运筹学第二章线性目标规划
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运筹学第二章线性规划
第二章线性规划教学目的和要求：目的：使学生具备线性规划的基本知识以及应用线性规划的基本能力。
要求：理解线性规划概念，标准型，解的概念，基本定理；掌握单纯形法，人工变量法，了解图解法。
重点：线性规划标准型，解的概念，单纯形法，人工变量法。
难点：线性规划基本定理，单纯形法。
教学方法：讲授法，习题法。
学时分配：12学时 作业安排：见教材P 38.线性规划是运筹学的一个重要分支。
1939年苏联科学家康托罗维奇提出了生产组织和计划中的线性规划模型。
1947年美国学者丹捷格(George B.Dantzig)提出了求解一般线性规划问题的方法。
此后，线性规划理论日趋成熟，应用也日益广泛和深入。
第一节线性规划问题一、问题的提出在企业的生产经营活动中经常会面临这样两类问题：一是如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，取得最佳的经济效果；二是在取得一定的经济效果的前提下，如何合理安排使用人力、物力、财力等资源，使花费的成本最低。
例1.生产计划问题 某工厂利用甲、乙、丙、丁四种设备生产A 、B 、C 三种产品，具体数据如下表所示。
A 、B 、C 单位产品的利润分别是4.5、5、7(百元)。
问如何安排生产计划，才能使所获总利润最大？解：设产品A 、B 、C 产量分别为X 1,X 2,X 3件,Z 表示利润，要求总利润最大，即求Z=4.5X 1+5X 2+7X 3的最大值，故记作极大化Z=4.5X 1+5X 2+7X 3，另外对甲、乙、丙、丁设备需满足2X 1+2X 2+4X 3≦800，X 1+2X 2+3X 3≦650，4X 1+2X 2+3X 3≦850，2X 1+4X 2+2X 3≦700；同时产量应非负，故X j ≧0 (j=1,2,3)；以上问题可用数学模型表示为： 极大化Z=4.5X 1+5X 2+7X 3 满足 2X 1+2X 2+4X 3≦800 X 1+2X 2+3X 3≦6504X 1+2X 2+3X 3≦850 2X 1+4X 2+2X 3≦700X j ≧0 (j=1,2,3)例2.运输问题 设某种物资有m 个产地；A 1,A 2, …,A m ,它们的产量分别为a 1,a 2, …,a m ,有n 个销地B 1,B 2, …,B n 需要这种物资，它们的销量分别为b 1,b 2, …,b n 。
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
2 线性规划
第一节 线性规划问题及其数学模型
可加性假定：每个决策变量对目标函数和约
束方程的影响是独立于其他变量的，目标函 数值是每个决策变量对目标函数贡献的总和 连续性假定：线性规划问题中的决策变量应 取连续值。 确定性假定：线性规划问题中的所有参数都 是确定的参数。线性规划问题不包含随机因 素。
约 束 方 程
约束条件
变量约束
第一节 线性规划问题及其数学模型
线性规划问题隐含的假定： 比例性假定 可加性假定 连续性假定 确定性假定
比例性假定：决策变量变化引起的目标函数
的改变量和决策变量的改变量成比例，同样， 每个决策变量的变化引起约束方程左端值的 改变量和该变量的改变量成比例
≥0
=
≥0
第一节 线性规划问题及其数学模型
标准型的简缩形式
max Z
c x
j j 1
n
j
s .t
n aij x j bi , i 1,2 , , m j 1 x j 0 , i 1,2 , , m
第一节 线性规划问题及其数学模型
或
松弛变量
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n bi
a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n x p bi , x p 0
剩余变量
练习
例:将下列线性规划问题划为标准形式： min Z = x1+3x2
s.t.
