向量形式的基本不等式
三角不等式向量形式
三角不等式向量形式
摘要：
1.三角不等式的定义
2.向量形式的三角不等式
3.三角不等式的应用
正文：
1.三角不等式的定义
三角不等式是一种在三角形中比较边长与角度之间关系的数学公式。
在任意一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，这就是三角不等式的基本定义。
用数学符号表示，就是：
c < a + b
a + c > b
b + a > c
其中，a、b、c 分别表示三角形的三边，满足这三条不等式，才能构成一个合法的三角形。
2.向量形式的三角不等式
在平面向量中，可以将三角不等式用向量的形式表示。
假设向量a 和向量b 分别表示三角形的两边，向量c 表示三角形的第三边，那么三角不等式可以表示为：
|c| < |a| + |b|
|a| + |c| > |b|
|b| + |c| > |a|
其中，|c|、|a| 和|b| 分别表示向量c、向量a 和向量b 的模长。
满足这三条不等式，才能构成一个合法的三角形。
3.三角不等式的应用
三角不等式在实际生活中的应用非常广泛，例如在计算机图形学中，用于判断三条线段能否构成一个三角形；在物理学中，用于研究三角形结构的稳定性等。
此外，三角不等式还是许多其他数学公式的基础，如余弦定理、正弦定理等。
综上所述，三角不等式是一种基本的几何关系，它在向量形式下可以得到更直观的表达。
基本不等式知识点和基本题型
基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2ab$，其中$a^2+b^2$为定值。
2、基本不等式一般形式（均值不等式）若$a,b\in R$，则$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
3、基本不等式的两个重要变形若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2\sqrt{ab}$，其中$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当$a=b$时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5、常用结论若$x>1$，则$\frac{x+1}{2}>\sqrt{x}$（当且仅当$x=1$时取“=”）。
若$x<1$，则$\frac{x+1}{2}<-\frac{1}{x}$（当且仅当$x=-1$时取“=”）。
若$ab>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）。
若$a,b\in R$，则$a^2+b^2\geq 2ab$，$\frac{a+b}{2}\geq \frac{2ab}{a+b}$，$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{a^2+b^2}$。
6、柯西不等式若$a,b\in R$，则$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$。
题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设$a,b$均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{a^2+b^2}{2}$。
2、已知$a,b,c$为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$。
3、已知$a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+\frac{9}{4}\geq 2(ab+bc+ca)$。
基本不等式常用公式
基本不等式常用公式
基本不等式是初中数学的基础，可以表示为：对于任意实数a，b，有(a+b)/2≥√(ab)，且等号仅在a=b 时取得。
除了基本不等式，其他一些常用的不等式公式包括：
1. 柯西-施瓦茨不等式：对于任何两个向量 a 和b，有|a·b|≤|a|·|b|，且等号仅在a 和b 共线时取得。
2. 三角不等式：对于任何两个实数a 和b，有|a+b|≤|a|+|b|，且等号仅在a 和b 同号时取得。
3. 约旦不等式：对于任何两个实数a 和b，有|a-b|≥|a|-|b|，且等号仅在a 和b 同号时取得。
4. 均值不等式：对于任何一组非负实数a1、a2、...、an，有(a1+a2+...+an)/n≥√(a1a2...an)，且等号仅在a1=a2=...=an 时取得。
这些不等式公式广泛应用于数学、物理等领域，可帮助我们解决各种问题。
人教版高二数学上向量的三角形不等式归纳
人教版高二数学上向量的三角形不等式归纳向量在高中数学教学中具有较强的实用性，下面是店铺给大家带来的人教版高二数学上向量的三角形不等式归纳，希望对你有帮助。
高二数学向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 当且仅当a、b反向时，左边取等号;② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号;② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。
高中数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。
记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
(2)建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。
争取做到：找错、析错、改错、防错。
达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。
(3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
(4)经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。
