2019版高中人版B版数学必修2练习：1.2.2第2课时平面与平面平行
新人教B版必修2高中数学课堂设计1.2.2空间中的平行关系(4)平面与平面平行学案
1.2.2 空间中的平行关系(4)——平面与平面平行自主学习学习目标1．掌握两平面平行的定义、图形的画法以及符号表示．2．理解两平面平行的判定定理及性质定理，并能应用定理．证明线线、线面、面面的平行关系．自学导引1．两个平面平行的定义：_______________________________________________________ _________________.2．平面与平面平行的判定定理：_______________________________________________________ ___.图形表示：符号表示：_______________________________________________________ _________________.推论：如果一个平面内有两条____________分别平行于另一个平面内的__________，则这两个平面平行．3．平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么____________________________．符号表示：若平面α、β、γ满足________________________，则a∥b.上述定理说明，可以由平面与平面平行，得出直线与直线平行．对点讲练知识点一平面与平面平行的判定例1已知E、F、E1、F1分别是三棱柱A1B1C1—ABC棱AB、AC、A1B1、A1C1的中点．求证：平面A1EF∥平面E1BCF1.点评要证平面平行，依据判定定理只需要找出一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面即可．另外在证明线线、线面以及线面平行的判定线面平行面面平行时，常进行如下转化：线线平行―-------→面面平行的判定面面平行．――------→变式训练1 正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别为棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.知识点二用面面平行的性质定理证线面平行与线线平行例2已知M、N分别是底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD棱AB、PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证：(1)MN∥平面PAD；(2)MN∥PE.点评该题充分体现了线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化关系．一般来说，证线面平行时，若用线面平行的判定定理较困难，改用面面平行的性质是一个较好的想法．变式训练2如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′中，点E在AB′上，点F在BD上，且B′E＝BF.求证：EF∥平面BB′C′C.知识点三综合应用例3如图所示，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.那么，在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？证明你的结论．点评解答开放性问题，要结合题目本身的特点与相应的定理，大胆地猜想，然后证明．变式训练3如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足______时，有MN∥平面B1BDD1.1．在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：2．注意两个问题(1)一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线，这种说法是不对的，但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行．(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一平面，但这两个平面内的直线不一定相互平行，也有可能异面.课时作业一、选择题1．设平面α∥平面β，直线α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在惟一一条与a平行的直线2．对于直线m、n和平面α，下列命题中是真命题的是( ) A．如果α，α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果α，α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n3．设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( ) A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l24．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )A．不共面B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A、B如何移动，都共面5．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是( )A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必与α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内二、填空题6．下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(m，n为直线，α，β为平面)，则此条件应为________．⎭⎪⎬⎪⎫ααm∥βn∥β α∥β7．平面α∥平面β，△ABC 和△A′B′C′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形________．8．下列命题正确的是________．(填序号)①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； ②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．三、解答题9．已知两条异面直线BA 、DC 与两平行平面α、β分别交于B 、A 和D 、C ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．求证：MN∥平面α.10.如图所示E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.【答案解析】自学导引1．没有公共点的两个平面2．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行β，β，a∩b＝P，a∥α，b∥αβ∥α相交直线两条直线3．它们的交线平行α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b对点讲练例1证明∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC.平面E1BCF1，平面E1BCF1，∴EF∥平面E1BCF1.∵A 1E1EB，∴四边形EBE1A1是平行四边形，∴A1E∥E1B.∵A1平面E1BCF1，E1平面E1BCF1，∴A1E∥平面E1BCF1.又∵A1E∩EF＝E，∴平面A1EF∥平面E1BCF1.变式训练1 证明如图，连接A 1C 1，AC.设A 1C 1分别交MN 、EF 于P 、Q ， AC 交BD 于O. 连接AP ，OQ ，B 1D 1. 在矩形A 1ACC 1中，PQ∥AO，∵M、N 、E 、F 分别是所在棱的中点， ∴MN 12D 1B 1，EF 12D 1B 1，∴P、Q 分别是四等分点，∴PQ＝12AC ，又∵AO＝12AC ，∴PQ AO.∴四边形PQOA 为平行四边形，∴AP∥OQ. ∴AP∥平面EFDB.