x| > 2时, 该级数发散. 所以该级数的收敛半径为R = 2, 收敛区间为(−2, 2). [(n+1)!]2 (n!)2 1 = 得R = 4, 注: 若直接由 lim n→∞ [2(n+1)]! (2n)! 4 则出错!= lim(n+1)2 |x|2 |x|2 = . (2n+2)⋅(2n+1) 4当|x| < 2时, 该级数绝对收敛; 当|x| > 2时, 该级数发散.第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例10. n=1 Σ∞(n!)2x2n−1 . (2n)!3. 幂级数的代数运算设 n=0anxn 与 n=0bnxn 的收敛半径分别为R1, R2, Σ Σ(2n)!!∞ ∞该级数的收敛半径为R = 2, 收敛区间为(−2, 2).1 Σ 当x = ±2时, 该级数 = ± − n=1 (2n−1)!! . 2∞和函数分别为S1(x), S2(x), R = min{R1, R2}, 则当|x| < R时, 有 S1(x) ± S2(x) =n=0 anxn ±n=0 bnxn = n=0(an±bn)xn, Σ Σ Σ S1(x)⋅S2(x) = ( n=0anxn)⋅( n=0bnxn) Σ Σ = n=0 (a0bn + a1bn−1 + … + anb0)xn. Σ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞lim 因为 (2n−1)!! > 1, 故 n→∞ (2n−1)!! ≠ 0. Σ 因而级数 ± − n=1 (2n−1)!! 发散. 2 所以该幂级数的收敛域为(−2, 2).1∞(2n)!!(2n)!!(2n)!!第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数4. 幂级数的分析性质定理9. 设幂级数 n=0anxn 的收敛半径为R, Σ 0 < r < R, 则n=0 anxn Σ∞ ∞定理10. 设幂级数 n=0anxn 的收敛半径R > 0, Σ 和函数为S(x), 则 (1) S(x)在收敛域上连续. (2) 对于任意的 x ∈ (−R, R), 有 Σ S′(x) = n=0(anxn)′ = n=1nanxn−1, Σ∞ ∞∞在[−r, r]上一致收敛.∞证明: 由条件可知 n=0|anrn| 收敛. Σ 对于任意的 x ∈ [−r, r], n ∈ |anxn| ≤ |anrn|. Σ 由M判别法可知 n=0anxn 在 [−r, r] 上一致收敛.∞,有Σ n ∫ 0 S(t)dt = n=0 ∫ 0 an tndt = n=0 n+1xn+1. Σx x∞∞a(3) n=1nanxn−1 和 n=0 n+1xn+1 的收敛半 Σ Σ n 径的仍为R.∞∞a272365083@7请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例11. 求 n=0(−1)n Σ∞xn+1 n+1的和函数S(x).例12. 对于任意的x ∈ (−1,1), 有 f(x) = 1−x = 1 + x + x2 + … + xn + … (1) f ′(x) = f ″(x) =x解: 首先, 容易求得该幂级数的收敛域为(−1, 1]. 根据定理10(1), S(x)在(−1, 1]上连续.1 , x ∈ (−1, 1), Σ = 又因为 n=0 1+x ∞ x x dt Σ 所以 ln(1+x) = ∫ 0 1+t = n=0∫ 0 (−1)ntndt ∞ xn+1 = n=0(−1)n Σ , x ∈ (−1, 1). n+1∞1(−1)nxn1 = 1 + 2x + … + nxn−1 + … (2) (1−x)2 2 = 2+6x +…+ n(n−1)xn−2 + … (3) (1−x)3 1 x2 xn+1∫ 0 1−t = ln 1−x = x + + … + + … (4) n+1 2 注① 在(4)中令x = 1/2得, ln2 = n=0 (n+1)2n+1 . Σ∞dt而S(1) = lim S(x) = lim ln(1+x) = ln(1+1), 可见 S(x) = ln(1+x), x ∈ (−1, 1].x→1− x→1−1第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数注② x = −1时, n=0 n+1 = n=0 n+1 收敛, Σ Σ x = 1时, n=0 n+1 = n=0 n+1 收敛, Σ Σ 故 n=0 n+1 的收敛域为 [−1,1), Σ 其和函数S(x)在−1处右连续, 而 ln1 也在−1处右连续, 因而 1−x ∞ (−1)n+1 lim = S(−1) = x→−1+S(x) Σ n=0 n+1 1 = x→−1+ ln 1−x = −ln2. lim∞ ∞∞xn+1∞(−1)n+1例13. 求 n=1(−1)n+1n(n+1)xn 的和函数. Σ 解: ρ = lim n+1 = lim (n+1)(n+2) = 1. n(n+1) n→∞ an n→∞ x = ±1时, lim (−1)n+1n(n+1)xn ≠ 0.n→∞∞xn+1∞1axn+1可见, 该级数的收敛域为(−1, 1). 设 n=1 (−1)n+1n(n+1)xn = S(x), x ∈ (−1, 1), Σ 则 ∫ 0 S(t)dt = n=1 ∫ 0 (−1)n+1n(n+1)tndt Σx x ∞ ∞ ∞= n=1 (−1)n+1nxn+1 = x2g(x), Σ第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数设 n=1 (−1)n+1n(n+1)xn = S(x), x ∈ (−1, 1), Σ 则 ∫ 0 S(t)dt = n=1 ∫ 0 (−1)n+1n(n+1)tndt Σx x ∞ ∞∞= n=1 (−1)n+1nxn+1 = x2g(x), Σ 其中g(x) = n=1 (−1)n+1nxn−1, x ∈ (−1, 1). Σ Σ ∫ 0 g(t)dt = n=1 ∫ 0 (−1)n+1ntn−1dt = n=1 (−1)n+1xn Σx x ∞ ∞ ∞x2 故 ∫ S(t)dt = x2g(x) = (1+x)2 . x2 ′ 2x , 即由此可得 S(x) = (1+x)2 = (1+x)3x 0 n=1Σ (−1)n+1n(n+1)xn =∞2x , x ∈ (−1, 1). (1+x)3 2 27n+1 ∞ 1 Σ (−1) n(n+1) = S(−) = 8 . 注: 取x = 1/2 得 n=1 2n= 1+x . 上式两边对x求导得 g(x) = (1+x)2 .1x272365083@8请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例14. 求 n=1 2n−1 x2n−1 的和函数S(x). Σ(−1)n lim 解: n→∞ 2n+1 x2n+1 (−1)n−1 2n−1 = lim 2n−1 x2 2n−1 x n→∞ 2n+1∞(−1)n−1又因为S(0), 所以 S(x) = ∫ 0 S′(t)dt + S(0) = ∫0x x= x2. 可见该级数当|x| < 1时收敛, |x| > 1时发散,x = ±1时, 用Leibniz判别法可知该级数收敛,1 dt = arctanx, x ∈ (−1, 1). 1+t2结合 S(x) 和 arctanx 在[−1, 1]内的连续性得 S(x) = arctanx, x ∈ [−1, 1].(−1) Σ 注: 取x = 1得 − = arctan1 = S(1) = n=1 2n−1 . 4 π∞n−1所以该级数的收敛域为[−1, 1]. 根据定理10, S′(x) = n=1(−1)n−1x2n−2 = 1+x2 , Σ x ∈ (−1, 1).∞1第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例15. 求 n=1 2n x2n−2 的和函数S(x), 并求 Σn=1∞2n−1Σ 2n 的值.2 2n−1 2n−2 = lim 2n+1 2 x x n→∞ 4n−2 2n∞S(x) = n=1 2n x2n−2 =n=1 n x2n−1 Σ Σ 2 = =∞2n−1∞1′2n−1x ∞ x2 n−1 ′ x 1 ′ x ′ Σ( ) = 2⋅ = 2 n=1 2 1 − x2/2 2 − x2 2 + x2 , (2 − x2)2∞lim n+1 解: n→∞ 2n+1 x2n可见该级数当|x| < √2时收敛, |x| > √2时发散,−= x2/2.∞−− − 其中 x ∈ (−√2, √2). 由此可得 n=1 2n = S(1) = 3. Σ2n−1− |x| = √2时, Σ 2n−1 x2n−2 = Σ 2n−1 发散. n=1 2n n=1 2 − − 所以该级数的收敛域为(−√2, √2).∞第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数回忆yy = 1−x2+x4−x6+x8 y = 1−x2+x4五. 