根的判别式中考常考解答题复习

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查补易混易错点04 一元二次方程根的判别式的参数问题(解析版)--中考数学重难点题型专项训练

查补易混易错04一元二次方程根的判别式的参数问题中考数学重难点题型专项训练一元二次方程根的判别式不仅是《一元二次方程》章节中的重要考点，也是二次函数求交点个数问题的重要方法。

中考数学中对该考点的考察中，一个特别重要的题型就是引入参数，由一元二次方程解的情况，求解方程中参数的取值范围；逆向考察亦可。

中考五星高频考点，在全国各地中考试卷中基本都有考察，难度中等偏上。

易错01：一元二次方程02=++c bx ax 根的判别式的几种情况：①042＞ac b -方程有2个不相等的实数根；②042=-ac b 方程有2个相等的实数根③042＜ac b -方程无实数根易错02：1.一元二次方程解的情况无论是什么，都必须先满足0≠a ；2.如果题目中出现方程02=++c bx ax 有实数根，则可以是一元一次方程，即不要求0≠a ；3.有些一元二次方程根的判别式问题会和韦达定理一起考，出现方程的解为21x x 、时，注意联系韦达定理。

【中考真题练】1．（2022•淮安）若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣k ＝0没有实数根，则k 的值可以是（）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1【分析】根据根的判别式列出不等式求出k 的范围即可求出答案．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0，∴k＜﹣1，故选：A．2．（2022•内蒙古）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x 的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【分析】根据运算“⊗”的定义将方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1转化为一般式，由根的判别式Δ＝（k﹣1）2+4＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．【解答】解：∵（k﹣3）⊗x＝k﹣1，∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，∴关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1有两个不相等的实数根．故选：A．3．（2022•巴中）对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＞﹣B．k＜﹣C．k＞﹣且k≠0D．k≥﹣且k≠0【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式求解即可．【解答】解：根据定义新运算，得x2﹣x＝k，即x2﹣x﹣k＝0，∵关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣k）＞0，解得：，故选：A．4．（2022•西藏）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥B．m＜C．m＞且m≠1D．m≥且m≠1【分析】利用一元二次方程有实数根的条件得到关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，∴，解得：m≥且m≠1．故选：D．5．（2022•营口）关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围为（）A．m＜4B．m＞﹣4C．m≤4D．m≥﹣4【分析】根据根的判别式和已知条件得出Δ＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，再求出m的范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个实数根，∴Δ＝42﹣4×1×（﹣m）＝16+4m≥0，解得：m≥﹣4，故选：D．6．（2022•辽宁）下列一元二次方程无实数根的是（）A．x2+x﹣2＝0B．x2﹣2x＝0C．x2+x+5＝0D．x2﹣2x+1＝0（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根判断即可．【解答】解：A、Δ＝12﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；C、Δ＝12﹣4×1×5＝﹣19＜0，则该方程无实数根，故本选项符合题意；D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，则该方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；故选：C．7．（2022•包头）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x1•x22的值为（）A．3或﹣9B．﹣3或9C．3或﹣6D．﹣3或6【分析】先用因式分解法解出方程，然后分情况讨论，然后计算．【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x＝3或x＝﹣1，①x1＝3，x2＝﹣1时，＝3，②x1＝﹣1，x2＝3时，＝﹣9，故选：A．8．（2022•东营）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k ＜2且k≠1．【分析】根据一元二次方程解的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，解得k＜2且k≠1，所以k的取值范围是k＜2且k≠1．故答案为：k＜2且k≠1．9．（2022•扬州）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+0（答案不唯一）＝0有两个不相等的实数根．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c 的值．【解答】解：a＝1，b＝﹣2．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×c＞0，∴c＜1．故答案为：0（答案不唯一）．10．（2022•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．【分析】（1）利用根的判别式，进行计算即可解答；（2）利用根与系数的关系和已知可得，求出α，β的值，再根据αβ＝﹣3m2，进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）＝4+12m2＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由题意得：，解得：，∵αβ＝﹣3m2，∴﹣3m2＝﹣3，∴m＝±1，∴m的值为±1．【中考模拟练】1．（2023•佛冈县校级二模）关于x的一元二次方程2x2+4x+a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．a＜0C．a＞2D．a≥4【分析】根据根的判别式小于零列不等式求解即可．【解答】解：一元二次方程2x2+4x+a＝0没有实数根，∴Δ＝16﹣8a＜0，∴a＞2．故选：C．2．（2023•嘉定区二模）下列关于x）A．x2+1＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2﹣bx+1＝0（b为常数）D．x2﹣bx﹣1＝0（b为常数）【分析】先计算4个方程的根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况，从而可对各选项进行判断．【解答】解：A．Δ＝02﹣4×1＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以A选项不符合题意；B．Δ＝（﹣1）2﹣4×1＝﹣3＜0，则方程没有实数解，所以B选项不符合题意；C．Δ＝b2﹣4×1＝b2﹣4，当b＝0时，Δ＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以C选项不符合题意；D．Δ＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0时，则方程有两个不相等的实数解，所以CD项符合题意．故选：D．3．（2023•北京一模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则m的值不可能是（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【分析】根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣4m≥0，解之即可得出m的取值范围，再比照四个选项即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，∴Δ＝4﹣4m≥0解得：m≤1．故选：A．4．（2023•东城区校级一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0根的情况是（）A．无实根B．有实根C．有两个不相等实根D．有两个相等实根【分析】利用根的判别式得到Δ＝（k﹣1）2+4，根据非负数的性质可得Δ＞0，以此即可判断．【解答】解：∵x2﹣（k+3）x+2k+1＝0，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+1）＝k2+6k+9﹣8k﹣4＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∵（k﹣1）2≥0，∴Δ＝（k﹣1）2+4≥4＞0，∴方程有两个不相等的实根．故选：C．5．（2023•文山市一模）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＞4B．k≤2C．k＜4且k≠0D．k≤2且k≠0【分析】根据一元二次方程的定义得到k≠0，根据一元二次方程有两个实数根得到Δ＝b2﹣4ac≥0，求出k的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2k≥0，解得k≤2，又∵k≠0，∴k≤2且k≠0．故选：D．6．（2023•西城区一模）若关于x的方程mx2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣B．m≥﹣C．m＞﹣且m≠0D．m≥﹣且m≠0【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式与一元二次方程根的关系列出不等式组，解答即可．【解答】解：∵关于x的方程mx2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝32﹣4m•（﹣1）＞0且m≠0，解得m＞﹣且m≠0．故选：C．7．（2023•临朐县一模）若关于x的方程x2﹣x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞﹣．【分析】根据一元二次方程，有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0，解出k即可．【解答】解：∵x2﹣x＝k有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴（﹣1）2﹣4×1×（﹣k）＞0，∴k＞﹣，∴k的取值范围为k＞﹣，故答案为：k＞﹣．8．（2023•房山区一模）关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，c的值：a＝1（答案不唯一），c＝4（答案不唯一）．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝16﹣4ac＝0，取a＝1找出c值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，∴Δ＝42﹣4ac＝0，∴ac＝4，即当a＝1时，c＝4．故答案为：1（答案不唯一）；4（答案不唯一）．9．（2023•工业园区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0．（1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值；（2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．【分析】（1）直接把x＝2代入到原方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0的一个根为x＝2，∴22﹣4m+2m﹣1＝0，∴；（2）证明：由题意得，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2≥0，∴无论m取什么值，该方程总有两个实数根．10．（2023•鼓楼区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+2k+1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根大于3，求k的取值范围．【分析】（1）先求出方程的判别式Δ的值，利用配方法得出Δ≥0，根据判别式的意义即可解答；（2）设方程的两个根分别为x1，x2，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求得k的取值范围．【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+2k+1＝0，∴Δ＝[﹣（2k+2）]2﹣4×1×（2k+1）＝4k2+8k+4﹣8k﹣4＝4k2≥0，∴无论k为何值，方程总有两个实数根．（2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+2k+1＝0，设方程的两个根分别为x1，x2，∴，∴x1＝1，x2＝2k+1，∵该方程有一个根大于2，∴2k+1＞3，∴k＞1，∴k的取值范围k＞1．。

中考数学复习《一元二次方程根的判别式、根与系数的关系》

专题 1.3 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（3个考点八大题型）【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】1．（2023春•南岗区校级期中）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．无实数根C．有一个实数根D．有两个不等的实数根2．（2023•平顶山二模）定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根3．（2023•柘城县二模）一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根4．（2023•桂林二模）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（）A．无实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根5．（2023•东城区一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0根的情况是（）A．无实根B．有实根C．有两个不相等实根D．有两个相等实根6．（2023•新郑市模拟）一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无法确定7．（2023•三门峡一模）一元二次方程（x﹣1）2＝x+3的根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根8．（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】9．（2023•洛阳二模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k≤4D．k＜4 10．（2023•济源一模）若关于x的一元二次方程x2+4x+m+5＝0有实数根，则m 的取值范围是（）A．m≤1 B．m≤﹣1 C．m＜﹣1D．m≥﹣1且m≠0 11．（2023•东莞市校级一模）已知方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值（）A．k＞﹣1B．k＞1C．k＞1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0 12．（2023春•洞头区期中）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）A．﹣36B．﹣9C．9D．36 13．（2023•阿克苏市一模）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围（）A．B．C．k＜且k≠2D．且k≠2 14．（2023•贵阳模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（）A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．2【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】15．（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k ﹣1＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．16．（2023春•庐阳区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m ﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）若a和b是这个一元二次方程的两个根，且a2+b2＝9，求m的值．17．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．18．（2023•金溪县模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根分别是等腰△ABC两边AB、AC的长，其中BC＝10，求k 值．19．（2023•长安区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．20．（2022秋•东城区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】21．（2023•红桥区模拟）若一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2的值等于（）A．﹣4B．4C．﹣12D．12 22．（2023•五华县校级开学）设一元二次方程x2﹣12x+3＝0的两个实根为x1和x2，则x1x2＝（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3 23．（2023•六盘水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2 24．（2023•长丰县模拟）若m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则m+n ﹣mn的值是（）A．5B．﹣5C．1D．﹣1【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】25．（2023•南山区三模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，则的值是（）A．B．C．D．26．（2023•潍城区二模）若x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则的值为（）A．19B．9C．1D．﹣1 27．（2023•汉阳区校级模拟）若实数m，n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n ﹣1＝0，则的值是（）A．2B．﹣4C．﹣6D．2或﹣6 28．（2023•兴庆区校级二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）A．﹣10B．10C．3D．0 29．（2022秋•南安市期末）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别是x1、x2，则x2+x1的值是（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3 30．（2023•临沭县一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（）A．2023B．2022C．2020D．2019【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】31．（2023•河东区一模）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式的值是（）A．4047B．4045C．2023D．1 32．（2022秋•嘉陵区校级期末）如果m，n是一元二次方程x2+x＝3的两个根，那么多项式m3+4n﹣mn+2022的值等于（）A．2018B．2012C．﹣2012D．﹣2018【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】33．（2023•安丘市模拟）已知方程x2+2023x﹣5＝0的两根分别是α和β，则代数式α2+β+2024α的值为（）A．0B．﹣2018C．﹣2023D．﹣2024 34．（2023•肥城市一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值为（）A．2020B．2021C．2022D．2023 35．（2023•鼓楼区校级模拟）已知a、b是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的两根，则a2﹣a﹣4b的值是（）A．2020B．2021C．2022D．2023 36．（2023•东港区校级一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值等于（）A．2020B．2021C．2022D．2023 37．（2023春•江岸区校级月考）设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（）A．6076B．﹣6074C．6040D．﹣6040 38．（2022秋•莲池区校级期末）若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则m2+5m+n的值是（）A．4B．5C．6D．12【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】39．（2023•阿克苏市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1B．0C．1D．2 40．（2020秋•甘井子区期末）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2B．2C．﹣5D．5 41．（2020春•宣城期末）关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1 42．（2023•诸暨市模拟）关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一个解为x＝1，则该方程的另一个解为（）A．0B．﹣1C．2D．﹣2 43．（2023•洛阳一模）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣2，则另一个根是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2。

