2019-2020年高考数学二模试卷理(含解析) (V)

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2019-2020年高考适应性月考卷(二)数学理

20192020年高考适应性月考卷（二）数学理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设集合A={x|0≤x≤2}，集合B={x|x²3x+2=0}，则A∩B=（）A. {1, 2}B. {1}C. {2}D. ∅2. 若复数z满足|z|=1，则z²+z+1=0的解为（）A. z=iB. z=iC. z=1D. z=13. 已知函数f(x)=2x³3x²x+1，则f(1)的值为（）A. 6B. 5C. 4D. 34. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3+a5=14，则数列的公差为（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 设平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B在x轴上，若|AB|=5，则点B的坐标为（）A. (7, 0)B. (3, 0)C. (3, 0)D. (7, 0)6. 若向量a=(2, 1)，向量b=(1, 2)，则2a+3b的模长为（）A. 5√2B. 7√2C. 9√2D. 11√27. 在三角形ABC中，若a=8, b=10, sinA=3/5，则sinB的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 3/4D. 4/38. 已知函数f(x)=x²+ax+1在区间（0，1）内为减函数，则实数a 的取值范围为（）A. a>2B. a<2C. a≥2D. a≤29. 若函数y=2x²4x+3的图像沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，则新函数的解析式为（）A. y=2(x2)²+1B. y=2(x+2)²+1C. y=2(x2)²1D. y=2(x+2)²110. 已知数列{an}是等比数列，且a1=1，a4=16，则数列的公比为（）A. 2B. 4C. 8D. 1611. 在空间直角坐标系中，点P(1, 2, 3)，则点P到x轴的距离为（）A. √5B. √10C. √13D. √1412. 若直线l：y=kx+b与圆x²+y²=1相切，则k²+b²的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若等差数列{an}的公差为2，且a1+a3+a5=12，则a4的值为______。

2019年广东省深圳市高考数学二模试卷(理科)解析版

2019年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x |x ＞0}，N ={x |x 2-4≥0}，则M ∪N =（）A. (−∞,−2]∪(0，+∞)B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. [3,+∞)D. (0,+∞) 2. 在复平面内，复数z =i(1+i)1−2i所对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年．为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动．如图的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（）A. 甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B. 甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C. 甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D. 甲组选手得分的方差大于乙组选手的方差4. 已知等比数列{a n }满足a 1=12，且a 2a 4=4（a 3-1），则a 5=（）A. 8B. 16C. 32D. 645. 已知函数f(x)=ax 2+(1−a)x +2x 是奇函数，则曲线y =f （x ）在x =1处的切线得倾斜角为（）A. π4B. 3π4C. π3D. 2π36. 在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则FB⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. −34a⃗ +12b ⃗ B. 12a⃗ +34b ⃗ C. 12a⃗ −34b ⃗ D. 34a⃗ −12b ⃗ 7. 如图所示，网格上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（） A. (8+4√2)π B. (9+4√2)π C. (8+8√2)π D. (9+8√2)π 8. 十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（）A. 15B. 14C. 13D. 129. 已知函数f(x)=ax +lnx −1有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（）A. (−∞,0]∪{1}B. [0,1]C. (−∞,0]∪{2}D. [0,2]10. 设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点，点A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点F 1关于直线AB 的对称点为M ．若MF 2⊥F 1F 2，则椭圆C 的离心率为（）A. √3−12 B. √3−13 C. √5−12D. √2211. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx(ω＞0)在区间[−π4，π3]上恰有一个最大值点和最小值点，则实数ω的取值范围为（）A. [83,7)B. [83,4)C. [4,203)D. (203,7)12. 如图，在四面体ABCD 中，AB =CD =2，AC =BD =√3，AD =BC =√5，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）A. √6B. √62C. 52D. 54二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设实数x ，y 满足{2≤x ≤3，1≤y ≤2，x +y ≤4，则yx−1的最大值为______．14. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1，且圆E ：（x -2）2+y 2=1的圆心是双曲线C 的右焦点．若圆E 与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C 的方程为______．15. 精准扶贫是全国建成小康社会、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某单位拟组成4男3女共7人的扶贫工作队，派驻到3个扶贫地区A 、B 、C 进行精准扶贫工作．若每一个地区至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A 地区，则不同的派驻方式有______种．16. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=3，当n ≥2时，有S n +S n -1-2S n S n -1=2na n ，则使得S 1S 2…S m ≥2019成立的正整数m 的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 中，AB =√2BC ，AC =2√5，点D 在边AC 上，且AD =2CD ，∠ABD =2∠CBD ．（1）求∠ABC 的大小；（2）求△ABC 的面积．18. 在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE ，CF 为折痕将△DFG 和△BCE 折起，使点B 、D 重合于点P ，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P -AEF ．（1）求证：EF ⊥PC ；（2）求直线PA 与平面PEC 所成角的正弦值．19. 某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与月售价x （单位：元/件）之间的关系，对近几年的月销售量y i 和月销售价x i （i =1，2，3，-..10）数据进行了统计分析，得到了下面的散点图（1）根据散点图判断，y =c +d ln x 与y =bx +a 哪一个更适宜作为月销量y 关于月销售价x 的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为Z （单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？（月销售额=月销售量x 当月售价）参考公式、参考数据及说明：①对一组数据（v 1，w 1），（v 2，w 2），…（v n ，w n ），其回归直线w =α+βv 的斜率和截距的最小二乘估计分别为=∑(n i=1w i −w −)(v i −v −)∑(n i=1v i −v −)2，=w−v −．②参考数据：x −y −u −∑10i=1（x i −x −）2 ∑10i=1（u i −u −）2∑10i=1（x i −x −）（y i −y −）∑10i=1（u i −u −）（y i −y −） 6.506.601.75 82.502.70-143.25-27.54表中u i =ln x i ，u −=110∑10i=1u i ．③计算时，所有的小数都精确到0.01，如ln4.0≈1.40．20. 己知抛物线C ：x 2=4y ，过点（2，3）的直线l 交C 于A 、B 两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线交于点P ．（l ）当点A 的横坐标为4时，求点P 的坐标；（2）若Q 是抛物线C 上的动点，当|PQ |取最小值时，求点Q 的坐标及直线l 的方程．21. 已知函数f （x ）=e x -ae -x -（a +1）x （a ∈R ）．（其中常数e =2.71828…，是自然对数的底数）．（1）求函数f （x ）极值点；（2）若对于任意0＜a ＜1，关于x 的不等式[f （x ）]2＜λ（e a -1-a ）在区间（a -1，+∞）上存在实数解，求实数λ的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =sinαx=2cosα(α为参数）．圆C 2的方程为（x -2）2+y 2=4，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ=θ0（ρ≥0）．（l ）求曲线C 1和圆C 2的极坐标方程：（2）当0＜θ0＜π2时，射线l 与曲线C 1和圆C 2分别交于异于点O 的M 、N 两点，若|ON |=2|OM |，求△MC 2N 的面积．23. 已知函数f(x)=|x −m|+|x +1m |(m ＞1)．（Ⅰ）当m =2时，求不等式f （x ）＞3的解集；（Ⅱ）证明：f(x)+1m(m−1)≥3．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合M={x|x＞0}，N={x|x2-4≥0}={x|x≥2或x≤-2}，∴M∪N={x|x≤-2或x＞0}=（-∞，-2]∪（0，+∞）．故选：A．先分别求出集合M，N，再利用并集定义求解．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：在复平面内，复数==--i所对应的点（-，-）位于第三象限．故选：C．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由茎叶图可知：①==84，==84，即=，故选项A错误，②甲组选手得分的中位数为83，乙组选手得分的中位数为84，即甲组选手得分的中位数小于乙组选手的中位数，即选项B正确，③由选项B可知，选项C错误，④因为S甲2=[（75-84）2+（82-84）2+（83-84）2+（87-84）2+（93-84）2]=，S乙2=[（77-84）2+（83-84）2+（84-84）2+（85-84）2+（91-84）2]=，即S甲2＞S乙2，即选项D 正确，故选：D．先分析处理茎叶图的信息，再结合平均数、中位数、方差的概念进行运算即可得解本题考查了茎叶图及平均数、中位数、方差的运算，属中档题4.【答案】A【解析】解：等比数列{a n}满足，且a2a4=4（a3-1），则×q××q3=4（×q2-1），解得q2=4，∴a5=a1q4=×42=8，故选：A．先由题意求出公比，再根据等比数列的通项公式公式即可求出a5的值本题考查了等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于基础题5.【答案】B【解析】解：函数是奇函数，可得f（-x）=-f（x），可得a=0，f（x）=x+，f′（x）=1-，即有曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为k=1-2=-1，可得切线的倾斜角为，故选：B．由奇函数的定义可得a=0，求得f（x）的导数，求得切线的斜率，由斜率公式可得倾斜角．本题考查函数的奇偶性和导数的运用：求切线斜率，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由题可知，═=．故选：D．由题可知，∵，可求出．本题考查了平面向量的线性运算，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用7.【答案】A【解析】解：根据三视图，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成，圆锥的求半径为2，高为2，圆柱的底面半径为1，高为2．所以：S==．故选：A．首先根据三视图，把几何体复原，进一步利用表面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图的应用，锥体和球体的体积公式的应用．8.【答案】C【解析】解：设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，以点A为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD，如所示，则要满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD恰好将圆周3等分，故P（M）=，故选：C．由题意画出图形，求出满足条件的B的位置，再由测度比是弧长比得答案．本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．9.【答案】A【解析】解：∵函数，∴f′（x）=+=，x＞0，当a≤0时，f′（x）=＞0恒成立，f（x）是增函数，x→+∞时，f（x）→+∞，f（1）=a-1＜0，函数有且仅有一个零点；当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：x＜a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，故只需f（x）min=f（a）=lna=0，解得：a=1，综上：实数a的取值范围为（-∞，0]∪{1}．故选：A．求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定满足条件的a的范围即可．本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查利用导数研究函数极值点问题、利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题等基础知识，考查分类讨论思想、化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】C【解析】解：F1、F2分别是椭圆C ：的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，点F1关于直线AB：bx-ay=ab的对称点M，且MF2⊥F1F2，可得MF2的方程为x=c，MF1的方程y=，可得M（c，-），MF1的中点为（0，-），代入直线bx+ay=ab，可得：ac=b2=c2-a2，e=＞1，可得e2-e-1=0，解得e=．故选：C．画出图形，利用已知条件求出A的坐标，然后求解MF1的中点，代入直线方程，即可求解椭圆的离心率．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．11.【答案】B【解析】解：函数，=2sin（ωx+）．令：，所以：f（x）=2sint，在区间上恰有一个最大值点和最小值点，则：函数y=2sint恰有一个最大值点和一个最小值点在区间[]，则：，解得：，即：．故选：B．首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．12.【答案】B【解析】解：补成长，寛，高分别为，，1的长方体（如下图）由于EF⊥α，故截面为平行四边形MNKL，可得KL+KN=，设异面直线BC与AD所成的角为θ，则sinθ=sin∠HFB=sin∠LKN，算得sinθ=，∴S四边形MNKL=NK•KL•sin∠NKL≤（）2=，当且仅当NK=KL时取等号．故选：B．补成长，寛，高分别为，，1的长方体，在长方体中可解决．本题考查了平面的基本性质及推论，属中档题．13.【答案】2【解析】解：由实数x，y满足作出可行域如图，联立，得A（2，2），由z=，而k DA ==2．∴目标函数的最大值为2．故答案为：2．由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义，即可行域内的点与定点D（1，0）连线的斜率求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．14.【答案】x23−y2=1【解析】解：根据题意得：圆E：（x-2）2+y2=1的圆心F（2，0），半径为1，双曲线渐近线方程为y=±x，即±bx-ay=0，∵以点F为圆心，半径为1的圆与双曲线C的渐近线相切，且4=a2+b2，∴圆心F到渐近线的距离d==b=1，可得a=，所以双曲线方程为：=1．故答案为：=1．根据双曲线方程表示出F坐标，以及渐近线方程，由以点F为圆心，半径为1的圆与双曲线C 的渐近线相切，得到圆心F到渐近线距离d=1，整理得到a，b，即可求解双曲线方程．此题考查了双曲线的简单性质，直线与圆相切的性质，熟练掌握双曲线的简单性质是解本题的关键．15.【答案】72【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①，只有甲一名男性工作人员派到A地区：需要在3名女性工作人员中任选1人，与甲一起派到A地区，将剩下的3名男性工作人员分成2组，与剩下的2名女性工作人员一起全排列，对应B、C两个地区，此时有C31×C32×A22×A22=36种派驻方法；②，甲与另外一名男性工作人员一起派到A地：需要在3名男性工作人员中任选1人，在3名女性工作人员中任选1人，与甲一起派到A地区，将剩下的2名男性工作人员与剩下的2名女性工作人员一起全排列，对应B、C两个地区，此时有C31×C31×A22×A22=36种派驻方法；则一共有36+36=72种派驻方法；故答案为：72．根据题意，分2种情况讨论：①，只有甲一名男性工作人员派到A地区：②，甲与另外一名男性工作人员一起派到A地，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】1009【解析】解：∵S n+S n-1-2S n S n-1=2na n，∴S n+S n-1-2S n S n-1=2n（S n-S n-1），∴2S n S n-1=（2n+1）S n-1-（2n-1）S n，∴．令，则b n-b n-1=2（n≥2）．∴数列{b n}是以为首项，以2为公差的等差数列．∴b n=2n-1．即，得．∴S1S2…S m =．由2m+1≥2019，解得m≥1009．即正整数m的最小值为1009．故答案为：1009．把已知数列递推式变形，得到，令，则b n-b n-1=2（n≥2），可知数列{b n}是以为首项，以2为公差的等差数列，求其通项公式，得到S n，再由累积法求得S1S2…S m，求解不等式得答案．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了利用累积法求数列的通项公式，是中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵AD=2CD，设∠ABD=2∠CBD=2θ．∴S△BDCS△ABD=CDAD=12，∵S△BDC=12BC⋅BD⋅sinθ，S△BDA =12AB⋅BD⋅sin2θ，AB =√2BC，∴解得：cosθ=√22，可得：θ=π4，∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=3θ=3π4…8分（2）在△ABC中，由余弦定理，可得：AC2=AB2+AC2-2AB•BC•cos3θ，因为AC=2√5，AB=√2BC，可得（2√5）2=（√2BC）2+BC2-2√2BC•BC•cos3π4，解得BC=2，…10分可得S△ABC=12AB•BC•sin3θ=12×√2BC2×√22=2…12分【解析】（1）由已知设∠ABD=2∠CBD=2θ．利用三角形的面积公式可求==，结合S△BDC=，，AB=BC，可求cosθ=，解得，可求∠ABC=∠ABD+∠CBD=3θ=．（2）在△ABC中，由余弦定理可求得BC=2，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）连接AC ，BD ，EF ，设EF ∩AC =O ，连接OP ． ∵PC ⊥PE ，PC ⊥PF ，PE ∩PF =P ，∴PC ⊥平面PEF ，∴PC ⊥EF ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC ，又PC ∩AC =C ，∴EF ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ， ∴EF ⊥PC ．（2）由（1）可知EF ⊥平面PAC ，PC ⊥平面PEF ． ∵OC =34AC =3√2，PC =4，∴PO =√OC 2−PC 2=√2，∴sin ∠PCA =PO OC =13，cos ∠PCA =2√23，∴S △PAC =12×4×4√2×13=8√23．PA =√16+32−2×4×4√2×2√23=4√33，又OE =12EF =√2，∴V E -PAC =13×8√23×√2=169，又S △PCE =12×2×4=4，设A 到平面PCE 的距离为h ，则V A -PCE =13×4×h =169，解得h =43． ∴直线PA 与平面PEC 所成角的正弦值为ℎPA =√33．【解析】（1）连接AC ，BD ，EF ，通过证明PC ⊥平面PEF 得出PC ⊥EF ，根据中位线定理得出EF ⊥AC ，故而可得EF ⊥平面PAC ，于是EF ⊥PC ；（2）根据V E-PAC =V A-PCE 计算A 到平面PCE 的距离，再计算线面角的正弦值；本题考查了线面垂直的判定与性质，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题． 19.【答案】解：（1）y =c +d ln x 更适合销量y 关于月销售价格x 的回归方程类型，令u =ln x ，先建立y 关于u 的线性回归方程，=−27.542.70=-10.20，=6.6+10.20×1.75=24.45，∴y 关于u 的线性回归方程为，因此y 关于x 的回归方程为．（2）由题意得z =xy =x （24.45-10.20ln x ），则z ′=[x （24.45-10.20ln x ）]′=14.25-10.20ln x ，令z ′=0得14.25-10.20ln x =0，得ln x ≈1.40，得x ≈4.06，当x ∈（0，4.06）时，z ′＞0，此时z 单调递增，当x ∈（4.06，+∞）时，z 单调递减，故当x =4.06时，z 取得最大值，即月销售量y =10.17（千件）时，月销售额预报值最大．【解析】（1）根据散点图得到y=c+dlnx 更适合销量y 关于月销售价格x 的回归方程类型，结合表格数据进行计算即可．（2）求出z 的表达式，求z 的导数，结合函数的单调性最值之间的关系进行判断即可．本题主要考查回归方程的应用，结合数据进行计算，求出相应的系数是解决本题的关键．考查学生的计算能力．20.【答案】解：（1）∵点A 的横坐标为4，∴A （4，4），易知此时直线l 的方程为y =12x +2，联立{x 2=4yy =12x +2，解得{y =1x=−2，或{y =4x=4，∴B （-2，1）．由y =x 24得y ′=x2，所以k PA =2，直线PA 的方程为y =2x -4，同理可得直线PB 的方程为y =-x -1，联立；{y =−x −1y=2x−4，可得{y =−2x=1，故点P 的坐标为（1，-2）．（2）设A （x 1，x 14），B （x 2，x 24），由y =x 24得y ′=x2，所以k PA =x 12，所以直线PA 的方程为y -x 124=x 12（x -x 1），即y =x12x -x 124，同理PB 的方程为y =x 22x -x 224，联立解得P （x 1+x 22，x 1x 24），依题意直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为y -3=k （x -2），由{y −2=k(x −2)x 2=4y得x 2-4kx +8k -12=0，易知△＞0，因此x 1+x 2=4k ，x 1x 2=8k -12，∴P （2k ，2k -3），∴点P 在直线x -y -3=0上，当|PQ |取得最小值时，即抛物线C ：x 2=4y 上的点Q 到直线x -y -3=0的距离最小．设Q （x 0，x 024），Q 到直线x -y -3=0的距离d =|x 0−x 024−3|√2=|(x 02−1)2+1|√2=√2+(x 02−1)2√2，所以当x 0=2时，d 取最小值√2，此时Q （2，1），易知过点Q 且垂直于x -y -3=0的直线方程为y =-x +3，由{x −y −3=0y=−x+3解得P （3，0），k =32，所以直线l 的方程为y =32x ，综上，点Q 的坐标为（2，1），直线l 的方程为y =32x ．【解析】（1）通过导数的几何意义求得PA，PB的斜率，再求得PA，PB的方程，再联立解得P的坐标：（2）设出A，B的坐标后利用导数的几何意义求得PA，PB的方程，联立解得P的坐标，得点P 在定直线x-y-3=0上，∴点P在直线x-y-3=0上，当|PQ|取得最小值时，即抛物线C：x2=4y上的点Q到直线x-y-3=0的距离最小．再利用点到直线距离公式求出Q到直线x-y-3=0 的距离及其最小值的条件，可得Q的坐标，从而可得直线l的方程．本题考查了直线与抛物线的综合，属难题．21.【答案】解：（1）∵函数f（x）=e x-ae-x-（a+1）x（a∈R）．∴f′（x）=e x+ae-x-（a+1）=(e x−1)(e x−a)e x，①当a≤0时，x（-∞，0） 0（0，+∞）f′（x）- 0+f（x）↓极小值↑∴函数f（x）的极小值点为x=0，无极大值点．②当0＜a＜1时，x（-∞，ln a） ln a（ln a，0） 0（0，+∞）f′（x）+ 0- 0+f（x）↑极大值↓极小值↑∴函数f（x）的极大值点为x=ln a，极小值点为x=0．③当a=1时，f′(x)=(e x−1)2e x≥0，∴函数f（x）单调递增，即f（x）无极值点．④当a＞1时，x（-∞，0） 0（0，ln a） ln a（ln a，+∞）f′（x）+ 0- 0+f（x）↑极大值↓极小值↑∴函数f（x）的极大值点为x=0，极小值点为x=ln a．综上：当a≤0时，函数f（x）的极小值点为x=0，无极大值点．当0＜a＜1时，函数f（x）的极大值点为x=ln a，极小值点为x=0．当a=1时，函数f（x）无极值点．当a＞1时，函数f（x）的极大值点为x=0，极小值点为x=ln a．（2）e x≥1+x，当且仅当x=0时取等号，∵当0＜a＜1时，ln a＜a-1＜0，∴当0＜a＜1时，e a-1＞1+a-1=a，∴ln a＜a-1＜0，令g（a）=ln a-a+1，则g′(a)=1a−1，当0＜a＜1时，g′（a）＞0，∴g（a）＜g（1）=0，即a-1＞ln a，∵a-1＜0，∴ln a＜a-1＜0，∴由（1）知0＜a＜1时，f（x）在区间（a-1，0）上递减，在（0，+∞）上递增，∴f（x）在区间（a-1，+∞）上的最小值为f（0）=1-a，∵关于x的不等式[f（x）]2＜λ（e a-1-a）在区间（a-1，+∞）上存在实数解，∴只需当0＜a＜1时，关于a的不等式（1-a）2＜λ（e a-1-a）恒成立，∴当0＜a＜1时，e a-1-a＞0，∴只需当0＜a＜1时，不等式λ＞(1−a)2e a−1−a恒成立即可，令函数F（x）=(1−x)2e x−1−x，0≤x＜1，则F′（x）=(1−x)2e x−1−x，∵0≤x＜1，∴F′（x）=(x−1)(3ex−1−x−1)(e x−1−x)2，令函数μ（x）=（3-x）e x-1在点T（1，2）处的切线方程为y-2=x-1，即y=x+1，如图所示，由题意得（3-x）e x-1≥x+1，当且仅当x=1时，取等号，∴当0＜x＜1时，G（x）＞0，∴当0＜x＜1时，F′（x）＜0，∴F（x）＜F（0）=e，即F（x）＜e，∴当0＜a＜1时，不等式λ＞(1−a)2e a−ea恒成立，只需λ≥e．综上，实数λ的取值范围是[e，+∞）．【解析】（1）求出f′（x）=e x+ae-x-（a+1）=，根据a≤0，0＜a＜1，a=1，a＞1，进行分类讨论，利用导数性质能求出函数f（x）的极值点．（2）令g（a）=lna-a+1，则，当0＜a＜1时，g′（a）＞0，a-1＞lna，f（x）在区间（a-1，+∞）上的最小值为f（0）=1-a，只需当0＜a＜1时，关于a的不等式（1-a）2＜λ（e a-1-a）恒成立，只需当0＜a＜1时，不等式恒成立即可，令函数F（x）=，0≤x＜1，则F′（x）=，求出F′（x）=，利用导数性质能求出实数λ的取值范围．本题考查利用导数研究函数极值点问题，利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，运用分类讨论思想、数形结合思想求解，是难题．22.【答案】解：（1）由{y=sinαx=2cosα，得C1的普通方程为x24+y2=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得(ρcosθ)24+（ρsinθ）2=1，即ρ2=4cos2θ+4sin2θ=41+3sin2θ，所以C1的极坐标方程为ρ2=41+3sin2θ，由（x-2）2+y2=4，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得ρ=4cosθ，所以C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（2）把θ=θ0代入ρ2=41+3sin 2θ，得ρM 2=41+3sin 2θ0，把θ=θ0代入ρcosθ，得ρN 2=4cosθ0，则|ON |=2|OM |，得ρN =2ρM ，则ρN 2=4ρM 2，即（4cosθ0）2=161+3sin 2θ0，解得sin 2θ0=23，cos 2θ0=13，又0＜θ0＜π2，所以ρM =√41+3sin 2θ0=2√33，ρN =4cosθ0=4√33，所以△MC 2N 的面积S MC 2N =S △OC 2N -S△OC 2M =12|OC 2|（ρN -ρM ）sinθ0=12×2×2√33×√63=2√23．【解析】（1）由，得C 1的普通方程为+y 2=1；把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得+（ρsinθ）2=1，再化简可得；（2）利用极径的几何意义和三角形的面积公式可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． 23.【答案】解：（Ⅰ）当m =2时，f （x ）=|x -2|+|x +12|；①当x ≤-12时，原不等式等价于（2-x ）-（x +12）＞3，解得x ＜−34； ②当-12＜x ＜2时，原不等式等价于52＞3，不等式无解； ③当x ≥2时，原不等式等价于（x -2）+（x +12）＞3，解得x ＞94，综上，不等式f （x ）＞3的解集为（-∞，-34）∪（94，+∞）．（Ⅱ）证明：由题f （x ）=|x -m |+|x +1m |， ∵m ＞0，∴|m +1m |=m +1m ，所以f （x ）≥m +1m ，当且仅当x ∈[-1m ，m ]时等号成立， ∴f （x ）+1m(m−1)≥m +1m +1m(m−1)=m +1m−1=（m -1）+1m−1+1， ∵m ＞1，m -1＞0，∴（m -1）+1m−1+1≥2√(m −1)⋅1m−1+1=3，∴f （x ）+1m(m−1)≥3．当m =2，且x ∈[-12，2]时等号成立．【解析】（Ⅰ）分3段去绝对值解不等数组，在相并；（Ⅱ）由题f （x ）=|x-m|+|x+|，∵m ＞0，∴|m+|=m+，所以f （x ）≥m+，当且仅当x ∈[-，m]时等号成立，再利用基本不等式可证．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

山东省威海市2019届高三二模考试理科数学试题(解析版)