函数展开为幂级数 1. 引例 (1) 1+x2 = 1 − x2 + … + (−1)nx2n + o(x2n). (2) n=0 (−1)nx2n = 1 − x2 + x4 − x6 + … Σ 的收敛半径为1, 收敛区间为(−1, 1), Σ (−1)nx2n = 1+x2 n=0∞ ∞11y=1 y= 1 1+x2 1−x2−1O1y=xy= 1−x2+x4−x61(|x| < 1).1 = 1−x2+x4−x6+x8−x10+…+(−1)nx2n + o(x2n). 1+x2272365083@9请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数2. 函数在一点处的泰勒级数设 f(x)在 x0 的某邻域N(x0)内有任意阶导数, 则称幂级数f (n)(x ) Σ n! 0 (x−x0)n n=0∞f(x) 在 x0 = 0 处的泰勒级数 n=0 Σ f(x) ~ n=0 Σ∞∞f (n)(0) n x n!称为 f(x)的麦克劳林(Maclaurin)级数, 记为f (n)(0) n x. n!为 f(x) 在 x0 处的泰勒(Taylor)级数, 记为 f(x) ~ n=0 Σ∞泰勒[英] 1685~1731 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 泰勒[英] 1685~1731 麦克劳林[英] 1698~1746f (n)(x0) (x−x0)n. n!康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数2. 函数可展为幂级数的条件定理11. 设 f(x)在x0的某邻域N(x0)内有任意阶导数, 则 f(x) 在 x0 处的泰勒级数在 N(x0)内收敛并以 f(x)为和函数 ⇔ f(x)在 x0 处的泰勒公式的余项满足n→∞3. 函数展开成幂级数的方法 (1) 直接法(将f(x)展成(x − x0)的幂级数) ① 求f (n)(x0), n = 0, 1, 2, … ② 求 n=0 Σ ③ 检验∞f (n)(x0) (x−x0)n的收敛半径R n! f (n+1)(ξ)lim Rn(x) = 0 (∀x∈ N(x0)).nlim Rn(x) = n→∞ (n+1)! (x−x0)n+1 = 0 lim n→∞ ④ 写出f(x)在x0处的幂级数展开式 f(x) = n=0 Σ∞证明的关键: Rn(x) = f(x) − k=0 Σf (n)(x0) (x−x0)k. n!f (n)(x0) (x−x0)n (指出x的范围) n!第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例16. 将f(x) = ex展开为x的幂级数. 解: f (n)(0) = 1 (n = 0, 1, 2, …), Rn(x) = (n+1)! xn+1 (0 ≤ θ ≤ 1).e|x| 因为 |Rn(x)| ≤ (n+1)! |x|n+1, ∀x∈ eθ x例17. 将f(x) = cosx展开为x的幂级数. 解: f(0) = 1, f ′(0) = 0, f ′′(0) = −1, …, f (2k)(0) = (−1)k, f (2k+1)(0) = 0, (k ∈ ,x) n+1 x (0 ≤ θ ≤ 1). (n+1)! |x|n+1 因为|Rn(x)| ≤ , ∀x∈ , (n+1)!),Rn(x) =f(n+1)(θ所以 lim Rn(x) = 0 (∀x∈ ),n→∞由此可得 ex = n=0 Σ∞xn (∀x∈ n!所以 lim Rn(x) = 0 (∀x∈ ),n→∞).cosx = 1− (∀x∈ ).x2 x4 x6 x2n + − +…+ (−1)n +… 2! 4! 6! (2n)!272365083@10第六章无穷级数(2)间接法:①代换法, ②逐项求导, ③逐项积分, ④代数运算.例18. 因为§6.3 幂级数(∀x ∈).cos x = 1−+ …+ (−1)n +…x 22! x 2n(2n )! 所以cos2x = …−sin x = −x + +…+ (−1)n +1+…x 2n +1(2n +1)!x 33!sin x = x −+…+ (−1)n+…x 2n +1(2n +1)!x 33! 例19. 将f (x ) = ln(1+x )展开为x 的幂级数. 第六章无穷级数∞n =1(−1)n −1nΣ= ln2. 解: 其和函数S (x ) ∈C(−1, 1],11+x = Σ(−1)n −1x n −1(|x | < 1). ∞n =1逐项积分得ln(1+x ) = Σx n(|x | < 1). (−1)n −1n∞n =1 又因为Σ的收敛域为(−1, 1],∞n =1 x n (−1)n −1n再由ln(1+x ) ∈C(−1, 1]可得ln(1+x ) = Σx n (−1 <x ≤1).(−1)n −1n∞n=1 注:令x = 1得§6.3 幂级数第六章无穷级数例20. 将f (x ) = (1+x )α展开为x 的幂级数(α为解: 先求得f (x )的Maclaurin 级数:其收敛半径R = 1. 则(1+x )S ′(x ) = αS (x ), S (0) = 1. 由此可得S (x ) = (1+x )α, 即常数).(∗)1+αx+α(α−1) 2!x 2+…+ α…(α−n +1) n !xn+ …设其和函数为S (x ), x ∈(−1, 1), (1+x )α= 1+αx +α(α−1) 2!x 2+…+α…(α−n +1)n !x n +…§6.3 幂级数二项式级数但在区间(−1, 1)的端点处是否成立要对α讨论.第六章无穷级数(1+x )α= 1+αx +α(α−1) 2!x 2+…+α…(α−n +1)n !x n +…可以证明, 当α≤−1时, 的收敛域为(−1, 1);当−1< α< 0时, (∗)的收敛域为(−1, 1]; 当α> 0时, (∗)的收敛域为[−1, 1]. 因此, …(∗)1+αx +α(α−1) 2!x 2+…+α…(α−n +1) n !xn+ …§6.3 幂级数例21. 求下例函数在指定点处的泰勒展式.(|x +4| < 7),(|x +4| < 3). (1) f (x ) = xx 2−2x −3, x 0= −4. 第六章无穷级数解: f (x ) = x x 2−2x −3 = −( + ), 1 4 1 x + 1 3 x −31 x −3= −−1 7 1 1−(x +4)/7 (|x +4| < 3),1 x +1= −−1 3 1 1−(x +4)/3 = −−Σ( )n1 3 x +43 ∞n =0 = −−Σ( )n1 7 x +47 ∞n =0 f (x ) = −[ ]1 4 −−Σ( )n 1 3 x +43 ∞n =0 −−Σ( )n 37 x +47∞n =0 = −−Σ( + )(x +4)n 1 4 ∞n =0 1 3n +1 3 7n +1§6.3 幂级数(2) f (x ) = sin x , x 0= π/6.解: sin x = sin[(x −−)+−]π6π6 = −cos(x −−)+ sin(x −−), π6 1 2√3 2 π6 cos(x −−) = 1 −(x −−)2+…+ (x −−)2n+…π6 π6 π6 1 2! (−1)n(2n )! sin(x −−) = (x −−) −(x −−)3+…π6π6 π6 1 3!(−1)n(2n +1)! π6 + (x −−)2n +1+…sin x = −+ (x −−) −(x −−)2+…1 2 √32π6 π6 π6π612⋅2! + (x −−)2n+ (x −−)2n +1+ …(−1)n 2⋅(2n )! (−1)n √3 2⋅(2n +1)! 第六章无穷级数§6.3 幂级数(∀x ∈).解:(3) f (x ) =故∀x ∈(−1, 1),第六章无穷级数e x1−x , x 0= 0. e x= Σ∞n =0 x nn !, 1 1−x= Σx n , ∞n =0 e x1−x= ( Σ)⋅( Σx n )∞n =0 x n n ! ∞n =0 1 1!= 1 + (1+ )x + (1+ + )x2+ (1+ + + )x3+ …1 1! 1 2!1 1! 1 2! 1 3!§6.3 幂级数∀x ∈.∀x ∈(−1, 1).第六章无穷级数求收敛半径直接R = 1/ρ已知等式化为正项级数, 讨论敛散性代换法, 逐项求导/积分, 代数运算间接函数展开为幂级数幂级数求和(ρ= lim|a n +1/a n |, 公式lim|a n |1/n ) Σ|…| 求表达式S (z ) = lim S n (z ) f (n )(x 0)/n !, 检验R n (x )代换法, 逐项求导/积分, 代数运算间接1+αx + Σ⎯⎯⎯⎯⎯x n = (1+x )α, x ∈(−1, 1). α…(α−n +1)n !∞n =2 小结§6.3 幂级数Σx n = , Σ(−x )n = , x ∈(−1, 1). ∞n =11 1−x ∞n =1 1 1+x Σ⎯=e x , Σ= sin x , x ∈. ∞n =0 x n n ! ∞n =0 (−1)n x 2n +1(2n +1)!。

