等差数列的概念
等差数列的定义与通项公式
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练习三
已知等差数列{an}中,a4=10,a7=19,求a1和d.
解:依题意得:
a1 3d 10 a1 6d 19
解之得:
a1 1 d 3
∴这个数列的首项是1,公差是3。
二、等差数列的判定:
例2、已知数列{an}的通项公式为 an 6n 1 问:这个数列是等差数列吗?若是等差数列 ,其首项与公差分别是多少?
1、若一个数列的通项公式为n的一次函数 an=pn+q,则这个数列为等差数列,p=公差d .
2、非常数列的等差数列通项公式是关于n的一次函数. 常数列的等差数列通项公式为常值函数。
(2)等差数列通项公式: an=a1 +(n-1)d
作业:
1、已知数列an ,满足
a
1
2, a n 1
(1)数列
1 an
a
2 an
n
2
是否是等差数列?说明理由。
(2)求数列 an 通项公式
1 1 1 是等差数列, (n 1) 3 1 (n 1) 3 an a1 an
1 an 3n 2
有些数列若通过取倒数代数变形方法, 可由复杂变为简单,使问题得以解决.
课堂小结:
(1)等差数列定义:
a
d 或 d (n>1) a a a n1 n n n1
等差数列的定义及通项 公式
复习:
1、等差数列的概念:
一般地,如果一个数列{an},从第2项起每一 项与它的前一项的差等于同一个常数,那么 这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等 差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。 2、等差数列的定义式: d=an-an-1 3、等差数列的通项公式。
什么是等差数列和等比数列的计算
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什么是等差数列和等比数列的计算?等差数列和等比数列是数学中常见的两种数列,它们在数学和实际应用中都具有重要的作用。
本文将详细介绍等差数列和等比数列的概念、计算公式以及相关的性质和应用。
一、等差数列的计算:1. 概念:等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
其中,公差(d)表示相邻两项之差的恒定值。
2. 计算公式:-第n项(An)的计算公式:An = A1 + (n-1)d-前n项和(Sn)的计算公式:Sn = (n/2)(A1 + An)其中,A1表示数列的首项,n表示项数。
3. 性质和应用:-等差数列的性质之一是,任意三项成等差数列的条件是它们之间的差值相等。
-等差数列常用于数学和物理问题中,如等速直线运动、等间隔时间的增长等。
二、等比数列的计算:1. 概念:等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
其中,公比(r)表示相邻两项之比的恒定值。
2. 计算公式:-第n项(An)的计算公式:An = A1 * r^(n-1)-前n项和(Sn)的计算公式(当r ≠ 1):Sn = A1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中,A1表示数列的首项,n表示项数。
3. 性质和应用:-等比数列的性质之一是,任意三项成等比数列的条件是它们之间的比值相等。
-等比数列常用于数学和科学问题中,如指数增长、复利计算等。
总结:等差数列和等比数列是数学中常见的两种数列,它们在计算和应用中有着重要的地位。
通过对等差数列和等比数列的计算公式和性质的理解,我们可以快速计算数列的任意一项和前n 项的和,并应用于解决各种实际问题。
在数学学习和实际应用中,我们可以利用等差数列和等比数列的特点和性质,推导结论、发现规律,丰富我们的数学思维和解题能力。
中考数学中的等差数列
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中考数学中的等差数列在中学的数学学习中,等差数列是非常基础的一个概念。
不仅是初中阶段必须学习的内容,而且在中考数学中也是一个很重要的考点。
今天,我们就来详细探讨一下中考数学中的等差数列。
一、等差数列的概念和性质等差数列,简称等差数列,指在数列中,相邻两项的差值是一个常数。
这个常数就被称为等差数列的公差。
比如,1、3、5、7、9就是一个以2为公差的等差数列。
又比如,5、5、5、5、5就是一个以0为公差的等差数列。
等差数列是数学中非常重要的一个概念,因为它涉及到很多数学的知识和应用。
除了上面提到的公差之外,等差数列还有以下几个常见性质:性质1:等差数列的第n项可以表示为an=a1+(n-1)d,其中a1为首项,d为公差。
性质2:等差数列的前n项和可以表示为Sn=(a1+an)n/2。
性质3:等差数列的第n项与第m项的差可以表示为an-am=(n-m)d。
以上性质是等差数列的通用性质,我们在后面的学习中会具体应用到这些性质。
二、等差数列基本解题方法在中考数学中,等差数列主要考察的是对等差数列的基本解题方法的掌握。
下面,我们结合几个例题,来介绍一下等差数列的基本解题方法。
例题1:已知等差数列的前两项和为5,第一项为3,求该等差数列的公差。
解法:由于该等差数列的前两项和为5,所以有以下方程:a1+a2=5其中,已知a1=3,所以将其代入上式,可以得到:3+d=5解得:d=2所以,该等差数列的公差为2。
例题2:已知等差数列的前三项和为18,公差为2,求该等差数列的首项。
解法:由于该等差数列的前三项和为18,公差为2,所以有以下方程:a1+a2+a3=18a2=a1+2a3=a2+2=a1+4将以上三个式子代入前面的方程,得到:3a1+6=18解得:a1=4所以,该等差数列的首项为4。
例题3:已知等差数列的前6项和为42,第4项为7,求该等差数列的公差。
解法:由于该等差数列的前六项和为42,等差数列的前四项和为a1+a2+a3+a4=2×14=28,又已知第四项为7,所以得到以下方程:a1+a2+a3+a4=28a1+3d=7将第二个式子代入第一个式子中,可得:3a1+9d=21将该等式两边同时减去2倍第一个式子,可得:a1=1将a1代入第二个式子,可得:d=2所以,该等差数列的公差为2。
等差数列知识点归纳总结
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等差数列知识点归纳总结等差数列是数学中最基础的一类数列,它的定义有以下几点:一个等差数列是一组有序的数字,且任意两项的差(即每项的前一项减其后一项)均相等。
而理解等差数列有助于更好地用数学方法研究数据,并能灵活应用处理实际问题。
首先,要了解等差数列的性质,就必须先理解其定义和特征。
等差数列是指任意一项减去它的前一项都相等的数列,可以称为等差公差。
因此,只要知道等差数列的第一项、最后一项和项数,就可以确定整个数列。
即:若数列中任意一项减去它的前一项都相等,则这个数列就是等差数列。
另外,由于在等差数列中,任意一项减去它的前一项可以重复得到,因此我们可以在等差数列中发现其他规律,如:等差数列的和、平均数、倍数之积等。
其次,对于等差数列,还有一些常用的公式可以用来计算等差数列的一些基本参数。
首先是求和公式,即等差数列的总和可以表示为:S=a1+a2+a3+…+an,其中a1为数列的第一项,an为数列的最后一项,n为数列的项数。
另外,还有平均数的计算公式,可以表示为:S÷n,其中S为等差数列的总和,n为数列的项数。
此外,还有一些通用的公式可以用来求等差数列中某项的值,比如:给定某等差数列的第一项a1和最后一项an,便可以求出等差数列中任一项的值,即a1+(n-1)d,其中d为等差数列的公差,n为给定项所在的序号(即从第一项开始,数到给定项之前的序数)。
此外,在等差数列中还有一些让人感兴趣的特点,它们是:等差数列的平均数 =(第一项+最后一项)/ 2;等差数列的公差d可以用第一项减去最后一项来计算,即d = a1 - an;第n项可以用等差数列的公差d来计算,即第n项 = a1 +(n - 1)d;任意一项加上等差数列的公差d,都会变成下一项。
最后,应用等差数列的知识可以帮助我们求解实际中的问题。
譬如,要计算某个等差数列中包含的任意一项的值,就可以直接使用等差数列中给出的公式;要计算某个等差数列的总和,可以采用等差数列的求和公式;求解某个等差数列的平均数,可以直接使用等差数列的平均数公式。
等差数列的概念
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等差数列的概念等差数列是数学中常见的一种数列,它的概念以及相关性质在数学领域中有着重要的地位。