第二章一元二次方程专题复习2-根的判别式与韦达定理(含答案)

专题复习二根的判别式与韦达定理重点提示： (1)根的判别式ac b 42-主要应用于判断方程根的情况.利用判别式判断方程根的情况时要注意方程是不是一元二次方程，如果方程的类型不确定还要进行分类讨论.（2）韦达定理主要反映一元二次方程根与系数的关系，利用韦达定理的前提条件是方程有解，即042≥-ac b .【夯实基础巩固】1．已知x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣5=0的两根，则的值为（ B ）A ．﹣B ．C ．D ．﹣2．已知x 2+px +q =0的两根是3，﹣4，则代数式x 2+px +q 分解因式的结果是（ C ）A ．（x +3）（x +4）B ．（x ﹣3）（x ﹣4）C ．（x ﹣3）（x +4）D ．（x +3）（x ﹣4）3．关于x 的方程x 2﹣2mx ﹣m ﹣1=0的根的情况是（ A ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个实数根D ．没有实数根4．关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x +m ﹣2=0的两根互为倒数，则m 的值是（ C ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45．关于x 的方程x 2﹣（m ﹣3）x +m 2=0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是（ B ）A ． 2B ． 1C ． 0D ． ﹣16．已知关于x 的一元二次方程x 2+kx +1=0有两个相等的实数根，则k = ±2 ．7．已知x 1，x 2是方程的两根，则的值为 3 ．8．已知a ，b 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个实数根，则代数式（a ﹣b ）（a +b ﹣2）+ab 的值等于 ﹣1 ．9．已知关于x 的方程x 2+2mx +m 2﹣1=0.（1）不解方程，判别方程根的情况.（2）若方程有一个根为3，求m 的值．（1）∵∆=（2m ）2﹣4×1×（m 2﹣1）=4＞0，∴方程x 2+2mx +m 2﹣1=0有两个不相等的实数根.（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m×3+m2﹣1=0，解得m=﹣4或m=﹣2．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值.（2）在（1）的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．（1）∵x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴ =8﹣4m＞0，解得m＜2，∴m的最大整数值为1.（2）∵m=1，∴此一元二次方程为x2﹣2x+1=0.∴x1+x2=2，x1x2=1.∴x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=8﹣3=5．【能力提升培优】11．若a，b，c为三角形三边，则关于x的一元二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0的根的情况是（C）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定12．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），给出下列命题：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根．其中真命题有（C）A．1个B．2个C．3个D．0个13．设x1，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p，q的值分别为（A）A．﹣1，﹣3 B．1，3 C．1，﹣3 D．﹣1，3【解析】∵x1，x2是x2＋px＋q=0的两根，x1＋1，x2＋1是x2＋qx＋p=0的两根，∴x1＋x2=-p，x1x2=q，x1＋1＋x2＋1= x1＋x2＋2=-q，（x1＋1）（x2＋1）= x1x2+（x1＋x2）＋1=p.∴-p+2=-q，q-p＋1=p.∴p=-1，q=-3.14．若一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0的两个实数根分别是3，b，则a+b=5．15．已知m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，则a的值等于﹣9．16．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③．则正确结论的序号是①②．17．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1x2，求k的值．（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴∆=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，解得k＞.（2）∵k＞，∴x1+x2=﹣（2k+1）＜0.又∵x1x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0.∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=2k+1.∵|x1|+|x2|=x1x2，∴2k+1=k2+1.∴k1=0，k2=2.又∵k＞，∴k=2．18．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若+=1，求的值.（2）求+﹣m2的最大值．∵方程有两个不相等的实数根，∴∆= 4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，解得m＜1.∴﹣1≤m＜1．（1）∵x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，∴+===1，解得m1=，m2=（不合题意，舍去）.∴=﹣2．（2）+﹣m2=﹣m2=﹣2（m﹣1）﹣m2=﹣（m+1）2+3．当m=﹣1时，最大值为3．【中考实战演练】19．【烟台】等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（B）A．9B．10 C．9或10 D．8或10【解析】∵a,b,2是等腰三角形的三边长，∴a=2,b＜4或a＜4，b=2或a=b＞1. ∵a,b是x2-6x+n-1=0的两根，∴a+b=6.∴a=b=3.∴ab=n-1=9.∴n=10.20．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2+a﹣2=0的两实根，那么m+n的最大值是4．【开放应用探究】21．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，x2+3x﹣=0，x2+6x ﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由.（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”？请说明理由．（1）不是.理由如下：解方程x2+x﹣12=0得x1=3，x2=﹣4．∴|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．∵3.5不是整数，∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程.（2）存在．理由如下：∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程，∴假设c=mb2+n.当b=﹣6，c=﹣27时，﹣27=36m+n．∵x2=0是偶系二次方程，∴n=0，m=﹣.∴c=﹣b2．∴可设c=﹣b2．对于任意一个整数b，c=﹣b2时， =b2﹣4c=4b2．∴x1=﹣b，x2=b．∴|x1|+|x2|=2|b|，∵b是整数，∴对于任何一个整数b，当c=﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．。

中考数学一元二次方程根的判别式真题

中考数学一元二次方程根的判别式真题一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）。

在系数a≠0的情况下，Δ=b2－4ac>0时，方程有2个不相等的实数根；Δ=b2－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；Δ=b2－4ac <0时，方程无实数根。

反之，若方程有2个不相等的实数根，则Δ=b2－4ac>0；若方程有两个相等的实数根，则Δ=b2－4ac =0；若无实数根，则Δ=b2－4ac <0。

因此，Δ=b2－4ac称为一元二次方程根的判别式。

根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件a≠0。

使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。

一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用，也是中考必考内容，并占有一定的份量。

我们将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括①不解一元二次方程，判断（证明）根的情况、②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物线与直线（含x轴）的公共点个数。

一.不解一元二次方程，判断（证明）根的情况：典型例题：例1：一元二次方程2x2x20的根的情况是【】A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根【答案】D。

【考点】一元二次方程根的判别式。

【分析】∵2x2x20中，a=1，b=2，c=2，∴△22b4ac=2412=40=--⨯⨯-。

<∴2x2x20无实数根。

故选D。

例2：下列四个结论中，正确的是【】A．方程1x+=2-有两个不相等的实数根xB．方程1有两个不相等的实数根x+=1x有两个不相等的实数根C．方程1x+=2xD．方程1（其中a为常数，且a2>）有两个不相等的实数根x+=ax【答案】D。

【2014中考复习必备】数学考前50天配套练习考典6根的判别式、根与系数的关系

－ mx － 1 ＝ 0 根的情况是（
考典 6
根的判别式、根与系数的关系
1 ．一元二次方程 x 2 － 2 x ＋ 3 ＝ 0 的根的判别式的值是． 2 2 ．已知关于 x 的方程 x － 4 x ＋ a ＝ 0 有两个相等的实数根，那么 a 的值是范围是． 3 ．关于 x 的方程 x 2 － 3 x ＋ m ＝ 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值．．
＝
是
10 ．如果关于 x 的方程 x2 ax a 1 0 有两个相等的实数根，那么 a 的值等于． 11 ．已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 有两个实数根，则下列关于判别式 b 2 － 4 c 的判断正确的是（ (A) b 2 － 4 c ≥ 0 ； (C) b 2 － 4 c ＝ 0 ；）． (B) b 2 － 4 c ＞ 0 ； (D) b 2 － 4 c ＜ 0 ．
）． (A) 有两个不相等的实数根； (B) 有两个相等的实数根； (C) 没有实数根； (D) 不能确定的． 2 13 ．若一元二次方程 2 x － mx ＋ m ＝ 0 有两个相等的实数根，则 m＝． 2 2 14 ．如果关于 x 的方程 x － (2 m － 1) x ＋ m ＝ 0 有两个实数根，那么 m 的取值范围是．
2
4 ．如果关于 x 的一元二次方程 x 2 － x ＋ m ＝ 0 有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围是 5 ．如果关于 x 的方程 x ＋ kx ＋ 9 ＝ 0 （ k 为常数）有两个相等的实数根，则 k＝．是是 6 ．如果方程 kx 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有两个不等实数根，则实数 k 的取值范围． 7 ．若关于 x 的方程 2 x 2 － ax － 2 a ＝ 0 有两个相等的实数根，则 a 的值． 8 ．已知关于 x 的方程 x 2 ＋ 2 x ＋ m 2 ＝ 0 有两个相等的实数根，那么 m ． 9 ．已知关于 x 的方程 x 2 mx 2 有两个相等的实数根，那么 m 的值．

3.中考数学专题一元二次方程根的判别式、根与系数的关系母题题源系列(解析版)

