一元二次方程7
一元二次方程公式大全
一元二次方程公式大全
1. 一元二次方程的一般式：ax²+bx+c=0（a≠0）。
2. 一元二次方程的根公式：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a。
3.一元二次方程的顶点公式：x=-b/2a，y=c-b²/4a。
4.一元二次方程的轴对称式：y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标。
5. 一元二次方程的判别式公式：Δ=b²-4ac；当Δ>0时，有两个不
相等的实根；当Δ=0时，有一个重根；当Δ<0时，无实根。
6.一元二次方程的解的性质公式：两根之和=-b/a，两根之积=c/a。
7. 一元二次方程的因式分解公式：ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)，其中x₁、x₂为方程的两个实根。
8. 一元二次方程的求导公式：y'=2ax+b，其中a、b为方程系数。
9. 一元二次方程的求和差公式：(x+y)²=x²+2xy+y²，(x-y)²=x²-
2xy+y²。
10. 一元二次方程的配方法公式：根据(a±b)²=a²±2ab+b²，将一元
二次方程化为完全平方形式。
一元二次方程讲义全
一元二次方程讲义全一元二次方程讲义考点一、概念1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。
2)一般表达式：ax^2+bx+c=(a≠0)注：当b=0时可化为ax^2+c=0，这是一元二次方程的配方式。
3)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。
4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为0；②未知数指数为2；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。
(x+1)^3=2(x+1)B。
2√x+1-11=0C。
ax^2+bx+c=0D。
x^2+2x=x^2+1变式：当k≠0时，关于x的方程kx^2+2x=x^2+3是一元二次方程。
例2、方程(m+2)x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y^2+y-3的值为2，则4y^2+2y+1的值为。
例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+(a^2-4)=0的一个根为-2，则a的值为。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。
例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。
第7课 一元二次方程
要点梳理
5．二元二次方程组的概念及解法： (1)二元二次方程组：由一个二元一次方程和一个二元 二次方程所组成的方程组或由两个二元二次方程组 成的方程组叫做二元二次方程组； (2)解二元二次方程组的思想是“消元”，即把多元通 过加减、代入、换元等方法转化为一元方程来解， 或“降次”利用因式分解转化为二元一次方程组或 一元一次方程来解．
解 ∵x＝a，∴a2－2009a＋1＝0，
∴a2－2008a＝a－1，a2＋1＝2009a，∴a220＋091＝22000099a＝1a.
1 a2－a＋1 （a2＋1）－a 2009a－a
∴原式＝a－1＋a＝ a ＝
a
＝a
＝20a08a＝2008.
探究提高
(1)利用方程根的概念，将方程的根代入原方程，再 解关于待定系数的方程，就可以求出待定系数的值； (2)采用整体的思想方法，结合一元二次方程根的定 义及分式加减运算的法则可得上题(2)中代数式的值．
知能迁移 1 用指定的方法解下列方程： (1)(2x－1)2＝9；(用直接开平方法) (2)x2＋3x－4＝0；(用配方法) (解3)x2－x2＋2x3－x－8＝4＝00；，(x用2＋因3x式＝分4，解法) (x42)＋x(3xx＋＋941＝)＋4＋2(94x，－x1＋)＝3202.＝(用245，公式法)
注意：(1)根的判别式“b2－4ac”只有在确认方程为一 元二次方程时才能使用；
(2)使用时，必须将一元二次方程转化一般式 ax2＋bx＋ c＝0，以便确定 a、b、c 的值．