6x1+7x28 -x1+3x2-6 x1-x2=3 x10
可行域无界
x1+2x2 10 x2 0 x1
可行域无界
x2
x1 0
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
运筹学02-线性规划I
产品 工时消耗(小时) 木工 油漆工 售价(元) 桌子 4 2 50 椅子 3 1 30
School of Business ECUST
生产能力 120 50
考虑的生产方案举例
方案1：先尽量生产售价高的产品-能生产25个桌子， 消耗木工100小时，油漆工50小时，剩余木工20小 时，每月获得销售收入1250元；
P1
P2
max min z CX
Pn x n ( , )b
a11x 1 a12x 2 a1n x n ( , )b1 P1x 1 P2x 2 s.t . X 0 a 21x 1 a 22x 2 a 2n x n ( , )b2 s .t . am 1x 1 a m 2x 2 a mn x n ( , )bm x j 0,( j 1, 2, , n )
方案2：生产20个桌子，10个椅子，消耗木工110小 时，油漆工50小时，剩余木工10小时，每月销售收 入1300元；
方案3：生产15个桌子，20个椅子，消耗木工120小 时，油漆工50小时，用完全部工时，每月销售收入 1350元。
School of Business ECUST
对于简单的问题，凭经验和简单的计算进行比较， 或能找到最优方案。但当问题较为复杂时，如在上 例种该家具厂生产20种产品，消耗10种资源，则凭 经验和手工计算可能就很难寻找到最佳的生产方案 了！怎么办？
已知甲、乙两种原料的成本分别是每公斤 3元和2元，厂方希望总 单位成本（元） ３ ２ 成本达到最小，问如何配置该产品？
School of Business ECUST
习3. 捷运公司在下一年度的1～4月份的4个月内拟租用仓库堆放物 资。已知各月份所需仓库面积列于下表1。仓库租借费用随合同期 而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表2。租借仓库的合同每 月初都可办理，每份合同具体规定租用面积和期限。因此该厂可 根据需要，在任何一个月初办理租借合同。每次办理时可签一份 合同，也可签若干份租用面积和租用期限不同的合同。试确定该 公司签订租借合同的最优决策，目的是使所租借费用最少。
School of Business ECUST
生产能力 120 50
考虑的生产方案举例
方案1：先尽量生产售价高的产品-能生产25个桌子， 消耗木工100小时，油漆工50小时，剩余木工20小 时，每月获得销售收入1250元；
P1
P2
max min z CX
Pn x n ( , )b
a11x 1 a12x 2 a1n x n ( , )b1 P1x 1 P2x 2 s.t . X 0 a 21x 1 a 22x 2 a 2n x n ( , )b2 s .t . am 1x 1 a m 2x 2 a mn x n ( , )bm x j 0,( j 1, 2, , n )
方案2：生产20个桌子，10个椅子，消耗木工110小 时，油漆工50小时，剩余木工10小时，每月销售收 入1300元；
方案3：生产15个桌子，20个椅子，消耗木工120小 时，油漆工50小时，用完全部工时，每月销售收入 1350元。
School of Business ECUST
对于简单的问题，凭经验和简单的计算进行比较， 或能找到最优方案。但当问题较为复杂时，如在上 例种该家具厂生产20种产品，消耗10种资源，则凭 经验和手工计算可能就很难寻找到最佳的生产方案 了！怎么办？
已知甲、乙两种原料的成本分别是每公斤 3元和2元，厂方希望总 单位成本（元） ３ ２ 成本达到最小，问如何配置该产品？
School of Business ECUST
习3. 捷运公司在下一年度的1～4月份的4个月内拟租用仓库堆放物 资。已知各月份所需仓库面积列于下表1。仓库租借费用随合同期 而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表2。租借仓库的合同每 月初都可办理，每份合同具体规定租用面积和期限。因此该厂可 根据需要，在任何一个月初办理租借合同。每次办理时可签一份 合同，也可签若干份租用面积和租用期限不同的合同。试确定该 公司签订租借合同的最优决策，目的是使所租借费用最少。
运筹学课件 第二章线性规划
2020/11/23
广东工业大学管理学院
10
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
投资问题：如何从不同的投资项目中选出一个投资方案， 使得投资的回报达到最大。
甲
乙
丙
A B C 加工费
x11 60%以上 x12 20%以下 x13 0.50
x21 15%以上 x22 60%以下 x23 0.40
x31 x32 50%以下 x33 0.30
售价
3.40
2.85
2.25
原料成本 2.00 1.50 1.00
限制用量 2000 2500 1200
设该厂每月生产甲品牌糖果(x11 x12 x13)千克，其中用原料A x11千克，用原料B x12千克，用原料C x13千克; 生产乙品牌糖果(x21 x22 x23)千克，其中用原料A x21千克，用原料B x22千克，用原料C x23千克; 生产丙品牌糖果(x31 x32 x33)千克，其中用原料A x31千克，用原料B x32千克，用原料C x33千克。
设一共植了y棵树，男生中有x1人挖坑, x2人栽树, x3人浇水； 女生中有x4人挖坑, x5人栽树, x6人浇水.