本文将对等差数列进行详细的介绍和讨论。
一、等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变。
也就是说,如果一个数列满足每一项与其后一项之间的差值都为同一个常数d,那么这个数列就是等差数列。
常数d称为等差数列的公差,用字母d表示。
例如:1, 3, 5, 7, 9, 11, ...这个数列中相邻两项之间的差值都是2,所以它是一个公差为2的等差数列。
二、等差数列的通项公式等差数列可以用一个通项公式来表示,通项公式可以根据等差数列的首项和公差来确定。
通项公式:an = a1 + (n-1)d其中,an表示等差数列的第n项,a1是第一项,d是公差。
通过这个公式,我们可以直接求出等差数列的任意一项。
三、等差数列的性质1. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和可以通过以下公式来计算:Sn = n/2 * (a1 + an)其中,Sn表示前n项和,a1是第一项,an是第n项,n为项数。
这个公式可以用来计算等差数列的前n项和,方便进行数值计算。
2. 等差数列的性质(1)等差数列的项数奇偶性对于一个等差数列,如果首项、公差和末项已知,我们可以根据等差数列的性质来判断该数列的项数是奇数还是偶数。
- 当末项an已知时,如果公差d为正数,则an > a1,项数n为奇数;如果公差d为负数,则an < a1,项数n为偶数。
- 当末项an已知时,如果公差d为正数,则an < a1,项数n为偶数;如果公差d为负数,则an > a1,项数n为奇数。
(2)等差数列的中项对于一个项数为奇数的等差数列,我们可以根据等差数列的性质求出它的中项。
中项可以通过以下公式计算:中项 = (首项 + 末项) / 2四、等差数列的应用等差数列在数学中有着广泛的应用。
它不仅在数学领域中有重要作用,也在其他学科和实践中得到广泛的应用。
等差数列的概念

等差数列的概念等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。
在数学中,等差数列是一种重要的数列类型,具有广泛的应用。
它在数学、物理、经济等领域都有着重要的地位和作用。
一、等差数列的定义等差数列的定义比较简单,即数列中任意两项之差都相等。
数列的通项公式可以表示为:an = a1 + (n-1)d,其中an表示第n项,a1表示首项,d表示公差。
二、等差数列的性质1. 公差:等差数列中相邻两项之差称为公差,常用字母d表示。
公差可以是正数、负数或零,代表着数列中每一项之间的间隔。
2. 首项和末项:等差数列中的第一项为首项,常用字母a1表示;最后一项为末项,常用字母an表示。
3. 通项公式:等差数列的通项公式可以用来表示数列中任意一项的值。
根据公式an = a1 + (n-1)d,我们可以轻松地求得数列中任意一项的值。
4. 总和公式:等差数列的前n项和可以用总和公式来表示。
总和公式为Sn = (n/2)(a1 + an),其中Sn表示前n项和。
5. 递推关系:等差数列中的每一项都可以通过前一项加上公差得到。
这种递推关系使得我们可以通过已知条件计算出其他项的值。
三、等差数列的应用等差数列在数学上具有广泛的应用,它们可以通过表达式和性质来解决各种问题。
1. 数学应用:等差数列常常用来解决一次方程和一次不等式的问题。
通过等差数列的性质和公式,我们可以求解未知项的值,计算前n项和,判断数列的增减性等。
2. 物理应用:等差数列在物理学中也有重要的应用。
例如,物体匀速运动的位移、速度和加速度等可以通过等差数列来表示和计算。
3. 经济应用:等差数列在经济学中的应用也非常广泛。
例如,在贷款计算和投资分析中,我们常常需要利用等差数列的公式来计算每期的利息、本金和回报率等。
四、等差数列的例题分析为了更好地理解等差数列的概念和应用,我们来看几个例题。
例题1:已知等差数列的首项为2,公差为3,求该数列的前5项和。
解法:根据等差数列的总和公式Sn = (n/2)(a1 + an),代入已知条件,得到S5 = (5/2)(2 + 2 + 3×4) = 35。
第2讲 等差数列

知识归纳一、等差数列的概念1.定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这样的数列叫做等差数列.2.等差中项:如果三数a 、A 、b 成等差数列,则A 叫做a 和b 的等差中项,即A =a +b2.二、等差数列的通项公式等差数列{a n }的通项a n =a 1+(n -1) d =a m +(n -m )d.推导方法:累加法a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1. 三、等差数列的前n 项和公式 等差数列{a n }的前n 项和S n =n a 1+a n 2=na 1+n n -12d. 推导方法:倒序相加法. 四、用函数观点认识等差数列 1.a n =nd +(a 1-d)(一次函数).2.S n =d 2n 2+(a 1-d2)n(常数项为零的二次函数).五、等差数列的判定方法(1)定义法:a n +1-a n =d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列,证明一个数列为等差数列,一般用定义法;(2)中项公式法:2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列; (3)通项公式法:a n =kn +b(k ,b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列; (4)前n 项和公式法:S n =An 2+Bn(A 、B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. (5){a n }是等差数列⇔{S nn }是等差数列.六、等差数列的性质 1.下标和与项的和的关系在等差数列中,若p +q =m +n ,则有a p +a q =a m +a n ;若2m =p +q ,则有 a p +a q =2a m ,(p ,q ,m ,n ∈N *). 2.任意两项的关系在等差数列{a n }中,m 、n ∈N *,则a m -a n =(m -n)d 或a m =a n +(m -n)d 或a m -a nm -n=d. 3.在等差数列中,等距离取出若干项也构成一个等差列,即a n ,a n +m ,a n +2m ,…为等差数列,公差为md.等差数列的依次n 项和也构成一个等差数列,即S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,……第2讲 等差数列为等差数列,公差为n2d.即下标成等差的项成等差数列,下标和成等差的具有相同构成规律的项的和成等差数列.4.设等差数列{a n}的公差为d,那么(1)d>0⇔{a n}是递增数列,S n有最小值;d<0⇔{a n}是递减数列,S n有最大值;d=0⇔{a n}是常数数列.(2)数列{λa n+b}仍为等差数列,公差为λd.(3)若{b n},{a n}都是等差数列,则{a n±b n}仍为等差数列.(4)项数为n的等差数列中,n为奇数时,S奇-S偶=a n+12,S奇S偶=n+1n-1.S n=na中=na n+12.n为偶数时,S偶-S奇=n2d.(5)若{a n}与{b n}为等差数列,且前n项和分别为S n与S′n,则a mb m=S2m-1S′2m-1.误区警示1.用a n=S n-S n-1求a n得到a n=pn+q时,只有检验了a1是否满足a n,才能确定其是否为等差数列,前n项和是不含常数项.....的n的二次函数时,{a n}才是等差数列.2.在讨论等差数列{a n}的前n项和S n的最值时,不要忽视n是整数的条件及含0项的情形.3.如果p+q=2r(p、q、r∈N*),则a p+a q=2a r,而不是a p+a q=a2r.方法技巧一、函数思想等差数列的通项是n的一次函数,前n项和是n的二次函数,故有关等差数列的前n项和的最值问题,数列的递增递减问题等都可以利用函数的研究方法来解决.[例1]已知数列{a n}为等差数列,且a3=5,a5=11,则a n=__________.二、等差数列的设项技巧与方程思想(1)对于连续奇数项的等差数列,可设为:…,x-d,x,x+d,…,此时公差为d;(2)对于连续偶数项的等差数列,通常可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,此时公差为2d.[例2]有四个数,其中前三个成等差数列,后三个成等比数列,并且第一个与第四个数的和为16,第二个与第三个数的和为12,求这四个数.