2019年山东省威海市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足z（1+i）=（3+i）2，则|z|=（）A. B. C. D. 82.已知集合，，，则A∩B=（）A. B. C. D.3.如图所示茎叶图中数据的平均数为89，则x的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 94.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，M，为其终边上一点，则cos2α=（）A. B. C. D.5.若x，y满足约束条件，，，则z=3x-y的最大值为（）A. 2B. 1C. 0D.6.函数的图象可由y=2cos2x的图象如何变换得到（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位7.若P为△ABC所在的平面内一点，且，则△ABC的形状为（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形8.已知函数f（x）=ln x+ln（a-x）的图象关于直线x=1对称，则函数f（x）的值域为（）A. B. C. D.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（）A. 6B. 8C.D.10.在△ABC中，AC=3，向量在向量的投影的数量为-2，S△ABC=3，则BC=（）A. 5B.C.D.11.已知函数f（x）的定义域为R，，对任意的x∈R满足f'（x）＞4x，当α∈[0，2π]时，不等式f（sinα）+cos2α＞0的解集为（）A. B. C. D.12.设F1，F2为双曲线＞，＞的左右焦点，点P（x0，2a）为双曲线上的一点，若△PF1F2的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在的展开式中，x4的系数是______．14.已知抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M到x轴的距离为4，到焦点的距离为5，则p=______．15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AA1=2，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O-ABC的体积为1，则球O表面积的最小值为______．16.“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1．已知正整数m经过6次运算后得到1．则m的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是递增的等比数列，a5=48，4a2，3a3，2a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b1=a2，b n+1=b n+a n，求数列{b n}的前n项和S n．18.如图，四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，△ABC为等边三角形，PA=2AB=2，AC⊥CD，PD与平面PAC所成角的正切值为C2．（Ⅰ）证明：BC∥平面PAD；（Ⅱ）若M是BP的中点，求二面角P-CD-M的余弦值．19.某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元．现统计甲、乙两市场以往100个销售周期该蔬菜的市场需求量的频数分布，如表：甲市场以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲、乙两市场同时销售，以X（单位：吨）表示下个销售周期两市场的需求量，T（单位：元）表示下个销售周期两市场的销售总利润．（Ⅰ）当n=19时，求T与X的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；（Ⅱ）以销售利润的期望为决策依据，判断n=17与n=18应选用哪一个．20.在直角坐标系xOy中，设椭圆：＞＞的左焦点为F1，短轴的两个端点分别为A，B，且∠AF1B=60°，点，在C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆C和圆O分别相切于P，Q两点，当△OPQ 面积取得最大值时，求直线l的方程．21.已知函数＞．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当m∈[0，1）时，函数＞有最大值．设g（x）的最大值为h（m），求函数h（m）的值域．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，且曲线C1与C2恰有一个公共点．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）已知曲C1上两点，A，B满足，求△AOB面积的最大值．23.已知正实数a，b满足a+b=2．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若对任意正实数a，b，不等式|x+1|-|x-3|≥ab恒成立，求实数x的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由z（1+i）=（3+i）2，得z=，∴|z|=||=．故选：C．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵集合，∴A={y|-1≤y≤2}，B={x|0≤x≤4}，∴A∩B={x|0≤x≤2}=[0，2]．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查集合的运算及关系，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据茎叶图中数据，计算平均数为×（86+80+x+90+91+91）=89，解得x=7．故选：B．根据茎叶图中数据计算平均数即可．本题考查了利用茎叶图中数据计算平均数的应用问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：∵M，∴OM==．∴sinα==．∴cos2α=1-2sin2α=1-2×（）2=．故选：D．易得OM的长度，利用二倍角的三角函数，任意角的三角函数的定义即可求解．本题主要考查了二倍角的三角函数，任意角的三角函数的定义，考查了转化思想，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：z=3x-y，得y=3x-z，平移直线y=3x-z，由图象可知当直线y=3x-z经过点B（1，1）时，直线y=3x-z的截距最大，此时z最大，z max=3×1-1=2．即z的最大值是2．故选：A．作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：函数=2，把函数的图象向左平移个单位，得到：y=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故：要得到y=2sin（）的图象，只需将y=2cos2x的图象向右平移个单位即可．故选：B．直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.【答案】C【解析】，解：∵，∴||=||∴y根据向量加法及减法的平行四边形法则可知，以为邻边所作的平行四边形的对角线相等即ABCD为矩形，C=则△ABC的形状为直角三角形故选：C．由已知可得||=||，根据向量加法及减法的平行四边形法则可知，以为邻边所作的平行四边形的对角线相等，可判断本题主要考查了向量加法及减法的平行四边形法则的简单应用，属于基础试题8.【答案】D【解析】解：根据题意，对于函数f（x）=lnx+ln（a-x），有f（a-x）=ln（a-x）+ln[a-（a-x）]=lnx+ln（a-x）=f（x），则函数f（x）的图象关于直线x=对称，若函数f （x ）=lnx+ln （a-x ）的图象关于直线x=1对称，则有=1，则a=2，则f （x ）=lnx+ln （2-x ）=ln （2x-x 2），其定义域为（0，2），设t=2x-x 2，则y=lnt ，又由t=-（x-1）2+1，0＜x ＜2，则有0＜t≤1，则y=lnt≤0，即函数f （x ）的值域为（-∞，0]；故选：D ．根据题意，分析可得f （a-x ）=f （x ），即可得函数f （x ）的图象关于直线x=对称，据此可得a 的值，进而可得f （x ）=lnx+ln （2-x ）=ln （2x-x 2），设t=2x-x 2，则y=lnt ，由换元法分析可得答案．本题考查函数的对称性，涉及换元法求函数的值域，关键是求出a 的值，属于基础题． 9.【答案】B【解析】解：根据三视图知，该几何体是镶嵌在长方体中的四棱锥P-ABCD ，且长方体的长、宽、高分别为4、2、3，如图所示；结合图中数据，计算该四棱锥的体积为：V 四棱锥P-ABCD =V 三棱锥C-BDP +V 三棱锥D-ABP =××4×2×3+××4×3×2=8．故选：B ．根据三视图知该几何体是镶嵌在长方体中的四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．10.【答案】C【解析】解：AC=3，向量在向量的投影的数量为-2，S△ABC=3，可得|AB|cosA=-2，|AB|•|AC|•sinA=3，即|AB|sinA=2，即tanA==-1，内角A=135°，|AB|==2，|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB|•|AC|•cosA=8+9-2•2•3•（-）=29，即|BC|=，故选：C．由向量的投影和三角形的面积公式，可得A，|AB|，再由余弦定理可得所求值．本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查向量的投影的定义，以及化简运算能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：令g（x）=f（x）+1-2x2，则g′（x）=f′（x）-4x＞0，故g（x）在R上单调递增，又g（）=f（）+1-2×=-+1-=0，∴g（x）＞0的解集为x＞，∵cos2α=1-2sin2α，故不等式f（sinα）+cos2α＞0等价于f（sinα）+1-2sin2α＞0，即g（sinα）＞0，∴sinα＞，又α∈[0，2π]，∴＜α＜．故选：A．令g（x）=f（x）+1-2x2，求导可得g（x）单调递增，且g（）=0，故不等式f（sinα）+cos2α＞0的解集为g（sinα）＞0的解集．本题考查了导数与函数单调性的关系，考查函数单调性的应用，根据所求不等式构造函数是解题关键，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：如图设P在第一象限，内切圆的圆心为I，内切圆与PF1，PF2，F1F2分别切与点E，F，G，根据圆的切线的性质得：PE=PF，F1E=F1G，F2F=F2G，根据双曲线的定义知：PF1-PF2=2a，即（PE+F1E）-（PF-F2F）=2a，∴F1G-F2G=2a，①又F1G+F2G=2c，②，联立①②解得F1G=a+c，F2G=c-a，∴G（a，0），∴内心I的横坐标为a，∵△PF1F2的重心和内心的连线与x轴垂直，∴△PF1F2的重心的横坐标为a，由三角形的重心坐标公式可得a=，解得x0=3a，∴P（3a.2a），将P的坐标代入双曲线可得：-=1，即9-=1，化简得3a2=2c2，所以离心率e==．故选：A．根据双曲线的定义和切线长定理可得内心的横坐标，从而可得重心的横坐标，再根据重心的坐标公式可得x0=3a，再将P的坐标代入双曲线可得．本题考查了双曲线的性质，属难题．13.【答案】80【解析】解：在的展开式的通项公式为T r+1=•25-r•，令5-=4，可得r=2，可得x4的系数是•23=80，故答案为：80．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.【答案】2或8【解析】解：抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M到x轴的距离为4，到焦点的距离为5，如图：可得|FQ|=3，所以p=5±|FQ|，所以P=2或8．故答案为：2或8．画出图形，利用抛物线的性质转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．15.【答案】16π【解析】解：如图，因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，设AB=a，BC=b，球的半径为r．连接AC1∩A1C=O，取AC的中点D，连接BD，则O到三棱柱六个顶点的距离相等，即O为三棱柱外接球的球心．OD=，又因为三棱锥O-ABC的体积为1，即，即，所以r==≥=2，当且仅当a=b时等号成立，所以球O表面积的最小值为S=4πr2=16π．故填：16π．设AB=a，BC=b，球的半径为r．连接AC1∩A1C=O，取AC的中点D，连接BD，则O到三棱柱六个顶点的距离相等，即O为三棱柱外接球的球心．OD=，三棱锥O-ABC的体积为1，即，即，表示出r，根据基本不等式可得r的最小值，从而得到球的表面积的最小值．本题借助直三棱柱的外接球，考查了基本不等式、球的表面积等．属于中档题．16.【答案】64、10、1、8．【解析】解：根据题意，正整数m经过6次运算后得到1，则正整数m经过5次运算后得到2，经过4次运算后得到4，经过3次运算后得到8或者1，分2种情况讨论：①，当经过3次运算后得到8时，经过2次运算后得到16，则经过1次运算后得到32或5，则m的值为64或10，②，当经过3次运算后得到1时，经过2次运算后得到2，则经过1次运算后得到4，则m的值为1或8；综合可得：m的值可能为64、10、1、8．故答案为：64、10、1、8．根据题意，利用正整数m经过6次运算后得到1，结合变化的规则，进行逐项逆推即可得答案．本题考查数列的应用，涉及归纳推理的应用，利用变换规则，进行逆向验证是解决本题的关键．17.【答案】解：（Ⅰ）设首项为a1，公比为q的递增的等比数列，a5=48，4a2，3a3，2a4成等差数列．故：，解得：q=2或1（舍去），整理得：a1=3，所以：，（Ⅱ）数列{b n}满足b1=a2，b n+1=b n+a n，所以：b1=6．则：b n=（b n-b n-1）+（b n-1-b n-2）+…+（b2-b1）+b1，=a n-1+a n-2+…+a2+a1+b1，=，=3•2n-1+3所以：S n=b1+b2+…+b n=．【解析】（Ⅰ）利用已知条件求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用叠加法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在数列通项公式的求法中的应用，数列的求和的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.【答案】证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCVD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，CA∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，∴∠DPC为PD与平面PAC所成角，在Rt△PAC中，tan∠DPC==，在Rt△PAC中，PC=，∴CD=，在Rt△ACD中，AD=2，∠CAD=60°，∵∠BCA=60°，∴在底面ABCD中，BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD．解：（Ⅱ）设BC的中点为N，连结AN，则AN⊥BC，由（Ⅰ）知BC∥AD，∴AN⊥AD，分别以AN，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），C（，，0），D（0，2，0），M（，-，1），则=（-，，0），=（0，2，-2），=（，，），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，=（，，），设平面CDM的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，得=（，，），设二面角P-CD-M的平面角为θ，则cosθ===．故二面角P-CD-M的余弦值为．【解析】（Ⅰ）推导出PA⊥CD，CD⊥平面PAC，∠DPC为PD与平面PAC所成角，由此能证明BC∥平面PAD．（Ⅱ）设BC的中点为N，连结AN，则AN⊥BC，分别以AN，AD，AP为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向时法能求出二面角P-CD-M的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知，当X≥19，T=500×19=9500；当X＜19，T=500×X-（19-X）×100=600X-1900，所以T与X的函数解析式为T=，，＜，由题意可知，一个销售周期内甲市场需求量为8，9，10的概率分别为0.3，0.4，0.3；乙市场需求量为8，9，10的概率分别为0.2，0.5，0.3，设销售的利润不少于8900元的事件记为A，当X≥19，T=500×19=9500＞8900，当X＜19，600X-1900≥8900，解得X≥18，由题意可知，P（X=16）=0.3×0.2=0.06；P（X=17）=0.3×0.5+0.4×0.2=0.23；所以P（A）=P（X≥18）=1-0.06-0.23=0.71．（Ⅱ）当n=17时，E（T）=（500×16-1×100）×0.06+500×17×0.94=8464；当n=18时，E（T）=（500×16-2×100）×0.06+（500×17-1×100）×0.23+18×500×0.71=8790；因为8464＜8790，所以应选n=18．【解析】（Ⅰ）先分2段求出T与X的函数关系式，再利用函数的解析式求得概率；（Ⅱ）计算两个期望比较大小，作出决策．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由∠AF1B=60°，可得a=2b，由点，在C上，可得+=1，∴b2=1，a2=4，∴椭圆C的方程为+y2=1，（Ⅱ）联立，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，∵直线l与椭圆相切，∴△=16（4k2+1-m2）=0，即4k2+1=m2，设P（x1，y1），可得x1==-，则y1==，∴|OP|2=+===4-又直线l与圆O相切，可得|OQ|=，则|OQ|2===4-∴|PQ|===，∴S△OPQ=|PQ|•|OP|=•=•=•≤，当且仅当k=1时取等号，此时m2=1+4=5，则m=±，故直线l的方程为y=x+或y=x-．【解析】（Ⅰ）由∠AF1B=60°，可得a=2b，由点在C上，可得+=1，解得b2=1，a2=4，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）联立，根据判别式求出4k2+1=m2，即可求出点P的坐标，可得|OP|，再求出|OQ|，表示出三角形的面积，根据基本不等式即可求出．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，三角形面积公式与基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=e2x+2×e2x=e2x，x＞-1，令h（x）=-2x2+（2a-2）x+a-1，△=4（a2-1），当-1≤a≤1时，△≤0，则h（x）≤0，即f′（x）≤0，∴f（x）在（-1，+∞）上单调递增，当a＜-1或a＞1时，此时△＞0，设h（x）=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1=，x2=，若a＜-1，可知x1＜-1＜x2，则x∈（x2，+∞），f′（x）＜0，x∈（-1，x2），f′（x）＞0，若a＞1，可知-1＜x1＜x2，则x∈（-1，x1），（x2，+∞），f′（x）＜0，x∈（x1，x2），f′（x）＞0，综上所述，当a＜-1时，f（x）在（，+∞）上单调递减，在（-1，）上单调递增，（，+∞）上单调递减，在（，）当a＞1时，f（x）在（-1，），上单调递增，证明：（Ⅱ）＞，∴g′（x）====，由（Ⅰ）可知当a=1时，f（x）=e2x在（0，+∞）单调递减，且f（0）=1，f（1）=0，∴对任意m∈[0，1），存在唯一x m∈（0，1]，使f（x m）=m，（反之对任意x m（0，1]存在唯一m∈[0，1），f（x m）=m），∴当x∈（0，x m）时，f（x）＞m，此时g′（x）＞0，函数g（x）在（0，x m）上单调递增，当x∈（x m，+∞）时，f（x）＜m，此时g′（x）＜0，函数g（x）在（x m，+∞）上单调递减，∴当x=x m时，g（x）取得最大值，即最大值h（m）=g（x m）====令p（x）=e2x，p′（x）=-e2x≤0，（0＜x≤1），∴p（x）在（0，1]上单调递减，∴p（1）≤h（m）＜p（0），即-e2≤h（m）＜-2，∴h（m）的值域为[-e2，-2）．【解析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调的关系即可求出，（Ⅱ）先求导，g′（x）=，由（Ⅰ）可知当a=1时，构造函数，再根据导数和函数最值的关系即可证明．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，可得C2的直角坐标方程为：x+-6=0，即曲线C2为直线．曲线C1是圆心为（2，0），半径为|r|的圆．因为圆C1与直线C2恰有一个公共点，可得|r|==2，圆C1的普通方程为x2+y2-4x=0，所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由题意可设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），S△AOB=|OA||OB|sin=ρ1ρ2=4cosθcos（θ+）=4（cos2θ-sinθcosθ）=4（-）=2+2cos（2θ+），所以△AOB面积的最大值为2+2．【解析】（Ⅰ）消参可得C1的普通方程，再根据互化公式可得C1的极坐标方程．（Ⅱ）根据极径的几何意义和三角形面积公式可得面积，再根据三角函数的性质可得最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】（Ⅰ）证明：正实数a，b满足a+b=2，则=2（a+b）+2+2•≤6+2（a+b）+2=12，∴；（Ⅱ）解：对任意正实数a，b，有a+b≥2，所以2≤2，即ab≤1，当且仅当a=b 时取“=”；所以对任意a、b∈R+，不等式|x+1|-|x-3|≥ab恒成立，即|x+1|-|x-3|≥1恒成立；若x≤-1，则不等式化为-x-1-（3-x）≥1，即-4≥1，不等式无解；若-1＜x＜3，则不等式化为x+1-（3-x）≥1，解得≤x≤3；若x≥3，则不等式化为x+1-（x-3）≥1，即4≥1，不等式恒成立；综上，实数x的取值范围是[，+∞）．【解析】（Ⅰ）根据题意，利用完全平方公式和基本不等式，即可证明；（Ⅱ）利用基本不等式得出ab≤1，把问题转化为|x+1|-|x-3|≥1恒成立，再利用分段讨论法求出不等式的解集．本题考查了基本不等式应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题．。

精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)

所以目标函数的最大值为 .
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数，点和是函数图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位，，则（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，点，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出与坐标，表示出，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性排除选项；利用排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数的定义域为，其定义域关于原点对称，
因为
又因为，
所以，即函数为偶函数，故排除；
又因为，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.

2019全国2卷高考数学理科含答案详解(珍藏版)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A ＝{x|x 2﹣5x+6＞0}，B ＝{x|x ﹣1＜0}，则A ∩B ＝（）A ．（﹣∞，1）B ．（﹣2，1）C ．（﹣3，﹣1）D ．（3，+∞）2．（5分）设z ＝﹣3+2i ，则在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知＝（2，3），＝（3，t ），||＝1，则?＝（）A ．﹣3B ．﹣2C ．2D ．34．（5分）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：+＝（R +r ）．设α＝．由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r 的近似值为（）A ．RB ．RC ．R D ．R5．（5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差6．（5分）若a ＞b ，则（）A ．ln （a ﹣b ）＞0B ．3a＜3bC ．a 3﹣b 3＞0D ．|a|＞|b|7．（5分）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面8．（5分）若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p ＝（）A ．2B ．3C ．4D ．89．（5分）下列函数中，以为周期且在区间（，）单调递增的是（）A ．f （x ）＝|cos2x|B ．f （x ）＝|sin2x|C ．f （x ）＝cos|x |D ．f （x ）＝sin|x|10．（5分）已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sin α＝（）A ．B ．C ．D ．11．（5分）设F 为双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ|＝|OF |，则C 的离心率为（）A ．B ．C ．2D ．12．（5分）设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x+1）＝2f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）．若对任意x ∈（﹣∞，m]，都有f （x ）≥﹣，则m 的取值范围是（）A ．（﹣∞，]B ．（﹣∞，]C ．（﹣∞，]D ．（﹣∞，]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年湖北省黄冈中学高考数学二模试卷(理科) (解析版)

2020年湖北省黄冈中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|2﹣2x≥0}，B＝{x|y＝ln|x|}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，0）∪（0，1]C．[1，+∞）D．（0，1）∪（1，+∞）2．已知i为虚数单位，复数z满足（1+i3）z＝2，则下列判断正确的是（）A．z的虚部为iB．|z|＝2C．z的实部为﹣1D．z在复平面内所对应的点在第一象限3．已知向量，，||＝2，且在方向上的投影为，则•＝（）A．0B．C．﹣1D．﹣244．某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年4月18日﹣27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是（）A．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日减小B．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差C．这10天学生在线学习人数在逐日增加D．前5天在线学习人数增长比例的极差大于后5天在线学习人数增长比例的极差5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c6．已知展开式的中间项系数为20，则由曲线和y＝x a围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．1D．7．已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边绕O点顺时针旋转后，经过点（﹣3，4），则sinα＝（）A．B．C．D．8．将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20，2×10，4×5三种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称4×5为20最佳分解．当p×q（p≤q且p，q∈N*）是正整数n的最佳分解时，定义函数f（n）＝q﹣p，则数列{f（3n）}（n∈N*）的前2020项的和为（）A．31010+1B．C．D．31010﹣19．甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立在某局双方10：10平后，甲先发球，则甲以13：11赢下此局的概率为（）A．B．C．D．10．若点A为抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|＝5，点P为直线x＝﹣1上的动点，则|PA|+|PF|的最小值为（）A．8B．C．D．11．已知函数f（x）＝sin|2x|+2|sin x|cos x，给出下列四个命题：①f（x）是偶函数；②f（x）在区间上单调递增；③f（x）在[﹣2π，2π]有7个零点；④f（x）的最大值为2．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．312．已知函数f（x）＝（lnx+1﹣ax）（e x﹣m﹣ax），若存在实数a使得f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（1，2）D．（﹣2，1）二、填空题：13．若实数x，y满足，则z＝x+y的最大值是．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a7﹣a4＝6，S7﹣S4＝﹣51，则a n＝．15．如图，F1、F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线与圆x2+y2＝a2相切，切点为T，且交双曲线的右支于点P，若，则双曲线C的离心率e＝．16．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童．如图的刍童ABCD ﹣EFGH有外接球，且AB＝4，AD＝4，EH＝2，EF＝6，点E到平面ABCD 的距离为4，则该刍童外接球的半径为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，．（1）求A；（2）若AD是BC边的中线，，求△ABC的面积．18．如图1，四边形ABCD是正方形，四边形ADE1F1和BCE2F2是菱形，AB＝2，∠DAF1＝∠CBF2＝60°．分别沿AD，BC将四边形ADE1F1和BCE2F2折起，使E1、E2重合于E，F1、F2重合于F，得到如图2所示的几何体．在图2中，M、N分别是CD、EF的中点．（1）证明：MN⊥平面ABCD；（2）求平面DCN与平面ABF所成锐二面角的余弦值．19．共享单车是互联网大潮下的新产物，是共享经济的先锋官．如今，无论一线二线城市，人群稍密集的区域都会有红黄绿等彩色的二维码单车，带给人们新的出行体验．只要有微信或者支付宝，安装相应共享单车App，仅需很少的费用就可以骑走了，有效的解决了某些场景下的“最后一公里”问题．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，设月份代码为x，市场占有率为y（%），得结果如表：年月2019.122020.12020.22020.32020.42020.5x123456y81116151822（1）观察数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（精确到0.001）；（2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2020年6月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车投入市场，现有采购成本分别为1200元/辆和1000元/辆的甲、乙两款车型，报废年限不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对这两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命统计如表：1年2年3年4年总计报废年限车辆数车型甲款10205020100乙款153********经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入600元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：，，，≈46.6．参考公式：相关系数r＝，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）过点，离心率，直线l：y＝kx+1与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在定点P，使得为定值．若存在，求出点P的坐标和的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x+cos x﹣2，f'（x）为f（x）的导数．（1）当x≥0时，求f'（x）的最小值；（2）当时，xe x+x cos x﹣ax2﹣2x≥0恒成立，求a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：（t1为参数），曲线C2：（t2为参数），且tanθ1tanθ2＝﹣1，点P为曲线C1与C2的公共点．（1）求动点P的轨迹方程；（2）在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣3ρsinθ+10＝0，求动点P到直线l距离的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x|+|x﹣3|．（1）求不等式的解集；（2）若f（x）的最小值为M，且a+2b+2c＝M（a，b，c∈R），求证：a2+b2+c2≥1．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1．设集合A＝{x|2﹣2x≥0}，B＝{x|y＝ln|x|}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，0）∪（0，1]C．[1，+∞）D．（0，1）∪（1，+∞）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|2x≤2}＝{x|x≤1}，B＝{x|x≠0}，∴A∩B＝（﹣∞，4）∪（0，1]．故选：B．2．已知i为虚数单位，复数z满足（1+i3）z＝2，则下列判断正确的是（）A．z的虚部为iB．|z|＝2C．z的实部为﹣1D．z在复平面内所对应的点在第一象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．解：由（1+i3）z＝2，得，其实部为1，虚部为1，故A错、C错；z在复平面内所对应的点的坐标为（1，1），在第一象限，故D正确．故选：D．3．已知向量，，||＝2，且在方向上的投影为，则•＝（）A．0B．C．﹣1D．﹣24【分析】根据平面向量数量积的定义，求解即可．解：∵在方向上的投影为，∴||cos＜，＞＝，又||＝4，故选：C．4．某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年4月18日﹣27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是（）A．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日减小B．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差C．这10天学生在线学习人数在逐日增加D．前5天在线学习人数增长比例的极差大于后5天在线学习人数增长比例的极差【分析】对于A：23﹣24的增长比例在下降，故A错误；对于B：由条形图可得前五天学习人数的方差小，故B错误；对于C：由条形图可知学习人数在逐日增加，故C正确；对于D：前五天在线学习人数增长比例的极差小于后五天在线学习人数增长比例的极差，故D错误．解：对于A，由折线图很明显，23﹣24的增长比例在下降，故A错误；对于B，由条形图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故B错误；对于D，前5天增长比例的极差大约为15%﹣5%＝10%，后5天增长比例的极差大约为40%﹣5%＝35%，所以前五天在线学习人数增长比例的极差小于后五天在线学习人数增长比例的极差，故D错误．故选：C．5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c【分析】由已知结合指数函数与对数函数的性质即可比较大小．解：∵，，lnπ＞1，∴，又a＞1，故选：A．6．已知展开式的中间项系数为20，则由曲线和y＝x a围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．1D．【分析】首先由展开式的通项求出a，然后利用定积分表示封闭图形的面积，然后计算即可．解：因为展开式的中间项系数为20，所以，解得a＝2，即曲线和y＝x a围成的封闭图形的面积为，故选：A．7．已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边绕O点顺时针旋转后，经过点（﹣3，4），则sinα＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果．解：∵角α的终边按顺时针方向旋转后得到的角为，由三角函数的定义：可得，，∴＝，故选：B．8．将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20，2×10，4×5三种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称4×5为20最佳分解．当p×q（p≤q且p，q∈N*）是正整数n的最佳分解时，定义函数f（n）＝q﹣p，则数列{f（3n）}（n∈N*）的前2020项的和为（）A．31010+1B．C．D．31010﹣1【分析】直接利用分类讨论思想的应用和数列的求和的应用求出结果．解：当n为偶数时，，当n为奇数时，，故选：D．9．甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立在某局双方10：10平后，甲先发球，则甲以13：11赢下此局的概率为（）A．B．C．D．【分析】在比分为10：10后甲先发球的情况下，甲以13：11赢下此局分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲；②后四球胜方依次为乙甲甲甲，由此能求出所求事件概率．解：在比分为10：10后甲先发球的情况下，甲以13：11赢下此局分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为；②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为，所以，所求事件概率为：，故选：C．10．若点A为抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|＝5，点P为直线x＝﹣1上的动点，则|PA|+|PF|的最小值为（）A．8B．C．D．【分析】求出点A为（4，4），画出图形，利用对称性转化求解即可．解：由题意可知，p＝2，F（1，0），由抛物线的定义可知，，∴x A＝4，代入抛物线方程，得，不妨取点A为（4，4），设点F关于x＝﹣6的对称点为E，则E（﹣3，0），故选：D．11．已知函数f（x）＝sin|2x|+2|sin x|cos x，给出下列四个命题：①f（x）是偶函数；②f（x）在区间上单调递增；③f（x）在[﹣2π，2π]有7个零点；④f（x）的最大值为2．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】先判断f（x）为偶函数，再考虑x≥0时，f（x）的图象和性质，从而可得正确选项．解：f（x）＝sin|2x|+2|sin x|cos x，f（﹣x）＝sin|﹣2x|+2|sin（﹣x）|cos（﹣x）＝sin|5x|+2|sin x|cos x＝f（x），当x≥0时，f（x）＝sin|2x|+2|sin x|cos x＝，又f（x）＝而f（x）在[﹣2π，2π]上有无数个零点，故③错．故选：C．12．已知函数f（x）＝（lnx+1﹣ax）（e x﹣m﹣ax），若存在实数a使得f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（1，2）D．（﹣2，1）【分析】问题可转化为存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h （x）＝e x﹣m之间，利用导数的几何意义数形结合解答即可．解：依题意，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣m之间，考虑直线y＝ax与函数g（x），函数h（x）相切于同一点的情况，作出下图，由图象观察可知，当m＜1时，函数h（x）越偏离函数g（x），符合题意，故选：B．二、填空题：13．若实数x，y满足，则z＝x+y的最大值是5．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．解：实数x，y满足，在坐标系中画出不等式组表示的平面区域，如图所示．由，解得C（5，3），代入目标函数z＝x+y，得z max＝2+3＝5．故答案为：7．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a7﹣a4＝6，S7﹣S4＝﹣51，则a n＝2n﹣29．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，利用等差数数列的通项公式、前n项公式求出a6＝﹣17，d＝2，由此能求出通项公式．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7﹣a4＝6，S3﹣S4＝﹣51，解得：a6＝﹣17，d＝2，故答案为：2n﹣29．15．如图，F1、F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线与圆x2+y2＝a2相切，切点为T，且交双曲线的右支于点P，若，则双曲线C的离心率e＝．【分析】连接PF2，过F2作F2Q∥OT，若，通过在Rt△PQF2中，利用勾股定理求解双曲线C的离心率即可．解：连接PF2，过F2作F2Q∥OT，若，则易知|OF1|＝c，|OT|＝a，|TF1|＝|TQ|＝|QP|＝b，|QF2|＝2a，|PF4|＝|PF1|﹣2a＝3b﹣2a，所以双曲线C的离心率．故答案为：．16．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童．如图的刍童ABCD ﹣EFGH有外接球，且AB＝4，AD＝4，EH＝2，EF＝6，点E到平面ABCD 的距离为4，则该刍童外接球的半径为5．【分析】如图，由已知得，球心在上下底面中心连线上，该连线与上下底面垂直，球心必在该垂线上，然后根据OB＝OG，利用两个直角三角形OO1G与直角三角形OO2B，即可列出外接圆半径的方程，求解即可．解：假设O为刍童外接球的球心，连接HF、EG交于点O1，连接AC、DB交于点O2，由球的几何性质可知O，O1，O2在同一条直线上，由题意可知，OO2⊥平面ABCD，OO1⊥平面EFGH，O2O1＝4．∴．设外接球的半径OG＝OB＝R，∴，解得r＝3．故答案为：5．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，．（1）求A；（2）若AD是BC边的中线，，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知结合余弦定理可求cos A，进而可求A；（2）由已知结合三角形的内角和定理，诱导公式及正弦定理可得B，C的关系，然后结合正弦定理可求b，c，再由三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵，∴，∵8＜A＜π，∴．在三角形ABD中，，在三角形ADC中，，∴sin2B＝sin2C，∴（舍去）或者B＝C．由正弦定理得，故三角形ABC的面积．18．如图1，四边形ABCD是正方形，四边形ADE1F1和BCE2F2是菱形，AB＝2，∠DAF1＝∠CBF2＝60°．分别沿AD，BC将四边形ADE1F1和BCE2F2折起，使E1、E2重合于E，F1、F2重合于F，得到如图2所示的几何体．在图2中，M、N分别是CD、EF的中点．（1）证明：MN⊥平面ABCD；（2）求平面DCN与平面ABF所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）连接DF，易知△DEF为等边三角形，故EF⊥DN，EF⊥CN，由线面垂直的判定定理可得EF⊥平面CDN，从而AD⊥平面CDN，AD⊥MN；由等腰三角形的性质可知MN⊥CD；再根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）取AB的中点G，连接MG，以M为原点，MG、MC、MN所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，逐一写出M、A、B、G、F的坐标，由法向量性质求得平面ABF的法向量；由（1）知，MG⊥平面CDN，故可取平面CDN的法向量为；再利用空间向量数量积的坐标运算求出cos＜，＞即可得解．【解答】（1）证明：连接DF，由图1知，四边形ADEF为菱形，且∠DEF＝60°，∴△DEF为等边三角形，∴EF⊥DN．又DN∩CN＝N，DN、CN⊂平面CDN，∴EF⊥平面CDN．∵MN⊂平面CDN，∴AD⊥MN．又AD、CD⊂平面ABCD，AD∩CD＝D，∴MN⊥平面ABCD．（2）解：取AB的中点G，连接MG，以M为原点，MG、MC、MN所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，在Rt△DMN中，DM＝1，DN＝EN＝，∴MN＝，∴，设平面ABF的法向量为，由，得，由（1）知，AD⊥平面CDN，∴，故平面DCN与平面ABF所成锐二面角的余弦值为．19．共享单车是互联网大潮下的新产物，是共享经济的先锋官．如今，无论一线二线城市，人群稍密集的区域都会有红黄绿等彩色的二维码单车，带给人们新的出行体验．只要有微信或者支付宝，安装相应共享单车App，仅需很少的费用就可以骑走了，有效的解决了某些场景下的“最后一公里”问题．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，设月份代码为x，市场占有率为y（%），得结果如表：年月2019.122020.12020.22020.32020.42020.5x123456y81116151822（1）观察数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（精确到0.001）；（2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2020年6月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车投入市场，现有采购成本分别为1200元/辆和1000元/辆的甲、乙两款车型，报废年限不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对这两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命统计如表：报废年限1年2年3年4年总计车辆数车型甲款10205020100乙款153********经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入600元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：，，，≈46.6．参考公式：相关系数r＝，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．【分析】（1）求出相关系数，接近1，可用线性回归模型进行拟合；（2）求出回归直线方程的系数，得到回归直线方程，2020年6月份代码x＝7，代入线性回归方程得，推出预报值即可．（3）甲款单车的利润X的分布列，求解乙款单车的利润Y的分布列与期望，比较两个期望值，即可推出选择的车型．解：（1）由参考数据可得，接近8．所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合；所以y关于x的线性回归方程为．（3）用频率估计概率，甲款单车的利润X的分布列为：乙款单车的利润Y的分布列为：以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，应选择乙款车型．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）过点，离心率，直线l：y＝kx+1与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在定点P，使得为定值．若存在，求出点P的坐标和的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出a，b即可得到椭圆方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则由通过韦达定理，结合向量的数量积转化求解即可．解：（1）椭圆C：（a＞b＞0）过点，离心率，可得，解得a＝2，b＝，所以所求椭圆方程．显然△≥0，，，即x0＝7．则，解得，．即存在点，使得为定值．21．已知函数f（x）＝e x+cos x﹣2，f'（x）为f（x）的导数．（1）当x≥0时，求f'（x）的最小值；（2）当时，xe x+x cos x﹣ax2﹣2x≥0恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求导，判断函数的单调性，进而得到函数的最值；（2）令h（x）＝e x+cos x﹣2﹣ax，依题意当时，x•h（x）≥0恒成立，然后分a≤1及a＞1讨论，即可得出结论．解：（1）f'（x）＝e x﹣sin x，令g（x）＝e x﹣sin x，x≥0，则g'（x）＝e x﹣cos x．当x∈[0，π）时，g'（x）为增函数，g'（x）≥g'（0）＝7；故x≥0时，g'（x）≥0，g（x）为增函数，（2）令h（x）＝e x+cos x﹣2﹣ax，h'（x）＝e x﹣sin x﹣a，则时，x•h（x）≥5恒成立．所以h（x）为增函数，故h（x）≥h（0）＝0恒成立，即x•h（x）≥0恒成立；h'''（x）＝e x+sin x在上为增函数，故存在唯一，使得h'''（x0）＝0．x∈（x0，5）时，h'''（x）≥0，h''（x）为增函数．故存在唯一使得h''（x1）＝0．x∈（x1，6）时，h''（x1）＜0，h'（x）为减函数．所以时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，当a＞1时，由（1）可知h'（x）＝e x﹣sin x﹣a在[3，+∞）上为增函数，故存在唯一x2∈（0，+∞），使得h'（x2）＝0．所以h（x）＜h（0）＝0，此时x•h（x）＜0，与x•h（x）≥0恒成立矛盾．综上所述，a≤6．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：（t1为参数），曲线C2：（t2为参数），且tanθ1tanθ2＝﹣1，点P为曲线C1与C2的公共点．（1）求动点P的轨迹方程；（2）在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣3ρsinθ+10＝0，求动点P到直线l距离的取值范围．【分析】（1）分别把曲线C1与C2中的参数消去，结合已知tanθ1tanθ2＝﹣1，可得动点P的轨迹方程；（2）由（1）中P的轨迹方程，得圆心坐标，化直线的极坐标方程为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，可得动点P到直线l距离的取值范围．解：（1）设点P的坐标为（x，y），∵点P为曲线C1与C2的公共点，∴点P同时满足曲线C1与C2的方程．由tanθ1tanθ6＝﹣1，得，（2）由已知，直线l的极坐标方程6ρcosθ﹣ρsinθ+10＝0，∵P的轨迹为圆（去掉两点），∴点P到直线l的距离的取值范围为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x|+|x﹣3|．（1）求不等式的解集；（2）若f（x）的最小值为M，且a+2b+2c＝M（a，b，c∈R），求证：a2+b2+c2≥1．【分析】（1）根据f（x）＝|x|+|x﹣3|，，利用零点分段法解不等式即可；（2）先用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值M，得到a+2b+2c的值，然后利用柯西不等式，由（a+2b+2c）2≤（12+22+22）（a2+b2+c2），证明不等式a2+b2+c2≥1成立．解：（1）∵f（x）＝|x|+|x﹣3|，∴当x＜0时，等价于|x|+|x﹣8|＞﹣5，该不等式恒成立；当x＞3时，等价于，解得x＞4，（2）证明：∵f（x）＝|x|+|x﹣3|≥|x﹣（x﹣3）|＝3，由柯西不等式，可得6＝（a+2b+2c）2≤（52+24+22）（a2+b4+c2）＝9（a2+b2+c2），当且仅当，，时等号成立，∴a2+b2+c2≥1．。