max z y
20x1 10x4 y 0 30x2 20x5 y 0
s.t.
25x3
x1
x2
15x6 x3
y 30
0
x4
x5
x6
20
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , y 0
松弛变量
xs 2 (2x1 3x2 x3)
运筹学第二章线性目标规划
2 x x 11 2 1 x1 x2 d1 d1 0 st x1 2 x2 d 2 d 2 10 8 x1 10 x2 d 3 d 3 56 _ x , x , d 1 2 i 0, i 1,2,3
现有下列目标： P1、要求总利润必须超过 2500 元； P2、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产量不超 过 60 件和 100 件 ； P3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140 。 试建立目标规划模型。
天津大学管理与经济学部
第二章 线性规划
天津大学管理与经济学部
1 1
2 3 1 2 3 4
4
2
天津大学管理与经济学部
第二章 线性规划
定义3. 设 X R, 若不存在 X R, 使 F ( X ) F ( X ), 则称 X 为问题的弱有效解。
f
f1 ( x)
f 2 ( x)
* Rwp
0 两个目标一维变量弱有效解的例子
天津大学管理与经济学部
第二章 线性规划
例23 【喜糖问题】
设市场上有甲级糖及乙级糖，单价 分别为4元/斤及2元/斤。今要筹办 一桩喜事。“筹备小组”计划总花 费不超过40元，糖的总斤数不少于 10斤，甲级糖不少于5斤。问如何确 定最佳的采购方案。
天津大学管理与经济学部
第二章 线性规划
（ 4） F F
1
2
意味着 F
1
的每个分量都要小于或等于 F
1
2
对应的分量，并且至少存在 F 的某个分量要严格地小于向量
F 2 对应的分量，即对于 i 1,, p ，均有 f i1 f i 2 ，且至少 1 2 i ( 1 i p ), 有 f f 存在某个 0 0 i0 i0
运筹学第二章
例2.4：将以下线性规划问题转化为 标准形式
Max s.t. Z = 3 x1 - 5 x2 + 8 x3 2x1 + 2x2 - x3 = 15.7
4 x1
+ 3x3 = 8.9
x1 + x2 + x3 = 38 x2 , x3 ≥ 0
4.右端项有负值的问题：
在标准形式中，要求右端项 必须每一个分量非负。当某一个 右端项系数为负时，如 bi<0，则 把该等式约束两端同时乘以-1， 得到：
产品甲 设备A 3 产品乙 2 设备能力 （h） 65
设备B
设备C 利润（元/件）
2
0 1500
1
3 2500
40
75
问：如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？
解：设变量 xi为第i种（甲、乙）产品的生 产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可 以建立如下的线性规划模型： Max
z = 1500 x1 + 2500 x2
MinZ=∑xi
i=1
X6 +
x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 + x4 x4 + x5 x5 + x6
≥ 8 ≥ 12
≥ 10
≥ 8 ≥ 6 ≥ 4
二、线性规划模型的一般形式
目标函数 s.t.
