第一节 n 维向量空间 (1)

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(2) (k l )a ka la ; (3) k (la ) l (ka ) (kl )a , (4) (1)a a , k 0 0, 0a 0.
5. 共线向量、共面向量
方向相同或相反的向量。 共线向量：
记作 // . 共面向量：平行于同一平面的向量. 定理1：
a1 1 a2 2 an n .
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☆零向量可由任意一组向量线性表出
0 01 02 0m (其中0, 1 , 2 ,, m 都是n维 向量)
☆ 向量 组1 ,2 ,,m 中的任意一 个向量 j
( j 1, 2,, m)都可由向量 组本身线性表出
向量及其线性运算 1. 向量的概念 数量：只有大小没有方向的量. 如： 面积、体积、长度等。 向量： 既有大小,又有方向的量称为向量(矢量). 如： 速度、加速度、力等。 向量的表示： 有向线段------ 其长度表示向量的大小， B 其方向表示向量的方向。 终点 记作 AB , 向量也可用小写希腊字母 A 起点 , , 或小写字母 a , b , c 表示。
自由向量在保持大小和方向不变的条件下可以 平行移动。 向量的相等： 模相等且方向相同的两个向量， a b
负向量： 大小相等但方向相反的向量. a
a a
3
2. 向量的加法 (1)平行四边形法则 (三角形法则)
b
c
b
c ab
a
特殊地：若 a‖ b 分为同向和反向 |c || a | | b | b c a b c a | c | | a | | b |
质是一致的. (5) k l k l , (6) k ( ) k k , (7) (kl ) k(l ) l (k ), (8) 1 0 0 (1) k 0 0.
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3. n 维向量空间 Pn ={数域P上的n维向量}，连同定 定义： 义在它上面的向量加法和数量乘法，称为 数域P上的n维向量空间。
b
ab
a
b
ab
b c a (b ) ab
c
6
c a
3. 数与向量的乘积(数乘)
的乘积 a 规定为 a 与 设 是一个数，向量 (1) 0, a 与a 同向，| a | | a | ( 2) 0, a 0 ( 3) 0, a 与a 反向，| a || | | a |
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2.几个特例 ☆ 任意一个n 维向量 (a1 , a2 ,, an ) 都可由n 维基本向量组 1 (1,0,,0) 2 (0,1,,0) n (0,0,,1) 线性表出,且 的分量就是表出系数。
(a1 , a2 ,, an )
a1 (1,0,,0) a2 (0,1,,0) an (0,0,,1)
我们称 31 22 是1 , 2 的一个线性组合； 可以由 1 ,2 线性表出。
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1.定义 在Pn中, 给定向量组 1 , 2 ,, m , , km， 称向量 任给P中一组数 k1，k2， k11 k22 kmm 为向量组 1 ,2 ,,m的 一个线性组合, k1，k2， , km 称为组合系数． n 对于 P , 若存在P中一组数 使得 k1，k2， , km， k11 k22 kmm 成立，则称 是 1 ,2 ,,m的 一个线性组 合或称 可由1 ,2 ,,m 线性表出（示）, k1，k2， , km 为表出系数．
2
j
n
向量组 1 , 2 ,, n 称为矩阵A 的列向量组．
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类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
如
R 为实数域，则Rn 为n 维实向量空间．
R3 为3维实向量空间或3维几何空间。
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二．向量与矩阵的关系 定义： 若干个同维数的列向量（或行向量）所 组成的集合叫做向量组．
例2 设矩阵 A (aij )mn，将A按列分块
1
a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n ( , ,, ) A 1 2 n a a mj a mn m1 a m 2
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2． n 维向量运算 向量的加法
显然,
(a1 , a2 ,, an ) (b1 , b2 ,, bn ) (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn ) (a1 , a2 ,, an ) (b1 , b2 ,, bn ) (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )
j 01 02 0 j 1 j 0 j 1 0m
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观察 3维向量
1 2 3
能否由3维向量组
0 0 1 1 2 0 1 2 线性表出？ 不能！
问题：对于给定的向量组和向量如何判别线 性表出？
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3.线性表出的判别 分析: 设数域P上的n元线性方程组
, a x a x a x b 11 1 12 2 1 n n 1 a11 a12 a1n b1 , a a a x b 21 x1 22 x 2 2 n n 2 a a a b2 21 22 2 n x1 x2 xn am amn m 11 m2 m. x1 a a x 2 a xn bb a m 2 mn m
k 为数 数量乘法 为向量，
k k(a1 , a2 ,, an ) (ka1 , ka2 ,, kan )
向量的加法和数量乘法统称为向量的线性运算．
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向量的线性运算的运算律
(1) , (2) , (3) 0 , 向量的运算性质 (4) ( ) 0 , 和矩阵的运算性
都有 k l 0.
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“” ∵ k , l 不全为 0， 使k + l = 0 l 则 , // . 不妨设 k 0， k
推论1：若 0 则向量 和 共线的充
要条件是存在唯一确定的实数 k 使
k
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推论2：在一条直线上取定一个非零向量 e ，则该 直线上的任一向量 ，可唯一 地表示为 ke ，其中 k 为一个实数。
// 不全为零的数 k和l , 使得 k l 0.
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证明: “” 若 = 0， 则 1 0 0. 若 ≠ 0， 则
| | 0.
| | | | k , l 1; , 令 若 与 同方向,则 | | | |
| | | | k , l 1. , 令 若 与 反方向,则 | | | |
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第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念 二．向量与矩阵的关系 三．向量的线性组合与线性表出
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一． n 维向量空间的概念 一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成 的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序 数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数 组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结 构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为 数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．
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推广， 多个向量的和
1
A
2
3
4பைடு நூலகம்
B
AB 1 2 3 4
5
(3). 向量加法的运算性质
交换律 ab ba (a b ) c a (b c ) 结合律 a 0 0 a a a ( a ) ( a ) a 0 (4). 向量的减法 a b a (b ) b
a
2a
1 a 2
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运算法则 (1) k(a b ) ka kb ;
其中 k, l 为任意两个实数，a , b 为任意两个向量。
向量的单位化： o 设 表示与非零向量 同方向的单位向量, 1 o o 则 , 从而 .
三个向量 , , 共面的充分必要条件为 定理2： 存在不全为零的数 k1 , k2 , k3 , 使得
k1 k2 k3 0
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第四章 n 维向量空间
我们在第二章给出了直接从线性方程 组的系数矩阵和增广矩阵的秩判断方程组 有没有解及有多少解的判别定理。为了研 究方程组有无穷多解时解的结构，我们需 要探讨和建立线性方程组的进一步理论， 为此，引入了向量空间的概念。
ai bi
零向量
(i 1, 2,, n)
所有分量都是零的向量称为零向量，记作 0=(0,0, · · · ,0)． 负向量: n 维向量 (a1 , a2 ,, an )
的各分量的相反数所构成的向量称为 的负向量，记作 (a1 , a2 ,, an ) .
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向量的模： 向量的大小称为向量的模。 记为 AB , 或 a . 零向量： 模等于0的向量为零向量， 方向任意，记作 0或0. 注：任何向量的模非负 非零向量的模一定是正数。