2019年四川省德阳市高考数学二诊试卷及解析(理科)〔精品解析版〕

．
三、解答题：解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤，第 17~21 题为必考题，每个考
生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共 60 分．
17．（12 分）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn＝2an﹣n．
（1）求证{an+1}为等比数列；
（2）数列{bn}满足 bn＝
2019 年四川省德阳市高考数学二诊试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知全集 U＝R，∁UA＝{x|x≥1}，B＝{x|x＜﹣2}，则 A∪B＝（）
A．{x|x≥1}
B．{x|﹣2＜x≤1} C．{x|x＜1}
．
14．（5 分）若实数 x，y 满足约束条件
，则 z＝x﹣2y 的最大值是
．
15．（5 分）正四面体 ABCD 的体积为，则正四面体 ABCD 的外接球的体积为
．
16．（5 分）已知函数 f（x）＝ax+sinx，若 g（x）＝f（x）+f′（x）在区间[﹣ ， ]上
单调递增，则 a 的最小值是
D．{x|x＜﹣2}
2．（5 分）复数 z 满足（1+i）＝2i（i 为虚数单位），则复数 z＝（）
A．1﹣i
B．1+2i
C．1+i
3．（5 分）x（x+3）5 展开式中 x3 项的系数是（）
D．2﹣2i
A．270
B．180
C．90
D．45
4．（5 分）运行如图程序框图，输出 m 的值是（）
，求二面角 C﹣PB﹣D 的余弦值．

海南省2019届高三第二次联合考试数学(理)试卷(含答案)

2019届海南省高三年级第二次联合考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|}A x y x ==-，{|lg }B y y x ==，则AB =（）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．RD ．(,0]-∞2.已知复数(3)(1)z m m i =-+-在复平面内对应的点在第二象限，则整数m 的取值为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33.设向量(,4)a x =-，(1,)b x =-，若向量a 与b 同向，则x =（） A ．2 B ．-2 C ．2± D ．04.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且936S S =，则{}n a 的公差d =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45.某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为（）A ．42083π+B ．42163π+C ．322083π+D ．322163π+ 6.设x ，y 满足约束条件36060360x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-的最小值是（）A ．0B ．-1C ．-2D ．-37.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了242盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯（）A ．81盏B ．112盏C ．114盏D ．162盏 8.执行如图所示的程序框图，则输出的S =（）A ．17B ．33C ．65D ．129 9.将曲线sin(2)()2y x πϕϕ=+<向右平移6π个单位长度后得到曲线()y f x =，若函数()f x 的图象关于y 轴对称，则ϕ=（） A ．3π B ．6πC ．3π-D ．6π-10.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b -=>>的一条渐近线与圆22(2)(1)1x y -+-=相切，则C 的离心率为（）A ．43 B ．54 C ．169 D ．251611.在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（） A ．甲、乙 B ．乙、丙 C ．甲、丁 D ．丙、丁12.在四面体ABCD 中，AD ⊥底面ABC ，10AB AC ==，2BC =，点G 为ABC ∆的重心，若四面体ABCD 的外接球的表面积为2449π，则tan AGD ∠=（） A ．12B ．2C ．22D ．2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上.13.若1x =是函数3()af x x x=+的一个极值点，则实数a = ． 14.如图，小林从位于街道A 处的家里出发，先到B 处的二表哥家拜年，再和二表哥一起到位于C 处的大表哥家拜年，则小林到大表哥家可以选择的最短路径的条数为．15.某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X （单位：kg ）服从正态分布(25,0.04)N ，任意选取一袋这种大米，质量在24.825.4kg 的概率为．（附：若2(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσ-<=，(2)0.9544P Z μσ-<=，(3)0.9974P Z μσ-<=）16.已知F 是抛物线C ：212x y =的焦点，P 是C 上一点，直线FP 交直线3y =-于点Q .若2PQ FQ =，则PQ = ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2sin sin cos B C B +2cos()0B C ++=，且sin 1B ≠. （1）求角C ；（2）若5sin 3sin B A =，且ABC ∆的面积为1534，求ABC ∆的周长. 18.从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，将用电量的数据绘制成频率分布直方图如下图所示.（1）求频率分布直方图中x 的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间[50,150)内的用户记为A 类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250,350)内的用户记为B 类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，并将打分数据绘制成茎叶图如下图所示：①从B 类用户中任意抽取3户，求恰好有2户打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”？满意不满意合计 A 类用户B 类用户合计附表及公式：20()P K k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AB AD =，3BD AD =，且PD ⊥底面ABCD .（1）证明：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）若Q 为PC 的中点，且1AP BQ ⋅=，求二面角Q BD C --的大小.20.在平面直角坐标系xOy 中，设动点M 到坐标原点的距离与到x 轴的距离分别为1d ，2d ，且221234d d +=，记动点M 的轨迹为Ω.（1）求Ω的方程；（2）设过点(0,2)-的直线l 与Ω相交于A ，B 两点，当AOB ∆的面积最大时，求AB . 21.已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--. （1）证明：直线2y x =与曲线()y f x =相切；（2）若3()(3)f x k x x >-对(0,1)x ∈恒成立，求k 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：2260x y x +-=，直线1l ：0x -=，直线2l 0y -=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）写出曲线C 的参数方程以及直线1l ，2l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 分别交于O ，A 两点，直线2l 与曲线C 分别交于O ，B 两点，求AOB ∆的面积.23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()2f x x a a =++.（1）若不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式2()4f x k k ≥--恒成立，求k 的取值范围.2019年高考调研测试数学试题参考答案（理科）一、选择题1-5: BCAAA 6-10: CDCDB 11、12：DB二、填空题13. 3 14. 9 15. 0.8185 16. 8三、解答题17.解：（1）由2sin sin cos B C B +2cos()0B C ++=，得2cos cos cos B C B -=. ∵sin 1B ≠，∴cos 0B ≠， ∴1cos 2C =-，∴23C π=. （2）∵5sin 3sin B A =，∴53b a =，又ABC ∆的面积为4，∴1sin 244ab C ab ==，∴15ab =，∴5a =，3b =.由余弦定理得2222cos 49c a b ab C =+-=，∴7c =. 故ABC ∆的周长为53715++=. 18.解：（1）1(0.0060.00360.002450x =-++20.0012)0.0044⨯+=，按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3，所以估计平均用电量为675912515175112256275332550⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯186=度.（2）①B 类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从B 类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超过85分的概率为2163391528C C C =. ②因为2K 的观测值224(6963)1212915k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 1.6 3.841=<，所以没有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”. 19.（1）证明：∵222AD BD AB +=，∴AD BD ⊥， ∴//AD BC ，∴BC BD ⊥.又∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD BC ⊥. ∵PDBD D =，∴BC ⊥平面PBD .而BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD . （2）解：由（1）知，BC ⊥平面PBD ，分别以DA ，DB ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，设BD =，则1AD =，令PD t =，则(1,0,0)A，B，(C -，(0,0,)P t，1(,)222t Q -， ∴(1,0,)AP t =-，1(,)22t BQ =-. ∴2112t AP BQ +⋅==，∴1t =.故11()22DQ =-，11(,)22BQ =-. 设平面QBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1102211022x y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令1x =，得(1,0,1)n =.易知平面BDC 的一个法向量为(0,0,1)m =，则cos ,2m n <>==，∴二面角Q BD C --的大小为4π. 20.解：（1）设(,)M x y，则1d =2d y =，则222212344d d x y +=+=，故Ω的方程为2214x y +=（或2244x y +=）. （2）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将2y kx =-代入2214x y +=，得22(14)16120k x kx +-+=，当216(43)0k ∆=->，即234k >时，1221614k x x k +=+，1221214x x k =+，从而AB =214k=+，又点O 到直线AB的距离d =所以AOB ∆的面积12S d AB ==，t =，则0t >，244144t S t t t==≤++，当且仅当2t =，即274k =（满足0∆>）时等号成立，所以当AOB ∆的面积最大时，274k =，2AB ==. 21.（1）证明：11'()11f x x x =++-，∴由'()2f x =得2221x =-，解得0x =，又(0)0f =，∴直线2y x =与曲线()y f x =相切.（2）解：设3()()(3)g x f x k x x =--，则22223(1)'()1k x g x x +-=-，当(0,1)x ∈时，22(1)(0,1)x -∈，若k ≥22)0x >，则'()0g x >，∴()g x 在(0,1)上递增，从而()(0)0g x g >=.此时，(f 在(0,1)上恒成立.若23k <-，令'()0g x x =⇒(0,1)=，当x ∈时，'()0g x <；当x ∈时，'()0g x >.∴min ()g x g =(0)0g <=，则23k <-不合题意. 故k 的取值范围为2[,)3-+∞.22.解：（1）依题意，曲线C ：22(3)9x y -+=，故曲线C 的参数方程是33cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），因为直线1l ：0x -=，直线2l 0y -=，故1l ，2l 的极坐标方程为1l ：()6R πθρ=∈，2l ：()3R πθρ=∈.（2）易知曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=，把6πθ=代入6cos ρθ=，得1ρ=)6A π，把3πθ=代入6cos ρθ=，得23ρ=，所以(3,)3B π，所以121sin 2AOB S AOB ρρ∆=∠13sin()3364ππ=⨯-=. 23.解：（1）因为21x a a ++≤，所以12x a a +≤-，所以2112a x a a -≤+≤-，所以113a x a -≤≤-. 因为不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，所以12134a a -=-⎧⎨-=⎩，解得1a =-.（2）由（1）得()12f x x =--.不等式2()4f x k k ≥--恒成立，只需2min ()4f x k k ≥--，所以224k k -≥--，即220k k --≤，海南省2019届高三第二次联合考试数学(理)试卷(含答案).所以k的取值范围是[1,2]。

2020年浙江省温州市高考数学二模试卷(理科)含答案解析

浙江省温州市2020年高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则A∩∁U B=（）A．{3}B．{1，2，4，5} C．{1，2}D．{1，3，5}2．已知实数x，y满足，则z=x﹣y（）A．最小值为﹣1，不存在最大值B．最小值为2，不存在最大值C．最大值为﹣1，不存在最小值D．最大值为2，不存在最小值3．直线l1：mx+y﹣1=0与直线l2：（m﹣2）x+my﹣1=0，则“m=1”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．4 B．C．8 D．5．设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算⊕为：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3．若（A2⊕A3）⊕A m=A0，则m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．36．点P到图形C上所有点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点的轨迹是（）A．射线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线7．数列{a n}是递增数列，且满足a n+1=f（a n），a1∈（0，1），则f（x）不可能是（）A ．f （x ）=B ．f （x ）=2x ﹣1C ．f （x ）=D ．f （x ）=log 2（x +1）8．棱长为2的正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，点P ，Q 分别为面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上的动点，则△PEQ 周长的最小值为（）A ．2B ．C ．D ．2二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 9．以椭圆=1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是，离心率为． 10．函数的图象如图所示，则ω= ，φ= ．11．已知等差数列{a n }的公差为﹣3，且a 3是a 1和a 4的等比中项，则通项a n = ，数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为． 12．设奇函数f （x ）=，则a +c 的值为，不等式f （x ）＞f （﹣x ）在x ∈[﹣π，π]上的解集为． 13．若正数a ，b 满足log 2a=log 5b=lg （a +b ），则的值为．14．若存在x 0∈[﹣1，1]使得不等式10002124+≤+•-x x x a 成立，则实数a 的取值范围是．15．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足，若，则x+y的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=，sinA=．（Ⅰ）求sinC的值；（II）设D为AC的中点，若△ABC的面积为8，求BD的长．17．如图，矩形ABCD中，=λ（λ＞1），将其沿AC翻折，使点D到达点E的位置，且二面角C﹣AB﹣E为直二面角．（1）求证：平面ACE⊥平面BCE；（2）设F是BE的中点，二面角E﹣AC﹣F的平面角的大小为θ，当λ∈[2，3]时，求cosθ的取值范围．18．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象过点（1，0）．（1）记函数f（x）在[0，2]上的最大值为M，若M≤1，求a的最大值；（2）若对任意的x1∈[0，2]，存在x2∈[0，2]，使得f（x1）+f（x2）＞a，求的取值范围．19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，焦距为2，设点P（a，b）满足△PF1F2是等腰三角形．（1）求该椭圆方程；（2）过x轴上的一点M（m，0）作一条斜率为k的直线l，与椭圆交于点A，B两点，问是否存在常数k，使得|MA|2+|MB|2的值与m无关？若存在，求出这个k的值；若不存在，请说明理由．=n2﹣m2 20．设正项数列{a n}满足：a1=1，且对任意的n，m∈N+，n＞m，均有a2n+m a2n﹣m成立．（1）求a2，a3的值，并求{a n}的通项公式；+a2n+1与2a2n的大小；（2）（ⅰ）比较a2n﹣1（ⅱ）证明：a2+a4+…+a2n＞．2020年浙江省温州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则A∩∁U B=（）A．{3}B．{1，2，4，5} C．{1，2}D．{1，3，5}【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，∴∁U B={1，2}，则A∩∁U B={1，2}，故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知实数x，y满足，则z=x﹣y（）A．最小值为﹣1，不存在最大值B．最小值为2，不存在最大值C．最大值为﹣1，不存在最小值D．最大值为2，不存在最小值【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点A时，即和直线AD：x﹣y=﹣1平行时，直线y=x ﹣z的截距最大，此时z最小，最小为﹣1，无最大值，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．3．直线l1：mx+y﹣1=0与直线l2：（m﹣2）x+my﹣1=0，则“m=1”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：当m=0时，两条直线分别化为：y﹣1=0，2x+1=0，此时两条直线相互垂直，∴m=0．当m≠0时，若l1⊥l2，则﹣m（﹣）=﹣1，解得m=1．综上可得：m=0，或m=1，故“m=1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．4 B．C．8 D．【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个矩形：两条边分别是4、2，且四棱锥的高是2，∴几何体的体积V==，故选：B．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．5．设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算⊕为：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3．若（A2⊕A3）⊕A m=A0，则m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据新定义进行推理计算即可．【解答】解：∵2+3=5，5除4的余数为1，∴A2⊕A3=A1，则A1⊕A m=A0，则1+m是4的倍数，则m=3，故选：D．【点评】本题主要考查推理的应用，根据新定义是解决本题的关键．比较基础．6．点P到图形C上所有点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点的轨迹是（）A．射线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线【分析】根据题意可知|PC|﹣r=|PA|，即P到C与A的距离之差为常数，故而P在双曲线上运动．【解答】解：设圆C的半径为r，由题意可知P到圆C的距离为|PC|﹣r，∴|PC|﹣r=|PA|，即|PC|﹣|PA|=r．∴P点轨迹为以A，C为焦点的双曲线靠近A点的一只．故选：C．【点评】本题考查了圆锥曲线的定义，属于基础题，7．数列{a n}是递增数列，且满足a n+1=f（a n），a1∈（0，1），则f（x）不可能是（）A．f（x）=B．f（x）=2x﹣1 C．f（x）=D．f（x）=log2（x+1）【分析】A．由a1∈（0，1），可得＞a n，即可判断出数列{a n}的单调性；B．由a1∈（0，1），不妨取a1=，则a2=﹣1=﹣1，即可判断出数列{a n}的单调性；C：f（x）=，令2x﹣x2≥0，可得得0≤x≤2．由f（x）==，利用二次函数的单调性及其a1∈（0，1），即可判断出数列{a n}的单调性；D．利用几何画板画出图象y=log2（x+1），y=x，可知：在x∈（0，1）时，log2（x+1）＞x，即可判断出数列{a n}的单调性．【解答】解：对于A．∵a1∈（0，1），∴＞a n，可得数列{a n}是递增数列；对于B．∵a1∈（0，1），不妨取a1=，则a2=﹣1=﹣1，因此数列{a n}不是递增数列；对于C：f（x）=，令2x﹣x2≥0，解得0≤x≤2．由f（x）==，可知：当0≤x≤1时，函数f（x）单调递增；当1≤x≤2时，函数f（x）单调递减．∵a1∈（0，1），∴数列{a n}是递增数列；对于D．利用几何画板画出图象y=log2（x+1），y=x，可知：在x∈（0，1）时，log2（x+1）＞x，∴a n+1=log2（a n+1）＞a n，因此数列{a n}是递增数列．故选：B．【点评】本题考查了数列的单调性，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．8．棱长为2的正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则△PEQ周长的最小值为（）A．2 B． C． D．2【分析】由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，求出MN，即可得出结论．【解答】解：由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，则EM=2．EN=，∠MEN=135°，∴MN==．故选：B．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查对称点的运用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．以椭圆=1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是y=±x，离心率为．【分析】由椭圆=1的焦点坐标为（，0），长轴顶点为（±2，0），求出双曲线的标准方程，由此能求出结果．【解答】解：∵椭圆=1的焦点坐标为（，0），长轴顶点为（±2，0），∴以椭圆=1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的标准方程为：=1，∴双曲线的渐近线方程是y=±x，离心率e==．故答案为：，．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆、双曲线的性质的合理运用．10．函数的图象如图所示，则ω=2，φ=．【分析】通过函数的图象，求出T然后求出ω，利用图象经过（π，0）求出φ的值．【解答】2，解：由图象可知T=π，，则ω=2，∵函数经过点（π，1），∴1=2sin（2×π+φ），sinφ=，|φ|＜，故φ=；故答案为2，．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的应用，学生的视图能力，注意角的范围的应用．11．已知等差数列{a n}的公差为﹣3，且a3是a1和a4的等比中项，则通项a n=﹣3n+15，数列{a n}的前n项和S n的最大值为30．【分析】由题意可得（a1﹣6）2=a1（a1﹣6），解之可得a1，代入通项公式得到a n=﹣3n+15，再判断数列{a n}的前n项和S n的最大值的n的情况，即可求出，【解答】解：由题意可得（a1﹣6）2=a1（a1﹣9），解得a1=12，∴a n=12+（n﹣1）×（﹣3）=﹣3n+15，∴a n=﹣3n+15≥0，解得n≤5，∴S5=5×12+=30，故答案为：﹣3n+15，30．【点评】本题考查等差数列的前n项和公式和等比中项的定义，属基础题．12．设奇函数f（x）=，则a+c的值为0，不等式f（x）＞f（﹣x）在x∈[﹣π，π]上的解集为．【分析】根据函数奇偶性的定义和性质求出a，b，c的值，利用分类讨论的思想进行求解即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=acos0﹣sin0+c=a+c=0，即a+c=0，则f（x）=，若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=acosx+sinx﹣a=﹣cosx﹣bsinx﹣a，则a=﹣1，b=﹣，c=1，即f（x）=，若0≤x≤π，则由f（x）＞f（﹣x）得﹣cosx﹣sinx+1＞cosx+sinx﹣1，即cosx+sinx＜1，即cos（x﹣）＜，∵0≤x≤π，∴﹣≤x﹣≤，则＜x﹣≤，即＜x≤π，若﹣π≤x＜0，则由f （x ）＞f （﹣x ）得cosx ﹣sinx ﹣1＞﹣cosx +sinx +1，即cosx ﹣sinx ＞1，即cos （x +）＞， ∵﹣π≤x ＜0，∴﹣≤x +＜，则﹣＜x +＜，即﹣＜x ＜0，综上不等式的解集为，故答案为：．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a ，b ，c 的值，利用分类讨论的思想结合三角函数的图象和性质是解决本题的关键．13．若正数a ，b 满足log 2a=log 5b=lg （a +b ），则的值为 1 ．【分析】设log 2a=log 5b=lg （a +b ）=k ，可得a=2k ，b=5k ，a +b=10k ，可得a +b=ab ．即可得出．【解答】解：设log 2a=log 5b=lg （a +b ）=k ， ∴a=2k ，b=5k ，a +b=10k ， ∴ab=10k ， ∴a +b=ab ，则=1．故答案为：1．【点评】本题考查了对数与指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．若存在x 0∈[﹣1，1]使得不等式10002124+≤+•-x x x a 成立，则实数a 的取值范围是[0，] ．【分析】将不等式进行等价转化，利用换元法，结合基本不等式的性质进行转化求解，建立不等式关系进行求解即可得到结论．【解答】解：不等式|4﹣a2+1|≤2等价为≤2，即|2+﹣a |≤2，即﹣2≤2+﹣a≤2，即a﹣2≤2+≤2+a，设t=2，当x0∈[﹣1，1]是t∈[，2]，设y=t+，则函数在[，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数，则当t=1时，函数取得最小值y=1+1=2，当t=2或t=，函数取得最大值y=+2=，则2≤y≤，∵即a﹣2≤y≤2+a，∴若[a﹣2，a+2]与[2，]没有公共点，则a+2＜2或a﹣2＞，即a＜0或a＞，则若[a﹣2，a+2]与[2，]有公共点，则0≤a≤，故答案为：[0，]【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式进行转化，利用不等式求出不等式的范围，建立不等式关系是解决本题的关键．15．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足，若，则x+y的最小值为．【分析】由题意建立平面直角坐标系，设点M（3，a），N（b，4），0＜a＜4，0＜b＜3；求得b=，a=，从而可得+=（x+y﹣1）2，再设x+y=m，则x=m﹣y；利用判别式即可求出m的最小值．【解答】解：由题意建立如图所示坐标系，如图所示；设点M（3，a），N（b，4），且0＜a＜4，0＜b＜3；∵=（3，4），=（3，a），=（b，4）；又∵=x+y，∴（3，4）=x（3，a）+y（b，4），即，∴b=，a=，∴+=+=+=1，即+=（x+y﹣1）2，设x+y=m，则x=m﹣y；则+=（m﹣1）2，即25y2﹣18my+9m2﹣144（m﹣1）2=0，故△=（18m）2﹣4×25×（9m2﹣144（m﹣1）2）≥0，即24m2﹣50m+25≥0，解得，m≥或m≤（舍去）；∴x+y的最小值．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了数形结合的思想与转化思想的应用问题，是较难的题目．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=，sinA=．（Ⅰ）求sinC的值；（II）设D为AC的中点，若△ABC的面积为8，求BD的长．【分析】（1）利用向量的数量积和正玄定理得出sinBcosA=sinAcosB，根据三角公式得出A=B，根据诱导公式求解即可．（2）利用面积公式，以及余弦定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，∵=，∴cbcosA=cacosB，即bcosA=acosB，sinBcosA=sinAcosB，sin（A﹣B）=0，∴A=B，∵sinA=．∴sinC=sin（π﹣2A）=sin（2A）=2sinAcosA=2××=．（2）设AC=BC=m，∵△ABC的面积为8，∴×=，m=3，cosC=，根据余弦定理得出：BD2=m2×=m2=BD=．【点评】本题考查了向量数量积以及正弦定理和余弦定理的运用，在判断三角形形状时，要注意对角的范围进行分析，即求角的大小需要两个条件：该角的一个三角函数值和该角的范围，缺一不可，正、余弦定理是解三解形必用的数学工具17．如图，矩形ABCD中，=λ（λ＞1），将其沿AC翻折，使点D到达点E的位置，且二面角C﹣AB﹣E为直二面角．（1）求证：平面ACE⊥平面BCE；（2）设F是BE的中点，二面角E﹣AC﹣F的平面角的大小为θ，当λ∈[2，3]时，求cosθ的取值范围．【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥BC，BC⊥AE，从而AE⊥平面BCE，由此能证明平面ACE⊥平面BCE．（Ⅱ）以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ的取值范围．【解答】（本题15分）证明：（Ⅰ）∵二面角C﹣AB﹣E为直二面角，AB⊥BC，∴BC⊥AE平面，∴BC⊥AE…（2分）∵AE⊥CE，BC∩CE=C，∴AE⊥平面BCE…（4分）∵AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面BCE…（6分）解：（Ⅱ）如图，以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度，建立如图空间直角坐标系，则AB=λ…（8分）则设平面EAC的法向量为则，取x=1，则…（10分）同理设平面FAC的法向量为…（12分）∴…（14分）∵…（15分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象过点（1，0）．（1）记函数f（x）在[0，2]上的最大值为M，若M≤1，求a的最大值；（2）若对任意的x1∈[0，2]，存在x2∈[0，2]，使得f（x1）+f（x2）＞a，求的取值范围．【分析】（1）方法一：由f（x）是开口向上的抛物线，可得：M=max{f（0），f（2）}，即，两式相加可得a的最大值；方法二：=，结合M≤1，可得a的最大值（2）存在，使，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）∵f（x）过点（1，0），∴f（1）=a+b+c=0，…（1分）∴c=﹣a﹣b，f（x）=ax2+bx﹣a﹣b∵f（x）是开口向上的抛物线，∴M=max{f（0），f（2）}…（3分）∴…（5分）两式相加得a≤1，即a的最大值为1…（6分）解法二：由解得：=≤=1 …（6分）（2）由题意，存在，使，∴…（8分）∵a+b+c=0∴f（x）=ax2+bx﹣a﹣b其对称轴为①当，即时，f（x）在[0，2]上单调递增，∴∴＞0均符合题意…（10分）②当，即时，f（x）在[0，]上递减，在[，2]上递增且f（0）＜f（2），∴∴由得：，符合题意…（12分）③当，即时，f（x）在[0，]上递减，在[，2]上递增且f（0）≥f（2），∴由得：∴符合题意…（13分）④当即时，f（x）在[0，2]上单调递减，∴，∴均符合题意…（14分）综上所述：∴或…（15分）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，焦距为2，设点P（a，b）满足△PF1F2是等腰三角形．（1）求该椭圆方程；（2）过x轴上的一点M（m，0）作一条斜率为k的直线l，与椭圆交于点A，B两点，问是否存在常数k，使得|MA|2+|MB|2的值与m无关？若存在，求出这个k的值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据题意，有，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）联立方程组，得：（3+4k2）x2﹣8k2mx+4m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件推导出|MA|2+|MB|2=7与m无关符合题意．【解答】（本题15分）解：（Ⅰ）∵椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，焦距为2，设点P（a，b）满足△PF1F2是等腰三角形，∴根据题意，有…（4分）解得：，故所求椭圆方程为．…（6分）（Ⅱ）联立方程：，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2mx+4m2﹣12=0在△＞0的情况下有：…（9分）令﹣24k2+18=0，得，即…（13分）此时|MA|2+|MB|2=7与m无关符合题意，…（15分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．20．设正项数列{a n}满足：a1=1，且对任意的n，m∈N+，n＞m，均有a2n+m a2n=n2﹣m2﹣m成立．（1）求a2，a3的值，并求{a n}的通项公式；+a2n+1与2a2n的大小；（2）（ⅰ）比较a2n﹣1（ⅱ）证明：a2+a4+…+a2n＞．【分析】（1）先令m=1，求得a3，n=m+2，求得a2，分类讨论n为奇数或偶数，分别求得通项公式，+a2n+1与2a2n的通项公式，化简、比较大小，采用分析法，写出所以偶数项和奇（2）a2n﹣1数项整理即可．【解答】解：（1）令m=1，得，从而，所以，令n=m+2，得从而，，又=，∴，，从而，∴当n为偶数时，；令n=m+1，，可知当n为奇数时，综上可得（n∈N+）．+a2n+1﹣2a2n（2）（i）a2n﹣1==＜0，+a2n+1＜2a2n所以a2n﹣1（ii）即证明由（i）得，，…，将上述的n个式子相加，得所以，所以，只需证，事实上，当k=0，1，2，…，n时，+﹣1﹣=﹣≥0，（∵，1），∴从而。