专题01 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系【母题来源一】【2019•河南】一元二次方程（x+1）（x-1）=2x+3的根的情况是A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】A【解析】原方程可化为：x2-2x-4=0，∴a=1，b=-2，c=-4，∴Δ=（-2）2-4×1×（-4）=20>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【名师点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．【母题来源二】【2019•河北】小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=-1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x=-1 D．有两个相等的实数根【答案】A【解析】∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=-1，∴（-1）2-4+c=0，解得：c=3，故原方程中c=5，则b2-4ac=16-4×1×5=-4<0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选A．【名师点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出c的值是解题关键．【母题来源三】【2019•荆州】若一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b=0的根的情况是A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【答案】A【解析】∵一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，∴k>0，b≤0，∴Δ=k2-4b>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【名师点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．【母题来源四】【2019•包头】已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是A．34 B．30C．30或34 D．30或36【答案】A【解析】当a=4时，b<8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，∴4+b=12，∴b=8不符合；当b=4时，a<8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，∴4+a=12，∴a=8不符合；当a=b时，∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，∴12=2a=2b，∴a=b=6，∴m+2=36，∴m=34，故选A．【名师点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．【母题来源五】【2019•上海】如果关于x的方程x2-x+m=0没有实数根，那么实数m的取值范围是________．【答案】m1 4 >【解析】由题意知Δ=1-4m<0，∴m14 >．故答案为：m14 >．【名师点睛】总结：一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ<0⇔方程没有实数根．【母题来源六】【2019•衡阳】关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m-1）x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根，求此时m的值．【解析】（1）根据题意得Δ=（-3）2-4k≥0，解得k94≤．（2）k的最大整数为2，方程x2-3x+k=0变形为x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2，∵一元二次方程（m-1）x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根，∴当x=1时，m-1+1+m-3=0，解得m32 =；当x=2时，4（m-1）+2+m-3=0，解得m=1，而m-1≠0，∴m的值为32．【母题来源七】【2019•黄石】已知关于x的一元二次方程x2-6x+（4m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1-x2|=4，求m的值．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2-6x+（4m+1）=0有实数根，∴Δ=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2．（2）∵方程x2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2=6，x1x2=4m+1，∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=42，即32-16m=16，解得：m=1．【母题来源八】【2019•黄冈】若x1，x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根，则x1·x2的值为A．-5 B．5C．-4 D．4【答案】A【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根，∴x1·x2ca==-5．故选A．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于ca是解题的关键．【母题来源九】【2019•广东】已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，下列结论错误的是A．x1≠x2B．x12-2x1=0C．x1+x2=2 D．x1·x2=2【答案】D【解析】∵Δ=（-2）2-4×1×0=4>0，∴x1≠x2，选项A不符合题意；∵x1是一元二次方程x2-2x=0的实数根，∴x12-2x1=0，选项B不符合题意；∵x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，∴x1+x2=2，x1·x2=0，选项C不符合题意，选项D符合题意．故选D．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．【母题来源十】【2019•淄博】若x 1+x 2=3，x 12+x 22=5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是 A ．x 2-3x +2=0 B ．x 2+3x -2=0 C ．x 2+3x +2=0 D ．x 2-3x -2=0【答案】A【解析】∵x 12+x 22=5， ∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=5，而x 1+x 2=3， ∴9-2x 1x 2=5， ∴x 1x 2=2，∴以x 1，x 2为根的一元二次方程为x 2-3x +2=0．故选A ．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2c a=．【母题来源十一】【2019•江西】设x 1，x 2是一元二次方程x 2-x -1=0的两根，则x 1+x 2+x 1x 2=__________．【答案】0【解析】∵x 1、x 2是方程x 2-x -1=0的两根， ∴x 1+x 2=1，x 1×x 2=-1， ∴x 1+x 2+x 1x 2=1-1=0．故答案为：0．【名师点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2b a =-，x 1·x 2ca=．【母题来源十二】【2019•娄底】已知方程x 2+bx +3=0__________．【解析】设方程的另一个根为c ，c =3，∴c =-【名师点睛】本题考查的是根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键．【母题来源十三】【2019•十堰】已知于x 的元二次方程x 2-6x +2a +5=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求a 的取值范围；（2）若x 12+x 22-x 1x 2≤30，且a 为整数，求a 的值．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-6x +2a +5=0有两个不相等的实数根x 1，x 2， ∴Δ>0，即（-6）2-4（2a +5）>0，解得a <2．（2）由根与系数的关系知：x 1+x 2=6，x 1x 2=2a +5， ∵x 1，x 2满足x 12+x 22-x 1x 2≤30， ∴（x 1+x 2）2-3x 1x 2≤30， ∴36-3（2a +5）≤30， ∴a 32≥-，∵a 为整数， ∴a 的值为-1，0，1．【名师点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k 的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．【母题来源十四】【2019•鄂州】已知关于x 的方程x 2-2x +2k -1=0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）设方程的两根分别是x 1、x 2，且2112x x x x +=x 1·x 2，试求k 的值．【解析】（1）∵原方程有实数根， ∴b 2-4ac ≥0∴（-2）2-4（2k -1）≥0， ∴k ≤1．（2）∵x 1，x 2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得： x 1+x 2=2，x 1·x 2=2k -1，又∵2112x x x x +=x 1·x 2， ∴22121212x x x x x x +=⋅⋅， ∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=（x 1·x 2）2， ∴22-2（2k -1）=（2k -1）2，解之，得：1222k k ==-．经检验，都符合原分式方程的根，∵k ≤1，∴k =．【名师点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k 的取值范围，此题难度不大．【命题意图】这类试题主要考查一元二次方程根的判别式，常与一次函数、等腰三角形等知识结合考查．一元二次方程根与系数的关系．【方法总结】1．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．2．（1）应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式，然后确定a ，b ，c 的值；（2）此判别式只适用于一元二次方程，当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论；（3）当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根． 3．一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：（1）不解方程，判定根的情况；（2）根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；（3）应用判别式证明方程根的情况． 4．根与系数关系对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中a b c ，，为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．5．一元二次方程根与系数的关系的应用（1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值；（2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值；（3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值；（4）与根的判别式相结合，解决一些综合题. 6．与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形（1）()()22222121122*********x x x x x x x x x x x x +=++-=+-；（2）12121211x x x x x x ++=；（3）12x x -==（4）()222121221211212122x x x x x x x x x x x x x x +-++==；（5）()()221212124x x x x x x -=+-；（6）()()()2121212x k x k x x k x x k ++=+++．1．【天津市滨海新区2019届中考一模数学试题】下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是 A ．28170x x +=- B ．26100x x -=-C ．290x +=-D ．2440x x +=-【答案】B【解析】A ．Δ=（-8）2-4×1×17=-4<0，故方程没有实数根，该选项不符合题意， B ．Δ=（-6）2-4×1×（-10）=76>0，故方程有两个不相等的实数根，该选项符合题意， C ．Δ=（-2-4×1×9=-4<0，故方程没有实数根，该选项不符合题意， D ．Δ=（-4）2-4×1×4=0，故方程有两个相等的实数根，该选项不符合题意，故选B ．【名师点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，方程有两个相等的实数根；Δ<0时，方程没有实数根．2．【2019年河南省第二届名校联盟中考数学模拟试卷（5月份）】若关于x 的一元二次方程mx 2-2x +1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是A．m≤1B．m≤-1C．m≤1且m≠0D．m≥1且m≠0【答案】C【解析】根据题意得m≠0且Δ=（-2）2-4m≥0，解得m≤1且m≠0．故选C．【名师点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ<0时，方程无实数根．3．【山东省诸城市部分学校2019届中考模拟（6月）数学试题】已知a、b、c为正数，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，则关于x的方程a2x2+b2x+c2=0解的情况为A．有两个不相等的正根B．有一个正根，一个负根C．有两个不相等的负根D．不一定有实数根【答案】C【解析】∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，∴Δ=b2-4ac≥0．又∵a、b、c为正数，∴b2-4ac+2ac=b2-2ac>0，b2+2ac>0．∵方程a2x2+b2x+c2=0的根的判别式Δ=b4-4a2c2=（b2+2ac）（b2-2ac）>0，∴该方程有两个不相等的实数根．设关于x的方程a2x2+b2x+c2=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=22ba<0，x1x2=22ca>0，∴关于x的方程a2x2+b2x+c2=0有两个不相等的负根．故选C．【名师点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根的判别式及根与系数的关系，找出关于x的方程a2x2+b2x+c2=0有两个不相等的负根是解题的关键．4．【2019年四川省内江市中考数学模拟试卷（三）】关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，则a的值是A．1 B．-1C．1或-1 D．2【答案】B【解析】依题意Δ>0，即（3a+1）2-8a（a+1）>0，即a2-2a+1>0，（a-1）2>0，a≠1，∵关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，∴x1-x1x2+x2=1-a，∴x1+x2-x1x2=1-a，∴3122a aa a++-=1-a，解得：a=±1，又a≠1，∴a=-1．故选B．【名师点睛】此题考查了根的判别式，根与系数的关系，以及一元二次方程的定义，一元二次方程中根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程没有实数根．5．【2019年山东省潍坊市中考数学一模试卷】已知关于x的方程x2+（k2-4）x+k-1=0的两实数根互为相反数，则k=__________．【答案】-2【解析】设方程的两根分别为x1，x2，∵x2+（k2-4）x+k-1=0的两实数根互为相反数，∴x1+x2，=-（k2-4）=0，解得k=±2，当k=2，方程变为：x2+1=0，Δ=-4<0，方程没有实数根，所以k=2舍去；当k=-2，方程变为：x2-3=0，Δ=12>0，方程有两个不相等的实数根；∴k=-2．故答案为：-2．【名师点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=-ba；x1·x2=ca．也考查了一元二次方程的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．6．【2019年江西省南昌市十校联考中考数学模拟试卷（5月份）】已知α、β是一元二次方程x2-2019x+1=0的两实根，则代数式（α-2019）（β-2019）=__________．【答案】1【解析】∵α、β是一元二次方程x2-2019x+1=0的两实根，∴α+β=2019，αβ=1，∴（α-2019）（β-2019）=αβ-2019（α+β）+22019=1．故答案为：1．【名师点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．7．【河南省2019年中考数学模试题（一）】已知关于x的一元二次方程ax2-（a+2）x+2=0有两个不相等的正整数根时，整数a的值是__________．【答案】1【解析】∵方程ax2-（a+2）x+2=0是关于x的一元二次方程，∴a≠0．∵Δ=（a+2）2-4a×2=（a-2）2≥0，∴当a=2时，方程有两个相等的实数根，当a≠2且a≠0时，方程有两个不相等的实数根．∵方程有两个不相等的正整数根，∴a≠2且a≠0．设方程的两个根分别为x1、x2，∴x1·x2=2a，∵x1、x2均为正整数，∴2a为正整数，∵a为整数，a≠2且a≠0，∴a=1，故答案为：1．【名师点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：①找出Δ=（a-2）2≥0；②找出x1·x2=2a为正整数．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，由方程的两根均为整数确定a的值是难点．8．【2019年江苏省盐城市建湖县中考数学二模试卷】已知关于x方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x1=2x2，求m的值．【解析】（1）∵关于x方程x2-6x+m+4=0有两个实数根，∴Δ=（-6）2-4×1×（m+4）≥0，解得：m≤5．（2）∵关于x方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=6，x1x2=m+4．又∵x1=2x2，∴x2=2，x1=4，∴4×2=m+4，∴m=4．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x1=2x2，求出x1，x2的值．9．【2019年江苏省泰州市兴化市中考数学二模试卷】已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+2m=0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若直角△ABC的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，斜边BC的长为3，求m的值．【解析】（1）∵Δ=[-（m+2）]2-4×2m=（m-2）2≥0，∴不论m为何值，该方程总有两个实数根．（2）∵AB、AC的长是该方程的两个实数根，∴AB+AC=m+2，AB·AC=2m，∵ΔABC是直角三角形，∴AB2+AC2=BC2，∴（AB+AC）2-2AB·AC=BC2，即（m+2）2-2×2m=32，解得：m∴m的值是又∵AB•AC=2m，m为正数，∴m【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．【湖北省黄石市河口中学2019届九年级中考模拟考试三数学试题】已知x1、x2是一元二次方程（a-6）x 2+2ax +a =0的两个实数根．（1）求实数a 的取值范围；（2）若x 1、x 2满足x 1x 2-x 1=4+x 2，求实数a 的值．【解析】（1）∵一元二次方程（a -6）x 2+2ax +a =0有两个实数根，∴（2a ）2-4（a -6）×a ≥0，a -6≠0，解得，a ≥0且a ≠6．（2）∵x 1、x 2是一元二次方程（a -6）x 2+2ax +a =0的两个实数根，∴x 1+x 2=26a a -，x 1·x 2=x 1·x 2=6a a -， ∵x 1x 2-x 1=4+x 2， ∴x 1x 2=4+x 2+x 1，即6a a -=4+26a a -，解得，a =24．【名师点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=b a ，x 1x 2=c a，反过来也成立． 11．【北京市石景山区2019届九年级统一练习暨毕业考试数学试题】关于x 的一元二次方程2(3)x m x-+20m ++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m 的最小值．【解析】（1）依题意，得()()224[3]42b ac m m ∆=-=-+-+ 26948m m m =++--()21m =+．∵2(1)0m +≥，∴0∆≥．∴方程总有两个实数根．（2）由2320x m x m -+++=（）．可化为：[](1)(2)0x x m --+=，得1212x x m ==+，，∵方程的两个实数根都是正整数，m+≥．∴21m≥-．∴1-．∴m的最小值为1【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键．。

