海珠区2010届高三第一次综合测试卷(理)及参考答案

广州市海珠区2010届高三第一次综合测试卷数 学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回． 参考公式：1.锥体的体积公式13V sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 2．如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+3.若在每次试验中，事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中，事件A恰好发生k 次的概率为()(1)k kn k n P X k C p p -==-，0,1,,k n = ．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}5,4,3,2,1=U ，{}4,2,1=A ，{}5,4=B C U ，则=⋂B A A ．{}2,1B ．{}4C ．{}3,2,1D ．{}5,32. 若平面向量,2=，()1,1-=，//,则=A ．()1,1-B ．)1,1-或()1,1-C ．()1,1-D ．()1,1或()1,1-- 3.()612+x 展开式中2x 的系数为A ．30B ．120C ．60 D.154．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若,15,934==S a ，则数列{}n a 的通项为 A ．32-n B ．12-n C ．12+n D ．32+n 5．给定下列四个命题：①若两个平面互相垂直,那么分别在这两个平面内的任意两条直线也互相垂直; ②若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直； ③若两个平面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.④若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 其中，为真命题的是A ．①和③B ．②和③C ．③和④D ．①和② 6.已知函数()()0,sin >∈=ωωR x x x f 的最小正周期为π,为了得到函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin πωx x g 的图象,只要将()x f y =的图象A ．向左平移4π个单位长度B ．向右平移4π个单位长度C ．向左平移8π个单位长度D ．向右平移8π个单位长度7.直角梯形ABCD 如图1,动点P 从点B 出发,由A D C B →→→沿边运动,设点P运动的路程为x ,ABP ∆的面积为()x f .如果函数()x f y =的图象如图2所示,则ABC ∆的面积为A ．10B ．32C ．18D ．168.一圆形纸片的圆心为原点O,点Q 是圆外的一定点,A 是圆周上一点,把纸片折叠使点A 与点Q 重合,然后展开纸片,折痕CD 与OA 交于P 点,当点A 运动时P 的轨迹是 A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～12题）9.阅读如图3所示的流程图,若为虚数单位）i ii a (11-+=,0015cos 15sin 2=b ,212-=c 则输出的数是 . (以数字作答).CBD AP图1图210．如图4，矩形ABCD ，AB=2，BC=1，A ，B 两点关于坐标原点对称，在矩形ABCD 内随机撒一把黄豆，落在曲线2x y =与x轴所围成阴影部分的概率为 . 11.随机变量X 的分布列如下表：若X 的均值31=EX ，则X的方差DX 的值是 ． 12.如图5，在平面上，用一条直线截正方形的一个角则截下一个直角三角形按图所标边长，由勾股定理得222ba c +=.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥ABC O -,若用321,,s s s 表示三个侧面面积,4s 表示截面面积,你类比得到的结论是 .（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）直线2cos =θρ截圆⎩⎨⎧+-=+=θθsin 22cos 21y x （θ为参数）所得的弦长为 .14．（不等式选讲选做题）453≥-+-x x 的解集是 .15．(几何证明选讲选做题）如图5,⊙O 的直径cm AD 2=，四边形ABCD 内接于⊙O ，直线MN 切⊙O 于点B ，030=∠MBA ，则AB 的长是 .cm2x y =图4ab cCAO图5三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤， 16．(本小题满分12分）在锐角三角形ABC 中，BC=1，2=AB ，()414B sin =-π. （1）求AC 的值；（2）求()B A -sin 的值.17.(本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，为此市政府首先采用抽样调查的方法获得了n 位居民某年的月均用水量（单位：吨）.根据所得的n 个数据按照区间[)[)[)[)[)[)[)[)[]5.4,4,4,5.3,5.3,3,3,5.2,5.2,2,2,5.1,5.1,1,1,5.0,5.0,0进行分组，得到频率分布直方图如图(1)若已知n 位居民中月均用水量小于1吨的人数是12,求n 位居民中月均用水量分别在区间[)5.2,2和[)3,5.2内的人数;（2）在该市居民中随意抽取10位，求至少有2位居民月均用水量在区间[)5.2,2或[)3,5.2内的概率.(精确到0.01.参考数据:0071.061.0,012.061.0109≈≈)18.