高考数学二模试题卷(理科)-Word版含解析

高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，1，4}，B={y|y=log2|x|+1，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3，4} B．{﹣1，1，3}C．{1，3}D．{1}2．已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则|z|为（）A．B．1 C．D．3．已知，均为单位向量，它们的夹角为，则|+|=（）A．1 B．C．D．24．四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有（）A．10种B．14种C．20种D．24种5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3 B．C．D．6．在等差数列{a n}中，2a7=a9+7，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．21 B．35 C．63 D．1267．设F1，F2是双曲线的两个焦点，若点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，|PF1|•|PF2|=2，则b=（）A．1 B．2 C．D．8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F，H分别是棱PA，PB，AD的中点，且过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为，则四棱锥P﹣ABCD的体积为（）A．B．8 C．D．9．有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序①②③④，再由①号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的①号淘汰，不再参与分配，接下来由②号提出分配方案，三人表决…，依此类推．假设：1．四人都守信用，愿赌服输；2．提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3．四人都会最大限度争取个人利益．易知若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0）．问①号的最佳分配方案是（）A．（4，2，2，2） B．（9，0，1，0） C．（8，0，1，1） D．（7，0，1，2）10．某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．24π11．已知数列{αn}的前n项和s n=3n（λ﹣n）﹣6，若数列{a n}单调递减，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，4）D．（﹣∞，5）12．如图是f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象，下列说法错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期是B．函数g（x）=x的图象可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．函数f（x）图象的一个对称中心是（﹣，0）D．函数f（x）的一个递减区间是（5，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的展开式中各项系数的和为256，则该展开式的二项式系数的最大值为．14．已知实数x，y满足，则x+3y的最大值为．15．AB是圆C：x2+（y﹣1）2=1的直径，P是椭圆E：上的一点，则的取值范围是．16．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则﹣的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知且c＜b．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若b=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．18．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，侧面ABB1A1⊥底面ABC，D是BC的中点，∠BAA1=120o，B1D⊥AB．（Ⅰ）求证：AC⊥面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．19．（12分）某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下：甲乙8998993899201042111010（Ⅰ）现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙厂家的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．20．（12分）如图抛物线C：y2=4x的弦AB的中点P（2，t）（t≠0），过点P且与AB垂直的直线l与抛物线交于C、D，与x轴交于Q．（Ⅰ）求点Q的坐标；（Ⅱ）当以CD为直径的圆过A，B时，求直线l的方程．21．（12分）已知函数，，其中a≥1．（Ⅰ）f（x）在（0，2）上的值域为（s，t），求a的取值范围；（Ⅱ）若a≥3，对于区间[2，3]上的任意两个不相等的实数x1、x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l1：，射线与曲线C的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|kx﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≤3的解集为[﹣2，1]，求实数k的值；（Ⅱ）当k=1时，若对任意x∈R，不等式f（x+2）﹣f（2x+1）≤3﹣2m都成立，求实数m的取值范围．2017年湖南省永州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，1，4}，B={y|y=log2|x|+1，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3，4}B．{﹣1，1，3}C．{1，3}D．{1}【考点】交集及其运算．【分析】分别让x取﹣1，1，4，然后求出对应的y，从而得出集合B，然后进行交集运算即可．【解答】解：x=﹣1，或1时，y=1；x=4时，y=3；∴B={1，3}；∴A∩B={1}．故选D．【点评】考查列举法、描述法表示集合的概念，元素与集合的关系，对数式的运算，以及交集的运算．2．已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则|z|为（）A．B．1 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：（1+i）z=（1﹣i）2，∴（1﹣i）（1+i）z=﹣2i（1﹣i），2z=﹣2﹣2i，即z=1﹣i．则|z|==．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知，均为单位向量，它们的夹角为，则|+|=（）A．1 B．C．D．2【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的几何表示．【分析】根据|+|2=，而，均为单位向量，它们的夹角为，再结合向量数量积的公式可得答案．【解答】解：由题意可得：|+|2=，∵，均为单位向量，它们的夹角为，∴|+|2==1+1+2×1×1×cos=3，∴|+|=，故选C．【点评】本题主要考查向量模的计算公式与向量数量积的公式，解决此类问题的关键是熟练记忆公式并且细心认真的运算即可得到全分．属于基础题．4．四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有（）A．10种 B．14种 C．20种 D．24种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，假设2个单位为甲单位和乙单位，按照分配在甲单位的人数分3种情况讨论：即①、甲单位1人而乙单位3人，②、甲乙单位各2人，③、甲单位3人而乙单位1人，由组合数公式求出每一种情况的分配方法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，假设2个单位为甲单位和乙单位，分3种情况讨论：①、甲单位1人而乙单位3人，在4人中任选1个安排在甲单位，剩余3人安排在甲乙单位即可，有C41=4种安排方法；②、甲乙单位各2人，在4人中任选2个安排在甲单位，剩余2人安排在甲乙单位即可，有C42=6种安排方法；③、甲单位3人而乙单位1人，在4人中任选3个安排在甲单位，剩余1人安排在甲乙单位即可，有C43=4种安排方法；则一共有4+6+4=14种分配方案；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意根据题意进行分类讨论时，一定要做到不重不漏．5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3 B．C．D．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x y z 是否继续循环循环前 1 1 0第一圈 1 3 7 是第二圈 3 7 17 否则输出的结果为．故选C【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．6．在等差数列{a n}中，2a7=a9+7，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．21 B．35 C．63 D．126【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知得a1+4d=a5=7，从而利用数列{a n}的前9项和S9=，能求出结果．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，2a7=a9+7，∴2（a1+6d）=a1+8d+7，∴a1+4d=a5=7，∴数列{a n}的前9项和S9==63．故选：C．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．7．设F1，F2是双曲线的两个焦点，若点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，|PF1|•|PF2|=2，则b=（）A．1 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，则mn=2，m2+n2=4c2，|m﹣n|=2a，由此，即可求出b．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则mn=2，m2+n2=4c2，|m﹣n|=2a，∴4c2﹣4a2=2mn=4，∴b2=c2﹣a2=1，∴b=1，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查勾股定理的运用，属于中档题．8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F，H分别是棱PA，PB，AD的中点，且过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为，则四棱锥P﹣ABCD的体积为（）A．B．8 C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】取BC中点M，连结FM，HM，推导出平面EFMH是过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，设PA=AB=a，则S梯形EFMH==，求出a=2，由此能求出四棱锥P﹣ABCD 的体积．【解答】解：取BC中点M，连结FM，HM，∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F，H分别是棱PA，PB，AD的中点，∴EF∥AB∥MH，∴EF⊥EH，MH⊥EH，平面EFMH是过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，设PA=AB=a，∵过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为，∴S梯形EFMH===，解得a=2，∴四棱锥P﹣ABCD的体积V===．故选：A．【点评】本题考查柱、锥、台体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．9．有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序①②③④，再由①号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的①号淘汰，不再参与分配，接下来由②号提出分配方案，三人表决…，依此类推．假设：1．四人都守信用，愿赌服输；2．提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3．四人都会最大限度争取个人利益．易知若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0）．问①号的最佳分配方案是（）A．（4，2，2，2）B．（9，0，1，0）C．（8，0，1，1）D．（7，0，1，2）【考点】进行简单的合情推理．【分析】若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0），可得结论．【解答】解：根据若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0），可知①号的最佳分配方案是（9，0，1，0），故选B．【点评】本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．24π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何底是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何底是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面两直角边长分别为2，2，故斜边长为2，过斜边的侧面与底面垂直，且为高为3的等腰三角形，设其外接球的半径为R，则，解得：R=2，故它的外接球表面积S=4πR2=16π，故选：B【点评】本题考查的知识点是球的表面积和体积，球内接多面体，空间几何体的三视图，难度中档．11．已知数列{αn}的前n项和s n=3n（λ﹣n）﹣6，若数列{a n}单调递减，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，4）D．（﹣∞，5）【考点】数列的函数特性．【分析】由已知求出a n利用为单调递减数列，可得a n＞a n+1，化简解出即可得出【解答】解：∵s n=3n（λ﹣n）﹣6，①∴s n﹣1=3n﹣1（λ﹣n+1）﹣6，n＞1，②①﹣②得数列a n=3n﹣1（2λ﹣2n﹣1）（n＞1，n∈N*）为单调递减数列，∴a n＞a n+1，且a1＞a2∴﹣3n﹣1（2λ﹣2n﹣1）＞3n（2λ﹣2n﹣3），且λ＜2化为λ＜n+，（n＞1），且λ＜2，∴λ＜2，∴λ的取值范围是（﹣∞，2）．故选：A．【点评】本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力．12．如图是f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象，下列说法错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期是B．函数g（x）=x的图象可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．函数f（x）图象的一个对称中心是（﹣，0）D．函数f（x）的一个递减区间是（5，）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象过（0，1），（2，0）求出ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；根据函数解析式之间的关系判断各选项即可得结论．【解答】解：根据图象可知，f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的图象过（0，1），（2，0）可得：f（0）=cos（φ）=1，解得：φ=+2kπ或φ=﹣+2kπ，（k∈Z）f（2）=cos（2ω+）=0，解得ω=+kπ或ω=+kπ．当k=﹣1时，|ω|为：，周期T==．故A对．此时可得f（x）=cos（）．函数g（x）=x的图象图象向右平移个单位可得：=cos（）．故B对．当x=﹣时，函数f（）=cos（）．==1，故C不对．由f（x）=cos（）=cos（）．令0+2kπ≤）≤π+2kπ，可得：，（k∈Z）当k=2时，可得是单调递减．故D对．故选C．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的展开式中各项系数的和为256，则该展开式的二项式系数的最大值为6．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：令x=1，则（5﹣1）m=256，解得m=4．该展开式的二项式系数的最大值为．【解答】解：由题意可得：令x=1，则（5﹣1）m=256，解得m=4．该展开式的二项式系数的最大值为=6．故答案为：6．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知实数x，y满足，则x+3y的最大值为10．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+3y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得B（1，3），代入目标函数z=x+3y得z=1+3×3=10故答案为：10．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．15．AB是圆C：x2+（y﹣1）2=1的直径，P是椭圆E：上的一点，则的取值范围是[﹣1，] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由，，得=（）•（===x2+（y﹣1）2﹣1=x2+y2﹣2y=﹣3y2﹣2y+4再结合y的范围即可求出结论【解答】解：设P（x，y），∵，，∴=（）•（===x2+（y﹣1）2﹣1=x2+y2﹣2y=﹣3y2﹣2y+4∵y∈[﹣1，1]，∴﹣3y2﹣2y+4，∴的取值范围是：[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]【点评】本题主要考查椭圆的基本性质，向量数量积的基本运算技巧，选好基底是解决向量问题的基本技巧之一，及二次函数的值域问题，属于中档题，16．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则﹣的取值范围是．【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数的图象，求出x≥0时f（x）的最大值，判断零点的范围，然后推出结果．【解答】解：函数f（x）=，图象如图，函数g（x）=f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，即方程f（x）=t有三个不同的实数根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞0时，f（x）=，因为x+≥2（x＞0），所以f（x），当且仅当x=1时取得最大值．当y=时，x1=﹣2；x2=x3=1，此时﹣=，由=t（0），可得=0，∴x2+x3=，x2x3=1∴+=＞2，∴﹣=t+∵0，∴﹣的取值范围是．故答案为．【点评】本题考查函数的零点个数的判断与应用，基本不等式的应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•永州二模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知且c＜b．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若b=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化，即可求出sinC的值，从而求出C；（Ⅱ）根据图形设BC=x，利用余弦定理求出x的值，再求出AB的值，利用正弦定理求出sinA，再计算△ACD的面积．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，，由正弦定理得，，∴，又c＜b，∴；…（6分）（Ⅱ）如图所示，设BC=x，则AB=5﹣x，在△ABC中，由余弦定理得，求得，即，所以，…（8分）在△ABC中，由正弦定理得，∴，…（10分）∴△ACD的面积为=．…（12分）【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．18．（12分）（2017•永州二模）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，侧面ABB1A1⊥底面ABC，D是BC的中点，∠BAA1=120o，B1D⊥AB．（Ⅰ）求证：AC⊥面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AB中点O，连接OD，B1O，推导出B1O⊥AB，B1D⊥AB，从而AB⊥面B1OD，进而AB⊥OD，再求出AC⊥AB，由此能证明AC⊥面ABB1A1．（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB、OD、OB1方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取AB中点O，连接OD，B1O，△B1BO中，AB=2，B1B=2，∠B1BA=60°，故△AB1B是等边三角形，∴B1O⊥AB，又B1D⊥AB，而B1O与B1D相交于B1，∴AB⊥面B1OD，故AB⊥OD，又OD∥AC，所以AC⊥AB，又∵侧面ABB1A1⊥底面ABC于AB，AC在底面ABC内，∴AC⊥面ABB1A1．…（6分）解：（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB、OD、OB1方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，C（﹣1，2，0），A（﹣1，0，0），D（0，1，0），B（1，0，0），B1（0，0，），∴，，，，设面ADC1的法向量为，依题意有：，令x=1，则y=﹣1，，∴，…（9分）又面ADC的法向量为，…（10分）∴，∴二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2017•永州二模）某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下：甲乙8 9 9 8 9 9 3 8 9 92 0 1 0 4 2 1 1 1 0 1 0（Ⅰ）现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙厂家的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出这两天的销售量都大于40的概率．（Ⅱ）（ⅰ）设乙产品的日销售量为a，推导出X的所有可能取值为：152，156，160，166，172，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（ⅱ）求出甲厂家的日平均销售量，从而得到甲厂家的日平均返利，由（ⅰ）得乙厂家的日平均返利额，由此推荐该商场选择乙厂家长期销售．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A，则．…（4分）（Ⅱ）（ⅰ）设乙产品的日销售量为a，则当a=38时，X=38×4=152；当a=39时，X=39×4=156；当a=40时，X=40×4=160；当a=41时，X=40×4+1×6=166；当a=42时，X=40×4+2×6=172；∴X的所有可能取值为：152，156，160，166，172，∴X的分布列为X 152 156 160 166 172p∴．…（9分）（ⅱ）依题意，甲厂家的日平均销售量为：38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5，∴甲厂家的日平均返利额为：70+39.5×2=149元，由（ⅰ）得乙厂家的日平均返利额为162元（＞149元），∴推荐该商场选择乙厂家长期销售．…（12分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．20．（12分）（2017•永州二模）如图抛物线C：y2=4x的弦AB的中点P（2，t）（t≠0），过点P且与AB垂直的直线l与抛物线交于C、D，与x轴交于Q．（Ⅰ）求点Q的坐标；（Ⅱ）当以CD为直径的圆过A，B时，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设AB直线方程，与抛物线C：y2=4x联立，利用韦达定理，求出直线l的方程，即可求点Q的坐标；（Ⅱ）（方法一）A，B，C，D四点共圆，有，即可求直线l的方程．（方法二）利用参数方程求．【解答】解：（Ⅰ）易知AB不与x轴垂直，设AB直线方程为：y=k（x﹣2）+t，与抛物线C：y2=4x联立，消去y得：k2x2+（2tk﹣4k2﹣4）x+（t﹣2k）2=0，∴△=（4k2+4﹣2tk）2﹣4k2×（t﹣2k）2＞0（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程两根，∴x1+x2=，即tk=2，代入（i）中，求得且t≠0，∴直线l的方程为：y﹣t=（x﹣2），令y=0，得x=4，知定点坐标为（4，0）；…（Ⅱ）（方法一）|AB|===，…（7分）CD直线：，与抛物线y2=4x联立，消去y得：t2x2﹣（8t2+16）x+16t2=0，设C（x3，y3），D（x4，y4），∴x3+x4=，x3x4=16，…（8分）设CD的中点为M（x0，y0），∴x0=，y0=，|PM|=，∴|CD|====，∴A，B，C，D四点共圆，有，代入并整理得t4﹣12t2+32=0，求得t2=4或t2=8（舍去），t=±2．∴直线l的方程为y=x﹣4或y=﹣x+4．…（12分）（方法二）利用参数方程求：设AB直线的参数方程为：，代入抛物线C：y2=4x得，sin2θm2+2sinθmt﹣4cosθm+t2﹣8=0，，，则直线CD的参数方程为：，或有，，sin2β=cos2θ，依题意有：|PA|•|PB|=|PC|•|PD|，sin2θ=cos2θ，则有或，∴直线l的方程为y=x﹣4或y=﹣x+4．…（12分）【点评】本题考查直线过定点，考查直线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）（2017•永州二模）已知函数，，其中a ≥1．（Ⅰ）f（x）在（0，2）上的值域为（s，t），求a的取值范围；（Ⅱ）若a≥3，对于区间[2，3]上的任意两个不相等的实数x1、x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）f′（x）=x2﹣（a+1）x+a，令f′（x）=0得x1=1，x2=a，由题意函数f（x）在区间（0，2）无最值，知f（x）在（0，2）上要么有两个极值点或者没有极值点，即可求a的取值范围；（Ⅱ）不妨设2≤x1＜x2≤3，由（Ⅰ）知：当a≥3时，f（x）在区间[2，3]上恒单调递减，有|f（x1）﹣f（x2）|=f（x1）﹣f（x2），分类讨论，构造函数，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2﹣（a+1）x+a，令f′（x）=0得x1=1，x2=a，…（1分）依题意函数f（x）在区间（0，2）无最值，知f（x）在（0，2）上要么有两个极值点或者没有极值点，知1≤a＜2，…（3分），，f（0）=﹣1，，（i）若a=1，函数f（x）在区间（0，2）上恒单调递增，显然符合题意；…（4分）（ii）若1＜a＜2时，有，即，，得；综上有．…（6分）（Ⅱ）不妨设2≤x1＜x2≤3，由（Ⅰ）知：当a≥3时，f（x）在区间[2，3]上恒单调递减，有|f（x1）﹣f（x2）|=f（x1）﹣f（x2），…（7分）（i）若3≤a≤4时，在区间[2，3]上恒单调递减，|g（x1）﹣g（x2）|=g（x1）﹣g （x2），则|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|等价于f（x1）﹣g（x1）＞f（x2）﹣g（x2），令函数F（x）=f（x）﹣g（x），由F（x1）＞F（x2）知F（x）在区间[2，3]上单调递减，F′（x）=x2﹣（a+1）x+a﹣（a﹣4）x=x2﹣（2a ﹣3）x+a，当a≥3时，x2﹣（2a﹣3）x+a≤0，即，求得；…（10分）（ii）若a＞4时，单调递增，|g（x1）﹣g（x2）|=g（x2）﹣g（x1），则|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|等价于f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），令函数G（x）=f（x）+g（x），由G（x1）＞G（x2）知G（x）在区间[2，3]上单调递减，有G′（x）=x2﹣（a+1）x+a+（a﹣4）x=x2﹣5x+a≤0，故当2≤x≤3时，x2﹣5x+a≤0，即，求得4＜a≤6，由（i）（ii）得．…（12分）【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，有难度．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）（2017•永州二模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l1：，射线与曲线C的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）把参数方程消去参数，可得曲线C的普通方程，再根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C 的极坐标方程．（Ⅱ）利用极坐标方程求得P、Q的坐标，可得线段PQ的长．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为：，普通方程为（x﹣1）2+y2=7，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，可得曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣6=0；（Ⅱ）设P（ρ1，θ1），则有，解得ρ1=3，θ1=，即P（3，）．设Q（ρ2，θ2），则有，解得ρ2=1，θ2=，即Q（1，），所以|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．【点评】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程的应用以及极坐标的意义，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．（2017•永州二模）已知函数f（x）=|kx﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≤3的解集为[﹣2，1]，求实数k的值；（Ⅱ）当k=1时，若对任意x∈R，不等式f（x+2）﹣f（2x+1）≤3﹣2m都成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通过讨论k的范围，求出不等式的解集，从而求出k的值即可；（Ⅱ）令h（x）=f（x+2）﹣f（2x+1），根据h（x）的单调性求出h（x）的最大值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）显然k≠0，k＞0时，f（x）≤3的解集是[﹣，]，∴﹣=﹣2且=1，但k无解，k＜0时，f（x）≤3的解集是[，﹣]，∴=﹣2且﹣=1，解得：k=﹣2，综上，k=﹣2；（Ⅱ）k=1时，令h（x）=f（x+2）﹣f（2x+1）=，由此可得，h（x）在（﹣∞，0]上递增，在[0，+∞）递减，∴x=0时，h（x）取最大值1，由题意得：1≤3﹣2m，解得：m的范围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查了解不等式问题，考查函数的单调性以及分类讨论思想，是一道中档题．。

2020年北京市海淀区高考数学二模试卷(理科)含答案解析

2020年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则∁U（M∪P）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2}2．数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，则a3的值为（）A．5 B．6 C．7 D．83．若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣14．在△ABC中，cosA=，cosB=，则sin（A﹣B）=（）A．﹣B．C．﹣D．5．在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（）A．[6，4+4]B．[4，8]C．[4，8]D．[6，12]8．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=．10．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为．11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E．若∠BAC=80°，则∠BED=．12．若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是．13．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的最小值为．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值．16．某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周A型数量（台）11 10 15 A4A5B型数量（台）10 12 13 B4B5C型数量（台）15 8 12 C4C5（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C 型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；（注：方差s2= [x1﹣）2+（x）2+…+（x n﹣）2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望．17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．18．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）19．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1＜x2）是曲线y2=4x（y≥0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；（Ⅱ）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：＜．20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，x i，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n ≥3．∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈Ωn，称x i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．2020年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则∁U（M∪P）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出M∪P，从而求出其补集即可．【解答】解：M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，∴M∪P={x|x≤1或x≥2}，∁U（M∪P）={x|1＜x＜2}，故选：A．2．数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，则a3的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】数列递推式．【分析】由题意可得a n+1=a n，分别代值计算即可．【解答】解：数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，∴a n+1=a n，∴a2=a1=2×2=4，∴a3=×a2=×4=6，故选：B．3．若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【考点】参数方程化成普通方程．【分析】由题意可得：，解得a即可得出．【解答】解：∵，解得a=﹣1．故选：D．4．在△ABC中，cosA=，cosB=，则sin（A﹣B）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角三角函数得到sinA，sinB的值；然后将其代入两角和与差的正弦函数中求值即可．【解答】解：∵0＜A＜π，0＜B＜π，cosA=，cosB=，∴sinA=，sinB=，∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．故选：B．5．在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】二项式系数的性质．【分析】通过二项式定理，写出（x+a）5（其中a≠0）的展开式中通项T k+1=x5﹣k a k，利用x2的系数与x3的系数相同可得到关于a的方程，进而计算可得结论．【解答】解：在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，通项T k+1=x5﹣k a k，∵x2的系数与x3的系数相同，∴a3=a2，又∵a≠0，∴a=1，故选：C．6．函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用导数求出函数的最大值，即可判断出零点的个数．【解答】解：f′（x）=﹣1=，∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=0﹣1+1=0，因此函数f（x）有且仅有一个零点1．故选：A．7．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（）A．[6，4+4]B．[4，8]C．[4，8]D．[6，12]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可过D作AB的垂线，且垂足为E，这样可分别以EB，ED为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件即可求出A，B，D的坐标，从而可以得出直线AD的方程为，从而可设，且﹣2≤x≤0，从而可以求出向量的坐标，从而得出，而配方即可求出函数y=16（x2+2x+4）在[﹣2，0]上的值域，即得出的取值范围，从而得出的取值范围．【解答】解：如图，过D作AB的垂线，垂足为E，分别以EB，ED为x，y轴，建立平面直角坐标系；根据条件可得，AE=2，EB=6，DE=；∴；∴直线AD方程为：；∴设，（﹣2≤x≤0）；∴，；∴；∴=16（x2+2x+4）=16（x+1）2+48；∵﹣2≤x≤0；∴48≤16（x+1）2+48≤64；即；∴；∴的范围为．故选：C．8．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】直线与圆的位置关系．【分析】①当a≥1时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论①正确；②当a≥1时，反证法可得结论②错误；③由三角形的面积公式可得S△COD=sin∠AOC≤，可得结论③正确．【解答】解：①当a≥1时，把x=0代入直线方程可得y=a，把y=0代入直线方程可得x=，∴S△AOB=×a×=，故结论①正确；②当a≥1时，|AB|=，故|AB|2=a2+，直线l可化为a2x+y﹣a=0，圆心O到l的距离d===，故|CD|2=4（1﹣d2）=4[1﹣（a2+）]，假设|AB|＜|CD|，则|AB|2＜|CD|2，即a2+＜4（1﹣），整理可得（a2+）2﹣4（a2+）+4＜0，即（a2+﹣2）2＜0，显然矛盾，故结论②错误；S△COD=|OA||OC|sin∠AOC=sin∠AOC≤，故∃a≥1，使得S△COD＜，结论③正确．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的代数运算性质，求出a的值即可．【解答】解：∵=1﹣i，∴a+i=∴a=﹣i=﹣i=1．故答案为：1．10．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为58．【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距，求出在6﹣10小时外的频率；利用频率和为1，求出在6﹣10小时内的频率；利用频数等于频率乘以样本容量，求出这100名同学中学习时间在6﹣10小时内的同学的人数．【解答】解：由频率分布直方图知：（0.04+0.12+a+b+0.05）×2=1，∴a+b=0.29，∴参加实践活动时间在6﹣10小时内的频率为0.29×2=0.58，∴这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为100×0.58=58．故答案为：5811．如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E．若∠BAC=80°，则∠BED=60°．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由弦切角定理可得∠EBC=∠A，再由圆的圆周角定理，可得∠BCE=∠A，在△BCE中，运用三角形的内角和定理，计算即可得到所求值．【解答】解：由BE为圆的切线，由弦切角定理可得∠EBC=∠A=80°，由D是劣弧的中点，可得∠BCE=∠A=40°，在△BCE中，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠BCE=180°﹣80°﹣40°=60°．故答案为：60°．12．若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是[，1]．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由点到直线的距离公式求出原点O到直线ax+by﹣1=0的距离为，结合的几何意义得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，原点O到直线ax+by﹣1=0的距离为，由图可知的最小值为|OA|=1，最大值为|OB|=2，∴原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是[，1]．故答案为：[，1]．13．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的最小值为4．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，从而得出结论．【解答】解：①若只有A、B两点在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=1，sinω•≠0，则，即，求得ω无解．②若只有点A（，），C（，0）在函数f（x）=sin（ωx）的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=0，sin（ω•）≠1，故有，即，求得ω的最小值为4．③若只有点B（，1）、C（，0）在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sinω•≠，sinω=1，sinω=0，故有，即，求得ω的最小正值为10，综上可得，ω的最小正值为4，故答案为：4．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．【解答】解：连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE A1C，QF A1C，RG A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h=PE=A1C=．故答案为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）将f（），f（）求出大小后比较即可．（2）将f（x）化简，由此得到最大值．【解答】解：（1）f（）=﹣，f（）=﹣，∵﹣＞﹣，∴f（）＞f（），（2）∵f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．=﹣2sinx﹣1+2sin2x，=2（sinx﹣）2﹣，∴函数f（x）的最大值为3．16．某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周A型数量（台）11 10 15 A4A5B型数量（台）10 12 13 B4B5C型数量（台）15 8 12 C4C5（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C 型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；（注：方差s2= [x1﹣）2+（x）2+…+（x n﹣）2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望．【考点】极差、方差与标准差．【分析】（1）根据平均数公式计算即可，（2）根据方差的定义可得S2= [2（c4﹣）+]，根据二次函数性质求出c4=7或c4=8时，S2取得最小值，（3）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，求出P，列出分布表，求出数学期望．【解答】解：（1）A型空调前三周的平均周销售量=（11+10+15）=12台，（2）因为C型空调平均周销量为10台，所以c4+c5=10×15﹣15﹣8﹣12=15，又S2= [（15﹣10）2+（8﹣10）2+（12﹣10）2+（c4﹣10）2+（c5﹣10）2]，化简得到S2= [2（c4﹣）+]，因为c4∈N，所以c4=7或c4=8时，S2取得最小值，此时C5=8或C5=7，（3）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，P（X=0）=×=，P（X=1）=×+×=，P（X=2）=×=，随机变量的X的分布列，X 0 1 2P随机变量的期望E（X）=0×+1×+2×=．17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结NG，EN，则可证四边形ENGH是平行四边形，于是GH∥EN，于是GH ∥平面DEM；（2）取CD的中点P，连结PH，则可证明PH⊥平面MEF，以H为原点建立坐标系，求出和的坐标，通过计算=0得出EM⊥CN；（3）求出和平面NFC的法向量，则直线GH与平面NFC所成角的正弦值为|cos＜＞|，从而得出所求线面角的大小．【解答】证明：（1）连结NG，EN，∵N，G分别是MD，MC的中点，∴NG∥CD，NG=CD．∵H是EF的中点，EF∥CD，EF=CD，∴EH∥CD，EH=CD，∴NG∥EH，NG=EH，∴四边形ENGH是平行四边形，∴GH∥EN，又GH⊄平面DEM，EN⊂平面DEM，∴GH∥平面DEM．（2）∵ME=EF=MF，∴△MEF是等边三角形，∴MH⊥EF，取CD的中点P，连结PH，则PH∥DE，∵DE⊥ME，DE⊥EF，ME∩EF=E，∴DE⊥平面MEF，∴PH⊥平面MEF．以H为原点，以HM，HF，HP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则E（0，﹣1，0），M（，0，0），C（0，1，2），N（，﹣，1）．∴=（，1，0），=（﹣，，1）．∴=+1×+0×1=0．∴．∴EM⊥NC．（3）F（0，1，0），H（0，0，0），G（，，1），∴=（，，1），=（0，0，2），=（﹣，，1），设平面NFC的法向量为=（x，y，z），则，即．令y=1得=（，1，0），∴cos＜＞==．∴直线GH与平面NFC所成角的正弦值为，∴直线GH与平面NFC所成角为．18．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=1时，f（x）=e x（x2+x+1），求出其导数，利用导数即可解出单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，即x2+ax+a≤e a﹣x，在[a，+∞）上有解，构造两个函数r（x）=x2+ax+a，t（x）=e a﹣x，研究两个函数的在[a，+∞）上的单调性，即可转化出关于a的不等式，从而求得a的范围；（3）由f（x）的导数f′（x）=e x（x+2）（x+a），当a≠﹣2时，函数y=f′（x）的图象与x 轴有两个交点，故f（x）图象上存在两条互相垂直的切线．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=e x（x2+x+1），则f′（x）=e x（x2+3x+2），令f′（x）＞0得x＞﹣1或x＜﹣2；令f′（x）＜0得﹣2＜x＜﹣1．∴函数f（x）的单调增区间（﹣∞，﹣2）与（﹣1，+∞），单调递减区间是（﹣2，﹣1）；（2）f（x）≤e a，即e x（x2+ax+a）≤e a，可变为x2+ax+a≤e a﹣x，令r（x）=x2+ax+a，t（x）=e a﹣x，当a＞0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为负，故r（x）在[a，+∞）上增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤e a﹣x有解，则只须r（a）≤t（a），即2a2+a≤1，解得﹣1≤a≤，故0＜a≤；当a≤0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为正，故r（x）在[a，+∞）上先减后增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤e a﹣x有解，只须r（﹣）≤t（﹣），即﹣+a≤e，当a≤0时，﹣+a≤e显然成立．综上知，a≤即为符合条件的实数a的取值范围；（3）a的取值范围是{a|a≠2，a∈R}．19．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1＜x2）是曲线y2=4x（y≥0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；（Ⅱ）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：＜．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由B的坐标，可得A的坐标，又|BC|=2，可得D的坐标（3，2），运用直线的斜率公式，即可得到所求值；（Ⅱ）法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），运用三角形的面积公式可得S1=|m|，将直线方程和抛物线的方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围；法二：设直线AD的方程为y=kx+m，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式可得三角形的面积S1=|m|，梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由B（1，0），可得A（1，y1），代入y2=4x，得到y1=2，又|BC|=2，则x2﹣x1=2，可得x2=3，代入y2=4x，得到y2=2，则；（Ⅱ）证法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），则．由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，所以，又，又注意到，所以k＞0，m＞0，所以==，因为△=16﹣16km＞0，所以0＜km＜1，所以．证法二：设直线AD的方程为y=kx+m．由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，所以，，点O到直线AD的距离为，所以，又，又注意到，所以k＞0，m＞0，所以，因为△=16﹣16km＞0，所以0＜km＜1，所以．20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，x i，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n ≥3．∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈Ωn，称x i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）根据好子集的定义直接写出Z，W，（2）若S为Ωn的一个好子集，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣x i，…，1﹣x n），进行判断证明即可．（3）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）Z=（1，0，0），W=（1，1，1），…2分（Ⅱ）对于X⊆Ω，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣x i，…，1﹣x n），显然X′∈Ωn，∀X，Y，X′，对于任意的i∈{1，2，…，n}，x i，y i，1﹣x i不可能都为1，可得X，X′不可能都在好子集S中…4分又因为取定X，则X′一定存在且唯一，而且X≠X′，且由X的定义知道，∀X，Y∈Ω，X′=Y′⇔X=Y…6分这样，集合S中元素的个数一定小于或等于集合Ωn中元素个数的一半，而集合Ωn中元素个数为2n，所以S中元素个数不超过2n﹣1；…8分（Ⅲ）∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}，．∀Y={y1，y2，…，y i，…，y n}∈Ωn，定义元素X，Y的乘积为：XY={x1y1，x2y2，…，x i y i，…，x n y n}，显然XY∈Ωn，．我们证明：“对任意的X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈S，都有XY∈S．”假设存在X，Y∈S，使得XY∉S，则由（Ⅱ）知，（XY）′={1﹣x1y1，1﹣x2y2，…，1﹣x i y i，…1﹣x n﹣1y n﹣1，1﹣x n y n}∈S，此时，对于任意的k∈{1，2，…n}，x k，y k，1﹣x k y k不可能同时为1，矛盾，所以XS∈S．因为S中只有2n﹣1个元素，我们记Z={z1，z2，…，z i，…，z n}为S中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道={z1，z2，…，z i，…，z n}∈S，显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设z k=1，根据Z的定义，可以知道S中所有元素的k坐标分量都为1 …11分下面再证明k的唯一性：若还有z t=1，即S中所有元素的t坐标分量都为1，所以此时集合S中元素个数至多为2n﹣2个，矛盾．所以结论成立…13分2020年9月3日。

2020年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)

