广东省东莞市2016届高三备考研讨会材料：《函数与数列(2)
广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：数列
广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编数列一、选择题1、（清远市2016届高三上期末）已知数列{}n a 满足：111,(*)2nn n a a a n N a +==∈+，12(1)()1n n C a n λ=+-+，若{}n C 是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（ ） A 、λ13≥B 、λ13>C 、λ43≥D 、λ43> 2、（东莞市2016届高三上期末）已知各项为正的数列{}n a 的前n 项的乘积为n T ，点（2,15)n T n n -在函数12log y x =的图象上，则数列{}2log n a 的前10项和为（A ）－140 （B ）100 （C ）124 （D ）1563、（广州市2016届高三1月模拟考试）各项均为正数的等差数列{}n a 中，3694=a a ，则前12项和12S 的最小值为（A ）78 （B ）48 （C ）60（D ）724、（揭阳市2016届高三上期末）在等差数列{}n a 中，已知35710132,9a a a a a +=++=，则此数列的公差为 （A ）13 （B ）3 （C ）12 （D ）165、（清远市2016届高三上期末）已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =-，则317a a +＝（ ）A 、36B 、35C 、34D 、336、（汕尾市2016届高三上期末）已知是等差数列{}n a ，且28a a +＝16，则数列{}n a 的前9 项和等于（ ）A.36B.72C.144D.2887、（湛江市2016年普通高考测试（一））设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差d ＝2，2n n S S +-＝36，则n ＝A 、5B 、6C 、7D 、88、（肇庆市2016届高三第二次统测（期末））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，315S =，则6S =（A ）62 （B ）66 （C ）70 （D ）74选择题答案：1、B2、C3、D4、A5、C6、B7、D8、 B 二、填空题 1、（惠州市2016届高三第三次调研考试）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121a a ==，{}(2)n n nS n a ++为等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a = ．2、（揭阳市2016届高三上期末）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1111,n n n a a S S ++=-=学科网，则数列{}n a 的通项公式n a = 3、（汕尾市2016届高三上期末）已知数列为等比数列，，若数列满足则的前n 项和n S = .填空题答案1、12n n- 2、1,(1)1.(2)(1)n n n n -=⎧⎪⎨≥⎪-⎩3、1n n +三、解答题1、（潮州市2016届高三上期末）已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足215313a a a +=，756S =。
高三数列讲座心得体会
时光荏苒，转眼间我们已迈入高三这个紧张而关键的阶段。
在这个阶段，数列作为高中数学的重要组成部分，对我们的数学学习提出了更高的要求。
近期，我有幸参加了一场关于数列的讲座，通过这次讲座，我对数列有了更深入的理解，以下是我的一些心得体会。
一、数列的概念与性质讲座伊始，讲师首先向我们介绍了数列的基本概念和性质。
数列是由一系列按一定顺序排列的数组成的，它可以是有限数列，也可以是无限数列。
数列的通项公式是描述数列中每一项的规律的关键。
通过学习数列的性质，我认识到数列的有序性、递增性、递减性等特点，这些特点在解决数列问题时具有重要作用。
二、数列的求和问题在讲座中，讲师详细讲解了数列的求和问题。
求和问题是数列学习中的核心问题，也是高中数学考试中的热点。
通过学习，我了解到数列求和的方法有很多，如分组求和、错位相减、裂项相消等。
这些方法在解决不同类型的数列求和问题时具有很好的效果。
例如，在解决等差数列求和问题时，我们可以运用分组求和的方法；而在解决等比数列求和问题时，则可以运用错位相减的方法。
通过这次讲座，我对数列求和问题有了更加全面的认识。
三、数列的应用讲座中，讲师还向我们展示了数列在现实生活中的应用。
例如，在经济学中，我们可以用数列来描述经济指数的变化；在物理学中，我们可以用数列来描述物体的运动轨迹。
这些应用使我认识到数列知识的重要性，也让我对数学学习产生了更浓厚的兴趣。
四、学习方法与技巧在讲座的最后，讲师分享了学习数列的方法与技巧。
以下是我在讲座中总结的一些学习心得：1. 注重基础知识：数列学习的基础是掌握数列的概念、性质和通项公式，只有对这些基础知识有扎实的掌握，才能在解决数列问题时游刃有余。
2. 善于归纳总结：在学习数列的过程中，我们要善于归纳总结各种类型数列的求和方法和解题技巧，以便在考试中能够迅速找到解题思路。
3. 勤于练习：数列知识的应用需要大量的练习，只有通过不断的练习，我们才能熟练掌握各种解题方法，提高解题速度。
广东省东莞市2016届高三备考研讨会材料：2016届高三备考建议
（5）东莞市高中数学青年教师培训
（6）东莞市高中数学骨干教师培训 （7）高三备考研讨（分区域）
后果：乏味、疲劳、缺乏兴趣 观点：要站在系统、整体的高度审视教材，做到层次分
明，结构清晰，让不同模块之间的知识汇成一个系统， 交织成一张网，复习课也可用好教材，上出新意。 知识结构；(3)研究习题，提炼思想方法；(4)因材施教， 促进分层教学.
