北师大版八年级上第二章2.7二次根式
北师大初中数学八年级上册第二章《2.7二次根式 》教案
北师大版八年级上册第二章《二次根式（第3课时）》教案一、学生情况分析前面学习了实数，实数的运算法则，最简二次根式及二次根式的化简，已能进行实数的四则运算.但熟练程度不高，同时对根号内含字母的二次根式的化简比较生疏.．为今后的数学学习扫清了计算方面的障碍．二、教学任务分析二次根式（第3课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第3课时．继续巩固二次根式的概念，熟练二次根式的化简，进而完善实数的运算．二次根式化简掌握以后，初中阶段实数的运算基本完成，本节课就是进一步完善二次根式的运算。
若能够在含字母的二次根式的化简方面再深化一下，那么在今后的学习中，实数的计算问题基本解决了．经历本节课的学习，学生对实数的运算，就有了较全面的了解。
因此本节课的目标定为：1.进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的化简。
2. 了解根号内含有字母的二次根式的化简3.利用二次根式的化简解决简单的数学问题． 通过独立思考，能选择合理的方法解决问题．4.在运算过程中巩固知识，通过与人交流总结方法． 根号内含字母的二次根式的化简对学生来说是一个难点．三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识巩固； 第三环节：问题解决 ；第四环节：知识提升；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置.第一环节：复习引入内容：（1）最简二次根式的概念；（2）二次根式化简过程中，你有哪些体会？（3）上节课课后作业：若414.12≈，732.13≈，449.26≈，求23．你是怎样解决的？意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课．第二环节：知识巩固1.巩固提升例4 计算：（1）3223-；（2）81818+-；（3）3)6124(÷-． 解：（1）3223-＝33322223⨯⨯-⨯⨯＝631621-＝6)3121(-＝661； （2）81818+-＝162222322+⨯-⨯＝2412223+-＝245； （3）3) 6124(÷-＝ 361324÷-÷＝ 361324÷-÷ ＝ 3618⨯-＝ 66224⨯-⨯＝ 26122-＝ 2611． 说明：可以放手让学生独立完成，然后通过交流，发现问题，给出一个统一的意见．2.交流收集第（3）小题有多少种解决方法．让学生说说想法．3.反思以上过程每位同学都是怎样化简的，方法好不好，能做到快而准确吗？4.练习化简：（1）10152-；（2）31312+-；（3）8)2118(⨯-．第三环节：问题解决如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形的面积，你有哪些方法，与同伴交流．1.交流让学生充分发表意见．2.答案（1）直接求法．过点D 作AB 边上的高DE ，可发现边AB ，DC 及DE都是某一个小直角三角形的斜边．根据勾股定理可求得AB ＝25， CD ＝2，DE ＝23，面积梯形AB CD 的面积是23)225(21⨯+＝18. （2）间接求法．将梯形ABCD 补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的面积，得梯形ABCD 的面积是11212421552175⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯＝18． 第四环节：知识提升1.知识探索问题：2a （0>a ）等于多少？根据算术平方根的定义，可知a a =2（0>a ）．2.知识运用例5 化简：（1）3325b a （0>a ，0>b ）；（2）3)(y x +（0≥+y x ）；（3）a b b a （0>a ，0>b ）． 解：（1）3325b a ＝ab b a ⋅2225＝ab b a ⋅2225＝ab ab 5；（2）3)(y x +＝)()(2y x y x +⋅+＝y x y x ++)(；（3）a b b a＝2a ab b a ＝ab a b a 1⨯＝ab b 1． 3.课堂练习1.当0>a ，0>b 时化简：（1）)(a b b a ab +；（2）324b a ；（3）ab b a⨯-)1(； （4）b a a b ab a 155102÷⋅． 解：（1）)(a b b a ab +＝a b ab b a ab ⨯+⨯＝ab ab b a ab ⨯+⨯ ＝22b a +＝b a +；（2）324b a ＝b b a ⋅2222＝b b a ⋅2222＝b ab 2；（3）ab b a⨯-)1(＝ab b ab a ⨯-⨯1＝ab b ab a ⨯-⨯1＝a b b ⨯-2 ＝a b b -；（4）b a a b ab a 155102÷⋅＝ba ab ab a ÷⋅÷⨯)15510(2＝a b a 32310⋅ ＝222310a ba b a ⋅⋅＝222310a ba b a ⋅⋅＝222310aab b a ⋅⋅＝ab a b a ⋅⋅2310 ＝ab ab 310． 2. 求代数式ab b a ⨯-)1(的值，其中3=a ，2=b ． 解：由题知0>a ，0>b ．ab b a ⨯-)1(＝ab b ab a ⨯-⨯1＝ab b ab a⨯-⨯1＝2ab b - ＝a b b -．当3=a ，2=b 时，a b b -＝322-．第五环节：课堂小结（1）二次根式的化简：二次根式的化简一定要化成最简二次根式．（2）利用式子a a =2（0>a ）可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成最简二次根式．第六环节：课后作业习题 2．11 1， 3补充作业：化简：（1）)263)(232(+-； （2）)483814122(23+-； （3）)0,0()2(≥≥⋅+-y x xy yx x y xy ； （4）)0,0()(33≥≥⋅-+b a ab ab ab b a ；（5）)0(4322763232≥+-a a ab a b ab a ． 答案：（1）64216-；（2）6648-；（3）x y xy +-2；（4）ab ab ab b a -+22；（5）a ab 325． 五、教学反思。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教案3
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教案3一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2.7节的内容，本节主要让学生了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。
通过学习二次根式，为学生后续学习函数、方程等数学知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但学生对二次根式的理解可能存在一定的困难，因此需要通过具体例子和实际操作，让学生深入理解二次根式的概念和性质。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质；2.学会二次根式的运算方法，能够进行简单的二次根式运算；3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质；2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.采用实例教学法，通过具体例子让学生理解二次根式的概念和性质；2.采用归纳总结法，引导学生总结二次根式的运算方法；3.采用小组合作学习法，让学生在合作中思考、交流、解决问题。
六. 教学准备1.准备相关例题和练习题；2.准备多媒体教学设备，如投影仪等；3.准备二次根式的相关素材，如图片、实物等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中实际问题，引入二次根式的概念。
例如，讲解一个物体的高度为3√2米，让学生思考如何表示这个高度的平方根。
通过这个例子，让学生初步了解二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）呈现几个二次根式的例子，让学生观察、分析，引导学生发现二次根式的性质。
如：√9 = 3，√16 = 4，√25 = 5等。
通过这些例子，让学生深入理解二次根式的性质。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如：计算√16 + √25，√81 - √16等。