2020年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设A ={x|x 2−x −2<0}，B ={y|y =3x }，则A ∩B =( )A. (0,+∞)B. (0,2)C. (−1,0)D. (−1,2)2. 欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家，为数学界作出了巨大贡献，其中就有欧拉公式：e ix =cosx +isinx(i 为虚数单位).它建立了三角函数和指数函数间接关系，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，则复数z =3i +√2e π4i 的模为( )A. √3B. √5C. 2√2D. 23. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 34. 曲线y =xe x 在x =1处的切线方程为( )A. ex −y =0B. (1−e)x +y −1=0C. 2ex −y −e =0D. (1+e)x −y −1=05. (1−tan 215°)cos 215°的值等于( )A. 1−√32B. 1C. √32D. 126. 函数y =3tan x2的图象向左平移π3个单位得到的函数的一个对称中心是( )A. (π6,0)B. (2π3,0)C. (−2π3,0) D. (0,0)7. 已知log 2(a +4b)=2log 2(2√ab)，则a +b 的最小值是( )A. 2B. √2+1C. 94D. 528. 甲、乙、丙、丁4人排成一排，要求甲与乙相邻，甲与丙不相邻，则不同的排法种数为( )A. 6B. 8C. 10D. 129. 图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A. (83+2√2)π B. (83+4√2)πC. (4+2√2)πD. (8+4√2)π10. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为N ，过点F 作直线与抛物线交于A ，B 两点，若NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|AF|−|BF|= ( )A. 2B. 3C. 4D. 511. 若曲线C 1：y =x 2与曲线C 2：y =ae x (a >0)至少存在两个交点，则a 的取值范围为( )A. [8e 2,+∞)B. (0,8e 2]C. [4e 2,+∞)D. (0,4e 2]12. 三棱锥A −BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉=π3，则二面角A −BD −C 的大小为( )A. π3B. 2π3C. π3或2π3D. π6或π3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(3,−4)，b ⃗ =(2,3)，则2|a ⃗ |−3a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．14. 将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为． 15. 已知F 是双曲线C ：x 2−y 28=1的右焦点，P 是C 左支上一点，A(0,6√6)，当△APF 周长最小时，点P 的纵坐标为______ ．16. 在△ABC 中，已知A ，B ，C 成等差数列，且b =√3，则sinA+sinB+sinCa+b+c=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列{a n }满足a 1=3，a 4+a 5+a 6=45．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)求数列{1a n a n+1}的前n 项和T n ．18. 如图，在三棱柱A 1B 1C 1−ABC 中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB =AC =2，AA 1=4，点D是BC 的中点．(1)求证：AD ⊥C 1D ；(2)求平面ADC 1与平面ABB 1A 1所成二面角的正弦值．19. 作斜率为13的直线l 与椭圆C ：x 236+y 24=1交于A ，B 两点(如图所示)，且P(3√2,√2)在直线l 的左上方．(1)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上； (2)若∠APB =60°，求△PAB 的面积．20.为了适应市场的变化，某企业准备投产一批特殊型号的新产品，已知该种产品的成本C与产量−3q2+20q+10(q>0)，该种产品的市场前景通过调研分析有如下结q的函数关系式为C=q33果：设L1，L2，L3分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量ξq表示当产量为q而市场前景无法确定时的利润．(1)分别求利润L1，L2，L3关于产量q的函数；(2)当产量q确定时，求期望Eξq；(3)试问产量q取何值时，Eξq取得最大值．21.已知函数f(x)=e x−ex(e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明：x1+x2<2．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =costy =sin 2t (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−acosθ)=12(a ∈R)． (1)写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程； (2)若直线C 2与曲线C 1有两个不同交点，求a 的取值范围．23. 已知函数f(x)=|x −1|+|2x +4|，f(x)≤M +3的解集为{x|−4≤x ≤2}。

2020届全国高考复习理科数学综合检测二(全国卷)(解析版)

2021届高考复习综合检测二（全国卷）数学（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3 ．本次考试时间120 分钟，满分150 分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷（选择题共60 分）一、选择题（本题共12小题，每小题 5 分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝｛x|x2－x－2>0｝，B＝｛x|log2x≤2｝，则A∩B等于（）A．（－∞，－1）∪ （0，＋∞ ）B．（2,4]C．（0,2）D．（－1,4]2－i2．复数z＝－对应的点在复平面内位于（）1＋iA．第一象限C．第三象限 3.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.32 16 8 164．在△ ABC 中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝2 3sin B，则 A 等于（）5．（2019 ·河南省郑州市第一中学适应性考试）已知函数 f （x）是定义在R 上的偶函数，且 f （0）B．第二象限D．第四象限A.π 2π 5 πB.3C. 3D. 6＝0，当x<0时， f (x)单调递增．若实数 a 满足 f (3－|a ＋1|)>f9．抛物线 y 2＝2px(p>0)的焦点为 F ，已知点 A 和 B 分别为抛物线上的两个动点．＝120°，过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ，垂足为 N ，则 |MN|的最大值为 ( ) |AB |A. 3 B ． 1 C.233 D. 3333，则 a 的取值范围是 ( ) 3A.32，B. －∞，－3∪ －1，＋∞22C.4， 3，D. －∞，4∪ －2，＋∞336．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A.6＋6π 368＋ 2π 3 C.69＋2π 3 D. 67．已知函数 f (x)＝ Acos(ωx ＋ φ) πA>0， ω>0， |φ|<2 的图象如图所示，若函数h(x)＝f (x)＋1的2 π π 4 πA. 3B.2C. 3 D ． π8． (2019 ·上海市吴淞中学期末 a －x 2)函数 f (x)＝|x ＋a 1－|－x1为奇函数的充要条件是 (A ． 0<a<1B ． a>1C ． 0<a ≤1D ．a ≥1且满足∠ AFB则两个不同零点分别为 x 1， x ，|lg|x －1|| x ≠1 ，10．(2019 ·上海市曹杨中学期末 )设定义域为 R 的函数 f (x)＝则关于 x 的方0 x ＝ 1 ，程 f 2(x)＋ bf (x)＋c ＝0有 7个不同实数根的充要条件是 ( )数 t 的取值范围是 ( )A ． (－∞， 2) C ．(－∞， 3)第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)、填空题 (本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在题中横线上 )13．已知定义在 R 上的奇函数，当 x>0时， f (x)＝log 2x －3x ，则 f (－1)＝ ________ . 14．若 (x －1)5－2x 4＝a 0＋ a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋ a 3(x －2)3＋a 4(x － 2)4＋a 5(x －2)5，则 a 2＝15．设 f ′(x)和g ′(x)分别是 f (x)和g(x)的导函数，若 f ′(x) ·g ′(x)<0在区间 I 上恒成立，则1称 f (x)和 g(x)在区间 I 上单调性相反．若函数 f (x)＝3x 3－2ax(a ∈R)与 g(x)＝x 2＋2bx(b ∈ R)在3区间 (a ，b)上单调性相反 (a>0) ，则 b － a 的最大值为 ______ ．16．已知圆 O ：x 2＋y 2＝1 与 x 轴负半轴的交点为 A ， P 为直线 3x ＋4y － a ＝0 上一点，过 P作圆 O 的切线，切点为 T ，若|PA|＝2|PT|，则 a 的最大值为 ______ ．三、解答题 (本题共 6 小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(12 分)在锐角△ ABC 中， a ，b ，c 为内角 A ，B ，C 的对边，且满足 (2c －a)cos B － bcos A ＝0.(1)求角 B 的大小；(2)已知 c ＝ 2，AC 边上的高 BD ＝3 721，求△ ABC 的面积 S 的值．A ． b<0 且 c>0C ．b<0 且 c ＝ 0B ． b<0 且 c<0D ． b ≥ 0 且 c 11．(2020 ·哈尔滨市师范大学附属中学月考)已知 O 为△ ABC 的外接圆的圆心，且 3O →A ＋ 4O →B ＝－ 5OC ，则 C 的值为 ( )πA.4πD.1212．已知函数 f (x)＝ln x ＋ x － t 2t ∈R ，若对任意的 x ∈[1,2] ，f (x)>－x ·f ′(x)恒成立，则实B. －∞， 32D. －∞，18．(12 分)如图，在长方体ABCD －A1B1C1D 1 中，AA1＝1，底面ABCD 的周长4，E 为BA1 为的中点．(2)当长方体ABCD－A1B1C1D1的体积最大时，求直线BA1 与平面A1CD 所成的角θ.在椭圆 C 1 上．(1)求椭圆 C 1 的方程；(2)设 P 为椭圆 C 2上一点，过点 P 作直线交椭圆 C 1于 A ，C 两点，且 P 恰为弦 AC 的中点，则当点 P 变化时，试问△ AOC 的面积是否为常数，若是，求出此常数，若不是，请说明理由．20．(12 分 )当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．目前，国家教育主管部门正在研制的《新时代全面加强和改进学校体育美育工作意见》，以及将出台的加强劳动教育指导意见和劳动教育指导大纲，无疑将对体美劳教育提出刚性要求．为激发学生加强体育活动，保证学生健康成长，某校开展了校级排球比赛，现有甲乙两人进行比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 8 局时停止．设甲在每局中获1胜的概率为 p p>12 ，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为19.(12 分 )已知椭圆 C 1： 22 a x 2＋b y 2＝1(a>b>0)和椭圆C 2：x 2＋y 2＝1 的离心率相同，且点 ( 2，1)5.9.(1)求p 的值；(2)设X 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X 的分布列和均值E(X)．1－xx 121.(12分)函数 f (x)＝ln x＋(a∈R且a≠0)，g(x)＝(b－1)x－xe x－(b∈R)．ax x(1)讨论函数 f (x)的单调性；(2)当a＝1时，若关于x的不等式 f (x)＋g(x)≤－2恒成立，求实数b的取值范围．请在第22～23 题中任选一题作答．22．(10分)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标4cos θx＝2＋tcos α，系，已知曲线 C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ2，直线l 的参数方程是(t 为参1－cos2θy＝2＋tsin α数，0≤ α<π．)(1)求曲线 C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线 C 交于A，B 两点，且线段AB 的中点为M (2,2)，求α.23．(10分)已知函数 f (x)＝m－|x＋4|(m>0) ，且 f (x－2)≥0的解集为［－3，－1］．(1)求m 的值；1 1 1(2)若a，b，c 都是正实数，且a＋2b＋3c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.答案精析1．B [∵集合 A ＝ {x|x 2－x － 2>0} ＝{ x|x<－ 1或 x>2}， B ＝{x|log 2x ≤ 2} ＝ { x|0<x ≤ 4} ，∴A ∩B ＝{x|2<x ≤4}＝（2,4]．]2－i2－ i 1－ i1－ 3i 1 3i2．D [z ＝12－＋i i，即z ＝21＋－ii 11－－ii＝1－23i＝12－32i ，故z 在复平面内对应的点位于第四象限．]3． C [设小正方形的边长为 1，可得阴影平行四边形的底为2，高为 22，阴影等腰直角三角形的直角边为 2，斜边为 2 2，大正方形的边长为 2 2，4． A [∵sin C ＝2 3sin B ，∴由正弦定理得 c ＝2 3b ，则 c 2＝ 12b 2. 又 a 2－ b 2＝ 3bc ，那么 a 2＝ 7b 2， cos A ＝b2＋2c b 2c－a2＝46b 32b 2＝23∵A ∈（0，π，）∴A ＝6π.]5． B [∵f （3－|a ＋1|）＞f － 33 ，∴f （3－|a ＋1|）＞f 33 ＝f （3 2），又 f （x ）为偶函数，且在（－ ∞ ，0）上单调递增，1∴f （x ）在（0，＋ ∞ ）上单调递减， ∴|a ＋1|＞2，31解得 a ∈ －∞，－32 ∪ －21，＋ ∞ .]6． B [几何体为一个四棱锥与一个半圆锥的组合体，四棱锥的高为3，底面为边长为 2 的11π·21正方形；半圆锥高为 3，底面为半径为 1 的半圆，因此体积为 13× 3×22＋ 13× 3× π2·＝13327．A [由图象可知， A ＝2， 4T ＝23π－6π＝2π，∴T ＝2π，ω＝1，∴f （x ）＝ 2cos （x ＋φ），所以 P ＝2× 22＋ 21×2×2 2 2× 2 2由余弦定理得8＋ π 36 ，故选 B.] 3π π π ∵f 6 ＝2cos 6＋φ＝2，且 |φ|<2π， ππ∴φ＝－ 6，f （x ）＝2cos x －6 ，π令 h （x ）＝ f （x ）＋1＝ 2cos x －＋ 1＝ 0，6π1可得 cos x －6 ＝－ 2，解得 x －π＝2π＋2k π，k ∈Z 或 x －π＝4π＋2k π，k ∈Z ，6 3 6 3x ＝5π＋2k π，k ∈Z 或 x ＝ 3π＋2k π，k ∈Z ，62则|x 1－x 2|的最小值为 32－56＝23 .]则（a ＋b ）2－ab ≥（a ＋b ）2－ a ＋2 b 2＝ 34（a ＋b ）2，3即|AB|2≥43（a ＋b ）2，8．C [f （x ）＝ a －x 2 |x ＋1|－1 f （－ x ）＝ a －x 2|－x ＋1|－1f (x) 为奇函数，a － x 2 ＝－ a － x 2|x ＋ 1|－ 1＝－|－x ＋1|－1∴|x ＋1|＋ |x －1|＝2，∴－1≤x ≤1，考虑定义域 a －x 2≥0，即－ a ≤ x ≤ a(a>0)且 x ≠0，由抛物线的定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形 ABPQ 中， 2|MN |＝ |AQ|＋|BP|＝a ＋b ，由余弦定理得 |AB|2＝a 2＋b 2－2abcos 120 °＝ a 2＋ b 2＋ ab ，整理得 |AB|2＝ (a ＋ b)2－ ab ，因为 ab ≤ a ＋2 b2，满足 a ≤1， ∴0<a ≤1.]设|AF|＝a ，|BF|＝b ， Q ，P ，当且仅当 a ＝b ，即 |AF|＝|BF|时取等号，故选 D.]10．C [令 t ＝f (x)，考虑方程 t 2＋bt ＋c ＝0的根，该方程必有两个不同实数解，设解为 t ＝t 1， t＝t 2，由题设方程 t1＝f ( x)和方程 t 2＝f (x)的解即为方程 f 2(x)＋ bf (x)＋c ＝0 的解，因为方程 f 2(x)＋bf (x)＋c＝0 有 7 个不同的解，根据 f (x)的图象 (如图所示 )可得，直线 y ＝t 1与 y ＝f (x)的图象有 3 个不同的公共点，直线 y ＝t 2与 y ＝f (x)的图象有 4 个不同的公共点，故 t1＝0，t 2>0，所以 c ＝0，t 2＝－ b>0 即 b<0，故选 C.]→ 1 → →且OC ＝－ 5(3OA ＋4OB)，→ → → 1 → → ∴OC ·OC ＝|OC|2＝ 215(3OA ＋4OB)2 ＝295|O →A|2＋2254O →A ·O →B ＋ 2165|O →B|2 ＝|O →C|2＋2254O →A ·O →B ， ∴24O →A ·O →B ＝0，∴∠ AOB ＝90°.25 如图所示，建立平面直角坐标系，设 A(0,1) ，B(1,0)，由 3O →A ＋4O →B ＝ (4,3)＝－ 5O →C ，则 C ＝ 4π.]x 2－ln x ＋ 1－t 212．B [∵ f ′(x)＝2，11 22令 g(x)＝x ＋x ，又 g(x)＝x ＋x 在[1,2] 上单调递增，xx33∴g(x)min ＝g(1)＝2，∴t <2.] 13．3解析因为 f (1)＝ log 21－ 3＝－ 3，又 f (x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f (－1)＝－f (1)＝3. 14．－ 38解析令 x － 2＝t ，则 x ＝ t ＋ 2.由条件可得 (t ＋1)5－2(t ＋2)4＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋ a 3t 3＋ a 4t 4＋a 5t 5，故 t 2的系数为 C 53－2C 42×22＝－ 38，即 a 2＝－ 38.115.2解析由题意知 f ′(x)＝x 2－2a ， g ′(x)＝2x ＋2b ，函数 f (x)与 g(x) 在区间 (a ， b)上单调性相反，则(x 2－ 2a)(2x ＋2b)<0 在 x ∈(a ，b)上恒成立，又 0<a<b ，所以 2x ＋ 2b>0，于是 x 2－2a<0 在 x ∈( a ， b)上恒成立．可知 C4，－ 3 ，5，－5 ，则CA ＝45，85 ，C →B ＝ 95， 3， 5，CA ·CBcos C ＝|CA|×|CB|24 ＝ 2， 4 5× 3 10 2 5 × 53625 25又对任意的 x ∈ [1,2] ，f ′ (x) ·x ＋ f (x)>0 恒成立， ∴对任意的 x ∈ [1,2] ，2x2－2tx ＋1>0 恒成立，即对任意的 x ∈ [1,2] ， 2x 2－2tx ＋1> 0 恒成立，则 t <2x ＋12x＝ x ＋1 2x12 x ＋恒成立，x x 2易知x2－2a<0 的解集为（－2a，2a），所以（a，b）? （－2a，2a），所以b－a≤2a－a＝－a－21 2＋12，11当a＝21，b＝1 时，b－a取得最大值12.2316.3 解析易知A（－1,0），设P（x，y），由|PA|＝2|PT|，可得（x＋1）2＋y2＝4（x2＋y2－1），1 16化简得x－132＋y2＝196，可转化为直线3x＋4y－a＝0 与圆x－31 2＋y2＝196有公共点，所以d＝|1－a|≤4，5317 23 解得－137≤a≤233.23故 a 的最大值为233.317．解(1)∵(2c－a)cos B－bcos A＝0，由正弦定理得(2sin C－sin A)cos B－sin Bcos A＝0，∴ (2sin C－sin A)cos B＝sin Bcos A，2sin Ccos B－sin(A＋B)＝0，1∵A＋B＝π－C 且sin C≠ 0，∴cos B＝2，∵B∈(0，π∴B＝π.311（2）∵ S△ABC＝2acsin B＝2BD ·b，代入c＝2，BD＝3721，sin B＝23，得b＝37a，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4－2a，代入b＝37a，得a2－9a＋18＝0，解得a＝3，b＝7a＝6，b＝ 2 7，又∵三角形为锐角三角形，∴a2<c2＋b2，∴a＝3，b＝7.证明如下：如图，连接 AB 1， C 1D ，则 AB 1C 1D 是平行四边形， ∵E 是 AB 1的中点，1∴AE ∥C 1D ，AE ＝2C 1D ， ∴AEC1D 为梯形， A ，E ， C 1，D 四点共面，又EC 1与AD 为梯形的两腰，故 EC 1与 AD 相交.(2)设 AB ＝b ，AD ＝2－b ，VABCD －A 1B 1C 1D 1＝b(2－ b)×AA 1＝b （2－b ）≤b ＋22－ b2＝1，当且仅当 b ＝ 2－ b ，即 b ＝1 时取等号，方法一连接 BD （图略），设点 B 到平面 A 1CD 的距离为 h ，则根据等体积法 VB －A 1CD ＝VA 1 －BCD ，其中 S △A 1CD ＝21×CD ×A 1D ＝ 22， ∴h ＝22，则直线 BA 1与平面 A 1CD 所成的角 θ满足 sin方法二分别以边 AB ，AD ，AA 1所在的直线为 x ，y ，z 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 B(1,0,0)，A 1(0,0,1) ，C(1,1,0)，D(0,1,0)，设平面 A 1CD 的法向量为 n ＝（x ， y ， z ），11 ∴ S △ABC ＝2ac sin B ＝2×2× 3×3＝3 32＝218．解（1）EC 1 与 AD 是相交直线VA 1－ BCD ＝13S △ BCD × AA 1＝16，36h1θ＝BA1＝2，π∵ θ∈ 0， 2 ，θ＝6π.BA 1＝(－1,0,1)， CD ＝(－1,0,0)， CA 1＝（－1， 1,1),－ x ＝ 0，即－ x － y ＋z ＝ 0，取 z ＝ 1，则 n ＝（0,1,1），n ·CD ＝ 0，则→n ·C →A 1＝∴sin θ＝ |cos 〈B →A 1， n 〉 |＝ 1＝2× 2＝1， 2，π ∵ θ∈ 0，∴θ＝6π.2 1 c 219．解（1）由题意知， a 2＋b 2＝1，且a ＝ 2 ，即 a 2＝ 4， b 2＝ 2，所以椭圆 C 1的方程为 x 4 ＋y 2＝1.（2）是． ①当直线 AC 的斜率不存在时，必有 P （ ± 2，0），此时 |AC|＝2，S△AOC＝ 2.② 当直线 AC 的斜率存在时，设其斜率为 k ，点 P （x 0，y 0），则 AC ：y － y 0＝ k （x － x 0），直线 AC 与椭圆 C 1联立，得（1＋2k 2）x 2＋4k （y 0－kx 0）x ＋ 2（y 0－ kx 0） 2－ 4＝ 0，设 A 则 x 0＝ x1＋ x2＝－2k y0－k 2x0，即 x 0＝－2ky 0，1＋2k 2 0 02 2 21又 x 02＋ 2y 20＝2， ∴y 02＝1＋ 2k 2，S △AOC ＝21×|y01－＋k kx02|× 1＋k 216k 2 y 0－ kx 0 2－4 1＋2k 2 [2 y 0－ kx 0 2 －4]1＋ 2k 2 ＝2|y 0－ kx 0| 2 1＋ 2k 2 － 2 1＋2k 2 y 0－ kx 0 2＝21＋2k 2 |y 0| 2 1＋2k 2 － 1＋ 2k 2 2y 20 1＋2k 2＝ 2|y 0| 1＋ 2k 2＝ 2.综上， △AOC 的面积为常数 2.20．解（1）依题意，当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时，第二局比赛结束时比赛结束．所以有 p 2＋（1－p ）2＝95，解得 p ＝ 32或 p ＝13（舍）．（2）依题意知， X 的所有可能值为 2,4,6,8.5 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 59.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．4从而有 P(X ＝ 2)＝59，5 5 20 P(X ＝4)＝ 1－9 × 9＝81，所以随机变量 X 的分布列为21．解 (1)∵ f (x)＝ln x ＋a 1x －1a ，1 1 ax － 1 ∴f ′ (x)＝－ 2＝2 (x>0) ， x ax 2 ax 2当 a<0 时， f ′(x)>0，∴f (x)在(0，＋ ∞ )上单调递增，1当 a>0 时，由 f ′ (x)>0 得 x> ； a1由 f ′ (x)<0 得 0<x< ，a11∴f (x)在 0，1a 上单调递减，在 a 1，＋ ∞ 上单调递增． aa11 综上，当a<0时，f (x)在(0，＋ ∞ )上单调递增；当a>0时，f (x)在 0，1 上单调递减，在 1，＋∞aa 上单调递增．(2)由题意，当 a ＝ 1 时，不等式 f (x)＋g(x)≤－2，11即 ln x ＋－1＋(b － 1)x －xe x － ≤－2，xxln x 1即 b －1≤ e x －ln x x － 1x 在 (0，＋ ∞)上恒成立，xx1 令 u(x)＝ x 2e x ＋ ln x ，则 u ′ (x)＝ (x 2＋ 2x)e x＋ x >0，x∴u(x)在(0，＋∞)上单调递增，P(X ＝6)＝ 1－ 59 × 1－5 ×5＝80，9 9 729 P(X ＝8)＝×5－1×5－1－5 ×1＝ 64. －9 729.则 E(X)＝2× 59＋4×2810＋6×78209＋8×64 729 2 522729 . 令 h(x)＝ e x － ln xxx1， x ，则 h ′(x)＝ e x － 1－ lnx x 2＋x 2＝x 2e x ＋ ln xx 2又 u （1）＝ e>0， u 1 ＝ e －ln 2<0，∴u(x)有唯一零点 x 0 2<x 0<1 ，所以 u(x 0)＝0，即 x 0ex 0＝－ln x0，(*)x 0当 x ∈(0，x 0)时，u(x)<0，即 h ′ (x)<0 ， h(x)单调递减； x ∈(x 0，＋∞)时，u(x)>0，即 h ′( x)>0 ， h(x)单调递增， ∴h(x 0)为 h(x)在定义域内的最小值．x 1令k(x)＝xe x 2<x<1，则方程 (*)等价于 k(x)＝k(－ln x)，1又易知 k(x)单调递增，所以 x ＝－ln x ，e x ＝ x 1，x∴h(x)的最小值为∴ b － 1≤ 1，即 b ≤2， ∴实数 b 的取值范围是 (－∞，2］．4cos θ22．解 (1)曲线 C ：ρ＝2θ，即ρsin 2θ＝4cos θ，于是有ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，化为直角坐标方程为 y 2＝4x.y 2＝4x ，(2)方法一联立 x ＝2＋tcos α，y ＝2＋tsin α，则(2＋tsin α)2＝4(2＋tcos α)，即 t 2sin 2α＋ (4sin α－ 4cos α)t － 4＝ 0.由 AB 的中点为 M(2,2)，得 t 1＋ t 2＝0，有 4sin α－ 4cos α＝0，所以 k ＝tan α＝1，π由 0≤α<π 得α＝ .方法二设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，则（y 1＋ y 2）（ y 1－ y 2）＝ 4（x 1－ x 2），y 1－y 2 y 1＋y 2＝4，∴k ＝tan α＝＝1，x 1－x 2由 0≤α<π得α＝π.方法三设 A4，y1，B 4，y2 (y 1<y 2)，则由 M(2,2)是 AB 的中点，得4＋4＝4， ? y 1＋y 2＝4，ln x 0 1 1－x0 124y 21＝ 4x 1，y1y2＝0，y1＋y2＝4y1<y2，∴y1＝0，y2＝4，知A(0,0)，B(4,4)，π ∴k＝tan α＝1，由0≤α<π 得α＝.4方法四依题意设直线l：y－2＝k(x－2)，与y2＝4x联立得y－2＝k y4－2 ，即ky2－4y－8k＋8＝0.4由y1＋y2＝＝4，得k＝tan α＝1，k因为0≤α<π ，所以α＝4π.23．(1)解依题意 f (x－2)＝m－|x＋2|≥0，即|x＋2|≤m，则－m－2≤x≤－2＋m，－m－2＝－3，∴m＝1.－2＋m＝－1，1 1 1(2)证明∵a1＋21b＋31c＝1(a，b，c>0)，∴a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c) 1a＋21b＋31c ＝3＋a＋2b＋a＋3c＋2b＋3c≥9，2b a 3c a 3c 2b3当且仅当a＝2b＝3c，即a＝3，b＝2，c＝1时取等号．4。