(5)阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。
(6)及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。
(7)学会从多角度、多层次地进行总结归类。
如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。
(8)经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。
三角不等式向量形式
三角不等式向量形式摘要：一、三角不等式的基本概念1.三角不等式的定义2.三角不等式的几何意义二、向量形式的三角不等式1.向量形式的定义2.向量形式的几何意义三、三角不等式在向量中的应用1.向量加法2.向量数乘3.向量模长的比较四、结论1.三角不等式向量形式的重要性2.三角不等式向量形式在实际问题中的应用正文：一、三角不等式的基本概念三角不等式，又称为三角形不等式，是指对于任意实数a、b，都有a + b > |a - b|。
这个不等式在数学中有着广泛的应用，特别是在几何和向量分析中。
从几何角度理解，三角不等式表示的是在平面上任取两点，连接这两点的线段长度总是大于或等于这两点间的距离。
这个不等式揭示了距离与角度之间的关系，是理解向量概念的重要工具。
二、向量形式的三角不等式向量形式的三角不等式是指对于任意两个向量a 和b，都有|a + b| <= |a| + |b|。
这里，|a|和|b|分别表示向量a 和向量b 的模长。
从几何角度理解，向量形式的三角不等式表示的是在平面上任取两个向量，这两个向量首尾相接所构成的三角形的周长总是小于或等于这两个向量的模长之和。
三、三角不等式在向量中的应用三角不等式在向量分析中有广泛的应用，以下是一些具体的例子：1.向量加法：在向量加法中，三角不等式可以用来证明向量的三角形法则，即对于任意两个向量a 和b，都有|a + b| <= |a| + |b|。
2.向量数乘：在向量数乘中，三角不等式可以用来证明向量的数乘公式，即对于任意向量a 和标量c，都有|c * a| = |c| * |a|。
3.向量模长的比较：在比较两个向量的模长时，三角不等式可以用来证明对于任意两个向量a 和b，都有|a| <= |a + b| <= |a| + |b|。
四、结论总的来说，三角不等式向量形式是理解向量和几何关系的重要工具。
它在向量加法、向量数乘、向量模长的比较等问题中都有重要的应用。
向量与不等式
向量与不等式一，平面向量（1）线性运算：向量相加连首尾，同起点向量相减后指前（2）数形结合①基本定理：三点共线时两侧向量比例和为1，比例与对边相同（三点不共线时按原比例放缩，基底不为两侧时用基本定理后移项）②四心判断：重心为中线，垂心为高，外心为中垂线，内心为角分线（判断四心时按等腰直角三角形建模）③四边形对角线：共起点向量加减为四边形两条对角线（对角线相等为矩形，对角线垂直为菱形）④直径圆：（-）（-）=0，若a，b，c起点相同，则c在a，b终点为直径的圆上（锐角圆外，钝角圆内）（3）代数运算①模长计数：单模，复合膜，夹角三者，知二求一（复合膜乘积=展开后单模与单模数量积=复合膜长乘复合膜夹角）②共起点数量积：=|AM|2-|BM|2（M为BC中点）③坐标运算：坐标后减前，平行比例等，数量积相乘再相加二，不等式（1）不等式解法①二次不等式与绝对值不等式：大于取两边，小于取中间②分式不等式：移项通分，除变乘③指对不等式：转化同形式（取对数），利用单调性，构造新不等式④高次不等式：单调增右上，单调减右下，寄穿偶不穿（2）线性规划①区域画法：找两坐标轴截距，代入原点检验②截距式：求三交点，代入求最值，另一不等式检验区域③斜率式（反斜率式）：目标点为（-a，-b）④距离式：不含根号即为距离平方（3）均值不等式①最值公式：a+b≥2ab，a2+b2≥2ab，ab≤（a+b）2/4②单变量最值：通过配凑使变量消去③乘积与和混用：求谁留谁④整分混用：通过常数代换，整体相乘并消参⑤二次方程法：目标最值设为k，转化为二次函数求最值⑥轮换对称法：多变量完全等价，则变量相等时取最值。
基本不等式的向量形式
基本不等式的向量形式[思维扩展]波利亚有句名言：“类比是伟大的引路人”．这句话言简意赅地阐明了类比在数学发现中的地位．我们知道，a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)以及a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)是两个应用广泛的基本不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？由(a －b )2＝|a －b |2≥0不难得到a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．但将a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)简单地类比为a ＋b2≥a ·b 就不行了，由于该不等式左边为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果．注意到a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ＋)，而不等式⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥a ·b 左右两边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a ＋b )2＝(a －b )2＋4a ·b ＝|a －b |2＋4a ·b ≥4a ·b可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．这样，我们就得到如下两个结论：定理1 设a ，b 是两个向量，则a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．定理2 设a ，b 是两个向量，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥a ·b ，当且仅当a ＝b时等号成立．