典例讲练等差数列的通项已知等差数列{a n }、{b n }的公差分别为2和3,且b n ∈N *,则数列{ab n }是( ) A .等差数列且公差为5 B .等差数列且公差为6 C .等差数列且公差为8 D .等差数列且公差为9①在等差数列{a n }中,a 2=2,a 3=4,则a 10=( ) A .12 B .14 C .16 D .18②已知数列{a n }中,a 3=2,a 5=1,若{11+a n }是等差数列,则a 11等于( )A.0B.16C.13D.12等差数列的前n 项和①等差数列{a n }的通项公式是a n =1-2n ,其前n 项和为S n ,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为( )A .-45B .-50C .-55D .-66②设{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列{S nn }的前n项和,求T n .①已知等差数列{a n }的前n 项和S n ,且满足S 33-S 22=1,则数列{a n }的公差是( )A. 12B .1C .2D .3②已知等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d<0,S n 是数列{a n }的前n 项和,则( ) A .S 5>S 6 B .S 5<S 6 C .S 6=0D .S 5=S 6等差数列性质的应用已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若m>1,且a m -1+a m +1-a 2m -1=0,S 2m -1=39,则m 为( ) A .10 B .19 C .20D .39①等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2+a 7+a 12=30,则S 13的值是( ) A .130 B .65 C .70D .75②在等差数列{a n }中,若a 1+a 5+a 9=π4,则tan(a 4+a 6)等于( )A. 3 B .-1 C .1D.33有关等差数列的最值问题等差数列{a n }中,a 1<0,S 9=S 12,该数列前多少项的和最小?①若数列{a n }(n ∈N *)的首项为14,前n 项的和为S n ,点(a n ,a n +1)在直线x -y -2=0上,那么下列说法正确的是( )A .当且仅当n =1时,S n 最小B .当且仅当n =8时,S n 最大C .当且仅当n =7或8时,S n 最大D .S n 有最小值,无最大值②已知数列{a n }为等差数列,若a 11a 10<-1,且它们的前n 项和S n 有最大值,则使得S n >0的最大值n 为( )A .11B .19C .20D .21综合应用设{a n }是一个公差为d(d ≠0)的等差数列,它的前10项和S 10=110,且a 1、a 2、a 4成等比数列.(1)证明a 1=d ;(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式.①数列{a n }的首项为3,{b n }为等差数列且b n =a n +1-a n (n ∈N *),若b 3=-2,b 10=12,则a 8=( )A .0B .3C .8D .11②设数列{a n }满足a 1=0且11-a n +1-11-a n =1.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1-a n +1n ,记S n = k =1nb k ,证明:S n <1.课堂巩固1.在等差数列{a n }中,已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6等于( ) A .40 B .42 C .43 D .452.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S k +2-S k =24,则k =( ) A .8 B .7 C .6D .53.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 4=9,S 3=15,则数列{a n }的通项a n =( ) A .2n -3 B .2n -1 C .2n +1 D .2n +34.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 5+a 7=4,a 6+a 8=-2,则当S n 取最大值时n 的值是( )A .5B .6C .7D .8 5.设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和,已知S 5S 10=13,那么S 10S 20等于( )A.19B.310C.18D.136.已知{a n }为等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,以S n 表示{a n }的前n 项和,则使得S n 达到最大值的n 是( )A .21B .20C .19D .187.已知数列{a n }为等差数列,S n 是它的前n 项和.若a 1=2,S 3=12,则S 4=( ) A .10 B .16 C .20D .248.已知等差数列{a n }的公差为d(d≠0),且a 3+a 6+a 10+a 13=32,若a m =8,则m 为( ) A .12 B .8 C .6D .49.设数列{a n }为等差数列,其前n 项和为S n ,已知a 1+a 4+a 7=99,a 2+a 5+a 8=93,若对任意n ∈N *,都有S n ≤S k 成立,则k 的值为( ) A .22 B .21 C .20D .1910.已知方程(x 2-2x +m)(x 2-2x +n)=0的四个根组成一个首项为14的等差数列,则|m -n|=A.1B.34C.12D.3811.已知直线(3m +1)x +(1-m)y -4=0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项,若b n =1a n ·a n +1,数列{b n }的前n 项和为T n ,则T 10=( ) A.921 B.1021 C.1121D.202112.设等差数列{a n }的公差为正数,若a 1+a 2+a 3=15,a 1a 2a 3=80,则a 11+a 12+a 13=________.13.已知a n =n 的各项排列成如图的三角形状:记A(m ,n)表示第m 行的第n 个数,则A(21,12)=________.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 … … … … … … … … … …14.设{a n }是公比为正数的等比数列,a 1=2,a 3=a 2+4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设{b n }是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n +b n }的前n 项和S n .15.已知在等差数列{a n }中,对任意n ∈N *,都有a n >a n +1,且a 2,a 8是方程x 2-12x +m =0的两根,且前15项的和S 15=m ,则数列{a n }的公差是( ) A .-2或-3 B .2或3 C .-2 D .316.已知{a n }是等差数列,S n 为其前n 项和,若S 21=S 4000,O 为坐标原点,点P(1,a n ),点Q(2011,a 2011),则OP →·OQ →等于( )A .2011B .-2011C .0D .117.数列{a n },{b n }都是等差数列,a 1=0,b 1=-4,用S k 、S k ′分别表示等差数列{a n }和{b n }的前k 项和(k 是正整数),若S k +S k ′=0,则a k +b k =________.18.已知数列{a n }的前n 项和S n =2-a n ,数列{b n }满足b 1=1,b 3+b 7=18,且 b n -1+b n +1=2b n (n≥2). (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)若c n =b na n ,求数列{c n }的前n 项和T n .19.