又∵MN∥B 1D 1，EF∥B 1D 1， ∴EF∥MN，∴MN∥平面EFDB ， ∴平面AMN∥平面EFDB.例2 证明 (1)取DC 中点Q ，连接MQ 、NQ.∵NQ 是△PDC 的中位线，∴NQ∥PD.平面PAD ，平面PAD ，∴NQ∥平面PAD.∵M 是AB 中点，ABCD 是平行四边形， ∴MQ∥AD，平面PAD ，平面PAD.从而MQ∥平面PAD.∵MQ∩NQ＝Q ，∴平面MNQ∥平面PAD.平面MNQ ，∴MN∥平面PAD. (2)∵平面MNQ∥平面PAD ， 平面PEC∩平面MNQ ＝MN ， 平面PEC∩平面PAD ＝PE.∴MN∥PE.变式训练2 证明 方法一 连接AF 延长交BC 于M ，连接B′M. ∵AD∥BC，∴△AFD∽△MFB，∴AF MF ＝DF BF. 又∵BD＝B′A，B′E＝BF ， ∴DF＝AE.∴AF FM ＝AEEB′.∴EF∥B′M， 又平面BB′C′C，面BB′C′C，∴EF∥平面BB′C′C.方法二 作FH∥AD 交AB 于H ，连接HE. ∵AD∥BC，∴FH∥BC， 又平面BB′C′C ，平面BB′C′C，∴FH∥平面BB′C′C. 由FH∥AD，可得BF BD ＝BHBA，又BF ＝B′E，BD ＝AB′，∴B′E B′A ＝BHBA ，∴EH∥BB′，平面BB′C′C，面BB′C′C，∴EH∥平面BB′C′C，又EH∩FH＝H ， ∴平面FHE∥平面BB′C′C，平面FHE ，∴EF∥平面BB′C′C. 例3 解如图所示，当F 是棱PC 的中点时，BF∥平面AEC ， 证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ， 则FM∥CE.①由EM ＝12PE ＝ED 知，E 是MD 的中点，连接BM 、BD ，设BD∩AC＝O ，则O 为BD 的中点，所以BM∥OE.② 又BM∩FM＝M ，③由①②③可得，平面BFM∥平面AEC. 又平面BFM ，所以BF∥平面AEC.变式训练3 M∈线段FH 解析 ∵HN∥BD，HF∥DD 1， H N∩HF＝H ，BD∩DD 1＝D ， ∴平面NHF∥平面B 1BDD 1， 故线段FH 上任意点M 与N 连接， 有MN∥平面B 1BDD 1. 课时作业1．D [直线a 与B 可确定一个平面γ， ∵B∈β∩γ，∴β与γ有一条公共直线b. 由线面平行的性质定理知b∥a，所以存在性成立．因为过点B 有且只有一条直线与已知直线a 平行，所以b 惟一．] 2．C [若α，α，m ，n 是异面直线，如图(1)所示，此时n 与α相交，故A 不正确．B 项若α，α，m ，n 是异面直线，如图(2)所示，此时m 与n 为异面直线，而n 与α平行，故B 不正确．D 项如果m∥α，n∥α，m ，n 共面，如图(3)所示，m 与n 可能相交，故D 不正确．]3．B如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥面A1B1CD，CD∥面A1B1BA，但面A1B1CD与面A1B1BA相交，故A不正确；取AD中点为E，BC中点为F，则EF∥面ABB1A1，C1D1∥面ABB1A1，但面ABB1A1与面EFC1D1不平行，故C不对；虽然EF∥AB且C1D1∥面A1B1BA，但是面EFC1D1与面A1B1BA 不平行，故D不正确．对于选项B，当l1∥m，l2∥n且α，α时，有l1∥α，l2∥α.又l1与l2相交且都在β内，∴α∥β，而α∥β时，无法推出m∥l1且n∥l2.∴l1∥m且l2∥n是α∥β的充分不必要条件．]4．D如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E.连接CE、C′E.则CE∥AA′，∴CE∥α.C′E∥BB′，∴C′E∥β.又∵α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E.∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．]5．D [A，B，C在平面α的异侧时，A错；而A，B，C在平面α同侧时，B错；A，B，C在平面α的异侧时，平面ABC有可能垂直于平面α，C错．]6．m，n相交7．相似解析由于对应顶点的连线共点，则AB与A′B′共面，由面与面平行的性质知AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′，故两个三角形相似．8．③④9.证明过A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连接MP、PN、BE、ED.∵AE∥CD，∴AE、CD确定平面AEDC.则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC ， ∵α∥β，∴AC∥DE.又P 、N 分别为AE 、CD 的中点，α，α，∴PN∥α.又M 、P 分别为AB 、AE 的中点， ∴MP∥BE，且α，α，∴MP∥α，又∵MP∩PN＝P ，∴平面MPN∥α. 又平面MPN ，∴MN∥α.10．证明 (1)取B 1D 1中点O ，连接GO ，OB ，易证OG∥B 1C 1， 且OG ＝12B 1C 1，BE∥B 1C 1，且BE ＝12B 1C 1，∴OG∥BE 且OG ＝BE ，四边形BEGO 为平行四边形．∴OB∥GE.平面BDD 1B 1，平面BDD 1B 1，∴GE∥平面BDD 1B 1.(2)由正方体性质得B 1D 1∥BD， ∵B 1D 1平面BDF ，平面BDF ， ∴B 1D 1∥平面BDF.连接HB ，D 1F ，易证四边形HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.∵HD1平面BDF，平面BDF，∴HD1∥平面BDF，∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.。
高中数学人教B版必修二学案：第一单元 1.2.2 第3课时 平面与平面平行 Word版含答案
第3课时平面与平面平行学习目标1.掌握平面与平面的位置关系，会判断平面与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示平面间的位置关系.3.掌握空间中面面平行的判定定理及性质定理，并能应用这两个定理解决问题．知识点一平面与平面平行的判定思考1三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？思考2三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？梳理平面平行的判定定理及推论知识点二平面与平面平行的性质观察长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个面：平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1.思考1平面A 1B 1C 1D 1中的所有直线都平行于平面ABCD 吗？思考2过BC 的平面交平面A 1B 1C 1D 1于B 1C 1，B 1C 1与BC 是什么关系？梳理平面平行的性质定理及推论类型一平面与平面平行的判定例1如图所示，在正方体AC 1中，M ，N ，P 分别是棱C 1C ，B 1C 1，C 1D 1的中点，求证：平面MNP ∥平面A 1BD .引申探究若本例条件不变，求证：平面CB 1D 1∥平面A 1BD .反思与感悟判定平面与平面平行的四种常用方法(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.跟踪训练1如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.类型二面面平行性质的应用命题角度1与面面平行性质有关的计算例2如图，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD ＝34，求CS的长．引申探究若将本例改为：点S在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求CS的长．