第十章 相似性原理和因次分析

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模型试验
在实际工程中，有些项目常需进行模型试验。各种 设计工程一般制成按比例缩小的模型，在实验中观测其结 果，以选择最合理的方案。 模型的设计，即所谓模型律的问题。无论采用何种 模型律，均需保证几何相似的前提，因此长度比尺的选择 是最基本的。在不损害实验结果正确性的前提下，模型宜 做得小一些，即长度比尺要选择大一些。因为这样能降低 模型的建造与运转费用，符合经济要求。当长度比尺确定 后，就要根据占主导地位的作用力去选用相应的相似准则。 例如当粘性力为主时，则选用雷诺准则设计模型，称雷诺 模型；当重力为主时，则选用佛罗德准则设计模型，称佛 罗德型。下面就此两种模型，进行分析。
2 v
' ' ' 2vz 2vz 2 vz v '2 '2 '2 y z x '
用上式左边第二项的系数 去除方程的两边， 得
l
' ' ' ' l v z g l p 1 p ' v ' 2vz' 2vz' 2vz' ' v z ' v z ' v z ' v x ' v y ' v z ' 2 g ' z ' v '2 y '2 z '2 t v t ' x y z v 2 l v x v

根据现象相似的定义，两系统的对应 物理量有下列关系：
' ' v" v" y v v y x v v x
' v" z v v z
t " t t '
x " l x '
y " l y '
z l z
"
'
g " g g '
v v v
"
'
" '
当两系统几何相似时，对应面积之间 和对应体积之间也分别成比例
s
S' S '' l '2 l '' 2
2 l
V
V' V ''

l '3 l '' 3
3 l
运动相似
在几何相似的系统中，在对应瞬时， 对应点上速度方向相同，大小成同一比例， 则这些系统称为运动相似。 v v ＝ 2 ,…… 1＝1 , 2 (常数)
p" p p'
代入整理后可得
' ' ' ' v z v v z' 2 ' v z ' v z v vx ' v y ' vz ' t t ' l y z x
p g g l
'
1 p ' v z ' 2 l
对于运动着的流体来说，其内部压力的改变是加速 度、粘性力、重力等所产生的动力效应的综合结果。它 不决定现象的相似与否，因而Eu通常不是决定性的相似 准数。但必须指出，相似准数是否具有决定性这一点并 不是绝对不变的，而是随现象的性质而改变的。当考虑 流体的压缩性影响时，Eu就成为决定性的相似准数，有 时即使流体可视为不可压缩。但当流动中发生的现象与 压力密切相关时，Eu也可成为决定性的准数。
第十章 相似性原理和因次分析
流体力学实验，是发展流体力学理论，验证 流体力学现象，解决流体力学工程问题的一个重 要手段。用什么理论来指导实验，用什么准则来 设计，用什么参数来整理成果，不仅对流体力学 实验是重要的，而且对于理解实验结果，评价实 验数据，运用实验成果，发展实验技术也很是重 要的。本章介绍有关实验研究的相似性原理、原 型和模型相互关系的模型律、以及有助于选择实 验参数的因次分析法。
相似准数的物理意义
下面我们来逐一考察上述4个相似准 数，并阐明它们的物理意义。 vl Re 1. 雷诺数 雷诺数是惯性力和粘性力的比值
惯性力 v 2 ＝ 粘性力 l
v
l
2

lv

Re
可见雷诺数反映流体粘性作用，Re 相等表示流动现象的粘性相似。所以和粘 性力有关的现象由Re数来决定。
v
' 1 '' 1
v
' 2 '' 2
v
式中v为速度的大小，β 为表示速度方向的 角度。
根据速度定义
v' v " v
lim lim
t 0
t 0
l ' t ' l " lim t ' 0 t " 0 t "
l ' l " l t ' t t "
相似性原理
相似理论是近百年来才发展起来的研究 实验的一个新分支。工程上的许多流体力学 问题，由于有关的因素多，物体或边界的形 状复杂等原因，往往不能单靠理论方法来求 解。有时虽然获得了描述流动过程的微分方 程式，也可能由于数学上的困难而难以得到 满意的解答。因此实验便成了研究流体力学 的一个必不可少的手段。在大多数情况下， 实验都是利用模型来进行的。所以相似理论 是流体力学实验的理论基础。
v