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4S 8=13,则S 8S 16=( )A.18B.13C.19D.31020.将正偶数集合{2,4,6…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组,第一组{2,4},第二组{6,8,10,12},第三组{14,16,18,20,22,24},则2010位于第( )组. A .30 B .31 C .32D .3321.设数列{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列,b n 是以1为首项,2为公比的等比数列,则ab 1+ab 2+…+ab 10=( )A .1033B .2057C .1034D .205822.一个算法的程序框图如下图所示,若该程序输出的结果为56,则判断框中应填入的条件是( )A .i<4?B .i<5?C .i≥5?D .i<6?23.已知函数f(x)=sinx +tanx.项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,且公差d≠0.若f(a 1)+f(a 2)+…+f(a 27)=0,则当k =______时,f(a k )=0.24.已知各项都为正数的等比数列{a n }中,a 2·a 4=4,a 1+a 2+a 3=14,则满足a n ·a n +1·a n +2>19的最大正整数n 的值为________.25.已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4=14,且a 1,a 3,a 7成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设T n 为数列{1a n a n +1}的前n 项和,若T n ≤λa n +1对一切n ∈N *恒成立,求实数λ的最小值.1.若S n 是等差数列{a n }的前n 项和,a 2+a 10=4,则S 11的值为( ) A .12 B .18 C .22D .442.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2+a 6+a 7=18,则S 9的值是( )A .64B .72C .54D .以上都不对 3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=-11,a 3+a 7=-6,则当S n 取最小值时,n 等于( )A .8B .7C .6D .94.已知不等式x 2-2x -3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项,则数列{a n }的第四项为 A .3 B .-1 C .2 D .3或-15.已知数列2,x ,y,3为等差数列,数列2,m ,n,3为等比数列,则x +y +mn 的值为( ) A .16 B .11 C .-11 D .±116.在函数y =f(x)的图象上有点列(x n ,y n ),若数列{x n }是等差数列,数列{y n }是等比数列,则函数y =f(x)的解析式可能为( )A .f(x)=2x +1B .f(x)=4x 2C .f(x)=log 3xD .f(x)=⎝⎛⎭⎫34x7.已知a ,b ,c 是递减的等差数列,若将其中两个数的位置对换,得到一个等比数列,则a 2+c 2b 2的值为________.8.已知{a n }是等差数列,S n 为其前n 项和,n ∈N *,若a 3=16,S 20=20,则S 10的值为________. 9.将正偶数按下表排成5列:第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 …………2826那么10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S n )(n ∈N +)在函数f(x)=3x 2-2x 的图象上. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =3a n ·a n +1,求数列{b n }的第n 项和T n .11.已知等比数列{a n }中,各项都是正数,且a 1,12a 3,2a 2成等差数列,则a 9+a 10a 7+a 8=( )A .1+ 2B .1- 2C .3+2 2D .3-2 212.设等差数列{a n }的前n 项和为S n 且S 15>0,S 16<0,则S 1a 1,S 2a 2,…,S 15a 15中最大的是( )A.S 15a 15B.S 9a 9C.S 8a 8D.S 1a 113.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( ) A.1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升14.若数列{x n }满足x n -x n -1=d ,(n ∈N *,n≥2),其中d 为常数,x 1+x 2+…+x 20=80,则x 5+x 16=________.15.已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ,且对任意的正整数n 满足2S n =a n +1. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n ·a n +1,求数列{b n }的前n 项和B n .。
等差数列的知识点总结
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等差数列的知识点总结一、概念等差数列是由一系列按照相同的公差递增或递减的数字所组成的数列。
如果一个数列 a1, a2, a3, ... , an 满足a2 - a1 = a3 - a2 = ... = an - a(n-1)那么这个数列就是等差数列,其中 a1 为首项,a2 - a1 为公差。
例如,3, 6, 9, 12, 15 就是一个等差数列,其中首项为3,公差为3。
二、性质1. 通项公式等差数列的第 n 项 a_n 可以用通项公式表示为a_n = a1 + (n-1)d其中 a1 为首项,d 为公差。
2. 数列求和等差数列的前 n 项和 Sn 可以用求和公式表示为Sn = n/2 * (a1 + an)或Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)其中 a1 为首项,d 为公差,an 为第 n 项。
3. 任意三项对于等差数列中的任意三项 a_i, a_j, a_k(i < j < k),有2a_j = a_i + a_k这个性质可以用来解决很多等差数列的问题。
4. 求和公式的推导为了理解等差数列求和公式的推导,我们来考虑一个等差数列的和 S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n。
如果我们将这个数列反向写,即 S_n = a_n + a_(n-1) + ... + a_1,那么两个数列相加得到的和是2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_(n-1)) + ... + (a_n + a_1)由于等差数列中任意三项的性质,我们知道其中每一对括号内的和都是相等的,所以有2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + ... + (a_1 + a_n) = n * (a_1 + a_n)从而得到了等差数列求和公式。
三、应用等差数列在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
在数学中,等差数列的求和公式可以用来解决许多数学问题,比如计算前 n 项的和。
初中数学中的等差数列与等比数列
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初中数学中的等差数列与等比数列在初中数学中,等差数列和等比数列是两个重要的概念。
它们在数列及其应用中具有重要的地位和作用。
本文将介绍等差数列和等比数列的定义、性质以及它们在数学问题中的应用。
一、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻数之差相等的数列。
数列中的这个常数差称为等差数列的公差。
1. 定义设数列 {an} 是一个等差数列,若存在常数 d,对于任意的正整数 n (n≥2),都有 an - an-1 = d 成立,则称数列 {an} 是一个等差数列,公差为 d。
