高等数学---隐函数
高等数学-第二章 第4节 隐函数及参数方程求导
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t
3a cos2 t( sin t) tan t
dt
d2y dx 2
d dx
(dy ) dx
Байду номын сангаас
d ( tan t) d ( tan t) dt
dx
dt
dx
d dt
( tant)
1 dx
所以 y [ 1(x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
dy
即
dy dx
dt dx
dt
dt
11
若函数
x y
(t )二阶可导, (t )
d 2 y d dy
dx 2
() dx dx
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
3
例2 设曲线C的方程为x3 y3 3xy,求过C上
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点.
解 方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
y (3,3) 22
y x2 y2 x
1.
33 (,)
x sin x (cos x ln x sin x ) x
8
例7
y ( 2 x )x xxx , x2 1
求 dy . dx
解 ：令
y1
(
高等数学-隐函数的求导法则
第五节 隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =， 它满足条件00()y f x =，并有d d x yF yx F =-． 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入(,)0F x y =，得恒等式(,())0F x f x ≡，等式两边对x 求导得d 0d F F y x y x∂∂+=∂∂， 由于0y F ≠ 于是得d d x yF yx F =-． 2） 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数:22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x∂∂=-+-⋅∂∂ 22()x x y y x xx y y y y xxy y yF F F F F F F F F F F F --=---2232x x y x y x y y y x yF F F F F F F F-+=-．例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =，并求22d d ,00d d y yx x x x ==． 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--， 则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠．因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =．d 0d y x x =0x y F x F =-=e 10,0cos x yx y y x -=-=-==-，22d 0d y x x = d e ()0,0,1d cos x yx y y x y x -=-'===-- 0201(e )(cos )(e )(sin 1)(cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----⋅-=--3=-．隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =， 它满足条件000(,)z f x y =，并有x z F z x F ∂=-∂，y zF zy F ∂=-∂． 说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入(,,)0F x y z =， 得(,,(,))0F x y f x y ≡，将上式两端分别对x 和y 求导，得0=∂∂⋅+xz F F z x ， 0=∂∂⋅+y z F F z y ．因为z F 连续且000(,,)0z F x y z ≠，于是得x z F z x F ∂=-∂， y zF zy F ∂=-∂． 例2 设22240x y z z ++-=，求22zx∂∂．解 设222(,,)4F x y z x y z z =++-，则2x F x =，24z F z =-，2242x z F z x x x F z z∂=-=-=∂--，2222223(2)(2)()(2)2(2)(2)(2)z xx xx x zx x x z xz z z ∂-+-+∂-+∂-===∂---． 二、方程组的情形在一定条件下， 由方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩ 可以确定一对二元函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩， 例如方程0xu yv -=和1yu xv +=可以确定两个二元函数22y x yu +=，22y x x v +=． 事实上，0xu yv -=u y x v =1=⋅+u yx x yu 22y x yu +=， 2222yx x y x yy x v +=+⋅=． 下面讨论如何由组求u ，v 的导数．隐函数存在定理3 设(,,,)F x y u v ，(,,,)G x y u v 点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v =，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi ）行列式）(,)(,)FF FG u v J G G u v uv∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂ 在点0000(,,,)P x y u v 不等于零，则方程组(,,,)0F x y u v =，(,,,)0G x y u v =，在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，． 