2019年最新河北省高考数学二模试卷(理科)及答案解析

河北省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则（C U A）∪B=（）A．{4} B．{2，3，4} C．{0，3，4} D．{0，2，3，4}2．若复数z满足3﹣i（z+1）=i，则z=（）A．﹣2+3i B．﹣2﹣3i C．2+3i D．2﹣3i3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=ln|x| B．y=cosx C．D．y=﹣x2+14．命题“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+x+1≤0 B．∀x∈R，x2+x+1＞0C．∃x0∈R，x02+x0+1＞0 D．∀x∈R，x2+x+1≥05．若直线y=2x与双曲线﹣=1没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．（1，] D．（1，]6．已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．17．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是（）A．2 B．C．﹣ D．﹣38．在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，S7=35，a2+a3+a10=12，则S n的最大值为（）A．28 B．36 C．45 D．559．现有4名选手参加演讲比赛活动，若每位选手可以从4个题目中任意1个，则恰有1个题目没有被这4为选手选中的情况有（）A．36种B．72种C．144种D．288种10．已知M（x0，y0）是曲线C：﹣y=0上的一点，F是C的焦点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若＜0，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（﹣1，1）11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线图是一个几何体的三视图，则此几何体外接球的表面积为（）A．25πB．25πC．50πD．50π12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[0，1]时，f（x）=x+b，若函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上恰好有三个零点，则a 的取值范围是（）A．（0，） B．（0，） C．（，）D．（，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（x﹣）dx= ．14．已知||=2，||=4，⊥（），则向量与的夹角的余弦值是．15．如图为某小区100为居民2015年月平均用水量（单位：t）的频率分布直方图的一部分，据此可求这100位居民月平均用水量的中位数为吨．16．关于函数f（x）=sin2x+sinx+cosx，以下说法：①周期为2π；②最小值为﹣；③在区间（0，）单调递增；④关于x=对称，其中正确的是（填上所有正确说法的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n﹣2（n∈N+）（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．18．△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c满足a2+ac=b2．（Ⅰ）求A的取值范围；（Ⅱ）若a=2，A=，求△ABC的面积．19．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，△PAB是等边三角形，∠ABC=60°，AB=2，PC=（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．20．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点和一个顶点在圆x2+y2=4上．（1）求椭圆的方程；（2）已知点P（﹣3，2），若斜率为1的直线l与椭圆G相交于A、B两点，试探讨以AB为底边的等腰三角形ABP是否存在？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）=•e﹣ax（a＞0）．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=处的切线方程；（2）讨论方程f（x）﹣1=0根的个数．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则（C U A）∪B=（）A．{4} B．{2，3，4} C．{0，3，4} D．{0，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集、补集与并集的定义，进行计算即可．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，∴C U A={0，4}，∴（C U A）∪B={0，3，4}．故选：C．2．若复数z满足3﹣i（z+1）=i，则z=（）A．﹣2+3i B．﹣2﹣3i C．2+3i D．2﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，和利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由3﹣i（z+1）=i，得i（z+1）=3﹣i，∴z+1=，则z=﹣2﹣3i．故选：B．3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=ln|x| B．y=cosx C．D．y=﹣x2+1【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：y=ln|x|是偶函数，则（0，+∞）上单调递增，不满足条件．y=cosx是偶函数，则（0，+∞）上不单调，不满足条件．是奇函数，则（0，+∞）上单调递减，不满足条件．y=﹣x2+1是偶函数，则（0，+∞）上单调递减，满足条件．故选：D4．命题“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+x+1≤0 B．∀x∈R，x2+x+1＞0C．∃x0∈R，x02+x0+1＞0 D．∀x∈R，x2+x+1≥0【考点】命题的否定．【分析】特称命题“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”的否定是：把∃改为∀，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题．即“∀x∈R，x2+x+1＞0”．【解答】解：特称命题“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”的否定是全称命题：“∀x∈R，x2+x+1＞0”．故选B．5．若直线y=2x与双曲线﹣=1没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．（1，] D．（1，]【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得渐近线的斜率的正值不大于2，由a，b，c的关系和离心率公式，可得范围．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由直线y=2x与双曲线﹣=1没有公共点，可得≤2，即b≤2a，又e==≤=，但e＞1，可得1＜e≤．故选：D．6．已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1【考点】简单线性规划．【分析】先画出平面区域D，进行数量积的运算即得z=2x+y﹣5，所以y=﹣2x+5+z，所以根据线性规划的方法求出z的最大值即可．【解答】解：表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，的=（2，1）•（x﹣2，y﹣1）=2x+y﹣5；∴y=﹣2x+5+z；∴5+z表示直线y=﹣2x+5+z在y轴上的截距，所以截距最大时z最大；如图所示，当该直线经过点A（2，2）时，截距最大，此时z最大；所以点（2，2）带人直线y=﹣2x+5+z即得z=1．故选：D．7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是（）A．2 B．C．﹣ D．﹣3【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=2017时不满足条件i≤2016，退出循环，输出S的值，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得S=2，i=1满足条件i≤2016，S=﹣3，i=2满足条件i≤2016，S=﹣，i=3满足条件i≤2016，S=，i=4满足条件i≤2016，S=2，i=5…观察规律可知S的取值周期为4，由2016=504×4可得满足条件i≤2016，S=，i=2016满足条件i≤2016，S=2，i=2017不满足条件i≤2016，退出循环，输出S的值为2．故选：A．8．在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，S7=35，a2+a3+a10=12，则S n的最大值为（）A．28 B．36 C．45 D．55【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意和等差数列的求和公式和性质可得a4=5，a5=4，进而可得通项公式，可得数列前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，可得结论．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，S7=35，a2+a3+a10=12，∴S7=7a4=35，a2+a3+a10=3a5=12，∴a4=5，a5=4，∴公差d=a5﹣a4=﹣1，故a n=5﹣（n﹣4）=9﹣n，故数列的前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，故数列的前8或9项和最大为S9=9a5=36，故选：B．9．现有4名选手参加演讲比赛活动，若每位选手可以从4个题目中任意1个，则恰有1个题目没有被这4为选手选中的情况有（）A．36种B．72种C．144种D．288种【考点】计数原理的应用．【分析】利用间接法，先确定4个选手无遗漏的选择，再去掉恰好2、3、4道题目被选的情况，即可得出结论．【解答】解：由题意，每个选手都有4种选择，所以4个选手无遗漏的选择是44种，其中恰好2道题目被选的有C42（C43A22+C42）=84、恰好3道未被选（四人选了同一题目，有4种）、恰好0道题未被选的（4个题目都被选，有A44=24种）．故共有256﹣84﹣4﹣24=144种．故选：C．10．已知M（x0，y0）是曲线C：﹣y=0上的一点，F是C的焦点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若＜0，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（﹣1，1）【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可设M（x0，），（x0≠0），求得N的坐标，求出抛物线的焦点坐标，运用向量的数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：由题意可设M（x0，），（x0≠0），由题意可得N（x0，0），又抛物线x2=2y的焦点F（0，），即有=（﹣x0，﹣），=（0，﹣），由＜0，即为（﹣）•（﹣）＜0，即有x02＜1且x0≠0），解得﹣1＜x0＜0且0＜x0＜1．故选：A．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线图是一个几何体的三视图，则此几何体外接球的表面积为（）A．25πB．25πC．50πD．50π【考点】球内接多面体；简单空间图形的三视图．【分析】几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，补充为长方体，长宽高分别为3，4，5，求出对角线长，可得外接球的半径，代入球的表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，补充为长方体，长宽高分别为3，4，5，其对角线长为=5，∴此几何体外接球的半径为∴外接球的表面积S=4π×（）2=50π．故选：C．12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[0，1]时，f（x）=x+b，若函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上恰好有三个零点，则a 的取值范围是（）A．（0，） B．（0，） C．（，）D．（，1）【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据条件先求出f（1）=0，即函数f（x）是周期为2的周期函数，然后根据奇偶性求出函数在一个周期内的图象，结合函数与方程之间的关系转化两个函数的交点个数问题，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：∵偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），∴令x=﹣1，得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），即f（1）=f（1）﹣f（1）=0，则f（1）=0，即对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1）=f（x），则函数f（x）是周期为2的周期函数，∵当x∈[0，1]时，f（x）=x+b，∴f（1）=1+b=0，则b=﹣1，即当x∈[0，1]时，f（x）=x﹣1，若x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]时，则f（﹣x）=﹣x﹣1=f（x），则当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x+1，由函数y=f（x）﹣log a（x+1）=0，得f（x）=log a（x+1），作出f（x）和g（x）=log a（x+1）在（0，+∞）上的图象若函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上恰好有三个零点，则等价为两个函数f（x）和g（x）在（0，+∞）上恰好有三个交点，若a＞1，两个函数只有一个交点，不满足条件．若0＜a＜1，要使两个函数有三个交点，则点A（2，﹣1）则g（x）的图象的下方，B（4，﹣1）在g（x）的上方，即，即，即＜a＜，即实数a的取值范围是（，），故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（x﹣）dx= 1﹣ln2 ．【考点】定积分．【分析】根据：积分公式化简求解∫（x﹣）dx=（x﹣lnx）|，利用牛顿莱布尼兹定理得出答案即可．【解答】解：∫（x﹣）dx=（x﹣lnx）|=2﹣ln2﹣1+ln1=1﹣ln2，故答案为：1﹣ln214．已知||=2，||=4，⊥（），则向量与的夹角的余弦值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由便可得出，进行数量积的运算便可得到，从而便可得出向量与夹角的余弦值．【解答】解：∵；∴；即=；∴；即向量与夹角的余弦值是．故答案为：．15．如图为某小区100为居民2015年月平均用水量（单位：t）的频率分布直方图的一部分，据此可求这100位居民月平均用水量的中位数为 2.02 吨．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．【解答】解：根据频率分布直方图，得；0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.44×0.5=0.49＜0.5，0.49+0.5×0.5=0.74＞0.5，设中位数为a，则0.49+（a﹣2）×0.5=0.5，解得a=2.02，∴估计中位数是2.02．故答案为：2.02．16．关于函数f（x）=sin2x+sinx+cosx，以下说法：①周期为2π；②最小值为﹣；③在区间（0，）单调递增；④关于x=对称，其中正确的是①②④（填上所有正确说法的序号）．【考点】三角函数的化简求值．【分析】①由f（x+2π）=f（x）即可得证；②换元法，设t=sinx+cosx，由三角函数知识可得t∈[﹣，]，且sin2x=t2﹣1，可得y=t2+t ﹣1，由二次函数区间的最值可得．③由②利用二次函数的性质即可得解；④证明f（﹣x）=f（x），即可判断正误．【解答】解：①∵f（x+2π）=sin[2（x+2π）]+sin（x+2π）+cos（x+2π）=sin2x+sinx+cosx=f （x），∴函数周期为2π，故①正确；②设t=sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，∴t2=（sinx+cosx）2=1+sin2x，∴sin2x=t2﹣1，∴y=sin2x+sinx+cosx=t2﹣1+t=t2+t﹣1=（t+）2﹣，t∈[﹣，]，由二次函数可知，当t∈[﹣，﹣]时，函数y=t2+t﹣1单调递减，当t∈[﹣，]时，函数y=t2+t﹣1单调递增，∴当t=﹣时，函数取最小值y min=﹣，故②正确；③由②可知y=t2+t﹣1，t∈[﹣，]，故③错误；④∵f（﹣x）=sin[2（﹣x）]+sin（﹣x）+cos（﹣x）=sin（π﹣2x）+sinx+cosx=sin2x+sinx+cosx=f（x），∴函数关于x=对称，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n﹣2（n∈N+）（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）通过S n=2a n﹣2与S n﹣1=2a n﹣1﹣2（n≥2）作差，进而可知数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）得b n=3n×2n，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意，S n=2a n﹣2，S n﹣1=2a n﹣1﹣2（n≥2），两式相减得：a n=2a n﹣1，又∵S1=2a1﹣2，即a1=2，∴数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列，∴a n=2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n=3n×2n，∴T n=3×2+6×22+9×23+…+3n×2n，2T n=3×22+6×23+…+3（n﹣1）×2n+3n×2n+1，两式相减得：﹣T n=3（2+22+23+…+2n）﹣3n×2n+1=3•﹣3n×2n+1=﹣3（n﹣1）2n+1﹣6，∴T n=6+3（n﹣1）2n+1．18．△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c满足a2+ac=b2．（Ⅰ）求A的取值范围；（Ⅱ）若a=2，A=，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由余弦定理得a2﹣b2=c2﹣2bccosA，由a2+ac=b2得a2﹣b2=﹣ac，故c2﹣2bccosA=﹣ac，即cosA=，因为a+c＞b，所以cosA，得出A的范围；（2）将A=和a=2分别代入a2+ac=b2和b2+c2﹣a2=2bccosA，联立方程组解出b，c，使用S=bcsinA求出面积．【解答】解：（1）由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，∴a2﹣b2=c2﹣2bccosA，又∵a2+ac=b2，∴a2﹣b2=﹣ac．∴c2﹣2bccosA=﹣ac，∴cosA=，∵a+c＞b，∴cosA．∴0＜A＜．（2）∵a2+ac=b2，∴4+2c=b2，∵b2+c2﹣a2=2bccosA，∴b2+c2﹣4=bc，联立方程组，解得b=2，c=4．S△ABC=bcsinA==2．19．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，△PAB是等边三角形，∠ABC=60°，AB=2，PC=（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB中点O，连结OP，OC，AC，推导出OP⊥AB，OP⊥OC，从而OP⊥面ABC，由此能证明平面PAB⊥平面ABCD．（2）以O为原点，OB，OC，OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）取AB中点O，连结OP，OC，AC，∵△PAB是等边三角形，∴OP=，且OP⊥AB，由题意知△ABC为等边三角形，且OC=，在△POC中，∵OC2+OP2=CP2，∴OP⊥OC，∴OP⊥面ABC，∵OP⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．解：（2）以O为原点，OB，OC，OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），B（1，0，0），C（0，，0），P（0，0，），A（﹣1，0，0），D（﹣2，，0），设=（x，y，z）是平面PBC的法向量，=（﹣1，，0），=（﹣1，0，），则，取x=，得=（），设平面PCD的法向量=（a，b，c），=（0，，﹣），=（﹣2，，﹣），则，取b=1，得=（0，1，1）＜cos＜＞==，由图形得二面角B﹣PC﹣D的平面角为钝角，∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣．20．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．【考点】条件概率与独立事件；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=，能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（ξ=1）=（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×=，P（ξ=2）=++=，P（ξ=3）==，∴随机变量ξ的分布列为：数学期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则P（A）=++=，P（AB）==，P（B|A）===．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点和一个顶点在圆x2+y2=4上．（1）求椭圆的方程；（2）已知点P（﹣3，2），若斜率为1的直线l与椭圆G相交于A、B两点，试探讨以AB为底边的等腰三角形ABP是否存在？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆G的右焦点为F（c，0），由题意可得：b=c，且b2+c2=8，由此能求出椭圆G的方程．（Ⅱ）以AB为底的等腰三角形ABP存在．设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，代入中，得：3x2+4mx+2m2﹣8=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆G的右焦点为F（c，0），由题意可得：b=c，且b2+c2=8，∴b2=c2=4，故a2=b2+c2=8，∴椭圆G的方程为（Ⅱ）以AB为底的等腰三角形ABP存在．理由如下设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，代入中，化简得：3x2+4mx+2m2﹣8=0，①因为直线l与椭圆G相交于A，B两点，∴△=16m2﹣12（2m2﹣8）＞0，解得﹣2，②设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．③于是AB的中点M（x0，y0）满足=﹣，．已知点P（﹣3，2），若以AB为底的等腰三角形ABP存在，则k PM=﹣1，即=﹣1，④，将M（﹣）代入④式，得m=3∈（﹣2，2）满足②此时直线l的方程为y=x+3．22．已知函数f（x）=•e﹣ax（a＞0）．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=处的切线方程；（2）讨论方程f（x）﹣1=0根的个数．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=2时，求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．（2）由f（x）﹣1=0得f（x）=1，求函数的导数f′（x），判断函数的单调性，利用函数单调性和最值之间的关系进行判断即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=•e﹣2x．f（）=3e﹣1，又f′（x）=•e﹣2x，∴f′（）=2e﹣1，故所求切线方程为y﹣3e﹣1=2e﹣1（x﹣），即y=x+．（Ⅱ）方程f（x）﹣1=0即f（x）=1．f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），当x＜﹣1或x＞1时，易知f（x）＜0，故方程f（x）=1无解；故只需考虑﹣1≤x≤1的情况，f′（x）=•e﹣2x，当＜a≤2时，f′（x）≥0，所以f（x）区间[﹣1，1）上是增函数，又易知f（0）=1，所以方程f（x）=1只有一个根0；当a＞2时，由f′（x）=0可得x=±，且0＜＜1，由f′（x）＞0可得﹣1≤x＜﹣或＜x＜1，由f′（x）＜0可得﹣＜x＜，所以f（x）单调增区间为[﹣1，﹣）和（，1）上是增函数，f（x）单调减区间为（﹣，），由上可知f（）＜f（0）＜f（﹣），即f（）＜1＜f（﹣），在区间（﹣，）上f（x）单调递减，且f（0）=1，所以方程f（x）=1有唯一的根x=0；在区间[﹣1，﹣）上f（x）单调递增，且f（﹣1）=0＜1，f（﹣）＞1，所以方程f（x）=1存在唯一的根0在区间（，1）上，由f（）＜1，x→1时，f（x）→+∞，所以方程f（x）=1有唯一的根；综上所述：当0＜a≤2时，方程f（x）=1有1个根；当a＞2时，方程f（x）=1有3个根．。

2020年河北省唐山市高考数学二模试卷(理科)含答案解析

2020年河北省唐山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．数z满足（1+z）（1+2i）=i，则复平面内表示复数z的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知a，b为实数，则“a3＜b3”是“2a＜2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（）A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.94．执行如图的程序框图，若输入M的值为1，则输出的S=（）A．6 B．12 C．14 D．205．在▱ABCD中，AB=2AD=4，∠BAD=60°，E为BC的中点，则•=（）A．6 B．12 C．﹣6 D．﹣126．设椭圆C：y2+=1（0＜m＜1）的两焦点分别为F1，F2，若在椭圆C上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是（）A．[，1）B．（0，] C．[，1）D．（0，]7．函数f（x）=cos（x+）+2sin sin（x+）的最大值是（）A．1 B．sin C．2sin D．8．曲线y=和x2+y2=2及x轴所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．9．5名大学生为唐山世界园艺博览会的3个场馆提供翻译服务，每个场馆分配一名或两名大学生，则不同的分配方法有（）A．90种B．180种C．270种D．360种10．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=x在[0，1）上的最大值为m，在（1，2]上的最小值为n，则m+n=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．在等边△ABC中，M为△ABC内一动点，∠BMC=120°，则的最小值是（）A．1 B．C．D．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为y=±x，则离心率e为．14．若实数x，y满足，则z=3x+4y的最大值是．15．已知AB是球O的直径，C，D为球面上两动点，AB⊥CD，若四面体ABCD体积的最大值为9，则球O的表面积为．16．当x∈[﹣1，+∞）时，不等式x3﹣ax2﹣4x+8≥0恒成立，则a的取值范围是．三、简答题：本大题共70分。

2019年天津市河西区高考数学二模试卷含参考答案(理科)

2019年天津市河西区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的1．（5分）设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}, A＝{1, 2, 3, 5, 8}, B＝{1, 3, 5, 7, 9}, 则（∁U A）∩B＝（）A．{6, 9}B．{6, 7, 9}C．{7, 9}D．{7, 9, 10} 2．（5分）若变量x, y满足约束条件, 则z＝2x﹣y的最小值等于（）A．B．﹣2C．D．23．（5分）如图所示, 程序框图的输出结果是（）A．5B．6C．7D．84．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列, 则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设a＝（）0.5, b＝（）0.4, c＝（log34）, 则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a6．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）, 其中φ为实数, 若f（x）≤|f（）|对x∈R 恒成立, 且f（）＞f（π）, 则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣, kπ+]（k∈Z）B．[kπ, kπ+]（k∈Z）C．[kπ+, kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣, kπ]（k∈Z）7．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线﹣＝1（a＞0, b＞0）有相同的焦点F, 点, A是两曲线的一个交点, 若直线AF的斜率为, 则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）在平行四边形ABCD中, ||＝2, ||＝4, ∠ABC＝60°, E, F分别是BC, CD的中点, DE与AF交于H, 则•的值（）A．12B．16C．D．二、填空题：本大题共6小题, 每小题5分, 共30分9．（5分）设z＝1﹣i（i是虚数单位）, 则+＝．10．（5分）三棱锥P﹣ABC中, D, E分别为PB, PC的中点, 记三棱锥D﹣ABE的体积为V1, P﹣ABC的体积为V2, 则＝．11．（5分）（3x2﹣）5的展开式中x3的系数为．（用数字作答）12．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为（t为参数）, C在点（1, 1）处的切线为l, 以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 则l的极坐标方程为．13．（5分）若log4（3a+4b）＝log2, 则a+b的最小值是．14．（5分）已知函数f（x）满足, f（x）＝, 其中k≥0, 若函数y＝f（f （x））+1有4个零点, 则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题, 共80分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤15．（13分）在△ABC中, 内角A, B, C所对边的边长分别是a, b, c．（1）若c＝2, 且△ABC的面积等于, 求cos（A+B）和a, b的值；（2）若B是钝角, 且, 求sin C的值．16．（13分）甲, 乙, 丙三位学生独立地解同一道题, 甲做对的概率为, 乙, 丙做对的概率分别为m, n（m＞n）, 且三位学生是否做对相互独立．记ξ为这三位学生中做对该题的人数, 其分布列为：ξ0123P a b（1）求至少有一位学生做对该题的概率；（2）求m, n的值；（3）求ξ的数学期望．17．（13分）如图, 平面P AD⊥平面ABCD, P A＝PD, 四边形ABCD为平行四边形, ∠ABC＝45°, AB＝AC＝2, M为线段AD的中点, 点N满足＝2．（Ⅰ）求证：直线PB∥平面MNC；（Ⅱ）求证：平面MNC⊥平面P AD；（Ⅲ）若平面P AB⊥平面PCD, 求直线BP与平面PCD所成角的正弦值．18．（13分）数列{a n}是等比数列, 公比大于0, 前n项和S n（n∈N*）, {b n}是等差数列, 已知a1＝, ＝+4, a3＝, a4＝．（Ⅰ）求数列{a n}, {b n}的通项公式a n, b n；（Ⅱ）设{S n}的前n项和为T n（n∈N*）（i）求T n；（ii）证明：＜．19．（14分）设椭圆+＝1（a＞）的右焦点为F, 右顶点为A, 已知|OA|﹣|OF|＝1, 其中O为原点, e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程及离心率e的值；（2）设过点A的直线l⊥椭圆交于点B（B不在x轴上）, 垂直于l的直线与l交于点M, 与y轴交于点H, 若BF⊥HF, 且∠MOA≤∠MAO, 求直线l的斜率的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝lnx+ax, 在点（t, f（t））处的切线方程为y＝3x﹣1．（1）求a的值；（2）已知k≤2, 当x＞1时, f（x）＞k（1﹣）+2x﹣1恒成立, 求实数的取值范围；（3）对于在（0, 1）中的任意一个常数b, 是否存在正数x0, 使得e+x＜1, 请说明理由．2019年天津市河西区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的1．【解答】解：U＝{n∈N|1≤n≤10}＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, 则∁U A＝{4, 6, 7, 9, 10},则（∁U A）∩B＝{7, 9},故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算, 结合补集, 交集的定义是解决本题的关键．2．【解答】解：由变量x, y满足约束条件作出可行域如图,由图可知, 最优解为A,联立, 解得A（﹣1, ）．∴z＝2x﹣y的最小值为2×（﹣1）﹣＝﹣．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划, 考查了数形结合的解题思想方法, 是中档题．3．【解答】解：k＝0时, S＜100是, S＝20＝1, k＝1,k＝1时, S＜100是, S＝1+21＝3, k＝2,k＝2时, S＜100是, S＝3+22＝7, k＝3,k＝3时, S＜100是, S＝7+23＝15, k＝4,k＝4时, S＜100是, S＝15+24＝31, k＝5,k＝5时, S＜100是, S＝31+25＝63, k＝6,k＝6时, S＜100是, S＝63+26＝127, k＝7,当k＝7时, S＜100不满足,输出k＝7,故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断, 利用模拟运算法是解决本题的关键．4．【解答】解：等比数列﹣1, ﹣2, ﹣4, …, 满足公比q＝2＞1, 但{a n}不是递增数列, 充分性不成立．若a n＝﹣1为递增数列, 但q＝＞1不成立, 即必要性不成立,故“q＞1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件,故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 利用等比数列的性质, 利用特殊值法是解决本题的关键．5．【解答】解：∵a＝（）0.5∈（0, 1）, b＝（）0.4＞1, c＝（log34）＜0,∴c＜a＜b．故选：C．【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．6．【解答】解：若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立,则f（）为函数的函数的最大值或最小值,即2×+φ＝kπ+, k∈Z,则φ＝kπ+, k∈Z,又f（）＞f（π）, sin（π+φ）＝﹣sinφ＞sin（2π+φ）＝sinφ, sinφ＜0．令k＝﹣1, 此时φ＝﹣, 满足条件sinφ＜0,令2x﹣∈[2kπ﹣, 2kπ+], k∈Z,解得：x∈[kπ+, kπ+]（k∈Z）．则f（x）的单调递增区间是[kπ+, kπ+]（k∈Z）．故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换、三角函数的单调性, 属于基础题．7．【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线﹣＝1（a＞0, b＞0）有相同的焦点F,可设c＝, 即有抛物线方程为y2＝4cx,设A（m, n）, 且m＞0, n＞0,由AF的斜率为, 可得＝, n2＝4mc,解得m＝3c, n2＝12c2,代入双曲线方程可得﹣＝1,由e＝, 即9e2﹣＝1,即9e4﹣22e2+1＝0,可得e2＝,解得e＝．故选：B．【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质, 主要是离心率的求法, 考查方程思想和运算能力, 属于中档题．8．【解答】解：过点F作BC的平行线交DE于G,则G是DE的中点,且GF＝EC＝BC∴GF＝AD,则△AHD∽△GHF从而FH＝AH,∴＝,＝+＝+＝﹣,则＝＝﹣,＝+＝﹣﹣,则•＝（﹣）•（﹣﹣）＝2﹣•﹣2＝﹣﹣＝﹣＝,故选：C．【点评】本题主要考查向量数量积的应用, 根据条件求出和的表达式是解决本题的关键．二、填空题：本大题共6小题, 每小题5分, 共30分9．【解答】解：∵z＝1﹣i,∴+＝．故答案为：2+2i．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算, 是基础的计算题．10．【解答】解：如图, 三棱锥P﹣ABC中, D, E分别为PB, PC的中点, 三棱锥D﹣ABE的体积为V1, P﹣ABC的体积为V2,∴A到底面PBC的距离不变, 底面BDE底面积是PBC面积的＝,∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积, 着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系, 属于基础题．11．【解答】解：（3x2﹣）5的展开式的通项公式为T r+1＝•35﹣r•（﹣1）r•, 令10﹣＝3, 求得r＝2, 故展开式中x3的系数为•33＝270,故答案为：270．【点评】本题主要考查二项式定理的应用, 二项展开式的通项公式, 二项式系数的性质, 属于基础题．12．【解答】解：由（t为参数）, 两式平方后相加得x2+y2＝2, …（4分）∴曲线C是以（0, 0）为圆心, 半径等于的圆．C在点（1, 1）处的切线l的方程为x+y＝2,令x＝ρcosθ, y＝ρsinθ,代入x+y＝2, 并整理得ρcosθ+ρsinθ﹣2＝0, 即或,则l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2＝0（填或也得满分）．…（10分）故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2＝0（填或也得满分）．【点评】本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化．普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x＝ρcosθ, y＝ρsinθ．13．【解答】解：∵log4（3a+4b）＝log2,∴＝,∴,∴3a+4b＝ab, a, b＞0．∴＞0, 解得a＞4．a+b＝a+＝+7≥7+＝, 当且仅当a＝4+2时取等号．∴a+b的最小值是7+4．故答案为：7+4．【点评】本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质, 考查了计算能力, 属于基础题．14．【解答】解：当k＝0时, 函数f（x）＝的图象如下图所示：此时若函数y＝f[f（x）]+1＝0, 则f[f（x）]＝﹣1,则f（x）＝, 只有一解, 不合题意,当0＜k＜时, 函数f（x）＝的图象如下图所示：此时若函数y＝f[f（x）]+1＝0, 则f[f（x）]＝﹣1,则f（x）＝, 或kf（x）+k＝﹣1, 只有三解, 不合题意,当k≥时, 函数f（x）＝的图象如下图所示：此时若函数y＝f[f（x）]+1＝0, 则f[f（x）]＝﹣1,则f（x）＝, 或kf（x）+k＝﹣1, 有四解, 满足题意,故满足条件的实数k的取值范围是[, +∞）,故答案为：[, +∞）【点评】本题考查的知识点是函数零点的判定, 其中将函数的零点问题转化为方程根的个数问题, 是解答的关键．三、解答题：本大题共6小题, 共80分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤15．【解答】解（1）∵A+B+C＝π, , ∴A+B＝π﹣C＝由此可得：（2分）根据余弦定理, 得c2＝a2+b2﹣2ab cos C,∴a2+b2﹣ab＝4, （4分）又∵△ABC的面积等于, 即,∴ab×＝, 解之得ab＝4．（5分）联立方程组, 解之得a＝2, b＝2．（7分）（2）∵B是钝角, 且∴（8分）（9分）因此, sin C＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝（12分）【点评】本题给出三角形的一边和其对角, 在已知三角形的面积情况下求其它两边的长, 着重考查了三角函数的诱导公式、同角三角三角函数的基本关系、正弦定理的面积公式和利用正余弦定理解三角形等知识, 属于中档题．16．【解答】解：设“甲做对”为事件A, “乙做对”为事件B, “丙做对”为事件C, 由题意知, ．（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ＝0”是对立的,所以至少有一位学生做对该题的概率是．（2）由题意知,,整理得mn＝, ．由m＞n, 解得, ．（3）由题意知＝,b＝P（ξ＝2）＝1﹣P（ξ＝0）﹣P（ξ＝1）﹣P（ξ＝3）＝,∴ξ的数学期望为Eξ＝＝．【点评】本小题主要考查相互独立事件的概率、利用对立事件的概率求概率的方法、离散型随机变量的均值等基础知识, 考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识．17．【解答】（I）证明：连接BD交CM于O, 连接ON,∵△OMD∽△OCB,∴＝,∴,∵＝2, ∴＝,∴, ∴ON∥PB,又ON⊂平面MNC, PB⊄平面MNC,∴PB∥平面MNC．（II）证明：∵AB＝AC, AB＝CD,∴AC＝CD, 又M是AD的中点,∴CM⊥AD,又平面P AD⊥平面ABCD, 平面P AD∩平面ABCD＝AD,∴CM⊥平面P AD, 又CM⊂平面MNC,∴平面MNC⊥平面P AD．（III）解：∵AB＝AC, ∠ABC＝45°,∴AB⊥AC,以A为原点, 以AB, AC和平面过A点的垂线为坐标轴建立空间坐标系A﹣xyz,设PM＝a, 则A（0, 0, 0）, B（2, 0, 0）, C（0, 2, 0）, D（﹣2, 2, 0）, M（﹣1, 1, 0）,∴P（﹣1, 1, a）．∴＝（2, 0, 0）, ＝（﹣1, 1, a）, ＝（﹣2, 0, 0）, ＝（1, ﹣1, a）,设平面P AB的法向量为＝（x1, y1, z1）, 则, 即, 令z1＝1可得＝（0, ﹣a, 1）,设平面PCD的法向量为＝（x2, y2, z2）, 则, 即, 令z＝1可得＝（0, a, 1）．∵平面P AB⊥平面PCD, ∴＝0, 即1﹣a2＝0, 故a＝1．∴＝（﹣3, 1, 1）, ＝（0, 1, 1）,∴cos＜＞＝＝＝．∴直线BP与平面PCD所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面平行, 面面垂直的判定, 考查空间向量与空间角的计算, 属于中档题．18．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比q＞0, , ﹣﹣2＝0, 解得q＝．∴a n＝．设等差数列{b n}的公差为d, ∵a3＝＝, a4＝＝．∴2b1+8d＝8, 3b1+16d＝16,解得b1＝0, d＝1,∴b n＝n﹣1．（Ⅱ）（i）S n＝＝1﹣{S n}的前n项和为T n＝n﹣﹣﹣……﹣＝n﹣＝n﹣1+．（ii）证明：＝＝﹣．∴＝﹣+﹣+……+﹣＝﹣＜．【点评】本题考查了等差数列等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．19．【解答】解：（1）∵椭圆+＝1（a＞）的右焦点为F, 右顶点为A, |OA|﹣|OF|＝1,∴a﹣c＝1,即a﹣＝1,解得a＝2,∴c＝1,∴e＝＝,椭圆的方程为+＝1,（2）由已知设直线l的方程为y＝k（x﹣2）, （k≠0）,设B（x1, y1）, M（x0, k（x0﹣2））,∵∠MOA≤∠MAO,∴x0≥1,再设H（0, y H）,联立, 得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0．△＝（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）＝144＞0．由根与系数的关系得2x1＝,∴x1＝, y1＝k（x1﹣2）＝,MH所在直线方程为y﹣k（x0﹣2）＝﹣（x﹣x0）,令x＝0, 得y H＝（k+）x0+2k,∵BF⊥HF,∴•＝（1﹣x1, ﹣y1）•（1, ﹣y H）＝0,即1﹣x1+y1y H＝1﹣﹣•[（k+）x0+2k],整理得：x0＝≥1, 即8k2≥3．∴k≤﹣或k≥【点评】本题考查椭圆方程的求法, 考查直线与椭圆位置关系的应用, 体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法, 考查运算能力, 是难题．20．【解答】解：（1）函数f（x）＝lnx+ax的导数为f′（x）＝+a,在点（t, f（t））处切线方程为y＝3x﹣1,可得f′（t）＝+a,∴函数的切线方程为y﹣（lnt+at）＝（+a）（x﹣t）, 即y＝（+a）x+lnt﹣1,∴,解得a＝2；（2）证明：由（1）可得f（x）＝lnx+2x,∵f（x）＞k（1﹣）+2x﹣1,∴lnx＞k（1﹣）﹣1即为xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0,可令g（x）＝xlnx+x﹣k（x﹣3）,g′（x）＝2+lnx﹣k,由x＞1, 可得lnx＞0, 2﹣k≥0,即有g′（x）＞0, g（x）在（1, +∞）递增,可得g（x）＞g（1）＝1+2k≥0,∴﹣≤k≤2故k的取值范围为[﹣, 2]；（3）对于在（0, 1）中的任意一个常数b,假设存在正数x0, 使得：+x02＜1．由e f（x0+1）﹣3x0﹣2+x02＝e ln（x0+1）﹣x0+x02＝（x0+1）•e﹣x0+x02＜1成立,从而存在正数x0, 使得上式成立, 只需上式的最小值小于0即可．令H（x）＝（x+1）•e﹣x+x2﹣1, H′（x）＝e﹣x﹣（x+1）•e﹣x+bx＝x（b﹣e﹣x）,令H′（x）＞0, 解得x＞﹣lnb, 令H′（x）＜0, 解得0＜x＜﹣lnb,则x＝﹣lnb为函数H（x）的极小值点, 即为最小值点．故H（x）的最小值为H（﹣lnb）＝（﹣lnb+1）e lnb+ln2b﹣1＝ln2b﹣blnb+b﹣1,再令G（x）＝ln2x﹣xlnx+x﹣1, （0＜x＜1）,G′（x）＝（ln2x+2lnx）﹣（1+lnx）+1＝ln2x＞0,则G（x）在（0, 1）递增, 可得G（x）＜G（1）＝0, 则H（﹣lnb）＜0．故存在正数x0＝﹣lnb, 使得+x02＜1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值、最值, 考查不等式的证明, 注意运用分析法和构造函数法, 求得导数判断单调性, 考查存在性问题的解法, 注意运用转化思想和构造函数, 求出导数, 运用单调性, 属于难题．。

山西省2019年高考数学二模试卷(解析版)(理科)

