双曲线的几何性质PPT课件
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3.2.2双曲线的简单几何性质(第一课时)课件(人教版)
令Δy= x
= (x- 2 −
2
)
∵x≥a>0
∴ 2 − <x
−
N(x,y’)
y
Q
b
M(x,y)
B2
A1
A2
o
(x≥a)
a
x
B1
b
y x
a
b
y x
a
∴Δy>0 即在第一象限，对于任意一个x,
x> 2 −
• 即 直线y= x与曲线y= 2 − 在第一象限不相交
，并且直线y= x始终在曲线y= 2 − 上方。
2
2
根据双曲线的对称性，直线y= x与双曲线 2 - 2 =1不
相交，两者对于同一个横坐标对应的纵坐标的绝对值
始终是前者的比后者的大。
2
2
• 同理，直线y=- x与双曲线 2 - 2 =1也有相同的结
论
∵b= 2 − 2
∴ = (2 − 1)
e越趋近于1，b越小，两渐近线开口越小，双曲线
开口也越小；e越大，b越大，两渐近线开口越大，
双曲线开口也越大。
例3.求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长、虚半轴长、
焦点坐标、离心率、渐近线方程.． 2 2
分析 把已知方程化成标准方程为 : - ＝1
第三章 圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
（第一课时）
•
双曲线的简单几何性质 第1课时(上课课件)
4
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(3)设与双曲线x22－y2＝1 有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝k(k≠0)， 将点 M(2，－2)的坐标代入得 k＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方 程为y22－x42＝1.
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2.求满足下列条件的双曲线的标准方程：
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3．2.2 双曲线的简单几何性质 第一课时 双曲线的简单几何性质(1)
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根据双曲线的方程研究其几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
性 图形
质
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3.若双曲线的渐近线方程为 y＝±34x，则双曲线的离心率 为__54_或__53___．
―→
依题意列 出不等式
―→
求出e的 取值范围
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[解析] 由题意可知直线 l 的方程为ax＋by＝1，即 bx＋ay－ab＝0.点(1,0)
到直线 l 的距离 d1＝ baa2－＋1b2，点(－1,0)到直线 l 的距离 d2＝ baa2＋＋1b2，
s＝d1＋d2＝ a22a＋b b2＝2acb，由 s≥45c，得2acb≥45c，
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标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
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(3)设与双曲线x22－y2＝1 有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝k(k≠0)， 将点 M(2，－2)的坐标代入得 k＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方 程为y22－x42＝1.
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2.求满足下列条件的双曲线的标准方程：
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3．2.2 双曲线的简单几何性质 第一课时 双曲线的简单几何性质(1)
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根据双曲线的方程研究其几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
性 图形
质
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3.若双曲线的渐近线方程为 y＝±34x，则双曲线的离心率 为__54_或__53___．
―→
依题意列 出不等式
―→
求出e的 取值范围
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[解析] 由题意可知直线 l 的方程为ax＋by＝1，即 bx＋ay－ab＝0.点(1,0)
到直线 l 的距离 d1＝ baa2－＋1b2，点(－1,0)到直线 l 的距离 d2＝ baa2＋＋1b2，
s＝d1＋d2＝ a22a＋b b2＝2acb，由 s≥45c，得2acb≥45c，
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标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)(第3课时)课件(人教版)
当1-k2≠0即k≠±1时，若直线与双曲线只有一个公共点
5
2
则 20 16k 0, 即 k
2
5
综上，k 1 或 k
2
例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1.
(3)若直线l与双曲线C的右支有2个公共点，求k的取值范围.
y kx 1
2
A. － ＝1
3
6
x2 y2
B. － ＝1
4
5
x2 y2
C. － ＝1
6
3
)
x2 y2
D. － ＝1
5
4
x2 y2
解：设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，由题意知 c＝3，a2＋b2＝9，
a
b
x12 y12
－ 2 ＝1，
2
a
b
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x22 y22
第 3 章圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
复 焦点位置
习 方程
x轴
x2
y2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
图形
范围
对称性
顶点
y轴
y2
x2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
M(x,y)
F2
F1 O
F2
x
即x a或x a , y R
O
x
即y a或y a , x R
两式作差，
－
＝1，
a2
b2
y1－y2 b2（x 1＋x2） －12b2 4b2
5
2
则 20 16k 0, 即 k
2
5
综上，k 1 或 k
2
例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1.