浙江省杭州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类

浙江省杭州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．根的判别式（共1小题）1．（2023•杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．二．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）2．（2023•杭州）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1＝与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4．（1）求k1，k2的值．（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．3．（2022•杭州）设函数y1＝，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），点B（3，1），①求函数y1，y2的表达式；②当2＜x＜3时，比较y1与y2的大小（直接写出结果）．（2）若点C（2，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值．三．二次函数图象与系数的关系（共1小题）4．（2023•杭州）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x…﹣10123…y…m1n1p…（1）若m＝4，①求二次函数的表达式；②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．四．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）5．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．五．抛物线与x轴的交点（共1小题）6．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．六．正方形的性质（共1小题）7．（2022•杭州）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A 重合），点F在边BC上，且AE＝2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．（1）如图1，若AB＝4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积．（2）如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．①求证：EK＝2EH；②设∠AEK＝α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1，S2．求证：＝4sin2α﹣1．七．圆的综合题（共1小题）8．（2023•杭州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF ⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．（1）若BE＝1，求GE的长．（2）求证：BC2＝BG•BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．八．相似三角形的判定与性质（共2小题）9．（2022•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，＝．（1）若AB＝8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．10．（2021•杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．九．算术平均数（共1小题）11．（2022•杭州）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分100分）如下表所示：候选人文化水平艺术水平组织能力甲80分87分82分乙80分96分76分（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？（2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照20%，20%，60%的比例计入综合成绩，应该录取谁？浙江省杭州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．根的判别式（共1小题）1．（2023•杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】见解析．【解答】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c，∴②③均可，选②解方程，则这个方程为：x2+3x+1＝0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝；选③解方程，则这个方程为：x2+3x﹣1＝0，∴x1＝，x2＝．二．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）2．（2023•杭州）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1＝与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4．（1）求k1，k2的值．（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．【答案】（1）k1＝10，k2＝2；（2）答案见解析．【解答】（1）解：∵点A的横坐标是2，∴将x＝2代入y2＝k2（x﹣2）+5＝5，∴A（2，5），∴将A（2，5）代入得：k1＝10，∴，∵点B的纵坐标是﹣4，∴将y＝﹣4代入得，，∴B（﹣，﹣4）．∴将B（﹣，﹣4）代入y2＝k2（x﹣2）+5得：，解得：k2＝2．∴y2＝2（x﹣2）+5＝2x+1．（2）证明：如图所示，由题意可得：C（，5），D（2，﹣4），设CD所在直线的表达式为y＝kx+b，∴，解得：，∴CD所在直线的表达式为y＝﹣2x，∴当x＝0时，y＝0，∴直线CD经过原点．3．（2022•杭州）设函数y1＝，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），点B（3，1），①求函数y1，y2的表达式；②当2＜x＜3时，比较y1与y2的大小（直接写出结果）．（2）若点C（2，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值．【答案】（1）①y1＝，y2＝﹣x+4；②y1＜y2；（2）1．【解答】解：（1）①把点B（3，1）代入y1＝，1＝，解得：k1＝3，∴函数y1的表达式为y1＝，把点A（1，m）代入y1＝，解得m＝3，把点A（1，3），点B（3，1）代入y2＝k2x+b，，解得，∴函数y2的表达式为y2＝﹣x+4；②如图，当2＜x＜3时，y1＜y2；（2）由平移，可得点D坐标为（﹣2，n﹣2），∴﹣2（n﹣2）＝2n，解得：n＝1，∴n的值为1．三．二次函数图象与系数的关系（共1小题）4．（2023•杭州）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x…﹣10123…y…m1n1p…（1）若m＝4，①求二次函数的表达式；②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．【答案】（1）①y＝x2﹣2x+1；②当x＜1时，y随x的增大而减小；（2）a≤﹣．【解答】解：（1）①由题意得，解得，∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1；②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小；（2）∵x＝0和x＝2时的函数值都是1，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴（1，n）是顶点，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴对称，若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，∴m＝a+2a+1≤0，∴a≤﹣．四．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）5．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．【答案】（1）y＝x2﹣2x+1，顶点坐标（1，0）；（2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1，该图象与x轴有两个不同的交点；（3）证明P+Q＞6．【解答】解：（1）由题意，得，解得，所以，该函数表达式为y＝x2﹣2x+1．并且该函数图象的顶点坐标为（1，0）．（2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1，∵b2﹣4ac＝5＞0，∴函数y＝x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点．（3）由题意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1，所以P+Q＝p2+p+1+q2+q+1＝p2+q2+4＝（2﹣q）2+q2+4＝2（q﹣1）2+6≥6，由条件p≠q，知q≠1．所以P+Q＞6，得证．五．抛物线与x轴的交点（共1小题）6．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．【答案】（1）y1＝2x2﹣6x+4，对称轴为直线x＝；（2）﹣4；（3）0或．【解答】解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．∴b+c＝2h2﹣4h﹣2＝2（h﹣1）2﹣4．把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．（3）由题意得，y＝y1﹣y2＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）＝（x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．∵函数y的图象经过点（x0，0），∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．六．正方形的性质（共1小题）7．（2022•杭州）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A 重合），点F在边BC上，且AE＝2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．（1）如图1，若AB＝4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积．（2）如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．①求证：EK＝2EH；②设∠AEK＝α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1，S2．求证：＝4sin2α﹣1．【答案】（1）5；（2）①见解答过程；②见解答过程．【解答】（1）解：如图1，∵点M是边AB的中点，若AB＝4，当点E与点M重合，∴AE＝BE＝2，∵AE＝2BF，∴BF＝1，在Rt△EBF中，EF2＝EB2+BF2＝22+12＝5，∴正方形EFGH的面积＝EF2＝5；（2）如图2，①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠K+∠AEK＝90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠KEF＝90°，EH＝EF，∴∠AEK+∠BEF＝90°，∴∠AKE＝∠BEF，∴△AKE∽△BEF，∴，∵AE＝2BF，∴，∴EK＝2EF，∴EK＝2EH；②证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠KIH＝∠GJF，∵四边形EFGH是正方形，∴∠IHK＝∠EHG＝∠HGF＝∠FGJ＝90°，EH＝FG，∵KE＝2EH，∴EH＝KH，∴KH＝FG，在△KHI和△FGJ中，，∴△KHI≌△FGJ（AAS），∴S△KHI＝S△FGJ＝S1，∵∠K＝∠K，∠A＝∠IHK＝90°，∴△KAE∽△KHI，∴＝＝，∵sinα＝，∴sin2α＝，∴＝4sin2α，∴＝4sin2α﹣1．七．圆的综合题（共1小题）8．（2023•杭州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF ⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．（1）若BE＝1，求GE的长．（2）求证：BC2＝BG•BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．【答案】（1）1；（2）证明过程见解答；（3）∠CAD＝45°，证明见解析．【解答】（1）解：直径AB垂直弦CD，∴∠AED＝90°，∴∠DAE+∠D＝90°，∵CF⊥AD，∴∠FCD+∠D＝90°，∴∠DAE＝∠FCD，由圆周角定理得∠DAE＝∠BCD，∴∠BCD＝∠FCD，在△BCE和△GCE中，，∴△BCE≌△GCE（ASA），∴GE＝BE＝1；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ABC＝∠CBE，∴△ACB∽△CEB，∴＝，∴BC2＝BA•BE，由（1）知GE＝BE，∴BE＝BG，∵AB＝2BO，∴BC2＝BA•BE＝2BO•BG＝BG•BO；（3）解：∠CAD＝45°，证明如下：如图，连接OC，∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO，∵直径AB垂直弦CD，∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠CAE，设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，则∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α，∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°，∴β+α＝90°，∴α＝90°﹣β，∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α，∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β，∴∠COF＝∠AOF，在△COF和△AOF中，，∴△COF≌△AOF（SAS），∴∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3α＝α，∴α＝22.5°，∴∠CAD＝2a＝45°．八．相似三角形的判定与性质（共2小题）9．（2022•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，＝．（1）若AB＝8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．【答案】（1）2；（2）6．【解答】解：（1）∵四边形BFED是平行四边形，∴DE∥BF，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵AB＝8，∴AD＝2；（2）∵△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面积为1，∴△ABC的面积是16，∵四边形BFED是平行四边形，∴EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴＝（）2＝，∴△EFC的面积＝9，∴平行四边形BFED的面积＝16﹣9﹣1＝6．10．（2021•杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．【答案】（1）证明见解答过程；（2）a﹣b；（3）证明见解答过程．【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠FAC，又∵∠G＝∠C，∴△ABG∽△AFC；（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，∴＝，∵AC＝AF＝b，∴AB＝AG＝a，∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，∴∠BAG＝∠CBG，∵∠ABD＝∠CBE，∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，又∵∠DGB＝∠BGE，∴△DGB∽△BGE，∴＝，∴BG2＝GE•GD．九．算术平均数（共1小题）11．（2022•杭州）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分100分）如下表所示：候选人文化水平艺术水平组织能力甲80分87分82分乙80分96分76分（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？（2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照20%，20%，60%的比例计入综合成绩，应该录取谁？【答案】（1）乙被录用；（2）甲被录用．【解答】解：（1）甲的平均成绩为＝83（分）；乙的平均成绩为＝84（分），因为乙的平均成绩高于甲的平均成绩，所以乙被录用；（2）根据题意，甲的平均成绩为80×20%+87×20%+82×60%＝82.6（分），乙的平均成绩为80×20%+96×20%+76×60%＝80.8（分），因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩，所以甲被录用．。