它们满足条件000(,)u u x y =，000(,)v v x y =，且有1(,)(,)xvxv u v u v F F G G u F G F F x J x v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)ux u xu v uvF FG G v F G F F x J u x G G ∂∂=-=-∂∂， 1(,)(,)yv y vu v uv F F G G u F G F F y J y v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)u yu y u v u vF FG G v F G F F y J u y G G ∂∂=-=-∂∂． 说明：方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组中各方程两边求偏导数，然后解关于各偏导数的方程组，其中偏导数xu ∂∂，x v ∂∂由方程组0,0x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩确定；偏导数yu ∂∂，y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y vG y u G G yv F y u F F v u y v u y 确定．例3 设0xu yv -=，1yu xv +=，求u x ∂∂，v x∂∂，uy ∂∂和v y ∂∂．解 两个方程两边分别对x 求偏导，得关于u x ∂∂和vx∂∂的方程组 00u v u x y x xu v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，． 当220x y +≠时，解之得22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22v yu xvx x y ∂-=∂+． 两个方程两边分别对y 求偏导，得关于u y ∂∂和vy∂∂的方程组 00uv x v y y y u v u y x y y ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，． 当220x y +≠时，解之得22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+． 另解 将两个方程的两边微分得d d d d 0d d d d 0u x x u v y y v u y y u v x x v +--=⎧⎨+++=⎩，，即d d d d d d d d x u y v v y u x y u x v u y v x -=-⎧⎨+=--⎩，． 解之得2222d d d xu yv xv yu u x y x y x y +-=-+++，2222d d d yu xv xu yvv x y x y x y-+=-++． 于是22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v yu xv x x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+． 例 设函数(,),(,)x x u v y y u v ==在点(,)u v 的某一领域内连续且有连续偏导数，又(,)0(,)x y u v ∂≠∂． 1） 证明方程组(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩ 在点(,,,)x y u v (的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==．2）求反函数(,),(,)u u x y v v x y ==对,x y 的偏导数． 解 1）将方程组改写成下面的形式(,,,)(,)0(,,,)(,)0F x y u v x x u v G x y u v y y u v ≡-=⎧⎨≡-=⎩，，则按假设 (,)(,)0(,)(,)F G x y J u v u v ∂∂==≠∂∂，由隐函数存在定理3，即得所要证的结论．2）将方程组所确定的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==代入原方程组，即得[(,),(,)][(,),(,)].x x u x y v x y y y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩，将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得10.x u x v u x v xy u y v u x v x ∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪⎪∂∂∂∂⎨∂∂∂∂⎪=⋅+⋅⎪∂∂∂∂⎩， 由于0J ≠，故可解得1u y x J v ∂∂=∂∂， 1v yx J u∂∂=-∂∂． 同理，可得1u x y J v ∂∂=-∂∂， 1v x y J u∂∂=∂∂． .。
高等数学-隐函数及其导数
3
01 隐函数求导
2.隐函数的求导法则
(1)将(, ) = 0两端同时对求导，其等式左边在求导过
程中将变量看作的函数；
(2)求导后得到一个关于 ′ 的方程，解此方程得到 ′ 的表达
式，在该表达式中允许含有.
4
01 隐函数求导
例1
求由方程
+ − =
2
确定的隐函数对的导数 ．
9
02 对数求导法
例3 设 = （ > 0），求 ′ .
解法1 等式两边取对数，得 = ，
= ，
即
上式两边同时对求导，得
1
整理得
′
⋅ = + ∙
′
1
= + ∙
导数与微分
第4讲
隐函数及其导数
本节内容
01 隐函数求导
02 对数求导法
2
01 隐函数求导
1.隐函数的概念
定义2.3 如果在方程(, ) = 0中，当取某区间
内的任一值时，相应地在某个范围 内总有满足这个
方程的值存在，那么就说方程(, ) = 0在 ∈ ，
∈ 的范围内确定了一个隐函数.
=
(
+
1
).
10
02 对数求导法
例3 设 = （ > 0），求 ′ .