在练习过程中，引导学生总结二次根式的运算方法。
4.巩固（10分钟）出示一些有关二次根式的应用题，让学生运用所学知识解决问题。
如：一个正方形的边长为3√2米，求其面积。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计1
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计1一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2.7节的内容，本节主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中占有重要地位，它不仅是学习更高深数学的基础，也是解决实际问题的重要工具。
通过学习二次根式，学生可以更好地理解和掌握数学的本质。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了实数、有理数和无理数等基础知识，对数的运算也有一定的了解。
但二次根式作为一种新的数学对象，其概念和性质需要学生通过实例去感受和理解。
同时，学生需要将已有的知识运用到新的领域，进行二次根式的运算。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念和性质。
2.掌握二次根式的运算方法。
3.能够运用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过设置问题和实例，引导学生主动探索和理解二次根式的概念和性质。
同时，通过小组讨论和合作交流，培养学生解决问题的能力和团队协作精神。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关练习题和实例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过设置问题：“你能用已学的知识解释水的沸腾吗？”引导学生思考和探索二次根式的概念和性质。
2.呈现（10分钟）通过PPT课件，展示二次根式的实例，引导学生观察和分析，总结出二次根式的概念和性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用刚学的知识进行分析和运算。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一组练习题，让学生独立完成，检验学生对二次根式的理解和掌握程度。
5.拓展（10分钟）让学生运用二次根式解决实际问题，如计算物理中的速度、路程等问题。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，巩固二次根式的概念和性质，以及运算方法。
7.家庭作业（5分钟）布置适量作业，让学生进一步巩固和提高二次根式的理解和运用能力。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》说课稿
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》说课稿一. 教材分析北师大版八年级数学上册第2.7节《二次根式》是学生在学习了实数、有理数、无理数等相关知识的基础上，进一步深入研究根式的一种拓展。
本节内容主要介绍了二次根式的定义、性质和运算规则，旨在培养学生对根式的理解和运用能力。
教材通过例题和练习题的形式，使学生能够熟练掌握二次根式的相关知识，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，对于根式的概念和性质有一定的了解。
但二次根式作为一种特殊的根式，其定义和性质与一次根式有所不同，需要学生进行进一步的学习和理解。
此外，学生需要掌握二次根式的运算规则，并能够灵活运用到实际问题中。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次根式的定义，掌握二次根式的性质和运算规则，并能够运用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等学习方式，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学科的兴趣和热爱，培养学生的自信心和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的定义、性质和运算规则。
2.教学难点：二次根式的运算规则的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探索、讨论和解决问题。
2.教学手段：利用多媒体课件、板书、练习题等教学手段，帮助学生理解和掌握二次根式的相关知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一次根式的相关知识，引导学生思考二次根式的定义和性质。
2.讲解：讲解二次根式的定义、性质和运算规则，通过例题和练习题的形式，使学生能够理解和掌握相关知识。
3.小组合作：学生分组讨论，通过解决实际问题，运用二次根式的相关知识，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
4.总结：对本节内容进行总结，强调二次根式的定义、性质和运算规则的重要性和运用。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2.7节的内容，本节主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式是中学数学中的重要内容，它不仅出现在代数、几何等领域，还是学习高中数学的基础。
本节内容为学生提供了理解二次根式的基础知识，为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学概念和运算有一定的理解。
但二次根式作为一种新的数学对象，其概念和性质与已有知识有很大的不同，需要学生进行一定的适应和理解。
同时，学生需要掌握二次根式的运算方法，这需要他们在课堂上进行充分的练习和思考。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念和性质；2.掌握二次根式的运算方法；3.能够应用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质；2.二次根式的运算方法；3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲授法、案例教学法、练习法、小组合作学习法等。
通过具体的例子和练习，让学生理解和掌握二次根式的概念、性质和运算方法。
六. 教学准备1.PPT课件；2.练习题；3.小组讨论工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，例如：“一个正方形的对角线长为8cm，求正方形的面积。
”让学生思考如何解决这个问题，引出二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT课件展示二次根式的图形和性质，让学生理解和掌握二次根式的基本概念和性质。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，提供一些练习题，让学生独立完成，然后进行讲解和解析。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生应用二次根式的概念和运算方法，巩固所学知识。
5.拓展（5分钟）讲解二次根式在实际问题中的应用，提供一些实际问题，让学生思考如何运用二次根式解决这些问题。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生回顾和巩固所学知识。
北师大初中数学八年级上册第二章《2.7二次根式》教案
