2019高考数学异构异模复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.5.1 轨迹与轨迹方程撬题 文
高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.3.2抛物线的几何性质课件文
＝0，可知 x1x2＝4，故|F1P|＋|F1Q|＝x1x2＋x12＋xx12＋＋x42＋4＝2xx11＋＋xx22＋＋48＝12，故选 A.
【解题法】 抛物线的性质应用技巧及焦点弦问题解题策略 (1)用抛物线几何性质的技巧 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口 方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． (2)抛物线焦点弦问题求解策略 求解抛物线焦点弦问题时，除灵活运用焦点弦的有关性质外，还要灵活应用抛物线的定义及数形结合 思想求解．
3．设抛物线 y2＝8x 上一点 P 到焦点的距离是 4，则 P 点坐标为_(_2_，__±_4_)_．
解析 设 y2＝8x 的焦点为 F，则 F(2,0)．设 P(x，y)．|PF|＝x＋2＝4，∴x＝2，代入抛物线得 y＝±4. ∴P 点坐标为(2，±4)．
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 抛物线虽只有一个焦点和一条准线，有许多有趣的性质，尤其焦点弦的性质一直是
第十章 圆锥曲线与方程
第3讲 抛物线及其性质
考点二 抛物线的几何性质
撬点·基础点 重难点
1 抛物线的几何性质
2 抛物线焦点弦的性质 焦点弦：线段 AB 为抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝p42； (2)y1y2＝－p2； (3)焦半径|AF|＝x1＋p2； (4)弦长 l＝x1＋x2＋p.当弦 AB⊥x 轴时，弦长最短为 2p，此时的弦又叫通径； (5)弦长 l＝si2np2θ(θ 为 AB 的倾斜角)．
2．过抛物线 y2＝8x 的焦点 F 作倾斜角为 135°的直线交抛物线于 A，B 两点，则弦 AB 的长为( )
高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.2.1双曲线的标准方程课件理
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 高考一般考查双曲线方程的求法和通过方程研究双曲线的性质．双曲线的定义的考查
主要是利用定义求双曲线的方程，或者是与正余弦定理结合解决焦点三角形问题．
Hale Waihona Puke 命题法 双曲线的定义和方程
典例
(1)已知双曲线 C：ax22－by22＝1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为(
注意点 双曲线定义的理解
当|MF1|－|MF2|＝2a 时，曲线仅表示焦点 F2 所对应的双曲线的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a 时，曲线 仅表示焦点 F1 所对应的双曲线的一支；当 2a＝|F1F2|时，轨迹为分别以 F1，F2 为端点的两条射线；当 2a>|F1F2| 时，动点轨迹不存在.
2．与椭圆 C：1y62 ＋1x22 ＝1 共焦点且过点(1， 3)的双曲线的标准方程为(
)
A．x2－y32＝1
B．y2－2x2＝1
C.y22－x22＝1
D.y32－x2＝1
解析 椭圆1y62 ＋1x22 ＝1 的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为ym2－xn2＝1(m>0，n>0)，则
根据双曲线的定义，通过建立适当的坐标系得出的，其形式为：
(1)当双曲线的焦点在 x 轴上时，双曲线的标准方程为
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
．
(2)当双曲线的焦点在 y 轴上时，双曲线的标准方程为
ay22－bx22＝1(a>0，b>0) ．
3 双曲线方程的几种常见设法 (1)与双曲线ax22－yb22＝1 有共同渐近线的双曲线方程可设为ax22－by22＝λ(λ≠0)． (2)若双曲线的渐近线方程为 y＝±mn x，则双曲线方程可设为mx22－yn22＝λ(λ≠0)或 n2x2－m2y2＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线ax22－yb22＝1 共焦点的双曲线方程可设为a2x－2 k－b2y＋2 k＝1(－b2<k<a2)． (4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为 mx2＋ny2＝1(mn<0)． (5)与椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为a2x－2 λ＋b2y－2 λ＝1(b2<λ<a2)．
圆锥曲线轨迹问题
建设现代化(检验)——有关圆锥曲线轨迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。
该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。
轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。
求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。
1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。
【解析】设MN 切圆C 于N ，则MN ),y x ,则2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x（1） 当1=λ时，方程为45=x ，表示一条直线。
（2） 当1≠λ时，方程化为2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。
◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1(20)O -，，2(20)O ，.由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以221212(1)PO PO -=-.设()P x y ，，则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-，即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) 评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.1.1椭圆的标准方程课件文
而|AB|＝|AC|＋|BC|≤|AF′|＋|BF′|，所以当且仅当 AB 过点 F′时，△ABF 的周长最大． 此时，由 c＝1，得 A1，23，B1，－32，即|AB|＝3. 所以 S△ABF＝12|AB||FF′|＝3.
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第十章 圆锥曲线与方程
第1讲 椭圆及其性质
考点一 椭圆的标准方程
撬点·基础点 重难点
1 椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点 F1，F2 的 距离的和
等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这
两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且 2a>|F1F2|
2．已知方程5－x2m＋my＋2 3＝1 表示椭圆，则 m 的取值范围为(
)
A．(－3,5)
B．(－3,1)
C．(1,5)
D．(－3,1)∪(1,5)
解析 方程表示椭圆的条件为5m－＋m3>>00， ， 5－m≠m＋3，
解得 m∈(－3,1)∪(1,5)．故选 D.
3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
【解题法】 1.椭圆定义的应用的类型及方法 (1)利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆． (2)利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值．利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2|，再结 合|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积． 2．椭圆方程的求法 (1)定义法 根据椭圆的定义确定 a2，b2 的值，再结合焦点位置求出椭圆方程．其中常用的关系有： ①b2＝a2－c2. ②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于 2a. ③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长 a.
圆锥曲线中的轨迹方程问题-(解析版)
专题1 圆锥曲线的轨迹方程问题轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题.本文主要研究圆锥曲线中关于轨迹方程求法。
首先正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直译法、定义法、相关点法、参数（交轨）法等方法1、直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含x,y 的等式，就得到轨迹方程。
直译法知识储备：两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率（向量）公式。
经典例题：1．（2020·江苏徐州市·高三月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()22416x y ++= B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA += 【答案】ABD【分析】设点P 的坐标，利用12PA PB =，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 选项逐一列出所满足条件，然后与C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．【详解】设点P （x ，y ），()2,0A -、()4,0B ，由12PA PB =，12=，化简得x 2+y 2+8x ＝0，即：（x +4）2+y 2＝16，故A 选项正确；曲线C 的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）=﹣4，+4，而3∈﹣4，故B 正确；对于C 选项，设M （x 0，y 0），由|MO |＝2|MA |，=又 ()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝2，解得y 0无解，故C 选项错误；对于D 选项，设N （x 0，y 0），由|NO |2+|NA |2＝4，得 ()2222000024x y x y ++++=，又()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝0，解得y 0＝0，故D 选项正确．2．（2020·湖南省高三期末）点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. 求点P 的轨迹方程；【答案】22143x y +=12=，化简即可求出；12=，化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点是动点轨迹方程的求解.3．（2021年湖南省高三月考）已知动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54，求P 点的轨迹方程．【答案】轨迹方程是221169x y -=.【分析】利用动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54可得方程，化简由此能求出轨迹M 的方程．【详解】由题意，设P （x ，y ），则()22252516165x y x -+=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得轨迹方程是221169x y -=． 故答案为221.169x y -=【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题．由2、3题推广：圆锥曲线统一定义（第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
2019-2020年高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.2.2双曲线的几何性质课件文
故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．故选 D.