(3)若直线l与双曲线C的右支有2个公共点，求k的取值范围.
y kx 1
2
A. － ＝1
3
6
x2 y2
B. － ＝1
4
5
x2 y2
C. － ＝1
6
3
)
x2 y2
D. － ＝1
5
4
x2 y2
解：设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，由题意知 c＝3，a2＋b2＝9，
a
b
x12 y12
－ 2 ＝1，
2
a
b
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x22 y22
第 3 章圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
复 焦点位置
习 方程
x轴
x2
y2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
图形
范围
对称性
顶点
y轴
y2
x2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
M(x,y)
F2
F1 O
F2
x
即x a或x a , y R
O
x
即y a或y a , x R
两式作差，
－
＝1，
a2
b2
y1－y2 b2（x 1＋x2） －12b2 4b2
第2讲双曲线课件理课件.ppt
【互动探究】
1．设双曲线1x62－9y2＝1 上的点 P 到点(5,0)的距离为 15，则 P 点到(－5,0)的距离是( D )
A．7 B．23 C．5 或 23 D．7 或 23 解析：容易知道(5,0)与(－5,0)是给出双曲线的焦点，P 是双 曲线上的点，直接从定义入手．设所求的距离为 d，则由双曲线 的定义可得：|d－15|＝2a＝8⇒d＝7 或 23.
AB 的方程为 y＝x＋1，
因此 M 点的坐标为12，23， F→M＝－32，32. 同理可得F→N＝－32，－32. 因此F→M·F→N＝－322＋32×－32＝0 综上F→M·F→N＝0，即 FM⊥FN. 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F.
的范围变化值需探究；
(3)运用不等式知识转化为 a、b、c 的齐次式是关键．
错源：没有考虑根的判别式 例 5：已知双曲线 x2－y22＝1，问过点 A(1,1)是否存在直线 l 与双曲线交于 P、Q 两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在求 出直线 l 的方程，若不存在请说明理由．
误解分析：没有考虑根的判别式，导致出错．
y2 9
Hale Waihona Puke －2x72 ＝1D．以上都不对
3．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 26，则双曲 线的渐近线方程为( C )
A．y＝±2x B．y＝± 2x
C．y＝±
2 2x
D．y＝±12x
4．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 x
＋2y＝0，则双曲线的离心率 e 的值为( A )
正解：设符合题意的直线 l 存在，并设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
双曲线的简单几何性质 课件
12 分
双曲线的离心率问题主要有两种，一是求离心率， 二是求离心率的取值范围．求圆锥曲线的离心率的 关键是探寻a与c的关系．在探寻过程中，要充分挖 掘各种隐含条件，结合图形与圆锥曲线的定义，并 要综合运用各种知识，只有这样才能做到“心有灵 犀一‘点’通”，找到最优解法，提高解题速度．
由双曲线的几何性质求标准方程
●
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)实轴长为 8，离心率为54；
(2)已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2 在坐标轴上，
实轴长和虚轴长相等，且过点 P(4，－ 10)；
(3)渐近线方程为 y＝±12x，且经过点 A(2，－3)．
思路点拨： (1)(2)可用待定系数法求出a，b，c后求方程；
思路点拨： 双曲线方程 ―化 变―简 形→ 双曲线的标准方程
―→ a，b，c的值 ―→ 结果
解析： 将方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程4y22－3x22＝1， 由此可知，实半轴长 a＝4，虚半轴长 b＝3；
c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5，焦点的坐标是(0，－5)，(0,5)， 渐近线方程为 x＝±34y，即 y＝±43x.
若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝
1(a>0双曲线上，∴a42－b92＝1.
②
由①②联立，无解．
若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为ay22－bx22＝
1(a>0，b>0)，
则ab＝12.
③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴a92－b42＝1.