(本小题满分14分）如图7，在直三棱柱111C B A ABC -中，2,1,1===⊥AA AC AB AC AB ，E D 、分别是11CC 、BB 的中点，M 是DE 的中点.(1)求证:1AMA DE 平面⊥; (2)求三棱锥ADE A -1的体积; (3)求二面角E DA A --1的余弦值.19.(本小题满分14分）已知椭圆C :2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为35,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 上的动点P 引圆O ：222b y x =+的两条切线PA 、PB ，A 、B 分别为切点，试探究椭圆C 上是否存在点P ，由点P 向圆O 所引的两条切线互相垂直？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.A 1C 1CB B1MDEA图7图820.(本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,满足12-=n n a S . (1)求数列的通项n a 及前n 项和n S ; (2)若数列{}n b 满足()()()*+∈+⋅+=N n S S b n n n 1log 1log 1122,求数列{}n b 的前n 项和n T ;(3)若对任意的R x ∈,恒有22+-<ax x T n 成立,求实数a 的取值范围.21.(本小题满分14分）已知函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=.01,03123x e x mx x x f x（1）当0≤x 时，函数()x f 在()()1,1--f 处的切线方程为013=+-y x ，求m 的值； （2）当0>x 时，设()1+x f 的反函数为()x g 1-（()x g 1-的定义域即是()1+x f 的值域）.证明:函数()()x g x x h 131--=在区间()3,e 内无零点,在区间()2,3e 内有且只有一个零点；（3）求函数()x f 的极值.2010年海珠区普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．8B二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，每小题5分，满分30分．9．1 10．31 11．95 12．23222124s s s s ++= 13．32 14．{}6,2≥≤x x x 或 15．1三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式、正弦定理、余弦定理等知识，考查化归与转化的数数思想方法和运算求解能力） 解：（1） ABC ∆为锐角三角形，()414B sin =-π 414sin =∴B ……1分 .4216141sin 1cos 2=-=-=∴B B ……2分 ∴在ABC ∆中，由余弦定理得：B BC AB BC AB AC cos 2222⋅-+=……3分()421221222⨯⨯⨯-+=2=……5分.2=∴AC ……6分（2）在ABC ∆中，由正弦定理得BACA BC sin sin =……7分 得4724141sin sin =⨯=⨯=ACBBC A ……8分∴431671sin 1cos 2=-=-=A A .……9分 ()B A B A B A sin cos cos sin sin -=-∴……10分414434247⨯-⨯=814-=……12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布直方图、二项分布、和事件、互斥事件等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意思）解：（1）根据频率直方图可得n 位居民中月均用水量小于1吨的频率为()12.05.016.008.0=⨯+……2分10012.012==∴n （人）……3分 ∴根据频率直方图可得n 位居民中月均用水量在区间[)5.2,2内的人数是251005.05.0=⨯⨯（人）……5分在[)3,5.2内的人数是141005.028.0=⨯⨯（人）……7分（2）设B 、A 分别表示随机事件“居民月均用水量在区间[)5.2,2内”和 “居民月均用水量在区间[)3,5.2内”, 则事件B 、A 互斥. ……8分∴居民月均用水量在区间[)5.2,2或[)3,5.2内的概率是()()()39.0100391001410025==+=+=⋃=B P A P B A P P ……9分 设X 表示10位居民中月均用水量在区间[)5.2,2或[)3,5.2内的人数,则X ～()39.0,10B ……10分∴所求概率是()()()1012=-=-=≥X P X P X P=9111010001061.039.061.039.01⨯⨯-⨯⨯-C C012.039.0100071.01⨯⨯--≈ 95.0≈……12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间几何体中线面的位置关系，面积与体积，空间向量及坐标运算等基础知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 解:(1)证明:证法一:在直三棱柱111C B A ABC -中,⊥1AA 平面ABC ,⊂BC 平面ABCBC AA ⊥∴1E D 、分别是11CC 、BB 的中点，BC DE //=∴DE AA ⊥∴1……1分在BAC Rt ∆中,,1==AC AB 2=∴BC易证AC EC AB DB ⊥⊥,在DBA Rt ∆中,,1==AB DB 2=∴AD同理可得2=AEDEA ∆∴为等边三角形, ……2分又M 是DE 的中点,AM DE ⊥∴ ……3分,1A AA AM =⋂111,AMA AA AMA AM 平面平面⊂⊂……4分∴1AMA DE 平面⊥……5分证法二:以A 为原点，AB 、AC 、1AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，AB 的长度为单位长度建立空间直角坐标系. ……1分由题设知点M E D A A ,,,,1的坐标分别为()()()()⎪⎭⎫⎝⎛1,21,21,1,1,0,1,0,1,2,0,0,0,0,0.