北师大版数学八年级上册第二章《二次根式》教案教学目标：1.式子b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)，b a ba = (a ≥0,b ＞0)的运用；能利用化简对实数进行简单的四则运算.(重点) 2.让学生能根据实际情况灵活地运用两个法则进行有关实数的四则运算.（难点）3.通过对法则的逆运用，让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.教法及学法指导：本节采用“导学－探究—反馈”教学模式，引导学生对设计的问题进行主动思考、小组讨论、主动探究，最后自己得到二次根式化简的方法，并能进行简单的四则混合运算. “两个公式的逆运用”是本节课的重点知识，“灵活地运用公式进行实数运算”是本节课的难点知识．对以上两个知识，要通过大量练习，才能让学生熟练掌握. 课前准备：制作课件，学生课前进行预习工作.教学过程:一、 导学1.让学生回顾算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？（利用课间展示图片）学生思考后踊跃回答，上述两个问题学生很容易完成.在这个环节为了方便表示，设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b .因此，学生得到：.2,822==b a 由算数平方根的定义很容易得到：.2,8==b a2.老师继续提出问题：这两个正方形的边长之间有什么关系？（停留片刻，展示分割大正方形的图片）借助图片，学生得出：,2b a =即：.228=3.你能借助什么运算法则解释它吗？点明本节课研究任务——化简，导入新课.二、 探究1.利用课件出示上节课研究的两个运算法则：b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0）， ba b a=（a ≥0，b ＞0）．并明确指出逆用仍然是成立的，面积8 面积2即:b a b a ⋅=⋅,b a b a = （a ≥0，b ＞0）.2.老师提出问题：能否根据该公式将8化成22呢？在这个环节，由于学生课前已经自学完课本，有部分学生能够解决这个问题.学生回答：2242428=⨯=⨯=.（强调：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号）3.探究方法老师提出问题：以上化简过程有何规律呢？学生得出：被开方数被拆成两个因数乘积的形式，并且其中一个因数能够直接开平方,而且在这个变化过程当中逆用了我们上节课研究的乘法运算公式.老师明确：像这种运算我们称为化简，像8被开方数含有开得尽的因数，一般需要进行化简.4.典例解析：32如何化简?学生在这个环节进行小组探究，学生得出（1）：82848432=⨯=⨯=（学生比较热于利用乘法口诀）; 学生得出（2）：2416216232=⨯=⨯=老师引导学生：两名同学化简的结果有什么区别?学生：82可以继续化简，即2442242282=⨯=⨯=.老师继续提出：哪种方法更好呢?我们以后应该采用哪种方法?学生一定选择第二种方法,第二种方法的优点是只需一次化简,而第一种方法需要两次化简.总结方法:对于32这种式子的化简,被开方数拆成两个因数乘积的形式,其中一个因数能够直接开方,而另一个不再含有开方开得尽的因数.5.反馈练习：化简：（1）45；（2）27；（3）54；（4）98；（5）16125． 五名同学在黑板板书,其余同学独立完成.完成后同位交换批改,并订正答案.黑板上的让同学点评.6.拓展：事实上，对带有根号的数的化简，不仅仅限于以上提出的要求，它还有其他要求．类比（4）98 （5）16125的化简,让学生化简21.(小组合作探究) 学生会有两种做法: 方法一: 212121==.在此指出这种结果并非最简,还需进行分母有理化,但分母有理化不是我们现在的教学要求,以后我们习题课的时候有可能会涉及到.方法二: 22424221===.自学效果好的同学得到这种方法,这种方法是我们这节课要掌握的方法.那么这种方法的特点是什么呢?学生回答:被开方数的分母利用分数的基本性质扩大一定的正整数倍,配成能够直接开方的数.有些学生有这种想法: 2242216816821====.这种情况里面8还需要化简.因此分母扩大一定的正整数倍后,应该配成最小的能够直接开平方的数.老师总结:原来被开方数含有分母，化简后，被开方数不含分母了．7.反馈练习：化简：(1)31 (2) 121 (两名同学黑板板书,其余同学独立完成,并同位间批改订正)8.小结归纳：带根号的数的化简要求：（1）使被开方数不含开得尽的数；（2）使被开方数不含分母．9.知识运用例1 化简：（1）50；（2）348-；（3）515-． 对于例题的处理：先让学生自学例题，注意解题格式和步骤，然后合上课本把例题再做一遍，并且找四名同学到黑板上板书，最后让学生点评例题.三、反馈1．课本60页随堂练习1：（三名同学到黑板板书，然后其余同学独立完成，同位间批改订正，黑板上同学的完成情况，让学生点评）化简：（1）18；（2）7533-；（3）72．2.补充习题， 化简：（1）81；（2）278；（3）2.1；（4）1615 （找同学板书） 说明:(3)（4）大部分同学无从下手，老师给予适当点拨.（3）要先把小数化成分数，再考虑下一步的化简.（4）要把带分数化成假分数，再考虑下一步的化简.3.补充习题，化简：（1）128； （2）900； （3）48122+；（4）325092-+； （5）5145203--； （找同学板书） 课堂小结小组内交流讨论，总结本节课的收获.以小组为单位做出总结：（1）被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数的式子需要化简；（2）公式b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），ba b a=（a ≥0，b ＞0）从左往右或从右往左在化简中会灵活运用．（3）能够进行含有根式的式子的四则混合运算.限时作业课本62页 习题 2．10 知识技能 1.课本64页 复习题 8.化简 （4）（5）（6）板书设计：教学反思:1.这是一节实数的运算、化简课，只有在熟练掌握两个公式（和这两个公式的逆运用）的基础上，反复利用练习来巩固学生对知识理解和融汇.2.本节课通过课本引例问题，旨在使学生通过自己的探究活动，经过老师的引导，感受并体验实数的运算、化简；让学生根据实例进行探索，通过同学们互相交流合作，得出两个化简的公式（实际上是两个运算公式的逆运用），培养他们的合作精神和探索能力.3.由于课本的知识量比较少，我在新课引入和反馈训练方面所花的时间相对多一些，这§2.6.3 实数(三)1．法则 2.例题讲解b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；b a ba =(a ≥0,b ＞0) 练 习 区也是数（或式）的运算的通用的做法，旨在通过练习、例题来巩固学生对所学知识的理解和掌握.。
八年级数学上册 第二章 实数2.7 二次根式说课稿 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中八年级上册
《二次根式》说课稿一、说教材《二次根式》是北师大版教材数学八年级上册第二章《实数》的第七节，是“数与代数”的重要内容。
这一内容是在平方根的基础上，进一步研究二次根式的概念和性质。
使学生对算数平方根有更深认识和理解。
因此，教材在编排上就围绕算数平方根这个知识的主轴，以学生熟悉的相关问题展开教学内容。
而本课时的教学内容就是让学生在积极的参与中来学习《二次根式》，丰富对二次根式意义的理解，为学生学会确定被开方数中字母的取值X围打下扎实的基础。
二、说教学目标课标要求：学生要学会学习，自主学习，要为学生的终生学习打下坚实的基础，根据新课程标准的要求和教材所处的地位，以及学生的心理特点和认知规律，我确定本节课的教学目标如下：1、知识目标：能够理解二次根式的意义，会确定被开方数中字母的取值X围。
2、能力目标：通过动手练习，应用拓展，体验经历知识的形成过程，培养学生分析问题，解决问题的能力。
3、情感目标：通过课堂练习，培养学生解决问题的能力，促进学生勇于面对问题的能力。
为达到以上教学目标，本节课的教学重点为：理解二次根式的意义和基本性质，会求解简单的被开方数中字母的取值X围。
本节课的教学难点是：二次根式的基本性质的灵活运用。
为辅助教学，我制作了多媒体课件。
三、说教法、学法《新课程标准》指出：“学生是学习活动的主体，教师是学习活动的组织者，引导者和合作者”。
在本节课教学方法中，根据学生的年龄特征和已有的知识基础，注重加强知识间的纵向联系，复习引入，揭示课题，让学生体会数学学科知识的联系性和严密性。
在具体的教学活动中，让学生新身经历由具体到抽象的认知过程，解决问题的过程，体验探索成功的快乐。
学生通过自主学习，动手练习，独立思索，完善自己的想法，形成自己独特的学习方法，古语说得好“授人以鱼，不如授之以渔。
”我们教师应当引导学生自主地去认识探究，解决问题，让学生体验学数学，用数学的快乐。
四、说教学过程接下来，我将介绍一下本节课的教学过程。
北师大版八年级数学上册课件：2.7 二次根式 (共42张PPT)
aa
(ab≥0，b≥b0)
知识解读
（1）在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略被开方
数a，b均为非负数的条件；
（2）a必须是非负数，b必须是正数，式子 才成立.若a，
b都是负a数，则 ＞0，虽然 有意义，但
在a实数
范围内b无意义 a b
b a, b
例4 计算： 48 .