(2)如图所示，设双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的焦距为 2c(c>0)，则 C(－a，0)，F(－c,0)．
由双曲线和圆的对称性知，点 A 与点 B 关于 x 轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝12∠ACB＝12×120°＝60°. ∵|OA|＝|OC|＝a，∴△ACO 为等边三角形，∴∠AOC＝60°. ∵FA 切圆 O 于点 A，∴OA⊥FA， 在 Rt△AOF 中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°， ∴|OF|＝2|OA|，即 c＝2a，∴b＝ c2－a2＝ 2a2－a2＝ 3a，故双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方 程为 y＝±bax，即 y＝± 3x.
【解题法】 求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法 (1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a，b，c 的方程或不等 式，利用 b2＝c2－a2 和 e＝ac转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范 围． (2)求渐近线时，利用 c2＝a2＋b2 转化为关于 a，b 的方程或不等式．双曲线渐近线的斜率与离心率的关 系．
.
注意点 双曲线的离心率与曲线开口大小的关系
离心率 e 的取值范围：e>1，当 e 越接近于 1 时，双曲线开口越小；e 越接近于＋∞时，双曲线开口越
大.
1．思维辨析 (1)双曲线方程mx22－ny22＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是mx22－ny22＝0，即mx ±ny＝0.( √ ) (2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) (3)若双曲线ax22－yb22＝1(a>0，b>0)与xb22－ay22＝1(a>0，b>0)的离心率分别是 e1，e2，则e121＋e122＝1(此结论中 两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )
2019-2020年高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.5.2圆锥曲线的综合应用撬题理
2019-2020年高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.5.2圆锥曲线的综合应用撬题理1．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233答案 A解析 由题意知a 2＝2，b 2＝1，所以c 2＝3，不妨设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→·MF 2→＝x 20－3＋y 20＝3y 20－1<0，所以－33<y 0<33，故选A. 2．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 A解析 如图所示，由题意知BC 为双曲线的通径，所以|BC |＝2b 2a ，则|BF |＝b2a.又|AF |＝c －a ，因为BD ⊥AC ，DC ⊥AB ，所以点D 在x 轴上，由Rt △BFA ∽Rt △DFB ，得|BF |2＝|AF |·|FD |，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝(c －a )·|FD |，所以|FD |＝b 4a 2c －a ，则由题意知b 4a 2c －a <a ＋a 2＋b 2，即b 4a 2c －a <a ＋c ，所以b 4<a 2(c －a )(a ＋c )，即b 4<a 2(c 2－a 2)，即b 4<a 2b 2，所以0<b 2a2<1，解得0<ba<1，而双曲线的渐近线斜率为±ba，所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是(－1,0)∪(0,1)，故选A.3．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433B.233C ．3D ．2答案 A解析 解法一：设椭圆长半轴为a 1，双曲线实半轴长为a 2，|F 1F 2|＝2c . 由余弦定理4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos π3.而|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2，可得a 21＋3a 22＝4c 2.令a 1＝2c cos θ，a 2＝2c 3sin θ，即a 1c ＋a 2c＝2cos θ＋23sin θ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos θ＋13sin θ ＝433⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ＋12sin θ＝433sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 故最大值为433，故选A.解法二：不妨设P 在第一象限，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .在△PF 1F 2中，由余弦定理得m 2＋n2－mn ＝4c 2.设椭圆的长轴长为2a 1，离心率为e 1，双曲线的实轴长为2a 2，离心率为e 2，它们的焦距为2c ，则1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝m ＋n 2＋m －n2c ＝mc.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋1e 22＝m 2c 2＝4m 2m 2＋n 2－mn ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2－n m ＋1，易知⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2－n m＋1的最小值为34.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋1e 2max ＝433.故选A. 4.已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解 (1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kbk 2＋9，y M＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入直线l 的方程得b ＝m 3－k3，因此x M ＝k k －3m3k 2＋9.四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M .于是±km 3k 2＋9＝2×k k －3m 3k 2＋9，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当直线l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．5. 已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2>0，①设M 为AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2，代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m2.②由①②得m <－63或m >63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 坐标；若不存在，说明理由．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. 设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线PA 的方程为y －1＝n －1mx ， 所以x M ＝m 1－n ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )． 设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ .点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．7．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|PA ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，点(2，1)在椭圆E 上，因此，⎩⎪⎨⎪⎧2a2＋1b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，c a ＝22.解得a ＝2，b＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C ，D 两点． 如果存在定点Q 满足条件，则有|QC ||QD |＝|PC ||PD |＝1，即|QC |＝|QD |.所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0，y 0)．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M ，N 两点， 则M ，N 的坐标分别为(0，2)，(0，－2)． 由|QM ||QN |＝|PM ||PN |，有|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1，解得y 0＝1或y 0＝2. 所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只可能为(0,2)． 下面证明：对任意直线l ，均有|QA ||QB |＝|PA ||PB |.当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1. 因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k .易知，点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(－x 2，y 2)． 又k QA ＝y 1－2x 1＝kx 1－1x 1＝k －1x 1， k OB ′＝y 2－2－x 2＝kx 2－1－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1，所以k QA ＝k QB ′，即Q ，A ，B ′三点共线． 所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|PA ||PB |.故存在与P 不同的定点Q (0,2)，使得|QA ||QB |＝|PA ||PB |恒成立．8．