产品对资源的 单位消耗量
利润系数
Max(Min)z=c1x1+c2x2+……+cnxn
a11x1+a12x2+……+a1nxn≥(=、≤)b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn≥(=、≤)b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn≥(=、≤)bm
运筹学第2章：线性规划的对偶理论
目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形 式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题 约束系数矩阵的转 臵 目标函数中的价格 系数向量 约束条件的右端项 向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数 约束条件 决策变量
非基变量 基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始 单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B) 0 C N CB B N 0 CB B 1 0
令 y 2 y 2 , y3 y3 y3 ，则
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 s.t. 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
n j 1 m j j
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i i i 1 i 1 j 1
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
例1
第二章 线性规划的图解法(简)
第二节 图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称 之为松弛量。记为Si。
第二节 图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式 ，称为线性规划模型的标准化，所得结果 称为线性规划的标准形式。
第二节 图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章 线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出 （什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点： （1）线性规划问题的主要概念 （2）线性规划问题的数学模型 （3）线性规划图解法的过程 （4）阴影价格的定义和灵敏度分析 难点： 灵敏度分析
第一节 问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节 图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下， 当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加 一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对 偶价格； 当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，并不影响其最优目标函数值； 当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个 其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节 问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
❖ 影子价格不是市场价格，而是在现有技术和管理条件下， 新增单位资源所能够创造的价值，是特定企业的一种边 际价格；不同企业或同一企业不同时期，同种资源的影 子价格可能不同；当市场价格高于影子价格，可以卖出； 相反，则应买进，以获取更大收益
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
运筹学线性规划
其次线性规划模型必须满足如下两个要求： ① 目标函数必须是决策变量的线性函数； ② 约束条件必须是含决策变量的线性等式或不等式。
运筹学建模步骤: 识别问题 定义决策变量
建立约束条件 建立目标函数
整理课件
2.2 线性规划模型的一般形式和标准形式
2.2.1 线性规划的一般模型
为了讨论一般的线性规划问题的求解。我们先给出线性规 划模型的一般形式如下：
max(或min)z CX
n
s.t. j1
Pj x j
(或 ，或)b
X 0
其中
x1
a1j b1
Xx2,Cc1 c2 cn,Pj a2j,bb2
xn
amj bm
整理课件
用矩阵的记号可以将线性规划模型一般形式写成：
max(或min)z CX
AX (或，或)b s.t.X 0
其中 X, C, b 同上，而矩阵 A 是由各约束条件的系数（技术
养分
饲料
A
B
C
M
0.5
0.2
0.3
D
价格
0
300
N
0.1
0.3
0.4
0.2
200
每头日需 10
5
8
7
答案：设购买M饲料x1，N饲料x2
Min Z=300 x1 +200x2 0.5 x1 +0.1x2≥10
0.2x1 +0.3x2 ≥5
s.t.
0.3x1 +0.4x2 ≥8
0.2x2 ≥7
x1 , x2≥0 整理课件
x1 2 x2 5
s.t.
2
4
x1 x1
x2 4 3x2 9
运筹学建模步骤: 识别问题 定义决策变量
建立约束条件 建立目标函数
整理课件
2.2 线性规划模型的一般形式和标准形式
2.2.1 线性规划的一般模型
为了讨论一般的线性规划问题的求解。我们先给出线性规 划模型的一般形式如下：
max(或min)z CX
n
s.t. j1
Pj x j
(或 ，或)b
X 0
其中
x1
a1j b1
Xx2,Cc1 c2 cn,Pj a2j,bb2
xn
amj bm
整理课件
用矩阵的记号可以将线性规划模型一般形式写成：
max(或min)z CX
AX (或，或)b s.t.X 0
其中 X, C, b 同上，而矩阵 A 是由各约束条件的系数（技术
养分
饲料
A
B
C
M
0.5
0.2
0.3
D
价格
0
300
N
0.1
0.3
0.4
0.2
200
每头日需 10
5
8
7
答案：设购买M饲料x1，N饲料x2
Min Z=300 x1 +200x2 0.5 x1 +0.1x2≥10
0.2x1 +0.3x2 ≥5
s.t.
0.3x1 +0.4x2 ≥8
0.2x2 ≥7
x1 , x2≥0 整理课件
x1 2 x2 5
s.t.