求双曲线的离心率
点 P 是双曲线 C1：ax22－by22＝1(a>0，b>0)和圆 C2： x2＋y2＝a2＋b2 的一个交点，且有 2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中 F1，F2 是双曲线 C1 的左右两个焦点，求双曲线 C1 的离心率．
双曲线的简单几何性质课件
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
例3：
x2 y2 1 16 9
1、双曲线 9x2-16y2=144的实半轴长
等于 4 虚半轴长等于 3 顶点坐
标是 4,0 渐近线方是y
3 4
x (或 x
4
y
.3
0)
5
离心率e= 4 。
2、离充心要率e=条件2 是。双（曲用线“为充等分轴条双件曲”线“的必要 条件”“充要条件”填空。）
双曲线定义的简单几何性质
定义
图象
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1
o
F2
x
x
F1
x2 a2
y2 b2
1
x≤－a或x≥a
y2 a2
x2 b2
1
y≤－a或y≥a
关于坐标轴、原点对称（实轴、虚轴、中心）
(－a, 0) (a, 0)
法二 由双曲线的渐近线方程为 y＝±12x， 可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即 λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y82－3x22 ＝1.
5 离心率
与椭圆类似,双曲线的焦距与实轴长的比 c , a
叫做双曲线的离心率.因为c a 0,所以双
2 2
y2 b2
1
渐进线方程
k
b a
B2
b
k
y
(a,b)
b a
yb x a
可由双曲线
e c (e 1) a
y b x a
例3：
x2 y2 1 16 9
1、双曲线 9x2-16y2=144的实半轴长
等于 4 虚半轴长等于 3 顶点坐
标是 4,0 渐近线方是y
3 4
x (或 x
4
y
.3
0)
5
离心率e= 4 。
2、离充心要率e=条件2 是。双（曲用线“为充等分轴条双件曲”线“的必要 条件”“充要条件”填空。）
双曲线定义的简单几何性质
定义
图象
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1
o
F2
x
x
F1
x2 a2
y2 b2
1
x≤－a或x≥a
y2 a2
x2 b2
1
y≤－a或y≥a
关于坐标轴、原点对称（实轴、虚轴、中心）
(－a, 0) (a, 0)
法二 由双曲线的渐近线方程为 y＝±12x， 可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即 λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y82－3x22 ＝1.
5 离心率
与椭圆类似,双曲线的焦距与实轴长的比 c , a
叫做双曲线的离心率.因为c a 0,所以双
2 2
y2 b2
1
渐进线方程
k
b a
B2
b
k
y
(a,b)
b a
yb x a
可由双曲线
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)
标准方程
范围
对称性
顶点
渐近线
离心率
A′
A
0
x
C′
C
B′
B
y
25
26
解：
.
例5、点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到定直线 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹。
双曲线的第二定义：
根据双曲线的对称性，
双曲线的第一定义：
直线与双曲线的位置关系
①Δ＞0 直线和双曲线相交 直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0 直线和双曲线相切 直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0 直线和双曲线相离 直线和双曲线相离，无公共点．
双曲线标准方程：
双曲线性质：
1.范围：
2.对称性：
3.顶点：
*4.渐近线方程：
5.离心率：
y≥a或y≤-a
关于坐标轴和原点对称
A1(0，-a),A2(0,a)
A1A2为实轴，B1B2为虚轴
13
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐进线方程.
同桌比一比，看谁快又准!
双曲线方程
标准方程
实半轴长
虚半轴长
顶点坐标
焦点坐标
离心率
渐近线
2
2
(0,±2)
的渐近线方程为：
16
已知渐近线方程,不能确定a,b的值,只能确定a,b的关系
如果两条渐近线方程为 ,那么双曲线的方程为
当λ >0时,
当λ <0时,
A
B
37
例6：如图所示，过双曲线 的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
A
B
*
范围
对称性
顶点
渐近线
离心率
A′
A
0
x
C′
C
B′
B
y
25
26
解：
.