中考复习——一元二次方程的根的判别式(解析版)

中考复习——一元二次方程的根的判别式一、选择题1、一元二次方程2x2-3x+1=0的根的情况是（）．A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根答案：B解答：∵Δ=b2-4ac=（-3）2-4×2×1=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．2、已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（）．A. k＜14B. k≤14C. k＞4D. k≤14且k≠0答案：B解答：∵关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，∴Δ=b2-4ac≥0，∵a=1，b=-（2k+1），c=k2+2k，∴[-（2k+1）]2-4×1×（k2+2k）≥0，∴-4k≥-1，∴k≤14．选B.3、若一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b=0的根的情况是（）．A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定答案：A解答：∵一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，∴k＞0，b≤0，∴Δ=k2-4b＞0，∴方程有两个不相等的实数根．选A.4、关于x的一元二次方程x2+2（m-1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（）．A. m≤12B. m≤12且m≠0C. m＜1D. m＜1且m≠0答案：B解答：∵Δ=[2（m-1）]2-4m2=-8m+4≥0，∴m≤12．∵x1+x2=-2（m-1）＞0，x1x2=m2＞0，∴m＜1，m≠0，∴m≤12且m≠0．5、关于x的方程x2+2（m-1）x+m2-m=0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m的值为（）．A. -1B. -4C. -4或1D. -1或4答案：A解答：由题意知α+β=-2（m-1）=2-2m，αβ=m2-m，且Δ=[2（m-1）]2-4（m2-m）≥0，4（m2-2m+1）-4m2+4m≥0，4m2-8m+4-4m2+4m≥0，-4m≥-4，m≤1，由α2+β2=12可有（α+β）2-2αβ=12，（2-2m）2-2（m2-m）=12，4m2-8m+4-2m2+2m-12=0，2m2-6m-8=0，m2-3m-4=0，（m-4）（m+1）=0，解得m1=-1，m2=4，∵m ≤1故m =-1．故答案为：A.6、关于x 的一元二次方程x 2+2mx +2n =0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2+2ny +2m =0同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②（m -1）2+（n -1）2≥2；③-1≤2m -2n ≤1．其中正确结论的个数是（）．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：D解答：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x 1·x 2=2n ＞0，y 1·y 2=2m ＞0，y 1+y 2=-2n ＜0，x 1+x 2=-2m ＜0，这两个方程的根都为负根，①正确； ②由根判别式有：Δ=b 2-4ac =4m 2-8n ≥0，Δ=b 2-4ac =4n 2-8m ≥0， ∵4m 2-8n ≥0，4n 2-8m ≥0，∴m 2-2n ≥0，n 2-2m ≥0，m 2-2m +1+n 2-2n +1=m 2-2n +n 2-2m +2≥2，（m -1）2+（n -1）2≥2，②正确；③由根与系数关系可得2m -2n =y 1y 2+y 1+y 2=（y 1+1）（y 2+1）-1，由y 1、y 2均为负整数，故（y 1+1）（y 2+1）≥0，故2m -2n ≥-1，同理可得：2n -2m =x 1x 2+x 1+x 2=（x 1+1）（x 2+1）-1，得2n -2m ≥-1，即2m -2n ≤1，故③正确． 7、若关于x 的不等式x -2a＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x 2+ax +1=0根的情况是（）． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定答案：C解答：解不等式x -2a ＜1得x ＜1+2a ，而不等式x -2a＜1的解集为x ＜1，所以1+2a=1，解得a =0，又因为Δ=a 2-4=-4，所以关于x 的一元二次方程x 2+ax +1=0没有实数根．8、已知命题“关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0，当b ＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）．A. b=-1B. b=2C. b=-2D. b=0答案：A解答：Δ=b2-4，由于当b=-1时，满足b＜0，而Δ＜0，方程没有实数解，所以当b=-1时，可说明这个命题是假命题．9、在平面直角坐标系中，已知函数y1=x2+ax+1，y2=x2+bx+2，y3=x2+cx+4，其中a，b，c 是正实数，且满足b2=ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）A. 若M1=2，M2=2，则M3=0B. 若M1=1，M2=0，则M3=0C. 若M1=0，M2=2，则M3=0D. 若M1=0，M2=0，则M3=0答案：B解答：设3个函数的判别式分别为Δ1=a2-4，Δ2=b2-8，Δ3=c2-16，∵b2=ac，∴c=2ba，A选项，若M1=2，M2=2，则Δ1=a2-4＞0，Δ2=b2-8＞0，∵a＞2，b2＞8，∴c=2ba与4无法比较大小，∴Δ3=c2-16无法确定，故A错误；B选项，若M1=1，M2=0，则Δ1=a2-4=0，Δ2=b2-8＜0，∴a=2，0＜b2＜8，∴c=282ba＜=4，∴Δ3=c2-16＜0，∴M3=0，故B正确；C选项，若M1=0，M2=2，则Δ1=a2-4＜0，Δ2=b2-8＞0，∴0＜a＜2，b2＞8，∴C =2b a＞4，∴Δ3=c 2-16＞0， ∴M 3=2，故C 错误； D 选项，若M 1=0，M 2=0，则Δ1=a 2-4＜0，Δ2=b 2-8＜0， ∴0＜a ＜2，0＜b 2＜8，∴c =2b a与4无法比较大小，∴Δ3=c 2-16无法确定，故D 错误．选B.10、已知抛物线y =ax 2+bx +c （b ＞a ＞0）与x 轴最多有一个公共点．有下列结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧； ②关于x 的方程ax 2+bx +c +2=0无实数根； ③a -b +c ≥0； ④a b cb a++-的最小值为3．其中，正确结论的个数是（）．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：D解答：∵b ＞a ＞0， ∴-2ba＜0，所以①正确；∵抛物线与x 轴最多有一个交点， ∴b 2-4ac ≤0，∴关于x 的方程αx 2+bx +c +2=0中，Δ=b 2-4a （c +2）=b 2-4ac -8a ＜0，所以②正确；∵a ＞0及抛物线与x 轴最多有一个交点， ∴x 取任何值时，y ≥0，∴当x =-1时，a -b +c ≥0，所以③正确；· 当x =-2时，4a -2b +c ≥0 a +b +c ≥3b -3a a +b +c ≥3（b -a ）a b cb a++-≥3，所以④正确．选D. 二、填空题11、若关于x 的一元二次方程（x +2）2=n 有实数根，则n 的取值范围是______．答案：n ≥0解答：∵关于x 的一元二次方程（x +2）2=n 有实数根， ∴x 2+4x +4-n =0有实数根， ∴Δ=b 2-4ac =16-4（4-n ）=4n ≥0， ∴n ≥0，故答案为：n ≥0．12、已知关于x 的一元二次方程x 2+k =0有两个相等的实数根，则k 值为______．答案：3解答：∵关于x 的一元二次方程x 2+k =0有两个相等的实数根，∴Δ=（）2-4k =0，∴12-4k =0，解得k =3．13、已知x =4是一元二次方程x 2-3x +c =0的一个根，则另一个根为______．答案：-1解答：设另一个根为t ，根据题意得4+t =3，解得t =-1，即另一个根为-1．14、若一元二次方程x 2+4x +c =0有两个不相等的实数根，则c 的值可以是______（写出一个即可）．答案：3解答：若一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则Δ=42-4c＞0，故c＜4．15、若关于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．答案：k≤5且k≠1解答：∵一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有实数根，∴k-1≠0，且b2-4ac=16-4（k-1）≥0，解得：k≤5且k≠1．16、已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2-x1-x2＞2，则m 的取值范围是______．答案：3＜m≤5解答：由一元二次方程根与系数的关系，得x1x2=m-1，x1+x2=4，代入3x1x2-x1-x2＞2，得3（m-1）-4＞2，解得m＞3，又Δ=16-4（m-1）≥0，解得m≤5，综上可知：3＜m≤5．17、已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两根为x1和x2，且（x1-2）（x1-x2）=0，则k的值是______．答案：-2或-9 4解答：∵（x1-2）（x1-x2）=0，∴x1-2=0或x1-x2=0．①如果x1-2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2-2=0，得4+2（2k+1）+k2-2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=-2．②如果x1-x2=0，那么（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=[-（2k+1）]2-4（k2-2）=4k+9=0，解得k=-94．又∵Δ=（2k+1）2-4（2k+1）≥0．解得：k≥-94．所以k的值为-2或-94．18、关于x的方程x2-（2m-1）x+m2-1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m=______．答案：0解答：∵方程x2-（2m-1）x+m2-1=0的两实数根为x1，x2，∴x1+x2=2m-1，x1x2=m2-1，∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（2m-1）2-2（m2-1）=3，解得：m1=0，m2=2，∵方程有两实数根，∴Δ=（2m-1）2-4（m2-1）≥0，既m≤5 4∴m2=2（不合题意，舍去），∴m=0．19、关于x的方程mx2+x-m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解．其中正确的是______（填序号）．答案：①③解答：当m=0时，x=-1，方程只有一个解，①正确；当m≠0时，方程mx2+x-m+1=0是一元二次方程，1-4m（1-m）=1-4m+4m2=（2m-1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；把mx2+x-m+1=0分解为（x+1）（mx-m+1）=0，当x=-1时，m-1-m+1=0，即x=-1是方程mx2+x-m+1=0的根，③正确；故答案为∶①③．20、对于函数y=x n+x m，我们定义y’=nx n-1+mx m-1（mn为常数）．例如y=x4+x2，则y’=4x3+2x．已知：y=13x3+（m-1）x2+m2x．（1）若方程y’=0有两个相等实数根，则m的值为______．（2）若方程y’=m-14有两个正数根，则m的取值范围为______．答案：（1）1 2（2）m≤34且m≠12解答：（1）y’=x2+2（m-1）x+m2=0方程有两个相等的实数根，则Δ=0，即Δ=4（m-1）2-4m2=-8m+4=0，则m=12．（2）y’=x2+2（m-1）x+m2=m-14，∴x2+2（m-1）x+m2-m+14=0．要使方程有两个实数根，则Δ=4（m-1）2-4（m2-m+14）≥0，∴m≤34．要使方程有正根，则当x=0时x2+2（m-1）x+m2-m+14＞0，∴m≠12．答案为m≤34且m≠12．三、解答题21、已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x-1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．答案：m＞0且m≠1．解答：∵一元二次方程有两个不等实根，∴Δ=22-4（m-1）×（-1）＞0，即m＞0，又m-1≠0，∴m≠1，∴m＞0且m≠1．22、已知关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求m的取值范围．（2）当x1=1时，求另一个根x2的值．答案：（1）m＜9 4（2）2解答：（1）由题意得：Δ=（-3）2-4×1×m=94m0，解得：m＜94．（2）∵x1+x2=-ba=3，x1=1，∴x2=2．23、已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．答案：（1）k≤54．（2）k=-2．解答：（1）有两个实数根x1，x2，∴Δ=b2-4ac=（2k-1）2-4（k2-1）=-4k+5，∴-4k+5≥0，∴k≤54．（2）∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，∴（x1+x2）2-2x1x2=16+x1x2，∴（2k-1）2=16+3（k2-1）k2-4k-12=0，∴k=-2或k=6（舍），∴k=-2．24、已知关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若x1，x2满足3x1=|x2|+2，求m的值．答案：（1）m的取值范围为m≤5．（2）符合条件的m的值为4．解答：（1）∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，∴Δ=（-6）2-4（m+4）=20-4m≥0，解得：m≤5，∴m的取值范围为m≤5．（2）∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=6①，x1·x2=m+4②．∵3x1=|x2|+2，当x2≥0时，有3x1=x2+2③，联立①③解得：x1=2，x2=4，∴8=m+4，m=4．当x2＜0时，有3x1=-x2+2④，联立①④解得：x1=-2，x2=8（不合题意，舍去）．∴符合条件的m的值为4．25、已知：一元二次方程12x2+kx+k-12=0．（1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根．（2）设k＜0，当二次函数y=12x2+kx+k-12的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式．（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0,m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？答案：（1）证明见解答．（2）此二次函数的解析式是y=12x2-x-32．（3）-2≤m≤2．解答：（1）∵Δ=k2-4×12×（k-12）=k2-2k+1=（k-1）2≥0，∴关于x的一元二次方程12x2+kx+k-12=0，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根．（2）令y=0，则12x2+kx+k-12=0，∵x A+x B=-2k，x A·x B=2k-1，∴|x A-x B=2|k-1|=4，即|k-1|=2，解得k=3（不合题意，舍去），或k=-1，∴此二次函数的解析式是y=12x2-x-32．（3）由（2）知，抛物线的解析式是y =12x 2-x -32，易求A （-1,0），B （3,0），C （1,-2），∴AB =4，AC，BC，显然AC 2+BC 2=AB 2，得△ABC 是等腰直角三角形，AB 为斜边，∴外接圆的直径为AB =4，∴-2≤m ≤2．26、设m 是不小于-1的实数，使得关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）若11x +21x =1，求132m-的值．（2）求111mx x -+221mx x --m 2的最大值．答案：（1（2）当m =-1时，最大值为3．解答：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=b 2-4ac =4（m -2）2-4（m 2-3m +3）=-4m +4＞0，∴m ＜1，结合题意知：-1≤m ＜1．∵x 1+x 2=-2（m -2），x 1x 2=m 2-3m +3 ∴11x +21x =1212x x x x +=()22233m m m ---+=1 解得：m 1=12，m 2=12（不合题意，舍去） ∴132m-．（2）111mx x -+221mx x --m 2 =()()1212121221m x x mx x x x x x +--++-m 2=-2（m-1）-m2=-（m+1）2+3．当m=-1时，最大值为3．。