《高等数学》第6章1 数项级数

请双面打印/复印(节约纸张)高等数学主讲: 张小向第六章无穷级数第一节数项级数第二节反常积分判敛法第三节幂级数第四节傅里叶级数第六章无穷级数§6.1 数项级数第六章无穷级数§6.1 数项级数§6.1 数项级数一. 无穷级数的概念 1.引例1 − 2 1 − 41 − 8(3) 无法实施的奖赏(摘自/Blog/181498.aspx)国际象棋起源于印度. 棋盘上共有64个格子. 传说国王要奖赏国际象棋的发明者—— 他的大宰相西萨·班·达伊尔, 问他有什么要求, 这位大宰相跪在国王面前说: “… …”. 1+2+22 +23 +...+263 = 264−1 = 18 446 744 073 709 551 615(粒) 1000粒小麦的质量 ≈ 40g, 18 446 744 073 709 551 615粒小麦的质量大于 7000亿吨! 2008/09年度全球小麦产量: 6.56 亿吨, 7000 ÷ 6.56 ≈ 1067(年) 要用23 300 000 000辆载重量为30吨的大卡车拉1 1 1 (1) − + − + − + … 2 4 8(2) 乒乓球跳动的时间2H 2n+1H H 4 2H g + 4 3g + − g + … + 2 3ng + … 3第六章无穷级数§6.1 数项级数第六章无穷级数§6.1 数项级数2. 定义 u1, u2, …, un, … ——无穷数列数项级数(简称级数):n=1 nn=1 n ∞ n=1 nΣ u = u1 + u2 + … + un + …n∞Σ u 前n项部分和(简称部分和): Sn = u1 + u2 + … + un = k=1 uk Σ∞Σ u = u1 + u2 + … + un + … 项通项(一般项)∞n=1 nΣ u 收敛: lim Sn 存在 n→∞n=1 nΣ u 的和: S = n→∞ Sn lim∞∞Σ 记为: n=1un = Sn=1 nΣ u 发散: lim Sn 不存在 n→∞∞272365083@1请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.1 数项级数第六章无穷级数§6.1 数项级数例1. n=1 2n . Σ1 1 Sn = − + − + … + 2n = 1 − 2n . 2 4n→∞∞1例2. 等比级数(几何级数)1 1Σ aqn−1 (a ≠ 0). n=1 Sn = a + aq + aq2 + … + aqn−1 = 1 − q . (1) |q| < 1时, n→∞ Sn = 1 − q , 即 limn=1∞a − aqnlim Sn = 1, 故 n=1 2n = 1. Σ1 − 2 1 − 41 − 8∞1aΣ aqn−1 = 1 − q .∞∞alim (2) |q| > 1时, n→∞ Sn = ∞, 记为n=1Σ aqn−1 = ∞.第六章无穷级数§6.1 数项级数第六章无穷级数§6.1 数项级数(2) |q| = 1时, lim lim ① 若q = 1, 则 n→∞ Sn = n→∞ na = ∞. a, n为奇数; ② 若q = −1, 则Sn = 0, n为偶数, lim S 不存在. n→∞ n 综上所述, 当|q| < 1时等比级数 n=1 aqn−1 (a ≠ 0) Σ 收敛, 且 Σ aqn−1 = a . n=1 1−q Σ 当|q| ≥ 1时等比级数 n=1 aqn−1 (a ≠ 0)发散.∞ ∞ ∞Σ 例3. 证明: n=11∞1 = 1. n(n+1) 1 1证明: Sn = 1×2 + 2×3 + … + n(n+1)2 2 3 1 = 1 − n+1 → 1 (n→∞), 1 1 1 = (1 − −) + (− − −) + … + (− − n+1) n 1 1即 n=1 Σ∞1 = 1. n(n+1)第六章无穷级数§6.1 数项级数第六章无穷级数§6.1 数项级数Σ 例4. 证明: n=1∞1 收敛. n21例5. 调和级数 ,n=1证明: ∀ε >0, ∃N = [−] + 1, 当n > N时, ∀p ∈ ε |Sn+p − Sn| = (n+1)2 + (n+2)2 + … + (n+p)2 = n(n+1) + … +1 1 1 1 1 (n+p−1)(n+p) 1 1 11 1 Σ −=1+−+−+…+−+… 2 3∞1 n1 n对于ε0 = 1/2, 取m = 2n, 则 |Sm − Sn| = 1 + 1 + … + 1 n+1 n+2 2n ≥ 2n = ε0 . 由Cauchy收敛准则可知{Sn}发散, 即调和级数是发散的.n= − − n+p < − < ε . n n∞ 即 n=1 12 收敛. Σ由Cauchy收敛准则可知{Sn}收敛,n272365083@2请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.1 数项级数第六章无穷级数§6.1 数项级数二. 数项级数收敛的条件定理1 (级数收敛的必要条件).n=1 n ∞Σ 注① n=1 un 收敛 ⇒ lim un = 0. ——原命题 n→∞n→∞ n ∞∞Σ u 收敛 ⇒ lim un = 0. n→∞∞∞limu ∃ 或 limun = a ≠ 0 ——逆否命题证明: 设 n=1un 收敛, 且 n=1 un = S, Σ Σ 则 n→∞ un = n→∞ (Sn − Sn−1) lim lim = n→∞ n − n→∞ n−1 limS limS = S − S = 0.⇒ n=1 un 发散. Σ例6. 判别下列级数的敛散性. (1) n=1 (−1)n; Σπ (3) n=1 nsin− ; Σ n∞ ∞(2) n=1 n+1 n ; Σ (4) n=1 (n − √n2 − n). Σ∞∞n第六章无穷级数§6.1 数项级数第六章无穷级数§6.1 数项级数Σ 注② n=1 un 收敛 ⇒ lim un = 0. ——原命题 n→∞n→∞∞定理2 (Cauchy收敛准则).n=1 nlim un = 0 ⇒ n=1 un 收敛. ——逆命题 Σ 该命题不成立!∞Σ u 收敛 ⇔ 数列{Sn}收敛 ,当 n > N时,n+p∞⇔ ∀ε > 0, ∃N∈∀p∈ , 有 Σ uk = |Sn+p − Sn| < ε. k=n+1例如 n→∞ − = 0, 但 n=1 − 发散. lim n Σ n1∞1第六章无穷级数§6.1 数项级数第六章无穷级数§6.1 数项级数∞ (−1)n−1 例7. 证明级数 n=1 n Σ 收敛.例8. 已知级数 n=1un收敛, 其中un > 0 (∀n). Σ(−1)n+p−1 n+p∞证明: |Sn+p − Sn| = n+1 + n+2 +…+ ≤1 n+1(−1)n(−1)n+1证明: 级数u1 + u3 +…+ u2k−1 + …也收敛. 证明: 记Sn = u1 + u2 +…+ un, Tn = u1 + u3 +…+ u2n−1, 由条件及Cauchy收敛准则可知 ∀ε > 0, ∃N ∈ , 当 n > N时, ∀p∈ +, 有 |Tn+p − Tn| = |u2n+1 + u2n+3 +…+ u2n+2p−1| ≤ |u2n+1 + u2n+2 +…+ u2n+2p−1| = |S2n+2p−1 − S2n| < ε . 所以级数u1 + u3 +…+ u2k−1 + …也收敛.<1 − n, ,= ε, 故 ∀ε > 0, ∃N ∈ [−] ∈1当 n > N时, ∀p∈ , 有 1 |Sn+p − Sn| < −. < ε . ε n 由Cauchy收敛准则可知该级数收敛.272365083@3请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.1 数项级数第六章无穷级数§6.1 数项级数三. 数项级数的基本性质性质1. 设级数 n=1 un 收敛, 且 n=1un = S, Σ Σ 则对任意常数k, 级数 n=1kun也收敛, Σ 且 n=1kun = kS. Σ 证明: 记Sn = u1 + u2 +…+ un, Tn = ku1 + ku2 +…+ kun, 则 n→∞ n = limkSn = klimSn = kS. limT n→∞ n→∞ 推论. 若k≠0, 则 n=1un 与n=1 kun 的收敛性相同. Σ Σ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞性质2. 设 n=1 un 与 n=1vn 都收敛, 且 Σ Σn=1 n ∞∞∞Σ u = S, n=1vn = T, Σ∞∞∞则 n=1(un ± vn)也收敛, 且 Σn=1 ∞Σ (un ± vn) = S ± T.∞ ∞例9. n=1un收敛, n=1vn 发散 ⇒ n=1(un + vn) _____. Σ Σ Σ第六章无穷级数§6.1 数项级数第六章无穷级数§6.1 数项级数Σ Σ Σ 注① n=1(un + vn)收敛 ⇒ n=1 un 与 n=1 vn 都收敛.