例5、点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到定直线 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹。
双曲线的第二定义：
根据双曲线的对称性，
双曲线的第一定义：
直线与双曲线的位置关系
①Δ＞0 直线和双曲线相交 直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0 直线和双曲线相切 直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0 直线和双曲线相离 直线和双曲线相离，无公共点．
双曲线标准方程：
双曲线性质：
1.范围：
2.对称性：
3.顶点：
*4.渐近线方程：
5.离心率：
y≥a或y≤-a
关于坐标轴和原点对称
A1(0，-a),A2(0,a)
A1A2为实轴，B1B2为虚轴
13
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐进线方程.
同桌比一比，看谁快又准!
双曲线方程
标准方程
实半轴长
虚半轴长
顶点坐标
焦点坐标
离心率
渐近线
2
2
(0,±2)
的渐近线方程为：
16
已知渐近线方程,不能确定a,b的值,只能确定a,b的关系
如果两条渐近线方程为 ,那么双曲线的方程为
当λ >0时,
当λ <0时,
A
B
37
例6：如图所示，过双曲线 的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
A
B
*
2双曲线的简单几何性质课件
[提示] (1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴 的长的比值相同．
(2)e2＝ac22＝1＋ba22，ba是渐近线的斜率或其倒数．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)双曲线的离心率越大，它的开口越小．
()
(2)双曲线的离心率的取值范围是1，＋∞． (3)双曲线x42－y92＝1 的虚轴长为 4．
1234
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 双曲线的简单性质 【例 1】 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实 轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[思路点拨] 质．
先将双曲线的形式化为标准方程，再研究其性
[解] 双曲线的方程化为标准形式是x92－y42＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝ 13． 又曲线的焦点在 x 轴上， ∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，焦点坐标为(－ 13，0)，( 13，
[跟进训练] 1．(一题多空)双曲线 4x2－y2＝4 的顶点坐标为________，离心 率为________，渐近线方程为________．
(－1，0)，(1，0) 5 y＝±2x [将 4x2－y2＝4 变形为 x2－y42＝ 1，
∴a＝1，b＝2，c＝ 5， ∴顶点坐标为(－1，0)，(1，0)，e＝ac＝ 5， 渐近线方程为 y＝±bax＝±2x．]
会数形结合思想．(难点)
的直观想象及数学运算、逻辑推理
素养．
情境导学·探新知
新知初探 初试身手
在学习椭圆时，我们用椭圆方程研究了椭圆的几何性质，那么是 否可以通过方法与结论的类比来获得双曲线的几何性质呢？
已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)． 双曲线 C 有怎样的对称性？为什么？
(2)e2＝ac22＝1＋ba22，ba是渐近线的斜率或其倒数．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)双曲线的离心率越大，它的开口越小．
()
(2)双曲线的离心率的取值范围是1，＋∞． (3)双曲线x42－y92＝1 的虚轴长为 4．
1234
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 双曲线的简单性质 【例 1】 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实 轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[思路点拨] 质．
先将双曲线的形式化为标准方程，再研究其性
[解] 双曲线的方程化为标准形式是x92－y42＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝ 13． 又曲线的焦点在 x 轴上， ∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，焦点坐标为(－ 13，0)，( 13，
[跟进训练] 1．(一题多空)双曲线 4x2－y2＝4 的顶点坐标为________，离心 率为________，渐近线方程为________．
(－1，0)，(1，0) 5 y＝±2x [将 4x2－y2＝4 变形为 x2－y42＝ 1，
∴a＝1，b＝2，c＝ 5， ∴顶点坐标为(－1，0)，(1，0)，e＝ac＝ 5， 渐近线方程为 y＝±bax＝±2x．]
会数形结合思想．(难点)
的直观想象及数学运算、逻辑推理
素养．
情境导学·探新知
新知初探 初试身手
在学习椭圆时，我们用椭圆方程研究了椭圆的几何性质，那么是 否可以通过方法与结论的类比来获得双曲线的几何性质呢？
已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)． 双曲线 C 有怎样的对称性？为什么？
双曲线的简单几何性质 课件
【要点2】双曲线有两个顶点？双曲线的焦点能在虚轴上吗？ 【剖析】两个．不能，焦点只能在实轴上．
题型1 双曲线的几何性质
例1：求双曲线 9y2－16x2＝144 的半实轴长、半虚轴上、
焦点坐标、离心率和渐近线方程．
题型2 利用几何性质求标准方程
思维突破：双曲线焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上．
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
轴
实轴长 2a，虚轴长 2b
离心率
渐近线
续表
a
a
实轴和虚轴
y＝±x
双曲线
双曲线的准线
【要点1】椭圆与双曲线几何性质的比较．
【剖析】(1)双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，这 与椭圆不同．不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． (2)椭圆的焦点总在长轴上，双曲线的焦点总在实轴上． (3)椭圆离心率越大(即越接近于 1)，椭圆就越扁平；而双曲 线的离心率越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔，就是说 双曲线的“张口”逐渐增大．
解答时要分两类情况．
题型3 求双曲线的离心率
双曲线的简单几何性质Fra bibliotek 标准 方程图形
性 质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c(c2＝a 2＋b 2)
1．双曲线的几何性质.