例1 若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 答案 －98解析 方法一 由定理1得 32≥|2a －b |2＝(2a －b )2 ＝(－2a )2＋b 2－4a ·b≥2·(－2a ·b )－4a ·b ＝－8a ·b ，所以a ·b ≥－98，当且仅当b ＝－2a 时等号成立，故a ·b 的最小值是－98.方法二 由定理2得2a ·(－b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －b 22＝|2a －b |24≤94， 则a ·b ≥－98，当且仅当b ＝－2a 时等号成立．故a ·b 的最小值是－98.说明 本题可推广至一般形式：若平面向量a ，b 满足：|λa ＋b |≤m (m >0)，则当λ>0时，a ·b 的最大值为m 24λ；当λ<0时，a ·b 的最小值为m 24λ.例2 已知a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，则|b |的最小值为________．分析 此题有一定难度．普通学生难以想到．事实上，利用定理1此题极易作答，过程如下．答案 12解析 引入正参数λ，由(a ＋b )·(a －2b )＝0得a 2－a ·b －2b 2＝0，又|a |＝1，则1－2b 2＝a ·b ，1－2b 2＝a ·b ≤12⎝⎛⎭⎪⎫λa 2＋1λb 2＝12(λ＋1λb 2)， 当且仅当λa 2＝1λb 2，即b 2＝λ2时等号成立．所以1－2λ2＝a ·b ≤12⎝⎛⎭⎪⎫λa 2＋1λb 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ·λ2，解得λ＝|b |≥12，故|b |的最小值为12.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，求|c |的最大值． 解 由(a －c )·(b －c )＝0得c 2＝c ·(a ＋b )， 由定理1及已知条件得 c 2＝c ·(a ＋b )≤12[c 2＋(a ＋b )2]＝12(c 2＋a 2＋b 2)＝12(c 2＋2)， 解得|c |2≤2，故|c|的最大值是 2.拓展1 已知a ，b 是平面内夹角为θ的两个单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是1cosθ2.拓展2 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的向量，且|a |＝m ，|b |＝n ，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是m 2＋n 2. 例4 平面上三点A ，B ，C 满足AB →·BC →>0，求AC →2＋1AB →·BC→的最小值．解 由定理2得0<AB →·BC →≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋BC →22＝14AC →2， 则 AC →2＋1AB →·BC →≥AC →2＋4AC →2＝|AC →|2＋4|AC →|2≥2·|AC →|·2|AC →|＝4，故当且仅当AB →＝BC →，且|AC →|＝2时，AC →2＋1AB →·BC →取得最小值4.例5 设a ，b 满足a 2＋a ·b ＋b 2＝3，求a 2－a ·b ＋b 2的取值范围． 解 由定理1得a ·b ≤a 2＋b 22，所以a ·b ≤3－a ·b2，解得a ·b ≤1.又由定理1得(－a )·b ≤－a 2＋b 22，所以a ·b ≥－a 2＋b 22＝－3－a ·b 2，解得a ·b ≥－3.所以－3≤a ·b ≤1.因为a2－a·b＋b2＝(3－a·b)－a·b＝3－2a·b，所以1≤a2－a·b ＋b2≤9.以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理1、定理2的魅力，它们微小平凡，对破解难题却极其有效．不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价值的则是获得它们的思维过程．类比是打开发现之门的金钥匙，但如何用好这把钥匙却值得我们长久的思考．。
一些重要不等式
一些重要不等式标题一：柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）柯西不等式是数学中的一条重要不等式，它是线性代数中的基本定理之一。
柯西不等式描述了两个向量内积的上界，它的形式如下：对于任意两个向量x和y，它们的内积满足以下不等式：|x·y| ≤ ||x|| ||y||其中，x·y表示向量x和y的内积，||x||和||y||分别表示向量x和y 的模。
柯西不等式的几何意义是：两个向量的内积的绝对值小于等于两个向量的模的乘积。
换句话说，两个向量的夹角的余弦值的绝对值不大于1。
柯西不等式的应用非常广泛。
在实际问题中，我们经常会遇到需要估计两个向量之间的关系的情况。
通过柯西不等式，我们可以得到两个向量的内积的上界，从而对它们之间的关系进行合理的估计。
例如，在信号处理领域，柯西不等式被广泛应用于衡量信号的相似度。
通过计算信号之间的内积，我们可以估计信号之间的相似程度。
在机器学习中，柯西不等式可以用来证明支持向量机（Support Vector Machine）算法的有效性，从而提高分类准确率。
除了在向量空间中的应用，柯西不等式在概率论中也有重要的应用。
在概率论中，我们经常需要计算两个随机变量之间的相关性。
通过柯西不等式，我们可以得到两个随机变量之间相关系数的上界，从而对它们之间的相关性进行合理的估计。
柯西不等式作为一条重要的数学定理，具有广泛的应用价值。
它不仅在线性代数、信号处理和机器学习等领域发挥着重要作用，还在概率论中用于相关性分析。
通过柯西不等式，我们可以对向量和随机变量之间的关系进行合理的估计，从而提高问题的解决效率。
基本不等式(很全面)
基本不等式(很全面)基本不等式基本不等式原始形式：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/(a^2+b^2)。