建议：(1)梳理系统，构建知识网络；(2)知识重讲，完善
2016届高三数学备考建议
重基础 抓落实 促发展
2016届高三数学备考建议
(1)处理好教材与教辅的关系 (2)将知识化为能力，将能力转化为分数 (3)处理习题教学几个环节：选题、审题、解题、反思提炼 (4)关注学生：课堂听课状态、作业、考试策略、心态
处理好教材与教辅的关系
现象：复习就是重复、“炒冷饭”
试Байду номын сангаас争取科学，把握好梯度，控制好难度。
审题：要站在系统的高度引领学生解题，强化学生的
“联系”、“联想”的习惯和能力，适度的“模型
化”“模式化”。
解题：规范步骤，凸显通性通法，让解题方法来得更加
自然，讲推理，更要讲道理。
反思：找联系，找规律，找本源。
关注学生
听课状态：将教育的关怀指向每一位孩子。
作业情况：做好跟踪落实，做到有布置就有检查，有检
查就有反馈，加强个性化作业布置的研究。
考试策略：指导学生学习，指导学生答题，对于部分重
点关注的学生做到面批面改。
意志品质：通过复习、解题，锻炼学生的意志品质，多
鼓励，增强学生信心，关注学生的心态。
常规工作
（1）期市末统考范围 （2）东莞市高中数学竞赛 （3）东莞市青年教师优质课比赛 （4）微课优课资源建设及应用
高三函数专题训练
函数专题训练1. (安徽省示范高中2016届高三第二次联考数学、理、1）函数22()x x f x x-++=的定义域为（ ） A-(-1,0) (0,2) B ．（-1,0)(0,+∞) C ．（一∞，-1)(2,+∞) D ．（-1,2) 2.（广东省惠州市2016届高三调研、理、6）已知函数⎩⎨⎧≤>=0,20,log )(3x x x x f x ，则))91((f f =（ ）.（A ）12 （B ）14（C ）16 （D ）18 3.（广东省廉江一中2016届高三月考、理、10）函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=010001)(x x x x f ，),1()(2-⋅=x f x x g 则函数)(x g 的递减区间是( )A ．),0[+∞B ．)1,0[C ．)1,(-∞D ．)1,1(-4. (安徽省示范高中2016届高三第二次联考数学、理、3）已知225535232(),(),log ,,,555a b c a b c ===则的大小关系是（ ） A. a<c<b B. b<a<e C. c<a<b D. a<b<c5.（吉林省实验中学2016届高三上学期第一次模拟、理、3）下列函数中，既是偶函数又在(),0-∞上单调递增的函数是（ ）（A ）2y x = （B ）2x y = （C ）21log y x= （D ）sin y x =6.（广东省廉江一中2016届高三月考、理、6）函数)32(log 3++=x y a 的图象必经过定点P 的坐标为( )A ．)3,1(-B ．)4,1(-C ．)1,0(D ．)2,2(7.（广东省廉江一中2016届高三月考、理、7）已知函数，⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=3)1(3)21()(x x f x x f x 则(l)f 的值是( )A ．121B ．81 C ．24 D ．12 8.（黑龙江省大庆铁人中学2016届高三第一阶段考试、理、5）定义在R 上的偶函数f(x)，对任意12,[0,)x x ∈+∞ (12x x ≠)，有2121()()0f x f x x x -<-，则( ) A ．(3)(2)(1)f f f <-< B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-9.(辽宁省五校协作体2016届高三上学期期初考试数学、理、7)设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()23,x f x x =+-则()f x 的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410.（安徽省合肥市第八中学2016届高三阶段考试、理、13）若2log (2)2a +=，则3a = ．11.（安徽省合肥市第八中学2016届高三阶段考试、理、14）20(cos sin )x x dx π-=⎰ 。
2016年高考数学数列问题解法与技巧_答题技巧
2016年高考数学数列问题解法与技巧_答题技巧数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。
下面是查字典数学网整理的数列问题解法与技巧，请考生学习。
高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。
有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。
探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。
本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。
近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。
(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。
(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。
试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。
1、在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题。
2、在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力。
进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。
3、培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.数列问题解法与技巧的内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得优异的成绩。
2016届广东省高考数学二轮专题复习等差数列、等比数列01
等差数列、等比数列1． a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.2． 等差数列和等比数列考点一 与等差数列有关的问题例1 在等差数列{a n }中，满足3a 5＝5a 8，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)若a 1>0，当S n 取得最大值时，求n 的值； (2)若a 1＝－46，记b n ＝S n －a nn ，求b n 的最小值．解 (1)设{a n }的公差为d ，则由3a 5＝5a 8，得3(a 1＋4d )＝5(a 1＋7d )，∴d ＝－223a 1.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－223a 1＝－123a 1n 2＋2423a 1n＝－123a 1(n －12)2＋14423a 1.∵a 1>0，∴当n ＝12时，S n 取得最大值． (2)由(1)及a 1＝－46，得d ＝－223×(－46)＝4，∴a n ＝－46＋(n －1)×4＝4n －50， S n ＝－46n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－48n .∴b n ＝S n －a n n ＝2n 2－52n ＋50n＝2n ＋50n－52≥22n ×50n－52＝－32，当且仅当2n ＝50n ，即n ＝5时，等号成立．故b n 的最小值为－32.(1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差，只要根据已知条件求出这两个量，其他问题就可随之而解，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用．(2)等差数列的性质①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，仍成等差数列； ③a m －a n ＝(m －n )d ⇔d ＝a m －a nm －n(m ，n ∈N *)；④a n b n ＝A 2n －1B 2n －1(A 2n －1，B 2n －1分别为{a n }，{b n }的前2n －1项的和)． (3)数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n ＝f (n )是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即S n ＝An 2＋Bn (A 2＋B 2≠0)．(1)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是________．(填序号)①若d <0，则数列{S n }有最大项； ②若数列{S n }有最大项，则d <0；③若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0； ④若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列．(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 答案 (1)③ (2)5【详细分析】(1)利用函数思想，通过讨论S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 的单调性判断． 设{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 由二次函数性质知S n 有最大值时，则d <0，故①②正确；因为{S n }为递增数列，则d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故③错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，④正确． (2)a m ＝2，a m ＋1＝3，故d ＝1， 因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0，故a 1＝－m －12，因为a m ＋a m ＋1＝5， 故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d ＝－(m －1)＋2m －1＝5， 即m ＝5.考点二 与等比数列有关的问题例2 (1)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.(2)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.答案 (1)－7 (2)32【详细分析】(1)利用等比数列的性质求解．由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.(2)利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解． S 4＝S 2＋a 3＋a 4＝3a 2＋2＋a 3＋a 4＝3a 4＋2， 将a 3＝a 2q ，a 4＝a 2q 2代入得，3a 2＋2＋a 2q ＋a 2q 2＝3a 2q 2＋2，化简得2q 2－q －3＝0， 解得q ＝32(q ＝－1不合题意，舍去)．(1)证明数列是等比数列的两个方法：①利用定义：a n ＋1a n(n ∈N *)是常数，②利用等比中项a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．