解法2
′ = ( )′
= ⋅ ( )′
=
+ ⋅
=
2
=
∙ = +
= −
高等数学课件24隐函数
隐函数是曲面的局部表示
隐函数在曲面上的应用，如求 曲面的交点、求曲面的切线等
隐函数与等值线的几何意义
隐函数：通过方程F(x,y)=0定义的函数 等值线：满足F(x,y)=c的曲线 几何意义：隐函数描述了等值线的形状和位置
应用：在物理、工程等领域中，隐函数与等值线常用于描述物理量、工程参数的变化规律和分布情况
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对x求导
隐函数求导法则：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对x求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
应用范围：参数方程 法适用于求解含有参 数或参数的函数，如 圆锥曲线、旋转体等
注意事项：在求解过 程中，需要注意参数 的取值范围，避免出 现错误或遗漏
反表示法
反表示法是一种求解隐函数的方法 反表示法通过将隐函数转化为显函数，然后求解显函数 反表示法适用于求解具有简单形式的隐函数 反表示法可以应用于求解一元隐函数和多元隐函数
隐函数在微积分中的应用
隐函数求导：通过隐函数求导公式，求解隐函数的导数 隐函数积分：通过隐函数积分公式，求解隐函数的积分 隐函数极值：通过隐函数极值公式，求解隐函数的极值 隐函数方程：通过隐函数方程，求解隐函数的解
隐函数在解决实际问题中的应用
物理问题：如力学、热力学、 电磁学等
工程问题：如结构力学、流体 力学、控制理论等
隐函数的性质
隐函数存在定理：如果f(x,y)=0，且f(x,y)在点(x0,y0)处连续，则存在一个开区间(x0δ,x0+δ)，使得在(x0-δ,x0+δ)内，f(x,y)的零点y=φ(x)是连续可微的。
高等数学课件上第24隐函数
YOUR LOGO
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汇报人：
隐函数的极值与最
05
值
极值的定义与判定
极值的定义：函数 在某点处的值大于 或等于其附近所有 点的值，称为极值
极值的分类：极大 值和极小值
极值的判定：通过 求导数，判断函数 在某点处的导数是 否为零，以及导数 的符号是否改变
极值的应用：在解 决实际问题时，如 优化问题、物理问 题等，需要找到函 数的极值，以获得 最优解或最值
添加 标题
隐函数存在定理的条件：F(x,y)在点(x0,y0)处连续可微，且F(x0,y0)=0。
添加 标题
隐函数存在定理的应用：求解隐函数、证明隐函数存在性等。
定理的证明
单击添加标题
隐函数存在定理：如果方 程F(x,y)=0在点(x0,y0)处 有定义，且F(x0,y0)=0， 那么存在一个开区间(a,b)，
法线等
在物理中的应用
力学：求解力、加速度、速度等物理量 热力学：求解温度、压力、体积等物理量 电磁学：求解电场、磁场、电流等物理量 光学：求解光强、光速、折射率等物理量
在经济中的应用
价格决策：隐函数模型可以帮助企业进行价格决策，以实现利润最大化 投资决策：隐函数模型可以帮助投资者进行投资决策，以实现风险最小化 生产决策：隐函数模型可以帮助企业进行生产决策，以实现成本最小化 市场预测：隐函数模型可以帮助企业进行市场预测，以实现销售最大化
使得在(a,b)内，方程 F(x,y)=0有唯一解。
单击添加标题
证明思路：首先，假设存 在一个开区间(a,b)，使得 在(a,b)内，方程F(x,y)=0 有唯一解。然后，通过证 明F(x,y)在(a,b)内连续， 以及F(x0,y0)=0，从而得
《高等数学之隐函数》课件
应用实例
1
隐函数求导的案例分析
通过案例分析，说明如何利用隐函数求导解决实际问题，并展示其应用于不同领 域的案例。
2
隐函数在各领域的应用
介绍隐函数在经济学、物理学等领域中的重要应用，引发观众对隐函数研究的兴 趣。
结束语
隐函数的重要性和应用价值
总结隐函数在数学和跨学科领域中的重要性，强调其在问题解决中的应用价值。
一元隐函数
一元隐函数求导公式
演绎一元隐函数求导公式，说明其应用于实际问 题的能力和价值。
一元隐函数的几何意义
阐述一元隐函数与曲线的关系，展示隐函数图像 的特性和重要性。
多元隐函数
多元隐函数求导公式
推导多元隐函数的求导公式，说明其在解决实际问题中的应用价值。
多元隐函数的几何意义
解释多元隐函数与曲面之间的关系，展示多元隐函数对几何问题的重要性。
《高等数学之隐函数》 PPT课件