基本不等式一般形式（均值不等式）：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/2.基本不等式的两个重要变形：1）对于任意实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
2）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
常用结论：1）对于任意正实数x，有x+1/x≥2（当且仅当x=1时取“=”）。
2）对于任意负实数x，有x+1/x≤-2（当且仅当x=-1时取“=”）。
3）对于任意正实数a和b，有(a/b+b/a)≥2（当且仅当a=b 时取“=”）。
4）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/4.5）对于任意实数a和b，有1/(a+b)≤1/2√(ab)≤(1/a+1/b)/(a+b/2)。
特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”。
柯西不等式：1）对于任意实数a、b、c和d，有(a+b)(c+d)≥(ac+bd)^2.2）对于任意实数a1、a2、a3、b1、b2和b3，有(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3)^2.3）对于任意实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，有(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+an bn)^2.题型归纳：题型一：利用基本不等式证明不等式。
题目1：设a、b均为正数，证明不等式ab≥2/(1/a+1/b)。
题目2：已知a、b、c为两两不相等的实数，求证：a/(b-c)^2+b/(c-a)^2+c/(a-b)^2≥2/(a-b+b-c+c-a)。
题目3：已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+9abc≥2(ab+bc+ca)。
题目4：已知a、b、c为正实数，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c。
基本不等式概念
基本不等式概念1. 概念定义在数学中，不等式是一种数学陈述，它描述了两个表达式之间的大小关系。
基本不等式是指最基本的不等式形式，它通常用于解决各种数学问题和证明中。
基本不等式可以分为线性不等式和二次不等式两种形式。
1.1 线性不等式线性不等式是指一个或多个线性表达式之间的大小关系，其中线性表达式是指仅包含常数和一次项（一次方程）的表达式。
线性不等式的一般形式为：ax+b>0其中a和b是常数，x是变量。
在线性不等式中，我们通常关心的是变量x的取值范围，使得不等式成立。
1.2 二次不等式二次不等式是指一个或多个二次表达式之间的大小关系，其中二次表达式是指包含常数、一次项和二次项（二次方程）的表达式。
二次不等式的一般形式为：ax2+bx+c>0其中a、b和c是常数，x是变量。
在二次不等式中，我们通常关心的是变量x的取值范围，使得不等式成立。
2. 重要性基本不等式在数学中具有重要的地位和作用，它们在解决各种数学问题和证明中起到了关键的作用。
以下是基本不等式的重要性：2.1 解决数学问题基本不等式是解决各种数学问题的基础。
通过研究不等式的性质和解法，我们可以解决线性方程组、二次方程、函数极值、曲线图像、集合运算等各种数学问题。
基本不等式的解法可以应用于实际问题中，如经济学、物理学、工程学等领域。
2.2 证明数学定理基本不等式在证明数学定理中起到了重要的作用。
通过运用不等式的性质和解法，我们可以证明数学定理的正确性。
例如，通过证明柯西-施瓦茨不等式或柯西不等式，我们可以证明向量空间中的内积空间的性质和定理。
2.3 拓展数学知识基本不等式的研究和应用可以拓展数学知识，深化对数学概念和原理的理解。
通过学习不等式的性质和解法，我们可以进一步理解代数、几何、数论、概率等数学领域的知识。
不等式的研究也推动了数学的发展和创新。
3. 应用基本不等式的应用非常广泛，涉及到数学的各个领域和实际问题。
以下是基本不等式的一些常见应用：3.1 函数极值基本不等式可以用于求解函数的最大值和最小值。
柯西不等式6个基本公式和例题
柯西不等式6个基本公式和例题柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，主要用于研究向量空间中的内积和范数。
在不等式的形式上，柯西不等式可以表示为：\[ \left| \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right|^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \]其中 \(a_i\) 和 \(b_i\) 分别为向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 的分量。
下面是柯西不等式的六个基本公式和相应的例题：1. \textbf{基本公式1：} 如果 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 是向量空间中的任意两个向量，那么柯西不等式可以表示为：\[ \left| \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \right|^2 \leq \left\| \mathbf{a} \right\|^2 \cdot\left\| \mathbf{b} \right\|^2 \]其中 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) 表示 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 的内积，\(\left\| \mathbf{a} \right\|\) 表示 \(\mathbf{a}\) 的范数。
