高中数学(人教A版必修五)同步课件：第1章 1-2 第3课时 三角形中的几何计算
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用
3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3
人教新课标A版必修5第一章解三角形1.2第2课时 三角形中的几何计算课件
＝
3sinA＋π6≤
2π
30<A<
3
.
当A＝π3时，即△ABC为等边三角形时取等号，
所以sin A＋sin B的最大值为 3.
题点四：多边形面积问题 4．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA
＝4，求四边形ABCD的面积S. 解：如图，连接BD，则S＝S△ABD＋S△CBD ＝12AB·ADsin A＋12BC·CDsin C. ∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C， ∴S＝12sin A(AB·AD＋BC·CD)＝16sin A. 在△ABD中，由余弦定理得
(2)求sin A＋sin B的最大值． 解：(1)由题意可知
1 2absin
C＝
43×2abcos
C.
所以tan C＝ 3.
因为0<C<π，所以C＝π3.
(2)由(1)知sin A＋sin B＝sin A＋sinπ－A－π3
＝sin A＋sin23π－A
＝sin
A＋
ห้องสมุดไป่ตู้
3 2 cos
A＋12sin
A
(√ )
(2)三角形中已知三边无法求其面积
(×)
(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积 ( √ ) 解析：(1)正确，S＝12absin C适合求任意三角形的面积．
(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正
弦值，进而求面积．
(3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边
＝a2－c2 b2
＝左边，
所以a2－c2 b2＝sinsiAn－CB.
与三角形有关的综合问题 题点一：与三角形面积有关的综合问题 1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.
人教A版数学必修五第一章1.1.2 余弦定理 同步教学课件(共25张PPT)
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[类题通法] 已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法 先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知 两边和一边的对角)求解． 若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定 理就不存在这个问题[在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的]， 故用余弦定理求解较好．
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[活学活用] 在△ABC 中，已知 a＝2 2，b＝2 3，C＝15°，解此三角 形． 解：c2＝a2＋b2－2abcos C＝(2 2)2＋(2 3)2－2×2 2×2 3 ×cos(45°－30°)＝8－4 3＝( 6－ 2) 2， ∴c＝ 6－ 2.
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(2)∵a∶b∶c＝1∶ 3∶2， ∴设 a＝x，则 b＝ 3x，c＝2x(x>0)． 由余弦定理，得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝3x22＋34xx·22－x x2＝ 23，∴ A＝30°.同理 cos B＝12，cos C＝0， ∴B＝60°，C＝90°.
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1.利用正、余弦定理求解平面图形中线段长 [典例] (12分)如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD， AD ＝ 10 ， AB ＝ 14 ， ∠BDA ＝ 60° ， ∠BCD ＝ 135° ， 求 BC 的 长．
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人教A版数学必修五同步配套课件：第一章解三角形1.2第2课时
由题意知AB＝3 km，AC＝2 km，∠ACB＝120°．
由正弦定理，得
sin∠ACABC＝sin∠ABACB，∴sin∠ABC＝AC·siAn∠B ACB＝2×3
3 2
＝ 33．
∵∠ACB＝120°，∴∠ABC为锐角，∴cos∠ABC＝ 36． 由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC， ∴4＝9＋BC2－2 6BC，∴BC2－2 6BC＋5＝0.∴BC＝ 6±1．
• 4．在点A处视察一物体的视角为50°，请画出示意图． • [解析] 如图所示．
互动探究学案
命题方向1 ⇨利用仰角测量高度
例题 1 在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30 m，测得 塔顶的仰角为2θ，再向塔走10 3 m，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．
• [分析] 如图所示，求角θ，必须把角θ、2θ、4θ和边长30 、10尽量集中在一个三角形中，利用方程求解．
得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋
81t2－2×10×9t×(－
1 2
)，即360t2－90t－100＝0，解得t＝
2 3
或t＝－
5 12
(舍去)．所
以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h．
此时AB＝14，BC＝6．
在△ABC中，根据正弦定理，得sin∠BCCAB＝sin∠ABACB， 所以sin∠CAB＝BCsinA∠B ACB＝6×1423＝3143，即∠CAB≈21.8°． 故舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行， 需23 h才能靠近渔轮．
∴8＝4h2＋2h2－4h2＝2h2， ∴h＝2(km)．
最新高中数学人教A版必修5课件：1.2.2 三角形中的几何计算
①a+b>c,b+c>a,c+a>b. ②a-b<c,b-c<a,a-c<b. ③A+B+C=π. ④a>b⇔A>B⇔sin A>sin B. ⑤a=b⇔A=B. ⑥A为锐角⇔cos A>0⇔a2<b2+c2;
A为钝角⇔cos A<0⇔a2>b2+c2; A为直角⇔cos A=0⇔a2=b2+c2.