已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.(1)求C 2的方程；(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． ①|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；②设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M .证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．解 (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.② 联立①，②得a 2＝9，b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．①因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线方程有两种形式，第一种，y ＝kx ＋m ，注意斜率不存在的情况；第二种，x ＝ty ＋n .注意与x 轴平行的情况．设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤将④，⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 29＋8k22＋4×649＋8k2， 即16(k 2＋1)＝162×9k 2＋19＋8k22， 所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.②证明：由x 2＝4y 得y ′＝x 2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x2－x 214.令y ＝0得x ＝x 12，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，所以FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，－1.而FA →＝(x 1，y 1－1)，于是FA →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1>0，因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角．故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．9．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫p ＋2t 4，0.因为|FA |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)①证明：由(1)知F (1,0)． 设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)， 因为|FA |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1.由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)， 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)， 直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)． 所以直线AE 过定点F (1,0)． ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1， 因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0.所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋8y 0－11＋m2＝4x 0＋1x 0＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0.则△ABE 的面积S ＝12×4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＋2≥16， 当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．解 (1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )．则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－－2＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m.直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3. 所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3，又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ .②由①可得，|TF |＝m 2＋1， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝m 2＋1 [y 1＋y 22－4y 1y 2]＝ m 2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝24m 2＋1m 2＋3. 所以|TF ||PQ |＝124·m 2＋32m 2＋1＝124·⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥ 124·4＋4＝33.当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值．所以当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．11．如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P在第一象限．(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .解 (1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y 得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0.由于l 与C 只有一个公共点，故Δ＝0，即b 2－m 2＋a 2k 2＝0，解得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2kmb 2＋a 2k 2，b 2m b 2＋a 2k 2.又点P 在第一象限，故点P 的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2k b 2＋a 2k2，b 2b 2＋a 2k 2. (2)证明：由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2k b 2＋a 2k2＋b 2k b 2＋a 2k 21＋k2，整理得d ＝a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2.因为a 2k 2＋b 2k2≥2ab ，所以a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2≤a 2－b 2b 2＋a 2＋2ab ＝a －b ， 当且仅当k 2＝b a时等号成立．所以，点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .12．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．解 解法一：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5.(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a ， 又因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－mk，0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x 得y 1＝2m 2－k ，同理得y 2＝2m 2＋k， 由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|得，12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m2－k －2m 2＋k ＝8， 即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y216＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)， 又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点． 因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.解法二：(1)同解法一．(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得－12<m <12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x ，得y 1＝2t1－2m，同理得y 2＝－2t1＋2m.设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t,0)． 由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝8，得12|t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 1－2m ＋2t 1＋2m ＝8， 所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a2＝1，得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0.因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0，即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0，即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0， 即(1－4m 2)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.解法三：(1)同解法一．(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得k >2或k <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2－y 2＝0，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0，因为4－k 2<0，Δ>0，所以x 1x 2＝－m 24－k 2，又因为△OAB 的面积为8， 所以12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝8，又易知sin ∠AOB ＝45，所以25x 21＋y 21·x 22＋y 22＝8，化简得x 1x 2＝4.所以－m 24－k2＝4，即m 2＝4(k 2－4)．由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 24a2＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0，因为4－k 2<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0，即(k 2－4)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4， 所以双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.当l ⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于8可得l ：x ＝2，又易知l ：x ＝2与双曲线E ：x 24－y 216＝1有且只有一个公共点．综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.。