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一个防范
正确理解“方程有实根”的含义．如有一个实数根则原 方程为一元一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次 方程．在解题时，要特别注意“方程有实数根”、“有两个实 数根”等关键文字，挖掘出它们的隐含条件，以免陷入关键 字的“陷阱”．
一元二次方程式
四、一元二次方程式就一般而言，凡是使得方程式等号成立的数称之为方程式的解；而使得多项式的值为零的数称之为多项式的根。
因此，一元二次方程式的解就是所对应的二次多项式的根。
所以，我们也称此类方程式的解为根。
我们将首先介绍常见的一元二次方程式的三种解法：因式分解法、配方法和公式解。
然后，利用判别式来探讨两根的特性，最后再讨论根与系数之间的关系。
4-1 一元二次方程式的解法【因式分解法】因为一元二次方程式20ax bx c ++=（a 、b 和c 为实数且a ≠0）的左式为二次多项式，如果我们能将这个多项式因式分解成两个一次多项式的乘积，就很容易求得方程式的解。
我们以下面的例子来说明这种解法。
【范例1】求22151x x +=-的解。
【解】 利用移项可把原方程式改写为 2252x x -+= 0。
由因式分解，可得2252x x -+= (21)(2)x x -- 因此，原方程式改写为(21)(2)x x --= 0 所以，可得210x -=或20x -= 即12x =或2x =。
【类题练习1】求231030x x ++=的解。
【配方法】我们也可以利用平方根的概念来解方程式，例如将2420x x -+=改写为2(2)2x -=的形式，进而解得2x =2420x x -+=⇒242x x -=-两边同加22 ⇒22222222x x -⋅⋅+=-+左式可写成完全平方式 ⇒ 2(2)2x -=∵右式为正，两边开平方 ⇒ 2x -=⇒ 2x =上面的例子是利用配成完全平方式的方法，先将方程式改写成 (x －h )2＝k 的形式。
当0≥k 时，我们就可以利用平方根的概念来解题： 即 2()0x h k -=≥两边同时开方 ⇒ x -h =移项 ⇒ x = h注：x = h ±表示x = h x = h我们将这个方法称为配方法，也就是配成完全平方的意思。
以下的例题继续来说明这种解法。
【范例2】求下列各方程式的解：(1) 2680x x -+= (2) 22460x x +-=【解】 (1) 2680x x -+=⇒2238x x -⋅⋅=-⇒22223383x x -⋅⋅+=-+⇒ 2(3)1x -=⇒31x -=±⇒ x -3 = 1或x -3 =-1⇒ x = 2或x = 4(2) 22460x x +-=⇒2230x x +-=⇒223x x +=⇒22221131x x +⋅⋅+=+⇒2(1)4x +=⇒12x +=±⇒12x +=或12x +=-⇒1x =或3x =-在上例中，我们当然也可用十字交乘法来做因式分解。
1.2一元二次方程的解法(7)-十字相乘法
-4
2
x-4x=-3x
解：x -3x-4 =(x+1)(x-4)
例1 (4)分解因式 x2+3x-10
x x -2
当常数项是负数 时，分解的两个 数异号，其中绝 对值较大数符号 与一次项系数符 号相一致。
因式分解时，不但要 注意首尾分解，而且 需十分注意一次项系 数，才能保证因式分 解的正确性。
用十字相乘法解下列方程：
• 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来掌 握.而某些方程可以用分解因式法简 便快捷地求解.
5
2
-2x+5x=3x
解：x +3x-10 =(x-2)(x+5)
练习 因式分解：
(1)
x +5x+6
2
(2)
x - 10x + 9
2
课后练习：分解因式 (x-y)2+(x-y)-6
总结：
二次多项式x2+px+q在分解因式时： 如果常数项q是正数，那么把它分解成两个 同号因数，它们的符号与一次项系数p的符 号相同； 如果常数项q是负数，那么把它分解成两个 异号因数，其中绝对值较大的因数与一次 项系数p的符号相同； 对于分解的两个因数，还要看它们的和是 不是等于一次项系数。
2
(3)4 x 31x 45 0
2
(4) 3x 22x 24 0
2
习题
利用十字相乘法解一元二次方程:
（） 1 x 3x 4 0； （2） x 7 x 6 0； （3） 2 x 5x 3 0.