中考专项复习--一元二次方程根与判别式

一元二次方程根的判别式精典例题：【例1】当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。

（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根。

【例2】求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。

【例3】当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。

探索与创新：【问题一】已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。

【问题二】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF ，CD ＜CF ）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。

（1）若计划修建费为150元，能否完成该草坪围栏修造任务？（2）若计划修建费为120元，能否完成该草坪围栏修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由。

跟踪训练：一、填空题：1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是。

2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是。

3、如果二次三项式k x x 2432+-在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k 的取值范围是。

问题二图 F E D C B A4、在一元二次方程02=++c bx x 中)(c b ≠，若系数b 、c 可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是。

二、选择题：1、下列方程中，无实数根的是（）A 、011=-+-x xB 、762=+y yC 、021=++xD 、0232=+-x x2、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（）A 、43<mB 、m ≤43C 、43>m 且m ≠2D 、m ≥43且m ≠2 3、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（）A 、有两个不等实根B 、有两个相等实根C 、没有实根D 、无法确定三、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。

初中数学复习《一元二次方程根的判别式的参数问题》中考模似练习(含答案解析)

9．（2023•工业园区一模）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2mx+2m﹣1＝0．（1）若该方程有一个根是 x＝2，求 m 的值；（2）求证：无论 m 取什么值，该方程总有两个实数根．【分析】（1）直接把 x＝2 代入到原方程中得到关于 m 的方程，解方程即可得到答案；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【解答】解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣2mx+2m﹣1＝0 的一个根为 x＝2， ∴22﹣4m+2m﹣1＝0， ∴；
4．（2023•东城区校级一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0根的情
况是（）
A．无实根
B．有实根
C．有两个不相等实根 D．有两个相等实根【分析】利用根的判别式得到Δ＝（k﹣1）2+4，根据非负数的性质可得Δ＞0，以
此即可判断．
【解答】解：∵x2﹣（k+3）x+2k+1＝0，
∴k≤2且k≠0．
故选：D．
6．（2023•西城区一模）若关于 x 的方程 mx2+3x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（）
A．m＞﹣
B．m≥﹣
C．m＞﹣ 且 m≠0 D．m≥﹣ 且 m≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式与一元二次方程根的关系列出不等式组，解答即可．
【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+2k+1＝0， ∴Δ＝[﹣（2k+2）]2﹣4×1×（2k+1）＝4k2+8k+4﹣8k﹣4 ＝4k2≥0， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根．
（2）解：∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣（2k+2）x+2k+1＝0，

专题21.3根的判别式【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册[含答案]

试卷第 3 页，共 9 页
（23-24 九年级·北京顺义·期末）
14．关于 x 的一元二次方程 x 2 + mx + m - 1 = 0 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一个根小于 -2 ，求 m 的取值范围．
【变式 4-2】
（23-24 九年级·江苏泰州·期末）
15．已知关于 x 的一元二次方程 x 2 - 3mx + 2m 2 + m - 1 = 0 ．
专题 21.3 根的判别式【十大题型】
【人教版】
【题型 1 判断不含参数的一元二次方程的根的情况】
【题型 2 判断含参数的一元二次方程的根的情况】
【题型 3 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】
【题型 4 证明一元二次方程的根的情况】
【题型 5 由根的判别式求代数式的取值范围】
【题型 6 根的判别式与三角形的综合运用】
A．《3，2，1》
B．《3，4，5》
D．《m, m, m +
)
C．《 n + 1 ， 2n ， n - 1 》
1
》
m
【变式 9-1】
（23-24 九年级·浙江金华·期末）
34．对于实数 a，b 定义新运算： a△ b = b 2 - ab ，若关于 x 的方程 6△ x = k 有两个相等实数
积．
【变式 7-1】
（23-24 九年级·湖南·阶段练习）
2
26．已知 Y ABCD 的两对角线 AC ， BD 的长是关于 x 的方程 x - mx +
m 1
- = 0 的两个实数
2 4
根．
(1)若 AC 的长为 1，求 m 的值；

中考必备19年中考数学汇编-9-根的判别式及根与系数关系

(C) 1 (D) 3 。 11．（ 09 湖北宜昌）设方程 x2－ 4x－ 1=0 的两个根为 x1 与 x2，则 x1x2 的值是 ( ) ．
A．－ 4 B ．－ 1 C ． 1 D ． 0
12．（ 2019 年湖北十堰市）下列方程中，有两个不相等实数根的是（
）．
A． x2 2x 1 0
B
． x2 2x 3 0
值范围是
。
3. （ 2019 年长沙）已知关于 x 的方程 x2 kx 6 0 的一个根为，则实数 k 的值为（
）
答案： A
5. （ 2019 贺州）已知关于 x 的一元二次方程 x2 x m 0 有两个不相等的实数根，则实
数 m 的取值范围是
．
三、解答题 1. （ 2019 年重庆市江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△
值范围是
A. k
1 B. k
1 且 k 0 C. k 1 D.
k 1且k 0
6. （ 2019 烟台市）设 a， b 是方程 x2 x 2009 0 的两个实数根，则 a 2 2a b 的值为
（）
A． 2006
B． 2007
C． 2008
【关键词】根与系数的关系，根的定义
【答案】 C
D． 2019
7. （ 2019 年烟台市）设 a， b 是方程 x2 x 2009 0 的两个实数根，则 a2 2 a b 的值
那么我们称这个方程为“凤凰”方程 . 已知 ax2 bx c 0( a 0) 是“凤凰”方程，且有
两个相等的实数根，则下列结论正确的是
A． a c
B． a b
C． b c
D． a b c
3.(2019 成都 ) 若关于 x 的一元二次方程 kx 2 2 x 1 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取

中考分类专项训练-根的判别式及根与系数关系

1. （2009年台湾）若a 、b 为方程式x 2-4(x +1)=1的两根，且a >b ，则b a =？ A.-5 B.-4 C.1 D. 32. （2009年株洲市）定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c == 3.(2009成都)若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是A.1k >-B.1k >-且0k ≠C.1k <D. 1k <且0k ≠6.（2009烟台市）设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（）A ．2006B ．2007C ．2008D ．2009【关键词】根与系数的关系，根的定义【答案】C7. （2009年烟台市）设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（）A ．2006B ．2007C ．2008D ．20098.（2009年包头）关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（）A ．1B ．12C ．13D ．25 9. （2009年台湾）若a 、b 为方程式x 2-4(x +1)=1的两根，且a >b ，则ba =？ (A) -5 (B) -4 (C) 1 (D) 3 。

11．（09湖北宜昌）设方程x 2－4x －1=0的两个根为x 1与x 2，则x 1x 2的值是( )．A ．－4B ．－1C ．1D ． 012．（2009年湖北十堰市）下列方程中，有两个不相等实数根的是（）． A ．0122=--x x B ．0322=+-x xC ．3322-=x xD ．0442=+-x x二、填空题1.(2009年上海市)9．如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ． 2.（2009泰安）关于x 的一元二次方程02)12(22=-+++-k x k x 有实数根，则k 的取值范围是。