反思与感悟应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练2如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________．命题角度2利用面面平行证明线线平行例3如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形．反思与感悟本例充分利用了▱A′B′C′D′的平行关系及AA′，BB′，CC′，DD′间的平行关系，先得出线面平行，再得面面平行，最后由平面平行的性质定理得线线平行．跟踪训练3如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形．类型三平行关系的综合应用例4设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P 分别为AB，CD的中点．求证：MP∥平面β.反思与感悟线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：跟踪训练4如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，使得平面D1BQ∥平面P AO?1．下列命题中正确的是()A．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行D．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行2．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G3．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是()A．互相平行B．交于一点C．相互异面D．不能确定4．若平面α∥平面β，a⊂α，下列说法正确的是________．①a与β内任一直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内任一直线不垂直；④a与β无公共点．5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.1．常用的平面与平面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．2．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图答案精析问题导学知识点一思考1不一定．思考2平行．梳理两条相交直线两条相交直线两条直线知识点二思考1是的．思考2平行．梳理平行成比例a∥b题型探究例1证明如图，连接B1C.由已知得A1D∥B1C，且MN∥B1C，∴MN∥A1D.又∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.连接B1D1，同理可证PN∥平面A1BD.又∵MN⊂平面MNP，PN⊂平面MNP，且MN∩PN＝N，∴平面MNP∥平面A1BD.引申探究证明因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以DD1綊BB1，所以BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，所以BD ∥平面CB 1D 1， 同理A 1D ∥平面CB 1D 1. 又BD ∩A 1D ＝D ，所以平面CB 1D 1∥平面A 1BD .跟踪训练1证明(1)因为G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， 所以GH 是△A 1B 1C 1的中位线， 所以GH ∥B 1C 1.又因为B 1C 1∥BC ，所以GH ∥BC ， 所以B ，C ，H ，G 四点共面． (2)因为E ，F 分别是AB ，AC 的中点， 所以EF ∥BC . 因为EF ⊄平面BCHG ， BC ⊂平面BCHG ， 所以EF ∥平面BCHG . 因为A 1G ∥EB ，A 1G ＝EB ， 所以四边形A 1EBG 是平行四边形， 所以A 1E ∥GB . 因为A 1E ⊄平面BCHG ， GB ⊂平面BCHG ， 所以A 1E ∥平面BCHG . 因为A 1E ∩EF ＝E ， 所以平面EF A 1∥平面BCHG .例2证明设AB ，CD 共面γ，因为γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，且α∥β， 所以AC ∥BD ， 所以△SAC ∽△SBD ， 所以SC SC ＋CD ＝SASB ，即SC SC ＋34＝89，所以SC ＝272. 引申探究解设AB ，CD 共面γ，γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD . 因为α∥β，所以AC 与BD 无公共点， 所以AC ∥BD ，所以△ACS ∽△BDS ，所以AS BS ＝CSDS .设CS ＝x ，则x 34－x ＝89，所以x ＝16，即CS ＝16. 跟踪训练2439解析AA ′，BB ′相交于O ，所以AA ′，BB ′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为AB ，A ′B ′，有AB ∥A ′B ′，且OA OA ′＝AB A ′B ′＝32，同理可得OA OA ′＝AC A ′C ′＝32，OA OA ′＝BCB ′C ′＝32，所以△ABC ，△A ′B ′C ′面积的比为9∶4，又△ABC 的面积为3， 所以△A ′B ′C ′的面积为439. 例3证明∵四边形A ′B ′C ′D ′是平行四边形， ∴A ′D ′∥B ′C ′. ∵A ′D ′⊄平面BB ′C ′C ， B ′C ′⊂平面BB ′C ′C ， ∴A ′D ′∥平面BB ′C ′C . 同理AA ′∥平面BB ′C ′C . ∵A ′D ′⊂平面AA ′D ′D ， AA ′⊂平面AA ′D ′D ， 且A ′D ′∩AA ′＝A ′，∴平面AA ′D ′D ∥平面BB ′C ′C .又∵AD ，BC 分别是平面ABCD 与平面AA ′D ′D ，平面BB ′C ′C 的交线， ∴AD ∥BC . 同理可证AB ∥CD .∴四边形ABCD 是平行四边形．跟踪训练3证明如图，连接AC ，BD ，交点为O ，连接A 1C 1，B 1D 1，交点为O 1，连接BD 1，EF ，OO 1，设OO 1的中点为M ，由正方体的性质可得四边形ACC 1A 1为矩形．又因为E，F分别为AA1，CC1的中点，所以EF过OO1的中点M，同理四边形BDD1B1为矩形，BD1过OO1的中点M，所以EF与BD1相交于点M，所以E，B，F，D1四点共面．又因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，所以ED1∥BF.同理，EB∥D1F.所以四边形BED1F是平行四边形．例4证明如图，过点A作AE∥CD交平面β于点E，连接DE，BE.∵AE∥CD，∴AE，CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.又α∥β，∴AC∥DE(平面平行的性质定理)，取AE的中点N，连接NP，MN，∵M，P分别为AB，CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE.又NP⊄β，DE⊂β，MN⊄β，BE⊂β，∴NP∥β，MN∥β，∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.∵MP⊂平面MNP，MP⊄β，∴MP∥β.跟踪训练4解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面P AO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连接PQ，如图，易证四边形PQBA是平行四边形，∴QB∥P A.又∵AP ⊂平面APO ，QB ⊄平面APO ，∴QB ∥平面APO .∵P ，O 分别为DD 1，DB 的中点，∴D 1B ∥PO .同理可得D 1B ∥平面P AO ，又D 1B ∩QB ＝B ，∴平面D 1BQ ∥平面P AO .当堂训练1．B2.A3.A4.②④5．证明如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ，∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CP PB. ∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ，∴B 1M ＝BN ，∴CM MB 1＝DN NB ， ∴CP PB ＝DN NB， ∴NP ∥CD ∥AB .∵NP ⊄平面AA 1B 1B ，AB ⊂平面AA 1B 1B ，∴NP ∥平面AA 1B 1B .∵MP ∥BB 1，MP ⊄平面AA 1B 1B ，BB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴MP ∥平面AA 1B 1B .又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.。