3
解： 48 48 16 4.
题型三 二次根式的加减运算在实际生活中的应用
例11“教师节”要到了，为了表示对老师的敬意，李 明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一 张面积为800 cm2，另一张面积为450 cm2，他想如果再用 金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2 m长的金 彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如果不够， 还需买多长的金彩带？（ 2 ≈1.414，结果保留整数）
思路导图
计算出所需金彩 带的长度
将求出的长度与 1.2 m进行比较
根据比较 结果得出 结论
解：正方形壁画的边长分别为 800 cm， 450cm.
镶壁画边所用的金彩带长为 4 ( 800 450 )
4 (20 2 15 2) 140 2 197.96 (cm).
因为1.2 m=120 cm＜197.96 cm，
a a (a≥0，bb≥0) b
ab a b
知识解读
（1）
(a≥0，b≥0)中的a，b既可以是数，也可以是代数式，
但必a须b满cd足a≥0，ab≥·0.公b式·可c推·广到d多个非负因式的情况，如
(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0)；
（2） a （a≥a0，b＞0）中的a，b既可以是数，也可以是代数式， 但a，b必须b 满足a≥b0，
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教案2
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教案2一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2章第7节的内容，本节课的主要目的是让学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。
教材通过引入二次根式，让学生在已有的一次根式知识基础上，进一步拓展对根式的认识。
本节课的内容对于学生来说是一个新的知识点，也是后续学习更高阶根式的基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习过一次根式的相关知识，对根式的概念和运算方法有一定的了解。
但二次根式与一次根式在概念和运算上有很大的区别，学生可能需要一定的时间来消化和理解。
此外，学生可能对二次根式的实际应用场景还不够了解，需要在课堂上进行引导和拓展。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.学会二次根式的运算方法，能够进行二次根式的化简和计算。
3.能够运用二次根式解决实际问题，提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题引导学生思考，通过案例让学生理解二次根式的应用，通过小组合作学习法让学生在讨论中巩固知识。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关案例和练习题。
3.小组合作学习的相关材料。
七. 教学过程导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念：某立方体体积为8立方厘米，求该立方体的棱长。
解决这个问题需要用到二次根式，从而引出本节课的主题。
呈现（15分钟）1.介绍二次根式的概念，讲解二次根式的性质。
2.通过PPT展示二次根式的各种形式，让学生对二次根式有一个直观的认识。
3.通过案例讲解二次根式的运算方法，让学生学会如何进行二次根式的化简和计算。
操练（10分钟）1.让学生进行一些二次根式的化简和计算练习，巩固所学知识。
2.引导学生发现二次根式运算的规律，提高运算速度和准确性。
巩固（5分钟）通过一些实际问题，让学生运用二次根式进行解决问题，巩固二次根式的应用。
北师大版数学八年级上册 2.7 二次根式
问题 你还记得单项式乘单项式法则吗？
提示：可
试回顾如何计算 3a2·2a3 = 6a5 . 类比上面
例3 计算：
的计算哦！
(1)2 5 3 7；
(2)4
27
－
1 2
3 .
解：(1)2 5 3 7 23 5 7 =6 35.
(2)4
27
1 2
3
4
1 2
27 3 29 18.
二次根式
定义
带有二次根号 被开方数为非负数
在有意义条 件下求字母 的取值范围
抓住被开方数必须为非 负数，从而建立不等式 求出其解集.
二次根式的 双重非负性
最简二次根式
二次根式 a中,a≥0 且 a ≥0
北师大版数学八年级上册
第二章 实数
2.7 二次根式
第2课时 二次根式的运算
1. 满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次 根式： 8 ，18 ，80 ，0.5 ，1 ，20 .
前者 x 为全体实数，后者 x 为非负数.
问题2 二次根式 a 的被开方数 a 的取值范围是什么？ 它本身的取值范围又是什么？
当 a＞0 时， a 表示 a 的算术平方根，因此 a ＞0； 当 a = 0时， a 表示 0 的算术平方根，因此 a = 0. 这就是说，当 a≥0 时， a ≥0.