\textbf{例题1：} 给定向量 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)和 \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)，求 \(\left| \mathbf{a} \cdot\mathbf{b} \right|^2\) 和 \(\left\| \mathbf{a} \right\|^2 \cdot \left\| \mathbf{b} \right\|^2\)。
向量形式的基本不等式
也可以由实数型的基本不等式得到：ａ２＋ｂ２＝
｜ａ｜２＋｜ｂ｜２≥２｜ａ｜｜ｂ｜≥２ａ·ｂ． 我们权且称不 等 式 （＊）为 向 量 基 本 不 等 式，
类比基本不等式的变式可得向量基本不等式的几
种变式：
（１）２（ａ２＋ｂ２）≥（ａ＋ｂ）２ （２）ａ２＋ｂ２≥－２ａ·ｂ （３）（ａ＋ｂ）２≥４ａｂ （４）（ａ－ｂ）２≥－４ａｂ
Ｓｍｉｎ 表示Ｓ 所有可能取值中的最小值．则下列命题
正确的是
（写出所有正确命题的编号）．
①Ｓ 有５个不同的值；
②若ａ ⊥ｂ，则Ｓｍｉｎ与｜ａ｜无关； ③若ａ∥ｂ，则Ｓｍｉｎ与｜ｂ｜无关； ④若｜ｂ｜＞４｜ａ｜，则Ｓｍｉｎ＞０； ⑤若｜ｂ｜＝２｜ａ｜，Ｓｍｉｎ＝８｜ａ｜２，则ａ 与ｂ 的夹角
为π４ ．
趣的是，将 基 本 不 等 式 中 的 实 数ａ、ｂ 类 比 为 向 量
ａ、ｂ，也 有 向 量 形 式 下 的 基 本 不 等 式 成 立 ：ａ２ ＋ｂ２ ≥
２ａ·ｂ
（＊）
事实上，由（ａ－ｂ）２＝｜ａ－ｂ｜２≥０，展 开 得ａ２
－２ａｂ＋ｂ２≥０，移 项 得ａ２＋ｂ２≥２ａ·ｂ，等 号 成 立 当
且仅当向 量ａ 与ｂ 相 等 ．
＞ａ２＋ｂ２＋２ａ·ｂ＞４ａ·ｂ．所以Ｓｍｉｎ ＝４ａ·ｂ． 记向 量ａ 与ｂ 的夹 角 为θ，
所以４｜ａ｜｜２ａ｜ｃｏｓθ＝４｜ａ｜２，从而
ｃｏｓθ＝
１２ ，得θ ＝
π ．故选 ３
Ｂ．
例２ （２０１４高考数学安徽卷理科第１５题）已 知两个不 相 等 的 非 零 向 量ａ，ｂ，两 组 向 量 ｘ１，ｘ２， ｘ３，ｘ４，ｘ５和ｙ１，ｙ２，ｙ３，ｙ４，ｙ５均由２个ａ 和３个ｂ排 列 而 成．记 Ｓ＝ｘ１ｙ１ ＋ｘ２ｙ２ ＋ｘ３ｙ３ ＋ｘ４ｙ４ ＋ｘ５ｙ５，
高三复习-高中4个基本不等式的公式
高三复习-高中4个基本不等式的公式高中数学复习是每位学生都要面对的一项重要任务，掌握基本不等式的公式尤为关键。
本文将介绍高中数学中常用的四个基本不等式的公式，帮助学生更好地理解和记忆这些重要知识点。
一、算数平均-几何平均不等式算数平均-几何平均不等式是高中数学中最基本也是最常用的不等式之一。
它的表达形式如下：对于任意的正实数a1，a2，...，an，有如下不等式成立：（a1 + a2 + ... + an）/ n ≥ (√(a1×a2×...×an))这个不等式告诉我们，一组正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数。
它常用于求证一个正数与它的倒数的最小值，或者用于推导其他不等式。
二、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是高中数学中的另一个重要不等式，它用于说明两个向量之间的关系。
柯西-施瓦茨不等式的表达形式如下：对于任意的实数a1，a2，...，an和b1，b2，...，bn，有如下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn) ≤ √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) × √(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)这个不等式表明，两个向量的内积不会超过两个向量的模的乘积，并且取等号的条件是两个向量成比例。
柯西-施瓦茨不等式在高中数学的证明中经常使用。
三、均值不等式均值不等式是高中数学中的另一个重要不等式概念，它包括算术平均数与几何平均数之间的关系，以及算术平均数与谐波平均数之间的关系。
1. 算术平均数与几何平均数不等式：对于任意的正实数a1，a2，...，an，有如下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1×a2×...×an)这个不等式告诉我们，一组正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数。
2. 算术平均数与谐波平均数不等式：对于任意的正实数a1，a2，...，an，有如下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ n / (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)这个不等式告诉我们，一组正数的算术平均数大于等于它们的谐波平均数。
四种基本不等式公式
四种基本不等式公式在咱们数学的世界里，不等式可是个相当重要的角色。
今天就来跟大家好好唠唠四种基本不等式公式。
咱们先来说说均值不等式。
这就好比分苹果，假如你有一堆苹果要分给几个小伙伴，怎么分才能尽量公平呢？均值不等式就告诉了我们这个道理。
比如说，有两个正数 a 和 b，它们的算术平均数大于等于它们的几何平均数，也就是(a + b) / 2 ≥ √(ab) 。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这有啥用啊？”我就跟他们说：“假设你们要一起凑钱买零食，有的同学带得多，有的同学带得少，怎么算出平均每个人至少要出多少钱，才能买到大家都满意的零食，这时候均值不等式就派上用场啦！”接下来是柯西不等式。
这个家伙有点复杂，但是理解了之后会发现它特别厉害。
它的形式就像是一个神秘的密码，(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²。
想象一下，有两个向量，它们的长度和它们夹角的余弦值之间有着这样神奇的关系。
有一次在课堂上，为了让学生们更直观地理解柯西不等式，我让他们分成小组，模拟两个向量的运算。
看着他们热火朝天地讨论和计算，我心里特别欣慰。
再说说排序不等式。
这个就像是给一群调皮的数字排排队。