高中人版B版数学必修二练习：1.2.2 第1课时 平行直线 直线与平面平行 Word版含答案
1.2.2 空间中的平行关系第一课时平行直线直线与平面平行1.下列命题正确的是( D )(A)若直线l上有无数点不在平面α内,则l∥α(B)若直线l与平面α平行,则直线l与α内任一条直线平行(C)如果两条平行线中的一条与平面α平行,则另一条也与α平行(D)若直线l与平面α平行,则直线l与平面α无公共点解析:A.直线l与α相交,l上有无数点不在平面α内,故A不正确;C.当另一条直线在平面α内时,不平行,故C不正确;B显然不正确,因为除平行外,还有异面,所以选D.2.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分别是BC,CD的中点,则( D )(A)BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是矩形(B)HG∥平面ABD,且四边形EFGH是菱形(C)HE∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形(D)EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形解析:由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知,EF BD,由H,G为BC,CD中点知HG BD,故EF∥HG且EF≠HG,所以四边形EFGH为梯形,又因为EF⊄平面BCD,HG⊂平面BCD,所以EF∥平面BCD.3.已知在三棱锥A BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是( D )(A)MN≥(AC+BD)(B)MN≤(AC+BD)(C)MN=(AC+BD)(D)MN<(AC+BD)解析:设BC中点为P,连接MP,PN.在△MPN中,MN<MP+PN,所以MN<(AC+BD),故选D.4.已知△ABC,△DBC分别在平面α,β内,E∈AB,F∈AC,M∈DB,N∈DC,且EF∥MN,则EF与BC的位置关系是( A )(A)平行(B)相交或平行(C)平行或异面(D)平行或异面或相交解析:因为EF∥MN,EF⊄平面BCD,MN⊂平面BCD,所以EF∥平面BCD,又EF⊂平面ABC,且平面ABC∩平面BCD=BC,所以EF∥BC,故选A.5.设m,n为平面α外的两条直线,给出下面三个论断:①m∥n,②m∥α,③n∥α,以其中两个作为条件,另一个作为结论,构成一个命题,写出你认为正确的命题: .解析:由m,n为平面α外的直线,且m∥n可得:若m∥α,则n∥α,或若n∥α则m∥α.答案:①②⇒③(或①③⇒②)6.如图,四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形,E,F分别是棱AD,PC 的中点.证明:EF∥平面PAB.证明:如图,取PB的中点M,连接MF,AM.因为F为PC的中点,故MF∥BC且MF=BC.由已知有BC∥AD,BC=AD.又由于E为AD的中点,因而MF∥AE且MF=AE,故四边形AMFE为平行四边形,所以EF∥AM.又AM⊂平面PAB,而EF⊄平面PAB,所以EF∥平面PAB.7.(2017·全国Ⅰ卷)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( A )解析:如图O为正方形CDBE的两条对角线的交点,从而O为BC的中点,在△ACB中,OQ为中位线,所以OQ∥AB,OQ∩平面MNQ=Q,所以,AB与平面MNQ相交,而不是平行,故选A.8.下列四个命题:①直线a∥直线b,则a平行于经过b的任何平面;②若直线a∥平面α,那么a与α内无数条直线平行;③若直线a,b都平行于平面α,则a∥b;④若直线a∥b,a∥平面α,则b∥α.其中正确的命题个数为( A )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①不正确,因为a有可能在经过直线b的平面内;②正确;③不正确,因为a,b可以平行、相交,也可以异面;④不正确,有可能b⊂α,故选A.9.下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是.(写出所有符合要求的图形序号)解析:①如图a,连MN,则平面MNP扩展与正方体的各面相交得截面图MNPQ,再连接QN,则AB∥QN,所以AB∥平面MNP;②不能得出;③能,如图b.连接EC,则EC∥MP,AB∥EC,所以AB∥MP,从而可得AB∥平面MNP;④如图c,连接ND,MC,即为平面MNP扩展后的截面图,将直线AB平移到ED,则ED∥AB,而ED与平面MNP相交,即AB与平面MNP相交.答案:①③10.如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.求证:GF∥平面ADE.证明:如图,取AE的中点H,连接HG,HD,又G是BE的中点,所以GH∥AB,且GH=AB.又F是CD的中点,所以DF=CD.由四边形ABCD是矩形得,AB∥CD,AB=CD,所以GH∥DF,且GH=DF,从而四边形HGFD是平行四边形,所以GF∥DH.又DH⊂平面ADE,GF⊄平面ADE,所以GF∥平面ADE.11.如图,四棱锥P ABCD中,底面ABCD为矩形,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)若平面APD∩平面PBC=直线l.证明:l∥BC.证明:(1)连接BD交AC于点O,连结EO.因为四边形ABCD为矩形,所以O为BD的中点. 又E为PD的中点,所以EO∥PB.又EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)因为四边形ABCD为矩形,所以BC∥AD,又BC⊄平面APD,AD⊂平面APD,所以BC∥平面APD,又BC⊂平面PBC,平面APD∩平面PBC=l,所以l∥BC.。
2019版数学人教B版必修2课件：1.2.2.2 平面与平面平行 Word版含解析.pdf
直线与另一个平面平行.
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第二课时 平面与平 面平行
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(3)证明两个平面平行的方法.
①用面面平行的定义:两个平面没有公共点; ②用面面平行的判定定理:将面面平行转化为线面平行; ③利用面面平行的判定定理的推论,即一个平面内的两条相交直
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 已知m,n是不重合的直线,α,β是不重合的平面,有 下列命题,其中正确的命题的个数是( )
①若m⊂α,n∥α,则m∥n; ②若m∥α,m∥β,则α∥β; ③若α∩β=n,m∥n,则m∥α,m∥β.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：①不正确,n∥α,过n作平面β与α相交,n与其交线平
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反思 对于判断位置关系的问题,我们必须弄清概念、定理、性质、 判定和结论,若对这些理解不清,则会导致判断错误或考虑不全.