高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.5.1轨迹与轨迹方程撬题文
2018高考数学异构异模复习考案 第十章 圆锥曲线与方程 10.5.1轨迹与轨迹方程撬题 文1．一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．(1)求曲线C 的方程；(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解 (1)设点D (t,0)，(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意，MD →＝2DN →，且|DN →|＝|ON→|＝1，所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎪⎨⎪⎧－＋y20＝1，x20＋y20＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧t －x ＝2x0－2t ，y ＝－2y0，且t (t －2x 0)＝0.由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y2，代入x 20＋y 20＝1，可得x216＋y24＝1，即所求的曲线C 的方程为x216＋y24＝1.(2)(ⅰ)当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8.(ⅱ)当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫k≠±12， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x2＋4y2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4.①又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ；同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k .由原点O 到直线PQ 的距离为d ＝|m|1＋k2和|PQ |＝1＋k2|x P －x Q |，可得S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12·|m |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m21－4k2.②将①代入②得，S △OPQ ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m21－4k2＝8|4k2＋1||4k2－1|.当k 2>14时，S △OPQ ＝8⎝⎛⎭⎪⎫4k2＋14k2－1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24k2－1>8；当0≤k 2＜14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2＋11－4k2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k2.因0≤k 2<14，则0＜1－4k 2≤1，21－4k2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k2≥8，当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.综合(ⅰ)(ⅱ)可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.2．如图，设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F1F2||DF1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.。
高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.3.2抛物线的几何性质撬题文
2018高考数学异构异模复习考案 第十章 圆锥曲线与方程 10.3.2抛物线的几何性质撬题 文1．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF|－1|AF|－1B.|BF|2－1|AF|2－1C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋1答案 A解析 由题可知抛物线的准线方程为x ＝－1.如图所示，过A 作AA 2⊥y 轴于点A 2，过B作BB 2⊥y 轴于点B 2，则S△BCF S△ACF ＝|BC||AC|＝|BB2||AA2|＝|BF|－1|AF|－1.2.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．3 C.52D ．2答案 B解析 如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p ＝|FM |＝4.过Q 作QH ⊥l 于H ，则|QH |＝|QF |.由题意，得△PHQ ∽△PMF ，则有|HQ||MF|＝|PQ||PF|＝34，∴|HQ |＝3.∴|QF |＝3.3．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12答案 C解析 由点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，得焦点F (2,0)，∴k AF ＝3－2－2＝－34，故选C.4．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 设圆的半径为r ，因为F (0,2)是圆心，抛物线C 的准线方程为y ＝－2，由圆与准线相交知4<r ，因为点M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，所以r ＝|FM |＝y 0＋2>4，所以y 0>2.故选C.5．平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．。
高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程课时撬分练10.4直线与圆锥曲线的位置关系文
2018高考数学异构异模复习考案 第十章 圆锥曲线与方程 课时撬分练10.4 直线与圆锥曲线的位置关系 文时间：90分钟基础组1.[2016·衡水二中预测]抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．33C ．43D ．8答案 C解析 ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3，23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.2．[2016·枣强中学月考]已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，当2k1k2＋ln |k 1|＋ln |k 2|最小时，双曲线离心率为( )A.2B.3C.2＋1 D ．2答案 B解析 设点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由于点A ，B 为过原点的直线与双曲线的交点，所以根据双曲线的对称性可得A ，B 关于原点对称，即B (－x 1，－y 1)．则k 1·k 2＝y2－y1x2－x1·y2－－x2－－＝y22－y21x22－x21，由于点A ，C 都在双曲线上，故有x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式相减，得x21－x22a2－y21－y22b2＝0，所以k 1k 2＝y21－y22x21－x22＝b2a2>0.则2k1k2＋ln |k 1|＋ln |k 2|＝2k1k2＋ln (k 1k 2)，对于函数y ＝2x ＋ln x (x >0)利用导数法可以得到当x ＝2时，函数y ＝2x ＋ln x (x >0)取得最小值．故当2k1k2＋ln |k 1|＋ln |k 2|取得最小值时，k 1k 2＝b2a2＝2，所以e ＝1＋b2a2＝3，故选B.3．[2016·衡水二中猜题]斜率为1的直线l 与椭圆x24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4y2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0，即t 2<5.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝－5.∴|AB |＝1＋k2|x 1－x 2|＝1＋k2·＋－4x1x2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×－5＝4255－t2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105.4. [2016·衡水二中一轮检测]直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值是________．答案 2解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y2＝8x ，消去y 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－＋－4×k2×4>0，x1＋x2＝＋k2＝2×2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k>－1，k ＝－1或k ＝2，即k ＝2.5．[2016·冀州中学周测]已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3.答案 ①④解析 由题意可知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程是x24＋y23＝1，①把y ＝x ＋1代入x24＋y23＝1并整理得，7x 2＋8x －8＝0，∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直线与椭圆有两个交点，∴y ＝x ＋1是“A 型直线”．。