(2)等比数列中的五个量：a 1，a n ，q ，n ，S n 可以“知三求二”． (3){a n }为等比数列，其性质如下：①若m 、n 、r 、s ∈N *，且m ＋n ＝r ＋s ，则a m ·a n ＝a r ·a s ； ②a n ＝a m q n －m ；③S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列(q ≠－1)． (4)等比数列前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).①能“知三求二”；②注意讨论公比q 是否为1；③a 1≠0.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18.即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .假设存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012. 当n 为偶数时，(－2)n >0.上式不成立； 当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012， 即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}． 考点三 等差数列、等比数列的综合应用 例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，∴a 1＝4， ∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n (9－n )2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1， 设等比数列{b n }的公比为q ， 则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝4[1－(12)m ]1－12＝8[1－(12)m ]，∵(12)m 随m 增加而递减， ∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n (9－n )2＝－12(n 2－9n )＝－12[(n －92)2－814]，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ， 则10<4＋λ，得λ>6.等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．(2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题，求解时用等差(比)数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可． 已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－3a n ＝3n (n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝3－n a n .(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)设S n ＝a 13＋a 24＋a 35＋…＋a n n ＋2，求满足不等式1128<S n S 2n <14的所有正整数n 的值．(1)证明 由b n ＝3－n a n 得a n ＝3n b n ，则a n ＋1＝3n ＋1b n ＋1.代入a n ＋1－3a n ＝3n 中，得3n ＋1b n ＋1－3n ＋1b n ＝3n ，即得b n ＋1－b n ＝13.所以数列{b n }是等差数列．(2)解 因为数列{b n }是首项为b 1＝3－1a 1＝1，公差为13的等差数列，则b n ＝1＋13(n －1)＝n ＋23，则a n ＝3n b n ＝(n ＋2)×3n －1，从而有a n n ＋2＝3n －1， 故S n ＝a 13＋a 24＋a 35＋…＋a nn ＋2＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝1－3n 1－3＝3n －12，则S n S 2n ＝3n－132n －1＝13n ＋1， 由1128<S n S 2n <14，得1128<13n ＋1<14， 即3<3n <127，得1<n ≤4.故满足不等式1128<S n S 2n <14的所有正整数n 的值为2,3,4.1． 在等差(比)数列中，a 1，d (q )，n ，a n ，S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算． 2． 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形． 3． 等差、等比数列的单调性(1)等差数列的单调性d >0⇔{a n }为递增数列，S n 有最小值． d <0⇔{a n }为递减数列，S n 有最大值． d ＝0⇔{a n }为常数列． (2)等比数列的单调性当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }为递增数列，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }为递减数列． 4． 常用结论(1)若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，{S nn }仍为等差数列，其中m ，k 为常数．(2)若{a n }，{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n }，{1a n}等也是等比数列． (3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝(a 2－a 1)qa 2－a 1＝q .(4)等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其公差为q k .等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d . 5． 易错提醒(1)应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．(2)三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2，但三个数a ，b ，c 成等比数列的必要条件是b 2＝ac .。
广东省东莞市六校2016届高三上学期联考数学理试题
东莞市2015—2016学年度第一学期六校联考考试高三数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足2)1()1(i z i ，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合2{|log 3}M x x ,{|21,}N x x n n N ,则M N （） A ．(0,8)B ．{3,5,7}C ．{0,1,3,5,7}D ．{1,3,5,7}3．如右图所示的程序框图，若输出的41S ，则判断框内应填入的条件是（）A ．3?k B ．4?k C ．5?k D ．6?k 4．下列函数中既是奇函数，又在区间1,1上是增函数的为（）A ．y xB ．x x y e eC ．sin y xD ．3yx 5．设向量a,b 满足10b a ,6b a ,则b a =（）A ．1 B．2 C ．3 D ．5 6．已知))2,0[,0)(sin(x y的部分图象如图所示，则（）A ．23B ．43C ．2D ．47．钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=2,则AC=（）A ．1 B ．2 C ．5 D ．58．函数y ＝ln 1|2x －3|的大致图象为（）9．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于（）A ．40 cm 3B ．30 cm 3C ．20 cm 3D ．10 cm310．已知斜率为2的直线l 双曲线2222:1(0,0)xy C ab a b 交,A B 两点，若点(2,1)P 是AB 的中点，则C 的离心率等于（）A ．22B ．2 C ．3D ．2。
2016届广东省高考数学二轮专题复习三角函数的图象与性质02
(2)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. ①求ω的值；②讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解 ①f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0.从而有2π2ω＝π，故ω＝1. ②由①知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2， 则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2， 即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4， 即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上单调递减．1． 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ))的单调区间(1)将ω化为正．(2)将ωx ＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解．2． 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的图象求解析式(1)A ＝y max －y min 2，B ＝y max ＋y min 2. (2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.3． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．4． 求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而结合三角函数的性质求解．(2)将三角函数式化为关于sin x ，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解．5． 特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.提高练习1． 假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：①f (x )＝sin x －cos x ；②f (x )＝2(sin x ＋cos x )；③f (x )＝2sin x ＋2；④f (x )＝sin x .则其中属于“互为生成函数”的是________．(填序号)答案 ①②2． 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4. (1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋3×1＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin(2ωx ＋π3)， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2， T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后， 得到y ＝sin(4x －π6)的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin(2x －π6)的图象． 所以g (x )＝sin(2x －π6)． 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6. g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解， 即函数g (t )＝sin t 与y ＝－k 在区间[－π6，5π6]上有且只有一个交点． 