-11-
第2课时 三角形中的几何计算
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X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
探究三
探究四
cos������ ������ =在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,且 cos������ 2������+������ ,求: (1)角B的大小;
思维脉络
-4-
第2课时 三角形中的几何计算
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1-2
3
4
������ 在△ABC中,有 sin������
2.三角形的面积公式
1.正弦定理
=
������ ������ = =2R .(其中R是△ABC外接圆的半径) sin������ sin������
⑦sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C.
-8-
第2课时 三角形中的几何计算
高中数学必修5全册(人教A版)PPT课件
q
q
q 1 三个数为 4,1,2 或 2,1,4 2
（3）若 2为2q,2 的等差中项，则 q 1 2 即：q2q20
q
q
q2 三个数为 4,1,2 或 2,1,4
综上：这三数排成的等差数列为. : 4,1,2或 2,1,4 30
Ⅱ 、运用等差、等比数列的性质
例2（1）已知等差数列{ a n } 满足 a1a2a1010，则 ( C )
域.在点E正北55海里处有一个雷达观测站A，
某时刻测得一艘匀速直线行驶的船，位于点A
北偏东45°方向，且与点A相距
海4 0里2的
位置B.经过40分钟又测得该船已行驶到
点A北偏东45°＋θ（其中sin 2266,0
90）
方向，且与点A相距1 0 1 3 海里的位置C.
（1）求该船的行驶速度；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断
.
9
例5 （2006年湖南卷）如图，D是直 角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记 ∠CAD=α，∠ABC=β. （Ⅰ）证明sinα+cos2β=0； （Ⅱ）若AC=DC，求β的值.
A
β=60°
α
β B
D
C
.
10
作业： P19习题1.2A组：3，4，5.
.
11
第一章 解三角形 单元复习
第二课时
Aa.1a10 10B.a2a10 00 Ca .3a990 D.a5151
（2）已知等差数列{ a n } 前 m项和为30，前 2m 项和为100，
则前 项和3m为
(C )
A.130
B. 170
C. 210
D. 260
（3）已知在等差数列{an}的前n项中，前四项之和为21，后 四项之和为67，前n项之和为286，试求数列的项数n.
人教A版高中数学必修五课件：第一章解三角形本章整合1
6
知识建构
综合应用
真题放送
专题一 专题二 专题三
应用1若a,b,c是△ABC的三边,直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离, 则△ABC一定是( ).
A.直角三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 提示:由直线与圆相离,得圆心到直线的距离大于半径,列出关于 a,b,c的不等式,再用余弦定理来确定角的范围. 解析:由直线 ax+by+c=0 与圆 x2+y2=1 相离,得 ������ > 1,
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.
综合应用
真题放送 12
专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
专题二 正弦定理、余弦定理与三角函数的综合运用 以三角形为载体,以正弦定理、余弦定理为工具,以三角恒等变 换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中一类热点题型.在具 体解题中,通常交替使用正弦定理、余弦定理,以达到简化解题的 目的.
π
∴ 2 − ������ > ������.
∴A+B<
π 2
.
又A+B+C=π,
∴C>
π 2
,
∴△ABC
是钝角三角形.
答案:C
9
专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
应用
3
在△ABC
中,若
������cos������ ������cos������
=
1+cos2������ 1+cos2������
2) ×
3 2
=
因为 15 2 − 5 6 > 8, 所以货轮无触礁危险.
