3.2 直线的方程 教学课件 PPT (2)

2．直线的斜截式方程的三个注意点 方程 y＝kx＋b 由直线 l 的斜率 k 与它在 y 轴上的截距 b 确定， 所以该方程 y＝kx＋b 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． (1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，应用的前提也是 直线的斜率存在．
(2)直线 l 与 y 轴的交点(0，b)的纵坐标 b 叫做直线在 y 轴上的 截距，截距不是距离，可正可负也可以为 0.
自学导引
1．直线的点斜式方程和斜截式方程
名称 已知条件 示意图
方程
使用范围
点斜 点 P(x0，y0) 式 和斜率 k
_y_－__y_0＝__k_(_x_－__x_0) 斜率存在
斜截 式
斜率 k 和在 y 轴上的截
距b
___y_＝__k_x_＋__b___ 斜率存在
2．直线 l 在坐标轴上的截距 (1)直线在 y 轴上的截距：直线与 y 轴的交点(0，b)的_纵__坐__标___b． (2)直线在 x 轴上的截距：直线与 x 轴的交点(a,0)的_横__坐__标___a．
【答案】y－4＝－14(x－3)
要点阐释
1．直线的点斜式方程的三个注意点 方程 y－y0＝k(x－x0)由直线上一定点及其斜率确定，把这个方 程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．
(1)方程 y－y0＝k(x－x0)与方程 k＝yx－ －yx00并不一致，前者是直线 的点斜式方程，表示直线；而后者由于 x≠x0，因此表示的直线不 包括 P0(x0，y0)，并不是一条完整的直线．
(2)∵倾斜角 α＝150°，∴斜率 k＝tan 150°＝－ 33，
由斜截式可得方程为 y＝－ 33x－2. (3)∵直线的倾斜角为 60°，∴其斜率 k＝tan 60°＝ 3， ∵直线与 y 轴的交点到原点的距离为 3， ∴直线在 y 轴上的截距 b＝3 或 b＝－3. ∴所求直线方程为 y＝ 3x＋3 或 y＝ 3x－3.
探究 2：y－y0＝k(x－x0)与yx－ －yx00＝k 是等价的吗？
【答案】直线的点斜式方程 y－y0＝k(x－x0)与yx－ －yx00＝k 不是等 价的，后者表示的是直线上去掉点 P0(x0，y0)后所剩下的部分，前 者是整条直线．
预习测评 1．过点 P(－2,0)，斜率为 3 的直线方程是( ) A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2 C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)
(2)由于点斜式方程是用点的坐标和斜率表示的，因而它只能表 示斜率存在的直线，斜率不存在的直线是不能用点斜式方程来表示 的，即点斜式不能表示与 x 轴垂直的直线；过点 P0(x0，y0)且垂直 于 x 轴的直线可以表示为 x＝x0 的形式．
(3)点斜式方程可以表示平行于 x 轴的直线．过点 P0(x0，y0)且 平行于 x 轴的直线方程为 y＝y0.特别地，x 轴的方程为 y＝0.
【答案】D
2.直线 y=2x-4 在 y轴上的截距为（
A.-2
B.2
C.-4
【答案】C
） D.4
3．方程 y＋1＝－ 3(x－ 3)表示过点_( __3_，__－__1，) 斜 率是 __－___3___，倾斜角是___1_2_0__°_，在 y 轴上的截距是____2____的直线．
4．已知 A(2,0)，B(4,8)，线段 AB 的垂直平分线的方程是 ________．
思路点拨：分析条件，确定直线的斜率是否存在．若直线的斜 率不存在，直接写出方程；若斜率存在，代入公式，整理得方程．
解：
(1)∵倾斜角为 135°，∴k＝tan 135°＝－1， ∴直线方程为 y－4＝－(x＋1)，即 x＋y－3＝0. (2)∵直线与 y 轴平行，∴倾斜角为 90°， ∴直线的斜率不存在，∴直线方程为 x＝1. (3)∵直线与 x 轴平行，∴倾斜角为 0°， ∴k＝tan 0°＝0，∴直线方程为 y－2＝0，即 y＝2.
题型二 直线的斜截式方程 【例 2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为 2，在 y 轴上的截距是 5； (2)倾斜角为 150°，在 y 轴上的截距是－2； (3)倾斜角为 60°，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3.
思路点拨：求出直线的斜率，然后分别用斜截式写出方程．
解： (1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为 y＝2x＋5.
2．写出斜率为 2，在 y 轴上截距为 m 的直线方程，当 m 为何 值时，直线过点(1,1)?
解：由直线方程的斜截式，得直线方程为 y＝2x＋m. ∵直线过点(1,1)，将 x＝1，y＝1 代入方程 y＝2x＋m,1＝2×1 ＋m，∴m＝－1 即为所求．
(3)斜截式方程与一次函数的解析式的区别：当斜率不为 0 时， y＝kx＋b 即为一次函数；当斜率为 0 时，y＝b 不是一次函数；一 次函数 y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．
典例剖析 题型一 求直线的点斜式方程 【例 1】 根据下列条件写出直线的方程． (1)经过点 A(－1,4)，倾斜角为 135°； (2)经过点 B(1，－2)，且与 y 轴平行； (3)经过点 C(－1,2)，且与 x 轴平行．
1．根据条件写出下列直线的点斜式方程． (1)经过点 A(－1,4)，倾斜角为 45°； (2)经过点 B(4,2)，倾斜角为 90°； (3)经过原点，倾斜角为 60°； (4)经过点 D(－1,1)，与 x 轴平行．
解：
(1)直线斜率为 tan 45°＝1， ∴直线方程为 y－4＝(x＋1)． (2)直线斜率不存在，直线平行于 y 轴， ∴所求直线方程为 x＝4. (3)直线斜率为 tan 60°＝ 3， ∴所求直线的方程为 y＝ 3x. (4)直线斜率为 0，∴直线方程为 y＝1.
3．两直线平行、垂直的判断 对于直线 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， (1)l1∥l2⇔__k_1_＝__k_2_且__b_1_≠__b_2_； (2)l1⊥l2⇔__k_1_·k_2_＝__－__1__.
Hale Waihona Puke 自主探究 探究 1：平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程吗？
【答案】平面直角坐标系下，并不是所有的直线都存在点斜式 方程．当直线与 x 轴垂直时(没有斜率)，不能用点斜式方程来表示．