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平面与平面平行 (1)定义:如果两个平面没有公共点,则称这两个平面互相平行.平
面α平行于平面β,记作α∥β. (2)判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,
那么这两个平面平行. 推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内
的两条直线,则这两个平面平行. (3)性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它
人教版数学高一人教B版必修2作业空间中的平行关系—平面与平面
第13课时 1.2.2 空间中的平行关系——平面与平面的位置关系课时目标1.理解平面与平面平行的判定定理和性质定理．2．能用平面与平面平行的判定定理和性质定理解决一些空间线面关系的问题．识记强化1．如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行．用符号表示为α∥β.2．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．3．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，用符号表示为：如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，那么a∥b.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．下列说法正确的是()A．平面α内有一条直线与平面β平行，则平面α与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行，则平面α与平面β平行C．平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与平面β平行D．平面α内所有直线都与平面β平行，则平面α与平面β平行答案：D解析：两个平面平行⇔两个平面没有公共点⇔平面α内的所有直线与平面β没有公共点⇔平面α内的所有直线都与β平行．2．过平面外一条直线作平面的平行平面，则()A．必定可以并且只可以作一个B．至少可以作一个C．至多可以作一个D．不能作答案：C解析：当直线与平面相交时，无法作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作唯一平面．3．已知m，n表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，下列命题中正确的个数是( )①若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，且m ∥n ，则α∥β；②若m ，n 相交且都在α，β外，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β，则α∥β； ③若m ∥α，m ∥β，则α∥β；④若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：A解析：对于①，α与β还可能相交，故①错误；②显然正确；对于③，α与β还可能相交，故③错误；对于④，α与β还可能相交，故④错误．4．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．以上都不对 答案：C解析：如下图中的甲、乙分别为两个平面平行、相交的情形．∴应选C.5．平面α∥平面β的一个条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a 、b 、a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α 答案：D解析：对于选项A ，当α、β两平面相交，直线a 平行于交线时，满足要求，故A 不对；对于B ，两平面α、β相交，当a 在平面α内且a 平行于交线时，满足要求，但α与β不平行；对于C ，同样在α与β相交，且a ，b 分别在α、β内且与交线都平行时满足要求；故只有D 正确，因为a 、b 异面，故在β内一定有一条直线a ′与a 平行且与b 相交，同样，在α内也一定有一条直线b ′与b 平行且与a 相交，由面面平行判定的推论可知其正确．6．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，线段PA ，PB ，PC 分别交α于点A ′，B ′，C ′，若S △A ′B ′C ′S △ABC ＝949，则PA ′AA ′＝( )A.43B.349C.78D.34 答案：D解析：由平面α∥平面ABC ，得AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，AC ∥A ′C ′，由等角定理得∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠BCA ＝∠B ′C ′A ′，∠CAB ＝∠C ′A ′B ′，从而△ABC∽△A ′B ′C ′，△PAB ∽△PA ′B ′，S △A ′B ′C ′S △ABC＝⎝⎛⎭⎫A ′B ′AB 2＝⎝⎛⎭⎫PA ′PA 2＝949，所以PA ′PA ＝37，所以PA ′AA ′＝34，故选D.二、填空题(每个5分，共15分) 7．过平面外一点可以作________条直线与已知平面平行；过平面外一点可以作________平面与已知平面平行．答案：无数 一个解析：过平面外一点，可以作无数条直线与已知平面平行，但过平面外一点，只可以作一个平面与已知平面平行．8．设平面α∥平面β， A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS ＝18，BS ＝9，CD ＝34，则CS ＝________.答案：683或68解析：分两种情况：(1)如图①所示，AB 、CD 交于S .因为α∥β，所以AC ∥BD ，所以ASBS＝CS CD －CS，即189＝CS 34－CS .所以CS ＝683.(2)如图②所示，AB 、CD 交于S ，因为α∥β，所以AC ∥BD ，所以BS AS ＝SD SC ，即918＝CS －34CS，所以CS ＝68.9．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.答案：点M 在线段FH 上解析：取B 1C 1的中点K ，连接NK 、FK 、HF 、HN ，易证平面FHNK ∥平面B 1BDD 1，故当点M 在线段FH 上时，MN ⊂平面FHNK ，此时MN ∥平面B 1BDD 1.三、解答题10．(12分)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别为棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB .解：连接MF .∵M ，F 是A 1B 1，C 1D 1的中点，四边形A 1B 1C 1D 1为正方形∴MF 綊A 1D 1.又A 1D 1綊AD ，∴MF 綊AD .∴四边形AMFD 是平行四边形，∴AM ∥DF . ∵DF ⊂平面EFDB ，AM ⊄平面EFDB ， ∴AM ∥平面EFDB . 同理，AN ∥平面EFDB .又AM ⊂平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，AM ∩AN ＝A ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .11．(13分)如图所示，在三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，点E ，D 分别是B ′C ′与BC 的中点．求证：平面A ′EB ∥平面ADC ′.证明：连接DE .∵E ，D 分别是B ′C ′与BC 的中点，∴DE 綊AA ′，∴四边形AA ′ED 是平行四边形， ∴A ′E ∥AD .∵A ′E ⊄平面ADC ′，AD ⊂平面ADC ′， ∴A ′E ∥平面ADC ′.又BE ∥DC ′，BE ⊄平面ADC ′，DC ′⊂平面ADC ′， ∴BE ∥平面ADC ′.∵A ′E ⊂平面A ′EB ，BE ⊂平面A ′EB ，A ′E ∩BE ＝E ， ∴平面A ′EB ∥平面ADC ′.能力提升12．(5分)在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ：ED ＝2：1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．解析：当F 是PC 的中点时，BF ∥平面AEC . 