隐函数在高等数学中起着重要的作用，本课件将介绍隐函数的概念、存在定 理以及一元和多元隐函数的求导公念和意义
探索隐函数的基本概念，以及隐函数对于问题解决的重要性和实际应用。
2
隐函数存在定理
解释隐函数存在定理，展示其证明过程，并说明其在数学中的重要性。
隐函数研究的未来方向
展望隐函数研究的未来发展方向，鼓励观众在此领域进行深入探索和创新。
高等数学 第三章 第4节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数(中央财经大学)
例
d y 设 x + x y + y = 4, 求 . 2 dx
2 2
2
解
对方程两边关于 x 求导:
2 x + y + x y′ + 2 y y ′ = 0
故 2x + y y′ = − x + 2y
想想如何求二阶导数？
解
(
)
1 2 1+ t 2 d y = 2 = = 2 2t 2 ′ 4t dx (ln(1 + t ) ) 1 + t 2
⎛ t ⎞′ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
⎛ 1 + t 2 ⎞′ 2t 2 − 1 − t 2 ⎜ 3 ⎜ 4t ⎟ ⎟ 2 t 4 −1 d y 4t ⎝ ⎠ = = = 3 3 ′ 2t 8t dx (ln(1 + t 2 ) ) 1+ t 2
故
1 (1 − x)(1 − 2 x)(1 + x ) y′ = 3 3 (1 + 5 x)(1 + 8 x)(1 + x 4 )
⎧ −1 −2 2x 5 8 4 x3 ⎫ − − − ⎨1 − x + 1 − 2 x + 2 1 + 5x 1 + 8 x 4⎬ 1+ x 1+ x ⎭ ⎩
2
四、 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数
F ( x, f (x) ) ≡ 0
对上式两边关于 x 求导：
d F ( x , y) = 0 dx
然后, 从这个式子中解出 y ′, 就得到隐函数的导数.
例
求由方程 F ( x , y ) = xy − e x + e y = 0 ( x ≥ 0 ) 所确定的隐函数的导数 y′, 并求 y′
《高等数学之隐函数》课件
在物理学中的应用
在物理学中，隐函数被广泛应用于描 述物理量之间的关系，例如，热传导 方程、电磁场方程等。
隐函数还可以用于解决一些物理问题 ，例如，求解微分方程、确定物理量 的变化规律等。
THANKS 感谢观看
进一步研究隐函数的重要基础。
03 隐函数的求导法则
链式法则
链式法则
当一个函数嵌套在另一个函数中时， 链式法则用于求导。具体来说，如果 有一个复合函数 y = f(g(x))，则 dy/dx = (dy/dg) * (dg/dx)。
举例
假设 y = sin(x^2)，则 dy/dx = cos(x^2) * 2x。
隐函数还可以用于解决一些几何问题，例如，确定某一点的切线或者求某一点的 法向量等。
在经济学中的应用
在经济学中，隐函数被广泛应用于成 本函数、收益函数、需求函数等，这 些函数描述了经济变量之间的关系， 例如，成本函数描述了生产一定数量 的产品所需要的成本。
隐函数还可以用于解决一些经济学问 题，例如，最大化利润、最小化成本 等。
隐函数和显函数的转换
有时候可以将隐函数转换为显函数，或者将显函数 转换为隐函数，这需要使用例如在某些情况下更 加灵活和适用，但是它也有一些缺点，例如 求解比较困难。
隐函数的几何意义
隐函数的几何意义
隐函数可以用几何图形来表示，通过求解方程可以得到因变量和 自变量之间的关系，并且可以用图形来表示这种关系。
隐函数的图像
隐函数的图像通常是曲线或者曲面，可以通过绘制图像来更好地理 解隐函数的性质和特点。
隐函数的应用
通过几何意义可以更好地理解隐函数的实际应用，例如在物理和工 程领域中可以通过求解隐函数来找到某些物理量的关系。
02 隐函数定理
高等数学第18章第1节隐函数(精品文档)
第十八章 隐函数定理及其应用§1 隐函数一 、 隐函数概念（P144）在这之前我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如 12+=x y ，).sin sin (sin zx yz xy eu xyz++=这种形式的函数称为显函数。
但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式或方程组所确定。
这种形式的函数我们称为隐函数。