2019-2020年高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程课时撬分练10.1椭圆及其性质理
2019-2020年高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程课时撬分练10.1椭圆及其性质理1. [xx •冀州中学仿真]若曲线ax 2 + by 2 = 1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数 a , b 满足)1 1 B. a <b C. 0<a <b D. 0<b <a答案 C2 222x y1 1解析 由ax + by = 1，得〒+〒=1，因为焦点在x 轴上，所以-江>0，所以0<a <b .1 1 a ba b2x2. [xx •武邑中学预测]设F 1、F 2分别是椭圆-+ y 2= 1的左、右焦点，若椭圆上存在一 点p,使(3卉OF )• PF 2 =0(0为坐标原点)，则△ RPR 的面积是()A . 4 B. 3 C. 2 D. 1答案 D解析 •/ (OP^ OF ) • Pfc =(dKFO )• PF>=环・Pfc = 0,•••PF 丄 PF>,Z FPF z = 90°.12 2|设| PF | = m | PF 2| = n ,贝U m^ n = 4, m + n = 12,2 mn= 4,「. S A FPF 2= -mn= 1,故选 D.2 2x y3. [xx •衡水二中模拟]已知点P 是椭圆16+ g = 1(X M 0, y 丰0)上的动点，R 、F 2分别为 椭圆的左、右焦点， O 是坐标原点，若 M 是/ RPR 的平分线上一点，且 NM- M P= 0,则|0M 的取值范围是()A . [0,3) B. (0,2 2)C. [2 2, 3)D. (0,4]答案 B解析 延长RM 交PR 或其延长线于点 G••• FM |・ M P= 0,• F MIL 3P 又 MP 为/ F 1PF> 的平分线，• | PF | = | PG 且 M 为 RG 的中2 2A . a >b•••O为F1F2的中点，1_歩1••• OM 綊2F 2G T I F 2G = I PG — | PF 2I = II PF 1| — |PF 2|| ,二 | 帥=^|2a -2| PF 2|| = |4 — I PF 2||.•/ 4 — 2 2<|PR|<4 或 4<| P 冋<4 + 2 2,A | 0M € (0,22).4. [xx •枣强中学期末]在厶ABC 中, AB= BC cos B = — 7.若以A , B 为焦点的椭圆经过18 点C,则该椭圆的离心率为（）3 代4C.8答案 C解析 依题意知 AB= BO 2c , AO 2a — 2c ,在厶ABC 中，由余弦定理得(2 a — 2c )2 = 8c 27,23—18，故 16e + 18e — 9 = 0,解得 e =25. [xx •衡水二中仿真]如图，F , F 2是双曲线C : x 2—警=1与椭圆C 2的公共焦点，点 A 是C , C 2在第一象限的公共点•若|冃冋=| F 1A |，则C 2的离心率是（）3 B.72—2X4C X1 A.3 i C.52 B.2 2 D.5答案 B解析 由题知| AF | + | AR| = 2a （设a 为椭圆的长半轴| AF | — | AF | = 2，而 | F 1F 2| = 2| FA| = 4,因此可得 2X| FA| = 2a + 2, • 8= 2a + 2,「. a = 3，又 c = 2，故 G 的离心率 e =3.6.2 2[xx •枣强中学期中]已知F 1, F 2分别是椭圆X +鲁=1的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆 A . C. C 与F i A 的延长线、F 1F 2的延长线以及线段 AR 相切，若Mt, 0）为一个切点，则（）t = 2B. t >2t <2答案A解析如图，P, Q分别是圆C与FA的延长线、线段AB相切的切点，|MF1 =|F2Q = 2a —(| F〔A| + | AQ) = 2a—| RP| = 2a—| F1M，即I F1M + | MF| = 2a,所以t = a= 2.故选 A.F 为其右焦点，若AF! BF ,设/ ABF= a ,且a € |— 12' 4A 矗垃A.2 ,3C|心 1 ]C._3，1 答案 B*D.吩1解析此四边形 由题知AF 丄BF,根据椭圆的对称性， AF 丄BF (其中F '是椭圆的左焦点AFBF 是矩形，于是| AB = | FF | = 2c , |AF 1 = 2c sin a ，根据椭圆的定义,)，因 I AF+ | AF | = 2a ,— 2c sin a + 2c cos a = 2a ,— e =~a sin a + cos a2sin i aa+亍 €_尹 1,故 e €^,2x8. [xx •武邑中学仿真 ]已知椭圆-+a b/• sin ,故选 A.2y= 1( a >b >0)的左、右焦点分别为F i ( — c, 0)、F 2( c, 0)，若椭圆上存在点 P 使=，则该椭圆离心率的取值范围为 ()A . (0,2 —1) B*C. 0,D. ( 2 — 1,1)答案解析 根据正弦定理得| P 冋 =| PF | 所以由 a = c asin / PFF 2= sin / PFF 「所以田 sin / PF 1F 2 = sin / PFR 可得 | P 冋即曙=a =e ,所以 | PF i | = e | P 冋，又 | PF | + | PF | = e | PF | + | P 冋=| PH | •( eB, 7t7. [xx •冀州中学猜题]椭圆，则该椭圆离心率的取值范围为 」7t+ 1） = 2a ,则|PF 2| =冬，因为a — c <| PF 2|< a + c （不等式两边不能取等号，否则分式中的分 e 十1亠-2a c 2c- 2母为 0,无意义)，所以a —c <e + i<a + c ,即1 —a <e + i<〔 + a ，所以 1 — e <e + 1 <〔 + e ,即9. [xx •衡水中学模拟]已知椭圆的焦点在 x 轴上，一个顶点为 A （0，— 1），其右焦点到 直线x — y + 2羽=0的距离为3，则椭圆的方程为 ___________ .2x 2答案3+y 2=1解析 据题意可知椭圆方程是标准方程，故 b = 1.设右焦点为（C, 0）（ c >0），它到已知直 线的距离为|c + 2亘2|= 3,解得c = 2,所以a 2= b 2+ c 2= 3,故椭圆的方程为4 + y 2= 1.寸2 ¥3x 2 y 2110. [xx •冀州中学期中]如图，焦点在x 轴上的椭圆-+器=1的离心率e = , F , A 分答案 4解析 设P 点坐标为（X 。
2019-2020年高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程课时撬分练10.3抛物线及其性质理
A . y 2= 9x2019-2020年高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程课时撬分练10.3抛物线及其性质理线的标准方程为（）A . y 2= 4x2C. y = 8x答案 Cop解析 •••抛物线y = 2px ,「.准线为 x = - $ T 点R2 , y o ）到其准线的距离为 4,p—^-2 = 4,二 p = 4.•••抛物线的标准方程为 y 2= 8x ,故选C.2 22. [xx •枣强中学仿真]已知双曲线 C ： ^-碁=1（a >0, b >0）的焦距是实轴长的 2倍.若 抛物线C2: x 2= 2py （ p >0）的焦点到双曲线 C 的渐近线的距离为 2,则抛物线C 2的方程为（）A 2 83o 216 3A. x =訂yB. x = —y2 2C. x = 8yD. x = 16y答案 D__nnn解析 ■/ 2c = 4a ,「. c = 2a ,又 a + b = c , 线C 的焦点p2 2• d = = 2, • p = 8,「.抛物线 C 2的方程为 x = 16y .3. [xx •衡水二中月考]如图，过抛物线 y 2= 2px （ p >0）的焦点F 的直线交抛物线于点AB,交其准线I 于点C,若| BQ = 2| BF ，且|AF = 3,则此抛物线的方程为（）1.[xx •衡水二中周测]若抛物线y 2= 2px 上一点 P （2 , y 。
）到其准线的距离为4,则抛物B. y 2=6x D. y 2=y =±3x ,又•••抛物•渐近线C. y2= 3xD. y2= 3x答案C解析如图，分别过A, B作AA丄I于A i, BB丄I于B ,由抛物线的定义知，| AF = \AAi\ ,I BF = \ BB\ ,•••\ BC = 2\BF ,••• \ BQ = 2\ BB\ ,•••/ BCB= 30°,•••/ AFx= 60° .连接人尸，则厶AAF为等边三角形，过F作FF丄AA于F i,贝U F i为AA1 i 3的中点，设I交x轴于厶则\KF = \ AF i\ = 2\AA\= 2\ AF，即p= 2，A抛物线方程为y2= 3x,故选C.4. [xx •武邑中学热身]已知点M—3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2= 2x的焦点为F,点Q是该抛物线上的一动点，则\ MQ —\QF的最小值是()7A. B. 32 5% D. 2答案C1解析抛物线的准线方程为x = —2，当MQ x轴时，\MQ —\QF取得最小值，此时\QM1 5一\ QF =3—2=2，选C.5. [xx •衡水二中热身]已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O并且经过点M2 , y o).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则\OM =( )A. 2 2C. 4 答案B B. 2 ,3D. 2 5解析设抛物线方程为y2= 2px(p>0)，则焦点坐标为£, 0 j准线方程为x = —2, •/ M在抛物线上，• M到焦点的距离等于到准线的距离,2— + y 0= 2 + 2= 3.解得：p = 2, y °=±2 2. •••点M 2 , ±2 2)，根据两点距离公式有： •••|OM = . 22+ ±2 '2一2= 2 3. 6. [xx •武邑中学期末]已知抛物线方程为 物线上有一动点 P 到y 轴的距离为d 1,到直线 A 口 + 2 2y 2= 4x ，直线l 的方程为x — y + 4= 0,在抛 的距离为d 2，贝U " + d 2的最小值为( )B.^+ 12答案 D解析因为抛物线的方程为到y 轴的距离为d i ,所以到准线的距离为 =I PF + d 2— 1,焦点F 到直线I 的距离 y 2= 4x ，所以焦点为F (1,0)，准线方程为x = — 1，因为点P d 1 + 1,又 d 1 + 1 = |PF ，所以 d 1 + cb= d 1 + 1 + d 2— 1 |1 — 0 + 4| 5 5 2 , 5 2d= 2— =—2 =它，而 |PF + d 2> 山才,所以 di + d 2= | PF + d 2— 1 > "2 — 1，选 D.7. 