如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1. ∴－12<k ≤12或k ＝－1.(推荐时间：60分钟)一、填空题1． 点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－12，32 【详细分析】记α＝∠POQ ，由三角函数的定义可知，Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos α＝cos2π3＝－12， y ＝sin α＝sin 2π3＝32. 2． 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y ＝________. 答案 －8【详细分析】因为sin θ＝y 42＋y 2＝－255，所以y <0，且y 2＝64，所以y ＝－8.3． 已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于________． 答案 －53【详细分析】因为sin α＋cos α＝33， 两边平方得1＋2sin αcos α＝13，所以sin 2α＝－23. 由于sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝33>0， 且α为第二象限角，所以2k π＋π2<α<2k π＋3π4，k ∈Z ， 所以4k π＋π<2α<4k π＋3π2，k ∈Z ， 所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－49＝－53. 4． 将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数的解析式为________．答案 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x －π4【详细分析】y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3―――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变5． 若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所 示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω等于________．答案 7π6 【详细分析】由题中图象知T 4＝π3－π12， 所以T ＝π，所以ω＝2.则M ⎝⎛⎭⎫π12，A ，N ⎝⎛⎭⎫7π12，－A 由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A 2， 所以A ＝7π12，所以A ·ω＝7π6.6． 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ) (ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝⎛⎭⎫π12＝0，则ω的最小值为________．答案 2【详细分析】由f ⎝⎛⎭⎫π12＝0知⎝⎛⎭⎫π12，0是f (x )图象的一个对称中心，又x ＝π3是一条对称轴，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧ω>02πω≤4⎝⎛⎭⎫π3－π12， 解得ω≥2，即ω的最小值为2.7． 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，54【详细分析】由π2<x <π， ω>0得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4， 又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减， 所以⎩⎨⎧ ωπ2＋π4≥π2ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ωπ≤54.。
广东省2016届高三数学二轮复习精选试题汇编：合情推理与演绎推理 Word版含答案
合情推理与演绎推理一、填空题1. 下面给出三个类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）； ①",,0,"a b R a b a b ∈-==若则类比推出",,a b C ∈若0";a b a b -==，则 ②",,,,,,"a b c d R a bi c di a c b d ∈+=+==若复数则类比推出",,,a b c d Q ∈,若,,";a c a c b d +=+==则③",,0,"a b R a b a b ∈->>若则类比推出",,0,";a b C a b a b ∈->>若则其中类比结论正确的序号是_____________（写出所有正确结论的序号）2. 已知21111()12f n n n n n=++++++，则()f n 中共有 项． 3. 设()()()()f x x a x b x c =---(,,a b c 是两两不等的常数),则///()()()a b cf a f b f c ++的值是 ______________.二、选择题4. “所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于A ．演绎推理B ．类比推理C ．合情推理D ．归纳推理5. 用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以2a ＞0”，你认为这个推理（ ）A ．大前题错误B ．小前题错误C ．推理形式错误D ．是正确的6. 已知扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，类比三角形的面积公式：12S =⨯底⨯高，可得扇形的面积公式为（ ）Ａ．212r Ｂ．212l Ｃ．12rl Ｄ．不可类比7. 下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（ ） Ａ．三角形 Ｂ．梯形 Ｃ．平行四边形 Ｄ．矩形8. 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（ ）Ａ．25 Ｂ．66 Ｃ．91 Ｄ．120 9. 若,,x y R ∈则"1"xy ≤是22"1"x y +≤的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10. 设115114113112log 1log 1log 1log 1+++=P ，则（ ） A ．10<<P B ．21<<P C ．32<<P D ．43<<P11. 关于x 的方程229430x x a -----⋅-=有实根的充要条件是（ ）A ．4a ≥-B ．40a -≤<C ．0a <D ．30a -≤<12. 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字09和字母A F 共16个计例如，用十六进制表示,则（ ） A ．6E B ．72 C ．5F D ．0B13. 设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-三、解答题 14. 已知)()1(12t n N n n a ∈+=记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋯--=试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出)(n f 的值。
【三维设计】(新课标)2016届高考数学5年真题备考题库 第二章 第8节 函数与方程 理(含解析)
第2章 函数、导数及其应用第8节 函数与方程1. (2014山东，5分)已知函数f(x)＝|x －2|＋1，g(x)＝kx ，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k<1.答案：B2. (2014天津，5分)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．解析：画出函数f (x )＝|x 2＋3x |的大致图象，如图，令g (x )＝a |x－1|，则函数f (x )的图象与函数g (x )的图象有且仅有4个不同的交点，显然a >0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a 1－x消去y ，得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，由Δ>0，解得a <1或a >9；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a 1－x消去y ，得x2＋(3＋a )x －a ＝0，由Δ>0，解得a >－1或a <－9.综上，实数a 的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)．3. (2014江苏，5分)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解析：函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x∈[－3,4]与y ＝a 的图象有10个不同交点．作出函数y ＝f (x )在[－3,4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0<a <12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，124. (2014新课标全国卷Ⅰ，5分)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1有两个零点，不符合题意，故a ≠0.f ′(x )＝3ax2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a，由题意得a <0且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0，解得a <－2，选B.答案：B5．(2013安徽，5分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1<x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：本题主要考查函数与导数以及函数与方程的基础知识，意在考查考生的数形结合思想、推理论证能力以及创新意识．因为函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，可知关于导函数的方程f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0有两个不等的实根x 1，x 2.则方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有两个不等的实根，即f (x )＝x 1或f (x )＝x 2，原方程根的个数就是这两个方程f (x )＝x 1和f (x )＝x 2的不等实根的个数之和．由上述可知函数f (x )在区间(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是单调递增的，在区间(x 1，x 2)上是单调递减的，又f (x 1)＝x 1<x 2，如图所示，由数形结合可知，f (x )＝x 1时，有两个不同实根，f (x )＝x 2时有一个实根，所以不同实根的个数为3.答案：A6．(2013天津，5分)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：本题考查函数零点，意在考查考生的数形结合能力．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝12图象的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|与y＝12x的图象，易知有2个交点．答案：B7．