−1 例如, un = 1 , vn = n+1 , n∞∞∞Σ Σ Σ 注① n=1(un + vn)收敛 ⇒ n=1 un 与 n=1 vn 都收敛. Σ Σ Σ Σ 注② n=1un , n=1vn , n=1(un + vn), n=1(un − vn)中, 任意两个收敛, 则另外两个也收敛.上述四个级数的敛散性, 可能出现的情形: (A) 都收敛; (B) 都发散; (C) 一个收敛, 另外三个发散.∞ ∞ ∞ ∞∞∞∞则n=1 (un + vn)收敛, Σ 但 n=1un 与 n=1vn 都发散. Σ Σ1 1 1 1 1 (1− −) + (− − −) + … + (− − n+1) 2 2 3 n∞ ∞∞=1− 1n+1→ 1 (n→∞).第六章无穷级数§6.1 数项级数第六章无穷级数§6.1 数项级数性质3. 在级数中去掉或添加有限多项, 得到的级数与原来的级数敛散性相同.∞ 例如: (1) n=1 12 收敛 ⇒ Σ1 1 1 1 1 1 1+−+−+−+−+−+…+−+… n 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 −+−+−+−+…+−+… n 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1+−+−+−+−+−+…+−+… n 4 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + − + 5 + − + − + − + −… + − + … n 6 7 8 9 4n 1 1 1 1 + 25 + 36 + … + n2 + …收敛; 16 1 1 1 9 + 4 + 1 + − + − + … + n2 + …收敛. 4 9 ∞ 1 (2) Σ − 发散 ⇒ n=1 n 1 1 1 − + − + … + − + …发散; n 5 6 1 1 1 1 1 − + − + 1 + − + − + … + − + …发散. n 9 4 2 3272365083@4请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.1 数项级数第六章无穷级数§6.1 数项级数性质4. 设级数 n=1un 收敛, 则不改变它的各项 Σ 次序而任意添加括号后构成的新级数n=1 n∞n=1 nΣ u = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + u7 + …∞Σ u′ 仍然收敛, 而且和不变.∞∞部分和数列: S1 , S2 , S3 , S4 , S5 , S6 , S7 , …n=1 n证明: 注意到 n=1un 的部分和数列 {Sn} 是 Σ ′ ′ Σ u 的部分和数列 {Sn} 的子列即可. n=1 n∞Σ u′ = (u1 + u2) + u3 + (u4 + u5 + u6) + u7 + … = u1 ′ + u2 + ′ u3 + ′ S3′ , u4 + … ′ S4′ , …∞部分和数列: S1′ , S2′ ,n→∞lim Sn 存在 ⇒ n→∞ Sn = lim Sn . lim ′ n→∞第六章无穷级数§6.1 数项级数第六章无穷级数§6.1 数项级数注: 级数(1−1) + (1−1) + (1−1) + ... 收敛, 但 1 − 1 + 1 − 1 + ... + (−1)n+1 + … 发散. 性质5. n=1 cn 收敛 ⇒ n→∞ k=n+1ck = 0. Σ lim Σ 证明: 设 n=1cn 收敛, 且 n=1 cn = S. Σ Σ 令 Rn = k=n+1ck , 称为 n=1cn的n阶余项. Σ Σ 于是 S = n→∞ Sn ⇒ n→∞ Rn = n→∞ (S − Sn) = 0. lim lim lim∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞四. 数项级数判敛法 1. 正项级数 (1) 定义正项级数 n=1un : ∀un ≥ 0 Σ (2) 性质 ∀un ≥ 0 ⇒ {Sn}单调递增. (3) 判敛法 Σ 定理3. 正项级数 n=1un 收敛 ⇔ {Sn}有界.∞ ∞第六章无穷级数§6.1 数项级数第六章无穷级数§6.1 数项级数例10. u1 = 1, un = ∫ n−1 xp dx (n ≥ 2, p >1), 证明 Σ un 收敛.n=1 ∞n1定理4 (比较判别法). 设0 ≤ un ≤ vn (∀n), 则 (1) n=1 vn 收敛 ⇒ n=1un 收敛. Σ Σ Σ (2) n=1 un 发散 ⇒ n=1 vn 发散. Σ∞ ∞ ∞ ∞可改 ∃N∈ , s.t. 为当n > N时,证明: 因为un > 0, 而且 Sn = 1 + ∫ 1 xp dx + … + ∫n−1 xp dx = 1 + ∫ 1 xp dx = 1 + 1−p x1−p1 1 1∞ n 2un ≤ vn1n111n 1Σ 证明: (1) n=1vn 收敛 ⇒ 其部分和数列{Tn}有界 ⇒ n=1un 的部分和数列{Sn}有界 Σ ⇒ Σ un 收敛.n=1 ∞ ∞∞= 1 + p−1 (1 − n p−1 ) < 1 + p−1 . 所以 Σ un 收敛.n=1(2) 由(1)立得.272365083@5请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.1 数项级数第六章无穷级数§6.1 数项级数例11. p级数 n=1 Σ1 当p > 1时收敛, p ≤ 1时发散. . np ∞ 1 1 (1) 当 p < 0时, lim np = +∞ ⇒ n=1 np 发散. Σ n→∞ 1 1∞1 n 1 1 1 证明: 因为 lim[(1−cos−) n2] = − , n→∞ n 2例12. 证明 Σ (1 − cos−)收敛.n=1∞(2) 当0 ≤ p ≤ 1时, np ≥ − , n Σ − 发散 ⇒ n=1 np 发散. Σ n=1 n1 n 1 (3) 当 p>1时, np < ∫ n−1 p dx (n ≥ 2), x ∞ 由例10可知 Σ 1p 收敛. n=1 n∞所以 ∃N∈, s.t. 当n > N时, 有1 11∞11 1 [(1−cos−) n2 ] − − < −, n 2 4从而1 1 3 < 1−cos− < 4n2 . 4n2 n ∞ 3 又因为 Σ 4n2 收敛, n=1∞故由比较判别法可知 n=1(1 − cos−) 收敛. Σ n1第六章无穷级数§6.1 数项级数第六章无穷级数§6.1 数项级数1 发散. n1+1/n 1 1 证明: 因为 lim( 1+1/n −) = n→∞ 1 = 1, lim 1/n n→∞ n n n例13. 证明 Σ∞推论 (比较判别法的极限形式) 设 n=1un 和 n=1 vn 均为正项级数, 且 Σ Σ 则 (1) 当0 < l < +∞时,∞ ∞ ∞ ∞ ∞n=1所以 ∃N∈1, s.t. 当n > N时, 有lim n→∞un = l, vn1 1 ( 1+1/n −) − 1 < − . n n 2 1 1 3 从而 2n < n1+1/n < 2n . ∞ ∞ 1 1 Σ 又因为 Σ 2n 发散, 故 n=1 n1+1/n 发散. n=1Σ u 与n=1 vn 的敛散性相同. Σ n=1 n (2) 当l = 0 且 n=1vn 收敛时, n=1un 也收敛. Σ Σ (3) 当l = +∞ 且 Σ vn 发散时, Σ un 也发散.n=1 n=1 ∞ ∞ ∞第六章无穷级数§6.1 数项级数第六章无穷级数§6.1 数项级数证明: (1) 方法同例12和例13. (2) 因为 lim n→∞un = 0, vn un , s.t. 当n > N时, v < 1, n∞(3) (法一) 因为 limn→∞ ∞un = +∞, vn所以 ∃N∈, s.t. 当n > N时, un > vn .∞所以 ∃N∈ 于是un < vn .∞Σ 而 n=1vn 发散, 故 n=1un 发散. Σ (法二) 若 n=1un 收敛, Σ 则由 lim 矛盾! 故 n=1un 发散. Σ∞ n→∞ ∞ vn Σ = 0 及(2) 得 n=1vn 收敛, un ∞Σ 而 n=1vn 收敛, 故 n=1un 收敛. Σ272365083@6请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.1 数项级数第六章无穷级数§6.1 数项级数例14. 设a >0, 讨论 Σ (a1/n + a−1/n −2)的敛散性.n=1∞定理5 (D’Alembert比值判别法). 设 Σ un 为正项级数, ∀un > 0 且 limn=1 n→∞ ∞ ∞ ∞a1/n + a−1/n − 2 at + a−t − 2 = t→0+ lim 解: lim 2 n→∞ 1/n t2 2. = (lna) 又因为 n=1 Σ∞un+1 = ρ, unΣ 则 (1) 当ρ < 1时, n=1un 收敛. (2) 当ρ > 1时, n=1un 发散. Σ达朗贝尔：法国物理学家、数学家、天文学家哲学家。