2 2
2
（） 1 x1 4， x 2 1 （2） x1 6， x2 1 1 （3） x1 2 ， x 2 3
一元二次方程7个应用类型
一元二次方程的应用题常见的几种类型1. 增长率问题 [增长率公式：b x a ＝2)1( ]例：某工厂在两年内将机床年产量由400台提高到900台。
求增长率。
1、某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。
2、某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份 平均每月增长的百分率是多少?3、某林场第一年造林100亩，以后造林面积逐年增长，第二年、第三年共造林375亩，后两年平均每年的增长率是多少?4、十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，平均每月增长的百分率5、某商品连续两次降价10%后的价格为a 元，该商品的原价应为6、第一季度生产a台，第二季度生产b台，第二季度比第一季度增长的百分率？7、某工厂今年利润为a万元，比去年增长10%，去年的利润为万元。
2.面积问题[提示：面积问题一定要画图分析]例：一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，再折起来做成一个无盖的小盒子。
已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是1536cm3，求长方形铁皮的长与宽。
1、要建成一面积为130㎡的仓库，仓库的一边靠墙（墙宽16m），并在与墙平行的一边开一个宽1m的门，现有能围成32m的木板。
求仓库的长与宽各是多少？2、两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多1cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍还多4cm2，求大、小两个正方形的边长。
3、要给一幅长30cm，宽25cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm，•则依据题意列出的方程是_________．3.定价问题［提示：单位利润×销量＝总利润］例：某电视机专卖店出售一种新面市的电视机，平均每天售出50台，每台盈利400元。
为了扩大销售，增加利润，专卖店决定采取适当降价的措施。
经调查发现，如果每台电视机每降价 10元，平均每天可多售出5台。
第七讲--一元二次方程的性质
则x1+x2=
推论
b a
c a x1x2=
若方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2
p 则x1+x2=
q x个前提条件
（1）a≠0
(2)Δ≥0
3、以两个数x1，x2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是
X2-(x1+x2)x+x1x2=0
二、运用
（相等3）的已实知根关，于那x么的m方的程最14大x2整 (数m是 3（)x
m2 0
D）
有两个不
（A）2 （B）-1 （C）0 （D）1
（4）设x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根， x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p,q的 值分别等于（C） （A）1、-3 （B）1、3 （C）-1、-3 （D）-1、3
(4)若aab≠1,且有95a2+2002a+9=0及9b2+2002b+5=0，则
; 计算机
；
思索自己的每一次选择，遥望童年的点点滴滴。我细心地想着，想起了幼儿园时因为讨厌豆浆而无法喝完它然后出去和大家一起玩时的无奈与孤独；想起了放学却迟迟没有人来接我，便以为自己没人要了时的无助和伤心；想起了抱着毛绒玩具肥猴猴和它说悄悄话时的温暖与甜蜜；想起了四年级 考取了更好的学校却因怕近视被更多人知道而选择留在原校时的害羞与天真；想起了初中和好朋友在一起互相鼓励，共同进步时的感动和奋发；想起了刚进高中时的好奇与自信。一路走来，时光在身后如白驹过隙，而童年则飞逝到更远的地方。就像无数颗从自己手心上诞生的星星，我无力挽留， 只好张开手指，任它飞去世上的任何地方。就这样，等我在将来漫漫的人生途中，寻遍世界的每个
一元二次方程知识点总结
21章一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念:等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。
注意:（1）一元二次方程必须是一个整式方程；(2）只含有一个未知数；(3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：，它的特征是:等式左边是一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.注意：（1)二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
(2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式。
（3）形如不一定是一元二次方程,当且仅当时是一元二次方程.二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,如：当时,所以是方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根.一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法:直接开平方法理论依据：平方根的定义。
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