2. 性质等差数列的常用性质如下:(1)通项公式:设等差数列的首项为 a1,公差为 d,则第 n 项的通项公式为 an = a1 + (n - 1)d。
(2)前 n 项和公式:设等差数列的首项为 a1,公差为 d,则前 n 项和的公式为 Sn = (a1 + an) * n / 2,其中 an 为第 n 项。
3. 应用等差数列在代数运算中有广泛的应用,比如计算数列的和、寻找数列的规律等。
在解决实际问题时,等差数列也常常发挥着重要的作用。
比如在等间隔的时间内,某物体的位置、速度等等问题都可以用等差数列来表示和求解。
二、等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻数的比相等的数列。
数列中的这个常数比称为等比数列的公比。
1. 定义设数列 {an} 是一个等比数列,若存在常数 q(q ≠ 0),对于任意的正整数 n(n≥2),都有 an / an-1 = q 成立,则称数列 {an} 是一个等比数列,公比为 q。
2. 性质等比数列的常用性质如下:(1)通项公式:设等比数列的首项为 a1,公比为 q,则第 n 项的通项公式为 an = a1 * q^(n - 1)。
(2)前 n 项和公式:设等比数列的首项为 a1,公比为 q,则前 n项和的公式为 Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)。
3. 应用等比数列在数学和实际问题中都有许多应用。
初中数学 什么是等差数列
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初中数学什么是等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。
在初中数学中,等差数列是一个重要的概念,它具有以下几个特点:1. 公差:等差数列的特点之一是公差,即相邻两项之间的差值保持不变。
公差通常用字母d表示,它表示等差数列中任意两项之间的差值。
例如,对于等差数列1, 4, 7, 10, 13,公差d为3,因为每一项与前一项的差都是3。
2. 通项公式:等差数列可以用通项公式来表示,通项公式可以根据等差数列的首项和公差来计算任意一项的值。
通项公式通常用字母an表示,它表示等差数列的第n项的值。
通项公式的一般形式为an = a1 + (n-1)d,其中a1表示首项的值,d表示公差,n表示项数。
例如,对于等差数列1, 4, 7, 10, 13,首项a1为1,公差d为3,第n项an可以通过an = 1 + (n-1)3来计算。
3. 前n项和:等差数列的前n项和是指等差数列中前n项的和。
前n项和通常用字母Sn表示,它可以通过等差数列的首项、末项和项数来计算。
对于等差数列1, 4, 7, 10, 13,前n项和Sn可以通过Sn = (a1 + an) * n / 2来计算。
4. 性质和应用:等差数列具有一些重要的性质和应用。
例如,等差数列的项数和最后一项之间存在着特定的关系,即Sn = (n/2)(a1 + an)。
这个性质可以用于求解等差数列的项数、首项或公差等未知量。
等差数列还可以应用于解决实际问题,例如计算等差数列的总和、平均数等。
通过以上几个特点,我们可以更好地理解等差数列的概念和性质。
等差数列在数学中有着广泛的应用,它不仅可以帮助我们理解数列的规律,还可以用于解决各种实际问题。
希望本文对初中学生的学习有所帮助,让他们能够准确理解等差数列的概念和运用。
等差数列的概念
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a2 4 1 3
等差数列的通项公式 如果一个数列 a1 , a 2 , a3 , …,an , …
是等差数列,它的公差是d,那么
a2 a1 d
a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d a5 a4 d (a1 3d ) d a1 4d
完成实际问题解答
小结:
1. {an}为等差数列 an+1- an=d an+1=an+d an= a1+(n-1) d an= kn + b (k、b为常数)
2. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项AA ac b 2b= a+c 2 【说明】 an am 3.更一般的情形,an= am+(n - m) d ,d= nm am+an=ap+aq 4.在等差数列{an}中,由 m+n=p+q
am+an=ap+aq
1、在等差数列{an}中,由 m+n=p+q
由p=q
2、 在等差数列{an}中a1+an
=
2ap=am+an a2+ an-1 = a3+ an-2 = …
练习
1 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20,求a1+a20 分析:由 a1+a20 = a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20, 可得a1+a20=10 (2)已知 a3+a11=10,求 a6+a7+a8
什么是等差数列和等比数列

什么是等差数列和等比数列等差数列和等比数列是数列中常见的两种类型。
在数学中,数列是一组按照一定规律排列的数字。
等差数列和等比数列都能用于解决实际问题和数学推理,因此对它们的理解非常重要。
一、等差数列等差数列也被称为公差数列,是指数列中的每个数与它前面的数之差都相等。
这个相等的差值称为公差,通常用字母"d"来表示。
等差数列的一般形式可以表示为a、a+d、a+2d、a+3d、...,其中a是首项,d 是公差。
等差数列的求和公式如下:Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)其中Sn表示等差数列的前n项和,n表示项数,a表示首项,d表示公差。
等差数列常见的应用包括:计算年龄、时间、距离等等。
例如,如果一个人每年增长3岁,在5年后他的年龄是多少?二、等比数列等比数列是指数列中的每个数与它前面的数之比都相等。
这个相等的比值称为公比,通常用字母"q"来表示。
等比数列的一般形式可以表示为a、aq、aq²、aq³、...,其中a是首项,q是公比。
等比数列的求和公式如下:Sn = a(1 - qⁿ)/(1 - q)其中Sn表示等比数列的前n项和,n表示项数,a表示首项,q表示公比。
等比数列常见的应用包括:求利息、计算数量、模型预测等等。
例如,一笔投资每年收益率为10%,如果投资10年后的总收益是多少?三、等差数列与等比数列的关系等差数列和等比数列之间存在一定的联系。
当公比q等于1时,等比数列就变成了等差数列。
因此,等差数列是等比数列的一种特殊情况。
另外,在某些情况下,我们可以通过观察数列的性质来确定它是等差数列还是等比数列。
例如,如果一个数列从第二项开始,每一项都是前一项的2倍,那么我们可以断定这个数列是等比数列。
四、总结等差数列和等比数列是数学中常见的两种数列类型。
它们都有各自的求和公式,并能在实际问题中发挥重要作用。
理解等差数列和等比数列的概念、特性和应用,对于数学学习和问题解决都是非常有帮助的。
等差数列的概念
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等差数列的概念等差数列,是指数列中任意相邻两项的差值都相等的数列。
在数学中,等差数列是一种常见的数列类型。
其定义和性质对于数学学习和应用都具有重要的意义。
一、等差数列的定义等差数列可以用以下的方式进行定义:假设有一个数列 a₁, a₂,a₃, ..., an,如果对于该数列,存在一个常数 d,使得任意相邻两项的差值都等于d,那么该数列就是等差数列。
可以用数学公式来表达等差数列的定义:a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = a₄ - a₃ = ... = an - aₙ₋₁ = d其中,a₁为等差数列的首项,d为公差(任意相邻两项的差值)。
二、等差数列的性质等差数列具有许多重要的性质,以下是其中几个常见的性质:1. 通项公式:等差数列可以用通项公式来表示,通项公式可以用来求解数列中任意一项的数值。
对于等差数列 a₁, a₂, a₃, ..., an,其通项公式为:an = a₁ + (n-1)d其中,an表示等差数列的第n项,a₁为首项,d为公差。
通过通项公式,可以快速计算出等差数列中任意一项的数值。
2. 等差数列的和:等差数列的前n项和可以用求和公式来表示。