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

2021年中考专题复习一元二次方程根的判别式和根与系数的关系回忆与思考1．一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的情况可由△=b2－4ac来判定：(1)当b2–4ac>0时，方程有实数根，即x1=，x2=．当b2–4ac=0时，方程有实数根，即x1=x2=．当b2–4ac<0时，方程实数根．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的判别式．(2)一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程，判别根的情况，特别是判别含有字母系数的一元二次方程根的情况，可通过配方法把b2–4ac变形为±(m±h)2＋k的形式，由此得出结论，无论m为何值，b2–4ac≥0或b2–4ac<0，从而判定一元二次方程根的情况．一般步骤是：先计算△，再用配方法将△恒等变形，然后判断△的符号，最后得出结论．②根据方程的根的情况，求待定系数的取值范围；③进展有关的证明．(3)关于根的判别式的应用：①对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况；②对于字母系数的一元二次方程，假设知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围；③运用配方法，并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的有关问题.(4)应用根的判别式须注意以下几点：①要用△，要特别注意二次项系数a≠0这一条件．②认真审题，严格区分条件和结论，譬如是△＞0，△≥0还是要证明△＜0．③要证明△≥0或△＜0，需用配方法将△恒等变形为±(m±h)2＋k的形式，从而得到判断．2．一元二次方程的根与系数的关系(1)如果方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根是x1和x2，那么x1+x2=，x1x2=．特别低，如果方程x2＋px＋q = 0的根是x1和x2，那么x1+x2=，x1x2=．(2)一元二次方程根与系数关系的应用．①验根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：一要先把一元二次方程化成标准型，二不要漏除二次项系数a≠0；三还要注意–ba中的符号．②方程一根，求另一根．③不解方程，求与根有关的代数式的值．一般步骤：先求出x1+x2，x1x2的值，再将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示，然后将x1+x2，x1x2的值代入求值．④两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程：以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－(x1+x2)x+x1x2=0．(3)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式b2–4ac≥0；②二次项系数a≠0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.(4)求方程两根所组成的代数式的值，关键在于把所求代数式变形为两根的和与两根的积的形式.(5) 常见的形式：3．二次三项式的因式分解：ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)．其中x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个实数根．【例1】不解方程，判定关于x的方程根的情况(1)2x2–9x+8=0 (2)9x2+6x+1=0 (3) 16x2+8x=–3 (4)x2=7x+18(5)2x2–(4k+1)x+2k2–1＝0 (6)x2＋(2t＋1)x＋(t–2)2＝0【例2】(1)关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．(2)假设关于x的一元二次方程(a–2)x2–2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集〔用含a 的式子表示〕．【例3】(1)关于x的方程x2–mx+m–2=0，求证：方程有两个不相等的实数根(2)求证：方程(m2＋1)x2–2mx＋(m2＋4)＝0没有实数根．【例4】(1)方程x2–5x–6=0的根是x1和x2，求以下式子的值：①(x1–3)(x2–3) ②x12+x22+x1x2③x1x2+x2x1(2)利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，①使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的3倍；②使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的负倒数。

中考数学总复习——方程整数根

方程整数根主要讲解方程整数根，掌握带着字母解方程的思想，提高解题能力.1. 根的判别式为完全平方【练习1】已知关于x 的方程220 (0)kx x k k--=≠. （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数k 的值．【练习2】已知关于x 的函数 2(3)3y mx m x =+--．（1）求证：无论m 取何实数，此函数的图象与x 轴总有公共点；（2）当m ＞0时，如果此函数的图象与x 轴公共点的横坐标为整数，求正整数m 的值．【练习3】关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx m --++=．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数.【练习4】已知关于x 的一元二次方程04)15(22=+++-m m x m x .（1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m 的取值范围；【练习5】已知关于x 的一元二次方程 23(1)230mx m x m -+++=.（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当关于x 的抛物线23(1)23y mx m x m =-+++与x 轴交点的横坐标都是整数，且4x <时，求m 的整数值．2.根的判别式为非完全平方【练习1】已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根.（2）当m为何整数时，原方程的根也是整数.【练习2】已知关于x的方程(k-1)x2+2kx+k+3=0.（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围.（2）当方程有两个相等的实数根时，求关于y的方程y2+(a-4k)y+a+1=0的整数根（a为正整数）【练习3】已知：关于x的一元二次方程x2－2(2m－3)x＋4m2－14m＋8＝0．(1)若m＞0，求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求m的值．【练习4】已知关于x的一元二次方程x2−ax+a+5=0．（1）无论a取任何值，该方程的根不可能为x=x0，写出x0的值，并证明．（2）若a为正整数，且该方程存在正整数解，求所有正整数a的值．【练习5】已知k为整数，若关于x的二次方程kx2+(2k+3)x+l=0有有理根，则k的值是________．。

中考数学真题分类汇编及解析(十一) 根的判别式及根与系数关系

（2022•黄冈中考）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是3．
【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，∴x1•x2＝3.
答案：3
1102
（2022•宿迁中考）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是k≤1．
【解析】∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k＝4﹣4k．
A．a≠0 B．a＞﹣1且a≠0 C．a≥﹣1且a≠0 D．a＞﹣1
【解析】选B．由题意可得：，∴a＞﹣1且a≠0.
1101
（2022•宜宾中考）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）
A．0 B．﹣10 C．3 D．10
【解析】选A．∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣5，
∴Δ＞0，即22﹣4×1×t＞0，解得t＜1.
答案：t＜1．
1102
（2022•内江中考）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且 x12+2x2﹣1，则k的值为2．
【解析】∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＜0，
解得：k＞4．
1101
（2022•乐山中考）关于x的一元二次方程3x2﹣2x+m＝0有两根，其中一根为x＝1，则这两根之积为（）
A． B． C．1D．
【解析】选D．∵方程的其中一个根是1，
∴3﹣2+m＝0，解得m＝﹣1，

2024北京中考数学专题训练01根的判别式(解析版)