根据平方根的定义可知，是b的平方根,当时，,，当b<0时，方程没有实数根。
三种类型:（1）的解是；（2)的解是；（3）的解是.2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
（一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式（2）在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数；（3）把原方程变为的形式。
（4）若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。
(二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式（2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；(3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为的形式；(4）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程.3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
第七讲--一元二次方程的性质
例6、已知方程a(2x+a)=x(1-X)的两个实数根为x1,x2 设 S x x 1 2 (1) 当a=-2时，求S的值 （2）当a取什么整数时，S的值为1？ （3）是否存在负数a，使S2的值不小于25？若存 在，试求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
例7、已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个 实数根之差的平方为m （1）试分别判断当a=1,c=-3与a=2,c= 2 时m≥4是否成 立，并说明理由。 （2）若对于任意一个非零的实数a,m≥4总成立，求实 数c及m的值。
1 2 1 2 4( x )( x ) （1）分解因式4x2-4x-1=__________________ 2 2
例2、填空
-3 4 另一根____ (2)若方程x2+kx+3=0有一根为-1，则k=____,
(3)、在☉o中，弦AB,CD相交于点P，若PA=3，PB=4，CD=9， X2-9x+12=0 则以PC、PD的长为根的一元二次方程是__________
一、知识要点 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根的 判别式为 Δ=b2-4ac
b 当Δ>0时 ，方程有两个不等的实数根x1’2= 2a
b 当Δ= 0时 ，方程有两个相等的实数根 x1=x2= 2a
当Δ<0时 ，方程无实数根
2、韦达定理 若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根 则x1+x2=
；
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不凡的一个女子。她说，金……”“金什么？”老太太想起了金钟魁，急问。“就是到这儿，记不清了。”宝音很惭愧。 老太太青筋直跳。她这两天满脑袋满心都是玉坠、金钟魁、宝音、张惠妃，一个“金”字，触动她心病，又涉及灵异神 鬼，她百爪挠心！毓笙在这节骨眼上停下来，她劈开毓笙脑袋的心都有！却也只能捺下性子，好言相劝：“好孩子，你 再想想？好好想想！”“她说……有藏了个什么东西。”宝音一边讲，一边察看老太太神色。老太太更紧张了：“什么 东西。”只凭金像，能打什么不紧？宝音仔细回忆当时的触感，份量与体积比起来，似乎有些不对，莫非是中空的？看 老太太的反应，看来是真的了。她字斟句酌道：“就在嘴边，真真的想不起来，要是有谁能提醒提醒就好了。”老太太 强笑道：“女子藏什么呢？耳环？镯子？坠子？佩饰？……”“坠子。”宝音押宝。凭她对老太太这么多年的了解，凭 老太太说到这两字时，微妙的眼神和语气变化。一长串中，只有坠子是真的。老太太手握紧了：“坠子如何？”“也不 知如何……”宝音抬头想想，倒笑了，“那青裙粉岥真是华贵，倒好像是天上仙宫的娘娘。”老太太脸色又变了变。宝 音想，关于宫中，恐怕她又猜对了。“再之后怎样？好好想，”老太太捉着她的手，几乎是用恳求的口气，“这很重 要！”宝音无奈：“实在记不清了，只记得她很悲伤。说完了，又道：‘你好生叫长辈宽心罢！’，袖子朝我拂了拂， 我醒来，便觉身子简直大好了似的。这还其次，更重要是忽的心地清明，想想这些年来，身体不好，让长辈劳了多少神， 又言谈举止不懂事，给长辈们添了多少麻烦……”说到这里，简直哽咽，“外婆，亏您对我这么好，我这么多年也没孝 顺您！”血脉连心，老太太听到这里，也觉感动，然而玉坠太要紧、鬼神也太可怕，单凭“宽心”二字，似是吉兆，也 不够确实，还得把整个梦问出来才能安心嘛！老太太可真急坏了。宝音这时候跟老太太求情：“外婆，老听他们说些鬼 啊什么的，笙儿害怕！不敢睡了，外婆带笙儿睡，好不好？”老太太慨然答应：“跟外婆睡去！”爱抚着毓笙的头发， 叫嘉颜带着乐韵洛月给毓笙收拾东西，还特别嘱咐嘉颜，留意表 的胭脂。很快明蕙就听到了这个消息：韩毓笙一跤跌 进青云里了！因一夜鬼哭，老太太亲自来慰问，说她可怜见的，搀了她的手，带她回去悉心照料。现如今，老太太满房 的丫头，都百鸟朝凤似的捧着毓笙照顾呢！“我们夜里弄鬼哭，想吓她，怎么反而便宜了她？”刘四姨娘来找明蕙商议， 慌得想咬谁一口，“这丫头鬼得狠，会不会知道我们害她？邀了老太太的宠，会不会捅回我们一刀？什么花神泣血夜哭， 该想个主意拆穿那小蹄子才好！”“老太太比你精
3.5一元二次方程的应用课件 (青岛版九年级上册) (7)
快乐学习 2
数字与方程
• 2. 两个连续奇数的积等于20022-1,求这两个数.