(2013湖南，5分)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为( )A．3 B．2C．1 D．0解析：本小题主要考查二次函数和对数函数的图象及性质，考查对数值的取值范围的探究及数形结合思想．由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．答案：B8．(2013重庆，5分)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b) 和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a) 和(c，＋∞)内解析：本题考查函数的零点，意在考查考生数形结合的能力．由已知易得f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，故函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．答案：A9．(2013福建，5分)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A．14 B．13C．12 D．10解析：本题考查集合、方程的根、计数原理等基础知识，意在考查考生的综合能力．因为a，b∈{－1,0,1,2}，可分为两类：①当a＝0时，b可能为－1或1或0或2，即b有4种不同的选法；②当a≠0时，依题意得Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.当a＝－1时，b有4种不同的选法，当a＝1时，b可能为－1或0或1，即b有3种不同的选法，当a＝2时，b 可能为－1或0，即b有2种不同的选法．根据分类加法计数原理，(a，b)的个数共有4＋4＋3＋2＝13.答案：B10．（2012辽宁，5分）设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在[－12，32]上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由题意知函数f (x )是偶函数，且周期是2.作出g (x )，f (x )的函数图像，如图．由图可知函数y ＝g (x )，y ＝f (x )在[－12，32]图像有6个交点，故h (x )＝g (x )－f (x )在[－12，32]上的零点有6个．答案：B11．（2012天津，5分）函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：法一：函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数即为函数y ＝2x，y ＝2－x 3在区间(0,1)内的图像的交点个数，作出图像即可知两个函数图像在区间(0,1)内有1个交点，故原函数在区间(0,1)内的零点个数是1.法二：由题意知f (x )为单调增函数且f (0)＝－1<0，f (1)＝1>0， 所以在区间(0,1)内有且只有一个零点． 答案：B12．（2012湖北，5分）函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：令x cos x 2＝0，则x ＝0，或x 2＝k π＋π2，又x ∈[0,4]，因此x k ＝k π＋π2(k ＝0,1,2,3,4)，共有6个零点．答案：C13．（2011新课标全国，5分）函数y ＝11－x 的图像与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：如图，两个函数图像都关于点(1,0)成中心对称，两个图像在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.答案：D。
2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)
数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质例题1. 已知数列}{n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥.（1）求32,a a ；（2）证明：312n n a -=. 解：（1）21231,314,3413a a a =∴=+==+=Q . （2）证明：由已知113--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ1213133312n n n a ---+=++++=L ， 所以证得312n n a -=.例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T .解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列∴13n n a -=（Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d ==∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d =∴2(1)3222n n n T n n n -=+⨯=+例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...aa a +++128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{}n n b b -+1是等差数列.⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；⑵是否存在N k *∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由.点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求na 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.（2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况.解：（1）已知212322a a a +++ (1)2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2)128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②①－②得，128n n a -=，求得42n n a -=，在①中令1n =，可得得41182a -==，所以42nn a -=(n ∈N*）. 由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-， ∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---， ∴1n nb b +-=2)1(4⨯-+-n 26n =-，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-L(4)(2)(28)n =-+-++-L 2714n n =-+(n ∈*N ）.（2）k k b a -=2714k k -+-42k-，当4k ≥时，277()()24f k k =-+-42k-单调递增，且(4)1f =， 所以4k ≥时，2()714f k k k =-+-421k -≥， 又(1)(2)(3)0f f f ===，所以，不存在k ∈*N ，使得(0,1)k k b a -∈.例题4. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1 = 1， b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，求通项a n ，b n 解： 依题意得：2b n+1 = a n+1 + a n+2 ① a 2n+1 = b n b n+1 ②∵ a n 、b n 为正数， 由②得21211,+++++==n n n n n n b b a b b a ， 代入①并同除以1+n b 得：212+++=n n n b b b ， ∴}{n b 为等差数列∵ b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，29,22122==b b b a 则 ，∴ 2)1(),1(22)229)(1(22+=∴+=--+=n b n n b n n ，∴当n ≥2时，2)1(1+==-n n b b a n n n ， 又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴2)1(+=n n a n2. 研究前n 项和的性质例题5. 已知等比数列}{n a 的前n 项和为2nn S a b =⋅+，且13a =. （1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式；（2）设n n nb a =，求数列}{n b 的前n 项和n T .解：（1）2≥n 时，a S S a n n n n ⋅=-=--112.而}{n a 为等比数列，得a a a =⋅=-1112， 又31=a ，得3=a ，从而123-⋅=n n a .又123,3a a b b =+=∴=-Q .（2）132n n n n n b a -==⋅， 21123(1)3222n n n T -=++++L231111231(2322222n n n n n T --=+++++L ） ，得2111111(1)232222n n n n T -=++++-L ， 111(1)2412[](1)13232212n n n n n n n T +⋅-=-=---.例题6. 数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k =+++L*()N k ∈， （1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '. 解：（1）由题意：410nn a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列，∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-L ，∴1(1)7[3]22n n n nb n n --=-=由100n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==.（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，∴当7n ≤时，212731132()244n n n S b b b n n n -+'=+++==-+L当7n >时，12789n n S b b b b b b '=+++----L L 27121132()2144n S b b b n n =-+++=-+L∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩.例题7. 已知递增的等比数列{n a }满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （1）求{n a }的通项公式n a ；（2）若12log n n nb a a =，12n n S b b b =+++L 求使1230n n S n ++⋅>成立的n 的最小值.解：（1）设等比数列的公比为q （q ＞1），由a 1q +a 1q 2+a 1q 3=28，a 1q +a 1q 3=2（a 1q 2+2），得：a 1=2，q =2或a 1=32，q =12（舍）∴a n =2·2（n －1）=2n（2） ∵12log 2nn n n b a a n ==-⋅，∴S n =－（1·2+2·22+3·23+…+n ·2n ） ∴2S n =－（1·22+2·23+…+n ·2n +1），∴S n =2+22+23+…+2n －n ·2n +1=－（n －1）·2n +1－2， 若S n +n ·2n +1＞30成立，则2n +1＞32，故n ＞4，∴n 的最小值为5.