无机化学第六章化学动力学.

3. 实验测得aA + bB →cC + dD的动力学方程式为 r=kca(A)cb(B) ，下列说法错误的是（）
A. 该反应是基元反应 B. 反应级数为a+b C. 对反应物A是a级 D.对反应物 B是b级
4. 已知某反应是放热反应，如果升高温度，则（）
A. k增加，Kθ减小
B. k，Kθ均增加
6. 催化剂可以使反应的（）
A. Kθ增大
B. 反应自由能增大
C. 活化能改变
D. 反应焓减小
7. 反应2NO(g) + Br2(g) →2NOBr(g)的反应历程是： (1) NO(g) + Br2(g) →2NOBr2(g) 快 (2) NO(g) + NOBr2(g) →2NOBr2(g) 慢，则该反应对NO的反应级数为（）
三、速率常数
速率方程中的 k 称为速率常数，物理意义是速率方程式中各种物质浓度均为1 mol/L时的反应速率。
速率常数的量纲由速率方程确定，总反应级数不同，单位不同。
速率常数越大，表明反应进行得越快。但应注意，两个反应级数不同的反应，对比速率常数的大小是毫无意义的。
速率常数的大小取决于反应物的本质，而与浓度无关。速率常数是温度的函数，当其他条件相同时，T 升高，则 k 增大。
第6章化学动力学 6-1 化学反应速率
1. 平均速率：指反应进程中某时间间隔(t)内反应物浓度的减少或生成
物浓度的增加来表示： r ≡ ︱cB / t︱或：r ≡ (1/B )cB / t
2. 瞬时速率
指某一瞬时(时刻)的速率，即时间间隔无限小，t→0时的平均速率。
r ≡ ︱dcB / dt︱或 r ≡ (1/B )dcB / dt

62具有简单级数反应的速率公式化学动力学

第六章化学动力学6.1 化学反应速率方程6.1-1 化学反应速率表示法6.1-2 化学反应的速率方程①基元反应和总（包）反应②反应级数和反应速率常数6.2 具有简单级数反应的速率公式6.2-1 一级反应6.2-2 二级反应6.2-3 三级反应6.2-4 零级反应6.2-5 反应级数的测定6.3 几种典型的复杂反应6.3-1 对峙反应（可逆反应）6.3-2 平行反应6.3-3 连续反应6.3-4 稳态假定和决速步骤6.4 反应速率与温度的关系6.4-1 Arrenius公式6.4-2 活化能的概念及从实验求活化能6.5 基元反应速率理论6.5-1 碰撞理论6.5-2 过渡态理论6.6 溶液中的反应6.6-1 扩散控制反应6.6-2 溶剂对反应速率的影响6.6-3 离子强度的影响6.7 催化反应6.7-1 催化作用及其特征6.7-2 酸碱催化6.8 光化学6.8-1 光化学基本定律6.8-2 光合作用6.8-3 空气的光化学定义：研究化学反应速率的学科基本任务：1）研究浓度、温度、介质和催化剂等反应条件对反应速率的影响2）阐明化学反应的机理和研究物质结构和它们反应性能之间的关系6.1化学反应速率方程6.1-1化学反应速率表示法常以反应物或产物浓度随时间变化率来表示。

由于在一般的反应式中反应物与生成物的计量系数常不相同，故[reagent][resultant]d ddt dt≠于是引入：反应进度ξ对于aA bB gG hH +→+反应速率11111G A B Hdc dc dc dc d r V dt a dt b dt g dt h dtξ==−=−==V:反应系统的体积r:整个反应速率量纲：浓度.时间-1(mol.dm -3.s -1)反应速率的实验测定：通过测定反应物（生成物）浓度随时间变化z 化学法：化学分析方法测定浓度，采取骤冷、稀释、移去催化剂，加入阻化剂等使反应停止或减慢特点：直接，但费时较多，操作不便z 物理法：物理性质随时间变化来衡量速率（压力、体积、颜色、电导等）特点：迅速，不必中断反应，非直接，找出浓度变化⇔物理性质6.1-2化学反应的速率方程z 在一定温度下，表示反应速率与浓度的函数关系（微分形式）或表示浓度与时间关系的方程（积分形式）成为化学反应的速率方程（动力学方程）。