高二数学人教A版必修五 第一章 1.2 第3课时 三角形中的几何计算(同步课件1) (共31张PPT
sinB sinC
sinB
S = 1 bcsinA = 1 b2 sinCsinA ，
2
2 sinB
A = 180°-（B + C）= 180°-（62.7°+ 65.8°）= 51.5°，
S = 21×3.162×sin65s.i8n°62s.i7n°51.5° 4.0（cm2）.
第七页，编辑于星期一：点 五十六分。
2
2
2
第五页，编辑于星期一：点 五十六分。
例1 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面 积S（精确到0.1 cm）2 : （1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5°； （2）已知B=62.7°，C=65.8°,b=3.16cm； （3）已知三边的长分别为a=41.4cm，
b=27.3cm，c=38.7cm. 分析：这是一道在不同的已知条件下求三角形的面积
4. 在ABC中，已知a=2，b= 6，A=45，求三角形的面积S 解：由正弦定理可得sinB = bsinA a
= 6×sin45°= 3 .
2
2
因为在ΔABC中，a < b,所以A < B,
所以B = 60°或B = 120°.
（1）若B = 60°，则C = 180°- 45°- 60°= 75°,
2
2
2
2.确定三角形的形状
利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或 “化角为边”.
第三十一页，编辑于星期一：点 五十六分。
由正、余弦定理得，a + b = c（b2 + c2 - a2 + a2 + c2 - b2）
2bc
2ac
所以a + b = b2 + c2 - a2 + a2 + c2 - b2 ，
2018秋数学人教A版必修5课件：第一章1-2第3课时三角形
7 ，所以 sin A＝ 8
答案：2 15 8
72 1－8 ＝
15 . 8
5．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、 4 c，且 cos A＝ ，若 b＝2，△ABC 的面积为 3，则边长 a 5 ＝________． 4 3 解析：因为 cos A＝ ，所以 sin A＝ ，由面积公式 S 5 5 1 1 3 ＝ bcsin A 得： ·2·c· ＝3，所以 c＝5. 2 2 5
2．在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，C＝45° ，则三角 形的面积为( 3 A. 2 )
6 B. 3 C. D. 6 2
1 1 2 3 解析：S△ABC＝ absin C＝ × 3× 2× ＝ . 2 2 2 2 答案：A
3．在△ABC 中，a＝5，c＝7，C＝120° ， 则三角形 的面积为( 15 A. 2 15 3 C. 4 ) 15 B. 4 15 3 D. 2
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．( (2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积． ( ) )
(3) 已 知 三 角 形 的 两 内 角 及 一 边 不 能 求 出 它 的 面 积．( )
解析：(1)三角形面积公式适用于所有的三角形，故 1 正确； (2)利用三角形面积公式 S＝ absin C 显然能求出其 2 面积，故命题错误；(3)已知两角及一边，由正弦定理可 求另边与角，由面积公式可求出，故命题错误． 答案：(1)√ (2)× (3)×
→ ·AC → ＝3BA → ·BC →， (1)证明：由AB → ||AC → |cos A＝3|BA → ||BC → |cos B， 得|AB 即为 cbcos A＝3cacos B，bcos A＝3acos B，
高二数学人教A版必修5课件：1.2.2 三角形中的几何计算
∴������2������-2������2
=
sin������cos������-sin������cos������ sin������
=
sinsi(n���������-���������).
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S 随堂练习 UITANG LIANXI
即可证明.
证法一:由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,
得 a2-b2=b2-a2+2c(acos B-bcos A),即 a2-b2=c(acos B-bcos A),
变形得������2������-2������2
=
������cos������-������cos������ ������
=
������������cos
B-������������cos
A.