标准 方程
性 质
范围
|x|≥____，y∈R
|y|≥______，x∈R
对称
关于 x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称
题型1 双曲线的几何性质
例1：求双曲线 9y2－16x2＝144 的半实轴长、半虚轴上、
焦点坐标、离心率和渐近线方程．
题型2 利用几何性质求标准方程
思维突破：双曲线焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上．
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
轴
实轴长 2a，虚轴长 2b
离心率
渐近线
续表
a
a
实轴和虚轴
y＝±x
双曲线
双曲线的准线
【要点1】椭圆与双曲线几何性质的比较．
【剖析】(1)双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，这 与椭圆不同．不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． (2)椭圆的焦点总在长轴上，双曲线的焦点总在实轴上． (3)椭圆离心率越大(即越接近于 1)，椭圆就越扁平；而双曲 线的离心率越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔，就是说 双曲线的“张口”逐渐增大．
解答时要分两类情况．
题型3 求双曲线的离心率
双曲线的简单几何性质Fra bibliotek 标准 方程图形
性 质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c(c2＝a 2＋b 2)
1．双曲线的几何性质.
标准 方程
性 质
范围
|x|≥____，y∈R
|y|≥______，x∈R
对称
关于 x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)
A1 A2
O
B1
•
F2
x
5.离心率 双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小
c
(1)定义： 双曲线的焦距与实轴长的比 e , 叫做双曲线的离心率.
a
∴e >1
(2)e的范围： ∵c>a>0
y
B2
(3)e的含义：e越接近1，双曲线开口越小；
e越大，双曲线开口越大.
(4)等轴双曲线的离心率e= ?
解：依题意可设双曲线的方程为 2 2 1
a
b
2a 16，
a 8
c 5
又 e , c 10
a 4
b2 c 2 a 2 102 82 36
x2 y2
双曲线的方程为
1
64 36
3
渐近线方程为y x ,且焦点F1 (10, 0), F2 (10, 0)
-a
a
F1 A1 O
A2
B2 -b
F2
4.双曲线的渐近线:
2
2
一般地，双曲线 2 − 2 = 1 ( > 0, > 0)的两支向外延伸时，与两条直
线 ± = 0逐渐接近，但永不相交.我们把这两条直线叫做双曲线的渐
近线.
y
x y
b
x2 y2
双曲线 2 2 1的渐近线方程为 0,即y x .