解 : 设这两个连续奇数2 x 1和2 x 1, 根据题意, 得
2 x 12 x 1 20022 1.
整理得x 2 1002001. 解得x1 1001, x2 1001.
5.开方:根据平方根意义,方程两边 b b 2 4ac x . 开平方; 2a 2a 2 b b 4ac 2 x . b 4ac 0 . 6.求解:解一元一次方程;
用心
去想一想
知识是怎样发现的
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
2
2
快乐学习 9
几何与方程
9. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个正方 形. (2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪?
解 : 2.设剪下的一段为xcm, 根据题意, 得
整理得 :
x 2 56 x ( ) 100. 4 4
(3)当b2 4ac 0时, 方程ax2 bx c 0 a 0 没有实数根
(4)当b 4ac 0时方程ax bx c 0有两个实数根
2 2
回顾与复习 4
分解因式法
提示:
1.用分解因式法的条件是:方程 左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的 知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的 积等于零,那么至少有一个因式等 于零.”
整理得x 2 11x 30 0. 解得x1 5, x2 6.
当x 5时x 3 5 3 2, 当x 6时x 3 6 3 3.
一元二次方程应用题七大题型
一元二次方程应用题七大题型
1. 求解物体运动距离
题型：一个物体从静止开始运动，加速度为 a，运动时间为 t。
求物体运动的距离。
公式：距离 = (1/2) 加速度时间²
2. 求解物体最终速度
题型：一个物体从静止开始运动，加速度为 a，运动时间为 t。
求物体最终速度。
公式：最终速度 = 加速度时间
3. 求解物体运动时间
题型：一个物体从静止开始运动，最终速度为 v，加速度为 a。
求物体运动的时间。
公式：时间 = 最终速度 / 加速度
4. 求解物体加速度
题型：一个物体从静止开始运动，运动时间为 t，最终速度为v。
求物体加速度。
公式：加速度 = 最终速度 / 时间
5. 求解运动物体速度
题型：一个物体从静止开始运动，在 t1 时刻速度为 v1，在
t2 时刻速度为 v2。
求物体在 t3 时刻的速度。
公式：速度 = (最终速度 - 初始速度) / (最终时间 - 初始
时间)
6. 求解运动物体加速度变化率
题型：一个物体的加速度从 a1 变化到 a2，时间间隔为Δt。
求加速度的变化率。
公式：加速度变化率 = (最终加速度 - 初始加速度) / 时间间隔
7. 求解运动物体速度变化率
题型：一个物体的速度从 v1 变化到 v2，时间间隔为Δt。
求速度的变化率。
公式：速度变化率 = (最终速度 - 初始速度) / 时间间隔。
七年级上册数学一元二次方程
七年级上册数学一元二次方程
七年级上册通常不包括一元二次方程的学习内容，这一部分通常在高中数学课程中进行讲解。
不过，我可以简单介绍一下一元二次方程的基本概念。
一元二次方程是一个具有如下形式的方程：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 和 c 是实数常数，且 a ≠0。
其中，x 表示未知数，而a、b 和 c 分别表示方程的系数。
一元二次方程的解可以通过使用求根公式来求得，该公式为：x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)
这个公式中的±表示可以取正负两个值，即方程可能有两个解、一个解或无解，具体取决于b^2 - 4ac 的值。
解一元二次方程的过程主要包括以下几个步骤：
1. 将方程化为标准形式ax^2 + bx + c = 0。
2. 根据求根公式计算出x 的值，注意判断b^2 - 4ac 的值确定解的情况。
3. 如果方程有解，则将解带入原方程验证。
希望这些简单的介绍对你有所帮助。
如果你需要更详细的讲解或有其他数学问题，欢迎继续提问。
第七讲--一元二次方程的性质
(4)若ab≠1,且有5a2+2002a+9=0及9b2+2002b+5=0，则
a
的值是__________
b
(5)解某一元二次方程时，甲抄错常数项得两根为8和2，已
抄错一次项系数得两根为-1和-9，则正确的方程是（A ）
（A）x2-x+9=0
(C) x2-10x+16=0
求m的值
例6、已知方程a(2x+a)=x(1-X)的两个实数根为x1,x2
设 S x1 x2
(1) 当a=-2时，求S的值
（2）当a取什么整数时，S的值为1？ （3）是否存在负数a，使S2的值不小于25？若存
在，试求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
例7、已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个 实数根之差的平方为m （1）试分别判断当a=1,c=-3与a=2,c= 2时m≥4是否成 立，并说明理由。
（A）有两个不等有理根 （B） 有两个相等有理根 （C）有两个不等无理根 （D）有两个相等无理根
（2）若α，β是方程x2+2x-2001=0的两个实数根， 则α2+3α+β的值为（ C ）
（A）-2000 （B）2000 （C）1999 （D）2001