☆ 本节将介绍由一个方程0),,(=z y x F 所确定的隐函数求导法；☆ 下一节将介绍由方程组⎩⎨⎧==0),,,,(0),,,,(v u z y x G v u z y x F 所确定的隐函数求导法。
设R X ⊂，R Y ⊂，函数.:R Y X F →⨯注．：1）定义中的)(x f y = ,,J y I x ∈∈仅表示定义域为I,值域为J 的函数，而y 未必能 用x 的显式表示2）隐函数是表达函数的又一种方法. 是用隐形关系式表示函数关系的一种。
结论．．：若由．．0),(=y x F 确定．．的隐函数为．．．．．)(x f y = .,J y I x ∈∈则成立恒等式．．．．．．.,0))(,(I x x F x F ∈≡例： 方程 01=-+y xy ，当x 定义在),1()1,(+∞---∞ 上时，可得隐函数)(x f y =。
其显函数形式为：.11xy +=例： 圆方程122=+y x 能确定一个定义在[]1,1+-上，函数值不小于0的隐函数21x y -=；又能确定另一个定义在[]1,1+-上，函数值不大于0的隐函数21x y --=。
注．：1）隐函数必须在指出确定它的方程以及y x ,的取值范围后才有意义。
2）当然在不至于产生误解的情况下，其取值范围也可不必一一指明。
3）并不是任一方程都能确定出隐函数，如方程.022=++c y x当0>c 时，就不能确定任何函数()x f ，使得[].0)(22≡++c x f x而只有当0≤c 时，才能确定隐函数。
高等数学 导数与微分 (3.4.2)--隐函数与参数方程求导法
习题3.41. 验证： (1) 函数x y +11=ln 满足关系式d 1e d yy x x +=；(2) 函数1+++1+2+2=222x x x xx y ln 满足关系式'ln 'y xy y +=2.2. 求由下列方程所确定的隐函数)(x y y =的导数d d yx ：(1) 0=6+2-2xy y ；(2) 0=3-+33axy y x (0a >)；(3) 1e y y x =+；(4) 0=--)cos(sin y x x y .3. 求下列方程所确定的隐函数)(x y y =在点0=x 处的导数：(1) x x y xy =-+)ln()sin(；(2) e ln 01xy yx +=+；(3) 2e cos()e 1x y xy +-=-.4. 设)(x f y =是由方程1=+y xy ln 所确定的隐函数.(1) 求)('x f ；(2) 又设()()(ln )e f x g x f x =, 求)1('g .5. 求曲线3330x y xy +-=在点处的切线方程和法线方程.6. 求证：星形线323232=+a y x (0a >)在两坐标轴间的切线长度为常数.7. 求下列参数方程表示的函数的导数d d y x 和dd xy ：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧-=-1=32;,t t y t x (2) 2223;13,1atx t aty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 其中0a >.8. 求下列参数方程表示的函数在指定点处的导数d d yx ：(1) ⎩⎨⎧-1=+1=2,arctan ),ln(t y t x 在1=t 处；(2) ⎩⎨⎧-=+=),cos (sin ),sin (cos t t t a y t t t a x 在4π=t 及4π-=t 处.9. 求下列参数方程表示的曲线在给定点处的切线方程和法线方程：(1) 2e ,e ,t t x y -⎧=⎪⎨=⎪⎩ 在0=t 处; (2) ⎩⎨⎧2==,cos ,sin t y t x 在6π=t 处.10. 验证下列参数方程表示的函数满足对应的关系式：(1) x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩满足'0yy x +=；(2) 21ln ,32ln tx t ty t+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩满足1+2=2''xy yy .11. 求下列极坐标方程表示的曲线在指定点处的切线方程和法线方程：(1) θθsin cos +=r 对应于π4θ=处；(2) sin 2r a θ=(0a >)对应于π4θ=处.。
高等数学PPT课件：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
如
y
(
x (
x
1) 3 x 4)2e x
1
,
y xsin x .