2
4
x1 x1
x2 4 3x2 9
运筹学第四版第二章线性规划及单纯形法
方案的制定受到那些现实条件制约：
确定约束条件
人力资源（劳动力）的限制： 9x1 4x2 360
设备工时的限制：
4x1 5x2 200
原材料资源的限制：
3x1 10x2 300
此外，决策变量的取值不应为负值即 x1 0, x2 0
6
综上所述，我们得到了这个问题的数学模型
目标函数 约束条件
大？
项目
Ⅰ
设备A (h)
0
设备B (h)
6
调试工序(h) 1
利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
表1-2
1
5
1
12
其数学模型为：
max Z 2x1 x2
5x2 15
6xx11
2x2 x2
24 5
x1, x2 0
13
例3：捷运公司在下一年度的1～4月份的4个月内拟租用仓库
堆放物资。已知各月份所需仓库面积列于下表1-3。仓库租
借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表
1-4。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定
租用面积和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办
理租借合同。每次办理时可签一份合同，也可签若干份租用
面积和租用期限不同的合同。试确定该公司签订租借合同的
最优决策，目的是使所租借费用最少。
14
max Z 70 x1 120 x2
9x1 s.t. 43xx11
x1,
4x2 5x2 10x2 x2 0
360 200 300
资源约束
非负约束
其中 约束条件可记 s.t (subject to), 意思为“以… 为条件“、”假定“、”满足“之意。
2-1线性规划引论-(1) [运筹学]
![2-1线性规划引论-(1) [运筹学]](https://img.taocdn.com/s3/m/e8b076084431b90d6c85c7c1.png)
min Z cij xij ;
aij xij ai (i 1, 2, m, 对机床A i 加工机时的限制); j 1 m s.t. xij b j ( j 1, 2, n, 对零件B j的需要量必须保证); i 1 xij 0(i 1, 2, m; j 1, 2, n).
11
min Z x1 x2 xn ;
例4 运输问题
某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线的货运量、 货运成本如下表所示。
编队形式 航线号 船队 类型 1 1 2 3 2 4 1 — 4 27 20 1 2 — 2 4 4 36 72 20 40 拖轮 1 A型 驳船 2 B型 驳船 — 货运成本 （千元／队） 36 货运量 （千吨） 25
解：
当产销平衡（即 ai b j）时，设xij 表示由产地A i 运往销地B j (i 1,2, , m; j 1,2, , n)的运量，
i 1 j 1
m
n
则问题的数学模型为：求xij (i 1,2, , m; )
minZ cij x ij ;
i 1 j 1
编队形式
x1 + x2 + 2x3 + x4 ≤ 30 2x1 + 2x3 ≤34 4x2 + 4x3 + 4x4 ≤52 25x1 + 20x2 xj ≥ 0 j = 1,2,3,4 ＝200 40x3 + 20x4 ＝400
船队 用单纯形法可求得： A型 B型 类型 1 2 3 4 拖轮 1 1 2 1 2 — 4
a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 a 1 n x n b1 a x a x a x b 22 2 2n n 2 21 1 s.t. a x a x a x b m 2 2 mn n m m1 1 x j 0 ( j 1, 2 , , n )
运筹学_线性规划1
min Z 2x1 3x2 x3
x1 x 2 x3 10 3 x 2 x x 8 1 2 3 s.t. x1 3 x 2 x3 1 x1 , x 2 0, x3 符号不受限制
Байду номын сангаас
标 准 化
maxZ 2x1 3x2 ( x3 x4 ) 0 x5 0 x6
I 设备A(h) 设备B(h) 调试工序（h） 利润（千元） 0 6 1 2
II 5 2 1 1
课堂练习
一家家电公司准备将一种新型电视机在三家商场进行销 售，每一个商场的批发价和推销费及产品的利润如表所示。 由于该电视机的性能良好，各商场都纷纷争购，但公司每 月的生产能力有限，只能生产1000台，故公司规定：商场 1至少经销100台，至多200台，商场2至少经销300台，商 场3至少经销200台。公司计划在一个月内的广告预算费为 8000元，推销人员最高可用工时数为1500。同时，公司只 根据经销数进行生产，试问公司下个月的市场对策？
④ 右端非负。
标准型的紧缩形式：
max Z c j x j
j 1 n
标 准 型
n aij x j bi s.t. j 1 x 0 j
i 1,2,, m j 1,2,, n
标准型的矩阵形式：
max Z CX
AX b s.t. X 0
例2-3 某饲料公司生产一种鸡饲料，每份饲料
问 题 的 导 出
为100公斤，饲料中的营养成份要求、配料及 其成本数据如下：