2019年山西省晋城市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={y|y=2x﹣1，x∈R}，B={x|x﹣x2＞0}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（0，1）2．若复数z的共轭复数为，且满足：=1﹣2i，其中i为虚数单位，则复数z的模为（）A．1 B．3 C．D．43．下列满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0且f′（x）≤0”的函数是（）A．f（x）=﹣xe|x|B．f（x）=x+sinxC．f（x）=D．f（x）=x2|x|4．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S3+S6=18，则S5=（）A．14 B．10 C．9 D．55．从1，2，3，4，5，6这6个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，则十位数字比个位数字和百位数字都大的概率为（）A．B．C．D．6．已知O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，直线l：y=m（x﹣1）与抛物线交于A，B两点，点A在第一象限，若|FA|=3|FB|．则m的值为（）A．3 B．C． D．7．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（）A．2 B．C．﹣1 D．以上都不正确8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，若三棱锥E ﹣ADD1的外接球的体积为36π，则正方体的棱长为（）A．2 B．2C．3D．49．已知f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+，则下列结论错误的是（）A．f（x）在区间（0，）上单调递增B．f（x）的一个对称中心为（﹣，0）C．当x∈[0，]时，fx）的值域为[1，]D．先将函数f（x）的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位后得到函数y=2cos（4x+）的图象10．如图所示为某几何体的三视图，其体积为48π，则该几何体的表面积为（）A．24πB．36πC．60πD．78π11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，=，直1线PF2交双曲线C于另一点N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．已知不等式ln（x+1）﹣（a+2）x≤b﹣2恒成立，则的最小值为（）A．﹣2 B．1﹣2e C．1﹣e D．2﹣二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．向量||=1，||=，（ +）（2﹣）=﹣1，则向量与的夹角为．14．已知（x﹣y）（x+y）5的展开式中x2y4的系数为m，则（x m+）dx=．15．若点Q（2a+b，a﹣2b）在不等式组表示的平面区域内，则z=a 2+b 2的最大值为． 16．已知△ABC 中，AB +AC=6，BC=4，D 为BC 的中点，则当AD 最小时，△ABC 的面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=，公比为q ＞0，S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列．（Ⅰ）求a n ；（Ⅱ）设b n =，c n =b n （b n +1﹣b n +2），求数列{c n }的前n 项和T n ．18．（12分）随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如表：（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”．由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为 “使用微信交流”的态度与人的年龄有关：（Ⅱ）若从年龄在[55，65），[65，75）的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查．记选中的4人中赞成“使用微信交流”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望参考数据如下：参考公式：K 2=，（n=a +b +c +d ）．19．（12分）如图所示的几何体中，ABCD 为菱形，ACEF 为平行四边形，△BDF 为等边三角形，O 为AC 与BD 的交点．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACEF ；（Ⅱ）若∠DAB=60°，AF=FC ，求二面角B ﹣EC ﹣D 的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆的右焦点F（c，0），椭圆的右顶点为A，上顶点为B，原点到直线AB的距离为．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）判断在x轴上是否存在异于F的一点G，满足过点G且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于M、N两点，P是点M关于x轴的对称点，N、F、P三点共线，若存在，求出点G坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=blnx．（1）当b=1时，求G（x）=x2﹣x﹣f（x）在区间[，e]上的最值；（2）若存在一点x0∈[1，e]，使得x0﹣f（x0）＜﹣成立，求实数b的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，等边三角形ABC内接于圆O，以B、C为切点的圆O的两条切线交于点D，AD交圆O于点E．（Ⅰ）证明：四边形ABDC为菱形；（Ⅱ）若DE=2，求等边三角形ABC的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（I）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|，x∈R．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a|x﹣1|恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={y|y=2x﹣1，x∈R}，B={x|x﹣x2＞0}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（0，1）【考点】交集及其运算．【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=2x﹣1＞﹣1，得到A=（﹣1，+∞），由B中不等式变形得：x2﹣x＜0，即x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1，即B=（0，1），则A∩B=（0，1），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若复数z的共轭复数为，且满足：=1﹣2i，其中i为虚数单位，则复数z的模为（）A．1 B．3 C．D．4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：=1﹣2i，∴=（1+i）（1﹣2i）=3﹣i，∴z=3+i．则|z|==．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．下列满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0且f′（x）≤0”的函数是（）A．f（x）=﹣xe|x|B．f（x）=x+sinxC．f（x）=D．f（x）=x2|x|【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0，且f′（x）≤0”的函数为奇函数，且在R上为减函数，进而得到答案．【解答】解：满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0，且f′（x）≤0”的函数为奇函数，且在R上为减函数，A中函数f（x）=﹣xe|x|，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，且f′（x）=≤0恒成立，故在R上为减函数，B中函数f（x）=x+sinx，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，但f′（x）=1+cosx≥0，在R上是增函数，C中函数f（x）=，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数；D中函数f（x）=x2|x|，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数，故选：A．【点评】本题以全称命题为载体，考查了函数的奇偶性和函数的单调性，难度中档．4．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S3+S6=18，则S5=（）A．14 B．10 C．9 D．5【考点】等差数列的前n项和．【分析】化简S3+S6=9a1+18d=9（a1+2d）=18，从而可得a3=a1+2d=2，从而求得．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，∴S3+S6=3a1+d+6a1+ d=9a1+18d=9（a1+2d）=18，∴a3=a1+2d=2，∴S5=5a3=10，故选B．【点评】本题考查了等差数列的性质及整体思想的应用．5．从1，2，3，4，5，6这6个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，则十位数字比个位数字和百位数字都大的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】选求出基本事件总数，再求出十位数字比个位数字和百位数字都大包含的基本事件个数，由此能求出十位数字比个位数字和百位数字都大的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5，6这6个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，基本事件总数n==120，十位数字比个位数字和百位数字都大包含的基本事件个数m==40，∴十位数字比个位数字和百位数字都大的概率为p==．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．6．已知O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，直线l：y=m（x﹣1）与抛物线交于A，B两点，点A在第一象限，若|FA|=3|FB|．则m的值为（）A．3 B．C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点，设直线l为x=ky+1，代入抛物线方程，运用韦达定理和|AF|=3|BF|，解得k，即可得到m的值．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），设直线l为x=ky+1（k＞0），代入抛物线方程可得y2﹣4ky﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4k，y1y2=﹣4，由|AF|=3|BF|，可得y1=﹣3y2，由代入法，可得k2=，∴k=，∴m=．故选：B．【点评】本题考查直线和抛物线的位置关系的综合应用，主要考查韦达定理，考查运算能力，属于中档题．7．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（）A．2 B．C．﹣1 D．以上都不正确【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得a=2，n=1执行循环体，a=，n=3满足条件n≤2016，执行循环体，a=﹣1，n=5满足条件n≤2016，执行循环体，a=2，n=7满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=9…由于2015=3×671+2，可得：n=2015，满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=2017不满足条件n≤2016，退出循环，输出a的值为．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，本题中分析a的取值规律是解题的关键，属于中档题．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，若三棱锥E ﹣ADD1的外接球的体积为36π，则正方体的棱长为（）A．2 B．2C．3D．4【考点】棱柱的结构特征．【分析】如图所示，设三棱锥E﹣ADD1的外接球的半径为r由=36π，解得r．取AD1的中点F，连接EF．则三棱锥E﹣ADD1的外接球的球心一定在EF上，设为点O．设正方体的棱长为x，在Rt△OFD1中，利用勾股定理解出即可得出．【解答】解：如图所示，设三棱锥E﹣ADD1的外接球的半径为r，∵三棱锥E﹣ADD1的外接球的体积为36π，则=36π，解得r=3．取AD1的中点F，连接EF．则三棱锥E﹣ADD1的外接球的球心一定在EF上，设为点O．设正方体的棱长为x，在Rt△OFD1中，由勾股定理可得： +（x﹣3）2=32，x＞0．化为：x=4．∴正方体的棱长为4．故选：D．【点评】本题考查了正方体的性质、三棱锥的性质、勾股定理、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+，则下列结论错误的是（）A．f（x）在区间（0，）上单调递增B．f（x）的一个对称中心为（﹣，0）C．当x∈[0，]时，fx）的值域为[1，]D．先将函数f（x）的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位后得到函数y=2cos（4x+）的图象【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用倍角公式降幂，再由两角和的正弦化简，然后逐一核对四个命题得答案．【解答】解：f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+===，当x∈（0，）时，∈（），则f（x）在区间（0，）上单调递增，A正确；∵f（）=，∴f（x）的一个对称中心为（﹣，0），B正确；当x∈[0，]时，∈[]，f（x）的值域为[1，2]，∴C 错误；先将函数f（x）的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到y=2sin（4x+）的图象，再向左平移个单位后得到函数y=2sin[4（x+）+]=2sin（）=2cos（4x+）的图象，D正确．∴错误的命题是C．故选：C．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了两角和与差的正弦及倍角公式的应用，是中档题．10．如图所示为某几何体的三视图，其体积为48π，则该几何体的表面积为（）A．24πB．36πC．60πD．78π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个圆柱挖掉两个顶点相同的圆锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，设圆锥的底面半径是r，由柱体、锥体的体积公式和几何体的体积是求出列出方程求出r，由圆柱、圆锥的侧面积该几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是：一个圆柱挖掉两个顶点相同的圆锥所得的组合体，且底面分别是圆柱的上下底面所得的组合体，圆柱的高是8、圆锥的高是4，设圆柱、圆锥的底面半径是r，∵体积为48π，∴=48π，解得r=3，则圆锥的母线长是=5，∴该几何体的表面积S=2π×3×8+2×π×3×5=78π，故选：D．【点评】本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，=，直1线PF2交双曲线C于另一点N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，即可求出双曲线C的离心率．【解答】解：由题意，|PF1|=2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由四边形PF1MF2为平行四边形，又∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，即有4c2=20a2+8a2，即c2=7a2，可得c=a，即e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线C的离心率，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．12．已知不等式ln（x+1）﹣（a+2）x≤b﹣2恒成立，则的最小值为（）A．﹣2 B．1﹣2e C．1﹣e D．2﹣【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】令y=ln（x+1）﹣（a+2）x﹣b+2，求出导数，分类讨论，进而得到b﹣3≥﹣ln（a+2）+a，可得≥，再换元，通过导数求出单调区间和极值、最值，进而得到的最小值．【解答】解：令y=ln（x+1）﹣（a+2）x﹣b+2，则y′=﹣（a+2），a+2＜0，y′＞0，函数递增，无最值．当a+2＞0时，﹣1＜x＜时，y′＞0，函数递增；当x＞时，y′＜0，函数递减．则x=处取得极大值，也为最大值，且为﹣ln（a+2）+a﹣b+3，∴﹣ln（a+2）+a﹣b+3≤0，∴b﹣3≥﹣ln（a+2）+a，∴≥，令t=a+2（t＞0），则y=，∴y′=，∴（0，）上，y′＜0，（，+∞）上，y′＞0，∴t=，y min=1﹣e．∴的最小值为1﹣e．故选：C．【点评】本题考查不等式的恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用导数判断单调性，求极值和最值是解题的关键，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．向量||=1，||=，（ +）（2﹣）=﹣1，则向量与的夹角为135°．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知||=1，||=，（ +）（2﹣）=﹣1，求出，的数量积，利用数量积公式，求出它们的夹角．【解答】解：因为||=1，||=，（ +）（2﹣）=﹣1，所以，所以=﹣1，所以向量与的夹角的余弦值为=，所以向量与的夹角为135°；故答案为：135°．【点评】本题考查了平面向量的运算；利用平面向量的数量积求向量的夹角；属于基础题．14．已知（x﹣y）（x+y）5的展开式中x2y4的系数为m，则（x m+）dx=ln2+．【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】利用二项式定理的通项公式、微积分基本定理即可得出．【解答】解：（x+y）5的通项公式：T r+1=，令5﹣r=1，r=4，解得r=4；令5﹣r=2，r=3，解得r=3．（x﹣y）（x+y）5的展开式中x2y4的系数为m=×1﹣=﹣5，则（x m+）dx=dx==ln2+．故答案为：ln2+．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．若点Q（2a+b，a﹣2b）在不等式组表示的平面区域内，则z=a2+b2的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】根据点与不等式组的关系代入建立关于a，b的不等式组，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：∵Q（2a+b，a﹣2b）在不等式组表示的平面区域内，∴，即，作出不等式组对应的平面区域如图：z=a2+b2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图象知A到原点的距离最大，由得，即A（，），则z的最大值为z=（）2+（）2=故答案为：【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识是解决本题的关键．16．已知△ABC中，AB+AC=6，BC=4，D为BC的中点，则当AD最小时，△ABC的面积为．【考点】余弦定理的应用；三角形的面积公式．【分析】根据余弦定理可得：AC2=AD2+22﹣4AD•cos∠ADC，且，进而，结合二次函数的图象和性质，可得AC=2时，AD取最小值，由余弦定理求出cos∠ACB，进而求出sin∠ACB，代入三角形面积公式，可得答案．【解答】解：∵AB+AC=6，BC=4，D为BC的中点，根据余弦定理可得：AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，且AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos∠ADB，即AC2=AD2+22﹣4AD•cos∠ADC，且，∵∠ADB=π﹣∠ADC，∴，∴，当AC=2时，AD取最小值，此时cos∠ACB==，∴sin∠ACB=，∴△ABC的面积S=AC•BC•sin∠ACB=，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是余弦定理的应用，三角形面积公式，同角三角函数的基本关系，难度中档．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）（2016•晋城二模）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=，公比为q＞0，S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=，c n=b n（b n+1﹣b n+2），求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）由S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，可得2（S3+a3）=S1+a1+S2+a2，化简整理可得：9a3=a1，再利用等比数列的通项公式即可得出．（II）b n=，c n==﹣，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（I ）∵S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列， ∴2（S 3+a 3）=S 1+a 1+S 2+a 2，∴ =3a 1+2a 2，化为9a 3=a 1，∴q 2=，q ＞0，解得q=． ∴a n =．（II ）b n ==，c n =b n （b n +1﹣b n +2）==﹣，∴数列{c n }的前n 项和T n =﹣++…+=1﹣﹣=﹣．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016•晋城二模）随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如表：（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”．由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为 “使用微信交流”的态度与人的年龄有关：（Ⅱ）若从年龄在[55，65），[65，75）的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查．记选中的4人中赞成“使用微信交流”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望参考数据如下：参考公式：K 2=，（n=a +b +c +d ）．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K 2的值，即可得到结论；（Ⅱ）ξ的可能取值有0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表K 2=≈6.35＜6.635 所以没有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；（Ⅱ）ξ所有可能取值有0，1，2，3， P （ξ=0）==，P （ξ=1）=+=，P （ξ=2）=+=，P （ξ=3）==，所以ξ的分布列是所以ξ的期望值是Eξ=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的阅读与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016•晋城二模）如图所示的几何体中，ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，△BDF为等边三角形，O为AC与BD的交点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACEF；（Ⅱ）若∠DAB=60°，AF=FC，求二面角B﹣EC﹣D的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知得BD⊥AC，BD⊥OF，由此能证明BD⊥平面ACEF．（Ⅱ）由已知得AC⊥OF，OF⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系O ﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣D的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC∵O为AC与BD的交点，∴O为BD的中点，又△BDF为等边三角形，∴BD⊥OF，∵AC⊂平面ACEF，OF⊂平面ACEF，AC∩OF=O，∴BD⊥平面ACEF．（Ⅱ）∵AF=FC，O为AC中点，∴AC⊥OF，∵BD⊥OF，∴OF⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系O﹣xyz，不妨设AB=2，∵∠DAB=60°，∴B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），A（，0，0），F（0，0，），∵=，∴E（﹣2，0，），=（﹣，﹣1，0），=（﹣2，﹣1，），设=（x，y，z）为平面BEC的法向量，则，取x=1，得=（1，﹣，1），则理求得平面ECD的法向量=（1，，1），设二面角B﹣EC﹣D的平面角为θ，则cosθ==，∴sinθ==，∴二面角B﹣EC﹣D的正弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2016•晋城二模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆的右焦点F（c，0），椭圆的右顶点为A，上顶点为B，原点到直线AB的距离为．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）判断在x轴上是否存在异于F的一点G，满足过点G且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于M、N两点，P是点M关于x轴的对称点，N、F、P三点共线，若存在，求出点G坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）运用离心率公式和点到直线的距离公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）在x轴上假设存在异于F的一点G，设为（n，0），设直线l 的方程为y=k（x﹣n），代入椭圆方程x2+2y2=2，运用韦达定理，以及三点共线的条件：斜率相等，化简整理，可得n=2，进而判断存在G（2，0）．【解答】解：（I）由题意可得e==，直线AB的方程为bx+ay=ab，由题意可得=，又a2﹣b2=c2，解得a=，b=c=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）在x轴上假设存在异于F的一点G，设为（n，0），设直线l的方程为y=k（x﹣n），代入椭圆方程x2+2y2=2，可得（1+2k2）x2﹣4nk2x+2k2n2﹣2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，由假设可得P（x1，﹣y1），F（1，0），N（x2，y2）三点共线，可得k PN=k NF，即=，由y1=k（x1﹣n），y2=k（x2﹣n），可得（x1+x2﹣2n）（x2﹣1）=（x2﹣x1）（x2﹣n），化简为（n+1）（x1+x2）﹣2x1x2﹣2n=0，即有（n+1）•﹣2•﹣2n=0，化简可得n=2，代入判别式可得2k2＜1，故存在异于F的一点G，且为（2，0），使N、F、P三点共线．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点到直线的距离公式，考查存在性问题的解法，注意运用直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）（2016•晋城二模）已知函数f（x）=blnx．（1）当b=1时，求G（x）=x2﹣x﹣f（x）在区间[，e]上的最值；（2）若存在一点x0∈[1，e]，使得x0﹣f（x0）＜﹣成立，求实数b的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）把b=1代入函数解析式，求出函数G （x ）的导函数，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数的符号得到原函数在各区间段内的单调性，从而求得函数在区间[，e ]上的最值；（2）构造函数，求导后对1+b ≤0和b +1＞0分段讨论，然后进一步对b 分段分析得答案．【解答】解：（1）当b=1时，G （x ）=x 2﹣x ﹣f （x ）=x 2﹣x ﹣lnx （x ＞0），，令G'（x ）=0，得x=1，列表如下：∵，∴G （x ）在区间上；（2）若在[1，e ]上存在一点x 0，使得成立，即在[1，e ]上存在一点x 0，使得成立，设，又，①当1+b ≤0，即b ≤﹣1时，在x ∈（0，+∞）上h'（x ）＞0，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递增；②当b+1＞0，即b＞﹣1时，在x∈（0，1+b）上h'（x）＜0，在x ∈（1+b，+∞）上，h'（x）＞0，∴h（x）在（0，1+b）上单调递减，在（1+b，+∞）上单调递增；综上所述：当b＞﹣1时，h（x）的递减区间为（0，1+b）；递增区间为（1+b，+∞）；当b≤﹣1时，h（x）只有递增区间为（0，+∞）．∴要使得在[1，e]上存在一点x0，使得成立，则只需要函数在[1，e]上的最小值小于零．①当1+b≥e，即b≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，故h（x）在[1，e]上的最小值为h（e），由，可得，∵，∴；②当1+b≤1，即b≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，故h（x）在[1，e]上最小值为h（1），由h（1）=1+1+b＜0，可得b＜﹣2（满足b≤0）；③当1＜1+b＜e，即0＜b＜e﹣1时，h（x）在[1，1+b]上单调递减，在（1+b，e]上单调递增，∴h（x）在[1，e]上最小值为h（1+b）=2+b﹣bln（1+b），∵0＜ln（1+b）＜1，∴0＜bln（1+b）＜b，∴2+b﹣bln（1+b）＞2，即h（1+b）＞2，不满足题意，舍去．综上b＜﹣2或b＞，∴实数b的取值范围为．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查分类讨论、数学转化等基本数学思想方法，考查计算能力，是压轴题．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•晋城二模）如图，等边三角形ABC内接于圆O，以B、C为切点的圆O的两条切线交于点D，AD交圆O于点E．（Ⅰ）证明：四边形ABDC为菱形；（Ⅱ）若DE=2，求等边三角形ABC的面积．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）由弦切角定理可得∠DBC=∠DCB=∠BAC=60°，△DBC 是等边三角形，即可证明四边形ABDC为菱形；（Ⅱ）由切割线定理求出AB，即可求等边三角形ABC的面积．【解答】（Ⅰ）证明：由弦切角定理可得∠DBC=∠DCB=∠BAC=60°，∴△DBC是等边三角形∴四边形ABDC为菱形；（Ⅱ）解：设AB=2x，则AE=x，由切割线定理可得DB2=DE•DA，∴4x2=2（2+x），∴x=，∴AB=2，∴等边三角形ABC的面积S==3．【点评】本题考查菱形的证明，考查切割线定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•晋城二模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（I）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求|AB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）先将直线参数方程化为普通方程，再根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程；（II）将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，取差得出|AB|．【解答】解：（I）∵ρ=2cosθ．∴ρ2=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x 2+y 2﹣2x=0．∵直线l 的参数方程为（t 为参数），∴﹣y=4，∴直线l 的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=4．（II ）将代入曲线C 的极坐标方程ρ=2cosθ得ρ=，∴A 点的极坐标为（，）．将θ=代入直线l 的极坐标方程得﹣ρ=4，解得ρ=4．∴B点的极坐标为（4，）．∴|AB |=4﹣=3．【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•晋城二模）设函数f （x ）=|x +2|+|x ﹣2|，x ∈R ．（Ⅰ）求不等式f （x ）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=a |x ﹣1|恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的意义，求得不等式f （x ）≤6的解集．（Ⅱ）函数f （x ）的图象（图中红色部分）与直线 y=a |x ﹣1|有2个不同的交点，数形结合可得a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）=|x +2|+|x ﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣2、2对应点的距离之和，而3和﹣3对应点到﹣2、2对应点的距离之和正好等于6，故不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣3≤x≤3 }．（Ⅱ）∵f（x）=|x+2|+|x﹣2|=，∴f（x）≥4，若关于x的方程f（x）=a|x﹣1|恰有两个不同的实数根，则函数f（x）的图象与直线y=a|x﹣1|（图中红色部分）有2个不同的交点，如图所示：由于A（﹣2，4）、B（2，4）、C（1，0），∴﹣2＜﹣a＜K CA，或a≥K CB，即﹣2＜﹣a＜﹣，或a≥4，求得＜a＜2，或a≥4．【点评】本题主要绝对值的意义，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．。

2019年河南省六市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2019年河南省六市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={（x，y）|y=x+1，x∈Z}，集合B={y|y=2x，x∈Z}，则集合A∩B等于（）A. B. C. D.2.若复数z满足（3-4i）z=|3-4i|，则z的虚部为（）A. B. C. 4 D.3.某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查．现将2400名学生随机地从1～2400编号，按编号顺序平均分成30组（1～80号，81～160号，…，2321～2400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是（）A. 416B. 432C. 448D. 4644.若等差数列{a n}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，n的值等于（）A. 7B. 6C. 5D. 45.设P是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P（）A. 仅有一个B. 有有限多个C. 有无限多个D. 不存在6.已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，，，，则等于（）A. B. C. 9 D. 147.设变量x，y满足不等式组，则z=|x-y-4|的最大值为（）A. B. C. D. 68.函数f（x）=的大致图象为（）A.B.C.D.9.设实数a，b，c分别满足，b lnb=1，3c3+c=1，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.10.在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF 的中点，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D. 11.在数列{a n}中，已知a1=1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n+mn，则=（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=sin2x的图象与直线2kx-2y-kπ=0（k＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，则（x1-x2）tan（x2-2x3）=（）A. B. C. 0 D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tan（x+）=2，x是第三象限角，则cos x=______．14.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率______．15.抛物线y2=4x的焦点为F，其准线为直线l，过点M（5，2）作直线l的垂线，垂足H，则∠FMH的角平分线所在的直线斜率是______．16.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin2A+sin A sin B-6sin2B=0．（1）求的值；（2）若cos C=，求sin B的值．18.如图，四棱锥P-ABCD，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=2BC=2CD=4，△PAB为等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，Q为PB中点．（1）求证：AQ⊥平面PBC；（2）求二面角B-PC-D的余弦值．19.为评估M设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到如表：（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ-σ＜X＜μ+σ）≥0.6826；②p（μ-2σ＜X＜μ+2σ）≥0.9544；③p（μ-3σ＜X＜μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断M设备的性能等级．（2）将直径小于等于μ-2σ的零件或直径大于等于μ+2σ的零件认定为是“次品”，将直径小于等于μ-3σ的零件或直径大于等于μ+3σ的零件认定为是“突变品”，从样本的“次品”中随意抽取2件零件，求“突变品”个数ξ的数学期望．20.已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．21.已知函数f（x）=e x（2x-1），g（x）=ax-a（a∈R）．（1）若y=g（x）为曲线y=f（x）的一条切线，求a的值；（2）已知a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为y2=4x．（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的倾斜角．23.已知函数f（x）=|x-1|+|2x+m|（m∈R）．（1）若m=2时，解不等式f（x）≤3；（2）若关于x的不等式f（x）≤|2x-3|在x∈[0，1]上有解，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题可得：集合A是点集，集合B是数集，所以A∩B=∅．故选：D．由题可得：集合A是点集，集合B是数集，由交集概念即可得解．本题主要考查了集合的表示及交集运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵（3-4i）z=|3-4i|，∴z==．∴z的虚部为：．故选：B．整理（3-4i）z=|3-4i|得：z=，由复数的基本概念得答案．本题主要考查了复数的模及复数的除法运算，还考查了复数的有关概念，考查计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：样本间隔为2400÷30=80，设首个号码为x，则第三．第四个号码为x+160，x+240，则x+160+x+240=2x+400=432，得2x=32，x=16，则第6组抽到的号码为16+80×5=400+16=416，故选：A．先求出样本间隔，设出首个号码x，建立方程组求出x，利用系统抽样的定义进行求解即可．本题主要考查系统抽样的应用，根据样本间隔，结合条件求出首个号码是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：由a5是a2与a6的等比中项，可得a52=a2a6，由等差数列{a n}的公差d为2，即（a1+8）2=（a1+2）（a1+10），解得a1=-11，a n=a1+（n-1）d=-11+2（n-1）=2n-13，由a1＜0，a2＜0，…，a6＜0，a7＞0，…可得该数列的前n项和S n取最小值时，n=6．故选：B．由题意可得，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得a1，结合已知公差，代入等差数列的通项可求，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时n的值等差数列与等比数列是高考考查的基本类型，本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，以及等差数列的单调性和前n项和的最小值，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：设P是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P是正方体的中心，故选：A．设P是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P是正方体的中心，即可得出结论．本题考查点面距离，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．6.【答案】D【解析】解：如图，分别以边AC，AB所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：；；∴=；∴=，，；∴．故选：D．可分别以直线AC，AB为x，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件便可求出点A，B，C，D的坐标，进而求出点E的坐标，从而得出向量的坐标，这样进行数量积的坐标运算即可求出的值．考查建立平面直角坐标系，通过坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，以及向量数乘的几何意义，数量积的坐标运算．7.【答案】D【解析】解：作出不等式组表示的平面区域如下：作出直线l：x-y-4=0，当l往上平移时，x-y-4变小，当直线l经过点B（，）时，x-y-4最大，当直线l经过点C（1，3）时，x-y-4最小．即：1-3-4≤x-y-4≤，所以-6≤x-y-4≤-，所以，所以z=|x-y-4|的最大值为6．故选：D．作出不等式组表示的平面区域，利用线性规划知识求得-6≤x-y-4≤-，问题得解．本题主要考查了利用线性规划知识求目标函数的最值，考查了数形结合思想及转化能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：函数f（x）=，当x=0时，y=-3，排除选项A，B，D．即可判断选项C正确，故选：C．利用特殊值对应点的坐标排除选项，判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．9.【答案】B【解析】解；因为，所以a=，又因为blnb=1＞0，所以lnb＞0，所以b＞1，又因为f（x）=3x3+x-1在R上为增函数，又f（1）=3＞0，f （）=-1＜0，又f（c）=0，由函数零点定理可得：，即b＞c＞a，故选：B．由对数不等式得求法得：blnb=1＞0，所以lnb＞0，所以b＞1，由函数的零点定理得：因为f（x）=3x3+x-1在R上为增函数，又f（1）=3＞0，f（）=-1＜0，又f（c）=0，由函数零点定理可得：，得解．本题考查了解对数不等式及函数的零点定理，属中档题．10.【答案】C【解析】解：可令F（-c，0），由x=-c，可得y=±b =±，由题意可设P（-c，），B（a，0），可得BP的方程为：y=-（x-a），x=0时，y=，E（0，），A（-a，0），则AE的方程为：y=（x+a），则M（-c，-），M是线段QF的中点，可得2•（-）=，即2a-2c=a+c，即a=3c，可得e==．故选：C．利用已知条件求出P的坐标，然后求解E的坐标，推出M的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11.【答案】C【解析】解：数列{a n}中，已知a1=1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n+mn，则：a2=a1+a1+1×1=3=1+2，a3=a1+a2+1×2=6=1+2+3，…，a n=1+2+3+…+n=，所以：，所以：=，=2（），=，=．故选：C．首先利用赋值法求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．12.【答案】B【解析】解：由题意得直线2kx-2y-kπ=0（k＞0）过定点（，0），且斜率k＞0，由对称性可知，直线与三角函数图象切于另外两个点，所以x3+x1=π；x2=，f′（x）=2cos2x，则切线方程过点（x1，sin2x1），（x2，sin2x2），所以2（2x3-π）cos2x3=2sin2x3，，而（x1-x2）tan（x2-2x3）=（-x3）tan （-2x3）=（π-2x3）cot2x3=-．故选：B．求出直线恒过的定点，利用函数的导数求出切线方程，转化求解表达式的值即可．直线与曲线相切一般要应用三点，一是曲线在切点处的导数是切线的斜率，二是切点即在曲线上也在切线上，三是没有切点要设切点．本就用到了上面三点，然后再配求所求式子的结构．13.【答案】【解析】解：因为tan（x+）=2，所以=2，解得：tanx=，即：sinx=cosx，又sin2x+cos2x=1，所以cos2x=，又x是第三象限角，所以cosx=-．故答案为：-．由两角和的正切公式即可求得tanx=，结合sin2x+cos2x=1，即可求得cos2x=，问题得解．本题主要考查了两角和的正切公式及同角三角函数基本关系，考查计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：从八卦中任取两卦，共有=28种取法，若两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，可按取得卦的阳、阴线的根数分类计算；当有一卦阳、阴线的根数为3、0时，另一卦阳、阴线的根数为0、3，共有1种取法．当有一卦阳、阴线的根数为2、1时，另一卦阳、阴线的根数为1、2，共有3×3=9种取法．所以两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的取法有1+9=10种．则从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为P=，故答案为：由图可得：三根都是阳线的有一卦，三根都是阴线的有一卦，两根阳线一根阴线的有三卦，两根阴线一根阳线的有三卦，利用组合数可得基本事件总数，分类利用计算原理求得符合要求的基本事件个数为10个，问题得解．本题主要考查了组合计数及分类思想，考查古典概型概率计算公式，属于中档题．15.【答案】【解析】解：连接HF，因为点M在抛物线y2=4x上，所以由抛物线的定义可知|MH|=|MF|，所以△MHF为等腰三角形，所以∠FMH的角平分线所在的直线经过HF的中点，因为F（1，0），H（-1，），所以HF的中点为（0，），所以∠FMH的角平分线的斜率为=．故答案为：．由抛物线定义可知|MH|=|MF|，进而可推断出∠FMH的角平分线所在的直线经过HF的中点，利用斜率的两点式即可得到结论．在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用．抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|=d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．16.【答案】24【解析】解：由三视图还原原几何体如图所示，在长宽高分别为6，3，4的长方体中，A1E=D1F=2，BG=CH=1，三视图所对应的几何体是多面体AEG-DHF，该组合体是由一个三棱锥和一个四棱锥组成的组合体，其体积： V=V E-AGHD +V H-EFD=．故答案为：24．首先确定几何体的空间结构特征，然后将其分割之后求解其体积即可．本题考查求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，训练了利用分割补形法求解多面体的体积，是中档题． 17.【答案】解：（1）因为sin 2A +sin A sin B -6sin 2B =0，sin B ≠0，所以（）2+ -6=0，得 =2或=-3（舍去）．由正弦定理得 ==2．（2）由余弦定理得cos C ==．① 将=2，即a =2b 代入①，得5b 2-c 2=3b 2，得c = b ．由余弦定理cos B =，得：cos B ==，则sin B = =．【解析】（1）由已知可得（）2+-6=0，解方程可得=2，由正弦定理得=2．（2）由已知及余弦定理可求c=b ，进而可求cosB 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinB 的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】证明：（1）因为AB ∥CD ，∠BCD =90°，所以AB ⊥BC ，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ∩平面ABCD =AB ，所以BC ⊥平面PAB ，（1分）又AQ ⊂平面PAB ，所以BC ⊥AQ ，（2分）因为Q 为PB 中点，且△PAB 为等边三角形，所以PB ⊥AQ ，（3分）又PB ∩BC =B ，所以AQ ⊥平面PBC ．（4分）解：（2）取AB 中点为O ，连接PO ，因为△PAB 为等边三角形，所以PO ⊥AB ，由平面PAB ⊥平面ABCD ，因为PO ⊂平面PAB ，所以PO ⊥平面ABCD ，（5分）所以PO ⊥OD ，由AB =2BC =2CD =4，∠ABC =90°，可知OD ∥BC ，所以OD ⊥AB ．以AB 中点O 为坐标原点，分别以OD ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ．（6分）所以A （0，-2，0），D （2，0，0），C （2，2，0），P （0，0，2 ），B （0，2，0），则 =（2，2，0）， =（-2，0，2 ）， =（0，-2，0），因为Q 为PB 中点，所以Q （0，1，），由（1）知，平面PBC 的一个法向量为 =（0，3，），（7分）设平面PCD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，取z =1，得 =（，，），（9分）由cos ＜，＞=== ．（11分）因为二面角B -PC -D 为钝角，所以，二面角B -PC -D 的余弦值为．（12分）【解析】（1）推导出AB ⊥BC ，从而BC ⊥平面PAB ，进而BC ⊥AQ ，再求出PB ⊥AQ ，由此能证明AQ ⊥平面PBC ．（2）取AB 中点为O ，连接PO ，推导出PO ⊥AB ，PO ⊥平面ABCD ，OD ⊥AB ．以AB 中点O 为坐标原点，分别以OD ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O-xyz ，利用向量法能求出二面角B-PC-D 的余弦值．该题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 19.【答案】解：（1）p （m -s ＜X ＜m +s ）=p （82.8＜X ＜87.2）=0.8＞0.6826p （m -2s ＜X ＜m +2s ）=p （80.6＜X ＜89.4）=0.94＜0.9544p （m -3s ＜X ＜m +3s ）=p （78.4＜X ＜91.6）=0.98＜0.9974，因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙．（ 2）由题意可知，样本中次品个数为 6，突变品个数为 2，“突变品”个数ξ的可能取值为 0，1，2， P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==，可得ξ的分布列：EY =0×+1×+2×=．【解析】（1）利用正态分布列的概率计算公式即可得出．（ 2）由题意可知，样本中次品个数为 6，突变品个数为 2，“突变品”个数ξ的可能取值为 0，1，2，利用超几何分布列的计算公式即可得出ξ的分布列与数学期望．本题考查了正态分布列的概率计算公式、超几何分布列的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得．△ ＞，△，△，所以，，，四边形==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．【解析】（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）f′（x）=e x（2x-1）+2e x=e x（2x+1），设切点为（m，n），由题意可得a=e m（2m+1），又n=am-a=e m（2m-1），解方程可得，a=1或4；（2）函数f（x）=e x（2x-1），g（x）=ax-a由题意知存在唯一的整数x0使得f（x0）在直线y=ax-a的下方，∵f′（x）=e x（2x-1）+2e x=e x（2x+1），∴当x＜-时，f′（x）＜0，当x＞-时，f′（x）＞0，∴当x=-时，f（x）取最小值-2，当x=0时，f（0）=-1，当x=1时，f（1）=e＞0，直线y=ax-a恒过定点（1，0）且斜率为a，故-a＞f（0）=-1且f（-1）=-3e-1≥-a-a，解得≤a＜1．【解析】（1）求出导数，设出切点（m，n），求得切线的斜率，由切线的方程，可得a=e m（2m+1），又n=am-a=e m（2m-1），解方程可得a的值；（2）函数f（x）=e x（2x-1），g（x）=ax-a，问题转化为存在唯一的整数x0使得f（x0）在直线y=ax-a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得-a＞f（0）=-1且f（-1）=-3e-1≥-a-a，解关于k的不等式组可得．本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值、最值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．22.【答案】解：（1）∵ ，代入y2=4x，∴ρsin2θ-4cosθ=0（2）不妨设点A，B对应的参数分别是t1，t2，把直线l的参数方程代入抛物线方程得：t2sin2α-4cosα•t-8=0，∴△=16cos2α+32sin2α＞0，∴t1+t2=，t1t2=-，则|AB|=|t1-t2|==4，∴，∴或．【解析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得抛物线C的极坐标方程；（2）不妨设点A，B对应的参数分别是t1，t2，根据弦长公式，即可求解．本题考查普通方程与极坐标方程的转化，考查弦长公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23.【答案】解：（1）若m=2时，|x-1|+|2x+2|≤3，当x≤-1时，原不等式可化为-x+1-2x-2≤3解得x≥-，所以，当-1＜x＜1时，原不等式可化为1-x+2x+2≤3得x≤0，所以-1＜x≤0，当x≥1时，原不等式可化为x-1+2x+2≤3解得x≤，所以x∈Φ，综上述：不等式的解集为；（2）当x∈[0，1]时，由f（x）≤|2x-3|得1-x+|2x+m|≤3-2x，即|2x+m|≤2-x，故x-2≤2x+m≤2-x得-x-2≤m≤2-3x，又由题意知：（-x-2）min≤m≤（2-3x）max，即-3≤m≤2，故m的范围为[-3，2]．【解析】（1）通过去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集即可．（2）已知条件转化为即|2x+m|≤2-x，即-x-2≤m≤2-3x，即可求解实数m的取值范围．本题主要考查了解绝对值不等式，利用绝对值不等式的几何意义解决问题；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等．。