北大版高等数学下册教材

北大版高等数学下册教材北京大学版高等数学下册教材简介北京大学版高等数学下册教材是一本专门为高等数学学习者准备的教材。

本教材通过分章节的方式，系统介绍了高等数学下册的各个知识点和概念，力求深入浅出地让读者理解和掌握这门学科的核心内容。

下面将对本教材的主要特点和章节内容进行介绍。

第一章微分方程本章主要介绍了微分方程的基本概念和解法。

首先对微分方程的定义进行了详细解释，然后介绍了一阶微分方程和高阶微分方程的求解方法。

此外，还对常微分方程和偏微分方程进行了区分和讲解，通过一系列例题和习题，帮助读者巩固所学知识。

第二章微分方程的应用本章主要介绍了微分方程在物理和工程等领域的应用。

通过讲解物理问题和工程实际案例，引导读者将微分方程的概念和解法应用到实际问题中。

同时，介绍了一些经典的物理方程和工程方程，如振动方程和热传导方程等。

第三章多元函数微分学本章主要介绍了多元函数的导数和微分学的基本概念。

首先介绍了多元函数的概念和性质，然后对偏导数和全微分进行了详细解释。

同时，还介绍了多元函数的极值和条件极值的判定方法，以及拉格朗日乘子法等高级计算技巧。

第四章多元函数积分学本章主要介绍了多元函数的积分和积分学的基本概念。

首先介绍了多元函数积分的定义和性质，然后讲解了重积分和曲线、曲面积分的计算方法。

同时，还介绍了格林公式和高斯公式等重要的积分计算定理。

第五章级数本章主要介绍了级数的概念和性质。

首先讲解了数项级数和函数项级数的定义，然后介绍了级数收敛和发散的判定方法。

同时，通过一些经典的级数例题，帮助读者加深对级数的理解和掌握。

第六章傅里叶级数本章主要介绍了傅里叶级数的概念和性质。

首先介绍了周期函数和傅里叶级数的定义，然后讲解了傅里叶级数的计算方法和傅里叶级数的收敛性。

同时，还介绍了傅里叶级数的应用领域，如信号处理和波动现象等。

第七章偏微分方程本章主要介绍了偏微分方程的基本概念和解法。

首先介绍了一阶偏微分方程和二阶偏微分方程的定义，然后讲解了常见的偏微分方程解法，如分离变量法和特征线法等。

高等数学第二册教材

高等数学第二册教材高等数学是大学理科学生必修的一门课程。

作为数学学科的一部分，它涵盖了微积分、线性代数、概率统计等内容。

高等数学第二册教材是这门课程中的重要教材之一，本文将介绍该教材的主要内容及其在学习中的重要性。

第一章：微分学微分学是高等数学的重要组成部分，也是理解高等数学的基础。

第二册的第一章主要介绍了微分学的基本概念和方法。

首先，介绍了导数的概念和基本性质，包括导数的定义、导数的几何意义等。

然后，介绍了高阶导数、隐函数及参数方程求导等内容。

此外，该章还介绍了用微分近似计算以及函数的单调性、凹凸性等概念。

第二章：微分方程微分方程是研究自然和社会现象中变化规律的重要数学工具。

高等数学第二册的第二章主要介绍了微分方程的基本概念和解法。

首先，介绍了一阶微分方程的解法，包括可分离变量方程、一阶线性方程等。

然后，引入了高阶线性微分方程和二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

第三章：多元函数微分学第二册的第三章主要介绍了多元函数微分学的内容。

它包括多元函数的偏导数、全微分以及多元函数的极值和条件极值等。

在这一章中，学生将学会如何计算多元函数的偏导数，并能够应用最值定理求解实际问题。

第四章：多重积分学多重积分是高等数学中的重要内容之一，也是应用数学中常用的工具之一。

第二册的第四章主要介绍了二重积分和三重积分的计算方法与应用。

其中，介绍了变量代换法、极坐标法和球坐标法，以及二重积分与三重积分的应用，例如计算质量、质心和转动惯量等问题。

第五章：曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分是高等数学中的重要内容，也是应用数学中常见的求解方法。

第二册的第五章主要介绍了曲线积分和曲面积分的计算方法和应用。

学生将学会计算平面曲线的弧长、曲线积分和曲率，以及曲面积分的计算方法。

第六章：无穷级数无穷级数是高等数学中的重要内容，它在数学分析和实际问题中具有广泛的应用。

第二册的第六章主要介绍了数项级数和函数项级数的概念及其收敛性、条件收敛性等性质。

高等数学自学教材目录

高等数学自学教材目录第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的分类1.1.3 函数的图像与性质1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限的性质1.2.3 极限存在的判定方法第二章导数与微分2.1 导数的定义与性质2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的性质与运算法则2.1.3 导数存在的条件2.2 微分的概念与应用2.2.1 微分的定义2.2.2 微分的应用：局部线性化与近似计算 2.2.3 高阶导数与高阶微分第三章微分中值定理与导数应用3.1 微分中值定理3.1.1 罗尔定理3.1.2 拉格朗日中值定理3.1.3 柯西中值定理3.2 函数的单调性与曲线的凹凸性3.2.1 函数的单调性及其判定方法3.2.2 曲线的凹凸性及其判定方法3.3 各种中值定理的应用3.3.1 利用中值定理证明不等式3.3.2 利用中值定理证明函数性质第四章不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的基本性质与运算法则4.2 定积分的概念与性质4.2.1 定积分的定义4.2.2 定积分的性质与运算法则4.3 牛顿-莱布尼茨公式与变限积分4.3.1 牛顿-莱布尼茨公式的推导与应用4.3.2 变限积分的概念与性质第五章微分方程5.1 微分方程的基本概念与解法5.1.1 微分方程的定义与分类5.1.2 一阶常微分方程的解法5.1.3 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 5.2 高阶线性常系数微分方程5.2.1 特征根与齐次线性微分方程的解5.2.2 叠加原理与非齐次线性微分方程的解 5.2.3 欧拉方程及其特解的求法第六章无穷级数6.1 数项级数的概念与性质6.1.1 数项级数的定义6.1.2 数项级数的收敛与发散6.1.3 常用数项级数的性质6.2 幂级数与泰勒级数6.2.1 幂级数的概念与性质6.2.2 幂级数的收敛域与求和6.2.3 泰勒级数的推导与应用第七章多元函数微分学7.1 多元函数的概念与性质7.1.1 多元函数的定义7.1.2 多元函数的极限与连续性 7.1.3 多元函数的偏导数与全微分 7.2 方向导数与梯度7.2.1 方向导数的概念与计算7.2.2 梯度的定义与性质7.2.3 梯度的应用与几何意义7.3 隐函数与参数方程7.3.1 隐函数定理与求导公式7.3.2 参数曲线方程与对弧长的求解第八章重积分8.1 二重积分的概念与性质8.1.1 二重积分的定义8.1.2 二重积分的计算与性质8.1.3 二重积分的应用8.2 三重积分与坐标变换8.2.1 三重积分的定义与计算8.2.2 三重积分的性质8.2.3 坐标变换与积分域的变换第九章曲线积分与曲面积分9.1 第一类曲线积分9.1.1 第一类曲线积分的概念与性质 9.1.2 第一类曲线积分的计算9.2 第二类曲线积分9.2.1 第二类曲线积分的概念与性质9.2.2 第二类曲线积分的计算9.3 曲面积分9.3.1 曲面积分的概念与性质9.3.2 曲面积分的计算与应用第十章空间解析几何10.1 空间直线与平面的方程10.1.1 点、直线与平面的方程10.1.2 直线与平面的位置关系与夹角 10.2 空间曲线与曲面10.2.1 参数方程与直纹面10.2.2 旋转曲面与曲线的切线与法平面 10.3 二次曲面与空间直角坐标系10.3.1 二次曲面的方程与图像10.3.2 空间直角坐标系第十一章向量代数与空间解析几何11.1 向量的概念与运算11.1.1 向量的定义与性质11.1.2 向量的线性运算与数量积11.2 平面与空间解析几何11.2.1 向量方程与点、向量与直线的位置关系 11.2.2 点、向量与平面的位置关系与夹角11.3 空间平面与直线的方程11.3.1 空间平面的方程11.3.2 空间直线的方程与位置关系第十二章广义重积分12.1 重积分的概念与性质12.1.1 重积分的定义12.1.2 重积分的性质与计算12.2 多元函数的均值与中值定理12.2.1 平均值定理与均值公式12.2.2 中值定理与均值不等式12.3 可积函数与不可积函数12.3.1 可积函数与不可积函数的定义12.3.2 可积函数的判定与性质第十三章常微分方程初值问题的解法13.1 齐次线性常微分方程13.1.1 一阶齐次线性常微分方程的解法13.1.2 二阶齐次线性常微分方程的解法13.1.3 高阶齐次线性常微分方程的解法13.2 非齐次线性常微分方程13.2.1 一阶非齐次线性常微分方程的通解与特解 13.2.2 二阶非齐次线性常微分方程的通解与特解 13.3 可降阶的高阶常微分方程13.3.1 可降阶的高阶常微分方程的解法13.3.2 高阶常微分方程的特解与通解第十四章偏微分方程14.1 偏导数与偏微分方程的概念14.1.1 偏导数的定义与性质14.1.2 偏微分方程的定义与分类14.2 常见偏微分方程的解法14.2.1 齐次线性偏微分方程的特征曲线法14.2.2 分离变量法与变数分离法 14.3 热传导方程与波动方程14.3.1 热传导方程的解法与应用 14.3.2 波动方程的解法与应用。