∴1AA ()2,0,0=,()0,1,1-=DE ,=⎪⎭⎫⎝⎛1,21,21……2分⋅=⋅∴,01=0 DE AA ⊥∴1AM DE ⊥,,……3分,1A AA AM =⋂111,AMA AA AMA AM 平面平面⊂⊂……4分∴1AMA DE 平面⊥……5分(2)解法一：取1AA 的中点F ，连EF DF ,1,1////==∴==AC EF AB DF EF DF AA DF ⊥⊥∴,1又E AA EF E AA ,1111平面，平面⊂⊂=⋂AA F EF AA⊥∴DF 平面E AA 1……6分∴A E A D A D E A 11V V --=……7分DF S AE A ⋅⋅=∆131……8分 DF EF AA ⨯⨯⨯⨯=12131 11261⨯⨯⨯= 31=……9分解法二：取1AA 的中点F ，连EF DF ,1,1////==∴==AC EF AB DF EF AA DF AA ⊥⊥∴11,,又,DEF EF DEF 平面，平面⊂⊂DF F EF DF =⋂E D AAF 1平面⊥∴……6分∴三棱锥ADE A -1的体积为 D FE A D FE A A D E A V V V 11---+=……7分11313131AA S FA S FA S DFE DFE DFE ⋅=⋅+⋅=∆∆∆……8分2112131⨯⨯⨯⨯==31……9分 解法三：易知DE A 1∆与AED ∆是全等的边长为2的等边三角形262231=⨯==∴AM M A ∴等腰三角形1AMA 的底边1AA 上的高为2212622=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ∴三角形1AMA 的面积为22222211=⨯⨯=∆AMA S ……6分 由（1）知1AMA DE 平面⊥∴三棱锥ADE A -1的体积为111A M A E A M A D A D E A V V V ---+=……7分ME S DM S AMA AMA ⋅+⋅=∆∆113131……8分DE S AMA ⋅=∆13122231⨯⨯= 31=……9分 （3）解法一：由（2）解法一、二易知⊥EF 平面BA B A 11，过F 作D A FH 1⊥于H,连接HEH FD F A ∴==,11 是D A 1的中点， F EF FH EF D A FH D A =⋂⊥⊥,,11∴⊥D A 1平面HEF ，⊂HE 平面HEF⊂⊥∴HF HE D A ,1平面DA A HF DE A 11,平面⊂，平面D A DA A DE A 111=⋂平面FHE ∠∴即是所求二面角E DA A --1的平面角. ……11分在HFE Rt ∆中,1,22221222121==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=EF H A F A HF 262212222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∴HF EF EH 332622cos ===∠∴EH FH FHE ……13分∴二面角E DA A --1的余弦值是33.……14分 解法二: 以A 为原点，、、1AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，AB 的长度为单位长度建立空间直角坐标系. ……10分由题设知点E C D A A ,,,,1的坐标分别为()()()()()1,1,0,0,1,0,1,0,1,2,0,0,0,0,0.∴1A ()1,1,0-=,()1,0,11-=A ,=()0,1,0……11分设平面DE A 1的法向量为()z y x n ,,=⎩⎨⎧=-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅000011z x z y n D A A ,取1=x ,得()1,1,1=.……12分 11A ,,平面⊥∴⊥⊥AC AC AA AC ABDA.3331===……13分 结合图象知二面角E DA A --1的余弦值是33.……14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、椭圆等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，考查数学探究能力以及运算求解能力）解：（1）设椭圆的半焦距为c ，依题意⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===222335c b a a a c ……3分2=∴b ，……4分∴所求椭圆方程为14922=+y x ．……5分 （2）如图，设P 点坐标为()00,y x ,……6分若090=∠APB ，则有AP OA =.