线于A A . C. y 2= 2px (p >0),过其焦点且斜率为—1的直线交抛物 ) [xx •衡水二中预测]已知抛物线 B 两点，若线段 AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为 ( x = 1 B. x = 2 x = — 1 答案 C D. x =— 2 解析 设A (x i , y i ) , B (X 2, y 2)，直线AB 的方程为y =—x —齐与抛物线方程联立得,y 2= 2px ；—P] 2 -2 ，消去y 整理得：x 2— 3px + p = 0,可得x 1 + X 2 = 3p .根据中点坐标公式, 有3p = 3, p = 2，因此抛物线的准线方程为 x =— 1. & [xx •枣强中学月考]过抛物线y 2= 2px (p >0)焦点F 的直线l 与抛物线交于 B C 两点, l 与抛物线的准线交于点 A,且| AF = 6, AF = 2FB,则| BQ =( ) 9 A.- 2B. 6 13C.yD. 8答案 An解析 不妨设直线l 的倾斜角为0，其中0< 9 ，点B (X 1, y”、C (x 2, y 2)，则点B 在x 轴的上方.过点B 作该抛物线的准线的垂线， 垂足为B,于是有|BF | = |BB |= 3, DD| , 1ABB 丨 BB I2、P 21, --------- l由此得p = 2,抛物线方程是 y = 4x ,焦点F (1,0) , cos e = |人”=石=~, sin e = 1 — cos e =攀 tan e= COS T = 1 2 3 4"直线 1 : y= ® -1).由,2 5 5 9=4X ,即 2X — 5X + 2= 0, X 1 + X 2= , | BQ = X 1 + X 2+ p =空 + 2=㊁，选 A.9.__________________________________________________________________________ [xx •衡水二中猜题]已知P 为抛物线y 2 = 4X 上一个动点，Q 为圆X 2+ (y — 4)2= 1上 一个动点，那么点 P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是 _______________________________ .答案 .17— 1解析 由题意知，圆 X 2 + (y — 4)2= 1的圆心为 qo,4)，半径为1，抛物线的焦点为F (1,0).根据抛物线的定义，点 P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和即点Q 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和，—1... 2 2 210.[XX •衡水二中一轮检测]已知圆C: X + y + 6X + 8y + 21 = 0,抛物线y =冷—3 — + — = .41.211. [XX •冀州中学周测]已知直线I 与抛物线y = 8X 交于A 、B 两点，且I 经过抛物线 的焦点F ,解析• p = 4，则点F 的坐标为(2,0).由题设可知，直线I 的斜率存在，设I 的方程为y = k (x — 2),点A, B 的坐标分别为(X A , y A ), (X B , y B ).4又点A (8,8)在直线上，••• 8 = k (8 — 2)，解得k = 3. 4•直线I 的方程为y = 3( x — 2).①3将①代入y 2= 8x ,整理得2X 2— 17x + 8= 0，则X A + X B = 17,•.线段AB 的中点到准线的距亠 ^X A + X B p 1725离是 丁 + p = ,2=25.12. [XX •冀州中学热身]已知过抛物线y 2= 2px (p >0)的焦点，斜率为2 2的直线交抛物 线于 A (X 1,屮),B (X 2, y 2)( X 1O2)两点，且 | AB = 9.(1)求该抛物线的方程；I A F py =2护 X —] 得 8(X — 1)2 J = 4XP 到点因此 | PQ + | PF | >| PC + | PF | —1>| CFf — 1 =0答案 A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是25~4由 y 2= 8X 知 2p = 8,8X的准线为I，设抛物线上任意一点_______________________________________________ P到直线I 的距离为m则仲| Pq的最小值为___________________________________________________ .答案-,41. . 2 2 . .解析由题意得圆C的方程为(x+ 3) + (y+ 4) = 4，圆心C坐标为(一3,—4).由抛物线定义知，当仆| PC最小时，为圆心与抛物线焦点间的距离，即(m+ | PC|) min =⑵o 为坐标原点，c 为抛物线上一点，若 O C OA 吐入S B 求入的值.222与y = 2px 联立，从而有 4x — 5px + p = 0,由抛物线定乂得| AE | = X i + X 2 + p = 9, 所以p = 4,从而抛物线方程是y 2= 8x .222(2)由 p = 4,4 X — 5px + p = 0 可得 X — 5x + 4= 0, 从而 X i = 1 , X 2 = 4, y i =— 2 2 , y 2 = 4 2, 从而 A (1 , — 2 2) , B (4,42).设0C= (X 3, y 3)= (1 , — 2 2) + 入(4,4 2)=(4 入 + 1,42 入—2 2),又 y 3 = 8x 3 ,即[2 2(2 入一1)] 2 = 8(4 入 + 1)，即(2 入一1)2= 4入 + 1 ,解得入=0或入=2.能力组13. [xx •枣强中学周测]设抛物线y 2= 2x 的焦点为F ,过点 M .3 , 0）的直线与抛物线所以X 1 + X 2=器4相交于A, B 两点，与抛物线的准线相交于点C, | BF = 2,则厶BCF-与^ ACF 的面积之比S L BCFS L ACFC.7 B・3答案 A1解析 如图，过A, B 作准线I : x =—㊁的垂线,垂足分别为A ,B ,由于F 到直线AB的距离为定值,⑴直线AB 的方程是y =1S A BCF| BQ S L ACF | CA由 I BF = I BB I = 2 知 X B =2, y B = — ^^3, •.直线 AB 的方程为 y — 0=—:—3（x —\；3）. w -32把x = -2代入上式，求得 y A = 2, X A = 2, •••I AF =I AA | = |.5=5.故选A.14. ［xx •冀州中学预测］已知点P 是抛物线y 5 6= 2x 上的动点，点 P 到准线的距离为 d ,7A. —B. 429 D. 5 答案 C解析 设抛物线y 2 = 2x 的焦点为F ,则, 0 ,又点A |, 4在抛物线外，抛物线的准1 1线方程为 x =- 2,则I PM = d — 2,又I PA + d =| PA + I PF > I AF = 5,所以 | PA + I PM = I PA5 19 9 + d —5— 2=2，即(I PA +1 PM ) min =2 故选 C.15. ［xx •衡水二中热身］如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 ___________ 米.| BC I BB |•••沽=治［，由抛物线定义知| BB | _[BF^__. S ^BCF _ |_BF]_ 两=丙=阿 ， S ^ ACF且点P 在y 轴上的射影是,则| PA +1 PM 的最小值是( 7-2A点16. [xx •武邑中学期末]设抛物线C: x 2= 2py (p >0)的焦点为F ,准线为I , A 为C 上一 点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交I 于B, D 两点.(1) 若/ BFD= 90°,A ABD 的面积为4 2，求p 的值及圆F 的方程；(2) 若A , B, F 三点在同一直线 m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐 标原点到m n 距离的比值.解 ⑴ 由题意易知B , D 两点关于y 轴对称，所以|FB =|FD .故厶BFD 为等腰直角三角 形. 设BD 交y 轴于点E,则| BE = | DE = | EF = p .所以| BD = 2p .故圆F 的半径| FA = | FB = Q 2p .由抛物线定义可知 A 到I 的距离d = | FA | =Q 2p .答案 2 6解析 建立适当的坐标系，如图所示，可求出抛物线的方程是 x = — 2X ( — 3) = 6，所以x =± 6，即水面宽是 2/6米.x 2=— 2y ，当 y =— 3 时,_ 1 1 _ _因为△ ABD 勺面积为4 2，所以@| BQ • d = 4 2，即2^2p ^ 2p = 4 ,2得p =- 2(舍去) 或p = 2.所以F (0,1).故圆F 的方程为x 7 + (y — 1)2= 8.(2)因为A B, F 三点在同一直线 m 上，所以AB 为圆F 的直径，/ ADB= 90°. 由抛物线定义知|AD = |FA | = 1| AE |，所以/ ABD= 30°, m 的斜率为 罟或—^8.，由已知可设 n ： y=¥x + b ,代入 x 2= 2py 得 x 2—— 2pb = 0.4 2p由于n 与C 只有一个公共点，故 △ p + 8pb = 0，解得b =—.36p | b i |因为m 的截距b i = 2, Tbr = 3,2 | b|所以坐标原点到 m , n 距离的比值为3.，由图形对称性可知，坐标原点到m n 距离的比值为3.2019-2020年高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程课时撬分练10.4直线与圆锥曲线的位置关系文1. [xx •衡水二中预测]抛物线y 2= 4x 的焦点为F ,准线为I ，经过F 且斜率为.3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A, AK !I ，垂足为K ,则A AKF 的面积是()A . 4 B. 3 3 C. 4 3 D. 8答案 C解析 ••• y 2= 4x ,「. F (1,0) , I : x =— 1，过焦点 F 且斜率为，3的直线 l 1：y =〔 3(x — 1), 与y 2= 4x 联立，解得 A (3 , 2 3),17交双曲线于 A , B 两点，记直线 AC BC 的斜率分别为k 1, k 2，当 —+ In |幻| + In | k ?|最小k 1k 2时，双曲线离心率为()A. 2B. 3C. 2 + 1D. 2答案 B解析 设点A (X 1, yd , C (X 2, y 2)，由于点A, B 为过原点的直线与双曲线的交点，所以当m 的斜率为当m 的斜率为一二AK= 4,.・.&AKF=4X2.3= 4 3.故选 C.2 22. [xx •枣强中学月考]已知双曲线笃一~2= 1( a>0, b>0)上一点C,过双曲线中心的直线a b根据双曲线的对称性可得 A , B 关于原点对称，即2 2,,y 2— y i y 2— — y i y ?—y ik i • k 2= • = —2 --- ,X 2— x i X 2 — — x i X 2 — x i22得 5x + 8tx + 4(t — i) = 0.222△ =(2t ) — 5( t — i)>0 ,即卩 t <5. 