例题8. 已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且11,,n n S a +-成等差数列，*1,1N n a ∈=. 函数3()log f x x =.（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）设数列{}n b 满足1(3)[()2]n n b n f a =++，记数列{}n b 的前n 项和为T n ，试比较52512312n n T +-与的大小. 解：（I ）11,,n n S a +-Q 成等差数列，121n n S a +∴=-① 当2n ≥时，121n n S a -=-②. ①－②得：112()n n n n S S a a -+-=-，13+=∴n n a a ，13.n na a +∴=当n =1时，由①得112221S a a ∴==-， 又11,a =2213,3,a a a ∴=∴={}n a ∴是以1为首项3为公比的等比数列，13.n n a -∴=（II ）∵()x log x f 3=，133()log log 31n n n f a a n -∴===-， 11111()(3)[()2](1)(3)213n n b n f a n n n n ===-++++++，1111111111111()224354657213n T n n n n ∴=-+-+-+-++-+-+++L11111()22323n n =+--++525,122(2)(3)n n n +=-++比较52512312n n T +-与的大小，只需比较2(2)(3)n n ++与312 的大小即可. 222(2)(3)3122(56156)2(5150)n n n n n n ++-=++-=+-又2(15)(10)n n =+-∵*,N n ∈∴当*19N n n ≤≤∈且时，5252(2)(3)312,;12312nn n n T +++<<-即当10n =时，5252(2)(3)312,;12312n n n n T +++==-即当*10N n n >∈且时，5252(2)(3)312,12312nn n n T +++>>-即.3. 研究生成数列的性质例题9. （I ） 已知数列{}n c ，其中nn n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ；（II ） 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列.解：（Ⅰ）因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有 （c n +1－pc n ）2=（ c n +2－pc n+1）（c n －pc n －1）， 将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p （2n ＋3n ）]2=[2n ＋2+3n ＋2－p （2n +1＋3n +1）]·[2n +3n －p （2n －1＋3n －1）]， 即[（2－p ）2n +（3－p ）3n ]2=[（2－p ）2n+1+（3－p ）3n+1][ （2－p ）2n －1+（3－p ）3n －1]，整理得61（2－p ）（3－p ）·2n ·3n =0，解得p =2或p =3. （Ⅱ）设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n .为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3.事实上，22c =（a 1p ＋b 1q ）2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ，c 1·c 3=（a 1＋b 1）（a 1p 2＋b 1q 2）=21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1（p 2＋q 2）.由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列.例题10. n 2（ n ≥4）个正数排成n 行n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a 24=1，163,814342==a a 求S=a 11 + a 22 + a 33 + … + a nn解： 设数列{1k a }的公差为d ， 数列{ik a }（i=1，2，3，…，n ）的公比为q则1k a = a 11 + （k －1）d ， a kk = [a 11 + （k －1）d]q k －1依题意得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+==+=163)2(81)(1)3(31143311421124q d a a q d a a q d a a ，解得：a 11 = d = q = ±21 又n 2个数都是正数，∴a 11 = d = q = 21 ， ∴a kk = kk2n n S 212132122132⨯++⨯+⨯+=Λ，1432212132122121+⨯++⨯+⨯+=n n S Λ，两式相减得：n n nS 22121--=-例题11. 已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n n nn b b b T a b +++==Λ21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值；（3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a nΛ对一切*N n ∈均成立的最大实数p .解：（1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，)12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,1233N n n a n n ∈-==- （2）由（1）得n n n b 212-=， nn n n n T 2122322523211321-+-++++=∴-Λ ① 1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T Λ ② ①－②得)21212121(2121n 22222222221T 211n 2n 2111n n 1n 321n --+-+++++=--+++++=ΛΛ1n 1n 1n 21n 2212321n 2+-+---=--.n n 2n n 23n 2321n 2213T +-=---=∴-， 设*,232)(N n n n f n ∈+=，则由1512132121)32(252232252)()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n n 得*,232)(Nn n n f n ∈+=随n 的增大而减小+∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m（3）由题意得*21)11()11)(11(121N n a a a n p n ∈++++≤对Λ恒成立记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++=Λ，则 ()()11n 21n 2)1n ()1n (4)1n (2)3n 2)(1n 2(2n 2)a 11()a 11)(a 11(1n 21)a 11)(a 11()a 11)(a 11(3n 21)n (F )1n (F 2n 211n n 21=++>+-++=+++=+++++++++=++ΛΛ)(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴>Θ是随n 的增大而增大)(n F 的最小值为332)1(=F ，332≤∴p ，即332max =p .（二）证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列.例题12. 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122，*N n ∈. ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ；⑶设n b =1(12)n n a -**12(),()N N n n n T b b b n ∈=+++∈L ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ， 由题意得2832d d =+⇒=-，82(1)102n a n n ∴=--=-. （2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤Λ时21281029,2n na a a n n n +-=+++=⨯=-L6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++=ΛΛ765212555()2940n n S S S S S n n =--=-=-+故⎪⎩⎪⎨⎧+--=40n 9n n n 9S 22n 56n n ≤≥ （3）11111()(12)2(1)21n n b n a n n n n ===--++Q ，∴n T 1111111111[(1)()()()()]22233411n n n n =-+-+-++-+--+L .2(1)n n =+若32n m T >对任意*N n ∈成立，即116n mn >+对任意*N n ∈成立，*()1N n n n ∈+Q的最小值是21，1,162m ∴<m ∴的最大整数值是7.即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有.32n m T >例题13. 已知等比数列{}n b 与数列{}n a 满足3,n an b n =∈N *. （1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明； （2）若8131220,a a m b b b +=L 求.解：（1）设{}n b 的公比为q ，∵3n an b =，∴()q log 1n a a 3q 331n a 1n a n 1-+=⇒=⋅-。
高考模拟试题_广东省东莞市六校2016届高三上学期联考文科数学试卷_人教新课标
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13--21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。 第 22--24 题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题(本大概题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分)
x + y ≥ 1 13.（虎中）若变量 x，y 满足约束条件 y − x ≤ 1 ，则= z 2 x − y 的最小值为 x ≤1
[60, 65) , [65, 70 ) , [70, 75) , [75,80 ) , [80,85) , [85,90 )
后得到如图的频率分布直方图． （1）求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值． （2）若从车速在 [ 60, 70 ) 的车辆中任抽取 2 辆，求车速在 [ 65, 70 ) 的车辆恰有一辆的概率． 19.（厚中） （本小题满分 12 分）某公司生产的某产品每件成本为 40 元，经市场调查整理出 如下信息： ①该产品 90 天内日销量（ m 件）与时间（第 x 天）满足一次函数关系，部分数据如
c sin A + 3a cos C = 0
⑴ 求 C 的值； ⑵ 若 cos A =
3 , c = 5 3 ，求 sin B 和 b 的值． 5