2024北京中考数学专题训练01:根的判别式一．选择题（共11小题）1．（2023•北京）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣9B．C．D．9【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac，建立关于m 的等式，即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m＝0，解得m＝．故选：C．【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．2．（2022•北京）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣4B．C．D．4【分析】根据根的判别式的意义得到12﹣4m＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝12﹣4m＝0，解得m＝．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．3．（2023秋•丰台区期末）若一元二次方程x2+mx+1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．2B．±2C．±8D．【分析】根据一元二次方程x2+mx+1＝0有两个相等的实数根，得出Δ＝m2﹣4＝0，解关于m的方程，即可得出答案．【解答】解：∵一元二次方程x2+mx+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝m2﹣4＝0，解得：m＝±2，故B正确．故选：B．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当Δ＝0时方程有两个相等的实数解，Δ＜0时，无实数解，Δ＞0时，有两个不相等的实数解．4．（2023秋•大兴区期末）关于一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，∴方程x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0，方程没有实数根．5．（2023•大兴区一模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（）A．m＜1B．m≤1C．m＞1D．m≥1【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4m≥0，然后解关于m的不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4m≥0，解得m≤1，故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键．6．（2023•平谷区一模）若一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜1【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得：m＜1．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．7．（2023•西城区一模）若关于x的方程mx2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A．m＞﹣B．m≥﹣C．m＞﹣且m≠0D．m≥﹣且m≠0【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式与一元二次方程根的关系列出不等式组，解答即可．【解答】解：∵关于x的方程mx2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝32﹣4m•（﹣1）＞0且m≠0，解得m＞﹣且m≠0．故选：C．【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义和根的判别式与一元二次方程根的关系是解决问题的关系．8．（2023•海淀区一模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m 的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，即可得判别式Δ＝0，即可得方程4﹣4m＝0，解此方程即可求得答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＝0，∴m＝1．故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题难度不大，注意若一元二次方程有两个相等的实数根，则可得Δ＝0．9．（2023•丰台区一模）若关于x的方程x2﹣x+a＝0有两个相等的实数根，则实数a的值是（）A．B．C．4D．﹣4【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于a的方程，求出a的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4a＝0，解得a＝．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．10．（2023•顺义区一模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜4B．m＜﹣4C．m＞4D．m＞﹣4【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4×1×3m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＞0，解得m＞﹣4．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．11．（2023•北京一模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则m的值不可能是（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【分析】根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣4m≥0，解之即可得出m 的取值范围，再比照四个选项即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，∴Δ＝4﹣4m≥0解得：m≤1．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．二．填空题（共9小题）12．（2020•北京）关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为1．【分析】根据根的判别式Δ＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，解得：k＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．13．（2015•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝4，b＝2．【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，得到a＝b2，找一组满足条件的数据即可．【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4×a＝b2﹣a＝0，∴a＝b2，当b＝2时，a＝4，故b＝2，a＝4时满足条件．故答案为：4，2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．14．（2023•西城区）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为9．【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根得Δ＝36﹣4c＝0，进行计算即可得．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝36﹣4c＝0，∴c＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的个数与根的判别式的关系．15．（2023•石景山区一模）若关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＜4．【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：由已知得：Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×m＝16﹣4m＞0，解得：m＜4．故答案为：m＜4．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．16．（2023•门头沟区一模）如果关于x的方程x2+4x+2m＝0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是m＜2．【分析】要使方程x2+4x+2m＝0有两个不相等的实数根，只需Δ＞0．即可得到关于m 的不等式，从而求得m的范围．【解答】解：∵方程x2+4x+2m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝16﹣8m＞0，即m＜2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，正确记忆根的判别式是解题关键．17．（2023•房山区一模）关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，c的值：a＝1（答案不唯一），c＝4（答案不唯一）．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝16﹣4ac＝0，取a＝1找出c值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，∴Δ＝42﹣4ac＝0，∴ac＝4，即当a＝1时，c＝4．故答案为：1（答案不唯一）；4（答案不唯一）．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．18．（2023•朝阳区一模）关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为9．【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则有Δ＝0，得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即62﹣4×1×m＝0，解得m＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．19．（2023•朝阳区二模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是k＜﹣1．【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，得出Δ＝4+4k＜0，再进行计算即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0，∴k的取值范围是k＜﹣1；【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．20．（2023•房山区二模）若关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是m≤9．【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到Δ＝62﹣4m≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝62﹣4m≥0，解得m≤9，即实数m的取值范围是m≤9．故答案为：m≤9．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．三．解答题（共21小题）21．（2021•北京）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出Δ＝4m2，利用偶次方的非负性可得出4m2≥0，即Δ≥0，再利用“当Δ≥0时，方程有两个实数根”即可证出结论；（2）方法一：利用因式分解法求出x1＝m，x2＝3m．由题意得出m的方程，解方程则可得出答案．方法二：利用根与系数的关系可求出答案．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，∴原方程总有两个实数根．（2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，∴x1＝m，x2＝3m．∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，∴3m﹣m＝2，∴m＝1．方法二：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4m，x1•x2＝3m2，∵x1﹣x2＝2，∴（x1﹣x2）2＝4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，∴（4m）2﹣4×3m2＝4，∴m＝±1，又m＞0，∴m＝1．【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．22．（2019•北京）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程可化为x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．23．（2018•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．【分析】（1）计算根的判别式的值得到Δ＝a2+4，则可判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到Δ＝b2﹣4a＝0，设b＝2，a＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，然后解方程即可．【解答】解：（1）根据题意得a≠0，∵Δ＝b2﹣4a＝（a+2）2﹣4a＝a2+4a+4﹣4a＝a2+4，而a2＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4a＝0，若b＝2，a＝1，则方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．24．（2017•北京）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ＝（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝2、x2＝k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，∴x1＝2，x2＝k+1．∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，解得：k＜0，∴k的取值范围为k＜0．【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式．25．（2016•北京）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（1）结论，令m＝1，将m＝1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m+5＞0，解得：m＞﹣．（2）m＝1，此时原方程为x2+3x＝0，即x（x+3）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣3．【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据根的个数结合根的判别式得出关于m的一元一次不等式；（2）选取m的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．26．（2014•北京）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝（m+2）2﹣4m×2＝（m﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法解方程得到x1＝1，x2＝，然后利用整数的整除性确定正整数m 的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，Δ＝（m+2）2﹣4m×2＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，而（m﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）＝0，x﹣1＝0或mx﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝，当m为正整数1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．27．（2023秋•东城区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）当该方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；（2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个不相等的实数根，则Δ＞0，列出不等式，即可求出m的取值范围．（2）利用根与系数的关系得到2m+1＝0，解关于m的方程即可求解．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴[﹣（2m+1]）2﹣4（m2﹣2）＞0，解得：m＞﹣．∴m的取值范围是m＞﹣．（2）根据题意得2m+1＝0，解得m＝﹣，故m的值为﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．28．（2024•海淀区）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求m的值．【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于n的不等式，求出n的取值范围；（2）由题意可得n＝1，设该方程的根是a，2a，根据根与系数的关系列方程求解即可．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣n）＝4m2﹣4m2+4n＞0，∴n＞0；（2）∵n为符合条件的最小整数，n＞0，∴n＝1，∴原方程为：x2﹣2mx+m2﹣1＝0，设该方程的根是a，2a，∴a+2a＝2m，a•2a＝m2﹣1，解得a＝2，m＝3或a＝﹣2，m＝﹣3（不合题意，舍去），∴m的值为3．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．29．（2023秋•朝阳区期末）关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+3（m+1）＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一根小于0，求m的取值范围．【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝（m﹣2）2，则Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）先利用求根公式解方程得到x1＝m+1，x2＝3，则根据题意得到m+1＜0，然后解不等式即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×3（m+1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴该方程总有两个实数根；（2）解：x＝，解得x1＝m+1，x2＝3，∴m+1＜0，解得m＜﹣1，即m的取值范围为m＜﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．30．（2023秋•大兴区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最大整数值时，求方程的根．【分析】（1）根据根与系数的关系列不等式即可得到结论；（2）根据题意解方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣2＝0有两个实数根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（2m﹣2）＝1﹣8m+8＝9﹣8m，∴9﹣8m≥0，∴解得；（2）∵，m为最大整数，∴m＝1，∴x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键．31．（2023•西城区）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0，（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的一根是另一根的2倍，求m的值．【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝m2，则Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）方程的一根为t，则另一根为2t，利用根与系数的关系得到t+2t＝m+2，t•2t＝m+1，先消去m得到2t2﹣3t＝﹣1，解方程求出t，然后计算对应的m的值即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4（m+1）＝m2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）解：方程的一根为t，则另一根为2t，根据题意得t+2t＝m+2，t•2t＝m+1，∴2t2﹣3t＝﹣1，整理得2t2﹣3t+1＝0，解得t1＝1，t2＝，当t＝1时，1+2＝m+2，解得m＝1，当t＝时，+1＝m+2，解得m＝﹣，综上所述，m的值为﹣或1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．分类讨论是解决问题的关键．32．（2023•延庆区一模）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．【分析】（1）先计算判别式的意义得到Δ＝（m﹣2）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）先利用求根公式解方程得x1＝﹣1，x2＝﹣m+1，再根据题意得到﹣m+1＞0，从而得到m的范围．【解答】（1）证明：∵Δ＝m2﹣4（m﹣1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）x＝，解得x1＝﹣1，x2＝﹣m+1，∵方程只有一个根是正数，∴﹣m+1＞0，∴m＜1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．33．（2023•北京二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）由（1）的结论结合m为正整数，即可得出m＝1，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可求出原方程的解．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（m+2）＞0，解得：m＜2，∴m的取值范围为m＜2．（2）∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程为x2﹣4x+3＝0，即（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴若m为正整数时，方程的根为1和3．【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根．34．（2023•大兴区二模）已知关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于1，求m的取值范围．【分析】（1）证明Δ≥0即可；（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+4）]2﹣4×4m＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0，∴此方程总有两个实数根．（2）解：用因式分解法解此方程x2﹣（m+4）x+4m＝0，可得（x﹣4）（x﹣m）＝0，解得x1＝4，x2＝m，若该方程有一个根小于1，则m＜1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．35．（2023•顺义区二模）已知关于x的方程x2﹣bx+2b﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若b为正整数，且方程有一个根为负数，求b的值．【分析】（1）证明Δ≥0即可；（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣b）2﹣4×（2b﹣4）＝b2﹣8b+16＝（b﹣4）2．∵（b﹣4）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：用因式分解法解此方程x2﹣bx+2b﹣4＝0，可得（x﹣2）（x﹣b+2）＝0，解得x1＝2，x2＝b﹣2，若方程有一个根为负数，则b﹣2＜0，故b＜2，∵b为正整数，∴b＝1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．36．（2023•丰台区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）选择一个m的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根．【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＞0，从而利用根的判别式的意义得到结论；（2）m可以取0，然后利用直接开平方法解方程．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：当m＝0时，方程化为x2﹣4＝0，解得x1＝2，x2＝﹣2．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．37．（2023•石景山区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若m＞1，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值．【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到Δ＝4＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）设方程的一个根为t，则另一个根为2t，利用根与系数的关系得t+2t＝2m，t•2t＝m2﹣1，消去t得到m2﹣9＝0，然后解关于m的方程，从而得到满足条件的m的值．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：设方程的一个根为t，则另一个根为2t，根据根与系数的关系得t+2t＝2m，t•2t＝m2﹣1，∴t＝m，∴2×（m）2＝m2﹣1，整理得m2﹣9＝0，解得m1＝3，m2＝﹣3，∵m＞1，∴m的值为3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．38．（2023•昌平区二模）关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围．【分析】（1）根据判别式即可求出答案；（2）根据因式分解法可求出方程的两根，然后列出不等式即可求出k的范围．【解答】（1）证明：由题意可知：Δ＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x2﹣kx+k﹣1＝0，∴（x﹣k+1）（x﹣1）＝0，∴x＝k﹣1或x＝1，∵方程有一个根小于0，∴k﹣1＜0，∴k＜1．【点评】本题考查一元二次方程，熟练运用一元二次方程的解法是解题的关键．39．（2023•西城区二模）关于x的方程x2﹣3x+m+1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围，求得m＝1，进而解方程得出答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+m+1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝9﹣4（m+1）≥0，∴﹣4m+5≥0，解得：m≤，∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程可化为x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝2，x2＝1．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．40．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．【分析】（1）通过计算根的判别式进行推理证明；（2）将x＝1代入该方程，通过求解关于k的一元二次方程进行求解．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2k，c＝k2﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）由题意得12﹣2k×1+k2﹣1＝0，整理，得k2﹣2k＝0，解得k1＝0，k2＝2，∴k的值为0或2．【点评】此题考查了一元二次方程的求解和根的判别式的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地求解．41．（2023•海淀区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．（1）判断方程根的情况，并说明理由；（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值和方程的另一个根．【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，再根据根的判别式判断即可；（2）把x＝﹣1代入方程，求出m的值，再设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系求出x2的值即可．【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根．∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0中，a＝1，b＝﹣2，c＝m，∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m，∵m＜0，∴4﹣4m＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）∵﹣1是方程的一个根，∴（﹣1）2﹣2×（﹣1）+m＝0，∴m＝﹣3；设方程的另一个根为x2，∵﹣1+x2＝2，∴x2＝3．∴m＝﹣3，方程的另一个根为3．【点评】本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键．第21页（共21页）。

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一元二次方程根的判别式常考题型：一、复习回顾：
1、一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式为x=
2、解下列关于x 的方程：
①x 2-3x+3=0 ②x 2-2x+3=0
③x 2-2x+1=0 ④x 2-3x-4=0
3、求抛物线y=x 2+5x-4与x 轴的交点。

然后说说判断抛物线与x 轴的交点个数怎么做简单。

4、小结：
ax 2+bx+c=0（a ≠0） y=ax 2+bx+c （a ≠0）
的根的个数图像与x 轴交点个数
△
△△5、当抛物线y=x 2+2x+c 与x 轴有两个交点时，c 的取值范围是__________;有一个交点时（即顶点在x 轴上），c=_____;没有交点时，c 的取值范围是______
二、精讲精练：
1、已知抛物线y=(k-2)x 2
-3x+1与x 轴有两个交点，求k 的取值范围
练习：
1、已知抛物线y=(2m-1)x 2
-2x+1与x 轴有两个交点，求m 的取值范围。

例2、
已知关于x 的一元二次方程
04222=-++k x x 有两个不相等的实
数根（1）求k 的取值范围；
（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值。

例
3、已知关于
X
的方程
2(2)20(0)mx m x m -++=≠。

（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值。

说说例2和例3的异同：
练习：
1、关于x 的一元二次方程(k-3)x 2
-3x+2=0有两个不相等的实数根 (1)求k 的取值范围
(2)求当k 取何正整数时，方程的两根均为整数。

2、关于x 的一元二次方程kx 2
+2x+2-k=0 (1)若元方程有实数根，求k 的取值范围
(2)当k 取哪些整数时，方程的两根均为整数；
3、关于x 的一元二次方程(m-1)x 2
-2mx+m-1=0 (1)求证：方程有两个不相等的实数根
(2)m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 4、
5、23. 已知关于x 的一元二次方程
22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数.
（1）求k 的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，
将关于x 的二次函数2
241y x x k =++-的
图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：
当直线与此图象有两个
公共点时，b 的取值范围.
()1
2
y x b b k =+<。