由正弦定理
������ sin������
=
������ sin������
=
������ sin������
得
������ ������
=
sin������ sin������
,
������ ������
=
ssiinn������������,
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探究一
探究二
探究三
(3)解:∵|������������ + ������������ |= 6, ∴|������������|2+|������������ |2+2������������ ·������������ =6,
高中数学人教A版必修五教学课件：第一章 《解三角形》 1.2 第3课时 几何计算问题
AD ∴sin C＝CD· 1－cos2∠CAD ＝4
312 3 1－32 ＝ 7. 8
1 1 3 15 15 ∴S△ABC＝ AC· BC· sin C＝ ×4×5× 7＝ 7，即△ABC 的面积为 7. 2 2 8 4 4
1 1 1 对于此类问题，一般用公式 S＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B 进行求 2 2 2 解，可分为以下两种情况： (1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角 形，转化为求三角形的面积． (2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及 夹角，再利用三角形面积公式进行求解．
解决此类问题，既要用到三角形中特有的恒等变形公式，又要用到任 意角三角函数的恒等变形公式，两者要结合，灵活运用．三角形边和 角的相互转换公式，主要是正弦定理、余弦定理和射影定理这三个定 理组，知道一组就可推出其余两组，因此，这类题型都可用不同的途 径求解．
3．在△ABC 中，求证：b2cos 2A－a2cos 2B＝b2－a2.
(5)S＝
abc (R 是三角形外接圆的半径)； 4R
(6)S＝2R2sin A· sin B· sin C(R 是三角形外接圆的半径)； 1 (7)S＝ r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆的半径)； 2
1 (8)S＝ pp－ap－bp－cp＝2a＋b＋c.
[双基自测] 1．在△ABC 中，a＝ 2，A＝45° ，则△ABC 外接圆的半径 R 等于( A．1 C．4 B． 2 D．无法确定 )
)
1 1 解析：由 S△ABC＝ bcsin A 得 3＝ ×1×c· sin 120° ，∴c＝4. 2 2 由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，∴a2＝12＋42－2×1×4cos 120° ＝21， ∴a＝ 21，故选 C.
高中数学人教A版必修五课件1.2 第3课时 三角形中的几何计算2
Bcos C.
(1)求cos A的值;
(2)若a=3,求△ABC面积的最大值.
分析:(1)将已知条件运用两角和与差的余弦公式进行变形整理,化
简为关于cos A的表达式,进而求出cos A的值;(2)运用三角形面积公
探究二
探究三
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反思感悟三角形面积的求解思路
1.求三角形面积时,由于三角形面积公式有不同情势,因此实际使用
时要结合题目的条件灵活运用,必须在两边及其夹角都已知或能求
出的前提下才能使用.
2.计算三角形面积时,若选择公式后有未知的边或角,应先利用正、
余弦定理求出需要的边或角,再套用公式计算.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
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变式训练 1(1)在△ABC 中,若 A=60°,b=16,S△ABC=64 3,则
c=
.
(2)在△ABC 中,已知 C=120°,AB=2 3,AC=2,则△ABC 的面积等
于
.
1
1
解析:(1)由已知,得 S△ABC=2bcsin A,即 64 3 = 2×16csin 60°,解得
探究三
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π
3.已知△ABC 的面积 S= 3,A=3,则 ·=
1
解析:∵△ABC 的面积 S=2 ||||sin A
1
π
=2 ||||sin 3 = 3,∴||||=4.
∴△ABC 的面积为 32 3或 16 3.
2
(3)由余弦定理,得 cos
15
C= 1-cos 2 = 4 ,故△ABC
3 15
人教A版高中数学必修五课件第一章1.21.2.3三角形中的几何计算
1－142＝
15 4.
∴cosA＝ 1－sin2A＝ 1－ 8152＝78. ∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC
＝78×14＋ 815× 415＝1116.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B ＝60°，且cos(B＋C)＝－1114.
3．上面的三角形的面积公式中涉及的边与角有何关系？ 答案：两边与它们的夹角．
自主解答：(1)∵cosBcosC－sinBsinC＝12，即 cos(B＋C)＝12，
∴B＋C＝60°.
从而 A＝120°.
(2)由余弦定理，得 b2＋c2＋bc＝a2＝12，
①
又 b＋c＝4，∴b2＋c2＋2bc＝16.
∴22＋2×BD2B2－D 42＝62＋2×BD6B2－D 42，
解得 BD＝2 7.
在△ABD 中，
cos∠ABD＝22＋2×BD2B2－D 42＝24×＋22×8－2 167＝2
7
7 .