归纳总结
一定是二次根式的有 A. 3 个 B. 4 个
C. 5 个
（ B） D. 6 个
2.(1)若式子
x
2
1
在实数范围内有意义，则
x
的取值
范围是__x_≥__1__；
(2)若式子 1 x 在实数范围内有意义，则 x 的
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计3
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计3一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2章第7节的内容，本节内容主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式是中学数学中的重要内容，它在解决实际问题和其他学科中有着广泛的应用。
通过学习二次根式，学生能够更好地理解和掌握数学中的根式概念，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、有理数和无理数的基本概念，具备了一定的代数基础。
但学生对二次根式这一概念可能较为陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
同时，学生可能对二次根式的运算规则和性质理解不够深入，需要在教学过程中进行引导和讲解。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念和性质；2.掌握二次根式的运算规则；3.能够应用二次根式解决实际问题；4.培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质；2.二次根式的运算规则；3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过实例和练习引导学生理解二次根式的概念和性质，通过讲解和练习让学生掌握二次根式的运算规则，通过实际问题让学生应用二次根式解决问题。
六. 教学准备1.PPT课件；2.相关例题和练习题；3.教学黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过PPT展示一些实际问题，如计算物体体积、求解方程等，引导学生思考如何利用二次根式解决这些问题。
让学生认识到二次根式在实际问题中的重要性。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT展示相关定义和性质，让学生理解二次根式的基本特点。
同时，给出一些例子，让学生加深对二次根式的认识。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如化简、求值等。
教师引导学生运用二次根式的性质和运算规则，解答练习题。
在此过程中，教师应及时解答学生的疑问，并进行讲解和指导。
4.巩固（10分钟）让学生运用二次根式解决实际问题，如计算物体体积、求解方程等。
北师大版八年级上册课件 第二章2.7.2二次根式(共21张PPT)
•
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
自学检测1:5分钟 新知1 二次计算：
3. 下列各等式成立的是（ D ） 4. 计算
自学指导2：5分钟
(2)2 12 48
(3) 20 45 1 5
(4) 2 50 32 9
(5)6 3 2 23
（2）、原式 4 3 4 3 8 3
（3）、原式 2 5 3 5 1 5 6 5
5
5
（4）、原式 1 2 5 2 4 2 28 5
3
3
（5）、原式 6 1 6 1 6 6 5 6
（2）两个公式
分别把下面两个式子 ab a b (a 0，b 0)， a a (a 0，b 0) bb
等号的左边与右边对换 ，就得到二次根式的乘 法法则和除法法则 :
自学指导1：5分钟
自学课本P44的例题3；进一步熟悉公式，并解答下题
例1 计算：
解：
同样，二次根式也可以进行加减运算，这时，以前学 习的实数的运算法则、运算律仍然适用.当然，如果运算结 果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么 应当将这些项合并.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.3121.8.3110:10:5510:10:55August 31, 2021 • 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月31日星期二上午10时10分55秒10:10:5521.8.31 • 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月上午10时10分21.8.3110:10August 31, 2021 • 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年8月31日星期二10时10分55秒10:10:5531 August 2021 • 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。上午10时10分55秒上午10时10分10:10:5521.8.31
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2章第7节的内容，本节内容是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数等知识的基础上进行学习的。
二次根式是数学中的重要概念，它不仅在日常生活中有广泛的应用，而且是学习高中数学的基础。
本节课的主要内容是让学生了解二次根式的概念，学会化简二次根式，并能够运用二次根式解决一些实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于实数、有理数、无理数等概念已经有了一定的了解。
但是，学生对于二次根式这一概念可能还比较陌生，需要通过具体例子和实际应用来理解和掌握。
此外，学生可能对于二次根式的化简和运算还有一定的困难，需要通过大量的练习和老师的引导来逐步掌握。
三. 教学目标1.让学生了解二次根式的概念，能够正确地识别和书写二次根式。
2.让学生学会化简二次根式，能够运用二次根式解决一些实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和识别。
2.二次根式的化简和运算。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，让学生自主地学习和掌握二次根式的概念和化简方法。
2.通过具体的例子和实际应用，让学生了解二次根式在日常生活中的应用，提高学生的学习兴趣和动力。
3.采用分组讨论和合作学习的方式，让学生在交流和合作中学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材，包括图片、实例等。
2.准备一些实际的例子和应用问题，用于引导学生学习和巩固二次根式的知识和技能。
3.准备一些练习题，用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际的例子，如物体的高度、物体的速度等，让学生感受到二次根式在日常生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
同时，引导学生思考和探索二次根式的概念和特点。
北师大版八年级上册2.7《二次根式》
2.类比合并同类项的方法，想想如何计算：
80 45 解： 80 45 4 5 3 5 5.
3. 3 5 能不能再进行计算?为什么? 答：不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数 不相同，所以不能合并.
练一练
判断下列代数式中哪些是二次根式.
⑴
1 2
，
⑵ 16,
(3) a 2 2a 2 ， (4) x （ x） 0,
(5) m 32 .
自主探究
例2 求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1.
2 1 .
1- 2a
3 a 32 .
【解析】（1）由于被开方数是非负数，可
提醒 如果算式当中有个别二次根式化简最简二次根式仍不能与其它 最简二次根式合并同类项，结果中可保留，不必化为最简式.
要点归纳
二次根式的混合运算，一般先将二 次根式转化为最简二次根式，再灵活运 用乘法公式等知识来简化计算.
二次根式的化简求值
问题：化简
1 a
b
ab ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？
已知 10 的整数部分是a,小数部分是b,求a2+b2的值.
解： 3 10 4
a 3, b 10 3 . a2 b2 32 ( 10 3)2 9 19 6 3 28 6 3 .