假如有两组数 a₁, a₂,..., an 和 b₁, b₂,..., bn ，按照一定的顺序相乘再相加，会得到不同的结果。
排序不等式告诉我们，顺序和大于等于乱序和大于等于逆序和。
我想起之前有个学生，在做作业的时候总是弄混排序不等式的顺序，我就给他举了个例子：“假如你有不同大小的积木，按照从大到小的顺序搭起来会比随便乱放搭得更高，这就是排序的道理。
”最后是权方和不等式。
它看起来有点陌生，但其实也不难。
它的形式就像是一个巧妙的平衡游戏。
在学习这些不等式公式的过程中，同学们可能会觉得头疼，觉得这些公式枯燥又难记。
但其实啊，只要多做几道题，多在生活中找找例子，就会发现它们就像我们的好朋友，能帮我们解决好多问题呢！比如说，在规划一次班级活动的预算时，我们可以用这些不等式来计算怎么分配资金才能达到最优效果；在比较不同同学的成绩进步情况时，也能用到它们。
基本不等式求最小值公式
基本不等式是一个用于求最小值的常用工具。
对于任意实数a 和b，有以下两个基本不等式：
1. AM-GM 不等式（算术平均数-几何平均数不等式）：
对于非负实数a 和b，有：
(a + b) / 2 ≥ √(ab)
当且仅当a = b 时取等号。
该不等式表明，两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
它可以用来求相应的最小值。
2. Cauchy-Schwarz 不等式：
对于任意实数a1, a2, ..., an 和b1, b2, ..., bn，有：
(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)
该不等式表明，向量的内积的绝对值不大于相应的向量的模的乘积之积。
它可以用来求向量的最优解、最小二乘法等等。
这两个基本不等式可以在数学推导和问题求解中发挥重要的作用，帮助确定最小值。
但需要注意的是，并不是所有问题都可以通过这两个基本不等式直接得到最小值，具体的求解方法还需要根据具体问题和不等式的条件来确定。
向量绝对值不等式-概述说明以及解释
向量绝对值不等式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在引言部分，我们将介绍向量绝对值不等式的概念和相关性质。
向量绝对值不等式在数学中是一个重要的不等式类型，它在解决许多实际问题和数学证明中起着重要的作用。
向量绝对值是指一个向量中的元素的绝对值的总和。
对于一个n维向量v=(v1,v2,...,vn)，其绝对值记作v ，定义为：v = v1 + v2 + ... + vn在本文中，我们将研究向量绝对值的性质及其应用。
首先，我们将介绍向量绝对值的定义，并探讨其在向量运算中的基本性质。
然后，我们将重点研究向量绝对值不等式，包括它的证明方法和应用场景。
通过研究向量绝对值不等式，我们可以解决一些数学问题，例如优化问题、约束条件问题等。
此外，在物理学、经济学、计算机科学等领域中，向量绝对值不等式也有广泛的应用。
本文旨在通过介绍向量绝对值不等式的概念和性质，让读者对该不等式有一个清晰的理解。
通过学习和应用向量绝对值不等式，读者可以提升数学建模和问题求解的能力，同时为自己的学术研究和职业发展打下坚实的基础。
接下来的章节将详细介绍向量绝对值的定义与性质，以及向量绝对值不等式的证明方法和应用。
最后，我们将对本文进行总结，并展望向量绝对值不等式在未来的研究和应用方向。
希望本文能够对读者理解和掌握向量绝对值不等式有所帮助，并为相关领域的研究和实践提供一定的指导和启示。
文章结构部分的内容应该包括对整个文章的结构安排进行说明，以便读者了解整篇文章的内容框架和逻辑顺序。
在文章结构部分，可以简要介绍各个章节的主题和内容，让读者对文章的组织和大致内容有所了解。
下面是对文章1.2 文章结构部分内容的一个可能的描述：「文章结构」部分将会对整篇文章的组成进行介绍。
本文分为引言、正文和结论三个部分。
其中引言部分将概述本文的研究背景和目的，并简要介绍全文的结构。
正文部分将分为两个小节，分别讨论向量绝对值的定义与性质，以及向量绝对值不等式的证明与应用。
向量不等式
向量不等式
1、概念总结：
零向量 | a | 0 0 || a L (a)
规定；方向任意，模长为0
单位向量： | a |1
平行向量：共线向量
相等向量：大小相等，方向相同。a b
公式总结：
AB ( xB xA，yB yA )
AB ( xB xA )2 ( yB yA )2
三角形法则计算向量：
A
加法：AB BC AC
减法：AB AC CB
B
a b ( x1 x2 ， y1 y2 )
C
a b x1 x2 y1 y2
a || b a b x1y2 x2 y1 0
(2)经常用到的公式 ab cos ab | a | | b |
应用 a2 | a |2
例如：平方法：| a 2b |2 (a 2b)2
不等式
• 基本题型 • 1、解不等式 • 2、线性规划 • 3、均值不等式
不等式——线性规划
• 概念总结： • 约束条件； • 目标函数； • 可行域（可行解，最优解）
a b ab 0 x1 x2 y1y2 0
三讨点论共1线2 ：范A围B 与1线BC段的2关AC系 A
B
C
向量夹角公式： cos a b a b
Remark
|a||b|
(1)夹角范围[0，]
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
44
求 f (x) OP,OQ 的表达式及最值。
（5）修墙问题。
解不等式
题型：
向量不等式知识点