(2)∵cosC＝14，∴sinC＝ 1－cos2C＝
15
∴sinA＝asicnC＝
4 2
＝
15 8.
∵a<c，∴A<C.故 A 为锐角．
(1)求cosC的值； (2)若a＝5，求△ABC的面积．
解：(1)∵cos(B＋C)＝－1114， ∴sin(B＋C)＝ 1－cos2B＋C＝5143.
∴cosC＝cos[(B＋C)－B]
＝cos(B＋C)cosB＋sin(B＋C)sinB
＝－1114×12＋5143× 23＝17.
(2)由(1)，可得 sinC＝
1－cos2C＝4
7
3 .
在△ABC 中，由正弦定理，得
人教版高中数学必修5讲义 1.2 第3课时 三角形中的几何计算
第3课时 三角形中的几何计算1．掌握三角形的面积公式的应用．(重点)2．掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用．(难点)[基础·初探]教材整理 三角形面积公式阅读教材P 16练习以下部分～P 18例9，完成下列问题． 1．三角形的面积公式(1)S ＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝12c ·h c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)； (2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin_A ＝12ca sin_B ；(3)S ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 为内切圆半径)． 2．三角形中常用的结论 (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2； (2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； (4)三角形的诱导公式sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ， tan(A ＋B )＝－tan_C ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ≠π2，sin A ＋B 2＝cos C2， cosA ＋B 2＝sin C2.1．下列说法中正确的是________(填序号)．(1)已知三角形的三边长为a ，b ，c ，内切圆的半径为r ，则三角形的面积S ＝(a ＋b ＋c )r ；(2)在△ABC 中，若c ＝b ＝2，S △ABC ＝3，则A ＝60°；(3)在△ABC 中，若a ＝6，b ＝4，C ＝30°，则S △ABC 的面积是6； (4)在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B .【解析】 (1)错误．因为一个三角形可以分割成三个分别以a ，b ，c 为底，以内切圆的半径为高的三角形，所以三角形的面积为S ＝12ar ＋12br ＋12cr ＝12(a ＋b ＋c )r .(2)错误．由三角形面积公式S ＝12bc sin A 得，12×2×2×sin A ＝3，所以sin A ＝32，则A ＝60°或A ＝120°. (3)正确．因为三角形的面积S ＝12ab sin C ＝12×6×4×sin 30°＝6.(4)错误．因为在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＝π2－B .【答案】 (3)2．在△ABC 中，a ＝6，B ＝30°，C ＝120°，则△ABC 的面积为________. 【解析】 由题知A ＝180°－120°－30°＝30°，∴6sin 30°＝b sin 30°，∴b ＝6，∴S ＝12×6×6×sin 120°＝9 3.【答案】 9 33．在△ABC 中，ab ＝60，S △ABC ＝153，△ABC 的外接圆半径为3，则边c 的长为________．【解析】 S △ABC ＝12ab sin C ＝153，∴sin C ＝32.由正弦定理csin C ＝2R ，∴c ＝2R ×sin C ＝3. 【答案】 34．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 【解析】 在△ABC 中，由面积公式得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝12×2·AC ·sin 60°＝32AC ＝3，∴AC ＝2.∵BC ＝2，C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AB ＝2. 【答案】 2[小组合作型]三角形面积的计算(1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2B .3＋1C ．23－2 D.3－1(2)在△ABC 中，S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则C ＝____________________. (3)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为________．【精彩点拨】(1)利用正弦定理求边c，然后利用三角形面积公式求解．(2)由三角形面积S＝12ab sin C与余弦定理cos C＝a2＋b2－c22ab相结合求解．(3)由已知可先利用三角形面积公式S＝12bc sin A求出AC，然后利用余弦定理求BC.【自主解答】(1)由正弦定理bsin B＝csin C及已知条件得c＝22，又sin A＝sin(B＋C)＝12×22＋32×22＝2＋64.从而S△ABC＝12bc sin A＝12×2×22×2＋64＝3＋1.(2)由S△ABC＝14(a2＋b2－c2)得12ab sin C＝14(a2＋b2－c2)，即sin C＝a2＋b2－c22ab，∴sin C＝cos C，即tan C＝1，∴C＝π4.(3)由S△ABC＝32，得12AB·AC·sin A＝32，即12×2AC×32＝32，∴AC＝1.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝22＋12－2×2×1×12＝3，∴BC＝ 3.【答案】(1)B(2)π4(3) 31．