双曲线的几何性质PPT课件

法二:巧设方程,运用待定系数法.
法二可能会比法一简洁,因为设方程思考了.
根据下列条件，求双曲线方程:
⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3 ) ； 9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)
解:双曲线 x2 y2 1 的渐近线为 y 4 x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 ,
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
既不充分也不必要
1.k 9是方程 x2 y2 =1表示双曲线的 ______ 条件. 9k 4k
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
A1 -a o a A2
x
曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
x2 y2 m(m 0)
4、渐近线
⑴双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a 0, b 0) 的渐近线为 y
y
b a
x
如何记忆双曲线的渐近线方程？
注:等轴双曲线 x2 y2 m(m 0)
b B2
的渐近线为 y x
(2)利用渐近线可以较准确的画出 双曲线的草图
(3)渐近线对双曲线的开口的影响
A1
o
B1
ybx a
A2
ax
ybx a
双曲线上的点与这两
直线有什么位置关系呢?
5、离心率
⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e c ,叫做双曲线的离心率.
渐进线方程为 y 4 x 3
例2:已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e 5 ，
4 焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：依题意可设双曲线的方程为 x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
2a 16，即a 8
又e c 5 ,c 10 a4
b2 c2 a2 102 82 36
双曲线的性质(一)
复习： 若没有绝对值， 轨双迹，曲只线表与示椭双圆曲之间的区别与联系
线的一支
椭圆
双曲线
定 义 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c) ||MF1|－|MF2||=2a (2a<2c)
方程
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
Leabharlann Baidu
y2 a2
x2 b2
2.过点（1，1）且 b 2双曲线的标准方程 ______ . a
x2 1
y2 =1或
y2 1
x2 =1
先定位再定量 2
2
课堂新授
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的简单几何性质
1、范围
x2 1,即x2 a2 a2
x a, x a
(-x,y)
y (x,y)
-a o a
双曲线的方程为 x2 y2 1 64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
(1) ： x2 8 y2 32 的实轴长8 2 虚轴长为 _4__
顶点坐标为 4 2,0 ,焦点坐标为 6,0
离心率为 3 2 4
(2) x2 y2 4的实轴长 4 虚轴长 4 顶点坐标
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
y a x b
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、
焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解：把方程化为标准方程
y2 x2 1
16 9
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
离心率 e c 5 a4
（4）等轴双曲线的离心率e= ?2 , 反过来也成立.
⑸在 a 、b 、c 、e 四个参数中,知二求二.
∵ e c , a2 b2 c2 a
5(1、)焦离距心与率实（轴e长反的映了比双c曲叫线做开口大y小）
b a
x
a
双曲线的离心率,记作e.
（2）离心率的几何意义：
tan b
A1
a
e c a
为(0,±2)焦点坐标为 0,2 2 离心率为 2
(3) x2 y 2 1 的渐近线方程为： y x
x 24
y2
4的渐近线方程为：
y
2
x
x42
y2
1的渐近线方程为：
y
2
x
x42 y 2 4 的渐近线方程为： 4
2
y x 2
1、“共渐近线”的双曲线的应
与
x2 a2
y2 b2
用
1共渐近线的双曲线系
1
b a
2
e反映了双曲线开口大小 e越大 双曲线开口越大 e越小 双曲线开口越小
（3）离心率范围：e>1
ybx a
y
B2
b a
A2
o
x
B1
图形
方程 范围 对称性
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 a2
y2 b2
1(a 0，b 0)
x a 或 x a，y R
方程为 x2 a2
y2 b2
(
0，为参数)，
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
根据下列条件，求双曲线方程: ⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ；
9 16
分析:这里所求的双曲线方程易知是标准方程. 这里有两种方法来思考:
法一:直接设标准方程,运用待定系数法;
x
2、对称性
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是 A1(a, 0)、A2(a, 0)
y
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线
b B2
的实轴，它的长为2a,a叫做
⑵ e 的范围: c>a>0 e >1a
⑶ e 的含义: 同样可以形象地理解焦点离开中心的程度.
另外
b
c2 a2
( c )2 1
e2 1
a
a
a
∴当 e (1, ) 时, b (0, ) ,且 e 增大, b 也增大.
a
a
e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大.
e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大
关于x轴、y轴、原点对称
..
y
A2 F2
B2 A1O B1 F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 1 (a 0,b 0 ) a2 b2
y a 或 y a，x R
关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a