方 法 方程两边取对数, 再利用隐函数求导法。
--------对数求导法
11
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例
设
y
(
x (
1) 3 x 1 x 4)2 e x
,
求y.
解
ln
y
ln( x
1)
1 3
ln(
x
1)
,求y.
解答 等式两边取对数
ln y ln xsin x ln(1 x2 ) sin x ln x ln(1 x2 )
d: dx
y cos x ln x sin x
y
x
1
2
x x
2
y
xsin x 1 x2
(cos
x
ln
x
sin x
x
1
2
x x
2
)
17
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
2.设 x y y x ,求y.
解答 ln : y ln x x ln y,
d: dx
y ln x y ln y x y,
x
y
y
x y ln x y ln
y x
y2 x2
.
18
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
二、由参数方程所确定函数的导数
若
x y
(t) (t)
d dx
:
1 y
y
cos x ln x
sin
x
1 x
高等数学：第九讲 隐函数的导数
3. 在隐函数导数的结果中，既含有自变量x，又含有因变量y， 通常不能也无须求得只含自变量的表达式.
谢谢
即 ey .y′ -2y .y′+(y+x y′) =0 从中解出y，得
y y' 2y xey
因为y是x的函数，
z
所以ey是x的复合函数. y
记z e y , 求 dz .
dy
dy dx
ey
y
03 小结
1. 显函数求导的四则运算法则和复合函数求导法则对于 隐函数的导数同样成立。
02 隐函数的求导法则
F(x, y) 0 方程两边对 x 求导
d F(x, y) 0 dx
将方程中的y视为x 的函数y( x)(隐函数)
得到含导数 y 的方程 ，从而解出 y .
例题：
设方程 ey-y2+xy=0确定函数 y = y(x)，求 y.
解 方程两边对x求导，得 (ey)′ - (y2 )′+ (xy )′=(0)′，
隐函数的导数
目录
01 隐函数的定义
02 隐函数的求导法则
03
小结
01 隐函数的定义
对应法则的显性和隐性 函数
显函数 隐函数
01 隐函数的定义
形如 y f (x) 的函数，称为显函数。 例如 y sin x，y x3 ex 都是显函数。 特点：方程的左边是因变量，右边是关于自变量的表达式。
隐函数
定义 若如由果方二程元方F (程x,Fy)(x, 0y)可确0 可定确y 定是 yx 是的函x 的数函, 则数称, 此则函称数
高等数学第18章第1节隐函数
第十八章 隐函数定理及其应用§1 隐函数一 、 隐函数概念（P144）在这之前我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如 12+=x y ，).sin sin (sin zx yz xy eu xyz++=这种形式的函数称为显函数。
但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式或方程组所确定。
这种形式的函数我们称为隐函数。
☆ 本节将介绍由一个方程0),,(=z y x F 所确定的隐函数求导法；☆ 下一节将介绍由方程组⎩⎨⎧==0),,,,(0),,,,(v u z y x G v u z y x F 所确定的隐函数求导法。
设R X ⊂，R Y ⊂，函数.:R Y X F →⨯注．：1）定义中的)(x f y = ,,J y I x ∈∈仅表示定义域为I,值域为J 的函数，而y 未必能 用x 的显式表示2）隐函数是表达函数的又一种方法. 是用隐形关系式表示函数关系的一种。
结论．．：若由．．0),(=y x F 确定．．的隐函数为．．．．．)(x f y =.,J y I x ∈∈则成立恒等式．．．．．．.,0))(,(I x x F x F ∈≡例： 方程 01=-+y xy ，当x 定义在),1()1,(+∞---∞ 上时，可得隐函数)(x f y =。
其显函数形式为：.11xy +=例： 圆方程122=+y x 能确定一个定义在[]1,1+-上，函数值不小于0的隐函数21x y -=；又能确定另一个定义在[]1,1+-上，函数值不大于0的隐函数21x y --=。
注．：1）隐函数必须在指出确定它的方程以及y x ,的取值范围后才有意义。
2）当然在不至于产生误解的情况下，其取值范围也可不必一一指明。
3）并不是任一方程都能确定出隐函数，如方程.022=++c y x当0>c 时，就不能确定任何函数()x f ，使得[].0)(22≡++c x f x而只有当0≤c 时，才能确定隐函数。
《高等数学》导数与微分-- 隐函数的求导法
导数与微分6 -- 隐函数的求导法
本讲学习目标： 1、能够用“两边同时微分”的方式求隐函数的导数。 2、能够用“两边同时对自变量求导”的方式求隐函数的导数。 3、会求以隐函数的形式给出的曲线在给定点的导数。