由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用，若三角形的面积已知，常选择已知的那个面积公式．2．如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．[再练一题]1．已知在△ABC 中，cos A ＝－513，cos B ＝35，BC ＝5，求△ABC 的面积. 【解】 由cos A ＝－513，得sin A ＝1－cos 2A ＝1213.由cos B ＝35，得sin B ＝1－cos 2B ＝45.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝1213×35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×45＝3665－2065＝1665.由正弦定理得AC ＝BC ·sin B sin A ＝5×451213＝133.所以△ABC 的面积为S ＝12·BC ·AC ·sin C ＝12×5×133×1665＝83.三角形的证明问题在△c . 证明：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C .【精彩点拨】 由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开．【自主解答】 法一：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc cos A ＋2ac cos B ， 整理得：a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos Ac .依正弦定理有a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin Bsin C ，∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －sin B cos A sin C ＝sin (A －B )sin C .法二：sin (A －B )sin C ＝sin A cos B －cos A sin Bsin C＝a ·a 2＋c 2－b 22ac －b 2＋c 2－a 22bc·bc＝2(a 2－b 2)2c 2 ＝a 2－b 2c 2.1．三角恒等式证明的三个基本原则： (1)统一边角关系． (2)由繁推简．(3)目标明确，等价转化． 2．三角恒等式证明的基本途径：(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形． (2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形．[再练一题]2．在△ABC 中，求证：cos B cos C ＝c －b cos Ab －c cos A.【证明】 由正弦定理得右边＝2R sin C －2R sin B cos A2R sin B －2R sin C cos A＝sin (A ＋B )－sin B cos Asin (A ＋C )－sin C cos A＝sin A cos B ＋cos A sin B －sin B cos A sin A cos C ＋cos A sin C －sin C cos A＝sin A cos B sin A cos C ＝cos Bcos C ＝左边． ∴原等式成立．[探究共研型]三角形中的综合问题探究1 分别是哪些三角形的边，∠B 是哪些三角形的内角？图1-2-30【提示】 在图形中共有三个三角形，分别为△ABC ，△ABD ，△ADC ；线段AD 是△ADC 与△ABD 的公共边，∠B 既是△ABC 的内角，又是△ABD 的内角．探究2 在探究1中，若sin B ＝sin ∠ADB ，则△ABD 是什么形状的三角形？在此条件下若已知AB ＝m ，DC ＝n ，如何求出AC?【提示】 若sin B ＝sin ∠ADB ，则△ABD 为等腰三角形，在此条件下，可在△ABD 中先求出AD ，然后利用余弦定理在△ADC 中求出AC ，也可以在△ABD 中先求出BD ，然后在△ABC 中，利用余弦定理求出AC .在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．【精彩点拨】 (1)先由正弦定理化边为角，再化简已知三角形即证． (2)结合第(1)问可直接求出B ，C ，再利用面积公式求值；也可以作辅助线导出b ，c 的大小关系，再由余弦定理求值，最后用面积公式求解．【自主解答】 (1)由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，所以sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C 22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1， 因为0<B <34π，0<C <34π，从而B －C ＝π2. (2)因B ＋C ＝π－A ＝3π4，所以B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8·sin π8＝2cos π8sin π8＝12.1．解三角形综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数，三角恒等变换，平面向量等知识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键．2．三角形问题中，涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用． [再练一题]3．如图1-2-31，在四边形ABCD 中，AC ＝CD ＝12AB ＝1，AB →·AC →＝1，sin∠BCD ＝35.(1)求BC 边的长；(2)求四边形ABCD 的面积．图1-2-31【解】 (1)∵AC ＝CD ＝12AB ＝1，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝2cos ∠BAC ＝1，∴cos ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝60°. 