对于等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an,其前n项和Sn可以表示为:Sn = (n/2)(a₁ + an)通过求和公式,可以快速计算等差数列的前n项和。
3. 等差数列的性质:等差数列具有递推性质,即任意一项与它的前一项之间的差值等于公差。
通过这个性质,可以进一步推导出等差数列的各种性质和定理。
三、等差数列的应用等差数列在数学中被广泛应用,它有着重要的意义和应用价值。
以下是等差数列的一些常见应用:1. 等差数列的求和:通过等差数列的求和公式,可以解决一些实际问题,如计算数列中一段连续数值的总和。
这在计算、统计学等领域具有广泛的应用。
2. 线性函数:等差数列可以被看作是线性函数的离散形式,它们之间存在着密切的联系。
线性函数在数学和物理学等领域中具有广泛的应用,而等差数列则为理解和应用线性函数提供了基础。
知识点什么是等差数列
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知识点什么是等差数列知识点:什么是等差数列等差数列是数学中常见的一种数列,其中每个相邻的数字之间的差值都是相等的。
在等差数列中,一个数字称为首项,差值称为公差。
等差数列可用于解决各种实际问题,也在数学推理中扮演重要角色。
本文将介绍等差数列的定义、性质和应用。
一、等差数列定义及基本性质等差数列的定义是:如果一个数列满足每个相邻的数字之间的差值都相等,则称该数列为等差数列。
等差数列一般用字母a、d和n来表示,其中a表示首项,d表示公差,n表示数列的项数。
等差数列的基本性质包括:1. 公差性质:等差数列中,任意两个相邻数字的差值是相等的。
2. 通项公式:等差数列的通项公式可由首项和公差推导得出。
通项公式通常表示为an = a + (n - 1)d,其中an表示数列的第n项,a表示首项,d表示公差。
3. 求和公式:等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = (n/2)(2a+ (n - 1)d)来计算,其中n表示项数,a表示首项,d表示公差。
二、等差数列的应用等差数列在数学中的应用非常广泛,以下介绍几个常见的应用情况。
1. 数学问题:等差数列可用于解决各种数学问题,如求和、找规律、推测等。
通过等差数列的性质和通项公式,可以轻松计算数列的各项数值、求和以及验证数列中的规律。
2. 数字序列:在实际问题中,常会遇到一组数字按照一定规律排列的情况。
如果这组数字满足相邻数字之差相等,那么可以认定它们构成了一个等差数列。
通过识别等差数列,我们可以更好地理解和解决实际问题。
3. 金融领域:等差数列在金融领域的应用十分广泛。
例如银行的利率、投资计划的收益等都可能涉及等差数列。
通过等差数列的性质,我们可以对这些金融问题进行分析和计算。
4. 物理学问题:在物理学中,等差数列可以用于描述一些连续变化或周期性变化的现象。
例如,匀速运动中的位移、速度和加速度等都可以通过等差数列来表示和计算。
三、等差数列的例题解析为了更好地理解等差数列的应用,我们来看一个例题:例题:一个等差数列的首项是3,公差为4,求前10项的和。
等差数值的概念

等差数值的概念等差数列是指数列中的每个数与它的前一个数之差都相等的数列。
这个公差称为等差数列的公差,用d表示。
数学上通常用a₁,a₂,a₃……表示等差数列中的各个数。
等差数列在数学和其他科学领域中都有广泛应用,特别在数列求和、推导公式以及比较数值间的关系方面,等差数列的概念起到了重要的作用。
在解决一些实际问题时,可以将问题中的数值进行抽象化,从而利用等差数列的性质来简化问题的求解过程。
首先,我们来看等差数列的通项公式。
设等差数列的首项为a₁,公差为d,则等差数列的第n项可以表示为:aₙ= a₁+ (n-1)d这个公式告诉我们,只要知道了等差数列的首项和公差,就可以轻松地求得任意项的数值。
通过这个公式,我们可以很方便地确定某个等差数列中的任意一项。
接下来,我们来看等差数列的前n项和公式。
设等差数列的首项为a₁,公差为d,前n项和为Sn,则有:Sn = (n/2)(a₁+ aₙ)这个公式的推导过程比较简单。
我们可以将Sn表示为n个等差数列的平均值,即Sn = (a₁+ a₂+ a₃+ …+ aₙ)/n。
然后,我们可以对这个式子进行分组,把a₁与aₙ相加,a₂与aₙ-₁相加,a₃与aₙ-₂相加,以此类推。
相同的项的和都是a₁+aₙ,所以一共有n/2对和为a₁+aₙ的项。
所以,Sn = (n/2)(a₁+ aₙ)。
等差数列的概念也可以扩展到无穷等差数列的情况。
无穷等差数列是指等差数列的项数为无穷大的情况。
对于一个无穷等差数列,我们可以通过求前n项和的极限来求得这个数列的无穷和。
设无穷等差数列的首项为a₁,公差为d,无穷和为S,则有:S = lim(n→∞)Sn通过这个极限,我们可以求得无穷等差数列的无穷和。
当公差d为非零时,等差数列的无穷和存在且为有限值,当公差d为零时,等差数列的无穷和不存在。
等差数列的概念在解决一些实际问题时非常有用。
比如,当我们需要按照等差数列的方式进行加减运算时,可以直接利用等差数列的性质来简化运算。
等差数列的概念
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-1)d=n2,∴an=2n.
跟踪训练1.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,数列{bn}中,bn=3an+4,问: 数列{bn}是否为等差数列?并说明理由. 解:数列{bn}是等差数列.理由:∵数列{an}是首项为a1,公差为d的等差数列, ∴an+1-an=d(n∈N*). ∴bn+1-bn=(3an+1+4)-(3an+4)=3(an+1-an)=
4
44
跟踪训练1.在等差数列{an}中,已知a5=11,a8=5,求a10.
2.-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项? 解:由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得an=-5-4(n-1)=-4n-1,由题意知, -401=-4n-1.得n=100,即-401是这个数列的第100项.
3.通项公式:
an= a1+(n-1)d (n∈N*) 变式:an=am+(n-m)d (n,m∈N*) .
4.通项公式与函数关系:等差数列的通项公式为一次型函数an=kn+b,n∈N*
2.从数列相对函数的特殊性探究:
数列相对于函数的特殊性体现在自变量取值的“有序性、离散性”,因此,可探究 以下内容: (1)相邻项比较分析、递推思想等方法; (2)前n项求和问题。
3.从“理论与实际问题相结合”探究:
从现实中的同类问题入手进行“比较、分析、抽象、概括”,建立数学模型,并 用数学的理论和方法解决之。
③等差数列{an}的单调性与公差d有关. 当d>0时,等差数列{an}为递增数列; 当d=0时,等差数列{an}为常数列; 当d<0时,等差数列{an}为递减数列.
(2) 等差数列通项公式的变式:an=am+(n-m)d (n,m∈N*) .
第1节 等差数列
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【例2】 (2018新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知
a1=-7,S3=-15. (1)求{an}的通项公式;
【解析】 (1)设{an}的公差为d,由题意得3a1 3d 15. 由a1 7得d 2.所以{an}的通项公式为an 2n 9.
(2)求Sn,并求Sn的最小值. (2)由(1)得Sn n2 8n (n 4)2 16. 所以当n 4时, Sn取得最小值,最小值为 16.
1,
a100 a10 90d 98,故选C.
14.(2018广东潮州二模)在我国古代著名的数学专著《九章算术》
里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二
十五里,良马初日行一百零三里,日增一十三里;驽马初日行九十七
里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:几日相逢 ( )
【答案】 15 【解析】 由等差数列的等和性,可知a1 a4 a2 a3, 2(a2 a3 ) 30,a2 a3 15.
11.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,则其通项公式an=
;
若它的第k项满足5<ak<8,则k=
.
【答案】 2n 10;8 【解析】
a1
9d
1 2
9
19 2
, 故选B.