l
v
l
Q v l2 l
时间比尺亦可导出为
t l v l2
佛罗德模型
在佛罗德模型中，由于模型佛罗德数和原型 佛罗德数相等，可根据长度比尺与其它比尺的关 系来确定所比尺，当模型与原型流动均在地球上 /2 1 ，所以流速比尺由下式表示为 v 1 时， l 2 2.5 流量比尺 Q v l l
雷诺模型
在雷诺模型中，由于原型与模型的雷诺数相 等，可以根据长度比尺 l 与其它比尺的关系来确 定流速比尺 ,当模型与原型中的流体为同类流 且温度相同时，运动粘度比尺 1 ,则流速比尺 与长度比尺之间的关系为倒数关系，即 1 流量比尺可用流速比尺与面积比尺导出为
第二系统：
'' '' '' v " '' v z '' v z '' v z z v x '' v y '' v z '' t " x y z
2 '' '' '' 2vz 2vz 1 p '' '' v z g v x ''2 y ''2 z ''2 z '' ''
2. 佛罗德数 gl 佛罗德数是惯性力的重力的比值
惯性力 v 2 ＝ 重力 l v2 g Fr2 gl
Fr
v
可见佛罗德数反映重力（质量力）对 流体的作用。Fr相等表示现象的重力作用 相似，所以和重力有关的现象由Fr数来决 定。
3.欧拉数
Eu
p v 2
欧拉数是压力和惯性力的比值
压力 p ＝ 惯性力 l v2 p 2 Eu l v
相似的概念
如果描述一个系统中发生的现象的全 部物理量（线性尺寸，速度，力，时间间 隔等）可以从另一个系统的同类量乘以相 应的常数来得到，则这两个系统中所发生 的现象便称为相似。 表达成数学形式，便是
Lp Lm l
vP v vm
Fp Fm
F
TP t Tm
式中：L，v，F，T分别表示与现象有 关的物理量——线性尺寸，速度，力和时 间间隔。下标量p为原型系统，即属第一 系统，下标量m为模型系统，即属第二系 统。λ L，λ v，λ F，λ T等称为相似常数。 对于不同类的物理量，相似常数是不同的， 但对于同类量，相应的相似常数在两个系 统的所有对应点上都具有同一数值。
几何相似
两个系统对应长度均具有同一比例， 且对应角相等，则这两系统称为几何相 l l l 似． ＝ 2 ＝1 2 1 (常数) l l l , ,……
' 1 '' 1 ' 2 '' 2 ' 3 '' 3 l
l ′”及 式中L为某一长度；α 为某一角度；“ “″”分别表示属于两个系统；比例数 称 为线性比尺系数． 两系统几何位置相似的点称为对应点。
4. 斯特洛哈尔数 斯特洛哈尔数是位变惯性力和时变惯 性力（非定常运动的惯性力）的比值
位变惯性力 v 2 ＝ 时变惯性力 l v vt St t l
St
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vt l
它反映了流体非定常运动的相似，St 数相等表示现象的周期性相似，所以和周 期性有关的非定常流动由St数决定。
根据两现象相似的充要条件，只要上述4个相似准数 对应相等，两不可压缩粘性流动便成为相似。但欧拉准数 不是独立的相似准数，若满足雷诺准数和佛汝德准数，则 自动满足欧拉准数，但反过来，则不成立。如果是恒定问 题斯特洛哈尔数不出现，两现象相似只要满足雷诺准数和 佛汝德准数即可。但要同时满足这二条也是相当苛刻的， 实际上对于工程上的许多具体问题，由于实验条件的限制 （例如模型和实物都用同一介质且都在地面上，因 而 1 ， 1，即其中一些相似常数已失去了选择的余 地），上述2个相似数所要求的条件不是相互矛盾就是难 以满足。在这样情况下，我们就得从实际的现象出发，分 清主次，首先保证那些与所研究的现象密切相关的条件。 而忽略一些比较次要的条件。这时两个系统的现象称为部 分相似。在实际中因放弃某些相似准则而带来的误差称为 尺度效应。
当两系统运动相似时，对应点的加速 度也相似
a' a " a
lim lim
t ' 0
t " 0
v ' t ' lim " v t ' 0 t " 0 t "
v ' v " v t t ' t "
动力相似
在运动相似的系统中，对应瞬时，对 应点作用力方向相同，大小成同一比例， 则这些系统称为动力相似。 F F ＝ 1 , ＝ ,…… 1 (常数) F F
' 1 '' 1 ' 2 '' 2 F
2
2
为表示作用 式中 F为作用力的大小； 力方向的角度。
动力相似包括运动相似，而运动相似 又包括几何相似。所以动力相似包括力、 时间和长度三个基本物理量相似。而满足 这三种相似条件时，说明两个流场在力学 上是相似的。以上三种相似条件是有联系 的，几何相似是运动相似和动力相似的前 提和依据。
如果第一、第二系统要满足完全相同的方程 式。则上式各项的系数必须相等，即
g l p l 2 1 t v v 2 v l v
上式就是两个不可压缩粘性流动互为相似时 必须满足的关系式。
相似准数
上页导出的关系式经过变形可得相似准数：
l L' L'' 1， ' ' '' '' S t vt vt t v v' v '' l g Fr 2 1， ' ' '' '' v gL g L ' '' p 1， p p E u 2 ' v ' 2 '' v ' ' 2 v v ' L' v '' L'' v 1， '' Re ' l
其它力学物理量由力、时间和长度这 个基本量决定。例如两系统密度之间的关 系为
m ' ' ' lim V ' 0 V " m " lim V ' 0 V " 0 lim " " V V 0 G ' g ' m ' G " g " F a m " ' ' V V ' lim V V 0 " V 0 V " V "
F t2 4 l
如果在两个几何相似系统中，在对应 瞬时、对应点的所有同类物理量均有同一 的比例，则两系统称为现象相似。 如果两个粘性不可压缩流体流动互为 相似，则它们满足同一个关系方程式（纳 维－斯托克斯方程）
第一系统：
' ' ' ' 2 ' ' ' v z 2vz 2vz 1 p ' ' v z ' v z ' v z ' ' vz v v v g v x y z '2 x '2 y '2 z ' t ' x ' y ' z ' z