A1 (0,-a ), A2(0, a )
线段A1A2叫实轴 , 长度为2a
线段B1B2叫虚轴 , 长度为2b
c
e (e 1)
a
x y
b
0,即y x
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)
= 上一点，F1，F2是其左
右焦点，且∠F1PF2=60°，则三角形ΔF1PF2的面积为________
练习2
已知点PQ是经过双曲线C： −
= 左焦点F1的一条
28
弦，且|PQ|=4，则三角形ΔF2PQ的周长为________
二、求双曲线方程
1.过两个已知点的双曲线的方程，可表示为___________
2.已知焦点和双曲线上一点A，则可计算____________
练习巩固
例1 求与双曲线
方程
【法一】
−
= 有相同焦点，且过点(-3,)的双曲线
练习巩固
例1 求与双曲线
方程
【法二】
−
= 有相同焦点，且过点(-3,)的双曲线
练习巩固
练习 求与双曲线
线方程
= ，则以A(2,1)为中点的弦所在直线
练习巩固
练习 已知双曲线 − = ，则以A(2,3)为中点的弦所在直
4x-3y+1=0
线的方程是________________
• 焦点三角形：S PF1F2
b2
tan
P
2
• 若PQ=m，则 CPQF1 4a 2m
F1 O
焦点位置
x轴
y轴
y
y
B2
图像
• F2
A2
•
F1 A1 O
A2
•
F2
x
B1
B2
B1 O
A1
x
• F1
焦点
F1(-c,0) F2(c,0)
双曲线的简单几何性质 课件
双曲线的简单几何性质
1．曲线 10x－2 m＋6－y2m＝1 (m＜6)与曲线 5－x2m＋9－y2m＝1 (5＜m＜9)的( )
A．焦距相等
B．离心率相等
C．焦点相同
D．以上都不正确
解析：由 10x－2 m＋6－y2m＝1 (m＜6)知该方程表示焦点 在x轴上的椭圆，由 5－x2m＋9－y2m＝1 (5＜m＜9)知该方程表
由双曲线定义及勾股定理得
|PF1|－|PF2|＝±6，
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝102，
∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|＝100，
∴|PF1||PF2|＝
100－36 2
＝32，
∴S△F1PF2＝ 12|PF1||PF2|＝16.
直线与双曲线的关系问题
设双曲线C：ax22 －y2＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1
相交于两个不同的点A、B.
(1)求实数a的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，取P→A＝152P→B ，求a的值．
解析：(1)将y＝－x＋1代入双曲线 x2 －y2＝1(a＞0)中得
(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
a2
依题意1Δ－＝a42a≠4＋0 8a21－a2＞0，
∴0＜a＜ 2 且a≠1.
由 a＞0，解得 a＝1137.
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，因为P→A＝152P→B，
所以(x1，y1－1)＝152(x2，y2－1)，
由此得 x1＝152x2， 由于 x1，x2 是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0 的两根， 且 1－a2≠0，所以 x1＋x2＝1127x2＝－12－a2a2， x1·x2＝152x22＝－12－a2a2. 消去 x2 得－12－a2a2＝26809.
1．曲线 10x－2 m＋6－y2m＝1 (m＜6)与曲线 5－x2m＋9－y2m＝1 (5＜m＜9)的( )
A．焦距相等
B．离心率相等
C．焦点相同
D．以上都不正确
解析：由 10x－2 m＋6－y2m＝1 (m＜6)知该方程表示焦点 在x轴上的椭圆，由 5－x2m＋9－y2m＝1 (5＜m＜9)知该方程表
由双曲线定义及勾股定理得
|PF1|－|PF2|＝±6，
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝102，
∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|＝100，
∴|PF1||PF2|＝
100－36 2
＝32，
∴S△F1PF2＝ 12|PF1||PF2|＝16.
直线与双曲线的关系问题
设双曲线C：ax22 －y2＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1
相交于两个不同的点A、B.
(1)求实数a的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，取P→A＝152P→B ，求a的值．
解析：(1)将y＝－x＋1代入双曲线 x2 －y2＝1(a＞0)中得
(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
a2
依题意1Δ－＝a42a≠4＋0 8a21－a2＞0，
∴0＜a＜ 2 且a≠1.
由 a＞0，解得 a＝1137.
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，因为P→A＝152P→B，
所以(x1，y1－1)＝152(x2，y2－1)，
由此得 x1＝152x2， 由于 x1，x2 是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0 的两根， 且 1－a2≠0，所以 x1＋x2＝1127x2＝－12－a2a2， x1·x2＝152x22＝－12－a2a2. 消去 x2 得－12－a2a2＝26809.
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2 , 反过来也成立.
⑸在 a 、b 、c 、e 四个参数中,知二求二.
∵ e c , a2 b2 c2 a
5(1、)焦离距心与率实（轴e长反的映了比双c曲叫线做开口大y小）
b a
x
a
双曲线的离心率,记作e.