1.零向量：长度为0的向量.T单位向量 怎|=1,，0 =各|a|3. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的 非零向量.零向量与任一向量平行.4. 相等向量：长度相等且 方向相同的向量.5. 向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连.⑵平行四边形法则的特点：共起点.彳 呻 耳 彳 *③ a 0 = 0 a a .6、 向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.7、 向量数乘运算：⑴实数■与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作■ a .① 谒t 引a ；② 当/ >0时，‘a 的方向与a 的方向相同；当...:,0时，的方向与a 的方向相反；当彊-0时，乜=0 .⑵运算律：①’嗚「：② i 「亠' ;③’. 8、向量共线定理：向量a a=0与b 共线，当且仅当有唯一一个实数■，使b 二，a .设a =, b = X 2，y ?，其中b = 0，则当且仅当x 』2 -x ?% =0时，向量a 、b b = 0共线.9、平面向量基本定理：如果 e 、e ?是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任意向量a ，有且只有一对实数 、、■ 2，使a - [0 • '2q .（不共线的向量q 、e?作 为这一平面内所有向量的一组基底）10、分点坐标公式：设点？是线段?^2上的一点，1的坐标分别是 , x 2,y 2 , 向量和不等式2.单位向量：长度等于1个单位的向量. ⑷运算性质：①交换律: ;②结合律: a b c =a■ b c ；⑶三角形不等式:11、平面向量的数量积：⑴ a b=：aibcos 日(2工0；工0,0鼻日 <180 )•零向量与任一向量的数量积为 0 .⑵性质：设a 和b 都是非零向量，贝y ①a_b= a b =0 .②当a 与b 同向时,当 a 与 b 反向时，a b =扁|b ； a a=a? =|扌2或 a = ja a .③ a b waib • ⑶运算律：① a b =b a •，②-a b = • a b ；③ a b C=aCbC . 12. 平面向量的坐标运算 (1)设 a =(X 1, yj ,b = (X 2, y ?)，则 a +b=(x x ?, % y ?).⑵设 a =(x 1, yj ,b = (x 2, y ?)，则 a -b=(人-x ?, % - y ?).⑶设人任孑),B (x ?, y ?),则 AB =(x ? -N’y ? - %) •⑷设 a =(x, y), R ，则■ a=( ■ x, ■ y) •T +T 中 (5)设两个非零向量 a h]%,% , b h[x ?,y ?，贝U.(7)设a 、b 都是非零向量，a=为，％ , b = x ?, y ?，二是a 与b 的夹角，则(8)向量的平行与垂直、八T * T 呻设 a hg , % , b h[x ?, y ?，则 a — b = %x ? %y ? =0.设 a =(X 1, yj , b=(x ?, y ?)，则 a l lb(b =0) = X 1 y ? _x ?% = 0.1.不等式的基本性质① a b= b a :② a b, b c 二 a c :③ a b= a c b c ； ④ a b, c 0= ac bc , a b, c . 0= ac ：： be ； ® a b, c d = a c b d ；⑥ a b 0,c d 0= ac bd :⑦ a b 0= a n b n n ：二 I ,n 1 ；⑧ aAb 〉0n 需= V b ( n ^N , n>1).2、在平面直角坐标系中，已知直线.-.x ：^y C =0，坐标平面内的点 ? X o ,y o . ① 若 m 0, AX ^ ；iyo - C 0 ,则点 P x o ,y o 在直线.-.x ：^y C =^0 的上方.时，点？的坐标是 i'/ + hx? % + K y?] .1 ' ' 1 '当 (6)若 a=(x, y )，则 a -H- COST =住_丫$2_ x ? y 1 x ? y ?②若三.o，厶x o• ：iy o C ：：： o ,则点m x o,y o在直线：iy ^o的下方.3、在平面直角坐标系中，已知直线.--.x ：z^y C ^o .①若三o，则.-^3 y C o表示直线zx • my • C =o上方的区域；_»亠wy • C ：：： o表示直线• my • C =o下方的区域.②若三：：：o，则.-^3 y C o表示直线二鼻.注C二o下方的区域；zx • my • C ：：： o 表示直线.-x By ^o上方的区域.4、线性约束条件：由x , y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x , y的线性约束条件.目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x , y的解析式.线性目标函数：目标函数为x , y的一次解析式.线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.可行解：满足线性约束条件的解x,y .可行域：所有可行解组成的集合.最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解.5.解分式不等式 a | a --o的一般步骤是什么?g（x）' 了先移项通分标准化，则f(x) f(x) c faMa)—。
向量模长不等式
向量模长不等式引言向量是数学中一个重要的概念，广泛应用于多个领域。
向量的模长是指向量的长度或大小，它在向量运算和几何中起到重要的作用。
本文将围绕向量模长不等式展开讨论，探讨向量模长不等式在数学和物理中的应用。
向量模长定义和性质向量的模长（或向量的长度）是向量的起点到终点的距离，用 |v| 表示。
向量的模长可以是非负实数，永远不会是负数。
对于一个向量 v = (x, y, z)，其模长的计算公式如下：|v| = √(x^2 + y^2 + z^2)向量的模长具有以下性质： - 如果一个向量的模长等于零，则该向量为零向量。
- 如果两个向量的模长相等，则这两个向量相等。
- 如果一个向量的模长为 1，则称其为单位向量。
向量模长不等式的证明方法向量模长不等式是指两个向量的模长之间的关系。
在证明向量模长不等式时，一般可以使用以下方法： 1. 代数法：通过对向量进行数学运算，使用代数形式证明不等式的成立。
2. 几何法：通过几何图形的分析，探索向量模长的几何性质，从而得出不等式的成立。
3. 向量法：将不等式转换成向量的形式，通过向量运算和性质的推导，证明不等式的成立。
向量模长不等式的应用向量模长不等式在数学和物理中有广泛的应用。