二次根式的应用 思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中 梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
第二章 ·实数
第7节二次根式
知识回顾
1.什么叫做一个数的算术平方根？如何表示？
北师大版八年级数学上册第二章实数2.7二次根式(教案)
-二次根式的应用：运用二次根式解决实际问题，如求长度、面积等，培养学生将数学知识应用于实际情境的能力。
-举例：计算矩形对角线长度，其中一边长为a，另一边长为b。
2.教学难点
-二次根式的化简：对于某些含有复杂因数的二次根式，学生难以迅速找到化简的方法，特别是涉及到无理数的化简。
-举例：化简根号下含有非平方数和非质数的二次根式，如√(18) = √(9×2) = 3√2。
-二次根式的加减运算：学生在合并同类项时可能会出现错误，特别是当根号下的数不同时，如何正确处理。
-举例：合并√3 + √2类型的二次根式，需明确这类根式不能直接合并。
-二次根式的乘除运算：在进行乘除运算时，学生可能会忽略乘除法则中关于系数和根号下数的乘除关系。
2.提升逻辑推理素养：引导学生运用二次根式的性质和运算法则进行推理，培养学生严谨的逻辑思维和推理能力。
3.发展数学建模素养：让学生在实际问题中运用二次根式建立数学模型，提高解决实际问题的能力，体会数学在现实生活中的应用价值。
4.增强数学运算素养：通过二次根式的化简和运算练习，提高学生的数学计算准确性和熟练度，培养高效运算能力。
北师大版八年级数学上册第二章实数2.7二次根式（教案）
一、教学内容
本节选自北师大版八年级数学上册第二章实数中的2.7节，主要教学内容包括：
1.二次根式的定义与性质：理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，如乘除法则、加减法则等。
2.二次根式的化简：学会将复杂的二次根式化简为最简形式，包括分解质因数、提取平方因子等方法。
-二次根式的化简：学会将复杂的二次根式化简为最简形式，包括分解质因数、提取平方因子等方法，这是解决二次根式相关问题的关键。
北师大版八年级数学上第二章实数2.7二次根式(3课时)课件(共42张PPT)
第二章
实数
7. 二次根式（第2课时）
目录
C o n t e n t s
01 旧知回顾 02
新知探究
03 04
05
例题讲解
牛刀小试
课堂小结
算术平方根的概念 若一个正数x的平方等于a，即x 2 x 叫做 a 的算术平方根．记作
a ，那么正数
a． 0 0．
特别地，规定 0 的算术平方根是 0，即
填空： （1） 4 9＝
6 ，
49 ＝ 6
；
16 25＝ 20 ，
4 9
＝
＝
16 25 ＝ 20 ；
2 3 ；
2 4 3 ， 9 ＝
16 25
4 4 16 ， ＝ ． 5 5 25
有何发现： 4 9 ＝ 4 9 ，
4
4 ＝ 9， 9
16 25 ＝ 16 25 ，
16
16 ＝ ． 25 25
2 解： 50 32 （4） 9
2 9
25 2 16 2
4 2 2 25 2 16 2 5 2 4 2＝ 3 3 3
2；
1 5 3 45 95 （5） 3 20 45 5 25 5 5 14 3 4 5 9 5 5 6 5 3 5 ； 25 5 5
从左往右或从右往左在化简中能灵活运用．
作业：习题 补充作业：
2.10
1 化简： （1） 2 10 3 30 （ ; 2） 5 ； 16
（3） 8 18 ; （4）3 6 ( 3 2 15 ) ； （5） ( 5 6 )( 5 2 2 3 ) ．
第二章
实数
7. 二次根式（第3课时）
北师大八年级上2.7二次根式
5 a 2a 2√ 6 a bab ×
73 5m2 ×
8 x2 1 √
一、计算下列各式，你能得到什么猜想?
（1） 4 9 36 6
（3）
4 2 93
（2） 4 9 23 6
（4）
4 9
2 3
1、积的算术平方根等于算术平方根的积；
本节课你学习了什么知识？
1、什么叫做二次根式。 2，最简二次根式
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
最简二次根式特点：
1、被开方数不含分母， 2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式， 3、分母不含根号。
化简：
（1） 32； （2） 72； （3） 12； 7
（4）1.5； （5）1 。 5
一个正数 a 有两个平方根，它们互为相反数，其中一个平方根是
正数，记作
称它为 a 的算术平方根。
0的平方根为“0”记作 0 0
观察下列代数式：
（1） 5
（2） 11
（3） 7.2
49
（4）
（5） (c b)(c b) (其中b=24，c=25)
121
共同特征：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。
7
3
解： （1） 50 25 2 25 2 5 2
（2） 2 2 2 7 14 7 7 7 7 7
（3） 1 1 3 3 3 3 3 3
（1）你是怎么发现 50含有开得尽方的因数？
你是怎么判断 14 是最简二次根式的？ 7
（2）将二次根式化成最简二次根式，你有哪 些经验与体会？与同伴进行交流。
作业
习题2.9 第1题
观察例一的化简结果 （关键看被开方数）， 想一想有什么共同特 征？
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北师大版八年级上第二章2.7二次根式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题 1x 的取值范围是_____________．2．若x ，y 均为实数，且2y =，则x y 的算术平方根是______.3．当4x =-的值是______.4．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图.当输入x 的值是64时，输出的y 值是______.5______．6=______.7． (1)＝____；(2)____．8．若a 223a a -+的值是______.9．已知2a =，b =a 与b 的关系是______.10的结果是_____．11．计算：(4(4+⨯=__________．12．若x=3，则代数式x 2﹣6x+9的值为_____． 13．现规定一种新运算：a b=※，则2332-=※※______.二、解答题 14．==______×______=______；()()==. 15．化简:（1）； （2（3（4. 16．若3x y z +++=，求()y z x y z-++的值.17．观察下列各式及验证过程：====.====.====. （1）按照上述三个等式及验证过程的站本思路.=______，并进行验证；（2）针对上述反映的规律.写出用n （2n ，且n 为自然数）表示的等式，并进行验证. 18．计算： (1)(2)19．计算：(1)(2)-20．计算:（1（2；（3）2；（4）+.21．若17xx+=，且01x <<的值.22．阅读下列解题过程：2====；===. 请回答下列问题：(1)观察上面的解题过程，= ；(2)利用上面所提供的解法，请化简10+++++的值.23．计算:(1) ÷(2) |1|. 24．计算：(1)(23)+-(2)；(3)011(3)()1|2π--++；(4) 2(3(2--+.25．对于完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+，同学们已经非常熟悉.现在我们又学习了算术平方根，知道任何一个非负数都有算术平方根，那么怎样来求3+的算术平方根呢？1====.点评：解题的关键是将3拆成2和1. 请你继续完成下列题目.计算：(1)(2).26．细心观察图，认真分析下列各式，然后解答问题.212+=，12S =；213+=，22S =214+=，32S =；.... （1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律. （2）推算出10OA 的长.（3）求2221210S S S +++的值.三、单选题27．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A B C D28．下列式子一定是二次根式的是（ ）A B CD293b =-，则（ ） A ．3b > B ．3b <C ．3b ≥D ．3b ≤30a ，b 应满足的条件是( ) A ．a ，b 均为非负数B ．a ，b 同号C ．a≥0，b ＞0D ．a b≥0311在实数范围内有意义，则x 满足的条件是( ) A ．