《高等数学》 导数与微分6 -- 隐函数的求导法
e xy (xy) 1 y
从中解出 y ，得
e xy ( y xy) 1 y
dy 1 dx cos y
y
1 yexy xexy 1
1
1
1 sin 2 y 1 x2
即 dy dx
1 ye xy xe xy 1
隐函数的求导法 Ⅱ：方程两边同 时对自变量求导
《高等数学》 导数与微分6 -- 隐函数的求导法
《高等数学》 导数与微分6 -- 隐函数的求导法
设方程F(x,y)=0确定函数y=f(x)，将y=f(x)代回方程F(x,y)=0中，得
F(x, f (x)) 0
上式两边对自变量x求导，得到一个含有 f (x) 的等式，然后解出 f (x) 。即为所求
解：方程 exy x y 的两边同时对自变量x求导，得
【例2.6.2】 求由方程
x
y
1 2
sin
y
0
确定的隐函数y=y(x)的二阶导数
d2y dx2
。
解：方程两边同时对x求导，得 于是 上式两边对x求导，得
1 y 1 cos y y 0 2
y 2 2 cos y
d2y dx2
2(2 cos y) (2 cos y)2
2sin y y (2 cos y)2
《高等数学》 导数与微分6 -- 隐函数的求导法
隐
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求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设 为切线倾角, 则
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量 速度的方向
垂直分量
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
达到最高点的时刻
高度
落地时刻
抛射最远距离
例6. 设由方程
确定函数
求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
故
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
可用对数求导法求导 :
注意: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
两边对 x 求导
又如,
两边取对数 对 x 求导
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
时, 有
时, 有
(此时看成 x 是 y 的函数 )
若上述参数方程中 则由它确定的函数
利用新的参数方程
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
,可得
注意 : 已知
?
例4. 设
,且
求
解: 练习: P109 题8(1) 解:
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速 度大小:
速度的水平分量为
Байду номын сангаас垂直分量为
故抛射体速度大小
两边对 x 求导
(含导数 的方程)
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
解: 方程两边对 x 求导
得
因x=0时y=0, 故
确定的隐函数
例2. 求椭圆
在点
解: 椭圆方程两边对 x 求导
处的切线方程.
故切线方程为 即
例3. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
说明:
1) 对幂指函数
称为相关变化率 相关变化率问题解法: 找出
相关变量的关系式
对 t 求导 得相关变化率之间的关系式
求出未知的相关变化率
例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
其速率为
当气球高度为 500 m 时, 观察员
视线的仰角增加率是多少?
解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为,
则
两边对 t 求导
第四节 隐函数和参数方程求导 相关变化率
一、隐函数的导数 二、由参数方 程确定的函数的导数 三、相关变 化率
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 ,
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化 .
已知
h = 500m 时,
思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以 100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
提示:
对 t 求导
已知
求
内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数