证明如下：如图，取PE 的中点M ，连接BM ，FM ，则FM ∥CE .由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点．连接BD ，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点，连接OE ， 所以BM ∥OE .又FM ∩BM ＝M ，CE ∩OE ＝E ， 所以平面BFM ∥平面AEC .又BF ⊂平面BFM ，所以BF ∥平面AEC .13．(15分)如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．证明：方法一：(1)因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)平行．如图①，取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.所以MN∥AE.所以MN∥平面PAD.方法二：(1)因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥AD.因为AD∥BC，所以l∥BC.(2)平行．如图②，设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，则MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD.又因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD.。
人教新课标版数学高一-人教B版必修2课时作业 1-2-2- 3 平面与平面平行
1.2.2第3课时一、选择题1．两个平面平行的条件是()A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面D2．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么a、b的位置关系是()A．无公共点B．平行C．既不平行也不相交D．相交A∵平面α∥平面β，∴α与β没有公共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点．3．α和β是两个不重合的平面，下列条件中可判定α与β平行的是()A．l为直线，且l∥α，l∥βB．α内不共线的三点到β的距离相等C．l、m是平面α内的直线，且l∥β，m∥βD．l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥βD对于A来说：当α∩β＝a，且l⊄α，l⊄β，l∥a时，有l∥α，l∥β，但α与β不平行，所以A错误；对于选项B，平面α与平面β的位置关系也是有两种情形：相交或平行，当平面α内不共线三点在平面β的同侧时，有α∥β；当平面α内不共线的三点在平面β的异侧时，α与β相交，故B不正确；对于C选项，因直线l、m在平面α内不一定相交，由此可知，平面α、β不一定平行，故C不正确．易知D正确．故选D.4．可以作为平面α∥平面β的条件的是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αDa∥β，则β中存在a′∥a，则面α内存在b′，使b∥b′，且a′与b相交，a与b′相交，∴α∥β.故选D.5．若平面α∥β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条直线与a平行C．存在无数条直线与a平行D．存在惟一一条与a平行的直线D∵α∥β，B∈β，∴B∉α.∵a⊂α，∴B、a可确定平面γ且γ∩α＝a，γ与β交过点B的直线，∴a∥b.∵a、B在同一平面γ内，∴b惟一，即存在惟一一条与a平行的直线．6．下列命题中，错误的是()A．三角形的两条边平行一个平面，则第三边也平行于这个平面．B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有惟一的一条直线b，使b∥a.C．α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ的交线为a、b、c、d，则a∥b∥c∥d.D．一条直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行．D7．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；其中真命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个A8．下列结论中正确的是()A．平行于平面内两条直线的平面，一定平行于这个平面B．一条直线平行于一个平面内的无数条直线，则这条直线与该平面平行C．两个平面分别与第三个平面相交，若交线平行则两平面平行D．在两个平行平面中，一平面内的一条直线必平行于另一个平面D二、填空题9．给出下列命题①平行于同一直线的两个平面平行．②平行于同一平面的两个平面平行．③正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACD1与平面A1BC1平行．④四棱台ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1与平面ADD1A1相交．⑤在两个平面内分别有一条直线，这两条直线不平行，那么这两个平面必相交．其中正确结论的序号是__________．②③④正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1与平面CDD1C1都与AA1平行，但此两平面交线为CC1，故①错误．②正确．③正确，BC1∥AD1，A1B∥CD1，由两面平行判定定理的推论知，平面A1BC1∥平面ACD1.④正确．棱台是由棱锥截得的，故侧面必相交．⑤错误，如图．故填②③④.10．若两直线a、b相交，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．相交或平行11．下列说法：①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个也平行；④三个平行平面把两条直线截得线段对应成比例．其中正确的是________．①④12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________________时，有MN∥平面B1BDD1.M在线段FH上移动此时HN∥BD，MH∥DD1，∴平面MNH∥平面BDD1B1，∴MN∥平面B1BDD1.三、解答题13．已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB 上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．解法一：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H是CG的中点．∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.解法二：∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.∵EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理：DF∥平面SAB，EF∩DF＝F，∴平面SAB∥平面DEF，又∵SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF.14．在正方体ABCD－A1B1C1D1，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点，如图所示．(1)求证：E 、F 、B 、D 四点共面；(2)求证：平面AMN ∥平面EFBD .(1)分别连结BD 、ED 、FB ，由正方体性质知，B 1D 1∥BD .∵E 、F 分别是C 1D 1和B 1C 1的中点，∴EF 綊12B 1D 1，EF 綊12BD . ∴E 、F 、B 、D 四点共面．(2)连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，分别连结PA 、QO .∵M 1N 分别为A 1B 1、A 1D 1的中点，∴MN ∥EF ，EF ⊂面EFBD ，∴MN ∥面EFBD .∵PQ 綊AQ ，∴四边形PAOQ 为平行四边形，∴PA ∥QO .而QO ⊂面EFBD ，∵PA ∥面EFBD ，且PA ∩MN ＝P ，PA 、MN ⊂面AMN ，∴平面AMN ∥面EFBD .15．已知三个平面α、β、γ，且α∥γ，β∥γ.求证：α∥β.解法一：如图，在α内作两相交直线a 、b ，且过α作平面M 与γ交于a ′，再过a ′作平面N 交平面β于a ″.