（2）离心率的几何意义：
tan b
A1
a
e c a
渐进线方程为 y 4 x 3
例2:已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e 5 ，
4 焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：依题意可设双曲线的方程为 x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
2a 16，即a 8
又e c 5 ,c 10 a4
b2 c2 a2 102 82 36
2.过点（1，1）且 b 2双曲线的标准方程 ______ . a
x2 1
y2 =1或
y2 1
x2 =1
先定位再定量 2
2
课堂新授
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的简单几何性质
1、范围
x2 1,即x2 a2 a2
x a, x a
(-x,y)
y (x,y)
-a o a
法二:巧设方程,运用待定系数法.
法二可能会比法一简洁,因为设方程思考了.
根据下列条件，求双曲线方程:
⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3 ) ； 9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)
解:双曲线 x2 y2 1 的渐近线为 y 4 x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 ,
为(0,±2)焦点坐标为 0,2 2 离心率为 2
(3) x2 y 2 1 的渐近线方程为： y x
x 24
y2
4的渐近线方程为：
y
2
x
x42
y2
1的渐近线方程为：
y
2
x
x42 y 2 4 的渐近线方程为： 4
2
y x 2
1、“共渐近线”的双曲线的应
与
x2 a2
y2 b2
用
1共渐近线的双曲线系
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
y a x b
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、
焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解：把方程化为标准方程
y2 x2 1
16 9
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
离心率 e c 5 a4
双曲线的性质(一)
复习： 若没有绝对值， 轨双迹，曲只线表与示椭双圆曲之间的区别与联系
线的一支
椭圆
双曲线
定 义 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c) ||MF1|－|MF2||=2a (2a<2c)
方程
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
y2 a2
x2 b2
x
2、对称性
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是 A1(a, 0)、A2(a, 0)
y
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线
b B2
的实轴，它的长为2a,a叫做
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
既不充分也不必要
1.k 9是方程 x2 y2 =1表示双曲线的 ______ 条件. 9k 4k
方程为 x2 a2
y2 b2
(
0，为参数)，
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
根据下列条件，求双曲线方程: ⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ；
9 16
分析:这里所求的双曲线方程易知是标准方程. 这里有两种方法来思考:
法一:直接设标准方程,运用待定系数法;
双曲线的方程为 x2 y2 1 64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
(1) ： x2 8 y2 32 的实轴长8 2 虚轴长为 _4__
顶点坐标为 4 2,0 ,焦点坐标为 6,0
离心率为 3 2 4
(2) x2 y2 4的实轴长 4 虚轴长 4 顶点坐标
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
A1 -a o a A2
x
曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
x2 y2 m(m 0)
4、渐近线
⑴双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a 0, b 0) 的渐近线为 y
y
b a
x
如何记忆双曲线的渐近线方程？
关于x轴、y轴、原点对称
..
y
A2 F2
B2 A1O B1 F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 1 (a 0,b 0 ) a2 b2
y a 或 y a，x R
关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
1
b a
2
e反映了双曲线开口大小 e越大 双曲线开口越大 e越小 双曲线开口越小
（3）离心率范围：e>1
ybx a
y
B2
b a
A2
o
x
B1
图形
方程 范围 对称性
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 a2
y2 b2
1(a 0，b 0)
x a 或 x a，y R
注:等轴双曲线 x2 y2 m(m 0)
b B2
的渐近线为 y x
(2)利用渐近线可以较准确的画出 双曲线的草图
(3)渐近线对双曲线的开口的影响
A1
o
B1
ybx a
A2
ax
ybx a
双曲线上的点与这两
直线有什么位置关系呢?
5、离心率
⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e c ,叫做双曲线的离心率.
⑵ e 的范围: c>a>0 e >1a
⑶ e 的含义: 同样可以形象地理解焦点离开中心的程度.
另外
b
c2 a2
( c )2 1
e2 1
a
a
a
∴当 e (1, ) 时, b (0, ) ,且 e 增大, b 也增大.
a
a
e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大.
e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大
⑸在 a 、b 、c 、e 四个参数中,知二求二.