在△ABC 中，由余弦定理，有BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝22＋12－2×2×1×12＝3，∴BC ＝ 3.(2)由(1)知，在△ABC 中，有AB 2＝BC 2＋AC 2， ∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°， ∴S △ABC ＝12BC ·AC ＝12×3×1＝32. 又∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝90°＋∠ACD ， sin ∠BCD ＝35，∴cos ∠ACD ＝35， 从而sin ∠ACD ＝1－cos 2∠ACD ＝45，∴S △ACD ＝12AC ·CD ·sin ∠ACD ＝12×1×1×45＝25， ∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝32＋25＝4＋5310.1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝5，b ＝4，cos C ＝45，则△ABC 的面积是( )A ．8B ．6C ．4D ．2【解析】 ∵cos C ＝45，C ∈(0，π)，∴sin C ＝35， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×5×4×35＝6.故选B. 【答案】 B2．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则( ) A ．A ＝30° B ．A ＝60°C ．A ＝30°或150°D ．A ＝60°或120° 【解析】 ∵S ＝12bc sin A ＝32， ∴12×2×3sin A ＝32，∴sin A ＝32， ∴A ＝60°或120°.故选D. 【答案】 D3．在△ABC 中，已知A ＝135°，AB ＝1，AC ＝2，则△ABC 的面积为________． 【解析】 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×1×2×sin 135°＝12. 【答案】 124．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＋C ＝2π3，a ＝3，b ＝1，则S △ABC 等于________．【解析】 因为B ＋C ＝23π，所以A ＝π－23π＝π3， 由a sin A ＝bsin B ，得3sin π3＝1sin B ，则sin B ＝12， 因为a >b ，所以A >B ，则B ＝π6，所以C ＝π2， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×1×1＝32. 【答案】 325．已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C . (1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．高中数学-打印版精校版 【解】 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2， 故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2.所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.。
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1 2 2 2 (2)在△ABC 中，S△ABC＝4(a ＋b －c )，则 C＝____________________. 3 (3)在△ABC 中，A＝60° ，AB＝2，且△ABC 的面积 S△ABC＝ 2 ，则边 BC 的 长为________．
【精彩点拨】 (1)利用正弦定理求边 c，然后利用三角形面积公式求解． a ＋b －c 1 (2)由三角形面积 S＝2absin C 与余弦定理 cos C＝ 2ab 相结合求解． 1 (3)由已知可先利用三角形面积公式 S＝2bcsin A 求出 AC， 然后利用余弦定理 求 BC.
1．由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活 运用，若三角形的面积已知，常选择已知的那个面积公式． 2．如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需 要的边或角，再套用公式计算．
[再练一题] 5 3 1．已知在△ABC 中，cos A＝－13，cos B＝5，BC＝5，求△ABC 的面积.
阶 段 一
第3课时 三角形中的几何计
阶 段 三
算
阶 段 二
学 业 分 层 测 评
1．掌握三角形的面积公式的应用．(重点) 2．掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用．(难点)
[基础· 初探]
教材整理 三角形面积公式 阅读教材 P16 练习以下部分～P18 例 9，完成下列问题． 1．三角形的面积公式 1 1 1 (1)S＝2a· ha＝2b· hb＝2c· hc(ha，hb，hc 分别表示 a，b，c 边上的高)； 1 1 (2)S＝2absin C＝2
1 3 【解析】 S△ABC＝2absin C＝15 3，∴sin C＝ 2 . c 由正弦定理sin C＝2R，∴c＝2R×sin C＝3.
【答案】 3
4．若△ABC 的面积为 3，BC＝2，C＝60° ，则边 AB 的长度等于________． 1 1 【解析】 在△ABC 中，由面积公式得 S＝2BC· AC· sin C＝2×2· AC· sin 60°
5 12 2 【解】 由 cos A＝－13，得 sin A＝ 1－cos A＝13. 3 4 2 由 cos B＝5，得 sin B＝ 1－cos B＝5. 所以 sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B 12 3 5 4 36 20 16 ＝13×5＋－13×5＝65－65＝65. 4 5×5 BC· sin B 13 由正弦定理得 AC＝ sin A ＝ 12 ＝ 3 . 13 1 1 13 16 8 所以△ABC 的面积为 S＝2· BC· AC· sin C＝2×5× 3 ×65＝3.