高等数学上海财经大学教材

高等数学上海财经大学教材《高等数学》是上海财经大学的教材，旨在为学生提供深入理解和掌握数学知识的机会。

本教材分为多个章节，涵盖了数学的核心概念和方法。

在本文章中，我们将探讨《高等数学》的主要内容和特点。

第一章：集合与函数在《高等数学》的第一章中，我们介绍了集合和函数的基本概念。

集合是数学中重要的基础概念，它包含了一组特定的对象。

函数是集合之间的关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。

我们学习了有序对、笛卡尔积、映射和函数的性质等内容。

第二章：极限与连续在第二章中，我们研究了极限和连续的概念。

通过引入极限，我们可以描述接近无穷小和无穷大的过程。

我们学习了数列的极限、函数的极限以及极限的性质和运算法则。

在连续性方面，我们探索了函数的连续性概念和连续函数的性质。

第三章：导数与微分第三章介绍了导数和微分的概念。

导数是函数变化率的度量，它描述了函数在某一点的变化速率。

我们学习了导数的定义、求导法则和高阶导数等内容。

微分则是导数的一个应用，通过微分可以计算函数在某一点的近似变化量。

我们还研究了函数的凸性和拐点等概念。

第四章：不定积分不定积分是本章的主题，它是积分的一种形式，用于求解函数的原函数。

我们学习了不定积分的基本性质、基本的积分法和换元积分法等。

通过掌握不定积分，我们可以求解各种函数的原函数及其应用问题。

第五章：定积分与多重积分在本章中，我们研究了定积分和多重积分的概念。

定积分是函数在一定区间上面积的度量，多重积分则是对多个变量的函数进行积分。

我们学习了定积分的性质和计算方法，以及多重积分的累次积分和坐标变换等。

第六章：级数级数是本章的重点内容，它是无穷个数的和。

我们学习了级数的概念、收敛性和发散性的判断。

通过研究级数，我们可以了解到数列和函数的性质及其在实际问题中的应用。

通过学习《高等数学》，我们可以理解数学的基本理论和方法，提高解决实际问题的能力。

它在经济、金融、管理等学科中具有重要的应用价值。

(整理)第六章级数

第六章级数本章主要考点级数部分主要考察的是常数项级数的敛散性分析以及幂级数的收敛区间的判断、求解，是一个独立的部分，历年的命题分值在十分左右，近三年主要以选择、填空的形式出现，值得大家关注。

一、主要内容1、级数的定义定义：∑∞=1n na收敛∑=→=⇔nk nn S aS 1(→n +∞)性质：① 必要条件 0lim =∞→n n a② 若∑na与∑nb都收敛，则∑±)(n nb a收敛③若∑na 收敛，∑nb 发散，则∑±)(n nb a 必发散④若∑n a发散，∑n b发散，则∑±)(n nb a可能收敛，可能发散；⑤ P —级数：∑pn1⎩⎨⎧发散收敛11p p >≤⑥ 几何级数：∑nq ⎩⎨⎧发散收敛11q q ≥<2、正项级数(0)n n a a ≥∑敛散性判别法1、充要条件：正项级数1n n u ∞=∑收敛⇔部分序列{}n S 有界2、比较判别法若从某一项起,n n u kv k ≤为某正常数，则（1）1nn v∞=∑收敛1nn u∞=⇒∑收敛（2）1nn u∞=∑发散1nn v∞=⇒∑发散“大的收敛则小的收敛，小的发散则大的发散”3、比较判别法的极限形式：若limnn nu l v →∞=，则（1）0l <<+∞时，1nn u∞=∑与1nn v∞=∑同时收敛同时发散（2）0l =时，1nn v∞=∑收敛1nn u∞=⇒∑收敛（3）l =+∞，1nn v∞=∑发散1nn u∞=⇒∑发散我们常利用等价无穷小以及P —级数来判别级数的同敛同散：若n p Cu n，(0)C >，则 p>1时1nn u∞=∑收敛；1p ≤时1nn a∞=∑发散。

4、比值判别法（达朗贝尔判别法）1n n u ∞=∑均为正项级数，若1lim(0)n n n nu r u u +→∞=>，则（1）1r <时，1nn u∞=∑收敛（2）1r >时，1nn u∞=∑发散（3）1r =时，1nn u∞=∑可能收敛可能发散比值判别法的优点在于不需要找参考级数。

第六章傅里叶级数与傅里叶积分

第六章傅里叶级数与傅里叶积分，δ函数简介【教材第十章第一节，第十一章第一节】§6-1 复习: 傅里叶级数（一）三角函数族的正交性定义：函数()x ϕ和()x ψ在区间[],a b 上正交, 是指()x ϕ和()x ψ在区间[],a b 上满足下列条件：()()0ba x x dx ϕψ*=⎰。

正交函数族：若函数族(){},1,2,n x n ψ=中的任意两个函数()kx ψ，()lx ψ在区间[],a b 上正交，即()()()0,bk l a x x dx k l ψψ*=≠⎰，则称函数组(){},1,2,n x n ψ=为区间[],a b 上的正交函数族。

= {1，cos x l π，2cos x l π，，cosk xlπ，，sinxlπ，2sinxlπ，，sink xlπ，}是区间[],l l -上的正交函数族，即其中任意两个函数均是正交的（两两正交）:coscos 0,,0,1,2,llm x n xdx m n m n l lππ-=≠=⎰sinsin 0,,1,2,llm x n xdx m n m n l lππ-=≠=⎰cossin 0,0,1,2,1,2,llm x n x dx m n l lππ-===⎰（学生自己验证）（二）傅里叶级数将一个周期函数用正交三角函数族的级数表示出来，叫作傅立叶级数展开。

满足什么样的条件的周期函数能够展开成傅立叶级数的形式？数学上可以证明，满足Dirichlet 条件的周期函数可以按正交三角函数族展开成傅里叶级数。

函数f (x )在某区间内满足Dirichlet 条件，是指： (1) f (x ) 在该区间内处处连续，或只有有限个第一类间断点；(2)f (x )在该区间内只有有限个极值点，即函数在该区间内不作无限次振荡。

间断点（也叫不连续点）：如果在点0x 处出现下列三种情形之一，则称0x 为函数f (x )的间断点（不连续点）: (1) f (x )在该点无定义；(2) f (x )在该点虽有定义，但极限0lim ()x xf x →不存在；(3) f (x )在该点有定义且极限0lim ()x x f x →也存在，但00lim ()()x xf x f x →≠。