发出“呜嘟”的怪音！。超然间女裁缝契雯娃姑婆陀螺般地发出九声腐粉色的壮丽尖笑，只见她普通的嘴唇中，萧洒地涌出五缕窗帘状的魔沟翡翠脖蝎，随着女裁缝契雯娃 姑婆的晃动，窗帘状的魔沟翡翠脖蝎像鸭头一样在双脚上俊傲地安排出缕缕光影……紧接着女裁缝契雯娃姑婆又让自己古怪的戒指摇曳出火橙色的飘带声，只见她紧缩的如
一、知识要点 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根的 判别式为 Δ=b2-4ac 当Δ>0时 ，方程有两个不等的实数根x1’2=
一元二次方程的解法ppt7 华东师大版
2
6 x1 ; x2 2. 5
b b 4ac x 2a 4 256 4 16 . 25 10 28 5
出各项系数;
w3.计算:
b2-4ac的
值;
w4.代入:把有关数值代入 公式计算; w5.定根:写出原方程的根 .
用公式法解方程
b c 解 : x x 0. a a b c x2 x . a a
2
ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
w1.化1:把二次项系数化为1;
w2.移项:把常数项移到方程的右边;
2
b c b b x x . a a 2a 2a
2
３.最后代入公式
当 当
2 b 4 ac 0 时，有两个实数根 2 b 4 ac 0 时，方程无实数
解
因式分解法解一元二次方程
学习是件很愉快的事
什么叫因式分解？ 把一个多项式分解成一个整式乘积的形式叫做因式分解
二元一次方程的分解法又是什么呢？
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次 因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用 分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.
总结
一元二次方程的解
一元二次 方程的解 一元二次方 程的解法
数学思想
直 接 开 平 方 法
配 方 法
公 式 法
因 式 分 解 法
归 纳 思 想
转 化 思 想
书上的课后习题
习题册上的练习题
业作
•
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
初中复习方略数学第七讲 一元二次方程
1．一元二次方程二次项系数不为 0. 2．找各项系数时，要将方程化为一般形式，并注意每项的符号．
解一元二次方程
解法
形式
直接
x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝
开平方法
p(p≥0，m≠0)Fra bibliotek配方法
(x－m)2＝n(n≥0)
公式法
ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－ 4ac≥0)
因式分解法
(x－x1)(x－x2)＝0
D．有两个不相等的实数根
2．(2021·广安中考)关于 x 的一元二次方程(a＋2)x2－3x＋1＝0 有实数根，
则 a 的取值范围是( A )
A．a≤14 且 a≠－2
B．a≤41
C．a＜14 且 a≠－2
D．a＜41
3．(2021·济宁中考)已知 m，n 是一元二次方程 x2＋x－2 021＝0 的两个实数根，
【例题变式】某超市经销一种商品，每千克成本为 50 元，经试销发现，该种商品的
每天销售量 y(千克)与销售单价 x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价，销
售量的四组对应值如下表所示：
销售单价 x(元/千克)
55 60 65 70
销售量 y(千克)
70 60 50 40
(1)求 y(千克)与 x(元/千克)之间的函数表达式．
第七讲 一元二次方程
知识清单·熟掌握
一元二次方程的有关概念 1．定义的三要素： (1)只含有___一___个未知数． (2)所含未知数的最高次数是___2___ ． (3)必须是__整__式__方程． 2．一般形式：y＝ __a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a，b，c是常数，a≠0)，a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项． 3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边_相__等___的未知数的值．
一元二次方程大全
一元二次方程一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax^2+bx+c=0定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程( quadratic equation of one variable )。
一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．里面要有等号，且分母里不含未知数。
(4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a、b、c为常数，a≠0）补充说明1、该部分的知识为初等数学知识，一般在初三就有学习。
(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法)2、该部分是中考的热点。