配料 营养成分 单位 蛋白质 配料 钙 含量 粗纤维 单位配料成本 大豆粉 玉米粉 石灰石 0.50 0.002 0.08 2.50 0.09 0.001 0.02 0.926 0 0.38 0 0.164 含量要求 ≥22% ≥0.8%且≤1.2% ≤5%
x1 x 2 x3 10 3 x 2 x x 8 1 2 3 s.t. x1 3 x 2 x3 1 x1 , x 2 0, x3 符号不受限制
Байду номын сангаас
标 准 化
maxZ 2x1 3x2 ( x3 x4 ) 0 x5 0 x6
I 设备A(h) 设备B(h) 调试工序（h） 利润（千元） 0 6 1 2
II 5 2 1 1
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一家家电公司准备将一种新型电视机在三家商场进行销 售，每一个商场的批发价和推销费及产品的利润如表所示。 由于该电视机的性能良好，各商场都纷纷争购，但公司每 月的生产能力有限，只能生产1000台，故公司规定：商场 1至少经销100台，至多200台，商场2至少经销300台，商 场3至少经销200台。公司计划在一个月内的广告预算费为 8000元，推销人员最高可用工时数为1500。同时，公司只 根据经销数进行生产，试问公司下个月的市场对策？
④ 右端非负。
标准型的紧缩形式：
max Z c j x j
j 1 n
标 准 型
n aij x j bi s.t. j 1 x 0 j
i 1,2,, m j 1,2,, n
标准型的矩阵形式：
max Z CX
AX b s.t. X 0
例2-3 某饲料公司生产一种鸡饲料，每份饲料
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为100公斤，饲料中的营养成份要求、配料及 其成本数据如下：
配料 营养成分 单位 蛋白质 配料 钙 含量 粗纤维 单位配料成本 大豆粉 玉米粉 石灰石 0.50 0.002 0.08 2.50 0.09 0.001 0.02 0.926 0 0.38 0 0.164 含量要求 ≥22% ≥0.8%且≤1.2% ≤5%
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76
85 79
78
82 74
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min Z P d 2.5P d P2 d P3 d 30 x1 12 x2 d1 d 2500 2 x1 x2 d 2 d 140 x d 1 3 d 60 x2 d 4 d 100 x 0 , d , d l l 0 (l 1.2.3.4) 1 2
B
d 1 d 1
G
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d3 A
d2
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d2
x
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2 x x 11 2 1 x1 x2 d1 d1 0 st x1 2 x2 d 2 d 2 10 8 x1 10 x 2 d 3 d 3 56 _ x , x , d 1 2 i 0, i 1,2,3
x
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f
f1 ( x)
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x
2
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1 1
2 3 1 2 3 4
4
2
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第二章 线性规划
第二章 线性规划
2.1 线性规划模型与图解法 2.2 单纯形法 2.3 对偶问题与灵敏度分析 2.4 运输问题 2.5 线性整数规划 2.6 线性目标规划
第二章 线性规划
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（2） F1
天津大学管理与经济学部
第二章 线性规划
（ 3） F
1 2 1每个分量都要小于或等于向量 F 2 对 F 意味着 F
1 2 f f i ； 应的分量，即对于 i 1,, p，均有 i
F 1 的每个分量都要小于或等于 F 2 1 对应的分量，并且至少存在 F 的某个分量要严格地小于向量 F 2 对应的分量，即对于 i 1,, p ，均有 fi1 fi 2 ，且至少 1 2 i ( 1 i p ), 有 f f 存在某个 0 0 i0 i0
天津大学管理与经济学部
（4） F 1 F 2 意味着
第二章 线性规划
定义1. 设 X * R,若对任意 X R, 均有 F ( X * ) F ( X ), * 则称 X 为问题的绝对最优解。
f
f1 ( x)
f 2 ( x)
x
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x*
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