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3、交错级数若0n u >，称11(1)n n n u ∞-=-∑为交错级数莱伯尼兹判别法：对于级数11(1)n n n u ∞-=-∑若满足（1）1(1,2,)n n u u n +>=；（2）lim 0n n u →∞= 则1(1)nnn u∞=-∑收敛。

4、一般项级数（1）若1nn u∞=∑收敛，则称1nn u∞=∑条件收敛（2）若1nn u∞=∑发散，而1nn u∞=∑收敛，则称1nn u∞=∑条件收敛研究一般项级数的步骤应是先判别绝对收敛，若绝对值发散则研究级数的条件收敛性。

交错级数是一般项级数中最重要的一类。

5、幂级数1、形如0()nnn a x x ∞=-∑的级数称为幂级数，其中0x 是任给定的实数, ,0,1,2n a n =为幂级数的系数.2、阿贝尔定理：（1）若0nn n a x∞=∑在0x 收敛，则对0x x <的,x 1nn n a x∞=∑绝对收敛；（2）若nn n a x∞=∑在0x 发散，则对0x x >的,x 1nn n a x∞=∑也发散。

3、收敛半径和收敛区间幂级数最重要的问题是计算收敛半径和收敛区间。

（1）当幂级数中的幂次是严格按照自然数依次递增时，即为无缺项幂级数时可应用系数模比值法1lim+∞→n nn a a 求收敛半径。

（2）当幂级数中的幂次不是按照自然数依次递增的（比如缺奇次幂或缺偶次幂等），这时必须直接使用比值判别法，即：对1()n n u x ∞=∑求1()lim()n n nu x u x +→∞使所求极限小于1，求出x 的范围即可。

收敛区间:00x R x x R -<<+；对于端点处的值带入考察。

4、函数展开为幂级数一般应用间接法，需要掌握五个基本的展开公式如下：230(1)1()!2!3!!n nxn x x x x e x x n n ∞===++++++-∞<<+∞∑357210(1)(2)sin ()(21)!3!5!7!n n n x x x x x x n ∞+=-==-+-+-∞<<+∞+∑24620(1)(3)cos 1()(2)!2!4!6!n n n x x x x x x n ∞=-==-+-+-∞<<+∞∑201(4)1(11)1n n x x x x x ∞===+++-<<-∑12341(1)(5)ln(1)(11)2!3!4!n n n x x x x x x x n -∞=-+==-+-+-<≤∑2341ln(1)()(11)2!3!4!n n x x x x x x x n∞=-==-++++-≤<∑对于幂级数展开，基本上是由上面5个公式经过加、减、乘、除代入运算而得，也可利用逐项求导、逐项求积方法。

二、典型例题例1．设1nn a∞=∑为正项级数，下列结论正确的是（）（A ）若lim 0n n na →∞=，则级数1nn a∞=∑收敛；（B ）若级数1nn a∞=∑收敛，则2lim 0n n n a →∞=；（C ）若存在非零常数λ，使lim n n na λ→∞=，则级数1nn a∞=∑发散；（D ）若1nn a∞=∑发散，则存在非零常数λ，使lim n n na λ→∞=。

解（C ）为正项级数的极限审敛法，选（C ）（A ）的反例，取1ln n a n n =，满足lim 0n n na →∞=，但1n n a ∞=∑发散（B ）的反例，取21n a n =，则1n n a ∞=∑收敛，但2lim 1n n n a →∞=（D ）的反例，同（A ）例2．下列选项正确的是（）（A ）若21nn u∞=∑与21nn v∞=∑都收敛，则21()nn n uv ∞=+∑也收敛；（B ）若1n nn u v∞=∑收敛，则21nn u∞=∑与21nn v∞=∑都收敛；（C ）若正项级数1n n u ∞=∑发散，则1n u n≥；（D ）若1nn u∞=∑收敛，且(1,2,)n n u v n ≥=，则1n n v ∞=∑也收敛；解选（A ）。

由21nn u∞=∑与21nn v∞=∑收敛知，221()n n n uv ∞=+∑收敛，又22220()22()n n n n n n n n u v u v u v u v ≤+=++≤+故，21()nn n uv ∞=+∑收敛。

（B ）的反例：1,n n u v n == （C ）的反例：{}n u 为111,0,,0,,23（D ）的反例：0,1n n u v ==- 例3．设(1,2,)n n n b a c n ≤≤=，且1n n b ∞=∑和1n n c ∞=∑均收敛，证明1n n a ∞=∑也收敛证明：由1nn b∞=∑和1nn c∞=∑收敛知1()nn n cb ∞=-∑收敛，又0(1,2,)n n n n a b c b n ≤-≤-=故1()nn n cb ∞=-∑收敛，从而再由1n n b ∞=∑收敛可知1n n a ∞=∑收敛例4．判别下列级数的收敛性（1）21sin3(1)2n n n n π∞=-+∑ （2）1!n n n a n n∞=∑，（),1,0e a a ≠> （3）31311(1)ln n n n n ∞+=+-∑ （4）1ln 31(1n n n +∑∞=（5）11(11)n n n n ∞=+-∑ （6）1nn n n∞=解：（１）绝对收敛。

因为222sin11322n n n nπ≤≤++，而21n ∑收敛。

（２）()()11111!lim lim lim !11nn n n n n n n n na n a n n a a ae a a n n e n +-++→∞→∞→∞+⎛⎫=⋅=⋅== ⎪⋅+⎝⎭+ ∴ 当1a e>时，发散；当1a e<时，收敛。

（３）()313331111ln ln 1n n n n n +⎛⎫+⎛⎫-=+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而31n ∑收敛，故原级数绝对收敛。

（４）发散。

因为13n ∑收敛，1ln ln n n =-∑∑发散。

（５）收敛。

11nn =3/21lim 11n nn →∞=，而3/21n ∑收敛，所以原级数收敛。

（６）121limlim 201nn n n n n na n a n ++→∞→∞⎛⎫=== ⎪+⎝⎭，所以原级数收敛。

例5．若1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）（A ）条件收敛；（B ）绝对收敛；（C ）发散；（D ）收敛性不确定.解依题意知，级数的收敛半径R 满足1(1)2R ≥--=，又211R -=<，故级数在2x =处绝对收敛. 选（B ）.例6．幂级数21(2)4nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为解令2(2)4nn nx u n -=⋅，则2222112(2)411lim lim lim 22(1)4(2)414n n n n n n n n nu x n n x x u n x n +++→∞→∞→∞-⋅=⋅=-=-+⋅-+，故当21214x -<，即22x -<，故收敛半径为2R =，收敛区间为(0,4)，又当0x =与4x =时，级数11414n nn n n n∞∞===⋅∑∑发散，故收敛域为(0,4). 例7．求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域.解：因123limlim 121n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===+，故收敛半径1R =，当1x =±时，由于一般项在n →∞时不趋于零，故幂级数的收敛域为(1,1)-。

例8．将341)(2++=x x x f 展开为1-x 的幂级数。

解：()113(1)(3)(1)2(3)(1)x x f x x x x x +-+==++++1111111()213221241x x x x =-=-+++-+- 111111481124x x =⋅---++ ()001111(1)1(1)(1)4284n n n n n n n n x x ∞∞===-----∑∑()()∑∞=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅-=014812411n nn n n x ，()21<-x 三、历年真题1．下列正确的是（）A. 11n n+∞=∑收敛 B.211n n n+∞=+∑收敛 C. 1(1)nn n +∞=-∑绝对收敛 D. 1!n n +∞=∑收敛2．设有正项级数（1）nu∑与（2）2nu∑，则下列说法中正确的是（）A ．若（1）发散则（2）必发散。