x≥12 B ．x≤12 C ．x ＝12 D ．x≠1232|2|0y -=，则2019()x y +的值为（ ） A ．1-B ．1C ．±1D ．033．下列运算正确的是（ ）.A =B ．=C 3=D ．3=34的值是（ ）A ．9bB C D ．35．下列二次根式中，能与 ）A B CD36．已知((m =⨯-，则有（ ） A ．56m << B ．45m <<C ．54m -<<-D ．65m -<<-37．下列计算：()(()(()2212;22;312;41==-==-，其中结果正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．438．计算20192020(1(1-⨯得（ ）A ．1B ．1-C ．1+D ．1-39．下列计算正确的是（ ）A 24233==⨯= B 24233==⨯=C 347=+=D ．===401的结果是( )A ．3B ．3－C D ．41．计算 ）A B ．C ．6D ．542化简的结果是（ ）A ．2B ．2-C D ．1)43．已知三角形的三边长分别为a 、b 、c ，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron ，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=其中p=2a b c++；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=12一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）A ．8B ．4C ．2D ．2参考答案1．x<12【解析】由题意得：1﹣2x ＞0，解得：12x <， 故答案为12x <． 2．4 【分析】已知2y =，根据二次根式有意义的条件可得4040x x -≥⎧⎨-≥⎩，由此求得x=4，即可求得y=2，再求得xy 的值，即可求得xy 的的算术平方根. 【详解】∵2y =，∴4040x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得x=4， ∴y=2，∴xy =4216=，∵16的算术平方根为4， ∴xy 的算术平方根是4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件确定x 的值是解决问题的关键.3．【分析】x=-.把4【详解】x=-把4==故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的运算法则把二次根式化为最简二次根式是解决问题的关键.4【分析】按照题目中的计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可．【详解】当x值为64时，取算术平方根得8，取立方根得2．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练运用立方根及算术平方根的定义是解决问题的关键．5．【解析】．点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：=是本题的关键．6【分析】根据二次根式的除法法则即可解答.【详解】==【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练运用二次根式的除法法则是解决问题的关键.7【解析】（1＝=⨯==.（2638．31-【分析】a的值，代入计算即可解答．【详解】∵34，a∴，∴a2-2a+3=（a-1）2+2=）2+2故答案为：【点睛】本题考查了估算无理数的大小及二次根式的混合运算的应用，熟练进行二次根式的混合运算是解决问题的关键．a b⋅= (或a，b互为倒数）9．1【分析】根据已知条件计算可得1a b ⋅=，由此即可解答. 【详解】∵2a =，b =∴ab=2， ∴a ，b 互为倒数.故答案为：1a b ⋅= (或a ，b 互为倒数） 【点睛】本题考查了二次根式的乘法及倒数的概念，计算出1a b ⋅=是解决问题的关键.10． 【解析】原式==故答案为【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确地对每一个二次根式进行化简，熟练运算法则是解题的关键. 11．9 【分析】根据平方差公式进行计算即可得到答案. 【详解】根据平方差公式可得(4(4⨯=2241679-=-=，故答案为9. 【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的运用. 12．2. 【详解】根据完全平方公式可得x 2﹣6x+9=（x ﹣3）2，当x=3时，原式=（3﹣3）2=2. 13．0【分析】根据题目中所给的运算法则代入化简计算即可求解.【详解】 ∵a b=※， ∴2332-=※※＝0.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，根据题目中所给的运算方法正确列出算式是解决问题的关键.14．(1)16，9，4，3，12； (2)25，64，5，8【解析】【分析】(1)根据二次根式的乘法法则解答即可;(2) 根据二次根式的除法法则解答即可.【详解】(1) ==4×3=12；58==. 故答案为：(1)16，9，4，3，12； (2)25，64，5，8【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则及除法法则，熟练运用法则是解决问题的关键.15．(1)156 ； (2) (3)3； (4) 4 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算即可；（2）根据二次根式的乘法法则化简即可；（3）根据二次根式的除法法则化简即可；（4）根据二次根式的除法法则化简即可.【详解】（1）1213156==⨯=.（2===（3===（44===. 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练运用二次根式的乘除运算法则是解决问题的关键. 16．1()9y z x y z -++=. 【分析】把3x y z +++=整理为2221)1)1)0++=10=，10=10=，由此求得1x =，0y =，2z =.代入()y z x y z -++即可求得()y z x y z -++的值.【详解】3x y z +++=，3x y z +++=111110x y z -++-+--=，则2221)1)1)0++=.因为21)0，21)0，21)0.10-=10=10=.即1x =，0y =，2z =.所以0221()(102)39y z x y z ---++=++==. 【点睛】 本题考查了完全平方公式的应用、非负数的性质，利用完全平方公式把3x y z +++=整理为2221)1)1)0++=是解决问题的关键.17．（1（2=，验证详见解析【分析】（1）类比题目所给的解题方法即可解答；（2）根据上述变形过程的规律，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系即可得出一般规律，再类比题目所给的解题方法验证即可.【详解】====.===. 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，同时也考查了学生由特殊到一般的归纳和推理能力．18．(l) 52； (2)8【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算即可求解；（2）根据二次根式的乘法法则及除法法则计算即可求解.【详解】52===.8===.【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则及除法法则，熟练运用法则进行化简是解决问题的关键.19． (2)【分析】（1）先把每一项化为最简二次根式后，再合并即可求解；（2）先把每一项化为最简二次根式后，再合并即可求解.【详解】（1）原式5==（2）原式===【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，正确把每一个二次根式化为最简二次根式是解决问题的关键.20．(l)103； (2) (3)4； (4) 6+【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可求解；（2）先把每一项化为最简二次根式后，再合并即可求解；（3）根据二次根式的混合运算法则及运算顺序依次计算即可求解；（4）根据二次根式的混合运算法则及运算顺序依次计算即可求解.