8 4 t 2—1贝U X i + X 2 =— g , X i X 2 =/. | AB | = i + k 2| x i — X 2| = i + k 2 • 8 2 -5 — t 2,当 t = 0 时，|AB max =4. [XX •衡水二中一轮检测]直线y = kx — 2与抛物线y 2= 8x 交于A B 两点，且AB 中点 的横坐标为2，则k 的值是 ________________ .答案 2B -x i ,— y i ) •则由于点2 2x i y ia 2—b 2=i ，A ,C 都在双曲线上，故有 2 2X 2 y 2M — 1= 1，两式相减，得—孑2 2X i — 2 2 2 2.2y i — y 2y i — y 2 b 2-= 0,所以 k i k 2= x —= a ^>0.则kk +2In | k i | + In | k 2| =+ In ( k i k 2)，对于函数k k2 y = 一 + In xx (x >0)利用导数法可以得到当x = 2时，函数y = |+ In x (x >0)取得最小值•故当z\.k i | + In | k 2|取得最小值时，k l k 2==2，所以e =i +a 2=, 3，故选 B .x 23. [xx •衡水二中猜题]斜率为1的直线I 与椭圆-+ y = 1 相交于A 、B 两点，贝U | AB的最大值为(A . 2B症B.55答案 C 解析设 x 2 + 4y 2= 4, y = x +1A 、B 两点的坐标分别为(X i , 消去y ,y i )、(X 2, y 2)，直线I 的方程为y = x +1，由t 2—1 5~x i + X 2~2 — 4x i X 2 =2•y = kx —2, 解析设A(x i, y i)、B(X2, y2)，由f 2l y = 8x,2 2消去y 得kx —4( k + 2)x + 4= 0,2 2= [ -4 k +2 _ —4x k x4>0,由题意得. k+2X i + x 2，k>—1,.•. * 即k = 2.k =—1 或k= 2,5. [xx •冀州中学周测]已知两定点M —1,0) , N1,0),若直线上存在点P,使I PM + I PN=4，则该直线为“ A型直线”.给出下列直线，其中是“ A型直线”的是____________ (填序号).①y = x + 1;② y= 2;③y =-x + 3;④y=—2x + 3.答案①④2 2解析由题意可知，点P的轨迹是以M N为焦点的椭圆，其方程是x +鲁=1,2 2x y 2①把y= x+ 1代入-+ 3 = 1并整理得，7x + 8x —8 = 0,4 32•••△= 8 —4X 7X ( —8)>0，直线与椭圆有两个交点，••• y = x + 1是“ A型直线”.2 2 2 “Y y x 1②把y = 2代入-+ 3= 1，得-=—3不成立，直线与椭圆无交点，••• y= 2不是“ A型直线”.2 2X y③把y=—x+ 3 代入一+2= 1 并整理得，7x2—24x+ 24= 0, △= ( —24) 2—4X 7X 24<0,4 3• y = —x + 3不是“ A型直线”.2 2④把y = —2x + 3 代入X+ y= 1 并整理得，19x2—48x + 24 = 0 ,v △= ( —48)2—4 34X 19x 24>0,・・・y=—2x+ 3是“ A型直线”.2 2y x6. [xx •冀州中学热身]已知焦点在y轴上的椭圆C1：2+-2= 1经过点A(1,0)，且离心a b率为喙(1) 求椭圆C的方程；(2) 过抛物线C2: y= x2+ h(h€ R)上点P的切线与椭圆C交于两点M N,记线段MN与PA 的中点分别为G H,当GH与y轴平行时，求h的最小值.11b2= 1，解(1)由题意可得C =_3a 2，2 . 2 2a =b +c ,解得a= 2, b= 1,2所以椭圆C的方程为y+ X2= 1.42⑵设P(t, t + h)，由y '= 2x,得抛物线C 2在点P 处的切线斜率为k = y '|= t = 2t , 所以MN 的方程为y = 2tx — t 2+ h ,代入椭圆方程得 4x 2 + (2tx — t 2 + h )2— 4 = 0, 化简得 4(1 + t 2)x 2— 4t (t 2— h )x + (t 2— h )2— 4 = 0. 又MN 与椭圆C 有两个交点，故4 2 2△ = 16[ — t + 2( h + 2)t — h + 4]>0，① 设Mx i , y i ), N X 2, y 2), MN 中点的横坐标为 x o ,则x i + X 2 t t 2— hx o ==匚厂，一i + t设线段PA 中点的横坐标为 X 3=,2 2 2得(1 + 2k )x + 4kmx + 2m — 2= 0. 由△ >0 得 1 + 2k 2>m ①,且 X 1 + X 2= —224•••△ POQ 勺重心恰好在圆x + y = 9上,2 2•- (X 1 + X 2) + (y 1+ y 2) = 4 ,即(X 1+ X 2)2+ [ k (X 1 + X 2)+ 2对2 = 4 ,由已知得 t t 2— hX o = X 3 ,即 + t 2 显然t 丰0,所以h = — t + ” + i ,③当t >0时，t +交于P (1) 程； ⑵解 Q 两点，O 为原点.若直线l 过椭圆C 的左焦点，与圆O 交于A B 两点，且/ AO = 60°若厶POQ 勺重心恰好在圆上，求 m 的取值范围.(1)左焦点坐标为F ( — 1,0),设直线心O 到直线I 的距离d =」,又d =| k|J 2•••直线l 的方程为y =±夕(x + 1).⑵设 P(X 1 , yj , QX 2 , y ,,求直线l的方程为 y = k (x + 1),由/ AO = 60° , k 2+1，•—k 身 1=,解得 k =± 哙1相的方 得圆由 X 2+y 2=1，y = kx + m4 km 1 + 2k 2.2 2 2即(1 + k )(X 1 + X 2)+ 4km 刘 + X 2) + 4m = 4.16 [+ k 9 k 2m 16k 2m 2 二 _i —c. 2 2——-_—2 + 4m = 4,+ 2k 1 + 2k '1 Cl 22化简得 m2= 4k2+ 1 '，代入①式得2k 2>0,「. k 丰0, 2+ 2k 4k 4又 m =2 = 1 + 2—- = 1 +4k + 14k + 1 4 1F + i?2亠T k 丰0,二 m >1，- n >1 或 n < — 1.9 •/动点 F (m n )满足 |PF | + |PF = 10,8. [xx •冀州中学预测]已知F i 、F 2是双曲线x 2—y 5= 1的两个焦点，离心率等于4的椭2圆E 与双曲线x 2— 1p 5= 1的焦点相同，动点 F ( m 2 2x y —+ —= 12 + 2(1) 求椭圆E 的方程；(2) 判断直线mx+ ny = 1与曲线M 的公共点的个数，并说明理由；当直线mx+ ny = 1与曲 线M 相交时，求直线 mx^ ny = 1截曲线M 所得弦长的取值范围.2解(1) ••• F 、F 2是双曲线x 2— y = 1的两个焦点， •••不妨设 F ( — 4,0) , F 2(4,0).2•••椭圆E 与双曲线x 2—备=1的焦点相同，152 2x y•设椭圆E 的方程为02 +孑=1( a >b >0),2 2•椭圆E 的方程为+春=1.2 22222mn m n m + n+ —— € —— + —— = —259 999•••曲线M 是圆心为(0,0)，半径r = '.2的圆, 圆心(0,0)到直线 mx+ ny = 1的距离d =—!<(2,二直线 mx+ ny = 1与曲线 M 有\/m + n 3两个公共点.n )满足| P 冋+1 PF a | = 10,曲线M 的方程为C = 4,根据已知得c =5,c = 4,解方程组得a = 5,• P ( m n )是椭圆E 上的点. 25+6 =1.• m + n 2> 9.设直线m 升ny = 1截曲线M 所得弦长为I ，则I = 2\<2 — m 二.2 2 2 2m n m n---- W ----- 1 -- = 1 , 25 25 25 9• m i + n 10 11< 25. • 9< m i + n 2< 25.1 1. 171 4922 W --- W 2 -- 2 --------- 2 WI 99 m + n 25 1 72— m 2 + n 2< 5. 1410 若线段AB 的中点在直线y = 2上，求直线I 的方程； 11 若线段|AB = 20,求直线l 的方程.解(1)由已知得焦点坐标为 F (1,0).因为线段 AB 的中点在直线y 的斜率存在，设直线l 的斜率为k , A (X 1,y” , 0X 2, y 2), AB 的中点M ：.1 .—W 5 m + n(y 1 + y 2)( y 1 — y 2)= 4(X 1 — X 2)，所以 2y °k = 4. 又y ° = 2,所以k = 1,故直线l 的方程是y = x — 1.x = my+ 1,(2)设直线l 的方程为x = m 什1,与抛物线方程联立得2y = 4x ,4 = 0,所以『1 + y 2 = 4m y 1y 2= — 4, △= 16( m + 1)>0.I AB = . m +1| y 1 — y 2| =m + 1 ■y 1 + y 2 2 — 4y 1y 2•••直线mx^ ny = 1截曲线M 所得弦长的取值范围为 2 g 17,14 ~59. [xx 且与抛物线 •衡水二中期中]如图所示，已知抛物线 C ： y 2= 4x C 相交于A B 两点.的焦点为 F ,直线I 经过点F 2上，所以直线l ,y 。
高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.5.1轨迹与轨迹方程课件文
1．思维辨析 (1)f(x0，y0)＝0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上的充要条件．( √ ) (2)方程 x2＋xy＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × ) (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2＝y2.( × ) (4)方程 y＝ x与 x＝y2 表示同一曲线．( × )
3．已知动点 P 在曲线 2x2－y＝0 上移动，则点 A(0，－1)与点 P 连线中点的轨迹方程是( )
A．y＝2x2
B．y＝8x2
C．y＝4x2－12
D．y＝4x2＋12
解析 设 AP 中点为(x，y)，则 P(2x,2y＋1)在 2x2－y＝0 上，即 2(2x)2－(2y＋1)＝0，所以 y＝4x2－12.
2 求动点的轨迹方程的步骤 (1) 建系 ——建立适当的坐标系； (2) 设点 ——设轨迹上的任一点 P(x，y)； (3) 列式 ——列出动点 P 所满足的关系式； (4) 代换 ——依关系式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于 x、y 的方程，并化简； (5) 证明 ——证明所得方程即为符合条件的动点轨迹方程．
[解] 如图所示，以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系．