以下是其中的一些应用场景：1. 空间几何中的应用在空间几何中，向量模长不等式可以用于判断三角形的形状。
根据向量的模长不等式，可以得到以下结论： - 如果一个三角形的某两边之和小于第三边的长度，则该三角形不成立。
- 如果一个三角形的某两边之和等于第三边的长度，则该三角形是一个等腰三角形。
- 如果一个三角形的某两边之和大于第三边的长度，则该三角形是一个锐角三角形。
2. 向量运算中的应用向量模长不等式在向量的加法和减法中有重要的应用。
根据向量的模长不等式，可以得出以下结论： - 两个向量之和的模长不会大于两个向量模长之和。
- 两个向量之差的模长不会小于两个向量模长之差。
3. 物理学中的应用向量模长不等式在物理学中也有广泛的应用。
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一
由向量基本 不等式有 ２ ｎ ＋３ ｂ ＞口 ＋２ ＋２ ａ
６ ＞ ＋４ ａ・ｂ ，
所 以 Ｓ有 ３个不 同的值 ， 结论①是错误 的． 由于 一 ＋４ ａ・ ｂ ， 当 ａ＿ ｌ － ｂ时 ， 。 一
Ｉ ｂ Ｉ 与ｌ ａ ｌ 无关 ， 结 论②正确．
一
⑤若 ｆ ｂ ｌ 一２ Ｉ ａ ｌ ， 一８ ｌ ａ ｌ ， 则ａ 与ｂ 的夹角
为 ．
解
ａ。
、 、
由于数量积 ｘ ｉ ｙ （ 一１ ， ２ ， …， ５ ） 的值 只有
ａ・ ｂ三种情形 ， 考虑 到两组 向量 １ ， Ｘ ２ ， Ｘ ３ ， ， Ｘ ５ 和Ｙ ｌ ， Ｙ ２ ， Ｙ ３ ，
一
记 Ｓ ＝ｘ １ Ｙ １ ＋ｘ ｚ ｙ ２ － ｝ － ｘ ￣ ｙ ３ ＋Ｘ ４ Ｙ ４ ．
（ ４ ａ） ］＞Ｏ ， 结论④正确 ． 若ｌ ｂ ｊ 一２ ｌ ａ ｌ ， ５ 一８ Ｉ ａ ｝ 。 ， 则
ｂ 。 ＋４ ａ・ｂ ＝８ ｌ ａｌ 。 ．
由题意 知 ， 数量积 ｘ ｉ ｙ 的值 只 有 ａ 、 、 ａ・ ｂ ｊ种情形 ， 考虑 到 两组 向量 ｔ ， 娩， 托， Ｘ ４ 和Ｙ ｌ ， Ｙ ｚ ， Ｙ ３ ， Ｙ ４ 共有 ４ 个 ａ和 ４ 个６ ， 所以 Ｓ ＝２ ａ ＋２ 、 ａ 。 ＋ ＋２ ａ・ ｂ 、４ ａ・ ｂ ． 由向量基本 不 等式有 ２ ＋２ ＞口 ＋ ＋２ ａ・ ＞４ 口・ ｂ ． 所以 Ｓ 一４ ａ・ 记 向量 ａ与 ｂ的夹 角为 ，
综 上可得 ， 本题 中正确 的结论是 ② 、 ④． 例３ （ ２ ０ １ ２高考数 学安徽 卷理科 第 １ ４题 ） 若 平 面 向量 ａ ， ｂ 满足 ｌ ２ 口 一易 ｝ ≤３ ， 则 ａ・ ｂ的最小 值
是
．
— —
ｃ ｏ ｓ ０ 一去， 得０ ： ＝ ＝ 詈． 故选 Ｂ
厶 。
所以 ４ ｌ ａ ｌ Ｉ ２ ｎ ｝ ｃ ｏ ｓ ０— ４ Ｉ ａ ｌ 。 ， 从而
１ 一
记 向量 ａ与 ｂ的夹角为 ０ ， 得 ４ ｌ ａ ｌ ＋４ ｌ ａ Ｉ ｌ ２ ｎ ｌ ｃ ｏ 一８ ｆ ａ ｌ 。 ．
所以 ｃ Ｏ 一去， 得０ 一要， 结论⑤错误．
事 实上 ， 由（ 一６ ） 。 一ｌ ａ～ ｂ ≥０ ｌ ， 展 开得 ａ 。 ２ ｏ ． ｂ ＋ｂ ２ ≥Ｏ ， 移项 得 ｎ ２ ＋ ≥ ２ ａ・ ｂ ， 等号 成立 当 且仅 当向量 ａ与 ｂ相等． 也 可 以由实数 型的基本不等式得 到 ： ａ 。 ＋６ 。 一 ｌ ａ ｌ ＋ｌ ｂ ｌ ≥２ ｌ ａ ｌ Ｉ ｂ ｌ ≥２ ａ・ ｂ ． 我们 权且称 不 等式 （ ＊） 为 向量 基 本 不 等式 ，
类 比基本不等式 的变式 可得 向量 基本不 等式 的几 种 变式 ：
（ １ ） ２ （ ａ ＋ ） ≥（ ｎ ＋６ ） 。 （ ２ ） ｎ ＋６ ≥ －２ ａ・ ｂ
Ｙ ， Ｙ ５ 共 有 ４个 ａ和 ６ 个 ｂ ， 且 数量 积 ａ 。 、 ｂ ２ 中 向量 ａ ． ｂ的个 数都 为偶 数 ， 所 以数量 积 ｎ・ ｂ的个数 也 为偶 数 ， 分别是 ０ 个、 ２ 个、 ４ 个．
２ ａ ・ｂ （＊ ）
Ｓ ｎ 表示 Ｓ所有 可能取值 中的最小值． 则下列命题 正确的是 （ 写 出所有正确命题 的编号） ．
— —
① Ｓ有 ５ 个不 同的值 ； ②若 ａ上 ｂ ， 则 与 ｌ ａｌ 无关 ； ③若 ａ ／ ／ ｂ ， 则 与 Ｉ ｂ Ｉ 无关 ； ④若 ｆ ｂ ｌ ＞４ ｌ ａ ｌ ， 则 ＞０ ；
故 Ｓ ＝２ ａ 。 ＋３ ｂ ｚ 、 ａ 。 ＋２ ｂ ＋２ ａ・ ｂ ． ｂ 。 ＋４ ａ・ ｂ
（ ３ ） （ ｎ ＋西 ） 。 ≥４ 曲
（ ４ ） （ ｎ 一６ ） ≥一４ 曲
・
这样 我们拓 展 了基本 不 等 式 的应 用 范 围 ， 使 得基本 不等 式 的运 用 变得 更 加 丰 富多 彩． 兹举 几 例谈谈 ． 例１ （ ２ ０ １ ４高考数 学安徽 卷文科 第 １ ０题 ） 设 ｎ ， ｂ 为非零 向量 ， ｌ ｂ ｉ ＝ － ２ ｌ ａＩ ， 两 组 向量 ｌ ， ２ ， 托， ｘ ４ 和Ｙ ， Ｙ ， Ｙ 。 ， Ｙ ４ 均 由 ２个 ａ和 ２ 个 ｂ个 排 列 而成 ， 若 １ Ｙ ］ ＋娩 ２ ＋ ｊ ， 。 ＋Ｘ ４ Ｙ 所 有 可能 取 值 中 的最 小值为 ４ ｌ ａ ｌ 。 ， 则 ａ与 ｂ的夹 角为 （ ）
考虑到两组向量和xxxxx我们权且称不等式为向量基本不等式yyy1234512322共有个和个且数量积中向量类比基本不等式的变式可得向量基本不等式的几yy4a6bab45种变式
２ ６
中学数 学教 学
２ ０ １ ５年 第 １ 期
向量 形 式 的基 本 不 等 式
湖 南省 岳 阳县土 地储备 中心 陈宽宏 （ 邮编 ： ４ １ ４ １ ０ ０ ）
众所周 知 ， 基本不等式指 的是 ： 对 任意 实数 ａ 、 ｂ ， 有 不等式 ａ ＋ｂ ｚ ≥２ ａ ｂ成立 ， 当且仅 当 以一 ｂ 时 等号成立． 我们将 其称 为实 数型 的基本 不等 式． 有 趣的是 ， 将 基本 不 等 式 中的实 数 ａ ． ｂ类 比为 向量 ｎ 、 ｂ ， 也有 向量 形式下 的基 本不 等式成立 ： ａ 。 ＋ ≥
当ａ ＃ｂ 时， 设ａ ＝ ＝ ＝ ， ｓ １ ＝ ＝ ＝ （ １， 结论 ③错误． 当ｌ ｂ ｌ ＞４ ｌ ａ ｌ 时， 由向量 基本 不等 式 Ｓ ～ 一ｂ 。
Ａ 丌
解
Ｂ
Ｊ
Ｃ 等
Ｏ
Ｄ ．０
＋４ ａ・ｂ≥ ｂ ２ 一 去［ （ ４ ａ ） 。＋ ］一 去［ （ ｂ