【详解】（1103===.（2=6=+==（3）2222(24)2244=-=-=--=-+=.（4）6==. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式的混合运算法则及运算顺序是解决问题的关键.21=【分析】先计算2的值，再由01x <<0<，利用平方根的定义即可求得的值. 【详解】 ∵17x x+=，∴222122725xx =-=-+=-=. 又∵01x <<，<，=.【点睛】本题考查了完全平方公式的变形在二次根式中的应用，正确求得2=5是解决问题的关键.22．（1）（2）1-+【分析】（1）观察题目中所给的运算方法级即可求解；（2）根据（1）的结论，化简各个二次根式后合并计算即可求解．【详解】（1-（2）1011+++=+=-【点睛】本题考查二次根式的分母有理化，熟练确定分母的有理化因式和合并同类二次根式是解决问题的关键．23．(1)6；(2) 1【分析】（1）把括号内的二次根式化为最简二次根式后合并，再计算除法即可求解；（2）根据二次根式的运算法则及运算顺序依次计算即可求解.【详解】（1）(32===6=.|1|1)=11==.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练运用二次根式的运算法则及运算顺序是解决问题的关键.24．(1) (2) 2-； (3) 4+(4) 10+【分析】（1）根据二次根式的运算顺序依次计算即可求解；（2）利用乘法分配律计算后化简合并即可求解；（3）根据立方根的定义、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质及绝对值的性质依次计算后，再合并即可求解；（4）利用完全平方公式及平方差公式计算后，去括号后合并即可求解.【详解】(1)原式66=+-=(2)原式22=-=-(3)原式21214=++=(4)原式92(43)92110=+--=+-=+【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确运用运算法则及运算顺序是解决问题的关键.25．1； (2) 2【分析】（1）将6+51+，仿照例题直接利用完全平方公式开平方即可求解；（2）将7-化为43- ，仿照例题直接利用完全平方公式开平方即可求解．【详解】（1）=1===.（22====【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练应用完全平方公式是解决问题的关键．26．（1）211n +=+，2n S =（n 是正整数）；（2）10OA =（3）554 【分析】（1）利用已知可得OA n 2，注意观察数据的变化，（2）结合（1）中规律即可求出OA 102的值即可求出，（3）将前10个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出．【详解】（1）211n +=+，2n S =（n 是正整数）（2）由（1）得，2n =，即OA n 2=n ，∴10OA =（3）22222212101210123410552244S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋯+++++++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查勾股定理以及作图的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识，此题难度不大．27．C【解析】【分析】满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．【详解】A A 不是；B 10，故B 不是；C ，是；D =D 不是.故选C【点睛】考查了最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式所需要满足的条件是解题的关键. 28．C【分析】（a ≥0）的式子叫做二次根式，逐一判断即可．【详解】解：A ．当x=0时，B ． 当x=-1C ． 无论x 取何值，220x +>一定是二次根式，故本选项符合题意；D ． 当x=0不是二次根式，故本选项不符合题意．故选C ．【点睛】此题考查的是二次根式的判断，掌握二次根式的定义是解决此题的关键．29．D【解析】【分析】等式左边为非负数，说明右边3b 0-≥，由此可得b 的取值范围．【详解】 解：2(3b)3b -=-，3b 0∴-≥，解得b 3.≤故选D ．【点睛】()0a 0≥≥()a a 0=≥．30．D【解析】 解：根据二次根式的意义，被开方数a b ≥0；又根据分式有意义的条件，b ≠0．故选D ． 31．C【解析】由题意可知： 210{120x x -≥-≥，解得：x =12， 故选C ．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．32．A【分析】|2|0y -=，根据非负数的性质可得x+3=0，y-2=0，由此求得x 、y 的值，再代入即可求得2019()x y +的值. 【详解】|2|0y -=，∴x+3=0，y-2=0，∴x=-3，y=2，∴2019()x y +=2019(32)-+=-1. 故选A.【点睛】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质求得x 、y 的值是解决问题的关键.33．C【解析】【分析】根据二次根式的性质和法则逐一计算即可判断．A.B. ，此选项错误；C. 3=，此选项正确；D.故选：C【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键.34．D【分析】根据二次根式的除法法则计算即可求解.【详解】==.故选D.【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，熟练运用二次根式的除法法则是解决问题的关键. 35．C【分析】相同的选项即可解答．【详解】选项A=A不能与选项B B不能与；选项C，C能与选项D，选项D不能与.3故选C.本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．36．A【解析】【分析】求出m 的值，求出5＜m ＜6，即可得出选项．【详解】m=（，=23×，∴5＜6，即5＜m ＜6，故选A ．【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算和估计无理数的大小的应用，注意：5＜6，题目比较好，难度不大．37．D【解析】【分析】根据二次根式的运算法则即可进行判断.【详解】()212=,正确；(22=正确；()(2312-=正确；()41=-，正确，故选D. 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的性质：2a =;=a .38．D【分析】逆用积的乘方的运算法则即可求解.【详解】20192020(1(1⨯20192019(1(1(1=⨯⨯+2019[(1(1(1=⨯+⨯2019(1)(1=-⨯1=-【点睛】本题考查了积的乘方的运算法则在二次根式计算中的应用，把20192020(1(1⨯+化为2019[(1(1(1-⨯⨯是解决问题的关键.39．A【分析】根据二次根式的乘法法则依次计算各项后即可解答.【详解】选项A 24233==⨯=，选项A 正确；选项B 3==，选项B 错误；选项C 5===，选项C 错误；选项D ====D 错误.故选A.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练运用二次根式的乘法法则是解决问题的关键. 40．A【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可.【详解】23==，故选A.41．C【分析】把括号内的二次根式化为最简二次根式后合并，再计算除法即可求解.【详解】===6.故选C.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确利用运算法则是解决问题的关键. 42．B【分析】1后，化简即可求解.【详解】2 ====. 故选B.【点睛】的有理化因式是解决问题的关键. 43．B【解析】【分析】将三角形的三边长2，3，4代入题目中的秦九韶公式，，从而可以解答本题．【详解】∵S=12∴若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是：【点睛】解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．。