由|O1O2|＝4，得 O1(－2,0)、O2(2,0)．设动圆 M 的半径为 r，则由动圆 M 与圆 O1 内切， 有|MO1|＝r－1； 由动圆 M 与圆 O2 外切，有|MO2|＝r＋2. ∴|MO2|－|MO1|＝3. ∴点 M 的轨迹是以 O1、O2 为焦点，实轴长为 3 的双曲线的左支． ∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74. ∴点 M 的轨迹方程为49x2－47y2＝1x≤－32.
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
2019-2020年高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.1.2椭圆的几何性质课件文
(2)求椭圆离心率范围 求解离心率的范围关键在于找到含有 a 与 c 的不等关系，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范 围．常见的途径归纳如下： ①椭圆的几何性质，设 P(x0，y0)为椭圆ax22＋yb22＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c 等． ②涉及直线与椭圆相交时，直线方程与椭圆方程联立消元后所得到的一元二次方程的判别式大于 0. ③题目中给出的或能够根据已知条件得出的不等关系式．
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
第十章 圆锥曲线与方程
第1讲 椭圆及其性质
考点二 椭圆的几何性质
撬点·基础点 重难点
1 椭圆的几何性质 标准方程
高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.3.1抛物线的标准方程课件理
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
2019/5/23
最新中小学教学课件
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thank you!
据抛物线的方程研究它的几何性质．与抛物线定义有关的最值、轨迹问题及焦点弦问题．
命题法 抛物线的定义及方程
典例 (1)点 M(5,3)到抛物线 y＝ax2 的准线的距离为 6，那么抛物线的标准方程是( )
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2019高考数学异构异模复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.5.1 轨迹与轨迹方程撬题 文1．一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．(1)求曲线C 的方程；(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解 (1)设点D (t,0)，(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意，MD →＝2DN →，且|DN →|＝|ON →|＝1，所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎪⎨⎪⎧x 0－t 2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0.由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0， 于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y2，代入x 20＋y 20＝1，可得x 216＋y 24＝1，即所求的曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1.(2)(ⅰ)当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8.(ⅱ)当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫k ≠±12， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.因为直线l 总与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4.①又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ；同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k .由原点O 到直线PQ 的距离为d ＝|m |1＋k2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |，可得S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12·|m |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2.②将①代入②得，S △OPQ ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2＝8|4k 2＋1||4k 2－1|. 当k 2>14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋14k 2－1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24k 2－1>8；当0≤k 2＜14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋11－4k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2. 因0≤k 2<14，则0＜1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2≥8， 当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.综合(ⅰ)(ⅱ)可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.2．如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝22得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22，由DF 1⊥F 1F 2 得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322.所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知x 2＝－x 1，y 1＝y 2，|P 1P 2|＝2|x 1|.由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，所以F 1P 1→＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0.当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .由F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，知CP 1⊥CP 2.又|CP 1|＝|CP 2|，故圆C 的半径|CP 1|＝22|P 1P 2|＝2|x 1|＝423. 3．在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)．求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．解 (1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即x －2＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)． 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝kx ＋，y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①(ⅰ)当k ＝0时，此时y ＝1. 把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. (ⅱ)当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③(a)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(b)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12或－12≤k <0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点． (c)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，由②③解得－1<k <－12或0<k <12.即当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合(ⅰ)，(ⅱ)可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解 (1)由题意知c ＝5，e ＝c a ＝53， ∴a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4，故椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)设两切线为l 1，l 2，①当l 1⊥x 轴或l 1∥x 轴时，对应l 2∥x 轴或l 2⊥x 轴，可知P (±3，±2)．②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x 0≠±3，设l 1的斜率为k ，且k ≠0，则l 2的斜率为－1k ，l 1的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与x 29＋y24＝1联立， 整理得(9k 2＋4)x 2＋18(y 0－kx 0)kx ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0， ∵直线l 1与椭圆相切， ∴Δ＝0，即9(y 0－kx 0)2k 2－(9k 2＋4)·[(y 0－kx 0)2－4]＝0， ∴(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0，∴k 是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0的一个根， 同理，－1k是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0的另一个根，∴k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝y 20－4x 20－9，整理得x 20＋y 20＝13，其中x 0≠±3，∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13(x ≠±3)．检验P (±3，±2)满足上式． 综上，点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13.。