∵ e c , a2 b2 c2 a
5(1、)焦离距心与率实（轴e长反的映了比双c曲叫线做开口大y小）
b a
x
a
双曲线的离心率,记作e.
（2）离心率的几何意义：
tan b
A1
a
e c a
渐进线方程为 y 4 x 3
例2:已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e 5 ，
4 焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：依题意可设双曲线的方程为 x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
2a 16，即a 8
又e c 5 ,c 10 a4
b2 c2 a2 102 82 36
2.过点（1，1）且 b 2双曲线的标准方程 ______ . a
x2 1
y2 =1或
y2 1
x2 =1
先定位再定量 2
2
课堂新授
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的简单几何性质
1、范围
x2 1,即x2 a2 a2
x a, x a
(-x,y)
y (x,y)
-a o a
法二:巧设方程,运用待定系数法.
法二可能会比法一简洁,因为设方程思考了.
根据下列条件，求双曲线方程:
⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3 ) ； 9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)
解:双曲线 x2 y2 1 的渐近线为 y 4 x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 ,
为(0,±2)焦点坐标为 0,2 2 离心率为 2
(3) x2 y 2 1 的渐近线方程为： y x
x 24
y2
4的渐近线方程为：
y
2
x
x42
y2
1的渐近线方程为：
y
2
x
x42 y 2 4 的渐近线方程为： 4
2
y x 2
1、“共渐近线”的双曲线的应
与
x2 a2
y2 b2
用
1共渐近线的双曲线系
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
y a x b
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、
焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解：把方程化为标准方程
y2 x2 1
16 9
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
离心率 e c 5 a4
双曲线的性质(一)
复习： 若没有绝对值， 轨双迹，曲只线表与示椭双圆曲之间的区别与联系
线的一支
椭圆
双曲线
定 义 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c) ||MF1|－|MF2||=2a (2a<2c)
方程
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
y2 a2
x2 b2
x
2、对称性
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是 A1(a, 0)、A2(a, 0)
y
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线
b B2
的实轴，它的长为2a,a叫做
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
既不充分也不必要
1.k 9是方程 x2 y2 =1表示双曲线的 ______ 条件. 9k 4k
方程为 x2 a2
y2 b2
(
0，为参数)，
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
根据下列条件，求双曲线方程: ⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ；
9 16
分析:这里所求的双曲线方程易知是标准方程. 这里有两种方法来思考:
法一:直接设标准方程,运用待定系数法;
双曲线的方程为 x2 y2 1 64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
(1) ： x2 8 y2 32 的实轴长8 2 虚轴长为 _4__
顶点坐标为 4 2,0 ,焦点坐标为 6,0
离心率为 3 2 4
(2) x2 y2 4的实轴长 4 虚轴长 4 顶点坐标
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
A1 -a o a A2
x
曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
x2 y2 m(m 0)
4、渐近线
⑴双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a 0, b 0) 的渐近线为 y
y
b a
x
如何记忆双曲线的渐近线方程？
关于x轴、y轴、原点对称
..
y
A2 F2
B2 A1O B1 F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 1 (a 0,b 0 ) a2 b2
y a 或 y a，x R
关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
1
b a
2
e反映了双曲线开口大小 e越大 双曲线开口越大 e越小 双曲线开口越小
（3）离心率范围：e>1
ybx a
y
B2
b a
A2
o
x
B1
图形
方程 范围 对称性
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 a2
y2 b2
1(a 0，b 0)
x a 或 x a，y R
注:等轴双曲线 x2 y2 m(m 0)
b B2
的渐近线为 y x
(2)利用渐近线可以较准确的画出 双曲线的草图
(3)渐近线对双曲线的开口的影响
A1
o
B1
ybx a
A2
ax
ybx a
双曲线上的点与这两
直线有什么位置关系呢?
5、离心率
⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e c ,叫做双曲线的离心率.
⑵ e 的范围: c>a>0 e >1a
⑶ e 的含义: 同样可以形象地理解焦点离开中心的程度.
另外
b
c2 a2
( c )2 1
e2 1
a
a
a
∴当 e (1, ) 时, b (0, ) ,且 e 增大, b 也增大.
a
a
e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大.
e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大