13.(2016新课标Ⅰ卷,理)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,
则a100=
()
A.100
B.99
C.98
D.97
【答案】C
【解析】 S9
9(a1 2
a9 )
9a5
27, a5
等差数列与等比数列的概念与性质

等差数列与等比数列的概念与性质等差数列和等比数列是数学中常见且重要的数列类型。
它们在各个领域中都有广泛的应用,从金融到物理,从自然科学到社会科学。
本文将介绍等差数列和等比数列的概念、性质和应用,以帮助读者更好地理解这两个数列的特点与应用。
一、等差数列的概念和性质1. 概念:等差数列是指一个数列中,从第二项起,每一项与前一项的差相等。
这个差被称为等差数列的公差,常用字母d表示。
2. 性质:- 等差数列的通项公式:设等差数列的首项为a₁,公差为d,则第n项aₙ可由以下公式表示:aₙ = a₁ + (n-1)d 。
- 等差数列的前n项和公式:设等差数列的首项为a₁,公差为d,前n项和为Sₙ,则Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。
- 等差数列的性质:(1)若首项相同,公差不同的两个等差数列相交,其交点仍为等差数列。
(2)若两个等差数列的公差之比为整数,则其和仍为等差数列。
(3)等差数列的前n项和与项数n成正比,即Sₙ与n成一次函数关系。
二、等比数列的概念和性质1. 概念:等比数列是指一个数列中,从第二项起,每一项与前一项的比相等。
这个比被称为等比数列的公比,常用字母q表示。
2. 性质:- 等比数列的通项公式:设等比数列的首项为a₁,公比为q,则第n项aₙ可由以下公式表示:aₙ = a₁ * q^(n-1)。
- 等比数列的前n项和公式:设等比数列的首项为a₁,公比为q,前n项和为Sₙ,则Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ)/(1 - q)。
- 等比数列的性质:(1)若首项相同,公比不同的两个等比数列相交,其交点仍为等比数列。
(2)若两个等比数列的公比之比为整数,则其和仍为等比数列。
(3)等比数列的前n项和与项数n成正比,但比值不为常数。
三、等差数列与等比数列的应用1. 等差数列的应用:(1)在金融领域中,等差数列用于计算复利的增长情况。
(2)在物理学中,等差数列可以用来描述物体在匀速运动中的位置和速度变化。
6.2 等差数列

等差数列基本量的计算
(1)在等差数列{an } 中,已知 a 4 = 9, a 9 = −6, S n = 63, 求n. (2)若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有 项的和为390,求这个数列的项数. 【思路分析 思路分析】先运用等差数列的通项公式求出公差和首项, 思路分析 再入前n项和公式即可求得项数n. 解:(1)设首项为a1,公差为d, 则, 9 = a1 + 3d 得a1 = 18
变式探究 3.(2011年南宁模拟)已知{an}为等差数列,a3+a8=22, a6=7,则a5=________. 解析:由于
{an}为等差数列,故a3+a8=a5+a6,
∴a5=a3+a8-a6=22-7=15. 答案:15
4.(2010年大连模拟)已知等差数列{an}中,a7+a9=16, a4=1,则a12的值是( A ) A.15 B.30 C.31 D.64
解析二:由条件可知两个等差数列的通项公式,可用不定方程 的求解法来求解。 设数列5,8,11,…和3,7,11,…分别为
{a n }, {bn }, 则a n
= 3n + 2, bn = 4n − 1
设 {a n }中的第n项与 {bn }中的第m项相同,即
4 3n + 2 = 4m −1∴n = m − 1, 又m, n ∈ N ∗ ,∴设m = 3r, (r ∈ N ∗ )得n = 4r − 1 3
(1)当1≤n≤6(n∈N*)时, Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=12n-n2. (2)当n≥7(n∈N*)时, Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =(a1+a2+…+a6)(a7+a8+…+an) =-(a1+a2+…+an)+2(a1+…+a6) =-Sn+2S6=n2--12n+72.
等差数列所有公式大全
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等差数列所有公式大全等差数列是数学中常见的一个概念,它在数学和实际生活中都有着重要的应用。
在学习等差数列时,掌握其相关公式是非常重要的。
本文将为大家详细介绍等差数列的所有公式,希望能够帮助大家更好地理解和运用等差数列的知识。
1. 等差数列的定义。
在介绍等差数列的公式之前,我们先来回顾一下等差数列的定义。
等差数列是指一个数列,其中相邻两项之间的差值都相等。
换句话说,如果一个数列满足每一项与它的前一项之差都相等,那么这个数列就是等差数列。
2. 等差数列的通项公式。
等差数列的通项公式是等差数列中最为重要的公式之一。
通项公式可以用来表示等差数列中任意一项的值。
假设等差数列的首项为a1,公差为d,那么等差数列的通项公式可以表示为:an = a1 + (n-1)d。
其中,an表示等差数列中第n项的值。
3. 等差数列的前n项和公式。
除了通项公式之外,等差数列还有一个重要的公式,那就是前n项和公式。
前n项和公式可以用来表示等差数列前n项的和。
假设等差数列的首项为a1,公差为d,那么等差数列的前n项和公式可以表示为:Sn = (n/2)(a1 + an)。
其中,Sn表示等差数列前n项的和。
4. 等差数列的性质。
除了上述的公式之外,等差数列还有一些重要的性质。
首先,等差数列中任意三项可以构成一个等差数列。
其次,等差数列中任意一项都可以表示为它前面的项与公差的和。
另外,等差数列中任意一项与它对称的项之和都相等。
5. 等差数列的应用。
等差数列在实际生活中有着广泛的应用。
比如,等差数列可以用来表示物理学中的等加速度运动,经济学中的等差增长,以及工程学中的等差数列模型等。
掌握等差数列的公式和性质,可以帮助我们更好地理解和解决实际生活中的问题。
总结:通过本文的介绍,我们详细了解了等差数列的所有公式,包括通项公式、前n 项和公式以及等差数列的性质和应用。
希望本文能够帮助大家更好地掌握等差数列的知识,提高数学水平,同时也能够更好地应用等差数列的知识解决实际问题。
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等差数列的概念及通项公式时间:2010-7-9 命题人:赵华一、教学目标: 知识与技能:通过对日常生活中实际问题的分析,建立等差数列模型,加强对等差数列概念的理解,体验数学发现和创造的过程。
过程与方法:自主探究等差数列的通项公式、等差中项公式,培养学生观察分析、探索归纳能力,并在此过程中鼓励学生积极思考,大胆猜想,培养学生的自主学习能力和创新意识。
情感、态度与价值观:应用概念和公式解决问题,体会数列在实际生活中的应用,提高学生学习数学的兴趣。
二、重点与难点:重点:等差数列的概念、等差数列的通项公式、等差中项公式。
难点:等差数列的概念、通项公式、等差中项公式的应用。
三、教学过程 (一)基础梳理: 1.等差数列定义:如果一个数列从第 项起,每一项与它的 的差都等于 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个 就叫做等差数列的 ,通常用字母 表示。
2.等差数列的递推公式与通项公式:已知等差数列a 的首项为a ,公差为d ,填表:3如果三个数,,x A y 组成等差数列,那么 叫做x 和y 的 ,则2x yA +=。
(二)自评自测1.如果一个数列的前3项分别为1,2,3,下列结论中正确的是( )A.它一定是等差数列B.它一定是递增数列C.通项公式是n a n =D.以上结论都不一定正确 2.等差数列1,-1,-3,……,-89的项数是( ) A.92 B.47 C.46 D.453.ABC ∆中,三角形A,B,C 成等差数列,则B 等于A.030 B. 060 C. 090 D. 01204.一个等差数列的第5项510a =,且1233a a a ++=,则有1a = ,d = 。
5.已知等差数列{}n a 中,1924a a =-=,求10a 。
(三)典型例题:类型一:等差数列通项公式的应用例1. 在等差数列{}n a 中,已知51210,31a a ==,求首项1a 和公差d 。