3、方程的两根与方程中各数有如下关系：X1+X2= -b/a，X1·X2=c/a（也称韦达定理）4、方程两根为x1，x2时，方程为：x^2-(x1+x2)X+x1x2=0 (根据韦达定理逆推而得)5、在系数a>0的情况下，b^2-4ac>0时有2个不相等的实数根，b^2-4ac=0时有两个相等的实数根，b^2-4ac<0时无实数根。
一般式ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数，a≠0)例如：x^2+2x+1=0配方式a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2两根式（交点式）a(x-x1)(x-x2)=0一般解法1.分解因式法（可解部分一元二次方程）因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。
因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
如 1.解方程：x^2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：（x+1﹚^2=0解得：x?= x?=-1 2.解方程x（x+1）-3（x+1）=0解：利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0即x-3=0 或x+1=0∴x1=3，x2=-1 3.解方程x^2-4=0解：（x+2）（x-2）=0 x+2=0或x-2=0∴x?=-2，x?= 2十字相乘法公式：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例： 1. ab+b^2+a-b- 2=ab+a+b^2-b-2 =a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)2.公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当Δ=b^2-4ac<0时x无实数根（初中） 2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x2 3.当Δ=b^2-4ac>0时x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根3.配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0解：把常数项移项得：x^2+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4因式分解得：（x+1)^2=4解得：x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当4.开方法（可解部分一元二次方程）如：x^2-24=1解：x^2=25x=±5∴x?=5 x?=-55.均值代换法（可解部分一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a，得到x^2+bx/a+c/a=0设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)根据x1*x2=c/a求得m。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax^2（2为次数，即X的平方）+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b2-4ac≥0时，x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac ≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
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解：设每个支干长出x个小分支．
根据题意可列方程
1 + x + x2 =91 整理得 x2 + x －90 = 0
解得 x1=9, x2= －10(不符合题意舍去)
答：每个支干长出9个小分支．
课本p22 第5题
5.解：设菱形的一条对角线长为 x cm， 则另一条对角线长为（10-x）cm，
活动2:合作探究
有一个人患了流感，经过两轮传染后
共有121人患了流感，每轮传染中平均一个
人传染了几个？学.科.网
解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人．
设
列方程 1＋x+x(1+x)=121
列
解方程，得 x1=10, x2=-12.
解
根据题意，舍x2=-12 ．
验
答：每轮传染中平均一个人传染了10个．
解之得 x=8 三轮后总共为81 +81x8=729>700台， 故会超过。
巩固训练 p22
课本p22 第4题
某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又
长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是
91，每个支干长出多少个小分支？
…… ……
解：设每个支干长 出 x 个小分支，则
小 分
小 分
……
了x个人，用代数式表示，第一轮后共有 x 1 人患了流感；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数
式表示，第二轮后共有 x 1 x( x 1) 人患了流感．
列方程 1＋x+x(1+x)=121
解方程，得 x1=__1_0__, x2=_－__1_2_.