18． （济中） （本小题满分 12 分） 2014 年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司 在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查， 将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：
．
14． （厚中）圆 O 是等边 ∆ABC 的内切圆，在 ∆ABC 内任取一点 P，则点 P 落在圆
2
O 内的概率是
广东省东莞市2016届高三上学期期末调研测试数学文试题 含解析
东莞市2016届高三上学期期末调研测试数学（文）试题一、选择题（共12小题，60分）（1)若复数z 满足(1)3z i i +=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的其轭复数为(A ）2＋i （B)2－i （C)－2＋i (D ）－2－i（2）已知全集U ＝R ，集合A ＝{}2|l g (2)2x o x -<,UC B ＝(,1)[4,)-∞+∞，则A B＝（A ）（4，6］ （B ）［1,6) （C ）（2,4］ (D)(2，4）（3）已知命题:p m R ∃∈，使得函数32()(1)2f x x m x =+--是奇函数，命题q ：向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则“1122xy x y ="是“a b ”的充要条件，则下列命题为真命题的是（A ）p q ∧ （B ）()p q ⌝∧ (C ）()p q ∧⌝ (D ）()()p q ⌝∧⌝ （4）网上大型汽车销售店销售某品牌A 型汽车，在2015双十一期间,进行了降价促销，该型汽车的价格与月销售量之间有如下关系：已知A 型汽车的购买量y 与价格x 符合如下线性回归方程：80y bx =+,若A 型汽车价格降到19万元，预测月销售量大约是（A ）39 (B)42 （C)45 （D)50 （5）已知圆22()4x m y -+=上存在两点关于直线20x y --=对称，若离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为 (A ）1 （B)3（C)23 （D ）4(6)已知一个几何体的三视图如图所示，图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（A ）103(B ）4 (C ）6 （D ）10（7）已知点P(t ，3）为锐角ϕ终边上的一点，且cos 2t ϕ=，若函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象与直线y=2相邻的两交点之间的距离为π，则函数()f x 的一条对称轴方程为(A ）12x π= (B ）6x π= （C ）3x π= (D ）2x π=（8）在△ABC 中，||||AB CA CB =+，||4,||3CA CB ==,2BP PA =,则CP AB 的值为 （A)233（B ）72- （C ）－233(D ）－8（9）已知各项为正的数列{}na 的前n 项的乘积为nT ,点（2,15)nT nn -在函数12log y x =的图象上，则数列{}2log na 的前10项和为 (A ）－140 （B ）100 （C ）124 （D ）156（10）执行如右图所示的程序框图,输出的结果为1538，则判断框内可填入的条件为(A)n ＞6？ （B)n ＞7? （C)n ＞8? （D ）n ＞9？ (11）设抛物线E ：22(0)ypx p =>的焦点为F,点M 为抛物线E 上一点,|MF ｜的最小值为3，若点P 为抛物线E 上任意一点，A(4，1），则｜PA ｜＋｜PF ｜的最小值为（A ）4＋32(B)7 (C ）4＋23（D ）10(12) 如图，某时刻P 与坐标原点重合，将边长为2的等边三角形PAB 沿x 轴正方向滚动，设顶点P （x,y ）的轨迹方程是y ＝f(x ），若对于任意的t ∈［1,2］,函数()g x =32(4)[(4)]2f mxx f x +-++在区间（t ，3）上都不是单调函数，则m 的取值范围为(A) （－373，－5） (B) (－9，－5） (C ） （－373,－9） （D ）（－∞，－373）第II 卷二、填空题（共20分)（13）如图,等腰直角三角形ABC ，｜AB 2L ,三角形ABC绕直线L 旋转一周,得到的几何体的体积为（14)已知函数1,10()10lg(2),10x x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，若2(8)(2)f m f m -<，则实数m 的取值范围是（15）已知实数x ，y满足4230y x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+-≥⎩，则12x z y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的取值范围为(16)已知各项为正的等比数列{}na 的前n 项和为nS ，430S =,过点P（2,logn n a ）和Q （212,logn n a ++）(*n N ∈)的直线的斜率为1，设2122212log log log n nn na ba a ++=，则数列{}nb 的前n 项和为nT ＝三、解答题（17）（本小题满分12分)已知△ABC 中,角A ，B,C 所对的分别为,,a b c ，设3(,),(cos ,)2m a n C c ==，且m n b =。
广东省东莞市东莞中学2016届高三第一次月考数学(理)试题Word版含答案
绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2015-2016第一学期教学质量自查高三理科数学一、选择题（本题共12题，每题5分，满分60分）1．已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-≤<，则A B =（ ） A. {0} B. {0,1} C. {1,0}- D. {1,0,1}-2、若复数=+=z i iiz 为虚数单位），则(1（ ） A 、1-i B 、1+i C 、-1-i D 、i 3、计算：=-+)8sin 8)(cos 8sin 8(cos ππππ（ ）A 、22 B 、22- C 、23 D 、23- 4、运行如图的程序框图，则输出s 的结果是( ) A. 16 B.2524 C.34 D.11125、某校开设A 类选修课2门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门。
若要求两类课程至少选一门，则不同选法共有（ ）种 A 、3 B 、6 C 、9 D 、186、在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好落在正方形与曲线y =围成的区域内(阴影部分)的概率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．457、已知等比数列}{n a 中，首项,11=a 公比,cos 2θ=q 前100项和0100=S ，则=θ（ ）A 、)(3Z k k ∈±ππ B 、)(32Z k k ∈±ππ C 、)(322Z k k ∈±ππ D 、以上都不对8、在△ABC 中，若,2222c b a =+则C cos 的最小值是（ ）A 、21B 、22-C 、23D 、23-OCxy =AB9、设函数|,|)(a x x x f -=若函数)(x f 在),3[+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A 、]3,(--∞B 、]0,3[-C 、]3,0(D 、]3,(-∞10、给定区域D ：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+0444x y x y x ，令点集上取得在是D y x z y x Z y x y x T +=∈=),(,,|,{(000000}最大值或最小值的点，则T 中的点共确定（ ）条不同的直线A 、3B 、4C 、5D 、611、若点P 为共焦点的椭圆1C 和双曲线2C 的一个交点，1F 、2F 分别是它们的左右焦点。
东莞市高中数学高三备考交流材料
东莞市高中数学高三备考交流材料三角函数与平面向量 东莞高级中学 赵永红【三角函数部分】一、近三年广东省数学卷三角函数部分分析再看全国高考题可以发现：2004年，在15套试题中，除辽宁、上海两个省市没有命制三角函数解答试题外，其他的13道三角函数解答题，均处在解答题的第一个位置，涉及三角形的三角函数题有3题；三角函数知识内部综合的有11道，与学科外的知识（数列、向量）综合的有2道。
2005年，高考的16套试题中，出现三角函数解答试题的有12套，其中涉及三角形的三角函数求值7道，关联三角形的求值的4道，一求三角函数的最值或值域的有2道，与导数结合的有3道。
2006年，高考的18套试题中，出现三角函数解答试题的有18道（江苏没有，但上海有2道，其中一个为三角函数应用题），其中涉及三角形的有6道，求三角函数的最值的8道，和向量结合的4道。
由此可见：三角函数解答题是高考命题的一个常考的基础性题形，其命题的热点是章节内部的三角函数求值、图象的性质问题，命题的冷点是跨章节的学科综合问题。
二、课标解读：新课程标准（讨论搞）： 1.三角函数（1）任意角的概念、弧度制 ① 了解任意角的概念.② 了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化. （2）三角函数① 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. ② 能利用单位圆中的三角函数线推导出±π2α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图像，了解三角函数的周期性.③ 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]的性质（如单调性、最大和最小值与x 轴交点等）.理解正切函数在区间（2,2ππ-）的单调性. ④ 理解同角三角函数的基本关系式：,1cos sin 22=+x x.tan cos sin x xx= ⑤ 了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图像，了解参数,,A ωϕ对函数图像变化的影响.⑥ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题 2.简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 解三角形（1）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.(2) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.新课标强调三角函数是描述周期现象的重要函数模型，重点是三角函数的图象性质（含三角形应用）和应用。
2016届广东省高考数学二轮专题复习推理与证明02