类型二:等差数列的判定与证明:例2.已知数列{}n a 的通项公式)(2,,n a pn qn p q R =+∈且p,q 为常数(1)当p 和q 满足什么条件时,数列{}n a 是等差数列; (2)求证:对任意实数p 和q ,数列{}1n n a a +-是等差数列。
类型三:等差中项的应用例3.已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数。
变式1:已知数列{}n a ,满足1122,2nn n a a a a +==+,数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为等差数列?说明理由。
变式2:有三个数成等差数列,它们的和为9,积为-21,求这三个数。
等差数列的性质时间:2010-7-9 命题人:赵华一、教学目标:知识与技能:理解等差数列的概念、通项公式、等差中项公式,应用公式解决问题。
培养学生应用公式解决问题的技能和运算能力。
过程与方法:探索并总结等差数列的性质,利用性质解决问题,培养学生理性分析能力和概括能力,体验由特殊到一般,又由一般到特殊的认识事物的规律。
情感、态度与价值观:熟悉由观察到抽象的数学活动过程,体会函数、方程的数学思想,培养学生勇于创新的精神。
二、重点:对实际生活中的问题进行分析,建立等差数列模型,并应用公式解决问题,探索并总结等差数列的性质,利用性质解决问题。
难点:建立等差数列模型,灵活利用性质解决问题。
三、教学过程: (一)知识梳理:12有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(若有中间项则等于中间 项的2倍),即12n a a a +=+ =k a + (=122n a +,期中n 为奇数且3n ≥)3.等差数列的性质(1)若{}n a 是公差为d 的等差数列,则下列数列:①{}n c a +(c 为任意常数)是公差为 的等差数列; ②{}n c a ⋅(c 为任意常数)是公差为 的等差数列;③{}n n k a a ++(k 为常数,k N +∈)是公差为 的等差数列;(2)若{}n a 、{}n b 分别是公差为12,d d 的等差数列,则数列{}n n pa qb +(,p q 是常数)是公 差为 的等差数列。
(二)自评自测1.已知等差数列{}n a 中,371,9a a ==-,则5a =( )A.-4B.4C.-8D. 82.已知等差数列的前三项依次为1,1,23a a a -++,则此数列的前n 项n a 等于( ).25.23.21.21A n B n C n D n ---+3.已知等差数列{}n a 中,79416,1a a a +==,则12a 的值是( )A.64B.31C.30D.154.在数列{}n a 中,310,a a 是方程2350x x --=的两根,若{}n a 是等差数列,则58a a +=5.已知等差数列{}n a 中,58a a +=18,求231011a a a a +++(三)典例精析类型一:等差数列性质的应用例1.(1)在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=,求28a a +(2)已知{}n a 为等差数列,15608,20a a ==,求75a 。
变式训练:等差数列{}n a 中,若14725839,33,a a a a a a ++=++=求369a a a ++的值。
类型二:等差数列的运算 例2.(1)三个数成等差数列,和为6,积为-24,求这三个数。
(2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数。
变式训练1.在-1与7之间顺次插入三个数,,a b c ,使这5个数成等差数列,则插入的三个数为 2.已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为859,求这5个数。
类型三:等差数列的综合应用例2. 在等差数列{}n a 中,已知51210,31,a a =>求公差d 的取值范围。
变式训练已知等差数列{}n a 的首项1125a =,第10项是第一个大于1的项,求公差d 的取值范围。
练习:1.设{n a }为等差数列,则下列数列中,是等差数列的个 数为 ( ) ①{2n a } ②{p n a } ③{p n a +q } ④{n n a }(p 、q 为非零常数) A.1 B.2 C.3 D.42.数列{}n a 的通项公式()n a f n =作为函数,它的定义域是 ( )A .正整数集N +;B .自然数集N ;C .正整数集N +或N +的任一子集;D .正整数集N +或其有限子集{}1,2,3,n ; 3.下列说法不正确的是 ( )A . 数列可以用图象表示;B . 数列的通项公式不唯一;C . 数列的项不能相等;D . 数列可以用一群孤立的点表示; 4.等差数列中,,()m n a n a m m n ==≠,则m n a +=( ) A .m n +; B .0; C .2m ; D .2n ;5.数列{}n a 中,112,221,n n a a a +==+ 则101a = ( ) A .49; B . 50; C .51; D . 52;6.等差数列{}n a 中,170,9,a d ==-则数列中绝对值最小的项是( ) A. 8a ; B. 9a ; C. 10a ; D. 11a ;7.等差数列{}n a 中,若2415a a a ++的值为常数,则下列各数中也为常数的是( ) A .7S ; B .8S ; C .13S ; D .15S ;8.等差{}n a ,1,d =且12989999a a a a ++++= ,则3699699a a a a a +++++= ( ) A. 99; B. 66; C. 33; D. 0;9. 设数列{}n a 的通项公式为27n a n =-,则1215a a a +++= ________________。
10.成等差数列的四个数的和为26,第二数与第三数之积为40,求这四个数。
11.在等差数列{}n a 中, ,1.3,3.0125==a a 求2221201918a a a a a ++++的值。
等差数列的前n 项和时间:2010-7-9 命题人:赵华一、教学目标:知识与技能:使学生掌握等差数列的前n 项和公式及其推导过程,初步掌握公式的应用。
过程与方法:通过公式的探索、发现,在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、类比、分析、综合和逻辑推理能力。
情感、态度与价值观:通过生动具体的实际问题,激发学生求知的欲望和探究的热情,树立学生求真的勇气和自信,体验发现问题、解决问题的科学方法。
二、重难点重点:探究并掌握等差数列前n 项和公式,学会用等差数列的前n 项和公式解决一些与前n 项和有关的问题和一些简单实际问题。
难点:推导等差数列前n 项和公式的思想方法,灵活应用等差数列前n 项和公式解决问题。
三、教学过程 (一)基础梳理12(1)若10,0a d <>,则数列的前面若干项为 项(或0),所以将这些项相加即得{}n S 的 最 值;(2)若 10,0a d ><,则数列的前面若干项为 项(或0),所以将这些项相加即得{}n S 的 最 值;特别地,若10,0a d >>,则 是{}n S 的最 值;若10,0a d <<,则 是{}n S 的最 值。
(二)自测自评1.在等差数列{}n a 中,已知164,6a a ==,则前6项和6S = 。
2.在等差数列{}n a 中,1815320a a a ++=,则前15项和15S = 。
3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若31710a a +=,则19S = 。
4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若231,3a a ==,4S = 。
5.已知数列的通项52n a n =-+,则其前n 项和为n S = 。
6.已知{}n a 是等差数列,13569,9a a a a ++==,求此数列前6项的和。
(三)典例精析类型一:等差数列前n 项和公式的基本运算例1.在等差数列{}n a 中,(1)已知6510,5a S ==,求8a ; (2)已知24485a a +=,求5S 。
变式训练:已知等差数列{}n a 满足24354,10a a a a +=+=,求数列{}n a 的前10项的和。
类型二:等差数列前n 项和的性质的应用例2、一个等差数列前10项之和为100,前100项之和为10,求前110项之和。
变式训练:1、等差数列{}n a 中,271224,a a a ++=求13S 。
2、已知等差数列{}n a 的前n 项和为377,项数n 为奇数,且前n 项和中奇数项和与偶数项和之比为7:6,求中间项。