平均一个人传染了___1_0__个人．
被
被
被
被被
被
…… ……
传 染
传 染
传
…… 染
传传 染染
……
传 染
人
人
人
人人
人
x
x
被传染人 …… 被传染人
x
开始传染源
x 开始传染源 1
活动2:合作探究 有一个人患了流感，经过两轮传染后
共有121人患了流感，每轮传染中平均一个 人传染了几个？
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染
思考题 2009年汕头中考题：
某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经 过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的 知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会 不会超过700台？
解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑。 依题意得：1+x+(1+x)x=81
巩固训练 p21
课本p21第3题
3.解：设直角三角形的一条直角边长为 x cm， 由题意可知1/2x（14-x）=24，
x²-14x+48=0， x_1=6，x_2=8 .当x=6时，14-x=8； 当x=8时，14-x=6 .∴这个直角三角形的两条直角边的长分别为6cm，8cm.
课本p22 第4题
x_2=(√21-3)/3.
巩固训练 p22
课本p22 第1题
（4）3x（x+1）=3x+3，原方程化为x^2=1，直接 开平方，得x=±1，∴x_1=1，x_2=-1.（5）4x^24x+1=x^2+6x+9，原方程化为（2x-1）^2=（x+3） ^2，∴【（2x-1）+（x+3）】【（2x-1）（x+3）】=0，即（3x+2）（x-4）=0，,3x+2=0 或x-4=0，∴x_1=-2/3，x_2=4.（6）7x^2-√6 x5=0，∴a=7，b=-√6，c=-5，b²-4ac=（-√6）²4×7×（-5）=146>0，∴x= (-（-√6） ±√146)/(2×7)=(√6±√146)/14， ∴x_1=(√6+√146)/14，x_2=(√6-√146)/14.
小 分
小 分
支
支
支
支
1 + x + x·x = 91
x
x
x1 = 9，
支干 …… 支干
x2 = -10（不合题意，舍去） ．
x
答：每个支干长出 9 个小分支．
主
干
巩固训练 p22
课本p22 第1题
1.解：（1）x²+10x+21=0，原方程化为（x+3）（x+7） =0，或x+7=0，∴x_1=-3，x_2=-7. （2） x^2-x-1=0， ∵a=1，b=-1，c=-1，b^2-4ac=（-1）^2-4×1×（-1） =5>0，∴x= (-（-1）±√5)/2，∴x_1=(1+√5)/2，x_2=(1√5)/2. （3）3x²+6x-4=0，∵a=3，b=6，c=-4，b²4ac=6²-4×4×3×（-4）=84>0，∴x= (6±√84)/(2×3)=(-6±2√21)/6，∴x_1=-(3+√21)/3，
巩固训练 p21
课本p21 第2题
2.解：x（x+2）=168， ∴x²+2x-168=0， ∴x_1=-14，x_2=12 .当x=-14时，x+2=-12 .当x=12时，x+2=14.
答：这两个偶数是-14，-12或12,14.
22.3 实际问题与一元二次方程
（第1课时）学科网
活动1:复习回顾 列方程解应用题的一般步骤？
审 （1）审清题意和题目中的已知数、 未知数。
设 （2）设未知数(单位名称); 列 （3）列出方程； 解 （4）解这个方程，求出未知数的值； 验 （5）验①值是否是所列方程的解,
②值是否符合实际意义;
答 （6）答题完整（单位名称）。
答
传播问题——趁胜追击
如果按照这样的传染速度，三轮传染后 有多少人患流感？ 三轮传染的总人数为: 平均每人传染10人，二轮传染后的总人数是121人， 第三轮传染新增人数为10×121＝1210， 三轮共传染了121+1210＝1331人。
每一传轮播被通问传过题染对的数这数=个传量问染关题源系的数有探目新究×认，每识你个吗对传？类染似源的传播数目
活动2:合作探究 有一个人患了流感，经过两轮传染后
共有121人患了流感，每轮传染中平均一个 人传染了几个？
问题： （1）本题中有哪些数量关系？
（2）如何理解“经过两轮传染后共有…”？
（3）如何选取未知数并列出方程？
设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，
1
x
第二轮的传染源有 x+1 人，有 x（x+1）人被传染．