2 2 2
b c 【自主解答】 (1)由正弦定理sin B＝sin C及已知条件得 c＝2 2，又 sin A＝ 1 2 3 2 2＋ 6 1 1 sin(B ＋ C) ＝ 2 × 2 ＋ 2 × 2 ＝ 4 . 从而 S △ ABC ＝ 2 bcsin A ＝ 2 ×2×2 2 2＋ 6 × 4 ＝ 3＋1. 1 2 2 2 (2)由 S△ABC＝4(a ＋b －c )得 a ＋b －c 1 1 2 2 2 ab sin C ＝ ( a ＋ b － c ) ，即 sin C ＝ ， 2 4 2ab π ∴sin C＝cos C，即 tan C＝1，∴C＝4.
2 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 1 3 (3)由 S△ABC＝ 2 ，得2AB· AC· sin A＝ 2 ， 1 3 3 即2×2AC× 2 ＝ 2 ，∴AC＝1.由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB· AC· cos A 1 ＝2 ＋1 －2×2×1×2＝3，∴BC＝ 3.
2 2
π 【答案】 (1)B (2)4 (3) 3
sin C
，cos(A＋B)＝
－cos C
，
π －tan C C≠ ， 2
A＋B cos C sin 2 ＝ 2 ， A＋B sin C 2 . cos 2 ＝
1．下列说法中正确的是________(填序号)． (1)已知三角形的三边长为 a，b，c，内切圆的半径为 r，则三角形的面积 S ＝(a＋b＋c)r； (2)在△ABC 中，若 c＝b＝2，S△ABC＝ 3，则 A＝60° ； (3)在△ABC 中，若 a＝6，b＝4，C＝30° ，则 S△ABC 的面积是 6； (4)在△ABC 中，若 sin 2A＝sin 2B，则 A＝B.
bcsin A
1 ＝2
casin B
；
1 (3)S＝2(a＋b＋c)· r(r 为内切圆半径)．
2．三角形中常用的结论 (1)A＋B＝
π－C
π C A＋B － ， 2 ＝ 2 2
；
(2)在三角形中大边对大角，反之亦然； (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；
(4)三角形的诱导公式 sin(A＋B)＝ tan(A＋B)＝
6 b 【解析】 由题知 A＝180° －120° －30° ＝30° ，∴sin 30° ＝sin 30° ，∴b＝6， 1 ∴S＝2×6×6×sin 120° ＝9 3.
【答案】 9 3
3．在△ABC 中，ab＝60，S△ABC＝15 3，△ABC 的外接圆半径为 3，则边 c 的长为________．
【解析】 (1)错误．因为一个三角形可以分割成三个分别以 a，b，c 为底， 1 1 1 1 以内切圆的半径为高的三角形，所以三角形的面积为 S＝2ar＋2br＋2cr＝2(a＋b ＋c)r. 1 (2)错误．由三角形面积公式 S＝2bcsin A 得， 1 3 或 A＝120° . 2×2×2×sin A＝ 3，所以 sin A＝ 2 ，则 A＝60°
3 ＝ 2 AC＝ 3， ∴AC＝2. ∵BC＝2，C＝60° ，∴△ABC 为等边三角形， ∴AB＝2.
【答案】 2
[小组合作型]
三角形面积的计算
π (1)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b＝2，B＝6， π C＝4，则△ABC 的面积为( A．2 3＋2 C．2 3－2 ) B. 3＋1 D. 3－1
1 1 (3)正确．因为三角形的面积 S＝2absin C＝2×6×4×sin 30° ＝6. (4)错误．因为在△ABC 中，若 sin 2A＝sin 2B，则 2A＝2B 或 2A＝π－2B， π 即 A＝B 或 A＝2－B.
【答案】 (3)
2．在△ABC 中，a＝6，B＝30° ，C＝120° ，则△ABC 的面积为________.