∵α∥γ，M ∩γ＝a ′，N ∩β＝a ″，∴a ∥a ′，同理a ″∥a ′，∴a ∥a ″，又a ⊄β(否则α与β重合)∴a ∥β，同理b ∥β，又a 、b 是α内两条相交直线，∴α∥β.解法二：假设αβ，则α与β有公共点，设公共点为P ，由已知α∥γ，β∥γ，得知过点P 有两个平面α、β都与γ平行．这与“经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行”矛盾，从而得证．16．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D .若PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，求BD 的长．因为点P 的位置不确定，应分以下三种情况讨论．(1)当点P 在α上方时，如图，∵PA ∩PB ＝P ，β∩平面PCD ＝CD ，α∩平面PCD ＝AB ，又α∥β，∴AB ∥CD .∴PA PC ＝PB PD .又PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，∴PC ＝PA ＋AC ＝15.∴PB ＝6×815＝165.∴BD ＝PD －PB ＝8－165＝245.(2)当点P 在α、β中间时，如图，∵α∥β，∴AB ∥DC .∴△PAB ∽△PCD .∴PAPC ＝PBPD .∵AC ＝9，PA ＝6，∴PC ＝3.又PD ＝8，∴PB ＝PA ×PD PC ＝6×83＝16. ∴BD ＝8＋16＝24.(3)当点P 在β下方时，由PA <AC 知不可能．∴BD 的长为245或24. 17．在棱长为2cm 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，问过点A 1作与截面PBC 1平行的截面也是三角形吗？并求该截面的面积．设过点A 1与截面PBC 1平行的截面为α，则α与平面PBC 1被平面A 1B 1C 1D 1和ABB 1A 1所截，则交线平行，故在平面A 1B 1C 1D 1内，过A 1作A 1E ∥PC 1交C 1D 1于E ，则E 为C 1D 1中点，在平面ABB 1A 1内，过A 1作A 1F ∥PB 交AB 于F ，则F 为AB 的中点．又截面α与上、下底面的交线平行，∴连结CF 为下底面的交线．同理连结CE 为α与平面CDD 1C 1的交线．由A 1E 綊CF 知截面为平行四边形，又A 1E ＝A 1F ，∴截面平行四边形为菱形，故其两对角线A 1C 与EF 相互垂直，面积S ＝A 1C ·EF ＝6a 2，a ＝2，∴S ＝46cm 2.。
高中数学人教B版必修二同步练习：平面与平面平行的判定与性质 Word版含答案
人教B 版 数学 必修2：平面与平面平行的判定与性质 同步练习一、选择题1. 与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 ( )A.都平行．B. 都相交．C.在这两个平面内．D.至少与其中一个平面平行．2. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面 ( )A.平行．B.相交．C.重合．D.平行或相交．3. ,αβ是两个不重合的平面,在下列条件中, 可判定α∥β的是 ( )A.,αβ都垂直于平面γB.α内有不共线的三点到平面β的距离相等C.,l m 是平面α内的直线, 且l ∥β, m ∥βD.,l m 是两条异面直线, 且均与平面,αβ平行A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//nB ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //二、填空题7.若α∥β,α⊂a ,β⊂b 则a ,b 的位置关系是 .8. a 、b 为异面直线，a ⊥平面α，b ⊥平面β，则α与β的位置关系是 .三、解答题9. 已知：a 、b 是两条异面直线，平面α过a 且与b 平行，平面β过b 且与a 平行．求证：平面α∥平面β.10. 已知：A 为平面BCD 外一点，M 、N 、G 分别是△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心． 求证：平面MNG ∥平面ACD ．11.已知线段AB、CD异面，CD⊂平面α，AB∥α，M、N分别是线段AC和BD的中点，求证MN∥平面α.12.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD 1上的点，且BP= QC，求证PQ∥平面A1D1DA .【课时37答案】1.D2.D3. D4.B5.C6.2个7.平行或异面8. 相交9.10.11.连结AD，取AD的中点P，连结MP、NP，由三角形中位线性质，得MP∥CD，NP∥CD∴平面MNP∥平面α, ∵MN⊂平面MNP, MN∥平面α．12.。
2019-2020学年高中数学人教B版必修2作业与测评：1.2.2.2 直线与平面平行
第2课时 直线与平面平行对应学生用书P29知识点一直线与平面的位置关系1．在下列各命题中，真命题共有( )①若点A∈α，点B∉α，则直线AB与平面α相交；②若a⊂α，b⊄α，则a与b必异面；③若点A∉α，点B∉α，则直线AB∥平面α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b．A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析 ①真命题，∵直线与平面间有三种位置关系：(a)直线在平面内；(b)直线与平面相交；(c)直线与平面平行，由于A∈α，而B∉α．∴由公理1及直线与平面平行的概念可知：直线AB⊄α，且直线AB不平行于α，∴直线AB与平面α相交，∴命题①是真命题．②假命题，例如当直线b∩α＝A，而A∈a⊂α时，a与b是相交直线，并不异面，故命题②是假命题．③假命题，例如，设a∩α＝P，取A，B∈a且异于P，则A，B∉α，但直线AB(即a)与α相交，故命题③是假命题．④假命题，当直线a∥α时，a与α无公共点，因而可知a与α内的任一直线也无公共点，两条直线无公共点，则这两条直线可能平行，也可能异面，故命题④是假命题．综上所述，仅有命题①正确，故选A．2．下列说法正确的有________．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l 与平面α相交，则l 与平面α内的任意直线都是异面直线；④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的直线平行或异面．答案 ①④解析 l 与α相交，则l 上有无数个点不在α内，②错误；过l 与α交点的直线与l 相交但不异面，③错误；①④均正确．知识点二直线与平面平行的判定3．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别是BC 和A 1B 1的中点．求证：MN ∥平面AA 1C 1C ．证明 设A 1C 1的中点为F ，连接NF ，FC ．∵N 为A 1B 1的中点，∴NF ∥B 1C 1，且NF ＝B 1C 1．12又由棱柱的性质知B 1C 1綊BC ，且M 是BC 的中点，∴NF 綊MC ，∴四边形NFCM 为平行四边形．∴MN ∥CF ．又∵CF ⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ，∴MN ∥平面AA 1C 1C ．知识点三直线与平面平行的性质4．已知下列叙述：①一条直线和另一条直线平行，那么它就和经过另一条直线的任何平面平行；②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；③若直线l 与平面α不平行，则l 与α内任一直线都不平行；④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行．其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 A解析 一条直线和另一条直线平行，那么它就可能在经过这两条直线的平面内，①错误；一条直线平行于一个平面，这个平面内的直线可能与它异面，②错误；③④中，直线有可能在平面内．5．如图，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB ∥平面EFGH ；CD ∥平面EFGH ；(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围．解 (1)证明：∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥HG ．∵HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，∴EF ∥平面ABD ．∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，∴EF ∥AB ．又∵AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，∴AB ∥平面EFGH ．同理，CD ∥平面EFGH ．(2)设EF ＝x(0<x<4)，由于四边形EFGH 为平行四边形，∴＝．CF CB x 4故＝＝＝1－．FG 6BF BC BC －CF BC x 4从而FG ＝6－x ．32于是四边形EFGH 的周长为l ＝2(x ＋6－32x )＝12－x ．又0<x<4，∴8<l<12，即四边形EFGH 周长的取值范围为(8，12)．对应学生用书P29一、选择题1．若直线a ，b 都和平面α平行，则直线a ，b 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．以上三者都有可能答案 D解析 可以画出直线a ，b 的三种位置关系的图形．2．过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为( )A ．都平行B ．都相交且一定交于同一点C ．都相交但不一定交于同一点D ．都平行或都交于同一点答案 D解析 若直线l ∥平面α，则过l 作平面与α相交所得的直线a ，b ，c ，…都平行；若l ∩α＝P ，则直线a ，b ，c ，…都相交于同一点P ．3．对于直线m ，n 和平面α，下面命题中的真命题是( )A ．如果m ⊂α，n ⊄α，m ，n 是异面直线，那么n ∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n答案 C解析 如果m⊂α，n∥α，m，n共面，根据线面平行的性质定理，则m∥n，故选项C正确．在选项A中，n与α可能相交，在选项B中，n与α可能平行．在选项D中，m与n可能相交．4．空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的关系是( ) A．平行B．相交C．在平面内D．不能确定答案 A解析 如图所示，在平面ABC内，因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，所以AC∥EF．又因为AC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以AC∥平面DEF．5．如图，下列正三棱柱ABC－A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是( )答案 C解析 在图A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP．故选C．二、填空题6．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．答案 2解析 因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ．又点E 是DA 的中点，所以点F 是DC 的中点，由中位线定理可得EF ＝AC ．12又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝2，所以EF＝．227．如图，四边形ABDC 是梯形，AB ∥CD ，且AB ∥平面α，M 是AC 的中点，BD 与平面α交于点N ，AB ＝4，CD ＝6，则MN ＝________．答案 5解析 ∵AB ∥平面α，AB ⊂平面ABDC ，平面ABDC ∩平面α＝MN ，∴AB ∥MN ．又M 是AC 的中点，∴MN 是梯形ABDC 的中位线，故MN ＝(AB ＋CD)＝5．128．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，若过A ，C ，B 1三点的平面与底面A 1B 1C 1D 1的交线为l ，则l 与AC 的关系是________．答案 平行解析 ∵AC ∥A 1C 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴AC ∥平面A 1B 1C 1D 1．∵平面ACB 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝l ，∴AC ∥l ．三、解答题9．已知：△ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，沿DE 将△ADE 折起，使A 到A ′的位置，M 是A ′B 的中点．求证：ME ∥平面A ′CD ．证明 如图所示，取A ′C 的中点G ，连接MG ，GD ，∵M ，G 分别是A ′B ，A ′C 的中点，∴MG 綊BC ，12同理DE 綊BC ，12∴MG 綊DE ，∴四边形DEMG 是平行四边形，∴ME ∥DG ．又ME ⊄平面A ′CD ，DG ⊂平面A ′CD ，∴ME ∥平面A ′CD ．10．如图所示，已知四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是矩形，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDM＝m，试分析l与m 的位置关系，并证明你的结论．解 (1)证明：记AC与BD的交点为O，连接OE．∵O，M分别是AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形．∴AM∥OE．又∵OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE．(2)l∥m．证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，∴l∥AM．同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，∴m∥AM，∴l∥m．。
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第二课时平面与平面平行
1.已知平面α∥平面β,过平面α内的一条直线a的平面γ,与平面β相交,交线为直线b,则a,b的位置关系是( A )
(A)平行(B)相交(C)异面(D)不确定
详细分析:两平行平面α,β被第三个平面γ所截,则交线a,b平行.
2.α和β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是( D )
(A)α内有无数条直线平行于β
(B)α内不共线三点到β的距离相等
(C)l,m是平面α内的直线,且l∥β,m∥β
(D)l,m是异面直线且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β
详细分析:l,m是异面直线又分别与α,β平行,故可在平面α取一点作l,m的平行线l′,m′,则l′,m′为相交直线且与平面β平行,故α∥β.
3.给出下列结论,正确的有( B )
①平行于同一条直线的两个平面平行;②平行于同一平面的两个平面平行;③过平面外两点,不能作一个平面与已知平面平行;④若a,b为异面直线,则过a与b平行的平面只有一个.
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
详细分析:②④正确,①③不正确.
4.a,b,c为三条不重合的直线, α,β,γ为三个不重合的平面,现给出六个命题.
①a∥c,b∥c?a∥b;②a∥γ,b∥γ?a∥b;
③α∥c,β∥c?α∥β;④α∥γ,β∥γ?α∥β;
⑤α∥c,a∥c?α∥a;⑥a∥γ,α∥γ?α∥a.
其中正确的命题是( C )
(A)①②③(B)①④⑤(C)①④(D)①③④
详细分析:①正确;②a、b可以平行,相交、异面;③α、β可平行或相交;④正确;⑤a与α可以平行,也可以a?α;⑥a∥α或a?α.故选C.
5.有下列几个命题:①平面α内有无数个点到平面β的距离相等,则α∥β;②α∩γ=a,α∩β=b,且a∥b(α,β,γ分别表示平面,a,b 表示直线),则γ∥β;③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边,则α∥β;④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行,则α∥β.其中正确的是.
详细分析:①不正确,因为当两平面相交时,在一个平面两侧分别有无数点满足条件;②不正确,当平面β与γ相交时也可满足条件;③正确,满足平面平行的判定定理;④不正确,当两平面相交时,也可满足条件.
答案:③
6.下列说法中正确的是.。