……7分 即22OA OP OA -=……8分有422020-+=y x两边平方得82020=+y x ……①……9分又因为()00,y x P 在椭圆上,所以36942020=+y x ……②……10分 ①,②联立解得54,5362020==y x ……11分 所以满足条件的有以下四组解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==55255600y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==55255600y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=55255600y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=55255600y x ……13分 所以,椭圆C 上存在四个点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛552,556，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-552,556，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-552,556，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--552,556，分别由这四个点向圆O 所引的两条切线均互相垂直. ……14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列、递推数列、裂项求和、恒成立问题及解不等式等知识，考查化归与转化的思想方法以及综合运用知识分析问题和解决问题的能力） 解:(1)当1=n 时,1,12111=-=a a S , ……1分 当2≥n 时, 1211-=--n n a S ……2分∴1122---=-=n n n n n a a S S a ∴12-=n n a a ……3分∴数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列. 12-=∴n n a ()*∈N n ……4分()*∈-=--=N n S n nn 122121.……5分(2) ()()()()*++∈+=⋅=+⋅+=N n n n S S b n n n n n 112log 2log 11log 1log 1122122……6分()11431321211+++⨯+⨯+⨯=∴n n T n ……7分 11141313121211+-++-+-+-=n n ……8分()*∈+=N n n n 1……9分 (3) 由22+-<ax x T n 恒成立即212+-<+ax x n n恒成立 即21112+-<+-ax x n 恒成立……10分 必须且只须满足212+-≤ax x 恒成立……11分即012≥+-ax x 在R 上恒成立……12分∴()0142≤⨯--a ,……13分 解得22≤≤-a .……14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考察分段函数、函数与方程、函数导数、函数的极值、函数图象的切线等知识，考查化归与转化、分类与整合、函数与方程的数学思方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识） 解:（1）当0≤x 时,()2331mx x x f +=,()311-=-m f ……1分 ()mx x x f 22+=',()m f 211-=-'……2分函数()x f 在()()1,1--f 处的切线方程为:()()12131+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x m m y ……3分 整理得:()032363=-+--m y x m 所以有⎩⎨⎧=-=-132163m m ,解得.31=m ……4分 (2) 当0>x 时，()x e x f =+1,所以()()1ln 1>=-x x x g ,……5分()()x g x x h 131--==()1ln 31>-x x x ， ()xx x x h 33131-=-='令0)(>'x h 得3>x ；令0)(<'x h 得31<<x ,令0)(='x h 得3=x ，故知函数)(x h 在区间)3,1(上为减函数，在区间),3(+∞为增函数，在3=x 处取得极小值, 进而可知()x h 在()3,e 上为减函数，在()2,3e 上为增函数,在3=x 处取得极小值.……6分又 ()023)(,03ln 13,013)(22>-=<-=<-=e e h h e e h .……7分 所以,函数()()x g x x h 131--=在区间()3,e 内无零点，在区间()2,3e 有且只有一个零点 (8)分(3)当0>x 时,()1-=x e x f 在()+∞,0上单调递增,且()1-=x e x f >0. ……9分 当0≤x 时,()()m x x mx x x f 222+=+='. ①若(),0,02≥='=x x f m 则()331x x f =在(]0,∞-上单调递增,且()0313<=x x f . 又()00=f ,()x f ∴在R 上是增函数,无极值. ……10分②若0<m ,()()0222>+=+='m x x mx x x f ,则()2331mx x x f +=在(]0,∞-上单调递增.同理,()x f 在R 上是增函数,无极值. ……11分③若0>m ,()(),222m x x mx x x f +=+='令()0='x f ,得0,221=-=x m x . 当m x 2-<时, ()0>'x f 当02<<-x m 时, ()0<'x f所以,()2331mx x x f +=在(]m 2,-∞-上单调递增,在(]0,2m -上单调递减. 又()x f 在()+∞,0上单调递增,故()[](),00==f x f 极小()[]()3342m m f x f =-=极大.……13分综上, 当0>m 时,()[](),00==f x f 极小()[]234m x f =极大. 当0≤m 时, ()x f 无极值. ……14分。