1． 将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为________． 答案 2 013【详细分析】观察数阵，记第n 行的第1个数为a n ，则有 a 2－a 1＝2， a 3－a 2＝4， a 4－a 3＝6， a 5－a 4＝8， ……a n －a n －1＝2(n －1)．将以上各等式两边分别相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋8＋…＋2(n －1)＝n (n －1)， 所以a n ＝n (n －1)＋1，所以a 45＝1 981.又从第3行起数阵每一行的数都构成一个公差为2的等差数列，则第45行从左向右的第17个数为1 981＋16×2＝2 013.2． 在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项，k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)”的结果为________． 答案 14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)【详细分析】类比k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，可得到k (k ＋1)(k ＋2)＝14[k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)]，先逐项裂项，然后累加即得14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)．(推荐时间：60分钟)一、填空题1． 下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是________．答案 a n ＝n (n ＋1)2【详细分析】从图中观察五角星构成规律， n ＝1时，有1个； n ＝2时，有3个； n ＝3时，有6个； n ＝4时，有10个；…所以a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.2． 已知结论：在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG GD＝2.若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM 等于________．答案 3【详细分析】设四面体内部一点O 到四面体各面都相等的距离为d ，则题意知d ＝OM ，设各个面的面积为S ，则由等体积法得：4·13S ·OM ＝13S ·AM,4OM ＝AM ＝AO ＋OM ，从而AOOM ＝31＝3. 3． 已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是________． 答案 (5,7)【详细分析】依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n ＋1，且每组共有n 个整数时，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个整数时，注意到10(10＋1)2<60<11(11＋1)2，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各数对依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)．4． 已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________________________________________________________________________． 答案 正四面体的内切球的半径是其高的14【详细分析】原问题的解法为等面积法， 即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法， V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14.5． 把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)．设a ij (i 、j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8，若a ij ＝2 014，则i ，j 的值的和为________．答案 79【详细分析】观察偶数行的变化规律，2 014是数列：2,4,6,8，…的第1 007项，前31个偶数行的偶数的个数为(2＋62)×312＝32×31＝992，所以2 014是偶数行的第32行第15个数，即三角形数表中的第64行第15个数，所以i ＝64，j ＝15，所以i ＋j ＝79. 6． 有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…，现观察猜想每组内各数之和为a n 与其组的编号数n 的关系为________． 答案 a n ＝n 3【详细分析】由题意知a 1＝1＝13，a 2＝3＋5＝8＝23，a 3＝7＋9＋11＝27＝33，a 4＝13＋15＋17＋19＝64＝43，….因此可归纳出a n ＝n 3.7． 观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________． 答案 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)【详细分析】由已知的三个等式左边的变化规律，得第n 个等式左边为(n ＋1)(n ＋2)…(n＋n )，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n 个等式右边为2n 与n 个奇数之积，即2n ×1×3×…×(2n －1)．8． 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n 个数，且两端的数均为1n ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第3个数(从左往右数)为________．答案1360【详细分析】由上面的规律可知第n 行的第一个数为1n ，第二个数为1n (n －1)，所以第9行的第二个数为18×9，第10行的第一个数为110，第二个数为19×10＝190，设第3个数为x ，即x ＋190＝19×8⇒x ＝1360.9． 对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎨⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为________．答案 8【详细分析】由已知可观察出m 3可分裂为m 个连续奇数，最小的一个为(m －1)m ＋1.当m ＝8 时，最小的数为57，第二个便是59.∴m ＝8. 二、解答题10．已知a >0且a ≠1，f (x )＝1a x＋a. (1)求值：f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)；(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x 都成立的一个等式，并加以证明； (3)若n ∈N *，求和：f (－(n －1))＋f (－(n －2))＋…＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋…＋f (n )． 解 (1)f (0)＋f (1)＝11＋a ＋1a ＋a ＝1a ＝aa， f (－1)＋f (2)＝1a －1＋a ＋1a 2＋a ＝1a ＝aa .(2)由(1)归纳得到对一切实数x ，有f (x )＋f (1－x )＝a a. 证明如下f (x )＋f (1－x )＝1a x ＋a ＋1a 1－x ＋a＝1a x ＋a ＋a xa (a ＋a x ) ＝a ＋a x a (a ＋a x )＝1a ＝a a. (3)设S ＝f (－(n －1))＋f (－(n －2))＋…＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋…＋f (n )， 又S ＝f (n )＋f (n －1)＋…＋f (2)＋f (1)＋f (0)＋…＋f (－(n －1))， 两式相加，得(由(2)的结论) 2S ＝2n ·a a ，∴S ＝n a a.11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解 由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明 由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∵(p ＋r 2)2＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r .与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足2S n ＝a 2n ＋n ，a n >0(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并加以证明；(3)设x >0，y >0，且x ＋y ＝1，证明：a n x ＋1＋a n y ＋1≤2(n ＋2). (1)解 分别令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝a 21＋1，2(a 1＋a 2)＝a 22＋2，2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 23＋3，∵a n >0，∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3. (2)解 猜想：a n ＝n ， 由2S n ＝a 2n ＋n ，① 可知，当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋(n －1)，②①－②，得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n ＝2a n ＋a 2n －1－1. (ⅰ)当n ＝2时，a 22＝2a 2＋12－1，∵a 2>0，∴a 2＝2；(ⅱ)假设当n ＝k (k ≥2)时，a k ＝k . 那么当n ＝k ＋1时，⇒[a k ＋1－(k ＋1)][a k ＋1＋(k －1)]＝0， ∵a k ＋1>0，k ≥2，∴a k ＋1＋(k －1)>0， ∴a k ＋1＝k ＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时也成立， ∴a n ＝n (n ≥2)．显然n ＝1时，也适合． 故对于n ∈N *，均有a n ＝n .(3)证明 要证a n x ＋1＋a n y ＋1≤2(n ＋2). 即证nx ＋1＋ny ＋1≤2(n ＋2)，只要证nx ＋1＋2(nx ＋1)(ny ＋1)＋ny ＋1≤2(n ＋2)， 即n (x ＋y )＋2＋2n 2xy ＋n (x ＋y )＋1≤2(n ＋2)， 将x ＋y ＝1代入，得2n 2xy ＋n ＋1≤n ＋2， 即要证4(n 2xy ＋n ＋1)≤(n ＋2)2，即4xy ≤1. ∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴xy ≤x ＋y 2＝12，即xy ≤14，故4xy ≤1成立，所以原不等式成立．。
2016届高考数学总复习课件：第5章-第2节 等差数列及其前n项和
战 沙 场
切
点
脉 搏
[(2n＋1＋3)－3]＝1，
兵
核
心 突 破
∴数列{bn}是首项为a1＋2 3＝－32＋3＝0，公差为 1 的等差 课
时
数列．
提 升
练
菜单
第十六页，编辑于星期五：二十一点 四分。
高三总复习·数学(理)
提
考向二 等差数列的基本运算
素
养
满
分
研
[典例剖析]
指
动
导
向
考 纲
【例 2】 (2014·浙江高考)已知等差数列{an}的公差 d＞
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
分
研
指
动
导
向
考
纲
考
演
向
实
第二节 等差数列及其前 n 项和
战 沙
场
切
点
脉
兵
搏
核
心
突
破
课
时
提
升
练
菜单
第一页，编辑于星期五：二十一点 四分。
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
分
研
指
动
导
向
考
纲 考
考纲要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项 演
向
实
公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.等差数列的基本量
养
满
分
研
指
动
导
向 考
1．等差数列运算问题的通性通法
纲
考 向
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1 和公差