初二奥数题及问题详解

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初二数学奥数

1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连结DF。

(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形；

2，试判断△DCF的形状； 3，DC＝(2)若AD＝1，BC＝(3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。

AD

E

CFB

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ABCDMAABCCDM交中，动点→从点运动，连接出发，沿向终点→2、在边长为6的菱形ACN.

于点MABBN.

，当点在边上时，连接（1）如图25－1ABN≌ADN；△①求证：△ABC AM MAD的距离；°= 60，到= 4②若∠，求点ABC Mxxx为12≤）试问：= 90°，记点≤运动所经过的路程为（6，若∠）

如图（225－2ADN为等腰三角形. 何值时，△

文档ONOMOMONMMMOONO，，点＝沿的方向运动到⊥左转弯继续运动到，且、对于点3，使、OM点完成一次“左转弯运动”这一过程称为．点关于CPPAPPBABCDPP左转左转弯运动到，，关于正方形关于和点，左转弯运动到点关于2211PADPPPP左转弯运动到左转弯运动到，，……．弯运动到，关于关于54343P）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点的位置；（11ADP之间有怎样的关系？并说明理由。△ABP与△P（2）连接PA、B，判断111y PADDAB两点的为原点、直线为在第二象限，轴建立直角坐标系，并且已知点、(3)以PPP、三点的坐标．）（，04）、1，1，请你推断：、坐标

为（201042009ABO

PNMCD1

图2

图

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4、如图1和2，在20×20的等距网

个单位长）格（每格的宽和高均是1MABCA重合的位从点与点中，Rt△个单位长的速度先1置开

始，以每秒BC边与网的底部重合向下平移，当时，继续同样的速度向右平移，当ABCPC停止重合时，点Rt与点△QACx的秒，△移动.设运动时间为y.

面积为CBAABCABC关向下平移到Rt△Rt△的位置时，请你在网格中画出△）如图（11，当Rt111111QN 于直线成轴对称的图形；xyxABC的函数关系式，并说明当向下平移的过程中，请你求出与2（2）如图，在Rt△y分别取何值时，取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？yxABC取得最大值和最小值？最向右平移的过程中，请你说明当取何值时，Rt3（）在△大值和最值分别是多少？为什么？

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5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．

(1)图中有几个等腰三角形?猜想： EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．

(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?

(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB 于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。

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6已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC上一点，且

、，于点FCEE°，延长BA到点，使AE=AD,BD的延长线交BDC=124∠的度数。求∠E

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7、如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O，将一三角尺的直角顶点放在点O处，让其绕点O旋转，三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和F。通过观察或测量OE,OF的长度，你

发现了什么？试说明理由。

文档∴∠B=∠EFC，∥，∴∠EFC=∠ECF，∵EFAB， 1、解：（1）证明：∵EF=EC ∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；∴∠B=1，，∴EF=

CD（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC2是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形CDF∴△，是直角三角形）12，）=1，∵∴由勾股定理得：DC= DF=1，CF= ∵梯形ABCD是等腰梯形，∴（BC-AD2DCF是等腰直角三角形；∴△22 3）共四种情况：PB=1，PB=2，，PB=3-PB=3+（，又∵AN=AN∠∴AB=AD，∠1=2． 2、证明：（1）①∵四边形ABCD是菱形，．≌△ADN∴△ABN °．∠ABC=60 由AD ∥BC，得∠MAH=⊥②解：作MHDA交DA的延长线于点H．332 ．∴点M到AD△AMH中，MH=AM?sin60°=4×sin60°=2 的距离为．在Rt ∴DH=6+2=8．．∴AH=2

∴∠CAD=45°．°，∴菱形ABCD是正方形．（2）解：∵∠ABC=90 ∠NAD=45°．（Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=下面分三种情形： x=6；恰好与点此时，点MB重合，得 x=12；此时，点M 恰好与点C重合，得（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．

，，又∠2=∠3∥ADBC，∴∠1=∠4，则∠（Ⅲ）若AN=AD=61=∠2．∵．∴CM=CN=AC-AN=6 2-6∴CM=CN．∴AC=6 2．∠∴∠3=4．

）=18-6 2．故x=12-CM=12-（6 2-6 时，△ADN是等腰三角形。x=6或12或18-6 2综上所述：

当 1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰；3、解：（

（2）△ABP1≌△ADP，且△ABP可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得．1理由如下：在△ABP1和△ADP中，

由题意：AB=AD，AP=AP，∠PAD=∠PAB，11∴△ABP1≌△ADP，

又∵△ABP和△ADP有公共顶点A，且∠PAP=90°，11∴△ABP可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得；1

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（3）点P（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到P（-3，3），1点P（-3，3）关于点B（-4，4）左转弯运动到点P（-5，3），21点P（-5，3）关于点C（-4，0）左转弯运动到点P（-1，1），P（-1，1）关于点D（0，0）左转弯运动到点P（1，1），43点P（1，1）关于点A（0，4）32点

左转弯运动到点P（-3，3），54点P与点P重合，点P与点P重合，，点P的坐标为（-3，3）20095216点P的坐标为（-5，3）．20104、解：（1）如图1，△ABC是△ABC关于直线QN成轴对称的图形；

112122

（2）当△ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2），

则有：MA=x，MB=x+4，MQ=20，

y=S梯形-S-S ABC△AMQQMBC△1114+20）（x+4）- ×=20x- ×4×4 222=2x+40（0≤x≤16）．由一次函数的性质可知：

当x=0时，y取得最小值，且y最小=40，

当x=16时，y取得最大值，且y最大=2×16+40=72；

（3）解法一：

当△ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，

此时16≤x≤32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x，

111（4+20）（36-x）-×20×（32-x）- = -S-S∴y=S梯形×4×4 ABC△△CPQBAQP222）32．≤