2019年高考理科数学全国2卷(附答案)

12B-SX-0000020-绝密★启用前__2019 年普通高等学校招生全国统一考试_ -__-理科数学全国 II 卷__- 本试卷共 23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟：号 -(适用地区：内蒙古 / 黑龙江 /辽宁 /吉林 /重庆 /陕西 / 甘肃 /宁夏 /青海 /新疆 / 西藏 /海南 )学 -注意事项：_-__1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

_-__2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

__-如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在___答题卡上。

写在本试卷上无效。

_ 线__ 封_ 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

_密__ -__12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每个小题给出的四个选：-一、选择题：本题共名 -项中，只有一项是符合题目要求的。

姓-2- 1．设集合 A={ x|x -5x+6>0} ， B={ x|x-1<0} ，则 A ∩B=班-A ． (-∞， 1)B ． (-2， 1)C ．(-3 ， -1)D ． (3， +∞)___ -_ 2 ．设 z=-3+2i ，则在复平面内 z 对应的点位于_-__A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限年-____ 线 3 ．已知 AB =(2,3)，AC =(3，t)，BC =1，则AB BC= _ _ 封_A ．-3B ．-2C ． 2D ． 3_密_-__4． 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，_- ___ -我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键___-_ 技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中__ -___ -继星 “鹊桥 ”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L 2点的轨道运行． L 2点是平衡点，__ -_M １，月球质量为 M ２，地月距离为： - 位于地月连线的延长线上．设地球质量为校学 -R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为 M ２，地月距离为R， L 2点到月球的距离为 r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1M 2M 1 (R r) 2r 2(R r ) 3.R设r ，由于的值很小，因此在近似计算中3 33 45 3 3，则R(1 ) 2r 的近似值为A ．M2RB ．M2RC ．33M2RD ．3M2RM 12M 1M 13M 15．演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9 个原始评分中去掉 1 个最高分、 1 个最低分，得到 7 个有效评分 .7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差6．若 a>b ，则A ． ln(a- b)>0B ．3a <3 bC ． a 3- b 3>0D ． │a │ >│b │7．设 α， β为两个平面，则α∥ β的充要条件是A ． α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ． α， β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面2x 2 y 2 p=8．若抛物线 y =2px(p>0) 的焦点是椭圆1 的一个焦点，则3pp12B-SX-0000020A ．2B． 3C． 4D． 89．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是242A ．f(x)= │ cos x2│B ． f(x)= │ sin 2x│C．f(x)=cos │x│ D ． f(x)= sin x│10．已知α∈ (0，)， 2sin 2α=cos 2α+1，则 sin α=21B ．5A ．5 5C．3 D ．2535x2y21(a0,b0)的右焦点， O 为坐标原点，以 OF 11．设 F 为双曲线 C：b2a2为直径的圆与圆x2y2 a2交于P，Q两点.若PQ OF ，则C的离心率为A ．2B ．3C． 2 D ．512．设函数 f ( x) 的定义域为R，满足 f (x1) 2 f ( x) ，且当x(0,1] 时，f (x )x(x 1) .若对任意 x (, m]，都有 f ( x)8，则 m 的9取值范围是A ．9B ．7 ,, 43C．5D ．8,,23二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

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2019-2020年高考数学二模试卷理（含解析） (V)一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）（）A．﹣i B．i C．1+i D．1﹣i2．（5分）已知集合M={1，2，3，4}，N={2，4，5}，则{x|x∈M∪N，x∉M∩N}=（）A．{2，4，5} B．{1，3，5} C．{2，4} D．{1，2，3，4，5}3．（5分）某班的一次数学考试后，按学号统计前20名同学的考试成绩如茎叶图所示，则该样本数据的中位数为（）A．74.5 B．75 C．75.5 D．764．（5分）设a=log3π，b=log2，c=log3，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c5．（5分）已知抛物线y2=4x，过抛物线焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则|AB|=（）A．A B．C．5 D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的S值大于，则输入的正整数N的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7（5分）设数列{a n}的前n项之积为P n=a1a2…a n（n∈N*），若P n=2，则++…+= 7．（）A．B．C．D．8．（5分）设函数f（x）=sinωx+cosωx，ω∈（﹣3，0），若f（x）的最小正周期为π，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（﹣，0）B．（﹣，）C．（，）D．（，π）9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）A．5 B．4 C．3 D．210．（5分）双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若F关于直线y=x的对称点P在双曲线上，则C的离心率为（）A．2 B．C．D．+111．（5分）四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB、AC、AD两两垂直，=2，则该四面体体积的最大值为（）A．B．C．2D．712．（5分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx，对任意的b，c∈[﹣3，3]．f（x）在（﹣1，1）内既有极大值又有极小值的概率为（）A．B．C．D．二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）我们把中间位数上的数字最大面两边依次减小的多位数成为“凸数”．如132、341等，那么由1、2、3、4、5可以组成无理重复数字的三位凸数的个数是（用数字作答）14．（5分）若正方形ABCD的边长为3，=2，=2，则•=．15．（5分）已知数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n（n∈N•）．若存在正实数λ使得数列|a n+1+λa n|为等比数列，则λ=．16．（5分）已知定义在区间[a，a+2]上的奇函数y=f（x），当0＜x≤a+2时，f（x）=（x﹣1）．若方程f（x）=x3+cx恰有三个不相等的实数根，则实数c的取值范围为．三、简答题，共5小题，共70分17．（12分）如图，在△ABC中，BC边上的中线为AD．（1）若AD=BD=2，AB=3，求ABC的面积；（2）若∠ABC=30°，∠ACB=45°，求tan∠BAD的值．18．（12分）某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学，开展听课、访谈及随堂检测等活动．他们把收集到的180节课分为三类课堂教学模式：教师主讲的为A模式，少数学生参与的为B模式，多数学生参与的为C模式．A、B、C三类课的节数比例为3：2：1（Ⅰ）为便于研究分析，教育专家将A模式称为传统课堂模式，B、C统称为新课堂模式，根据随堂检测结果，把课堂教学效率分为高效和非高效，根据检测结果统计得到如下2×2列联表（单位：节）高效非高效统计新课堂模式60 30 90传统课堂模式40 50 90统计100 80 180请根据统计数据回答：有没有99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关？并说明理由．（Ⅱ）教育专家采用分层抽样的方法从收集到的180节课中选出18节课作为样本进行研究，并从样本的B模式和C模式课堂中随机抽取3节课．①求至少有一节为C模式课堂的概率；②设随机抽取的3节课中含有C模式课堂的节数为X，求X的分布列和数学期望．参考临界值表：P（K2≧K0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001K0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.897 10.828参考公式：K2=，其中n =a +b +c +d19．（12分）如图，在等腰梯形CDFE中，A、B分别为底边DE，CE的中点．AD=2AB=2BC=2．沿AE将AEF折起，使二面角F﹣AE﹣C为直二面角，连接CF、DF．（Ⅰ）证明：平面ACF⊥平面AEF；（Ⅱ）求平面AEF与平面CDF所成二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点（1，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F1的直线与椭圆相较于P、Q两点，设△PQF2内切圆的面积为S，求S最大时圆的方程．21．（12分）已知函数f（x）=mlnx﹣x2+（2m﹣1）x，（m∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设m＞0，证明：当0＜x＜m时，f（m+x）＞f（m﹣x）；（Ⅲ）若函数f（x）的图象与x轴交于A、B两点，线段AB的中点的横坐标为x0，f′（x）为函数f（x）的导函数，证明f′（x0）＜0．四、选考题(从22、23、24中任选做一题作答。

注意：只能做选定的题目，如果多做则按第一题计分)22．（10分）如图，已知AB为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C作半圆的切线CF，过点A作CF的垂线，垂足为D，AD交半圆于点E，连结EC，BC，AC．（Ⅰ）证明：AC平分∠BAD；（Ⅱ）若AB=3，DE=，求△ABC的面积．23．已知曲线C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上的点的距离的最小值是此时点P的坐标．24．已知函数f（x）=|x+a|+2|x+1|．（Ⅰ）当a=﹣1时，求不等式f（x）＞5的解集；（Ⅱ）若f（x）＞|x+1|+3a﹣7恒成立，求实数a的取值范围．河北省邯郸市2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）（）A．﹣i B．i C．1+i D．1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：=．故选：B．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．（5分）已知集合M={1，2，3，4}，N={2，4，5}，则{x|x∈M∪N，x∉M∩N}=（）A．{2，4，5} B．{1，3，5} C．{2，4} D．{1，2，3，4，5}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵M={1，2，3，4}，N={2，4，5}，∴M∪N={1，2，3，4，5}，M∩N={2，4}，则{x|x∈M∪N，x∉M∩N}={1，3，5}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．（5分）某班的一次数学考试后，按学号统计前20名同学的考试成绩如茎叶图所示，则该样本数据的中位数为（）A．74.5 B．75 C．75.5 D．76考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据中位数的概念和茎叶图中的数据，即可得到数据中的中位数解答：解：从茎叶图中可知20个数据排序后中间的两个数据为：75，76，所以中位数=75.5．故选：C．点评：本题主要考查茎叶图的应用，以及中位数的求法，要注意在求中位数的过程中，要把数据从小到大排好，才能确定中位数，同时要注意数据的个数．4．（5分）设a=log3π，b=log2，c=log3，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵b=log2=，c=log3=，=1，∴，∴c＜b＜1．又a=log3π＞1，∴a＞b＞c．故选：A．点评：本题考查对数函数的单调性，属于基础题．5．（5分）已知抛物线y2=4x，过抛物线焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则|AB|=（）A．A B．C．5 D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点坐标F（1，0），用点斜式设出直线方程：y=（x﹣1），与抛物线方程联解得一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段AB的长度．解答：解：根据抛物线y2=4x方程得：焦点坐标F（1，0），直线AB的斜率为k=tan=由直线方程的点斜式方程，设AB：y=（x﹣1）将直线方程代入到抛物线方程当中，得：3（x﹣1）2=4x整理得：3x2﹣10x+3=0设A（x1，y1），B（x2，y2）由一元二次方程根与系数的关系得：，x1•x2=1，所以弦长|AB|=|x1﹣x2|==．故选：D．点评：本题以抛物线为载体，考查了圆锥曲线的弦长问题，属于难题．本题运用了直线方程与抛物线方程联解的方法，对运算的要求较高．利用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式是解决本题的关键．6．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的S值大于，则输入的正整数N的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：第一次执行完循环体后，T=1，S=1，K=2，不满足输出条件，再次执行完循环体后，T=，S=，K=3，不满足输出条件，再次执行完循环体后，T=，S=，K=4，不满足输出条件，再次执行完循环体后，T=，S=，K=5，满足输出条件，故输入的正整数N的值为4，故选：A．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．（5分）设数列{a n}的前n项之积为P n=a1a2…a n（n∈N*），若P n=2，则++…+= 7．（）A．B．C．D．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意得到a1a2…a n=2，求得首项，取n=n﹣1得到（n≥2），作商求得数列通项公式，并得到数列∴{}是以1为首项，以为公比的等比数列，由此求得答案．解答：解：由P n=a1a2…a n（n∈N*），P n=2，得a1a2…a n=2，∴，（n≥2），两式作商得：（n≥2），当n=1时上式成立，∴（n≥2），则，，由，∴{}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴++…+=．故选：B．点评：本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的前n项和，是中档题．8．（5分）设函数f（x）=sinωx+cosωx，ω∈（﹣3，0），若f（x）的最小正周期为π，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（﹣，0）B．（﹣，）C．（，）D．（，π）考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由两角和与差的正弦函数公式化简可得f（x）=2sin（ωx+），解得ω，由2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z可解得f（x）的单调递减区间．解答：解：∵f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），∴由f（x）的最小正周期T==π，解得ω=﹣2，f（x）=﹣2sin（2x﹣），∴由2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z可解得f（x）的单调递减区间可为：（kπ﹣，kπ+），k∈Z∴当k=0时，可得f（x）的一个单调递减区间是（﹣，）．故选：B．点评：本题主要考查来了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）A．5 B．4 C．3 D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其高为2，底面是直角边长度为3的等腰直角三角形，故先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．解答：解：由已知中三棱锥的三视图，可得该三棱锥的直观图如下所示：其高为2，底面是直角边长度为3的等腰直角三角形，故其底面面积S=×3×3=，高h=2，故体积V==3，故选：C点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10．（5分）双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若F关于直线y=x的对称点P在双曲线上，则C的离心率为（）A．2 B．C．D．+1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线右焦点关于直线y=x的对称点P的坐标，代入双曲线方程整理求得双曲线的离心率．解答：解：双曲线的右焦点F（c，0），设F（c，0）关于于直线y=x的对称点P（x0，y0），则，解得：，即P（），代入双曲线得：（舍），或．∴e=．故选：D．点评：本题考查点关于直线的对称点的求法，考查了双曲线的简单几何性质，是基础的计算题．11．（5分）四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB、AC、AD两两垂直，=2，则该四面体体积的最大值为（）A．B．C．2D．7考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，=c••=c2=2，进而可得a2+b2=14≥2ab，即可求出四面体体积的最大值．解答：解：由题意，=c••=c2=2，∵a2+b2+c2=16，∴a2+b2=14≥2ab，∴ab≤7，∴=≤，∴四面体体积的最大值为，故选：A．点评：本题考查四面体体积的最大值，考查向量知识的运用，确定=c••=c2=2是关键．12．（5分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx，对任意的b，c∈[﹣3，3]．f（x）在（﹣1，1）内既有极大值又有极小值的概率为（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：求导数，确定f（x）在（﹣1，1）内既有极大值又有极小值，对应的区域的面积，b，c∈[﹣3，3]，对应区域的面积，即可求出f（x）在（﹣1，1）内既有极大值又有极小值的概率．解答：解：由题意f′（x）=3x2+2bx+c，∵f（x）在（﹣1，1）内既有极大值又有极小值，∴f′（x）=3x2+2bx+c=0的两个根在（﹣1，1）内，∴，对应区域的面积为2==6，∵b，c∈[﹣3，3]，∴对应区域的面积为36，∴f（x）在（﹣1，1）内既有极大值又有极小值的概率为，故选：D．点评：本题考查函数的极值，考查导数知识的运用，考查概率的计算，确定区域，正确求面积是关键．二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）我们把中间位数上的数字最大面两边依次减小的多位数成为“凸数”．如132、341等，那么由1、2、3、4、5可以组成无理重复数字的三位凸数的个数是20（用数字作答）考点：排列、组合的实际应用．专题：排列组合．分析：根据“凸数”的特点，中间的数字只能是3，4，5，故分三类，第一类，当中间数字为”3“时，第二类，当中间数字为”4“时，第三类，当中间数字为”5“时，根据分类计数原理即可解决．解答：解：根据“凸数”的特点，中间的数字只能是3，4，5，故分三类，第一类，当中间数字为”3“时，此时有2种，（132，231），第二类，当中间数字为”4“时，从1，2，3中任取两个放在4的两边，故有=6种，第三类，当中间数字为”5“时，从1，2，3，4中任取两个放在5的两边，故有=12种，根据分类计数原理，得到由1、2、3、4、5可以组成无理重复数字的三位凸数的个数是2+6+12=20种．故答案为：20．点评：本题考查了分类计数原理，关键是根据新定义，进行分类，属于中档题．14．（5分）若正方形ABCD的边长为3，=2，=2，则•=﹣6．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将所求利用正方形的各边表示，展开整理可得．解答：解：因为正方形ABCD的边长为3，=2，=2，所以•=（）•（）=+=0﹣3﹣3+0=﹣6；故答案为：﹣6．点评：本题考查了平面向量的三角形法则的运用以及数量积公式的运用；关键是将所求用正方形的各边对应的向量表示．15．（5分）已知数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n（n∈N•）．若存在正实数λ使得数列|a n+1+λa n|为等比数列，则λ=．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：通过变形可得a n+2+λa n+1=（1+λ）（a n+1+a n），只需=λ，计算即得结论．解答：解：由题意可知：a n+2+λa n+1=（1+λ）a n+1+a n=（1+λ）（a n+1+a n），∴=λ，解得：λ=或λ=（舍），∵a1=a2=1，∴a3=2，易验证当n=1时满足题意，故答案为：．点评：本题考查等比数列的概念，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（5分）已知定义在区间[a，a+2]上的奇函数y=f（x），当0＜x≤a+2时，f（x）=（x﹣1）．若方程f（x）=x3+cx恰有三个不相等的实数根，则实数c的取值范围为或c＜﹣1．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的性质求出a的值，求出函数f（x）的表达式，利用函数和方程之间的关系，利用数形结合进行求解即可．解答：解：∵f（x）是定义在区间[a，a+2]上的奇函数，∴a+a+2=0，即2a+2=0，交点a=﹣1，即对应区间为[﹣1，1]，当0＜x≤1时，f（x）=（x﹣1）．则当﹣1≤x＜0时，0＜﹣x≤1，此时f（﹣x）=（﹣x﹣1）=﹣f（x），则f（x）=（x+1），即f（x）=．作出函数f（x）的图象如图：则设g（x）=x3+cx，则g（x）为奇函数，若方程f（x）=x3+cx恰有三个不相等的实数根，则等价为f（x）与g（x）有3个不同的交点，根据函数奇偶性的对称性，则等价为在（0，1]上，两个函数只有一个交点，函数g（x）的导数g′（x）=3x2+c，若c≥0，则g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，1]上为增函数，此时在（0，1]上没有交点，不满足条件．若c＜0，当g（x）与f（x）在（0，1]上相切时，由g′（x）=得3x2+c=，即3x2=﹣c，由x3+cx=（x﹣1）两个方程联立得c=，x=，即切点坐标为（，﹣）．当g（x）与f（x）不相切时，即c≠时，要使在（0，1]上，两个函数只有一个交点，则满足g（1）＜0，即1+c＜0，解得c＜﹣1，综上或c＜﹣1，故答案为：或c＜﹣1点评：本题主要考查方程根的个数的应用，根据函数奇偶性性质求出a的值，以及利用函数和方程之间的关系转化为两个图象的交点问题是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．三、简答题，共5小题，共70分17．（12分）如图，在△ABC中，BC边上的中线为AD．（1）若AD=BD=2，AB=3，求ABC的面积；（2）若∠ABC=30°，∠ACB=45°，求tan∠BAD的值．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）在三角形ABD中，利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入求出cosB的值，进而求出sinB的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可；（2）设∠BAD=α，则∠CAD=105°﹣α，在三角形ABD中，利用正弦定理表示出BD，在三角形ACD中，利用正弦定理表示出CD，由BD=CD，求出tanα的值，即为tan∠BAD的值．解答：解：（1）在△ABD中，AD=DB=2，AB=3，由余弦定理可得cosB==，∴sinB==，则S△ABC=AB•BC•sinB=；（2）设∠BAD=α，则∠CAD=105°﹣α，在△ABD中，由正弦定理可得=，又在△ACD中，由正弦定理可得=，∵BD=CD，∴=，即sin（105°﹣α）=sinα，整理得：sin105°cosα﹣cos105°sinα=sinα，即sin105°cosα=（+cos105°）sinα，解得：tanα=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学，开展听课、访谈及随堂检测等活动．他们把收集到的180节课分为三类课堂教学模式：教师主讲的为A模式，少数学生参与的为B模式，多数学生参与的为C模式．A、B、C三类课的节数比例为3：2：1（Ⅰ）为便于研究分析，教育专家将A模式称为传统课堂模式，B、C统称为新课堂模式，根据随堂检测结果，把课堂教学效率分为高效和非高效，根据检测结果统计得到如下2×2列联表（单位：节）高效非高效统计新课堂模式60 30 90传统课堂模式40 50 90统计100 80 180请根据统计数据回答：有没有99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关？并说明理由．（Ⅱ）教育专家采用分层抽样的方法从收集到的180节课中选出18节课作为样本进行研究，并从样本的B模式和C模式课堂中随机抽取3节课．①求至少有一节为C模式课堂的概率；②设随机抽取的3节课中含有C模式课堂的节数为X，求X的分布列和数学期望．参考临界值表：P（K2≧K0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001K0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.897 10.828参考公式：K2=，其中n =a +b +c +d考点：离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由列联表中的统计数据，直接计算随机变量K2的观测值，然后推出结果即可．（Ⅱ）①从样本中的B、C模式课堂中随机抽取3节课，故该实验为古典概型．求解概率即可．②X的所有取值为0，1，2，3．求出概率，然后列出分布列计算期望．解答：解：（Ⅰ）由列联表中的统计数据计算随机变量K2的观测值为：由临界值表P（k2≥6.635）≈0.010，故有99%的把握认为课堂效率与教学模式有关…．（3分）（Ⅱ）①从样本中的B、C模式课堂中随机抽取3节课，故该实验为古典概型．事件M表示“抽取的3节课中至少有一节课为C模式课堂”．则…．（6分）②X的所有取值为0，1，2，3.，，所以随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P…．（10分）∴…．（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，对立检验的应用，考查计算能力．19．（12分）如图，在等腰梯形CDFE中，A、B分别为底边DE，CE的中点．AD=2AB=2BC=2．沿AE将AEF折起，使二面角F﹣AE﹣C为直二面角，连接CF、DF．（Ⅰ）证明：平面ACF⊥平面AEF；（Ⅱ）求平面AEF与平面CDF所成二面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明EF⊥EA；EF⊥AC；然后证明EF⊥平面AECD，说明AC⊥EF，推出AC⊥平面AEF，即可证明平面ACF⊥平面AEF．（Ⅱ）以E为原点，EC所在直线为x轴，EF所在直线为Z轴建立如图所示的坐标系，求出平面AEF的法向量，平面FCD的法向量，利用空间向量的数量积求解平面AEF与平面CDF所成锐二面角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：在等腰梯形CDFE中，由已知条件可得，，AF=AD=2，所以，AE2+EF2=AF2，∴EF⊥EA；同理可证，EF⊥AC；…（1分）在四棱锥F﹣AECD中，∵二面角F﹣AE﹣C为直二面角，∴平面AEF⊥平面AECD，∴EF⊥平面AECD，…（2分）∵AC⊂平面AECD，∴AC⊥EF，又∵AC⊥AE，∴AC⊥平面AEF，…（4分）∴平面ACF⊥平面AEF．…（5分）（Ⅱ）解：以E为原点，EC所在直线为x轴，EF所在直线为Z轴建立如图所示的坐标系，则A（1，1，0），C（2.0，0），D（3，1，0），…．（6分）则，.，，显然，为平面AEF的法向量，设平面FCD的法向量，则，所以的一个取值为…．（9分）故平面AEF与平面CDF所成锐二面角的余弦值为．…．（12分）点评：本题考查二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点（1，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F1的直线与椭圆相较于P、Q两点，设△PQF2内切圆的面积为S，求S最大时圆的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用椭圆离心率为，设出椭圆方程为，通过点的坐标在椭圆上，求解即可．（Ⅱ）设直线PF1的方程为x=ny﹣1，与椭圆联立，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理求出|y1﹣y2|，令t=n2+1，利用基本不等式求出最值．然后求解△PQF2面积最大值，得到PF2的方程，圆的方程．解答：解：（Ⅰ）由题意，椭圆的离心率为，故设椭圆方程为，将带入上式，得m2=1．所以椭圆的标准方程为．…．（4分）（Ⅱ）设直线PF1的方程为x=ny﹣1，与椭圆联立得，（n2+2）y2﹣2ny﹣1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，g（x），∴…．（8分）令t=n2+1，则，当且仅当n=0时等号成立．由题意，因为△PQF2的周长为定值，因此当△PQF2面积取最大值时，它的内切圆面积S也取得最大值，而，所以，当n=0时，S取得最大值．此时，△PQF2的内切圆圆心一定在x轴上，设其坐标为（x0，0），取点P的坐标为，则PF2的方程为．∴，得或x0=﹣2（舍）∴，圆心为，此时圆的方程为．…（12分）．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，考查韦达定理的应用，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．21．（12分）已知函数f（x）=mlnx﹣x2+（2m﹣1）x，（m∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设m＞0，证明：当0＜x＜m时，f（m+x）＞f（m﹣x）；（Ⅲ）若函数f（x）的图象与x轴交于A、B两点，线段AB的中点的横坐标为x0，f′（x）为函数f（x）的导函数，证明f′（x0）＜0．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当b=2时，求导函数，根据函数y=f（x）存在单调递减区间，所以f′（x）＜0有解，又因为x＞0时，则ax2+2x﹣1＞0有x＞0的解，分类讨论，即可求得a的取值范围；（Ⅱ）设则t1=m+x，t2=m﹣x，则t1+t2=2m，t1﹣t2=2x，利用做差法，得到f（m+x）﹣f（m﹣x）=mln﹣2x，构造函数，利用函数的单调性即可证明；（Ⅲ）设点A，B的坐标分别是（x1，0），（x2，0），0＜x1＜x2，利用（Ⅰ）（Ⅱ）即可证明．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴，当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当m＞0时，若x∈（0，m），则f'（x）＞0，f（x）单调递增，若x∈（m，+∞），则f'（x）＜0，f（x）单调递减，（Ⅱ）设则t1=m+x，t2=m﹣x，则t1+t2=2m，t1﹣t2=2x，∴f（t1）﹣f（t2）=mln﹣（t1﹣t2）（t1+t2）+（2m﹣1）（t1﹣t2）=mln﹣2x，∴f（m+x）﹣f（m﹣x）=mln﹣2x，设，则，且m＞0，0＜x＜m，∴g'（x）＞0，g（x）在（0，m）上递增，∴g（x）＞g（0）=m＞0，∴f（m+x）＞f（m﹣x）．（Ⅲ）设A，B的横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2则x1+x2=2x0由（Ⅰ）可知m＞0，且0＜x1＜m＜x2，由（Ⅱ）可得f（2m﹣x1）=f（m+（m﹣x1））＞f（m﹣（m﹣x1））=f（x1）=f（x2）=0，又∵f（x）在（m，+∞）上单调递减，∴2m﹣x1＜x2即2m＜x1+x2=2x0⇔m＜x0由（Ⅰ）f'（x0）＜0．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．四、选考题(从22、23、24中任选做一题作答。